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Francisco Javier Blanco Tirado 6804 - GRADO EN INGENIERA EN TECNOLOGAS INDUSTR

1 Fsica I

Ingeniera de tecnologas industriales.

Ped 2010/2011

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ndice:

Tema a desarrollar:Sistemas de referencia inercial y no inercial. Fuerzas deinercia.

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Mdulo 1 8

Mdulo 2 21

Mdulo 3 33

Mdulo 4 38

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Fsica I

Sistemas de referencia inercial y no inercial. Fuerzas de inercia.

Introduccin.

Antes de entrar en materia debemos aclarar ciertos conceptos. Ante todo debemosentender qu es un sistema de referencia, acudimos a la definicin:

Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadaspor un observador para poder medir la posicin y otras magnitudes fsicas de un objeto

o sistema fsico en el tiempo y el espacio .

Concretando podremos decir que un sistema de referencia es ladefinicin de un espacio que permita conocer en todo momento elestado de movimiento de una partcula o sistema de partculas con lamayor exactitud posible. Esto se har siempre por un observadorsituado en el origen de este sistema definido.

Queda claro que para poder decir que un cuerpo est en movimiento este debe de estarlocon respecto a algo, si este cuerpo fuera completamente libre y no estuviera siendoobservado ni comparado con absolutamente nada nos resultara completamenteimposible conocer su estado de movimiento, me atrevera, incluso, a decir que nisiquiera nos percataramos de tal existencia pues sera meramente terica.

Por lo tanto insistimos en la necesidad de comparar el estado de una partcula con unsistema de referencia para poder conocer su estado de movimiento.

Pasemos a definir estos sistemas de referencia dentro de la fsica, que es lo que nosinteresa:

En mecnica clsica frecuentemente se usa el trmino para referirse a un sistema decoordenadas ortogonales para el espacio eucldeo (dados dos sistemas de coordenadasde ese tipo, existe un giro y una traslacin que relacionan las medidas de esos dossistemas de coordenadas).

En mecnica relativista se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que permiten identificar cada punto del espacio fsico de inters y el ordencronolgico de sucesos en cualquier evento, ms formalmente un sistema de referenciaen relatividad se puede definir a partir de cuatro vectores ortonormales (1 temporal y 3espaciales).

Por ltimo, antes de entrar en materia, debemos entender con suficiente claridad laimportancia del observador y para ello antes debemos comprender, a qu llamamosobservador?

En fsica, un observador es cualquier ente capaz de realizar mediciones de magnitudes

fsicas de un sistema fsico para obtener informacin sobre el estado fsico de dichosistema.
http://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Entehttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Entehttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observador

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En la mecnica clsica estos tienen dos propiedades fundamentales:

1. Tiempo absoluto. Todos los observadores comparten una referencia temporal, o tiempoabsoluto, es decir, existe una magnitud escalar llamada tiempo que tiene el mismo valorinvariante para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento.

2. Discrecionalidad de la medida. Es posible concebir, al menos en teora, unprocedimiento de medida arbitrariamente exacto, tal que cualquiera que sea la magnitudfsica observada en el proceso de medicin no altera el estado fsico. Es decir, puedentratarse discrecionalmente al observador y al sistema fsico observado.

En mecnica newtoniana nuestro observador es cualquier sujeto o aparato de medicinasociado a un sistema de referencia cartesiano, cumpliendo las propiedadesanteriormente mencionadas. En cambio en fsica relativista su definicin es algo mscomplicada ya que el tiempo no tiene carcter absoluto y debe definirse para cadaobservador, as un observador sera la asignacin a cada punto del espacio tiempo decuatro campos vectoriales continuos mutuamente ortogonales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

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Sistemas de referencia inerciales.

La obra de Galileo ( Dilogos acerca de Dos Nuevas Ciencias ) la que permiti asumir la existencia de un grupo particular de sistemas de referencia, llamados inerciales ogalileanos , en los que los fenmenos mecnicos sucedan de la misma manera y las

leyes tomaban la forma matemtica ms simple posible.

Galileo estableci, a travs de sus notables observaciones sobre reposo y movimientorectilneo uniforme de cuerpos libres de fuerza, que eran dos estados de movimientoequivalentes, relativos al observador.

Adems, postul que en estos privilegiados sistemas se cumpla que los fenmenosmecnicossucedan de la misma forma, respondiendo a las mismas (idnticas) leyes,por lo cual no era posible distinguir mediante experiencias mecnicas cul de ellosestaba en reposo y cual en movimiento.

Isaac Newton le dio forma a estos conceptos a travs del Principio de Inercia , cuyosignificado profundo es postular la equivalencia entre sistemas inerciales.

Una definicin precisa de estos sistemas inerciales sera: sistema de referenciainercial es todo sistema que est en reposo o con movimiento rectilneo uniforme

respecto de un objeto material sobre el cual no acta fuerza alguna, cualquiera sea su posicin en el espacio.

Es precisamente aqu donde radica la problemtica a la hora de definir un sistema

inercial ya que es imposible fsicamente disponer de un cuerpo libre de interacciones.Por esta misma razn seremos ms generosos en su definicin de manera queentenderemos un sistema de referencia inercial siempre que con nuestros medios vemosque en l se verifica el principio de inercia con suficiente grado de aproximacin.

Recordemos que en Mecnica Clsica se supone que el espacio es eucldeo y el tiempoabsoluto de manera que dados dos sistemas de referencia S y S tendremos:

L L

t t

Adems si estos estn en movimiento uno respecto al otro de acuerdo a unatransformacin de Galileo, tendremos: v v V

Y la aceleracin de los dos sistemas ser a a y por lo tanto, al ser la masa inercial y eltiempo magnitudes invariantes tendremos que:

F F

Si se cumplen estas condiciones podremos definir el sistema como sistema de referenciainercial.

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Por otro lado la transformacin de Galileo nos permite construir infinitos sistemas dereferencia inerciales, considerando simplemente todos aquellos sistemas que se muevencon cualquier velocidad constante, en todas direcciones, con relacin al primero.

Sistemas de referencia no inerciales.

En mecnica newtoniana se dice que un sistema de referencia es no inercial cuando enl no se cumplen las Leyes del movimiento de Newton. Dado un sistema de referenciainercial, un segundo sistema de referencia ser no inercial cuando describa unmovimiento acelerado respecto al primero. La aceleracin del sistema no inercial puededeberse a:

Un cambio en el mdulo de su velocidad de traslacin (aceleracin lineal). Un cambio en la direccin de su velocidad de traslacin (por ejemplo en un movimiento

de giro alrededor de un sistema de referencia inercial). Un movimiento de rotacin sobre s mismo. Una combinacin de algunos de los anteriores.

Consideremos el caso en que siendo S un sistema de referencia inercial, los sistemas S yS no se mueven con velocidad relativa constante:

I a a a

Donde I a es la aceleracin de inercia. Si multiplicamos por lamasa de la partcula:

I ma ma ma

Observemos que las fuerzas F y F ya no son las mismas, nopermanecen invariantes. Si definimos la fuerza de inercia,debido a la aceleracin del sistema no inercial S como:

I I F ma

Tendremos:

I F F F
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana

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Fuerza de inercia

Se llaman fuerzas de inercia o fuerzas ficticias a las fuerzas que explican la aceleracinaparente de un cuerpo visto desde un sistema de referencia no inercial.

Las fuerzas de inercia slo son percibidas por observadores no inerciales.

Vemoslo con un ejemplo:

Cuando un observador situado en la superficie de la Tierra mide la aceleracin de unapartcula, sta posee dos trminos (denominados aceleracin de Coriolisy aceleracincentrfuga) que son debidos nicamente al movimiento de rotacin del sistema dereferencia, y no a ninguna interaccin fsica. Por tanto, cada uno de ellos tendrasociada una fuerza de inercia ( fuerza de Coriolis y fuerza centrfugarespectivamente). En la siguiente figura se observa la fuerza centrfuga que percibe unobservador no inercial O' (en rojo, figura de la derecha):

Desde el punto de vista de un observador en reposo O , sobre el satlite (que describeuna rbita geoestacionaria) , acta la fuerza gravitatoria de la Tierra y su aceleracin(normal) est causada por dicha fuerza.

Desde el punto de vista de un observadorO' situado en la superficie de la Tierra elsatlite est en reposo (ya que ambos se mueven con la misma velocidad angular ),por lo que su aceleracin es cero. Para este observador, las fuerzas que actan sobre elsatlite son la gravitatoria y la fuerza centrfuga (representada en rojo), de tal modo quela suma de ambas es cero. La fuerza centrfuga no responde a ninguna interaccinfsica, es una fuerza que percibe el observador no inercial por el hecho de estarrotando.
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/sabiasrot.htmhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/sabiasgrav.htmlhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/sabiasgrav.htmlhttp://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/cinematica/sabiasrot.htm

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Mdulo 1. Fundamentos.

1.

Dado el vector 3 2 5 x y zv u u u , determinar la longitud de su proyeccin sobre larecta definida por los puntos (2,-2,-3) y (3, 0,-1).

