Primera clase

Introducción

Admitiendo que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede subdividir en planear, programar ycontrolar, hablando de manera clásica (ya hablaremos del componente dinámico de un proyecto o susimulación dinámica), podemos considerar las técnicas llamadas PERT (Program Evaluation and ReviewTechnique) y CMP (Critical Path Method), que son las más usuales para un primer cometido. En general estastécnicas resultan útiles para una variedad de proyectos que contemplen:

Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos1. Construcción de plantas, edificios y carreteras2. Mantenimiento de equipo grande y complejo3. Diseño e instalación de sistemas nuevos4. Diseño y control de epidemias5. En proyectos como estos, los administradores deben programar y coordinar las diversas tareas oactividades, de manera que se pueda terminar a tiempo el proyecto completo. Ahora bien, por logeneral las actividades a desarrollar un proyecto no necesariamente son secuenciales (una tras la otra),y aún en ese caso estas actividades son interdependientes. Si bien es cierto, que algunas actividadesdependen de la terminación de otras para su inicio, se puede dar el caso de actividades en paralelo queoriginan el inicio de una tercera.

Las preguntas esenciales en la elaboración de un proyecto son:

¿Cuál es el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto?1. ¿Cuáles son las fechas programadas de inicio y de terminación para cada actividadespecífica?

2.

¿Qué actividades son "críticas" y deben terminarse exactamente según lo programado parapoder mantener el proyecto dentro del programa?

3.

¿Cuánto se pueden demorar las actividades "no críticas" antes de que ocasionen demoras en elproyecto total?

4.

6.

Ahora bien, la técnica en elaboración de proyectos, conocida como CPM/PERT, ayudan a responder laspreguntas anteriores.

Aunque PERT y CPM tienen el mismo propósito general y utilizan en buena medida la misma terminología,las técnicas se desarrollaron en forma independiente. Se presentó el método PERT a finales de los años 1950para específica tarea de planear, programar y controlar el proyecto de los misiles Polaris. Como muchas de lastareas o actividades relacionadas con el proyecto nunca se habían considerado antes, resultaba difícilpronosticar el tiempo necesario para terminar las diversas tareas o actividades. En consecuencia, se desarrollóla técnica PERT con el objeto de permitir manejar las incertidumbres en los tiempos de terminación de lasactividades.

Por otro lado, el CPM se ideó para desarrollar y controlar proyectos industriales en donde se consideraba quese conocían los tiempos de las tareas o actividades. El CPM ofrecía la posobilidad de reducir los tiempos delas actividades añadiendo trabajadores y/o recursos, por lo general con mayores costos. Por ello, unacaracterística distintiva de CPM era que permitía realizar intercambios entre tiempos y costos para las diversasactividades de los proyectos.

En los usos que se les dan actualmente, ya ha desaparecido en gran medida la diferencia entre PERT y CPMcomo dos técnicas distintas. Con frecuencia, las versiones computacionales del método PERT/CPM contienenopciones para considerar la incertidumbre en los tiempos de las actividades, así como también intercambiosentre los tiempos y costos de las actividades. A este respecto, los procedimientos modernos y de planeación,programación y control de proyectos han combinado en esencia las características de CPM, de manera que la

Pert

Primera clase 1

diferenciación entre las dos técnicas ya no es necesaria.

Nota 1: Una excelente introducción a la Técnica CPM/PERT en Internet se puede encontrar aquí..

Nota 2: El software que utilizaremos en este parte del curso será el Project de la Microsoft. Para bajar éste contiempo de duración de 60 días haga clic aquí.

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Segunda Clase

Redes CMP/PERT

La primera fase del proceso de programación de proyectos con CPM/PERT consiste en determinar las tareas,o actividades, específicas que conforman el proyecto. A manera de ilustración nos vamos a referir a unproceso de compras en un negocio pequeño. Consideremos la lista de cuatro actividades que se muestran en latabla siguiente:

Actividad Descripción Antecedenteinmediato

A Elaboración de una lista de fuentes de financiamiento −−−−−

B Análisis de los historiales financieros del negocio −−−−−

C Elaboración de un plan de negocios B

D Presentación de una propuesta a la instalación crediticia A, C

Los antecedentes inmediatos de una actividad específica son las actividades que, cuando terminan, permitenel inicio de la actividad en cuestión. Por ejemplo, la información de la tabla anterior señala que se puedecomenzar el trabajo correspondiente a las actividades A y B en cualquier momento, puesto que ningunadepende de la terminación de las actividades anteriores. Sin embargo, no puede iniciarse la actividad C hastaque haya terminado la actividad B, y no puede iniciarse la actividad D hasta que hayan concluido lasactividades A y C. Como se verá, es necesario conocer la información sobre los antecedentes inmediatos decada actividad, con objeto de describir las interdependencias entre las actividades del proyecto.

