Path Integrals in Quantum Mechanics

Padintegralen in de kwantummechanica: tunnelingen instantonen

Ramses de Norre & Sam Roelants

12 juli 2013

Abstract

In this paper we use Feynman’s path integrals and the concept of instantons to cal-culate transmission amplitudes and energy levels in systems with tunneling. Our maingoal is to uncover shortcomings of perturbation theory. To get started we will give a briefintroduction to the basic concepts of the path integral formalism and calculate propa-gators for a free particle and the harmonic oscillator. Next we will examine a perturbedquadratic potential and show the impossibility of the system to have a bound state, whichcan’t be done perturbatively. Last but not least we will calculate the propagator and en-ergylevels of the double well potential using instantons and we will again retrieve a non-perturbative phenomenon, the non-degeneracy of the groundstate and corrections to thegroundenergy.

1

INHOUDSOPGAVE 2

Inhoudsopgave

Inleiding 3

1 Het padintegraal formalisme in de kwantummechanica 31.1 Korte inleiding tot het formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Imaginaire tijd propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Het vrije deeltje met behulp van padintegratie. 72.1 Factorisatie van de padintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Uitrekenen van de padintegraal over de fluctuaties . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Alles tesamen: de totale propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 De propagator volgens het ‘klassieke’ formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 De Harmonische Oscillator 113.1 De padintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 De klassieke actie, propagator en conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Een cubische potentiaal 144.1 De methode van Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Actie van het klassieke pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Tunneling als niet-perturbatief effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 De Mexicaanse hoed potentiaal 185.1 De bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Instantonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 De transitieamplitude met padintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Golffuncties en energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Conclusie 24

Lijst van figuren

1 de potentiaal mω2x2/2 + λx3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Het pad van een deeltje dat uit stilstand vertrekt in 0 op τ = −∞ . . . . . . . 173 de potentiaal (x2 − a2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 De bewegingsvergelijking voor een deeltje dat vertrekt in −a op τ = −∞ . . . 195 Het instanton als energiepakket in de imaginaire tijd . . . . . . . . . . . . . . . 206 Een voorbeeld van een instanton-anti-instanton quasi-oplossing . . . . . . . . . 21

1 HET PADINTEGRAAL FORMALISME IN DE KWANTUMMECHANICA 3

Inleiding

Net zoals de klassieke mechanica kan beschreven worden in zowel het Hamiltoniaans alshet Lagrangiaans formalisme, is het mogelijk de kwantummechanica te formuleren volgenszowel het Schrödinger als het padintegralen formalisme. Klassieke mechanica en kwantum-mechanica zijn nauw verbonden, de Hamiltoniaanse en Schrödinger-formulering enerzijds,de Lagrangiaanse en padintegralen formulering anderzijds. Toch wordt in de kwantum-mechanica meestal de voorkeur gegeven aan de Schrödinger-methode van oplossen, waarmen op zoek gaat naar eigenfuncties van de Hamiltoniaan om het systeem mee te beschrij-ven. Deze voorkeur bestaat vooral doordat de berekeningen met padintegralen meestalnogal zwaar zijn, waar de Schrödingervergelijking eenvoudigere oplossingsmethoden toe-laat. Toch is de padintegralen formulering van Feynman een hoeksteen van de kwantum-mechanica, al is het maar om haar esthetische indruk qua interpretatie. Ook verkrijgen weuit dit formalisme zonder enige moeite het klassieke principe van minimale actie, wat uitde andere beschrijvingen van de kwantummechanica helemaal geen triviaal gevolg is.

We zullen in dit verslag concreet te werk gaan met padintegralen en illustreren welketechnieken doorgaans gebruikt worden bij het oplossen van alledaagse problemen in dekwantummechanica. Vervolgens zullen we deze technieken gebruiken om het fenomeenvan tunneling te beschrijven. Tunneling is een zogenaamd niet-perturbatief effect, dat metde vaak toegepaste perturbatietheorie niet teruggevonden wordt. We zullen dus enigzinsde tekortkomingen van perturbatietheorie aanhalen door tunneling uit te rekenen met dealternatieve padintegratie methode.

1 Het padintegraal formalisme in de kwantummechanica

De kwantummechanica wordt in hoofdzaak geformuleerd in het Schrödinger formalisme,dit is een generalisering van de Hamilton formulering van de klassieke mechanica. Menkan echter ook vertrekken van het Lagrange formalisme en dit is precies wat Feynman in dejaren veertig met de padintegralen heeft gedaan. Dit formalisme, dat in de meeste gevallengeen exacte berekeningen toelaat, geeft een directe methode om propagatoren te vinden.Het geeft tevens meer inzicht in de emergentie van de klassieke mechanica uit de kwan-tummechanica.

1.1 Korte inleiding tot het formalisme

We beginnen met het geval van een deeltje in één dimensie met een potentiaal V , de Hamil-toniaan wordt dan gegeven door

H =p2

2m+ V (x).

Zijn |xi〉 de eigentoestanden van de positie operator x en stel dat we een deeltje hebben intoestand |x0〉 = |ψ(0)〉, we willen de kans kennen om het deeltje te vinden in een anderetoestand |x′〉 op een bepaald tijdstip T . Deze kans vinden we met de amplitude 〈x′|ψ(T )〉 ≡K(x′, T ;x0, 0) = 〈x′| exp(−iHT/~)|x0〉, dit object K noemt met de propagator van (|x0〉, 0)naar (|x′〉, T ).

Met de sluitingsoperator

O ≡∫

dx |x〉〈x| = 1,


waarbij de |x〉 een volledige basis vormen, kunnen we de bovenstaande propagator her-schrijven als

K(x′, T ;x0, 0) = 〈x′| exp(−iH(T − t1)/~) exp(−iHt1/~)|x0〉

= 〈x′|e−iH(T−t1)/~∫

dx1 |x1〉〈x1|e−iHt1/~|x0〉

=

∫dx1K(x′, T ;x1, t1)K(x1, t1;x0, 0). (1)

In deze regel herkennen we de intuïtie dat wanneer een deeltje via meerdere paden vanzijn begintoestand naar zijn eindtoestand kan evolueren, de totale kans om het deeltje inde eindtoestand te vinden gelijk is aan de som van de kansen van alle mogelijke paden.De toestand |x1〉 is dan de toestand van het deeltje op het tussenliggende tijdstip t1 en weintegreren over alle mogelijke |x1〉.

We drijven de opdeling van de propagator verder door en verdelen het tijdsinterval T inN intervallen met breedte ∆ = T/N . Zo krijgen we

K(x′, T ;x0, 0) = 〈x′|(e−iH∆/~

)N|x0〉,

wederom kunnen we tussen elke twee exponentiëlen een factor∫dx1 |x1〉〈x1| = 1

plaatsen en zodoende vinden we dat

K(x′, T ;x0, 0) =

∫ N−1∏j=1

dxj 〈x′|e−iH∆/~|xN−1〉〈xN−1|e−iH∆/~|xN−2〉 · · ·

· · · 〈x2|e−iH∆/~|x1〉〈x1|e−iH∆/~|x0〉

≡∫ N−1∏

j=1

dxj Kx′,xN−1KxN−1,xN−2

· · ·Kx2,x1Kx1,x0

.

Vergelijk deze laatste vergelijking met (1), we interpreteren dit resultaat op dezelfde maniermet N − 1 intermediaire tijdstippen (merk op dat er niet geïntegreerd wordt over x′ en x0).

