Parametros Optimos Histeresis

Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Nº 3, 284 - 293, 2008

Optimal hysteresis model parametersfor the seismic response of reinforced concrete

framesAndrés Lepage y Sebastián A. Delgado

Department of Architectural Engineering, College of Engineering,Pennsylvania State University, 104 Eng. Unit A, University Park, PA, USA.

[email protected], [email protected]

Abstract

This work seeks to identify the optimal combination of parameters defining the hysteretic responseof reinforced concrete frames and leading to the best correlation between the calculated and measuredseismic response. The combined effects of five parameters are investigated: initial stiffness, bond-slip de-formations, post-yield stiffness, unloading stiffness, and type of damping. The analyses use lumped plas-ticity models concentrated at member ends. The study uses the recorded seismic responses of twoten-story laboratory structures and two orthogonal structural systems in an existing seven-story build-ing. For each of the four structures, 64 combinations of parameters are considered for a total of 256 cases.For each case, the calculated roof displacement is compared to the measured response by means of thefrequency domain error index (FDE), facilitating the identification of the combination of parameters thatleads to the best analytical simulation to minimize FDE. Although the best simulations are attained inmodels with uncracked initial stiffness, hard post-yield stiffness, and variable unloading stiffness, thestudy identifies models with cracked initial stiffness that also lead to satisfactory simulations.

Key words: Nonlinear dynamic procedure, time-history analysis.

Parámetros óptimos en modelos de histéresispara la respuesta sísmica de pórticos

de concreto armado

Resumen

Este trabajo busca identificar la combinación óptima de parámetros que define la respuesta histeré-tica en pórticos de concreto armado y conduce a la mejor correlación entre la respuesta sísmica calculaday medida. Se investigan los efectos combinados de cinco parámetros: rigidez inicial, deslizamiento por ad-herencia, rigidez de posfluencia, rigidez de descarga, y tipo de amortiguamiento. Los análisis usan mode-los de plasticidad concentrada en extremos de miembros. El estudio usa la respuesta sísmica registradaen dos estructuras de laboratorio de diez pisos y en dos sistemas estructurales ortogonales de un edificioreal de siete pisos. Para cada una de las cuatro estructuras, se consideran 64 combinaciones de paráme-tros para un total de 256 casos. Para cada caso, el desplazamiento del techo calculado se compara con larespuesta medida mediante el índice de error en el dominio de frecuencias (FDE), facilitando la identifica-ción de la combinación de parámetros que conduce a la mejor simulación analítica que minimiza el FDE.Aunque las mejores simulaciones se logran en modelos con rigidez inicial no agrietada, rigidez endurecidade posfluencia, y rigidez variable de descarga, el estudio identifica modelos con rigidez inicial agrietadaque también conducen a simulaciones satisfactorias.

Palabras clave: Procedimiento dinámico no-lineal, análisis con acelerogramas.

Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, No. 3, 2008

Introducción

En la evaluación sísmica de edificacionesexistentes, así como en el diseño de edificacionesnuevas, existen situaciones donde terceros re-quieren revisiones especiales para el otorgamien-to del permiso de construcción. Hoy en día nosorprende la exigencia sobre el uso del análisissísmico avanzado, mediante cálculo estático o di-námico no-lineal. Adicionalmente, es cada vezmás común que los ingenieros de diseño recu-rran al análisis no-lineal para evaluar los méritosrelativos entre diversas soluciones estructurales.

El objetivo de este trabajo es identificar lacombinación óptima de parámetros de entradapara un análisis dinámico no-lineal, para simu-laciones confiables. Se estudian dos estructurasexperimentales de diez pisos, ensayadas en el si-mulador de terremotos de la Universidad de Illi-nois: MF1, MF2, y dos estructuras ortogonales:HEW, HNS, que conforman el edificio Holiday Innen Van Nuys, California, de siete pisos, cuya res-puesta fue medida durante el terremoto de North-ridge en 1994. Se investiga la influencia de cincoparámetros y sus combinaciones: rigidez inicial,deslizamiento por adherencia, rigidez de pos-fluencia, rigidez de descarga, y el tipo de amorti-guamiento.

