PON Laboratorio Scientifico ITS «M. Buonarroti» Caserta Misure & Numeri 1.

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Misure & Numeri

1

1- Misure & Numeri

PON Laboratorio Scientifico

I NUMERI(diamo) (?)

12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?

Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !

Unità di misuraÈ il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso

significato !

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Misura Diretta di una Grandezza

• Confronto con un Campione • 5.9 cm

• 6.0 cm• 6.1 cm

• …. cm

• .... cm

Errori Casuali (±)Errori Sistematiciindividuati, si possono

correggere (offset, taratura, procedura,

condizioni di misura, preparazione )

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PON Laboratorio ScientificoDistribuzione delle Misure (istogramma)

distribuzione gaussiana

Vm

σ

2m

σVV

e

A

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0.........)()...()()( 1211

mimimmm

N

ii NVVVVVVVVVVV

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?

V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….

N ripetizioni della misura

medioValoreN

V

N

VVVVV

N

ii

im

1321 ......

(Vi-Vm) scarto (dal valor medio)

della misura i

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PON Laboratorio ScientificoQual è la Misura della Lunghezza della Matita?

Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura)

)1(

)(

)1(

...)(...)()( 1

222

22

1

N

VV

N

VVVVVV

N

imi

mimm

MedioQuadraticoScarto (detto anche errore)

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PON Laboratorio ScientificoQual è la Misura della Lunghezza della Matita?

Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:Vm σ±

Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del:

68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)

95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)

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PON Laboratorio ScientificoEsempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo

• 12 misure (in secondi):

15.21 15.43 15.32 15.50

15.61 15.45 15.61 15.24

15.55 15.48 15.35 15.52

Pm= s

σ = s

15.43916

0.133855P=15.43916±0.133

855 s ??

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Considerazioni sull’Esempio

Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s

P=15.43 ±0.13

(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)Leggiamolo:Effettuando una nuova misura vi è il 68%

di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302Cifre Cifre certecerte

Prima cifra Prima cifra incertaincerta

Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?

Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 sPm= 15.43916 s σ = 0.133855 s

Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302

Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302

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PON Laboratorio Scientifico(Parentesi: Approssimazioni numeriche)

Regole per l’approssimazione per arrotondamento;

Se la prima cifra da eliminare (cifra di controllo) è:

a) <5 → le cifre da conservare restano invariate (appr. per difetto)

b) >5 → l’ultima cifra da conservare viene aumentata di 1 (appr. per eccesso)

c) =5 → l’ultima cifra da conservare viene arrotondata alla cifra pari

d) =50 → arrotondamento per difetto od eccesso

Esempi:

17.6712 a 3 cifre decimali è (b) 17.7; 17.6472 a 3 c.d. è (a) 17.6

17.6572 a 3 c.d. è (c) 17.6; 17.7572 a 3 c.d. è (c) 17.8

17.7502 a 3 c.d. può essere (d) sia 17.7 che 17.8

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PON Laboratorio ScientificoRitorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo

Regola del: Buon Senso P=15.43 ±0.13

Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s

Approssimazione al centesimo di secondo

Regola della presentazione delle misure:

Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4 ±0.1

s

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Presentazione della Misura

Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ)

• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.

• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.

• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno.

Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg

Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto

Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale

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Esempi di Misure

Quale è la misura più accurata (precisa) ?

Lunghezza stradax=4 kmΔx=σ=2 m

Lunghezza travex=1 mΔx=σ=1 mmesposizio

ne 4000±2 m1.000 ±0.001 m

εr2/4000=0.0005

0.001/1=0.001

ε% 0.05% 0.1%

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La notazione scientifica

N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9

100=1 – 101=10 – 102=100 – 103=1000 – 104=10000 10-1=0.1 – 10-2=0.01 – 10-

3=0.001 – 10-4=0.0001 Proprietà: 10n10m=10n+m – 10n10m=10n-m 102104=102+4=106 – 10210-5=102+(-5)=10-3 102104=102-4=

10-2 – 10210-5=102-(-5)=107 N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9 cifre signif.

• Semplifica le operazioni (molto meno errori con calcolatrice).

• Maggior controllo delle cifre significative !!!

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Esempi di notazione scientifica

33.5 kg espresso in grammi 3.35101 kg espresso in grammi

=33500 g =3.35104 g

=33500 g =3.35104 g

45

273

1014.31034.2

107.110242.31052.7

Esponente del 10: 3-7+2-(5-4) = -3

=5.610-3

640716424.514.334.2

7.1242.352.7

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3 41037.9

3 81032.2

2 81032.2

Ulteriori esempi di notazione scientifica

2

182

1

)10()32.2( 41052.1 42 1032.2

23 102323

163

1

)10()232( 21014.6

21079.9 3

163

1

)10()937( 23 10937

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Ordine di Grandezza di una Misura

Ordine di Grandezza di X

Ordine di Grandezza di 23 = 10 (log10 23 =1.36 )

Ordine di Grandezza di 850 = 103 (log10 850 =2.92 )

→10(log x) approssimato all’unità

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PON Laboratorio ScientificoMisura Indiretta di una Grandezze Fisiche

Area= Base Haltezza

B=7.4±0.1 cm

H=5.3±0.1 cmAreamin=7.35.2=37.96

cm2 Areamax=7.55.4=40.5 cm2

Probabilità del 68% che 37.96 ≤ Area < 40.5

Area=39±1 cm2

(A±ΔA)

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PON Laboratorio ScientificoErrore in una Misura Indiretta di Grandezza

(propagazione dell’errore)

y=y±Δy ; x=x±Δx ;

z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.

G=G±ΔG

G=f (x,y,z)

22

2

2

22

zyxG zf

yf

xf

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PON Laboratorio ScientificoErrore in una Misura Indiretta di Grandezza

(casi più frequenti)

G=a x+b y

2222yxG ba

G=ax•y

2222yxG xya

G=ax/y

22222 yxG xyy

a

G=3x+2y

x=4.1±0.2

y=2.2 ±0.4

G=16.7

G=17±1116.0404.09 G

G=27 ±5

G=6 ±1

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