A continuación se dibuja una red que no sólo ilustra las actividades que se listan en la tabla anterior, sino quetambién ilustra las relaciones de precedencia entre las actividades. A esta representación gráfica se ledenomina RED PERT/CPM para el proyecto.

Las actividades se muestran sobre los arcos de la red. Los círculos o nodos, de la red, corresponden al inicio oterminación de las actividades. La terminación de todas las actividades que conducen a un nodo se denominaevento. Por ejemplo, el nodo 2, corresponde al evento de la terminación de la actividad B; y el nodo 3corresponde al evento de la terminación de la actividad A y C.

Pert

Introducción 2

Vamos ahora a elaborar una red para un proyecto que tiene las siguientes actividades, con sus respectivosantecedentes:

Actividad Antecedenteinmediato

A −−−−

B −−−−

C B

D A,C

E C

F C

G D,E,F

Una porción de la red PERT/CPM que podría utilizarse para las primeras cuatro actividades es la siguiente:

Esta porción de red no ocasiona ningún problema específico para la actividad D puesto que muestra,correctamente, que las actividades A y C son los antecedentes inmediatos. Sin embargo, cuando se intentaañadir la actividad E a la red, se presenta un problema. En primer lugar, se podría intentar incluir la actividadE comenzando en el nodo 3. Sin embargo, esto significaría que las actividades A y C son antecedentesinmediatos para la actividad E, lo cual es incorrecto. Con referencia al programa original de actividades parael proyecto, se observa que el único antecedente inmediato de la actividad E es la actividad C.

SE puede evitar el problema anterior incluyendo una actividad ficticia la cual, como su nombre lo indica, noes una actividad real, sino una actividad supuesta que sirve para asegurar que se ilustra en la red las relacionesadecuadas de preferencia entre las actividades. Por ejemplo, puede añadirse el nodo 5 e insertar una actividadficticia, señalada mediante línea punteada del nodo 5 al nodo 3, lo cual conforma la red que se muestra acontinuación:

Pert

Redes CMP/PERT 3

Haciendo este cambio en la red, comenzando la actividad E en el nodo 5, se tiene que su única actividadantecedente es la C, lo cual es correcto. La actividad ficticia no tiene requisito de tiempo, porque sólo seutiliza para conservar las relaciones adecuadas de antecedencia o precedencia en la red. Obsérvese que lainclusión de la actividad ficticia muestra también correctamente que las actividades A y C son antecedentesinmediatos de la actividad D.

La terminación de la red de siete actividades se puede ilustrar de la siguiente manera:

Nótese la forma en que la red identifica correctamente que las actividades D, E y F son los antecedentesinmediatos de la actividad G. Sin embargo, las actividades E y F comienzan, ambas, en el nodo 5 y terminanen el nodo 4. Esta situación ocasiona problemas para ciertos programas de computación que utilizan nodosinicial y final para identificar las actividades de una red PERT/CPM. En estos programas, el procedimientocomputacional consideraría que las actividades E y F son la misma, puesto que tienen los mismos nodosinicial y final. Cuando se presenta esta condición, pueden añadirse actividades ficticias a la red paraasegurarse de que ningún par de actividades tiene los mismos nodos inicial y final. Utilizando el nodo 7 y unaactividad ficticia, como se muestra en seguida, se elimina este problema para las actividades E y F.

Pert

Redes CMP/PERT 4

Se pueden identificar actividades ficticias para identificar en forma correcta las relaciones de precedencia asícomo también eliminar la posible confusión que pudiera ocasionar el que dos o más actividades tengan losmismos nodos inicial y final. Aunque es posible que no se requieran actividades ficticias para todas las redesPERT/CPM, los proyectos más grandes o más complejos pueden requerir de muchas actividades ficticias parapoder esquematizar o trazar en forma apropiada la red.

