PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB...

50
PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE (GSTAR) PADA DATA INFLASI BEBERAPA KOTA (Skripsi) Oleh ULFA PUTRI RAHMANI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2019

Transcript of PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB...

Page 1: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE(GSTAR) PADA DATA INFLASI BEBERAPA KOTA

(Skripsi)

OlehULFA PUTRI RAHMANI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

Page 2: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

ABSTRACT

APLICATION OF MODEL GENERALIZED SPACE TIMEAUTOREGRESSIVE (GSTAR) IN INFLATION DATA OF SEVERAL

CITIES

By

ULFA PUTRI RAHMANI

The most commonly used models for space time data are Vector autoregressive(VAR), Space Time Autoregressive (STAR), and Generalized Space TimeAutoregressive (GSTAR) models. For locations that have different characteristics(heterogeneous), GSTAR model was better used than STAR model. The aim ofthis study is to apply GSTAR model on time series data from three differentlocations. The data used in this study are the inflation data of Palembang, BandarLampung, and DKI Jakarta from January 2012 to June 2019. The location weightused are inverse distance and normalized cross-correlation. In this researchparameter estimation was done by the Generalized Least Square (GLS) method.From the analysis results obtained the best model is GSTAR(11) with the weightof inverse distance because it has the smallest average RMSE that is 0.467767.

Keywords : space time, VAR, GSTAR, STAR, inflation, GLS

Page 3: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

ABSTRAK

PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE(GSTAR) PADA DATA INFLASI BEBERAPA KOTA

Oleh

ULFA PUTRI RAHMANI

Model yang umum digunakan untuk data space time adalah model Vectorautoregressive (VAR), Space Time Autoregressive (STAR), dan GeneralizedSpace Time Autoregressive (GSTAR). Untuk lokasi yang memiliki karakteristikyang berbeda (heterogen), model GSTAR lebih baik digunakan dibandingkanmodel STAR. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan model GSTAR padadata time series dari tiga lokasi berbeda. Data yang digunakan pada penelitian iniadalah data inflasi Palembang, Bandar Lampung, dan DKI Jakarta bulan Januari2012 hingga Juni 2019. Bobot Lokasi yang digunakan adalah bobot lokasi inversjarak dan bobot lokasi normalisasi korelasi silang. Pada penelitian ini pendugaanparameter dilakukan dengan metode Generalized Least Square (GLS). Dari hasilanalisis diperoleh model yang terbaik adalah model GSTAR(11) dengan bobotlokasi invers jarak karena memiliki rata-rata RMSE terkecil yaitu 0.467767.

Kata kunci : space time, VAR, GSTAR, STAR, inflasi, GLS

Page 4: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE(GSTAR) PADA DATA INFLASI BEBERAPA KOTA

Oleh

ULFA PUTRI RAHMANI

(Skripsi)

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarSARJANA SAINS

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

Page 5: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)
Page 6: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)
Page 7: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)
Page 8: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

RIWAYAT HIDUP

Penulis memiliki nama lengkap Ulfa Putri Rahmani, anak tertua dari Bapak

Abdurrachman dan Ibu Sri Haryani. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada

tanggal 16 Juni 1997. Alamat tempat tinggal penulis di Jalan Biru Safir Blok D13

No 9 Perum Bukit Sukabumi Indah, Sukabumi, Bandar Lampung, Lampung.

Penulis menempuh pendidikan Sekolah Dasar di SDN Keroncong 3 Kota

Tangerang lulus pada tahun 2009. Kemudian melanjutkan ke Sekolah Menengah

Pertama SMPN 12 Kota Tangerang. Namun pada tahun 2010 penulis pindah ke

Lahat, Sumatera Selatan dan menempuh pendidikan di SMPN 1 Merapi Timur

lulus pada tahun 2012. Sekolah Menengah Atas di SMAN 12 Bandar Lampung

lulus pada tahun 2015. Pada tahun yang sama penulis terdaftar sebagai mahasiswa

S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung melalui jalur Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi

Negeri (SBMPTN).

Selama kuliah penulis aktif menjadi anggota organisasi kampus, antara lain

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai Anggota

Bidang Keilmuan periode 2016 dan Anggota Departemen Pemberdayaan Sumber

Daya Mahasiswa (PSDM) BEM FMIPA Unila periode 2016. Sejak tahun 2017

Page 9: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

hingga 2018, penulis aktif menjadi asisten dosen matakuliah Struktur Aljabar I,

Struktur Aljabar II, dan Aljabar Linear Elementer. Pada bulan Januari hingga

Februari 2018 penulis melaksanakan Kerja Praktek di Badan Pusat Statistik Kota

Bandar Lampung. Bulan Juli hingga Agustus 2018 penulis mengikuti Kuliah

Kerja Nyata (KKN) Kebangsaan di Desa Negara Saka, Kecamatan Jabung,

Kabupaten Lampung Timur bersama perwakilan mahasiswa dari beberapa

universitas di seluruh Indonesia.

Page 10: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

KATA INSPIRASI

“Dan boleh jadi kamu membenci sesuatu padahal ia baik

bagimu, dan boleh jadi kamu menyukai sesuatu padahal ia

buruk bagimu, Allah mengetahui, sedangkan kamu tidak

mengetahui.”

(QS. Al-Baqarah 2 : Ayat 216)

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan

kadar kesanggupannya.”

(QS. Al-Baqarah 2 : Ayat 286)

“Tidak masalah seberapa lambat kamu berjalan, yang

penting kamu tidak berhenti.”

(Confucius)

“Hiduplah secara sederhana. Bermimpilah yang besar.

Bersyukur. Berilah cinta. Tertawalah yang banyak.”

(Paulo Coelho)

Page 11: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah ku panjatkan kepada Allah SWT, atas segalarahmat dan ridha-Nya sehingga karya sederhana ini dapat

diselesaikan dengan baik. Ku persembahkan karya sederhanaini untuk :

Bapak dan Ibuku tercinta

Apa yang aku dapatkan saat ini belum dapat membayarsegala pengorbanan, air mata, dan jerih payah kalian dalammembesarkanku. Terima kasih atas semua dukungan kalian,

baik berupa materi maupun moril. Karya inikupersembahkan kepada kalian yang senantiasa berdiri di

belakangku dan mendorongku untuk terus mengejar cita-cita.

Page 12: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmad dan hidayah-

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Penerapan

Model Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR) pada Data Inflasi

Beberapa Kota”. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa

adanya bantuan, bimbingan, dan doa dari berbagai pihak sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan.

Pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan teimakasih kepada:

1. Ibu Dr. Khoirin Nisa, M.Si., selaku dosen Pembimbing Utama yang

senantiasa memberikan motivasi, bimbingan, pengarahan, kritik dan saran

kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi.

2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku dosen Pembimbing Kedua

yang memberikan saran, solusi serta pembelajaran yang sangat bermanfaat

bagi penulis.

3. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku Pembahas skripsi yang telah

memberikan evaluasi dan saran bagi perbaikan skripsi penulis.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen Pembimbing Akademik

yang memberikan bimbingan dan arahan selama perkuliahan.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

ii

Page 13: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan FMIPA UNILA

7. Seluruh Dosen, Staf, Dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung yang telah memberikan ilmu dan bantuan kepada penulis.

8. Bapak, Ibu dan adikku tercinta, yang selalu memberikan kasih sayang,

nasehat, dan doa untuk keberhasilan penulis.

9. Anggun, Dhenty, Liza, Pipin, Riza, dan Wilda, sahabat yang selalu menemani

serta memberikan motivasi, dukungan, doa dan teguran selama lebih dari

empat tahun ini.

10. Sahabat seperjuangan Matematika 2015 yang telah banyak membantu

penulis.

11. Seluruh pihak terkait lainnya yang telah banyak membantu yang tidak dapat

penulis sebutkan satu per satu.

Bandar Lampung, November 2019Penulis,

Ulfa Putri Rahmani

iii

Page 14: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ......................................................................................... vi

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... vii

I. PENDAHULUAN .................................................................................. 11.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 11.2 Tujuan Penelitian ............................................................................ 31.3 Manfaat Penelitian .......................................................................... 31.4 Batasan Masalah .............................................................................. 3

II. TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 42.1 Deret Waktu Multivariat ................................................................. 4

2.1.1 Matrix Autocorrelation Function (MACF) ........................ 52.1.2 Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF)........... 6

2.2 Stasioneritas Data Deret Waktu....................................................... 72.3 Model Vector Autoregressive (VAR) .............................................. 92.4 Model Space Time Autoregressive (STAR) ................................... 112.5 Model Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR)............. 112.6 Matriks Pembobot Lokasi................................................................ 14

2.6.1 Bobot Lokasi Invers Jarak ................................................... 142.6.2 Bobot Lokasi Normalisasi Korelasi Silang.......................... 15

2.7 Pendugaan Parameter GSTAR dengan Metode Generalized LeastSquare (GLS)................................................................................... 16

2.8 Uji Residual Model.......................................................................... 202.8.1 Uji Normalitas Residual ...................................................... 212.8.2 Uji Heteroskedastisitas ........................................................ 232.8.3 Uji Autokorelasi Residual.................................................... 24

2.9 Akaike’s Information Criterion (AIC)............................................. 252.10 Pemilihan Model Terbaik...................................................................... 25

iv

Page 15: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

III. METODOLOGI PENELITIAN ............................................................ 273.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 273.2 Data.................................................................................................. 273.3 Metode Penelitian ........................................................................... 27

IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ..................................... 304.1 Eksplorasi Data................................................................................ 304.2 Koefisien Korelasi Silang Data Inflasi Palembang, Bandar

Lampung dan DKI Jakarta............................................................... 324.3 Pembagian Data .............................................................................. 334.4 Stasioneritas Data Inflasi Kota Palembang, Bandar Lampung, dan

DKI Jakarta...................................................................................... 344.5 Pembentukan Model STAR dan GSTAR........................................ 36

4.5.1 Penentuan Orde Model ........................................................ 364.5.2 Pembentukan Matriks Bobot Lokasi ................................... 37

4.5.2.1 Perhitungan Nilai Bobot Invers Jarak.................... 374.5.2.2 Perhitungan Nilai Bobot Normalisasi Korelasi

Silang ..................................................................... 394.5.3 Pendugaan Parameter Model STAR dan GSTAR ............... 40

4.5.3.1 Pendugaan Parameter Model STAR dengan BobotInvers Jarak............................................................ 40

4.5.3.2 Pendugaan Parameter Model STAR dengan BobotNormalisasi Korelasi Silang .................................. 42

4.5.3.3 Pendugaan Parameter Model GSTAR denganBobot Invers Jarak ................................................. 43

4.5.3.4 Pendugaan Parameter Model GSTAR denganBobot Normalisasi Korelasi Silang ....................... 46

4.5.4 Pengujian Residual Model GSTAR..................................... 494.5.4.1 Uji Normalitas Residual ........................................ 494.5.4.2 Uji Heteroskedastisitas .......................................... 514.5.4.3 Uji Autokorelasi Residual ..................................... 53

4.6 Pemilihan Model Terbaik ................................................................ 55

V. KESIMPULAN ....................................................................................... 58

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

v

Page 16: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Statistika Deskriptif Data Inflasi Palembang, Bandar Lampung danDKI Jakarta dari Januari 2012 hingga Juni 2019....................................... 30

2. Nilai Korelasi Silang Data Inflasi antar Lokasi ......................................... 333. MACF untuk Ketiga Series ....................................................................... 344. MPACF untuk Ketiga Series ..................................................................... 345. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) ........................................................ 356. Ringkasan Nilai AIC.................................................................................. 367. Jarak Ketiga Kota ...................................................................................... 388. Estimasi Parameter STAR(11) dengan Bobot Invers Jarak ....................... 419. Estimasi Parameter STAR(11) dengan Bobot Normalisasi Korelasi

Silang ......................................................................................................... 4210. Estimasi Parameter GSTAR(11) dengan Bobot Invers Jarak .................... 4311. Estimasi Parameter GSTAR(11) dengan Bobot Invers Jarak (Backward

Selection) ................................................................................................... 4412. Pendugaan Parameter GSTAR(11) dengan Bobot Normalisasi Korelasi

Silang ......................................................................................................... 4613. Pendugaan Parameter GSTAR(11) dengan Bobot Normalisasi Korelasi

Silang (Backward Selection)...................................................................... 4714. Uji Normalitas Residual Model ................................................................. 5115. Uji heteroskedastisitas dengan Metode White........................................... 5216. Tabel Uji Autokorelasi Residual Breusch-Godfrey................................... 5417. Ringkasan Hasil Uji Residual Model ........................................................ 5418. Perbandingan Nilai RMSE dari Model yang Terbentuk............................ 55

vi

Page 17: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Plot deret waktu data inflasi Palembang, Bandar Lampung dan DKIJakarta Januari 2009 hingga Juni 2019 ..................................................... 31

2. Q-Q plot dari residual model GSTAR(11) dengan bobot normalisasikorelasi pada setiap lokasi ......................................................................... 50

vii

Page 18: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Pada dasarnya setiap data yang diperoleh dari pengamatan berkaitan dengan

waktu pengamatannya. Saat pengaruh variabel waktu dengan pengamatan di

perhatikan, dimana data dianggap sebagai fungsi dari waktu, maka inilah yang

disebut data time series atau deret waktu. Secara garis besar, deret waktu dapat

dibagi menjadi deret waktu univariat dan deret waktu multivariat. Pada deret

waktu univariat, hanya terdapat satu variabel pengamatan sedangkan pada deret

waktu multivariat terdapat dua atau lebih variabel pengamatan. Dalam beberapa

kasus, kebanyakan data time series multivariat juga dipengaruhi oleh faktor

lokasi. Menurut Borovkova dkk (2002), data deret waktu dari beberapa lokasi

yang berdekatan seringkali mempunyai hubungan yang saling bergantung. Data

yang demikian, kemudian disebut dengan data space time.