Definiremos el vector que define la recta que pasa por los puntos dados, por lo tanto:

(2 3) ( 2 0) ( 3 1) x y zu AB u u u = 2 2 x y zu u u

Su proyeccin vendr dada por:

3 4 10( 2 2 )

1 4 4 x y zu u u

9( 2 2 ) 2 2

9 x y z x y zu u u u u u

Y la longitud de su proyeccin:

2 2 2

Pr oy 1 2 2 3v u

2. Una partcula se encuentra en el instante t=0 en la posicin x=x0 con una velocidadv=v0. El movimiento que describe la partcula es rectilneo, con una aceleracindada por a=-kv3, en donde k es una constante. Determinar la expresin que definela dependencia de la velocidad con la posicin.

Estamos ante un movimiento rectilneo acelerado para el cual podemos definir:

Sustituyendo a por 3kv y despejando en la segunda ecuacin el tiempo:

30v v kv t 03

v vt

kv

Sustituyendo el tiempo y la aceleracin en la tercera ecuacin:

3 2 20 0 0 00 0 0 03 3 3

( )1 1( ) ( )( ) ( )2 2

v v v v v v v x x v kv x v vkv kv kv

(3 2 5 )( 2 2 )Pr oy ( 2 2 )

( 2 2 )( 2 2 )

x y z x y zv x y z

x y z x y z

u u u u u uv uu u u u u

u u u u u uu u

3

0

20 0

12

a kv

v v at

x x v t at

t=0x=x

0v=v 0

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3. Una partcula cuyo movimiento es analizado desde un sistema de referenciainercial S, describe una trayectoria dada por 2( ) 3 2 x y zr t t u tu u . Desde otrosistema de referencia S , la trayectoria observada est dada por 2( ) 3 5 x zr t t u u .Decir si este sistema S es o no inercial. Calcular la velocidad del movimiento de S,

relativo a S.

Para que el sistema S pueda considerarse inercial deber verificarse el principio deinercia, es decir la velocidad apreciable desde l debe ser constante y la aceleracin, siexiste, igual en ambos sistemas de referencia. Por lo tanto derivando en ambasecuaciones:

2( ) 3 2 x y zr t t u tu u ( )

( ) 6 2 x ydr t

v t tu udt

( )( ) 6 x

dv t a t u

dt

2( ) 3 2 x y zr t t u tu u ( )

( ) 6 xdr t

v t tudt

( )( ) 6 x

dv t a t u

dt

Al ser la aceleracin igual en ambos sistemas podemos considerarlos a ambos inercialesuno respecto del otro.

Por otro lado, bajo una Transformacin de Galileo, la velocidad vendr relativa vendrdada por:

6 6 2 6 ( ) 2 x y x y x xV v v tu tu u t u u u

4. En un sistema de referencia inercial las ecuaciones que describen el movimiento deuna partcula , de masa 1g, son:

2 2 1 x t t ; 5 y t ; 23 4 z t

En donde x, y, z se miden en cm. Determinar la expresin vectorial de la fuerzaque acta sobre la partcula, y que es responsable de dicho movimiento.Determinar su mdulo en el instante t=0.

De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza vendr dada por: F m a .Calculamos la aceleracin de la partcula derivando x, y, z (c.g.s.):

2 6 x zd x

a u udt

Por lo tanto la fuerza estar definida como:

21 (2 6 ) x zF g u u cm s y su mdulo 54 36 2 10 2 1010F dyna N

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5. Un cuerpo en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota,formndose tres fragmentos. Dos de ellos de igual masa y se desplazan segn ladireccin positiva de los ejes OX y OY, respectivamente, con la misma velocidad de30ms-1. El tercer fragmento tiene una masa triple que la de cada uno de los otrosdos. Calcular la velocidad de este tercer fragmento.

De acuerdo con el principio de de conservacin del momento lineal tenemos que:

inicial finalP P

Partiendo de este punto y utilizando los datos proporcionados llegamos a:

1 2m m m 3 3m m

total 1 2 3 5m m m m m

1 30 m/sv i

2 30 m/sv j

P m v 30 30 3 ( )inicial x yP m v mi m j m v i v j

30 30 3 3 0 x ymi m j m v i m v j 30 3 0

30 3 0

x

y

mi m v i

m j m v j

10 m/s

10 m/s x

y

v i

v j

Con lo que tenemos la velocidad pedida:

3 ( 10 10 )m/sv i j

6. Razonando la respuesta, indicar cul de las siguientes afirmaciones es correcta.

El trabajo realizado por una fuerza no conservativa que acta sobre una partculadesplazndola desde la posicin 1 a la posicin 2 es igual a:

a. La energa potencial entre las posiciones 1 y 2.b. La diferencia de energa cintica entre las posiciones 1 y 2.c. La diferencia de energa mecnica entre las posiciones 1 y 2.

Segn el teorema del trabajo y la energa cintica, aplicable tanto a fuerzasconservativas como no conservativas el trabajo vendr dado por la diferencia de energacintica entre ambas posiciones. Por lo tanto la respuesta correcta ser la b.

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7. Una partcula est sometida a la accin de la fuerza: 2 2( ) 2 x yF x y u xyu .a. Calcular el trabajo realizado al desplazarse la partcula desde el punto (0,0) al

(2,4), siguiendo el camino:2 2 2 2

1 1 1 1

2 2( ) (2 ) x y x y

x y x y x y

w F dx F dx x y dx xy dx

y=0, x=2

232 4 42 21 00 0

0

8 884 2 32 29,3

3 3 3 x

w x dx ydx y J

x=0, y=4

232 422 0 0

0

8 8816 0 16 32 29,33 3 3

xw x dx dx x J

y=2x

42 33 32 42 4 23 0 0

0 0

4 8 32 64 884 29,3

3 3 3 3 3 3 3 x x y

w x x dx y dx J

y=x2 452

3 52 4 22 4 34 0 0

00

4 8 32 128 882 29,33 5 5 3 5 5 3

x x yw x x dx y dx J

b. En caso de que la fuerza sea conservativa, determinar la funcin que expresa laenerga potencial de la partcula.

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2( ) (2 ) x y x y

p x y x y x yw E F dx F dy x y dx xy dy

c. Utilizando el teorema del trabajo y la energa potencial, calcular el trabajodesarrollado al desplazar la partcula entre los puntos sealados.

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2342 2

00

( ) (2 )

8 880 32 29,3

3 3 3

x y x y

p x y x y x yw E F dx F dy x y dx xy dy

x y x xy J

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8. Una partcula de masa m cae sometida a la atraccin gravitatoria terrestre.Simultneamente acta sobre ella una fuerza proporcional a su velocidadinstantnea, que se opone al movimiento. En estas condiciones, la velocidadinstantnea de la partcula:

a. Tiende a un valor lmite cuando el tiempo de recorrido es grande.b. Siempre tiene un valor constante, independiente del tiempo.c. Aumenta indefinidamente con el tiempo.

Las condiciones iniciales son las siguientes: en el instante t 0=0 la partcula se encuentraen la posicin x 0=0, con una velocidad nula.

La ecuacin del movimiento de la partcula es:

dvmg kv m

dt

Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, tenemos:

1k

t mmgv e

k

Si t tiende a tenemos:

1mg mgv ek k

A partir de la definicin de velocidad instantnea:

k t

mmg m m x vdt t ek k k

Y para t tendiendo a :

mg m x t

k k

Con lo que podemos afirmar que la respuesta correcta es a.

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9. Dos partculas de masas m1=1 kg y m2=2kg se mueven respectivamente convelocidades v1=(1,1,0) y v2=(1,1,1), expresadas en m/s. La direccin del momentolineal total del sistema es:

a. (1,1,2)b. (1,1,2/3)c. (1,1,1/3)

Los momentos lineales de cada partcula son:

1 1 1

2 2 2

( / )

2 2 2 ( / ) x y

x y z

p m v u u kg m s

p m v u u u kg m s

El momento total es:

1 2 2 2 2 3 3 2

23( )( / )

3

total x y x y z x y z

x y z

P p p u u u u u u u u

u u u kg m s

Lo que nos da como cierta la opcin b.

10. Utilizando la definicin del sistema de referencia no inercial (o acelerado) y elconcepto de fuerza de inercia, dedzcase la aceleracin del sistema constituido pordos masas m1 y m2>m1, unidas por un hilo flexible e inextensible, que pasa por unapolea sin rozamiento y de masa despreciable (mquina de Atwood), sometidas a laatraccin gravitatoria ejercida por la Tierra.

