3

Предисловие

Учебник «Математика: алгебра и начала матема-тического анализа, геометрия. Алгебра и начала ма-тематического анализа. 10 класс. Базовый уровень»,к преподаванию по которому написано это методи-ческое пособие, адресован учащимся десятых клас-сов, изучающим математику на базовом уровне пос-ле изучения курса основной школы по различнымучебникам алгебры.

Базовый курс математики ориентирован на уча-щихся, ближайшее будущее которых не будет связа-но с изучением математики в высших учебных заве-дениях, поэтому материал изучается на общекуль-турном уровне.

Обучение математике является важнейшей со-ставляющей среднего (полного) общего образованияи призвано в соответствии с Федеральным государст-венным образовательным стандартом среднего (пол-ного) общего образования обеспечить сформирован-ность: «представлений о социальных, культурных иисторических факторах становления математики;основ логического, алгоритмического и математиче-ского мышления; умений применять полученныезнания при решении различных задач; представле-ний о математике как части общечеловеческой куль-туры, универсальном языке науки, позволяющем

2153940o2.fm Page 3 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

4

описывать и изучать реальные процессы и явле-ния»1.

При разработке учебников авторы дополнительноставили перед собой следующие цели: развитие лич-ности школьника средствами математики, подготов-ка его к продолжению обучения и к самореализациив современном обществе.

Достижение перечисленных целей предполагаетрешение следующих задач:

— формирование мотивации изучения математи-ки, готовности и способности учащихся к саморазви-тию, личностному самоопределению, построениюиндивидуальной траектории в изучении предмета;

— формирование у учащихся способности к орга-низации своей учебной деятельности посредствомосвоения личностных, познавательных, регулятив-ных и коммуникативных универсальных учебныхдействий;

— формирование специфических для математикистилей мышления, необходимых для полноценногофункционирования в современном обществе, в част-ности логического, алгоритмического и эвристиче-ского;

— освоение в ходе изучения математики специ-фических видов деятельности, таких как построениематематических моделей, выполнение инструмен-тальных вычислений, овладение символическимязыком предмета и др.;

— формирование умений представлять информа-цию в зависимости от поставленных задач в видетаблицы, схемы, графика, диаграммы, использоватькомпьютерные программы, Интернет при ее обра-ботке;

1 Федеральный государственный образовательныйстандарт среднего (полного) общего образования/М-во об-разования и науки РФ. (Стандарты второго поколения).Приказ Министерства образования и науки РФ от17.05.2012. № 413, с. 14—15.

2153940o2.fm Page 4 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

5

— овладение учащимися математическим язы-ком и аппаратом как средством описания и исследо-вания явлений окружающего мира;

— овладение системой математических знаний,умений и навыков, необходимых для решения задачповседневной жизни, изучения смежных дисциплини продолжения образования;

— формирование научного мировоззрения;— воспитание отношения к математике как к час-

ти общечеловеческой культуры, играющей особуюроль в общественном развитии.

Методическая концепция обучения выражается всистемно-деятельностном подходе и принципах обу-чения, которые сформулированы ниже.

Системно-деятельностный подход предполагаеториентацию на достижение цели и основного ре-зультата образования — развитие личности обучаю-щегося на основе освоения универсальных учебныхдействий, познания и освоения мира, активнойучебно-познавательной деятельности, формирова-ние его готовности к саморазвитию и непрерывномуобразованию; разнообразие индивидуальных образо-вательных траекторий и индивидуального развитиякаждого обучающегося.

Принцип разделения трудностей. Математиче-ская деятельность, которой должен овладеть школь-ник, является комплексной, состоящей из многихкомпонентов. Именно эта многокомпонентность яв-ляется основной причиной испытываемых школь-никами трудностей. Концентрация внимания наобучении отдельным компонентам делает материалдоступнее.

Для осуществления принципа необходимо пра-вильно и последовательно выбирать компонентыдля обучения. Если некоторая математическая де-ятельность содержит в себе творческую и техниче-скую компоненту, то, согласно принципу разделе-ния трудностей, они изучаются отдельно, а затем ин-тегрируются.

2153940o2.fm Page 5 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

6

Например, при изучении в 11 классе элементовматематического анализа сначала школьники напримере нескольких найденных по определениюпроизводных функций знакомятся с основными ти-пами заданий на применение производной. Это мо-тивирует последующее изучение техники дифферен-цирования. Аналогичная идея заложена в методикуизучения интеграла и первообразной.

Когда изучаемый материал носит алгоритмиче-ский характер, для отработки и осознания каждогошага алгоритма в учебнике составляется систематворческих заданий. Каждое следующее задание всистеме опирается на результат предыдущего, при-меняется сформированное умение, новое знание.Так постепенно формируется весь алгоритм дейст-вия.

Принцип укрупнения дидактических единиц. Ук-рупненная дидактическая единица (УДЕ) — это кле-точка учебного процесса, состоящая из логическиразличных элементов, обладающих в то же времяинформационной общностью. Она обладает качест-вами системности и целостности, устойчивостью вовремени и быстрым проявлением в памяти. Прин-цип УДЕ предполагает совместное изучение взаимо-связанных действий, операций, теорем. Принципукрупнения дидактических единиц весьма эффекти-вен, например, при изучении логарифмическойфункции и ее свойств.

Принцип опережающего формирования ориен-тировочной основы действия (ООД) заключается вформировании у школьника представления о цели,плане и средствах осуществления некоторого дейст-вия. Полная ООД обеспечивает систематически без-ошибочное выполнение действия в некотором диапа-зоне ситуаций. ООД составляется учениками сов-местно с учителем в ходе выполнения системызаданий. Отдельные этапы ООД включаются в опере-жающую систему упражнений, что дает возмож-ность подготовить базу для изучения нового матери-ала и увеличивает время на его усвоение.

2153940o2.fm Page 6 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

7

Принципы позитивной педагогики заложены воснову педагогики сопровождения, поддержки и со-трудничества учителя с учеником. Создавая интел-лектуальную атмосферу гуманистического образова-ния, учителя формируют у учащихся критичность,здравый смысл и рациональность. В процессе обуче-ния учитель воспитывает уважением, свободой, от-ветственностью и участием. В общении с учителем итоварищами по обучению передаются, усваиваютсяи вырабатываются приемы жизненного роста какцепь процедур самоидентификации, самоопределе-ния, самоактуализации и самореализации, в резуль-тате которых формируется творчески-позитивноеотношение к себе, к социуму и к окружающему мирув целом, вырабатывается жизнестойкость, расширя-ются возможности и перспективы здоровой жизни,полной радости и творчества.

Технология обучения строится на базе двух ос-новных форм организации работы с классом. Однаиз них — фронтальная беседа, которая используетсяв основном при изучении нового материала и при ра-боте с нестандартными заданиями. Другая — само-стоятельная письменная работа, которая применя-ется, как правило, для формирования навыка реше-ния стандартных задач.

Фронтальная беседа. Работа проводится в видедиалога учителя с классом, при этом учитель стара-ется с помощью системы вопросов вовлечь в него какможно больше учащихся. Понятно, что наиболеепростые вопросы адресуются ученикам, которые ис-пытывают трудности в усвоении математики. Суще-ственную роль в повышении эффективности фрон-тальной работы могут сыграть мультимедиа-ресур-сы. При этом желательно, чтобы компьютер в классеимел выход в Интернет.

Фронтальная беседа ни в коем случае не должнасводиться к работе с сильными учениками, когдабольшая часть класса не успевает следить даже заразвитием сюжета. Поэтому желательно заранеепланировать, кому из учащихся, какой вопрос за-дать, или, по крайней мере, заготовить достаточное

2153940o2.fm Page 7 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

8

количество простых вопросов. За активное участие вработе учеников необходимо стимулировать отмет-ками или похвалой.

При работе с новым материалом учитель можетделать записи на классной доске, однако ученикидалеко не всегда должны их дублировать в своих тет-радях. В большинстве случаев, когда рассматривает-ся новый тип задач, аналогичный материал есть вучебнике. Но главная причина заключается в том,что ученики не в состоянии разделять свое вниманиемежду несколькими видами деятельности, поэтомув каждый момент урока ученик должен заниматьсячем-то одним: внимательно слушать, обдумывать,устно вычислять, сравнивать, переписывать с доскиили что-то выполнять в тетради. Учитель же долженсвоевременно переключать школьников с одноговида деятельности на другой, помня, что они, какправило, не могут больше 7—10 минут заниматьсяодной деятельностью.

Вернемся к проблеме переписывания с доски. Ес-ли учитель считает, что какие-то записи должныоказаться в ученических тетрадях, то после объясне-ния логически законченного блока материала емуследует специально выделить для этого время.

Письменная самостоятельная работа. Непремен-ное требование, которому должна удовлетворять ор-ганизация самостоятельной работы учащихся, —информация о ее продолжительности до начала ра-боты и анализ результатов непосредственно после ееокончания. Конечно, глубина анализа может бытьразличной, однако каждый ученик, закончив рабо-ту, как минимум, должен знать, какую ее часть онвыполнил верно и в чем допустил ошибку.

Крайне желательно, чтобы в классе была доста-точно большая классная доска, оборудованная«крыльями». Можно вызывать одного или двухшкольников выполнять самостоятельную работуза крыльями доски скрытно от остальных уча-щихся, а после выполнения работы использовать ре-шения на крыльях для проверки и обсуждениярезультатов работы. С этой целью можно также

2153940o2.fm Page 8 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

9

использовать мультимедийный проектор или интер-активную доску.

Требование немедленного контроля заставляетнесколько иначе взглянуть на домашнюю работушкольников, а также на организацию контрольныхработ. Так, в частности, не следует задавать на домматериал алгоритмического характера, пока уче-никами не усвоены соответствующие алгоритмы,поскольку даже констатация расхождения получен-ного ответа с ответом в учебнике может оказатьсянедостаточной для отыскания ошибочного шага ре-шения. Можно предложить простое и эффективноерешение проблемы домашнего задания (хотя в на-ших методических рекомендациях этому совету мыне следуем). Всем ученикам предлагается дома вер-нуться к разобранным в классе заданиям самостоя-тельных работ и постараться повторно выполнитьте, в которых ими были допущены ошибки. Понят-но, что проверять следует не переписывание этих за-даний, а умение их решать. Проверку выполнениядомашнего задания иногда полезно осуществлять спомощью самостоятельной работы в двух вариантах,задания которых аналогичны тем, которые должныбыли быть разобраны школьниками дома. Такие са-мостоятельные работы выборочно или тотально оце-ниваются. Заметим, что школьники, которые на-учились решать задачи того или иного типа на уро-ке, могут заняться дома чем-нибудь более для себяполезным. Можно время от времени дополнительнопредлагать школьникам различные нестандартные,творческие задания, выполнение которых должнопоощряться, а отказ от выполнения не должен нака-зываться.

Кроме этих основных форм, конечно, имеют мес-то и другие хорошо известные виды учебной работы,такие как устные упражнения, математические дик-танты, самостоятельная работа с учебником, парныесамостоятельные работы и т. д.

Эффективность работы существенно повысится,если, рассмотрев любой логически завершенныйблок материала (вывод формулы, составление урав-

2153940o2.fm Page 9 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

10

нения по тексту задачи, решение примера, правиль-ное решение заданий самостоятельной работы, чте-ние и обсуждение фрагмента учебника и т. п.), пред-ложить школьникам полминуты молча подумать отом, что важное и новое для себя они из этого блокаузнали, в чем заключалась их ошибка и т. п., т. е.еще раз прокрутить этот блок материала в своем со-знании.

Говоря о технологии, мы советуем учителю перей-ти в тематическом контроле знаний школьников наформу дифференцированного зачета (зачета с вы-ставлением отметки). Зачет сдается по материалуглавы, причем зачетные вопросы и задания могутбыть составлены из контрольных вопросов и заданий,которыми завершается каждый пункт учебника.А допуском к зачету может являться выполненнаяшкольником домашняя контрольная работа к главе.Кстати, выполнение домашней контрольной работыученик не должен оттягивать на последний день изу-чения материала главы, а выполнять из нее заданияпо ходу изучения материала. Для допуска к зачетудостаточно выполнить задания первого уровня.

В тематическом планировании указано время ли-бо на зачет, либо на контрольную работу. При зачет-ной форме контроля можно разрешить желающимшкольникам вместо зачета написать контрольную ра-боту. Кроме того, учитель может по одним главампровести зачеты, а по другим — контрольные работы.

Контрольные работы составлены из заданий трехуровней. Первый уровень содержит простые зада-ния, в которых ученики должны выбрать один из ва-риантов ответа. Выполнение заданий первого уровнясоответствует оценке «3» или «4», второго уровнясоответствует отметке «4» или «5», а третьего —отметке «5». Впрочем, требования можно и снизитьв зависимости от класса.

Особенности построения учебно-методическогокомплекса (УМК) обеспечивают достижение вы-пускниками старшей школы следующих личност-ных, метапредметных и предметных результатов.

2153940o2.fm Page 10 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

11

В личностных результатах сформированность:— целостного мировоззрения, соответствующего

современному уровню развития науки математикии общественной практики ее применения;

— основ саморазвития и самовоспитания в соот-ветствии с общечеловеческими ценностями и идеа-лами гражданского общества; готовность и спо-собность к самостоятельной, творческой и ответст-венной деятельности с применением методов мате-матики;

— готовности и способности к образованию, в томчисле самообразованию на протяжении всей жизни;сознательного отношения к непрерывному образова-нию как условию успешной профессиональной и об-щественной деятельности на основе развитой моти-вации учебной деятельности и личностного смыслаизучения математики, заинтересованности в приоб-ретении и расширении математических знаний испособов действий, осознанности в построении инди-видуальной образовательной траектории;

— осознанного выбора будущей профессии, ори-ентированной в применении математических мето-дов и возможностей реализации собственных жиз-ненных планов; отношение к профессиональной де-ятельности как возможности участия в решенииличных, общественных, государственных, общена-циональных проблем;

— логического мышления: критичности (умениераспознавать логически некорректные высказыва-ния), креативности (собственная аргументация, оп-ровержения, постановка задач, формулировка проб-лем, работа над исследовательским проектом и др.).

В метапредметных результатах сформирован-ность:

— способности самостоятельно ставить цели учеб-ной, исследовательской и проектной деятельности,планировать, осуществлять, контролировать и оце-нивать учебные действия в соответствии с постав-ленной задачей и условиями ее выполнения;

2153940o2.fm Page 11 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

12

— умения самостоятельно планировать альтерна-тивные пути достижения целей, осознанно выбиратьнаиболее эффективные способы решения учебныхи познавательных задач;

— умения находить необходимую информацию,критически оценивать и интерпретировать инфор-мацию в различных источниках (в справочниках,литературе, Интернете), представлять информациюв различной форме (словесной, табличной, графиче-ской, символической), обрабатывать, хранить и пе-редавать информацию в соответствии с познаватель-ными или коммуникативными задачами;

— навыков осуществления познавательной, учеб-но-исследовательской и проектной деятельности,навыков разрешения проблем; способность и готов-ность к самостоятельному поиску методов решенияпрактических задач, применению различных мето-дов познания;

— умения продуктивно общаться и взаимодейст-вовать в процессе совместной деятельности, учиты-вать позиции других участников деятельности, эф-фективно разрешать конфликты;

— владения языковыми средствами — умение яс-но, логично и точно излагать свою точку зрения,использовать адекватные языковые средства;

— владение навыками познавательной рефлексиикак осознания совершаемых действий и мыслитель-ных процессов, их результатов и оснований, границсвоего знания и незнания, новых познавательныхзадач и средств их достижения.

В предметных результатах сформированность1:— представлений о математике как части миро-

вой культуры и о месте математики в современнойцивилизации, о способах описания на математиче-ском языке явлений реального мира;

1 Федеральный государственный образовательныйстандарт среднего (полного) общего образования/М-во об-разования и науки РФ. (Стандарты второго поколения).Приказ Министерства образования и науки РФ от17.05.2012. № 413, с. 15.

2153940o2.fm Page 12 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

13

— представлений о математических понятияхкак о важнейших математических моделях, позво-ляющих описывать и изучать разные процессы и яв-ления; понимание возможности аксиоматическогопостроения математических теорий;

— умений применения методов доказательств иалгоритмов решения; умение их применять, прово-дить доказательные рассуждения в ходе решениязадач;

— стандартных приемов решения рациональныхи иррациональных, показательных, степенных, три-гонометрических уравнений и неравенств, их сис-тем; использование готовых компьютерных про-грамм, в том числе для поиска пути решения и ил-люстрации решения уравнений и неравенств;

— представлений об основных понятиях, идеяхи методах математического анализа;

— представлений о процессах и явлениях, имею-щих вероятностный характер, о статистических за-кономерностях в реальном мире, об основных поня-тиях элементарной теории вероятностей; уменийнаходить и оценивать вероятности наступления со-бытий в простейших практических ситуациях и ос-новные характеристики случайных величин;

— навыков использования готовых компьютер-ных программ при решении задач.

Структура учебникаУчебник «Математика: алгебра и начала матема-

тического анализа, геометрия. Алгебра и начала ма-тематического анализа. 10 класс» содержит шестьглав:

1. Функции и графики.2. Степени и корни.3. Показательная и логарифмическая функции.4. Тригонометрические функции и их свойства.5. Элементы теории вероятностей и комбинато-

рики.6. Повторение.Во-первых, заметим, что изучение элементов ма-

тематического анализа отнесено к последнему году

2153940o2.fm Page 13 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

14

обучения. Такое распределение вызвано недосказан-ностью материала элементарной математики в ос-новной школе, создающей опасность разрыва основ-ных содержательных линий элементами высшей ма-тематики, имеющими совершенно иную идеологию.Во-вторых, дойдя в 10 классе до границ примени-мости методов элементарной математики, можнопредложить в 11 классе естественную мотивациюизучения элементов математического анализа.

Учебник 10 класса начинается с главы «Функциии графики», содержащей во многом повторение ма-териала, относящегося к функциям и графикам,изученным в основной школе. Это повторение, с од-ной стороны, систематизирует имеющиеся знания, сдругой — обогащает некоторыми новыми для учени-ков идеями. Вопросы непрерывности и монотоннос-ти функций находят применение в решении нера-венств методом интервалов и в подборе корней урав-нений. Большое внимание уделено преобразованиямграфиков функций.

Во второй главе «Степени и корни» продолжаетсяразвитие функциональной линии, рассматриваютсясвойства четности и нечетности функций. Монотон-ность функций используется в решении ирраци-ональных уравнений и неравенств. В связи с введе-нием понятия корня n-й степени появляется обрат-ная функция.

Естественный переход от корней к степеням с ра-циональными показателями подводит школьниковк третьей главе учебника «Показательная и лога-рифмическая функции», в которой рассматривают-ся показательная и логарифмическая функции,уравнения, неравенства и их системы.

Четвертая глава «Тригонометрические функциии их свойства» самая объемная в учебнике посвяще-на тригонометрии. В первой ее части школьникизнакомятся в основном с функциональными (пе-риодичность, формулы приведения, графики, про-стейшие уравнения), а во второй — с алгебраически-ми аспектами тригонометрии (тригонометрическиетождества и преобразования, основные типы триго-

2153940o2.fm Page 14 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

15

нометрических уравнений). Такая последователь-ность изучения тригонометрического материалаоказывается наиболее компактной.

В пятой главе «Элементы теории вероятностей икомбинаторики» продолжается изучение элементовтеории вероятностей, комбинаторики и статистики,начатое в основной школе. Школьники, занимав-шиеся по нашему УМК, знакомы с этим материа-лом, и для них в основном все сводится к повторе-нию.