Metode klasik yang umum digunakan untuk data space time adalah metode Vector

Autoregressive (VAR). Meskipun VAR bersifat fleksibel, namun banyak

parameter yang tidak diketahui yang harus diestimasi dengan data terbatas. Oleh

sebab itu, Cliff dan Ord (1973) memperkenalkan metode yang disebut Space Time

Page 19: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

2

Autoregressive (STAR). STAR sendiri merupakan spesifikasi dari model VAR.

Perbedaan di antara keduanya terletak pada adanya bobot lokasi. Pada model

STAR, parameter autoregresif diasumsikan sama untuk setiap lokasi, sehingga

metode ini sesuai untuk lokasi-lokasi yang memiliki karakteristik sama atau

homogen. Kekurangan dari metode ini adalah STAR cenderung tidak fleksibel

saat dihadapkan pada lokasi-lokasi yang memiliki karakteristik heterogen (Pfeifer

dan Deutsch, 1980).

Model Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR) pertama kali

diperkenalkan oleh Borovkova dkk (2002). GSTAR merupakan pengembangan

dari model STAR dengan parameter autoregresif yang berbeda untuk setiap

lokasi. Parameter model yang berbeda pada setiap lokasi menyebabkan model

GSTAR lebih fleksibel dibandingkan model STAR saat digunakan pada lokasi

yang heterogen.

Model GSTAR dapat di representasikan sebagai suatu model linier dan parameter

autoregresifnya dapat diduga dengan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least

Square). Mengingat pada metode kuadrat terkecil terdapat asumsi yang ketat

untuk dipenuhi sebagai syaratnya, sementara dalam data deret waktu multivariat

kemungkinan terdapat asumsi yang tidak terpenuhi, maka metode kuadrat terkecil

tidak efisien digunakan untuk menduga parameter GSTAR. Menurut Suryani dan

Saputro (2018), metode OLS untuk estimasi parameter model kurang sesuai

apabila digunakan pada model dengan respon multivariat dan residual yang saling

berkorelasi seperti pada model GSTAR. Hasil kajian yang dilakukan oleh Suryani

Page 20: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

3

dan Saputro (2018) diperoleh estimator parameter GSTAR dengan metode GLS

yang lebih efisien dari pada OLS dan ditunjukkan ketidakbiasan estimatornya.

Oleh sebab itu, pada penelitian ini digunakan metode GLS untuk menduga

parameter autoregresif model GSTAR.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan model Generalized Space

Time Autoregressive (GSTAR) pada data time series dari tiga lokasi berbeda.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah menambah wawasan tentang model Generalized

Space Time Autoregressive (GSTAR) dan penggunaan metode Generalized Least

Square (GLS) dalam mengestimasi parameter model GSTAR.

1.4 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini yaitu orde spasial yang digunakan dalam

mengidentifikasi orde model GSTAR dibatasi pada orde satu ( = 1).

Page 21: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Deret Waktu Multivariat

Menurut Cryer dan Kung (2008) dalam Daraputri (2015), data deret waktu (time

series) merupakan proses stokastik { ( ), ∈ }, dengan indeks parameter waktu= {0,1, . . . }. Unit dari waktu dapat berupa tahun, semester, triwulan, bulan,

minggu, hari, jam, menit atau detik. Hal ini bergantung pada penelitian yang

dimodelkan. Salah satu tujuan utama dari membangun model data deret waktu

adalah dapat meramalkan nilai untuk waktu mendatang.

Multivariate time series merupakan deret waktu peubah ganda yang terdiri dari

beberapa peubah. Identifikasi pada model deret waktu peubah ganda hampir sama

dengan model deret waktu peubah tunggal. Identifikasi tersebut dapat dilakukan

dengan membuat plot terhadap data atau dengan melihat struktur matriks fungsi

korelasi diri (Matrix Autocorrelation Function [MACF]) dan matriks fungsi

korelasi diri parsial (Matrix Partial Autocorrelation Function [MPACF]).

Page 22: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

5

2.1.1 Matrix Autocorrelation Function (MACF)

Diberikan suatu vektor deret waktu sebanyak n pengamatan , ,…, , matriks

korelasi sampel dinyatakan sebagai:( ) = [ ( )], (1)

dengan ( ) adalah korelasi silang sampel dari komponen deret ke-i dan ke-j

yaitu

( ) = ∑ , ,[∑ , ∑ , ] , (2)

dengan:

= rata-rata contoh pada vektor deret waktu ke-i

= rata-rata contoh pada vektor deret waktu ke-j

n = banyaknya data pengamatan

k = lag waktu.

Bentuk matriks dan grafik semakin kompleks apabila dimensi dan vektornya

semakin besar, sehingga menyulitkan dalam pengidentifikasian. Box dan Tiao

(1981) dalam Wei (2006) memperkenalkan metode meringkas hasil korelasi

sampel. Dengan metode ini menggunakan simbol (+), (-), dan (.) pada baris ke-i

dan kolom ke-j matrik korelasi sampel, yaitu:

1. simbol (+) menunjukkan bahwa nilai ( ) lebih besar dari 2 kali nilai

estimasi standard error (SE) artinya bahwa komponen (i,j) memiliki korelasi

positif,

Page 23: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

6

2. simbol (–) menunjukkan bahwa nilai ( ) lebih kecil dari -2 kali nilai

estimasi standard error (SE) memiliki arti bahwa komponen (i,j) memiliki

korelasi negatif, dan

3. simbol (.) menunjukkan bahwa nilai ( ) terletak diantara +2 kali nilai

estimasi standard.

Data telah dikatakan stasioner jika plot MACF sedikit atau jarang menampilkan

tanda (+) dan (-) dan hampir semua tanda bersimbol (.).

