Peak to Average Ratio Reduction for Multicarrier Transmission a Review

7/27/2019 Peak to Average Ratio Reduction for Multicarrier Transmission a Review

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P e a k t o A v e r a g e R a t i o R e d u c t i o n f o r M u l t i c a r r i e r T r a n s m i s s i o n :

a R e v i e w

D a v i d D E C L E R C Q a n d G e o r g i o s B . G I A N N A K I S

1 I n t r o d u c t i o n

O r t h o g o n a l F r e q u e n c y D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( O F D M ) a n d D i g i t a l M u l t i T o n e ( D M T ) a r e

m u l t i c a r r i e r m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s t h a t h a v e b e e n r e c e n t l y p r o p o s e d i n s e v e r a l c o m m u n i c a -

t i o n a r e a s s u c h a s t r a n s m i s s i o n o v e r A s y m m e t r i c D i g i t a l S u b s c r i b e r L i n e ( A D S L ) o r w i r e l e s s

t r a n s m i s s i o n i n D i g i t a l A u d i o / V i d e o B r o a d c a s t i n g ( D A B / D V B ) S a r i 9 5 , S a l t 9 8 ] . B o t h o f t h e s e

t e c h n i q u e s s p l i t t h e a v a i l a b l e t r a n s m i s s i o n b a n d w i t h i n t o s e v e r a l n a r r o w b a n d c a r r i e r s w h i c h

c a r r y d i e r e n t s i g n a l s s i m u l t a n e o u s l y . T h e c a r r i e r s a r e c a l l e d f r e q u e n c i e s o r t o n e s . T h i s k i n d

o f m o d u l a t i o n h a s b e e n r s t p r o p o s e d a l o n g t i m e a g o W a n g 6 6 ] a n d h a s t h e g r e a t p r o p e r t y o f

b e i n g a b l e t o r e c o n s t r u c t t h e s i g n a l w i t h o u t d i s t o r t i o n d e s p i t e t h e o v e r l a p p i n g c a r r i e r s p e c t r a .

M o r e o v e r , a v e r y a t t r a c t i v e a s p e c t o f O F D M / D M T m o d u l a t i o n i s t h a t t h e d e m u l t i p l e x i n g

( a t t h e t r a n s m i s s i o n ) a n d t h e m u l t i p l e x i n g ( a t t h e r e c e p t i o n ) c a n b e e c i e n t l y i m p l e m e n t e d

w i t h f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m s . T h e m a i n d r a w b a c k o f t h i s m o d u l a t i o n i s t h e n e a r l y G a u s s i a n

b e h a v i o u r o f t h e d a t a s t r e a m t h a t h a s t o b e s e n t t h r o u g h t h e c h a n n e l . U n l i k e o t h e r t y p e s o f

d a t a m o d u l a t i o n w h i c h h a v e \ b o u n d e d " c o n s t e l l a t i o n s , t h e O F D M / D M T s t r e a m e x h i b i t s l a r g e

e x c u r s i o n s f r o m i t s a v e r a g e p o w e r , f o r c i n g t h e a m p l i e r s a t t h e t r a n s m i t t e r t o o p e r a t e i n t h e i r

n o n l i n e a r r e g i o n . T h i s c a u s e s s e v e r e s i g n a l d i s t o r s i o n , w h i c h m u s t b e c a n c e l l e d o r r e d u c e d t o

m a i n t a i n g o o d d e t e c t i o n p e r f o r m a n c e s a t t h e r e c e i v e r . B e c a u s e t h e i m p o r t a n t a d v a n t a g e s o f

O F D M / D M T m o d u l a t i o n i n a l o t o f p r a c t i c a l a r e a s , a g r o w i n g a t t e n t i o n h a s b e e n g i v e n t o

s o l v e t h e p r o b l e m o f a m p l i f y i n g O F D M / D M T s y m b o l s . I n t h i s r e p o r t , w e f o c u s o n m e t h o d s

w h i c h t r y t o r e d u c e t h e i m p u l s i v e n e s s o f t h e O F D M / D M T p r o c e s s b y a d d i n g r e d u n d a n c y o r

s i g n a l t r a n s f o r m a t i o n a t t h e t r a n s m i t t e r . I n a n o t h e r r e p o r t , w e w i l l s t u d y m e t h o d s t h a t t a k e

i n t o a c c o u n t a m o d e l f o r t h e n o n l i n e a r a m p l i e r , i n o r d e r t o c o m p e n s a t e f o r i t s d i s t o r s i o n s

D e c l 9 9 b ] . W e w o n ' t s t u d y e i t h e r t h e t e c h n i q u e s i n v o l v i n g c o d e d v e r s i o n s o f O F D M , i n w h i c h

t h e g o a l i s t o n d c o d e s t h a t e x h i b i t g o o d p e a k s p r o p e r t i e s . N o t e t h a t t h o s e m e t h o d s t h a t

u s e c o d e s c a n b e j o i n t l y i m p l e m e n t e d w i t h t h e p e a k r e d u c t i o n s c h e m e s p r e s e n t e d h e r e . T h e

o u t l i n e o f t h i s r e p o r t i s t h e f o l l o w i n g . I n t h e r s t p a r t , w e r e m i n d w h a t t h e O F D M / D M T

s c h e m e i s , a n d f u l l y d e s c r i b e i t s m a i n p r o p e r t i e s . T h e n , a c o m p l e t e s t u d y o f t h e P e a k t o

A v e r a g e R a t i o ( P A R ) i s p e r f o r m e d . F i n a l l y , w e p r e s e n t t h r e e m e t h o d s f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e

t h a t a i m t o r e d u c e t h e P A R o f t h e O F D M t r a n s m i t d a t a , a n d c o m p a r e t h e i r p e r f o r m a n c e s

w i t h e x t e n s i v e s i m u l a t i o n s i n t e r m s o f P A R r e d u c t i o n a t t h e t r a n s m i t t e r .

1


2/22

2 R e v i e w o f O F D M / D M T m o d u l a t i o n

2 . 1 D e s c r i p t i o n o f t h e O F D M / D M T T r a n s m i t t e r

A t y p i c a l O F D M / D M T s y s t e m a t t h e t r a n s m i t t e r i s d e p i c t e d i n g u r e 1 .

x nX k / /S

P

P

S

Order N

IDFTLPF HPA

CyclicPrefix

X N-1

X0 x 0

x N-1

F i g u r e 1 . D e s c r i p t i o n o f t h e O F D M / D M T m o d u l a t o r

F i r s t , t h e h i g h r a t e d a t a s t r e a m i s c o n v e r t e d t o N p a r a l l e l s t r e a m s w h i c h a r e I D F T -

t r a n s f o r m e d i n o r d e r t o s e n d t h e s t r e a m s o v e r t h e N o r t h o g o n a l s u b c a r r i e r s .

x

n

=

1

p

N

N ? 1

X

k = 0

X

k

e x p

2 j

k n

N

8 n 2 f 0 : : : N ? 1 g ( 1 )

r e m a r k

T h e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r 1 =

p

N i s p r e f e r e d i n ( 1 ) t o h a v e t h e s a m e m e a n p o w e r a t t h e i n p u t

a n d t h e o u t p u t o f t h e I D F T t r a n s f o r m a t i o n . O f c o u r s e , w e m u s t u s e t h e s a m e n o r m a l i z a t i o n

f a c t o r f o r t h e d u a l D F T a t t h e r e c e i v e r .

T h e n , a c y c l i c p r e x o f l e n g t h N

p

i s a d d e d t o w h a t w e w i l l c a l l i n t h e f o l l o w i n g t h e

O F D M s y m b o l i n o r d e r t o c o m p e n s a t e f o r t h e d i s p e r s i o n o f t h e t r a n s m i s s i o n c h a n n e l . T h i s

p r e x h a s t h e s a m e r o l e a s t h e c l a s s i c a l g u a r d t i m e i n s e r t e d i n b l o c k t r a n s m i s s i o n , b u t i n

t h e O F D M / D M T s c h e m e , a c y c l i c r e p e t i t i o n o f t h e s y m b o l s i s p r e f e r e d f o r r e a s o n s t h a t w e

w i l l d i s c u s s l a t e r . T h e d a t a i s t h e n s e r i a l i z e d a n d f e e d a F I R L i n e a r P u l s e F i l t e r ( L P F ) a n d

a n o n l i n e a r H i g h P o w e r A m p l i e r ( H P A ) t h a t b o o s t s t h e t r a n s m i t t e d a v e r a g e p o w e r . N o t e

t h a t t h i s k i n d o f m o d u l a t i o n c a n c l e a r l y b e i n t e r p r e t e d a s a c o n v o l u t i v e c o d i n g s c h e m e w i t h

c o m p l e x e x p o n e n t i a l s .

r e m a r k

I n A D S L c o m m u n i c a t i o n , t h e c h a n n e l m o d e l i s b a s e b a n d a n d c a r r i e s o n l y r e a l v a l u e d d a t a .

I n t h e s i n g l e c a r r i e r c a s e , w e w o u l d a d d a n o t h e r b l o c k t h a t w o u l d t r a n s m i t t h e i n - p h a s e a n d

q u a d r a t u r e c o m p o n e n t s . I n t h e c a s e o f O F D M / D M T m o d u l a t i o n , b e c a u s e o f t h e p r o p e r t i e s o f

t h e F o u r i e r T r a n f o r m , N = 2 c o m p l e x i n f o r m a t i o n s y m b o l s a r e t a k e n , s y m m e t r i z e d t o o b t a i n a

b l o c k o f s i z e N , w h i c h g i v e s a r e a l v a l u e d O F D M s y m b o l t h r o u g h t h e I D F T t r a n s f o r m . N o t e

t h a t i n A D S L , w e t r a n s f e r N = 2 i n f o r m a t i o n s y m b o l s o v e r N c a r r i e r s .

T h e i n p u t s t r e a m X

k

c a n b e d r a w n f r o m a n y c o n s t e l l a t i o n ( M - Q A M , M - P S K , e t c ) . I n

O F D M , t h e p o w e r a l l o c a t e d t o d i e r e n t s u b c a r r i e r s i s t h e s a m e a n d t h e s u b - s t r e a m s c o m e

2


3/22

f r o m t h e s a m e c o n s t e l l a t i o n . I n D M T h o w e v e r , t h e t r a n s m i t t e r u s e s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e

c h a n n e l d i s p e r s i o n t o a l l o c a t e d i e r e n t p o w e r s o v e r t h e t o n e s . T y p i c a l l y , i f a t o n e f r e q u e n c y

f a l l s i n a d e e p n u l l o f t h e m u l t i p a t h c h a n n e l , o n e a l l o c a t e s l i t t l e p o w e r b e c a u s e t h e i n f o r m a t i o n

c a r r i e d b y t h i s t o n e w i l l b e h i g h l y d i s t o r t e d a t t h e r e c e p t i o n . T h e r e f o r e , i n D M T m o d u l a t i o n ,

t h e t o n e s w h i c h h a v e l a r g e r p o w e r u s u a l l y c a r r y s y m b o l s d r a w n f r o m l a r g e r c o n s t e l l a t i o n s .

r e m a r k

W e d o n ' t t a k e i n t o a c c o u n t t h e t e c h n i q u e s t h a t u s e c o d e s c o u p l e d w i t h m u l t i c a r r i e r m o d u l a t i o n

( C o d e d - O F D M ) . I n t h e s e t e c h n i q u e s , t h e c o d e s a r e u s e d t o s t e n g h t e n t h e t o n e s w h i c h h a v e a

l o w S N R , c o r r e s p o n d i n g t o d e e p c h a n n e l n u l l s .

O n e w a y t o o p t i m a l l y a l l o c a t e p o w e r a m o n g t h e s u b - c a r r i e r s a t t h e t r a n s m i t t e r i s t o u s e

t h e w e l l k n o w n w a t e r p o u r i n g t h e o r e m B i n g 9 0 ] . H o w e v e r , t h i s r e q u i r e s t h e k n o w l e d g e o f

t h e c h a n n e l t r a n s f e r f u n c t i o n a t t h e t r a n s m i t t e r , w h i c h c a n b e d o n e o n l y i n t w o - w a y c h a n n e l

a p p l i c a t i o n ( t h i s i s t h e c a s e f o r e x a m p l e , f o r A D S L c o m m u n i c a t i o n s ) . M o r e o v e r , w h e n t h e

S N R i s s u c i e n t l y h i g h , p e r f o r m a n c e d o e s n ' t d e g r a d e s i g n i c a n t l y b y a l l o c a t i n g t h e s a m e

p o w e r a m o n g t h e c a r r i e r s . W e w i l l a s s u m e , i n t h e f o l l o w i n g o f t h i s r e p o r t , t h a t i t i s t h e c a s e

a n d w e w i l l d e a l w i t h O F D M m o d u l a t i o n , c a r r y i n g i n f o r m a t i o n d r a w n f r o m a u n i q u e t y p e o f

c o n s t e l l a t i o n .

