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8/7/2019 plugin-CursoGeometriaFractal

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Resumen del curso de Introduccin a la Geometra Fractal

El mismo fue dictado en el ao 2003 a travs del sitio www.fractaltec.org y const de 5 clases y

varias charlas en los foros de debate: http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plRecomiendo a todos aquellos que lean este texto por primera vez y les surjan dudas, que hagan

todas sus consultas en dicho foro.

Comenzando

Para introducirnos de lleno en el mundo de los Fractales, lo primero que quierocontarles son las palabras que dan inicio al libro Fractals Everywhere (Fractales entodos Lados) de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y ms importantesdivulgadores e investigadores del tema:

La geometra Fractal cambiar a fondo su visin de las cosas.Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente

la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas,plumas, flores, rocas, montaas, tapices, y de muchas otras cosas.

Jams volver a recuperar las interpretaciones de todos estosobjetos que hasta ahora le eran familiares."

Creen que Michael exageraba? En realidad esa pregunta no la podrn contestar hastaque no hayan finalizado este curso. Una de mis metas es mostrarles que ese prrafosolo refleja la realidad y la visin de miles de cientficos sin importar en queespecialidad desarrollen sus actividades. Esta visin se incrementar ms an en todosaquellos que decidan utilizar programas de computadoras (Fractint por ejemplo) paracomenzar a navegar, crear y descubrir infinitas y hermosas estructuras

matemticas a las cuales llamamos Fractales.

Una importante advertencia que siempre me gusta mencionar al comienzo de todacharla es la de tener un obsesivo cuidado de no ver estructuras fractales donde nolas hay. Uno de los objetivos de este curso es el de reconocer tales sistemas, lo cualprofundizaremos cuando veamos ms en detalle la Teora del Caos. Como decaBarnsley en su impactante prrafo, la imagen de los objetos naturales que nos rodeancambiar de manera contundente, as que la advertencia queda hecha.

Un poco de historiaLos Fractales son los objetos matemticos que constituyen la Geometra de la

Teora del Caos, aunque es importante destacar que no todos los fractales soncaticos como veremos ms adelante. Los objetos fractales fueron creados muchoantes de haberse desarrollado formalmente la Geometra Fractal o la Teora del Caos.De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con caractersticas fractales comola del tringulo de Sierpinski (figura 1) en grabados de tela de hace varias dcadasatrs, hasta en los aos de 1400 se hallaron grabados japoneses con estasestructuras.
http://www.fractaltec.org/http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/


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Figura 1 El tringulo de Sierpinski

El mismo lo estudiaremos con detalle desde el punto de vista puramentematemtico y crearemos los algoritmos para generarlo en clases

posteriores.

Antes de que Newton, Leibniz y colaboradores crearan en el siglo XVII lo que hoyconocemos como Calculus y estudiamos en la facultad como Clculo, AnlisisMatemtico o Clculo Infinitesimal, se conocan funciones con enormes irregularidadesy discontinuidades, pero los cientficos de aquella poca supusieron que esas mismasfunciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgiran en sistemasnaturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemtica tradicional ysimplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones atravs de redondeos, lo cual an hoy en da se continua haciendo con xito en

diferentes sistemas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con unadinmica catica.

Un grupo de matemticos comenz a darse cuenta que en la naturaleza se daba muyseguido el fenmeno de irregularidades y que no eran excepciones como se supona.Los primeros que comenzaron a demostrar tericamente esta problemtica fueronCantor (con su famoso y casi mstico conjunto de Cantor Figura 2) y Peano. Hastallegar a los aos de 1880 con Poincar, al que se lo conoce como el padre de la Teoradel Caos.

Figura 2 Conjunto de Cantor

El mismo tambin lo estudiaremos con detalledesde el punto de vista puramente matemticoy crearemos los algoritmos para generarlo en

clases posteriores.Discutiremos si realmente puede ser

considerado un fractal de acuerdo a ladimensin fractal que posee.

Otra estructura matemtica ya conocida en esa poca y que ms tarde pas a formarparte de uno de los fractales ms reconocidos es el de Koch Snowflake Curve, o lacurva de Copo de nieve de Helge von Koch (figura 3)


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Figura 3 El Copo de Nieve de von Koch Snowflake

En general la primera de estas dos figurasse utiliza para generar los algoritmos yaque es mucho ms sencilla e intuitiva, lasegunda se desprende directamente de laprimera.

Entonces, hasta el momento vimos de manera general como los sistemas dinmicos ycaticos se fueron introduciendo en el pensamiento de la comunidad cientfica y comofueron surgiendo nuevas necesidades para reformular teoras y crear nuevasherramientas que pudieran describir sistemas que hasta ese entonces eranconsiderados excepciones y a los cuales se les realizaban diferentes aproximaciones yse les aplicaban diversos trucos matemticos para ajustarlos a las herramientasdisponibles en esos tiempos. Ms adelante veremos los problemas que surgen alaplicar estos tipos de tcnicas de aproximacin y omitir variables y detalles que con eltrascurso del tiempo pueden derivar en sistemas caticos y totalmente impredecibles,pero no nos adelantemos.

Hemos visto tambin que objetos con estructuras que hoy reconocemos como fractaleshan existido durante muchos aos, como ser todas las figuras anteriormentemencionadas, y es por ello que diversos libros y autores difieren al contarnos lahistoria de cmo surgi esta rama de la matemtica.

A pesar de toda esta introduccin an no les he contado como nacieron los fractales nicomo fueron formulados tericamente.

Como surgieron los Fractales

No fue hasta el ao 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los

laboratorios de IBM para hacer un anlisis del ruido y perturbaciones elctricas.Mientras realizaba dichos estudios encontr un patrn en su comportamiento y por lotanto comenz a descifrar una estructura escondida. Algo as como jerarquas defluctuaciones en todas las escalas (lamento no poder detallar ms este tema debido amis pobres conocimientos en el rea de electrnica, al menos por el momento!). Loque s es cierto es que esas fluctuaciones no podan ser descriptas por la matemticaestadstica que exista. Mientras segua adelante con sus tareas empez a imaginar enque otros sistemas podra encontrar patrones similares que no puedan ser descriptoscon exactitud por la matemtica existente y que se comportaran de igual manera. Su


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visin lo llev a hacerse una pregunta que para la mayora de nosotros puede resultarobvia y hasta para muchos otros ser trivial, o en el mejor de los casos sin sentido. Sufamosa pregunta fue: Cunto mide realmente la costa de Inglaterra? Ok, cualquieraque tome un libro de geografa o un mapa va a poder contestar esto sin ningn tipo deproblema. Imaginemos que el dato que encontramos es de 2.000 kilmetros (noconozco el valor real). Ahora bien, esos 2.000 KM., de donde provienen? Cmo se

midieron? Para contestar esto voy a proponer tres situaciones diferentes, con distintospuntos de vista:

1)Si medimos las costas de Inglaterra desde un satlite, vamos a ver quesus bordes son suaves, armnicos, con lneas casi rectas y ngulosprcticamente redondeados.

2) Probemos ahora medir la misma distancia, pero desde un avin quevuela mucho ms bajo que el satlite. Qu pasa en este caso? Ahora quevemos las cosas con ms detalle por estar ms prximos, nos damoscuenta que los bordes no eran en realidad tan suaves como se habaobservado anteriormente, sino que notamos muchas ms rugosidades.

3)Imaginemos por ltimo un tercer punto de partida, algo extremista, perovale. Esta vez no estamos ni en un satlite, ni en el avin; esta vez nosencontramos parados sobre la misma costa de Inglaterra con una reglacomo la que usbamos en la escuela, y nos ponemos a medir roca por

roca, rugosidad por rugosidad, detalle por detalle.

Cul creen que ser el resultado de las distintas mediciones? Siempre habr arrojadoel mismo resultado? Si fue variando, cul habr sido el de mayor extensin? Serabueno que antes de seguir leyendo sacaran sus propias conclusiones y lasjustificaciones de por qu pasa eso.

La realidad y la geometra tradicional nos muestra que una figura con bordes rectos oredondeados tiene una longitud menor que otra equivalente pero llena de rugosidades.Comparemos por ejemplo un crculo perfecto con la figura que vimos anteriormente devon Koch, (figura 3-B). La segunda tiene una longitud mucho ms grande en susbordes que la circunferencia. Teniendo en cuenta esto volvamos al caso de la costa deInglaterra y la pregunta de Mandelbrot. Si acabamos de decir que una longitud sinrigurosidades es menos extensa que una totalmente irregular, entonces podemosasegurar que los resultados de las 3 mediciones sern en todos los casos diferentes, yel de mayor extensin ser el tercer caso, ya que es en el cual nos topamos con msdetalles. En realidad el resultado de este ltimo caso se acercara a infinito en el marcoterico.

De qu dependern nuestras mediciones, entonces? Justamente de la escala queutilicemos para medirlas, y no es para nada una casualidad que estas deducciones sedesprendan de los mismos patrones que encontr Mandelbrot en sus estudios sobreflujo electrnico, recordemos: jerarquas de fluctuaciones en todas las escalas. Esasescalas como Mandelbrot reconoci posean un patrn, y ese patrn las relacionabadiciendo que si bien no eran iguales a diferentes escalas, si lo eran de maneraestadsticamente similar, y sta es una de las caractersticas principales de losfractales ya que mismo pasaremos a estudiar.


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Qu son los Fractales?

Cada vez que uno toma un libro sobre Geometra Fractal y busca una definicin clarasurgen por algn motivo diferentes enunciados. Lo que personalmente sospecho queno se trate de un problema de exactitud, sino que se requiere de tal abstraccin paracomprender el concepto de Fractal que los puntos de vista varan drsticamente porms que se est hablando de lo mismo, es ms, tengo entendido que hasta el mismoMandelbrot no est 100% conforme con la definicin. Otra consecuencia puede llegar aser que la Geometra Fractal se ha trasformado en una herramienta multidisciplinariautilizada por cientficos, artistas, psiclogos, socilogos, etc ... entonces, unmatemtico no va a dar una definicin de la misma forma que la dar un programadorde computadoras o un artista plstico. Por lo tanto, para poder contarles que es unfractal, y al ser este que nos rene un grupo multidisciplinario, decid enunciar unconjunto de definiciones y pensamientos y al final intentar unirlos todos para que juntocon mi propia visin, poder formular una definicin lo ms clara y contundente posible.

Por el momento entonces solamente voy a enumerar una serie de frases sueltas:

1) Los Fractales son los objetos matemticos que conforman la Geometra de la Teora del Caos.

2) La Geometra Fractal es tambin conocida como la Geometra de la Naturaleza.

3) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latn y significa roto, quebrado. (estose asocia con las discontinuidades de funciones matemticas que mencionaba en prrafosanteriores).

4) La Geometra Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demsobjetos de la geometra tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales

que permiten describir sistemas naturales, caticos y dinmicos.

5) Los Fractales son objetos cuya dimensin es no entera o fraccionaria.

6) Un objeto fractal es aqul que su dimensin fractal de Hausdorff -Besicovich supera a sudimensin topolgica.

7) Un objeto fractal es aqul que posee las siguientes dos caractersticas:

a) Autosimilitud,b) Dimensin Fractal

8) Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen alguna relacin con el todo. (esto estntimamente ligado a la Autosimilitud)

Bien, cualquiera de estas ocho definiciones es correcta. Algunas son ms completas,otras ms tcnicas y otras aportan tan solo meros datos pero no llegan a serdefiniciones con todas las de la ley.


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Veamos algunas en particular. Comencemos con la primera; cada teora o leymatemtica posee sus propias herramientas que la soportan y la describen. Las mscomunes son la geometra euclidiana, el lgebra, o el mismo clculo, este ltimo enespecial se da en la Fsica. La teora del Caos no es la excepcin a la regla, y sesustenta, entre otras cosas, sobre la Geometra Fractal.

La segunda nos dice, que a la Geometra Fractal se la conoce como la Geometra de laNaturaleza, y este caso no lo voy a explicar con palabras, sino con imgenes:

Sigamos adelante.

a) Autosimilitud:

Cada porcin de un objeto tiene las mismas caractersticas del objeto completo.Tambin se puede decir que cada rea de un fractal conserva, de maneraestadsticamente similar, sus caractersticas globales.

Pero veamos un ejemplo grfico, con el conjunto de Mandelbrot, el fractal msconocido.


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La primera de estas cuatro imgenes es el conjunto de Mandelbrot en su estadooriginal, o sea, sin ninguna iteracin, o para que se entienda mejor, sin haber hechoningn ZOOM dentro de la imagen. Las siguientes figuras se generan ampliando unsector del fractal y viendo que se encuentra dentro. Por ejemplo, a la segunda se lehizo un ZOOM, a la tercera cinco ampliaciones consecutivas y por ltimo a la cuarta sele aplicaron 10 ZOOM. Ntese que estoy hablando de un ZOOM inicial en un readeterminada, si hubiese elegido otro lugar de fractal donde comenzar a interactuar,hubiese generado imgenes distintas, pero al mismo tiempo estadsticamentesimilares, sin importar la porcin del fractal designado.

Muy importante, noten que no uso la palabra ZOOM con el significado de ampliacin de

la imagen, sino es solo para dar una idea figurativa, lo que realmente se hace con unsoftware para generar fractales es iteraciones! Lo veremos ms adelante. Perobsicamente digo que cada vez que elijo un trozo de imagen para ampliar dentro deellas encuentro infinitas imgenes similares.

Es tarea de cada uno de ustedes encontrar regularidades en esas imgenes. Cuandolas hayan detectado encontrarn patrones similares, eso es justamente laAutosimilitud, caracterstica fundamental de los fractales, aunque veremos que notodos la poseen.


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b) Dimensin Fractal:

En matemtica estamos acostumbrados a trabajar concuatro dimensiones, que son las siguientes:

- Dimensin 0 ---- Un punto

- Dimensin 1 ---- Una lnea recta

- Dimensin 2 ---- Un plano

- Dimensin 3 ---- El espacio

Existe una quinta que es la de un conjunto vaco, se diceque el mismo posee una dimensin de 1.

Hasta aqu hemos recorrido un camino relativamente largo e intenso para llegar tansolo a poder encontrar una definicin lo ms justa posible de la Geometra Fractal yque englobe varios temas abstractos y tal vez nada intuitivos. As que ac va el primerensayo para una posible definicin:

La Geometra Fractal, llamada tambin "Geometra de la Naturaleza",es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a travs de

algoritmos matemticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos,

rectas, circunferencias y dems figuras provenientes de la matemtica tradicional.Estos objetos tienen como caractersticas fundamental las propiedades deAutosimilitud

y la de convivir en extraos paisajes formados por dimensiones fraccionarias.

Quiero contarles tambin que hoy en da la Geometra Fractal ha avanzado a pasosgigantescos, no se olviden que fue concebida hace tan solo 30 aos y ya se aplican aestudios en medicina, sobre todo en las reas de cardiologa y neurologa (estos dossistemas representan justamente la eterna lucha entre el Orden y el Caos, eneconoma en estudios burstiles, en psicologa, en sociologa, biologa, en computacinen el rea de Algoritmos no lineales para Criptografa, y obviamente en matemtica,fsica y qumica donde se estn reformulando gran cantidad de teoras conocidas hasta

el momento.

Algunos sistemas naturales reconocidos como caticos y descriptos a travs de losFractales pueden ser: todo lo relacionado con turbulencias, ya sea en el aire o agua;todo lo referido a ramificaciones, como ser redes neuronales, ros; propagaciones depoblaciones y enfermedades; estructuras montaosas y vegetales.

Bien, ahora nos toca estudiar de una manera ms detallada cada uno de estosaspectos.


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Distintos tipos de Fractales

Dijimos que los Fractales tienen dos caractersticas fundamentales, ellas son:

1) Autosimilitud2) Dimensin Fractal

Anteriormente habamos definido Autosimilitud como la caracterstica que presentandeterminados objetos en los cuales los detalles ms pequeos que lo componen tienenalguna relacin estadstica con sus propiedades globales, repitindose tales detalles deuna manera infinita.

Comencemos ahora con otras cuatro propiedades que se encuentran ocultas en esadefinicin:

1) Existen dos tipos bien definidos de fractales. Los LINEALES y los NOLINEALES. Estoy seguro que intuitivamente y con las imgenes que hayanvisto con anterioridad en diferentes galeras los podran reconocer sin problema.De hecho uno de los participantes del curso, Geova, plante que hace untiempo haba creado los algoritmos y programas de manera autodidacta paragenerar fractales como el Tringulo de Sierpinski y la Curva de von Koch, y queotros como el Conjunto de Mandelbrot no le haban salido fcilmente. Bueno,los primeros fractales son justamente los lineales y se generan a travs dealgoritmos conocidos por la matemtica eucldea, el Conjunto de Mandelbrot se

genera a travs de nmeros complejos, y tiene una dificultad mucho mayor.Igualmente ahora les voy a contar sus diferencias y a dar ejemplos, muchos deellos ya conocidos por ustedes.

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio enla variacin de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractaleslineales son exactamente idnticos en todas sus escalas hasta el infinito. En unrato cuando estemos construyendo fractales espero que quede ms claro. Por elmomento aqu van los ejemplos.

A-Conjunto de Cantor BCurva de von KochC-Tringulo de


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Sierpinski

En cualquiera de las tres imgenes anteriores cuando uno comienza asumergirse dentro de esos objetos siempre va a encontrar exactamente lamisma estructura, sin distorsiones, solo cambiar su escala. (comparar con lasdistorsiones sufridas a diferente escala en el Conjunto de Mandelbrot vistoanteriormente. En la primera, por ejemplo, siempre encontraremos una lnea recta,en el tercero siempre un tringulo a diferentes escalas, y en la segunda unaestructura como muestra esta imagen:

Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir dedistorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un trminoproveniente de la matemtica Catica, distorsiones no lineales. La mayora de losobjetos fractales puramente matemticos y naturales son no lineales. Ejemplos de

ellos son: el sper conocido por todos nosotros Conjunto de Mandelbrot (figura 2-A) o el Conjunto de Julia (figura 2-B).

Figura 2-A Figura 2-B Figura 2-C

2) De esta ltima propiedad (1) que hemos visto, podemos sacar una conclusinsumamente importante, y a la que hay que prestarle MUCHA atencin.

Los Fractales pueden ser generados a partir de elementos dela matemtica tradicional (fractales lineales), o a travs de nmeroscomplejos. Estos ltimos seguramente los han estudiado en la secundaria.

De hecho, el conjunto de Mandelbrot se genera a travs de iterar una ciertacantidad de veces la ecuacin compleja:

Zn+1 Zn^2 + C Donde Z^2 significa Z al cuadrado. Elsmbolo ^ se utiliza para representar una potencia, y donde Z y C son nmeroscomplejos.

Todo lo que viene ahora para explicar como se utiliza esta ecuacin no es necesarioque lo entiendan aquellos no interesados en la parte matemtica, pero si considero


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muy importante que sepan que el Conjunto de Mandelbrot, al igual que los demsfractales no lineales tienen su origen en los nmeros complejos.

Para recordar un poco las propiedades de estos nmeros, digamos que sedividen en dos partes, una real y una imaginaria. A la parte imaginaria la

denotamos con ilo cual es igual aRecordemos tambin que los complejos pueden escribirse de varias maneras,en este caso nosotros usaremos la forma binmica, donde si (2 + 3i) es unnmero complejo, entonces 2 es su parte real y 3 es su parte imaginaria.

Vamos a analizar ahora la ecuacin de Mandelbrot:

Dados dos nmeros complejos Z y C (los mismos que estn en la ecuacin) ydonde:

Z = X + Yi

C = a + bi

La ecuacin nos dice que elevemos Z al cuadrado y luego le sumemos C,hagmoslo entonces

Z^2 = (X + Yi)^2 = X^2 + 2XYi + (Yi)^2

Por potencies sucesivas de los nmeros complejos sabemos que i^2 = -1, porlo tanto nuestra expresin nos quedara:

X^2 + 2XYi Y^2

Ya tenemos la primera parte, Z^2, ahora nos toca sumarle el complejo C:

X^2 + 2XYi Y^2 + a + bi

Para sumar lo que debemos hacer es agrupar la parte real y luego la partecompleja, entonces tendramos:

X^2 Y^2 + a+ 2XYi + bi

He puesto en color rojo la parte real (X) y en azul la parte imaginaria (Y)

Ya tenemos la expresin final de la ecuacin que genera el Conjunto deMandelbrot, lo que debemos hacer ahora iterarla, para ello, hay que elegirjustamente, el nmero de iteraciones. Los fractales matemticos perfectos ytericos tienen un nmero infinito de iteraciones y detalles. Ahora retomo estetema!

3) Qu son las iteraciones? Es repetir y volver sobre s mismo una ciertacantidad de veces. En el caso de los fractales lo que iteramos son frmulas o


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ecuaciones como la que recin hemos visto para generar el Conjunto deMandelbrot. Cmo iteramos esas frmulas? sera la siguiente pregunta. Bueno,la respuesta es sencilla, hacerlo realidad es ms complicado. Lo hacemosmediante algoritmos.

