NEODREĐENI INTEGRAL

Za funkciju F(x) kažemo da je primitivna

funkcija funkcije f(x) ako je

F'(x) = f(x).

Funkcija, na primjer F(x) = x2 je primitivna

funkcija za funkciju f(x) = 2x jer je

(x2)' = 2x.

1

Iz diferencijalnog računa je poznato da je

izvod zbira jednak zbiru izvoda, kao i da je

izvod konstante jednak nuli, tj.

[F(x) + c]' = F'(x)

za proizvoljno c R.

Odatle slijedi zaključak:

Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije

f(x), onda je i F(x) + c primitivna funkcija

za f(x).

2

3

f x dx( )

f x dx F x c( ) ( )

Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x), onda skup

{F(x) c}, gdje je c proizvoljna konstanta zovemo

neodređeni integral funkcije f(x) i označavamo sa

Funkciju f(x), tada, zovemo podintegralnom

funkcijom.

Izračunati neodređeni integral funkcije f(x) znači

odrediti skup {F(x) c}, tako da je F(x) primitivna

funkcija funkcije f(x) i c proizvoljna konstanta.

Primjeri

4

2 2xdx x c

cos sinxdx x c

Primjer 1. Neodređeni integral funkcije f(x) 2x je

jer je (x2 c)' 2x.

Primjer 2.

.

5

f x dx F x c f x( ) ( ) ( )

izvod neodređenog integrala jednak je

podintegralnoj funkciji.

Važi i obratno

f x dx f x c( ) ( )

Tablica

6

dx x c x dxx

ac aa

a

1

11,

dx

xx c ln a dx

a

acx

x

ln

e dx e cx x

cos sinxdx x c

sin cosxdx x c dx

xtg x c

cos2

dx

xctg x c

sin2 dx

xx c

1 2 arcsin

dx

xarctg x c

1 2

7

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

c f x dx c f x dx ( ) ( )

Primjeri

8

x e dxx3 2

cos x x dx23

1

xx dx

a dxx 2

a

xb dx

sin 2

Izračunati:

a) e)

b)

c)

d)

METODE INTEGRACIJE

9

Metoda zamjene se sastoji u uvođenju nove

promjenljive, tako da se neodređeni integral funkcije

oblika f[g(x)]g'(x) svodi na neodređeni integral

funkcije f(t):

Uvedimo novu promjenljivu t tako da je

g(x) = t i, dakle, g'(x)dx=dt

f g x g x dx f t dt( ) ' ( ) ( )

tj. ako je F(t) primitivna funkcija za f(t), onda je Fg(x)

primitivna funkcija za fg(x)g'(x).

Primjeri

10

I = x xdx25

3 2

x xdx t dtt

c x c25

56

26

3 26

1

63

2 3x dx

I tdt

t c x c 2

1

2

2

3

1

32 3

3

23

Primjer 1. Izračunati

Podintegralna funkcija je oblika fg(x)g'(x) gdje je

f(x) x5 i g(x) x2 3, pa se zamjenom x2 3 t,

odakle je 2xdx dt, dobija

Primjer 2. Neodređeni integral

zamjenom 2x 3 t i 2dx dt, svodimo na

.

11

Metoda parcijalne integracije se sastoji u tome što se

podintegralni izraz f(x)dx predstavi u obliku proizvoda

funkcije u(x) u i diferencijala funkcije v(x) v:

f(x)dx = u(x)dv(x) = u dv

( ) (*)u dv u v v du f x dx

12

I xe dxx

v x dx e dxx' ( )

v x dx e dxx( )

I xe e dx xe e cx x x x

Primjer 5. Izračunati

Rješenje: Podintegralni izraz xexdx predstavićemo u

obliku u(x)v'(x)dx: u(x) x,

Diferenciranjem prvog i integracijom drugog izraza,

dobijamo:

du(x) dx i

v(x) c1 ex c2, ili v(x) ex c.

No, obzirom na formulu (*) (desna strana već

sadrži proizvoljnu konstantu) možemo uzeti da je

c 0, pa je v(x) ex. Primjenimo li, sada, formulu

(*), imaćemo:

13

Integracija racionalnih funcija• Prvo razmotrimo kako se izvodi integracija racionalne

funkcije oblika

čiji imenilac nema realnih nula(D<0), tj . q - p2/4 > 0.