Las masas describen un movimiento acelerado en un sistema de referencia exterior. Lossistemas ligados a las masas son no inerciales, por lo que debemos considerar en ellosfuerzas de inercia iguales, que las mantienen en reposo en el sistema de referenciapropio. As podemos escribir:

1

2

1

2

0

0 I

I

T m g F

T m g F

Donde T es la tensin del hilo y F I1, F i2 las fuerzas de inercia. La aceleracin I a tiene lamisma magnitud que la aceleracin del movimiento pero con sentido opuesto:

1 2

1 2

1 2

1 2

2

I

m mT g

m m

m ma g

m m

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11 Sea una partcula sometida simultneamente a la accin de dos fuerzas elsticas,cada una de las cuales, por separado, provocara un movimiento dado,respectivamente, por:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4

2 2 4 2 2 2

cos

cos

1 1 1( )

2 2 2

1 1 1( )2 2 2

1 1 1( )

2 2 2

x

y

x y x ytotal y x y x

x y

c p

c x y

p

dxv A sen t dt

dyv A t

dt

p p u p u mv u mv u

mA sen tu mA tu

E E E

E mv m v v mA

E Kr K x y KA

E mA KA A m KA

con2

a. Obtener la ecuacin de la trayectoria descrita e indicarel sentido del movimiento.

En el caso de que A sea constante la trayectoria es circular

y para2

tendremos:

cos

cos( )2

x A t

y A t Asen t

;cos

xt

A y

sen t A

;

Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones tenemos:

22

2

22

2

cos x

t A

ysen t

A

;2 2

2 2

2 2cos 1

x yt sen t

A A

Con 2 2 2 x y A que es la ecuacin de la trayectoria, concretamente una circunferenciade radio A.

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b. Calcular p y E, indicando si se conservan o no constantes, y razonando larespuesta.Obtenemos la velocidad derivando x e y, con respecto al tiempo:

cos

x

y

dxv A sen t

dt dy

v A t dt

;

El momento vendr dado por:

cos

x y x ytotal y x y x

x y

p p u p u mv u mv u

mA sen tu mA tu

Cuyo modulo es:2 2( ) ( cos )total p mA sen t mA t mA

Por lo tanto constante.La energa mecnica E, vendr dada por:

c p E E E

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4

1 1 1( )

2 2 21 1 1

( )2 2 2

c x y

p

E mv m v v mA

E Kr K x y KA

2 2 4 2 2 21 1 1 ( )2 2 2

E mA KA A m KA

Dependiente pues de la velocidad angular.

c. dem Id., si2

Procederemos de la misma forma, sustituyendo:

cos( )2

y A t

Y desarrollando.

d. Aplicacin numrica: m=1g, A=10 cm, =5 rad/sLa trayectoria vendr dada por: 2 2 100 x y

50( / )total p mA g cm rad s 2 2 21 ( ) (1250 5000 )

2 E A m KA K erg

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12 Dados los vectores:

2

2

x y z

x y z

a u u u

b u u u

Determinar el ngulo que forman los vectores ( x )a a b y x yu u .

x 1 1 2 4 2 2 3

2 1 1

x y z

x y z z y x x y z

u u u

a b u u u u u u u u u

( x ) 2 3 2 2 3 x y z x y z x y za a b u u u u u u u u u u

x yv u u

El ngulo vendr dado por:

4cos 0,6859943406

34

arccos0,6859943406 46,68

u v

u v

13 Una partcula libre describe un movimiento con velocidad constantev , segn ladireccin (1,2,3), en un cierto sistema de referencia. Otro sistema se mueve conrelacin al primero con velocidad tambin constante0 0( )v v v , en la direccin(2,1,2). Qu tipo de movimiento se observa desde este sistema de referencia?Calcular la velocidad de la partcula en este sistema.

Las posiciones vendrn dadas por:

1

2

2 3

2 2

x y z

x y z

r u u u

r u u u

La direccin de la partcula observada por:

2 1 x y zr r u u u

Se tratara de un movimiento rectilneo uniforme y su velocidad vendr dada por:

dr v

dt ; 1 2r r vt ; 2 1r r v

t

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14 En el sistema de referencia intrnseco de una partcula, la fuerza actuante sobresta tiene dos componentes: normal y tangencial. El trabajo realizado por la fuerzadepende de:

a. Su componente normalb. Su componente tangencialc. Ambas componentes

La componente normal de la fuerza no realiza trabajo, ya que es ortogonal al

desplazamiento dr, su producto escalar 0 N F dr . La componente tangencial es la nica

que realiza trabajo, siendo paralela en todo momento al desplazamiento dr:

T T F dr F dr

15 Dos partculas A y B, que se mueven sin rozamiento sobre la lnea horizontal,

interactan. El momento lineal A es 0 AP p bt , siendo 0 p y b constantes yt eltiempo. Encontrar el movimiento lineal de B en funcin del tiempo, si:

Partiendo de inicial final p p

a. B se encuentra inicialmente en reposo

0 00 B p p bt P ; BP bt

b. El movimiento lineal inicial de b es0 p

0 0 0 B p p p bt P ; 0 BP p bt

16 Una granada en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota,formndose tres fragmentos iguales. Dos de ellos vuelan, respectivamente, en ladireccin positiva de los ejes OX y OY, con velocidades iguales en mdulos, de30m/s. Calcular la velocidad del tercer fragmento, indicando su mdulo ydireccin.

1 2 3m m m m 1 2 3 0 p p p

1 2 3 0mv mv mv

3(30 30 ) 0m i j v

3 30 30 ( / )v i j m s 2 2

3 30 30 30 2( / ) 42, 43( / )v m s m s

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18

17 Sobre un cuerpo de masa m=1 kg que pertenece a un sistema de N cuerpos eninteraccin, actan fuerzas exteriores al sistema, de resultante (1,1,1)( )ext F N y

fuerzas interiores al sistema, de resultante int (2, 1, 2)( )F N . Calcular laaceleracin.

interna externaF F F ma

La aceleracin vendr dada por:

1 2 2 x y z x y za a a a a a a

2 3 x y za a a a

18 Una partcula de masa 1 g (10-3 Kg) est sometida a un campo de fuerzas quederivan de una energa potencial 23 1( ) p E x erg . En x=1 cm la partcula est enreposo. Determinar su velocidad en x=0.

Partimos de las siguientes premisas:

1

2

2

1

0cm

1cm=10

0m/s

x

x m

v

;

2

2 2 7

1E

23 1( ) (3 1)10

0

c

p

M c p

mv

E x erg x J

E E E

De tal manera que:

c p E E

2 2 2 22 1 2 1

1( ) (3 1) (3 1)

2m v v x x

Y de acuerdo con las condiciones iniciales:

2 21 2

13

2mv x

Despejando la velocidad:

22

1

62,449( / )

xv m s

m

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19

19 Un punto material de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de uncirculo animado de un movimiento de rotacin uniforme alrededor de su dimetrovertical con velocidad angular . Encontrar el radio de la trayectoria circularestable del punto material en un plano perpendicular al eje de giro. Qucondiciones debe verificar

para que el problema tenga solucin?

2

cos 0 N mf

Nsen m r

r sen

R

Sustituyendor

sen R

en 2 Nsen m r , tenemos:

2

cos N mf

N m R

; 2 2cos

mf f

m R R

2 22 2

4 2 41 cos 1f f

r Rsen R R R R

La condicin pedida vendr dada para2

24 0

f R

:

2

f R

; 2

f R

22

F ma

mvF m r

r

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20

20 El mdulo de la fuerza de atraccin ejercida entre dos molculas de un gas realviene expresado por:

6 120 07 13(12 12 )

r r F

r r

En donde y 0r son dos constantes y r es la distancia de separacinintermolecular. Se pide:

a) Admitiendo que la fuerza es conservativa, hallar la energa potencial del sistemaconstituido por ambas molculas. Cunto vale la energa potencial cuandor ? Y cundo 0r ?

pF gradE ;6

6 00 7 13

112 p

r E Fdr r d r dr

r r

6 12

6 6 0 00 06 12 6 1221 112 6 12 p

r r E r r r r r r

0r

p E ;0r

p E

b) Representar grficamente la funcin obtenida. Cul es el trmino dominante apequeas distancias? Y a grandes distancias?

c) Suponiendo fija en el origen de coordenadas una de las molculas, cul es laposicin de equilibrio de la otra? Qu trabajo hay que realizar para separa unadistancia infinita las molculas, situadas inicialmente a la distancia0r ?

Derivando en6 12

6 6 0 00 06 12 6 12

21 112

6 12 pr r

E r r r r r r

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21

Mdulo 2. Principios de conservacin.

1. Una partcula se desplaza sobre el eje OX, en presencia de un campo de fuerzasdefinido por la siguiente funcin de energa potencial: Ep=kx2-kx+2. Determinarlas posiciones de equilibrio, indicando su estabilidad. K y k son constantespositivas.Derivamos con respecto a la posicin x e igualando a 0:

pdE 2 0kx k d

;2k

xk

Con la segunda derivada obtenemos:2

p2

d E2 0k

dx , que corresponde a un mnimo de

la funcin, por lo que podemos afirmar que el equilibrio es estable.

2. Dos partculas de igual masa m, chocan en el origen del sistema de coordenadas.

Las velocidades iniciales respectivas son uy y 2 ( )( / )2 x y

u u m s

cos

cos( ),siendo =-2

, ,

x A t

y A t

L

.