Alguien se pregunt alguna vez por que los fractales no se crearon

anteriormente? Creo que la respuesta adecuada a ello est ligado directamenteal desarrollo de las computadoras, sin ellas los fractales no existiran. Iterar yhacer estos clculos con lpiz y papel resultara en una complejidad que nadiepodra resolver (quizs Cantor).

Como deca hace un instante, los fractales tericos tienen detalle infinito. Porejemplo si nos adentramos en el tringulo de Sierpinski siempreencontraremos otro tringulo con las mismas caractersticas que el anteriorpero a diferente escala (diferente tamao), eso significa que est iteradoinfinitas veces. Esto es algo que no podemos experimentar, ya que crear unalgoritmo de iteracin infinita hara que una computadora se tildase. Por ello, sialguno ya us algn software como el Fractint, Ultrafractal, o cualquier otropara generar imgenes fractales, habr notado que llega un momento en que la

pantalla irremediablemente se queda en negro o blanco. Si son observadoresdeberan haberse preguntado por qu pas eso si los fractales en teora tienendetalles infinitos y siempre deberamos encontrar una nueva imagen. Bueno,esto se debe justamente a lo que hablbamos recin, todava no se han podidoescribir programas con iteracin infinita. (al menos hasta donde yo s)

Esto ltimo pasa en la Naturaleza tambin, como ya vimos existen variossistemas que tienen caractersticas fractal, autosimilares, como ser rboles,ros, neuronas, etc. Si vemos un rbol en su totalidad, y luego tomamos unarama, sta ltima tendr caractersticas muy similares al rbol en su totalidad.En la misma rama podemos otras ms pequeas y en ellas a su vez otras mschicas an. Esas caractersticas transforman a un rbol en un objeto fractal.

Pero llega un momento en que ya no hay manera de seguir descomponiendo larama de un rbol. Por lo tanto no sera un fractal perfecto, que como ya hemosdeducido hace un momento solo existen en el campo terico.

4) Dijimos muy superficialmente que todos los fractales DEBEN tener unadimensin fractal (prximo tema), pero no todos los fractales son autosimilares,estos ltimos son los menos, pero es necesario mencionarlos.Un ejemplo de ellos son los fractales plasmticos, y tienen una forma muyindefinida. Veamos una imagen.


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Imagen de un fractal plasmtico. Generado con el Fractint

Dimensin Fractal

Ahora nos toca entrar de lleno en el que tal vez sea el concepto msimportante, y en el cual ms esfuerzo debern hacer para comprender, para ellotendrn que dejar de pensar en la matemtica tradicional por un momento yadentrarse en las geometras no-Eucldeas.

Ya hemos visto que los fractales DEBEN poseer una dimensin fractal (aunqueesto es relativo, hay fractales que poseen dimensin fractal igual a 2 y an as sonfractales). Entonces, la dimensin fractal debera ser:

- 1) no entera

- 2) su dimensin de Hausdorff debe superar sudimensin topolgica.

Recin hice una aclaracin que hay fractales que poseen dimensin entera, lo cualaparenta ser una contradiccin, pero hay que aclarar que si bien ellos no cumplen conel punto 1), si cumplen con el 2), es el tpico caso de la curva de Peano o de Hilbert,que parte de una curva, cuya dimensin topolgica es 1, y termina llenando elespacio, cuya dimensin es 2. Por lo tanto, la dimensin final es de 2, mayor a 1 sudimensin topolgica. Aclaramos tambin que cumple la caracterstica deautosimilitud.

Curva de Hilbert


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Recordemos que las dimensiones topolgicas son 5:

- Dimensin (-1) -- Un Conjunto Vaco

- Dimensin 0 -- Un punto

- Dimensin 1 -- Una lnea recta

- Dimensin 2 -- Un plano

- Dimensin 3 -- El espacio

Como los fractales estn compuestos por elementos cada vez ms pequeos de smismo (Autosimilitud), el concepto de longitud pasa a ser algo muy complejo y hastacasi sin sentido, de esta manera el concepto de dimensin comienza a jugar un papelfundamental. De ahora en adelante no deberamos preguntarnos cuanto mide unfractal, sino cual es su dimensin.

Calcular la dimensin fractal de un objeto puede ser una tarea por dems complicada,de hecho hay muchos fractales a los que an no se les ha podido calcular su dimensincon precisin. Es todo un tema de debate la dimensin fractal de la corteza del cerebrohumano por ejemplo, aunque se dice que ronda los 2.8... Para poder comprender estosnuevos conceptos voy a trabajar ahora con fractales lineales, lo cual va a resultarmucho ms sencillo que con los no lineales, ya que como acabo de mencionar, estosltimos pueden resultar muy tediosos y se necesitan otras tcnicas, la ms famoso yexacta sea quizs el box counting mtodo (el mtodo de conteo de cajas). Existe unsitio, que da una introduccin y tutorial sobre este mtodo, y adems tiene unEXCELENTE software libre para bajar y calcular la dimensin de diferentes fractales no-

lineales o lineales. La URL de la pgina es:http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/y el programa FDC (Fractal Dimensin Calculador) es:http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/fdc_linux.tar.gzaconsejo tambin bajarse los ejemplos TGA.Por lo que se este software esta disponible para Linux y Mac, pero seguramente existealgn otro para WIN.Cualquier duda que tengan sobre este mtodo, no duden en consultar en los foros deFractalTec: http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl

Sigamos, por le momento, tengamos presente que partiendo de una dimensin entera,debemos llegar a una no entera.

Es una lnea recta un fractal?Espero que todos hayan contestado que NO!

Que debe pasar entonces para que no lo sea?
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/fdc_linux.tar.gzhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/fdc_linux.tar.gzhttp://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/


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Espero que todos hayan contestado que su dimensin topolgica coincide con la deHausdorff Besicovich o a lo sumo es menor que ella. Si alguno de ustedes tuvo algntipo de inconvenientes para responder estas dos preguntas, sugiero que antes deseguir leyendo repase las definiciones de dimensin que vimos anteriormente.

Probemos esto:

Tomamos un lnea recta.

Ahora debemos medirla, para ello necesitamos un instrumento y una escala.Imaginemos que tenemos una regla de 1 metro de longitud, y que justo la distancia deesa recta es de un metro. Obtengo lo siguiente:

- Un Segmento S - S = 1 (nuestra escala)

- Una Longitud L --> L = 1 metro (una vez nuestra escala de medicin)

Vamos ahora a otra posibilidad. Como habamos hablado en el ejemplo de las costasde Inglaterra, si por algn motivo necesitamos ms precisin en nuestra medicin,debemos elegir entonces una escala menor

Supongamos ahora, que tenemos la misma recta, pero esta vez tomamos unelemento de medicin que sea justamente la mitad del anterior.

Nuestras mediciones ahora reflejan los siguiente resultados:

Dos Segmentos - S = 2

Longitud 2L - L = 2 (dos veces nuestra escala de medicin)

Esto significa que si tenemos la recta original de 1 metro, y la medimos con una regla

de 50 cm. obtendremos 2 segmentos de 50 cm cada uno, o sea, dos veces nuestraescala de medicin.

Llegamos a la parte ms importante de lo que va del curso. Que es definir laDimensin Fractal, pero esta vez expresada matemticamente. Para ello utilizaremoslas mediciones de las rectas que realizamos hace un momento. Pero antes pensemosun poco. Resulta muy fcil para nosotros decir que la dimensin de una recta es 1, lade un plano es 2 y el espacio donde vivimos es 3, pero de que hablamos realmentecuando hablamos de dimensin? Cmo la definimos? Realmente no me ha resultado


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nada fcil encontrar una definicin clara para contarles, por lo tanto har mi mejoresfuerzo.

La dimensin est directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la dimensines 0, solo podra existir ah un punto inmvil, y sin lmites. Si en cambio la dimensines 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de moverse de

izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensin es 2 tenemos un plano, con 2grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y de arribahacia abajo, y obviamente en diagonales. Por ltimo, si la misma es 3 estamos en unasituacin como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de libertad que es laprofundidad.

Existen varias definiciones ms precisas pero tambin complejas, pero considero estasideas suficientes. Ahora voy a hacer es darles la expresin matemtica para calcularuna dimensin. La misma es: (noten que S y L son las letras que us anteriormentecuando estaba hablando de las dimensiones de la recta).

S = LD

Donde Ses la cantidad de segmentos o su longitud

L es la escala de medicin

D es justamente la Dimensin.

Bien, por ahora es una definicin, no hay mucho por explicar.

Seguramente todos recordarn del secundario como se despeja una incgnita de unaecuacin. Por ejemplo, si tenamos X + 1 = 2 nos quedaba queX = 2 1 por lo tanto x = 1

Si tenamos X^2 = 4 , nos quedaba que el mdulo de X es igual a la raz cuadrada de4 .... Por lo tanto X = 2 X = -2

Ahora tenemos algo un poco ms complicado para despejar (solo para aquellos quehace tiempo que no estn relacionados con la matemtica) Tenemos:

S = LD

Para poder despejar la D, justamente lo que deseo averiguar, voy a aplicar logaritmoa ambos miembros de la igualdad:

Log S = Log LD

Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:

Log S = D* Log L (* denota multiplicacin)

Por ltimo divido ambos miembros por Log L y obtengo:

D = Log S / Log L (/ denota divisin)


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Ya tengo la expresin final para calcular cualquier dimensin. Ntese que enningn momento hasta ahora us propiedades fuera de la matemtica tradicional.

Volvamos a nuestro ejemplo de las rectas que medimos anteriormente. En la primeraexperiencia la longitud del segmento (L) era de un metro, o sea 1 ... y la cantidad desegmentos (S) tambin era 1, por lo tanto nuestra ecuacin quedara:

D = Log 1 / Log 1 -- D = 1

Aqu tenemos un problema, Log1/Log1 es una indeterminacin del tipo 0/0. Por lotanto no podemos utilizar esta frmula, deberamos seguir.

Que pasa en nuestra segunda parte de la experiencia de medicin. Tenemos ahoraque

L = 2 y S = 2. Por lo tanto:

D = Log 2 / Log 2 -- D = 1

Coinciden ! ! ! Y adems como era de sospechar la dimensin de una recta es siempre1 sin importar que escala usemos. Si hubisemos elegido una escala de 3 nosquedaba:

D = Log 3 / Log 3 Lo cual obviamente es 1

Y para generalizar, si hubisemos elegido una escala n

D = Log n / Log n Lo cual tambin es 1. Con n distinto de 0.