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Tercera Clase

La Ruta Crítica

Lo que aprenderemos en esta sección se hará sobre la base del siguiente proyecto que a continuación sedescribe

Actividad Antecedenteinmediato

Tiempo determinación(semanas)

A −−− 5

B −−− 6

C A 4

D A 3

E A 1

F E 4

G D, F 14

H B, C 12

I G, H 2

La red de este proyecto se presenta a continuación:

Lo que sin duda nos interesa es saber el tiempo de duración del proyecto, para eso debemos hacer unosdeterminados cálculos, además que utilizaremos estos cálculos para elaborar un programa detallado de inicio

Pert

Tercera Clase 5

y terminación de actividades:

Es necesario, por lo tanto, proceder con los cálculos necesarios para determinar el tiempo total que serequiere para terminar el proyecto.

•

Para evaluar el tiempo de terminación del proyecto será necesario analizar la red e identificar la "RutaCrítica".

•

Una Ruta es una secuencia o sucesión de actividades conectadas desde el nodo de inicio hasta el nodoterminal.

•

Como es necesario pasar por todas las rutas para terminar el proyecto, se requiere analizar el tiempoque tomarán las diversas rutas.

•

En particular, lo que interesa es el camino mas largo a través de la red.• La ruta más larga determina el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto.• Si se demoran las actividades que están en la ruta más larga, se demorará la totalidad del proyecto.• Por eso, las actividades que se encuentren en la ruta más larga serán llamadas actividades de la rutacrítica del proyecto, y a tal camino más largo se le denominará ruta crítica.

•

Si los administradores desean reducir el tiempo total del proyecto, tendrán que reducir la longitud dela ruta crítica, disminuyendo (en tiempo) las actividades sobre la citada ruta.

•

Por lo anterior, vamos a presentar el algoritmo para determinar la Ruta Crítica. Este método consta de dosetapas, la primera, llamada FORWARD, o de avance, se detalla a continuación.

Se definen los siguientes tiempos:

CI = Tiempo más cercano de inicio para una actividad determinada

CT = Tiempo más cercano de terminación para una actividad determinada

T = tiempo esperado para la actividad determinada

Si consideramos, por definición, que el tiempo más cercano de inicio para el nodo inicial es 0, se tiene lasiguiente expresión para el cálculo del tiempo más cercano de terminación de una actividad determinada:

CT = CI + T

Por ejemplo, para la actividad A, se tiene que CI = 0, y T = 5; por lo tanto, el tiempo más cercano determinación para la actividad A es CT = 0 + 5 = 5.

La anotación de estos cálculos en la red se hará conforme se indica en la siguiente figura:

Pert

La Ruta Crítica 6

Como no es posible empezar las actividades que salen de un nodo hasta que finalizan todas las actividadesinmediatamente precedentes, se utiliza la siguiente regla para evaluar los tiempos más próximos o cercanos deinicio para las actividades:

Regla del tiempo más próximo de inicio

El tiempo más próximo de comienzo para una actividad que salede un nodo determinado es igual al mayor de los tiempos determinación de todas las actividades que entran en ese nodo

Al aplicar esta regla a una porción de la red que incluye las actividades A, B, C y H, se obtiene el siguientediagrama:

Pert

La Ruta Crítica 7

Observemos que al aplicar la regla del tiempo más próximo de inicio para la actividad que sale del nodo 2, seidentifica primero que la actividad A es la única que llega al nodo 2. Como el tiempo más próximo determinación para la actividad A es 5, el más cercano de iniciación para la actividad C es también 5. Por ello, eltiempo más próximo de terminación para la actividad C debe ser CT = CI + T = 5 + 4 = 9.

El diagrama anterior muestra también que es 6 el tiempo más próximo de terminación para la actividad B.Aplicando la regla del tiempo más próximo de inicio para la actividad H, se observa que el tiempo máspróximo de comienzo para esta actividad debe ser igual al tiempo más próximo de terminación que sea mayorpara las dos actividades que llegan o entran al nodo 3: B y C. Así que el tiempo más próximo de iniciaciónpara la actividad H es 9, y el tiempo más próximo de terminación es CT = CI + T = 9 + 12 = 21.

