Parte 05 Reservorios Lucio Carrillo Inmiscible

5/20/2018 Parte 05 Reservorios Lucio Carrillo Inmiscible

1/92

129

CAPITULO V

DESPLAZAMIENTOINMISCIBLE

LUCIO CARRILLO BARANDIARAN - 2006


2/92

130

DESPLAZAMIENTO INMISCIBLE

Los reservorios de empuje por agua, son los reservorios en la cual una porcinsignificante de la extraccin volumtrica es reemplazada por influjo de aguadurante su vida productiva.

El influjo total y las tasas del influjo son gobernadas por las caractersticas delacufero junto con el comportamiento del contacto original reservorio/acufero(WOC). Casi siempre no se dispone de datos de la roca del acufero, pero enel caso de disponer de suficiente historia de presin y de produccin, laspropiedades del acufero pueden ser inferidas y ser usadas para estimar elefecto futuro del acufero sobre el comportamiento del reservorio.

DEFINICIONES UTILES

Geometra del Acufero

Radial

Los lmites son formados por dos cilindros concntricos o sectores de cilindros.

Lineal

Los lmites estn formados por dos planos paralelos

Condiciones de Lmite Exterior

Infinito

La perturbacin de la presin no afecta el lmite exterior del sistema, durante eltiempo de inters.

Finito Cerrado

No existe flujo a travs del lmite exterior. La perturbacin de la presinalcanza el lmite exterior, durante el tiempo de inters.

Finito con alimentacin

El acufero es finito con presin constante en el limite exterior (ejm., acuferoalimentado por un lago u otra fuente de agua en superficie).



3/92

131

CONDICIONES BSICAS Y SUPOSICIONES

1. El reservorio se encuentra durante todo el tiempo, sometido a unapresin promedia de equilibrio.

2. El contacto agua/petrleo (WOC) o agua/gas (WGC) es una lneaequipotencial.

3. Los hidrocarburos detrs del frente son inmviles.

4. Los efectos de la gravedad son insignificantes.

5. La diferencia entre la presin promedia del reservorio y la presin en elcontacto original: WOC o WGC se asumen como cero.

SUPOSICIONES FSICAS PARA PROCESOS INMISCIBLES

a) El agua desplaza al petrleo en un reservorio mojable al agua.

El desplazamiento de petrleo por agua en un reservorio mojable alagua es un proceso de IMBIBICION. En tal sentido, las curvas depresin capilar y permeabilidad relativa a ser usadas en la descripcin

del desplazamiento deben ser medidas bajo condiciones de imbibicin.

Inversamente, en el desplazamiento de petrleo por agua en unreservorio mojable al petrleo se deben usar las curvas medidas bajocondiciones de DRENAJE. Existe una diferencia bsica en los dostipos de reservorios debido a la histresis del ngulo de contacto.

b) El desplazamiento ocurre bajo condiciones de equilibrio vertical.

Significa que durante el desplazamiento, si la saturacin de agua en

cualquier punto del reservorio incrementa en una pequea cantidad, lanueva saturacin de agua es redistribuida instantneamente.

Las condiciones de equilibrio vertical sern mejoradas por:

(.) Alta permeabilidad vertical (kv).(.) Pequeo espesor del reservorio (h)

(.) Gran diferencia de densidades entre fluidos ()(.) Grandes fuerzas capilares (gran zona de transicin capilar H).(.) Bajas viscosidades de los fluidos.(.) Bajas tasas de inyeccin.



4/92

132

La nica forma de verificar la validez del equilibrio vertical es usandotcnicas de simulacin numrica.

c) El desplazamiento es considerado como incompresible.

Esta suposicin implica que existen condiciones de estado estable en elreservorio con la presin constante a cualquier punto.

qt = qo+ qw

d) El desplazamiento es cons iderado lineal.



5/92

133

DESPLAZAMIENTO

La energa natural que permite el desplazamiento de los fluidos en elreservorio (energa natural existente en los fluidos del reservorio), no permiteuna recuperacin total de los hidrocarburos en el reservorio, permitiendo queuna importante cantidad de petrleo y/o gas permanezca en el subsuelo. Losmtodos desarrollados involucran el mantenimiento de la presin de unreservorio a travs de la inyeccin de algn fluido, que incremente la energanatural. Segn F. W. Cole (Reservoir Engineering Manual 1969), elincremento del factor de recuperacin de debe a los factores siguientes:

(1) Disminucin del Indice de Depletacin al mantener la presin del

reservorio,(2) Reemplazo de la energa natural de desplazamiento con unafuerza de desplazamiento mas eficiente (por ejemplo elreemplazo de la impulsin de la capa de gas por eldesplazamiento de agua).

En este sentido, la presin del reservorio puede ser mantenida por:

(1) Inyeccin de agua y/o gas natural,(2) Inyeccin de fluidos miscibles,(3) Una combinacin de los anteriores,

De estos mtodos, la inyeccin de agua es el mtodo preferido debido a (1)disponibilidad de agua, (2) relativa facilidad con que el agua es inyectada, (3)facilidad con que el agua se esparce a travs de formaciones mojables alpetrleo y (4) eficiencia del agua para desplazar al petrleo.

La distribucin del agua, petrleo y gas en el espacio poroso para cualquiernivel de saturacin en el reservorio esta determinada por (1) caractersticas demojabilidad de la roca y (2) tensin interfacial entre las fases inmiscibles.

El uso de modelos analticos para predecir el comportamiento de los

reservorios estn basados en simplificaciones que permiten la aplicacin demodelos simples para describir estructuras geolgicas complejas.

El modelo de desplazamiento inmiscible, uno de los mas simples conocidocomo la Teora de Avance Frontal, fue desarrollado inicialmente por Buckley &Leverett y posteriormente reformulado por Welge. Este modelo fue derivadopara sistemas continuos y lineales. Cuando se requiere aplicar las ecuacionesde Buckley & Leverett y Welge's a sistemas complejos, es necesario reducirestos sistemas a modelos 1D.



6/92

134

TEORA DE FLUJO FRACCIONAL

INTRODUCCION

La teora de avance frontal es una importante herramienta para los ingenierosde reservorios en el estudio del comportamiento de reservorios sometidos ainyeccin de agua.

Buckley & Leverett tomaron el concepto de Flujo Fraccional presentado el ao1941 por Leverett, que para el caso de una inyeccin de agua es expresadocomo:

Lo cual si se reemplaza en la conocida ecuacin de Darcy tanto para aguacomo petrleo, se obtiene:

Asimismo, para una determinada roca, con sus respectivos fluidos y lascondiciones fluyentes asociadas, el flujo fraccional de agua es una funcin dela saturacin de agua. Considerando que el Fw se mide el la cara de la arenadel pozo productor (outlet face), la Sw correspondiente debe estar referida almismo punto.

En 1942, Buckley & Leverett present la Ecuacin de Avance Frontal:

Esta ecuacin resulta de la aplicacin de la Ley de Conservacin de la Masapara el flujo unidireccional de dos fluidos inmiscibles (para los casos de estudioen la FIP sern considerados petrleo y agua) a travs de un medio porosohomogneo y continuo. Esta ecuacin asume que los fluidos y el medio porososon incompresibles. La ecuacin 3 establece que una cierta saturacin deagua fija se mueve a travs del medio poroso a usa tasa que es constante y



7/92

135

proporcional al cambio en la composicin del flujo de fluidos (causado por unpequeo cambio en la saturacin del fluido desplazante).

En 1952, Welge deriv una ecuacin que relaciona la saturacin promedia de

agua con la saturacin localizada en el extremo productivo del sistema.

Esta ecuacin establece que conociendo los volmenes porosos de aguainyectada (acumulada) de agua (Qi), la saturacin de agua y el flujo fraccionalen la cara de la arena del pozo productor (Sw2 y Fw2 respectivamente), esposible calcular la saturacin de agua promedio y por lo tanto, la produccinacumulada de petrleo.

Por otro lado, Welge introdujo otra ecuacin:

La cual relaciona Qi con Sw2.

Las ecuaciones (4) y (5) pueden ser relacionadas con la produccinacumulada de petrleo durante la inyeccin de agua. Antes de que el aguairrumpa en el pozo productor, el volumen de petrleo recuperado es igual alvolumen de agua inyectada al sistema.

Donde:

La ecuacin (6) no es vlida para despus que ha ocurrido la irrupcin delfrente, debido a que ya se ha producido una parte del agua inyectada (elsistema ya esta produciendo con una cierta cantidad de agua). En estesentido, la ecuacin aplicable para estimar la produccin acumulada depetrleo es:



8/92

136

DERIVACIN DE LA ECUACIN DE FLUJO FRACCIONALPARA UN SISTEMA PETROLEO AGUA 1-D

Para derivar la ecuacin de flujo fraccional en el desplazamiento de petrleoasumiremos que toma lugar bajo condiciones de flujo difuso. Esto significaque las saturaciones del fluido en cualquier punto en la trayectoria lineal estnuniformemente distribuidas con respecto al espesor. Esto permite que eldesplazamiento pueda ser descrito en una dimensin.

El flujo simultneo de petrleo y agua puede ser modelado usandopermeabilidades relativas ponderadas por el espesor, a lo largo de una lneacentral en el reservorio.

Una condicin que debe reunir el equilibrio potencial de un fluido, essimplemente el equilibrio hidrosttico para lo cual la distribucin de saturacinpuede determinarse como una funcin de presin capilar y por lo tanto,interviene la altura. Es por esto, que los fluidos estn distribuidos de acuerdo alequilibrio capilaridad-gravedad.

La condicin de equilibrio vertical puede ser favorecido por:

Alta permeabilidad vertical, kv Pequeo espesor del reservorio (h) Gran diferencia de densidad entre los fluidos Grandes fuerzas capilares, lo que significa grandes zonas de transicin

capilar (H)

Pequeas viscosidades de fluidos Bajas tasas de inyeccin

El flujo difuso ocurre cuando:

(a) El desplazamiento ocurre a tasa de inyeccin muy altas tal que

los efectos de capilaridad y fuerzas gravitacionales son



9/92

137

insignificantes. Una de las condiciones de equilibrio vertical no es

satisfecha.

(b) El desplazamiento se lleva a cabo a bajas tasas de inyeccin en

reservorios en los cuales la zona de transicin capilar es mayorque el espesor del reservorio y se aplica la condicin de equilibriovertical.