Como conclusin final hemos probado que una recta NO es un fractal. Anlogamentese prueba que un cuadrado tampoco lo es, la dimensin ser igual a 2 (coincide con elplano) y un cubo tampoco es un fractal, su dimensin es 3 (coincide con el espacio) Selos dejo como ejercicio!

Ahora lo que todos estaban esperando. Cmo es la dimensin de un fractal?

Para ello vamos a volver a tomar un fractal amigo y ya conocido por todos ustedes. Lacurva de von Koch.

Un fractal se genera en tres etapas. En la primera de ellas elegimos una figurageneradora. En nuestro caso ser una lnea recta, pero generalmente se puede elegircualquiera, ese es un tema ms avanzado y se estudia en lo que se llaman IFS.Seguimos, despus aplicamos un algoritmo, y por ltimo comenzamos a iterar la figuraresultante luego de haberle aplicado dicho algoritmo. Entonces las etapas quedaranresumidas as:


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1) Imgen generadora

Imagen 2-a

2) Aplicacin del algoritmo

Imagen 2-b

3) Se comienza a generar elfractal.

(Iteracin)

Imagen 2-c

Traducido al lenguaje coloquial, diremos que tomamos una lnea recta, le aplicamos unalgoritmo tal que al apoderarse de esa misma recta la divida en tres segmentosiguales, una vez hecho eso, quiero que el algoritmo elimine el segmento del centro y loreemplace por otros dos, formando as un tringulo como muestra la segunda instancia(imagen 2-B). Hasta ah los dos pasos de generacin, ahora comienza la iteracin. Ycada iteracin har exactamente lo mismo, o sea, lo que le indique el algoritmo. Cadavez que vea una lnea recta, la tomar y la dividir en tres partes iguales, eliminar el

segmento del medio y lo reemplazar por otros dos iguales formando un tringulo. Esms difcil de explicar con palabras que vindolo grficamente.

Volvamos ahora s a lo que ms nos importa, que es calcular la dimensin de la curvade von Koch.

En este caso nuestra L es 3, ya que dijimos que el algoritmo dividira nuestraimagen generadora en 3 segmentos iguales (lo mismo ocurra cuando dividamosla recta en dos segmentos iguales, L era igual a 2). Y aqu aparece la gran novedad.Nuestro algoritmo toma una de esos segmentos y lo transforma en dos. Por lo tantonuestra S no ser 3, sino 4 (ver imagen 2-B). Y aplicando la frmula de dimensinobtenemos:

D = Log S / Log L

D = Log 4 / Log 3 --------- D = 1.26185..

Hemos obtenido una dimensin fraccionaria, no entera! Y adems supera la dimensintopolgica de nuestra imagen generadora que es 1.

Por lo tanto, y sin ningn lugar a dudas, la curva de von Koch es un fractal


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Veamos ahora, y por ltimo en esta segunda clase, que pasa con el Conjunto deCantor. Anteriormente les dije que tena una propiedad que era interesante debatirpara ver si se lo puede considerar como fractal o no. Aqu que les muestro esapropiedad y luego lo discutimos.

Traigamos frente a nuestros ojos nuevamente la figura 1-A

Tenemos otra vez como imagen generadora una lnea recta (se genera de arriba haciaabajo). Estudien con detalle lo que ven y notarn que ahora S = 2 y L = 3. Por elcontrario de lo que sucede con el Conjunto de Cantor, el algoritmo nos divide ahora larecta en 3 segmentos iguales, pero elimina a uno de ellos y no agrega nada comosuceda antes. Por lo tanto tenemos:

D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............

Bien, obtuvimos una dimensin fraccionaria. Pero que cambi? Ella es menor que sudimensin topolgica correspondiente a 1 por ser una lnea recta su generador. Esto esalgo que le preocup a Mandelbrot, pero expertos en fractales consideran igualmenteal Conjunto de Cantor, y a otros con estas particularidades, como fractales.Personalmente las excepciones me molestas y preocupan bastante, si bien es cierto

que tiene una autosimilitud perfecta, por su dimensin yo optara por no considerarloun fractal.

Dimensin Fractal del Triangulo de Sierpinski

Espero que entiendan por que propongo lo siguiente:

D = (log 3)/(log 2) = 1,58496

Bien, aqu hay que notar algo sumamente importante y muy confuso para la mayora.La dimensin fractal que obtuvimos es no entera. Hasta ah perfecto. Ahora, estadimensin es superior o inferior a su dimensin topolgica? La respuesta es que esSUPERIOR, ya que la dimensin topolgica de un tringulo (sin su relleno) es igual a1. La explicacin es que un tringulo puede formarse manipulando una lnea recta,


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no pasara lo mismo si el tringulo estuviese relleno.Entonces, el tringulo de Sierpinski cumple los dos punto de dimensin fractal, yadems es Autosimilar, por lo tanto, es un fractal.

La misma explicacin se aplica a las curvas de Peano y Hilbert que discutanteriormente, parten de una curva, la cual tiene dimensin topolgica igual a 1!!!

Esta misma queda determinada por:

D = log 9 / log 3 = 2

Imag. Hilbert A

Forma de generar la curva de Hilbert:

Imag. Hilbert B

Forma de generar la curva de Hilbert:

Noten que tenemos 9 segmentos de 1/3de longitud cada uno.

De ah viene el log9/log3

El motivo por el cual la dimensin fractales 2, es porque si hacemos una Iteracinhasta el infinito, esta curva llenar porcompleto el plano.

Noten tambin que el grafico del cuadroanterior es este son diferentes. Eso pasa,porque hay MUCHAS variantes de estascurvas.

En la primera imagen Imag. Hilbert Avemos ms fcilmente como se llena en

espacio. En la segunda, Imag. Hilbert Avemos mas fcilmente por que sudimensin topolgica es igual a 1.

Ms sobre la curva de Hilbert:http://www.fractalus.com/kerry/tutorials/hilbert/hilbert-tutorial.html
http://www.fractalus.com/kerry/tutorials/hilbert/hilbert-tutorial.htmlhttp://www.fractalus.com/kerry/tutorials/hilbert/hilbert-tutorial.html


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NOTA: por ltima vez quiero recalcar que nos fue fcil calcular estas dimensionesporque pertenecen a fractales lineales, pero la idea es llegara comprender los fractalescomplejos o no lineales ya que son las estructuras que se presentan en la Naturaleza,para eso recomiendo que profundicen en el box counting method que mencionanteriormente.

Ms consideraciones sobre la Dimensin Fractal, Autosimilitud yCaractersticas Fractales.

Ahora me gustara realizar algunos comentarios y hacer un breve resumen de lo quehemos visto en la primera etapa, e intentar aclarar algunos conceptos que podranresultar algo confusos.

1) En primer lugar dijimos que los Fractales forman parte del estudiomatemtico de la Teora del Caos, proporcionndole herramientas

geomtricas de gran valor por describir sistemas naturales con granrealismo y detalle.

2) Luego dijimos que los fractales se caracterizaban por dos propiedadesfundamentales:

- Autosimilitud- Dimensin Fractal

3) La Autosimilitud la dividimos en dos partes. Perfectamente Similar para los

fractales lineales y Estadsticamente Similar para los fractales complejos.Dijimos tambin que existen fractales que pueden no tener Autosimilitud,como ser los fractales plasmticos.

En los foros de debate (http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl ) surgieron varios temas con referencia a laAutosimilitud, y uno de ellos es si determinadas funciones matemticastradicionales pueden llegar a ser fractales. Como por ejemplo la funcinpropuesta fue Seno de X. Estoy seguro que dicha funcin no tiene dimensinFractal, por lo que en primer lugar podra asegurar que no lo es. Peroigualmente sera interesante analizarlo desde el punto de vista de laAutosimilitud. Veamos estas imgenes:
http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.plhttp://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl


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Fig. 1-A Fig. 1-B

En la figura 1-A vemos la funcin Seno de X entro los valores 0 y 2. En la figura 1-Bobservamos la misma funcin pero esta vez entre -/2 y /2. Qu conclusionespodemos sacar de aqu? En primer lugar diremos que con seguridad no es un Fractallineal, ya que la Autosimilitud no es perfecta. Desde mi concepto personal deAutosimilitud tampoco lo veo estadsticamente similar. Qu ven ustedes?

(Recuerden que ya dimos por sentado que no era un Fractal debido a que no tenadimensin Fractal, que solo estbamos analizando su Autosimilitud por una inquietudque surgi.

Sobre la Teora del Caos

Ya tenemos un panorama bastante grande de los Fractales, ahora nos toca abordardeterminados aspectos de la Teora del Caos.

El ttulo solo nos da un panorama de lo que veremos a continuacin: CAOS. Este tematiene adems un fuerte trasfondo filosfico. Preguntas tales como: Juega Dios a los

dados? Haciendo alusin al azar con que se presentan los hechos en la Naturaleza; eleterno enfrentamiento entre el Orden y el Caos, o el Reduccionismo y Determinismo yfiguras tales como la Entropa de la mecnica clsica y termodinmica; todos unidosconforman un combo explosivo que llevan a enunciar postulados de lo que hoy se loreconoce como una Nueva Ciencia.

Antes de las definiciones, voy a dar un par de conceptos que considero son claves.

Los Fractales implican Caos, pero el Caos no implica Fractales.

Aclaracin a este primer concepto. Aqu estoy hablando de los fractales que sepresentan en la vida cotidiana, en la naturaleza, en los sistemas biolgicos, fsicos o

sociales, en otras palabras, los fractales no lineales o complejos. Es fcil ver quelos fractales lineales son perfectamente previsibles y deterministas.

Veamos, la Geometra Fractal es tan solo una pequea parte de la Teora del Caos,esta ltima se basa en una diversidad muy grande de herramientas matemticas quevan mucho ms all de los Fractales. Si, como hemos visto anteriormente, aquellossistemas no lineales o caticos que tengan Autosimilitud y una dimensin fraccionariasern estudiados por la Geometra Fractal, pero no todos los sistemas caticos poseenestas cualidades, por lo tanto se requiere otro tipo de tcnicas para estudiarlos.


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Diferencia entre la Matemtica tradicional y la Teora del Caos

Cuando estudiamos en Fsica materias como Mecnica Clsica, nos topamos conecuaciones tales como:

X = Xo + Vo t + a t2

la cual nos da por resultado la posicin de un objeto que viaja a una velocidaddeterminada en un tiempo y con una aceleracin dada.

O las muy famosas leyes de Newton, como por ejemplo la segunda que nos dice:

F = m a

Ella nos muestra que el valor de la sumatoria de todas las Fuerzas es igual a la masamultiplicada por la aceleracin.