We hebben nu een uitdrukking voor de propagatorK(x′, T ;x0, 0) als een som (integraal)over alle paden bestaande uit N delen. Wanneer we nu de limiet N → ∞ nemen, krijgenwe dat

K(x′, T ;x0, 0) =∑{x(t)}

Kx(t), (2)

met ∑{x(t)}

= limN→∞

∫ N−1∏j=1

dxj en Kx(t) = Kx′,xN−1KxN−1,xN−2

· · ·Kx1,x0 ,

m.a.w. de propagator tussen twee toestanden is gelijk aan de som van de propagatoren vanalle mogelijke paden tussen deze twee punten. Dit is de padintegraal die ons zal toelatenom heel wat problemen op te lossen.

We bekijken nu een enkel pad en de propagator Kxj+1,xj van dit pad, met de sluitings-operator over de momentumbasis hebben we dat

Kxj+1,xj= 〈xj+1|e−iH∆/~|xj〉

=

∫dpj 〈xj+1|pj〉〈pj |e−iH∆/~|xj〉.


Daar ∆ klein is kunnen we schrijven dat

〈pj |e−iH∆/~|xj〉 = exp

(−i∆~

(p2j

2m+ V (xj)

))〈pj |x〉+O(∆2).

De O(∆2) termen bevatten de contributies in termen van de commutator van p en V (x),maar daar ∆ in onze limiet infinitesimaal klein wordt, zullen we deze termen negeren (erkan expliciet nagegaan worden dat dit een goede benadering geeft, zie ondermeer [1], maardie analyse laten we hier achterwege). Als eindresultaat hebben we dan dat

〈xj+1|e−iH∆/~|xj〉 =

∫dpj2π~

(exp

(−i∆~

(p2j

2m+ V (xj)

))· eipj(xj+1−xj)/~

),

waarin we gebruikt hebben dat

〈x|p〉 =1√2π~

exp(ipx/~).

Voor een volledig pad krijgen we dus, als we x′ = xN nemen,

Kx(t) =

N−1∏j=0

Kxj+1,xj

=

∫ N−1∏j=0

dpj2π~

exp

(−i∆~

(p2j

2m+ V (xj)

))eipj(xj+1−xj)/~.

Daar we de limiet ∆→ 0 beschouwen, hebben we datxj+1 − xj

∆= xj en zodoende dat

Kx(t) =

∫ N−1∏j=0

dpj2π~

exp

(−i∆~

(p2j

2m+ V (xj)− pxj

)).

Het is duidelijk dat deze integraal factoriseert en we kunnen hem exact uitrekenen,

Kx(t) =

N−1∏j=0

∫dpj2π~

exp

(−i∆~

(p2j

2m+ V (xj)− pxj

))

=

N−1∏j=0

1

2π~e−i∆V (xj)/~

∫dpj exp

(−i∆~

(p2j

2m− pxj

))

=

N−1∏j=0

1

2π~e−i∆V (xj)/~

√2π~mi∆

exp

(i∆

~mx2

j

2

)

=

N−1∏j=0

√m

2π~i∆exp

{i∆

~

(mx2

j

2− V (xj)

)}

=

N−1∏j=0

√m

2π~i∆exp

(i∆

~L(xj , xj)

).

In orde ∆ hebben we dat

L(xj , xj)∆ ≈∫ ∆

0

dtL(xj , xj) ≡ S(xj+1, xj),


met S(xj+1, xj) de actie van het pad tussen de twee punten xj+1 en xj . We hebben nu allesom de totale padintegraal op te stellen, we noteren

√2π~i∆/m = A en teruggrijpend naar

vergelijking (2) hebben we voor de volledige propagator

K(x′, T ;x0, 0) = lim∆→0

∫ N−1∏j=1

dxj1

ANexp

(i

N−1∑k=0

S(xk+1, xk)/~

)

= lim∆→0

1

A

∫ N−1∏j=1

dxjA

exp(iS[x(t)]/~) (3)

≡∫D[x(t)] exp(iS[x(t)]/~), (4)

waarin D[x(t)] onze maat is over de ruimte van paden, de integraal dient geïnterpreteerdte worden als “integreer over alle paden die x0 en x′ verbinden in een tijdsinterval T”, wezullen grenzen aangeven wanneer hier verwarring over kan bestaan.

Wanneer we formule (4) goed bekijken, zien we dat elk pad een gewicht met moduluséén krijgt, enkel de fase verschilt van pad tot pad. Dit lijkt vreemd, we zouden immers hetklassieke pad moeten terugvinden in de klassieke limiet, maar hier is a priori geen enkeleaanduiding voor. We kunnen echter al heuristisch beargumenteren waarom dit toch zalwerken. Beschouw even in plaats van het continuum aan paden waarover geïntegreerdwordt, een discrete verzameling van paden. We krijgen dan een som over al deze paden∑

{x(t)}

exp(iS[x(t)]/~),

daar elk pad een andere actie heeft, zullen de contributies van verschillende paden elkaaropheffen, behalve daar waar de actie stationair wordt. Maar het pad waar S stationairwordt, is precies het klassieke pad! Met andere woorden, de enige paden die echt bijdragentot de som zijn deze in de buurt van het klassieke pad. Men kan deze argumentatie sterkermaken en aantonen dat het padintegraal formalisme volledig equivalent is aan Schrödingersgolfmechanica en de formulering in termen van Hilbertruimten, tevens kan men preciezerde hierboven aangegeven emergentie van klassieke mechanica uit de kwantummechanicalaten zien, voor beide verwijzen we naar hoofdstukken 8 en 21 van het boek van R. Shankar[2].

1.2 Imaginaire tijd propagator

Beschouw de imaginaire tijd propagator

K(τ) = exp

(−1

~Hτ

)die we bekomen door t = −iτ te nemen in de gebruikelijke propagator die we introduceer-den in het begin van sectie 1.1. De Schrödingervergelijking die de tijdsevolutie volgens dezepropagator beschrijft, luidt

−~ d

dτ|ψ(t)〉 = H|ψ(τ)〉.

Hierin moet men voornamelijk opmerken dat de Hamiltoniaan ongewijzigd is, de ener-gieniveaus en -waarden in onze beschrijving in imaginaire tijd zijn exact dezelfde als diewanneer we onze beschrijving zouden voeren in reguliere, reële tijd. Deze bemerking zalcruciaal zijn voor onze behandeling van tunneling met behulp van padintegralen.

2 HET VRIJE DEELTJE MET BEHULP VAN PADINTEGRATIE. 7

We kunnen heel de afleiding van sectie 1.1 herhalen met onze nieuwe propagator, heteindresultaat zou luiden:

〈xN |K(τ)|x0〉 =

∫D[x(t)] exp

(−1

~

∫ τ

0

dτ LE(x, x)

),

met ∫D[x(t)] = lim

∆→0

1

A

∫ N−1∏j=1

dxjA, A−1 =

√2π~∆/m, ∆ = τ/N

enLE =

mx

2+ V (x).

Let wel op, x is nu de tijdsafgeleide van x naar de imaginaire tijd. LE wordt de EuclidischeLagrangiaan genoemd. De term “Euclidisch” wijst erop dat onze ruimtetijd zich nu aldusgedraagt, de (−,+,+,+) signatuur van de Minkowski-metriek wordt de gewone Euclidi-sche (+,+,+,+) signatuur. Uit de vorm van de Lagrangiaan, het plusteken in plaats vanhet gewoonlijke minteken voor de potentiële energie, zien we ook dat een deeltje, beschre-ven in imaginaire tijd, de potentiaal ondersteboven ziet. Het pad dat het volgt, datgene datSE extremalisteert, is immers het pad dat een deeltje in de gewone tijd zou volgen indienhet zich in een potentiaal −V zou bevinden. Dit gegeven zal ons toelaten om tunneling tebeschrijven. We merken ook op dat de energie in imaginaire tijd gegeven wordt door

E =mx2

2− V (x).