La segunda condicin puede ser visualizada en la figura 1. La zona detransicin (H) es mucho mas grande que el espesor del reservorio. En estecaso, la saturacin de agua puede ser considerada como distribuidauniformemente con respecto al espesor.

Figura 1 - Aproximacin a la condicin de flujo difuso para H >>h.

Reservoir

Thickness

Swc 1-Sor

PcH

h ReservoirThickness

Swc 1-Sor

PcH

Swc 1-Sor

PcH

h



10/92

138

Figura 2 - curva de transicin pequea.

Pc

Swc 1-Sor

H

Small transition zone

Pc

Swc 1-Sor

H

Small transition zone

La figura 3, muestra el esquema de un vistas areal en un reservorio lineal quetiene una seccin transversal uniforme de rea A. El desplazamiento puedetambin ser considerado para un reservorio inclinado (tilted) como se observaen la figura 4.

Figura 3 - Modelo de reservorio l ineal 1-D.

L

Production

Injection

w



11/92

139

Figura 4 - Modelo de reservorio l ineal 1-D.

LProd

uction

Injection

h

xy

z

qt

qi

sin

sin

=

=

dx

dz

xz

LProd

uction

Injection

h

xy

z

qt

qi

LProd

uction

Injection

h

xy

z

qt

qi

L

LProd

uction

Injection

h

xy

z

qt

qi

sin

sin

=

=

dx

dz

xz

sin

sin

=

=

dx

dz

xz

Los pozos de produccin e inyeccin se considera que han sido punzonados atravs de todo el intervalo productivo, en cual se encuentra en la direccinnormal al buzamiento.

El objetivo del curso, es describir la distribucin de saturacin en la direccin-ya medida que el fluido se mueve a travs de la direccin-x.

Si consideramos el desplazamiento del petrleo por agua en un reservorioinclinado (tilted reservoir):

Aplicamos la ecuacin de Darcy:



12/92

140

y reemplazamos la presin de agua por:

tendremos:

rearreglando las ecuaciones tendremos:

Restando la primera ecuacin de la segunda tendremos:

Sustituyendo por:

y

y resolviendo para la fraccin de agua fluyente, obtendremos la siguiente

expresin para la fraccin de agua fluyente:



13/92

141

Para el caso de flujo horizontal, con presin capilar insignificante, la expresinse reduce a:

A continuacin se muestran grficos tpicos para las permeabilidades relativasy curva de flujo fraccional.



14/92

142

DERIVACIN DE LA ECUACIN DE BUCKLEY Y LEVERETT

Para un proceso de desplazamiento, donde el agua desplaza al petrleo, seinicia la derivacin con la aplicacin de un balance de masa de agua, alrededor

de un volumen de control de longitud X para el siguiente sistema por unperiodo de tiempo t.

El balance de masa puede ser escrito como:

Que cuando X tiende a cero, y t tiende a cero, se reduce a la ecuacin de lacontinuidad:

Si consideramos que la compresibilidad del fluido es insignificante:

Adems tenemos que:

Por lo tanto:

y si consideramos:



15/92

143

la ecuacin puede ser re-escrita como:

Esta ecuacin es conocida como la Ecuacin de Buckley-Leverett, presentada

en el famoso artculo de Buckley y Leverett en 1942.

DERIVACIN DE LA ECUACIN DE AVANCE FRONTAL

Ya que:

Podemos escribir la siguiente expresin para el cambio de saturacin:

En la solucin de Buckley-Leverett, consideramos un frente de fluido desaturacin constante durante el desplazamiento del fluido, de tal manera que:

Sustituyendo en la ecuacin de Buckley-Leverett tenemos:

Integrando con respecto al tiempo:



16/92

144

se genera una expresin que define la posicin del frente del fluido:

que se le llama la ecuacin de avance frontal.

LA SOLUCION DE BUCKLEY-LEVERETT

Un grfico tpico para la curva de flujo fraccional y su derivada se muestra acontinuacin:

Usando la ecuacin para localizar la posicin del frente y graficando lasaturacin de agua vs la distancia, se obtiene el grfico siguiente:



17/92

145

Se puede observar que el grfico de saturaciones muestra una situacin fsicaimposible, ya que se tiene dos saturaciones para una misma posicin (X). Sinembargo, esto es el resultado de la discontinuidad en la funcin saturacin, yla solucin a este problema por parte de Buckley-Leverett es modificar elgrfico al definir una discontinuidad de saturacin en Xf y balancear las reas(del frente y debajo de la curva).

El perfil de saturacin final es:



18/92

146

La determinacin de la saturacin de agua en el frente se muestragrficamente como:

La saturacin promedia detrs del frente, se determina por la interseccinentre la lnea tangente y Fw = 1.



19/92

147

En el momento de la irrupcin del frente, el factor de recuperacin sedetermina por:

El corte de agua o fraccin de agua a la irrupcin del frente es:

ya que:

y:

Podemos obtener:



20/92

148

, en unidades de superficie:

Para la determinacin de la recuperacin y corte de agua (fraccin de agua oporcentaje de agua) despus de la irrupcin del frente, podemos aplicar laecuacin de avance frontal:

Para cualquier saturacin de agua, Sw, podemos dibujar una tangente alacurva de Fw, a fin de determinar las saturaciones y sus correspondientes flujofraccional.



21/92

149

Ya que las viscosidades y densidades se consideran constantes, la ecuacinde flujo fraccional depende solo de la saturacin (y estas a la vez de laspermeabilidades relativas). La figura siguiente muestra la forma grficagenerada por la ecuacin de flujo fraccional.



22/92

150

Figura X- Curva de flu jo fraccional.

fw= 0

fw= 1

Swc

fw

Sw

1-Sor

Swf

Swbt

Para flujo fraccional y sin considerar el gradiente de presin capilar, tenemos:

w hro o

rw w

fk

k

=

1

1

Se puede expresar la ecuacin general, como:

o cw w h

o t o t

k . x A P . x A sinf f

q x q

=

3 41 127 10 4 8855 101

o

{w w c ghf f N N1

}



23/92

151

cN = Nmero capilar, adimensional

gN = Nmero de gravedad, adimensional

EL EFECTO DEL RATIO DE MOVILIDAD SOBRE LA CURVA DE FLUJOFRACCIONAL

La eficiencia de una inyeccin de agua depende del ratio de Movilidad delfluido desplazante al fluido desplazado.

A mayor ratio, mejor eficiencia del desplazamiento, y la curva se mueve haciala derecha. La eficiencia en la recuperacin final se obtiene si el ratio es tanalto que la curva de flujo fraccional no tiene punto de inflexin (no tiene formade S). Curvas tpicas de flujo fraccional para alta y baja viscosidad y por lotanto para alto y bajo ratio de movilidad, se muestran en la siguiente figura.Adicionalmente. Se muestra una curva extrema para una perfecta eficiencia aldesplazamiento, tal como si fuera desplazamiento tipo pistn.



24/92

152

EFECTO DE LA GRAVEDAD SOBRE LA CURVA DE FLUJO FRACCIONAL

Para un sistema no horizontal, con inyeccin de agua en el fondo y produccin

en el tope, las fuerzas de gravedad contribuirn a una mayor eficiencia de larecuperacin. Las curvas tpicas para un flujo horizontal e inclinado se muestraa continuacin:

EFECTO DE LA PRESION CAPILAR SOBRE LA CURVA DE FLUJOFRACCIONAL

De la expresin de flujo fraccional:

La presin capilar contribuir a una mayor Fw, ya que:



25/92

153

y as a un menos eficiente desplazamiento. Sin embargo este argumento no esdel todo vlido, ya que la solucin de Buckley-Leverett asume undesplazamiento del frente agua-petrleo discontinuo. Si la presin capilar esincluida en el anlisis, el frente no existir, ya que la dispersin capilar(imbibicin) tomar lugar en el frente. Por lo tanto, en adicin a la curva de flujofraccional menos favorable, la dispersin tambin conducir a una tempranairrupcin del frente en el pozo de produccin.

Para facilidad, adoptaremos la convencin de Dakes (1988), para el ngulo

que se mide desde la horizontal hasta la lnea que indica la direccin del flujo.En este contexto, el trmino de gravedad, definido como 0 ,ser positivo para desplazamiento en la direccin hacia arriba (up-dip), cuando

0


26/92

154

Figura 6 Presin capilar como funcin de la saturacin de agua.

Sw

Pc

Swc 1-Sor

+ dSw

-dPc

La segunda parte del gradiente capilar se muestra en la figura 7, dondetambin se observa que las pendientes son siempre negativas. Por lo tanto

es siempre positiva y consecuentemente su efecto ser

incrementar el flujo fraccional de agua.cP / x

Figura 7 Distribucin de la saturacin de agua como una funcin de ladistancia durante el desplazamiento.

x

Sw

Swc

1-Sor

front+ dx

-dSw

Saturation profile at a given time

Swf



27/92

155

El gradiente capilar incrementar el flujo fraccional de agua, pero normalmente

este es ignorado. Debido a que wS / x no es conocido, su clculo

involucra un proceso iterativo.

El esquema de distribucin de la saturacin de agua mostrada en la figura 7,corresponde a una situacin despus que se ha inyectado un volumendeterminado de agua. El diagrama muestra que existe un frente definido(denominado shock front), en este punto existe una discontinuidad en la

saturacin de agua que incrementa bruscamente desde a , la

saturacin del frente de inundacin.wcS wfS

Detrs del frente existe un incremento gradual de la saturacin desde

hasta el valor mximo de

wfS

orS1 .La ecuacin de flujo fraccional es usada para calcular la fraccin de agua en elflujo total, en cualquier punto del reservorio, asumiendo que la saturacin deagua en ese punto es conocida. Para determinar cuando un plano desaturacin de agua alcanza un punto particular en el sistema lineal, se requieredel uso de la teora de desplazamiento de Buckley-Leverett.

PROCEDIMIENTO PARA EVALUAR LA ECUACIN DE BUCKLEY-LEVERETT

Construir la ecuacin de flujo fraccional, para valores de como una

funcin de

ro rwk , k

w o w o wS , , , , ...etc.