T h e i n p u t s y m b o l s X

k

, w h e n c o n v e r t e d i n t o t h e s u b c h a n n e l s , w i l l b e r e f e r e d a s f r e q u e n c y

s y m b o l s b e c a u s e t h e y a r e c a r r i e d b y t h e N t o n e s / f r e q u e n c i e s o f t h e O F D M m o d u l a t i o n . T h e

d a t a x

n

a t t h e o u t p u t o f t h e I D F T w i l l t h e n b e r e f e r e d a s t i m e d o m a i n s a m p l e s , a n d t h e

v e c t o r b u i l t w i t h N t i m e d o m a i n v a l u e s x = x

0 ! N ? 1

o b t a i n e d f r o m t h e I D F T o f t h e N

c a r r i e r s X = X

0 ! N ? 1

i s c a l l e d a n O F D M s y m b o l .

2 . 2 E q u a l i z a t i o n i n O F D M / D M T

L e t u s d e n o t e t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e m u l t i p a t h c h a n n e l t h a t t h e d a t a g o t h r o u g h b y

h ( t ) . T h e r e c e i v e r d o e s , a s i n m o s t c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s , t h e d u a l o p e r a t i o n s o f t h o s e a t

t h e t r a n s m i t t e r ( c f . g u r e 2 ) . F i r s t a m a t c h e d l t e r r e c o v e r s t h e d i g i t a l t i m e d o m a i n s t r e a m .

A s s u m i n g p e r f e c t s y n c h r o n i s a t i o n , t h e r e c e i v e d d i g i t a l s a m p l e s a r e

y

n

=

L ? 1

X

l = 0

h ( l T

s

) x

n ? l

+ w

n

n = ? N

p

: : : N ? 1 ( 2 )

T

s

b e i n g t h e s y m b o l d u r a t i o n , L T

s

t h e c h a n n e l s p r e a d l e n g t h a n d w

n

t h e A d d i t i v e W h i t e

G a u s s i a n N o i s e ( A W G N ) .

T h e c y c l i c p r e x i s t h e n r e m o v e d a n d t h e o w i s c o n v e r t e d t o N p a r a l l e l s u b - s t r e a m s . T h e n

a D F T i s a p p l i e d t o s w i t c h b a c k t h e d a t a t o t h e f r e q u e n c y d o m a i n , t h e c h a n n e l e q u a l i z a t i o n

i s p e r f o r m e d , a n d a n a l h a r d - d e c i s i o n i s m a d e t o o b t a i n s y m b o l e s t i m a t e s

X

k

.

T h a n k s t o t h e c y c l i c p r e x i n t r o d u c e d a t t h e t r a n s m i t t e r - r a t h e r t h a n a g u a r d i n t e r v a l -

t h e D F T o p e r a t i o n p e r f o r m e d a t t h e r e c e i v e r t u r n s t h e t i m e d o m a i n c o n v o l u t i o n i n ( 2 ) i n t o

a f r e q u e n c y d o m a i n m u l t i p l i c a t i o n w i t h o u t a n y s i d e e e c t . T h i s c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t

t h e O F D M s y m b o l i s o b s e r v e d b y t h e c h a n n e l a s a p e r i o d i c c o n c a t e n a t i o n o f i t s e l f . W e h a v e

t h e r e f o r e

Y

k

=

1

p

N

N ? 1

X

n = 0

y

n

e x p

? 2 j

k n

N

3


4/22

N-1y

0y

/S

P

ny

/P

S

N-1Y

Y 0

RemovePrefix

MatchedFilter

nr

Order

DFT

N Equalization

Detection

N-1

X k

X 0

X

F i g u r e 2 . D e s c r i p t i o n o f t h e O F D M / D M T r e c e i v e r

= D F T ( h x

n

+ w

n

) = H

k

N T

s

: X

k

+ W

k

8 k = 0 : : : N ? 1 ( 3 )

N o t e t h a t d u e t o t h e D F T p r o p e r t i e s , W

k

i s s t i l l a c o m p l e x A W G N w i t h t h e s a m e v a r i a n c e

a s w

n

.

A s w e c a n s e e i n e q . ( 3 ) , t h a n k s t o t h e m o d u l a t i o n s c h e m e , t h e i n t e r - s y m b o l i n t e r f e r e n c e

u s u a l l y e x p r e s s e d i n c o n v o l u t i v e t e r m s i n t h e t i m e d o m a i n , i s t r a n s f o r m e d t o a s i m p l e b l o c k

m u l t i p l i c a t i v e i n t e r f e r e n c e , r e n d e r i n g t h e e q u a l i z a t i o n m u c h e a s i e r .

r e m a r k

W h e n t h e c h a n n e l s p r e a d i s g r e a t e r t h a n t h e c y c l i c p r e x l e n g t h , s o m e a d d i t i o n n a l t i m e - d o m a i n

e q u a l i z a t i o n i s r e q u i r e d p r i o r t o t h e D F T .

T h e e q u a l i z a t i o n o f t h e c h a n n e l i s u s u a l l y p e r f o r m e d i n t w o s t e p s : ( i ) b y m e a n s o f a

t r a n s m i t t e d t r a i n o f p u l s e s , t h e c h a n n e l i m p u l s e r e s p o n s e i s e s t i m a t e d a t t h e r e c e i v e r b y

a v e r a g i n g t h e r e c e i v e d b l o c k s

1

. T h e s p a c i n g b e t w e e n t w o p u l s e s m u s t t h e r e f o r e b e a t l e a s t

t h e l e n g t h o f t h e c h a n n e l s p r e a d , ( i i ) f r o m t h e e s t i m a t e d c h a n n e l t a p s , t h e e q u a l i z a t i o n i s d o n e

i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n w i t h a s i m p l e A u t o m a t i c G a i n C o n t r o l b l o c k R e i n 9 4 ] .

T h e k e y f e a t u r e o f O F D M / D M T t r a n s m i s s i o n i s t h i s e q u a l i z a t i o n t e c h n i q u e , w h i c h i s

p e r f o r m e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h i s r e n d e r s t h i s m o d u l a t i o n v e r y r o b u s t t o f r e q u e n c y

s e l e c t i v e f a d i n g . A c t u a l l y , i t t r a n s f o r m s t h e f r e q u e n c y s e l e c t i v e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e c h a n n e l

i n t o N a t s u b c h a n n e l s , e a c h b e i n g e a s i l y e q u a l i z e d . T h i s i s c o n r m e d b y a r e c e n t c o m p a r i s o n

o f a C o d e d - O F D M s c h e m e w i t h i t s c o r r e s p o n d i n g s i n g l e c a r r i e r s y s t e m , b u t f o r w h i c h t h e

e q u a l i z a t i o n i s c a r r i e d o u t i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n A u e 9 8 ] . T h e a u t h o r s s h o w t h a t t h e t w o

s y s t e m s p e r f o r m s i m i l a r l y f o r l o w a n d m e d i u m c o d e r a t e s .

2 . 3 A m p l i c a t i o n o f O F D M s y m b o l s

A m a j o r p r o b l e m o f O F D M / D M T m o d u l a t i o n i s t h e a m p l i c a t i o n o f O F D M s y m b o l s .

W h e r e a s i n s i n g l e c a r r i e r t r a n s m i s s i o n t h e s y m b o l c o n s t e l l a t i o n s a r e b o u n d e d , t h e p e a k o f

t h e c o m p l e x e n v e l o p p e o f t h e O F D M s y m b o l m a y b e N t i m e s h i g h e r t h a n t h e m a x i m u m a b -

s o l u t e v a l u e o f t h e i n p u t c o n s t e l l a t i o n . T h o s e h i g h p e a k s u s u a l l y l i e i n t h e n o n l i n e a r r a n g e o f

t h e a m p l i e r , r e s u l t i n g i n o u t o f b a n d r a d i a t i o n s P a u l 9 8 ] a n d p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n a t t h e

r e c e i v e r .

1

t h i s t e c h n i q u e i s k n o w n i n t h e l i t e r a t u r e a s s o u n d i n g

4


5/22

T h e t w o k i n d o f n o n l i n e a r a m p l i e r s r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e t h a t a r e u s e d i n d i g i t a l

c o m m u n i c a t i o n a r e t h e T r a v e l l i n g W a v e T u b e A m p l i e r ( T W T A ) a n d t h e S o l i d S t a t e P o w e r

A m p l i e r ( S S P A ) .

A l o t o f m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d t o c a n c e l t h e e e c t s d u e t o t h e n o n l i n e a r d i s t o r t i o n s i n

t h o s e a m p l i e r s . M o s t o f t h e m u s e a p p r o x i m a t e i n v e r s e f o r m u l a s o f t h e A M / P M a n d P M / P M

c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n o n l i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o n . S e v e r a l i m p l e m e n t a t i o n m e t h o d s h a v e b e e n

p r o p o s e d , t h e m o s t r e l e v a n t r e l y i n g o n p o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n s . A l l t h e s e m e t h o d s c o n v e r t

t h e n o n l i n e a r b e h a v i o u r s o f t h e a m p l i e r s i n t o a c l i p p e r ( o r s o f t l i m i t e r ) . T h e n o n l i n e a r e e c t s

a r e t h e n c a n c e l l e d b e y o n d a t h r e s h o l d , r e p r e s e n t e d b y t h e s a t u r a t i o n p o i n t o f t h e a m p l i e r s

( t h e m a x i m u m p o w e r t h a t c a n b e a l l o c a t e d b y t h e a m p l i e r ) . T h i s i s s u m m e r i z e d i n g u r e 3

f o r t h e T W T A .

Asat

Asat

AM/AM

AM/PM

AM/AM

AM/PM

Input Amplitude

OutputAmplitude/Phase

OutputAmplitude/Phase

Input Amplitude

PredistorsionNonlinear

F i g u r e 3 . C a n c e l l a t i o n o f t h e n o n l i n e a r b e h a v i o u r o f a T W T A a m p l i e r

A d i s c u s s i o n o f t h e s e t e c h n i q u e s t o g e t h e r w i t h a d e t a i l l e d p r e s e n t a t i o n o f t h e n o n l i n e a r

a m p l i e r s a n d t h e i r e e c t s w i l l b e m a d e i n D e c l 9 9 b ] .

I n t h i s r e p o r t , w e w i l l t h e n a s s u m e t h a t t h e a m p l i e r t r a n s f e r f u n c t i o n h a s b e e n t u r n e d

i n t o a s o f t l i m i t e r a n d t h e r e f o r e , t h e o n l y d i s t o r s i o n t h a t r e m a i n s i s a c l i p p i n g e e c t . T o

s i m p l i f y t h e d e s c r i p t i o n o f t h e e e c t s o f t h e n o n l i n e a r a m p l i e r s t o O F D M m o d u l a t i o n , w e

w i l l n o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e c y c l i c p r e x b e c a u s e i t d o e s n ' t b r i n g a d d i t i o n n a l i n f o r m a t i o n ,

a n d t h e r e f o r e d o e s n ' t a e c t t h e p e r f o r m a n c e s t u d y u n d e r c o n s i d e r a t i o n .

r e m a r k

D e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e p o w e r a m p l i e r o p e r a t e i n c o n t i n u o u s t i m e , w e w i l l r e s t r i c t o u r

s t u d y t o t h e d i s c r e t e t i m e d o m a i n . T h e r e s u l t s c a n n o t b e d i r e c t l y e x t e n d e d f r o m d i s c r e t e t o

c o n t i n u o u s t i m e w i t h o u t s o m e a s s u m p t i o n s T e l l 9 8 b ] . A w a y t o q u a n t i f y t h e m o d i c a t i o n s

b r o u g h t b y t h e c o n t i n u o u s t i m e c o n v e r s i o n i s t o o v e r s a m p l e t h e d i s c r e t e s t r e a m a n d s t u d y t h e

e e c t s o f t h e n o n l i n e a r a m p l i e r o n t h e o v e r s a m p l e d d a t a . I t h a s b e e n p o i n t e d o u t i n T e l l 9 8 ]

t h a t a n o v e r s a m p l i n g b y a f a c t o r o f 4 i s s u c i e n t t o s i m u l a t e c o n t i n u o u s t i m e , f o r t h e p r e s e n t

p r o b l e m . W e w i l l d i s c u s s t h e s e p o i n t s b a s e d o n s i m u l a t i o n s i n s e c t i o n 5 .