Análisis Dinámico No-lineal

Se utilizó una variante del programa LARZ[1] para el análisis dinámico no-lineal. El progra-ma considera vigas y columnas como elementosrectos sin masa, con una porción central elásticaacotada en sus extremos por resortes no lineales.Los resortes se conectan a segmentos rígidos querepresentan segmentos finitos de la juntaviga-columna.

Las deformaciones axiales son desprecia-das y la rigidez al cortante se supone constante.La rigidez a la flexión se redefine para cada pasode cálculo tomado como ¼ de la tasa de muestreodel registro en la base, y las masas invariables seconcentran a nivel de piso donde se definen losgrados de libertad traslacionales. Se incorporanlos efectos P�.

Para cada elemento, a partir de las relacio-nes momento-curvatura, se derivan las relacio-nes primarias de momento-rotación asignadas a

los resortes no lineales, en base a los puntos deagrietamiento y de fluencia conectados linealmen-te. La rigidez asociada a la curva primaria se re-duce al incorporar los efectos de deslizamientopor adherencia (bond slip) que ocurren en la jun-tas viga-columnas.

La matriz de amortiguamiento [C], es cons-truida como la combinación lineal de las matricesde masa [M] y de rigidez [K], según

[ ] [ ] [ ]C M K� �� (1)

��

� ��ii

i� �1

22( ) (2)

donde �i es la fracción de amortiguamiento críticoen base al modo de vibración i de frecuencia �i.En este estudio, el amortiguamiento se define enfunción de �1 (primer modo), usando seccionesbrutas. Para el caso de amortiguamiento propor-cional a la masa, se toma �=2�� y �=0. Para elcaso proporcional a la rigidez, se toma �=0 y�=2��/�1.

Estructuras ExperimentalesMF1 y MF2

Las estructuras MF1 [2] y MF2 [3] son mo-delos a escala en la Figura 1. Cada una está con-formada por dos pórticos paralelos de 10 pisos.La estructura MF2 es idéntica a MF1 excepto porla discontinuidad de una viga en el primer piso.El peso nominal por nivel es 4.45 kN (454 kg), aexcepción del nivel 1 en MF2 donde se aproxima a2/3 del típico.

Ambos modelos fueron construidos usandoconcreto de agregado pequeño y con resistencia acompresión f’c de 40 MPa (410 kgf/cm2) en MF1,y 38 MPa (390 kgf/cm2) en MF2. El refuerzo esalambre calibre 13 para el acero longitudinal ycalibre 16 para el transversal. Las propiedadesmecánicas del acero utilizado son similares a ladel típico comercial. El acero longitudinal es con-tinuo y se extiende más allá de los nodos extre-mos para proporcionar anclaje adecuado. El re-fuerzo transversal provisto con espirales rectan-gulares garantiza que la falla por corte no ocurraantes de la falla por flexión. Las juntas viga-co-lumna son reforzadas con espirales elípticos paraevitar la falla de la junta. Por medio de un tubo de


Parámetros óptimos en modelos de histéresis para la respuesta sísmica de pórticos de concreto 285

acero, a través del centro de las juntas, se facilitala transferencia de las cargas del piso a los pórti-cos sin inducir momentos en los miembros. Elsistema de cargas tiene el centro de masa coinci-dente con el centro de cada piso y obliga a que lospórticos se desplacen por igual. Las cargas axia-les en las columnas del primer piso no exceden de0.20 f ’c Ag.

Las estructuras se sometieron en su base aregistros de aceleraciones según copias de ElCentro 1940 NS, con la escala de tiempo compri-mida en 2.5, cónsono con el período fundamentalde los modelos a escala. Los experimentos aquí

considerados corresponden al primer evento desimulación sísmica al cual las estructuras MF1 yMF2 fueron sometidas. En dicho evento se regis-traron aceleraciones máximas en la base de0.40g para MF1 y 0.38g para MF2. Detalles adi-cionales se presentan en las referencias 2 y 3.

