Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

1

December 01, 2015

Permutations (Part A)

A permutation problem involves counting the number of ways to select some objects out of a group.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

2

December 01, 2015

There are THREE requirements 

for a permutation. 

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

3

December 01, 2015

Permutation Requirements

1.  The n objects are all different/distinguishable.

2.  No object can be repeated.

3.  Order makes a difference 

      

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

4

December 01, 2015

With permutations, every little detail matters.        

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

5

December 01, 2015

Permutations are for arrangements where the order of the objects matters.

Alice, Bob and Charlie is  different from 

Charlie, Bob and Alice. 

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

6

December 01, 2015

Telephone numbers are a good example

of a permutation.  

For example, the phone number 538­2783 is different from 583­2784.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

7

December 01, 2015

A permutation is just the 

fundamental counting principle

expressed as a formula.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

8

December 01, 2015

The number of permutations of n different objects takenr at a time is given by:   

Permutation Formula

, n ≤ r

"n permutation of r"

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

9

December 01, 2015

Note:  When r = n, all of the objects in a            group are selected and arranged in           a specific order. 

            

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

10

December 01, 2015

­  How many different arrangements are there?                      ­  List all the possible ways these three people can      stand in line. 

Example

Anna, Marie and Brian line up at a banking machine. 

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

11

December 01, 2015

AMB         ABM

MAB         MBA

BAM         BMA

A list of possible arrangements are:

There are 6 possible arrangements.

A  ­ AnnaM ­ MarieB ­ Brian

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

12

December 01, 2015

Sample Problems

 a)  5P3

1. Evaluate.

b)  10P4

c)  8P8

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

13

December 01, 2015

2.  a)  Solve for n.

nP2 = 30

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

14

December 01, 2015

2.  b)   Solve for r.

        5Pr = 20

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

15

December 01, 2015

3.  Suppose 1st, 2nd and 3rd place prizes are to be awarded       to a group of 8 trumpeters.   How many ways are there      to award 3 prizes to 8 people?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

16

December 01, 2015

4.  How many different 5 digit numbers can be made using the      numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 by only using each number once?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

17

December 01, 2015

5.  How many ways can a president, vice president, a secretary 

     and treasurer be selected from a class of 25 students?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

18

December 01, 2015

6.  How many ways can 7 books be arranged on a shelf

     if they are selected from 10 different books?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

19

December 01, 2015

7.  From 25 raffle tickets, 5 tickets are to be selected in order.  

     The first ticket wins $250, the second $200, the third $150, 

     the fourth $100 and the fifth $50.  How many ways can 

     these prizes be awarded.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

20

December 01, 2015

So far, all examples of permutations have been 

distinguishable permutations.  This means that 

all the objects are different from one another.  

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

21

December 01, 2015

Suppose you had the letters a, b, c, and d and 

were asked to form all words using these four 

letters.  How many words can be formed?

Permutations: Part B

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

22

December 01, 2015

Your answer would be different if the letters you had 

to work with were a, a, b, c.  

This would be an example of a permutation that is 

non­distinguishable.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

23

December 01, 2015

In the 24 words formed, half will appear the same 

because we cannot distinguish between the two a's.

We would only have 12 unique words.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

24

December 01, 2015

Permutation with Repetition

The number of permutations of n objects in which

 n1 are alike, n2 alike, etc., is:

where

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

25

December 01, 2015

1.  How many different words can be formed using 

     the letters of the word LIBBY?

Sample Problems

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

26

December 01, 2015

2.  What is the total number of permutations of the letters 

     in the word BANANA?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

27

December 01, 2015

3.  Find the number of different ways of placing 16 balls 

     in a row given that 4 are black, 3 are green, 7 are red, 

     and 2 are blue.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

28

December 01, 2015

4.  Miss Sherrard's hockey team has 20 players consisting of 

     12 forwards, 6 defence, and 2 goalies.  How many ways 

     can you arrange the players?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

29

December 01, 2015

5.  How many different words can be formed using 

     the letters of the word MISSISSIPPI?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

30

December 01, 2015

Specific Positions

Frequently when arranging items, a particular position must be occupied by a particular item.  The easiest way to approach these questions is by analyzing how many possible ways each space can be filled.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

31

December 01, 2015

Sample Problems

1.  How many ways can Adam, Beth, Charlie and            Doug be seated in a row if Charlie must be in      the second chair?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

32

December 01, 2015

2.  How many ways can you order the letters of     KITCHEN if the arrangements must start with      a consonant and end with a vowel?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

33

December 01, 2015

3.  How many ways can you order the letters of       UMBRELLA if the arrangements must begin      with exactly two L's?

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

34

December 01, 2015

4.  How many ways can you order the letters of         TORONTO if it begins with exactly two O's?

NOTE:  Exactly two O's means the first 2 letters              must be O, and the third must NOT be              an O.  Don't forget repetitions.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

35

December 01, 2015

Items Always Together

Sometimes, certain items must be kept together.  To do these questions, you must treat the joined items as if they were only one object.

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

36

December 01, 2015

1.  How many arrangements of the word ACTIVE are      there if C and E must always be together?

Sample Problems

Notes ­ Combinatorics  Part Two.notebook

37

December 01, 2015

2.  How many ways can 3 math books, 5 chemistry books     and 7 physics books be arranged on a shelf if the      books of each subject must be kept together?