Pemodelan MatematisAnwar Maruf

BackgroundProgramming/ Analitical Calculation Mathematical Formulation

assumption

Chemical Process

Result

Chemical Engineering ToolsMass Balance (Neraca Massa) Energy Balance (Neraca Panas) Equilibrium (Kesetimbangan) Rate processes (Proses-proses (ProsesKecepatan) Humanity (Humanitas) Economic (ekonomi)

Principles

Mass BalanceKec massa in kec massa out = kec massa acc [gr/dt, mol/jam] [gr/dt, mol/jam] [gr/dt, mol/jam] (Satuan harus sama) sama)Input Accumulation Output

Heat BalanceKec panas in kec panas out = kec panas acc[cal/dt, BTU/jam] [cal/dt, BTU/jam] [cal/dt, BTU/jam]

(Satuan harus sama) sama)

Input Accumulation

Output

Rate Processes : Fluks (perpindahan tiap satuan luas satuan waktu)Persamaan nA = De dCA/dx qA = k dT/dx

Proses Massan A ! De dc A dx

Satuan

KonstantaDe = difusivitas efektif, cm2/dt CA = konsentrasi, mol/cm3 x = jarak, cm k = konst.PP konduksi, Cal/(cm2.dt.K/cm) T = temperatur, K x = jarak, cm = viskositas, gr/(cm.dt) = poise V = kecepatan, cm/dt Y = jarak,cm

Mol/(cm2.dt)

Panas

Cal/(cm2.dt)

Momentum yx = (gaya) - dVx/dy

dyne/cm2 or gr/(cm.dt2)

Elemen Volume

Bidang Datar

AElemen volume = A. xx

Silinder

r

r

L

Elemen volume = Luas selimut silinder. Arah =2 r L. r

Bola Pejal

r

r

Elemen volume = Luas selimut bola. Arah =4 r2 . r

APLICATION1. Jika ada tangki dengan volume 1000 lt akan diisidengan air dengan kecepatan 20 lt/menit. Berapa waktu yg dibutuhkan agar tangki penuh?

Neraca MassaKec massa in kec massa out = kec massa acc Fi 0 = (dV/dt) Akan diperoleh : dV/dt = Fi dV = Fi dt Jika diintegralkan dengan Kondisi batas; 1000 t t=0 V=0 dV ! 20 dt t=? V = 1000 0 0 Akan diperoleh; V = 20. t 1000 lt = 20 lt/mnt . T t = 1000/20 mnt = 50 mnt.

2. Tangki dengan kapasitas 1000 lt. Akan diisi denganlarutan benzene dengan kecepatan 20 lt permenit, sementara benzene dalam tangki dikeluarkan dengan kecepatan 10 lt permenit. Berapa volume tangki yang terisi air setelah 30 menit!

Fi = 20 lt/mnt

Fo = 10 lt/mnt

Neraca MassaKec massa in kec massa out = kec massa acc Fi Fo = (dV/dt) Akan diperoleh : dV/dt = Fi - Fo dV = (Fi Fo) dt Jika diintegralkan dengan Kondisi batas; V 30 t=0 V=0 dV ! ( Fi Fo ) dt 0 0 t = 30 V=? Akan diperoleh; V = (Fi Fo) t = (20 10) lt/mnt . 30 mnt V = 300 lt.

3. Tangki dengan kapasitas 1000 lt. Mula-mula berisi air Muladengan volume 100 lt. Pada suatu saat diisi dengan larutan garam dengan konsentrasi 10 gr/l dengan kecepatan pengisian 20 lt/menit. Berapa volume larutan dalam tangki dan berapa konsentrasinya setelah 30 menit.Fi = 10 lt/mnt Ci = 10 gr/lt

Vo = 100 lt

Untuk menyelesaikan persamaan ini perlu dibuat dua neraca massa : Neraca massa total volume Neraca massa komponen garam

