UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

CAMPUS UNIVERSITRIO DE BRAGANAFACULDADE DE MATEMTICA

ANTONIO CARLOS LIMA DO NASCIMENTO

MARCOS SIDNEY PRESTES BRITO

RENAN DA SILVA FRAZ

JEANFSON DUTRA DE OLIVEIRASILVIANE GONALVES SILVA

PNDULO SIMPLES

BRAGANA-PA

2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

CAMPUS UNIVERSITRIO DE BRAGANAFACULDADE DE MATEMTICA

ANTONIO CARLOS LIMA DO NASCIMENTO

MARCOS SIDNEY PRESTES BRITO

RENAN DA SILVA FRAZ

JEANFSON DUTRA DE OLIVEIRASILVIANE GONALVES SILVA

PNDULO SIMPLES

Projeto apresentado ao Curso de Licencia-

tura Plena de Matemtica da Universidade

Federal do Par, Campus Universitrio de

Bragana, como um dos pr-requisitos para

avaliao da disciplina Fsica II, ministrada

pelo Prof. Dr. Marcos Lazaro

BRAGANA-PA

2015

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Sumrio

Movimento Harmnico Simples (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

A Lei do Movimento Harmnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Pndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Referncias Bibliogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (MHS)

Uma propriedade importante do movimento oscilatrio a freqncia, o nmero de

oscilaes completas em um segundo. O smbolo da freqncia f , e a unidade de

freqncia no SI o hertz (hz) definido como:

1hertz = 1hz =1 oscilao por segundo = 1s1

Uma grandeza relacionada a freqncia o perodo T do movimento que o tempo

necessrio para completar uma oscilao completa (um ciclo):

T = 1f

No movimento peridico ou movimento Harmnico o deslocamento x da partcula em

relao a origem dado por uma funo do tempo da forma:

x(t) = xmcos(t+ ) (deslocamento)

Esse movimento chamado de Movimento Harmnico Simples. Alm disso:

xm, e so constantes;

x(t) o deslocamento no instante t;

xm a amplitude;

(t+ ) a fase;

a freqncia angular;

t e o tempo;

a constante de fase ou ngulo de fase. Para interpretar a constante denominada

freqncia angular do movimento, notamos primeiro que o deslocamento x(t) deve ser

igual a x(t+ T ) para qualquer valor de t. Para simplificar a anlise, vamos fazer

= 0 em x(t) = xmcos(t+ ).

Assim:

xmcos(t) = xmcos(t+ T ).

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A funo cosseno se repete quando seu argumento (a fase) aumenta de 2 rad. Da vem

que:

(t+ T ) = (t+ 2) T = 2.

Como T = 1f f = 1

T, podemos expressar a frequncia angular dada por

= 2T

= 2f .

A velocidade do MHS dada derivando

x(t) = xmcos(t+ ),

obtendo ento

v(t) = dx(t)dt

= ddt[xmcos(t+ )],

ou

v(t) = xmsin(t+ ) (velocidade).

A acelerao obtida derivando

v(t) = xmsin(t+ ).

Isto ,

a(t) = dv(t)dt

= [xmsin(t+ )],

ou

a(t) = 2xmcos(t+ ) (acelerao).

Podemos combinar

x(t) = xmcos(t+ )

com

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a(t) = 2xmcos(t+ zphi)

obtendo

a(t) = 2x(t).

A LEI DO MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES

Conhecida a forma de como a acelerao de uma partcula varia de acordo com o

tempo, podemos usar a segunda lei de Newton com

a(t) = 2x(t)

para deduzir

F = ma = (m2)x(t)

que uma fora restauradora proporcional ao deslocamento. Fazendo ento

m2 = k

resulta na expresso matemtica para a lei de Hooke:

F = kx(t) F = kx.

Como

k = m2

podemos escrever a frequncia angular

k = m2 2 = km =

km

(fraquncia angular).

Combinando

= 2T

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com

=

km

obtemos

T = 2

mk

como o perodo de um oscilador linear.

PNDULO SIMPLES

Considere a figura abaixo:

Da semelhana de tringulos acima temos:

RP= x

L= R = Px

L= R = mg

Lx

pois

P = mg

onde

mgL

= k (constante).

Como

T = 2

mk(perodo de um oscilador linear),

temos que

T = 2

mmgL,

obtemos finalmente

T = 2

Lgpara ngulos pequenos

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Referncias Bibliogrficas

[1] Halliday, D. Fundamentos de fsica, volume 2: gravitao, ondas e termodinmica.

Rio de Janeiro. LTC, 2009.

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Movimento Harmnico Simples (MHS)A Lei do Movimento Harmnico SimplesPndulo SimplesReferncias Bibliogrficas