Procediendo en esta etapa de avance, se establece el tiempo más próximo de inicio y el tiempo más próximode término para cada actividad. En el diagrama siguiente se muestran los cálculos:

Pert

La Ruta Crítica 8

Observemos que el tiempo más próximo de terminación para la actividad I, la última, es 26 semanas. Por ello,el tiempo total que se requiere para terminar el proyecto es también 26 semanas.

Vamos ahora a la segunda etapa, que llamaremos BAKCWARD, o de retroceso, y que consistirá en ladefinición de los siguientes tiempos:

LI = tiempo más lejano de inicio para una actividad específica

LT = tiempo más lejano de terminación para una actividad específica

Considerando que el tiempo más lejano de terminación para el nodo terminal como el tiempo más cercano determinación en la etapa forward para este nodo (en nuestro caso de 26), podemos utilizar la siguienteexpresión:

LI = LT − T

De modo que para la actividad I, se tiene que LT = 26 y T = 2, entonces el tiempo más lejano de iniciaciónpara esta actividad es LI = 26 − 2 = 24.

Se requiere la siguiente regla para determinar el tiempo más lejano de terminación para cualquier actividad dela red:

Regla del tiempo más lejano de terminación

El tiempo más lejano de terminación para una actividad quellega a un nodo específico es igual al menor de los tiempos más

lejanos de inicio para todas las actividades que salen de esenodo.

La regla anterior establece que el tiempo más lejano en que se puede terminar una actividad es igual al valormás cercano (menor) para el tiempo más lejano de inicio de las actividades siguientes. En el siguientediagrama se muestra la red completa incluyendo los pasos hacia atrás para LI y LT (en ese orden):

Pert

La Ruta Crítica 9

Observemos la aplicación de la regla del tiempo más lejano de terminación para la actividad A, que llega alnodo 2. El tiempo más lejano de terminación para la actividad A (LT = 5) es el menor de los tiempos másremotos de iniciación que salen del nodo 2; es decir, el menor valor LI para las actividades C (LI = 8), E (LI =5) y D (LI = 7) es 5.

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Cuarta Clase

Después de obtener los tiempos de inicio y de terminación de las actividades que se resumen en la redsiguiente:

Pert

La Ruta Crítica 10

se puede determinar el tiempo libre, u holgura, correspondiente a cada una de las actividades. Se define laholgura o margen como el tiempo que se puede demorar una actividad sin afectar el tiempo total que serequiere para terminar el proyecto. La holgura para cada actividad se calcula de la siguiente manera:

Holgura = LI − CI = LT − CT

Por ejemplo, la holgura de la actividad C es LI − CI = 8 − 5 = 3 semanas. Esto significa que puede demorarsela actividad C hasta 3 semanas (iniciándola en cualquier momento entre las semanas 5 y 8) y aún así esposible terminar todo el proyecto en 26 semanas. Por ello, la actividad C no es una actividad de la ruta crítica.También se puede observar que, la holgura correspondiente a la actividad E es LI − CI = 5 − 5 = 0. Por ello, laactividad E no tiene holgura y no se le puede retrasar sin afectar el proyecto completo. En general, lasactividades de la ruta crítica son aquellas que tienen holgura nula o cero.

Los tiempos de inicio y de terminación que se muestran en el diagrama anterior, proporcionan un programadetallado para todas las actividades. Es decir, se puede saber, a partir de este diagrama, cuáles son los tiemposmás cercanos y más lejanos de comienzo y de terminación para las actividades. Poniendo tal información enforma tabular se obtiene el programa de actividades, como se indica a continuación:

Actividad Inicio máscercano CI

Inicio máslejano LI

Término máscercano CT

Término máslejano LT

HolguraLI − CI

¿RutaCrítica?