5


6/22

3 P e a k t o A v e r a g e R a t i o i n O F D M s y m b o l s

3 . 1 D e n i t i o n

T h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o ( P A R ) o f a n O F D M s y m b o l i s d e n e d a s

P A R ( x ) =

m a x

n 2 0 : : : N ? 1

j x

n

j

2

I E

h

j x

n

j

2

i

( 4 )

T h i s q u a n t i t y i s a g o o d m e a s u r e o f t h e i m p u l s i v e n e s s o f a b l o c k s y m b o l : i f t h e u n d e r l y i n g

p r o c e s s e x h i b i t s s a m p l e v a l u e s t h a t a r e v e r y f a r f r o m i t s a v e r a g e p o w e r , t h e P A R w i l l b e l a r g e .

F o r e x a m p l e :

f o r a n i . i . d . b i n a r y p r o c e s s t a k i n g i t s v a l u e s i n

f0 ; 1

g, w e h a v e P A R = 2 ,

f o r a i . i . d . M - P S K m a p p i n g , P A R = 1 , w h i c h i s t h e l o w e r b o u n d o f t h e P A R ,

f o r a 1 6 - Q A M c o n s t e l l a t i o n , w i t h t h e s a m e p r o b a b i l i t i e s f o r t h e s y m b o l s , P A R = 1 : 8 .

W h e n p a s s i n g t h r o u g h t h e I D F T b l o c k , t h e i m p u l s i v e n e s s o f t h e d a t a i n c r e a s e s a l o t ,

y i e l d i n g a P A R w h i c h c a n b e a t m o s t N t i m e s l a r g e r t h a t t h e i n p u t o n e . O f c o u r s e , t h i s u p p e r

b o u n d i s n o t t i g h t a t a l l a n d t h e P A R m u s t b e i n t e r p r e t e d a s a r a n d o m v a r i a b l e ( d e p e n d i n g

o n t h e b l o c k r e a l i z a t i o n ) , a n d s t u d i e d w i t h p r o b a b i l i s t i c m e a n s .

3 . 2 S t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s

A s s u m i n g t h a t t h e O F D M s y m b o l s i z e i s l a r g e a n d t h a t t h e i n p u t d a t a a r e u n c o r r e l a t e d ,

t h e c e n t r a l l i m i t t h e o r e m a p p l i e s a n d t h e t i m e d o m a i n t r a n s m i t t e d o w i s a p p r o x i m a t e l y

d i s t r i b u t e d a s c o m p l e x G a u s s i a n w i t h z e r o m e a n a n d v a r i a n c e

2

x

=

2

X

( w i t h t h e n o r m a l i z a t i o n

f a c t o r 1 =

p

N f o r t h e I D F T o p e r a t i o n ) . W h e n t h e i n p u t s t r e a m i s n o l o n g e r w h i t e , b u t i s

s t r o n g l y m i x i n g - w h i c h i s t h e c a s e w h e n c o r r e l a t i o n i s i n t r o d u c e d b e f o r e t h e I D F T , a s i n

C o d e d - O F D M s c h e m e s - t h e o u t p u t i s s t i l l a n e a r l y G a u s s i a n c o m p l e x p r o c e s s , b u t t h e v a r i a n c e

2

x

d e p e n d s o n t h e i n p u t c o r r e l a t i o n . M o r e o v e r , t h e s t r o n g e r t h e c o r r e l a t i o n p r e s e n t a t t h e

i n p u t o f t h e I D F T i s , t h e l a r g e r t h e O F D M s y m b o l l e n g t h N s h o u l d b e , f o r t h e G a u s s i a n

a p p r o x i m a t i o n t o b e a c c u r a t e .

L e t u s a s s u m e t h a t t h e o u t p u t o f t h e I D F T i s e e c t i v e l y G a u s s i a n d i s t r i b u t e d w i t h v a r i a n c e

2

x

. H e n c e , i t s m o d u l u s u

n

= j x

n

j i s R a y l e i g h d i s t r i b u t e d w i t h p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n :

p ( u ) =

2 u

2

x

e x p

?

u

2

2

x

!

( 5 )

T h e u n d e s i r a b l e e e c t o f t h e O F D M s y m b o l l i e s i n t h e t a i l s o f t h a t R a y l e i g h d i s t r i b u t i o n ,

c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r e s e n c e o f h i g h p e a k s , f a r g r e a t e r t h a n t h e a v e r a g e p o w e r . I t i s t h e n

u s e f u l t o s t u d y t h e o c c u r e n c e o f s u c h p e a k s . T h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e a m p l i t u d e o f a

s a m p l e w i t h i n t h e O F D M s y m b o l e x c e e d s a t r e s h o l d x

0

> 0 ,

P r o b (

jx

j x

0

) =

Z

+ 1

x

0

p ( u ) d u = e x p

?

x

2

0

2

x

!

( 6 )

6


7/22

I f t h e s a m p l e s o f t h e O F D M s y m b o l a r e m o r e o v e r a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t - w h i c h i s

o b v i o u s l y n o t t h e c a s e f o r n i t e b l o c k s i z e s , b u t t h e a s s u m p t i o n b e c o m e s m o r e a n d m o r e v a l i d

a s N t e n d s t o i n n i t y - w e g e t :

P r o b

m a x

n 2 0 : : : N ? 1

j x

n

j x

0

= 1 ?

N ? 1

Y

n = 0

P r o b ( j x

n

j x

0

)

= 1 ?

1 ? e x p

?

x

2

0

2

x

! !

N

( 7 )

a n d t h e n , w e o b t a i n t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y f o r t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o :

P r o b

P A R ( x ) P A R

0

=

x

2

0

2

x

!

= 1 ? ( 1 ? e x p ( ? P A R

0

) )

N

( 8 )

T h i s p r o b a b i l i t y , c o r r e s p o n d i n g t o t h e C o m p l e m e n t a r y C u m u l a t i v e D i s t r i b u t i o n F u n c -

t i o n ( C C D F ) o f t h e P A R , i s t h e n a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r N o f s u b - c a r r i e r s u s e d i n t h e

O F D M / D M T m o d u l a t i o n a n d o f t h e a v e r a g e p o w e r o f t h e i n p u t c o n s t e l l a t i o n t h r o u g h

2

x

. I n

o r d e r t o v e r i f y t h e a c c u r a c y o f t h i s a p p r o x i m a t e p r o b a b i l i t y , w e h a v e d r a w n o n g u r e 4 t h i s

o u t a g e p r o b a b i l i t y ( 8 ) a s a f u n c t i o n o f t h e t h r e s h o l d P A R

0

, f o r d i e r e n t b l o c k s i z e s a n d a

1 6 ? Q A M c o n s t e l l a t i o n . T h e c o r r e s p o n d i n g M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s a r e s h o w n i n d a s h e d

l i n e s . W e c a n s e e a g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s a n d t h e s i m u l a t i o n s , e v e n

f o r s m a l l b l o c k s i z e s . T h i s s h o w s t h a t t h a t a s s u m p t i o n s t h a t h a v e b e e n m a d e c a n b e c o n s i d e r e d

a s v a l i d , a t l e a s t f o r N 6 4 .

T h o s e c u r v e s a r e u s e f u l t o q u a n t i f y t h e i m p r o v e m e n t s o f m e t h o d s f o r r e d u c i n g t h e P A R .

I n d e e d , i t r e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n O F D M s y m b o l h a s p e a k s t h a t e x c e e d a g i v e n

t h r e s h o l d , b e i n g x e d b y p o w e r o r r e l i a b i l i t y r e q u i r e m e n t s .

3 . 3 R e l a t i o n t o S E R

4 P A R R e d u c t i o n m e t h o d s

O n e o f t h e p o s s i b l e s o l u t i o n s t o a v o i d t h e c l i p p i n g o f t o o m a n y s a m p l e s o f t h e O F D M s y m b o l

b t t h e H P A i s t o t r a n s f o r m i t s o t h a t t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o b e c o m e s l o w e r , i m p l y i n g

l e s s i m p u l s i v e b e h a v i o u r . S u c h m e t h o d s h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y , a n d c a n b e c l a s s i e d

i n t w o m a j o r s c h e m e s . T h e r s t p o s s i b i l i t y i s t o a d d s o m e r e d u n d a n c y t o t h e o r i g i n a l O F D M

s y m b o l , s o t h a t t h e c o m p l e t e s y m b o l ( d a t a + c o d e ) h a s a l o w e r P A R . T w o g r o u p s o f r e s e a r c h e r s

h a v e i n d e p e n d e n t l y d e v e l o p p e d t h i s k i n d o f t e c h n i q u e G a t h 9 7 , T e l l 9 8 a ] , a n d w e p r e s e n t o n e o f

t h e m i n s e c t i o n 4 . 1 . T h e o t h e r p o s s i b i l i t y , i s t o t r a n s f o r m t h e i n p u t s y m b o l s f r o m t h e o r i g i n a l

c o n s t e l l a t i o n ( M - Q A M , e t c ) p r i o r t o t h e I D F T , i n o r d e r t o p r o v i d e a t i m e d o m a i n O F D M

s y m b o l a f t e r t h e I D F T w i t h l o w e r p e a k s . M a n y d i e r e n t i d e a s b a s e d o n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f

t h e i n p u t c o n s t e l l a t i o n h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e M u l l 9 7 , K s c h 9 8 , T e l l 9 8 a ] , a n d w e

p r e s e n t t w o o f t h e m o s t r e l e v a n t i n s e c t i o n 4 . 2 i n d e t a i l . A c o m p a r a t i v e s t u d y o f p e r f o r m a n c e s

i s t h e n d e r i v e d i n s e c t i o n 5 .

7


8/22

4 5 6 7 8 9 10 11 1210

4

103

102

101

100

PAR0

Prob(PAR(x)>PAR0

)

N=64

N=256

N=1024

F i g u r e 4 . C C D F o f t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o f o r d i e r e n t s b l o c k s i z e s . T h e a p p r o x i m a t i o n b a s e d

o n t h e n e a r l y G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n o f t h e I D F T a r e d r a w n i n s o l i d l i n e , t h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t

e s t i m a t i o n s b a s e d o n 1 0 0 0 0 M o n t e C a r l o r u n s .

8


9/22

4 . 1 A d d i n g R e d u n d a n c y a t t h e T r a n s m i t t e r : T o n e R e s e r v a t i o n

B y a d d i n g a s t r u c t u r e d t i m e d o m a i n c o d e c t o x , o r e q u i v a l e n t l y a f r e q u e n c y d o m a i n c o d e C

t o X , o n e c h a n g e s t h e s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e O F D M s y m b o l , a n d t h e r e w i t h i t s P e a k t o

A v e r a g e R a t i o . T h e g o a l i s t h e n t o n d c o n v e n i e n t c o d e s t h a t r e d u c e t h e P A R , w i t h a s m a l l

i n c r e a s e d c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r a n d t h e r e c e i v e r . T h e a d d i t i o n a l s i d e i n f o r m a t i o n

r e q u i r e d t o r e c o v e r t h e o r i g i n a l d a t a - w h i c h r e p r e s e n t s t h e a d d e d r e d u n d a n c y - s h o u l d n o t b e

t o o l a r g e e i t h e r .