Завершает учебник глава «Повторение», в кото-рой систематизируется материал функциональнойлинии, в частности, рассматриваются обратные три-гонометрические функции arcsin a, arccos a, arctg aи arcctg a, которые при решении уравнений в чет-вертой главе использовались как выражения.

В учебник включены дополнительные матери-алы: домашние контрольные работы, ответы, советыи решения, список дополнительной литературы иинтернет-ресурсов, справочные материалы и пред-метный указатель.

Каждый пункт учебника включает: объяснитель-ный материал, который построен крупным блокомс разобранными примерами и образцами решений,историческими справками, системой упражненийи контрольными вопросами и заданиями.

Особое внимание при создании учебников для10—11 классов уделено выстраиванию системы уп-ражнений. Все задачи курса алгебры можно разде-лить на стандартные, умение решать которые впроцессе обучения стараются довести до уровня на-выков, и нестандартные, в решении которых уче-никам необходимо проявлять элементы творчества,где процесс поиска и составления плана решения,пожалуй, даже более важен, чем ответ. Понятно, чтотакое деление задач зависит от программы и целейсоответствующего курса, так некоторые задачи,стандартные при углубленном изучении математи-ки, для базового курса заведомо являются нестан-дартными. В наших учебниках практически нет се-рий однообразных стандартных заданий, отличаю-

2153940o2.fm Page 15 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

16

щихся только коэффициентами. Понятно, что этопредполагает отказ от натаскивания учащихся нарешение простейших типовых заданий, которое неоставляет времени для содержательных математиче-ских задач. При использовании наших учебниковстандартные навыки в основном формируются в про-цессе выполнения более сложных и разнообразныхзаданий.

Задания в учебнике дифференцированы по своейдидактической и методической направленности.Система упражнений сплетена из заданий, представ-ляющих три основные группы. К стандартнымупражнениям относятся первые две. Номера зада-ний первой группы не имеют специальных обозначе-ний — эти задания определяют как бы нижнюю гра-ницу умений, которые необходимо выработать ушкольников. Задания второй группы, отмеченныезначком «°», хотя и несколько сложнее, чем заданияпервой группы, однако в своей массе не требуют отшкольников особых интеллектуальных усилий. Этизадания должны обеспечить формирование обяза-тельных умений.

Обычно задания первых двух групп выполняютсяшкольниками самостоятельно с немедленным разбо-ром полученных ими результатов. Мы рекомендуемперед этим рассмотреть задачу фронтально, форму-лируя и обсуждая план ее выполнения. Важно отме-тить, что при этом сама реализация плана зачастуюокажется не нужна, или ее можно будет перенести вдомашнее задание. Особенно эффективен такой при-ем при повторении больших блоков материала в ус-ловиях дефицита времени.

Значительную часть в системе упражнений со-ставляют задания третьей группы, отмеченные знач-ком « ». Эти задания нестандартные, их дидакти-ческая функция — активизация мыслительной дея-тельности школьников. И здесь перед выполнениеммногих из них следует выработать и обсудить планрешения. После чего они становятся посильнымидля большинства школьников.

2153940o2.fm Page 16 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

17

Во всех случаях авторы стремились разгрузитьзадания от усложнений, не связанных с идеями ре-шения. Так, в частности, большинство квадратныхуравнений, которые придется решать старшеклас-сникам, имеют корнями числа 1, –1 или допускаютнесложный подбор корней по формулам Виета. По-нятно, что за счет технической разгрузки заданийдостигается значительная экономия времени.

В системе упражнений имеются также задания,которые не следует выполнять без калькулятора.Они отмечены знаком « ». Если у большинствашкольников имеются инженерные калькуляторы,эти задания можно включить в уроки. Поскольку вучебнике рассматриваются вычисления на кальку-ляторе, предоставляемом компьютерным пакетом«Windows», полезно изыскать возможность проведе-ния одного-двух уроков математики в школьномкомпьютерном классе. На эти уроки можно вынестисоответствующий материал учебника.

Некоторые задания, отмеченные знаком «*», мо-гут показаться непривычно трудными по сравнениюс обычным для большинства других учебников набо-ром упражнений, особенно для базового уровня. Ав-торы исходили из того, что задания, при выполне-нии которых ученики не испытывают затруднений,практически бесполезны в плане развития мышле-ния — приоритетном аспекте обучения математике.Важно, чтобы эти затруднения были преодолимы,и ученикам вовремя предоставлялась помощь, осо-бенно, если задания выполняются в домашней рабо-те. В рекомендациях мы во многих случаях предла-гаем учителю вопросы, подводящие к идее решения,а дома им помогут довольно содержательные разде-лы «Ответы», «Советы» и «Решения», об использо-вании которых говорится в начале учебника в обра-щении к ученикам. В этих разделах учтены практи-чески все случаи, в которых ученики обычноиспытывают затруднения. Разделы дают дополни-тельные консультации по изучаемому материалу, и,что особенно важно, учащиеся получают их именнов тот момент, когда в них нуждаются. Конечно, не-

2153940o2.fm Page 17 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

18

которые ученики вместо самостоятельного выполне-ния заданий предпочтут просто разобрать и перепи-сать их решения. Однако даже в этом случае они,вероятно, чему-то научатся. Учитель должен проде-монстрировать школьникам бессмысленность меха-нического переписывания решений, отказавшись отвыставления оценок за факт наличия (или отсутст-вия!) выполненного в тетради домашнего задания.Главное, чтобы школьники умели выполнять зада-ния, которые были заданы, что можно проверить,предложив, например, самостоятельную работу помотивам домашнего задания.

Количество упражнений к пунктам учебника до-статочно для изучения и закрепления материала,однако в наше пособие включены дополнительныезадания для устной работы, математических дик-тантов, самостоятельных и контрольных работ,а также зачетов. В качестве дополнительного ди-дактического материала можно использовать раз-личные пособия для подготовки к ЕГЭ. Нельзя не от-метить, что все больше школьников имеет компью-теры с доступом в Интернет, а в сети огромное коли-чество специализированных учебных ресурсов ибесплатных математических программ, среди кото-рых мы упоминаем программу GeoGebra, позволяю-щую выполнять большое количество учебных зада-ний по алгебре и геометрии.

В наших учебниках рядом с заданиями, в кото-рых целесообразно использовать GeoGebra или по-добные программы стоит знак компьютера.

Интернет существенно облегчает применение та-кого вида самостоятельной работы школьников, какпроект. Работая над проектом, ученик находит и вы-страивает материалы, как правило, расширяющие иуглубляющие изложение учебника. Результатом мо-жет являться, например, компьютерная презента-ция, которую с интересом посмотрят не только учи-тель, но и одноклассники. Возможно, что над проек-том будет работать не один, а группа учеников. Этоособенно актуально в темах, где из-за недостаткаучебного времени авторам учебника пришлось отка-

2153940o2.fm Page 18 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

19

заться от включения многих полезных и интересныхзадач и исторических фактов, как например, в главепятой «Элементы теории вероятностей и комбинато-рики».

И учебник, и методическое пособие созданы на ос-нове занятий с учителями математики, много летпроводившихся авторами в Московском областномИПК, что позволило разработать наиболее эффек-тивные подходы к изучению как отдельных вопро-сов и тем, так и всего курса, в целом.

В этой книге мы постарались подробно рассмот-реть вопросы организации и проведения конкрет-ных уроков, что, как мы надеемся, сократит учите-лю время на подготовку к ним.

Если же вдруг возникнет вопрос, который мы непредусмотрели, задайте его в гостевой книге нашегосайта http://muravin2007.narod.ru. Мы обязательноответим.

2153940o2.fm Page 19 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

20

Тематическое планирование

Тематическое планирование реализует один извозможных подходов к распределению изучаемогоматериала. Оно не носит обязательного характера ине исключает возможностей иного распределениясодержания.

В примерном тематическом планировании разде-лы основного содержания разбиты на темы в поряд-ке их изучения.

Особенностью примерного тематического плани-рования является то, что в нем содержится описаниевозможных видов деятельности учащихся в процес-се усвоения соответствующего содержания, направ-ленных на достижение поставленных целей обуче-ния. Это ориентирует учителя на усиление деятель-ностного подхода в обучении, на организациюразнообразной учебной деятельности, отвечающейсовременным психолого-педагогическим взглядам,на использование современных технологий.На базовом уровне на изучение математики отводит-ся 4 часа в неделю, в течение которых должны бытьизучены алгебра с элементами математического ана-лиза и геометрия. С учетом одинаковых требований,предъявляемых к выпускникам школы на единомгосударственном экзамене (ЕГЭ), учащиеся базовогоуровня оказываются в неравных условиях с теми,кто выбрал углубленный уровень изучения матема-тики. Мы советуем заранее проинформировать ро-дителей учеников, что выбор базового уровня не

2153940o2.fm Page 20 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

21

предполагает получения на ЕГЭ баллов, достаточ-ных для поступления в технические вузы. Обычнопо настоянию родителей школа выделяет на изуче-ние математики дополнительные часы. Так или ина-че, перед учителем стоит трудная задача найти впреподавании оптимальную границу между желае-мым и возможным уровнем знаний и умений, на ко-торый необходимо вывести учеников. Посколькусреди заданий ЕГЭ подавляющее большинство — за-дания по алгебре, эти 4 недельных часа естественноподелить между алгеброй и геометрией в отношении3 : 1, т. е. выделить на курс алгебры и начал матема-тического анализа не 2,5, а 3 часа в неделю, как этои было в большинстве школ.

2153940o2.fm Page 21 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

22

10кл

асс

(102

ч)

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

Гл

ава

1. Ф

унк

ци

и и

гр

афи

ки

17

1.П

оня

тие

фун

кц

ии

Фу

нк

ци

я п

ерем

енн

ой х

, ар

гу-

мен

т ф

ун

кц

ии

. О

блас

ть о

пр

е-д

елен

ия

и о

блас

ть з

нач

ени

й

фу

нк

ци

и.

Сп

особ

ы з

адан

ия

ф

ун

кц

ии

. О

бъед

ин

ени

е и

пер

е-се

чен

ие

мн

ожес

тв. З

нак

и ∩

и ∪

. О

бозн

ачен

ие

чи

слов

ых

мн

о-ж

еств

3В

ыч

исл

ять

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

и с

пом

ощью

ми

кр

о-к

альк

ул

ято

ра.

Оп

ред

еля

ть,

нах

оди

ть и

зап

исы

вать

ф

ун

кц

ию

, об

лас

ть о

пр

едел

ени

я и

обл

асть

зн

ачен

ия

ф

ун

кц

ии

. З

апи

сыва

ть м

нож

еств

а с

пом

ощью

зн

аков

об

ъед

ин

ени

я и

пер

есеч

ени

я м

нож

еств

. З

адав

ать

фу

нк

ци

ю с

пом

ощью

таб

ли

цы

, гр

афи

ка

и ф

орм

ул

ы.

Стр

оить

гр

афи

к л

ин

ейн

ой ф

ун

кц

ии

. З

апи

сыва

ть

фу

нк

ци

онал

ьны

е за

виси

мос

ти к

тек

стов

ой з

адач

е с

пр

акти

чес

ки

м и

гео

мет

ри

чес

ки

м с

одер

жан

ием

. З

апи

сыва

ть о

бозн

ачен

ия

осн

овн

ых

чи

слов

ых

мн

о-ж

еств

. П

ри

вод

ить

пр

им

еры

реа

льн

ых

явл

ени

й

(пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

ны

е х

арак

тер

ист

ик

и к

ото-

ры

х о

пи

сыва

ютс

я с

пом

ощью

фу

нк

ци

й.

Исп

ольз

о-ва

ть г

отов

ые

ком

пью

тер

ны

е п

рог

рам

мы

дл

я и

лл

ю-

стр

аци

и з

ави

сим

осте

й.

Оп

исы

вать

сво

йст

ва ф

ун

к-

ци

и с

оп

орой

на

ее г

раф

ик

. П

ереч

исл

ять

сво

йст

ва

фу

нк

ци

и и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка

2153940o2.f

m P

age

22 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

23

2.П

ря

мая

, ги

пер

бол

а,

пар

абол

а и

окр

ужн

ость

Кон

стан

та.

Ли

ней

ная

фу

нк

-ц

ия

и е

е гр

афи

к. К

вад

рат

ич

ная

фу

нк

ци

я,

фу

нк

ци

я y

=

. В

ер-

тик

альн

ая и

гор

изо

нта

льн

ая

аси

мп

тоты

. О

пр

едел

ени

я п

ря

-м

ой,

гип

ербо

лы

, п

араб

олы

как

ге

омет

ри

чес

ки

х м

ест

точ

ек

4Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ия

пр

ям

ой,

гип

ербо

лы

, п

араб

олы

, ок

ру

жн

ости

чер

ез с

оотв

етст

вую

щи

е ге

о-м

етр

ич

еск

ие

мес

та т

очек

. С

трои

ть г

раф

ик

ква

др

а-

тич

ной

фу

нк

ци

и и

фу

нк

ци

и y

=

. С

трои

ть в

ерти

-

кал

ьну

ю и

гор

изо

нта

льн

ую

аси

мп

тоты

к г

раф

ик

у

фу

нк

ци

и y

=

. З

апол

ня

ть т

абл

иц

ы з

нач

ени

й ф

ун

к-

ци

и.

Нах

оди

ть т

очк

и п

ерес

ечен

ия

гр

афи

ков

фу

нк

-ц

ий

гр

афи

чес

ки

и а

нал

ити

чес

ки

. З

адав

ать

окр

уж

-н

ость

ур

авн

ени

ем.

Нах

оди

ть о

ши

бки

в т

абл

иц

ах,

на

схем

ати

чес

ки

х ч

ерте

жах

, в

реш

ени

ях

. С

рав

ни

вать

гр

афи

ки

фу

нк

ци

и.

Пр

им

еня

ть к

омп

ьюте

рн

ые

пр

о-гр

амм

ы д

ля

пос

трое

ни

я г

раф

ик

ов.

Пр

иво

ди

ть п

ри

-м

еры

реа

льн

ых

явл

ени

й (

пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

-н

ые

хар

акте

ри

сти

ки

кот

оры

х о

пи

сыва

ютс

я с

по-

мощ

ью л

ин

ейн

ой,

ква

др

ати

чн

ой ф

ун

кц

ий

и

фу

нк

ци

и y

=

. О

пи

сыва

ть с

вой

ства

фу

нк

ци

и с

оп

о-

рой

на

ее г

раф

ик

. П

ереч

исл

ять

сво

йст

ва ф

ун

кц

ии

и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка

3.Н

епр

еры

внос

ть

и м

онот

онн

ость

фун

кц

ий

4Н

аход

ить

неп

рер

ывн

ые

и р

азр

ывн

ые

фу

нк

ци

и,

есл

и

фу

нк

ци

и з

адан

ы а

нал

ити

чес

ки

ил

и г

раф

ич

еск

и.

Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы н

епр

еры

вны

х и

раз

ры

вны

х

k x---

k x---

k x--- k x---

2153940o2.f

m P

age

23 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

24

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

Пон

яти

я н

епр

еры

внос

ти,

мон

отон

нос

ти и

раз

ры

ва ф

ун

к-

ци

и.

Ку

соч

но-

зад

анн

ые

фу

нк

-ц

ии

. О

кр

естн

ость

точ

ки

. Ф

ун

к-

ци

и y

= [

x]

и y

= {

x}.

Тео

рем

а о

пр

омеж

уто

чн

ом з

нач

ени

и

фу

нк

ци

и.

Воз

рас

тан

ие

и у

бы-

ван

ие

фу

нк

ци

и.

Пр

омеж

утк

и

мон

отон

нос

ти.

Реш

ени

е н

ера-

вен

ств

мет

одом

ин

тер

вал

ов

фу

нк

ци

й.

Нах

оди

ть з

нач

ени

я к

усо

чн

о-за

дан

ны

х

фу

нк

ци

й и

стр

оить

их

гр

афи

ки

. Ф

орм

ул

ир

оват

ь те

-ор

ему

о п

ром

ежу

точ

ном

зн

ачен

ии

фу

нк

ци

и.

Фор

му

-л

ир

оват

ь оп

ред

елен

ие

возр

аста

ющ

ей и

убы

ваю

щей

ф

ун

кц

ий

. Н

аход

ить

пр

омеж

утк

и м

онот

онн

ости

ф

ун

кц

ии

. Р

ешат

ь н

ерав

енст

ва м

етод

ом и

нте

рва

лов

. Р

ешат

ь у

рав

нен

ия

с и

спол

ьзов

ани

ем м

онот

онн

ости

ф

ун

кц

ии

. С

трои

ть г

раф

ик

фу

нк

ци

и п

о ее

оп

иса

ни

ю.

Оп

исы

вать

сво

йст

ва к

усо

чн

о-за

дан

ной

фу

нк

ци

и с

оп

орой

на

ее г

раф

ик

. П

ереч

исл

ять

сво

йст

ва ф

ун

к-

ци

и и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка.

Пр

и-

мен

ять

ком

пью

тер

ны

е п

рог

рам

мы

дл

я п

остр

оен

ия

гр

афи

ков

4.К

вадр

ати

чная

и

др

обн

о-л

ин

ейн

ая ф

унк

ци

и.

Пр

еобр

азов

ани

е гр

афи

ков

Гр

афи

ки

ква

др

ати

чн

ой ф

ун

к-

ци

и и

др

обн

о-л

ин

ейн

ой.

На-

хож

ден

ие

наи

бол

ьшег

о и

на-

им

еньш

его

знач

ени

я ф

ун

кц

ии

5С

трои

ть г

раф

ик

и к

вад

рат

ич

ной

и д

роб

но-

ли

ней

ной

ф

ун

кц

ий

с п

омощ

ью п

рео

браз

ован

ий

. С

трои

ть г

ра-

фи

к ф

ун

кц

ии

с м

оду

ля

ми

. Н

аход

ить

наи

бол

ьшее

и

наи

мен

ьшее

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

и н

а п

ром

ежу

тке.

Р

ешат

ь гр

афи

чес

ки

си

стем

ы н

ерав

енст

в. П

ри

ме-

ня

ть к

омп

ьюте

рн

ые

пр

огр

амм

ы д

ля

пос

трое

ни

я

граф

ик

ов

2153940o2.f

m P

age

24 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

25

на

пр

омеж

утк

е. Г

раф

ич

еск

ое

реш

ени

е си

стем

ы н

ерав

енст

в с

дву

мя

пер

емен

ны

ми

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№1

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

Гл

ава

2. С

теп

ени

и к

орн

и1

4

5.С

теп

енн

ая ф

унк

ци

я y

= x

n

при

нат

урал

ьном

зн

ачен

ии

nФ

ун

кц

ия

y =

xn д

ля

пр

оизв

оль-

ног

о н

ату

рал

ьног

о зн

ачен

ия

n

и е

е св

ойст

ва.

Чет

нос

ть и

не-

чет

нос

ть ф

ун

кц

ии

. С

им

мет

-р

ич

нос

ть г

раф

ик

а от

нос

ите

ль-

но

оси

ор

ди

нат

и н

ачал

а к

оор

-д

ин

ат

2Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ия

сте

пен

ной

фу

нк

ци

и,

чет

ной

и н

ечет

ной

фу

нк

ци

й.

Оп

ред

еля

ть ч

етн

ость

ф

ун

кц

ии

. Н

азы

вать

сво

йст

ва с

теп

енн

ой ф

ун

кц

ии

. Н

аход

ить

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

й y

= x

n с

пом

ощью

ин

-ж

енер

ног

о м

ик

рок

альк

ул

ято

ра.

Стр

оить

гр

афи

ки

ф

ун

кц

ий

y =

xn в

тет

рад

и и

с п

ри

мен

ени

ем к

омп

ью-

тер

ны

х п

рог

рам

м.

Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы р

еал

ьны

х

явл

ени

й (

пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

ны

е х

арак

тер

ис-

тик

и к

отор

ых

оп

исы

ваю

тся

с п

омощ

ью с

теп

енн

ой

фу

нк

ци

и

6.П

оня

тие

корн

я n

-й с

теп

ени

Пон

яти

е к

орн

я n

-й с

теп

ени

. П

одк

орен

ное

вы

раж

ени

е и

пок

азат

ель

степ

ени

кор

ня

. В

заи

мн

о об

рат

ны

е ф

ун

кц

ии

4С

рав

ни

вать

сво

йст

ва в

заи

мн

о об

рат

ны

х ф

ун

кц

ий

y=

и

y =

xn.

Зад

ават

ь и

нах

оди

ть н

а гр

афи

ке

фу

нк

ци

ю,

обр

атн

ую

дан

ной

. Н

аход

ить

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

и y

=

с п

омощ

ью и

нж

енер

ног

о м

ик

ро-

xn

xn

2153940o2.f

m P

age

25 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

26

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

y=

и y

= x

n и

их

сво

йст

ва.

Обр

ати

мая

фу

нк

ци

я.

Ир

рац

ио-

нал

ьное

ур

авн

ени

е и

нер

авен

-ст

во

кал

ьку

ля

тор

а. С

трои

ть г

раф

ик

фу

нк

ци

и y

=

в

тетр

ади

и с

пр

им

енен

ием

ком

пью

тер

ны

х п

рог

рам

м.

Реш

ать

ир

рац

ион

альн

ые

ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

. Н

аход

ить

обл

асть

оп

ред

елен

ия

ир

рац

ион

альн

ой

фу

нк

ци

и.

Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы р

еал

ьны

х я

влен

ий

(п

роц

ессо

в),

кол

ич

еств

енн

ые

хар

акте

ри

сти

ки

кот

о-

ры

х о

пи

сыва

ютс

я с

пом

ощью

фу

нк

ци

и y

=

. О

пи

-сы

вать

сво

йст

ва ф

ун

кц

ии

с о

пор

ой н

а ее

гр

афи

к.

Пер

ечи

сля

ть с

вой

ства

фу

нк

ци

и и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка

7.С

вой

ства

ар

иф

мет

иче

ски

х

кор

ней

Док

азат

ельс

тва

свой

ств

ари

ф-

мет

ич

еск

их

кор

ней

. Т

ожд

ест-

вен

ны

е п

рео

браз

ован

ия

вы

ра-

жен

ий

, со

дер

жащ

их

кор

ни

. С

ист

емы

ир

рац

ион

альн

ых

у

рав

нен

ий

4П

ри

мен

ять

тож

дес

твен

ны

е п

рео

браз

ован

ия

вы

раж

е-н

ий

, со

дер

жащ

их

кор

ни

. Р

ешат

ь и

рр

аци

онал

ьны

е у

рав

нен

ия

, н

ерав

енст

ва и

си

стем

ы у

рав

нен

ий

xn

xn x

n

2153940o2.f

m P

age

26 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

27

8.С

теп

ень

с ра

ци

онал

ьны

м

пок

азат

елем

Сте

пен

ь с

др

обн

ым

и р

аци

о-н

альн

ым

пок

азат

еля

ми

. С

вой

-ст

ва с

теп

еней

с р

аци

онал

ьны

м

пок

азат

елем

3В

ыч

исл

ять

сте

пен

ь ч

исл

а с

рац

ион

альн

ым

пок

азат

е-л

ем с

пом

ощью

ин

жен

ерн

ого

ми

кр

окал

ьку

ля

тор

а.

Пр

еобр

азов

ыва

ть в

ыр

ажен

ия

, в

кот

оры

е вх

одя

т ст

епен

и с

др

обн

ым

и п

оказ

ател

ям

и.

Пр

едст

авл

ять

ч

исл

о в

вид

е ст

епен

и с

рац

ион

альн

ым

пок

азат

елем

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№ 2

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

Гл

ава

3. П

оказ

ател

ьная

и

лог

ари

фм

иче

ская

фун

кц

ии

17

9.Ф

унк

ци

я y

= a

x

Пок

азат

ельн

ая ф

ун

кц

ия

, ее

св

ойст

ва и

гр

афи

к.

Осн

ован

ие

и п

оказ

ател

ь ст

епен

и.

Сте

пен

ь с

дей

стви

тел

ьны

м п

оказ

ате-

лем

и е

е св

ойст

ва.

Пок

азат

ель-

ны

е у

рав

нен

ия

, н

ерав

енст

ва

и и

х с

ист

емы

4Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ие

пок

азат

ельн

ой ф

ун

к-

ци

и.

Наз

ыва

ть с

вой

ства

пок

азат

ельн

ой ф

ун

кц

ии

. Н

аход

ить

зн

ачен

ия

пок

азат

ельн

ой ф

ун

кц

ии

по

гра-

фи

ку

и с

пом

ощью

ми

кр

окал

ьку

ля

тор

а. С

трои

ть

граф

ик

фу

нк

ци

и y

= a

x в

тет

рад

и и

с п

ри

мен

ени

ем

ком

пью

тер

ны

х п

рог

рам

м.

Ср

авн

ива

ть з

нач

ени

я п

о-к

азат

ельн

ых

фу

нк

ци

й.

Реш

ать

пок

азат

ельн

ые

ур

ав-

нен

ия

, н

ерав

енст

ва и

их

си

стем

ы.

Пр

иво

ди

ть п

ри

ме-

ры

эк

спон

енц

иал

ьны

х з

ави

сим

осте

й в

би

олог

ии

, ф

изи

ке

и э

кон

оми

ке.

Реш

ать

тек

стов

ые

зад

ачи

на

выч

исл

ени

е п

роц

ента

ин

фл

яц

ии

2153940o2.f

m P

age

27 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

28

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

10.

Пон

яти

е л

огар

иф

ма

Пон

яти

е л

огар

иф

ма

чи

сла.

Ос-

нов

ное

лог

ари

фм

ич

еск

ое т

ож-

дес

тво.

Лог

ари

фм

ич

еск

ая

фу

нк

ци

я,

ее с

вой

ства

и

граф

ик

. Л

огар

иф

ми

чес

ки

е у

рав

нен

ия

6Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ие

лог

ари

фм

а. З

апи

сы-

вать

чи

сло

в ви

де

лог

ари

фм

а с

зад

анн

ым

осн

ован

и-

ем.

Реш

ать

пр

осте

йш

ие

лог

ари

фм

ич

еск

ие

ур

авн

е-н

ия

, н

ерав

енст

ва.

Ср

авн

ива

ть з

нач

ени

я л

огар

иф

ми

-ч

еск

их

фу

нк

ци

й.

Нах

оди

ть о

блас

ть о

пр

едел

ени

я

лог

ари

фм

ич

еск

ой ф

ун

кц

ии

. С

трои

ть г

раф

ик

лог

а-р

иф

ми

чес

кой

фу

нк

ци

и к

ак ф

ун

кц

ии

, об

рат

ной

к п

о-к

азат

ельн

ой,

в те

трад

и и

с п

ри

мен

ени

ем к

омп

ьюте

р-

ны

х п

рог

рам

м.

Фор

му

ли

ров

ать

свой

ства

лог

ари

ф-

ми

чес

кой

фу

нк

ци

и.

Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы р

еал

ьны

х

явл

ени

й (

пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

ны

е х

арак

тер

ис-

тик

и к

отор

ых

оп

исы

ваю

тся

с п

омощ

ью л

огар

иф

ми

-ч

еск

ой ф

ун

кц

ии

. О

пи

сыва

ть с

вой

ства

лог

ари

фм

ич

е-ск

ой ф

ун

кц

ии

с о

пор

ой н

а ее

гр

афи

к.

Пер

ечи

сля

ть

свой

ства

лог

ари

фм

ич

еск

ой ф

ун

кц

ии

и и

лл

юст

ри

ро-

вать

их

с п

омощ

ью г

раф

ик

а

11.

Сво

йст

ва л

огар

иф

мов

Осн

овн

ые

свой

ства

лог

ари

ф-

мов

. Л

огар

иф

ми

чес

ки

е у

рав

не-

ни

я и

нер

авен

ства

. Д

еся

тич

-н

ые

и н

ату

рал

ьны

е л

огар

иф

-

6Ф

орм

ул

ир

оват

ь св

ойст

ва л

огар

иф

мов

. П

ри

мен

ять

л

огар

иф

ми

чес

ки

е то

жд

еств

а, в

кл

юч

ая ф

орм

ул

у

пер

еход

а от

од

ног

о ос

нов

ани

я л

огар

иф

ма

к д

ру

гом

у

пр

и п

рео

браз

ован

ия

х л

огар

иф

ми

чес

ки

х в

ыр

аже-

ни

й,

реш

ени

и л

огар

иф

ми

чес

ки

х у

рав

нен

ий

и н

е-

2153940o2.f

m P

age

28 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

29

мы

. Х

арак

тер

ист

ик

а и

ман

тис-

са д

еся

тич

ног

о л

огар

иф

ма.

Ис-

тор

ия

поя

влен

ия

лог

ари

фм

и-

чес

ки

х т

абл

иц

рав

енст

в. П

ольз

оват

ься

лог

ари

фм

ич

еск

им

и т

абл

и-

цам

и и

ми

кр

окал

ьку

ля

тор

ом д

ля

вы

чи

слен

ия

зн

а-ч

ени

й л

огар

иф

ми

чес

кой

фу

нк

ци

и.

Реш

ать

пок

аза-

тел

ьны

е и

лог

ари

фм

ич

еск

ие

ур

авн

ени

я и

нер

авен

-ст

ва с

неи

звес

тны

ми

как

в о

снов

ани

и,

так

и п

од

знак

ом л

огар

иф

ма

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№ 3

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

Гл

ава

4. Т

риго

ном

етр

иче

ски

е ф

унк

ци

и и

их

сво

йст

ва42

12.

Уго

л п

овор

ота

Общ

ий

ви

д у

гла

пов

орот

а. П

о-л

ожи

тел

ьное

и о

три

цат

ельн

ое

нап

рав

лен

ия

пов

орот

а у

гла

1Р

ешат

ь п

рак

тич

еск

ие

зад

ачи

: н

а н

ахож

ден

ие

угл

о-во

й с

кор

ости

вр

ащен

ия

бар

абан

а ст

ир

альн

ой м

аши

-н

ы;

срав

нен

ия

угл

а п

овор

ота

час

ов;

нап

рав

лен

ие

вращ

ени

я к

олес

вел

оси

пед

а. З

апи

сыва

ть о

бщи

й в

ид

у

гла

пов

орот

а. П

ольз

оват

ься

тр

ансп

орти

ром

дл

я

пос

трое

ни

я к

онеч

ны

х т

очек

пов

орот

а

13.

Рад

иан

ная

мер

а уг

ла

Ист

ори

я и

змер

ени

я у

глов

и

еди

ни

ц и

х и

змер

ени

я.

Рад

иан

. Л

ин

ейн

ая и

угл

овая

ск

орос

ти

2П

ерев

оди

ть у

глы

из

град

усн

ой м

еры

в р

ади

анн

ую

и

из

рад

иан

ной

в г

рад

усн

ую

. В

ып

олн

ять

зад

ани

я н

а п

остр

оен

ие

угл

ов п

овор

ота.

Реш

ать

пр

акти

чес

ки

е за

дач

и с

мор

ски

м к

омп

асом

, со

ск

орос

тью

вр

ащен

ия

З

емл

и,

со с

кор

ость

ю в

ращ

ени

я э

лек

трод

вига

тел

я.

Объ

ясн

ять

см

ысл

фр

аз «

рад

иал

ьная

ли

ни

я м

етр

о»,

«

рад

иал

ьная

пл

ани

ров

ка

гор

ода»

2153940o2.f

m P

age

29 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

30

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

14.

Си

нус

и к

оси

нус

лю

бого

уг

ла

Пон

яти

я с

ин

уса

, кос

ин

уса

угл

а в

пр

ям

оуго

льн

ом т

реу

гол

ьни

-к

е, п

рои

звол

ьног

о у

гла.

Т

абл

ич

ны

е зн

ачен

ия

си

ну

са

и к

оси

ну

са о

стр

ых

угл

ов

3Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ия

си

ну

са,

кос

ин

уса

пр

о-и

звол

ьног

о у

гла.

Оп

ред

еля

ть к

оор

ди

нат

ну

ю ч

ет-

вер

ть,

в к

отор

ой н

аход

итс

я у

гол

пов

орот

а. О

пр

еде-

ля

ть з

нак

и с

ин

уса

и к

оси

ну

са п

рои

звол

ьны

х у

глов

п

овор

ота.

Зап

олн

ять

таб

ли

цы

зн

ачен

ий

си

ну

са и

ко-

син

уса

нек

отор

ых

угл

ов.

Реш

ать

пр

осте

йш

ие

вид

ы

три

гон

омет

ри

чес

ки

х у

рав

нен

ий

. С

рав

ни

вать

та

бли

чн

ые

знач

ени

я с

ин

уса

и к

оси

ну

са у

глов

15.

Тан

ген

с и

кот

анге

нс

лю

бого

угл

аП

оня

тия

тан

ген

са и

кот

анге

нса

л

юбо

го у

гла.

Ось

тан

ген

сов

и

ось

кот

анге

нсо

в. У

гол

нак

лон

а п

ря

мой

3Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

елен

ия

тан

ген

са и

кот

анге

нса

п

рои

звол

ьног

о у

гла.

Оп

ред

еля

ть з

нак

и т

анге

нса

и

кот

анге

нса

пр

оизв

ольн

ых

угл

ов п

овор

ота.

Зап

ол-

ня

ть т

абл

иц

ы з

нач

ени

й т

анге

нса

и к

отан

ген

са н

еко-

тор

ых

угл

ов.

Реш

ать

пр

осте

йш

ие

вид

ы т

ри

гон

омет

-р

ич

еск

их

ур

авн

ени

й. С

рав

ни

вать

зн

ачен

ия

тан

ген

са

и к

отан

ген

са т

абл

ич

ны

х в

ид

ов у

глов

16.

Пр

осте

йш

ие

три

гон

омет

ри

-че

ски

е ур

авн

ени

яП

рос

тей

ши

е тр

иго

ном

етр

ич

е-ск

ие

ур

авн

ени

я.

Пон

яти

я а

рк

-

3З

апол

ня

ть т

абл

иц

ы з

нач

ени

й а

рк

син

уса

, ар

кк

оси

-н

уса

, ар

кта

нге

нса

и а

рк

кот

анге

нса

зад

анн

ых

чи

сел

. С

трои

ть у

глы

по

знач

ени

ям

обр

атн

ых

тр

иго

ном

ет-

ри

чес

ки

х ф

ун

кц

ий

. П

рео

браз

овы

вать

вы

раж

ени

я,

2153940o2.f

m P

age

30 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

31

син

уса

, ар

кк

оси

ну

са,

арк

тан

-ге

нса

и а

рк

кот

анге

нса

чи

сла

сод

ерж

ащи

е об

рат

ны

е тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

фу

нк

-ц

ии

. Р

ешат

ь п

рос

тей

ши

е тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

ур

ав-

нен

ия

. У

стан

авл

ива

ть и

сти

нн

ость

утв

ерж

ден

ий

17.

Фор

мул

ы п

ри

веде

ни

яФ

орм

ул

ы п

ри

вед

ени

я т

ри

гон

о-м

етр

ич

еск

их

фу

нк

ци

й.

Вы

чи

с-л

ени

е зн

ачен

ий

тр

иго

ном

етр

и-

чес

ки

х ф

ун

кц

ий

с п

омощ

ью

ми

кр

окал

ьку

ля

тор

а

3Д

оказ

ыва

ть ф

орм

ул

ы п

ри

вед

ени

я т

ри

гон

омет

ри

че-

ски

х ф

ун

кц

ий

. П

ри

мен

ять

фор

му

лы

пр

иве

ден

ия

д

ля

уп

рощ

ени

я в

ыч

исл

ени

й,

реш

ени

я у

рав

нен

ий

. Р

ешат

ь у

рав

нен

ия

на

пр

омеж

утк

е. В

ыч

исл

ять

зн

ачен

ия

тр

иго

ном

етр

ич

еск

их

фу

нк

ци

й с

пом

ощью

м

ик

рок

альк

ул

ято

ра

18.

Сво

йст

ва и

гр

афи

к

фун

кц

ии

y =

sin

xО

блас

ть о

пр

едел

ени

я и

обл

асть

зн

ачен

ий

фу

нк

ци

и,

граф

ик

ф

ун

кц

ии

и с

вой

ства

фу

нк

ци

и

y=

sin

x.

Пер

иод

фу

нк

ци

и.

Пер

иод

ич

еск

ая и

неп

ери

оди

че-

ская

фу

нк

ци

и.

Си

ну

сои

да

3Н

аход

ить

обл

асть

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ть з

нач

ени

й

фу

нк

ци

и y

= s

in x

.П

ров

еря

ть,

явл

яет

ся л

и з

адан

ное

чи

сло

пер

иод

ом,

нах

оди

ть п

ери

од ф

ун

кц

ии

. Р

ешат

ь п

рос

тей

ши

е тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

с

пом

ощью

гр

афи

ка

фу

нк

ци

и y

= s

in x

ил

и е

ди

ни

чн

ой

окр

уж

нос

ти.

Наз

ыва

ть с

вой

ства

фу

нк

ци

и y

= s

in x

. С

трои

ть г

раф

ик

фу

нк

ци

и y

= s

in x

в т

етр

ади

и с

пр

и-

мен

ени

ем к

омп

ьюте

рн

ых

пр

огр

амм

. В

ып

олн

ять

за-

дан

ия

по

граф

ик

у ф

ун

кц

ии

y =

sin

x.

Стр

оить

гр

афи

-к

и ф

ун

кц

ий

с м

оду

ля

ми

в т

етр

ади

и с

пр

им

енен

ием

к

омп

ьюте

рн

ых

пр

огр

амм

. П

ри

вод

ить

пр

им

еры

р

еал

ьны

х я

влен

ий

(п

роц

ессо

в),

кол

ич

еств

енн

ые

хар

акте

ри

сти

ки

кот

оры

х о

пи

сыва

ютс

я с

пом

ощью

2153940o2.f

m P

age

31 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

32

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

фу

нк

ци

и y

= s

in x

. О

пи

сыва

ть с

вой

ства

это

й ф

ун

к-

ци

и с

оп

орой

на

ее г

раф

ик

. П

ереч

исл

ять

сво

йст

ва

фу

нк

ци

и и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка

19.

Сво

йст

ва и

гр

афи

к

фун

кц

ии

y =

cos

xО

блас

ть о

пр

едел

ени

я и

обл

асть

зн

ачен

ий

фу

нк

ци

и,

граф

ик

ф

ун

кц

ии

и с

вой

ства

фу

нк

ци

и

y=

cos

x

3Н

аход

ить

обл

асть

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ть з

нач

ени

й

фу

нк

ци

и y

= c

os x

. Стр

оить

гр

афи

к ф

ун

кц

ии

y

=co

sx

в т

етр

ади

и с

пр

им

енен

ием

ком

пью

тер

ны

х

пр

огр

амм

. Р

ешат

ь п

рос

тей

ши

е тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

с п

омощ

ью г

раф

ик

а ф

ун

к-

ци

и y

= c

os x

ил

и е

ди

ни

чн

ой о

кр

уж

нос

ти.

