Parity law for population dynamics of N-species with cyclic advantage competitions

16
Parity law for population dynamics of N-species with cyclic advantage competitions Kazunori Sato a, * , Naoto Yoshida b , Norio Konno b a Department of Systems Engineering, Faculty of Engineering, Shizuoka University, 3-5-1 Johoku, Hamamatsu 432-8561, Japan b Department of Applied Mathematics, Faculty of Engineering, Yokohama National University, 79-5 Tokiwadai, Hodogaya, Yokohama 240-8501, Japan Abstract We study population dynamics on lattice space with N species N 3, 4, 5, and 6) with cyclic competitive advantage, having both a weaker species and a stronger one. The steady state with equal population densities is the globally stable ®xed point. For the biased-rate cyclic advantage population, we can observe the dierent features of the steady states and their stabilities for even N and for odd N, and we call it as ``parity law''. We obtain the following results on the parity law: i) for odd number N all the species can coexist following the biased rate and we have the counterintuition for the change of equilibrium densities; ii) for even N all the species cannot always coexist and it coincides with our intuition. We also analyzed mean-®eld approximation. It is re- vealed that most of the results of Monte Carlo simulation can be understood by mean-®eld approximation dynamics. However, equilibrium densities cannot be always predicted by mean-®eld approximation because of the spatial ®xation. Ó 2002 Elsevier Science Inc. All rights reserved. Keywords: Parity law; Cyclic advantage; Lattice model; Mean-®eld approximation; Spatial ®xation; Population dynamics 1. Introduction May and Leonard [1] reveal that Lotka±Volterra competition model with three species shows the heteroclinic dynamics and concluded that coexistence of Applied Mathematics and Computation 126 2002) 255±270 www.elsevier.com/locate/amc * Corresponding author. E-mail address: [email protected] K. Sato). 0096-3003/02/$ - see front matter Ó 2002 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII:S0096-300300)00155-7

Transcript of Parity law for population dynamics of N-species with cyclic advantage competitions

������ ��� � ������� �� ����� ��������� ���� ������ ���� ���� �������� �

���� �� ��� ���� ��� ������ �� ��� � �

� ��������� � � ����� ��������� ������ � ��������� ������� �������� � ����� ����

!�������� "�#�$�%�� ���� ��������� � &�����' (����������� ������ � ��������� )����� ������ �������� �

*+�� ,��-�'��� !'�� �� )����� #".�$�.�� ���

��������

�� ����� ������� �� ����� ������� ����� ���� � ������� �� !� "� #� � � $%

���� ������ ���������� ���� ����� ���� � ��� � ���&�� ������� � � � ��� ��� �' (��

������ ����� ���� �)��� ������� �� ������ �� ��� ������� ������ *+�� �� �' ,�

��� ����������� ������ ���� ���� ������� � �� �� ������ ��� ��-��� � ������� ���

������ ������ � � ����� ����������� � ��� � � � � �� �� � � �� ���� �� �� ..������

���//' �� ���� ��� ���� � ������� ��� ������ ���0 �% � �� ����� � ��� ���

������� �� ��+��� ���� � ��� ������ ���� � � �� ���� ��� �� ���� ����� � ���

��� �� �)��������� �� ������1 ��% � ��� � ��� ��� ������� �� � ������ ��+��� � �

�� �� ����� ���� �� � ����� ' �� ��� � ������ ��� �*��� ����+����� ' 2� �� ���

������ ���� ��� ��� ������� 3 �� 4��� �������� �� �� � ������ ��

��� �*��� ����+����� �� �����' 5������ �)��������� �� ������ �� � �� ������

��������� �� ��� �*��� ����+����� ������� ��� ������� *+��� ' � 6776 8�������

���� �� 2 �' 9�� ������ ��������'

/� -�'�0 ������ ���1 4����� ���� ����1 :������ ����1 3�� �*��� ����+����� 1 ������� *+��� 1

������� �� �����

� ���� ������

3�� � � :� ��� ;<= ������ ���� :�&�>?������ �������� ���� ��������� ������� ���� ��� �������� �� �� ����� � � � ������ ���� ��+���� ��

9������ 3���������� � � 4������� <6$ 6776% 6##>6@7���'��������'��A�����A���

� 4����� �� � �����'

������ �''����0 ���B���'� �'�����&�'��'C� �' ���%'

77D$�!77!A76AE � ��� � � ������ � 6776 8������� ���� �� 2 �' 9�� ������ ��������'

�220 �77D$ �!77! 77 %77<##�@

�������� ������� �� ��F����' 9� � �������� ������ ����� ������� � ������ ���� �+������ ���� ��� ���& ��� �� �� ������� *���� ������� G�������� � �������� ��������� � ����� �����' ������� ��������� ����� ���� ���� � ��+���� � ���� ��� �������' (��� ������ ���� ���� ������ ���� ��� ������ ��3������ �� ��' ;6�!=� (�&����� �� ��' ;"= � � (�&����� ;#=' (��� ���� �� ���� ����� � ������� ������ �� � ���� ��� �+�� ��� ��� �������'