T h e m e t h o d p r o p o s e d i n T e l l 9 8 a ] , a s s u m e s t h a t s o m e f r e q u e n c i e s a r e r e s e r v e d f o r t h i s

c o d e a n d t h e r e f o r e c a r r y n o d a t a i n f o r m a t i o n . T h i s m e t h o d i s c a l l e d T o n e R e s e r v a t i o n . T h e

s p e c i c a t i o n o f t h e L c h o s e n t o n e l o c a t i o n s i s o f m a j o r i m p o r t a n c e a n d w e w i l l d i s c u s s t h a t

p o i n t a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n . L e t u s a s s u m e t h a t t h e L t o n e s f k

1

: : : k

L

g h a v e b e e n x e d a t

t h e b e g i n n i n g o f t h e t r a n s m i s s i o n a n d t h a t t h e y w o n ' t c h a n g e u n t i l t h e t r a n s m i s s i o n i s o v e r

o r s o m e n e w i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c h a n n e l i s f e d b a c k t o t h e t r a n s m i t t e r .

G i v e n t h o s e t o n e l o c a t i o n s , o n e h a s t o o p t i m i z e t h e v a l u e s o f t h e c o d e s t h a t l l t h e u n u s e d

f r e q u e n c i e s i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e P A R o f t h e n e w O F D M s y m b o l . T h e f r e q u e n c y d o m a i n

c o d e v e c t o r C h a s t h e n o n l y L n o n z e r o v a l u e s a n d l e t u s d e n o t e

~

C = C

k

1

: : : C

k

L

]

T

t h e v e c t o r

c o l l e c t i n g t h o s e v a l u e s . W e r e c a l l t h a t t h e r e s e r v e d l o c a t i o n s d o n ' t c a r r y d a t a i n f o r m a t i o n

X

i

k

= 0

8k = 1 : : : L . T h e c r i t e r i o n t h a t l e a d s t o t h e e s t i m a t e d c o d e s i s :

~

C = A r g m i n

~

C

m a x

n = 0 : : : N ? 1

j x

n

+ c

n

j

( 9 )

w h e r e c

n

i s n a t u r a l l y a f u n c t i o n o f

~

C b e c a u s e i t i s t h e I D F T o f t h e c o m p l e t e v e c t o r C t a k e n

a t i n s t a n t n .

T h i s m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i s c o n v e x i n

~

C a n d c a n b e s o l v e d a s a L i n e a r P r o g r a m m i n g

p r o b l e m o f c o m p l e x i t y O ( L N

2

) . I n T e l l 9 8 a ] , i t i s s h o w n t h a t b y o p t i m i z i n g t h e s i g n a l t o

c l i p p i n g n o i s e r a t i o i n s t e a d o f P A R a n d b y u s i n g a g r a d i e n t a l g o r i t h m , o n e c a n o b t a i n s i m i l a r

p e r f o r m a n c e w i t h a c o m p l e x i t y

O( N ) . T h e o p t i m i z a t i o n i s i n t h i s c a s e d o n e o n t h e t i m e

d o m a i n c o d e c . W e r e f e r t o t h a t p a p e r f o r a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e m e t h o d . A f t e r s o m e

c a l c u l a t i o n s , o n e a r r i v e s a t t h e f o l l o w i n g i t e r a t i v e a l g o r i t h m :

c

( k + 1 )

= c

( k )

?

k

p ( ( n ? n

k

) )

N

] n

k

= A r g m a x

n

x

n

+ c

( k )

n

( 1 0 )

w h e r e

k

i s a s c a l e f a c t o r d e p e n d i n g o n t h e m a x i m u m p e a k f o u n d a t i t e r a t i o n k , p i s

c a l l e d b y t h e a u t h o r s P e a k R e d u c t i o n K e r n e l ( P R K ) a n d i s o n l y a f u n c t i o n o f t h e t o n e l o -

c a t i o n s f i

1

: : : i

L

g . T h e r e f o r e , o n e n e e d s t o c a l c u l a t e t h e P R K o n l y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e

t r a n s m i s s i o n . T h e n o t a t i o n p ( ( n

?n

k

) )

N

] m e a n s t h a t t h e k e r n e l h a s b e e n c i r c u l a r y s h i f t e d

i n t i m e b y a v a l u e o f n

k

. T h i s k e r n e l h a s i t s m a x i m u m - i n t h e t i m e d o m a i n - a t n = 0 a n d

i t s a i m i s t o d e c r e a s e t h e h i g h p e a k f o u n d a t n

k

, w i t h o u t i n c r e a s i n g t h e o t h e r v a l u e s o f t h e

O F D M s y m b o l a t n 6= n

k

t o o m u c h . T h e n , a p e r t i n e n t c h o i c e f o r p - a n d t h e r e f o r e f o r t h e

r e s e r v e d t o n e s - i s o b t a i n e d b y m i n i m i z i n g i t s s e c o n d a r y p e a k .

A g o o d c h o i c e f o r t h e t o n e l o c a t i o n s i s t o s e l e c t t h e m p s e u d o - r a n d o m l y , m o r e s t r u c t u r e d

c h o i c e s l i k e a d j a c e n t t o n e s o r e q u i - s p a c e d t o n e s y i e l d h i g h e r s e c o n d a r y p e a k s . T h e a u t h o r s

p r o p o s e a n i n t e n s i v e r a n d o m s e a r c h a l g o r i t h m t o n d g o o d l o c a t i o n s , a r g u i n g t h a t t h e o p t i -

m i z a t i o n o f t h i s k e r n e l n e e d s t o b e d o n e o n l y o n c e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t r a n s m i s s i o n .

r e m a r k

9


10/22

A p r o b l e m m a y a r i s e i f w e w a n t t o a p p l y t h i s m e t h o d t o D M T m o d u l a t i o n . I n t h a t c a s e , o n e c a n

o b v i o u s l y n o t c h o o s e t h e l o c a t i o n s r a n d o m l y , b e c a u s e d i e r e n t p o w e r s a r e a l l o c a t e d t o d i e r e n t

f r e q u e n c i e s . I n d e e d , t h e r e s e r v e d t o n e s s h o u l d t r a n s m i t l i t t l e p o w e r , a n d t h i s c o n s t r a i n t m i g h t

n o t b e c o m p a t i b l e w i t h t h e r e d u c t i o n o f t h e s e c o n d a r y p e a k .

A s a r s t c o n c l u s i o n r e g a r d i n g t h i s m e t h o d , w e w i s h t o d i s c u s s i t s i m p l i c a t i o n s i n t e r m s

o f p e r f o r m a n c e l o s s o f t h e o v e r a l l c o m m u n i c a t i o n s y s t e m . W e w i l l u s e t h o s e p o i n t s i n o u r

c o m p a r i s o n o f P A R r e d u c t i o n m e t h o d s i n s e c t i o n 5 .

1 . r e d u n d a n c y / s i d e i n f o r m a t i o n

T h i s i s t h e d r a w b a c k o f t h e m e t h o d : r e s e r v i n g m o r e t o n e s f o r t h e c o d e s a c h i e v e s m o r e

P A R r e d u c t i o n , b u t t h e t r a n s m i s s i o n i s a t a l o w e r r a t e . I f t h e s a m e p o w e r i s a l l o c a t e d

a m o n g t h e c a r r i e r s , a n d t h e n t h e s a m e n u m b e r o f b i t s i s t r a n s m i t t e d i n e a c h t o n e , t h e

p e r c e n t a g e o f o v e r a l l r e d u n d a n c y i s

L

N

1 0 0 % , w h e r e L t o n e s a r e r e s e r v e d f o r t h e c o d e s .

2 . t r a n s m i t p o w e r i n c r e a s e

T h e p o w e r i n c r e a s e i s h a r d t o e s t i m a t e b e c a u s e i t d e p e n d s o n t h e v a l u e s o f t h e c o d e s a n d

t h e r e f o r e o f t h e O F D M s y m b o l r e a l i z a t i o n . W e w i l l e s t i m a t e t h e a v e r a g e p o w e r i n c r e a s e

f o r a g i v e n r e d u n d a n c y i n s e c t i o n 5 .

3 . c o m p l e x i t y

T h i s i s c l e a r l y t h e m a i n a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d : t h e c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r i s

O ( N ) a n d t h e r e c e i v e r n e e d s o n l y t o s e t t h e L t o n e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o d e t o z e r o .

4 . 2 P l a y i n g w i t h t h e c o n s t e l l a t i o n s

I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l t a c k l e m e t h o d s b a s e d o n t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e i n p u t c o n s t e l l a t i o n .

A s a m a t t e r o f f a c t , t h e s e m e t h o d d e p e n d o n t h e t y p e o f c o n s t e l l a t i o n w e a r e d e a l i n g w i t h ,

a n d g e n e r a l i z i n g t h e i r u s e t o a n y t y p e o f c o n s t e l l a t i o n s m i g h t n o t b e i m m e d i a t e . W e w i l l t h e n

r e s t r i c t o u r s t u d y o f t h e s e m e t h o d s t o M ? Q A M c o n s t e l l a t i o n s .

4 . 2 . 1 S e l e c t e d M a p p i n g

A r s t , t h o u g h v e r y g e n e r a l , i d e a p r o p o s e d i n B a u m l 9 6 ] i s t o c r e a t e a \ g e n e r a l i z e d a l p h a b e t "

o f O F D M s y m b o l s x

u

, e a c h r e p r e s e n t i n g t h e s a m e d a t a i n f o r m a t i o n . O n c e t h e a l p h a b e t U o f

s i z e U i s c r e a t e d , t h e t a s k i s t o c h o o s e a m o n g t h e p o s s i b l e r e p r e s e n t a t i o n s , t h e O F D M s y m b o l

w i t h t h e l o w e s t P A R . M a t h e m a t i c a l l y , w e w i s h t o t r a n s m i t :

~

x = A r g m i n

x

u

2 U

( P A R ( x

u

) ) ( 1 1 )

A p o s s i b l e s o l u t i o n t o g e n e r a t e t h e a l p h a b e t

Ui s t o r o t a t e t h e i n p u t s y m b o l s i n t h e Q A M

c o n s t e l l a t i o n , p r i o r t o t h e I D F T . W e m u s t t h e r e f o r e s e l e c t U p h a s e v e c t o r s , e a c h o f s i z e N :

'

u

= e

j '

u ; 1

: : : e

j '

u ; N

]

T

8 0 u U ? 1

a n d b u i l d t h e c a n d i d a t e O F D M s y m b o l s b y m u l t i p l y i n g c o m p o n e n t b y c o m p o n e n t t h e o r i g i n a l

b l o c k - s y m b o l X w i t h t h e s e p h a s e v e c t o r s a n d t a k e t h e i r I D F T :

x

u

= I D F T ( X : d i a g ( '

u

) )

80

u

U

?1 ( 1 2 )

1 0


11/22

T h i s m e t h o d i s c a l l e d s e l e c t e d m a p p i n g ( S L M ) . A s p o i n t e d o u t i n B a u m l 9 6 ] a n d M u l l 9 7 ] ,

t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m m a y n o t b e c o m p u t a t i o n a l l y f e a s i b l e i f t h e s i z e o f t h e O F D M b l o c k s

a r e l a r g e , a n d m o r e i m p o r t a n t l y , i f t h e s i z e U o f t h e O F D M a l p h a b e t U i s l a r g e , w h i c h i s

r e q u i r e d i n o r d e r t o a c h i e v e s u b s t a n t i a l P A R r e d u c t i o n . M o r e o v e r , t h s i m e t h o d r e q u i r e s t h e

s t o r a g e o f a l l t h e p h a s e v e c t o r s f '

u

g

0 u U ? 1

, b o t h a t t h e t r a n s m i t t e r a n d a t t h e r e c e i v e r .

B e c a u s e o f t h e s e s u b s t e n t i a l d r a w b a c k s , w e h a v e c h o s e n n o t t o f u l l y d e s c r i b e t h i s m e t h o d ,

f o c u s i n g o n t h e t w o m e t h o d s d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

4 . 2 . 2 P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e s

M o t i v a t e d b y t h e m e t h o d p r e s e n t e d a b o v e , M u l l e r a n d H u b e r h a v e p r o p o s e d a r e l a t e d s c h e m e ,

b a s e d o n t h e r o t a t i o n o f s u b - b l o c k s o f t h e o r i g i n a l c o n s t e l l a t i o n M u l l 9 7 ] . T h e d e s c r i p t i o n o f

t h e m e t h o d i s s u m m a r i z e d o n t h e d i a g r a m i n g u r e 5 . T h e f r e q u e n c y - d o m a i n O F D M s y m b o l

( b e f o r e I D F T ) i s s p l i t i n U d i s j o i n t s u b - b l o c k s . F o r e a c h s u b - b l o c k X

u

, t h e t o n e s b e i n g u s e d b y

t h e o t h e r s u b - b l o c k s a r e s e t t o z e r o . E a c h b l o c k i s t h e n r o t a t e d w i t h a n a n g l e '

u

- m u l t i p l i e d

b y a c o m p l e x e x p o n e n t i a l , a n d t h e s u b - b l o c k s a r e n a l l y a d d e d t o f e e d t h e I D F T o p e r a t o r .

