PAT 1 ( . กําหนดให้...

ลําดบัอนนัต์ และอนกุรมอนนัต์ 1

PAT 1 (มี.ค. 56) 18. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริงโดยที% �� = �

��⋯�� สาํหรับ � = 1, 2, 3, … ผลบวกของอนกุรม �� + �� + �� + ⋯ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �� 2. �

� 3. �� 4. 2

19. คา่ของ

∞→xlim ��(� − 1) − � + 2 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. 0 2. �� 3. 1 4. �

�

2 ลําดบัอนนัต์ และอนกุรมอนนัต์

34. กําหนดให้ ��, ��, ��, … , �� , … เป็นลาํดบัเรขาคณิตของจํานวนจริงบวก โดยมี " เป็นอตัราสว่นร่วม และ #$�#%#&�#' + #%�#(#'�#) + #(�#*#)�#+ + … + #&,$$�#&,$%#&,$&�#&,$' = 2012 คา่ของ 1 + 5" + 12"� + 22"� + ⋯ เทา่กบัเทา่ใด 36. กําหนดให้ ��, ��, ��, ��, �- และ .�, .�, .�, .�, .-, ./ เป็นลาํดบัเลขคณิตของจํานวนจริงบวก โดยที% �� = .� , �- = .- และ �� ≠ �- ถ้า (1)21')�(1)21$)

#'2#& = 34 เมื%อ ห.ร.ม. ของ � กบั 5 เทา่กบั 1 แล้ว �� + 5� เทา่กบัเทา่ใด


37. สาํหรับ � = 2, 3, 4, … ให้ �� = 1 + 2 + 3 + … + � คา่ของ

∞→nlim #&#%#'…#7(#&2�)(#%2�)(#'2�)…(#72�) เทา่กบัเทา่ใด

PAT 1 (ต.ค. 55) 18. กําหนดให้ �� = sin ��; − <

� − cos �; สาํหรับ � = 1, 2, 3, … และ .� = 6 cos �2�; − <

� สาํหรับ � = 1, 2, 3, … ผลบวกของอนกุรม #$1$ + �#&1& � + �#%1% � + … + �#717 � + … เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �- 2. − �

- 3. 2 4. −2 34. สาํหรับ � = 1, 2, 3, … กําหนดให้ �� = 2 + 4 + 6 + … + 2� และ .� = �� + �� + �� + … + �� คา่ของ

∞→nlim ? �

1$ + �1& + �

1% + ⋯ + ��17 @ เทา่กบัเทา่ใด


36. ถ้าลาํดบัเลขคณิตชดุหนึ%งมีผลบวก 10 พจน์แรกเทา่กบั 205 และผลบวกอีก 10 พจน์ถดัไปเทา่กบั 505 แล้ว ผลบวก 55 พจน์แรกของลาํดบัเลขคณิตนี *เทา่กบัเทา่ใด

49. สาํหรับ � = 1, 2, 3, … กําหนดให้ �� = 1 + �

� − ��& และ .� = 1 − �

� − ��&

จงหาจํานวนเต็มบวก � ที%ทําให้ #&#%…#71&1%…17 = 1331 PAT 1 (มี.ค. 55) 15. พิจารณาข้อความตอ่ไปนี * ก. สาํหรับ � และ . เป็นจํานวนเต็มบวก จะได้วา่

∞

=∑

1n

#7�17(#�1)7 = #&�1&

#1 ข. ถ้า ��, ��, ��, … เป็นลาํดบัเลขคณิตของจํานวนจริง โดยที% #$�#&�⋯�#7#$�#&�#%�⋯�#A = �&

B& สาํหรับจํานวนเตม็บวก � และ C ที%แตกตา่งกนั แล้ว #A#7 = �B2�

��2� ข้อใดตอ่ไปนี *ถกูต้อง 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู แต ่ข. ผิด 3. ก. ผิด แต ่ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด


34. ลาํดบัเรขาคณิตชดุหนึ%ง มีอตัราสว่นร่วมเป็นจํานวนจริงบวก ถ้าผลบวกของสองพจน์แรก เทา่กบั 20 และผลบวกของสี%พจน์แรก เทา่กบั 65 แล้ว ผลบวกของหกพจน์แรก เทา่กบัเทา่ใด 35. จงหาคา่ของ