Наз

ыва

ть

свой

ства

фу

нк

ци

и y

= c

os x

. Вы

пол

ня

ть з

адан

ия

п

о гр

афи

ку

фу

нк

ци

и y

= c

os x

. Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы

реа

льн

ых

явл

ени

й (

пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

ны

е х

арак

тер

ист

ик

и к

отор

ых

оп

исы

ваю

тся

с п

омощ

ью

фу

нк

ци

и y

= c

os x

. О

пи

сыва

ть с

вой

ства

это

й ф

ун

к-

ци

и с

оп

орой

на

ее г

раф

ик

. П

ереч

исл

ять

сво

йст

ва

фу

нк

ци

и и

ил

лю

стр

ир

оват

ь и

х с

пом

ощью

гр

афи

ка

20.С

вой

ства

и г

раф

ик

иф

унк

ци

й y

= t

g x

и y

= c

tg x

2Н

аход

ить

обл

асть

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ть з

нач

ени

й

фу

нк

ци

й y

= t

g x

и y

= c

tg x

. Р

ешат

ь п

рос

тей

ши

е тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

с п

о-

2153940o2.f

m P

age

32 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

33

Обл

асти

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ти

знач

ени

й ф

ун

кц

ий

, гр

афи

ки

и

сво

йст

ва ф

ун

кц

ий

y =

tg

x

и y

= c

tg x

. Т

анге

нсо

ид

а

мощ

ью г

раф

ик

ов ф

ун

кц

ий

y =

tg

x и

y =

ctg

x и

ли

ед

ин

ич

ной

ок

ру

жн

ости

. В

ып

олн

ять

зад

ани

я п

о гр

а-ф

ик

ам ф

ун

кц

ий

y =

tg

x и

y =

ctg

x.

Уст

анав

ли

вать

и

сти

нн

ость

утв

ерж

ден

ий

. С

трои

ть г

раф

ик

и ф

ун

к-

ци

й y

= t

g x

и y

= c

tg x

. Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы р

еал

ь-н

ых

явл

ени

й (

пр

оцес

сов)

, к

оли

чес

твен

ны

е х

арак

те-

ри

сти

ки

кот

оры

х о

пи

сыва

ютс

я с

пом

ощью

фу

нк

ци

й

y =

tg

x и

y =

ctg

x.

Оп

исы

вать

сво

йст

ва э

тих

фу

нк

-ц

ий

с о

пор

ой н

а и

х г

раф

ик

и.

Пер

ечи

сля

ть с

вой

ства

ф

ун

кц

ий

и и

лл

юст

ри

ров

ать

их

с п

омощ

ью г

раф

ик

ов

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№4

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

21.З

ави

сим

ости

меж

ду т

ри

го-

ном

етр

иче

ски

ми

фун

кци

ям

и

одн

ого

и т

ого

же

аргу

мен

таО

снов

ное

тр

иго

ном

етр

ич

еск

ое

тож

дес

тво.

Зав

иси

мос

ти м

ежд

у

три

гон

омет

ри

чес

ки

ми

фу

нк

-ц

ия

ми

од

ног

о и

тог

о ж

е ар

гум

ента

3П

ри

мен

ять

изу

чен

ны

е то

жд

еств

а д

ля

вы

чи

слен

ия

зн

ачен

ий

вы

раж

ени

й,

реш

ени

я у

рав

нен

ий

и

нер

авен

ств

и д

оказ

ател

ьств

а то

жд

еств

22.С

ин

ус и

кос

ин

ус с

умм

ы

и р

азн

ости

дву

х у

глов

Фор

му

лы

си

ну

са и

кос

ин

уса

су

мм

ы и

раз

нос

ти д

вух

угл

ов

3З

апи

сыва

ть ф

орм

ул

ы с

ин

уса

и к

оси

ну

са с

ум

мы

и

раз

нос

ти д

вух

угл

ов. П

ри

мен

ять

их

дл

я в

ыч

исл

ени

я

знач

ени

й в

ыр

ажен

ий

, р

ешен

ия

ур

авн

ени

й

и н

ерав

енст

в и

док

азат

ельс

тва

тож

дес

тв

2153940o2.f

m P

age

33 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

34

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

23

.Тан

ген

с су

мм

ы и

тан

ген

с р

азн

ости

дву

х у

глов

Фор

му

лы

тан

ген

са с

ум

мы

и

раз

нос

ти д

вух

угл

ов

2З

апи

сыва

ть ф

орм

ул

ы т

анге

нса

су

мм

ы и

раз

нос

ти

дву

х у

глов

. П

ри

мен

ять

их

дл

я в

ыч

исл

ени

я з

нач

е-н

ий

вы

раж

ени

й,

реш

ени

я у

рав

нен

ий

и н

ерав

енст

в и

док

азат

ельс

тва

тож

дес

тв

24

.Три

гон

омет

ри

ческ

ие

фун

кц

ии

дво

йн

ого

угл

аС

ин

ус,

кос

ин

ус,

тан

ген

с д

вой

ног

о у

гла

2З

апи

сыва

ть ф

орм

ул

ы т

ри

гон

омет

ри

чес

ки

х ф

ун

кц

ий

д

вой

ног

о у

гла.

Пр

им

еня

ть и

х д

ля

вы

чи

слен

ия

зн

а-ч

ени

й в

ыр

ажен

ий

, реш

ени

я у

рав

нен

ий

и н

ерав

енст

в и

док

азат

ельс

тва

тож

дес

тв

25

.Пр

еобр

азов

ани

е п

рои

зве-

ден

ия

три

гон

омет

ри

ческ

их

ф

унк

ци

й в

сум

му.

Обр

атн

ое

пре

обр

азов

ани

еТ

ожд

еств

енн

ые

пр

еобр

азов

а-н

ия

тр

иго

ном

етр

ич

еск

их

вы

раж

ени

й

3З

апи

сыва

ть ф

орм

ул

ы п

рео

браз

ован

ия

пр

оизв

еден

ия

тр

иго

ном

етр

ич

еск

их

фу

нк

ци

й в

су

мм

у и

пр

еобр

азо-

ван

ия

су

мм

ы в

пр

оизв

еден

ие.

Пр

им

еня

ть и

х д

ля

вы

чи

слен

ия

зн

ачен

ий

вы

раж

ени

й,

уп

рощ

ени

я

выр

ажен

ий

, р

ешен

ия

ур

авн

ени

й и

док

азат

ельс

тва

тож

дес

тв

26

.Реш

ени

е тр

иго

ном

етр

иче

-ск

их

ур

авн

ени

йУ

рав

нен

ия

, св

оди

мы

е к

ква

д-

рат

ны

м;

одн

ород

ны

е тр

иго

но-

4Р

ешат

ь тр

иго

ном

етр

ич

еск

ие

ур

авн

ени

я и

зуч

енн

ых

ви

дов

. Н

аход

ить

кор

ни

на

пр

омеж

утк

е. Р

ешат

ь тр

и-

гон

омет

ри

чес

ки

е у

рав

нен

ия

гр

афи

чес

ки

с п

ри

мен

е-н

ием

ком

пью

тер

ны

х п

рог

рам

м

2153940o2.f

m P

age

34 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

35

мет

ри

чес

ки

е у

рав

нен

ия

; у

рав

-н

ени

я,

свод

им

ые

к о

дн

ород

-н

ым

ур

авн

ени

ям

, и

др

.

Пр

оек

т «

Раз

ли

чн

ые

тип

ы т

ри

-го

ном

етр

ич

еск

их

ур

авн

ени

й

и м

етод

ы и

х р

ешен

ия

»

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

ист

емат

изи

ро-

вать

и к

лас

сиф

иц

ир

оват

ь и

нф

орм

аци

ю.

Исп

ольз

о-ва

ть р

азл

ич

ны

е и

сточ

ни

ки

ин

фор

мац

ии

дл

я р

абот

ы

над

пр

оек

том

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№5

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

Гл

ава

5. Э

лем

енты

тео

ри

и в

е-р

оятн

осте

й и

ста

тист

ик

и5

27.П

оня

тие

вер

оятн

ости

Фор

му

ла

вер

оятн

ости

. С

тати

с-ти

чес

ки

й э

ксп

ери

мен

т

2П

ри

вод

ить

пр

им

еры

пр

оцес

сов

и я

влен

ий

, им

еющ

их

сл

уч

айн

ый

хар

акте

р.

Исп

ольз

оват

ь п

ри

реш

ени

и з

а-д

ач с

вой

ства

вер

оятн

осте

й п

рот

иво

пол

ожн

ых

соб

ы-

тий

. Р

ешат

ь за

дач

и н

а н

ахож

ден

ие

вер

оятн

осте

й

собы

тий

28

.Вы

числ

ени

е ч

исл

а ва

риан

-то

вФ

орм

улы

ком

бин

атор

ик

и.

Под

-сч

ет ч

исл

а: п

ерес

тан

овок

, р

аз-

мещ

ени

й, с

очет

ани

й э

лем

енто

в.

Фак

тор

иал

. Б

ин

ом Н

ьюто

на

2Р

ешат

ь за

дач

и н

а п

ри

мен

ени

е к

омби

нат

орн

ых

фор

-м

ул

и ф

орм

ул

ы в

ероя

тнос

ти.

Пр

им

еня

ть ф

орм

ул

ы

бин

ома

Нью

тон

а и

осн

овн

ые

ком

бин

атор

ны

е со

отн

ошен

ия

на

бин

оми

альн

ые

коэ

фф

иц

иен

ты

2153940o2.f

m P

age

35 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

36

Ок

онч

ан

ие

та

бл.

Сод

ерж

ание

мат

ериа

лауч

ебни

каКо

личе

ство

часо

вХа

ракт

ерис

тика

осн

овны

х ви

дов

учеб

ной

деят

ельн

ости

уча

щих

ся

Пр

оек

ты

1.

Пер

еста

нов

ки

, со

чет

ани

я

и р

азм

ещен

ия

с п

овто

рен

ием

. О

снов

ны

е ф

орм

ул

ы.

Реш

ени

е к

омби

нат

орн

ых

зад

ач.

2.

Гео

мет

ри

чес

кая

вер

оят-

нос

ть.

Реш

ени

е за

дач

на

нах

ожд

ени

е ге

омет

ри

чес

ки

х

вер

оятн

осте

й.

3.

Би

ном

Нью

тон

а. Р

азл

ич

ны

е сп

особ

ы д

оказ

ател

ьств

а би

но-

ма

Нью

тон

а: к

омби

нат

орн

ое,

ин

ду

кти

вное

. Т

реу

гол

ьни

к

Пас

кал

я.

Реш

ени

е за

дач

с и

спол

ьзов

ани

-ем

би

ном

а Н

ьюто

на

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

ист

емат

изи

ро-

вать

и к

лас

сиф

иц

ир

оват

ь и

нф

орм

аци

ю.

Исп

ольз

о-ва

ть р

азл

ич

ны

е и

сточ

ни

ки

ин

фор

мац

ии

дл

я р

абот

ы

над

пр

оек

том

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

ота

№6

1К

онтр

оли

ров

ать

и о

цен

ива

ть с

вою

раб

оту

. С

тави

ть

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

эта

п о

буч

ени

я

Гл

ава

6. П

овто

рен

ие

7

2153940o2.f

m P

age

36 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

37

29.Ф

унк

ци

и и

гр

афи

киФ

ун

кц

ии

и г

раф

ик

и.

Обл

асть

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ть з

нач

е-н

ия

фу

нк

ци

и.

Чет

нос

ть,

пер

ио-

ди

чн

ость

, н

епр

еры

внос

ть,

воз-

рас

тан

ие

и у

быва

ни

е ф

ун

кц

ии

. Р

ешен

ие

нер

авен

ств

на

осн

ова-

ни

и с

вой

ств

фу

нк

ци

й.

Обр

ати

мос

ть ф

ун

кц

ий

. Ф

ун

к-

ци

и у

= a

rcsi

n x

, y

= a

rcco

s x

, y

= a

rctg

x,

y =

arc

ctg

x.

Гр

афи

-к

и ф

ун

кц

ий

с м

оду

ля

ми

5Н

аход

ить

обл

асти

оп

ред

елен

ия

и о

блас

ти з

нач

ени

й

слож

ны

х ф

ун

кц

ий

. О

пр

едел

ять

чет

нос

ть и

пер

и-

оди

чн

ость

сл

ожн

ых

фу

нк

ци

й.

Нах

оди

ть п

ром

ежу

т-к

и в

озр

аста

ни

я и

убы

ван

ия

сл

ожн

ых

фу

нк

ци

й.

Стр

оить

гр

афи

ки

обр

атн

ых

тр

иго

ном

етр

ич

еск

их

ф

ун

кц

ий

и ф

ун

кц

ий

с м

оду

ля

ми

. Р

ешат

ь н

ерав

енст

-ва

на

осн

ован

ии

сво

йст

в ф

ун

кц

ий

. С

трои

ть г

раф

ик

и

с п

омощ

ью т

абл

иц

ы п

рео

браз

ован

ий

и к

омп

ьюте

р-

ны

х п

рог

рам

м

30.

Ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

Ур

авн

ени

я и

нер

авен

ства

. Р

ав-

нос

ил

ьны

е п

рео

браз

ован

ия

. О

блас

ть д

опу

сти

мы

х з

нач

ени

й

пер

емен

ной

. Р

асш

ир

ени

е и

су

жен

ие

ОД

З.

Зн

аки

рав

но-

сил

ьнос

ти и

сл

едов

ани

я

1Р

ешат

ь у

рав

нен

ия

гр

афи

чес

ки

м с

пос

обом

. О

фор

мл

ять

ан

али

тич

еск

ие

реш

ени

я у

рав

нен

ий

, н

ерав

енст

в и

их

си

стем

с п

омощ

ью з

нак

ов р

авн

о-си

льн

ости

и с

лед

ован

ия

. Р

ешат

ь н

екот

оры

е ви

ды

у

рав

нен

ий

, н

ерав

енст

в и

си

стем

с п

ри

мен

ени

ем

ком

пью

тер

ны

х п

рог

рам

м

Ито

гова

я к

онтр

ольн

ая р

абот

а1

Кон

трол

ир

оват

ь и

оц

ени

вать

сво

ю р

абот

у.

Под

вод

ить

ито

ги г

ода.

Ста

вить

цел

и н

а сл

еду

ющ

ий

у

чеб

ны

й г

од

Ито

го1

02

2153940o2.f

m P

age

37 T

hurs

day

, O

ctober

31, 2013 11:1

5 A

M

38

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ГЛАВАМ УЧЕБНИКА

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Начинается учебник с обобщения понятия функ-ции, повторяются такие свойства функции, как воз-растание и убывание, и вводятся другие свойства,такие как непрерывность, монотонность, наиболь-шее и наименьшее значения функции. Повторяютсявсе известные графики функций (прямая, парабола,гипербола, окружность), вводятся понятия асимпто-ты и точки разрыва. Систематизируются все видыпреобразований графиков функций, а свойствафункций применяются для решения уравнений инеравенств.

1. Понятие функции (3 ч)В этом пункте у учащихся формируются понятие

функции, области определения и области значенийфункции; умения графически и аналитически зада-вать функции, находить область определения и об-ласть значений функции; записывать объединение ипересечение множеств с помощью специальных сим-волов.

Предметные результаты обучения: вычислятьзначения функции с помощью микрокалькулятора;определять, находить и записывать функцию, об-ласть определения и область значения функции;записывать множества с помощью знаков объедине-ния и пересечения множеств; задавать функцию спомощью таблицы, графика и формулы; строить

ГЛАВА

1

2153940o2.fm Page 38 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

39

график линейной функции; записывать функци-ональные зависимости к текстовой задаче с практи-ческим и геометрическим содержанием; записыватьобозначения основных числовых множеств.

Метапредметные результаты обучения: стро-ить графики, считывать информацию с графиковфункций и использовать ее в познавательной и соци-альной практике.

Цель первого урока: повторение понятий функ-ции, области ее определения, области значений иобозначений числовых множеств.

Комментарии. В начале урока желательно по-знакомить школьников со структурой учебника.Можно предложить им прочитать обращение авторана с. 5—6, а затем поговорить об особенностях учеб-ника. Некоторые ученики, увидев в учебнике под-робные решения, могут подумать, что они сэкономятвремя и силы на домашней работе, просто переписы-вая их из учебника в тетрадь. Учитель должен сразудовести до сведения учеников, что в 10 и 11 классахотметки не будут выставляться за наличие или от-сутствие домашнего задания в тетрадях, так какоцениваются только знания и работа в классе. Крометого, можно сообщить им, что главными оценкамиявляются те, которые ученики получают за зачети за письменные самостоятельные работы на уроке.

На знакомство с учебником выделяется примерно15 минут, а затем начинается работа с первой гла-вой. Сразу после названия главы в учебнике приво-дится ее краткое содержание, с которым ученикизнакомятся самостоятельно.

Как уже отмечалось в предисловии, учебник мо-жет продолжить любой из существующих курсов ал-гебры 7—9 классов. Однако понятие функции вкурсе алгебры основной школы в различных учебни-ках формулируется по-разному. Поэтому в первомпункте учебника 10 класса дается то определениефункции, которое будет использоваться и дальше.

Изложение материала в учебнике предлагаетпрактически готовый вариант беседы с учениками.Так, сначала внимание учеников привлекается к су-

2153940o2.fm Page 39 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

40

ществованию пар величин, значения которых зави-сят друг от друга. Затем вводится определение функ-ции, аргумента, областей определения и значенийфункции. После обсуждения пар величин из № 1школьники фронтально выполняют № 2, в которомакцентируется внимание на необходимости единст-венности значения функции, соответствующегокаждому допустимому значению аргумента. Приобъяснении своего ответа ученик должен привестиконтрпример (возможно, с помощью рисунков, кото-рые он сделает, выйдя к доске). Полезно в № 2 (1) до-полнительно спросить учеников, где могут распола-гаться вершины B и D прямоугольника ABCD,имеющего данную диагональ AC на окружности срадиусом AC. После этого ученикам предлагается№ 3. Для большинства десятиклассников непривыч-на сама мысль о том, что x может быть функциейот y. Можно дополнительно рассмотреть случай,когда y — площадь квадрата, а x — его сторона илидиагональ, тогда x будет являться функцией y.

Домашнее задание. п. 1, № 4, 6, 7 (1—3).

Цель второго урока: записывать множества с по-мощью знаков объединения и пересечения мно-жеств.

Комментарии. С целью проверки готовности уче-ников к уроку по мотивам домашнего задания пред-лагается самостоятельная работа на 5 мин.

Самостоятельная работа

1. № 4. Чему равно значение x при y = 57? Прикаких еще значениях y значение x то же самое?

2. № 6 (4). Найдите значение x, при которомf(x) = –10.

При проверке самостоятельной работы следу-ет обратить внимание учащихся на уравнениеx2 + 7x + 6 = 0, к которому приводит последнее зада-ние. Перед тем как применять формулу или подби-рать корни по обратной теореме Виета, всегда следу-ет проверить, не является ли число 1 или –1 корнем

2153940o2.fm Page 40 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

41

данного уравнения. При положительном ответе навопрос второй корень находится по формуле

x2 = .

Затем рассматривается и обсуждается пример 2из объяснительного текста учебника с примечания-ми к нему. Учитель может либо продемонстрироватьрешение на доске с соответствующими коммента-риями, либо организовать работу с учебником, таккак все записи там есть. Понятно, что в первом слу-чае учебники должны быть закрыты и ученики недолжны ничего записывать в тетради. Новым для уче-ников может оказаться термин «нуль функции» —значение аргумента, при котором значением функ-ции является нуль, т. е. корень уравнения f(x) = 0.Следует обратить внимание школьников на обозна-чения наибольшего и наименьшего значений функ-ции. После разбора примечаний к примеру 2 фрон-тально решается № 14.

После обсуждения понятий естественной областиопределения и аналитического задания функцииученикам предлагается № 5 для самостоятельногорешения (4 мин).