W e s h o w t h e e x a m p l e o f a 3 - b l o c k p a r t i t i o n , w h e r e t h e r e c t a n g u l a r p u l s e s r e p r e s e n t s y m b o l i c

t o n e l o c a t i o n s a n d n o t t h e i n f o r m a t i o n c a r r i e d b y t h e s e t o n e s . W e r e m a r k t h a t t h i s m e t h o d

c a n h a n d l e M - P S K i n p u t c o n s t e l l a t i o n s a l s o .

r e m a r k

t h e X

u

a r e n o t r e a l l y s u b - b l o c k s , b e c a u s e e a c h h a s s i z e N , b u t t h e y r e p r e s e n t a n o n - o v e r l a p p i n g

d e c o m p o s i t i o n o f t h e o r i g i n a l O F D M s y m b o l : X =

P

u

X

u

.

T h e n e w O F D M s y m b o l o b t a i n e d a f t e r t h i s t r a n s f o r m a t i o n i s :

~

x = I D F T

U

X

u = 1

X

u

e

j '

u

!

=

U

X

u = 1

x

u

e

j '

u

( 1 3 )

j

e2

je 3

j 1

e

X| |kx n

N-1

N-1

N-1

N-10

0

0

0

IDFT

F i g u r e 5 . P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e m e t h o d f o r P A R r e d u c t i o n .

T h e o p t i m i z a t i o n o f t h e a n g l e s i s a c o m p l i c a t e d t a s k b e c a u s e t h e g e n e r a l p r o b l e m l e a d s t o

1 1


12/22

a t i m e c o n s u m i n g n o n l i n e a r o p t i m i z a t i o n .

' = A r g m i n

'

1

: : : '

u

m a x

n = 0 : : : N ? 1

U

X

u = 1

x

u ; n

e

j '

u

!

( 1 4 )

W e m u s t t h e n l i m i t t h e n u m b e r o f s u b - b l o c s i n t h e p a r t i t i o n a n d r e s t r i c t t h e c h o i c e o f c a n d i d a t e

a n g l e s t o a d i s c r e t e a l p h a b e t . T h e a u t h o r s i n M u l l 9 7 ] c h o s e t h e a l p h a b e t '

u

2 f 0 ;

2

; ;

3

2

g ,

w h i c h i s p e r t i n e n t f r o m a c o m p u t a t i o n a l p o i n t o f v i e w b e c a u s e n o m u l t i p l i c a t i o n i s r e q u i r e d t o

c o m p u t e ( 1 3 ) . T h e a c t u a l a n g l e s a r e t h e n o b t a i n e d b y e x h a u s t i v e s e a r c h o v e r a l l t h e p o s s i b l e

c o m b i n a t i o n s . T h e r e f o r e , b e s i d e s t h e i m p l e m e n t a t i o n s i m p l i c a t i o n s , t h e o p t i m i z a t i o n r e m a i n s

a N P - c o m p l e t e p r o b l e m , w i t h e x p o n e n t i a l c o m p l e x i t y i n t h e n u m b e r o f s u b - b l o c k s a n d t h e

n u m b e r o f p o s s i b l e v a l u e s f o r t h e a n g l e s . C o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r i s t h e n

a s e v e r e l i m i t a t i o n o f t h i s m e t h o d .

r e m a r k

T h e a u t h o r s p r o p o s e i n o t h e r p a p e r s a d d i t i o n n a l s i m p l i c a t i o n s o f t h e i r m e t h o d , f o r i n s t a n c e

b y i n t r o d u c i n g d i e r e n t i a l e n c o d i n g a t t h e t r a n s m i t t e r , b u t n o n e o f t h e s e m o d i c a t i o n s r e m o v e

t h e e x p o n e n t i a l c o m p l e x i t y o f t h e a n g l e s o p t i m i z a t i o n .

L e t s t u r n o u r a t t e n t i o n t o t h e c h o i c e o f t h e s u b - b l o c k s . A s e x p l a i n e d i n M u l l 9 7 b ] , t h e

a p e r i o d i c a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n b e t w e e n t h e s u b - b l o c s p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e . A c t u a l l y ,

i t a p p e a r s i n t h e e x p r e s s i o n o f t h e u p p e r b o u n d o f P A R o b t a i n e d i n T e l l 9 7 ] . T h e c h o i c e o f

p s e u d o - r a n d o m p a r t i t i o n s h o u l d r e d u c e t h i s a u t o c o r r e l a t i o n , r e s u l t i n g i n a b e t t e r P A R r e d u c -

t i o n . T h i s i m p l i e s a d d i t i o n n a l m e m o r y s t o r a g e a n d c o m p u t a t i o n t i m e b o t h a t t h e t r a n s m i t t e r

a n d a t t h e r e c e i v e r , w h e r e t h e k n o w l e d g e o f t h e p a r t i t i o n i s n e e d e d . B u t s i n c e t h e d e t e r -

m i n a t i o n o f t h e s u b - b l o c k s n e e d s t o b e d o n e o n l y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t r a n s m i s s i o n , t h i s

r e p r e s e n t a l i t t l e l o s s . H o w e v e r , w e m u s t b e c a r e f u l a n d q u a n t i f y t h e r e l a t i v e a d d i t i o n a l P A R

r e d u c t i o n b r o u g h t b y t h e p s e u d o - r a n d o m c h o i c e , c o m p a r e d t o t h e s i m p l e s t c a s e o f a d j a c e n t

s u b - b l o c k s . I n d e e d , a d j a c e n t s u b - b l o c k s w o u l d r e q u i r e n o e x t r a m e m o r y , w i t h t h e n u m b e r o f

s u b - b l o c k s a s t h e o n l y s i d e i n f o r m a t i o n .


T h e p a r t i t i o n i s c h o s e n o n c e f o r t h e c o m p l e t e t r a n s m i s s i o n a n d t h e r e f o r e n o o n - l i n e

r e d u n d a n c y i s n e e d e d t o t r a n s m i t t h a t i n f o r m a t i o n . T h e v a l u e s o f t h e a n g l e s n e e d t o b e

k n o w n a t t h e r e c e i v e r t o r e c o v e r t h e t r a n s f o r m e d s y m b o l s . I f t h e v a l u e s o f t h e a n g l e s a r e

t a k e n a m o n g a k n o w n a l p h a b e t , w e n e e d o n l y t o t r a n s m i t t h e U i n d i c e s t h a t c o r r e s p o n d

t o t h e U s u b - b l o c k s . M o r e o v e r , i f w e d e c i d e t o l e a v e t h e r s t b l o c k u n c h a n g e d a n d r o t a t e

t h e U ? 1 r e m a i n i n g , t h e r e d u n d a n c y f o r a n O F D M s y m b o l i s t h e n ( U ? 1 ) l o g

2

( W ) ,

w h e r e W i s t h e n u m b e r o f a l l o w e d d i s c r e t e p h a s e s .


T h e r e i s n o p o w e r i n c r e a s e i n t h i s m e t h o d .


T h e c o m p e x i t y i s e x p o n e n t i a l w i t h t h e n u m b e r o f s u b - b l o c k s a n d t h e l o g - s i z e o f t h e

a n g l e s ' a l p h a b e t , e v e n w h e n t h e s i m p l i c a t i o n s p r o p o s e d a r e t a k e n i n t o a c c o u n t . F u r -

t h e r m o r e , t h e r e c e i v e r n e e d s t o p e r f o r m N r o t a t i o n s i n t h e c o m p l e x p l a n e , w h i c h r e q u i r e s

h i g h c o m p u t a t i o n a t t h e r e c e i v e r . I f w e c h o o s e t h e v a l u e s p r o p o s e d a b o v e f o r t h e a n g l e s ,

1 2


13/22

s i m p l e s y m e t r i e s i n t h e c o m p l e x p l a n e r e p l a c e t h e m u l t i p l i c a t i o n s a n d t h e c o m p l e x i t y a t

t h e r e c e i v e r b e c o m e s a c c e p t a b l e .

4 . 2 . 3 T o n e I n j e c t i o n

T h e T o n e I n j e c t i o n i s a n o t h e r m e t h o d t h a t m a k e s u s e o f t r a n s f o r m e d i n p u t c o n s t e l l a t i o n s

t o c h o o s e a n O F D M s y m b o l w h i c h c a r r y i d e n t i c a l i n f o r m a t i o n , b u t w i t h a l o w e r P A R . T h e

i d e a i s t o g e n e r a l i z e t h e Q A M i n p u t c o n s t e l l a t i o n s o t h a t a Q A M s y m b o l h a s s e v e r a l i d e n t i c a l

r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e c o m p l e x p l a n e . E a c h c a n d i d a t e p o i n t i s o b t a i n e d b y s h i f t i n g t h e o r i g i n a l

l o c a t i o n o f t h e s y m b o l b y a v a l u e o f D , e i t h e r f o r t h e r e a l p a r t , t h e i m a g i n a r y p a r t , o r b o t h :

t h i s i s d e p i c t e d i n g u r e 6 .

T h i s m e t h o d h a s b e e n i n d e p e n d e n t l y p r o p o s e d b y M o t o r o l a I S G K s c h 9 8 ] a n d i n T e l l 9 8 a ] .

I n K s c h 9 8 ] , t h e a u t h o r s u s e a l a t t i c e e x p a n s i o n o f t h e M - Q A M c o n s t e l l a t i o n , w h i c h c o r r e -

s p o n d s t o a v a l u e o f D = d

p

M , w h e r e d i s t h e m i n i m u m d i s t a n c e b e t w e e n 2 s y m b o l s i n t h e

c o m p l e x p l a n e a n d M i s t h e n u m b e r o f c o n s t e l l a t i o n p o i n t s . I n T e l l 9 8 a ] , t h e a u t h o r s a l l o w a n y

p o s s i b l e v a l u e f o r t h e s h i f t r a n g e D , a d v i c i n g t h a t i t s h o u l d n o t r e d u c e t h e m i n i m u m d i s t a n c e

o f t h e c o n s t e l l a t i o n , i n o r d e r t o k e e p t h e s a m e s y m b o l e r r o r r a t e a t t h e r e c e i v e r : D d

p

M .

D

Re

Im

A8

AA

A3

A4

A5A6A7

1

A0

2

d

F i g u r e 6 . G e n e r a l i z e d c o n s t e l l a t i o n f o r Q A M - 1 6 m a p p i n g . E a c h s y m b o l h a s 9 e q u i v a l e n t r e p r e s e n t a -

t i o n s .

T h e i m p o r t a n t a d v a n t a g e o f t h a t m e t h o d i s t h a t i t r e q u i r e s n o s i d e i n f o r m a t i o n a t a l l .

I n d e e d , t h e r e c e i v e r n e e d o n l y t o k n o w t h e v a l u e o f D a n d b y p e r f o r m i n g a m o d u l o - D o p e r a t i o n ,

e v e r y s y m b o l i n t h e g e n e r a l i z e d c o n s t e l l a t i o n w i l l f a l l i n t o t h e o r i g i n a l M - Q A M c o n s t e l l a t i o n .

N o t e m o r e o v e r t h a t t h e c o m p l e x i t y a t t h e r e c e i v e r i s n e g l i g i b l e b e c a u s e o n l y 2 m o d u l o - D

o p e r a t i o n s a r e r e q u i r e d - o n e f o r t h e r e a l p a r t , o n e f o r t h e i m a g i n a r y p a r t .