Estructura del edificio HolidayInn en Van Nuys, California

El edificio estudiado [4] está ubicado a unos6 km del epicentro del terremoto de Northridge1994. La estructura de 7 pisos en la Figura 2,construida en 1966, utiliza concreto de peso nor-mal con resistencia de diseño de 34 MPa (350kgf/cm2), para las columnas del primer nivel. Elsistema de entrepiso del primer nivel y las colum-nas del segundo nivel usan concreto de 28 MPa(280 kgf/cm2). El resto de la estructura emplea21 MPa (210 kgf/cm2). El acero de refuerzo es de410 MPa (4200 kgf/cm2), ASTM A-432 para co-lumnas y de 280 MPa (2800 kgf/cm2), ASTMA-15 y A-305 para vigas y losas.

El sistema resistente a fuerzas laterales,esencialmente simétrico en ambas direcciones,está conformado por la combinación de pórticosperimetrales viga-columna y de pórticos interio-res losa-columna. Las columnas interiores sonde 510×510 mm en el primer nivel y 460×460 mmen el resto. Las columnas exteriores son de360×510 mm. Desde el primer hasta el cuarto ni-


286 Lepage y Delgado

Figura 1. Estructuras experimentales MF1y MF2.

Figura 2. Edificio Holiday Inn en Van Nuys, California.

vel, el refuerzo de las columnas es 6#9 con dobleligadura #3 a cada 300 mm. A partir del quintopiso el refuerzo de las columnas cambia a 6#7con doble ligadura #2 a cada 300 mm. El espacia-miento del refuerzo transversal en las columnasno cumple con los requerimientos modernospara pórticos dúctiles.

Durante el sismo Northridge 1994, el edificioestaba instrumentado con 16 acelerómetros queregistraron las aceleraciones Este-Oeste (EW),Norte-Sur (NS), y vertical. Las aceleraciones picosdel terreno fueron 0.45g EW, y 0.42g NS.

Parámetros consideradosen la investigación

Se estudia la influencia de cinco paráme-tros, cada uno representado por dos ó cuatro va-lores característicos y que se identifican por lossímbolos mostrados en la Tabla 1.

Rigidez inicial

Se consideran dos casos: la condición de ri-gidez inicial no-agrietada en base a propiedadesde la sección bruta (modelo B), y la condición derigidez inicial agrietada (modelo A). Para el casoB, la rigidez inicial se mantiene hasta el punto deagrietamiento asociado al módulo de rotura fr de5

8 �f c MPa (2 �f c kgf/cm2). Para el caso A, la rigi-

dez inicial se define mediante el punto de fluen-cia. En ambos casos, el punto de fluencia es cal-culado suponiendo compatibilidad de deforma-ciones entre acero y concreto. El concreto se mo-dela mediante la curva de Hognestad [5] y el acerose define como elastoplástico perfecto.

Deslizamiento por adherencia

Para cada elemento, las relaciones momen-to-rotación se derivan de las relaciones momen-to-curvatura suponiendo el punto de inflexión amitad del claro. Luego se añade la rotación � de-bido a los efectos de deslizamiento por adheren-cia [1] entre acero y concreto, dentro de las juntasviga-columna, para un esfuerzo promedio de ad-herencia u:

� � �

�

��

�

��

18

2 2d f

E u d d

M

Mb y

s y( )(3)

donde: db es el diámetro del acero a tensión; Es esel módulo de elasticidad del acero; fy es el esfuer-zo de fluencia del acero; d y d’ definen las posicio-nes del acero.

Se consideran dos casos: el caso de adhe-rencia débil (modelo D) con valores u de 1

3 �f c

MPa (1.1 �f c kgf/cm2), y el caso de adherencia

fuerte (modelo F) con valores u de 23 �f c MPa

(2.1 �f c kgf/cm2). Los valores de � se obtienen

para momentos de agrietamiento y fluencia My, apartir de los cuales se hace interpolación lineal. Apesar de suponer las juntas viga-columna cómorígidas, los valores de � que corresponden a loscasos D también pueden interpretarse como jun-tas con porciones no rígidas.