Lo que intento dejar en claro con estos ejemplos es que, segn la matemticatradicional, conocidas tales condiciones iniciales puedo saber con exactitud como seva a comportar un cuerpo o un sistema a lo largo del tiempo. En teora, si conozcodonde se encuentra un cuerpo, a que velocidad se mueve, que aceleracin posee y enque trayectoria se desliza, voy a poder saber sin problemas donde va a estar y quecaractersticas tendr su movimiento en el tiempo que yo elija. Tanto en el pasadocomo en el futuro.

Es bueno hacer una aclaracin sobre el tiempo en este momento. La Teora del Caos,y de la mano de Prigogine, habla sobre la Flecha del Tiempo concepto fundamental deesta nueva teora. Esta nos dice que el tiempo es irreversible. La mecnica clsica nodiferencia entre presente y pasado, como veamos en las ecuaciones anteriores, no

importa que tiempo ponga en la variable t, voy a obtener un resultado lgico ycorrecto. La Teora del Caos nos ensea que todos los sistemas son irreversibles,jams puedo volver hacia atrs, por este motivo se habla de la Flecha del Tiempo,solo apunta hacia un extremo, futuro! La justificacin para este postulado, estadirectamente relacionado con la entropa.

( Ojo con el trmino condiciones iniciales, y que ser lo ms importante en lo que sebasa toda la Teora del Caos)

Qu sistemas describen realmente estas ecuaciones? En primer lugar, obviamente seaplican a sistemas naturales y mecnicos reales, si no, la Fsica no tendra ningnsentido. En segundo lugar, y el que nos interesa particularmente a nosotros, estas

frmulas se aplican a sistemas IDEALES. A qu me refiero con ideal? Si bienecuaciones como las de los ejemplos anteriores tienen en cuenta detalles como elrozamiento, la resistencia del aire y otra serie de variables, JAMAS van a podercontemplar la totalidad de variables que se presentan en las condiciones iniciales de unsistema. Vamos a dar dos ejemplos que se encuentran en los extremos y ello nos va allevar a nuestra primera definicin:

1) En la Naturaleza tenemos sistemas que se asemejan al comportamientomecnico de un reloj. Ello implica que planteando una serie de condiciones


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iniciales podremos saber como ese mismo sistema se va a comportar msdelante o como se comport en el pasado, de una manera casi exacta.Un ejemplo claro de ello es el sistema planetario. Astrnomos puedenpredecir un eclipse de Sol cientos de aos antes de que ocurra con unaasombrosa certidumbre. La palabra casi, es la que introduce el concepto deCaos.

Veamos ahora el segundo ejemplo, el del otro extremo.

2) Seguramente todos han odo hablar del famoso Efecto Mariposa que dicealgo as como: si una mariposa aleta en Tokio, bajo determinadascircunstancias esa onda que produjo el aleteo puede viajar, potenciarse ytransformarse en un huracn en el Caribe.

Bueno, ambos ejemplos son los extremos de lo que se produce en la Naturaleza, elprimero sumamente mecnico y predecible y el segundo que en principio pareceregido solamente por el azar.

Vamos a ensayar ahora una definicin, en primera instancia podramos decir:

Los sistemas caticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por suscondiciones iniciales, transformndolos en el transcurso del tiempo en sistemas

imposibles de predecir.

Vamos a seguir avanzando para llegar a una definicin ms contundente.Absolutamente todos los sistemas se encuentran afectados por sus condicionesiniciales, no hay duda en ello, lo que si es importante destacar es lo que venimoshablando hasta ahora, esas condiciones afectaran a los sistemas de varias formas a lolargo de su evolucin, hacindolos crecer de una manera que podemos predecir o deotra que resultar catica y difcil de prever.(ver los dos ejemplos anteriores)

Antes de seguir, voy a dar ms ejemplos de sistemas caticos para fijar estas ideas.

- El clima meteorolgico, no se puede predecir con razonable exactitud conms de una semana de anticipacin. Y no siempre se acierta haciendo unpronstico ese mismo da, por ms tecnologa avanzada que se utilice. Esto sedebe a la gran cantidad de variables que son precisas conocer.

- En la bolsa de comercio, un simple rumor sobre la suba o baja de accionespuede potenciarse a lo largo del tiempo y causar un efecto catico.(comparar con el ejemplo de la mariposa, como se potencia esa onda en el airey como se potencia el rumor y cuales son los resultados.)

- Hace aproximadamente 6 aos la Tierra tard en girar alrededor del Sol unsegundo ms de lo estipulado. Se cree que se debi en principio a las mareas.Ese segundo de ms causar que en cientos de millones de aos la Tierrapierda su rbita. (para nosotros mucho tiempo, para la Naturaleza un tiemporazonable)

Entonces, vean como un simple detalle como un rumor, un segundo o el aleteo de unamariposa, puede causar a lo largo del tiempo que un sistema que pareca ordenado yafectado por leyes naturales exactas y deterministas, en un momento dado se


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transforme en un sistema totalmente catico y que al parecer est regido ms por elazar que por la Naturaleza.

Resulta sumamente interesante e importante calcular esos puntos de inflexin dondeun sistema pasa de ser ordenado a catico.

Esto nos lleva a enunciar dos postulados importantsimos de la Teora del Caos,los que considero imprescindibles que queden claro para cada uno de ustedes.

Para la Teora del Caos, no existen sistemas ni 100% ordenados, ni 100% caticos.Esta teora acepta tanto el Orden como el Caos y los relaciona en una dualidad de la

siguiente manera:

En todo sistema ordenado, el caos siempre est presente o implcito

En todo sistema catico, el orden siempre est presente o implcito

Estos postulados son los que personalmente siempre me han llamado la atencin y losque me han convencido de que esta Teora es la que mejor describe los sistemasnaturales, en conjunto con la Geometra Fractal.

Pero analicemos un poco que nos dicen y luego daremos tres ejemplos que se dan enla naturaleza y que son dignos de estudiar, los cuales nos llevarn a replantearnos unserie de cosas que hasta ahora creamos sin meditar.

Imaginemos un sistema ordenado. Uno podra ser el que mencion anteriormente, la Tierra

girando armnicamente alrededor del Sol (sistema ordenado y predecible), y que en determinadomomento se demora un segundo en cumplir el recorrido total en su rbita, lo que determina queser expulsada de la misma a lo largo del tiempo. (consecuencias caticas) De este ejemplo sedesprende el primer postulado. En todo momento el sistema terrestre es ordenado, pero llevaimplcito consigo mismo el caos, que va trabajando muy de a poco y silenciosamente y en un

determinado punto se apoderar por completo del mismo y generar consecuenciasinsospechadas o catastrficas.

Veamos ahora un ejemplo para entender el segundo postulado:

En este caso debemos elegir un sistema totalmente opuesto al anterior. Que comience

siendo catico y derive en orden. Esto se estudia mucho en comportamientos sociales,as que aprovechemos a dar un ejemplo en este campo y luego veremos otros que sedan en la naturaleza que son ms complejos.

Imaginemos varias empresas chicas, las cuales estn en problemas financieros que las llevan acomportarse de una manera catica y desordenada en el mercado. No se sabr que puede pasarel da de maana con ellas, si quebrarn, si recibirn algn prstamo, si despedirn personal, etc

Una situacin catica a la cual estamos tristemente acostumbrados en estos tiempos. Ahorapiensen en este caso, una de esas mismas empresas tiene lo que a la otra le hace falta. Una tiene


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tecnologa pero no tiene personal capacitado, a la otra le sobra personal pero no poseetecnologa, otra tiene contactos en el exterior pero no buenos productos para vender, a otra lesobran buenos productos, pero no los conoce nadie, no estn inmersos en el mercado. Esta

situacin muestra que una empresa tiene justamente lo que le falta a la otra, y por separado todasfuncionan de manera catica y errtica. Qu pasara si todas o algunas de ellas se uniesen a basede contratos legales, un organigrama bien establecido y confianza entre sus socios. Lo que era unsistema totalmente desordenado por separado, encontr sus patrones y puntos en comn y deriv

en un sistema armnico, ordenado y productivo.

Algo sumamente importante, y por donde siguen pasando las claves para entenderesta teora es lo siguiente:

Segn el postulado de la Teora del Caos que mencion oportunamente, l nos decaque en la Naturaleza jams vamos a encontrar sistemas 100% ordenados ni 100%caticos, por lo tanto, de estos ejemplos se desprende una consecuencia que debemostener siempre en cuenta:

Por ms que un sistema haya derivado en caos, o que se haya vuelto ordenado yestable, potencialmente vuelve a pasar lo inverso. Ahora, aquel que era estable y

deriv en caos vuelve a llevar implcito consigo mismo el volver a transformarse enorden nuevamente. Y aquel que era catico y desordenado y deriv en orden, ahoralleva el caos implcito en su esencia. Esto lleva a conformar un circuito que no es ni

ms ni menos como se genera y se construye la Naturaleza.

Ms ejemplos de sistemas Caos-Orden

Ahora que ya hemos hecho una introduccin a los sistemas caticos y a la dualidad yrelacin que existe entre el Caos y el Orden, voy a dar ms ejemplos de lo que ocurreen la naturaleza, que espero despierten su imaginacin y asombro.

Ejemplo 1

El primero de ellos no es tan complicado, y hasta lo pueden experimentar ustedesmismos.

Imagnese que en esta pirmide cada uno de esos punto es un clavo. Todos seencuentran incrustados en una pared vertical. (mi dibujo est algo desalineado, si vana probar esta experiencia, debera estar un poco mejor construido.)


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Ahora, esto que les voy a contar se ha realizado en laboratorios, en condiciones devaco total y con brazos de robot sumamente precisos, vean los resultados.

El robot toma una pequea bola o pelota perfectamente circular, sin irregularidades.La coloca sobre el tope de la pirmide, o sea, en el primer clavo y luego la suelta. Esabolita comienza a caer rebotando de clavo en clavo y pasando siempre entre medio de

dos de ellos y llega al siguiente nivel sin detenerse hasta llegar la base. En la base demi dibujo se encuentran solamente 5 clavos, pero la idea es que sean muchos ms,una cantidad superior a los 100 para poder probar esto. Bueno, cuando la bolita llegaa la base, esta sale de la pirmide como dijimos antes por entre medio de dos clavos,imaginemos para el primer ejemplo entre el clavo 10 y 11 comenzando a contar deizquierda a derecha.