1 3


14/22

B e s i d e i t s p r o m i s i n g s t r u c t u r e a n d p r o p e r t i e s , t h i s m e t h o d h a s a n i m p o r t a n t d r a w b a c k : a

v e r y l a r g e c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r . A c t u a l l y , i f w e m a k e L s h i f t s t o t h e O F D M s y m b o l

a n d c o n s i d e r K p o s s i b l e c a n d i d a t e s f o r e a c h Q A M - M s y m b o l ( 8 i n t h e c a s e o f g u r e 6 ) , t h e

o v e r a l l c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r w o u l d b e :

O

N

L

K

L

w h i c h i s f a r t o o m u c h t o b e p r a c t i c a l l y i m p l e m e n t e d . O n e t h e n h a s t o i n t r o d u c e h e u r i s t i c

c r i t e r i a t o r e d u c e t h i s c o m p l e x i t y . T h e a u t h o r s i n T e l l 9 8 a ] p r o p o s e a n i t e r a t i v e D - s h i f t i n g

m e t h o d b a s e d o n t h e f o l l o w i n g r e m a r k s :

B e c a u s e w e c o n s i d e r s y m b o l s d r i v e n f r o m a l a r g e r c o n s t e l l a t i o n , t h e a v e r a g e t r a n s m i t

p o w e r w i l l i n c r e a s e s i g n i c a n t l y . W e n a t u r a l l y w i s h t h i s i n c r e a s e d p o w e r t o b e a s l o w a s

p o s s i b l e . I f w e t a k e a s a n e x a m p l e t h e c o n s t e l l a t i o n i n g u r e 6 , w e s h o u l d o n l y c o n s i d e r

A

6

a s a c a n d i d a t e p o i n t f o r A

0

. M o r e o v e r , i t i s o b v i o u s t h a t s h i f t i n g s y m b o l s w h i c h a r e

c l o s e r t o t h e o r i g i n o f t h e o r i g i n a l c o n s t e l l a t i o n w o u l d r e s u l t i n a g r e a t e r p o w e r i n c r e a s e .

O n e s h o u l d t h e n a l l o w o n l y t h e s y m b o l s l o c a t e d o n t h e o u t e r r i n g t o b e s h i f t e d .

F u r t h e r m o r e , t h e s h i f t i n g o f t h e s y m b o l a t t h e f r e q u e n c y l o c a t i o n k

0

h a s t o r e d u c e t h e

P A R , b y r e d u c i n g t h e h i g h e s t p e a k i n t h e t i m e d o m a i n a t t h e l o c a t i o n n

0

. G o i n g b a c k

t o t h e g u r e 6 , i f X

k

0

= A

0

i s t r a n s f o r m e d i n t o A

6

, t h e n e w v a l u e o f t h e t i m e - d o m a i n

O F D M s y m b o l a t l o c a t i o n n

0

w o u l d b e

~x

n

0

= x

n

0

?

j D

p

N

e x p

2 j k

0

n

0

N

( 1 5 )

K n o w i n g t h a t n

0

i s x e d ( l o c a t i o n o f t h e p e a k ) , k

0

m u s t b e c h o s e n t o r e d u c e t h e P A R

b y h a v i n g j ~x

n

0

j j x

n

0

j . I n p r a c t i c e t h i s y i e l d a l a r g e n u m b e r o f r e q u i r e d t e s t s a n d h i g h

c o m p l e x i t y a l g o r i t h m s .

r e m a r k

I n t h e i r c o n t r i b u t i o n T e l l 9 8 a ] , t h e a u t h o r s c o n s i d e r o n l y t h e c a s e o f P A R r e d u c t i o n i n A D S L

t r a n s m i s s i o n , w h e r e t h e t i m e d o m a i n O F D M s y m b o l i s r e a l v a l u e d . I n t h a t c a s e , t h e a d d i t i o n -

n a l q u a n t i t y i n ( 1 5 ) t u r n s t o a s i n e f u n c t i o n , r e d u c i n g t h e c o m p l e x i t y o f t h e i t e r a t i v e s c h e m e .

T h e s t r a t e g y i s t h e f o l l o w i n g : ( i ) n d t h e l o c a t i o n o f m a x i m u m v a l u e o f O F D M s y m b o l

n

0

( i i ) r e s t r i c t t h e p o s s i b l e c a n d i d a t e s t o s h i f t i n g t h e s y m b o l s b e l o n g i n g t o t h e o u t e r r i n g o f

t h e c o n s t e l l a t i o n a n d c o n s i d e r o n l y s h i f t s t h a t d o n ' t i n c r e a s e t o o m u c h t h e t r a n s m i t p o w e r ,

( i i i ) c h o o s e a m o n g t h e r e m a i n i n g p o s s i b i l i t i e s t h e s h i f t t h a t r e d u c e s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e

O F D M s y m b o l a t l o c a t i o n n

0

t h e m o s t , ( i v ) i t e r a t e t h e p r o c e s s u n t i l s u c i e n t P A R r e d u c t i o n

i s a c h i e v e d , o r m a x i m u m p o w e r a l l o c a t i o n i s r e a c h e d .


N o r e d u n d a n c y i s r e q u i r e d t o r e c o v e r t h e d a t a a t t h e r e c e i v e r .


T h i s i s t h e r s t d r a w b a c k o f t h e m e t h o d . W e u s e a l a r g e r c o n s t e l l a t i o n t o r e p r e s e n t

1 4


15/22

t h e s a m e i n f o r m a t i o n , w h i c h r e q u i r e s a g r e a t e r a v e r a g e t r a n s m i t p o w e r . O f c o u r s e t h e

p o w e r i n c r e a s e d e p e n d s o n t h e s y m b o l s t h a t a r e s h i f t e d . I f w e r e s t r i c t o u r d i s c u s s i o n t o

t h e c o n s t r a i n t s i n t r o d u c e d a b o v e a n d a 1 6 - Q A M c o n s t e l l a t i o n , t h e p e r c e n t a g e o f p o w e r

i n c r e a s e f o r L s h i f t s w o u l d b e o n t h e a v e r a g e :

1 6 L

1 0 N

1 0 0 % ( 1 6 )

F o r e x a m p l e , w i t h N = 2 5 6 c a r r i e r , L = 1 0 s h i f t s w o u l d l e a d t o 6 : 2 5 % p o w e r i n c r e a s e .


T h e c o m p l e x i t y o f t h e f u l l o p t i m i z a t i o n a t t h e t r a n s m i t t e r i s O

N

L

K

L

, w h i c h

c a n n o t b e i m p l e m e n t e d f o r p r a c t i c a l s i t u a t i o n s . E v e n w i t h t h e h e u r i s t i c a l r e s t r i c t i o n s

t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e c o m p l e x i t y r e m a i n s v e r y l a r g e a n d d i c u l t t o e s t i m a t e b e c a u s e

i t i s d e p e n d e n t o f t h e O F D M s y m b o l r e a l i s a t i o n . M o r e o v e r , t h e c h o i c e o f t h e s h i f t s

b e c o m e h i g h l y s u b - o p t i m a l . T h e a d v a n t a g e s o f t h i s m e t h o d s h o u l d i n v i t e r e s e a r c h e r s t o

n d m o r e e c i e n t o p t i m i z a t i o n m e t h o d s .

T h e c o m p l e x i t y a t t h e r e c e i v e r , f o r a s i n g l e O F D M s y m b o l , i s o f 2 N c o m p a r i s o n s a n d

L s u b s t r a c t i o n s / a d d i t i o n s ( i f w e r e s t r i c t t h e s h i f t d i s t a n c e t o D ) . T h i s c o m p l e x i t y i s

n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e o v e r a l l c o m p l e x i t y o f t h e r e c e i v e r .

5 R e s u l t s

W e w i s h t o m a k e a f a i r c o m p a r i s o n o f t h e a b o v e p r e s e n t e d m e t h o d s , i n t e r m s o f t h e l o s s o f

e c i e n c y t h e y b r i n g t o t h e c o m m u n i c a t i o n s y s t e m . W e w i l l t h e n c o m p a r e t h e P A R r e d u c t i o n

p e r f o r m a n c e s o f t h e s e t h r e e m e t h o d s f o r ( i ) t h e s a m e a m o u n t o f a d d e d r e d u n d a n c y , ( i i ) t h e

s a m e c o m p l e x i t y .

W e h a v e d e c i d e d t o m a k e t h e c o m p a r i s o n o f t h e s e m e t h o d s i n t e r m s o f t h e i r a b i l i t y t o r e d u c e

t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o a t t h e t r a n s m i t t e r . B e c a u s e n o n e o f t h e m r e l y o n t h e k n o w l e d g e

o f t h e c h a n n e l o r t h e m o d e l o f t h e n o n l i n e a r H P A ( a n i d e a l c l i p p e r i s a s s u m e d ) , t h e a c h i e v e d

p e r f o r m a n c e s a t t h e t r a n s m i t t e r - i n t e r m s o f P A R r e d u c t i o n - s h o u l d n o t d i e r s i g n i c a n t l y

f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g s y m b o l e r r o r r a t e a t t h e r e c e i v e r . O f c o u r s e , t h i s a s s u m p t i o n i s v a l i d

o n l y i f t h e a d d i t i o n a l p r o c e s s i n g a t t h e r e c e i v e r i s d o n e p e r f e c t l y a n d t h e s i d e i n f o r m a t i o n

n e e d e d i s t r a n s m i t t e d w i t h o u t e r r o r . W e w i l l t h e n o n l y c o m p a r e t h e m e t h o d t h r o u g h C C D F

o f t h e P A R , w h i c h r e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n O F D M s y m b o l h a s a P A R g r e a t e r t h a n

t h e o n e x e d b y t h e t r a n s m i s s i o n r e q u i r e m e n t s .

T h e i n p u t c o n s t e l l a t i o n u s e d f o r t h e s i m u l a t i o n s h a s b e e n c h o s e n t o b e 1 6 - Q A M , b u t n o

s u b s t a n t i a l d i e r e n c e i n t h e r e s u l t s h a s b e e n f o u n d w i t h 6 4 - Q A M o r 1 6 - P S K c o n s t e l l a t i o n s .

A l l t h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r O F D M t r a n s m i s s i o n o v e r N = 2 5 6 c a r r i e r s . W e w i l l a l s o

a d d r e s s t h e p r o b l e m t h a t t h e m e t h o d s a r e p e r f o r m e d i n t h e d i s c r e t e d o m a i n a l t h o u g h t h e

e e c t i v e P A R s h o u l d b e m e a s u r e d i n t h e c o n t i n u o u s d o m a i n .

r e m a r k

W e m u s t k e e p i n m i n d t h a t t r a n s f o r m i n g t h e O F D M s y m b o l m a y c h a n g e i t s a v e r a g e p o w e r i n a

w a y t h a t c a n n o t b e f o u n d i n c l o s e d f o r m . T h a t i s t h e c a s e f o r t h e T R m e t h o d i n w h i c h w e a d d

d e t e r m i n i s t i c v a l u e s t o t h e O F D M s y m b o l , t h e o p t i m i z a t i o n o f w h i c h a r e s y m b o l - d e p e n d e n t . I n

1 5


16/22

o u r s i m u l a t i o n s , w e m u s t t h e n e s t i m a t e I E

h

j x

n

j

2

i

b y i t s t i m e a v e r a g e v a l u e o v e r t h e O F D M

s a m p l e s . T h e P A R t h a t w e w i s h t o c a l c u l a t e i s t h e n :

d

P A R ( x ) =

m a x

n 2 0 : : : N ? 1

j x

n

j

2

1

N

P

N ? 1

n = 0

j x

n

j

2

W e w i l l m o r e o v e r i n d i c a t e , w h e n n e c e s s a r y , t h e a m o u n t o f a d d i t i o n a l p o w e r t h a t h a s b e e n u s e d

t o s e n d t h e t r a n s f o r m e d O F D M s y m b o l s . D e n o t i n g t h e m o d i e d O F D M b l o c k b y

~

x , w e t a k e a s

d e n i t i o n s :

P =

I E

h

j ~x

n

j

2

? j x

n

j

2

i

I E

h

j x

n

j

2

i

1 0 0 % P

d B

= 1 0 l o g

1 0

0

@

I E

h

j ~x

n

j

2

i

I E

h

j x

n

j

2

i

1

A

F o r t h e T I m e t h o d , k n o w i n g t h e h e u r i s t i c a l c o n s t r a i n t s t h a t w e i n c l u d e i n t h e o p t i m i z a t i o n s t e p

a n d t h e s i z e o f t h e o r i g i n a l c o n s t e l l a t i o n , t h e a v e r a g e i n c r e a s e d p o w e r p e r O F D M s y m b o l c a n

b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o r m u l a ( 1 6 ) , a s f o r t h e P T S m e t h o d , t h e r e i s n o p o w e r i n c r e a s e .