После проверки выполнения этого задания фрон-тально обсуждаются № 9 и № 10 (1). Для каждойфункции в этих номерах ученики должны сказать,какие требования накладываются на ее область оп-ределения, но не решать соответствующих уравне-ний, неравенств и их систем.

Затем проводится с е р и я с а м о с т о я т е л ь-н ы х р а б о т:

С1: № 9 (2), № 10 (1, б) → Проверка → фронтально№ 10 (1, ж).

С2: № 10 (1. в, г) → Проверка.После проверки второй самостоятельной работы

обсуждается № 8 (рис. 3), 11.

Домашнее задание. п. 1, № 8 (рис. 4), 9 (1, 3, 4), 10(1, а, д), посмотреть домашнюю контрольную ра-боту № 1, а именно задания 1 и 4. Ученикам объ-является, что в начале следующего урока будетнебольшая самостоятельная работа на оценку.

cax1

----------

2153940o2.fm Page 41 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

42

Цель третьего урока: закрепление изученногоматериала.

Комментарии. Начинается урок с проведениясамостоятельной работы на 2 варианта (8 мин).

Самостоятельная работа

Вариант 11. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

2. № 14 (1).

Вариант 21. Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у = .

2. № 14 (2).

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. а) [–3; 5) ∪ (5; + ∞); б) –∞; – ∪

∪ (1; + ∞). 2. а) [–2; –1]; б) [0,5; 1].Вариант 2. 1. а) (–∞; –6) ∪ (–6; 3]; б) (–∞; –1) ∪

∪ ; +∞ . 2. а) [–2; 1]; б) –[0,5; 1].

Если доска оборудована крыльями, то два учени-ка вызываются к доске, где за крыльями выполняютзадания. Полученные решения используются дляпроверки. Нужно обратить внимание на запись про-межутков. Если ученики записали их с помощьюпростейших неравенств, следует фронтально разоб-рать, как представить их в виде промежутков.

Если такой доски нет, то правильные ответы учи-тель записывает на доске или показывает черезмультимедийный проектор, чтобы ученики смоглипроверить свои ответы. Для удовлетворительной от-

x + 3x2 – 25--------------------- 3

17x2 – 11x – 6-----------------------------------------------

3 – x36 – x2--------------------- 5x

19x2 + 11x – 8------------------------------------------------

617-------

819-------

2153940o2.fm Page 42 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

43

метки достаточно правильно решить одно задание.Отметка «4» ставится, если выполнено полностьюдва задания. Для отметки «5» нужно решить все за-дания. Положительные отметки можно выставитьв журнал.

После проверки самостоятельной работы рассмат-ривается пример 3 из объяснительного материалаучебника. Если изучение материала идет по учеб-нику, то разбирается рисунок 2. Полезно задать до-полнительные вопросы: 1) Какова область значенийфункции y = f(x)? 2) Чему равно f(3)? 3) При какомзначении x значение функции f(x) = 0,5? Важно под-черкнуть, что ответы, которые получены по графикуфункции, являются приближенными.

Затем ученикам предлагается самостоятельно вы-полнить № 14 по рисунку 11. При выполнении этогономера ученики записывают свои ответы в тетрадь,а затем эти ответы фронтально проверяются. В зави-симости от успешности выполнения классом работыможно предложить выполнить ряд заданий на срав-нение графиков на рисунках 11 и 9. При этом можносчитать, что температура измерялась в одни и те жедни в разных городах. При наличии мультимедий-ного проектора учитель может использовать два за-ранее приготовленных слайда, на первом из которыхизобразить график рисунка 11, а на втором — гра-фик рисунка 9. Совмещая их так, чтобы совпали от-метки по оси ординат (следует учесть, что единицына оси ординат на рисунках различны), можно, на-пример, найти, когда в этих городах температурабыла одинаковая, какая температура была в одномгороде, когда в другом было 16 °С, и т. п.

Если же работать с двумя графиками на разныхрисунках, ученики, выясняя, например, время сов-падения температур, сначала должны установитьграницы искомых значений x, а затем сузить этиграницы. Так, сначала они замечают, что первыйраз графики должны пересечься между 0 : 00 и6 : 00, а затем уточняют, что совпадение температурбыло примерно в 4 часа.

2153940o2.fm Page 43 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

44

Домашнее задание. п. 1, контрольные вопросы и за-дания к пункту, № 13, по желанию № 12, 10 (2),сравнение графиков функций на рис. 7 и 8. Мож-но посоветовать ученикам использовать при срав-нении кальку или кусок прозрачного полиэтиле-на, на который скопировать один из графиковвместе с осями координат и наложить на второй.

2. Прямая, гипербола, парабола и окружность (4 ч)

Целью изучения пункта является повторение ос-новных линий: прямой, гиперболы, параболы и ок-ружности, а также связи между графиками и анали-тическими выражениями, задающими их. Приповторении графика линейной функции дополни-тельно вводится выражение коэффициента прямойчерез координаты двух ее точек и уравнения пря-мой, проходящей через две данные точки. При по-строении гиперболы обращается внимание учащих-ся на асимптоты графика. Вводится уравнение ок-ружности через формулу расстояния между точкамии рассматривается взаимное расположение двухпроизвольных графиков.

Предметные результаты обучения: формулиро-вать определение прямой, гиперболы, параболы, ок-ружности через соответствующие геометрическиеместа точек; строить график квадратичной функции

и функции y = ; вертикальную и горизонтальную

асимптоты к графику функции y = ; заполнять таб-

лицы значений функции; находить точки пересече-ния графиков функций графически и аналитически;задавать окружность уравнением.

Метапредметные результаты обучения: нахо-дить ошибки в таблицах, на схематических черте-жах, в решениях; сравнивать графики функций;применять пакеты компьютерных программ для по-строения графиков функций; заполнять таблицы.

kx---

kx---

2153940o2.fm Page 44 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

45

Цель первого урока: повторение свойств линей-ной функции, условие параллельности графиков ли-нейных функций.

Комментарии. Урок начинается с самостоятель-ной работы на 8 мин по мотивам домашнего задания.

Самостоятельная работа

Вариант 11. Из углов прямоугольника со сторонами 10 и 6 см

вырезают квадраты со стороной x см и сгибаютоткрытую коробку.а) Выразите объем коробки как функцию от x.б) Найдите область определения этой функции.в) Найдите объем коробки, который получитсяпри x = 1.

2. Функция задана своим графиком (см. рис. 7 вучебнике). Запишите:а) область определения функции;б) наибольшее значение функции;в) f(–2,5);г) корни уравнения f(x) = –1,5.

Вариант 21. Из углов прямоугольника со сторонами 14 и 8 см

вырезают квадраты со стороной x см и сгибаютоткрытую коробку.а) Выразите объем коробки как функцию от x.б) Найдите область определения этой функции.в) Найдите объем коробки, который получитсяпри x = 1.

2. Функция задана своим графиком (см. рис. 7 вучебнике). Запишите:а) область значений функции;б) наименьшее значение функции;в) f(3);г) корни уравнения f(x) = 1.

2153940o2.fm Page 45 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

46

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. а) V = (10 – 2x)(6 – 2x)x; б) 0 < x < 3;в) 32 см3. 2. а) (–4,5; 5); б) 4,5; в) 1; г) –4,2 и 4.

Вариант 2. 1. а) V = (14 – 2x)(8 – 2x)x; б) 0 < x < 4;2. 72 см3. 2. а) (–2,5; 4,5); б) –2,5; в) 1,5; г) –2,5 и 3,1.

Перед тем как получить задания, ученики гото-вят листочек со своей фамилией, на котором онипродублируют свои ответы. Листочек сдается, а ра-бота фронтально проверяется.

Затем от обсуждения графиков произвольныхфункций переходим к материалу пункта 2, из кото-рого на этом уроке рассматриваем только линейнуюфункцию y = kx + l. Внимание обращается на угло-вой коэффициент прямой k и на начальную ордина-ту l, а также на новый термин «постоянная функ-ция», или «константа». После этого ученикам пред-лагается выполнить № 17. Перед тем как ученикиприступят к построению графика данной линейнойфункции, следует обсудить с ними план его постро-ения. В частности, какие две точки удобнее всего вы-брать. Понятно, что одна из них — точка пересече-ния с осью ординат, ее ордината равна 3. А абсциссувторой точки целесообразно выбрать так, чтобы онасократилась со знаменателем углового коэффициен-та, например x = 7. После короткого обсужденияученики самостоятельно выполняют указанное зада-ние. Полученные результаты сверяют и обсуждаютответ на вопрос о количестве целочисленных коор-динат точек графика. Полезно дополнительно рас-смотреть вопрос о наличии на графике точек с нату-ральными координатами.

Затем фронтально решаются с обсуждением иизображением соответствующих графиков на доске№ 18,19 (1, а, б).

После этого рассматривается пример 1 из объяс-нительного текста пункта с условием параллельнос-ти графиков линейных функций. Подчеркивается,что точка принадлежит графику функции в том итолько в том случае, когда ее координаты являются

2153940o2.fm Page 46 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

47

соответственными значениями аргумента и функ-ции. Обычно координаты точки графика должныудовлетворять уравнению, задающему соответст-вующую функцию. Затем ученики самостоятельновыполняют № 17. Ответы фронтально проверяются,и ученики получают домашнее задание.

Домашнее задание. п. 2, № 16, 19 (2), 20.

Цель второго урока: повторение свойств линей-ной функции и способов ее задания.

Комментарии. С целью проверки домашнего за-дания проводится самостоятельная работа, котораятут же проверяется фронтально.

Самостоятельная работа

Вариант 1. № 19 (1, в), (3, а).Вариант 2. № 19 (1, г), (3, б).

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. k = 0,3; l = 4,4. 2. k = – ; l = 7.

Вариант 2. 1. k = 0,3; l = 7,5. 2. k = – ; l = .

Устно проверяется № 20 из домашнего задания,затем разбирается пример 2 из объяснительноготекста, на основании которого ученики учатся зада-вать линейную функцию, график которой проходитчерез две точки. Для закрепления выполняется№ 23 (1, 2).

Продолжается работа с линейной функцией в№ 24 (1), 25(1).

В № 24 полезно обсудить дополнительные зада-ния с черной точкой к заданиям 1 и 2.

Способ 1. Так, например, чтобы найти точку на

графике функции y = x + 9, абсцисса которой рав-

37---

37--- 9

7---

34---

2153940o2.fm Page 47 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

48

на ее ординате, нужно взять у = х и подставить вуравнение. Получим х = у = 36.

Способ 2. Можно рассуждать и иначе. Заметив,что условие y = x задает прямую с угловым коэффи-циентом 1 (являющуюся биссектрисой первого-третьего координатных углов), а угловой коэффици-ент данной прямой отличен от 1, сделать вывод, чтоэти две прямые координатной плоскости не парал-лельны, а, значит, пересекаются.

Полезно спросить учеников, чем отличается до-полнительное задание к № 24 (2). Как его выпол-нить?

Домашнее задание. п. 2, № 23 (3), 24 (2), 26.

Цель третьего урока: повторение свойств функ-ции обратной пропорциональности. Новый матери-ал связан с понятием асимптоты и уточнением гра-

фика функции y = .

Комментарии. Начать урок полезно с пов-торения обратной пропорциональной зависимостимежду переменными, ее аналитического задания,построения графика функции, описания ее свойств.

Сначала в зависимости от уровня подготовкикласса полезно выполнить некоторые задания из но-меров № 28—33, в которых повторяется изученныйв основной школе материал.

Говоря с учениками о гиперболе, следует ввестипонятие асимптоты и назвать асимптоты данныхфункций.

Затем можно обратиться к учебнику и прочитатьвыделенные определения прямой, гиперболы и па-раболы как геометрических мест точек, рассматри-вая рисунки и их конкретизируя. Например, есливзять две произвольные точки А и В, то множествоточек, равноудаленных от данных точек, лежит напрямой, которая перпендикулярна отрезку АВ и де-лит этот отрезок пополам. Факт, известный из гео-метрии, ему соответствует рисунок 17.

kx---

2153940o2.fm Page 48 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

49

На рисунке 18 отмечены фокусы, а также точкана гиперболе, так что понятно, о разности каких рас-стояний идет речь.

На рисунке 19 нужно объяснить, что точка F —данная точка, KX — данная прямая, а точки парабо-лы равноудалены от точки F и прямой Ох.

После этого можно перейти к заданиям № 28 (2),29 (1), 31 (в, е).

Ответы на вопросы № 33 ученики могут проиллю-стрировать рисунками на доске.

Домашнее задание. п. 2, № 29 (2), 31 (б, д).

Цель четвертого урока: выведение и применениеформулы расстояния между двумя точками, задан-ными координатами.

Комментарии. Выводится формула расстояниямежду двумя точками и рассматривается пример 3из объяснительного текста. Выполняются заданияиз № 34 (1, 2), 35 (1), 36 (1). Полезно на данном уро-ке провести самостоятельную работу по вариантамна оценку. Работы сдаются, и последние 5 минутурока их решения обсуждаются.

Самостоятельная работа

Вариант 11. Найдите область определения функции:

y = .

2. Постройте графики функций y = и y = 3x в од-

ной системе координат и найдите их точки пере-сечения.

3. Запишите уравнение окружности, проходящейчерез точку A(–1; 3) и касающейся оси абсцисс.

Вариант 21. Найдите область определения функции:

.

x – 2

x2 – x – 6--------------------------------

3x---

x2 – x – 12

2153940o2.fm Page 49 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

50

2. Постройте графики функций y = – , y = x2 в од-

ной системе координат и найдите их точки пере-сечения.

3. Запишите уравнение окружности, проходящейчерез точку D(2; –1) и касающейся оси ординат.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. (–∞; –2) ∪ (3; +∞). 2. (1; 3), (–1;–3).3. (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9.

Вариант 2. 1. (–∞; –3] ∪ [4; +∞). 2. (–1; 1).3. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4.

Домашнее задание. п. 2, № 34 (3), 35 (2), 36 (2),контрольные вопросы и задания к пункту.

3. Непрерывность и монотонность функций (4 ч)

В данном пункте изучаются разрывные и не-прерывные функции, заданные графически, форму-лой, кусочно-заданные, рассматриваются функцииу = [x] и у = {х}. Вводятся термины «промежуткимонотонности» и «точки разрыва». Повторяютсятакже понятия возрастания и убывания функций,которые на протяжении всего курса 10—11 классовшироко используются в решении уравнений и нера-венств.

Предметные результаты обучения: находитьнепрерывные и разрывные функции, если функциизаданы аналитически или графически; приводитьпримеры непрерывных и разрывных функций;находить значения кусочно-заданных функций истроить их графики; формулировать теорему о про-межуточном значении функции; формулироватьопределения возрастающей и убывающей функций;находить промежутки монотонности функции;решать неравенства методом интервалов; решатьуравнения с использованием монотонности функ-

1x---

2153940o2.fm Page 50 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

51

ции; строить график функции по ее описанию; при-менять пакеты компьютерных программ для постро-ения графиков.

Метапредметные результаты обучения: приво-дить примеры и контрпримеры; составлять план вы-полнения задания; применять пакеты компьютер-ных программ для построения графиков функций;считывать информацию с графиков; доказывать ма-тематические утверждения.

Цель первого урока: формирование понятия не-прерывности функции и рассмотрение примеров не-прерывных и разрывных функций (целая и дробнаячасть числа, кусочно-заданные функции).

Комментарии. В начале урока можно записатьна доске разные функции, например:

y = x; y = x2; y = ; y =

и предложить учащимся изобразить в тетрадях и надоске их графики. Затем следует проанализировать,чем отличаются первые два графика от остальных.Обычно школьники замечают, что третий и четвер-тый графики состоят из двух частей, т. е. как быразрываются в некоторой точке. Говоря о последнемграфике, следует ввести термин «кусочно-заданнаяфункция». После этого можно ввести термины «не-прерывность функции» и «точка разрыва». В 10 клас-се достаточно образного представления о непрерыв-ности, а несколько более строгое представление обэтом важном математическом понятии будет сфор-мировано у школьников в следующем классе.

После введения терминов ученикам предлагаетсяназвать промежутки непрерывности и точки разры-ва функций, графики которых они изобразили в на-чале урока.

Затем вводится понятие целой части числа и рас-сматривается функция у = [x]. Школьники называ-ют целые части чисел: 3; –2; 5,01; –6,7, при этомучитель на доске делает следующие записи:

[3] = 3; [–2] = –2; [5,01] = 5; [–6,7] = –7.

1x---

x2 при x � 1,3 – x, при x < 1

2153940o2.fm Page 51 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

52

Затем строится график функции у = [x] и, нако-нец, ставится вопрос о ее непрерывности.

По аналогичному плану рассматривается функ-ция у = {х}.

На следующем этапе полезно закрепить получен-ные знания при самостоятельном выполнении № 37(3), 38 (1), 41 (а). При проверке школьникам предла-гается назвать:

1) непрерывные и разрывные функции;2) промежутки непрерывности функций;3) точки разрыва, если они есть.При подведении итогов урока полезно предло-

жить школьникам привести пример:1) функции, непрерывной на всем множестве дей-

ствительных чисел;2) функции, разрывной при х = 2;3) функции, разрывной в точках х = 3; х = 4;

х = 5.

Домашнее задание. п. 3, № 37 (4), 41 (в, г).

Цель второго урока: изучение теоремы о проме-жуточном значении и на ее основе решение нера-венств методом интервалов.

Комментарии. Урок полезно начать с повторе-ния материала, изученного на предыдущем уроке.

На доске или с помощью проектора ученикампредлагаются графики функций (рис. 1).

У с т н а я р а б о т а1. Является ли функция непрерывной на всем

множестве действительных чисел?2. Является ли функция разрывной? Укажите

точки разрыва. Определена ли функция в точке раз-рыва?

3. Имеет ли график функции вертикальную, го-ризонтальную асимптоты?

Затем эти же вопросы ставятся к функциям издомашнего задания.

На следующем этапе урока учитель формулируеттеорему о промежуточном значении функции и об-суждает с учениками № 43.

2153940o2.fm Page 52 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

53

x0

x0

1

x

1

1

x0

1

x0 1

1

y

x0 1

1

4)

7)

6)

x0 1

1

y

y =

5)

1) 2)

3)

y

1–1

y

y

yy

x

Рис. 1

0

2153940o2.fm Page 53 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

54

На примере одной из рассмотренных функцийученикам предлагается:

1) назвать промежутки, на которых функция необращается в нуль;

2) определить знаки функции на данных проме-жутках.

Затем фронтально обсуждается № 43 и разбирает-ся пример 2 из объяснительного текста. Ученикамисамостоятельно выполняются № 44 (3, 4). Полезнокого-нибудь из учеников пригласить за крыло до-ски, чтобы потом быстро проверить и обсудить планрешения.

После проверки ученики самостоятельно выпол-няют № 45 (1), 46 (1).

Домашнее задание. п. 3, № 44 (1, 2), 45 (2), 46 (2).

Цель третьего урока: формирование понятийвозрастания и убывания функции на промежутке,монотонности функции и формирование умения на-ходить промежутки монотонности функций.

Комментарии. Обсуждение строится по следую-щему п л а н у.

1. Примеры функций, которые возрастают навсей области определения.

2. Формулировка определения возрастающейфункции.

3. Примеры функций, которые убывают на всейобласти определения.

4. Формулировка определения убывающей функ-ции.

5. Пример функции (у = 2х2 – 16х + 1), возрастаю-щей на одних и убывающей на других промежутках.

6. Формулировка определений возрастания иубывания функции на промежутке.

7. Итог беседы и объединяющий термин «моно-тонность».

Затем выполняется № 47. Для рисунков 3 и 4 про-межутки монотонности можно назвать устно, длярисунков 6 и 7 письменно.

Фронтально с классом выполняются № 48, 49, 50.

