Politecnico di Milano – III Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria...
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Politecnico di Milano – III Facoltà di IngegneriaCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare
Anno Accademico 2004-2005
Chaos and Nonlinear Dynamics in Financial and Nonfinancial Time Series: Evidence from Finland
Mattia GazzolaMatricola: 666333Corso di Caos Deterministico e sue Applicazioni
2Politecnico di Milano
INTRODUZIONE
SCOPO DELL’ARTICOLO:
Analisi di 10 serie temporali di natura economica per rilevare la presenza di eventuali non linearità.
CONTENUTI:
•Sguardo ai dati utilizzati nell’analisi
•Breve presentazione delle statistiche discriminanti utilizzate
•Risultati ottenuti sulle singole serie in questione (modelli univariati)
•Analisi di cross-correlazione fra i diversi momenti delle serie (modelli multivariati)
•Conclusioni
3Politecnico di Milano
I DATI
Le osservazioni di tutte le serie sono state registrate mensilmente in Finlandia tra il 1922 e il 1994 per un totale di 893 osservazioni per ogni serie.
LE DIECI SERIE:•Industrial production•Bankruptcies•Terms of trade•Real exange rate index•Yeld on long term government bonds•Consumer price index•Wholesale price index•Banks’ total credit supply•Narrow money•UNITAS (Helsinki) stock exange index
Reali
Nominali
4Politecnico di Milano
I DATI
NOTE:
•La qualità generale delle serie è nel complesso buona
•Solo le serie n° 5 e 9 sono in qualche modo deficienti: nella nona alcuni dati sono frutto di stime, mentre nella quinta i tassi, per alcuni periodi sono stati fissati amministrativamente e dunque non riflettono genuinamente l’andamento del mercato
5Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
Oltre a tutta una serie di statistiche “tradizionali” nell’analisi si farà uso delle seguenti statistiche discriminanti:
THE BDS TEST FOR CHAOTIC PROCESS
Il test è stato originalmente costruito per evidenziare la presenza di caos deterministico, ma risulta molto efficace anche per testare la presenza di altre forme di non linearità.
DEFINIZIONE DI DIMENSIONE DI CORRELAZIONE:
La dimensione di correlazione è una stima della dimensione frattale e fornisce informazioni sulle caratteristiche topologiche della serie.
Data una serie temporale di dati Y=(y(0), y(1), …. , y(N)) ed una dimensione di embedding m si costruisce la serie vettoriale delle uscite ritardate
X=(…, xm,t-1, xm,t)
6Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
dove xm,t è il vettore delle uscite ritardate così definito
xm,t=(y(t), y(t-1), … , y(t-m+1))
Si definisce inoltre la grandezza
dove T=N-m+1. Se per piccolo
Cm( ) d
Allora d è la dimensione di correlazione che viene così definita:
jmimjmim
Tm xxctxxcoppie
TC ,,,,2
..),(1
lim)(
)log(
)(loglim)(
0
mCmd
7Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
Variabile puramente casuale
Caos deterministico
d cresce monotonicamente con m. Cioè d invade tutto lo spazio di embedding
d si mantiene costante
Quindi posso valutare d(m) al variare di m e vedere se la dimensione di correlazione si mantiene costante.
In alternativa posso effettuare il TEST BDS
8Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
IPOTESI NULLA: xt,m è indipendentemente e identicamente distribuita
STATISTICA DISCRIMINANTE:
(m,) = stima della deviazione std
),(
)()(
),(
^
1
^
m
CC
TmBDS
m
m
Se BDS “grande” rifiuto l’ipotesi nulla
Infatti sotto l’ipotesi nulla, fissati m ed :
Cm,T() C1()m, per T
9Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
DIFFICOLTA’:
•La potenza del test dipende in modo cruciale da
•Cm() satura per troppo grande
•Cm()0 per 0 in quanto la serie non è infinita
•La serie è affetta da rumore
10Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
Mappa logistica
Vs
Rumore Bianco
11Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
12Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
THE HURST EXPONENT:
Permette di classificare una serie in termini di persistenza (“antipersistenza”) dei meccanismi di generazione dei dati, quindi distingue tra serie casuali e non casuali.