5 . 1 C o m p a r i s o n i n t e r m s o f r e d u n d a n c y

B e c a u s e o f t h e e x p o n e n t i a l c o m p l e x i t y r e q u i r e d b y t h e P T S m e t h o d , w e h a v e d e c i d e d t o

x a n a m o u n t o f r e d u n d a n c y b a s e d o n a r e a s o n a b l e t i m e c o m p u t a t i o n f o r t h a t m e t h o d . I t i s

u n d e r s t u d t h a t w e m e a n r e a s o n a b l e c o m p l e x i t y f o r o u r c o m p a r a t i v e s t u d y a n d n o t f o r p r a c t i c a l

i m p l e m e n t a t i o n .

P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e s

A s p o i n t e d o u t b e f o r e , t h e r e d u n d a n c y n e e d e d t o r e c o v e r t h e d a t a i s ( U

?1 ) l o g

2

( W )

w h e r e U i s t h e n u m b e r o f s u b - b l o c k s a n d W t h e s i z e o f t h e a n g l e a l p h a b e t . R e g a r d l e s s o f

t h e c o m p l e x i t y , w e m a y c h o o s e U = 6 a n d W = 6 ( '

u

=

2 k

6

) . W e t a k e t h e r a t i o b e t w e e n

t h e n u m b e r o f b i t s a d d e d o v e r t h e t o t a l n u m b e r o f b i t s t h a t r e p r e s e n t s i n f o r m a t i o n a s a

m e a s u r e o f t h e p e r c e n t a g e o f r e d u n d a n c y :

R =

n b : b i t s a d d e d

n b : b i t s i n f o :

1 0 0 % =

1 2 : 9 2

4 N

= 1 : 2 6 % ( 1 7 )

i f w e t r a n s m i t Q A M ? 1 6 s y m b o l s o v e r N c a r r i e r s .

r e m a r k

N o t e t h a t i n t h i s c a s e , t h e v a l u e s o f t h e a n g l e s a r e c r u c i a l t o r e c o v e r t h e d a t a a t t h e r e -

c e i v e r , a n d t h i s i n f o r m a t i o n s h o u l d b e s e n t s a f e l y , t h a t i s w i t h a p o w e r f u l e r r o r c o r r e c t i n g

c o d e . T h i s w o u l d r a i s e t h e r e d u n d a n c y j u s t d e r i v e d .

T o n e R e s e r v a t i o n

U s i n g t h e s a m e m e a s u r e o f r e d u n d a n c y , i f w e u s e L = 3 c a r r i e r s t o c a r r y c o d e s , t h e

r e d u n d a n c y i s :

R =



1 0 0 % =

L

N ? L

= 1 : 1 8 % ( 1 8 )

1 6


17/22

T h i s r e p r e s e n t s t h e r e d u n d a n c y i f w e a s s u m e t h a t t h e m e a n p o w e r o f t h e c o d e s i s t h e

s a m e a s t h e 1 6 - Q A M m e a n p o w e r o f t h e c o n s t e l l a t i o n . T h i s i s o f c o u r s e n o t t r u e a n d t h e

a c t u a l p o w e r p e r s u b - c h a n n e l i s g e n e r a l l y ( f r o m t h e s i m u l a t i o n s ) g r e a t e r f o r t h e c o d e s

t h a n f o r t h e d a t a . W e h a v e d e c i d e d n o t t o t a k e t h i s i n c r e a s e d p o w e r i n t o a c c o u n t i n o u r

d e t e r m i n a t i o n o f t h e r e d u n d a n c y .

T o n e I n j e c t i o n

A s p o i n t e d o u t b e f o r e , t h e r e i s n o r e d u n d a n c y n e e d e d i n t h i s m e t h o d . F o r c o m p a r i s o n

p u r p o s e s , w e c a n i n t r o d u c e a n e q u i v a l e n t r e d u n d a n c y c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o w e r i n c r e a s e

b r o u g h t b y t h e s h i f t e d s y m b o l s . C o n s i d e r i n g t h e c o m p u t a t i o n a l r e s t r i c t i o n s p o i n t e d o u t

i n s e c t i o n 4 . 2 . 3 , f o r a Q A M - 1 6 , o n l y 1 6 c a n d i d a t e s y m b o l s a r e a d d e d t o t h e o r i g i n a l

c o n s t e l l a t i o n p o i n t s . L e t s a s s u m e t h a t i n s t e a d o f s h i f t i n g s y m b o l s b e f o r e t h e I D F T ,

w e w i s h t o t r a n s m i t i n f o r m a t i o n m a p p e d i n t h i s e x p a n d e d c o n s t e l l a t i o n . T h a t w o u l d

r e q u i r e o n l y 1 a d d i t i o n n a l b i t t o c o d e a s h i f t e d c a n d i d a t e s y m b o l . I f w e c o n s i d e r L = 1 3

s h i f t s , w e a r r i v e a t

R =



1 0 0 % =

L

4 N

= 1 : 2 7 % ( 1 9 )

T h e r e s u l t s a r e s h o w n o n g u r e 7 . T h e i n c r e a s e d p o w e r f o r t h e T R m e t h o d h a s b e e n f o u n d

P = 1 4 % ( P

d B

= 0 : 5 5 d B ) , a s f o r t h e T I m e t h o d i t i s P = 8 : 1 3 % ( P

d B

= 0 : 3 4 d B ) . I t

a p p e a r s t h a t t h e b e s t m e t h o d f o r r e d u c i n g t h e P A R a l l o w i n g a c e r t a i n a m o u n t o f r e d u n d a n c y

i s t h e T o n e I n j e c t i o n . T h i s w a s e x p e c t e d b e c a u s e n o r e d u n d a n c y i s a c t u a l l y r e q u i r e d f o r t h i s

m e t h o d a n d t h e p o w e r i n c r e a s e i s r e a s o n a b l e , b e i n g e v e n l e s s t h a n f o r t h e T o n e R e s e r v a t i o n .

A s m e n t i o n n e d e a r l i e r , t h e t w o m a i n d r a w b a c k s o f t h i s l a t t e r m e t h o d a r e t h e l a r g e a m o u n t

o f r e d u n d a n c y n e e d e d t o a c h i e v e g o o d P A R r e d u c t i o n , a n d t h e p o w e r i n c r e a s e t h a t r e s u l t s

f r o m t h e c o d e s - b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e y d o n ' t c o m e f r o m a n i t e a l p h a b e t . T h o s e p o i n t s

a r e v e r i e d b y t h e s i m u l a t i o n s . T h e o d d b e h a v i o u r o f t h e T I r e s u l t s a t p r o b a b i l i t i e s b e l o w

1 0

? 2

c o m e s m o s t p r o b a b l y f r o m t h e s u b - o p t i m a l i t y o f t h e c o n s i d e r e d m e t h o d . I n f a c t , w h e n

d e c i d i n g t h e s h i f t s , w e x t o o m a n y c o n s t r a i n t s i n o r d e r t o r e d u c e t h e c o m p l e x i t y .

5 . 2 C o m p a r i s o n i n t e r m s o f c o m p l e x i t y

W e w i l l i n t h i s s e c t i o n t a k e i n t o a c c o u n t t h e c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r . I t i s u s e l e s s t o

c o m p a r e t h e c o m p l e x i t i e s o f t h e o p t i m u m v e r s i o n s o f t h e m e t h o d s , b e c a u s e t h e y c a n n o t b e

i m p l e m e n t e d . T h e d e r i v a t i o n o f t h e a c t u a l c o m p l e x i t y o f e a c h m e t h o d i s t h e n r a t h e r d i c u l t

b e c a u s e o f t h e l a r g e n u m b e r o f c o n s t r a i n t s i n t r o d u c e d . H e n c e , w e h a v e d e c i d e d t o c o m p a r e

t h e m e t h o d s i n t e r m s o f t h e i r c o m p u t a t i o n t i m e d u r i n g t h e s i m u l a t i o n . W e a r e a w a r e t h a t

t h i s i s a n h e u r i s t i c p o i n t o f v i e w b e c a u s e i t d e p e n d s o n t h e p r o g r a m s w e h a v e w r i t t e n , w h i c h

h a v e n o t r e a l l y b e e n o p t i m i z e d f o r c o m p u t a t i o n t i m e . T h i s s t u d y h o w e v e r g i v e s i n d i c a t i o n s

a b o u t t h e P A R r e d u c t i o n t h a t c a n b e a c h i e v e d w i t h a g i v e n c o m p l e x i t y .

W e h a v e i n d i c a t e d i n t a b l e 1 t h e t i m e i n s e c o n d s t h a t h a d b e e n n e c e s s a r y t o c o m p u t e

1 0 0 0 0 P A R r e d u c t i o n i n e a c h m e t h o d ( t h e p r o g r a m s h a v e b e e n w r i t t e n i n M A T L A B ) . T h e

r e s u l t s i n t e r m s o f C C D F a r e r e p o r t e d o n g u r e 8 . T h e p a r a m e t e r s o f e a c h m e t h o d h a v e b e e n

c h o s e n a s :

P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e s

U = 5 s u b - b l o c k s a n d W = 4 a n g l e s ( '

u

2 f 0 ;

2

; ;

3

2

g ) .

1 7


18/22

3 4 5 6 7 8 9 10 11 1210

4

103

102

101

100

PAR0

Prob(PAR(x)>PAR0

)

originalTR : L=3PTS : U=6 W=6TI : L=13

F i g u r e 7 . C o m p a r i s o n o f t h e 3 p r e s e n t e d P A R r e d u c t i o n s c h e m e s w i t h t h e s a m e a m o u n t o f r e d u n d a n c y .

T o n e R e s e r v a t i o n

N o t e t h a t w i t h t h e i t e r a t i v e a l g o r i t h m p r o p o s e d i n s e c t i o n 4 . 1 , t h e c o m p l e x i t y d o e s

n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f r e s e r v e d t o n e s , w h i c h i s n o t t h e c a s e f o r t h e o p t i m u m

e s t i m a t i o n d o n e w i t h t h e L i n e a r P r o g r a m m i n g . F o r a f a i r c o m p a r i s o n , w e h a v e t h e n

d e c i d e d t o c o m p a r e t h e s u b - o p t i m u m i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e t w o o t h e r m e t h o d s w i t h

t h e o p t i m u m i m p l e m e n t a t i o n o f T o n e R e s e r v a t i o n . T h e n u m b e r o f r e s e r v e d t o n e s h a s

b e e n x e d t o L = 1 3 .

T o n e I n j e c t i o n

B e c a u s e o f t h e h i g h c o m p l e x i t y o f t h i s m e t h o d , o n l y L = 3 s h i f t s h a v e b e e n a l l o w e d

p e r O F D M s y m b o l . N o t e t h a t i f w e h a d d e a l t w i t h r e a l v a l u e d O F D M s y m b o l s ( A D S L

c a s e ) , w e w o u l d h a v e c o n s i d e r a l m o s t 4 t i m e s m o r e s h i f t s .

P T S T R T I

T i m e

c o m p u t a t i o n

3 3 4 1 3 4 2 3 4 3 0 4

T a b l e 1 . T i m e c o m p u t a t i o n n e c e s s a r y f o r e a c h P A R r e d u c t i o n m e t h o d . T h e t i m e i s i n d i c a t e d i n

s e c o n d s .

T h e a d d i t i o n a l m e a n p o w e r f o r t h e T R m e t h o d h a s b e e n e s t i m a t e d t o P = 1 1 : 5 %

( P

d B

= 0 : 4 7 d B ) , a n d f o r t h e T I m e t h o d , t h e f o r m u l a ( 1 6 ) g i v e s P = 1 : 8 7 % ( P

d B

=

0 : 0 8 d B ) . C l e a r l y , o n c a n s e e t h a t t h e T o n e R e s e r v a t i o n m e t h o d o u t p e r f o r m s t h e t w o o t h e r s ,

1 8


19/22

w h i c h w a s e x p e c t e d b e c a u s e o f t h e v e r y s m a l l c o m p l e x i t y o f t h i s m e t h o d . T h e P A R r e d u c -

t i o n a c h i e v e m e n t a p p e a r s r e a l l y g o o d , b u t t h i s r e s u l t s h o u l d b e m i t i g a t e d b y t h e a m o u n t o f

r e d u n d a n c y a n d p o w e r a d d e d . T h e p e r f o r m a n c e l o s s o f t h e T I m e t h o d - c o m p a r e d t o g u r e

7 - i s s i m p l y a m a z i n g : t h i s e m p h a s i z e s t h e f a c t t h a t o n e s h o u l d n d m o r e r e l e v a n t m e t h o d

t o c h o o s e t h e s h i f t s i n t h e e x p a n d e d c o n s t e l l a t i o n , b o t h l e s s c o m p u t a t i o n a l y i n t e n s i v e a n d

l e s s r e s t r i c t i v e . T h e m e t h o d o f P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e s i s t h e o n e w h i c h e x h i b i t s t h e l e s s

c h a n g e s b e t w e e n g u r e 7 a n d g u r e 8 .