Elegir el tiempo .i tt t ; W q t=1 1

Cubrir un rango de desde hastaw

Swc

S

or

S1 conw

S .= 0 1

Evaluarw

w

df

dSpara cada y evaluar la ecuacin (30)wS

Una figura tpica a ser obtenida utilizando este procedimiento se muestra en lafigura 5, que se repite a continuacin:



28/92

156

Figura 5 Curva de flu jo fraccional tpica, como una funcin de lasaturacin de agua.

fw= 0

fw= 1

Swc

fw

Sw

1-Sor

Swf

Swbt

Sin embargo, existe una dificultad matemtica cuando se usa esta tcnica. Yaque frecuentemente existe un punto de inflexin en la curva de flujo fraccional,

el grfico de la derivada mostrar un mximo tal como se observa en la figura10.

Figura 10 Derivada de la Saturacin de una curva de flujo fraccional

Sw

Swc 1-Sor

w

wS

dS

dfv

W



29/92

157

Si graficamos las derivadas para graficar la distribucin de saturacin a untiempo en particular, el resultado ser la lnea roja en la figura 11. Este perfil esfsicamente imposible, ya que indicara que 03 saturaciones de agua podranco-existir en un punto dado en el reservorio.

Figura 11 Distribucin de la saturacin para un tiempo particular,usando la ecuacin de Buckley-Leverett.

Swc

1-Sor

Sw

B

A

Swf

fixed time

x

Lo que ocurre es que los valores de saturacin que corresponden a lavelocidad mxima tendern inicialmente a alcanzar a los de baja saturacinresultando en la formacin de una discontinuidad en la saturacin o un shockfront. Debido a esta discontinuidad, es que la teora de B-L no puede describirla situacin del frente, debido a que la teoria de B-L asumi que la saturacinfue continua y diferenciable. Pero, la teora de B-L, puede ser aplicada detrsdel frente, en el rango de saturacin:.

wf w or S S S< 1

Para graficar el perfil correcto de saturacin y determinar la localizacinvertical, se separa las 02 reas sombreadas denominadas A y B, mostradas enla figura 11, de tal manera que sus reas sean iguales. La linea que las divide

representa la saturacin del frente (shock front) .wfSDeterminacin de la Saturacin promedia de agua detrs del frente(Shock Front)

En la figura 12 se muestra un perfil de saturacin antes de la irrupcin delfrente en el pozo de produccin (breakthrough). El agua ha sido inyectada

durante un cierto tiempo y en la posicin la saturacin de agua del planox1



30/92

158

correspondiente, alcanza su mximo valor, mientras que en la saturacin

de agua es la saturacin del frente (shock front). Es necesario conocer lalocalizacin y el valor de esta saturacin y la saturacin promedia de agua

detrs del frente.

x 2

Figura 12 Perfil de saturacin antes de la irrupcin del frente(breakthrough) indicando la saturacin del frente (shock front).

0 Lx1 x2

Swc

1-Sor

Swf

x

Sw

Sw

Saturation profile

at t < tbt

0 Lx1 x2

Swc

1-S

or

Swf

x

Sw

Sw

Saturation profile

at t < tbt

Aplicando un balance de materiales para el agua inyectada, tenemos:

{ }

{ }

iW volume swept

average water saturation - connate water saturation

=

wf

i wi w wc w

w S

W dfW A x S S A S S

A dS

= =

2 wc

Se ha reemplazado usando B-L. Cancelando y ordenando trminos:x 2

wf

w wc

w

w S

S Sdf

dS

=

1

Se puede obtener otra expresin para la saturacin promedia detrs del frentesi se integra el perfil de saturacin.



31/92

159

Usando el teorema del valor medio, la saturacin promedio de agua desde el

inyector hasta el frentex= 0

x x 2 se obtiene por:

x xx

w ww o xow x

o

S dx S dxS dxS

xdx

= =

1 22

1

22

x

or wx

w

S x S dxS

x

=

2

11

2

1

Reemplazando x1, x2 y dx usando B-L evaluada a la saturacincorrespondiente,

[ ]

w

w

i wS

w S

W dfB L x

A dS

=

wf

or

or

wf

Sw w

or wS

w w

Sw

w

w S

df df S S

dS dS

Sdf

dS

d

=

1

1

1

Evaluando por partes,wf

or

S

S1

wf

wf wf

or or

or

SS S

w ww w w

S Sw w S

df df df S d S dS

dS dS dS

=

1 11

w

w

wf

wf

or

or

S

Sww w S

w S

dfS

dS

=

11

f

wf

or

S

ww w

w S

dfS f

dS

=

1

1f



32/92

160

Sustituyendo la ecuacin (40) en la ecuacin (37) y simplificando,

or wf

wf

or

wf

w w

or wf w wS S

w

w

w S

wor wf

w S

w

w S

df df

S SdS dSS .

df

dS

dfS f

dS .

df

dS

=

1

1

1

1 1

wf

wfw wf

w

w S

fS S

df

dS

=

1

Comparando la ecuacin (33) y ecuacin (42)

wf

w wc

w

w S

S Sdf

dS

=

1

wf

wfw wf

w

w S

fS S

df

dS

=

1

Se obtiene,

wf wf

wfwc wf

w w

w wS S

fS Sdf df

dS dS

=

1 1

wf

w wf

w w wf w wS

df f

dS S S S S

= =

1 1

c

0



33/92

161

La tangente a la curva de flujo fraccional trazada desde el punto

, debe tener un punto de tangencia con sus coordenadas

en el punto

w wc wS S , f 0

wf

w w wSf f f

= f ; y la extrapolacin de esta tangente debe

interceptar la linea en el puntowf =1 w w wS S ; f = 1.

Para obtener las derivadas, se requiere graficar w wf vs SLa figura 13, indica el punto de convergencia de las 02 pendientes en el frente(shock front).

Figura 13 Pendiente de la curva de flujo fraccional.

wff1

w wfS S

1 0

w wcS S

wSwcS wfS

w wff f

wf = 1

wf = 0

wff

1

w wfS S

1 0

w wcS S

wSwcS wfS

w wff f

wf = 1

wf = 0



34/92

162

APLICACIN DE LA TEORA DE FLUJO FRACCIONAL EN LOSCLCULOS DE RECUPERACIN DE PETRLEO

Existen diferentes mtodos para calcular la recuperacin de petrleodependiendo del tipo de reservorio, ya sea homogneo o estratificado(layered).

Para Reservorios Homogeneos:Mtodo de Buckley-Leverett

Para Reservorios Estratificados (Layered o Stratified):Mtodo de StilesMtodo de Dykstra-Parsons

Mtodod de Jonson

RESERVORIOS HOMOGENEOS MTODO DE BUCKLEY-LEVERETT

Se puede obtener fcilmente el perfil de saturaciones y la recuperacin depetrleo es igual al agua inyectada (01 barril de agua inyectada es igual a 01barril de petroleo desplazado o producido suposicin de estado estable). Serequiere por lo tanto, la evaluacin del petrleo recuperado despus de lairrupcin del frente (breakthrough).

Despus de la irrupcin en el pozo productor .x =L2

Si hacemos iid

WW

LA=

= nmero adimensional de volmenes porosos de agua

inyectada

PV LA1 .

La figura 14, muestra la distribucin de saturacin de agua para 02 tiemposdiferentes, siendo uno para la irrupcin (breakthrough) y el otro para un tiempoposterior en una inyeccin lineal.



35/92

163

Figura 14 Distribucin de la saturacin de agua para: (1) en la irrupciny (2) posterior a la irrupcin, en una inyeccin lineal.

x

Sw

Swc

1-Sor

Saturation profile atbreakthrough, tb

Swbt=Swf

L

Sw

0

Saturation profileat t > tb

SweSwbt

En el preciso instante de la irrupcin, = saturacin de agua en la irrupcin

( breakthrough) el frente alcanza al pozo productor y la produccin de

agua del reservorio incrementa repentinamente desde cero hasta . Esto

confirma la existencia del shock.

wbtS

wfS

wbtf

id iq q LA

La produccin adimensional de petrleo en la irrupcin (breakthrough):

bt bt

wbt

pd id id bt w wcbt

w

w S

N W q t S Sdf

dS

= = = =

1

Usando la ecuacin (32)

btid

bt

id

Wt

q=

Despus de la irrupcin (breakthrough), se producir conjuntamente agua ypetrleo.



36/92

164

we

iid

w

w S

WW

LA df

dS

= =

1

En este momento, se evaluar la recuperacin de petrleo,

we

w we we

w

w S

S S fdf

dS

=

11

o

w we weS S f W

1 id

Si restamos de ambos lados de la ecuacin:wcS

pd w wc we wc we idN S S S S f W = 1

Ejercicio # 1 Flujo FraccionalEn un reservorio horizontal, con patrn de inyeccin direct line drive se estainyectando agua para desplazar petrleo en uno de los extremos delreservorio, bajo condiciones de flujo difuso. Las funciones de permeabilidadrelativa para el agua y el petrleo se listan en la tabla N 1 siguiente:

Tabla N 1 Datos de saturacin y permeabilidad relativa, ejercic io # 1 dellibro de Dake.

wS rwk rok wS rwk rok 0.20 0.000 0.800 0.50 0.075 0.163

0.25 0.002 0.610 0.55 0.100 0.120

0.30 0.009 0.470 0.60 0.132 0.081

0.35 0.020 0.370 0.65 0.170 0.050

0.40 0.033 0.285 0.70 0.208 0.027

0.45 0.051 0.220 0.75 0.251 0.010

0.80 0.300 0.000

La presin es mantenida en su valor inicial, por lo que,



37/92

165

o wB . rb/stb and B . rb/stb=1 3 1 0

Compare los valores del corte de agua de produccin (a condiciones desuperficie) y la recuperacin de petrleo hasta la irrupcin del frente para lassiguientes combinaciones de fluido.

Tabla 2. - Casos para analizar los diferentes resul tados de flujofraccional, ejercicio #1.

CasoViscosidaddel petrleo

Viscosidaddel agua

1 50 cp 0.5 cp

2 5 cp 0.5 cp3 0.4 cp 1.0 cp

Asuma que los datos de permeabilidad relativa y PVT son iguales para los 03casos.