Neraca Massa TotalKec massa in kec massa out = kec massa acc Fi 0 = (dV/dt) Akan diperoleh : dV/dt = Fi dV/dt = 20 dV = 20 dt Jika diintegralkan dengan Kondisi batas; V 30 t=0 V=0 dV ! 20 dt t = 30 V=? 100 0 Akan diperoleh persamaan ; V = 100 + 20t Pada t = 30 menit akan diperoleh volume larutan V = 100 + 20.30 = 700 lt

Neraca Massa Komponen garamKec massa in kec massa out = kec massa acc Fi.Ci 0 = d(VC) / dt dC dV Fi.Ci ! V C dt dt

20.10200

dC ! (100 20t) C(20) dt 20C ! (100 20t) dC dt

dt dC ! ( 100 20 t ) ( 200 20 C )

Jika diintegralkan dengan kondisi batas ; t=0 C=0 t = 30 C = ? Akan diperoleh : 1 100 20t 1 200 20C ln ! 20 ln 200 20 100 Pada waktu 30 menit : Ln (7) = ln (200) ln(200-20C) 1.94591 = 5.298317 ln (200 20C) ln (200 20C) = 3.352407 (200 20C) =exp(3.352407) 200 20C = 28.57143 20C = 171.4286 C = 8.571429 gr/ lt Jadi Volume larutan dalam tangki sebesar 700 lt dan konsentrasinya adalah 8.571429 gr/ lt

Aplikasi yang melibatkan Elemen volume4. Suatu dinding datar yang berupa pelat baja dengan luas permukaan 100 ft2 dengan ketebalan 1 in. pada bagian dalam bersentuhan dengan cairan dengan temperatur konstan 400 K sedangan bagian luar bersentuhan dengan udara luar dengan temperatur konstan 300 K. a. Buatlah persamaan matematik yang menggambarkan proses baik pada kondisi unsteady state maupun steady state ! b. Hitung profile temperatur tiap satuan jarak 0,1 in!

Input : A.qA|x.=A.(-k dT/dx) Output : A. qA|x+X

.=A.(-k dT/dx)

A400 300

Akumulasi : mcT

Catatan : m = . V = .A. x

x x

X+ x

Neraca Massa TotalKec massa in kec massa out = kec massa acc A.(-k dT/dx)|x - A.(-k dT/dx)|x+ = d(mcT)/dt A.(k dT/dx)|x+ - A.(k dT/dx)|x = .A. x.c.(dT/dt) Jika dibagi dengan elemen volum = A. x

k

dT dx

x (x

k

dT dx

x

(xd k dT dT dx ! Vc dx dt dT d 2T k ! Vc dt dx 2 d 2T V c dT ! 2 dx k dt

dT ! V .c . dt

Persamaan dapat disederhanakan menjadid 2T 1 dT ! 2 dx E dt k E! Vc

Diperoleh persamaan differensial parsial (PDP)

Pada kondisi steady state (ajeg) : tidak ada perubahan temperatur terhadap waktu, maka persamaan akan menjadi;

d T !0 2 dxDiperoleh persamaan differensial ordiner (PDO) dengan kondisi batas : x = 0 T = 400 x = 1 T = 300

2

TAMBAHANDengan cara yang sama akan diperoleh hasil yang analog untuk perpindahan massa dengan pergantian : nA De C qA k T akumulasi = d(V.C)/dt = A. X dC/dt

1 dC d C ! 2 dx De dt d 2C !0 2 dx

2

5. Suatu pipa silinder dari carbon steel dengan diameter dalam ri = 5 in dan diameter luar ro = 6,5 in panjang 100 ft. pada bagian dalam bersentuhan dengan fluida dengan temperatur konstan 1000 K sedangan bagian luar bersentuhan dengan udara luar dengan temperatur konstan 300 K. a. Buatlah persamaan matematik yang menggambarkan proses baik pada kondisi unsteady state maupun steady state ! b. Hitung profile temperatur tiap satuan jarak 0,1 in!