2153940o2.fm Page 54 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

55

В заключение урока можно обсудить решение№ 52 (2), 53.

Домашнее задание. п. 3, № 45 (3, 4), 52 (1), конт-рольные вопросы и задания к пункту.

4. Квадратичная и дробно-линейная функции.

Преобразование графиков (5 ч)В пункте повторяются свойства квадратичной

функции и рассматривается дробно-линейная функ-ция, причем акцент делается на построении их гра-фиков с помощью преобразований. Дополняются исистематизируются знания учащихся о преобразова-ниях графиков. Сами преобразования используютсяпри решении неравенств.

Предметные результаты обучения: строить гра-фики квадратичной дробно-линейной функций ифункций с модулями с помощью преобразований;находить наибольшее и наименьшее значения функ-ции на промежутке; решать графически системы не-равенств; применять пакеты компьютерных про-грамм для построения графиков.

Метапредметные результаты обучения: при-водить примеры и контрпримеры; пользоватьсяграфиками и таблицами для представления инфор-мации; составлять план выполнения задания; при-менять пакеты компьютерных программ для постро-ения графиков функций.

Цель первого урока: повторение материала о свой-ствах квадратичной функции и решении квадрат-ных уравнений и неравенств.

Комментарии. Обсуждается материал, разме-щенный в учебнике до примера 1, затем ученики са-мостоятельно выполняют № 56 (1, 6).

После проверки ответов ученикам предлагается:1) записать промежутки возрастания и убывания

функции в каждом задании;

2153940o2.fm Page 55 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

56

2) выделить полный квадрат из квадратного трех-члена в задании № 56 (6), воспользовавшись приэтом найденными координатами вершины пара-болы;

4) назвать все преобразования графика у = х2, пе-реводящие его в график функции из задания 6.

Затем выполняются самостоятельно и проверяют-ся фронтально № 57 (1, 2, 3), № 58 (1).

Домашнее задание. п. 4, № 54 (а, в), 57 (4), 58 (2).

Цель второго урока: формирование умений вы-полнять задания с параметрами.

Комментарии. Большинство заданий с парамет-рами связано с квадратным трехчленом, и, в част-ности, с его графиком.

В начале урока следует обсудитьс учениками выполнение домашне-го задания. Затем предложить импо рисунку 2, на котором изобра-жены две параболы, уравнениеодной из которых y = ax2 + bx + c,определить, какое из следующихуравнений имеет вторая парабола:

y = –ax2 – bx + c, y = –2ax2 + bx + c,

y = –2ax2 + 2bx + c,

y = –2ax2 – 2bx + c,

y = –ax2 + bx + c.

Для ответа ученики должны заметить, что у пара-болы, ветви которой направлены вверх, старший ко-эффициент по модулю больше, чем у другой. По-скольку модулей старших коэффициентов толькодва: |a| и |2a|, становится понятным, что ветви пара-болы y = ax2 + bx + c направлены вниз. Так как вер-шины парабол имеют одну и ту же абсциссу, отно-шения второго коэффициента к старшему коэффи-циенту у трехчленов должны быть равны, значит,уравнение второй параболы

y = –2ax2 – 2bx + c.

y

x0

Рис. 2

2153940o2.fm Page 56 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

57

Кроме того, по этому же рисунку можно поста-вить вопрос о том, какие знаки имеют числа a, b и c.При ответе на этот вопрос, во-первых, ученикидолжны заметить, что ветви параболы y = ax2 + bx + cнаправлены вниз, значит, a < 0, во-вторых, параболапересекает ось ординат в верхней полуплоскости,значит, c > 0, наконец, в-третьих, абсцисса вершины

параболы положительна, т. е. – > 0, что, посколь-

ку a < 0, позволяет сделать вывод о том, что b > 0.После этого можно перейти к № 59. Этот номер

выполняется со всем классом фронтально, потомучто желательно разобрать разные возможные вари-анты расположения графика. В тетрадях ученикимогут изображать разные случаи в одной системе ко-ординат, используя пасту разных цветов, или делатьотдельные рисунки. Так, например, в № 59 (3) однаиз парабол касается положительной части оси абс-цисс, другая проходит через начало координат,а третья пересекает отрицательную часть оси орди-нат. В № 59 (5) придется сделать уже четыре рисун-ка (рис. 3).

После того как соответствующие параболы изо-бражены, следует обсудить, какие аналитическиеусловия соответствуют каждому случаю. При этомможно использовать следующие обозначения: D,f (–1), f(2), x0 для дискриминанта, значений трех-члена и абсциссы вершины соответствующей пара-болы. Так, расположение параболы на первом ри-сунке определяется одновременным выполнениемусловий: D > 0, f(–1) > 0, f(2) > 0, 1 < x0 < 2. Условиявторого рисунка: D > 0, f(–1) = 0, f(2) > 0, –1 < x0 < 2.

b2a-------

–1 2 –1 2 –1 2 –1 2

Рис. 3

2153940o2.fm Page 57 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

58

В № 59 (6) также достаточно четырех рисунков(рис. 4).На первом рисунке x0 < –1 и f(–1) > 0; на втором:x0 > 2 и f(2) > 0; на третьем: D < 0; на четвертом:f(–1) < 0 и f(2) < 0.

Затем рассматривается № 61, где с помощью сове-та из учебника, подсказывающего, что a – b + c == f(–1) > 0, изображается схематический графикквадратного трехчлена, не имеющего корней. По-скольку его ветви направлены вверх, делается выводо старшем коэффициенте.

Завершить урок можно № 62.

Домашнее задание. п. 4, № 60 (1), 64.

Цель третьего урока: формирование умения на-ходить наибольшие и наименьшие значения функ-ции на промежутке.

Комментарии. Начинается урок с обсуждениярезультатов домашнего задания, затем проводитсяу с т н а я р а б о т а. Школьникам предлагается поготовым графикам (рис. 5) сформулировать условия,которым удовлетворяет соответствующий квадрат-ный трехчлен f(x) = ax2 + bx + c. Используются обо-значения: f(2), D и x0.

–1 2

–1 2

Рис. 4

2 x

2

x

2

x

2

x 2 x 2 x

Рис. 5

2153940o2.fm Page 58 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

59

Так, например, можно сначала предложитьшкольникам сравнить рисунки и выявить общеесвойство для всех трехчленов, графики которых изо-бражены. [Все эти трехчлены имеют на промежутке(2; + ∞) единственный корень.] Затем обсуждают-ся и выписываются условия для каждого из ри-сунков.

Переходим к выполнению № 60 (2, в). При обсуж-дении этого задания ученики делают вывод о том,что дискриминант не должен быть положителен,после чего решают соответствующее неравенство,чтобы не находить дискриминант.

Завершают урок № 55 (а), 63 (3, 4). Желательносначала составить и обсудить план решения. Учени-ки должны заметить, что поскольку наибольшеезначение квадратный корень принимает при на-ибольшем значении подкоренного выражения, то за-дача сводится к отысканию наибольшего и наимень-шего значений квадратного трехчлена на отрезке.Полезно обобщить эту задачу и рассмотреть трипринципиальных случая: 1) вершина лежит внутрипромежутка, 2) вершина находится слева от проме-жутка, 3) вершина находится справа от промежут-ка. Можно ограничиться рассмотрением трехчлена сположительным старшим коэффициентом и отрица-тельным дискриминантом. Сделав схематическиерисунки, ученики увидят, что в первом случае на-именьшее значение равно f(x0), а наибольшее равнозначению в том из концов промежутка, от которогоx0 дальше. Во втором случае наименьшее значениепринимает трехчлен в левом, а наибольшее — в пра-вом конце. И, наконец, в третьем случае наимень-шее значение принимает в правом, а наибольшее —в левом конце. После этого анализа остается тольковыяснить, с каким из случаев мы имеем дело, и про-вести вычисления. Затем это задание сравнивается сзаданиями № 63 (3, 4). Обсуждается, в чем их осо-бенность, изменяется ли план решения?

Домашнее задание. п. 4, № 55 (б), 63 (1, 2), 65.

2153940o2.fm Page 59 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

60

Цель четвертого урока: изучение свойств дроб-но-линейной функции.

Комментарии. Начать урок можно с преобразова-ний квадратичной функции и составления таблицыпреобразований. Ученикам предлагается заполнитьнекоторые клетки таблицы для произвольной функ-ции f(x), используя известные им преобразованияквадратичной функции. Таблица вынесена на доску.

Затем эта таблица используется для формирова-ния цепочки преобразований при построении графи-ков следующих функций:

y = – 3; y = – ; y = ; y = 3

из графика функции y = ,

y = ; y = – ; y = – ; y = 2 +

из графика функции y = .

Цепочки преобразований в одних случаях можновыстроить устно, а в других придется фиксироватьна бумаге. Затем рассматривается пример 1 из объ-яснительного текста учебника. После этого учени-кам предлагается назвать асимптоты графиковфункций, для которых строились цепочки преобра-

зований из графика y = . Дополнительно можно за-

дать вопрос о промежутках возрастания и убыванияфункции.

Затем ученики строят самостоятельно графикифункций в № 66 (а, г).

Исходныйграфик

Новый график

Исходный график

Новый график

Преобра-зование

у = х2 у = –х2 у = f(х) у = –f(х)

у = х2 у = 2х2 у = f(х) у = kf(х)

у = х2 у = (х – 1)2 у = f(х) у = f(х – a)

у = х2 у = х2 + 3 у = f(х) у = f(х) + a

x 2x x + 1 5x – 2

x1

x + 1--------------- 1

2x – 3------------------ 3

2x + 2------------------- 4

0,5x – 3------------------------

1x---

1x---

2153940o2.fm Page 60 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

61

Домашнее здание. п. 4, № 55 (в), 66 (б, в).

Цель пятого урока: формирование уменияшкольников строить графики функций с модулями.

Комментарии. В начале урока можно устнопроверить выполнение домашнего задания, пред-ложив рассказать о цепочках преобразований в№ 66 (б, в).

После разбора домашнего задания учащимсяпредлагается таблица, которая вынесена на доску.

Со всем классом рассматривается решение при-мера 2 из объяснительного текста учебника и за-полняются пустые клетки второй и третьей строктаблицы. Используя эти строки, ученики само-стоятельно строят графики функций, заданных в№ 68 (а, г).

Затем разбирается пример 3 из объяснительноготекста и закрепляется материал в № 68 (в).

В конце урока следует поговорить о точках коор-динатной плоскости, координаты которых задаютсянеравенствами, и рассмотреть № 69 (1, 3).

Домашняя работа. п. 4, № 68 (б), 69 (2).

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ»

Инструкция к проведению зачета

Зачет проводится по двум вариантам заданий, ко-торые могут быть записаны на доске или на карточ-ках. Ученики, первыми выполнившие все задания,подходят с работой к учителю. Учитель проверяет

Исходный график

Новый график

Исходный график

Новый график

Преобра-зование

у = х у = |х| у = f(х) у = f|х|

у = х3 у = |х3| у = f(х) у = |f(х)|

у = х3 |у| = х3 у = f(х) |у|= f(х)

2153940o2.fm Page 61 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

62

работу и задает по ходу проверки теоретические воп-росы. Ученики, которые правильно решили все за-дания и ответили на вопросы учителя, считаютсясдавшими зачет и становятся консультантами, кото-рым выдается таблица и список устных вопросов изаданий. Из списка вопросов и заданий консультантзадает один вопрос и оценивает ответ на него, такжекак и все задания, знаком «+», если ответ или реше-ние верно, или знаком «–», если задание не выпол-нено или выполнено неверно.

Остальные ученики могут сдать зачет учителюили консультанту.

Учитель просматривает таблицы у консультан-тов, видит общую картину сдачи зачета, оказываетиндивидуальную помощь ученикам.

Задания к письменной части зачета

Вариант 1

1. Найдите область значений функции y = .

2. Решите неравенство + � 5.

3. 1) Изобразите график какой-нибудь функцииy = f(x), непрерывной и определенной на отрезке[1; 4], так, чтобы одновременно выполнялисьусловия:а) х = 3 — нуль функции;

№ п/п Фамилия, имя 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

x2 – 1x2

-----------------

6x--- 6

x + 1---------------

2153940o2.fm Page 62 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

63

б) функция убывает на отрезке [1; 2] и возрастаетна отрезке [2; 4].2) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 наотрезке [1; 4]?3) В какой точке функция принимает свое на-именьшее значение?

4. Запишите уравнение прямой, проходящей черезточки А(–2; 1) и В(6; 3).

Вариант 2

1. Найдите область значений функции y = .

2. Решите неравенство о + � 3.

3. 1) Изобразите график какой-нибудь функцииy = f(x), непрерывной и определенной на отрезке[–2; 3], так, чтобы одновременно выполнялисьусловия:а) нули функции: –1 и 1;б) функция убывает на отрезке [0; 3] и возрастаетна отрезке [–2; 0].2) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 наотрезке [–2; 3]?3) В какой точке функция принимает свое на-ибольшее значение?

4. Запишите уравнение прямой, проходящей черезточки А(4; 1) и В(6; 3).

Вопросы и задания для устной части зачета

1. В каких случаях одна переменная является функ-цией другой?

2. Что такое естественная область определенияфункции?

3. Приведите пример функции, нуль которой боль-ше, чем f(0).

x2 + 1x2

------------------

5x + 3--------------- 4

x---

2153940o2.fm Page 63 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

64

4. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = ; в) y = .

5. Найдите область значений функции:

а) y = –2x2; б) y = ; в) y = 2 + .

6. Какая функция называется константой? Приве-дите пример такой функции.

7. Даны функции: у = 2х + 3, у = –2х + 3,

у = 3х + 2, у = 2х – 1, у = –2х – 5. Графики каких функций являются параллельны-ми прямыми?

8. Все ли уравнения прямых, проходящих черезточку А(1;–2), можно записать в виде y + 2 == k(x – 1)?

9. Запишите уравнение прямой, проходящей черезточки M(2; 3) и N(11; –5).

10. Запишите уравнение окружности с центром вточке D(3; –2) и радиусом 4 см.

11. Запишите уравнение окружности с центром вначале координат и радиусом 5 см.

12. В каких четвертях расположены точки графикафункции у = –3х + 5?

13. Запишите уравнение, задающее геометриче-ское место точек, равноудаленных от точекА(0; 1) и В(7; 5).

14. Задайте какую-нибудь функцию, графикомкоторой является парабола с вершиной в точке(2; –1), ветви которой направлены вниз.

15. Задайте аналитически дробно-линейную функ-цию, асимптотами которой являются прямыех = 2 и у = –1.

16. Решите неравенство методом интервала:а) (х – 1)(х + 3)(х – 5) > 0;

б) < 0.

2

x------- x

16 – x2--------------------- 2x – 3

1x--- x

x – 2x x + 3( )------------------------

2153940o2.fm Page 64 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

65

17. Какие из следующих функций:

y = 3x – 1, y = 1 – x2, y = , y = , y =

являются возрастающими?18. Задайте цепочку преобразований для постро-

ения графика функции y = 1 – из графика

функции y = .

19. Задайте цепочку преобразований для постро-ения графика функции |y| = |x| + 2 из графикафункции y = x.

Подведение итогов зачета и домашней контрольной работы

В этой части урока отмечается, кто сдал зачет науроке, а кто будет сдавать в следующий раз, какоезадание вызвало наибольшие трудности. Обращает-ся внимание учеников на необходимость системати-ческого выполнения контрольных заданий и вопро-сов после каждого пункта.

Ответы к письменной части зачета

Вариант 1. 1. (–∞; 1). 2. (–∞; –1) ∪ [–0,6; 0) ∪

∪ [2; +∞). 3. Рис. 6. 4. y = 0,25x + 1,5.Вариант 2. 1. (1; +∞). 2. (–∞; –3) ∪ [–2; 0) ∪

∪ [2; +∞). 3. Рис. 7. 4. y = x – 3.

1x--- x + 4 2

x---

1x + 3---------------

1x---

Рис. 6

y

x1

y = f(x)

0 2 3 4

y

x10

2

3

–2

–1

y = f(x)

Рис. 7

2153940o2.fm Page 65 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

66

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1ТЕМА «ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ»

Вариант 1

I уровеньВ заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-

таете верным.

1. Укажите область значений функции y = .

А. (–∞; 0); В. (0; + ∞);Б. (–∞; 1); Г. (1; + ∞).

2. Решите неравенство + � 5.

А. x > –1;Б. x � –0,6 и x � 2;В. x < –1 и –0,6 � x < 0 и x � 2;Г. –1 < x � 0,6 и 0 < x � 2;

3. Какая из функций, заданных графиком (рис. 8),на промежутке возрастает [a; b]?

4. Укажите функцию, область определения кото-рой — промежуток (–∞; –2).

А. f(x) = ; В. р(х) = ;

Б. h(x) = ; Г. y = x – 2.

x2 – 1x2

-----------------

6x--- 6

x + 1---------------

y

xa 1

1 b

y = f(x)

y

xa

1 b

y = h(x)

0 10

y

x1

1b

y = g(x)

0 a

y

x1

1

y = p(x)

0a b

А. В.

Б. Г.

Рис. 8

–32 + x--------------- 2 – x

4 + x2------------------

1x + 2 )2(

-----------------------

2153940o2.fm Page 66 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

67

5. Найдите наименьшее значение функции y = 2x2 – 8x + 3,1.

А. 0; Б. –4; В. –5,1; Г. –4,9.

II уровень

6. 1) Изобразите график какой-нибудь функцииy = f(x), непрерывной на отрезке [1; 4], так, чтобыодновременно выполнялись условия:а) х = 3 — нуль функции;б) функция убывает на отрезке [1; 2] и возрастаетна отрезке [2; 4].2) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 наотрезке [1; 4]?3) В какой точке функция принимает свое на-именьшее значение?

7. Запишите уравнение, задающее геометрическоеместо точек, равноудаленных от точек А(–2; 1)и В(6; 3).

III уровень

8. Найдите наименьшее значение функции

y = .

9. Постройте график функции y = |4|x| – 3 – x2|.

Вариант 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Найдите область значений функции y = .

А. (0; + ∞); В. (–∞; 1);Б. (1; + ∞); Г. (–∞; 0).

2. Решите неравенство + � 3.

А. –3 < х � 2 и 0 <х � 2;

1

3 + x – 14---x2

-------------------------------------

x2 + 1x2

------------------

5x + 3--------------- 4

x---

2153940o2.fm Page 67 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

68

Б. x < –3 и –2 � х < 0 и х � 2;В. х < –3 и х > 0;Г.–3 < x < 0.

3. Какая из функций, заданных графиком (рис. 9),на промежутке [a; b] убывает.

4. Укажите функцию, область определения кото-рой — промежуток (–∞; –2].

А. f(x) = ; В. p(x) = ;

Б. h(x) = ; Г. t(x) = (x + 2)3.

5. Найдите наибольшее значение функции y = –2x2 + 8x – 3,1.

А. 0; Б. –4; В. 5,1; Г. 4,9.

II уровень

6. 1) Изобразите график какой-нибудь функцииy = f(x), непрерывной на отрезке [–2; 3] так, что-бы одновременно выполнялись условия:а) нули функции: –1 и 1;б) функция убывает на отрезке [0; 3] и возрастаетна отрезке [–2; 0].

y

xa 1

1 b

y = f(x)

y

xa

1 b

y = h(x)

0 10

y

x1

1b

y = g(x)

0 a

y

x1

1

y = p(x)

0a b

А. В.

Б. Г.

Рис. 9

–32 + x--------------- 2 – x

4 + x2------------------

1x + 2 )2(

-----------------------

2153940o2.fm Page 68 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

69

2) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 наотрезке [–2; 3]?3) В какой точке функция принимает свое на-ибольшее значение?