Solucin al ejercicio #1 Flujo Fraccional

1) Para flujo horizontal, el flujo fraccional en el reservorio es:

wrow

rw o

f k

k

=

1

1

y el corte de agua de produccin en superficie es, ,wsf

w wws

w w o o

q Bf

q B q B=

las tasas son expresadas en , y toman en cuenta el efecto de

compresibilidad

rb/d wB ,Bo

b]

B stb/r

Combinando las 02 ecuaciones anteriores, se logra una expresin para el cortede agua en superficie:

ws

w

o w

fB

B f

=

1

11 1



38/92

166

El flujo fraccional en el reservorio para los 03 casos puede ser calculado comosigue:

Cas0 1 esw

o

.=

01

Caso 2 esw

o

.=

1

Caso 3 esw

o

.=

2 5

Flujo fraccional wfwS rwk rok ro rwk k

Caso 1 Caso 2 Caso 3

0.20 0.000 0.800 0.000 0.000 0.000

0.25 0.002 0.610 305.000 0.247 0.032 0.001

0.30 0.009 0.470 52.222 0.657 0.161 0.008

0.35 0.020 0.370 18.500 0.844 0.354 0.021

0.40 0.033 0.285 8.636 0.921 0.537 0.044

0.45 0.051 0.220 4.314 0.959 0.699 0.085

0.50 0.075 0.163 2.173 0.979 0.821 0.155

0.55 0.100 0.120 1.200 0.988 0.893 0.250

0.60 0.132 0.081 0.614 0.994 0.942 0.394

0.65 0.170 0.050 0.294 0.997 0.971 0.576

0.70 0.208 0.027 0.130 0.999 0.987 0.755

0.75 0.251 0.010 0.040 0.999 0.996 0.909

0.80 0.300 0.000 0.000 1.000 1.000 1.000

Los grficos de flujo fraccional para los 03 casos son mostrados en la figura 15y los resultados obtenidos aplicando la tcnica grfica de Welge's se muestra acontinuacin:



39/92

167

Casobtw

S btwf

(reservorio)bt

(superficie)wsf

btwS btpd

N

(PV)1 0.28 0.55 0.61 0.34 0.14

2 0.45 0.70 0.75 0.55 0.353 0.80 1.00 1.00 0.80 0.60

4.- Recuperacin de petrleo y saturacin al momento de la irrupcin

Figura 15 Flujo fraccional para diferentes casos.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Case 1

w/ o=0.01

Case 2

w/ o=0.1

Case 3

w/ o=2.5

fw[

rb/rb]

Sw

Un parmetro importante para determinar la efectividad de una inyeccin deagua es el end point mobility ratio definida como:

rw w

ro o

kM

k

=

Para un flujo horizontal, estable, ocurrir el desplazamiento tipo pistn para

. Un parmetro mas significante para caracterizar la estabilidad del

desplazamiento de Buckley-Leverett es el shock front mobility ratio, ,

definido por

M1sM



40/92

168

ro wf o rw wf w

s

ro o

k S k SM

k

=

donde las permeabilidades relativas en el numerador son evaluadas para lasaturacin del shock front, . Hagoort ha demostrado usando un argumento

teorico respaldado por un experimento, que el desplazamiento de Buckley-

Leverett es considerado como estable para la condicin . Si esta

condicin no es satisfecha, existir una severa canalizacin viscosa del agua atravs del petrleo y ocurrir irrupcin an antes que la estimada por la tcnica

de Welge. Valores de M y para los tres casos definidos en el ejercicio,son mostrados en la tabla siguiente.

wfS

sM


41/92

169

Caso 3 Para el desplazamiento de petrleo de muy baja viscosidad

tanto la ratio de movilidad al end point y al shock front son

menores que la unidad y ocurre desplazamiento tipo pistn. La tangente a la

curva de flujo fraccional, de S S

o . cp= 4

w wc , wf =

0S S

1btw

f =1

, se une a la curva en

, y por lo tantobtw or btbt

ww oS S S= r . La

recuperacin total al breakthrough esbtw wc or wcS S S S= 1 , que es

el volumen total de petrleo movible.

Ejercicio # 2 Prediccin de la Recuperacin de Petrleo.- Se inyecta agua auna tasa constante de 1000 b/d/pozo en un patron direct line drive en un

reservorio con las siguientes propiedades:

.= 0 18

wcS .0 20

orS .0 20

o cp= 5

w . cp= 0 5

Las permeabilidades relativas para el agua y petrleo se presentan en la TablaNo 2y la geometra del patrn de flujo es el siguiente:

Angulo de Buzamiento = 0Espesor del reservorio = 40 ftDistancia entre pozos inyectores = 625 ftDistancia entre inyectores y productores = 2000 ft



42/92

170

Figura 16 Esquema de un direct line drive.

Lp=2000 ft

L i=625 ft

Lp=2000 ftLp=2000 ft

L i=625 ft

Asuma que prevalecen condiciones de flujo difuso y que la inyeccin iniciasimultaneamente con la produccin de petrleo.

1) Determine el tiempo cuando ocurre breakthrough.2) Determine la produccin acumulada de petrleo como una funcin del aguainyectada acumulada y del tiempo.

Solucin al ejercic io # 2Las permeabilidades relativas y viscosidades para el petrleo y agua sonidenticas que para el Caso 2 del ejercicio # 1(Flujo Fraccional). Por lo tanto, lacurva de flujo fraccional es la misma que en la Figura 15, donde elbreakthrough ocurre,

btwS .0 45

btw

f .0 70

y bt btid pdW N .=

0 35Calculos del tiempo de Breakthrough

Para una tasa de inyeccin constante el tiempo esta relacionado al influjoadimensional por la expresin siguiente:

id

id

W (one pore volume ) (cu. ft )t

q . ( cu. ft/year )

=

5 615 365



43/92

171

idW .t ( years ).

=

625 40 2000 18

1000 5 615 365

idt . W ( years )4 39

El breakthrough ocurrir a un tiempo

btt . . . years =4 39 0 35 1 54

2) Recuperacin de petrleo

La recuperacin de petrleo despus del breakthrough, espresado envolmenes porosos, puede ser calculado usando

pd we wc we idN S S f W 1

donde

we

id

w

w S

Wdf

dS

=

1

Si hacemos que , la saturacin de agua en la zona del productor, se eleve

en incrementos de 5% los valores correspondientes a

son calculados en la Tabla 6, usando datos de la tabla 4 para el Caso 2.

weS

btwe wfor S S

idW



44/92

172

Tabla 6- Resultados para el ejercic io #2.

weS wef weS wef we wef S

weS

idW 0.45 (bt) 0.699

0.05 0.122 2.440 0.475 0.410

0.50 0.821

0.05 0.072 1.440 0.525 0.694

0.55 0.893

0.05 0.049 0.980 0.575 1.020

0.60 0.942

0.05 0.029 0.580 0.625 1.724

0.65 0.971

0.05 0.016 0.320 0.675 3.1250.70 0.987

0.05 0.009 0.180 0.725 5.556

0.75 0.996

0.05 0.004 0.080 0.775 12.500

0.80 1.000

En esta tabla, los valores de we wef S han sido calculados (no

grficamente). Los valores de weS

en la Columna 6 son los puntos medios de

cada incremento de saturacin, y se han calculado valores discretos deusando la ecuacin (60). La recuperacin de petrleo como una funcin de

y el tiempo, pueden ser determinados usando la ecuacin (59) como se

observa en la Tabla 7.

idW

idW

Tabla 7 Recuperacin de petrleo como funcin del tiempo y aguainyectada

weS

we wcS S wef

wef

1 idW

(PV)

pdN

(PV)

Time(yrs)

0.475 0.275 0.765 0.235 0.410 0.371 1.80

0.525 0.325 0.870 0.130 0.694 0.415 3.05

0.575 0.375 0.925 0.075 1.020 0.452 4.48

0.625 0.425 0.962 0.038 1.724 0.491 7.57

0.675 0.475 0.982 0.018 3.125 0.531 13.72

0.725 0.525 0.993 0.007 5.556 0.564 24.39



45/92

173

Los valores de en la Columna 3 de la Tabla 7 han sido obtenidas de la

figura 15 (Caso 2), para el valor correspondiente de

wef

weS

. La recuperacin

de petrleo en volumenes porosos es graficado como una funcin de ytiempo en la figura 18. La mxima recuperacin possible es un volumen de

petrleo movible, i.e., .

idW

wc or S S . P =1 0 V6

Figura 18 Recuperacin adimensional de petrleo (PV) como unafuncin adimensional del volumen poroso inyectado (PV), y tiempo.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6

qi=1,000 rb/dNpd

(PV)

Wid(PV)

5 155 10 2520time (years)

En el caso general, en la cual el desplazamiento toma lugar a una presin fija ysobre la presin del punto de burbuja, se tiene

p o

pd wc

oi

N Boil production (rb)N S

one pore volume (rb) NB= = 1

y la expression convencional

p pdoi

o wc

N NB (stb.oil)

N B S STOIIP (stb)=

1

en la ltima expresin, o oB B i ,ya que el desplazamiento ocurre a la

presin inicial del reservorio,p pdN N N Swc1 .

Cuando la ratio de movilidad es desfavorable (mayor que 10) el mtodo de

Buckley-Leverett no es applicable y se puede usar el mtodo de digitamientoviscoso.



46/92

174

EJEMPLO

Un reservorio sometido a impulsin por agua es de tal dimensin y forma que

la invasin del agua a la primera lnea de productores puede ser tratada como

flujo lineal. El empuje de agua es suficientemente activo que el flujo de fluidos

esta en estado estable. La tasa de produccin de fluidos del reservorio es en

promedio 2,830 bl-res/da. Calcular los valores de flujo fraccional para este

reservorio a las saturaciones listadas mas abajo. Los datos del reservorio son

los siguientes:

Buzamiento promedio de la formacin : 15.5

Ancho promedio del reservorio : 8,000 pies

Espesor promedio del reservorio : 30 piesArea de seccin transversal promedio : 240,000 pies2

Permeabilidad : 108 md.

Agua connata (irreducible) : 16 %

Gravedad especfica del petrleo en el reservorio : 1.01

Viscosidad del petrleo : 1.51 cp.

Gravedad especfica del agua del reservorio : 1.05

Viscosidad del agua : 0.83.