2.1.2 Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF)

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) diperlukan dalam Time series univariat untuk

menentukan orde dalam model AR. Generalisasi dari konsep PACF ke dalam

bentuk vektor Time series dilakukan oleh Tiao dan Box (1981) dalam Wei (2006),

yang mendefinisikan matriks autoregresi parsial pada lag s dengan notasi ( ),

sebagai koefisien matriks terakhir ketika data diterapkan ke dalam suatu proses

Vector Autoregressive (VAR) dari orde s. ( ) sama dengan , dalam regresi

linier multivariat, sehingga persamaan matriks autoregresi parsial diperoleh (Wei,

2006)

( ) = (1)[ (1)] , = 1{ ( ) − ( )[ ( )] ( )}{Γ(0) − ( )[ ( )] ( )}, > 1 .

(3)

Untuk ≥ 2, maka nilai ( ), ( ), dan ( ) adalah sebagai berikut:

Page 24: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

7

( ) = (0) (1)(1) (0) … ( − 2)… ( − 3)⋮ ⋮( − 2) ( − 3) ⋱ ⋮… (0) ,

( ) = Γ ( − 1)Γ ( − 2)⋮Γ (1) , ( ) = Γ(1)Γ(2)⋮Γ( − 1) .

Jika model dari data merupakan vektor AR(p), maka

( ) = , s = p0, > . (4)

Sama halnya dengan persamaan autokorelasi parsial pada kasus data univariat,

persamaan matriks parsial autoregresif, ( ), juga memiliki sifat cut-off untuk

vektor proses AR.

2.2 Stasioneritas Data Deret Waktu

Pemodelan deret waktu mensyaratkan kestasioneran data yang digunakan.

Suatu data deret waktu dikatakan stasioner jika nilai tengah dan ragamnya

konstan. Terdapat beberapa cara untuk menguji stasioneritas suatu data deret

waktu, yaitu visualisasi (plot deret waktu dan korelogram dari MACF/MPACF)

serta uji akar unit (unit root test).

Data telah dikatakan stasioner jika plot MACF sedikit atau jarang menampilkan

tanda (+) dan (-) dan hampir semua tanda bersimbol (.). Selain itu, mengetahui

kestasioneran terhadap rataan deret waktu juga dapat menggunakan uji Augmented

Page 25: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

8

Dickey Fuller (ADF). Uji ini melihat apakah terdapat unit root di dalam model

atau tidak. Hipotesis yang digunakan pada uji ADF adalah:

H0 : = 0, terdapat akar unit atau data tidak stasioner

H1 : < 0, tidak terdapat akar unit atau data stasioner

Secara umum, formulasi dari uji ADF adalah sebagai berikut (Gujarati, 2013):∆ = + + + ∑ ∆ + , (5)

dengan∆ = selisih data pengamatan waktu ke-t dengan waktu sebelumnya

= nilai deret waktu ke-t

, = konstanta

= koefisien autoregresif

= nilai sisaan pada waktu ke-t.

Dickey dan Fuller telah menunjukkan bahwa di bawah hipotesis nol = 0,

estimasi nilai t dari koefisien Yt-1 pada persamaan (5) mengikuti statistik (tau).

Nilai dari statistik tau yaitu= ( ) (6)

dengan ( ) = standar deviasi dari duga.

Apabila nilai mutlak dari statistik tau lebih dari nilai kritis DF atau McKinnon,

maka kita tolak hipotesis nol, yang artinya deret waktu stasioner. Selain uji- ,

juga terdapat uji-ρ (statistik rho) yang dapat dihitung dengan rumus

( )⋯ . (7)

Page 26: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

9

2.3 Model Vector Autoregressive (VAR)

Model Vector Autoregressive (VAR) merupakan suatu pendekatan peramalan

kuantitatif yang biasanya diterapkan pada deret waktu peubah ganda, artinya

model ini menjelaskan keterkaitan antar pengamatan pada peubah itu sendiri pada

waktu sebelumnya dan juga keterkaitannya dengan pengamatan pada peubah lain

pada waktu sebelumnya. Jika nilai pengamatan di satu lokasi/wilayah pada waktu

ke-t dipengaruhi oleh nilai pengamatan di satu lag sebelumnya beserta

pengamatan di lokasi lain, maka model ini berbentuk VAR(1). Model VAR(1)

adalah sebagai berikut:= + (8)

atau dalam bentuk operator backshift, yaitu( − ) = , (9)

dengan,

: vektor pengamatan pada waktu ke-t lokasi ke-n yang berukuran (n x 1)

: matriks parameter vector autoregressive orde ke-1 yang berukuran (n x

n)

: vektor white noise, dimana ~MN(0 , Σ ) yang berukuran (n x 1)

Sebagai contoh untuk lokasi berjumlah 2, maka model VAR(1) yaitu= + , (10)

dengan,

= 12 , = 12 , = ϕ ϕϕ ϕ .

Page 27: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

10

Jika nilai pengamatan di satu lokasi/wilayah pada waktu ke-t dipengaruhi oleh

nilai pengamatan di-“p” lag sebelumnya beserta pengamatan di lokasi lain, maka

model ini berbentuk VAR(p). Model VAR(p) adalah sebagai berikut := + +⋯+ + (11)

atau dalam bentuk operator backshift, yaituI – B – B − … − B = , (12)

dengan

: vektor pengamatan pada waktu ke-t lokasi ke-n yang berukuran (n x 1)

: matriks parameter vector autoregressive orde ke-p yang berukuran (n x

n)

: vektor white noise, dimana ~MN(0 , Σ) yang berukuran (n x 1)

Sebagai contoh untuk lokasi berjumlah 2, maka model VAR(p) yaitu= + +⋯+ + , (13)

dengan,

= 12 , = 12 , = 12 , = ϕ ϕϕ ϕ , dan =ϕ ϕϕ ϕ .

Identifikasi model VAR(1) dapat dilihat dari plot Multivariate Partial

Autocorrelation Function (MPACF). Model VAR(1) memiliki pola PACF cuts

off pada lag ke-1. Kestasioneran model VAR(1) dapat dilihat nilai akar ciri dari

matriks parameter VAR(1). Pemilihan model VAR terbaik menggunakan kriteria

Akaike Information Criterion (AIC), yaitu yang bernilai paling kecil (Wei 2006).