7. Запишите уравнение, задающее геометрическоеместо точек, равноудаленных от точек А(4; 1)и В(5; 3).

III уровень

8. Найдите наибольшее значение функции

.

9. Постройте график функции y = |x2 – 6|x| + 8|.

Ответы к контрольной работе № 1

Вариант 1. 1. б). 2. в). 3. в). 4. а). 5. г). 6. Рис. 10.7. y = –4x + 10. 8. 0,5. 9. Рис. 11.

Вариант 2. 1. б). 2. б). 3. б). 4. в). 5. г). 6. Рис. 12.

7. y = –0,5 + 4,25. 8. . 9. Рис. 13.

1

x2 – 4x + 5,21-----------------------------------------------

1011-------

Рис. 10

y

x10

2

3

–2

–1

y = f(x)

Рис. 12

y

x10 2 3

3

–3

Рис. 11y

10

2 3

3

–3

8

–4 4–2 x

Рис. 13

y

x1

y = f(x)

0 2 3 4

2153940o2.fm Page 69 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

70

Во второй главе повторяются свойства функцииy = xn, вводятся понятия корня n-й степени, обрат-ной функции, степени с рациональным показателеми обобщаются свойства степеней для рациональногопоказателя.

В нашем учебнике алгебры для 9 класса рассмат-ривается значительная часть материала этой главы.Возможно, однако, что корни n-й степени и степеньс рациональным показателем в основной школе неизучались, и ученики знакомы лишь с квадратнымии кубическими корнями. На последний вариант ирассчитаны рекомендации к изучению главы.

5. Степенная функция y = xn при натуральном n (2 ч)

В этом пункте повторяются свойства функцииy = xn, определения четной и нечетной функций.

Предметные результаты обучения: формулиро-вать определения степенной функции, четной и не-четной функций; определять четность функции;называть свойства степенной функции; находитьзначения функции y = xn с помощью инженерногомикрокалькулятора; строить график функции y = xn

в тетради и с применением пакетов компьютерныхпрограмм.

ГЛАВА

2СТЕПЕНИ И КОРНИ

2153940o2.fm Page 70 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

71

Метапредметные результаты обучения: дока-зывать математические утверждения, обосновыватьрешения, приводить примеры и контрпримеры в ка-честве аргументации.

Цель первого урока: повторение свойств функцииy = xn.

Комментарии. Начать урок можно с самостоя-тельного заполнения таблицы с последующим об-суждением результатов.

Затем устно выполняются № 70 (1), 71, 72, 73.Предполагается следующая работа с указанными

номерами.Прочитайте задание в № 70. Как вы будете выпол-

нять данное задание? [Чтобы ответить на вопрос осуществовании показателя степени n, нужно либоего найти, и тогда такое n существует, или доказать,что такого n не существует.]

№ 70 (1). Р е ш е н и е. График функции y = xn

проходит через точку А (7; 343) при n = 3, так как343 = 73. Ответ: такое n существует.

Можно выслушать еще несколько ответов относи-тельно других заданий данного номера. Ученик вы-бирает любое задание и комментирует его.

Свойствафункции y = x2 y = x3

y = xn, n � N

n — четное n — нечетное

1. Областьопределения

2. Множество значений

3. Симметрия графика

4. Возрастаниеи убывание

5. Четность

2153940o2.fm Page 71 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

72

Прочитайте задание в № 71 (1). Как вы будете рас-суждать в данном задании? [Нам известно значениеу = 4, его нужно представить в виде степени некото-рого целого числа, 4 = 22 = (–2)2, следовательно,n = 2. Число 16 можно представить в виде степеницелого числа различными способами, например:

16 = 42 = (–4)2 = 24 = (–2)4.]

Прочитайте задание в № 72. Как вы будете рас-суждать при выполнении данного номера? [Во всехслучаях задана или степенная функция, или функ-ция, график которой получается из графика степен-ной функции с помощью вертикальных и горизон-тальных сдвигов. Расположение графиков зависитот четности степени и преобразований, которые осу-ществляются над основной функцией y = xn.]

График первой функции расположен в первой итретьей координатных четвертях, потому что пока-затель степени нечетный. График шестой функцииполучен из основного графика степенной функции счетным показателем степени смещением влево на6 единиц и вверх на 1 единицу, значит, график будетрасположен в первой и второй координатных четвер-тях.

Ученики могут выходить к доске, комментиро-вать свой ответ и изображать схематический гра-фик. Можно вызывать учеников к доске, указываякаждому задание, однако лучше предложить учени-кам выбрать задание самостоятельно.

Подвести итог устной работы можно в процессеобсуждения вопросов в № 73.

Графические соображения используются прифронтальном решении заданий из № 74. Каждое изнеравенств как бы прикладывается к графикам сте-пенной функции с нечетным или четным показа-телем. Если неравенство соответствует одному изграфиков и не соответствует другому, то четностьили нечетность n тем самым установлена. Если женеравенство подходит к обоим графикам, то чет-ность или нечетность n определить невозможно.Так, например, неравенство № 74 (1) неравенствоf(–5) > f(–3) показывает, что у степенной функции

2153940o2.fm Page 72 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

73

есть промежуток убывания, значит, n — четное.В задании № 74 (6) неравенство f(5) > f(3) выполня-ется и при четном, и при нечетном n.

После этого повторяются определения четной инечетной функций и закрепляются в № 77 (1, 3), 78(2, 3). Задание № 77 (4), обозначенное как развиваю-щее, следует выполнить устно. Применив свойствостепеней aman = am + n, получим, что y = x2n + 2 – 4,и делаем вывод о том, что эта функция четная, таккак ее график получен из графика четной функциисдвигом вниз на 4 единицы, который не нарушаетсимметрию относительно оси ординат.

После выполнения этих заданий полезно обсу-дить, является ли сумма (разность, произведение,частное) четных (нечетных) функций четной или не-четной функцией. Ответы на эти вопросы определя-ются тем, сохраняют или меняют знаки соответст-вующие выражения при перемене знака аргумента.Так, например, для частного нечетных функций

можно записать: p(–x) = = = p(x), зна-

чит, частное нечетных функций — функция четная.

Домашнее задание. п. 5, № 76, 77 (2), 78 (1), 80.

Цель второго урока: закрепление свойств степен-ной функции.

Комментарии. Начать урок можно с обсуждения№ 82. Ученикам предлагается изобразить графикифункций, которые у них получились при выполне-нии домашнего задания.

Затем можно провести математический диктант.Учитель диктует задания и делает на доске некото-рые записи к ним.

Математический диктант

Вариант 11. Запишите, при каком показателе степени (четном

или нечетном) функция y = xn является возрас-тающей на промежутке (–∞; 0]?

f –x )(

g –x )(----------------- –f x )(

–g x )(-----------------

2153940o2.fm Page 73 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

74

2. При каком показателе степени (четном или нечет-ном) функция y = xn является четной?

3. Запишите цепочку преобразований, с помощьюкоторой из графика степенной функции можнопостроить график функции y = (x – 2)5 + 3.

4. Запишите, четным или нечетным числом являет-ся показатель степени n функции y = xn, если5n = (–5)n.

5. Четной или нечетной является функция y = –2х – 4x3?

6. Решите неравенство xn > 0, если n — нечетное.7. Сколько корней может иметь уравнение xn = a,

если n — нечетное?8. Решите неравенство x5 > 0.

Вариант 21. Запишите, при каком показателе степени (четном

или нечетном) функция y = xn является убываю-щей на промежутке (–∞; 0]?

2. При каком показателе степени (четном или нечет-ном) функция y = xn является нечетной?

3. Запишите цепочку преобразований, с помощьюкоторой из графика степенной функции можнопостроить график функции y = (x + 1)4 – 2.

4. Запишите, четным или нечетным числом являет-ся показатель степени n функции y = xn, если5n = (–5)n.

5. Четной или нечетной является функция y = x2 – x4?

6. Решите неравенство xn < 0, если n — четное.7. Сколько корней может иметь уравнение xn = a,

если n — четное?8. Решите неравенство x6 > 0.

Ответы к математическому диктанту

Вариант 1. 1. При нечетном. 2. При четном.3. х5 → (х – 2)5 → (х – 2)5 + 3. 4. Нечетное. 5. Нечет-ное. 6. х < 0. 7. Один. 8. х > 0.

2153940o2.fm Page 74 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

75

Вариант 2. 1. При четном. 2. При нечетном.3. х4 → х4 – 2 → (х + 1)4 – 2. 4. Четное. 5. Четное.6. Нет решений. 7. Один, два, ни одного. 8. x ≠ 0.

После устной проверки диктанта рассматривает-ся № 75. В процессе обсуждения заданий выявляют-ся важные сравнительные свойства степенных функ-ций с разными показателями: при 0 < x < 1 увеличе-ние показателя уменьшает значение функции,а при x > 1 увеличение показателя увеличиваетзначение функции.

Домашнее задание. п. 5, № 74 (4, 5), 81, 82, конт-рольные вопросы и задания к пункту.

6. Понятие корня n-й степени (4 ч)Понятие корня n-й степени вводится по аналогии

с квадратным корнем, т. е. в связи с рассмотрениемоперации, обратной возведению в n-ю степень.Целью изучения данного пункта является: форми-рование знания учащимися определения корняn-й степени, представления о графике функции

y = как симметричном графику y = xn относи-тельно прямой у = х.

Предметные результаты обучения: сравнивать

свойства взаимно обратных функций y = иy = xn; задавать и находить на графике функцию, об-

ратную данной; находить значения функции y = с помощью инженерного микрокалькулятора; стро-

ить график функции y = в тетради и с примене-нием пакетов компьютерных программ; решать ир-рациональные уравнения и неравенства; находитьобласть определения иррациональной функции.

Метапредметные результаты обучения: срав-нивать графики функции, описывать свойства функ-ции по аналогии, обобщать понятия, пользоватьсяграфиками, схемами для наглядного представленияинформации, выполнять задания разными способа-

xn

xn

xn

xn

2153940o2.fm Page 75 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

76

ми, пользоваться формулами для практических рас-четов.

Цель первого урока: введение и отработка опреде-ления корня n-й степени и арифметического корняn-й степени.

Комментарии. Изложение материала следуетпровести в соответствии с объяснительным текстомучебника. При этом в левой части доски схематиче-ски изображаются графики функций y = x2 и y = x3,а в правой — два графика функций y = xn, для четно-го и нечетного показателей. Понятие корня степениn вводится по аналогии с уже известными школьни-кам понятиями квадратного и кубического корней.Затем фронтально решаются задания № 83 (1, 2, 4),88 (1, 2, 4). После чего с помощью тех же графиков

вводится обозначение и понятие арифметическо-го корня n-й степени. Понимание обозначения за-крепляется заданиями № 92, которые выполняютсяустно.

У с т н а я р а б о т аВычислите:

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

Затем обсуждаются задания № 94, из которыхшкольники самостоятельно выполняют № 94 (2, 5,7). После проверки ответов ученики устно дают отве-ты к заданиям № 93 (2, 3, 5).

При подведении итогов урока школьники отвеча-ют, что такое корень степени n и что обозначает

запись .

Домашнее задание. п. 6, № 93 (1, 4, 6), 94 (1, 3, 6).

xn

273 050

– 0,00164 1253

1100 –1000

27--------------3

–121 2118

-------3

an

2153940o2.fm Page 76 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

77

Цель второго урока: изучаются свойства функ-

ции y = .Комментарии. На уроке на основании симмет-

рии графиков функций y = xn и y = школьники

знакомятся со свойствами функции y = при x � 0и различных n.

После обычной работы с домашним заданиемможно предложить ученикам выполнить самостоя-тельную работу на два варианта № 95 (1) и № 95 (2).При разборе № 95 (1, 2) приходится решать уравне-ния, в которых неизвестное стоит под знаком ради-кала. Это дает основание ввести термин «ирраци-ональное уравнение».

Затем продолжается изучение нового материала,которое лучше провести в соответствии с объясни-тельным текстом пункта. Понятно, что его следуетвести в форме беседы. Так, например, можно внача-ле предложить школьникам выразить x из уравне-

ния y = и поставить перед ними вопрос о точках,координаты которых удовлетворяют уравнениям

y = и x = yn. Затем задать вопрос о координатахточек графиков x = yn и y = xn и т. д. В процессе бесе-ды учитель может использовать рисунки 45 и 46в учебнике на с. 47.

Поскольку в большинстве случаев используетсясимметрия графиков взаимно обратных функций,именно она в нашем курсе и положена в основу опре-деления.

С помощью графика, изображенного на рисунке46, можно сформулировать все три главных свойст-

ва функции y = .Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я

1. Сравните:

а) и ; в) и ;

б) и ; г) 1 и .

xn

xn

xn

xn

xn

xn

75 85 – 2,317 – 2,137

27---6

47---6 1,013

2153940o2.fm Page 77 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

78

2. В каких точках пересекаются графики функций:

а) х3 и ; в) x и ; д) x2 и ?

б) x4 и ; г) и ;3. Найдите область определения функции:

а) у = ; в) ;

б) y = ; г) y = .4. Укажите какое-нибудь положительное значение

аргумента, при котором значение функции

y = : а) больше 2; б) меньше 10.О взаимном расположении графиков функций

y = с различными n позволяет судить рису-нок 47. Закрепляют идею сравнения графиков в№ 89, устным выполнением которых завершаетсявторой урок.

При подведении итогов урока полезно обратитьвнимание школьников на то, что они познакоми-лись с еще одним видом преобразования графиков:симметрией относительно биссектрисы первого итретьего координатных углов, которая переводитграфик y = f(x) в график x = f(y).

Домашнее задание. п. 6, № 91, 94 (4, 8), 95 (3, 4, 5, 6).

Цель третьего урока: использование свойств

функции y = при решении уравнений и нера-венств.

Комментарии. В начале урока обсуждается№ 91, в котором ученики задали функцию, обрат-ную данной, графически с помощью симметрии.Вопрос о том, как задать обратную функцию анали-тически, отрабатывается в № 90 (1, в). План выпол-нения задания состоит из двух пунктов:

(1) x выражается через y: x = 0,5y + 0,5;(2) x и y меняются местами: y = 0,5x + 0,5.Применяя этот план к линейной функции

y = k1x + l в № 90 (2), получим: (1) x = ; (2) y = .

x3 x7 x5

x4 x7 x8

–x38 4x – x24

x + 53 –x – 24

x5

xn

xn

yk1

------ lk1

------

2153940o2.fm Page 78 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

79

Значит, k2 = , т. е. k1 и k2 — взаимно обратные

числа.Перед тем как рассматривать пример 2 из текста

учебника, ученикам можно предложить устно вы-полнить № 96 (1, 2), а затем письменно решить № 98(3), возводя в квадрат обе части уравнения. Послевозведения уравнения в квадрат и переноса всех чле-нов в левую часть получится квадратное уравнение5x2 + 4x – 9 = 0. Сразу видно, что один из его корнейравен 1 (сумма коэффициентов равна нулю), а вто-

рой – . Реализация предложения учителя прове-

рить корни показывает, что при подстановке второгоквадратный корень оказывается равен отрицатель-ному числу, чего, понятно, быть не может. Естест-венно вспомнить определение арифметическогоквадратного корня, которое содержит два условия:

= b означает, что

Для корня – первое требование системы оказа-

лось нарушенным. Отсюда следует, что возведение вчетную степень может привести к появлению посто-ронних корней.

Можно предложить ученикам решить самостоя-тельно № 98 (2) и после проверки решения перейти кобсуждению примера 2 объяснительного текста. Нетнужды выписывать решение на доске, учитель мо-жет просто комментировать решение учебника и от-вечать на вопросы школьников. Важно обратитьвнимание на возможность решения уравнения под-бором корня. Единственность корня вытекает из мо-

нотонности функции у = + (больше-му значению x соответствуют большие значенияподкоренных выражений, большие значения корнейи их суммы).

lk1------

95---

ab � 0,

a = b2.95---

2x + 3 x – 2

2153940o2.fm Page 79 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

80

Затем школьникам предлагается решить подбо-ром корня уравнение № 98 (6). Следует обратитьвнимание, что корень подбирается среди целых зна-чений x, которые делают подкоренные выраженияквадратами натуральных чисел.

Домашнее задание. п. 6, № 96 (3), 98 (4, 5).

Цель четвертого урока: использование свойств

функции y = при решении иррациональныхнеравенств.

Комментарии. После проверки домашнего зада-ния рассматривается пример 1 из объяснительноготекста учебника. Последовательность рассужденийможет быть иной, чем в учебнике. Так, например,можно сразу заметить, что числитель дроби долженбыть положителен, а ее знаменатель — отрицателен.Это позволит перейти к системе и решить ее.

–6 � x < –5.

При таком решении, конечно, нужно сделать ак-цент на переходе от неравенства с корнем к двойно-му неравенству, который сделан на основании из-вестного правила: «Неравенства с положительнымичастями можно возводить в квадрат».

После обсуждения примера 1 ученики самостоя-тельно решают № 100 (1), затем разбирается реше-ние иррационального неравенства в примере 3.

Перед тем как предложить решить неравенства№ 101, следует проанализировать их на предмет:

1) возможности для части неравенства без корняпринимать отрицательные значения;

2) необходимости требования неотрицательностиподкоренного выражения.

Так, в № 101 (1) отрицательные значения правойчасти делают подкоренное выражение отрицатель-ным. Требовать отдельно, чтобы подкоренное выра-

xn

x2 – 25 > 0,

x + 6 – 2 < 0;

x2 > 25,

x + 6 < 2;

x < –5 или x > 5,

0 � x + 6 < 4;

x < –5 или x > 5,

–6 � x < –2;

2153940o2.fm Page 80 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

81

жение было не меньше нуля, не обязательно, так какпосле возведения обеих частей неравенства в квад-рат это условие уже будет выполнено. Заметим, чтопри записи решения эти нюансы можно и не учиты-

вать, заменяя неравенство > g(x) совокупно-стью системы (термин совокупность вводить необя-

зательно) и неравенства f(x) > (g(x))2.

В учебнике вместо второго неравенства рассматрива-

ется система

Это сделано, чтобы избежать дублирования в за-писи решений.

После фронтального анализа неравенств ученикисамостоятельно решают № 101 (2, 4, 6) с обсуждени-ем результатов после решения каждого задания.

Домашнее задание. п. 6, № 98 (1), 100 (2), 101 (3),103.

7. Свойства арифметических корней (4 ч)

В результате изучения пункта у учащихся долж-ны быть сформированы знания о свойствах корнейn-й степени, умения их формулировать и применятьпри вычислениях значений выражений, упрощениивыражений, а также при решении уравнений.

Свойства корней как бы делятся на две группы.Первая группа позволяет преобразовывать выраже-ния, содержащие корни с одинаковыми показателя-ми, а вторая — с разными. В соответствии с этим по-строено изучение материала.

Предметные результаты обучения: формулиро-вать и применять тождественные преобразованиявыражений, содержащих корни при упрощении ивычислении значений выражений, решении ирра-циональных уравнений, неравенств и систем урав-нений.

f x( )

g(x) < 0,

f(x) � 0

g(x) � 0,

f(x) > (g(x))2.

2153940o2.fm Page 81 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

82

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать аналогию для записи свойств корней,представлять информацию в виде таблиц, выпол-нять расчеты по формулам для практических целей.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников записывать свойства умножения и де-ления арифметических корней одной степени, свой-ство возведения корня в степень, применять свойст-во возведения корня в степень при вынесении мно-жителя из-под знака корня, а также внесениямножителя под знак корня.

Комментарии. В начале урока следует проверитьвыполнение домашней работы, затем перейти к уст-ным упражнениям, задания для которых записыва-ются на доске.