Datos de Permeabilidad Relativa

Sw Krw Kro

0.79 0.63 0.00 (Crtica)

0.75 0.54 0.02

0.65 0.37 0.09

0.55 0.23 0.23

0.45 0.13 0.44

0.35 0.06 0.73

0.25 0.02 0.94

0.16 0.00(Crtica) 0.98



47/92

175

Solucin

+

+

=

o

ro

rw

w

c

to

o

wK

K

Senx

P

q

AK

f

1

4335.0127.11

Si

0=

x

Pc

( )

+

=

o

ro

rw

w

to

o

wK

K

Senq

AK

f

1

488.01

+

=

o

ro

rw

w

to

ro

wK

K

q

SenAKK

f

1

488.01

+

=

51.1

83.01

830,251.1

5.1504.0000,240108.0488.01

rw

ro

ro

w

K

K

SenK

f



48/92

176

+

=

rw

ro

ro

w

K

K

Kf

5497.01

0316.01

Sw Kro Krw (Kro/Krw) Fw

0.79 0.00 0.63 0.000 1.000

0.75 0.02 0.54 0.037 0.980

0.65 0.09 0.37 0.243 0.880

0.55 0.23 0.23 1.000 0.641

0.45 0.44 0.13 3.385 0.345

0.35 0.73 0.06 12.167 0.127

0.25 0.94 0.02 47.000 0.0360.16 0.98 0.00 ------- 0.000



49/92

177

DESPLAZAMIENTO A TASA DE INYECCIN CONSTANTE

(.) Petrleo desplazado

Mientras el agua no llegue al final del sistema, el petrleo ser

producido a la misma tasa a la que el agua es inyectada, ya que el

sistema es incompresible y se asume que el agua intersticial es inmvil.

Cuando ocurre la irrupcin del frente, existe un gradiente de saturacin

de agua desde el ingreso hasta el final del sistema. El volumen de agua

en el sistema entre x=x1 y x=x2 puede ser obtenido de la integracin de

la ec. siguiente :

Vw = Sw A dx (1)

El volumen de petrleo desplazado de esta regin es:

Vo = Vw - A (x2-x1) Swi (2)

se desarrollar la solucin correspondiente:

Si consideramos Sw como la saturacin de agua promedio

(volumtrica), para la regin x1 < x < x2, tendremos:

Sw A dxSw = --------------- (3)

A dx

para valores constantes de y A, la ec. (3) se reduce a:

Sw dx

Sw = -------------- (4)

x2- x1

adems se puede hacer :

d(x Sw) = Sw dx + x dSw (5)

reemplazando en la ec. (4)

1



50/92

178

Sw = --------- d(x Sw) - x dSw (6)

x2- x1

1 1Sw = -------- d(x Sw) - ----------- x dSw (7)

x2- x1 x2- x1

x2Sw2- x1Sw1 1

Sw = ------------------------ - ----------- x dSw (8)

x2- x1 x2- x1

ahora evaluando la integral de ec. anterior y usando:

q t fw

XSw= ----- -----

A Sw

tendremos : q t fw

x dSw = ----- --------- dSw (9)

A Sw

q t fw

x dSw = ----- --------- dSw (10)

A Sw

q t

x dSw = ----- dfw (11)A

por lo tanto:

q t

x dSw = ----- (fw2- fw1) (12)

A



51/92

179

finalmente, la saturacin promedia de agua para el intervalo x1< x < x2

es dado por

x2Sw2- x1Sw1 q t (fw2- fw1)Sw = ------------------------ - ------- --------------- (13)

x2- x1 A (x2- x1)

Si consideramos todo el sistema (x1 = 0 y x2 = L), entonces la

saturacin promedio del ncleo ser:

q t

Sw = Sw2 - ------- (fw2- fw1) (14)

A L

Si adems consideramos que a x = 0, fw1 = 1.0, tendremos:

q t

Sw = Sw2 + --------- (1 - fw2) (15)

A L

Si definimos a Wi como el volumen total de agua inyectada (q t) y Qi

como los volmenes porosos de agua inyectada, tendremos:

Qi = Wi / A L (16)

y para inyeccin constante:

Q = q t / A L (17)

entonces, la ec. (15) se convierte:

Sw = Sw2 + Qi (1 - fw2) (18)

debido a que la saturacin de hidrocarburo desplazado es Sw - Swi,

entonces, el petrleo acumulado desplazado, Np, ser:

Np = Vp (Sw - Swi) (19)

donde el FVF fue asumido igual a 1.0.

Si consideramos que al final del sistema (x = L) la saturacin de agua es

Sw2 una vez que el frente lleg, entonces tendremos:



52/92

180

q t fw

XSw2 = L = ------ ------

A Sw

1

Q1 = ------- (20)

fw

----

Sw

y si consideramos la ec. (18) tendremos:

(1 - fw2)Sw = Sw2 + -------------- (21)

f'Sw2

donde :

fw

f'Sw2 = ----- (22)

Sw

En el grfico anterior, se muestra una tangente a la curva de flujofraccional a una saturacin Sw2 > Swf. La tangente intercepta a fw = 1.0

en Se. Entonces la pendiente del grfico es:

fw -1 - fw

------ = -------------- (23)

Sw Se- Sw2

si acomodamos la ec.(21) tendremos:

fw 1 - fw2

----- = -------------- (24)

Sw Sw - Sw2

La comparacin de las ecuaciones (23) y (24) muestran que Se = Sw y

la saturacin promedia despus de la irrupcin del frente puede

obtenerse de la interseccin de la tangente a la curva con fw = 1.0.



53/92

181

(.) Tasa de produccin

Se tiene:

fw2q

qw2= -------- (25)

Bw

fo2q

qo2= -------- (26)

Bo

(1 - fw2) q qo2 = ------------- (27)

Bo

(.) WOR

Es una medida de la eficiencia del desplazamiento. En operaciones de

produccin representa el volumen de agua que debe manipularse paraproducir una unidad de volumen de petrleo. Se define el WOR para un

sistema lineal :

fw2 Bo

WOR = ----- ---- (28)

fo2 Bw

(.) Tiempo requerido para desplazamiento

Debido a que la tasa de inyeccin no varia con el tiempo, el valor del

tiempo correspondiente a la inyeccin de Qi volmenes porosos es

obtenido de:

Qi

t = ---------- (29)

q / A L



54/92

182

EJEMPLO

En un reservorio tal como se muestra en la Figura, se tienen las siguientes

propiedades de roca y fluido:

= 0.18Swc = 0.20

Sor = 0.20

o = 5 cp.

w = 0.5 cp

qwi = 1,000 BWPD

Bo = 1.3 bl/STBBw = 1.0 bl/STB

Sw Krw Kro _

0.20 0.000 0.800

0.25 0.002 0.610

0.30 0.009 0.470

0.35 0.020 0.3700.40 0.033 0.285

0.45 0.051 0.220

0.50 0.075 0.163

0.55 0.100 0.120

0.60 0.132 0.081

0.65 0.170 0.050

0.70 0.208 0.027

0.75 0.251 0.010

0.80 0.300 0.000

Asuma condiciones de flujo difuso y que la inyeccin inicia simultneamentecon la produccin:

1.- Calcule el flujo fraccional en el reservorio y en superficie, lasaturacin promedia de agua detrs del frente y el petrleo

recuperado hasta el momento de la ruptura del frente.



55/92

183

2.- Determinar el tiempo al cual ocurre la ruptura del frente.

3.- Efecte el pronstico de inyeccin y produccin despus de laruptura del frente.

4.- Estime el factor de recuperacin, cuando se tenga un flujofraccional en el reservorio de 0.925.

Solucin

1.- Para flujo horizontal, el flujo fraccional en el reservorio es:

Sw fw

0.20 0

0.25 0.032

0.30 0.161

0.35 0.351

0.40 0.537

0.45 0.699

0.50 0.8210.55 0.893

0.60 0.942

0.65 0.971

0.70 0.987

0.75 0.996

0.80 1.000

En el momento de la ruptura del frente tenemos:

- Flujo fraccional en el reservorio: 0.70 (a Sw = 0.45).

- Flujo fraccional en superficie: 0.75

- Saturacin promedia detrs del frente: 0.55

- Petrleo recuperado:

El cambio de saturacin ser:



56/92

184

Npd = Sw - Swc = 0.55-0.20 = 0.35

El cambio de aturacin representa tambin al petrleo desplazado,

En trminos de petrleo significa:

BlsxxxxSoLhA

Npd ==

= 997,560615.5

35.018.0000,240625

615.5

2.- Como los fluidos son incompresibles y la tasa de inyeccin esconstante, se tiene:

Wi = Npd agua inyectada = petrleo producido

Wi = qwi t

t = Wi / qwi = 560,997.3 bl / 1000 bpd 365 = 1.54 aos

(la ruptura del frente ocurrir a 1.54 aos)

3.- El pronstico se tiene en la siguiente tabla:

Sw fw Sw fw fw /Sw Swavg Wi=1/(5) Np t

0.45 0.699

0.05 0.122 2.440 0.475 0.410 0.371 1.80

0.50 0.821

0.05 0.072 1.440 0.525 0.694 0.415 3.05

0.55 0.893

0.05 0.049 0.980 0.575 1.020 0.452 4.48

0.60 0.942

0.05 0.029 0.580 0.625 1.724 0.491 7.57

0.65 0.971

0.05 0.016 0.320 0.675 3.125 0.531 13.72

0.70 0.987

0.05 0.009 0.180 0.725 5.556 0.564 24.39

0.75 0.996

0.05 0.004 0.080 0.775 12.500

0.80 0.100



57/92

185

5.- Los valores han sido calculados en vez de determinados

grficamente como se sugiere en los textos:

6.- Los valores de Sw son los puntos medios.

7.- Los valores Wi han sido calculados por:

Wi = 1 / (dfw/dsw)

debido a:

x = (Wi / A) (dfw/dsw) Wi = (xA) / (dfw/dsw)

8.- La recuperacin de petrleo despus de la irrupcin del frente sepuede calcular usando:

Npd = ( Sw - Swc) + (1 - fw) Wi

donde fwha sido obtenido del grfico (fw vs Sw) para cada valor

correspondiente a Sw.

9.- t = Wi/ qi

La mxima recuperacin, es (1-Swc-Sor) = 0.6 PV.

4.- El factor de recuperacin cuando se tenga un flujo fraccional en elreservorio de 0.925, ser de 0.452 o 45.2%.

EJEMPLO

Se piensa inyectar agua en un reservorio de 300 pies de ancho, 20 pies deespesor y 1,000 pies de longitud. El reservorio es horizontal y tiene una

porosidad de 0.15 y una saturacin de agua inicial de 0.363, la cual es

considerada inmvil. Se propone perforar una fila de pozos inyectores en un

extremo del reservorio e inundar con agua a una tasa de 338 BPD. La

viscosidad del petrleo y el agua es de 2.0 y 1.0 cp. respectivamente. Los

datos de permeabilidad relativa corresponden a desplazamiento de petrleo

por agua y pueden ser representados por las ecuaciones siguientes:



58/92

186

Kro = (1 - Sw*)2.56

Krw = 0.78 Sw*3.72

donde

(Sw - Swi)

Sw* = ---------------------

(1 - Sor - Swi)

La saturacin residual de petrleo es 0.205 y los FVFs del petrleo y el agua

son iguales a 1.0.