������� �� ����� ���� �+������ ������� ��������� �� �� ������� ��������� ������� ������ � � ���� ��� ������ � �� � �������� ���� �� �������������� ���� ;$=� �������� ���� ���� � � ��������� ����� ��� ;@=� �������� �� ����� ���� ���� ������� ���������� �������� ;H=� ������ ������� �� ����� ���� ������� � ������� ������� � �-��� ;D=� ����� � � ������ �� �� ���� ;<7=� ������������ �� ����� ;<<><"=� ���������� �� ����� ;<#><@= � � ������������� �� ����� ;<H=� �� ���� �� ���������� �+������ ������ ��� ����� ;<D�67=' I � ������ ������� ����� �� ������ �� ����� ��� ������� �� ����� �� ���� � �������� ������� ���� ���������� ��* �� ����� � � ����� �����' 5������ ����� ��� ������������ ��F�������� � � ������ ������� ������ � � �� �� ���� � ����� ��� ������������������ ������� ���� �� � ������� �� ������� �����'

�������� �� ��' ;6<= � ������� � ������� ���� � ���������� � ������� *�� ����� �������� � ����� ����� ������� � ������� ���� ���� ���� � � ������������ � ������������ ��� ������� �� ��� *��� ����' J������ � � :��� ;66=� ������ �������������� ���� ���� � ��� ���� � * ����� ����� ����������� �� � � ���� � ����� ���� �� ��� ��� ���� ������� �� ������� � ����)���������' (��� ��� � ���������� ������������� ������ ���������� ���� ������ �������� ��������� ���� �� ��� ��� �*��� �� ����� � ������� ����3�� � � :� ��� ;<='

(�� ������������� ������ ���� ���� ���� ���� �)��� ��� ���� ����� � � �������� � ������� �� � ��� *��� ������� �� (�� �&� ;<6= �� 3 �� 4����������� �' 5� ������� ���� ��� ������� �� �� ������������� ������ ����� ���� ���� ��������� ��� � ��� �� *+�� �� � �'�'� ����� ������� ��+������� �)��� ������� �� ������% ���������� � ����� � ���� �' I ��� ������ �� ��� ��� �*��� ������ ����� ���� � ������ ��� ������� �������� ������� ������� ������ ������� ���� ������������� ������ ���� ���� ���� � � ����� �� ��� � �������� ������ �� ���1 ��� ������� �� ������ ���� ���������������� ��� � ��� *+�� �� ��� ����� ��� ���C������� ���� � ��� � ������ ���� ��� ;6!>6#=%' 3����� (�� �&� ;<"= ����� ��� *+�� �� � � ����� ����� ���������+����� � ����� � ������ �� ������ ������� ��������� � � ��� �� ������ ������ � ������' K��� ��� (�� �&� � �������&� ;6$= � ������� ��� ���� � � " ���� �)��� ��� ���� ����� � � �������� � �� � � ���������� �� � �� ��� � 3 �� 4��� �������� �' ,���������� � ��� � � ��������� ������ ���� ���� ���� � � !% ���� �)������ ���� ����� � � � ������� � ������ �� � L���� � � M��-���� ;6@=�������������� ������� ��� ������� ������� *+��� '

6#$ /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

2 ���� ����� �� ����� ��������� ������ ���� ���� ����� �� !� "� # � � $% ������� �� �� �)���� ������� ����� �� 3 �� 4��� �������� � � ��� �*��� ����+����� � ���������� ��� ��� �� ��� �� ������ ��������� ��� �� � ��� ���� ���� ������ ����� � �����' �� �� ������ ��� ��-��� �������� ��� ������ ������ � � ����� ����������� � ��� � � � � �� �� � ��� ���� �� �� ..������ ���//'

� ��������� ������ � ������� ����������� �� ��

��������� ������ ���� ���� ���� ������� � ������ ��� ���� � ��������0 <% (�� ���� ������� ��� � * ����� ����� ������� ���� ����� ����

���� ���� ������� �����' 2 ���� ����� �� ��� �� ������ ������� �� ���)���� �������' (�� ����� -��� ��� ���� ��� � ��� �� �� � � ���������� �������� �'

6% 8��� � �������� �� �� �������� �� ��� ��� ��� �������� �� ��� ������ �������� ' �� ��* � ��� ���������� ���� ��� �� � ������� �� ����0��� ������� �� < �� ��� ��� ��� ��� ������� � �+������� �� ��� ���� ��� �����<���� ��� ������� �� < �� ���&�� ��� ��� ������� �� ����� ��� � ��+ ������� ��������� �� ������ ��� ���� ����� ������� �' �� �� � ����� ���������� �� ����� ��� ������������������ ������ � ���� � ������� ������� �� � ��� ������ ���� � ���� ��C��� � �� � ��������� ������ � � ������&�� ����� �� �������� �� ��� ��� ��� ������������� ���� � ��� ���� ������������ ��� ,��' <%' (�� ����� ����� �������� ��� ������ �� � ��� ����� ��� ��� ������� � ��� ������ ������� � � ��� ���� �������� �� �� �)���� ������� � � "%� � � ��� ��* �� �� ��� �+������ ����� ��� �� ���� ������ � � �� ���� � ������'