∞→nlim �� DE1 + �

�& + ��& + E1 + �

�& + ��& + ⋯ + E1 + �

�& + �(��)&F 36. กําหนดให้ G� = 2� เมื%อ � = 1, 2, 3, … และ �� = 5H7 + 52H7 เมื%อ � = 1, 2, 3, … คา่ของ

∞→nlim #7I$#$#&…#7 เทา่กบัเทา่ใด


PAT 1 (ธ.ค. 54) 15. กําหนดอนกุรมเรขาคณิต �� + �� + �� + … + ��J� ถ้า �� + �� + �- + … + ��J� = 303 แล้วจงหาคา่ของ �� + �� + �/ + … + ��JJ 1. 287 2. 290 3. 297 4. 300 36. จงหาคา่ � > 0 ที%ทําให้ 1 + /

��3 + �-(��3)& + ��(��3)% + ⋯ = �O�

37. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� = 1 และ �� = (−1)� �log� �

� �log�2� �� … �log� �

� , � > 1 .� = n

k 1=∑ � R

R'�R&�� จงหาคา่ S ที%ทําให้ ∞→n

lim (�� + S.�) = 4


42. กําหนดให้ �&��&��&�⋯��&�(�)��(�)��(�)�⋯�(�2�)� = ��

�� จงหาคา่ของ � PAT 1 (มี.ค. 54) 16. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� = �� − �� สาํหรับ � = 1, 2, 3, … คา่ของ �� ที%ทําให้ ��J� = 5100 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 50 2. 25 3. 1 4. 0 17. กําหนดให้ 4 พจน์แรกของลาํดบัเลขคณิต คือ 2� + 1 , 2. − 1 , 3. − � และ � + 3. เมื%อ � และ . เป็น

จํานวนจริง พจน์ที% 1000 ของลาํดบัเลขคณิตนี *เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 3,997 2. 3,999 3. 4,001 4. 4,003


39. ให้ � , . , S เป็นจํานวนจริง โดยที% 2� , 3. , 4S เป็นลาํดบัเรขาคณิต และ �# , �1 , �T เป็นลาํดบัเลขคณิต คา่ของ #T + T

# เทา่กบัเทา่ใด 40. กําหนดให้ { �� } เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� = 1 และ �� + 1 ≤ �� และ ��- ≤ �� + 5

สาํหรับ � = 1, 2, 3, … แล้วคา่ของ ∞→n

lim ��

∑ −+=

n

kk ka

1)6( เทา่กบัเทา่ใด

PAT 1 (ต.ค. 53) 6. ให้ V(�) = sin � − cos� � + sin� � − cos� � + sin- � − cos/ � + … แล้วคา่ของ 3V �<

� เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 4√3 − 1 2. 5√3 − 1 3. 6√3 − 1 4. 7√3 − 1


16. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� = ∑=

n

k 1

R&(�R2�)(�R��) สาํหรับ � = 1, 2, 3, …

∞→n

lim�/� �� เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. 4 2. �/� 3. 8 4. 16

17. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัเลขคณิต โดยมีสมบตัิ ดงันี * (ก) ��- − �� = 3 (ข) ผลบวก C พจน์แรกของลาํดบัเลขคณิตนี * เทา่กบั 325 และ (ค) ผลบวก 4C พจน์แรกของลาํดบัเลขคณิตนี * เทา่กบั 4900 แล้วพจน์ ��B เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. /�� 2. ��

� 3. ��-� 4. 119

37. กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� = 2 และ �� = ��

�2� (�� + �� + ⋯ + ��2�) สาํหรับ � = 2, 3, … แล้วคา่ของ ∞→n

lim�

#$�#&�⋯�#7 เทา่กบัเทา่ใด


38. บทนิยาม ให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง เรียกพจน์ �� วา่ พจน์คู ่ถ้า � เป็นจํานวนคู ่และ เรียกพจน์ �� วา่ พจน์คี% ถ้า � เป็นจํานวนคี%

