PERSAMAAN KEADAAN BOSE-EINSTEIN & FERMI-DIRAC Kelompok 1 Nur Faizin : 20214043Ria D. Izahyanti : 20214006Aurista M. Ilmah : 20214007

OutlinePendahuluanStatistik Fermi-DiracStatistik Bose-Einstein

Referensi : Huang, K. (1987). Statistical Mechanics, 2nd ed. (John Wiley, New York)Pathria, R.K. & Beale, P.D. (2011). Statistical Mechanics, 3rd ed. (Butterworth Heinemann)

PendahuluanProbabilitas termodinamikaBose-EinsteinFermi-DiracFungsi distribusiBose-EinsteinFermi-DiracPathria & Beale. (2011)Ni = jumlah partikel pada tingkat ke-i Wp = peluang keadaan makro ke-ks = tingkat keadaan ke-sk = konstanta BoltzmannT = temperatur = energi = potensial kimia

Entropi untuk B-E dan F-Dgi dan Ni >> 1 Aproksimasi StirlingB-EF-DHuang, K. (1987)Jika dianggap

Fungsi Partisi Grand KanonikHuang, K. (1987)Q = Fungsi partisi grand kanonik, = fungsi partisi kanonik z = Fungsi fugasi, V = VolumedimanaUntuk mendapatkan fungsi partisi untuk Grand Kanonik harus ditambahkan zNdimanaUntuk statistik B-E dan F-D nilai gn adalah 1dimana

Fungsi Partisi Grand Kanonik Cont.Sehingga diperoleh Fungsi Partisi Grand KanonikHuang, K. (1987)Persamaan ini dapat diekspansikan menjadi berikut,dengan

Fungsi Partisi B-EDengan menggunakan deret polinomialHuang, K. (1987)Untuk statistik B-E nilai n adalah 0,1,2,3, ...Maka diperoleh fungsi partisi untuk B-Edimana

Fungsi Partisi F-DUntuk statistik F-D nilai n adalah 0 dan 1Diperoleh Fungsi Partisi untuk statistik F-DHuang, K. (1987)

Gas Ideal B-E dan F-DFungsi Bose-EinsteinFungsi Fermi-DiracHuang, K. (1987)Pathria & Beale. (2011)

Gas Ideal B-E Persamaan keadaan Rapat keadaanDengan mengganti sigma menjadi integral, diperoleh persamaan keadaan gas Ideal B-EPathria & Beale. (2011)Distribusi Banyaknya Partikeldimanadan

Gas Ideal F-DPersamaan keadaan Rapat keadaanJumlah keadaanDengan mengganti sigma menjadi integral, diperoleh persamaan keadaan gas ideal F-DPathria & Beale. (2011)dimanadan

Perbandingan untuk setiap statistik

PerbandinganMaxwell-BoltzmannBose-EinsteinFermi-DiracStatistik yang digunakanKlasikKuantumKuantumPartikel dasarIdentik dan terbedakanIdentik dan tak terbedakanIdentik dan tak terbedakanSifat partikelSpin sembarangspin = 0,1,2,3,4...Spin = , 3/2, 5/2, ...Fungsi distribusi

Gas fermi ideal adalah kumpulan fermion bebas. Sifat yang dominan pada Sistem Gas Ideal fermi adalah adanya sifat yang berlaku memiliki konsekuensi dari prinsip Larangan Pauli.

2.1 Sifat Termodinamika Gas Ideal FermiPersamaan Keadaan Gas Ideal FermiDengan mengganti sigma dengan integralDengan menggunakan definisi fungsi Fermi Dirac,Dapat diubahPathria, 2011 ; Huang, 1987

Energi Dalam (U) Gas Ideal FermiKapasitas PanasEnergi Bebas HelmhotzEntropiatauPathria, 2011

Untuk mengetahui sifat gas fermi berkaitan dengan kerapatan partikel dan temperatur, maka harus memperhatikan kebergantungan parameter z pada n dan T.Maka persamaan keadaan untuk gas ideal fermi menjadiPersamaan Keadaan Kerapatan Untuk Kerapatan Rendah dan Temperatur TinggiGas tidak terdegenerasiEqivalen dengan gas idealPathria, 2011

Persamaan Keadaan Untuk Temperatur Rendah dan Kerapatan TinggiSyarat :Maka bilangan okupasiMomentum FermiEnergi Fermi Untuk Kasus Non-RelativistikPathria, 2011=Dengan,