Determinar el ngulo formado por la direccin del momento lineal total y ladireccin del eje OX.Determinaremos en primer lugar el momento lineal partiendo de:

1 2 1 2

2 2(1 )

2 2 x y

P p p mv mv

m u u

Y el modulo de P :2

2 1 21 2 22 2

P m m

El ngulo vendr dado por:

cos x xP u P u ;

22cos 0,3832 2

m

m ; 67,5

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22

3. Sea una partcula sometida simultneamente a la accin de dos fuerzas elsticas,cada una de las cuales, por separado, provocara un movimiento dado,respectivamente, por:

cos

cos( ),siendo =-2

x A t

y A t

Determinar el momento angular de la partcula con respecto al origen decoordenadas. Razonando la respuesta, indicar si se conserva o no constante.

Teniendo en consideracin el problema 11 del mdulo 1 resuelto en la pgina 7, y

partiendo de r y p , aplicando el producto vectorial de ambos para hallar el momento

angular:

2

x 0 ( )

0

(( cos )( cos ) ( )( ))

x y z

z x y

x y

z

z

u u u

L r p x y xp yp u

p p

A t mA t Asen t mA sen t u

mA u

Como se puede comprobar L es constante al tratarse de una fuerza central.

4. En el movimiento de una partcula sometida a interaccin central, describiendouna rbita circular. Qu magnitudes se conservan constantes? , , L ?

L se conserva constante al ser nulo el producto de la fuerza con respecto al origen.

Si la fuerza actuante es conservativa entonces la energa mecnica E se mantendrconstante.

Por ltimo el momento lineal no se conservar constante al estar la partcula sometida auna fuerza, en este caso la central.

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23

5. Un disco de radio 5 cm y masa 20 g se desplaza rodando sobre una superficiehorizontal, sin deslizar, con una velocidad de 3 cm/s. Determinar la energacintica del disco.

Partiendo de2

0

12cr E I , con

2 2 2 2

0

1 32 2G I I mr mr mr mr

Por otro lado la velocidad angular vendr dada por v r ,3

/ 5

vrad s

r

Sustituyendo y aplicando las condiciones iniciales tenemos:

2 21 3 3 92025 1352 2 4 25cr

E mr erg

6. Demustrese que la fuerza de rozamiento actuando sobre un cuerpo al desplazarsesobre una superficie horizontal no es conservativa.

Partiendo de 2 21 mg x y se desplaza el cuerpo desde el origen a A(x,y),suponindolo un mnimo. Si cambiamos de camino a lo largo del eje de abscisas yperpendicular al mismo: 2 ( )mg x y

La energa potencial debera ser la misma pero no es este el caso, por lo que podemosafirmar que no es conservativa.

7. La ley de Gauss para el campo gravitatorio pone de manifiesto que:a. ste es conservativo.b. ste es central.c. Las lneas de fuerza no son cerradas.

En el caso de un campo creado por una partcula 4 Gm . Al ser el flujo m nulo, a

travs de una superficie cerrada que rodea a la partcula, la Ley de Gauss indica que laslneas de fuerza si son cerradas, adems este es conservativo y central (a la partcula).Por lo tanto a y b son correctas.

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24

8. En una superficie horizontal se encuentran en reposo y en contacto dos esferasidnticas 1 y 2. Una tercera esfera igual a las anteriores se lanza sobre ellas, deforma que el choque es perfectamente simtrico. Si la tercera esfera lleva en elmomento del choque una velocidad de 5 m/s y se supone que el choque esperfectamente elstico, calcular las velocidades que tendrn las tres esferasdespus del choque.

En un choque elstico la energa cintica inicial es igual a la final, es decir se conservan,por tanto:

ci cf E E ;2

1 0

12ci

E m v; 2 2 21 1 2 2 3 31 1 12 2 2cf

E m v m v m v

Como 1 2 3m m m m y dada la situacin en la que estn colocadas las esferas y laforma del impacto podemos considerar las esferas en reposo como un sistema de masa2m, con lo que tendremos:

2 2 20 1 2

1 12 2

mv mv mv

Donde v 2 nos dar la velocidad de las esferas que permanecen juntas justo despus delchoque, aunque no ser coincidente su direccin. Resolviendo tenemos:

02

2 103,33( / )

3 3mv

v m sm

01

( 2 ) 51,67( / )

3 3m m v

v m sm

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25

9. Sean dos pndulos de igual longitud y masas m y m/2, suspendidos de puntosprximos O y O. Se separa el primer pndulo un Angulo de 60 su posicin deequilibrio, abandonndose sin velocidad inicial. Se pide:

a. Suponiendo el choque perfectamente elstico, velocidades de las dos masasinmediatamente despus del choque, altura mxima alcanzadas por dichas masas.

Al ser el choque perfectamente elstico podremos escribir las leyes de conservacin dela energa cintica y del momento lineal, de modo que:

2 2 21 1 2

1 1 2

2

2

mmv mv v

mmv mv v

Dan la relacin 1 1 2v v v , que junto con la de conservacin del momento lineal

1 1 2

12

v v v nos llevan a:

1

1 2 1

13

43

v

v v v

Las alturas mximas alcanzadas por las masas correspondern a Ec=0 y Ep mxima.

212

mgh mv ;2 2

1 11 2 18

v vh

g g ;

2 22 1

2

82 9v v

hg g

Por otro lado 21

(1 cos60 )2

mv mgl , tenemos:

2 (1 cos60 ) 3,13( / )v mgl gl m s

Resolviendo:

1

2

1

2

1,043( / )

0,172( / )

5,6

88,9

v m s

v m s

h cm

h cm

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26

b. Lo mismo en la hiptesis de un choque totalmente inelstico, as como la fraccinde energa disipada en forma de calor en este caso. Aplicacin al caso l=1 m ym=0,2Kg

En este caso 1 2v v y 1 1 212v v v , por lo tanto:

1 2

1

1 2

2

32, 09( / )

22,2

v v

v m s

h h cm

10. Un disco circular uniforme, de masa m y radio r, gira alrededor de un eje fijo quepasa por el centro del disco y es perpendicular a su plano, bajo la accin de unafuerza exterior que ejerce un momento constante sobre el eje. El disco seencuentra inicialmente en reposo.

Dado que la resistencia del aire origina un momento retardador mk , cuando lavelocidad angular del disco es , en donde k es una constante,

a. Determinar la velocidad angular del disco despus de un tiempo t.

La ecuacin del movimiento del disco es:

2

2

2

2

2

1

2121

( )2

2( )

2

(1 )

d I mr mk

dt d

mr dt dt mk dt dt

mr d mk

d dt

mk mr

d dt mk mr

2

2

2

(1 )

1 2(1 )

mk d

dt mk mk mr

mk t dt

k r

Tras estas operaciones podemos determinar para: 0; 0; 0t dt iniciales.

2

2

2

2(1 )

(1 )k

t r

mk k t

r

emk

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27

b. Demostrar que tiende a un valor lmite /mk.

Si hacemos tender el tiempo al infinito2

2 k t

r e tender a 0 y la velocidad tender al lmite

demk

11. Una partcula se desplaza sobre el eje OX en un campo de fuerzas definido por lasiguiente funcin de energa potencial Ep=x3-2x2(J). Determinar las posiciones deequilibrio, indicando su estabilidad.

Primeramente debemos hallar la fuerza derivando la energa potencial con respecto a x:

3 2 2( 2 ) 3 4 0d

F x x x xdx

; (3 4) 0 x x

Resolvemos y obtenemos: 1 24 ; 03 x x

La posicin de equilibrio la hallamos calculando en la segunda derivada de la energapotencial con respecto a x los posibles mximos o mnimos: 6 4 0 p D E x

Para x 1:4

6 4 4 03 p

D E Nos da el mnimo de la curva y por lo tanto sera el

punto de equilibrio estable.

Para x 2: 60 4 4 0 p D E Nos da un mximo y por lo tanto un punto deequilibrio inestable.

12. Dos partculas de masa m1=1g y m2=2g, se mueven, respectivamente, convelocidades 21 ( , , 2)v t t y 32 ( , 2 ,1)( / )v t t cm s . Calcular la aceleracin del centrode masa del sistema en el instante t=0.

Calculamos primero la velocidad del centro de masas mediante:

2 31 1 2 2

1 2

2 3

1 2( , , 2) ( ,2 ,1)

3 32 4

, ,3 3 3

m v m vv t t t t

m mt t t

La aceleracin la hallaremos derivando respecto al tiempo:

222 6 1, , 0 ( / )

3 3dv t t

a m sdt

Para t=0 ; 21

0, , 0 ( / )3a m s de mdulo2

1( / )3a m s

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28

13. Sean dos partculas de masa m1=1g y m2=2g. En cierto instante las respectivasposiciones y velocidades son:

1

2

5 ( )

( )

x y

x y

r u u cm

r u u cm

; 1

2

3 2 ( / )

( / )

x y

x y z

v u u cm s

v u u u cm s

Calcular el momento angular total del sistema respecto al centro de masas.