12x px q

dx

x px q

dx

xp

qp

dt

t a aarctg

t

ac

2 2 2 2 2

2 4

1

Smjena x + p/2 = t dx = dt i q - p2/4 = a2

dx

x px q q parctg

x p

q pc

2 2 2

2

4

2

4

14

• integracija racionalnih funkcija čiji je

imenilac oblika

tt llk

t

kk

n srxxqpxxxxxxxxxP )(...)()(...)()()( 22

21121

xi≠xj, i≠j, i,j{1,2,...,t}, 4q - p2 ≠ 4s - r2,

x1,x2,...,xt, p,q,...,r,sR, k1,k2,...,ktN,

qp

sr

2 2

40

40, ... ,

f xQ x

P x

m

n

( )( )

( ) • Qm(x) – polinom stepena m

• Pn(x) – polinom stepena n

f(x) je prava ako je m<n

15

• Neka je koeficijent uz stepen xn imenioca

Pn(x) broj 1. Tada pravu racionalnu funkciju

možemo predstaviti u obliku zbira prostih

razlomaka, tj. u obliku:

t

t

t

ll

t

k

t

k

k

k

k

k

k

k

n

m

srxx

SRx

qpxx

QPx

xx

L

xx

L

xx

B

xx

B

xx

A

xx

A

xx

A

xP

xQxf

)(...

)(

...)(

......)(

...)()()(

)()(

22

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

A A B B R Sk k1 21 1,..., , ,..., ,..., , Konstante koje se određuju iz

uslova identičnosti dva polinoma

16

Primjer Racionalna funkcija f x

x x( )

1

3 22

je prava jer je stepen brojioca (0) manji od stepena

imenioca (2). Koeficijent uz najveći stepen

imenioca je 1, nule imenioca su x1 = 1, x2 = 2 tj.

realne su i jednostruke, pa datu funkciju možemo

predstaviti u obliku:1

3 2 1 22x x

A

x

B

x

tj.

1

3 2

2 1

1 22x x

A x B x

x x

( ) ( )

( )( )

Iz identičnosti slijedi da je (A + B)x - (2A + B) =1, odnosno

A + B = 0 i 2A + B = -1, tj. A = -1, B = 1, pa je

1

3 2

1

1

1

22x x x x

17

dxxx

Ak

k

1

1

)( 1

cxxAdxxx

Akk

k

1

1

ln)( 11

1

je tablični. Za k1=1

a za

k1≠1

cxx

AdxxxAdxxx

Ak

k

k

k

kk

k

1

1

11

11

1

1

1

11

1)(

)()(

Razmotrimo integral funkcije lqpxx

QPx

)( 2

gdje x2+px+q nema realnih nula

integral dxqpxx

pxl

)(

22

se odmah rešava smjenom x2+px+q=t,

odakle je (2x+p)dx=dt

18

dxqpxx

PP

QPdx

qpxx

PxP

dxqpxx

P

QP

Pdx

qpxx

PxPdx

qpxx

P

QPPx

P

dxqpxx

P

Qx

Pdx

qpxx

QPx

ll

lll

ll

)(

1)

2(

2)(

2

2

)(

2

2)(

2

2)(

22

2

)(

22

2)(

22

222

22

Slično se i integral može srediti (za P≠0)

Radi se smjenom

(slajd 17)

Razmatramo na

narednim slajdovima

19

dxqpxx

Ill

)(

12

Razmatranjem integrala Il, u potpunosti je

opisana integracija racionalniih funkcija

Za l=1, već je riješeno na slajdu broj 1. Neka je,

sada, l>1. Kako je x2+px+q=(x+p/2)2+(4q-p2)/4

(dobijeno dopunom do potpunog kvadrata), to se

uzimajući istu smjenu kao na slajdu 1:

x + p/2 = t dx = dt i (4q-p2)/4 = a2

dobija

ll

at

dtI

)( 22

20

Riješimo integral

llax

dxI

)( 22

.11

)(

1

)(

1

)(

1

212222

122222

222

2

Ia

Ia

dxax

xx

a

ax

dx

adx

ax

xxa

aI

ll

lll

Kod integrala I primijenimo

parcijalnu integraciju sa u = x, lax

xdxdv

)( 22

Nakon računa (v se računa smjenom x2+a2=t), dobija se

112222

2

)1(2

1

))(1(2)(lll

Ilaxl

xdx

ax

xI

121222 )1(2

32

)()1(2

1

lll I

al

l

ax

x

alI

21

Određeni

integral

Problem određivanja površine krivolinijske figure može

se svesti na određivanje površine ograničene dijelom

grafika neprekidne pozitivne funkcije y = f(x),

odgovarajućim intervalom na Ox osi i ordinatama

funkcije koje odgovaraju krajevima tog intervala. Takvu

figuru zovemo krivolinijskim trapezom

22

Neka je y f(x)

funkcija neprekidna na

intervalu a,b, xi tačke

tog intervala, takve da

je

x0 a < x1 < x2 < ...