Energi Sistem pada Keadaan Ground StateTekanan Sistem pada Keadaan Ground StateSubstitusi nilai FPathria, 2011

Pathria, 2011

2.2 Sifat Magnetik Gas Ideal FermiEnergi Elektron Tunggal (Adanya Pengaruh medan magnetik luar B)* paralel dengan B* antiparalel dengan BParamagnetisme PauliPathria, 2011fenomena paramagnetisme yang muncul akibat sumbangan spin electron.Energi TotalDefinisi simbol,

Fungsi PartisiMagnetisisai per satuan volumUntuk Fermion yang memiliki spinKasus Khusus I, T = 0 K(Momen Magnetik Total)(Magnetisasi)(Susseptibilitas)Huang, 1987

Kasus Khusus II (Momen Magnetik Total)(Magnetisasi)(Susseptibilitas)Kasus Khusus III(Momen Magnetik Total)(Magnetisasi)(Susseptibilitas)Huang, 1987

Diamagnetik LandauLandau menunjukkan bagaimana sifat diamagnetik dibawa dari kuantisasi pada orbit partikel bermuatan didalam medan magnet. Fenomena ini muncul ketika atom-atom dipandang secara mekanika kuantum. Diamagnetisme muncul akibat kuantisasi orbital atom -atom. Dalam mekanika klasik, kuantisasi orbital atom tidak ada. Elektron -elektron dianggap mengelilingi inti dalam orbit sembarang sehingga meniadakan efek diamagnetisasi.Pada Ensemble kanonikPada Ensemble grand kanonikSusseptibilitas Magnetic MagnetisasiDiamagnetikParamagnetikHuang, 1987

Persaman Kuantisasi OrbitalEnergi Total ElektronSuseptibilitas MagnetikHuang, 1987

Perbandingan spektrum energi pada partikel bermuatan dengan dan tanpa medan magnetikKuantisasi orbital electron dalam bidang x dan y Huang, 1987

Efek de Hass- Van AlphenKelakuan gas fermi ideal pada suhu nol mutlakEnergi assembli pada suhu nol mutlakTingkat energi elektron terkuantisasiIlustrasi tingkat -tingkat energi yang ditempati electronHuang, 1987

Energi keadaan dasar yang dimiliki assembli dengan kehadiran medan magnetic Huang, 1987

Bintang katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hydrogen . Tidak ada reaksi fusi lebih lanjut. Materi penyusun bintang hanyalah helium. Sumber energi bintang semata-mata karena energi gravitasi yang berasal dari kontraksi bintang secara perlahan -lahan. Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang tampak putih remang -remang. Contoh bintang ini adalah pengiring Sirius. Binatng ini tidak tampak oleh mata karena terlalu redup teta pi secara periodic menutup Sirius. 2.3 TEORI BINTANG KATAI PUTIHhttp://spacejourney.byethost7.com/klasifikasiHuang, 1987

Perkiraan Besaran-besaran Fisis Bintang Katai PutihEnergi FermiEnergi TermalBintang katai putih adalah assembli N elektron pada keadaan dasar dengan kerapatan sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara relativistic. Elektron bergerak dalam background N/2 buah inti helium yang melakukan gaya gravitasi sehingga seluruh system menyatu membentuk binatng. Huang, 1987Karena, maka;

Energi Total Relativistik Elektron Pada Bintang Katai Putih(Mengubah penjumlahan menjadi integral)Energi Rata-Rata ElektronDimisalkanHuang, 1987

Tekanan Gas Fermi Bintang Katai PutihNon-relativistik ( XF> 1)denganHuang, 1987

Persamaan Bintang Katai Putih dengan Interaksi GravitasiEnergi Potensial GravitasiGaya gravitional self energyGaya oleh dinding bintangJari Jari Bintang Katai PutihDengan menyamakan nilai Podidapatkan,* tidak mungkin bintang katai putih memiliki massa lebih besar daripada massa matahariHuang, 1987