1 2

1

2

5 1 0 2 10 3

3 0 2

1 3 0 6 2 42 2 2

64 12

x y z

x y z

x y z

x y z

y z x

L L L

u u u

L u u u

u u u

L u u u

L u u

4 12

* x

1 7 53 3

1 5 2 4

7 5 20 28 11x 0

3 3 3 3 35 2 4

x y z

x yi i

x y zi i

x y z

x y

L u u u

L L R P

R m r u u M

P m v u u u M

u u u

R P u u u

8 8 8* x

3 3 3 x y L L R P u u u

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29

14. Una molcula biatmica formada por dos tomos, de masas respectivas m1 y m2,separadas una distancia d. Calcular el momento de inercia de dicha molcula conrespecto a un eje perpendicular a la direccin del enlace y que pasa por el centrode masa de la molcula. Calcular la energa cintica de rotacin de la molcula,cuando, gira, con velocidad angular , alrededor de un eje paralelo al anterior yque pasa por el tomo de masa m1.

15. Se tienen 2 cilindros de igual masa y radio, uno macizo y otro hueco, rodandosobre el plano horizontal con igual velocidad angular . Cul tiene mayorenerga cintica?

a. El huecob. El macizoc. Ambos tiene la misma energa cintica.

Si tenemos que 21

Ec I w2

, en dnde ambos cilindros tienen w igual, la diferencia

estar en su I.

El valor de I del cilindro hueco es mayor que el del macizo, ya que la concentracin desu masa est a mayor distancia del eje de rotacin que el macizo.

Por lo que la respuesta es a) el cilindro hueco tiene mayor Ec.

16. Sea un muelle horizontal, con extremo fijo, cuya constante elstica es k=106 dinas/cm, y que posee n coeficiente de amortiguamiento b=50 dinass/cm. En suextremo libre se sujeta una masa de 103 g. El muelle est impulsado por una fuerzaF=F0cos t, en donde F0= 2,5105 dinas y es el doble de la frecuencia naturaldel sistema. Calcular la frecuencia natural del sistema. Calcular la amplitud delmovimiento resultante.

La frecuencia natural es:

3 1

0

30

2 2 2 2 6 60

10 250 250

83,310( ) 4 910 10 910

k

smF

cmm g

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30

17. Explicar por qu las lneas de fuerza son ortogonales a las superficiesequipotenciales, en todo campo conservativo.

Si se construye una superficie de tal modo que sea en todo punto perpendicular a uncampo elctrico, cualquier trayectoria situada sobre la superficie ser ortogonal al

campo. La integral curvilnea de E es nula a lo largo de una de estas trayectorias y ladiferencia de potencial entre dos puntos arbitrarios de la superficie es cero. Enconsecuencia, todos los puntos de la superficie estn al mismo potencial, y esta sedenomina superficie equipotencial.

La distribucin de potencial de un campo puede representarse grficamenteconstruyendo superficies equipotenciales, cada una de las cuales corresponde a un valordistinto del potencial. Las lneas de fuerzas y las superficies equipotenciales sonortogonales entre si y por cada punto de un campo puede trazarse una superficieequipotencial.

O dicho de otro modo, al desplazarnos de un punto a otro de la misma superficieequipotencial, infinitamente prximos, el trabajo elemental realizado es nulo. Deacuerdo con el teorema del trabajo y la energa potencial y la propia definicin desuperficie equipotencial tenemos:

0dW F dr luego F dr .

18. Calcule la fuerza ejercida entre la tierra y la luna (datos: mT=61024 kg;mL=7,31022 kg; distancia mutua entre centros r=380.000 km).

2

2411 3 2

2224

2 2

(616,6731

0 )(7, 310 )( ) 2,0210

380.0000 /

T L M M F Gd

k m kgs

g k eg

gF N

km

19. Un resorte, de constante elstica k, en cuyo extremo libre est colgada una masaM, est suspendido verticalmente; el conjunto est en equilibrio. Una partcula, demasa m, que viene de abajo arriba, con velocidad v0, choca con la masa M, calcularel desplazamiento mximo de M despus del choque:

a. Suponiendo que es perfectamente elstico.Conservacin del momento lineal total y de la energa:

0

2 2 2 2 20 0

1 1 12 2 2

mv MV mv

mv MV mv mv MV mv

Partiendo de aqu podemos escribir:

02 2 2

0

( )( )

m v v MV m v v MV

Dividiendo: 0

0

( )m v v MV v v V

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31

0

0

2mV v

M m M m

v v M m

Suponiendo M>m, M va hacia arriba y vuelve hacia abajo. La Ep en x m es igual a laprdida de energa cintica.

2 2

0

1 12 2

2

m

m

kx MV

mv M M x V

K K M m

b. Suponiendo que es perfectamente inelstico (m y M permanecen unidas despusdel choque).

La conservacin del momento lineal total vendr dada por:

0 ( )mv M m v ; 0m

v v M m

La posicin de equilibrio, al no ser desplazado hacia abajo, esmgk

.

Conservacin de la energa:

2 22

22 2

0

1 1 1( )

2 2 2 m

m m

mg mg M m v k k x

k k

mkx mgx v

M m

20. Una varilla rgida y homognea, de masa m y longitud l, se mueve en un planovertical, estando fijado uno de sus extremos. Partiendo del reposo en su posicinhorizontal, calcular:

a. El momento lineal total y el momento angular de la varilla respecto al extremo fijo,cuando se encuentra en la posicin ms baja.

En t=0, posicin A:

2 pl

E mg ; 0c E

En la posicin B:

2 2 21 12 6c

E I ml ;

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32

0 p E

Por lo que tenemos:

2 212 6l

mg ml 3gl

El momento lineal:

P mV 3 3

2 2 4l l

V g gll

34

P m gl

El momento angular:

321 3

3 3g l g

L I ml ml

Calculacin numrica:

20,345( / ); 0,091( / )P kgm s L Kgm s

b. Su energa cintica cuando forma un ngulo de 60 con la vertical. M=200g, l=40cm.

Conservacin de la energa en las posiciones A y C:

2 212 6 4

10,196

4

c

c

l lmg mgl ml mg E

E mgl J

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33

A

RT D

6 rN

Mdulo 3. Estructura de la materia. Termodinmicafundamental.

1. Con objeto de contrastar la validez de la hiptesis b) de gas perfecto, dad en 13.1, eindirectamente tambin la hiptesis a), determinamos el volumen ocupado por lasmolculas constitutivas del aire encerrado en una habitacin de 4x5x3 metros encondiciones normales (a 1 atm de presin y 273 k). Para ello, se admiten molculasesfricas de radio 1. El volumen total Vm ocupado por estas es:

a. 7,110-3 m3 b. 3,510-3 m3 c. 0,071 m3

La respuesta correcta es la a), al aplicar la ecuacin de los gases perfectos el volumen deaire correspondiente a 1 mol (22,4 l) tenemos:

3 3

3 23 10 3 3 molec 60 10 l 4m m Vm 6 10 10 7 ,1 10 m mol 22 ,4l / mol 3m molec

2. Calcular el coeficiente de difusin de partculas esfricas de radio r=3, disueltas enagua, de coeficiente de viscosidad =0,8510-2P, a la temperatura de 27C.

Si se admite que las partculas sean aproximadamente esfricas, puede emplearse laecuacin propuesta por Sutherlan y Einstein para obtener el coeficiente de difusin. Enla que D es el coeficiente de difusin, R la constante molar de los gases, T latemperatura absoluta, la viscosidad del disolvente, r el radio de la partcula esfrica yNA el nmero de Avogrado. Sustituyendo en la ecuacin anterior obtenemos:

7 2 -6

2 8 23

8 ,31 10 300 cm D 8,62 10 s 6 0 ,85 10 3 10 6 ,02 10

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34

3. En una aplicacin del teorema del virial, conducente a la obtencin de la ecuacinde estado de un gas real, efectuamos promedios espaciales sobre todas lasmolculas integrantes de dicho gas en un instante dado, en lugar de promediostemporales siguiendo la evolucin del gas a lo largo de un tiempo suficientementegrande, tal como exigira la correcta aplicacin del teorema (apartado 7.5). Culpuede ser la razn de este proceder?

a. La hiptesis de caos molecular (la de Boltzmann), segn lacual los choques moleculares permiten que una molcula pase al cabo de un tiemposuficientemente grande por todos sus posibles estados dinmicos y con unaprobabilidad relativamente igual a la que tendramos, en cualquier instante, parala distribucin de todas las molculas del gas en aquellos estados.

b. Tal proceder es slo aproximado desde el momento en que remplazamos elpotencial intermolecular de Lennard-Jones por el aproximado en la figura 14.3.

c. La hiptesis de gas de van der Waals implica el que ste sea aislado y, por ende, elque su energa se conserve sea igual a cualquier tipo de valor medio calculado.

El caos molecular implica la equivalencia de los promedios espacial y temporaldefinidos sobre el macrosistema, por lo que la respuesta correcta sera la a).