Ten slotte is het belangrijk op te merken dat de operator

K(τ) = exp

(−1

~Hτ

)niet unitair maar hermitisch is. Dit heeft als gevolg dat de norm van een toestand nietbewaard blijft bij tijdsevolutie, maar exponentieel zal afvallen. Immers, veronderstellen weeven dat bij het systeem een discrete set van eigenfuncties |n〉 van de Hamiltoniaan bestaat,dan kunnen we een willekeurige toestand |ψ(τ)〉 uitschrijven in deze basis als

|ψ(τ)〉 = e−Hτ/~∑n

|n〉〈n|ψ(0)〉 =∑n

〈n|ψ(0)〉 e−Enτ/~,

het is dan duidelijk dat de tijdsevolutie in imaginaire tijd maakt dat de golffunctie uitdooften dat naarmate de tijd toeneemt de toestanden bij lage energie (met name de grondtoe-stand) de enige relevante bijdrage zullen leveren. We noemen deze toestanden de leadingorder termen en ze geven een handige manier om een schatting te maken van de grondtoe-stand van een systeem.

2 Het vrije deeltje met behulp van padintegratie.

Om wat vertrouwd te worden met de nogal lastige berekeningen in dit formalisme kunnenwe eens concreet de evolutie van een eenvoudig systeem berekenen: dat van een vrij deeltje.Er zullen enkele essentiële technieken aan bod komen die steeds terug keren bij het bereke-nen van padintegralen. Het probleem is eenvoudig: we meten een deeltje op positie x optijdstip t = 0, vrij van krachten. Wat is de kans dat we dit deeltje een tijd T later op positiex′ vinden? Dit komt neer op het vinden van de amplitude 〈x′|ψ(T )〉 = 〈x′|e−iHT/~|x〉 =∫D[x] eiS[x]/~.


2.1 Factorisatie van de padintegraal

Eerst en vooral kunnen we ons probleem wat herschrijven. We kunnen de actie S[x(t)]schrijven als een reeksontwikkeling rond een specifiek pad dat we reeds kennen: het klas-sieke pad xcl dat we vinden met behulp van de klassieke mechanica,

S[x(t)] = S[xcl(t) + η(t)]

= S[xcl] +

∫dt1

δS

δη(t1)

∣∣∣∣xcl

· η(t1)

+1

2

∫dt1dt2

δ2S

δη(t1)δη(t2)

∣∣∣∣xcl

· η(t1)η(t2) + · · · (5)

hierbij merken we meteen op dat de tweede (lineaire) term in deze ontwikkeling per con-structie 0 is, omdat xcl precies het pad is dat S extremaliseert!

Voor de actie van een vrij deeltje kunnen we deze ontwikkeling exact uitrekenen:i

S[xcl + η(t)] =

∫m(xcl + η)2

2dt

=

∫mx2

cl

2dt+

∫mη2

2dt+

∫mxclη dt, (6)

deze laatste term kunnen we partiëel integreren wat met de randvoorwaarden η(ti) =η(tf ) = 0 geeft dat ∫

mxclη dt = −∫mxclη dt.

Echter, we weten reeds dat de klassieke versnelling xcl van een vrij deeltje 0 is, dus dezeterm valt weg. Dit is precies wat we zonet aanhaalden toen we zeiden dat de lineaire termin onze reeksontwikkeling wegvalt doordat xcl de actie S extremaliseert. Het is niet moeilijkaan te tonen dat voor een actie S[x] die kwadratisch is in x en x de reeksontwikkeling stoptna de 2de-orde term. Onze actie kan dus geschreven worden als

S[x] = S[xcl] + S[η]. (7)

Interessant hier is dat S[xcl] een constant getal is, slechts afhankelijk van de randvoorwaar-den opgelegd op het deeltje. Alle fluctuaties waarover we zullen integreren zitten vervat inS[η].

Voor het vrij deeltje (en elk ander probleem met een kwadratische actie) factoriseert onzepadintegraal: ∫

D[x] eiS[x]/~ = eiS[xcl]/~∫D[η] eiS[η]/~. (8)

Het klassieke gedrag van het deeltje zit dan vervat in de eerste factor, terwijl alle kwantu-meffecten in de padintegraal over de fluctuaties zitten.

Als laatste valt dan nog op te merken dat ook wanneer de actie van hogere graad is, deklassieke actie voorop zal komen te staan, maar dan dan zal de padintegraal zelf niet meerte schrijven zijn als eenvoudige integraal over de actie van de fluctuaties.

2.2 Uitrekenen van de padintegraal over de fluctuaties

De padintegraal kan rechttoe rechtaan berekend worden door de actie te discretiseren envervolgens alle integraties uit te voeren. Dit is echter nogal stompzinnig rekenwerk en is

iWe laten de integratiegrenzen in de actie weg wanneer deze evident of irrelevant zijn.


niet al te elegant. We zullen hier een elegantere en vooral eenvoudigere manier toepassen.Het berekenen van de padintegraal over alle paden komt essentiëel neer op het integrerenover alle fluctuaties:∫

D[η(t)] e−iS[η]/~ = lim∆→0

( m

2πi~∆

)N/2 ∫ N−1∏k=1

dηk exp

i

~

N−1∑j=0

m

2∆(ηj+1 − ηj)2

, (9)

waarbij ∆ ≡ T/N . De padintegraal bevat een hele reeks gekoppelde Gaussische integran-den (met kruistermen xj+1xj). Indien we deze ontkoppelen, kunnen we de integralen uitelkaar halen en over elke exponentiëlen integreren. Definiëren we

η ≡

η1

η2

...ηN−2

ηN−1

en A ≡

2 −1 0 0 · · · 0−1 2 −1 0 · · · 00 −1 2 −1 · · · 0...

......

.... . .

0 0 · · · 0 −1 2

,

dan is het eenvoudig in te zien dat we de gediscretiseerde actie verkort kunnen noteren als

N−1∑j=0

m

2

((ηj+1 − ηj)

∆

)2

∆ =m

2∆ηTAη. (10)

De matrix A is hermitisch, er bestaat dus een coordinatentransformatie O zodat ηTAη =yTΛy, waarbij Λ de diagonaalmatrix is met de eigenwaarden λj van A op de diagonaalen y = Oη. We kunnen dan overstappen op de nieuwe integratieveranderlijken yj , decomponenten van y. Aangezien O orthogonaal is, is de Jacobiaan die bij deze transformatiehoort 1. Hier wordt onder meer duidelijk waarom het interessant is om over η te integrerenin plaats van over de paden x. Merk ook op dat zonder de randvoorwaarden η0 = ηN = 0we de som niet met een symmetrische matrix zouden kunnen schrijven en deze redeneringin duigen zou vallen. We vinden nu voor onze integraal

∫ N−1∏k=1

dyk exp

im

2~∆

N−1∑j=0

λjy2j

, (11)

en dit is precies de ontkoppelde integraal die we wouden bekomen! We kunnen nu elke in-tegratie afzonderlijk behandelen, het enige dat we hiertoe hoeven te weten, is de Gaussischeintegraal

∫∞−∞ exp(−ax2) dx =

√π/a.ii We krijgen voor de padintegraal (over de fluctuaties)

∫D[η(t)] e−iS[η]/~ = lim

∆→0

( m

2πi~∆

)N/2(2πi~∆

m

)(N−1)/2∏

j

λj

−1/2

. (12)

Het laatste dat ons nog rest te doen, is∏j λj = detA vinden. Maar ook dit is niet heel

moeilijk, de determinant van een n× n-matrix van de tridiagonale vorm van A, noem dezedeterminant an, moet voldoen aan volgende recursierelatie:

an = 2an−1 − an−2. (13)iiHier schuiven we een ernstig probleem onder de mat, wanneer we dit resultaat gebruiken, veronderstellen we

immers dat a een reëel getal is! Er bestaan echter technieken uit de complexe analyse (in het bijzonder complexecontinuatie en Wick-rotaties in het complexe vlak) die maken dat ons resultaat zal opgaan, alsof onze voorfactorreëel was.