COME SI CALCOLA:
•Si valuta la deviazione cumulativa Xt, su periodi:
dove: ei=afflusso all’anno i
M=la media ricorsiva di ei su periodi
Nt
MeXt
iit
,....,2,1
)(1
,
13Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
•Si calcola il range tra il massimo ed il minimo di Xt, :
R=max(Xt, )-min(Xt, )
•Dal seguente modello “range riscalato” si ricava H:
dove: S=deviazione standard delle osservazioni originali
=costante
HNS
R
14Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
Se H=0.5
Se H0.5
La serie è random walk
Le osservazioni non sono più indipendenti, cioè posseggono memoria degli eventi precedenti
In particolare:
H<0.5
H>0.5
Il sistema è antipersistente, cioè alti valori nel periodo precedente preludono con alta probabilità bassi valori nel successivo
Il sistema è persistente, cioè “trend-enforcing”
15Politecnico di Milano
LE STATISTICHE TEST
THE RAMSEY IRREVERSIBILITY TEST:
L’irreversibilità nel tempo è un concetto che è utile nell’analisi di possibili asimmetrie (nonlinearità)
STATISTICA DISCRIMINANTE:
Kk
xxxxT
GT
t
ikt
jt
jkt
it
kji
,...,2,1
)()()()(1
1,
Se 0, kjiG La serie è reversibile
K=ampiezza massima dell’intervallo di dati considerato
16Politecnico di Milano
RISULTATI SULLE SERIE
•L’analisi statistica tradizionale non supporta l’ipotesi di modelli lineari
•L’analisi della dimensione di correlazione non è consistente con un comportamento caotico di bassa dimensione
17Politecnico di Milano
RISULTATI SULLE SERIE
•BDS risulta invece molto alto suggerendo che il meccanismo di generazione dei dati sia nonlineare. L’ipotesi nulla è respinta in tutti i casi.
18Politecnico di Milano
RISULTATI SULLE SERIE
•La stima di H, ben al di sopra di 0.5, ci dice che i dati contengono alcune proprietà di memoria. A conferma di ciò mischiando casualmente i dati questa memoria si perde e H0.5
19Politecnico di Milano
RISULTATI SULLE SERIE
•Si può anche stimare quanto sia “lunga” la memoria dei dati a partire dal cambio di pendenza di R/S
Cambio di pendenza
Forte persistenza per circa 200 punti (16 anni) poi cambio di pendenza con H0.5
•Anche il test di irreversibilità di Ramsey evidenzia segni di nonlinerità in tutte le serie
20Politecnico di Milano
ANALISI DI CROSS CORRELAZIONE
Lo scopo di questa analisi è unicamente quello di evidenziare eventuali correlazioni esistenti fra le diverse variabili attraverso la statistica di Portmanteau
RISULTATI:
In accordo con i risultati ottenuti con i modelli univariati anche in questo caso il test suggerisce la presenza di fenomeni di lunga memoria applicati ai co-movimenti di differenti variabili, sia nominali che reali.
21Politecnico di Milano
CONCLUSIONI
•Le analisi empiriche evidenziano chiaramente la presenza di nonlinearità sia nel caso univariato che multivariato
•Il caos deterministico non appare una probabile spiegazione per queste nonlinearità
•Sembrano emergere alcune differenze tra variabili nominali e reali
•Emergono alcune differenze tra comportamento nel lungo e breve periodo
22Politecnico di Milano
BIBLIOGRAFIA
•Kari Takala, Matti Virén
Chaos and nonlinear dynamics in financial and nonfinancial time series: Evidence from Finland
European Journal of Operational Research 93 (1996) 155-172