Page 28: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

11

2.4 Model Space Time Autoregressive (STAR)

Model space time autoregressive (STAR) diperkenalkan oleh Cliff dan Ord

(1973). Serupa dengan model VAR, model STAR dicirikan oleh ketergantungan

linear dalam ruang dan waktu. Perbedaan mendasar dari model VAR adalah,

dalam model STAR, ketergantungan spasial ditunjukkan dengan adanya matriks

pembobot. Model STAR dengan orde autoregresif p dan orde spasial

( , , … , ), STAR( , ,…, ) dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai

berikut:= ∑ ∑ ( ) ( − ) + ( ), (14)

dengan

= vektor pengamatan pada waktu ke-t lokasi ke-n (N x 1)

= parameter autoregresif orde waktu ke-k dan orde ruang ke-l

( ) = matriks pembobot (N x N) untuk lag spasial/ruang l = 0, 1, …,( ) = vektor noise ukuran (N x 1) yang independen, identik, berdistribusi

normal multivariat dengan mean nol dan matriks varians-kovarians

(Borovkova dkk, 2002). Parameter pada model STAR( , ,…, ) disyaratkan

sama di setiap lokasi.

2.5 Model Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR)

Model generalized STAR (GSTAR) adalah pengembangan model STAR (Space

Time Autoregressive), memungkinkan parameter autoregresif bervariasi pada

Page 29: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

12

setiap lokasi: ( ), = 1,2, … , . Jika diketahui sebuah deret { ( ): =0, ±1, ±2, … , ± } merupakan sebuah deret waktu multivariate dari N variabel,

maka model GSTAR dari orde autoregresif (waktu) dan orde spasial

( , , … , ), GSTAR( , ,…, ) dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai

berikut:= ∑ ( − ) + ∑ ( ) ( − ) + ( ), (15)

dengan

= vektor pengamatan pada waktu ke-t lokasi ke-n (N x 1)

= matriks diagonal parameter autoregresif orde waktu ke-k dan orde ruang

ke-0

= matriks diagonal parameter autoregresif orde waktu ke-k dan orde ruang

ke-l

( ) = matriks pembobot (N x N) untuk lag spasial/ruang l = 0, 1, …,( ) = vektor noise ukuran (N x 1) yang independen, identik, berdistribusi

normal multivariat dengan mean nol dan matriks varians-kovarians

(Borovkova dkk, 2002).

Nilai pembobot dipilih sedemikian sehingga memenuhi syarat ( ) = 0 dan∑ ( ) = 1. Sebagai contoh persamaan model GSTAR untuk orde waktu dan

orde spasial pada tiga lokasi yang berbeda adalah sebagai berikut:( ) = + ( ) ( − ) + ( ), (16)

Page 30: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

13

dapat ditulis sebagai berikut:

z1(t)z2(t)z3(t) =⎝⎜⎛ ϕ10(1) 0 00 ϕ10(2) 00 0 ϕ10(3) + ϕ11(1) 0 00 ϕ11(2) 00 0 ϕ11(3)

0 w12 w13w21 0 w23w31 w32 0 ⎠⎟⎞

z1 t-1

z2 t-1

z3 t-1

+e1(t)e2(t)e3(t) .

Dalam mengidentifikasi orde model GSTAR, orde spasial pada umumnya dibatasi

pada orde satu karena orde yang lebih tinggi akan sulit untuk diinterpretasikan

(Wutsqa dan Suhartono, 2010). Sedangkan untuk orde waktu (autoregressive)

dapat ditentukan dengan menggunakan AIC (Tsay, 2005). Akan tetapi, penentuan

orde model berdasarkan nilai AIC tidak dapat menangkap pola musiman, maka

dari itu penentuan orde model juga dapat dilakukan berdasarkan plot MACF dan

MPACF yang terbentuk (Wutsqa dan Suhartono, 2010). Apabila data yang

digunakan mengandung pola musiman, maka model GSTAR yang digunakan

adalah model GSTAR musiman. Model umum GSTAR ( , ,…, ) untuk pola

data musiman dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut:= ∑ ( − ) + ∑ ( ) ( − ) + ( ) (17)

= matriks diagonal parameter autoregresif orde waktu ke-k dan orde ruang

ke-0 periode musiman s

= matriks diagonal parameter autoregresif orde waktu ke-k dan orde ruang

ke-l periode musiman s

Page 31: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

14

Misal, pada model GSTAR musiman dengan orde musiman 1 dan periode

musiman 12 (s = 12) dan orde spasial 1 adalah sebagai berikut := ( − 12) + ( ) ( − 12) + ( ). (18)

2.6 Matriks Pembobot Lokasi

2.6.1 Bobot Lokasi Invers Jarak

Bobot yang paling umum digunakan adalah pembobotan berdasarkan invers dari

jarak Euclidean atau garis lurus antar lokasi. Menurut Fortheringham dkk (2000)

dalam Gusnadi dkk (2015), jika diberikan dua lokasi dengan koordinat (xi,yi) dan

(xj,yj), maka jarak Euclidean antar lokasi tersebut adalah:

, = − + − . (19)

Menurut Cliff dan Ord (1981), invers dari jarak euclidean antar lokasi adalah(1 + , ) , dimana , merupakan jarak lokasi i ke j, dan c, a sembarang

konstanta positif. Selanjutnya penentuan bobot invers jarak dapat dilakukan

dengan normalisasi nilai-nilai invers dari jarak euclidean antar lokasi, sehingga

diperoleh persamaan untuk bobot invers jarak sebagai berikut:= ( , )∑ ( , ) , (20)

dimana i ≠ j, dan memenuhi ∑ = 1.

Page 32: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

15

2.6.2 Bobot Lokasi Normalisasi Korelasi Silang

Pembobotan dengan metode ini berdasarkan pada normalisasi korelasi silang antar

lokasi pada lag waktu yang bersesuaian. Pembobotan ini pertama kali

diperkenalkan oleh Suhartono dan Atok (2006). Secara umum korelasi silang

antara lokasi ke-i dan ke-j pada lag waktu ke-k didefinisikan sebagai berikut

(Suhartono dan Subanar, 2006).( ) = ( ), = 0, ±1, ±2, … (21)

dengan ( ) merupakan kovarians silang antara kejadian di lokasi ke-i dan ke-j.

Taksiran dari korelasi silang ini pada data sampel adalah sebagai berikut:

( ) = ∑ [ ( ) ][ ( ) ]∑ [ ( ) ] ∑ ( ) . (22)

Selanjutnya, bobot lokasi ditentukan dengan normalisasi besaran-besaran korelasi

silang antar lokasi bersesuaian tersebut.

Bobot berdasarkan pada normalisasi korelasi silang antar lokasi pada lag waktu

yang bersesuaian untuk model GSTAR dirumuskan sebagai berikut:= ( )∑ ( ) , (23)

dimana ≠ , dan memenuhi ∑ = 1.