We zien dat an = n + 1 een oplossing is van deze vergelijking die tevens voldoet aan debeginvoorwaarden a1 = 2 en a2 = 3. In ons geval is A een (N − 1)× (N − 1)-matrix en duszal detA = N . We vinden dan dat de padintegraal (12) gelijk is aan∫

D[η(t)] e−iS[η]/~ = lim∆→0

( m

2πi~∆N

)1/2

=( m

2πi~T

)1/2

. (14)

2.3 Alles tesamen: de totale propagator

We vinden de amplitude 〈x′|e−iHT/~|x〉 nu als

〈x′|e−iHT/~|x〉 = eiS[xcl]/~∫D[η(t)] e−iS[η]/~.

Voor de tweede factor, de padintegraal, hebben we reeds een gesloten uitdrukking gevon-den. Onze laatste taak is de klassieke actie S[xcl] vinden en het geheel samen te voegen. Hetpad xcl is een zeer eenvoudig pad en wordt gegeven door

xcl(t) = x+x′ − xT

t, (15)

we vinden meteen dat xcl = (x′ − x)/T en dus is

S[xcl] =

∫ T

0

m(x′ − x)2

2T 2dt =

m(x′ − x)2

2T.

Nu kunnen we eindelijk de volledige uitdrukking voor 〈x′|e−iHT/~|x〉 opschrijven, na-melijk

〈x′|e−iHT/~|x〉 =( m

2πi~T

)−1/2

exp

(im(x′ − x)2

2~T

). (16)

We kennen dus de tijdsevolutie van de begintoestand en in principe is het volledige systeemhiermee besproken. Met de propagator kunnen we immers voor een willekeurige begintoe-stand |ψ(0)〉 elke latere toestand |ψ(t)〉 vinden als

ψ(x′, t) = 〈x′|e−iHt/~|ψ(0)〉

=

∫dx 〈x′|e−iHT/~|x〉〈x|ψ(0)〉. (17)

2.4 De propagator volgens het ‘klassieke’ formalisme

We kunnen ons resultaat controleren door de propagator op de ‘klassieke’ manier te bere-kenen. Met klassiek bedoelen we hier natuurlijk de vertrouwde manier in het Schrödingerformalisme. We hebben dat

〈x′|e−iHT/~|x〉 =

∫dp

2π~〈x′|e−iHT/~|p〉〈p|x〉

=

∫dp

2π~exp

(− i~

(p2T

2m− (x′ − x)p

))=( m

2πi~T

)1/2

exp

(im(x′ − x)2

2T~

),

waarbij we in de laatste stap opnieuw een Gaussische integraal hebben geëvalueerd.iii Wevinden zoals verwacht precies dezelfde uitdrukking voor onze propagator.

iiiEen andere manier om deze integraal de behandelen is als de Fouriertransformatie van een Gaussische, watinderdaad opnieuw van de Gaussische vorm van (14) is.

3 DE HARMONISCHE OSCILLATOR 11

3 De Harmonische Oscillator

We bekijken nu een interessanter probleem, dat van de harmonische oscillator, in het lichtvan de technieken die we net hebben geleerd. De potentiaal in kwestie is goed gekend als

V (x) =1

2mω2x2. Dit probleem is reeds volledig opgelost volgens de Schrödinger-methode,

maar de manier van oplossen vraagt toch enige zorg, hetzij oplossen door middel van eenreeksontwikkelling, hetzij met behulp van Dirac’s ladderoperatoren. De padintegratie vanFeynman levert een derde manier om het systeem te beschrijven en vereist enigzins eenvou-digere wiskunde. We merken op voorhand reeds op dat de actie die hoort bij dit systeemkwadratisch is in x en x wat zal maken dat onze factorisatie in sectie 2.1 nog steeds exactzal zijn en dat we Gaussische integralen zullen bekomen, die we exact kunnen uitrekenen.Wanneer de actie van hogere graad is, is een exacte oplossing onmogelijk.

3.1 De padintegraal

We maken er een gewoonte van om met “de padintegraal” de integraal over de fluctuatieste beduiden, waarin de klassieke actie geen rol speelt. We gaan de actie-integraal niet langerdiscretiseren, maar als continu behandelen:

S[η] =

∫ T

0

L(η, η) dt =

∫ T

0

mη2

2− mω2

2η2 dt.

Partiële integratie van de eerste term in de integrand geeft

S[η] =

∫−mη

2η − mω2

2η2 dt =

m

2

∫η

(− d2

dt2− ω2

)η dt, (18)

waarbij we reeds een verband beginnen te zien met de oplossingswijze van het vrije deeltje.Noemen we de operator tussen de haakjes A, dan kunnen we de integrand verkort noterenals ηAη, we hebben precies dezelfde vorm als in (10). We gaan op zoek naar eigenfunctiesvan de operator A, want voor die functies krijgt de actie een heel eenvoudige vorm. Welossen het volgende eigenwaardenprobleem op:

−η − ω2η = λη,

en vinden een basis van orthonormale eigenfuncties

ηn(t) =

√2

Tsin(nπTt)

met bijhorende eigenwaarden

λn =(nπT

)2

− ω2.

We kunnen een willekeurige η(t) nu uitschrijven in deze basis en de actie berekenen:

η(t) =∑n

anηn(t) (19)∫ηAη dt =

∑n

λna2n. (20)

Bij de laatste gelijkheid hebben we uitvoerig gebruik gemaakt van het feit dat de ηn eenorthonormale set vormen.


We herschrijven de padintegraal met deze resultaten tot∫D[η(t)] e−iS[η]/~ =

∫D[η(t)] exp

(im

2~∑n

λna2n

).

Net zoals we in het discrete geval van het vrije deeltje hebben gedaan, voeren we nu een ver-andering van integratievariabelen door. We willen immers integereren over alle an, wantdan staan er ontkoppelde Gaussische functies in de integrand en die kunnen we weeromoplossen. In essentie laten we niet langer η(t) varieren voor elke t, maar zullen we elkemogelijke fluctuatie beschouwen door de Fourier-coëfficiënten van η te laten variëren. DeJacobiaan die bij zulke transformatie hoort is echter niet zo triviaal als in het vorige geval.Hoewel beide basissen waarmee we te maken krijgen (delta-functies enerzijds, sinussen an-derzijds) orthonormaal zijn en bijgevolg de transformatie tussen beiden orthogonaal is, zalde Jacobiaan J 6= 1. Dit komt doordat de maat D[η(t)] op zich slecht gedefiniëerd is enhet overgaan op de nieuwe integratiemaat

∏n dan gepaard gaat met een gepaste normali-

satie onder de vorm van de Jacobiaan, om het geheel netjes gedefiniëerd te houden. Dezenogal heuristische uitleg kan exact gemaakt worden, wat gebeurt in diepgaandere tekstenbetreffende padintegralen en kwadratische acties zoals [1]. Als deze Jacobiaan slechts eennormalisatiefactor is, kan J uit de integraal kan gehaald worden en we vinden∫

D[η(t)]e−iS[η]/~ = J

∫ ∏n

dan exp

(im

2~∑n

λna2n

)

= J∏n

(2πi~m

1

λn

)1/2

. (21)

Opnieuw moeten we∏n λn = detA vinden

∏n

λn =∏n

(n2π2

T 2− ω2

)=∏n

(T 2

n2π2

)∏n

(1− ω2T 2

n2π2

), (22)

hierin herkennen we de goniometrische identiteit voor de cardinale sinus:

sinc(x) =∏n

(1− x2

n2π2

).