Estimar la tasa de desplazamiento y el desplazamiento acumulado de petrleo

como una funcin del tiempo de inyeccin.

Solucin

Usando la ecuacin:

1

Fw = ----------------------

1 + Kro Uw

----------

Krw Uo

Se obtiene la siguiente tabla:



59/92

187

Sw Krw Kro Fw

0.363 0.000 1.000 0.000

0.380 0.000 0.902 0.0000.400 0.000 0.795 0.000

0.420 0.000 0.696 0.001

0.440 0.001 0.605 0.004

0.460 0.003 0.522 0.011

0.480 0.006 0.445 0.026

0.500 0.011 0.377 0.055

0.520 0.018 0.315 0.103

0.540 0.028 0.260 0.179

0.560 0.042 0.210 0.285

0.580 0.060 0.168 0.418

0.600 0.084 0.131 0.562

0.620 0.113 0.099 0.696

0.640 0.149 0.073 0.805

0.660 0.194 0.051 0.884

0.680 0.247 0.034 0.936

0.700 0.310 0.021 0.968

0.720 0.384 0.011 0.985

0.740 0.470 0.005 0.995

0.760 0.570 0.002 0.999

0.795 0.780 0.000 1.000

Si se efecta un grfico de Fw versus Sw (curva de flujo fraccional) y se traza

una tangente desde Swi = 0.363, esta intercepta a la curva de flujo fraccional a

Sw = 0.665. Es decir la zona estabilizada incluye todas las saturaciones de

agua desde Sw= 0.363 a 0.65. Algunas veces es dificultoso determinar el

punto exacto donde la tangente a la curva de flujo fraccional intercepta la

curva. Esto ocurre cuando la curva de flujo fraccional no cambia rpidamentecon la saturacin.

La recuperacin de petrleo (fraccin de PV) a la ruptura del frente se obtiene

de:

Qbt = (Swfp - Swi)



60/92

188

En este caso la saturacin promedia de agua del reservorio la ruptura del

frente es de 0.70.

Qbt = 0.337

La recuperacin de petrleo a la ruptura del frente se obtiene de:

Np = Vp ( Swfp - Swi)

donde :

Vp = A L = (300 pies) (20 pies) (1,000 pies) (0.15) / 5.615

Vp = 160,285 bbl.

Np = 160,285 (0.70 - 0.363) = 54,016 bbl.

El tiempo para alcanzar la ruptura del frente se obtiene de:

t = (Qbt Vp ) / qt

t = 474.2 Q = 474 x 0.337

t = 159.8 dias.

El WOR se obtiene de:

WOR = fw / (1 - fw) = 0.899 / (1 0.899) = 8.9



61/92

189

Sw Swp Fw Qbt Tiempo Np q WOR

(fraccin) (frac. PV) (dias) (STB) (B/D) (Bl/STB)0.363 ----- 0.000 0.173 82.0 27,729 338.0 0.0

0.665 0.700 0.899 0.337 159.8 54,016 34.1 8.9

0.670 0.703 0.913 0.379 179.7 54,497 29.4 10.5

0.680 0.713 0.936 0.516 244.7 56,100 21.6 14.0

0.690 0.721 0.953 0.660 313.0 57,392 15.9 20.3

0.700 0.730 0.968 0.938 444.8 58,825 10.8 30.3

0.710 0.736 0.977 1.130 535.9 59,786 7.8 42.5

0.720 0.741 0.984 1.313 622.6 60,972 5.4 61.5

0.730 0.750 0.990 2.000 948.4 62,030 3.4 99.0

0.740 0.758 0.995 3.600 1,707.0 63,312 1.7 199.0

0.750 0.766 0.997 5.333 2,529.0 64,595 1.0 322.3

EJEMPLO

Se desea desarrollar un experimento de inyeccin de agua en el laboratorio.Ud. ha sido designado como responsable del desarrollo del experimento de

desplazamiento lineal. Los datos de este experimento sern usados para

calcular las permeabilidades relativas.

Su tarea es seleccionar una bomba y un transducidor de presin de la tabla

que se muestra mas abajo y que rena las condiciones siguientes:

(a) Un WOR instantneo de 100 debe ser alcanzado en no mas de 2 horas.(b) El transducidor de presin el mnimo rango posible para obtener una

alta precisin.

Los datos representativos del material del ncleo son:

L = 0.984 pies

d = 0.164 pies.

= 0.2Ko = 0.15 darcys, a Swi

Soi = 0.75

Sor = 0.25



62/92

190

Uo = 2.5 cp.

Uw = 1.0 cp.

El ncleo esta saturado con petrleo y agua al inicio del desplazamiento. Lasaturacin de agua inicial es de 0.25. Las curvas de permeabilidades relativas

son representadas por:

Kro = (1 - Sw*)2

Krw = 0.15 Sw*3

donde

(Sw - Swi)

Sw* = -----------------------

(1 - Sor - Swi)

Nmero Tasa Nmero Rango Presin

Bomba (mL/hr) Transducidor (KPa)P-A 6 T-1 0 a 7.0

P-B 12 T-2 0 a 14.0

P-C 24 T-3 0 a 34.0

P-D 48 T-4 0 a 68.0

P-E 96 T-5 0 a 170.0

P-F 120 T-6 0 a 340.0

P-G 200 T-7 0 a 700.0

P-H 300 T-8 0 a 1,700.0

P-I 400 T-9 0 a 3,400.0

P-J 500 ---- ---------



63/92

191

DESPLAZAMIENTO BAJO CONDICIONES DE FLUJOSEGREGADO

En la parte inundada del reservorio, slo agua est fluyendo, en la presenciade petrleo residual, con permeabilidad efectiva:

rww KKK '=

donde K'rw es "end point relative permeability to water".

Similarmente, en la zona no inundada, esta fluyendo petrleo en la presenciade agua connata con permeabilidad efectiva:

roo KKK '=

donde K'ro "end point relative permeability to o il".

Por lo tanto, a cualquier punto de la interfase entre los fluidos, las presiones en

el petrleo y el agua son iguales. Esto significa que existe una interfasedistinta sin zona de presin capilar.

El flujo segregado asume que el desplazamiento es gobernado por equilibriovertical. En este sentido, ya que no hay zona de transicin capilar, las fuerzasde gravedad son las nicas responsables para la distribucin instantnea delos fluidos en la direccin normal al buzamiento.

En un reservorio con buzamiento se distinguen: desplazamiento estable ydesplazamiento inestable.

Desplazamiento estable

La condicin para desplazamiento estable es que el ngulo entre la interfase

de los fluidos y la direccin del flujo debe permanecer constante durante el

desplazamiento.



64/92

192

constantetangdx

dy==

El ngulo es constante y se satisface a tasas de inyeccin relativamentebajas cuando las fuerzas de gravedad amparndose en la diferencia dedensidad de los fluidos, actan para mantener la interfase horizontal.

Desplazamiento Inestable

Cuando se inyecta a altas tasas, las fuerzas viscosas, prevalecern sobre el

componente de fuerzas gravitacionales que actan en la direccin debuzamiento abajo, resultando en un desplazamiento inestable.

Debido a la diferencia de densidad, el agua rodear al petrleo en la forma deuna lengua de agua, lo que conlleva a una irrupcin prematura de agua.

El desplazamiento ocurre por la siguiente condicin:

0== tangdx

dy

Deduccin matemtica

Si el desplazamiento incompresible es estable, entonces, en todos los puntosde la interfase, el petrleo y el agua deben tener la misma velocidad.

Aplicando la Ley de Darcy a cualquier punto en la interfase paradesplazamiento en la direccin x:

K K'ro Po og Sen vo= vt= - -------- ( ------- + ------------------)

o x 1.0133x106

y

K K'rw Pw wg Sen vw= vt= - --------- ( -------- + --------------------)

w x 1.0133x106



65/92

193

restando las ecuaciones anteriores tenemos:

o w g Sen vt( ---------- - --------- ) = - ------ (Po - Pw) + ------------------ (1)

K K'ro K K'rw x 1.0133x106

donde = w- o. Aplicando la ecuacin de presin capilar.

g Cos dPc = d(Po - Pw) = ------------------ dy

1.0133x106

y para desplazamiento estable (dy/dx es negativa)

dPc g Cos dy---- = - ------------------ ------

dx 1.0133x106 dx

que cuando se sustituye en (1) se obtiene:

o w g dy

vt= ( --------- - ----------- ) = -------------- ( Cos ----- + Sen )

K K'ro K K'rw 1.0133x106 dx

expresando en trminos de qt ( v = q/A)

K'rw----

w K K'rw A g Sen dy 1(-------- - 1) = --------------------------------- ( ------ ------- + 1 )

K'ro 1.0133x106

wqt dx tg ----o

haciendo



66/92

194

K'rw----w

M= -------- es "the end point mobility ratio"K'ro----o

K K'rw A g Sen G = ---------------------------- es nmero adimensional de gravedad (2)

1.0133x106qtw

tenemos la ecuacin:

dy 1M - 1 = G ( ---- ---------- + 1 ) (3)

dx tang

resolviendo para dar la pendiente de la interfase para flujo estable:

dy (M-1-G)

-- = - tang = ------------- tang (4)dx G

En esta ecuacin, M es una constante y G es una constante positiva cuandose desplaza petrleo por agua a una tasa fija en direccin buzamiento arriba.

Por lo tanto, la inclinacin de la interfase dy/dx, asume un valor fijo.

Para desplazamiento estable, dy/dx debe ser una constante negativa y estoimpone la condicin para estabilidad que:

G > M-1 (estable)

El caso limitante es cuando dy/dx = 0, el agua rodear al petrleo en la formade una lengua de agua, esto ocurrir cuando:

G = M-1 (inestable)

que cuando la ec. (2) puede ser resuelta para determinar la denominada "tasacritica" para "by-passing", que en unidades de campo:



67/92

195

4.9 10-4K K'rw A Sen qcrit= ----------------------------------------- (5)

w

(M - 1)

El desplazamiento ser estabilizado si la tasa de inyeccin es mantenidadebajo de qcrit

La magnitud de la relacin de movilidad influye en el desplazamiento, tal comose detalla:

M > 1 El desplazamiento es estable si G > M-1 y < e inestable si G < M-1.