A 0 0 5 5 0 Sí

B 0 6 6 12 6

C 5 8 9 12 3

D 5 7 8 10 2

E 5 5 6 6 0 Sí

F 6 6 10 10 0 Sí

G 10 10 24 24 0 Sí

H 9 12 21 24 3

I 24 24 26 26 0 SíObservemos que al evaluar la holgura correspondiente a cada actividad, se puede notar que las actividades A,E, F, G e I tienen holgura 0; por tanto, esas actividades conforman la ruta crítica en el ejemplo que nosacompaña desde la tercera clase. Notemos también, como lo indica la tabla anterior, que se entrega la holgurao demora que se puede tolerar para las actividades no críticas, antes de que otras actividades ocasionenretardos en el proyecto.

Finalmente, este cuadro nos permite responder las interrogantes que sus respuestas permitirán la planeación,programación y control del proyecto. Estas son:

¿Cuál es el tiempo total para terminar el proyecto? Resp.: Puede finalizar el proyecto en 26 semanas,si se terminan las actividades individuales según lo programado.

1.

¿Cuáles son los tiempos programados de iniciación y de terminación de cada actividad? Resp.: En elprograma de actividades de la tabla anterior se muestran los tiempos más cercanos y más lejanos deinicio, y más cercano y más lejano de terminación para cada actividad.

2.

¿Qué actividades son "críticas" y deben finalizar exactamente según lo programado para mantener elproyecto dentro del programa? Resp.: Las actividades A, B, F, G e I son las de la ruta crítica.

3.

¿Cuánto se pueden demorar las actividades "no críticas" antes que ocasionen retrasos en laterminación del proyecto? Resp.: El programa de actividades de la tabla anterior muestra el tiempo deholgura correspondiente a cada actividad.

4.

Pert

La Ruta Crítica 11

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Quinta Clase

Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades

Para la elaboración de un proyecto que implica la instalación de un sistema nuevo, o la puesta en marcha deun producto en el cual no se tiene antecedentes referenciales, resulta complicado saber con certeza saber eltiempo a ocupar por las actividades del proyecto, puesto que éstas nunca se han realizado antes. Pues bien, eneste escenario es que se entregaran las técnicas para este tipo de proyectos. Como es usual, trabajaremos conun determinado ejemplo "académico" de proyecto, a fin de visualizar los fundamentos de la técnicaPERT/CPM.

Supongamos que tenemos la siguiente lista de actividades para un determinado proyecto, que llamaremosProyecto TTT:

Actividad Descripción Precedentes

A Elaborar el diseño del producto eninvestigación y desarrollo

−−−

B Investigación del plan de mercado −−−

C Ingeniería de manufactura A

D Construir el modelo prototipo A

E Preparar el folleto de mercadotecnia A

F Preparar las estimaciones de costo C

G Realizar pruebas preliminares D

H Terminar la Investigación de mercado B, E

I Preparar la determinación de precios yel reporte sobre pronósticos

H

J Preparar el reporte final F, G, I

La red PER/CPM para este proyecto es la que se presenta a continuación:

Pert

Quinta Clase 12

Ahora bien, se requiere información sobre el tiempo necesario para terminar cada actividad. Esta informaciónse utiliza en el cálculo del tiempo total requerido para terminar el proyecto y en la programación de lasactividades específicas. Para proyectos que se repiten, tales como proyectos de construcción y mantenimiento,o ambos, los administradores pueden tener experiencia y los datos históricos necesarios para proporcionarestimaciones precisas de los tiempos de las actividades. Sin embargo, en el caso de proyectos nuevos o únicos,la estimación de los tiempos de las actividades puede ser considerablemente más difícil. De hecho, lostiempos de las actividades son inciertos en muchos casos y la mejor manera de describirlos es mediante unintervalo de valores posibles, y no mediante una estimación específica del tiempo de la actividad. En estoscasos, los tiempos inciertos de las actividades sev tratan como variables aleatorias con distribuciones deprobabilidad asociadas. Como resultado, se hacen afirmaciones probabilísticas con respecto a la capacidad desatisfacer una fecha específica del proyecto.

