EFFIE...

CARNET de ROUTE

#IlmilNotes prises par Marie Lhuissier

pour [ expose du

14 janvier 2015

:Patrick

Popescu . PampaPolyedrescydiques

*::??*?

Com bien y a . t - it de polygon es dent tons lescouples de sonnets ferment une arete ?

$ Eggon i non ( pas me a rite )

facile ! it n'

ya que les triangleson Gsait para gu

-

on sail Hassettles polygons ( triangles , quadrilateies ,Pentagon es , . . . ) et que sen b les triangles bnvienncnt

Et en dimension 3 ? Que pdyedres ?

ftp.ETIH.to"non (pas me are te )

it niy a que les tetraedreset deja , c- est plus omptigne de voirponrquoi ce sort Les sent . . .

Et en dimension 4 ?

Ilya bien sir le simple , qui est L'

analogue du

triangle et du Eetrzedre ( 5 sonnets , baretes, to faces , 5 hyperfaces )

Yen a. til d ' autre ?

oui,

il y on a i 6 sonnets , I 7 sonnets , I8 sonnets

,

etc. . Il y en a done me infinite , et on les appelleLes pdyeidresamicaux ( qudjdinom ! )

Parmi ceux - li , nous allows en construireunefamille , Les

pdyidres cyclic

uk##. at ##t#iprojection .sur (e plan . .dimsimple. projectionde dimension G . sur le plan. .dimpdyedrtprojectioncyclingde dim 4sur le plan I 7 sonnetsdimpdyeotecyfliededim . 4

I 6 sonnets

Pour construireces best ides Ehanges . . . :

On utilise La eouurrbbeeddeasmammoths

IR - R ''t - It

,e

,3

,Et )

dent on pent " voir " les

projection

^

. . . sur Le plan des ( x , y ) :

,

yen'

2- ^ 3

. . .sur le plan des ( x , z ) : 3

:Z

. " sur Le plan des ( n , w ) : #?n^ y y = ZH. . . sur Le plan des ( y , z ) : #:... sur lies pace des In , y , z ) :

i#:to ...

Et puis on des sine n points sur cette courbe( par example , 6 points pour un poly Eda Z 6 sonnets )

et on consider e K"eihvtappeeoxxv## de ces six points .( c ' est . Z . dire , tons Les points qui se trouvent Z Linter de ( afigure qion obtient en reliant nos 6 points

edinZ .r

,

'

,

. pes .r

.

'

.

'

on ex e -

Rare: prendre 6 points sur ( a courbe , costpared que prendre 6 " temps " -4 , tz , t , , Eats, to ,et Les points Hi , ti ' , ti , ti' ) correspondants\ sur Lacombe . 'tg#e*-

Ga nous donne un pdyetdre de dimension 4 , et ondoit verifier que :

Les 6 points sent des sonnets( c - est . 2 . direquits

sent des extremities du pohaidre)

Les 15 segments qui client les 15 pairs de pointssort des are tes Ice sent des segments qui he sent pas

is li interior du poly Eda on ai linter ieur dime de Ses faces )

ponrga , ondoit tonkponrchaquesafentmeet

un (hyper) planquiconlienteceekemamreete

ettdquelerestedupdyedresoit

strictest

dumeimecotedulhypelplan

##er*e" latesoso.SE

'

*F"Sammet

#IT###. . neeMais parksmerveillesdela

*

Dimattia'kE*

(

hypelplantedfonction ane

quiontientfmsommet

#dInquis. annule

unearetesurkedstemameteLerestedupdyedreest

.IM?lafonctimeststricttstrictementdimcote

positive surlerestedupdyeidre

Miracle de la dimension 4 : Une tell e for me exist !

ChoiSisson s un couple de points ( ti , tj ) .Il s - agit de construe une

fonctionane

qui est nuke sur ( ti , ti ' . t ?, til ' ) et ( tj . tj , top . TH )et qui est strict 't positive sur Le rest de la

chews( et can me tout point du poly e- deest combination convene de points de cote our be , lafonctionSera

strict ement positive sur 6 rest dupotyedre . . . )

Com me le plongement R - Rtt - It

,a

,t.3.tl ' )

Perm et de transformer un pdynrome dedegre4en unefonctionane sur pi ,( auttt as a +2 Eta , t +2 - date, + a , t , + aztz + a , t , +2 . )le pdynorme ( t . tip ( t . tjp (qui s ' annul e en ti , tj et est- strict ement posilif partout ailleus )nous donne La

Fontaineroutine

(qui est nuke en Hi ,Hit?, tillet en ltjtj . tjs , to " ) , et strictpositive allows )Done le poly Ede quonabustruit a bienon a le result at sur les aretes et

,La for me Venture . ( pour ti = tj , sur Les sonnets

A'

.