Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
-
Upload
ucu-sumisiani -
Category
Documents
-
view
246 -
download
0
Transcript of Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
1/13
Persamaan Differensial Variabel Terpisah
Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan x untuk menyatakan vareabel bebas dari pada t
dalam persamaan diferensial. Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu mempunyai
bentuk :
.. (2.1)
Jika persamaan (2.1) adalah tak linear, yakni f tidak linear dalam vareabel bergantung y, maka
tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikannya. Dalam bagian ini kitaakan membahas subklas dari persamaan linear orde satu yang dapat diintegralkan langsung.
Pertama kita tulis kembali persamaan (2.1) dalam bentuk :
.. (2.2)
Adalah selalu mungkin untuk mengerjakan ini dengan memisalkan M (x,y) = - f (x,y) danN (x,y)
= 1, tetapi mungkin cara lain juga bisa. Dalam kasus M hanya fungsi darix danN hanya fungsi
dariy, maka persamaan (2.1) menjadi :
.. (2.3)
Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk :
.. (2.4)
M(x; y) + N(x; y) = 0.
M(x) + N(y) = 0
= f (x,y).
M(x)dx + N(y)dy = 0
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
2/13
kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain. Persamaan (2.4) lebih simetrik dan
dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas.
Contoh 1. Tunjukkan bahwa persamaan
= (2.5)
adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva integralnya.
Jawab:
Kita dapat tulis persamaan (2.5) ke dalam
-x2+ (1 y2) = 0, (2.6)
yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2.3), oleh karena itu terpisah. Periksa bahwa suku
pertama persamaan (2.6) yang merupakan turunan dari dan suku yang ke dua dengan
menggunakan aturan rantai merupakan turunan dariy - terhadapx. Jadi persamaan (2.6) dapat
ditulikan sebagai :
( y - ) = 0
Oleh karena itu kita dapatkan
-x2+ 3y y3= c (2.7)
dimana c adalah sebarang konstan, yang merupakan kurva integral dari persamaan (2.6). Sebuah
persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0, y0) dapat ditemukan dengan
mensubstitusikanx0dany0untukx danyberturut turut ke dalam persamaan (2.7) dan kita dapat
temukan c. Sebarang fungsi terturunkan y = (x) yang memenuhi (2.7) adalah solusi daripersamaan (2.5). Dengan menggunakan cara yang sama untuk persamaan (2.3) dengan
memisalkanH1danH2adalah sebarang fungsi sedemikian sehingga
H1(x) = M (x), H2(y) = N(y) (2.8)
maka persamaan (2.3) menjadi
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
3/13
H1(x) + H2(y) = 0 (2.9)
Dengan menggunakan aturan rantai
H2(y) = H 2(y),
maka persamaan (2.9) menjadi :
.. (2.10)
Dengan mengintegralkan persamaan (2.10) kita dapatkan
.. (2.11)
dengan c adalah sebarang konstan. Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan (2.11)
adalah solusi dari (2.3). Dengan kata lain persamaan (2.11) mendefinisikan solusi implisit
daripada eksplisit. Fungsi-fungsiH1 danH2 adalah antiturunan dariM danNberturut-turut.
Dalam prakteknya persamaan (2.11) biasanya diperoleh dari persamaan (2.4) dengan
mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y. Jika persamaan (2.3)
ditambah dengan kondisi awaly(x0) =y0maka solusinya merupakan solusi dari (2.11) dengan
mensubstitusikanx =x0dany =y0dan akan didapatkan
c =H1 (x0) + H2 (y0).
Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2.11) dan catat bahwa
H1 (x) - H1 (x0) = , H2 (y) - H2 (y0) =
Maka kita dapatkan
[H1 (x) + H2 (y)] = 0.
H1 (x) + H2 (y) = c
+ = 0
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
4/13
L TIH N SO L
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
0
15.
16.
17.
18.
19.
20.
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
5/13
DAFTAR PUSTAKA
Richard Bronson, Ph.D, Gabriel B. Costa. Third edition Differential Equation. 4: 29-30
Waluya, Budi. M.Si. 2006. Persamaan Diferensial. Semarang: Bahan Ajar
HS. Suryadi, Suhaedi. 1994. Matematika Lanjut. Jakarta
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
6/13
SOLUSI LATIHAN SOAL
1.
kali kan kedua persamaan dengan 2
2.
3
3.
4.
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
7/13
5.
6.
7.
= y
= kali kan kedua persamaan dengan 2.
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
8/13
8.
= y
= kal ikan kedua persamaan dengan 4.
9.
= y
= kal ikan kedua persamaan dengan 3.
10.
= y
=
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
9/13
11.
= y
= kali kan kedua persamaan dengan 2.
12.
=
=
13.
kalikan dengan
=
=
=
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
10/13
14. 0
= 0
= 0
1
1 atau 1
15.
=
=
Kalau diteruskan , maka
1
1
=
16.
= 0
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
11/13
)
17.
18.
C dapat kita tulis sebagai supaya solusi yang diperoleh mempunyai bentuk yang
baik.
Kalau dimita solusi khusus pada (x,y) = (0,2), maka :
19.
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
12/13
= C
20.
+ = - +
+ = - +
-
C = 2( )
-
7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf
13/13