Performances Des Files d'Attente
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8/7/2019 Performances Des Files d'Attente
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Modlisation et valuationde Performances de Rseaux
Chapitre 3 : Performances des files d'attente
(maj : mars 03)
Fabrice [email protected]://citi.insa-lyon.fr/~ fvalois
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Paramtres de performances
'
Analyse oprationnelle' En rgime transitoire
Dbit moyen d'entre Dbit moyen de sortie Nombre moyen de clients Temps de sjour Taux d'utilisation (file d'attente)
' En rgime permanent' Condition de stabilit' Notion d'ergodicit' Loi de Little' quivalence des instants d'observation d'un systme
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Paramtres de l'analyse oprationnelle
' Ak : instant d'arrive du k ime client' Dk : instant de dpart du k ime client' R k : temps de sjour du k ime client
dans le systme :R k =Dk -Ak
' T: temps total d'observation
n= 0
T n ,T =T
'
T(n,T): temps total pendant lequel lesystme contient n clients
' P(n,T): proportion de temps pendantlequel le systme contient n clients
' A(T): nombre de clients arrivant dans lesystme pendant [0,T]
' D(T): nombre de clients quittant le
systme pendant [0,T]
P n ,T =T n ,T T
N(t)
T0
1
2
3
4
tA1
A2
D2
D1
R 1
R2
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Paramtres de performances (part. 1)
' Dbit moyen d'entre Xe Nombre moyen de clients arrivs dans le systme par unit de temps
' Dbit moyen de sortie Xs Nombre moyen de clients ayant quitt le systme par
unit de temps
X e
T = A T T
X s T = D T
T
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Paramtres de performances (part. 2)
' Nombre moyen de clients QMoyenne temporelle de N(t)
' Temps moyen de sjour R Moyenne (arithmtique) des temps de sjour des clientsarrivs dans le systme pendant la dure del'observation
Q T =1
T n=
0
nT n ,T =n=
0
n P n ,T
R T =1
A T k = 1 A T
Rk
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Paramtres de performancespour une file simple
' Xe, Xs, Q, R et....' Taux d'utilisation du serveur U
Proportion du temps pendant laquelle le serveur est occup
R
QXe Xs
Arrives Dparts
U T =n= 1
P n ,T =1 P 0, T
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Paramtres de performancespour un rseau de FA
' On peut considrer plusieursniveaux :' Les paramtres de performances du rseau tout entier ' Les paramtres de performances pour chacune des stations' Dans le cas multiclasse :
' On peut s'intresser aux paramtres de performances pour chaque classe' ... ou toutes classes confondues
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Paramtres de performances enrgime permanent
' On s'intresse l'existence et aux valeurs (ventuelles)des limites lorsque T :
X e= limT
X e T
X s= limT
X s T
Q= limT
Q T
R= limT
R T
U = limT
U T
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Stabilit ?
' Notion dfinie uniquement en rgime permanent' Restrictions : pas de mcanismes de type
' Join'
Fork
' Dfinition :Un systme est stable ssi le dbit moyenasymptotique de sortie des clients du systme est gal audbit moyen d'entre des clients dans le systme
limT
X s T =limT
X e T limT
A T D T
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Stabilit d'une file d'attente
' Une file d'attente sera considre comme stable ds que:taux d'arrives < taux de service
' i.e. il ne faut pas qu'il arrive, en moyenne, plus de clientdans la file que ce qu 'elle est capable de traiter
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Stabilit d'un rseau de FA ouvert
' Proprit : Un rseau de files d'attente monoclassecomportant M stations (chaque station i ayant un tauxservice i, Ci serveurs et tant soumise un taux
d'arrives i d'arrive des clients) est stable ssi:i < Ci. i pour tout i=1, ..., M
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Notion d'ergodicit
'
Paramtres oprationnels ?' Issus de l'tude du rgime stationnaire' Mais cela revient considrer une volution particulire du systme' Question : toutes les ralisations ont-elles le mme comportement
asymptotique ?' volution stochastique du systme ? relation entre paramtres de performances stochastiques et
oprationnels ?
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Une ide de l'ergodicit
' Systmeergodique: toutes les ralisations particuliresde l'volution d'un systme sont asymptotiquement etstatistiquement identiques
'
Ergodicit galit entre moyennes temporelles etmoyennes statistiques' Pour un systme ergodique, les paramtres de
performanceoprationnelssont gaux aux paramtresde performancesstochastiques (en rgime permanent)
' On peut montrer, qu'un systme ergodique tend vers un processus stochastique stationnaire
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Loi de Little' Ne concerne que le rgime permanent
' Aucune hypothse sur la bote noire ' Aucune hypothse sur les variables alatoires qui
caractrisent le systme
R
QXe X s
Arrives Dparts
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Loi de Little : nnonc
' Proprit : Le nombre moyen de clients Q, le tempsmoyen de rponse R et le dbit moyen X d'un systme
stable en rgime permanent se relient de la faon
suivante :Q=R.X
' Pseudo-preuve (intuitive mais....)' Un client arrivant trouve en moyenne Q clients devant lui' Ce client partant laisse derrire lui R.X clients' Donc dans l'tat stationnaire : Q=R.X
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Importance de la loi de Little
' Permet de dduire l'une des trois quantits (Q, R, X) enfonction de la connaissance des deux autres
' Peut s'appliquer :'
Sur une file d'attente (buffer+serveur)' Sur la file d'attente (le buffer seulement)' Sur le serveur de la file' ...
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Little sur file d'attente + serveur
'
Littlerelation entre nombre moyen dans la file (enattente ou en service) et le temps moyen total de sjour d'un client dans la file (temps d'attente+temps deservice) :
Q=R.X=R.
R
Q
X
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Little sur file d'attente
'
Ici bote noire = buffer ' Little relation entre le nombre moyen de clients en
attente Qw et le temps moyen d'attente d'un client avantservice W :
Qw=W.X=W
W
Qw
X
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Little sur serveur de la file
' Maintenant bote noire = serveur ' Little relation entre le nombre moyen de clients en
service Qs et le temps moyen de sjour S d'un client dans
le serveur :Qs=S.X=S.
S
Q s
X
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Observations d'un systme
' On peut observer un systme :' un instant quelconque' un instant d'arrive d'un client' un instant de dpart d'un client
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Equivalence des instants d'observations
' Proprit 1 : Dans un systme tel que l'on observe jamais l'arrive simultane ou le dpart simultan de plusieurs clients alors les instants d'arrive sont
quivalents aux instants de dpart ' Proprit 2 : Dans un systme soumis des arrives
poissoniennes alors les instants d'arrive sont quivalents aux instants quelconques
'