4. Para medir la temperatura de un reciento se llena de aire un tubo de vidrio devolumen V=81,3 cm3 a la presin p1=712,3 mm de Hg y a la temperatura t =18,7C. Puesto el tubo en el recinto y logrado el equilibrio trmico se extrae de l elaire necesario para restablecer la presin inicial; el aire extrado ocupa un

volumen V2=52,6 cm3

con una presin p2=708,7 mm de Hg y una temperaturat2=20,5C. Calcular:a. La temperatura del reciento (despreciando la dilatacin del vdrio).b. El error en el resultado, sabiendo que el volumen de aire extrado se conoce con un

error 30,25V cm .

a ) Calculamos la temperatura del recinto aplicando

1 1 2 2

1 2

p V p V pV pV NRT NR

T T T

a volumen constante tenemos que V1=V2

1 1 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1P P p V p V p V T T T V T T p V T T T p V T

Reemplazando valores obtenemos

810,2T K

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35

b) En el segundo paso, para calcular el error en el resultado, tenemos que

2 2 1 1 1 2

1 1 p V 1

T T pV T

2 2

1 1 1 2

1 T

1 p V 1 T pV T

2 2

T T V

V

2

1 1 2 2

2 2 2

1 1 1 2

p T pVT

V 1 p V 1

T pV T

7 3 2

T 2 ,74 10 m K

V T 6 ,84K

5. Desde el punto de vista energtico, la diferencia entre un lquido y un gas radicaen:

a. Que en un gas int*c p E E y en un lquido int*c p E E .b. Que en un gas

int

*c p E E y en un lquido int

*c p E E

c. Que en un gasint

*c p E E y en un lquido int

*c p E E

La respuesta correcta es la b) porque en los lquidos la energa cintica molecular estodava elevada, siendo su orden de magnitud similar al de la energa potencial E e* E pint, por eso impide la obtencin de una estructura estable como en el caso de los slidos.

6. Un lquido incomprensible mueve las paletas de una turbina de una central

hidroelctrica y experimenta un ligero aumento de temperatura. El trabajorealizado tiene lugar a expensas de:a. La energa interna y la energa potencial gravitatoria del lquido.b. Des sus energas mecnica e interna.c. De su energa mecnica.

La respuesta correcta es la c) de su energa mecnica, porque si la T ra del lquidoaumenta, tambin lo har la energa interna U, que por otra parte, debido a su carcterdesordenado, nunca es directamente convertible en trabajo mecnico.

7. En un lquido la fuerza de viscosidad en funcin de la temperatura:a. Creceb. Decrecec. Permanece constante

La respuesta correcta es la c), porque decrece al aumentar la T ra del lquido a presinconstante deber disminuir el rozamiento interno, ya que aumentar el volumen y con lla distancia interpolar media, por lo cual disminuirn las fuerzas interiores responsablesde viscosidad.

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36

8. En la ecuacin de balance energtico (15.18), la energa trmica suele ser muysuperior a las energas mecnicas involucradas. As, en una transformacin, apresin constante y sin cambio de altura, de 1 kg de agua que experimenta unaumento de temperatura 10T C , cul debera ser la velocidad macroscpica

inicial del lquido v1 si al final v2 es nula? El calor especfico (a volumen constante)del agua es Cv=1 kcal/kgKa. 2,9 m/sb. 29 m/sc. 290 m/s

La respuesta correcta es c) porque aplicando la ecuacin 2 1 M

U= v 2

, tenemos que

v U=C T .Como C v = 1 kcal/kgK equivale a 4,18 10

3J/KgK, lo mismo que decir 4,1810 3Kgm 2 /s2K, obtenemos que

3 2 2

2 v 1

2 4 ,18 10 Kg m s K 2C v T 10K

M 1Kg

2 2 1 v 83.600 m s 289 ,13 m s 290m s

9. Un gas ideal que se encuentra contenido en un recipiente cilindro-pistn sufre unproceso de expansin en el que la relacin entre presin y el volumen final es de 0,2m3. Determinar el trabajo, expresado en kJ, que se realiza en el proceso, en lsosiguientes caso:

a. n=1,5b. n=1,0c. n=0 (nota: 1 bar=105N/m2.

0

30

3

3

0,1

0, 2

n

f

PV cte

P bar

V m

V m

2

1

v

vw PdV

a) 1,5n 1,51,5 1,5 1 1

1 1 1,5PV PV cte PV PV

22

11

1,5 0,5 0,51,5 11,51 1 1 2 2 1

1 11,5 5,557 555,731,5 1 0,5

vv

vv

PV PV PV V w dV PV bar kJ

V

b)

2

1

1 1 21 1

1

1

0,2ln 3 0,1ln 0, 2079 20,790,1

v

v

n

PV vw d v PV bar kJ V v

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37

c)

2

12 1

0

( ) 3(0, 2 0,1) 0,3 30v

v

n

w Pdv P v v bar kJ

10. El mdulo de Young Y tiene el significado fsico de:a. Alargamiento unitario e originado por un esfuerzo =1 N/m2 b. Esfuerzo requerido para que e=e0, deformacin permanente.c. Esfuerzo requerido para que e=1.

La respuesta correcta es la c), porque el mdulo de Young Y significa que el esfuerzorequerido para que y = l o/l = l= l o, por lo tanto e = /y e = / = 1, estorepresenta que e = 1.

11. Cules de los siguientes conceptos carecen de sentido en Fsica cuntica):a. La carga del electrnb. La trayectoria del protnc. La posicin de todas y cada una de las molculas de un gas encerrado en un

recinto.El concepto b) carece de sentido por lo dicho a cerca del principio de Heisenberg;mientras que el c), no se halla en conflicto con ningn principio cuntico, si bien,debido al elevadsimo nmero de molculas involucradas, se refiere a una informacininalcanzable y, por ello, carece de sentido dentro del contexto de la Filosofa Natural,

por lo que la respuesta correcta es la a).

12. Calcular entropa de un mol de gas ideal en el estado de temperatura T y presinp.

0 dQ du dw du pdV CvdT pdV p NR R S=S-S = = = = + dV T T T T T T V V Esoes que S=Cv ln T + T ln V , luego:

0

0

pV NRT S Cv lnT R lnV S p R S Cp lnT R lnT S

T V

13. Seleccione de los siguientes modelos de energa potencial, aquellos que puedanrepresentar la interaccin nuclear:

a. Lennard-Jonesb. Yukawac. Coulombd. Pozo rectangulare. Newton.

Las respuestas correctas son la b) y la d), porque ambos modelos de energa representanla interaccin nuclear.

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Mdulo 4. El desequilibrio macroscpico.

1. Un mtodo de crecimiento de cristales consiste en introducir un germen cristalinosuspendido de un hilo, en una disolucin sobresaturada de la misma sustancia.Enfriando la disolucin se alcanza una cierta temperatura a la cual comienza eldepsito de partculas disueltas sobre el germen, inicindose as el proceso decrecimiento. En este proceso, la entropa del sistema germen-disolucin:

a. aumenta

b. disminuye

c. no vara

Por tratarse de un proceso que implica una ordenacin, la entropa disminuye (en lo queal sistema descrito se refiere). Por lo tanto nuestra respuesta sera la b)

2. Calcular el coeficiente de difusin de partculas de radio r=10 disueltas en unlquido, de coeficiente de viscosidad =10 -2 P, a la temperatura de 37 C.

Aplicando la formula calculamos el coeficiente de difusin:

ART D

6 rN ;

7 6 2

2 8 23 8 , 311 10 310 D 2 ,269 10 cm s

6 10 10 10 23 10

3. En un subsistema integrante de un sistema aislado tiene lugar un procesoreversible que hace que aumentar su entropa. En el resto del sistema sedesarrollan, entonces, procesos que tienden a:

a) aumentar an ms la entropa del sistema;

b) contrarrestar el aumento local de entropa experimentado;

c) disminuir la entropa del sistema.

La respuesta correcta es la b) porque la entropa de un sistema aislado en el que sedesarrollan procesos idealmente reversibles permanece constante S=0. As que si unaparte aumenta, en el resto del sistema la entropa disminuye en la misma cuanta. Estoocurrir solamente en procesos reversibles, pero por lo que en general todos los

procesos tienen cierto grado de irreversibilidad, siendo S>0.

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4. Sean dos gases distintos, formados cada uno por igual nmero de molculas,ocupando volmenes iguales, con idnticas presiones y temperaturas. Cuando semezclan los dos gases, ocupndose un volumen doble que cada uno de los dosanteriores, la entropa del sistema:

a) aumenta;b) disminuye;

c) permanece constante.

La respuesta correcta es la a) porque la entropa aumenta al estar separados los dosgases, caracterizado por su estado inicial con cierto ordenamiento, que desaparecercuando se stos se mezclen.

5. Deducir la expresin de la variacin de la entropa en un gas ideal que evolucionareversiblemente por va isbara (es decir, a presin constante) desde un estado detemperatura T1 a otro de temperatura T2.