< xn1 < xn b

i ci, i 1,2,...,n1

tačke intervala xi,xi1.

Zbir

1 1 1 1

1 1

( ) ( ) ,n n

n i i i i i i i i

i i

I f c x x f c x x x x

zove se n-ta integralna suma funkcije y f(x) na

intervalu a,b.

23

f x dxa

b

( )

f x dx f c x xa

b

ni i

i

n

i( ) lim , max

1

1

0

f x dx f c xa

b

xi i

i

n

i

( ) limmax

0

1

1

Graničnu vrijednost n-te integralne sume funkcije

y f(x) na intervalu a,b kad n , i max xi ,

zovemo određenim integralom funkcije y f(x) na

intervalu a,b i označavamo sa

24

VEZA IZMEĐU ODREĐENOG I

NEODREĐENOG INTEGRALAOznačimo sa P(x) površinu ograničenu grafikom

neprekidne, pozitivne funkcije y = f(x), ordinatama f(a) i

f(x) i intervalom [a,x], x < b i sa P(x) priraštaj te

površine ako se x promijeni za x > 0 (šrafirani dio).

25

Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost

funkcije f(x) na intervalu [x,x+ x], onda je

tj.)( xMxPxm Mx

xPm

)(

)(limlim je Kako00

xfmMxx

)(

)(lim

0xf

x

xP

x

P x f x( ) ( ) P(x) primitivna funkcija funkcije f(x).

F(x) proizvoljna primitivna funkcija za f(x)

P(x) = F(x) + c P(b) = F(b) + c i P(a) = F(a) + c.

26

slijedi )()( Iz x

a

dxxfxP

P(a) = 0 i, dakle, F(a) = -c,

P b f x dx F b F a F xa

b

a

b( ) ( ) ( ) ( ) ( )|

Primjer 1. Izračunati I x dx ( )2 31

11

Jedna od primitivnih funkcija funkcije

f(x) 2x 3 je F(x) x2 3x, pa je

I F x F F ( )| ( ) ( )1

11 11 1 154 4 150

Njutn-Lajbnicova formula

27

Računanje površine

dxxfP

b

a

)(

y

0 xa b

f(x)

28

dxxfP

b

a

)(

y

0 x

ab

f(x)

29

0

y

xa b

f(x)

g(x)

dxxgxfP

b

a

)()(

30 dxxfxfdxxfxfdxxfxf

PPPP

a

a

a

a

a

a

4

3

3

2

2

1

)()()()()()( 323141

321

0

y

x

f4(x)

a4

a3

a2a1

P3P2

P1 f3(x)

f2(x)

f1(x)

31

Primjer

P P xdx e xdxOAMN

e e

ln ln

1

2

1

2 2

2

Izračunati površinu ograničenu koordinatnim osama,

paravom y 2 i grafikom funkcije y lnx integracijom:

a) duž Ox-ose, b) duž Oy-ose.

.

ln xdx

e

1

2

ln lnxdx x xx

xdx e e e

ee

e

1

1

1

2 2 2

2

2

2

2 1 1

radimo parcijalnom

integracijom: u lnx; dv dx,

pa je du dx/x i v x. Otuda je:

pa se dobija P 2e2 e2 1 e2 1.

32

.

P f y dy ( )0

2

P e dy e ey y 0

2

0

2 2 1

b) Duž y-ose je za integraciju jednostavniji slučaj jer je

gdje je f(y) ey (iz y lnx x ey). Dakle,

33

Nesvojstveni integral

• Beskonačne granice integracije

• Neograničena podintegralna funkcija

34

Beskonačne granice integracije

• F() and F(-) ne postoje, jer ,- R .

• U tom slučaju primjenjuje se koncept

granične vrijednosti.

f x dxa

( )

b

ba a

b b

a a

f (x)dx lim f (x)dx

f (x)dx lim f (x)dx

35

Neograničena podintegralna

funkcija

• I pored toga što su granice integracije

konačne, integral može biti nesvojstveni

ako je podintegralna funkcija

neograničena na [a, b]. Ponovo

primjenjujemo koncept limesa.

1

0

1dx.

x

Primjeri

36

e dxx

0

1

x e dxx2

0

2

dx

x1

a)

b)

c)

37

Neke ekonomske primjene

integrala

Od granične do ukupne funkcije

Investicije i akumulacija kapitala

38

Od granične do ukupne funkcije

• Diferenciranjem ukupne funkcije (npr.

troškova) dobija se granična funkcija

• Integracijom granične funkcije dobija se

ukupna

39

Investicije i akumulacija kapitala

• Akumuliranje kapitala je proces

uvećavanja datog kapitala

• Kapital = K(t).

tIdt

dK

dttItK