Para incluir los tiempos inciertos de las actividades en el análisis de la red, es necesario obtener tresestimaciones de tiempo para cada actividad. Las tres estimaciones son

Tiempo optimista (a): El tiempo de actividad si todo marcha de manera ideal

Tiempo más probable (m): El tiempo con más probabilidad de una actividad en condiciones normales

Tiempo pesimista (b): Tiempo de actividad cuando se afrontan demoras considerables

Estas tres estimaciones de tiempo permiten al administrador desarrollar una mejor apreciación del tiempomás probable para la actividad, de modo que después se pueda expresar la incertidumbre haciendoestimaciones de tiempos que varían desde el mejor tiempo posible (el óptimo) hasta el peor tiempo posible (elpesimista)

Como ilustración del proyecto TTT con tiempos inciertos de las actividades se considerarán las estimacionesde tiempos optimistas, más probables y pesimistas para las actividades del proyecto TTT que se presenta en lasiguiente tabla

Actividad Optimista (a) Más probable (m) Pesimista (b)

A 4 5 12

B 1 1.5 5

C 2 3 4

D 3 4 11

E 2 3 4

F 1.5 2 2.5

G 1.5 3 4.5

H 2.5 3.5 7.5

I 1.5 2 2.5

J 1 2 3

Utilizando la actividad A como ejemplo. Podemos observar que los administradores estiman que esaactividad requerirá entre 4 semanas (optimista) hasta 12 semanas (pesimista), siendo el tiempo más probablede 5 semanas. Si se pudiera repetir muchas veces la actividad ¿cuál sería el tiempo promedio? Se puededeterminar este promedio, o tiempo esperado (t), mediante la siguiente fórmula

Pert

Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 13

Se obtiene un tiempo promedio de terminación para la actividad A de

Con tiempos inciertos en las actividades, puede utilizarse la medida estadística común conocida comovarianza para describir la dispersión o variabilidad en los valores de tiempo de actividad. La varianza deltiempo de actividad está dada por la siguiente fórmula:

Como podemos ver, la diferencia entre la estimación pesimista (b) y la optimista (a) afecta en gran medida elvalor de la varianza. Una diferencia grande entre estos valores reflejará un alto grado de incertidumbre en eltiempo de actividad. Para el caso que tratamos en este ejemplo para la actividad A, la medida deincertidumbre es

El cálculo de los tiempos de actividad tanto como su varianza se basan en la suposición de que es posibledescribir la incertidumbre en los tiempos de actividad mediante una distribución beta de probabilidad.

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Sexta Clase

Con la suposición de que los tiempos de actividad siguen una distribución beta, se tiene que los tiemposesperados y las varianzas para las actividades del proyecto TTT, se entregan en la siguiente tabla:

Actividad Tiempo esperado

(semanas)

Varianza

A 6 1.78

B 2 0.44

C 3 0.11

D 5 1.78

E 3 0.11

F 2 0.03

G 3 0.25

H 4 0.69

I 2 0.03

J 2 0.11

Total 32

Pert

Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 14

Se puede ilustrar el proyecto TTT y los tiempos esperados de las actividades.

La Ruta Crítica

Una vez que se tiene la red y los tiempos esperados de las actividades, se procede a realizar los cálculosnecesarios de la ruta crítica para determinar el tiempo esperado que se requiere para acabar el proyecto, asícomo también el programa de actividades. En este caso se manejan los tiempos esperados de actividad comode duración conocida o fija. Con esto en mente, se utilizan los algoritmos Forward y Backward.

La siguiente red ilustra el procedimiento Forward con los valores CI y CT

Pert

Programación de Proyectos con Tiempos inciertos de las Actividades 15

Observemos que el tiempo más próximo de terminación para el proyecto completo es de 17 semanas. Por lotanto, el tiempo esperado de terminación para el proyecto completo es de 17 semanas. En seguida se continúacon el procedimiento para encontrar la ruta crítica efectuando el algoritmo Backward, con el cálculo de lostiempos LI (tiempos lejanos de iniciación) y LT (tiempos lejanos de terminación). Aquí se presenta la redfinal:

De manera que la ruta crítica está dada por la trayectoria A−E−H−I−J, con un tiempo esperado de ejecuciónde la obra de 17 semanas. Recordemos estos cálculos que los volveremos a ocupar en la séptima sesión.