La expresin de la variacin de entropa quedara deducida comodQ

S= T

;; a presin

constante, tenemos que dQ=du+pdV=nCpdT , por lo tanto:

2

1

T 2

T 1

CpdT T S=n =nCp ln

T T

6. Sea una columna cilndrica de mercurio. Se introduce ahora el mercurio en otro recipiente,tambin cilndrico, pero cuya seccin normal es la mitad de la inicial. La resistencia hmicaes igual:

a. A la mitad de la primera.

b. A la primera.

c. Al cudruple de la primera.

La respuesta correcta es la c) ya que siendo las respectivas resistencias:

1

1 1

LR =

S y 2 2

2

LR

S

Se razona que el mercurio debe entrar en la mitad de rea, resultando que la longitud crezca

el doble: 1 1 1 2 2 2 S

L S L S L2

; 2 1 L =2L Luego se demuestra que la resistencia hmica es el

cudruple de la primera:

1 1 2 1 1 1

2L LR 4 4R

S S 2

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7. Una mquina trmica funciona siguiendo un ciclo de Carnot reversible entre 37 C y 167C. Calcular la cantidad mnima de calor que habr de tomarse del foco caliente pararealizar en cada ciclo un trabajo de 3.000 J.

p

c

T W 3000 J 310K 1 1 Q T Q 440K

3000J 0 ,2955 Q=10.153,85 J Q

8. Un hilo conductor cilndrico, cuya seccin normal tiene un rea igual a S m 2, contiene nelectrones libres por m 3. Calcular el nmero de stos que pasan por segundo a travs de unaseccin normal a la corriente.

El nmero de electrones contenidos en el volumen dado es n dx , ya que el volumen es

3dx m :dN

n dN ndV n dxdV

Por otro lado, todos los electrones contenidos en el volumen pedido pasarn a travs del plano

P en el mismo tiempo dxdt v

, ya que todos los electrones deben recorrer la distancia dx para

pasar a travs de P. As pues, el nmero de electrones que pasan por segundo a travs del

plano P es n v , ya que los electrones contenidos en contenidos en dicho volumen, n dx ,

pasan por el plano P, en el tiempo dxdt v

.

9. En un subsistema integrante de un sistema aislado tiene lugar un proceso reversible quehace que aumentar su entropa. En el resto del sistema se desarrollan, entonces, procesosque tienden a:

a. aumentar an ms la entropa del sistema;

b. contrarrestar el aumento local de entropa experimentado;

c. disminuir la entropa del sistema.

La respuesta correcta es la b) porque la entropa de un sistema aislado en el que se desarrollanprocesos idealmente reversibles permanece constante S=0. As que si una parte aumenta, enel resto del sistema la entropa disminuye en la misma cuanta. Esto ocurrir solamente en

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procesos reversibles, pero por lo que en general todos los procesos tienen cierto grado deirreversibilidad, siendo S>0.

10. Obtenga las expresiones de la variacin de entropa de un gas ideal que evolucionareversiblemente a temperatura constante; dem id., a volumen constante.

Para expresar la variacin de entropa a temperatura constante, tenemos que

2 1

0 T cte

V

V

dQ du pdV pdV 1 NRTdV S

T T T T V

2 1

pV NRT V

S=NR ln NRT p V

V

Del mismo modo para expresar la variacin de entropa a volumen constante, tenemos que

2 1

0 V cte

T 2

T 1

dQ du pdV cVdT dT T S cV cV ln

T T T T T

11. Un proceso estacionario en un sistema requiere la existencia de un agente exterior:

a) s;

b) no;

c) depender de las circunstancias de cada caso.

Es la respuesta a). S, porque un proceso de transporte es esencialmente irreversible. Por lotanto, cesar en el momento en que se logre una homogenizacin del sistema. As, pues, paramantener el proceso se requiere el aporte energtico de un sistema exterior que mantenga lascondiciones de desequilibrio, que hacen posible el transporte.

12. En la conduccin trmica de slidos hay un transporte macroscpico de:

a) materia;

b) energa:

c) materia y energa.

La respuesta correcta es la b) Ley de Fourier por su ecuacin deconduccin trmica, donde en realidad, no hay transporte de materia, sinode energa, concretamente energa trmica .

2

2

j K T

x c x

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13. Obtener una expresin del coeficiente de difusin D para partculas esfricas, de radio r,disueltas en un lquido de viscosidad , a la temperatura T, en funcin de estas tres

magnitudes.

La expresin obtenida en funcin de las citadas magnitudes, coeficiente de difusin D para

partculas esfricas, de radio r, disueltas en un lquido de viscosidad , a la temperatura T, es la

siguiente

A

RT kT D

6 rN 6 r donde K=R/NA donde k es la constante de Boltzmann.

Expresin resultante despejada cuya procedencia se relata la siguiente:

El Potencial Qumico La Ley de Fick La frmula de Stokes La densidad de corriente

0 RT logn n j D RT x

AF 6 N v j nv

14. Un mol de un gas ideal monoatmico sufre un proceso de expansin isbara, desde unatemperatura inicial T 1 a una temperatura final T 2. La presin inicial p 1 es conocida.Determinar la variacin de entropa del gas como consecuencia del proceso.

La determinacin quedara expresada de la siguiente manera

dQ du pdV CvdT pdV S T T T

2 1

CpdT VdP dT T Cp Cp ln

T T T

pV NRT pdV+Vdp=nRdT pdV+Vdp=(Cp-Cv)dT

Resultando que

pdV+Cvdp=CpdT-Vdp

15. Determinar la variacin de entropa, expresada en unidades internacionales, queexperimenta 1 g de hielo a 0 C cuando, en condiciones normales de presin, se convierte envapor de agua a 100 C. Considrese:

a. Calor latente de fusin del hielo If =80 cal/g

b. Calor especfico del agua Cp=1 cal/gC

c. Calor latente de vaporizacin del agua Iv=540 cal/g

Calculamos la variacin entrpica en funcin del hielo

1 f 1 1 1 1 1

dQ 1 Q m I 1g 80cal / g S dQ 0 ,293 cal K 1 ,226 J K T T T T 273K

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Continuamos con la entropa en funcin del calentamiento de agua

2

2 2 1

1

dQ mCpdT dT T S mCp mCp ln

T T T T

373K 1 1 ln 0 ,312 cal K 1 ,306 J K 273K

Acabamos del mismo modo calculando con la vaporizacin del agua

1 v 3 2 2 2

1 g 540 cal g dQ 1 Q m I S dQ 1 ,448 cal K 6 ,061 J K

T T T T 373K

Entonces tenemos que la variacin entrpica total del agua para los cambios de estado deslidolquidogaseoso, es

T 1 2 3 S S S S 8 ,593 J K 16. Calcular el trabajo realizado cuando 2 l de un gas ideal monoatmico, a la presin de 1 atm,

se expansiona reversible y adiabticamente hasta alcanzar un volumen de 8 l.

Para hallar el trabajo realizado con el cambio de volumen, tenemos que

2 1 W U nCv(T T )

1 1 2 1 1

pV U Cv(T T )

RT

1 1 1 1 2 1 2 1 1 1

pV pV (T T ) W Cv(T T ) R RT T

Cv

Como R Cp Cv , tenemos que

1 1 2

1

pV T W 1

Cp Cv T Cv

Por lo que entonces

r 1 r 1

1 1 2

1

pV V W 1 r 1 V , siendo r=5/3

Sustituyendo, tenemos que

5 5 3 3 1

5 3

1atm 2l 2l W 1 1 ,8115atml 183 ,5 J

1 8l

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17. Un lquido contiene n iones positivos (de carga + e), por unidad de volumen, y n ionesnegativos (de carga e), tambin por unidad de volumen. La aplicacin de una diferencia depotencial V en el lquido da lugar a que los iones positivos y los negativos se desplacen convelocidades v D y 6 vD respectivamente. En estas condiciones, la densidad de corriente es:

a) 5 n e v D;

b) 6 n e v D;

c) 7 n e v D.

La respuesta correcta es la c) porque bajo la accin del campo asociado a la diferencia depotencial V, los iones se desplazarn en sentidos opuestos dependiendo del signo de su carga,tendremos que D D D j nev n( e )( 6v ) 7 nev .

18. Una partcula cargada (de masa m y de carga q) se desplaza entre un conjunto de obstculosdistribuidos al azar. Cuando se aplica un campo elctrico E, provocar la aceleracin de la

partcula, dada por a E q /m . Considerando un conjunto de tales partculas, calcular, enfuncin de esta aceleracin, la variacin de la velocidad de cada partcula entre doscolisiones sucesivas con los mencionados obstculos:

a) rv /2 ;

b) rv ;

c) ra / v ;

Siendo el recorrido libre medio y r v la velocidad trmica. La respuesta correcta es la c),porque la variacin de velocidad vendr dada por

r T r

a v=ar r= v=a v v v

19. Un hilo metlico cilndrico tiene un dimetro d=1 mm. La densidad de masa del metal espm=9 10

3 kg/m 3 y la masa atmica es 63. Suponiendo que cada tomo del metal contribuye a

la corriente con un electrn libre (cuya carga es 1,6202 10-19

C), calcular la velocidad dedesplazamiento de los electrones libres cuando la intensidad de la corriente que circula porel conductor es I=5A. El nmero de Avogadro es N A=6,023 10

23 tomos/mol.