Dit alles invullen in (22) geeft dan voor onze padintegraal

J∏n

(2πi~m

1

λn

)1/2

=

(J

sinc(ωT )

∏n

2n2π3i~mT 2

)1/2

=

(J

sinc(ωT )P (T )

)1/2

(23)

met P (T ) ≡∏n

2n2π3i~mT 2

.

Het lijkt alsof onze methode faalt: de factor P (T ) is alles behalve convergent. Dit haddenwe echter reeds zien aankomen en dit is de reden dat de normalisatiefactor J op de proppen


kwam. De tijd is nu gekomen om deze Jacobiaan uit te rekenen. We merken een essentiëleeigenschap van J op, deze Jacobiaan hangt samen met de transformatie naar de nieuweveranderlijken an die horen bij de eigenfuncties ηn en dit alles is onafhankelijk van de hoek-frequentie ω. Bijgevolg moet J onafhankelijk zijn van ω. We kunnen dan wensen dat alsω → 0 we de padintegraal voor een vrij deeltje krijgen, die we reeds hebben berekend insectie 2. Laten we ω naar 0 gaan in (23), dan zal sinc(ωT ) → 1. Maar, dan moet de combi-natie JP (T ) precies de padintegraal (14) geven! We kunnen ons uiteindelijke resultaat voorde padintegraal samenvatten als∫

D[η(t)]e−iS[η]/~ =

(m

2πi~T sinc(ωT )

)1/2

. (24)

3.2 De klassieke actie, propagator en conclusies

Het is een eenvoudige rekenoefening om de klassieke actie te berekenen. We vinden dat

eiS[xcl]/~ = exp

(imω

2~ sin(ωT )

((x′2 + x2) cos(ωT )− 2xx′

)). (25)

De volledige propagator vinden we zoals gewoonlijk:

〈x′|e−iHT/~|x〉 =

(m

2πi~T sinc(ωT )

)1/2

eiS[xcl]/~ , (26)

waarin we meteen zien dat de limiet ω → 0 exact de propagator (16) van een vrij deeltjegeeft, wat we op z’n minst zouden verwachten van onze uitkomst.

Er bestaat dan een vernuftige manier om uit deze propagator informatie als de energie-niveau’s terug te vinden, beschreven in [1]. De energieniveau’s zouden makkelijk te vindenzijn indien we de eigentoestanden van de Hamiltoniaan zouden kennen. Deze zijn ons inhet algemeen echter onbekend en dus moeten we ze proberen te vermijden in onze bere-kening. We kunnen dit als volgt doen: we schrijven de propagator K(x, T ;x, 0) uit in deenergiebasis |n〉 en integreren de golffuncties eruit∫

dx 〈x|e−iHT/~|x〉 =

∫dx∑n

〈x|e−iHT/~|n〉〈n|x〉

=∑n

∫dx |〈x|n〉|2e−iEnT/~ =

∑n

e−iEnT/~. (27)

Hier hebben we de eigentoestanden slim kwijtgespeeld door hun normaliteit te misbruiken.Deze integraal is gemakkelijk uit te rekenen voor de hierboven gevonden propagator en webekomen ∫

dxK(x, T ;x, 0) =1

2i sin(ωT/2). (28)

We willen dit dan in de vorm van (27) krijgen, zodat we de energieniveau’s kunnen aflezendoor te vergelijken. Hiertoe herschrijven we (28) in zijn exponentiële vorm:

1

2i sin(ωT/2)=

1

eiωT/2 − e−iωT/2= e−iωT/2

1

1− e−iωT.

4 EEN CUBISCHE POTENTIAAL 14

Hierin herkennen we de som∑n z

n = 1/(1− z),iv dit invullen geeft

e−iωT/2∑n

e−inωT =∑n

e−i(2n+1)ωT/2. (29)

We kunnen dit rechtstreeks vergelijken met (27) en vinden inderdaad dat

En =

(n+

1

2

)~ω.

4 Een cubische potentiaal

Alvorens we het fenomeen van tunneling grondig bestuderen, bekijken we de basisprinci-pes in het kader van een eenvoudige potentiaal. We zullen zien dat het tunneling-effect watwe noemen niet-perturbatief is. Later zullen we uitleggen wat we hiermee bedoelen.

We nemen de potentiaal

V (x) =1

2mω2x2 + λx3

waarin λ een kleine perturbatie voorstelt, deze wordt getoond in figuur 1(a). We zullendit probleem bespreken in imaginaire tijd, zoals besproken in sectie 1.2. Dit zal aanleidinggeven tot fenomenen die we in de reële tijd niet (het is te zeggen, niet makkelijk) zoudenvinden. Als Euclidische Lagrangiaan hebben we dan

LE =mx2

2+

1

2mω2x2 + λx3

en de energievergelijking is

E =mx2

2− 1

2mω2x2 − λx3. (30)

We zijn nu geïnteresseerd in de kans dat een deeltje in rust op positie x(0) = 0 terechtkomtin x = −a op een tijdstip β, waarbij −a het andere nulpunt van de potentiaal is. Dezekans komt overeen met K2 = |〈−a|e−Hβ/~|0〉|2. Zoals gewoonlijk zullen we zien dat depropagator K evenredig is met de exponentiële van de klassieke actie SclE ≡ SE [xcl]

K ∼ e−SclE /~.

4.1 De methode van Laplace

Wanneer we de padintegraal van dit systeem willen uitrekenen met de methoden die wetot nu toe hebben gebruikt, stuiten we al snel op een probleem: De actie SE is niet langerkwadratisch maar bevat een derde graadsterm. Dit maakt dat de padintegraal niet exactkan uitgerekend worden. Dit is een sterke beperking op de bruikbaarheid van padintegra-tie, maar we zullen een approximatieve techniek gebruiken waarmee we de padintegraalbij benadering kunnen uitrekenen. Hieruit zullen we nog steeds heel wat interessante infor-matie kunnen halen, hoewel de resultaten niet langer exact zullen zijn.

ivDeze stap zou menig bezwaar kunnen opwekken. Deze reeks convergeert strikt gezien immers enkel wanneer|z| < 1. Het is echter mogelijk aan te tonen dat deze reeks convergeert. We kunnen dit bijvoorbeeld aanpakkendoor een contourintegratie in het complexe vlak uit te voeren.


We brengen de methode eerst aan in het kader van de klassieke analyse van functies inéén veranderlijke. Onderstel dat we een functie f hebben met één of meerdere minima. Wewensen de volgende integraal uit te rekenen∫ +∞

−∞e−Mf(x) dx.

Het is duidelijk dat de integrand het grootst zal zijn in de buurt van de minima en zeer snelklein zal worden wanneer we ons weg van deze minima begeven. Voor grote M (bijvoor-beeld van de orde ~−1), zal dit effect des te sterker doorwegen. De methode van Laplace, ookwel de methode van steilste afdaling genaamd, laat ons dan toe deze integraal te benaderen.We weten dat f in deze minima goed benaderd kan worden door een parabool, we vertalendit voor een minimum x0 als

f(x) ≈ f(x0) + f ′′(x0)(x− x0)2/2.

De lineaire term in de reeksontwikkeling verdwijnt uiteraard omdat we ons in een mini-mum bevinden. Indien dit het enige minimum van f is, kunnen we de integraal meteenuitrekenen ∫ +∞

−∞e−Mf(x) dx ≈ e−Mf(x0)

∫ +∞

−∞e−Mf ′′(x0)(x−x0)2/2 dx

= e−Mf(x0)

√2π

Mf ′′(x0).