Rigidez de posfluencia

En este estudio la rigidez de posfluencia Kp

se expresa como una fracción de la rigidez se-cante al punto de fluencia Ke = My / �y, donde �y

ya incluye el deslizamiento por adherencia. Seconsideran las fracciones Kp / Ke de 2% para re-presentar una posfluencia plana (modelo P), y de10% para una posfluencia endurecida (modeloE). Se desarrolló una variante del programaLARZ [1] para garantizar los valores de Kp desea-dos.

Rigidez de descarga

Para la respuesta dinámica no-lineal, seutilizan las reglas de histéresis de Takeda [6], lascuales controlan las variaciones de rigidez. Take-da modifica la rigidez de descarga mediante el ex-ponente , tomando en cuenta la historia de de-formaciones:

K Kd ey

m

�

��

��

�

�

�

(4)

donde: Kd es la rigidez de descarga; Ke es la rigi-dez efectiva definida por la secante al punto defluencia; �y es la rotación de fluencia; y �m la ro-tación máxima alcanzada. El caso de =0, conKd=Ke, representa una rigidez de descarga cons-tante (modelo C), y el caso de =0.5 representauna rigidez de descarga variable (modelo V).



Amortiguamiento viscoso

Se consideran cuatro tipos de amortigua-miento según la Ecuación 1: dos del tipo propor-cional a la masa, 2% ó �2 y 5% ó �5, y dos del tipoproporcional a la rigidez, 2% ó �2 y 5% ó �5. � y �

se asociaron al primer modo de vibración de la es-tructura no-agrietada.

La Tabla 1 resume la nomenclatura queidentifica los parámetros utilizados. Para cadaestructura se analizan los casos de estudio defi-nidos por las combinaciones de parámetros po-sibles. Se dispone de dos rigideces iniciales B yA, dos rigideces de posfluencia E y P, dos rigide-ces de descarga C y V, dos niveles de desliza-miento por adherencia F y D, y cuatro tipos deamortiguamientos �2, �5, �2, y �5, para un totalde 64 combinaciones para cada estructura:MF1, MF2, HEW, HNS.

Las resistencias del concreto y del acero enlos cálculos corresponden a los valores medidosen el laboratorio para las estructuras MF1 y MF2,mientras que para los pórticos HEW y HNS se uti-lizan los valores nominales de diseño incremen-tados 10%.

Índice de error en el dominiode frecuencias

El gran número de modelos considerados,dificulta el apreciar la respuesta calculada queresulta en la mejor correlación con la respuestamedida. A tal efecto, se usa el índice de error en eldominio de frecuencias (FDE) [8], como una medi-da de la correlación entre una señal medida yotra calculada; ambas en función del tiempo.

El índice FDE está basado en las caracterís-ticas de las frecuencias contenidas en las señales



Tabla 1Identificación de Parámetros

Parámetro Característica Símbolo

Rigidez inicial Bruta fr = 58 �f c [MPa]

Agrietada fr ~ 0

BA

Rigidez de posfluencia Endurecida Kp = 0.10 Ke

Plana Kp = 0.02 Ke

EP

Rigidez de descarga Constante = 0Variable = 0.5

CV

Deslizamiento por Adherencia Fuerte u = 23 �f c [MPa]

Débil u = 13 �f c

FD

Amortiguamiento viscoso 2% proporcional a la masa �25% proporcional a la masa �52% proporcional a la rigidez �25% proporcional a la rigidez �5

Rotación Rotación

A

V

D P

B

C

FE

Modelo APVD Modelo BECF

�y Ecuación 3

Mo

men

to

Mo

men

to

a comparar. El índice cuantifica las desviacionesen amplitud y fase entre dos señales y asigna va-lores entre 0 y 1, donde 0 indica una correlaciónperfecta.