Silinder

r

r

L

Elemen volume = Luas selimut silinder. Arah =2 r L. r

Neraca MassaKec massa in kec massa out = kec massa acc 2 rL.(-k dT/dr)|r - 2 rL.(-k dT/dr)|r+ r = d(mcT)/dt 2 rL.(k dT/dr)|r+ r - 2 rL.(k dT/dr)|r = . 2 rL. r.c.(dT/dt) Jika dibagi dengan elemen volum = 2 L. r

rk

dT dr

r (r rk

dT dr

r

(r

dT ! rV .c. dt

d rk dT dT dr ! rVc dr dt 0 dT d 2T dT dk dT dr k r rk 2 ! rVc dt dr dr dr dr dr dT d 2T dT k rk 2 ! rVc dr dr dt

Persamaan dapat disederhanakan menjadi

d 2T 1 dT dT ! Vc k 2 k dr r dr dt 2 d T 1 dT Vc dT ! 2 dr r dr k dt 2 d T 1 dT 1 dT ! 2 dr r dr E dtDiperoleh persamaan differensial parsial (PDP)

Pada kondisi steady state (ajeg) : tidak ada perubahan temperatur terhadap waktu, maka persamaan akan menjadi;

d T 1 dT !0 2 dr r drDiperoleh persamaan differensial ordiner (PDO) dengan kondisi batas : r = 5 T = 1000 r = 6,5 T = 300

2

TAMBAHANDengan cara yang sama akan diperoleh hasil yang analog untuk perpindahan massa dengan pergantian : nA De C qA k T akumulasi = d(V.C)/dt = 2 rL. r dC/dt

d 2C 1 dC 1 dC ! 2 dr r dr E dt d 2C 1 dC !0 2 dr r dr

5. Sebuah bola pejal dari baja dengan diameter 30 in, mula-mula bertemperatur 1000 K, suatu suatu saat dimasukkan ke dalam larutan minyak bersuhu 400 K. a. Buatlah persamaan matematik yang menggambarkan proses baik pada kondisi unsteady state maupun steady state ! b. Hitung profile temperatur tiap satuan diameter 10 in!

r

r

Elemen volume = Luas selimut bola. Arah = 4 r2 . r

Neraca MassaKec massa in kec massa out = kec massa acc 4 r2.(-k dT/dr)|r - 4 r2.(-k dT/dr)|r+ r = d(mcT)/dt 4 r2.(k dT/dr)|r+ r - 4 r2.(k dT/dr)|r = . 4 r2. r.c.(dT/dt) Jika dibagi dengan elemen volum = 4 . r

r 2k

dT dr

2 r (r r k

dT dr

r

d r 2k dT dT 2 dr ! r Vc dr dt 0 dT dr 2 dT dk 2 d 2T dT 2rk r r k 2 ! r 2 Vc dr dr dr dr dr dt dT dT 2 d 2T 2rk r k 2 ! r 2 Vc dr dt dr

(r

! r 2 V.c.

dT dt

Persamaan dapat disederhanakan menjadi

d T 2 dT dT ! Vc k 2 k dr r dr dt 2 d T 2 dT Vc dT ! 2 dr r dr k dt 2 d T 2 dT 1 dT ! 2 dr r dr E dtDiperoleh persamaan differensial parsial (PDP)

2

Pada kondisi steady state (ajeg) : tidak ada perubahan temperatur terhadap waktu, maka persamaan akan menjadi;

d T 2 dT !0 2 dr r drDiperoleh persamaan differensial ordiner (PDO) dengan kondisi batas : r = 5 T = 1000 r = 6,5 T = 300

2

TAMBAHANDengan cara yang sama akan diperoleh hasil yang analog untuk perpindahan massa dengan pergantian : nA De C qA k T akumulasi = d(V.C)/dt = 2 r2. r dC/dt

d 2C 2 dC 1 dC ! 2 dr r dr E dt d 2C 2 dC !0 2 dr r dr