M = 1 Es una relacin favorable para el cual no existe tendencia para "bypass". Para M=1 el desplazamiento es incondicionalmente estable. Por lotanto = y la interfase se eleva horizontalmente en el reservorio.

M < 1 Esta relacin conduce a un desplazamiento incondicionalmente estable,pero en este caso > .

El flujo segregado en el grfico anterior es un problema bidimensional.

Para reducir la descripcin matemtica a una dimensin es necesariopromediar la saturacin (y la saturacin depende de las permeabilidades

relativas sobre el espesor del reservorio). El flujo puede ser descrito como queocurre a lo largo de una lnea en el centro del reservorio.

A cualquier punto X, sea "b" el espesor fraccional del agua (Graf. 27), as b =y/h. La saturacin de agua promediada por espesor en el punto X, es:

_Sw = b (1 - Sor) + (1 - b) Swc

que se resuelve para b

Sw - Swcb = ---------------- (6)

1-Sor-Swc

y ya que Sor y Swc son constantes, la ec. (6) indica que "b" es directamenteproporcional a la saturacin promedio.

La permeabilidad relativa al agua promediada por el espesor puede serderivada en forma similar.

_

Krw(Sw) = b Krw(Sw=1-Sor) + (1-b) Krw(Sw=Swc)



68/92

196

y ya que Krw(Sw=Swc)es cero y Krw(Sw=1-Sor)= k'rw, se puede reducir a:

_Krw(Sw) = b K'rw

donde k'rw es la "permeabilidad relativa al agua en el punto final" (end pointrelative permeability to water).

Para el petrleo, la permeabilidad relativa ponderada por el espesor es:_Kro(Sw) = b Kro(Sw=1-Sor) + (1-b) Kro(Sw=Swc)

_Kro(Sw) = (1-b) K'ro

donde k'ro es "the end point relative permeability to oil" sustituyendo para"b" en estas expresiones, usando la ec. (6) se obtiene:

__ (Sw - Swc )Krw(Sw) = ---------------- K'rw (7)

1-Sor-Swc

_

_ (1-Sor-Sw)Kro(Sw) = ---------------- K'ro (8)

1-Sor-Swc

Estas ecuaciones indican que las permeabilidades relativas promediadas porel espesor, para flujo segregado, son simplemente funciones lineales de lasaturacin de agua promediada por el espesor, tal como se muestra en lafigura:

Como se muestra en el Graf. 28, las lneas a rayas, son las curvas depermeabilidad relativa obtenidas de medidas en laboratorio. Ellas son medidas

bajo condiciones de flujo difuso y representan permeabilidades relativas en elreservorio. Estas curvas pueden ser usadas slo en clculos dedesplazamiento si la saturacin de agua es la misma en todos los puntos atravs del espesor. En este nico caso, las permeabilidad relativas puntuales,son iguales a las permeabilidades relativas promediadas por el espesor.

En contraste, las funciones lineales mostradas en el Graf. 28, resulta delproceso requerido en el promedio por el espesor, para facilitar la descripcindel flujo segregado bidimensional usando ecuaciones unidimensionales.



69/92

197

Por lo tanto, los clculos de recuperacin de petrleo, para flujo segregado yasea estable o inestable, puede ser efectuado usando permeabilidades relativaslineales en conjunto con la teora de desplazamiento de B-L.

Esto es debido a que la teora fue basada simplemente en la conservacin dela masa de agua, en una dimensin.

La ecuacin de flujo fraccional puede ser graficada usando funciones depermeabilidad relativa lineal y la tcnica grfica de Welge. En este caso lacurva de flujo fraccional no tiene punto de inflexin (Graf. 29) ya que no hay"shock front" para flujo segregado. Todos los puntos sobre la curva de flujofraccional son usados en los clculos de recuperacin despus de la rupturadel frente.

Las ecuaciones unidimensionales para el flujo separado de petrleo y agua,bajo condiciones de flujo segregado en un reservorio horizontal son :

(1-b) K K'ro A Poqo= - -------------------- --------- (9)

o x

(1-b) K K'rw A Pwqw= - --------------------- -------- (10)

w

x

A = area de seccin transversalPo y Pw = presiones en las fases de petrleo y agua referidas a la lneacentral del reservorio.

h ogPo = Po - (--- - y) ---------------- atm

2 1.0133x106

h wgPw = Pw - (--- - y) -------------- atm

2 1.0133x106

donde "y" es el espesor actual del agua (y = bh). Ya que las presiones en lainterfase, Po y Pw son iguales para flujo segregado, entonces el gradiente depresin de fases, resultante de la diferenciacin y sustraccin de lasecuaciones anteriores es:



70/92

198

Po Pw g dy----- - ----- = - ------------------ ----

x x 1.0133x106 dx

Para desplazamiento horizontal inestable se considera que el ngulo deinclinacin de la interfase dy/dx, es pequeo, y por lo tanto el gradiente de ladiferencia de presin en las fases puede ser despreciado. En este caso,usando las ecuaciones (9) y (10), se deriv la ec. de flujo fraccional.

o K'rw

------ ---------

K'ro wfw = ---------------------------

1-b o K'rw

----- + ------ -------b K'ro w

que puede ser simplificado:

Mb

fw= ---------------1 + (M-1) b

hasta el momento de la ruptura del frente, la recuperacin de petrleo es igualal agua inyectada acumulada. Despus de la ruptura del frente, siconsideramos "be" como el espesor fraccional del agua cerca al pozoproductor, as para un pozo con penetracin total, el flujo fraccional de aguahacia el pozo es:

Mbefwe

= --------------- (11)

1+(m+1)be

1aplicando Wi = --------- en el pozo productor, tendremos:

dfw------dsw

1 dfwe---- = ------

WiD dSwc



71/92

199

y usando

Sw-Swc para la saturacin de agua ponderada

b = --------------1-Sor-Swc

_por el espesor, Swe.

1 dfwe dfwe dbe dfwe 1------ = -------- = -------- . -------- = -------- . ----------------

WiD dSwe dbe dSwe dbe (1-Sor-Swc)

y por lo tanto:

dfwe 1-Sor-Swc 1-------- = ----------------- = --------dbe Wid Wid

Wid = inyeccin acumulada de agua expresada en volmenes de petrleomovible (movable oil volumes = MOV).

1 MOV = PV (1-Swc-Sor)

Diferenciando la ec. (11) con respecto a "be", dar:

dfwe 1 M------ = -------- = ------------------

dbe Wid [1+(M-1)be]2

de la cual se obtiene :

1be= --------- ( WiDM - 1 ) (12)

M - 1

y sustituyendo para been la ec. (11) d:

M 1fwe = ------- ( 1 - ------------ ) (13)

M - 1 WiDM

La ec. de recuperacin de petrleo (Npd = (Sw - Swc) + (1 - fw)WiDpuede ser

expresada en MOV's como:



72/92

200

Swe - Swc

Npd = ----------------- + (1 - fwe) WiD

1 - Sor - Swc

Npd = be + (1 - fwe) WiD.

y sustituyendo en esta ecuacin para "be" y "fwe", usando ec (12) y (13)resulta en la frmula de recuperacin.

1Npd = -------- ( 2 WiDM - WiD - 1 ) (14)

M - 1

en la cual todos los volmenes estn expresados en MOV's. Se recuerda quela ec. (14) es slo aplicable para desplazamiento horizontal bajo condicionesde flujo segregado inestable (M > 1).

Al momento de la ruptura del frente Npd = Wid y resolviendo la ec. (14) paraesta condicin, se obtiene:

1NpDbt = ---- (15)

M

que muestra que para el caso limitante de M = 1, ocurre desplazamiento tipopistn estable, para el cual NpDbt = 1. Similarmente, cuando se ha

recuperado la cantidad total de petrleo, NpD= 1 (MOV), y sustituyendo esta

condicin en la ec. (14) se obtiene:

WiDmax= M (16)

Las ecuaciones (15) y (16) claramente demuestran el significado de la relacinde movilidad para caracterizar la recuperacin de petrleo bajo condiciones deflujo segregado.

Para el caso ms general de desplazamiento inestable en un reservorio conbuzamiento ( G < M-1 ), la ecuacin de flujo fraccional equivalente a la ec. (11)es:

Mbe-be(1-be) Gfwe = ------------------------

1 + (M-1) be



73/92

201

y repitiendo los pasos, la ec. (14) se convierte en un caso ms completo :

1 G WiDG

Npd = ----- 2 WiDM 1 - ------- 1 - ----------- -

M-1 M-1 M-1

(M+1)- WiD 1 - -------- G - 1 (17)

(M-1)

donde si G = 0 (reservorio horizontal) se reduce a la forma de la ec. (17). La

ec. (17) se resuelve rpidamente para la condicin (Npd = Wid) para dar:

1NpDbt = -------- (18)

M-G

mientras para la mxima recuperacin (NpD = 1)

MWiDmax = --------- (19)

G + 1

EJEMPLO

Sobre la base de la informacin siguiente:

Distancia entre los pozos de inyeccin y de produccin 1,000 ft

Ancho promedio del reservorio (entre productores e inyectores) 200 ft

Altura promedio del reservorio (entre productores e inyectores) 35 ft

Angulo de buzamiento de la formacin 25

Porosidad 0.15

Permeabilidad promedio 500 mdSaturacin de agua connata 0.35

Saturacin residual de petrleo 0.35

End point de la permeabilidad relativa al petrleo 1.00

End point de la permeabilidad relativa al agua 0.50

Viscosidad del petrleo a T y P del reservorio 4.5 cp

Viscosidad del agua, a T y P del reservorio 0.75 cp

Densidad del petrleo 0.60 gr/cc

Densidad del agua 1.00 gr/cc

FVF del petrleo a condiciones actuales 1.2

FVF del agua 1.0



74/92

202

(a) Calcular el ratio de movilidad para la inyeccin de agua.(b) Calcular la tasa crtica de inyeccin de agua para un desplazamientoestable (gravedad).

(c) Cual es el valor del nmero de gravedad (gravity number) si la tasa deinyeccin que usa el proyecto es igual a tres veces la tasa crtica?(d) Asumiendo que la teora de flujo segregado es aplicable, que fraccin delpetrleo movible (MOV) ser recuperado hasta el instante del waterbreakthrough con la tasa de inyeccin mencionada?(e) Cuanto tiempo de inyeccin de agua es necesario para una completainundacin?