En la determinación del índice FDE, es ne-cesario obtener la transformada de Fourier paracada señal y así obtener una representación ennúmeros complejos en el dominio de frecuencias.Para cada frecuencia y su expresión en númeroscomplejos, los componentes reales e imaginariospueden ser representados en un sistema carte-siano x-y, con coordenadas x según la compo-nente real de amplitud y coordenadas y según lacomponente compleja de fase. En la Figura 3 seilustra la representación vectorial en el sistemax-y de las señales medida y calculada. El índiceFDE se basa en el vector de error normalizado porla suma de las magnitudes de los vectores, según

� �FDE

R R I I

R I R I

M C M Ci f

f

M M C

i i i i

i i i

�

�

� � �

�

� ( ) ( )

( (

2 2

2 2 2

1

2

� �Ci f

f

i

2

1

2

�

�(5)

RMi, IMi

= componente real e imaginaria de laseñal medida de frecuencia i

RCi, ICi

= componente real e imaginaria de laseñal calculada de frecuencia i

f1 , f2 = frecuencia inicial y final para la suma-toria.

El denominador de la Ecuación 5 garantizavalores FDE entre 0 y 1. En este estudio, las fre-cuencias f1 y f2 se definen en función del períodofundamental T1 de la estructura no-agrietada,utilizando 1/(4T1) y 1/(0.1T1), respectivamente.Este rango captura la contribución de las fre-cuencias de vibración más relevantes de la res-puesta inelástica.

Discusión de Resultados

Para evaluar la bondad de las respuestascalculadas, se toman las historias de los despla-zamientos del último piso o techo como represen-tativas y capaces de caracterizar el comporta-miento global y local en estructuras aporticadasregulares [1]. Los desplazamientos calculados secomparan con los medidos, determinándosepara cada caso el índice FDE correspondiente.

Los resultados se muestran en las cartas de índi-ces FDE en las Figuras 4 y 5, mediante una repre-sentación gráfica que evoca una diana o tiro alblanco, dónde el centro representa una correla-ción perfecta FDE = 0, entre la historia de la res-puesta calculada y la medida. Un punto periféri-co FDE = 0.75 representa mala correlación. Untotal de cuatro sectores por cuadrante divide alcírculo en 16 sectores. Cada sector representauno de los 16 modelos derivados de la combina-ción de las variables: A/B, P/E, V/C, y D/F. Lascartas se han separado para cada tipo de amorti-guamiento: �2, �5, �2, y �5, en las estructuras MF1y MF2 en la Figura 4, y en las estructuras HEW yHNS en la Figura 5.

En las Figuras 4 y 5, la mitad derecha decada círculo representa los modelos tipo B con ri-gidez inicial basada en la sección bruta, y la mi-tad izquierda representa los modelos tipo A conrigidez inicial agrietada. El primer sector del pri-mer cuadrante marca el modelo de mayor resis-tencia a la deformación, BECF en la Tabla 1, y elmodelo de propiedades opuestas ubicado a 180�,corresponde al de menor resistencia a la defor-mación, APVD. Todo sector que identifica a unmodelo dado, tiene su sector opuesto que identi-fica las propiedades alternativas. La data de lasFiguras 4 y 5, al representar los índices FDE, tie-nen un símbolo adicional que identifica los casosdonde el desplazamiento máximo calculado difie-re en más del 25% respecto al máximo medido.



Figura 3. Representación del índice de error

FDE.



MF1MF2

�2

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

�5

�2

�5

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

Figura 4. Carta de índices FDE, estructuras MF1 y MF2.

HEWHNS

�2

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

�2

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

�5 �5

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

0.75

0.50

AECF

AEVF

BEVF

BECF

BECD

BEVD

AEVD

AECD

BPCD

APCD

BPVD

APVD

APVF

APCF

BPVF

BPCF

Figura 5. Carta de índices FDE, estructuras HEW y HNS.