��� �� ������ �� ���� �� ��� � �� ��� ���� 3��&� ���� � �� �� �������� ���� ���� �� ��� ���� � ������ �)���� �0

��������

� ���<������� <� �� � �����<����� �� <�� �<������� ��

��� 6�6�7

������ <� �� � 6

�����

�6�7

������ �

�� <� ��

��7�<

������ �� �� <�

�� �6�

������ �� <���

� � �����<

������ �� <� �

�����

�����<

������ �� �� <�

� ���<��

������ �� <� �� <� � ���<���6

������ �� <� �� 6�

� �����<

������ <� �� �� <�

�� �!�

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6#@

������ ����

������

���<��

������ �

�� <� �� � ���<��

������ �� <� ��

� �����<

������ �� �� <� � �����<

������ <� �� ��

�� ��� �� � <�

�"�

������ ������� ������� � �� �� � � �7� <� � � � �� � < ��� ������ �� �� ���� �� ������������� �� ������ � � ������� �� ������� ������������� ����� ��� ��* �� �� ��������������� �� ���� ���� � ���� ��� ������� �� �� ���� ���� ����� ������ ������� � ����� ��� ������� �>7 � � �� ���� ���� �������� ��)�� �� ������� � ����� ��� ������� �>7>�� ������������ ��� ;$=%'�� � ��� ������� �������� �� ��� ��� �� < ������ ������� � ������+���� ��� ���� � ��� ���� � � �� ��� ���� ����� ��� ��� ������� � ������� �� ���� ����� � � ��� ��������' (������ ��� �������� �+������ � � ����� �� ������� ����� �����7�� ������7�<�� �������<7�� �������7�<��� ���������<7� ���� ��� �������� �� �� � � �7� <� � � � �� � < � � ��� ������ �� � ����� 7 � �7� 7�� �< � �<� 7��� � �� ����� 7� �<� � � ������ ��� ����� ��� ���� � ��� ������ ���������� �+� ������ ������� ������������'

2 8)' <% ��� *��� ���� ������ �� � ��� ����� ������� � � ��� ��� � ���� �����' ,� ��� ������ �� ��� ����� ������ ��� ������ ������� � ��������� ���� ��� ���&�� �������� � ��� ���� ��� ������� � ���� ��� ������ ������� � ���� ��� �� <' I ��� ���� �� �� ��� ��� ������ ������� �

,��' <' ��������� ������ ���� ���� ����' (�� ���� ���� �� ��� ������� �>7 �� �� ��� �� ���'����� ���� ��� ���� � ��� ���������� ������ ������ ������� � ������� � �� ����'

6#H /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

���� �� ��� ��� ��� ������� ���� ���� �� �������� � ���� ��� ���1 ��� ���� ��� ���� ��� �� ��� �-��� ��� ������ ������� � ���� ��� �� <' (�� ����������� ��� ������� �������� ��� � ������� �� � �� ��� � ������ � ������'

��������� 8)�' 6%> "% � ����� ����� � � ����� ������ � � �� ����� � �������� ��� ����� � �� � ��������� � �������' (���� ��� ������� �� ������ � ������)���� �� � � ���� ���� ��� ����� ���� �� ���� ��� ��-��� � � *������ � ������ �������� ������� �� �� �)���� ������� ������ � �� ���� � ����� ������ ������� � *������ � ���� �� ��� ����� ���� � � ��'

� ����� ����� ����������

2 ����� 6 �� ���� ��� ��� �*��� �� ����� ��� ���� � � �� �� ������ & � ��� �������� ������ ������ � ����� ���������' N ��� ������������� �� ����� � �� ��F���� � ���� ��� �+���� �� �������� ������������ ����� ��� ���� �� ��������� �+������ ����' � �� � ��������� ����� ������ ��������� �� 3 �� 4��� �������� � ��� ���� � ��� �� ����� ������� � � ��� ��� ��� ������������' 2 ���� � & � ��� �-��� ��� ��� �� � ��� ��� ���� ����� �� *+ ��� ��������� �����< � < �+���� �� � 7 � � �� ��* � �7�< � �' (�� ��������� ��� ������ ������ � � ���������������� ��� ���� ��-��� � ������� ��� ���� ����� ������ � �� �� � ��� ������ �� ���� ������ ���' 9� ��� � ����� � ���� �� ��� ��� ������� ������ ���� �� ���� �)��� �� ������ � ��� �������'

�1�1 ,�� ���� � '' ��8�� � ���� ������� �

3 �� 4��� �������� � � ������������� ���� ��� ��� ��������� �������� � ��� ������ ������ ��+���� �� ���� ��� �������� ����� �� ����� ������� �+������ ����� �� ��� �*��� ����+����� ������ � ����� " ,��' 6%' 2 ��� ���� � � < ��� ������� �� ��+��� ���� �)��� �� ������� ��7� ���<� � ��6� � <�!� � ��� �)���������� ����� �� ��� �� (�� �&� ;<6= � �J������ � � :��� ;66=' ����� ���� ��� ��7� � � ��<� �������� � ������%� � ��6� � ������� ���������% ��� � � ������� ���������%'