กําหนดให้ {��} เป็นลาํดบัเลขคณิต โดยที%มีจํานวนพจน์เป็นจํานวนคู ่และผลบวกของพจน์คี%ทั *งหมด เทา่กบั 36 และผลบวกของพจน์คูท่ั *งหมดเทา่กบั 56 ถ้าพจน์สดุท้ายมากกวา่พจน์แรก เป็นจํานวนเทา่กบั 38 แล้วลาํดบัเลขคณิต {��} นี * มีทั *งหมดกี%พจน์

39. ให้ {.�} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% .� = −3 และ .�� = ��17�217 สาํหรับ � = 1, 2, 3, … คา่ของ .�JJJ เทา่กบัเทา่ใด

40. คา่ของ ∑=

9999

1n

�X√��√��YX √�' � √��' Y เทา่กบัเทา่ใด


41. กําหนดให้ ZR = 1� + 2� + 3� + ⋯ + [� สาํหรับ [ = 1, 2, 3, … คา่ของ

∞→nlim \ �

�]$ + ��]& + �

�]% + ⋯ + ��]7^ เทา่กบัเทา่ใด

49. ถ้าผลคณูของลาํดบัเรขาคณิต 3 จํานวนที%เรียงติดกนั เทา่กบั 343 และผลบวกของทั *งสามจํานวนนี * เทา่กบั 57 แล้วคา่มากที%สดุในบรรดา 3 จํานวนนี * เทา่กบัเทา่ใด PAT 1 (ก.ค. 53) 17. กําหนดให้ �, 5, _ เป็นลาํดบัเรขาคณิต มีอตัราสว่นร่วมเทา่กบั " และ � ≠ 5 ถ้า �, 25, 3_ เป็นลาํดบัเลขคณิต แล้ว คา่ " เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �� 2. �

� 3. �� 4. 2


23. กําหนดให้อนกุรมตอ่ไปนี * ` = ∑

=

1000

1k(−1)R a = ∑

=

20

3k[� b = ∑

=

100

1k[ c = ∑∞

=1k2 ��

� R คา่ของ ` + a + b + c เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 7917 2. 7919 3. 7920 4. 7922 25. พิจารณาการจดัเรียงลาํดบัของจํานวนคี% 1, 3, 5, 7, 9, … ในตารางดงัตอ่ไปนี * จากตารางจะเห็นวา่ จํานวน 15 อยูต่ําแหนง่ที% 2 (จากซ้าย) ของแถวที% 4 อยากทราบวา่ จํานวน 361 จะอยูต่ําแหนง่ใดในแถวที%เทา่ใด 1. ตําแหนง่ที% 9 (จากซ้าย) ของแถวที% 18 2. ตําแหนง่ที% 10 (จากซ้าย) ของแถวที% 19 3. ตําแหนง่ที% 11 (จากซ้าย) ของแถวที% 20 4. ตําแหนง่ที% 12 (จากซ้าย) ของแถวที% 21 34. ให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริง โดยที% �� + �� + �� + ⋯ + �� = �� สาํหรับ � = 1, 2, 3, … ถ้า �� = 100 แล้ว

∞→nlim �� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

แถวที% 1 1 แถวที% 2 3 5 แถวที% 3 7 9 11 แถวที% 4 13 15 17 19 แถวที% 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


35. กําหนดให้ e เป็นจํานวนจริง และให้ {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริงที%นิยามโดย �� = f�2O��

สาํหรับ � = 1, 2, 3, … ถ้าผลบวก 9 พจน์แรกมีคา่มากกวา่ผลบวก 7 พจน์แรกของลาํดบั {��} เป็นจํานวนเทา่กบั ��J� แล้ว

∞→nlim �� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

39. กําหนดให้ �� = E1 + �1 + �� + E1 + �1 − �

� � สาํหรับ � = 1, 2, 3, …

คา่ของ �#$ + �

#& + ⋯ + �#&, เทา่กบัเทา่ใด

40. ให้ [ เป็นคา่คงที% และถ้า

∞→nlim

RX�(��Y��'��(��)( = 15 + 6 + ��- + ⋯ + 15 ��

- �2� + ⋯ แล้ว [ มีคา่เทา่กบัเทา่ใด


47. จากตารางที%กําหนดให้ มีช่องวา่งทั *งหมด 16 ช่อง ดงัรูป

ให้เตมิจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, … , 16 ลงในช่องสี%เหลี%ยมช่องละ 1 จํานวน โดยให้ผลบวกของจํานวนในแตล่ะแถว ((ก) และ (ข)) และในแตล่ะหลกั ((ค) และ (ง)) มีคา่เทา่ๆกนั ถ้าเติมจํานวนเตม็บวก 1, 5, 13 ดงัปรากฏในตารางแล้ว จํานวน � ในตาราง เทา่กบัเทา่ใด