El mismo robot, aparentemente con las mismas condiciones iniciales vuelve a tomar lamisma bolita y a repetir el ejercicio. Al comienzo la trayectoria es similar a la primeraexperiencia, pero llega un momento que pasa a travs de dos clavos distintos, lo quederiva, una vez que llega a la base, que salga por dos clavos que nada que ver con losde la primera medicin. Por ejemplo entre los clavos 67 y 68.

Observacin, cada vez que la experiencia se repite, el resultado nunca es el mismo,la bolita sale siempre por la base entre dos clavos diferentes y a mucha distanciaentre una medicin y otra. Su trayecto tambin sufre modificaciones a partir de unpunto y siempre es distinto. Tengamos nuevamente en cuenta que se realizaba encondiciones de vaco y con un brazo de robot preciso y an as el sistema secomportaba de una manera catica o azarosa (no se puede predecir por donde saldrla bolita, y las mediciones arrojan resultados completamente distintos en cadamedicin).

Esto es un tpico caso que demuestra lo sensible que son los sistemas no lineales asus condiciones o variables iniciales, las que con el paso del tiempo, causan efectos y

resultados imposibles de predecir Primer postulado de la Teora del Caos que

vimos.

Ejemplo 2

Cientficos realizaron esta investigacin

Seguramente todos conocen el juego de computadora llamado Tetris. Estosinvestigadores convocaron a una persona que no conociera de que se trataba dichojuego. Le inyectaron glucosa radioactiva (el cerebro se alimenta de glucosa), y losentaron frente a la PC sin darle instrucciones de cmo jugar. Con un monitor sesigui la evolucin. La glucosa radioactiva iluminaba las regiones del cerebro que lapersona utilizaba para intentar entender el Tetris, las cuales en primera instancia se

manifestaban en gran cantidad. Luego se le ense a jugar al mismo tiempo que se lerepeta el mismo procedimiento con la glucosa. Mientras la persona ms aprenda,menos regiones del cerebro se iluminaban, el cerebro iba asimilando y acumulandoinformacin, ya no necesitaba buscar aleatoriamente datos por toda su corteza. Unavez que la persona comprendi por completo el juego, apenas una leve regin delcerebro se iluminaba.

Este es un caso muy significativo de la transformacin de un sistema catico (todo elcerebro iluminado en busca de informacin de cmo jugar) a uno ordenado (una leve


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regin iluminada una vez asimilado el juego) Otro de los postulados que vimosanteriormente.

Ejemplo 3

El Solitn de John Russell. Si arrojamos una piedra en un estanque de agua la misma

generar una perturbacin, produciendo pequeas olas, las cuales se diluirn en untiempo breve, dependiendo en principio de la fuerza con que se la haya arrojado y lascondiciones del agua en ese momento. Ahora bien, John Rusell observ un fenmenoincreble. En situaciones muy especiales, cuando las condiciones iniciales se presentande una manera nica, hay olas en el ocano que se unen formando una nueva concaractersticas propias. Esta nueva ola, llamada SOLITON viaja centenares dekilmetros sin perder su forma. Si un barco la atraviesa, al instante recobra suestructura original y sigue adelante. No importa si hay vientos o tormentas, la mismasigue su trayectoria inmutable. Este fenmeno es muy famoso y ha sido muyestudiado. Se ha intentado reproducir artificialmente en universidades por alumnos dematemtica y fsica, hay conferencias especializadas en el tema, y cursos especialessolamente referidos a este raro fenmeno, que puede englobar todos los misterios delCaos.

Es otro ejemplo de cmo un sistema catico como ser olas en el ocano se unen yforman un nuevo sistema totalmente ordenado y armnico.

Si alguien desea profundizar ms en este tema para debatirlo ms adelante, eldepartamento de Matemtica de la Universidad de Heriot-Watt tiene un excelentematerial, lamentablemente el mismo est en ingles, pero no es difcil conseguirdocumentacin en espaol en Internet. Los enlaces son:

Pgina Principal de los Solitones:http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/

Historia de John Russell y los Solitones:http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.html

Recreacin del Solitn:http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.html

Atractores

Un tema fundamental, el cual lamentablemente no voy a poder profundizar en estemomento, es el tema de los Atractores. Los mismos son el camino de ida y vuelta quenos conducen al Caos.

En ejemplos anteriores, como el del juego del Tetris, vimos que cuando la personaaprenda a jugar a la perfeccin se iluminaba solo una regin del cerebro. Decimosentonces, que en ese momento se form un Atractor.

En el ejemplo de la ola de John Russell, ese Solitn es un Atractor puro.

Quizs el Atractor ms conocido y popular sea el de Lorentz, el cual se lo asocia entreotras cosas al clima meteorolgico. Su imagen es la siguiente
http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.htmlhttp://www.ma.hw.ac.uk/solitons/http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/


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Fractales, Caos y Poblacin

Hemos visto en la clase anterior diversos ejemplos de la dualidad que existe entre elCaos y el Orden. Hemos visto tambin, de manera superficial por el momento, comolos Fractales se generan a travs de diferentes iteraciones, y pusimos como ejemplo elConjunto de Mandelbrot, el cual surge de iterar la frmula compleja:Zn+1 Zn^2 + C donde Z es un nmero complejo y C una constante.

La Iteracin de ecuaciones mediante algoritmos ha revelado una serie de propiedadesmatemticas asociadas a la descripcin de sistemas naturales realmente asombrosos.Dicha iteracin es el camino que nos conduce a los atractores y por consiguiente a lapermanente y eterna metamorfosis entre el Caos y el Orden.

Ahora veremos un caso que se da en la Naturaleza en la que un sistema pasar de unestado catico a uno ordenado a travs de iteraciones sobre s mismo.

Una de las aplicaciones reales y ms espectaculares de la Teora del Caos se da enfenmenos demogrficos, como ser expansin de colonias de insectos, virus, poblacinde ciudades y territorios por los humanos, epidemias, etc.

Increblemente algunas de estas poblaciones son sumamente ordenadas, crecenrpidamente, se extinguen de golpe, tienen ciclos perfectos de reproduccin omantienen matemticamente una tasa de natalidad casi perfecta. Otras, en cambio,son sumamente caticas.

Para dar un ejemplo de ello, voy al libro que me introdujo en la Teora del Caos y elcual me fascin por aos, el mismo se llama El Espejo Turbulento y sus autores sonJohn Briggs y David Peat.

El ejemplo habla de un parsito llamado mariposa lagarta. Este parsito vive enverano y muere de fro en invierno, antes de morir deposita sus huevos los cualesnacern al comienzo del prximo verano.

Veamos ahora cual es la ecuacin matemtica que se utiliza para estudiarpoblaciones demogrficas que se duplican ao tras ao:

Xn+1 = 2Xn


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Donde X ser el tamao de nuestra poblaciny los subndices representarn un tiempo inicial y uno final.

El nmero de individuos en una poblacin jams es estable, aumenta o disminuye deun ao a otro dependiendo varios factores naturales. Viendo nuestra ecuacinimaginemos que nuestro primer ao de medicin es 1 (Xn = 1) y adems sabemos que

al ao siguiente la poblacin se duplic (Xn+1 = 2 = 2X1)

La frmula nos quedara:

X2 = 2X1

Supongamos que la poblacin del ao 1980 es de 1000 larvas. Obviamente, deacuerdo a nuestra formula, la poblacin del prximo ao, 1981, ser de 2000 y la deltercer ao, 1982 ser de 4000. (X3 = 2X2)

Naturalmente este crecimiento lineal tampoco se da en una manera tan

perfecta, como es el de duplicarse de ao en ao, por lo tanto a la ecuacin anterior sile agregamos un nuevo trmino dar una impresin mas realista, este trmino es N,que indica la tasa de natalidad. Entonces nos queda:

Xn+1 = NXn

Hay que aclarar que esta ecuacin es general y sirve para darnos una ideaglobal de la expansin poblacional. Luego, para cada comunidad en especial, se harnlos ajustes particulares.

Hasta aqu nada novedoso, sabiendo la tasa de natalidad, y como ha variado unapoblacin de un ao a otro, podremos saber como se comportar a lo largo del tiempo.Pero esto se da solo, y nuevamente volvemos al concepto de matemtica tradicionalvisto en clases anteriores, en sistemas ideales. Pero eso contradice a las leyes delCaos, y definitivamente no nos da un panorama realista de la situacin.

Para solucionar ese inconveniente, a partir de este momento comienza a formar partedel juego lo que a todos nosotros nos interesa: la iteracin y todos los conceptoscaticos. Ingeniosamente alguien aadi un trmino no-lineal a esa ecuacin.

Ahora tenemos:

Xn+1 = NXn(1-Xn)

Analicemos, en la misma ecuacin tenemos dos veces el trmino Xn y lo ms curiosoque uno est enfrentado al otro. Qu quiere decir que estn enfrentados? Cuandocrece Xn, el trmino (1- Xn) sin dudas disminuye. Cuando Xn tiende a 0 fjense que laecuacin nos queda prcticamente como la original, o sea, sin el nuevo trmino ya queeste se asemeja a 1. En cambio, cuando crece Xn y se acerca a 1, el nuevo trmino se


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acerca a 0, haciendo disminuir todo el trmino que se encuentra a la derecha del signoigual, o sea, la poblacin un ao despus de nuestra medicin.

Esto est directamente ligado a que una poblacin no puede crecer infinitamente, sinoque s auto regula. Ese ltimo trmino aadido a la ecuacin original nos muestra lacota, en otras palabras, los lmites que puede crecer una poblacin. Esa cota,

matemticamente, es entre 0 y 1, sin importar la cantidad de individuos dentro de lapoblacin, es solo una regulacin matemtica.

Aprovecho a decir, que la auto-regulacin y la auto-organizacin son dos de lascaractersticas ms importantes y estudiadas de los sistemas no lineales y caticos.

Por qu a la ecuacin anterior le decimos no-lineal? Noten que cuando Xn crece, almismo tiempo se auto regula con (1- Xn) y termina haciendo disminuir el resultadofinal de la ecuacin. Entonces, dicha ecuacin, no est creciendo ni linealmente, niexponencialmente; est regulndose no-linealmente. Adems est muy claro que eltrmino Xn queda elevado al cuadrado, lo que determina un crecimiento no lineal.

Cont este tema de una manera muy sinttica, se puede llegar a profundizar muchoms, pero igualmente quera dejarles planteada una ecuacin no lineal, y como segenera una Iteracin en la cual nuestra variable es el ao. Sera interesante queustedes mismos planteen diferentes condiciones iniciales y ver a que resultados llegan.

En mis lecturas sobre los aspectos matemticos de la Teora del Caos profundizomucho en este tema, y adems proveo software para dicho estudio, pero esto escapa aeste curso. Les recomiendo darse una vuelta por www.fractaltec.org para buscarinformacin.