Het is duidelijk dat de parabolische benadering in het minimum ervoor zorgt dat er enkeleen bijdrage komt van de punten zeer dicht bij het minimum. Als er meerdere minima zijn,kunnen we hierrond ook reeksontwikkelen en zullen de individuele benaderingen niks vande de andere minima merken. We kunnen dus onze methode uitbreiden voor meerdereminima ∫ +∞

−∞e−Mf(x) dx ≈

∑n

e−Mf(xn)

√2π

Mf ′′(xn). (31)

We kunnen dit alles nu toepassen bij onze behandeling van padintegralen. Hier neemtde actie SE de plaats in van de functie f , met de voorfactor M = ~−1. De minima xjworden de paden die SE extremaliseren. We kunnen dan, zonder de exacte veralgemeninguit te werken, schrijven dat∫

D[x] e−SE [x]/~ ≈∑n

e−SE [xn]/~∫D[ηn] e−SE [ηn]/~

=∑n

e−SE [xn]/~J

√π~

detAn, (32)

waar de xn de klassieke oplossingen zijn, de extrema van SE . J is de normalisatiefactor(de Jacobiaan) die tevoorschijn komt bij het integreren van de kwadratische actie. An wordtgegeven door

An =δ2SEδη2

∣∣∣∣xn

= −m d2

dx2

∣∣∣∣xn

+ V (xn).

Omdat deze benadering exact wordt in de ~ → 0 limiet, noemt men dit een semi-klassiekebenadering. Om onze padintegraal te berekenen moeten we dus eerst de paden vinden dieSE extremaliseren.


V

xO

−a

6

-

(a) de potentiaal in reële tijd

V

xO−a

6

-

(b) de potentiaal in imaginaire tijd

Figuur 1: de potentiaal mω2x2/2 + λx3

4.2 Bewegingsvergelijking

We veronderstellen dat de beginsituatie van een deeltje zo is dat het snelheid x = 0 heeft oppositie x = 0. Bijgevolg is de bijhorende energie, die tevens een constante van de bewegingis, nul. We vinden een eenvoudige vergelijking die we oplossen om ons klassieke pad tevinden:

mx2 = mω2x2 + 2λx3

x =√ω2x2 + 2λx3/m,

deze laatste vergelijking is eenvoudig te integreren tot

x(τ) =mω2

2λ

(tanh2

(ωτ2

)− 1). (33)

Waarbij we de integratieconstanten zo kiezen dat x(τf = 0) = −a =mω2

2λ. Deze oplossing

is te zien in figuur 2. Merk op dat de oplossing inderdaad voldoet aan onze verwachtingen.Immers, de enige manier waarop een deeltje vanuit stilstand tot in −a zou kunnen raken,is als het reeds op −∞ vertrekt met een infinitesimale snelheid en ergens op een bepaaldtijdstip (bij ons 0 gekozen) in −a toekomt, waarna het weer terug achteruit rolt naar depositie 0 om daar op τ = ∞ toe te komen. Merk op dat we slechts geïnteresseerd zijn in debeweging tot τf , wanneer het deeltje zich in −a bevindt.

4.3 Actie van het klassieke pad

De actie van het klassieke pad wordt gegeven door

Scl[x(τ)] =

∫ τf

τi

dτ LE(x, x)

=

∫ 0

−∞dτ

mx2

2+ V (x)

=

∫ 0

−∞dτ mx2,


x

τO

−a

6

-

Figuur 2: Het pad van een deeltje dat uit stilstand vertrekt in 0 op τ = −∞

waarbij we in de laatste stap hebben gebruikt dat mx2/2 = V (x) voor onze beweging. Hier-uit volgt tevens dat mx =

√2mV (x). We kunnen de actie dus uitrekenen als∫ 0

−∞dτ mx2 = −

∫ 0

−adxmx

= −∫ 0

−adx√

2mV (x).

Deze integraal is eenvoudig uitgerekend, en geeft ons een concrete waarde voor de actievan

SclE =1

15

m3ω5

λ2.

De waarde van deze actie an sich geeft ons niet veel informatie, aangezien we nog de padin-tegraal moeten berekenen. Deze klassieke actie bevat echter wel genoeg informatie om eenbelangrijk resultaat waar te nemen: het tunnelingsfenomeen is niet-perturbatief.

4.4 Tunneling als niet-perturbatief effect.

Met de actie uit de vorige sectie bekomen we voor de tunnelingsamplitude dat

K ∼ exp

(−m

3ω5

~1

λ2

). (34)

Graag behandelen we kwantummechanische problemen als dit perturbatief. We be-schouwen dan een harmonische oscillator waarop we een kleine verstoring λx3 aanbren-gen, vervolgens berekenen we de correcties op onze harmonische oscillator-oplossing inordes van λ. Nu is het belangrijk op te merken dat de exponentiële in (34) rondom nul geenconvergente Taylor-ontwikkeling heeft! Men kan immers eenvoudig nagaan dat elke expansie-coëfficiënt nul is. Het fenomeen van tunneling is dus duidelijk een effect dat we niet in onzeharmonische oscillator-oplossing kunnen verrekenen met ordecorrecties in λ. We hebben temaken met wat men noemt een niet-perturbatief effect. Indien we de klassieke perturbatieveSchrödinger-aanpak hadden gebruikt en de potentiaal in het minimum als een harmonischeoscillator hadden benaderd, dan had deze potentiaal de afgrond naar −∞ onmogelijk kun-nen voelen. De perturbatieve oplossingen zouden dan doen uitschijnen dat er nog steedsgebonden toestanden mogelijk zijn in de potentiaalput. We zien nu echter dat dit niet zois: er zijn geen gebonden toestanden, een deeltje in de potentiaalput zal na verloop van tijddoor de barrière tunnelen en onherroepelijk naar −∞ bewegen.

5 DE MEXICAANSE HOED POTENTIAAL 18

V

xO−a a

6

-

(a) de potentiaal in reële tijd

V

xO−a a

6

-

(b) de potentiaal in imaginaire tijd

Figuur 3: de potentiaal (x2 − a2)2

5 De Mexicaanse hoed potentiaal

We werken nu met de potentiaal

V (x) = (x2 − a2)2 (35)

die een double-well of mexicaanse hoed potentiaal beschrijft, een voorbeeld is te zien infiguur 3(a). Het doel van deze sectie is om de tunnelingsamplitude van het ene minimum(in reële tijd) naar het andere te vinden en aan te tonen dat het grondenergieniveau nietontaard is, wat men zou kunnen besluiten uit een perturbatieve analyse. We willen metandere woorden aantonen dat er een tunnelingseffect is dat zorgt voor een opsplitsing inenergieniveaus en dat dit resultaat niet kan gevonden worden met perturbatieve correcties.Het verschil met sectie 4 is dat we met deze potentiaal een nieuw fenomeen zullen vinden,het instanton. We gaan in deze sectie opnieuw te werk met de imaginaire-tijdsaanpak, watmaakt dat een deeltje de omgekeerde potentiaal −V zal voelen, zie in Figuur 3(b). We gaanconcreet op zoek naar een uitdrukking voor de tunnelingsamplitudes

〈±a|e−Hβ/~| ± a〉.

Net zoals we in de vorige sectie hebben beargumenteerd, kunnen we opnieuw onze bena-dering volgens de methode van Laplace gebruiken en gaan we op zoek naar de klassiekeoplossingen voor de (imaginaire) bewegingsvergelijking.