Page 33: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

16

2.7 Pendugaan Parameter GSTAR dengan Metode Generalized Least Square(GLS)

Metode GLS merupakan metode yang digunakan untuk estimasi parameter regresi

dengan mempertimbangkan residual yang berkorelasi antar persamaan dengan

nilai residual yang diperoleh dari estimator dengan OLS. Informasi adanya

residual yang berkorelasi antar persamaan digunakan untuk perbaikan estimasi

parameter model dengan GLS. Estimasi parameter model dengan metode GLS

mempertimbangkan matriks variansi kovariansi residual. Menurut Greene (2003)

dalam Suryani dan Saputro (2018), teknis estimasi parameter dengan metode GLS

dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual atau jumlah kuadrat sesatan

(JKS) tergeneralisasi. Misalkan diberikan persamaan regresi berikut.= + (24)

Estimator GLS untuk persamaan (24) adalah= ( ) . (25)

Masih menurut Grenee (2003), sifat estimator dengan metode GLS diuraikan

sebagai berikut.

1. Jika E( ) = , maka merupakan estimator tak bias untuk yaituE( ) = . (26)

2. Jika cov( ) = , maka matriks variansi-kovariansi adalahcov( ) = ( ′ ) . (27)

3. Jika mengikuti distribusi normal dengan mean nol dan variansi atau

dalam notasi matriks ~N( , ), maka estimator adalah asimptotik

Page 34: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

17

berdistribusi normal dengan mean dan matriks variansi kovariansi cov( )yang dinotasikan dalam bentuk matriks yaitu ~N ( , cov( )).

Persamaan GSTAR pada persamaan (15), dapat ditulis dalam bentuk matriks

sebagai berikut:z1(t)z2(t)⋮ZN(t) =ϕk0(1)0 0ϕk0(2)⋮0 ⋮0

…… 00⋱… ⋮ϕk0(N)Z1(t-k)Z2(t-k)⋮ZN(t-k) +ϕkl(1)0 0ϕkl(2)⋮0 ⋮0

…… 00⋱… ⋮ϕkl(N)0w21 w120⋮wN1 ⋮wN2

…… w1Nw2N⋱… ⋮0 ⎝⎜⎛z1(t-k)z2(t-k)⋮zN(t-k)⎠⎟

⎞+ e1(t)e2(t)⋮eN(t) ,

dengan ( ) = ∑ ( ) diperoleh( )( )⋮( ) = ( )0 0( )⋮0 ⋮0…… 00⋱… ⋮( )

( − )( − )⋮( − ) +( )0 0( )⋮0 ⋮0

…… 00⋱… ⋮( )( − )( − )⋮( − ) + ( )( )⋮( ) .

Bentuk yang lebih sederhana dari vektor-matriks di atas adalah

( )( )⋮( ) = ( − )0⋮0( − )0⋮0

……⋱…00⋮( − )

00⋮( − ) ⎝⎜⎜⎜⎛

( )( )⋮( )( )⎠⎟⎟⎟⎞+ ( )( )⋮( ) . (28)

Page 35: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

18

Parameter model GSTAR, seperti yang ditunjukkan pada model (16), yang akan

diestimasi adalah . Estimasi parameter dilakukan dengan GLS karena pada

model GSTAR dimungkinkan memiliki residual yang saling berkorelasi.

Misalkan persamaan GSTAR pada vektor-matriks (23) ditulis dalam model linear

yaitu= ∗ + , (29)

dengan = ( ), ∗ = [ ( − ) ( − )], = 0( )( ) , dan = ( ).

Pada model GSTAR dengan residual saling berkorelasi antar persamaan matriks

variansi-kovariansinya adalah( ) =atau

( ) = ⋮ ⋮ ……⋱… ⋮ . (30)

Apabila pada matriks (30) dikaitkan dengan notasi kronecker, matriks (30) dapat

dituliskan sebagai

( ) = ⋮ ⋮ ……⋱… ⋮ ⨂ = ⨂ = , (31)

dengan adalah matriks kovariansi residual yang berkorelasi, T adalah matriks

identitas berukuran × , dan⨂ adalah perkalian kronecker.

Page 36: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

19

Berikut adalah uraian tentang perkalian kronecker. Misalkan diberikan matriks A

dan B, perkalian kronecker matriks A dan B atau ⨂ adalah matriks yang

diperoleh dengan mengalikan setiap unsur A dengan unsur B kemudian

menggabungkan keduanya. Menurut Greene (2003) jika terdapat matriks A

berukuran × dan matriks B berukuran × , maka berlaku ( ⨂ )−1 = −⨂ − sehingga perkalian kronecker pada matriks (31) berlaku − = − ⨂ .

Uraian berikut merupakan langkah estimasi model GSTAR dengan GLS. Dengan

mengingat sifat estimator dengan metode GLS tentang matriks variansi-

kovariansi, ( ′ ) , dalam hal ini X adalah . Invers matriks variansi-

kovariansi digunakan untuk meminimumkan generalized sum of square (GSS).

Secara matematis, GSS dituliskan dengan = − ∗ seperti yang

ditunjukkan pada model (29). Uraian GSS lebih lanjut adalah= – ∗ – ∗= − ∗ – ∗= ( − ∗ )( − ∗ )= ( − ∗ − ∗ + ∗ ∗ )= ( − ∗ – ( ∗ ) + ∗ ∗ )= ( − ∗ − ∗ + ∗ ∗ )= ( − 2 ∗ + ∗ ∗ ) . (32)

Page 37: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

20

Seperti pada umumnya estimasi dengan OLS, dengan GLS teknik yang sama

dilakukan yaitu meminimumkan GSS dengan menentukan turunan pertama

terhadap , yakni persamaan (32) diturunkan terhadap parameter .

( ) = ∗ ∗ ∗( )= 0 − 2 ∗ + ∗ ∗ + ( ∗ ∗)= −2 ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗= −2 ∗ + ∗ ∗ (33)

selanjutnya GSS akan minimum apabila dipenuhi ( ) = 0 sehingga dari

persamaan (30) diperoleh−2 ∗ + ∗ ∗ =∗ ∗ = ∗

atau= ( ∗ ∗) ∗ . (34)

Estimator yang diperoleh pada persamaan (34) di atas bersifat tak bias (Suryani

dan Saputro, 2018). Cara yang sama juga digunakan pada pendugaan parameter

STAR.