En los modelos de rigidez inicial bruta B,sólo dos combinaciones de parámetros satisfa-cen valores FDE menores de 0.25 para las cuatroestructuras consideradas, sin que los desplaza-mientos máximos calculados se desvíen en másde 25% respecto al máximo medido. Estos mode-los son: BEVD-�5 y BEVF-�2, con valores prome-dios de 0.20 y 0.21 sobre las cuatro estructuras,respectivamente. Las historias de desplazamien-tos del techo para los modelos BEVD-�5 se pre-sentan en la Figura 6.

En los modelos de rigidez inicial agrietadaA, dos combinaciones de parámetros satisfacenvalores de FDE menores de 0.30, sin que los des-plazamientos máximos calculados se desvíen enmás de 25% respecto al máximo medido. Estosmodelos son: AEVF-�2 y AEVD-�5, con valorespromedios de 0.24 y 0.27 sobre las cuatro estruc-turas, respectivamente. Las respuestas para losmodelos AEVF-�2 se presentan en la Figura 7.

Los modelos también resultan en correla-ciones satisfactorias para las historias de cortebasal, Figura 8. Para obtener la historia del cortebasal medido, se requieren las historias de acele-raciones de cada piso, sólo disponibles para lasestructuras MF1 y MF2.

Conclusiones

Para el número limitado de estructuras ymodelos considerados, las siguientes tres reglasconducen a las mejores correlaciones entre lasrespuestas medidas y calculadas:

1. Los pórticos de concreto armado debenmodelarse con rigidez de posfluencia endurecidasegún el modelo E, y rigidez de descarga variablesegún el modelo V.

2. El tipo de amortiguamiento viscoso a uti-lizar depende de la escogencia del tipo de rigidezinicial. En los modelos con rigidez inicial agrieta-da como el modelo A, se debe utilizar el amorti-guamiento proporcional a la masa del tipo �,mientras que para los modelos con rigidez inicialno-agrietada como el modelo B, se debe conside-rar el amortiguamiento proporcional a la rigidezdel tipo �.

3. La cantidad de amortiguamiento viscosodepende de las suposiciones sobre los efectos deldeslizamiento por adherencia. Si se consideran va-lores de adherencia fuerte como en el modelo F, en-tonces el amortiguamiento corresponderá al 2%.Para valores de adherencia débil como en el mode-lo D, el amortiguamiento corresponderá al 5%.



MF1(0.20)

-30

-15

0

15

30

MF2(0.19)

-30

-15

0

15

30

0 1 2 3 4 5 6

HEW(0.22)

-300

-150

0

150

300

Despla

za

mie

nto

,m

m

HNS(0.20)

-300

-150

0

150

300

0 5 10 15 20 25 30

Medida Calculada

Tiempo seg

Figura 6. Historias de desplazamientos, modelo BEVD-�5.

De los 64 modelos considerados para cadaestructura, estas reglas conducen a los modelossiguientes: BEVD-�5, BEVF-�2, AEVF-�2, yAEVD-�5, los cuales resultan en índices FDE pro-medios de: 0.20, 0.21, 0.24, y 0.27, respectiva-mente.

Agradecimientos

A Mete Sozen de “Purdue University” por fa-cilitar la data experimental registrada en el simu-lador de terremotos de “University of Illinois”. A

Jeff Dragovich de “Seattle University” por el desa-rrollo de los programas de procesamientos de se-ñales.

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MF1

-20

-10

0

10

20

Cort

eb

asal,

kN

MF2

-20

-10

0

10

20

0 1 2 3 4 5 6

Medida Calculada

Tiempo, seg

Figura 8. Historias de corte basal, modelo BEVD-�5.

MF1(0.19)

-30

-15

0

15

30

MF2(0.20)

-30

-15

0

15

30

0 1 2 3 4 5 6

HEW(0.30)

-300

-150

0

150

300

Despla

za

mie

nto

,m

m

HNS(0.27)

-300

-150

0

150

300

0 5 10 15 20 25 30

Medida Calculada

Tiempo, seg

Figura 7. Historias de desplazamientos, modelo AEVF-�2.

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Recibido el 18 de Febrero de 2008

En forma revisada el 05 de Noviembre de 2008



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