Sistem Bose-EinsteinPersamaan Keadaan gas ideal B-ESebagaimana dibahas pada pendahuluan Persamaan keadaan untuk gas ideal B-EEnergi internal (U) gas ideal B-E dimanauntukPathria & Beale. (2011)Huang, K. (1987)

dari energi internal gas ideal B-Ediperoleh kapasitas kalor sebagai berikut,dengan mengombinasikan dua persamaan berikut,diperoleh ekspansi virial berikut

dstal adalah konstanta virial yang bernilaiPersamaan Keadaan gas ideal B-E Cont.Pathria & Beale. (2011)Huang, K. (1987)

dari dua persamaan berikut,diperoleh dapat ditulis dalam bentuk deretPersamaan Keadaan gas ideal B-E Cont.Pathria & Beale. (2011)Huang, K. (1987)

dari persamaan keadaan untuk gas ideal B-E Mencari hubungan fungsi fugasi z yang bergantung pada TemperaturNilai z untuk gas B-E adalah 0 z 1Pathria & Beale. (2011)Huang, K. (1987)Kondensasi Bose-Einstein

Kondensasi Bose-Einstein Cont.Gambar 1. Grafik untuk persamaan keadaanGambar 2. Grafik hubungan antara z dengan v/3Huang, K. (1987)persamaan keadaan gas ideal B-E dapat diplotkan sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 1 Pada gambar 1 dapat diketahui bahwa untuk V yang besar dan mempunyai nilai berhingga, mempunyai nilai 3/ sekitar 2,612. Nilai V ini juga mempengaruhi grafik z yang ditunjukkan pada gambar 2.

Kondensasi Bose-Einstein Cont.Huang, K. (1987)Sedangkan untuk V , diperoleh dua nilai z sebagai berikut,z bernialai 1 untuknilai z untuk dapat diperoleh secara numerik

Fotonenergi total foton adalah vektor propagasi, adalah polarisasiDalam vakum foton tidak tampak Foton merupakan kuantitas dari medan elektromagnetik. Setiap foton memiliki energi sebesar .Fungsi partisi BosonHuang, K. (1987)Aplikasi Sistem Bose-Einstein

Energi Internal Foton dapat dituliskanFoton Cont.Huang, K. (1987)Persamaan KeadaanDengan memanfaatkan dua persamaan berikutDiperolehdengan adalah frekuensi foton adalah propagasi gelombang

Kapasitas Kalor FotonNilai U untuk seluruh ruang dengan momentum antara dan +dHuang, K. (1987)Kapasitas Kalor Fotonbanyaknya momentum antara dan +ddenganEnergi Internal Foton

Intensitas FotonIntensitas untuk Huang, K. (1987)Intensitas merupakan banyaknya energi yang menembus suatu luas per satuan waktu Fungsi Radiasi PlanckKonstanta Stefan-Boltzmann

Intensitas Foton Cont.Hukum Radiasi PlankHuang, K. (1987)Dari grafik hukum radiasi Planck diketahui bahwa dengan temperatur yang berbeda-beda akan menghasilkan frekuensi untuk intensitas maksimum yang berbeda-beda pula.

FononHuang, K. (1987)Dengan mengintegralkan hingga m dalam zat padat nilai 3N merupakan jumlah maksimum mode gelombangFonon adalah kuantitas gelombang bunyi dalam bentuk makroskopijumlah mode gelombang antara dan + d dimana maka

Fonon Cont.energi total fononHuang, K. (1987)Fungsi partisi fononEnergi internal fonon

Fonon Cont.Nilai U untuk seluruh ruang dengan momentum antara k dan k+dk Fungsi Debye D(x)Huang, K. (1987)Temperatur Debye

Fonon Cont.Huang, K. (1987)Dengan menggunakan tiga persamaan berikutMaka persamaan berikut diperoleh

Fonon Cont.Kapasitas Kalor fononUntuk temperatur tinggi dan rendah Cv memenuhi Huang, K. (1987)

Fonon Cont.Huang, K. (1987)Dari grafik di atas dapat diketahui bahwa untuk T lebih besar dari TD nilai Cv memenuhi statistik klasik yaitu 3Nk. Sedangkan untuk T lebih kecil dari TD nilai Cv akan menuju nol.Plot Kapasitas Kalor dari Teori Debye

Kesimpulan Statistik Fermi-Dirac memenuhi larangan Pauli, sedangkan statistik Bose-Einstein tidak memenuhi larangan Pauli.Persamaan keadaan gas ideal Fermi-Dirac berbeda dengan persamaan keadaan gas ideal Bose-Einstein.Nilai energi internal untuk Fermi-Dirac dan Bose-Einstein sama yaitu U=(3/2)PV

Terima kasih

****