Algunas aplicaciones que mencionadas en El Espejo Turbulento son:

Como se expande un rumor. Al comienzo se dispersa exponencialmente portodos lados, de odo en odo hasta que comienza a resultar conocido, esentonces cuando se comienza a decir Ya conozco la versin y el rumorcomienza a decrecer drsticamente.(Imagnense lo que pasa en economa con el rumor de la suba de acciones,devaluacin de la moneda, o en poltica con rumores sobre quien ser el futuropresidente).

Lo que aprende un estudiante est relacionado con su capacidad de incorporarconocimientos. Al comienzo aumenta notablemente, luego se satura y comienzaa declinar irremediablemente.

Esta ecuacin se utiliza mucho en gentica para el estudio de cambio de

frecuencia en la poblacin de determinados grmenes.

Igualmente vamos a analizar un poco mas esta ecuacin.

Ms all de todos los nmeros que hagamos, lo destacado de esta ecuacindemogrfica es que en todo momento mantiene el potencial hacia el Caos u Orden quenombramos la clase pasada.
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Imaginemos que la tasa de natalidad es de 0.99. Esto significa que la poblacindisminuir 0.01 cada ao, y hasta la poblacin ms grande se extinguir.

Cuando la tasa de natalidad es 1.5 la poblacin oscilar entre varios valores, y luegose estabilizar en un valor constante de 2/3, o sea, el 66% de la poblacin original.

Cuando la tasa es de 2.5 nuevamente hay una oscilacin grande, pero luego vuelve aestabilizarse en 2/3. Vemos que la poblacin no se extingue.

Entonces, de acuerdo a lo que mencion en captulos anteriores, sin ningn lugar adudas el 2/3 es un firme candidato a convertirse en un ATRACTOR, ya que no importalas variaciones que pasen en el sistema, con esa tasa de natalidad siempre el sistemava a tender a 0,66666667

Analizar la parte matemtica de cmo llegamos a esos valores escapa a este curso,estos ejemplos solo tienen la intencin de mostrarles lo que sucede en la Naturaleza,como se auto-regulan las poblaciones, como crecen, como disminuyen, como losfactores no-lineales son determinantes para describir un sistema correctamente y lo

muestre desde un punto de vista muy real.

Las oscilaciones de las que hablaba, se deben a varios factores, como ser climticos,alimenticios, espacio disponible para desarrollarse, etc. Por ejemplo, si tenemos unatasa de natalidad altsima, va a haber muchos habitantes en la comunidad, pero elalimento y el espacio pueden resultar escasos, por lo tanto muchos comenzarn amorir. Hasta llegar a regularse en un determinado nmero. Por el contrario, si elespacio y el alimento abundan, y la poblacin es muy chica, se dan condicionespropicias para desarrollarse y aumentar la cantidad de integrantes. Nuevamentellegar un momento en el que sean demasiados, y otra vez s auto-regularn. Estociclos son justamente los que demuestra la ecuacin no lineal que estamos analizandoy la manera como forman sus atractores. Grficamente pueden representarse as:

Dijimos que uno de los nmeros claves era 2/3 o 66%. Ahora, cuando la tasa denatalidad es de 3.56, nuevamente el sistema comienza a oscilar caticamente. Esospuntos clave como dijimos son atractores, y en cada punto catico que detectemos


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ser un nuevo atractor construyendo as un grafico de bifurcaciones como los quevemos en las imgenes anteriores.

El gran desafo de los matemticos es detectar esos puntos y construir as el mapa delCaos, o de crecimiento de un sistema a lo largo del tiempo. Para los que deseenaprender mas sobre esto, recomiendo que busquen el tema Exponentes de

Lyapunov, todava no he escrito nada sobre el tema.

Nuevamente, noten que al parecer, un sistema completamente catico como elcrecimiento de poblacin de las larvas lagartas llega un momento en el que se ordena(cuando llega al 66% de su poblacin original) Pero el caos est potencialmentesiempre presente, acechando y cuando la tasa de natalidad supera el 3.56 nuevamenteel Caos est presente hasta ordenarse nuevamente en otro punto, un nuevo atractory produciendo bifurcaciones en su grfica.

Noten lo ms importante hasta ahora, esas imgenes de atractores anteriores, tienenuna estructura FRACTAL ! ! ! Busquen su autosimilitud!En la primer figura, vemos este cuadro de bifurcacin entre los valores 2,5 y 4 ... en el

siguiente grafico, hice un ZOOM, o sea, Iteracin, entre los valores 3,54, y 3,60, notenque valores tan cercanos, y aun as veo que ambos grficos se parecen muchsimo, ahentra en juego la autosimilitud.

Creo que este es un ejemplo de lo ms claro que poda dar para ver la dinmica de unsistema natural no-lineal, y la relacin que existe con las estructuras fractales, y depaso mostrar como una ecuacin no-lineal se realimenta y se auto-regula a s mismagenerando el concepto de iteracin mas importante que existe para los sistemasfractales y caticos.

Por ltimo sobre este tema, recomiendo que visiten el sitio:

http://hypertextbook.com/chaos/

Fractales, Caos y Matemtica Tradicional

1) Tringulo de Pascal y Tringulo de Sierpinski

El tringulo de Pascal, tambin conocido como tringulo aritmtico tiene lasiguiente forma:
http://hypertextbook.com/chaos/http://hypertextbook.com/chaos/


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Matemticos, investigando en teora de nmeros (quizs una de las ramas msapasionantes de la matemtica) han decidido estudiar el Conjunto de Mandelbrot.Dividieron el estudio en dos partes, primero el cuello de esta imagen, y luego su parteposterior. Cuando expliqu en clases anteriores como se forma el Conjunto de

Mandelbrot, part de la ecuacin compleja Z

Z^2 + C. Una vez que tenemos laiteracin realizada, podemos probar que puntos pertenecen al conjunto y cuales no,reemplazndolos en dicha ecuacin, recuerden que dichos puntos se encontrarn en elcampo complejo.

Nuevamente la parte matemtica involucrada para probar lo que voy a decir ahoraescapa totalmente al inters de este curso, lo planteo simplemente como unacuriosidad entre la matemtica clsica como ser el nmero PI y el conjunto deMandelbrot, tal vez dos de las figuras ms representativas de la matemtica en estosdas.

Estudiando las iteraciones, como dije antes del cuello y la parte posterior del conjuntode Mandelbrot, se lleg a estos resultados:

Esta primera tabla representa las iteraciones de los X pertenecientes alcuello del conjunto.

X Nmero de iteraciones

1.0 3

0.1 330.01 3150.001 31430.0001 314170.00001 3141600.000001 3141593


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0.0000001 31415928

Esta segunda tabla representa las iteraciones de la parte posterior del

conjunto

X Nmero de iteraciones

1.0 20.1 80.01 300.001 970.0001 312

0.00001 9910.000001 31400.0000001 99330.00000001 314140.000000001 993440.0000000001 314157

Apuesto a que todos han encontrado algo muy similar al nmero PI en estasestructuras. No se ustedes, pero yo no creo en las casualidades.

El Dr. Aaron Klebanoff brinda una prueba detallada de cmo lleg a estos resultados, lacual estoy estudiando desde hace un tiempo y resulta bastante complejo. Otro puntoms que podramos encarar con el grupo de matemtica.

Los patrones de semejanza entre la teora de nmeros tradicional, y lateora fractal, podra resultar uno de los campos de estudio e investigacin

ms importantes.

Solo les cont en esta ocasin dos ejemplos como las relaciones entre Sierpinski yPascal, y PI con el Conjunto de Mandelbrot, pero hay muchas ms, hasta funciones deRiemann tienen estructuras fractales.

Por qu destaco estos aspectos? Tengan en cuenta algo, teoremas, enunciados ydemostraciones como por ejemplo Pitgoras y otros tan conocidos como este ltimohan existido por cientos de aos, y han pasado por millones de manos deinvestigadores, tericos o estudiantes, digamos que ya no se le pueden descubrir


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nuevas facetas matemticas a teoremas tan reconocidos. Es ms, creo que tan soloquedan por develar y probar cuatro o cinco intrigas matemticas. Pero la Teora Fractales muy reciente, no tiene mas de 20 aos, y todos nosotros somos una de lasprimeras manos que reciben a esta nueva ciencia. Tenemos un campo muy grandepara estudiar, para postular ideas, para corregir enunciados, para descubriraplicaciones y para probar nuestra propia visin del tema. Lo fantstico de esto es que

cualquiera con mucha disciplina, que estudie mucha matemtica y programacin decomputadoras, sentados frente a su PC puede descubrir un mundo totalmente nuevo.Pero es imprescindible tener un punto de vista propio e intercambiar ideas yconocimientos multidisciplinarios. Espero que al menos este curso termine pormotivarlos a comenzar tal experiencia.

Por ltimo, y ya finalizando esta clase, los invito a aquellos que an no tienen softwarepara generar fractales que comiencen a bajarlos de Internet.

Los que les recomiendo son los siguientes:

Fractint Es el programa pionero, con el que yo comenc hace aproximadamente 5

aos. El mismo tiene un importante valor matemtico aunque las imgenes queproduce no son tan artsticas como otros programas, pero sin dudas es por lejos elmejor. Existe para diferentes plataformas y es totalmente libre. Su sitio es:

http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

UltraFractal Es otro software muy popular y mucho ms artstico. En su pagina hayuna lista de distribucin de mail en la cual se intercambian mas de 30 imgenes porda. El mismo no es gratuito, se puede bajar una versin de prueba por 30 das.Tambin hablar de este software. Se puede bajar desde:

http://www.ultrafractal.com

Generando Fractales

Estudio del programa Fractint y UltraFractal.

1) El propsito de esta seccin no es el de ser un tutorial o un curso sobre estosprogramas, sino el de dar las herramientas bsicas para que puedan generar sus

propios fractales inmediatamente y entender el software para luego poderprofundizarlo por ustedes mismos. Si esta clase les servir para comenzar

2) En varias ocasiones estar mencionando la palabra ZOOM. Desde este momentoquiero aclarar que no es la palabra correcta para describir el proceso por el cual vemosun fractal por dentro. La palabra exacta sera iteracin. La ventaja de la primera es lade ser muy intuitiva, y el concepto justo de iteracin lo entendern cuando les quedeclaro el de Dimensin Fractal.
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.htmlhttp://www.ultrafractal.com/http://www.ultrafractal.com/http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html


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Qu programa es mejor? La respuesta a ello vara dependiendo de variosfactores. Los programas de fractales podran dividirse en dos categoras muy grandes,las mismas son:

- Estudio de Fractales

- Diseo de Fractales desde un punto de vista artstico.

