Polar plot dan Nyquist plot Pertemuan ke 9

Matakuliah : Sistem Pengaturan DasarTahun : 2010

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan : Mahasiswa dapat membuat diagram / skema

untuk proses analisis dalam domain frekuensi yang dapat menunjukkan aplikasi Nyquist plot untuk analisa kestabilan sistem dinamik.

ANALISIS NYQUIST

• Metode Response (Tanggapan) Frekuensi

– Analisis Nyquist adalah metoda respons frekuensi untuk menentukan stabilitas absolut dan relatif dari sistem kontrol lup tertutup.

– Respons frekuensi mempunyai arti respons steady state dari suatu sistem terhadap input sinusoidal.

– Kestabilan sistem lup tertutup diperoleh dari fungsi alih lup terbuka.

• Kestabilan absolut berupa pernyataan keadaan :– Sistem stabil– Sistem tidak stabil

• Kestabilan relatif berupa pernyataan keadaan :– Seberapa stabil– Seberapa tidak stabil

• POLAR PLOTDidalam wawasan frekuensi ( frequency domain ), s dapat digantikan dengan j , sehingga GH(s) dapat dinyatakan sbb :– Bentuk Polar

GH(j) = |GH(j)| ()

• Bentuk EulerGH(j) = |GH(j)| e+jGH(j) = |GH(j)| [cos ()+ j sin ()]

• Bentuk Rectangular ( kompleks )GH(j) = Re GH(j) + j Im GH(j)

Kedua polar plot diatas adalah identik hanya sistem koordinatnya yang berbeda.

Re GH( j)

Im GH( j)

Im GH( j)

Re GH( j)

|GH(j o)|

Koordinat Rectangular Koordinat Polar

• Contoh 1 : Buatlah polar plot dari fungsi alih lup terbuka Gantikan s dengan j.

• Dengan nilai positip yang lain akan diperoleh T.K berbentuk setengah lingkaran dan untuk - < < 0 diperoleh bayangan cermin dari setengah lingkaran yang bawah.

0

ω

0

o

1

2

900)ωj(GHlim : ωuntuk )ωj(GH

452

1)1j(GH

01)0j(GH

ωtan1ω

1

1ωj

1)ωj(GH

• Nyquist PathNyquist path adalah garis tertutup ( contour ) pada bidang s yang mengelilingi / melingkungi seluruh bidang di sebelah kanan sumbu khayal ( imaginair ).Nyquist Path tidak melalui kutub ( pole )

• Persamaan-persamaan pada lintasanab : s = j 0<<o

bc : -900900

cd : s = j o

def : 900-900

)e.ρωj(lims θj0

0ρ

θj

Re.Rlims

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

j

jari-jari

Nyquist Path pada bidang s

X

X

X

Nyquist Path tidak melalui kutub ( pole ) di sumbu tegak

fg : s = j - -o

gh : -900900

hi : s = j -o 0

ija : -900900

• Nyquist Stability Plot– Pemetaan ( mapping ) dari Nyquist path ke bidang GH(s).– Merupakan polar plot dengan sumbunya diganti menjadi riil dan imajiner dari

GH(s).

).(lim 00

jejs

θj

0ρe.ρlims

• Contoh 2 : Buatlah Nyquist stability plot dari

GH(s) tidak mempunyai pole di titik asal (origin) dan di sumbu j, maka lintasan Nyquistnya seperti di bawah ini.

Lintasan ad : s = j 0 < <

j

a e

f

d

Nyquist Path

1

2tan

1

1

1

1)(

j

jGH

Jika GH(j) digambarkan akan menghasilkan plot seperti dibawah ini.

Garis tebal menunjukkan lintasan ad dengan 0<< dan garis putus-putus untuk lintasan fa dengan -<< 0.

0

ω

0

o

900)ωj(GHlim : ωuntuk )ωj(GH

452

1)1j(GH

01)0j(GH

Re GH

Im GH

1GH(j0) = 1

Lintasan def di tak terhingga pada Nyquist path dipetakan ke bidang GH(s) sbb :

dengan +900 -900

Sama dengan polar plot contoh 1 dengan sumbu diganti

θj

Re.Rlims

01R

1lim

1e.R

1lim)(GH

1e.R

1lim)(GH

1e.Rlim

1

1s

1)(GH|)s(GH

RθjR

θjR

θj

R

def

Re GH

Im GH

1GH(j0) = 1

GH( )

ad

fa

def

• Contoh 3 : Buatlah Nyquist Plot dari fungsi alih lup terbuka di bawah ini.

Jawab :

ada 1 pole di origin maka Nyquist Pathnya sbb :

Lintasan ad : s = j 0

)1s(s

1)s(GH

j

ae

f

d

Nyquist Path

X

ij

)1s(s

1)s(GH

Dari hasil contoh perhitungan tersebut dapat dilihat bahwa :Jika frekuensi bergerak naik dari frekuensi 0 , maka :– Magnitude |GH| turun dari 0– Sudut Fasa GH akan turun dari –90o -180o

Karena itu Nyquist Plot tidak memotong sumbu riil positip. Gambar ( a ) merupakan Nyquist Plot dari Nyquist path ad ( lintasan ad ).

o

o

o

jGH

jGH

jjsssGH

1800)(lim

90)(lim

1

tan901

)1(

1

)1(

1)(

0

2

1

• Lintasan fi merupakan bayangan cermin dari lintasan ad. Titik d’ dan f’ bertemu di origin dan merupakan titik di tak terhingga pada Nyquist path sehingga e’ terletak di titik asal (origin).

• Jadi di titik asal (0,0) terdapat bayangan dari lintasan def pada Nyquist path dengan magnitude mendekati nol.

Re GH

Im GH

Re GH

Im GH

naik

d'

a'

d',e',f'

a'

i'

j'

( b )( a )

• Di titik a dan i lintasan berbelok 900, maka gambar di titik a’ dan i’ juga demikian akan berbelok 90o kekanan. Titik a’ dan i’ adalah titik di tak terhingga dan Nyquist plot adalah lintasan yang tertutup, dan titik a’ dan i’ di hubungkan dengan setengah lingkaran.