2.8 Uji Residual Model

Pada pengujian residual, akan diperiksa asumsi white noise residual. Suatu proses{ } dikatakan sebagai proses white noise jika { } adalah barisan peubah acak

yang tidak berkorelasi dengan mean ( ) = = 0, varians konstan ( ) =

Page 38: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

21

dan = ( , ) = 0 untuk semua ≠ 0. Oleh karena itu, suatu

proses white noise { } adalah stasioner dengan fungsi autokovariansi (Wei, 2006)

= , = 00, ≠ 0 (35)

fungsi autokorelasi

= 1, = 00, ≠ 0 (36)

fungsi autokorelasi parsial

= 1, = 00, ≠ 0 . (37)

White noise digunakan untuk menjelaskan bahwa suatu data memiliki residual

dengan perilaku acak dan stasioner. White noise dinotasikan dengan{ }~ (0, ) (Brockwell dan Davis, 2002). Residual dikatakan white noise

apabila memenuhi asumsi normalitas residual, homoskedastisitas, dan tidak ada

autokorelasi residual.

2.8.1 Uji Normalitas Residual

Uji normalitas residual dilakukan untuk melihat apakah residual model GSTAR

yang diperoleh mengikuti distribusi normal multivariat atau tidak. Pengujian

normalitas residual dapat dilakukan secara visual yaitu dengan melihat Quantile-

Quantile plot (Q-Q plot) dan juga secara formal dengan menggunakan uji

Page 39: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

22

skewness dan kurtosis Mardia. Residual secara visual dikatakan normal jika Q-

Q plot yang dihasilkan mendekati garis lurus.

Uji skewness dan kurtosis Mardia pertama kali diperkenalkan oleh Mardia (1970).

Hipotesis nol untuk uji ini adalah bahwa residual terdistribusi normal. Untuk

sampel acak , … , ∈ di mana d adalah dimensi dari dan n adalah

jumlah pengamatan, perhitungan skewness multivariat adalah

, = ∑ ∑ ( − ) − , (38)

dimana S adalah matriks kovarians sampel dari X.

Mardia menunjukkan bahwa di bawah hipotesis nol , didistribusikan secara

asimptotik sebagai ( ( + 1) ( + 2 )/6). Untuk sampel kecil, statistik uji

skewness Mardia dihitung dengan formula koreksi sampel kecil, yang diberikan

oleh , di mana faktor koreksi k diberikan oleh = ( + 1)( + 1)( +3)/ ((( + 1)( + 1)) − 6).

Perhitungan untuk kurtosis multivariat diberikan oleh

, = ∑ [( − ) ( − )] . (39)

Mardia menunjukkan bahwa di bawah hipotesis nol, , berdistribusi normal

secara asimptotik dengan mean ( + 2) dan varians 8 ( + 2)/ (SAS,

2014).

Page 40: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

23

2.8.2 Uji Heteroskedastisitas

Asumsi lainnya dalam white noise adalah residual memiliki varians konstan( ) = atau disebut juga homoskedastis. Uji heteroskedastisitas dilakukan

untuk melihat apakah residual model GSTAR homoskedastis (varians konstan)

atau tidak. Uji heteroskedastisitas residual yang digunakan adalah uji White.

Residual dari estimasi digunakan untuk menyelidiki heteroskedastisitas dari

gangguan yang sebenarnya.

Hipotesis nol untuk uji White adalah

H0 : = untuk setiap i.

Uji White setara dengan memperoleh jumlah kesalahan kuadrat untuk residual

kuadrat regresi pada konstanta dan semua variabel unik dalam ⨂ , di mana

matriks J terdiri dari turunan parsial dari sisa persamaan sehubungan dengan

parameter yang diestimasi.

Statistik uji White W dihitung sebagai berikut:= (40)

di mana adalah koefisien korelasi yang diperoleh dari regresi. Statistik

didistribusikan secara asimptotik sebagai chi-kuadrat dengan derajat bebas P-1, di

mana P adalah jumlah regresor dalam regresi, termasuk konstanta dan n adalah

jumlah total pengamatan (SAS, 2014).

Page 41: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

24

2.8.3 Uji Autokorelasi Residual

Autokorelasi residual dapat dilihat melalui Uji Breusch-Godfrey. Uji statistik

Breusch-Godfrey dibentuk untuk mengatasi kelemahan uji Durbin Watson yang

tidak sesuai untuk beberapa kasus. Pertimbangkan model berikut= + + +⋯+ + , (41)

dimana= + +⋯+ + . (42)

Uji Lagrange Multiplier (LM) Breusch-Godfrey menggabungkan kedua

persamaan (41) dan (42):= + + +⋯+ + + +⋯+ + .

Dan berikut adalah hipotesis nol dan hipotesis alternatif untuk uji Breusch-

Godfrey:: = = ⋯ = = 0 (Residual tidak berkorelasi): setidaknya ada satu tidak nol. (Residual berkorelasi)

Langkah-langkah untuk melakukan pengujian adalah sebagai berikut:

Langkah 1. Estimasi (41) dengan OLS dan hitung .

Langkah 2. Jalankan model regresi berikut dengan jumlah lag yang digunakan (p)

ditentukan berdasarkan orde korelasi serial yang ingin diuji= + … + …Langkah 3 Hitung statistik LM = ( − ) dari regresi di langkah 2.

Page 42: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

25

Jika nilai statistik LM ini lebih besar dari nilai kritis untuk tingkat signifikansi

tertentu, maka kita menolak H0 dan menyimpulkan adanya korelasi serial.

Perhatikan bahwa pilihan p adalah sebarang. Namun, periodisitas data

(triwulanan, bulanan, mingguan, dll) akan memberi kita gambaran untuk nilai p

(Asteriou dan Hall, 2007).

2.9 Akaike’s Information Criterion (AIC)

Kriteria pemilihan dalam penentuan model VAR terbaik pada penelitian ini

menggunakan AIC. Model terbaik adalah model dengan nilai AIC paling kecil.

Rumus untuk mendapatkan AIC (Akaike, 1973):= log + , (43)

dengan:

= ∑ ′ adalah matriks penduga kovarian residual untuk model

VAR(p)

= jumlah residual

K = banyaknya variabel.

2.10 Pemilihan Model Terbaik

Pemilihan model terbaik dilakukan dengan melihat nilai RMSE. Menurut Wei

(2006), model peramalan dengan nilai RMSE yang kecil merupakan model

peramalan yang lebih akurat. Berikut ini rumus untuk memperoleh nilai RMSE:

Page 43: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

26

RMSE = √ = ∑ ( − ) , (44)

dengan

m = banyaknya ramalan yang dilakukan

= data sebenarnya

= data hasil ramalan.

Page 44: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

27

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2018/2019 di jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung.