5.1 De bewegingsvergelijking

Net als bij de vorige potentiaal gaan we op zoek naar oplossingen die uit stilstand vertrek-ken op één maximum en eindigen op het andere. We hebben de energievergelijking

E =mx2

2− V (x).

en uit onze aanname van een beginsituatie in stilstand volgt opnieuw dat E = 0 in debeide maxima en dus ook over de gehele beweging. We kunnen de bewegingsvergelijkinghiermee eenvoudig afleiden

mx2

2= (x2 − a2)2

x = ±√

2/m (x2 − a2)∫dx

x2 − a2= ±

√2/mτ

xI(τ) = a tanh(√

2/maτ). (36)


x

τO

−a

a

6

-

Figuur 4: De bewegingsvergelijking voor een deeltje dat vertrekt in −a op τ = −∞

Waarbij we in de laatste stap het plusteken gekozen hebben omdat we het deeltje willenlaten beginnen in −a op τ = −∞. Deze oplossing is geplot in Figuur 4. Opnieuw is dezeoplossing conform met wat we verwachten. Opdat het deeltje uit stilstand zou vertrekken,moet het op τ = −∞ vertrekken in−a met infinitesimale snelheid, en zal het pas aankomenin a op tijdstip τ =∞. Het valt meteen op dat de transitie zeer gelokaliseerd is.

5.2 Instantonen

Het is interessant om te kijken naar V (τ), de potentiële energie en dus tevens (op een factorna) de totale energie van het deeltje, in functie van de tijd,

V (τ) = (xI(τ)2 − a2)2

= (a2 tanh2(√

2/maτ)− a2)2

= (a2(tanh2(√

2/maτ)− 1))2

= a4 cosh−4(√

2/maτ).

De (potentiële) energie van het deeltje bezit een sterk in de tijd gelokaliseerde piek, zo-als te zien in figuur 5. Men noemt een dergelijke oplossing een instanton. Het stelt eenenergiepakket voor in imaginaire tijd en zal zich in grote lijnen gedragen als een gewoongolfpakket.

We kunnen xI(τ) benaderen met een exponentiële voor τ → ±∞, we hebben dan

xI(τ) ≈ ± exp(±2√

2/maτ)∓ a als τ → ±∞.

Hieruit kunnen we de breedte dI van het instanton halen als een indringtijd, dit is de tijdwaarop xI nog slechts zo’n 37% (= e−1) van zijn maximum bedraagt. We krijgen dan dat

dI =1

2√

2/ma=

1

2a

√m

2.

Merk op dat deze dI slechts een ruwe schatting geeft voor de breedte van het instanton. Hetis meer bedoeld als een proof of concept, je kan makkelijk een getal nemen van de grootteordevan dI zodat |xI(τ) − a| � 1 wanneer τ � dI . We zullen hier en daar rekenen met dezedI , maar de lezer dient dit kritisch te interpreteren als een tijdstip waarop het instanton als“voorbij” mag beschouwd worden.

Met onze vooropgestelde potentiaal (35) leveren instantonen de enige paden die con-structief bijdragen tot onze padintegraal, zij extremaliseren de actie SE . Echter, als we hetinstanton inderdaad beschouwen als gelokaliseerd rond een tijdstip τ0, zodat |x(τ)− a| = 0als τ � |τ0−dI |, dan kan ons deeltje in principe opnieuw terugspringen via een zogenaamd


V (τ)

τO

6

-

Figuur 5: Het instanton als energiepakket in de imaginaire tijd

anti-instanton. Anti-instantonen vormen de andere oplossing van onze klassieke bewegings-vergelijking en leveren een manier om van a naar−a te bewegen. Merk op dat een dergelijkeinstanton-anti-instanton oplossing slechts exact is in de limiet voor β → ∞, waar β de tijds-duur is waarover we kijken. De variatie in de actie voor zulke samengestelde oplossingenzal echter zo klein worden, dat ze wel degelijk relevant worden voor onze benadering vande totale amplitude. Een instanton-anti-instanton oplossing is weergegeven in figuur 6.

5.3 De transitieamplitude met padintegralen

We trachten de transitieamplitude 〈±a|e−Hτ/~| − a〉 te vinden en willen dan de splitsinglaten zien van de energieniveaus die volgens perturbatietheorie ontaard zijn.

We beginnen met het berekenen van de actie SE voor één instanton op een gelijkaardigemanier als in sectie 4.3. We onderstellen dat het deeltje vertrekt op tijdstip τ = −β/2 entoekomt op τ = β/2, waarbij β � dI .

SI = SE [xI(τ)] =

∫ β/2

−β/2dτ LE(xI , xI) (37)

=

∫ a

−adxmxI

=√

2m

∫ a

−adx (x2 − a2)

= −√

2m4a3

3.

We onderstellen het instanton zeer gelokaliseerd in de tijd, het deeltje zal dus meestal inéén van de klassieke minima −a of a zitten. De actie S[xcl] is dan dezelfde als die voor deharmonische oscillator die de quartische potentiaal benadert in elk minimum. We krijgendus voor de 1-instanton propagator

K1 =

∫D[x(τ)] exp

(−1

~SE [xI + η] + SE [xcl + ηcl]

),

waarin η de fluctuaties rondom het instanton (36) bevat en ηcl de kwantumfluctuaties opde harmonische oscillator toestand. Zoals we hebben laten zien in sectie 2.1, kunnen we ditalles herschrijven als

K1 = e−Scl/~e−SI/~∫D[ηcl] exp(−S[ηcl]/~)

∫D[η] exp(−S[η]/~)︸︷︷︸

≡F

. (38)


x

τO

−a

a

6

-

Figuur 6: Een voorbeeld van een instanton-anti-instanton quasi-oplossing

De padintegraal factoriseert dus wederom. De laatste factor, die we F zullen noemen, isbijzonder moeilijk, in de meeste gevallen zelfs onmogelijk, analytisch uit te rekenen. Maardaar hij voor onze verdere conclusies eigenlijk van geen echt belang is, hindert het niet omhem enkel als voorfactor mee te nemen.

De harmonische oscillator in Euclidische tijd. We kunnen sectie 3 herhalen in Euclidischetijd, dit komt neer op de transformatie T → −iβ uitvoeren. Voor de fluctuaties voeren wedeze transformatie uit op vergelijking (24) en we krijgen dan∫

D[ηcl] exp(−S[ηcl]/~) =

(− mω

2π~ sinh(ωβ)

)1/2β groot≈

(mωπ~

)1/2

e−ωβ/2 ≡ B.

Waarbij we gebruikt hebben dat voor z ∈ C

sin(z) =eiz − e−iz

2i.

We vinden ω door de coëfficiënt van de kwadratische term in een reeksontwikkeling vande quartische potentiaal rondom±a te vergelijken met de coëfficiënt mω2/2 die we gewoonzijn voor een harmonische oscillator en we vinden ω = 2a

√2/m. Voor de actie Scl kijken we

naar vergelijking (25), we hebben nu een deeltje dat constant in a of−a zit en V (±a) = 0, webesluiten dus dat Scl = 0 waardoor de voorfactor exp(−Scl/~) = 1. De uiteindelijke vormvan onze 1-instanton propagator wordt nu

K1 = e−SI/~FB.

Meerdere instantonen. We beschouwen nu een oplossing met meerdere instantonen. Onsdeeltje gaat van −a naar −a en hiervoor zijn meerdere mogelijkheden:

• het deeltje blijft simpelweg zitten, de 0-instanton oplossing,

• het deeltje gaat éénmaal heen en weer, de 2-instanton of instanton-anti-instanton (IA)oplossing,

...


• het deeltje gaat N maal heen en weer, de N -instanton oplossing of afgekort (IAI. . . A).

Daar het instanton zeer gelokaliseerd is in de tijd, kunnen we de actie (37) herschrijven als

SI = SE [xI(τ)] ≈∫ dI

−dIdτ LE(xI , xI)

met dI de indringtijd van het instanton. We zien dan dat opeenvolgende instantonen (diein de tijd minstens dI uit elkaar moeten liggen) elkaars actie niet beïnvloeden, de acties vanverschillende instantonen zijn telkens slechts op een klein interval [−dI , dI ] verschillend vannul en deze intervallen onderstellen we disjunct voor alle instantonen, we hebben dus dat

S(IAI...A)I =

N∑j=1

SI = NSI

waarbij we om de notatie niet te overladen het superscript weglaten als het om één instantonof anti-instanton gaat. Tevens is aan elk instanton een factor F verbonden, die de fluctuatiesop het instanton bevat. We krijgen dus voor de N -instanton propagator

KN = (K1/B)NB.

