Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 1

Plan du cours : Poutre homogène isotrope : Effort Tranchant

1 Introduction

2. Cas particulier du cisaillement simple

3. Répartition de l’effort tranchant le long des sections droites des poutres travaillant en flexion plane.

3.1 Détermination de la répartition de l’effort tranchant T.

3.1.1 Poutre soumise à des efforts ponctuels

3.1.2 Poutre soumise à un chargement réparti

3.2 Répartition de l’effort tranchant T le long des sections droites des poutres travaillant en flexion plane.

3.2.1 Formulation générale

3.2.2 Calcul des contraintes de cisaillement dans les sections pleines

3.2.3 Répartition des contraintes de cisaillement le long des sections minces ouvertes

3.2.4 Répartition des contraintes le long des sections minces fermées

3.2.5 Cisaillement des poutres courbes fléchies

4. Flexion des poutres de Section Minces ouvertes non symétriques : Propriétés et calcul du centre de cisaillement

4.1 Calcul de la position du centre de cisaillement d’un profilé en C

4.2 Remarques pratiques

4.3 Position du centre de cisaillement de quelques profilés ouverts

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 4

Remarque: l’état de cisaillement simple d’une pièce ne peut être obtenu que si la périphérie de la pièce

est contrainte. C’est ce que l’on observe pour les fixations dans les assemblages boulonnés ou rivetés.

Si la périphérie de la pièce est libre, on est dans le cas général du cisaillement des pièces fléchies.

Dans le cas des poutres la présence d’un effort tranchant génère automatiquement un moment de flexion

(cf. Figure ci-dessus).

T

T

Mf l

z

x

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EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES…EXE

Exercice 1

Considérons le joint boulonné de la figure 1.

La force P a pour valeur P=3000 daN

Le boulon a un diamètre =12 mm

Q: Calculez la valeur moyenne de la contrainte de

cisaillement dans l'un et l'autre des 2 plans a-a et b-b.

Exercice 2

Un unique rivet est utilisé pour réunir 2 plaques comme le

montre la figure 2.

La charge a pour valeur P=3400 daN

Le rivet a un diamètre =19 mm

Note : le trou pour le rivet a couramment un diamètre supérieur

de 1.6mm à celui du rivet et on suppose que le rivet remplit com-

plètement le trou.

Q: Calculez la contrainte moyenne de cisaillement développée

dans le rivet.

Solution : = 13.3 daN/mm²

Solution : = 10.2 daN/mm²

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3. Répartition de l’effort tranchant le long des sections droites des poutres travaillant en

flexion plane.

Rappel: On dit qu’une poutre travaille en flexion plane quand ses fibres longitudinales se déforment en

restant dans un même plan.

3.1 Détermination de la répartition de l’effort tranchant:

3.1.1 Poutre soumise à des efforts ponctuels:

F1 = -3/2F

F2 = 1/2F

F3 = -2F

F4 = F

Equilibre statique: SF/Oz=O

R0 + F1 + F2 + F3 + F4 = 0 => R0

R0= 2F

F2 F1 F3 R0 F4

x x1 x3 x2 x4 0

x

0

F

-2F -F

-F/2

T

z

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3.1.2 Poutre soumise à une charge répartie

L

xduupxT

x 0

R0 P(x)

L

xLpxT

dupxT

pcstxp

L

x

.

Exemple: poutre encastrée soumise à une charge uniformément répartie

x 0

R0 P(x) [N/mm]

L

x

T

0

-pL

L

, par définition

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Exercice 3

Déterminer les efforts tranchants et les moments fléchissant pour la poutre suivante :

EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES…EXE

A

B

C D

a a

Fa

2F

F

2

F

B

a

a

Solution :

Calcul de T(x)

3a<x<2a T(x)=-F

2a<x<a T(x)=+F

a<x<0 T(x)=0

Calcul de M(x)

3a<x<2a M(x)=-Fx+3aF

2a<x<a M(x)=Fx-aF

a<x<0 M(x)=-aF

A C

D a

a

A B

C

D a a a

B

F

F

aF

aF

x

y

O

0tM

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Exercice 4 Reprise de l ’exercice de mise en équilibre d ’un atterrisseur (Cours de Statique) :

EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES… EXERCICES…EXE

O

E (0.6)

D (0.9)

Y2

Z2

F

H

G (0.3)

4000 N

3000 N

1000 N

16375 N 2250 N

3000 N

6000 N

9375 N

6250 N

-1050 m.N

Nx(N) X2

Y2 Z2 G E D O

Ty

E D G O

O

Tz

E

D

G

-6000 -15375 -16375

+3000

-4000 +2250

Mx

(m.N) E D

E D

D

G

G

E G

O

O Mz

My

O

-600 -1050

-1200 -675

-525

900

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I : Moment d ’inertie

W : Moment statique

Le moment d’inertie et le moment statique sont relatifs à un axe passant par le centre de gravité

de la section et parallèle à l’axe neutre.

Rappel : Méthodologie de Calcul de W

W est nul aux extrémités des sections et maximum au niveau de l ’axe de flexion Gy.

Il en est donc de même pour la contrainte de cisaillement.

3.2 Répartition de l’effort tranchant le long des sections droites des poutres travaillant en flexion plane:

3.2.1 Formulation générale:

vdSW

2

..

2..

xhxbxW

xhvvSWxbS

dSvI 2

G

v

b

h

S x

b

W

I

T.

x

y

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3.2.2 Calcul des contraintes de cisaillement dans les section pleines :

Exemple 1 : Section droite rectangulaire pleine

Moment d’inertie :

Moment statique:

Contrainte de cisaillement

Pour x = h/2, passe par un maximum.

La contrainte de cisaillement maximum est donc 1.5 fois plus forte que la contrainte moyenne de

cisaillement

Pour x=0 et x= h on trouve =0 (contrainte nulle au niveau des coupures).

12

. 3hbI

2.

xhbxW

22

6.

6..

h

xhxh

S

T

h

xhxh

bh

T

b

W

I

Tx

S

T.

2

3max

b

h

x’ x

z

G

dz

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Exemple 2: Section droite circulaire

o

g

x’ x

T

D

Calcul de la contrainte de cisaillement maximal:

La contrainte max est atteinte sur l ’axe de flexion x’x.

• Moment statique:

W = S.v = Surface du demi-cercle . og

123

.2.

8

. 32 DDDW

• Inertie: 4

64DI

S

T

D

T

D

D

D

T

D

W

I

T

.3

4

4

..

3

4

.12.

.

.64.

max

2

3

4max

Contrainte de cisaillement maximal:

La contrainte de cisaillement maximum est donc égale aux 4/3 de la contrainte moyenne.

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 13

3.2.3 Répartition des contraintes de cisaillement le long des sections minces ouvertes:

Le glissement étant toujours nul sur la périphérie, les contraintes de cisaillement suivent le contour

de la pièce.

Exemple 1: section en T chargée parallèlement à son âme.

max

1 1 T

G

e’

e

x x’

d

v

Sur les semelles les contraintes de cisaillement

varient linéairement, puisque:

W = S.v avec v = cst

Il vient : W=S.v=(b.x).v W = (b.v) x

Sur l’âme la contrainte varie paraboliquement

cf. §3.2.2.1

22)(

2 hbx

bxxW Parabole qui attteint son max. en h/2

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 14

Exemple 2: section en I chargée parallèlement à son axe

1 1

1 1

max

T

G

e’

e

x x’

b

h

d

Moment d’inertie simplifié (th. De Huyghens):

Moment statique d’une demie section:

Contrainte au niveau de la semelle:

Valeur maximale de la contrainte au niveau

de l ’âme:

L’âme, dont les contraintes équilibrent tout l’effort tranchant, est approximativement justiciable d’un

calcul en cisaillement simple.

Cette approximation est d’autant plus juste que l’épaisseur de l’âme est faible vis à vis des semelles.

be

hehbehheI

6

'

2212

' 223

be

hehhe

hhbeW

4

'

24'

22

21

bh

I

T

Ie

TW

behe

behe

he

T

e

W

I

T

6

'4

'

.''