Tenemos que

m A Am D m D A

p nm N N n=p I=neV S p ev S

M mN M M

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Entonces calculamos que

2 3

D 3 3 23 19 7 2 d 4 m A m A

5 A 63 10 kg mol IM IM v

p N eS p N e 9 10 kg m 6 ,023 10 mol 1 ,602 10 C 2 ,5 10 m

4 D v 4 ,619 10 m s

20. Calcular la variacin de entropa de 1 g de agua cuando, a la presin normal de 1 atm, secalienta desde -18 C hasta 150 C. Los calores especficos del hielo, del agua y del vapor deagua respectivamente c h=0,5 cal g

-1 C -1, ca=1,0 cal g-1 C -1 y cv=0,47 cal g

-1 C -1. El calor defusin del hielo es I f =80 cal g

-1 y el calor de vaporizacin del agua es I v=540 cal g-1.

Se calcula la variacin entrpica al calentar el agua congelada a -18 C

273

1 h

255

dQ mCpdT dT 273K S mC 1g 0 ,5 cal g C ln 0 ,034 cal K

T T T 255K

Despus se halla la variacin de entropa para el cambio de estado de slido a lquido a 0 C

f 2 dQ 1 Q mI 1g 80cal / g S dQ 0 ,293 cal K T T T T 273K

Continuamos calculando la variacin de entropa del agua entre 0 C y 100 C

373

3

273

dQ mCadT dT 373K S mCa 1g 1cal g. C ln 0 ,312 cal K

T T T 273K

Del mismo modo calculando con la vaporizacin del agua entre 100 C y 150 C

1 v 4 1 g 540 cal g dQ 1 Q m I S dQ 1 ,448 cal K T T T T 373K

Acabamos comprobando la variacin entrpica de sobrecalentamiento despus de laebullicin hasta 150 C

423

5

373

dQ dT dT 423K S mCv mCv 1g 0 ,47 cal g C ln 0 ,059 cal K

T T T 373K

Entonces tenemos que la variacin entrpica total del agua congelada a -18 C hasta laevaporacin a 150 C

T 1 2 3 4 5 S S S S S S 2 ,146cal K

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21. Un mol de un gas ideal es obligado a describir un proceso cclico, partiendo de un estadoinicial definido por una presin p 1 y un volumen V 1. Desde este estado el gas sufre unatransformacin iscora hasta alcanzar un estado caracterizado por una presin p 2>p1. A

partir de este nuevo estado el gas evoluciona isotrmicamente llegando al estado definidopor un volumen V 3 y una presin p 3=p1. Finalmente, por va isbara gas alcanza el estadoinicial de partida. Calcular el trabajo realizado por el gas en un ciclo como el descrito,indicando si es positivo o negativo, segn el criterio convencional de signos utilizadohabitualmente.

1 2 p p V=cte W=0

3

2

V 3 2 3 V 2

V p p T=cte W= pdV RT ln V

1 3

V

3 1 3 1 1 3 V p p p=cte V V W= pdV p V V

Por lo que el trabajo quedarla calculado y designado su signo como

3 T 1 3 2

V W 0 RT ln p V V

V

22. Una mquina trmica opera reversiblemente realizando un ciclo de Carnot en el que latemperatura del refrigerante es de 27 C, el rendimiento igual a 0,6 y 20 kcal por minuto elcalor que se cede por unidad de tiempo al foco fro. Calcular: a) la temperatura de a caldera;b) la potencia de la mquina.

a) Calculamos que 1

( 27 273 )K 0 ,6 1

T y despejando obtenemos que

1 T 750K

b) Calculamos que 2 2 1 1

T Q

T Q 1 1 2

2

T 750K Q Q 20 50 kcal min

T 300K

Entonces tenemos que potencia mquina es

1 2 ( 50 20 ) kcal min W Q Q P 0 ,5 kcal s 2 ,85cv t t 60 s min

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23. Un gradiente de concentracin de iones en disolucin da lugar a la aparicin de un campoelctrico que favorece la difusin. Deduzca la siguiente relacin (relacin de Nernst) entre el

coeficiente de difusin D y la movilidad : De/kT

Si Vm no depende de se llega a De/e=mv 2/3e=2/3e, eso es que =3kTe/2, enequilibrio tiende a que e=0, por lo que implica que neG= -Devn, eso determina que =V yn>g>(e )kTe vn=(ne/kTe) V nV=(neDe/kTe)V por lo tanto se deduce la

relacin:De kTe

e e

24. Explique por qu la resistividad de un material aumenta con la temperatura.

La resistividad de un material aumenta con la temperatura porque los iones del conductorvibran con mayor amplitud, causa que hace ms probable que un electrn en movimientochoque con un in, impidiendo el arrastre de los electrones por el material y, por tanto,tambin la corriente elctrica.

En cuanto a conductores metlicos dicho aumento de resistividad depende de la elevacin dela temperatura y del coeficiente trmico de resistividad , (el cual se define como el cambio deresistividad por grado centgrado de variacin a 0C a 20C).

Los semiconductores tienen un coeficiente de temperatura negativo, mientras que muchosmetales se tornan superconductores (q=0) a pocos grados por encima del cero absoluto. La

resistencia (R) para una variacin de temperatura (t) (en grados centgrados) est dada por o R R 1 t donde Ro es la resistencia a la temperatura de referencia (generalmente a 20

C) y es el coeficiente de temperatura de la resistencia.

25. Calcular el trabajo necesario para comprimir isotrmicamente, hasta la presin final de 6atm, 1 mol de un gas perfecto biatmico que se encuentra inicialmente a la presin de 1 atmy a la temperatura de 20 C. Determinar tambin el calor intercambiado en el proceso y lavariacin de energa interna. La constante de los gases es R=8,3143 J/Kmol

Para calcular el trabajo necesario, tenemos que

1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1

PV NRT P V PV P V

P V NRT P V

2 2 2 1 1 1

V V V

V V V

NRT dV dW pdV W pdV dV NRT

V V

2 2 1 1

V P 1 W NRT ln NRT ln 1 8 ,3143 293 ln 4.364 ,89 J

V P 6

U Q W Determinando que se trata de un sistema de temperatura constante

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U 0 Q W

26. Un mol de un gas diatnico se encuentra a 300 K ocupado un volumen de 3 l. Se expansionaisotrmicamente hasta que duplicar su volumen, a continuacin se le enfra isobricamentehasta un cierto estado a partir del cual sigue un proceso adiabtico que le devuelve a su

posicin inicial. Calcular:

a. El valor de las variables termodinmicas (p, V, T) en los estados segundo y tercero.

b. El intercambio de calor y trabajo en cada proceso del ciclo (con su signo). Interpretarfsicamente el signo.

c. Rendimiento del ciclo.

d. Variacin de la energa interna experimentada por el sistema al recorrer el ciclo completo.

a) Calculamos el valor de las variablestermodinmicas p, V y T

1 1 1

RT 0 ,089 300 p 8 ,2atm

V 3

El paso de 1 2 tenemos que T=cte,por tanto T2=300 K

2 1 V 2V 2 3l 6l , con lo queobtenemos p 2

1 2 1 2

V 3 p p 8 ,2 4 ,1atm

V 6

El paso de 2 3 tenemos que p=cte, por tanto p 3=p2=4,1 atm

Como se trata de un gas diatnico, tenemos que

7 Cp R

Cp 7 2 = 1 ,4 7 Cv 5

Cv R 2

Con lo cual el paso 3 1 ocurre que Q=0,

entonces tenemos:

1 1 1 3 3 3 1 3

p pV p V V V

p

1 1

1 ,4 1 3 1

3

p V V 3 3 4 ,86l

p

b) Se pide hallar el intercambio de calor y trabajo en cada proceso del ciclo, por lo tanto

W para el paso 1 2, tenemos que 1 12 2

V 6 W nRT ln 1 8 ,3145 300 ln 1.728 ,95 J

V 3

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Q para el paso 1 2, tenemos que 12 12 Q W 1.728 ,95 0 ,24 414 ,95cal

Obteniendo W a expensas del calor suministrad, por lo que tenemos que

23 1 2 W p(V V ) 4 ,1 ( 4 ,86 6 ) 4 ,674atm 473 ,47 J

23 3 2 7

Q nCp(T T ) 1 R( 243 300 ) 1.658 ,74 J 398 ,10cal 2

Suministro de W

depende de Q

1 1 3 3

31

pV p V 8 ,2 3 4 ,1 4 ,86 W 11 ,685atm 1.183 ,69 J

1 1 1 ,4 31 Q 0

c) Para conocer el rendimiento del ciclo, tenemos que

W 1.728 ,95 473 ,47 1.183 ,69

4 ,15% Qs 1.728 ,95

d) Y en cuanto a la variacin de energa interna, si 31 Q 0 U 0

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