2 ��� ���� *���������� ���� ��� �� ������ �� 3 �� 4��� �������� ������ ������� ��� �+������ �� ������ �� ��� ��� �*��� ����+����� ,��'!%� ��� ��������� *+�� ������ �� ����� ���� �� � ����� � ���� �� ����� ������������� � ������ ��� �*��� ����+����� � � � �+����� ����������� �� ��� ������ ���� ��� ��������' ��7�� ��<� � � ��!� �������� � ������% � � ��6� � � ��"� � ������ ��������% ��� � � ������� ���������%'

������� �� ����� � �� ��F���� �� �� � ����� ���� ��� �� ������ ������� 7� � < � ������ ��������% � ��� �)��������� ��� ��� ������ ���� � � < � � <%������ � ������� ���� ��� ��� ���� �� � ������� ���������% � ��� ������� 7 � ���������� � �������% � <' 5������ � ��� ���� ����� � ��� ���� � � ���

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6#D

,��' !' ������� ���� � ��� ������ ����� *���������� ������ ���� ���� ���� � ������ �'������� � ,��' 6 ��� �������� � � � < ��� � �� ��� � ����� � � � <'

,��' 6' ������� ���� � ��� ������ ����� ������������� ������ ���� ���� ���� � ������ �'5��� ��� �+�� � ������� ��� ��� ���� ���� � �� 7 � <' ��� � �� ������� ��� <� ��� �������

7 � � < �������� � � < � �������' I ��� ���� �� �� ��� � �� ������ ��� <� ��� ������� ���

������'

6$7 /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

�� ���� ��� ������� 7 ���� ��� �+������� �� ��� ������ ��� ���� ���� ���'�'� 7 � ������� � � < ���������' � �� ������ ��� ��� ������ �-��� � ��� �������� � � ��� � ������ �-��� ���� ��� � � �� ��� ������� �� �����' (���� ������ ���� ������� ��� �������� �� �+���� �� �� ��� � ������� ����������% 7 � � < �� ��� ������ �������� � �'�'� 6 ��������� ������� ������ ��� �������� 7 � ������� ��� � � <� � � �� ��� � � ������� ���� ������ <'

�1#1 ,�� ���� � ��� ��8�� � ���� ������� �

9�� ������� �� ��+��� ���� �)��� �� ������ � ��� ���� ���������� �� � < �� 3 �� 4��� �������� ' 5������ �� �� ������� �� ��+��� ��� � ������� ��� ��� ��-��� � ���������� ��������� � �� < ,��' "%' 9�� � ������� ��+�������� ���� ��� ��+���� �� ��� ������� �� ��������� �� 3 ��4��� �������� ��� � � <' ��� ���� �� ����� ������� �� ��+��� ��� � �� < ,��' #%'

�� �� �������� ��� �)��������� �� ������ � ��� � � ��+�������� ������� ��� �*��� ����+����� � ��� ������ ��� ���� ���� � �� <' 5������ � ��� ���� ��+�������� ���� ��� ������� *+��� � -�� ��� ���������� ��+�

,��' "' ������� ���� � ��� ������ ����� ���������� ������ ���� ���� ���� � ������ �'��� � �� ������� ��� <� ��� ������� 7 � � 6 �� �������� � � < � � ! � �+�� ��' I ���

���� �� �� ��� � �� ������ ��� <� ��� ������� ��������'

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6$<

���� �� ��� �������� ����� ������� ��� ������ ��-��� ��� �� ��� �+������� �� ��� ��� �*��� ����+����� ,��' #%'

����� ���� � ��� ���� ��� � ����� ��� � ������ ��� � �������� ������ ��������� �-��� � � � ������ �-���� � ��� �-��� � ������� �� ����� �� ����� ���� �� � ����� 1 7� 6� � � � �� � < � ������ ��������% � �<� !� � � � �� � 6 �������� � ������% ��� � � < �� � <�'

� �������� �������������

�� ��� ��� ��� �*��� ����+����� � ���� ����� � ����� ������� ���������� �������� ������ ������ ������� � ������ � ������ ��� ������� �������� � ��� ������� ����� ' (�� �� ����� ��� �*��� ����+����� �� �� ���� �� �� ��� ��������� � ������ �� ������ � ��� ������ �� ���� �� ������� �'�'� ������ � ����������� � 8)' <%0

��������

� ����� ���<������� � <� � �����<����� <� � � � � � �7� <� � � � �� � <� �#�

,��' #' ������� ���� � ��� ������ ����� ��+�������� ������ ���� ���� ���� � ������ �' (���

������ ��� ��� ��� ����� �������� � � ��� ������ 7>6>" � <>!># ������ � � ������� ����

������������� ���� �� ���������� ����' 5������ �������� � ����� ����� ������ ���

��� � ������� ��� ������� *+��� ����� ����� � ����� �+�� �� ����� ������� ����� ���

�� ��� �� ��������� �������'

6$6 /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

2 �)��������� �� ��� ��� ���������� ����� �0 ���� � 7� � ��� � <� ���� � <� � 7 � ���� �� 7� ���� ��� � ����� �

�� �

��� � <' ,��������� ���� ��� ��� ������������ ����� � ���� ��� ��� ������� ��+���� �� ���� �� � ������� ��� ���� ����� ������� � �� ��� � �� ��� 9��� ��+ 9%'