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

103

102

101

100

PAR0

Prob(PAR(x

)>PAR0

)

originalTR : L=13PTS : U=5 W=4TI : L=3

F i g u r e 8 . C o m p a r i s o n o f t h e 3 P A R r e d u c t i o n s c h e m e s w i t h t h e s a m e c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r .

5 . 3 C o n t i n u o u s P A R r e d u c t i o n v e r s u s d i s c r e t e P A R r e d u c t i o n

A s a l r e a d y d i s c u s s e d i n t h i s r e p o r t a n d i n T e l l 9 8 , T e l l 9 8 b ] , t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o v a l u e

i s i m p o r t a n t a t t h e i n p u t o f t h e a m p l i e r , w h i c h l i e s i n t h e a n a l o g p a r t o f t h e t r a n s m i t t e r . I n

f a c t , t h e v a l u e o f t h e P A R i n t h e a n a l o g d o m a i n ( C o n t i n u o u s P A R : C - P A R ) i s l a r g e r t h a n i t s

c o r r e s p o n d i n g v a l u e i n t h e d i s c r e t e d o m a i n ( D i s c r e t e P A R : D - P A R ) . M o r e i m p o r t a n t l y , t h e

m e t h o d s d e s c r i b e d h e r e r e l y o n c r i t e r i a t h a t h a v e b e e n c o n s i d e r e d f o r t h e D - P A R , a n d t h e i r

a c t u a l a b i l i t y t o r e d u c e t h e C - P A R m i g h t b e d i s c u t a b l e . I n T e l l 9 8 ] , t h e a u t h o r i n t r o d u c e s a

c o m p e t i t i v e o p t i m i z a t i o n c r i t e r i o n f o r t h e P T S m e t h o d , b a s e d o n t h e m i n i m i z a t i o n o f a p e r i o d i c

c o r r e l a t i o n b e t w e e n s u b - b l o c k s . I t i s s h o w n t h a t t h e u s e o f t h i s c r i t e r i o n a c h i e v e s m o r e C -

P A R r e d u c t i o n d e s p i t e t h e f a c t t h a t l e s s D - P A R r e d u c t i o n h a s b e e n f o u n d . H o w e v e r , t h e

c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h i s n e w c r i t e r i o n i s e v e n l a r g e r t h a n t h e o n e p r o p o s e d b y M u l l e r

& a l . , a n d i t s p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n r e m a i n s a c h a l l e n g e . I n T e l l 9 8 b ] , t h e a u t h o r s a d v i c e

u s i n g t h e i r m e t h o d s a t a h i g h e r r a t e ( 2 t i m e s t h e N y q u i s t r a t e ) t o i n c r e a s e t h e p e r f o r m a n c e

1 9


20/22

o n t h e C - P A R w h i l e t h e a c h i e v a b l e D - P A R r e d u c t i o n r e m a i n s u n c h a n g e d . T h i s i s n a t u r a l l y

a t t h e c o s t o f i n c r e a s e d c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r .

T h e o p t i m i z a t i o n o f e a c h m e t h o d r e g a r d i n g t h e C - P A R i s n o t t h e p u r p o s e o f t h i s r e p o r t ,

a n d w e h a v e d e c i d e d t o s i m p l y q u a n t i f y t h e l o s s o f C - P A R r e d u c t i o n w h e n D - P A R c r i t e r i a a r e

u s e d . W e h a v e d r a w n , i n d o t t e d l i n e s , o n g u r e 9 t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y t h e t h r e e m e t h o d s

i n t h e c o n g u r a t i o n o f g u r e 7 , a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g C o n t i n u o u s P A R r e d u c t i o n i n s o l i d

l i n e s . T h e c o n t i n u o u s P A R h a s b e e n s i m u l a t e d w i t h a n o v e r s a m p l i n g b y a f a c t o r o f 4 a t t h e

o u t p u t o f t h e p a r a l l e l t o s e r i a l c o n v e r t e r .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 1310

4

103

102

101

100

PAR0

Prob(PAR(x)>PA

R0

)

DPAR: originalCPAR: originalTR: L=3PTS: U=6 W=6TI: L=13

F i g u r e 9 . C o m p a r i s o n o f P A R r e d u c t i o n f o r t h e 3 m e t h o d s . T h e d o t t e d l i n e s r e p r e s e n t d i g i t a l m e a s u r e

o f t h e P A R a n d t h e s o l i d l i n e s r e p r e s e n t a n a l o g ( o v e r - s a m p l e d ) m e a s u r e o f t h e P A R .

W e c a n s e e t h a t w h e r e a s t h e P A R o f a n O F D M s y m b o l w i t h o u t c o d i n g i n c r e a s e s o n l y b y

l e s s t h a n 0 : 5 d B w h e n m e a s u r i n g t h e c o n t i n u o u s P A R i n s t e a d o f t h e d i s c r e t e P A R , t h e e e c t

o n t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e s i s m u c h m o r e d i s a s t r o u s . E a c h m e t h o d p e r f o r m s w o r s e o n C - P A R

r e d u c t i o n b y m o r e t h a n 3 d B c o m p a r e d t o t h e D - P A R r e d u c t i o n . T h i s s h o w s t h e n e c e s s i t y o f

c o n s i d e r i n g t e c h n i q u e s t h a t u s e t h e C - P A R a s a c r i t e r i o n r a t h e r t h a n t h e D - P A R . A l o t o f

w o r k i s s t i l l t o b e d o n e , e i t h e r t o a d a p t t h e e x i s t i n g t e c h n i q u e s , o r t o n d o t h e r c r i t e r i a a n d

m e t h o d s b a s e d o n t h e a n a l o g O F D M s i g n a l .

r e m a r k

T h e s h a p e o f t h e l i n e a r p u l s e l t e r s h o u l d a l s o b e c o n s i d e r e d s i n c e t h i s l t e r o p e r a t e s b e f o r e

t h e n o n l i n e a r a m p l i e r . W e h a v e n o t c o n s i d e r e d i t s e e c t i n o u r s i m u l a t i o n s .

2 0


21/22

6 C o n c l u s i o n

I n t h i s r e p o t r , w e h a v e c o m p a r e d 3 d i e r e n t m e t h o d s f o r r e d u c i n g t h e P A R o f O F D M / D M T

m o d u l a t e d t r a n s m i s s i o n s . R e d u c i n g t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o a t t h e t r a n s m i t t e r a l l o w t h e

n o n l i n e a r a m p l i e r s t o o p e r a t e a t a h i g h e r i n p u t b a c k o a n d / o r r e d u c e t h e d i s t o r s i o n s t h a t

c o u l d i n t r o d u c e i n t e r - c a r r i e r i n t e r f e r e n c e a n d t h e r e b y i n c r e a s e t h e s y m b o l e r r o r r a t e a t t h e

r e c e i v e r . O t h e r t e c h n i q u e s b a s e d o n a m o d e l f o r t h e n o n l i n e a r i t y d e s c r i b i n g t h e a m p l i e r s w i l l

b e r e p o r t e d i n a f u t u r e c o n t r i b u t i o n D e c l 9 9 b ] .

A f t e r r e c a l l i n g t h e m a i n f e a t u r e s o f O F D M / D M T m o d u l a t o r a n d d e m o d u l a t o r , w e f o c u s e d

o n t h e s t u d y o f t h e P e a k t o A v e r a g e R a t i o , a n d s h o w e d t h e e e c t o f t h e c l i p p i n g n o i s e g e n e r a t e d

b y t h e h i g h p o w e r a m p l i e r t o t h e s y m b o l e r r o r r a t e a t t h e r e c e i v e r b y g i v i n g t h e c l o s e d f o r m

o f t h e S N R i n p r e s e n c e o f t h i s c l i p p i n g n o i s e .

T h r e e m e t h o d s a i m i n g t o r e d u c e t h e P A R i n O F D M t r a n s m i s s i o n s h a v e t h e n b e e n p r e -

s e n t e d : t h e T o n e R e s e r v a t i o n ( T R ) , t h e P a r t i a l T r a n s m i t S e q u e n c e s ( P T S ) a n d t h e T o n e

I n j e c t i o n ( T I ) .

T h e y h a v e b e e n c o m p a r e d t h r o u g h t h o r o u g h s i m u l a t i o n s . W e h a v e c o m p a r e d t h e 3 m e t h o d s

w h e n t h e s a m e a m o u n t o f ( i ) r e d u n d a n c y a n d ( i i ) c o m p l e x i t y w a s a l l o w e d . T h e b e s t m e t h o d i n

t e r m s o f c o m p l e x i t y i s T R w h e r e a s t h e b e s t i n t e r m s o f r e d u n d a n c y i s T I - w h i c h c o r r o b o r a t e

t h e p r e v i o u s r e m a r k s . A s a n a l c o n c l u s i o n w e w i l l t r y t o g i v e o u r o p i n i o n o n t h e d i e r e n t

c a p a b i l i t i e s o f e a c h m e t h o d .

T h e T R m e t h o d h a s t h e o n l y a d v a n t a g e o f a v e r y l o w c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r .

T h e e x t r a r e d u n d a n c y a n d a v e r a g e p o w e r r e q u i r e d f o r l a r g e P A R r e d u c t i o n i s t o o m a j o r

a d r a w b a c k f o r t h a t m e t h o d t o b e a d v i s e d . O n e c a n l i m i t t h o s e i n c r e a s e s b y s e l e c t i n g

o n l y a s m a l l n u m b e r o f c o d e - t o n e s a n d a d d i n g a p o w e r c o n s t r a i n t t o t h e o p t i m i z a t i o n

c r i t e r i o n , b u t t h i s w o u l d r e s u l t i n a l o w e r P A R r e d u c t i o n .

R e g a r d i n g t h e P T S m e t h o d , i t h a s b e e n s h o w n , i n t h e c i t e d p a p e r s , t h a t w e n e a r l y

a c h i e v e t h e m a x i m u m P A R r e d u c t i o n b y s e l e c t i n g o n l y a f e w b l o c k s a n d t a k i n g o n l y a

f e w a l l o w e d v a l u e s f o r t h e r o t a t i o n a n g l e s . H e n c e , i f w e t a k e a l o o k a t t h e r e s u l t s , t h i s

m e t h o d s e e m s t o b e l i m i t e d c o m p a r e d t o t h e 2 o t h e r s . H o w e v e r , t h e r e s t r i c t i o n t o a

n i t e a l p h a b e t f o r t h e p o s s i b l e v a l u e s o f t h e a n g l e s c o u l d b e a t o o r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n

t o o p t i m i z e t h e a n g l e v a l u e s .

T h e T I m e t h o d i s v e r y p r o m i s i n g , m a i n l y b e c a u s e i t r e q u i r e s n o s i d e i n f o r m a t i o n , a

r e a s o n a b l e i n c r e a s e d a v e r a g e p o w e r a n d a s i m p l e d e c o d i n g t e c h n i q u e . T h e o n l y p r o b l e m

i s t h e c o m p l e x i t y a t t h e t r a n s m i t t e r . T h i s c o m p l e x i t y c a n b e c o m e a c c e p t a b l e w h e n s m a l l

i n p u t c o n s t e l l a t i o n s a r e c o n s i d e r e d , a n d w h e n t r a n s m i t t i n g a l o n g t h e A D S L c h a n n e l ,

t h e r e a l v a l u e d p r o p e r t y o f t h e O F D M o w s i m p l i f y i n g t h e c h o i c e o f t h e s h i f t s . T h e

g o o d r e s u l t s f o u n d s h o u l d e n c o u r

Peak to Average Ratio Reduction for Multicarrier Transmission a Review

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