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Séptima Clase

Estamos considerando que los tiempos de actividad y los valores deducidos para los PI, PT, LI y LTfuesen deterministas. Esto no tiene que ser necesariamente correcto, puesto que a veces, y así lohemos considerado en el capítulo anterior, los tiempos de ejecución son aleatorios, y pueden serestimados toda vez que asumamos que estos tiempos aleatorios siguen una distribuciónconocida. Por lo general se supone que siguen una distribución beta. El método PERT, para poderestimar el tiempo de actividad requiere tres tipos de estimación, como se dijo en la clase quinta, ylos volvemos a recordar:

Tiempo optimista (a): es el tiempo mínimo. Todo tiene que marchar a la perfección paralograr este tiempo.

1.

Tiempo más probable (m): es el tiempo normal. El que se necesita en circunstanciasnormales.

2.

Tiempo pesimista (b): es el tiempo máximo. Es el tiempo que se ocupa en cada actividadtoda vez que "las cosas no salen como uno quisiera".

3.

Ahora bien, con estas tres estimaciones, más la fuerte suposición de que "el tiempo de duración enla ejecución de una actividad es una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidadunimodal beta", entonces los tiempos a, m y b juegan el siguiente papel como se ve en lasiguiente gráfica.

Pert

Séptima Clase 16

Ahora bien, el tiempo de actividad esperado para una actividad específica en función de estos trestiempos se obtiene de la siguiente forma:

La desviación estandar de un tiempo de actividad se estima de la siguiente forma:

Recordemos que la varianza es el cuadrado de la desviación estándar.

En el siguiente cuadro se presentan una serie de actividades con los tiempos optimista, normal ypesimista, de manera que se realizan los cálculos de los tiempos esperados, desviaciones yvarianzas:

Actividad a m b tiempoesperado

desv. estándar varianza

A 1 3 5 3 2/3 4/9B 3 4.5 9 5 1 1C 2 3 4 3 1/3 1/9D 2 4 6 4 2/3 4/9E 4 7 16 8 2 4F 1 1.5 5 2 2/3 4/9G 2.5 3.5 7.5 4 5/6 25/36H 1 2 3 2 1/3 1/9I 4 5 6 5 1/3 1/9J 1.5 3 4.5 3 1/2 1/4K 1 3 5 3 2/3 4/9

El hecho de que los tiempos de actividad sean variables aleatorias implica que el tiempo deconclusión del proyecto sea también una variable aleatoria. Es decir, hay una variabilidad en eltiempo de conclusión final del proyecto, de manera que nuestro interés es el cálcuo de"incertidumbre" de que un determinado proyecto termine en el tiempo presupuetado. Para erstecálculo procedemos de la siguiente forma:

Sea T el tiempo total que durarán las actividades de la Ruta Crítica.1. Encuéntrese la probabilidad de que el valor T resulte menor o igual que cualquier valorespecífico de interés. Para el cálculo de esta probabilidad se consideran dos supuestos

Los tiempos de actividad son variables aleatorias independientesa. La variable aleatoria T tiene una distribución aproximadamente normalb.

2.

Supongamos que deseamos encontrar Pr{T<n}. Se procede de la siguiente manera. Al admitir queT es una variable normalmente distribuida, se considera como media de esta distribución normal altiempo esperado entregado por la ruta crítica; y la varianza de esta distribución normal es la sumade las varianzas de las actividades de la ruta crítica. Veamos esta aplicación con el ejemplo de laSexta Clase.

Pert

Séptima Clase 17

Para el cálculo de la varianza de T, consideramos la suma de las varianzas de cada actividad queconstituye la Ruta Crítica (por ser independientes los tiempos de las actividades):

Var (T) = Var(Act. A)+Var(Act. E)+Var(Act. H)+Var(Act. I)+Var(Act. J)

Var (T) = 1.78+0.11+0.69+0.03+0.11 = 2.73

de modo que la desviación estándar es de 1.6523. La media de esta variable aleatoria T es eltiempo esperado otorgado por la ruta crítica, en nuestro caso de 17 semanas. De manera que Tsigue una distribución normal con media 17 y varianza 2.73. Al normalizar esta variable, tenemosque

Consultando una tabla de probabilidad normal, nos encontramos que

Pr{T<22}=Pr{Z<3.0261} = 0.99874

Y esto significa que con probabilidad casi 1 el proyecto se terminará antes de las 22 semanas.