2 ��� ���� � �� � ����� ��� ��������� ������ ���� ���� ������ �� !� "�# � � $' �� ��� ��� ���� ��� ���� ����� ������ � � �� ������ ������� �������� �+���� ������� 7 � � < � � ��������� ��� �-��� ��� ��� �� ������ ���� ����� �'�'� �7�< � �� �<�6 � �6�! � � � � � ���<�7 � <'

"1�1 ,�� ���� � '' ��8�� � ���� ������� �

4 ��� � � ��� ����� ��� �� ���� � ��� ������������� ����� �� ��� ������� � ������ ������ � ��� ���� ��� � ��� �� �)���������� ��� � � ! � ��7�< � �� �<�6 � �6�7 � < � 9��� ��+ 9%'

���7�� ��<�� ��6�� � �<� 7� 7�� �7� <� 7�� �7� 7� <�� <

�� 6�

<

�� 6�

��� 6

� ��

,� *���������� ���� ��� �*��� ����+����� �������� ��� ���� �������� � ��� 9��� ��+ 9 � ��� � ��� �� �)���������%�

���7�� ��<�� ��6�� ��!�� ��"��� �<� 7� 7� 7� 7�� �7� <� 7� 7� 7�� �7� 7� <� 7� 7�� �7� 7� 7� <� 7�� �7� 7� 7� 7� <��

���7�� 7� < � ��7�� 7� 7�� ���7�� 7� 7� < � ��7�� 7���7� ��<�� 7� < � ��<�� 7�� �7� ��<�� 7� 7� < � ��<����7� 7� ��6�� 7� < � ��6���

<

6�� !�

<

6�� !�

�6�� !

�<

6�� !�

�6�� !

� ��

9� � ��� �� �� ����� ���� ��� � �� ������� ��� ��� �� ���� < ������ ������� ��� ���� ������ � � *���������� ������ � � �� �� ������ � ��� ���� � � �� ���� �� ..������ �-���//% ��� �� ��� ������ � ��� �)��������� ..� ������ �����//%' ����� ���� �� ����� �� � �� �� � *������ �� ��� � ����� � ���� ���� ���� ������ ���7� � � ���<� �� �� ��������� � ��� ���� � �0 ��� � � < �� � <�� ����7���� � ���7� ���� � <� � ����<�� � 7 � � ����<���� � ���<�����7� � ���6�� � 7� � ���7� ��������� � �������% � � ���<� � ������� ����������%' ,� ��� �)��������� �� �� � ������ � �� ��� ���� � ��� �� ��� �*��� �)��������� �� ������ ���� ��� ���7� � � ���<� �������� � ������% ��� � � < �� � <�'

"1#1 ,�� ���� � ��� ��8�� � ���� ������� �

(�� ������� ����� ��� �� ������ � ���������� ���� ��� ���� �� ����� ��� �*��� ����+����� ��� � �� <0

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6$!

���7����<����6����!�� � �<� 7� 7� 7�� �7� <� 7� 7�� �7� 7� <� 7�� �7� 7� 7� <�����7�� 7� < � ��7�� 7�� �7���<�� 7� <� ��<���

L������ ���� ��� ������� �� ����� �� ��� � � < �� 9��� ��+ 9 � ���� ��� �� �)���������%0

���7�� ��<�� ��6�� ��!�� � ��7�� <6

�� ��7�� ��7�� <

6� ��7�

��

��+� �� �+��� � ��� �-��� ��� ��� �� �' ��� � �� ������� ��� ��� �� ���� < ������ ������ � � 7 �� �������' 9� � ������ �� �� �+���� ���� ��<����!� � < ������� ��� ��� ���� �� 7 � < � �� ��� ������' 3 �� 4����������� ��� ������� �� ,��' "%'

L� ��� �*��� ����+����� �� ��� ��� ���� � � ��+�������� ���� �� �� < �� 9��� ��+ 9�

���7����<����6����!����"����#��� �<�7�7�7�7�7���7�<�7�7�7�7���7�7�<�7�7�7���7�7�7�<�7�7���7�7�7�7�<�7���7�7�7�7�7�<��

���7��7�<���7��7�7�7�����7��7�7�<���7��7�7�����7��7�7�7�<���7��7���7���<��7�<���<��7�7���7���<��7�7�<���<��7���7���<��7�7�7�<���<����7�7���6��7�<���6��7���7�7���6��7�7�<���6����7�7�7���!��7�<���!������7��7���6��7�<���7����6��7���7���<��7���!��7�<���<����!���

L������ ���� �� ��� � � < ��� ������ �� ����� �� ���� �� 9��� ��+ 9� ��� � ��� �� �)���������%0

���7�� ��<�� ��6�� ��!�� ��"�� ��#��

� ��7�� <!