Luego cada una de esas categoras se subdividir en otras ms pequeas. Porejemplo:

El estudio de fractales se puede encarar desde un uso:

- Matemtico- A nivel Programacin- Desarrollo de algoritmos- Creacin de fractales IFS (los mencionar en futuras

clases.)

- Evolucin de Atractores

Los fractales artsticos pueden dividirse en:

- Creacin de imgenes.- Galeras virtuales.- Msica Fractal.- Pelculas Fractales.

Para cada una de esas categoras y subcategoras hay software y aplicacionesespecificas

Vamos a comenzar en primer lugar con el Fractint.

1) FRACTINT

Caractersticas principales

- Para acceder al programa, pueden hacerlo desde:http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

- La ltima versin disponible cuando escrib este texto es la 20.0- Existen versiones para los siguientes sistemas operativos: Win DOS Unix.

- El Fractint es totalmente libre, sin costo alguno para cualquiera de esasplataformas.

Bien, esas son las primeras caractersticas que deben tener en cuenta. Sinceramente laversin para Windows jams la prob, y lo que he escuchado sobre ella no es paranada recomendable. La versin para Linux si la he testeado y es bastante rudimentariacomparada con la versin para DOS, pero para un estudio matemtico de los fractales
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.htmlhttp://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html


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es sumamente potente, no as desde un punto de vista artstico ya que las paletas decolores no estn implementadas como en otros programas.

Por lo tanto, sin dudas, la versin que les recomiendo es la que corre bajo DOS.

Si es la eleccin por la que finalmente optan, el archivo va a venir comprimido en una

extensin ZIP, y lo bueno es que con tan solo descomprimirlo en una carpeta creadapor ustedes, automticamente tendrn disponible el ejecutable para hacer andar elprograma. (fractint.exe) No hace falta ningn otro requerimiento de instalacin oconfiguracin.

Nota: para descomprimir el archivo frain200.zip que han bajado es necesario hacerlocon un programa como el Winzip o WinRar

Bien, por el momento nada nuevo referido a los fractales. Los pasos que deberanhaber hecho en resumen para adquirir y tener el Fractint en su PC son

- Haberse conectado al sitio de Fractint (link mencionado

anteriormente)- Haber bajado el archivo frain200.zip para DOS.

- Haber creado una carpeta llamada Fractint (no importa en quedirectorio)

- Haber descomprimido el archivo frain200.zip con el WinZip o WinRaren dicha carpeta.

- Una vez descomprimido el archivo, dentro de la carpeta Fractint (ocomo ustedes la hayan llamado), encontrarn el archivo ejecutablefractint.exe

Espero que todos hayan podido llegar hasta aqu. Para ejecutar el Fractint solo tienen

que hacer doble click en el archivo ejecutable fractint.exe y se les abrir una ventanade DOS. Aquellos que dominen y se acuerden algo del DOS obviamente es preferiblecorrerlo directamente desde el DOS y no desde WIN.

A) Una vez dentro del programa, lo primero que aparece es una larga lista dedesarrollados del Fractint (quizs vea el nombre de alguno de ustedes en futurasversiones del programa)

B) Para salir de dicha pantalla y avanzar hacia la prxima basta con presionar la teclaENTER.

C) Lo primero que les pide es que seleccionen el modo de video que posee su PC:

Select Video Mode Hagan ENTER ah. A menos que conozcan con exactitud su placade video, es preferible que opten por la que el Fractint ha reconocido por defecto. Paraello presionen ENTER

D) Y ahora s! Aparece su primer fractal. A esta altura no hace falta mencionar que esel Conjunto de Mandelbrot, pero bueno... vamos a nombrarlo por las dudas.

E) Ahora podemos comenzar a trabajar sobre esa imagen:


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Si todo anduvo bien esta es la primera imagen que vern.

Una de las grandes ventajas que tiene este programa, es que no requiere el uso delmouse prcticamente para nada, por lo tanto podremos realizar todas las operacionescon el uso de las teclas. Veremos algunas de ellas:

PgUp o PageUp o RePagEn cada teclado que veo esta tecla tiene un nombrediferente, pero en definitiva es la tecla para subir o retroceder una pagina de un texto.Con esta tecla lo que podremos hacer es un recuadro para luego ubicarlo en la regindel fractal donde queremos sumergirnos o hacer un ZOOM o iterarlo, como ms claroles resulte llamarlo. Veamos:

Fig. 2-A Fig. 2-B

Fig. 2-C Fig. 2-D


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NOTA: Cuando ustedes presionen varias veces la tecla PgUp el recuadro se dirigirhacia el centro del fractal, para moverlo dentro de la imagen de un lado hacia otrodeben usar las cuatro flechas del teclado: los cursores.

Fjense en el ejemplo que di recin, noten en la figura 2-A el recuadro blanco que hice.En la figura 2-B aparecer el resultado luego de haber presionado ENTER una vezcreado ese rectngulo. As sucesivamente en cada una de las imgenes.

NOTA: Para achicar el rectngulo donde queremos hacer nuestro ZOOM como dijerecin utilizamos la tecla PgUp, como intuitivamente se darn cuenta para agrandarese rectngulo usaremos la tecla PgDn o PageDown o AvPag

Aqu viene la parte interesante y la que nos permite aprender ms all de generarbonitas imgenes. Podemos repetir este proceso de crear nuevos rectngulos ysumergirnos en diferentes reas del fractal una cierta cantidad de veces. Pero llegarun momento donde vamos a tener toda la pantalla de un solo color. Los fractales

tericos tienen detalle infinito, por lo tanto se supone que se podran realizar infinitosZOOMs dentro cada imagen, pero no es as, todava no se ha podido crear unprograma para realizar ese tipo de clculos y probablemente nunca se pueda. De estohablbamos en clases anteriores y surgi el tema en los foros de debate sobre buclesinfinitos. Igualmente, algo que le en un tutorial en el sitio de rea Fractal sobre esteprograma y el cual recomiendo para profundizar esta clase:http://areafractal.tierradenomadas.com/fctint.html , dice textualmente:

La mayora de los tipos de fractal incluidos admiten ampliar cualquier parte de la imagen.En principio, el lmite de zoom por procedimientos normales es 10^15. Eso significa, ms o menos,ampliar una mesa de ping-pong ms all del tamao del sistema solar. Podra ser suficiente, perolo cierto es que, aplicando una tcnica llamada precisin arbitraria, Fractint puede llegar a nivelesde ampliacin del orden de 10^1600. No existen ejemplos de esta relacin de tamao dentro del

universo conocido.

Impresionante, no? El podero que tenemos cada uno de nosotros con nuestras PCpara investigar... Solo es cuestin de saber aprovecharlo.

Bien, sigamos avanzando. El Fractint no tiene solo el Conjunto de Mandelbrot parainvestigar, sino que trae ms de 100 frmulas para interactuar. Para acceder a ellas,podemos hacerlo con la tecla t la cual nos mostrar todos los tipos de fractalesdisponibles. El que vimos hasta ahora es el llamado Mandel, prueben todos los dems,y comiencen a hacer zoom en cada uno de ellos.

Otra opcin a la tecla t es, desde el men principal, Select Fractal Type

Algo interesante y muy destacado en el Fractint es que trae una seccin de fractalesIFS, los cuales nosotros llamamos anteriormente fractales lineales. Podrn generardesde esa seccin entre otros, el tringulo de Sierpinski o la hoja de helecho quevimos en otras clases, pero insisto, no desde un punto de vista artstico.

Otra cosa muy importante es la extensin de los archivos reconocidos por Fractint.Los .PARson los parmetros que ustedes podrn abrir con este programa paraempezar a estudiarlo. Por ejemplo, yo puedo crear en mi computadora un fractal con el
http://areafractal.tierradenomadas.com/fctint.htmlhttp://areafractal.tierradenomadas.com/fctint.html


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Fractint y guardar sus parmetros, puedo subir a Internet ese archivo PAR y cualquierade ustedes bajarlo, abrirlo desde sus PC y comenzar a trabajar sobre l. Est lleno desitios de artistas fractales que suben sus frmulas y sus parmetros para que otrosusuarios trabajen sobre ellos. Por lo tanto, cada vez que vean en alguna pagina defractales, algn parmetro PAR, podrn abrirlo con el Fractint y crear nuevas imgenesa partir de l.

Algo sorprendente y sumamente til que nos presenta Fractint es que una vez quehicieron zoom y vieron una imagen que les gusto, pueden guardarla en formato GIF.Pero esta imagen no ser comn y corriente, o sea, una imagen plana. Ese GIF tendrincorporado todo el cdigo y parmetros que se utilizaron para crear esa imagen.Suena complicado, pero lo que realmente implica es que si yo abro con el Fractint esaimagen nuevamente puedo seguir haciendo ZOOMs sobre ella como si fuera un cdigode programacin y no una imagen plana.

Guardar una imagen es sumamente sencillo. Basta con presionar la tecla S yautomticamente Fractint guardar ese fractal en el directorio que han creado y dondeinstalaron el programa. Se guarda con el nombre fract001.gifluego ustedes puedenrenombrarlo. Si a continuacin guardan otra imagen, como es lgico esta tendr elnombre fract002.gif

Otra opcin para guardar sus fractales es desde el men principal: Save image to file

Si bajan parmetros e imgenes desde algn sitio en Internet, para poder abrirlas ensu PC primero debern buscarlas, para ello: presionen la tecla r o en su defecto desdeel men principal: load image from file

Para escapar siempre de un men a otro, o para salir de una imagen, presionen latecla Esc

Bien, estas son las herramientas ms bsicas que le permitirn crear sus primerasimgenes fractales. Hagamos un resumen:

Una vez instalado el programa y habiendo corrido el archivo Fractint.exe:

1) ENTER para salir de la pantalla de presentacin.

2) ENTER para seleccionar el modo de video.

3) ENTER para seleccionar el reconocido por defecto por Fractint.

4) Ya tendrn su primera imagen en pantalla, el Conjunto de Mandelbrot. Paratrabajar sobre l:

- PgUp para crear el rectngulo que ubicarn en la regin del fractal en el cualdeseen hacer ZOOM. Sirve tambin para achicar el tamao del rectngulo.

- Utilizar las cuatro flechas del teclado para mover ese rectngulo de un lado hacia


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otro en la pantalla.

- PgUp para agrandar el rectngulo.

- t para seleccionar otro tipo de fractal

- s para guardar la imagen deseada en formato GIF

- r para buscar imgenes o parmetros en su PC

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