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Octava clase

PERT/COSTO

La técnica PERT/Costo fue desarrollada en 1962 como una natural extensión de la programaciónPERT/Tiempo, donde se integran los datos de tiempo con los datos de costo. De manera que al incluir tanto eltiempo como el costo en la red, se pueden calcular los intercambios entre ambos. Esto trae como consecuenciaque cambia el enfoque del volumen, en el sentido de que ya no solo se considera el costo por pieza producida(que es por lo general lo primero que se calcula en un proyecto “que está marchando”), sino que debemosagregar el costo por cada actividad. Y es así como un proyecto PERT/Costo atraviesa los límites tradicionalesde contabilidad y requiere una gran coordinación de las actividades de ingeniería, cálculo, control ycontabilidad.

Relación Tiempo−Costo. Necesitamos algunos conceptos nuevos. En una red PERT hay dos tiempos decálculo de tiempo y costo para cada actividad. Una de ellas es la estimación normal y otra la de emergencia ode terminación acelerada. La estimación normal del tiempo es análoga al cálculo del tiempo esperado.Corresponde al costo normal asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal. Mientas que laestimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría si no seahorraran costos para tratar de reducir el tiempo del proyecto. Por lo general, quien está a cargo del proyectoharía todo lo que fuese necesario para acelerar el trabajo (bajo ciertas condiciones obvias de sustentabilidad,se entiende). Elcosto de emergencia o de terminación acelerada es el costo asociado con la realización de lasobras en base a la terminación acelerada para minimizar el plazo de terminación (o a veces, para ganar laholgura en prevención a futuras detenciones en el proyecto).

Las relaciones tiempo−costo pueden tomar muchas formas, como por ejemplo lo ilustra la transparencia de lafigura 1. El caso A es una relación de tiempo−costo en el cual puede efectuarse una reducción de tiempo conun moderado incremento de costo. En cambio, para el caso B se tiene una relación de tiempo−costo en el cualse puede lograr una reducción de tiempo con un gran incremento de costo. El tipo más común de relación detiempo−costo es la línea recta trazada entre ambos casos, y que pasa a ser una aproximación lineal entreambos casos extremos. para mostrar el incremento moderado en el costo para el caso A y el incremento

Pert

Octava clase 18

grande en el costo para el caso B, se consideran los siguientes segmentos de líneas de la figura 1. Las líneas D,E, F y H son aplicables al cado A, mientras que las líneas C, E, G y H están relacionadas con el caso B.

La principal razón de que se usen aproximaciones lineales, en vez de las curvas reales de tiempo−costo, esque así se determinan rápidamente el costo que representa acelerar cualquiera de las actividades de una red sinque se pierda en conceptos contables complicados, como los que se representaría al redistribuir los costossobre alguna base contable. Sin embargo, la curva real de tiempo−costo se puede determinar y emplearse. laexperiencia con esta técnica de programación ha demostrado que el gasto extra necesario no se justifica paradeterminar cuáles son estas relaciones precisas. Como ya se ha enfatizado, la razón para tratar a una relaciónde tiempo−costo como una línea recta. es que cada reducción unitaria en el tiempo produce un incrementoigual en el costo. Definiremos el costo incremental como la diferencia entre los costos asociados a losrespectivos tiempos de terminación normal y normal, dividido por la diferencia entre estos tiemposrespectivos. Analíticamente

Veamos una aplicación de lo aprendido en un problema...

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Novena Clase

Vamos a mostrar cómo se pueden usar los costos incrementales para cada actividad, a fin de reducir el tiempototal del proyecto al costo adicional más bajo. la siguiente tabla muestra el tiempo y el costo para cadaacticidad, sobre una base normal, y sobre una base de terminación acelerada. también aparecen los costosincrementales para cada actividad, calculados según la última ecuación de la clase anterior.

Actividad antecedentes Tiemponormal

Tiempoterminación.acelerada

Costo directonormal

Costo directoacelerado

Incrementosemanal

A − 1 1 $5000 $5000 no aplicableB A 3 2 5000 12000 $7000C A 7 4 11000 17000 2000D B 5 3 10000 12000 1000

Pert

PERT/COSTO 19

E B 8 6 8500 12500 2000F C, D 4 2 8500 16500 4000G E, F 1 1 5000 5000 no aplicable

Veamos la red asociada a este problema

Pert

Novena Clase 20