�� ��7�� ��7�� <

!� ��7�� ��7�� <

!� ��7�

��

��� ��� ������ � ��� ��� ����� �� � �������� �� � ����� �� � ��� ���� ���������� ���� � � 3 �� 4��� �������� ��� ������� �� ,��' #%'

� ���������

2 ���� ����� �� � ����� � ���� ��������� ��������� ���� ������ ����� ���� ������ �' 4�+���� �� �������� ������� ���� � ���� � � ���������������� ������ ���� ��� �� �+�����*�� �� ��� �������� � ��� ������� ��� �� ��� �������� ��������� ��� �� � � ��� �����+ ������� � � ���� � ���� � ���� ����� �� ��� ���� � � ��� � ��� ���� � ��� �� ��� ��� ���'9������ � ��� �+������ � �������� �� � ������ ��� ��� �� �+��� ���������� ��� ���� ������ � ���� ������� ������������� �� �� � � ������� � ����

6$" /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

������� ����� ������� � ��� ��� ������ � ������� � ������� �� ���� ���� ��� �������� ������� ��������� ���� ���� ������ ���������� ���� �����'

2 ��� ���� ������������� ������ ���� � � !% �� ���� �� ����� ���� ����� �������� ������ ���� �� J������ � � :��� ;66=� �'�'� ��� ������� � ������ �������� ����' ��� �� � ����� ��� �����+ ������� ���� ��� ���� ����� ������� � � "� ������� � �� ��� ���� ��������� � ��� ��� ��� ��������������� � ��� ��������� ��-��� �' (���� ����� � ��� ��� � ������� ��� � ��� �������� � �� � ��� � � �������� ����� ��� ��� ������� ����������� ��������� � � ���� �������� ���� ����� ��� ���� ������� ��� ������' I ��� ���� �� �� �� �������� �� ���� � ������� ���� ��� ��������� ��+��� ��� ��� ��� ��� � � ������� �+����� ��� ��� ������� ��� ����� ��� ��� ���� � ������� ��� ���� ����� ������� �� ��� � ����'�'� ������ ���' �������� � � (�� �&� ;6H= �������� � ������� ������ ��� �� ���� ����'

2 ������� � �������� ������� ���� ��� ������� � ������ &� �� �����;6D>!<=� ��� �� �� � ��� � ��� ������������ ������� ������� ������F�������' 8�� � � ��� �������� ������ ����� � ���� ��������� ��+������ �������� ������ � �������� �+� � �� � ����� ��� ���� ��� �& � ' 2 ���� ����� �� ���� ��� �*��� ����+����� � �������� �)���������� �� ������ ������� ��� ���� ����+����� ����� � ���� ��� ������������ � ������������� ���� ;<6=' �� �� ������ � ������ ��� �*��� ��� ����� � ��� ������ ���� ��� ����� ����� �������� � � �� �� �+���� ��� �)��������� �� ������ � � ��� )���������� �-��� ��� ������ ��� ���� ����� ��� �)��������� �� ������ �� ���� ����+����� ��� � ��� ������ ������ � �������� �� � ����� 1 ��� ��� ���� ��� ��������� ������������ �� ��� �+���� ��� ������� ���� ���� ������� � ������ ��� � ��������1 ;6H=%'

,� ������������� ���� ��� ���� ����+����� & � �� ��� ����� ������ ��� ����� ������� �� ����� �'�'� ;$=%� � ����� ������ ������� ��������� �� � �������� ���� ��� ������ �)��������� �� ������ ��� ��� �� ��������� ��� ��������� ��� � ��� �� �)��������� ;!6�!!=' 2 ���� � ����������� ������ ������� ������ ������� ���� �� ����� ���� �� ��� �������� � �)�������� ;!"='

������ ���� ����� � ������� ��� ��-��� � �� ������ ��������� ������� ������� ����� ������� � �� �� � ��� � ������� ��� �� ��� �� �� ���� ���� ����' (���� �� ��� � � ��� ���� �� �� ���� ����� � ��� �*��� �� ����� �� �+���� ��' (�� ����� �� �� ���� ����� ����� �� ���� �������� ��� � ������ �-��� ��� ������ ���� ��� ������� ��� ����� �� � ��� �� �' 5������ ���� ���� ������ ��� ��� � ������ ��� ���� � ������ ��� ������ ���� �� � ���� � � ���� ���� �� ��� ��� ;6H='9� ��� ����� ����� �� ����� ������� � ��� ����� ������ ��� � � ���������� &� � ����� ��� ��'

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6$#

9�� � ��������� ����� ���� � � @� �� �� �+������ ���� ��� �*��� ��� ����� �� ������� ��� ������ ������������ �� ������ ��� �� ��������� �� ��� � 3 �� 4��� �������� � � ��������� ��� �������' 5������ ���������� ���� 3 �� 4��� �������� � ��� ���� ��� ��-��� � �� ������ �+������� �� ��� ��� �*��� ������� ��� ������� *+��� ���� ��)�� ��� ����'N ��&� L���� � � M��-���� ;6@= ���� � � <� ��� � � � �� �������������� ��� ������� *+��� ����� � ���� ������� ���������� � ��� ��� ��������� ���� �1 ���� ���� ���� ������� *+��� ������ ����� � ��� ��� *���������� ������ �� � � � �������� �� �������� ���� �� ����� ���� H><$������� ������� �� ' �� ���� ��&� � � ��������� ���� �-��� �������� �+�� ��� � ��� ����� �����' (�� �-��� ������ � ������� �+�� ��� ��� ���� ��� ��� ������� ��������� ��&�� � ���� ���� �� ��������� ������� ���� ���� �� � �����' 2 ���� ���� �� �� ��� ���� ����������� ������ ���� ������� ��������� ������� ��� ������ ������ ����������� � ����� ������� ���������'