50. พิจารณาการจดัเรียงลาํดบัของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, … ในตารางดงัตอ่ไปนี * จํานวน 2012 อยูใ่นหลกัที%เทา่ใด PAT 1 (มี.ค. 53) 17. ผลบวกของอนกุรม 3 + ��

� + ��/ + ⋯ + �7��72�

�7g$ + ⋯ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �J� 2. �h

� 3. �� 4. �J

�

1 5 � 13

หลกั (ค) หลกั (ง)

แถว (ก)

แถว (ข)

หลกัที% 1




หลกัที% 5 2 5 8 23 20 17 14 11 26 29 32 47 44 41 38 35 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮


35. ถ้า {��} เป็นลาํดบัของจํานวนจริงที% �� = ��/�⋯��& สาํหรับทกุจํานวนเต็มบวก �

แล้ว ∞→n

lim �� มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

36. กําหนดให้ Z� = ∑

=

n

k 1� �

√R(R��)�R√R�� สาํหรับ � = 1, 2, 3, … คา่ของ ∞→n

lim Z� เทา่กบัเทา่ใด

49. พิจารณารูปตอ่ไปนี *

ให้เตมิจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, … , 11 ลงในช่องรูปสี%เหลี%ยมชอ่งละ 1 จํานวน โดยให้ผลบวกของจํานวนในแนวตั *งเทา่กบั 43 และผลบวกของจํานวนในแนวนอน เทา่กบั 28 จํานวน � ในช่องรูปสี%เหลี%ยมมมุ เทา่กบัเทา่ใด

�

แนวตั *ง

ง

แนวนอน


PAT 1 (ต.ค. 52) ตอนที% 1 14. พิจารณาข้อความตอ่ไปนี * ก. ถ้า ลาํดบั �� ลูเ่ข้า แล้ว อนกุรม ∑

∞

=1n�� ลูเ่ข้า

ข. ถ้า อนกุรม ∑∞

=1n�� ลูเ่ข้า แล้ว อนกุรม ∑

∞

=1n�1 + #7�7 ลูเ่ข้า

ข้อใดตอ่ไปนี *เป็นจริง 1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ตอนที% 2 15. ถ้า �� เป็นลาํดบัเลขคณิตซึ%ง

∞→nlim �#7I$& 2#7&� = 4 แล้ว E#$*2#i� มีคา่เทา่ใด

16. ∞→n

lim ��O�� … ��%��O� … ��% มีคา่เทา่ใด


PAT 1 (ก.ค. 52)

29. กําหนดให้ �� เป็นลาํดบัเลขคณิตที%สอดคล้องกบัเงื%อนไข ∞→n

lim �#72#$� = 5 ถ้า �h + �- = 100 แล้ว ��JJ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 500 2. 515 3. 520 4. หาไมไ่ด้เพราะข้อมลูไมเ่พียงพอ 30. ถ้า ` =

∞→nlim � ��j

��O�...��% มีคา่เป็นจํานวนจริงบวกแล้ว แล้วคา่ของ ` เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 31. ถ้า ∑

∞

=2n

��'2�& = ` แล้ว ∑

∞

=2n

��& มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �� + ` 2. -

� + ` 3. �� − ` 4. -

� − `


36. จํานวนเตม็ที%มีคา่ตั *งแต ่100 ถึง 999 ที%หารด้วย 2 ลงตวั แตห่ารด้วย 3 ไมล่งตวั มจํีานวนเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 250 2. 283 3. 300 4. 303 47. กําหนดให้ �� เป็นลาํดบัซึ%งสอดคล้องกบัเงื%อนไข �

#7 + �#7g$ = 1 สาํหรับทกุจํานวนนบั �

ถ้า �� + ��+. . . +��JJ = 250 แล้ว |��--� − 2.5| มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. 1 + √5 2. 2 + √5 3. √-� 4. 2√5

PAT 1 (มี.ค. 52)

29. ถ้า ∞→n

lim�&1��

��&#2� = 1 แล้วผลบวกของอนกุรม ∑∞

= 1n� #1

#&�1& � เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. �� 2. �

� 3. 1 4. หาคา่ไมไ่ด้


30. กําหนดให้ �� เป็นลาํดบัที%สอดคล้องกบั #7I&#7 = 2 สาํหรับทกุจํานวนนบั � ถ้า ∑

=

10

1n�� = 31 แล้ว ∑

=

2552

1n�� เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี *

1. 2��O- − 1 2. 2��O/ − 1 3. 2�--� − 1 4. 2�--� − 1 46. กําหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, … จํานวนในพจน์ที% 5060 ของรูปแบบนี *มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี * 1. 1 2. 10 3. 100 4. 1000 A-NET 51 ตอนที% 2 8. กําหนดให้ �� = �

�j p1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + ⋯ + (� + ⋯ + �)qrrrsrrrt� พจน์ u โดยที% [ เป็นคา่คงตวัที%ทําให้

∞→nlim �� = v, v > 0 แล้ว 6(v + [) มีคา่เทา่ใด

20 ลําดบัอนนัต์ และอนกุรมอนนัต์ A-NET 50 ตอนที% 1 19. กําหนดให้ �� = �7I$��7g$

�7 และ .� = ��⋯�� ถ้า ` และ a เป็นผลบวกของอนกุรม ∑

∞

=1n �� และ ∑

∞

=1n .�

ตามลาํดบั แล้ว ` + a เทา่กบัข้อใด 1. 4.5 2. 5 3. 5.5 4. 6 A-NET 49 ตอนที% 1 16. พิจารณา ลาํดบั �� และ .� ซึ%ง �� = w �&

�� เมื%อ � ≤ 1002 เมื%อ � > 100 .� = w2 เมื%อ � ≤ 100�&

�� เมื%อ � > 100 ข้อใดตอ่ไปนี *ถกู 1. �� และ .� เป็นลาํดบัลูเ่ข้า 2. �� และ .� เป็นลาํดบัลูอ่อก 3. �� เป็นลาํดบัลูเ่ข้า และ .� เป็นลาํดบัลูอ่อก 4. �� เป็นลาํดบัลูอ่อก และ .� เป็นลาํดบัลูเ่ข้า ตอนที% 2 7. ถ้า �# + �

� + #�& + #&

�% + ⋯ เป็นอนกุรมเรขาคณิต ซึ%งมีผลบวกเทา่กบั �� แล้ว � มีคา่เทา่ใด


เฉลย PAT 1 (มี.ค. 56) 18. 1 19. 4 34. 16 36. 205 37. 3 PAT 1 (ต.ค. 55) 18. 3 34. 2.25 36. 4840 49. 36 PAT 1 (มี.ค. 55) 15. 1 34. 166.25 35. 1 36. 24.96 PAT 1 (ธ.ค. 54) 15. 4 36. 2 37. 10 42. 115 PAT 1 (มี.ค. 54) 16. 1 17. 3 39. 2.5 40. 6 PAT 1 (ต.ค. 53) 6. 3 16. 1 17. 2 37. 0 38. 20 39. 2 40. 9 41. 2 49. 49 PAT 1 (ก.ค. 53) 17. 2 23. 1 25. 2 34. 200 35. 2 39. 7 40. 25 47. 9 50. 2 PAT 1 (มี.ค. 53) 17. 4 35. 1 36. 1 49. 5 PAT 1 (ต.ค. 52) 1/14. 4 2/15. 2√2' 2/16. 4 PAT 1 (ก.ค. 52) 29. 2 30. 4 31. 3 36. 3 47. 3 PAT 1 (มี.ค. 52) 29. 2 30. 2 46. 2 A-NET 51 2/8. 20 A-NET 50 1/19. 2 A-NET 49 1/16. 3 2/7. 1.5

PAT 1 ( . กําหนดให้...

Documents

Transcript of PAT 1 ( . กําหนดให้...