.max

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 15

Application numérique:

h = 300 mm ; b = 200 mm ; e = 8 mm ; e’ = 4 mm ; T = 1000 N

moy=8.23N/mm2

max=8.8N/mm2

16002006

'300

4

' be

hehe

Calcul dans l ’âme, de la contrainte moyenne de cisaillement simple :

'he

Tmoy

L’erreur commise en utilisant moyen ne serait que de 2.8% relativement à max.

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 16

3.2.4 Répartition des contraintes le long des sections minces fermées

Exemple 1: Section circulaire

Les valeurs nulles se déduisent de

considération de symétrie.

Les valeurs maximales sont sur l ’axe

de flexion.

Inertie approchée

Moment statique de la section

hachurée:

W = Shachurée.d On en déduit max:

Contrainte moyenne: moy

eRRRe 22

.2

.

Re

T

eR

eRT

e

W

I

T

...

23

2

max

De

T

S

Tmoy

.

eRI 3

T

R

d

CdG de la section hachurée

max max

=0

=0

La contrainte maximum est donc deux fois plus grande que la contrainte moyenne de

cisaillement simple

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 17

Exemple 2: section carrée

Les contraintes sont maximales sur l ’axe de

flexion. Elles sont nulles sur l ’autre plan de

symétrie.

Moment d’inertie simplifié (théorème de Huyghens):

Contraintes aux angles :

Moment statique:

Contrainte maximale:

Moment statique:

eCC

CeeC

I 323

3

2

4.2

12

2

42.

2.

2

1

eCCe

CvSW

Ce

T

e

W

I

T

8

3. 1

1

eCC

eC

WW 212

8

3

4.

2

S

T

Ce

T

e

W

I

T.

4

9

4.

4

92max

(1/2 section)

1

1

1

1

max

x

c

T

e

W1

W2

La contrainte maximale est égale à 2.25 fois la contrainte moyenne de cisaillement simple relative à

toute la section.

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 18

3.2.5 Cisaillement des poutres courbes fléchies:

La formule exacte donnant la contrainte de glissement longitudinal le long des poutres courbes fléchies et

cisaillées ne peut s ’exprimer sous une forme simple, comme dans le cas des poutres rectilignes.

L ’erreur commise en utilisant les formules relatives aux poutre rectilignes devient négligeable quand le

rapport R/h devient supérieur à 3, ce qui est le cas de la plupart des élément courbes de construction.

Ordre de grandeur de l’erreur commise: pour une section rectangulaire et un rapport R/h d’une valeur de

10, l’erreur commise est de 3%.

Exemple: Pour un cadre de type A320,

R = 2000 mm h = 100 mm

R/h = 20>>3

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 19

Ribs Front Spar Rear Spar

Bottom skin Bottom skin Stringers

Spar boom + skin:

SHEAR and COMPRESSION

Spar boom + skin:

SHEAR and COMPRESSION Top skin panel

Bottom skin panel

Top stringers

Bottom stringers

Top stringers:

COMPRESSION

Bottom stringers:

TENSION

Spar boom + skin:

SHEAR and TENSION

Spar web

EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEM

Exemple 1: LONGERON AVANT D ’UNE AILE A320

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 20

EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEMPLE… EXEM

Exemple 2: LIAISON AILE - FUSELAGE

D1

FC

FT

Mf

T FA

M.A.C.

D2 M

Mf = (FA x D1) - (M x D2)

T = FA - M

M : Total wing weight

FA : Lift loads

Mf : Wing Bending moment

T : Shear load

FC : Compression load

FT :Tension load

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4. Flexion des poutres de Section Minces ouvertes non symétriques: Propriétés et calcul du

centre de cisaillement:

T

x x’

y’

y

G

Soit un profilé mince en C chargé parallèlement à son âme.

La charge est appliquée au niveau du centre de gravité de la section.

L’expérience permet de constater que la déformation de flexion,

s’accompagne d’un phénomène de rotation autour d’un axe longitudinal

situé en arrière de l’âme du profilé.

Le phénomène de déversement du profilé s’explique par de simples

considérations d’équilibre entre les efforts appliqués et les contraintes

internes.

Exemple:

Portique A340

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 22

P [N/mm] T

• Les flèches matérialisant les contraintes de cisaillement sont orientées dans le sens des réactions

fournies à l’effort tranchant appliqué, de façon à mieux illustrer le phénomène d ’équilibre.