��!��"�� �������

(�� ������ ��� & J�' 9&��� ����&� � ���� � �� ��� 3 �� 4��� ��������� ������ O��� �� ������ � � ���� � �� ����� ���� ��'

����� �� � ������� �#��������� �������� �� �������� �������������

�� �� ���� ��� � ��� �� �)��������� �� ������ �� 8)' #%' (�� ���������� ��-��� � ���� �� � ���� � �� ��� � �� � ��� ���� �'

&1�1 ,�� ���� � '' �

8)' #% ����� ��� �)��������� �� ������ ��� �� ��� ��������� � 7' ( ��� ���� ��� �� ����� � ���� � 7 � � � �� �� �� � ����� ���� ���� <� ����

��� <� ����� �� � ���<��������<� ��� � �� ��� �'�'� � � 6� � <� ��� ����� � ������ � ���0

��<� � �7��6���

��6� � �<��7��

� � ���6� � <� � �6��6�

�6� � !����6�� � �6��<�

�6� � 6����7� � �6��

�6� � <��

6$$ /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

N�� � ��� ������ � �� �� ��� ����

��7� � �7�< � � ��6��<�6���7��

����� �7�< � � � �6��<�6� � < �� ������ ���� �� ��* ��' ,� ���� �� ����� ����&��� � ����� �� � ����

���<��7 ���� � <' ,� ��� ��� ��� � �����

�������

��7� � ��6� � � � � � ��6�� � �< � �< � � � � � �<�! � � � �6��<���7��

I ��� ���� �� � � ��� ��� �� � ����� �������

��<� � ��!� � � � � � ��6� � <�� ��7 � �7�6 � � � � � �7�6 � � � �6��6��<�! � � � �6��<�

�7��

(�� �� ��������� � ��� ���� �� � �� ����0

���7�� ��<�� � � � � ��� � <�� � <

���<

��6

��<�!

��6�"

� � � � �

�6�" � � � ���!

��<�! � � � ���6

�����

� �7�<�! � � � ���6�

� < � �< � �<�! � � � � � �<�! � � � ���6 � �< � �6 � �6�" � � � � � �6�" � � � ���!� �

&1#1 ,�� ���� � ��� �

9� � ��� ���� �� �� �� ��� ��������� � 7 � 8)' #% � � ������ ���� � 7� � � � � ���� ��� � ��� �� �)���������' ��� � �� ��� � �'�'� � � 6�� ������� � ������ � ���0

��<� � �7��6� � <��

��6� � �<��7��

� � ���6� � <� � �6��6�

�6� � !����7� � �6��<�

�6� � 6��

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6$@

(�� �� ���� � ��� ��� � ����� �������

��6� � �<��7��

��"� � �<�!��7��

� � ���6� � 6� � �<�! � � � �6��!�

�7����7� � �<�! � � � �6��!�6��<�

�7��(�� ���� ������ �� ��� � ��� �� ��� �<�! � � � �6��!�6��< � <'

��������� � ��� �� � ����� �������

��!� � �6��<��

��#� � �6�"��<��

� � ���6� � !� � �6�" � � � �6��"�

�<����6� � <� � �6�" � � � �6��"�6��6�

�<������� ���� ����� �� � ���������� � ����

���<��7 ���� � <� � �� �� ���������

��� ������������ ����� �� ����0

���7�� ��<�� � � � � ��� � <�� � ���7�� ��<�� �<��7�� �6��<�� �<�!�

�7���6�"�

�<�� � � � � �<�! � � � ���!��7�� �6�" � � � ���6�

�<������

���7� � ���<� � <�

�����

� � < � �< � �<�! � � � � � �<�! � � � ���!�

� � < � �6 � �6�" � � � � � �6�" � � � ���6�

�� ����<��

�����<

���� ��� � ����

�<�! � � � ���< � <�

$�%�������

;<= K'3' 3��� �' :� ���� � �� ��� ������� �������� ������ ����� �������� �293 P'

9���' 3���' 6D <D@#% 6"!>6#6'

;6= 5' 3������� (' ����� �' (�&������ �' 3��������� 9���� ����� ����� � �������

��������� � ������� *����� K��' ����' 8��' !! <DD<% "<>#$'

;!= 5' 3������� (' ����� �' (�&������ �' 3��������� 3��� � ������ ��� �-���

� ��� �� ��� G������� ��� ������� ��������� � ������ ������� *���� � ���

� ��������*� �������� � K��' ����' 8��' !" <DD6% !7D>!<D'

6$H /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.