3.2 Data

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data inflasi

bulanan di Kota Bandar Lampung, Palembang, dan DKI Jakarta dari Januari 2012

hingga Juni 2019 yang diperoleh dari website Badan Pusat Statistika (BPS)

Indonesia (https://bps.go.id/site/resultTab).

3.3 Metode Penelitian

Analisis pada penelitian ini dilakukan dengan bantuan software SAS 9.4. Berikut

adalah tahapan analisis dari penelitian ini.

Page 45: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

28

1. Eksplorasi data

Melakukan eksplorasi data dengan melihat plot data untuk melihat

gambaran secara umum tentang statistik deskriptif data inflasi Kota Bandar

Lampung, Palembang, dan DKI Jakarta.

2. Menghitung koefisien korelasi antar lokasi

Besaran dari koefisien korelasi menjadi identifikasi keeratan dan arah

hubungan inflasi satu lokasi dengan lokasi lainnya.

3. Pembagian data

Data dibagi mejadi dua bagian yaitu, data in-sample dan data out-sample.

Data in-sample digunakan untuk pendugaan model dan data out-sample

untuk validasi model.

4. Memeriksa kestasioneran data inflasi in-sample Kota Bandar Lampung,

Palembang, dan DKI Jakarta. Apabila data tidak stasioner maka akan

dilakukan differencing. Kestasioneran data akan dilihat melalui plot MACF

dan MPACF serta uji ADF.

5. Membentuk model STAR dan GSTAR dengan langkah-langkah sebagai

berikut ini:

a. Menentukan orde waktu dari model STAR dan GSTAR yang sesuai

berdasarkan hasil identifikasi pada model VAR. Identifikasi Model

VAR dilakukan dengan melihat nilai AIC yang paling kecil.

b. Menetapkan nilai bobot invers jarak dan normalisasi korelasi silang.

c. Melakukan penaksiran parameter dari model STAR dan GSTAR dengan

metode GLS.

Page 46: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

29

d. Menguji residual model STAR dan GSTAR. Pengujian residual model

STAR dan GSTAR yang harus dipenuhi adalah asumsi white noise.

6. Menghitung RMSE untuk memilih model terbaik.

Page 47: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

58

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa model

GSTAR lebih sesuai digunakan untuk data inflasi Palembang, Bandar Lampung,

dan DKI Jakarta dibandingkan model STAR. Meskipun model STAR memiliki

nilai RMSE yang lebih kecil tetapi model STAR tidak memenuhi asumsi white

noise. Model GSTAR yang terbaik untuk data inflasi kota Palembang, Bandar

Lampung , dan DKI Jakarta adalah model GSTAR(11) dengan bobot lokasi yang

digunakan yaitu bobot lokasi invers jarak. Model GSTAR(11) dengan bobot

lokasi invers jarak memenuhi asumsi white noise dan memiliki nilai rata-rata

RMSE yaitu 0.467767. Model GSTAR menjelaskan keterkaitan ruang dan waktu

pada data inflasi, dimana inflasi Bandar Lampung pada waktu t dipengaruhi oleh

inflasi Palembang dan DKI Jakarta pada satu periode sebelumnya (t – 1), tetapi

inflasi Bandar Lampung pada satu periode sebelumnya tidak mempengaruhi

inflasi ketiga kota pada waktu t.

Page 48: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

DAFTAR PUSTAKA

Akaike, H. 1973. Information Theory and Extension of the MaximumLikelihood Principle. 2nd International Symposium on Information Theory.267-281.

Asteriou, D. dan Hall, S.G. 2007. Applied Econometrics. Palgrave Macmillan,New York.

Badan Pusat Statistik. 2019. Tabel Dinamis Inflasi Umum Palembang, BandarLampung, dan DKI Jakarta 2009-2019. https://bps.go.id/site/resultTab.Diakses pada 25 Maret 2019.

Borovkova, S.A., Lopuhaa, H.P., dan Ruchjana, B.N. 2002. Generalized starmodel with experimental weights. Proceedings of the 17th InternationalWorkshop on Statistical Modelling, Chania: 139-147.

Brockwell, P.J. dan Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series andForecasting Second Edition. Springer-Verlag, New York.

Cliff, A.D. dan Ord, J.K. 1973. Spatial Autocorrelation. Pion Limited, London.

Cliff, A.D. dan Ord, J.K. 1973. Spatial Processes Model and Aplication. PionLimited, London.

Cryer, J.D. dan Kung-Sik, C. 2008. Time Series Analysis With Application in RSecond Edition. University of Iowa: Departement of Statistics & ActuarialScience, USA.

Page 49: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

Daraputri, S. 2015. Penerapan Model Generalized Space Time pada Data HargaGula Pasir di Pulau Jawa. Skripsi. Departemen Statistika FMIPA IPB,Bogor.

Greene, W.H. 2003. Econometric Analysis Fifth Edition. Pearson Education,New Jersey.

Gujarati, D. 2013. Basic Econometrics. McGraw-Hill Education, New York.

Gusnadi, R., Rahmawati, R., dan Prahutama, A. 2015. Pemodelan generalizedspace time autoregressive (gstar) seasonal pada data jumlah wisatawanmancanegara empat kabupaten/kota di jawa tengah. Jurnal Gaussian.4:1017-1026.

Mardia, K.V. (1970). “Measures of multivariate skewness and kurtosis withapplications,” Biometrika. 57:519–530.

Pfeifer, P.E. dan Deustch, S.J. 1980. A three stage iterative procedure for space-time modelling. Technometrics. 1(22): 35-47.

SAS/ETS 13.2 User’s Guide. 2014. SAS Institute Inc. Cary, North Carolina.

Suhartono dan Atok , R. M. 2006. Pemilihan bobot lokasi yang optimal padamodel gstar, National Mathematics Conference XIII.

Suhartono dan Subanar. 2006. The optimal determination of space weight ingstar model using cross-correlation inference. Journal of QuantitativeMethods. 2(2): 45-53.

Suryani dan Saputro, D.S. 2018. Estimasi parameter model generalized spacetime autoregressive (gstar) menggunakan metode generalized least square(gls). Prosiding KNPMP III. 465-472.

Tsay, R.S. 2005. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons,Kanada.

Page 50: PENERAPAN MODEL GENERALIZED SPACE TIME …digilib.unila.ac.id/59763/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 2019-11-19 · penerapan model generalized space time autoregressive (g star)

Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.Pearson Education, Kanada.

Wutsqa, D.U. dan Suhartono. 2010. Peramalan deret waktu multivariat seasonalpada data pariwisata dengan model var-gstar. Jurnal Ilmu Dasar. 11(1):101-109.