• Les contraintes engendrent sur les semelles deux forces résultantes p et -p égales et opposées formant un

moment

• Les contraintes agissant sur l’âme équilibrent la totalité de l ’effort tranchant. Il est donc équivalent à une

réaction q= -T centrée sur l ’âme.

- p [N/mm]

T

R= -T q

• La réaction globale de ces trois forces est bien une résultante globale R = -T

• Cette résultante est rejetée à une distance d de l ’âme, telle que l ’on ait équilibre des moments.

- T.d = p.h d = -h.p/T

On constate donc bien que cette distance d doit être portée en arrière de l’âme.

Le point C situé sur l ’axe x ’x à la distance d de l’âme s’appelle centre de cisaillement de la section.

h

hpM t .

d

0tM

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 23

4.1 Calcul de la position du Centre de Cisaillement d’un profilé en C

Moment d’inertie simplifié:

(On néglige l’inertie propre des semelles)

be

hehbehheI

6

'

242

12

' 223

1

1

1

1

max

Contraintes aux angles :

Moment statique: 2

..1

hbevSW

e

e

b

hh

T

e

W

I

T

'.6

6. 1

1

Les variation de étant linéaires sur les semelles (v=cte), la résultante p est donnée par:

e

e

b

hh

Tbbp

'.6

3.

2

11

On a donc d’après la relation (en valeur absolue) :

'.6

3

e

e

b

h

b

T

phd

e

x

T h

G

C

y1 y

b

e’

1W

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 24

4.2 Remarques pratiques:

• Nous venons de démontrer que si l’effort tranchant n’est pas appliqué au niveau du centre de torsion

(en supposant T toujours parallèle à l’âme), la flexion de la poutre s’accompagne d’un phénomène de

déversement de la section.

• Cette rotation des section droites autour d’un axe parallèle à la direction longitudinale de la poutre

constitue une torsion de la poutre.

• Cet axe longitudinal de rotation, appelé axe de torsion de la poutre est matérialisé par les centres de

cisaillement des sections droites successives.

• Les profilés minces ouverts ayant des rigidités de torsion excessivement faibles, le phénomène de

déversement des sections arrive de façon prématurée si on charge la poutre sans prendre de précaution.

• Une solution, peut être l’utilisation de ferrures de déport, qui permettent l’introduction d’effort

tranchant, sans générer de torsion de la poutre.

C

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 25

GG

CC

I symétrique

GG

CC

Z symétrique

G C

a

h

b d

C symétrique

4.3 Position du centre de cisaillement de quelques profilés ouverts:

Rd 2

36

3

4

2.2

222

32

abaah

bb

ah

ab

hd

R

d

Tube circulaire fendu

d

h

a

symétrique

b

36

3

22

422

22

32

aahab

hh

abah

bd

CC

CC

CC

GG

GG

GG

Module 1 – Poutres Homogenes – Efforts Tranchants Page 26

FORMULAIRE… FORMULAIRE… FORMULAIRE… FORMULAIRE… FORMULAIRE… FORMULAIRE… FORMULAIRE… FO

• Cisaillement simple :

2

2

Section

Tranchant Effort

nt Cisailleme de Contrainte

mmS

NT

mmN

S

T

mme

mmI

mmW

NT

mmN

Ie

TW

poutre la deLargeur

Inertied'Moment

StatiqueMoment

Tranchant Effort

nt Cisailleme de Contrainte

4

3

2

vdSW dSvI 2

b

h x

’

x

z

G

d

z

•Répartition de T le long des sections droites des

poutres en flexion plane :

•Calcul du Moment Statique et du Moment d’Inertie:

Moment Statique Moment d’Inertie

moy

bhI

bhW

5.1

12

2

max

3

2

o

g

x

’

x

T

D

moy

DI

DW

3

4

64

12

max

4

3

T

R d

CdG de la section

hachurée

max max

=0

=0

moy

eRI

eRW

2

max

3

2

1

1

1

1

max

x

c

T

e

W1

W2

moy

ecI

ecW

25.2

3

2

4

max

3

2