;"= �' (�&������ �' I������ 5' 3������� �������� �� � � ������� ����� � ��������������

���� ���� ������� 3���' L����' <7H <DD6% <7#><6#'

;#= �' (�&������ M���� J� ������ ��������� :�&�>?������ �������� ���� ���� ��*��

�� ������ <DD$'

;$= 5' 3������� �' I����� 9' ����&�� �' ���� ����������� ����� ��� ������� 0 ��� :�&�>

?������ ����� ���' (���' ����' HH <DD6% <7!#><7"D'

;@= K' J������� �'9' :��� � ��������� ������� �����0 � ����/� ����� � �������� ��������� ��

�����' (�� �' K' ��' : �' L !"! <DD"% !6D>!#7'

;H= �' 5������ �' 2����� :������ ������� �� ����� � ��� �� ���� �������� � ����� � �

���������� �������� � K��' ����' 8��' !$ <DD"% 6!@>6"D'

;D= �' 5������ 5' 8��� �' 2����� 5' 3������� �' ���� ������� �������� �� � � ���������

������� ����� � ������� � (���' ����' L��' "H <DD#% $#>D<'

;<7= (' ���� �' 2����� �' ,������ ,���� ������� �� ����� ���� ��� �+�� �� �0 ���� ��� ����

� � ��� ���� ���������� � P' (���' L��' <H7 <DD$% 66D>6"$'

;<<= P'8' �������&�� (' (���� ��������� ������� ��� ���� � � ������������ ������� ����' K��'

8 "D <DD"% #7@!>#7@D'

;<6= �' (�� �&�� :������ ���� � ��� :�&�>?������ ������� P' ����' ��' P� ' #@ <DHH% 6#HH>

6#D7'

;<!= �' (�� �&�� 2 ��� ��� � ������ �� � �������� ����������� P' (���' L��' <$$ <DD"% D<>DD'

;<"= �' (�� �&�� ?������ � � ���� �� � � ���� ��������� ����' K��' 8 #7 <DD"% !"7<>!"7D'

;<#= �' ���� 5' 3������� 9' ����&�� ������ � ���� � � ��� �+�� ��� � ������� ����������

������� � P' 3���' L��' !6 <DD"% 6#<>6$H'

;<$= J'9' K� �� 3' ����� �� 5'L' ���� � 2 ���� ��������� � � ������ � ����������� � ���������

�+�� ���� ����*���� ���������� �������� ���' K' ��' : �' L 6#D <DD#% ##>$!'

;<@= 4'P' K����� K'3' 9 ���� � �������� �� � � �� ����� � ������� ����� �������� ������� P'

(���' L��' <H7 <DD$% <6#><!!'

;<H= 3'�' 5������� 5'�' 4�� �� K'3' 3��� ������� ��������� � � ���� � � ���� �������

�� ������ ������ !#! <DD<% 6##>6#H'

;<D= 3'4' L����C��� ������������ �0 � ��������� � ������ � J����� (����� N������

N ��������� <DD"'

;67= 3' ��&������ 5' 3������� �' 2����� (�� ������ ������� � � ������������������

������� � P' (���' L��' <H" <DD@% $#>H<'

;6<= P' �������� � �' 5������ P' P� � � �' J���� 4������� ������ ����� � ��������*�

�������� � ����� > ��� �-��� ������ ������� P' 8��' H7 <DD6% #6@>#!"'

;66= K' J������� �'9' :��� � ������� ������� � ��������*� �������� � (���' ����' L��' #!

<DDH% !7>"!'

;6!= �' 2��� I � ��� ������ ���� � ������� � 9 ' 2 ��' �������' 3��� 6# <D@!% $!#>$"<'

;6"= �' 2��� 9 5������� � � ������ � ������ � �������� ���' P� ' 9���' #< <D@#% !@">

!@D'

;6#= �' 2��� K� �� ������ ����� � ��� ��� ������� P' 9���' ���' <$ <D@D% !$>""'

;6$= �' (�� �&�� 3' ������&�� 2 ������� ������ ������� � ��� *��� � � ��� � �+����� ������� P'

����' ��' P� ' $# <DD$% $"!>$""'

;6@= 3' L���� � J' M��-����� ,��+ � � *+��� � ������ �������� �������� 9 ' �����' <@ <DHD%

6$>"#'

;6H= �' ��������� �' (�� �&�� 4������� ��� �� � � ������ ���������0 ������ ��� � �

������������ � �+�� ��� ������ � P' ����' ��' P� ' $$ <DD@% !H>"<'

;6D= ('3' :������� 2 ������� � �������� �������� ���� ���� ��� ��&� <DH#'

;!7= K' J������� :������ ���� �������� ������� � � �������� � �������� 2 �� 4���� ���

<DHH'

;!<= �' � � ����� (�� ���� � 2 ������� � �������� �������� ���� ���� ��*�� �� ������

<DD"'

/1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*. 6$D

;!6= �' (�� �&�� �����+���� �-��� � � �������� ������ ���� ����� ����' :���' 9 <@$ <DD!% !7!>

!7$'

;!!= �' ���� �' � � (' ���������� ���������������� � ���� ������ 3��' 3���� 2 ��'

(���' "@ <DD@% <7D><<"'

;!"= 3' N�� � �' � � �' ���� 4������� � �)�������� � ����������� ������ ���� ���� �����

2 0 ������� �� 2 ��� ��� �� ��&��� �� 4����� � � 2 ������ DD� <DDD� ��' H$>

D<'

6@7 /1 ��� �� ��1 2 &���1 (���1 3����1 �#% 4#..#5 #��6#*.