De uiteindelijke volledige propagator van −a terug naar −a wordt dus een discrete somover alle mogelijke combinaties van evenveel instantonen en anti-instantonen

K−a,−a = B∑n

even

βn

n!Kn

1 = B∑n

even

βn

n!Fne−nSI/~,

waarbij de factor βn/n! komt van het feit dat de enige constraint op de locaties (in de tijd)van de (anti-)instantonen erin ligt dat er eerst een instanton moet zijn, vervolgens een anti-instanton, vervolgens een instanton. . . Deze eis kunnen we uitdrukken als een vermenigvul-diging met een factor ∫ β/2

−β/2dτn

∫ τn

−β/2dτn−1 · · ·

∫ τ2

−β/2dτ1 = βn/n!

We kunnen deze uitdrukking eenvoudig sommeren, met de identiteit

coshx =∑n

x2n

(2n)!

bekomen we datK−a,−a = B cosh

(βFe−SI/~

).

We kunnen de hele berekening ook herhalen voor een deeltje dat van −a naar a tunnelt, deenige aanpassing is dat N nu oneven in plaats van even is en we de identiteit

sinhx =∑n

x2n+1

(2n+ 1)!

moeten gebruiken. We bekomen aldus

K−a,a = B sinh(βFe−SI/~

).


Samenvatting We hebben nu gevonden dat:

〈−a|e−Hτ/~| − a〉 = B cosh(βFe−SI/~

), (39)

〈a|e−Hτ/~| − a〉 = B sinh(βFe−SI/~

), (40)

⇒ 〈±a|e−Hτ/~| − a〉 =B2

{exp

(βFe−SI/~

)∓ exp

(−βFe−SI/~

)}. (41)

5.4 Golffuncties en energieniveaus

Toen we de imaginaire tijdspropagator introduceerden in sectie 1 bespraken we kort het ge-drag van een toestand onder invloed van deze tijdspropagatie, met name dat deze uitdooften dat voor grote tijd slechts de laagste energietoestanden overleven. We kunnen dit nugebruiken om op zoek te gaan naar de grondtoestand(en) van ons systeem.

We vonden hierboven reeds dat

〈±a|e−Hτ/~| − a〉 =(mω

4π~

)1/2

e−ωβ/2{

exp(βFe−SI/~

)∓ exp

(−βFe−SI/~

)}=(mω

4π~

)1/2 {exp

(β(Fe−SI/~ − ω

2

))∓ exp

(−β(Fe−SI/~ +

ω

2

))}.

(42)

Anderzijds kunnen we de propagator 〈±a|e−Hβ/~| − a〉 ontwikkelen in de energiebasis envinden we

〈±a|e−Hβ/~| − a〉 =∑n

〈±a|n〉〈n| − a〉e−Enβ/~. (43)

Het is belangrijk op te merken dat in deze laatste vergelijking alle tijdsafhankelijkheid ver-vat zit in de factoren e−Enβ/~. We kunnen dan voor β groot genoeg de laagste energietoe-standen vinden door te vergelijken met (42). Dit leidt ons tot twee laagste energieniveaus

E± =~ω2± ~Fe−SI/~. (44)

We zien dat deze gelegen zijn rond de klassieke nulpuntsenergie van de harmonische os-cillator die de double well potentiaal benadert in haar minima. Men kan opnieuw nagaandat deze splitsing niet waar te nemen is wanneer men de potentiaal perturbatief behan-delt. Immers, een perturbatieve behandeling laat geen tunneling zien en het is precies dezetunneling die het scheiden van de grondtoestanden induceert. Om de energieniveaus con-creet uit te rekenen is bijkomende een analyse van de factor F nodig, deze zal in de meestegevallen numeriek moeten benaderd worden.

We trachten nog enige informatie te vinden over de bijhorende grondtoestanden |+〉 en|−〉. Een nauwkeurigere vergelijking van (42) en (43), waar we de abstracte kets |+〉 en |−〉zullen schrijven als de meer vertrouwde ψ+ en ψ−, leert ons dat

ψ+(±a)ψ∗+(−a) = ∓(mω

4π~

)1/2

(45)

ψ−(±a)ψ∗−(−a) =(mω

4π~

)1/2

. (46)

Uit de eerste vergelijking vinden we dan dat ψ+(a) = −ψ+(−a). Omwille van de verderesymmetrie van het systeem, durven we hieruit besluiten dat ψ+ oneven is. Net zo vinden

REFERENTIES 24

we dat ψ− een even functie is. Dit is precies wat we verwachtten, want uit berekenin-gen met meer standaard methoden weten we reeds dat bij andere systemen als periodischeroosters of het ammoniak molecule antisymmetrische toestandsfuncties een lichtjes hogereenergiewaarde aannemen dan de symmetrische tegenhangers. Een educated guess naar debijhorende eigentoestanden, gestaafd door onze vroegere ervaring met gelijkaardige kwan-tummechanische systemen, is dan de gesymmetriseerde dan wel anti-gesymmetriseerdesom van de grondtoestanden van de beide harmonische oscillator-potentialen

ψ±(x) =1√2

(ψ0(x+ a)∓ ψ0(x− a)) (47)

met ψ0(x) =(mωπ~

)1/4

exp

(−mωx

2

2~

).

Dit vermoeden wordt gestaafd door bronnen als [1]. Zodus hebben we de grondtoestandenvan de double well potentiaal gevonden, samen met de gescheiden energieniveaus. En ditzou niet mogelijk geweest zijn in een perturbatieve behandeling van dit systeem.

Conclusie

De padintegraal formulering van Feynman biedt een elegante interpretatie van de kwan-tummechanische golffunctie als een gewogen som van alle mogelijke manieren waarop eensysteem kan evolueren. Tevens laat deze formulering toe om bepaalde niet-perturbatieveeffecten zoals tunneling uit te rekenen. Zo hebben we laten zien dat waar de klassiekeperturbatieve aanpak voor de double well potentiaal ontaarde grondtoestanden voorspelt,padintegratie toe laat om de splitsing van de energieniveaus waar te nemen en uit te reke-nen.

Toch is de aanpak ook zeer beperkt, van zodra de actie van het systeem niet langerkwadratisch is, is de padintegraal niet exact uit te rekenen en moet men overstappen opapproximatieve technieken uit de asymptotische analyse. Uiteraard heeft de conventioneleSchrödinger-aanpak ook te kampen met dit probleem, als het systeem iets te ingewikkeldwordt, kunnen we slechts aan de slag met perturbatieve en variationele methoden. Eenvoorbeeld van de beperkingen van deze methoden hebben wij hier willen uiteenzetten.

Het kan interessant zijn om met de methoden van padintegratie een systeem met pe-riodische potentiaal te bespreken. De padintegratie zou dan wederom opleveren dat deenergieniveau’s zullen opsplitsen, maar ditmaal in een continu spectrum van niveau’s, ener-giebanden. Deze uitbreiding is slechts een kleine stap wanneer men vertrekt van onze uit-werking van de double well potentiaal.

Referenties

[1] Riccardo Rattazzi, november 2008,itp.epfl.ch/webdav/site/itp/users/174685/public/Lecture-NotesPI.pdf.

[2] Ramamurti Shankar, Principles of quantum mechanics, ch. 8 & 21, Springer, 1994.

Path Integrals in Quantum Mechanics

Documents

Transcript of Path Integrals in Quantum Mechanics