Solucin

(a)

0.375.00.1

5.450.0*

*

*

*

==

==

x

x

K

K

K

K

M

wro

orw

o

ro

w

rw

(b)

( )1109.4

*4

=

M

SenAKKxq

w

rw

crit

dBlSenx

qcrit /6.96)0.10.3(75.0

)25()4.0)(000,7)(5.0)(500(109.4 4=

=

(c)

Tres veces la tasa crtica = 96.6 Bl/d x 3 = 289.8 Bl/d



75/92

203

=

wt

rw

q

SenAKKxG

*

4109.4

667.0)75.0(8.289

)25()4.0)(000,7)(5.0)(500(109.4 4 =

=

SenxG

(d)

Para reservorios con buzamiento, la recuperacin al breakthrough esta dadapor:

429.0667.00.3

11=

=

=

GMN

p

El petrleo movible = H*W*L**(1-Swi-Sor)=(1000)(200)(35)(0.15)(1-0.30-0.35) = 367,500 Bls.

Volumen de petrleo producido a condiciones de reservorio hasta elbreakthrough es: (367,500)(0.429) = 157,660 Bls

Volumen de petrleo producido a condiciones de superficie, hasta elbreakthrough es: 157,660 / (1.2) = 131,400 Bls.

(e)

A la inundacin:

80.1)1667.0(

3

1=

+=

+=G

MWi

Volumen de agua inyectada = 1.8 x MOV = 1.8 x 367,500 Bls = 661,500 Bls

Dias de inyeccin = 661,500 Bls / 289.8 = 2289 das

EJEMPLO

Usando los mismos datos para el problema de flujo difuso, resuelva laspreguntas siguientes:



76/92

204

Informacin adicional:K = 2.0 Darcys

w = 1.04 (gravedad especfica en el reservorio)o = 0.81 (gravedad especfica en el reservorio)

1.- Calcular la relacin de movilidad para puntos extremos (end point).

2.- El volumen de agua inyectada o petrleo recuperado a la ruptura delfrente. Asimismo la mxima recuperacin de petrleo. Expresarlo enMOV's y PV's.

3.- Pronostique la recuperacin de petrleo y el agua inyectada, desde laruptura del frente hasta la mxima recuperacin.

4.- Estime la tasa crtica para "by-passing", la recuperacin a la ruptura delfrente y el pronstico de la recuperacin de petrleo y agua inyectada, siel mismo reservorio tiene un ngulo de buzamiento de 25.

SOLUCION

1.-

K'rw----w 0.3 / 0.5

M= -------- = ------------ = 3.75K'ro 0.8 / 5.0----o

2.- A la ruptura del frente:

WiDbt = NpDbt = 1 / M = 0.267 (MDV) = 0.160 (PV)

ya que 1 MOV = PV (1-Sor-Swc) = PV (1-0.2-0.2) = 0.6 PV y la mximarecuperacin es:

WiD = M = 3.75 (MOV) = 2.25 (PV)

3.- La recuperacin de petrleo como una funcin de WiD puede sercalculada usando ec. (14) con WiD como una variable independiente.



77/92

205

WiD NpD WiD Npd t=4.39 Wid(aos)(MOV) (MOV) (PV) (PV) (t= Wid/qi)

0.267(bt) 0.267 0.160 0.160 0.702

0.300 0.299 0.180 0.179 0.790

0.500 0.450 0.300 0.270 1.3171.000 0.681 0.600 0.409 2.634

1.500 0.816 0.900 0.489 3.951

2.000 0.901 1.200 0.540 5.268

3.000 0.985 1.800 0.591 7.902

3.750 1.000 2.250 0.600 9.878

4.-

4.9 10-4K K'ro A Sen

qcrit= ---------------------------------w(M - 1)

4.0x10-4x2000x0.3x625x40x(1.04-0.81) Sen25qcrit= -----------------------------------------------------

0.5 (3.75-1)

= 520 Bls/d de agua (a cond. reservorio)

Para inyeccin a esta tasa crtica:

G = M-1 = 2.75

Comparando ec. 2 y 5 indica que:

qcrit(M-1) = qtG

y por lo tanto, a una tasa de inyeccin de qi = qt =1000 BPD

520G = ------ 2.75 = 1.4301000

sustituyendo este valor de G y el valor de M en la ec. (17), paradesplazamiento inestable (G < M-1), se reduce a:

Npd = 0.976 WiD(1 - 0.52 WiD) + 0.535 WiD- 0.364 (20)

Al tiempo de la ruptura del frente Npd = WiDy la ec. (18) puede ser aplicado

para determinar la recuperacin de la ruptura del frente:



78/92

206

1 1

NpDbt= -------- = ------------ = 0.431(MOV) = 0.259 (PV)

M-G 3.75-1.43

que cuando se inyecta a 1000 BPD, ocurrir despus de:

4.39 WiDbt= 1.137 aos (21)

Similarmente la mxima agua inyectada acumulada para recuperar un volumende petrleo movible puede ser determinado usando la ec. (19).

M 3.75

WiDmax = -------- = ------ = 1.543 (MOV) = 0.926 (PV)G + 1 2.43

Entre la ruptura del frente y la recuperacin total la ec. 20 puede ser usadapara calcular la recuperacin de petrleo.

WiD NpD WiD Npd t=4.39 Wid(aos)(MOV) _ (MOV) (PV) (PV) (t= Wid/qi) _

0.431 (bt) 0.431 0.259 0.259 1.1370.500 0.497 0.300 0.298 1.3170.750 0.697 0.450 0.418 1.9761.000 0.847 0.600 0.508 2.6341.250 0.950 0.750 0.570 3.2931.543 1.000 0.926 0.600 4.064



79/92

207

DESPLAZAMIENTO EN RESERVORIOS ESTRATIFICADOSMTODO STILES

Este mtodo se aplica cuando la ratio de movilidad es cercana a la unidad.Stiles hace clculos para reservorios estratificados usando las siguientessuposiciones bsicas:

(a) La formacin esta compuesta de varias capas de espesorconstante.

(b) Las capas pueden tener diferente espesor y diferente

permeabilidad absoluta.

(c) Todas las capas tienen la misma porosidad, la mismapermeabilidad relativa al petrleo y la misma permeabilidadrelativa al agua.

(d) No existe flujo vertical ni segregado dentro de una capa. Noexiste comunicacin entre ellas (i.e. no existe flujo cruzado -cross flow)

(e) El desplazamiento es tipo pistn lo cual significa que la longitud

de la zona de transicin es cero.

(f) El sistema es lineal.

(g) La distancia de avance del frente de inundacin en cada capa esdirectamente proporcional a la permeabilidad absoluta de cadacapa.

(h) La produccin fraccional de agua en los pozos depende de losmilidarcy-pie que producen agua (producto de K ih ide las capasen las cuales el agua ha hecho irrupcin) y se ha comparado al

total del Kh del sistema.

(i) La produccin de las capas cambia repentinamente de petrleo aagua.

La figura 19 muestra un reservorio estratificado con 6 capas. Por convenienciase ha ordenado en una secuencia de capas con permeabilidad decreciente, talcomo lo requiere el mtodo de Stiles.



80/92

208

Figura 19-Reservorio estratif icado arreglado para uso con Stiles.

Natural layering Re-ordered layersNatural layering Re-ordered layers

La parte derecha de la figura 19 muestra la capa de mayor permeabilidad en el

tope y la menor en el fondo.

Se numera las capas desde la mayor permeabilidad, la cual irrumpe primero,hasta la de menor permeabilidad.

Para ncapas, las permeabilidaes son: K1(mayor), K2,..Kn(menor).

Los espesores de las ncapas son

h1, h2,.. hn

el petrleo fisicamente recuperable en STB es

( ) ( )w orc

pt

o

WHL S SN STB

B

1

7758

=

donde:

W =ancho del reservorio-ft

=porosidad

H =espesor total del reservorio, ftL =longitud del reservorio,ftBo =factor de volumen del reservorio

El siguiente ejemplo muestra el procedimiento de calculo usando el mtodo deStiles para un reservorio de 7 capas de la figura 20.



81/92

209

Figura 20 Permeabilidad y espesor para un reservor io de 07 capas.

Absolute k-md Thickness-ft210 20190 1270 550 730 1510 303 18



Desarrollo matemtico

Para el tiempo, tj, cuando la capa jth ha obtenido irrupcin, todo el petrleo

fsicamente recuperable habra sido recuperado para la capa o las capas quetienen alta permeabilidad.

Ya que las velocidades del frente en cada capa es proporcional a lapermeabilidad absoluta en cada capa, la recuperacin fraccional al tj en la

capaj+1ser

j

j

K

K

1

En el ejemplo anterior, la recuperacin fraccional en la capa 2, cuando la capa1 ha irrumpido al (t1) ser

K.

K= =

2

1

1900 905

210

Esto significa que ocurrir la irrupcin cuando el 90% de la capa 2 estainundada.

Cuando ocurre irrupcin en la capa j, tendremos:



82/92

210

[ ]

hnhhh

Kj

Klhl

Kj

Kkhkhjhhh

R+++

++++++

=321

321

Donde:

h1+h2+h3+ ..... hj = Espesor invadido,h1+h2+h3+ ...... hn = Espesor total.

El primer trmino del numerador indica a las capas que estn siendoinundadas completamente, mientras la segunda parte indica las capas que hansido inundadas en solo una porcin.

Factorizando Kj:

[ ]

ht

KnhnKlhlKkhkKj

hj

R

***1

++++=

CjCtKnhnKlhlKkhk =+++ ***

[ ]Kjht

CjCtKjhjR

+

=

La ecuacin de flujo fraccional se convierte:

L

hoKoPw

L

hwKwPw

L

hwKwPw

qq

qFw

ow

w

wo

w

+

=+

=

127.1127.1

127.1



83/92

211

ow

w

hoKohwKw

hwKw

Fw

+

=

y considerando:

o

w

o

Kro

KrwA

=

Kro

KrwM

w

o =

Para condiciones de superficie (Considerando A):

ow

ww

hKhKAhKAf

+ =

( )jtj

j

wCCCA

CAf

+

=

Para condiciones de subsuelo (Considerando M):

( )jtj

j

wCCCM

CMf

+

=



84/92

212

La tabla 2 sumariza los resul

Parte 05 Reservorios Lucio Carrillo Inmiscible

Documents

Transcript of Parte 05 Reservorios Lucio Carrillo Inmiscible