У с т н а я р а б о т а1. Представьте число 64 в виде степени с основанием

–2, 2, –8. Куб какого числа равен 64? Представьтечисло 64 в виде степени с натуральным показате-лем. Заполните таблицу.

2. Решите уравнение:

а) = ; в) = 3;

б) = 0,1; г) = 0.3. Вычислите:

a) • ; г) ;

б) ; д) • .

в) (0,1 )2;

64 =

(–2)x 2x (–8)x x3 x6

x = x = x = x = x =

x3 23--- x + 1

x4 x + 35

827------- 2

3--- 49•121

8

50----------- 5 – 3 5 + 3

7

2153940o2.fm Page 82 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

83

На следующем этапе урока рассматриваются пер-вые три свойства корней. Изложение проводится сопорой на учебник, в котором помещена сравнитель-ная таблица свойств квадратных корней и корнейn-й степени.

Свойствам можно дать краткие формулировки:

1) = • — «корень из произведенияравен произведению корней»;

2) = — «корень из частного равен частно-

му корней»;

3) = — «корень из степени равен сте-пени корня».

Обсуждая доказательство третьего свойства, по-мещенное в учебнике, важно обратить вниманиешкольников на необходимость проверки выполне-ния двух условий, определяющих истинность равен-

ства = y. Именно к проверке этих условий и сво-дятся доказательства свойств корней.

Перед тем как предложить школьникам № 105,следует подчеркнуть, что свойства корней использу-

ют в две стороны, так, например, = •можно применять не только для преобразованиякорня из произведения в произведение корней, но идля преобразования произведения корней в кореньиз произведения. После чего предложить школьни-кам проанализировать № 105 на предмет того, какоесвойство и в какую сторону следует использовать ине могут ли они устно получить ответ. В № 105 (1, 2,3, 4, 11, 12) можно непосредственно применить свой-ства и сказать устно ответ. В других заданиях требу-ются предварительные преобразования данных вы-ражений. Так, например, в № 105 (9) нужно перенес-ти запятые: 1,6•12,1 = 16•1,21, а в № 105 (7)перенести пятерку из второго множителя в первый:

125•405 = 625•81. Эта работа проводится фронтально.

abn an bn

ab---n

an

bn--------

amn an )m

(

xn

abn an bn

2153940o2.fm Page 83 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

84

После № 105 рассматривается пример 1 из объяс-нительного текста, в котором выносится множительиз-под знака корня. Комментируя преобразования,учитель обращает внимание учащихся на цель раз-биения выражения на множители — один из множи-телей должен оказаться кубом некоторого выраже-ния. Понятно, что в него должно войти число 8 = 23 иa в степени, показатель которой делится на 3. Послезавершения преобразований следует предложитьшкольникам назвать переход от последнего выраже-ния к исходному. [Внесение множителя под знаккорня.]

В завершении урока ученики самостоятельно вы-полняют № 106 (2, 4, 6). В процессе проверки обсуж-дается последнее задание. Главным здесь являетсявопрос о знаке числа a.

Домашнее задание. п. 7 до конца примера 1, № 104,105 (8, 10), 106 (1, 5, 7).

Цель второго урока: формирование уменийшкольников преобразовывать арифметические кор-ни.

Комментарии. Для проверки домашней работыможно вызвать ученика к доске для доказательствасвойства 1 в № 104. Затем рассмотреть пример 3 иперейти к изучению свойств 4 и 5, позволяющихпреобразовывать выражения с корнями разных сте-пеней. Примечание к доказательству пятого свойст-ва в учебнике ориентировано на материал следующе-го пункта, поэтому его можно рассмотреть там.

Полезно дать словесную формулировку свойству 5:

= — «Показатель степени корня можносократить с показателем степени подкоренного выра-жения».

После доказательства свойства 5 обсуждаетсяпример 4 из объяснительного текста, в котором при-меняется и внесение множителя под знак корня, исвойство 4, и сокращение показателей степени под-коренного выражения и корня (свойство 5).

amknk amn

2153940o2.fm Page 84 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

85

Затем можно предложить ученикам проанализи-ровать задания № 107—110. Они должны составитьплан решения и указать, какие свойства и в какуюсторону применяются при его реализации. Работапроводится фронтально. При рассмотрении заданий№ 107 (3, 7—9), обозначенных «•», полезно предло-жить школьникам самим догадаться, в чем причинатакого обозначения. Заметим, что такой способпредваряющего решение обсуждения достаточнобольшого массива заданий — единственный варианторганизации обучения математике в условиях дефи-цита учебного времени. В наших рекомендациях мыдостаточно часто советуем его применять.

После фронтального обсуждения можно предло-жить пару с а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т с рас-смотрением результатов каждой из них:

С1: № 107 (2, 4), 108 (2, 3); С2: № 107 (6), 108 (4),109 (2), 110 (2, 5).

Домашнее задание. п. 7 до примера 5, № 107 (5), 108(1), 109 (3), 110 (4).

Цель третьего урока: формирование умения ре-шать иррациональные уравнения.

Комментарии. Начать урок полезно с устной ра-боты по указанным ниже заданиям.

У с т н а я р а б о т а1. Определите знак разности:

a) – ; б) – ; в) – .2. Вычислите:

a) • ; в) ;

б) ; г) .

3. Сравните:

а) и ; б) и ; в) и .Затем проверить домашнюю работу, рассмотреть

пример 5 из объяснительного текста и выполнить не-сколько заданий № 119. Сначала фронтально об-судить план каждого преобразования, затем само-

2 33 33 44 44 55

1213 113 0,315 )5

(

324

24------------ 64•273

3 33 2 43 3 2 34 485

2153940o2.fm Page 85 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

86

стоятельно его реализовать в заданиях 2, 4, 6 с по-следующей проверкой каждого задания.

Основная часть урока посвящается решению ир-рациональных уравнений. Сначала в № 114 ученикидолжны обнаружить, в каждом из уравнений повто-ряющееся выражение, затем в тетрадях они записы-вают уравнения, которые получаются из данных спомощью подстановки, а задания № 114 (2, 5) реша-ются. Решения обсуждаются фронтально с фиксаци-ей их на доске.

Затем школьникам предлагается составить планрешения № 115 (1). Помочь школьникам могут пос-тавленные учителем вопросы: «Чем отличается ис-комое выражение от данного?», «Где вы раньшевстречались с суммой и разностью одних и тех жевыражений?», «Чему равна разность квадратов этихкорней?». В результате окажется, что разность квад-ратов корней, с одной стороны, равна 14, а с другой

2( + ). Отсюда значение искомоговыражения равно 7.

В № 116 (1) на помощь приходит другая формуласокращенного умножения, а именно, формула кубасуммы (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). Подставим в неевместо a и b данные кубические корни, получим:

( + )3 =

= 1 + + 1 – + 3 •2 = 2 + 6 .

Далее: 2 + 6 = 23, 3 = 3, = 1,1 – x = 1, x = 0.

Домашнее задание. п. 7, № 111 (1), 114 (1, 3, 5),116 (2).

Цель четвертого урока: формирование умениярешать системы иррациональных уравнений.

Комментарии. После проверки домашней работыможно предложить школьникам тест.

26 – x 12 – x

1 + x3 1 – x3

x x 1 – x3 1 – x3

1 – x3 1 – x3 1 – x3

2153940o2.fm Page 86 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

87

Тест

1. Найдите значение выражения:

– + .

А. 6,25; Б. 4,6; В. 5,3; Г. 5,2.

2. Решите уравнение 2 = 0,2.А. 2,01; Б. 1,0001; В. 1,1; Г. 0,001.

3. Выразите радиус R шара из формулы объема ша-

ра V = πR3.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

4. Упростите выражение .

А. ; Б. ; В. ; Г. .

Ответы к тесту1. Г. 2. Б. 3. А. 4. В.

После проверки ответов теста рассматриваетсяуравнение в № 118 (1), подробное решение которогоприведено в учебнике в разделе «Решения». Каж-дый из случаев необходимо проиллюстрировать ри-сунком соответствующей параболы. Следует обра-тить внимание школьников на то, что сам корень на-ходить не нужно. Решения выполняются на доскеучителем в процессе фронтальной работы с классом.Можно предлагать школьникам, например, сделатьв тетради рисунки, а затем воспроизвести их на до-ске. Решения ученики в тетрадях не записывают.

После № 118 анализируются системы уравнений№ 117. В учебнике имеются подробные решения за-даний № 117 (1, 2, 4), поэтому основной акцент сле-дует сделать на предварительном анализе каждойсистемы. Так, например, в № 117 (1) естественно по-думать о том, как преобразовать левую часть первого

5 116-------4 0,0273 2

1

4---

--------

x – 14

43---

3V4π--------3

3π4V--------3

12--- 3V

π-------- 4π

3V--------3

a2• a34

a------------------------

a37 a6 a12 a76

2153940o2.fm Page 87 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

88

уравнения, нельзя ли заменить какую-либо частьполученного выражения, используя второе уравне-ние системы. В № 117 (2) следует подсказать школь-никам возвести первое уравнение в квадрат, а воз-можность замены x + y значением 5 из второго урав-нения они должны заметить сами.

Внимательно посмотрев на первое уравнение в№ 117 (4), ученики обнаружат, что оно является

квадратным относительно z = : 9z2 – 8z – 20 = 0.Положительный корень уравнения равен 2, а отри-цательный не подходит, так как z не может быть от-рицательным. Далее понятно, что xy = 4 и, составиввспомогательное квадратное уравнение, как в за-дании 1, t2 – 5t + 4 = 0, найдем его корни 1 и 4.Ответ: (1; 4), (4; 1).

В № 117 (3) известны сумма чисел , , суммаих кубов, из чего легко найти значение куба их сум-мы, значит, опять применяем формулу (a + b)3 = a3 +b3 + 3ab(a + b). В эту формулу, записанную на доске сучетом задания 3, школьники предлагают подста-вить числа:

( + )3 = x + y + 3 ( + ),

43 = 28 + 3 •4.

Отсюда = 3 и xy = 27. Дальше можно не ре-шать, так как ученики уже знают, как составитьвспомогательное квадратное уравнение.

В процессе фронтального решения систем на до-ске ученики не должны вести записей в тетрадях,они должны участвовать в решении, высказываясвои предложения.

Домашнее задание. п. 7, № 111 (2), 114 (6), 117 (1),119 (3).

2( + ) = 3 ,

x + y = 5;

x y xy 4(x + y + 2 ) = 9xy,

x + y = 5;

xy

4(5 + 2 ) = 9xy,

x + y = 5.

xy

xy

x3 y3

x3 y3 xy3 x3 y3

xy3

xy3

2153940o2.fm Page 88 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

89

8. Степень с рациональным показателем (3 ч)

В этом пункте школьники знакомятся с понятиемстепени с дробным показателем и с ее свойствами.Вместе с новым материалом им предоставляется воз-можность повторить формулы сокращенного умно-жения в применении их к степеням с дробными по-казателями и к корням. В зависимости от уровнякласса учитель сам выбирает, сколько и каких зада-ний из номеров пункта предлагать школьникам.

Предметные результаты обучения: вычислятьстепень числа с рациональным показателем по-мощью инженерного микрокалькулятора; преобра-зовывать выражения, в которые входят степени сдробными показателями; представлять число в видестепени с рациональным показателем.

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться инженерным калькулятором в компьютер-ном пакете «Windows» для вычислений значенийфункций; переводить информацию из одного видав другой.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников представлять в виде степени с дробнымпоказателем.

Комментарии. После проверки домашнего за-дания ученикам предлагается устно упростить вы-

ражения: , , , . Ученики указы-вают свойство, которым они воспользовались при

преобразованиях: = . У них могут воз-никнуть затруднения с преобразованием последнеговыражения. С учетом возможности отрицательныхзначений с ответ должен быть таким: |c|3. После за-писи ответов на доске ученикам предлагается найтиобщую для всех этих выражений особенность — по-казатель степени подкоренного выражения кратенпоказателю степени корня. Как в этом случае (когда

m кратно n) запишется выражение ? Ответ уче-

3105 a153 b126 c248

akmkn amn

amn

2153940o2.fm Page 89 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

90

ников: = . Записав на доске это равенство,учитель обращает внимание на то, что в левой егочасти стоит корень, а в правой — степень, и говорито том, что с помощью этого равенства вводится поня-тие степени с рациональным показателем и для техслучаев, когда m не кратно n. Чтобы исключить за-труднения, с которыми ученики встретились при

преобразовании выражения , договорились рас-сматривать положительные основания степени. Пос-ле этого на доске дописывается условие a > 0.

Рассматриваются простейшие примеры переходаот корней к степеням и обратно из № 121 (1—4), 122.Затем напоминаются известные школьникам свой-ства степеней (они либо записываются на доске, ли-бо демонстрируются с помощью настенной табли-цы), одно из них доказывается, а справедливостьдругих декларируется.

После этого учитель предлагает школьникам про-анализировать, какие формулы применяются в зада-ниях № 123. Умение работать с обыкновенными дро-бями позволило бы выполнить задания этого номераустно, однако вполне вероятно, что часть учениковиспытывает затруднения в вычислениях. Высказавсожаление по этому поводу и указав на целесообраз-ность тренировки, учитель предлагает в каждомзадании называть основание искомой степени и вы-ражение, значение которого является искомым по-казателем степени. Предложения учеников фикси-руются на доске и обсуждаются с опорой на свойствастепеней. Так, например, в задании № 123 (3) на

доске будет сделана запись: . Достаточ-но, чтобы на уроке ученики указали наименьшийобщий знаменатель дробей, а вычисления они смо-гут выполнить дома. В № 123 (5), получив запись

, можно предложить школьникам найтиответ устно, предварительно раскрыв скобки.

amn amn-----

c248

c–1

6--- + –5

9--- – –3

4---

a 1

3--- + 1

2--- – 1

6--- •3

2153940o2.fm Page 90 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

91

Похожим образом строится работа с № 124. Здесь,правда, при формулировке плана решения ученикампридется представлять данные числа в виде произве-дения и частного степеней с простыми основаниями.Записи ведутся только на доске. Так, например, в за-дании № 124 (8) сначала записывается выражение

, затем , и, наконец, .

Полезно спросить у школьников, как они будут

умножать число 3 на смешанное число 1 . Можно

не переводить смешанное число в обыкновеннуюдробь, а умножать отдельно на целую и дробную час-

ти: 3•1 = 3 + 1 = 4.

Домашнее задание. п. 8 до примера 1, № 121 (5—7),122 (5, 9), 123 (8), 124 (4, 7), 125(1, 3).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников использовать свойства степеней с раци-ональными показателями для преобразования выра-жений и решения показательных уравнений.

Комментарии. После фронтальной проверки до-машнего задания можно предложить школьникамнебольшой математический диктант.

Математический диктант

1. Запишите символически определение степени сдробным показателем.

2. Представьте в виде корня.

3. Запишите в виде степени.

4. Вычислите: , , .5. Запишите свойство возведения частного в сте-

пень.

23( )–1

13---

24( ) –1,25------------------------ 2

3 –113---

24 –1,25( )---------------------- 2

–3•113--- + 4•1,25

13---

13---

537---

723

125---

8134---

125–2

3---

2153940o2.fm Page 91 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

92

Ответы к математическому диктанту

1. = , a > 0. 2. . 3. . 4. 1; 27; 0,04.

5. = .

Взаимопроверка с выставлением положительныхоценок по следующим критериям: за 7 правильныхответов выставляется оценка «5»; 6 правильныхответов — отметка «4»; 4—5 правильных ответов —отметка «3».

Затем фронтально рассматриваются № 125 (2),126 (1, 3). Выполнение заданий этих номеров сво-дится к решению показательных уравнений спо-собом приведения к одинаковому основанию (мож-но уже здесь ввести термин показательное уравне-ние — уравнение, в котором неизвестные находятсятолько в показателях степеней). Может быть, следу-ет фронтально рассмотреть еще пару аналогичныхзаданий перед тем, как предложить серию неболь-ших самостоятельных работ из заданий этих номе-ров (примерно три работы по три задания). Заданийв учебнике, в любом случае, с избытком, и все их вы-полнять не нужно.

Между проверками самостоятельных работ полез-но предлагать школьникам устные упражнения из№ 127, 128.

После проверки последней самостоятельной рабо-ты следует предложить школьникам рассмотретьвыражение a – 1 как разность квадратов и как раз-ность кубов и записать, как в каждом случае будетвыглядеть соответствующая формула сокращенно-го умножения. Выражения, которые получатся ушкольников, учитель записывает на доске под ихдиктовку и только затем с помощью класса устраня-ет в них ошибки, если таковые будут.

Следующий этап урока — работа с № 130. В каж-дом задании следует предложить школьникам уви-деть левую часть формулы разности квадратов иуказать значения a и b. Правые части некоторых

amn-----

amn 537 723---

ab---

x ax

bx------

2153940o2.fm Page 92 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

93

формул можно записать на доске. Аналогично про-водится работа и с № 131.

Затем по учебнику разбирается пример 1 и рас-сматриваются задания № 129 (2—5). В задании№ 129 (2) предложить ученикам вынести из первой

скобки множитель . Они должны заметить, что по-лучившееся выражение содержит фрагмент форму-лы разности квадратов. В № 129 (3) школьники самидолжны предложить вынести множитель из первойскобки. В № 129 (4) придется просто перемножить

скобки и получить выражение – x + – 1.

В № 129 (5) из первой скобки вынести , а из вто-

рой . В скобках окажется фрагмент формулыразности квадратов:

( + 1)( – 1) = ( – 1) = – .

После этой работы можно перейти к № 132 (4),который подробно разбирается на доске:

= = .

Завершить урок можно фронтальным анализомупрощения выражений № 134. В № 134 (а, б) учени-ки должны сказать, какой множитель можно вынес-ти за скобки и что останется после этого в скобках.В заданиях № 134 (в, г) ученики должны назвать об-щий знаменатель, к которому следует привестидроби.

Домашнее задание. п. 8, пример 1, № 127 (4), 128(6), 130 (5), 132 (3).

Цель третьего урока: формирование умения пре-образовывать выражения и решать уравнения.

a14---

x32---

x12---

c–

13---

c–

12---

c–

13---

c–

12---

c56---

c56---

c–

56---

c106

-------c

56---

c–

56---

a – a12---

a – a16---

------------------a 1 – a

12--- – 1

? ?? ?

a 1 – a16--- – 1

? ?? ?

------------------------------------ 1 – a–

12---

1 – a–5

6---

---------------------

2153940o2.fm Page 93 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

94

Комментарии. В начале урока рассматриваютсядомашние задания, вызвавшие затруднения ушкольников. Затем ученикам предлагается порабо-тать устно.

У с т н а я р а б о т а1. Вычислите:

а) ; б) ; в) .2. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) с1,4•с–0,3•c2,9.

3. Сократите дробь:

а) ; в) ; д) .

б) ; г) ;

Устная работа продолжается анализом № 135 (1),а затем школьники самостоятельно решают № 134(в, г). Перед выполнением каждого задания прово-дится его устный анализ. При разборе решения№ 134 (г) полезно обратить внимание школьников,что вычислить искомое значение выражения можнои непосредственной подстановкой:

+ = + = + = = 29.

Затем можно рассмотреть по учебнику решениепримера 2, а в сильном классе обсудить со школьни-ками план решения каждого задания из № 136, 137.В № 137 (1) ученики должны заметить, что введени-

ем новой переменной z = данное уравнение преоб-разуется в квадратное. При этом случай отсутствиякорней у исходного уравнения соответствует отсут-ствию неотрицательных (положительных или рав-ных нулю) корней у полученного квадратного урав-нения.

912---

2713---

–4•0,0132---

a23---

a4 b58---

•b14---

b18---

------------------

4•18n

32n – 1•2n + 1------------------------------------ x – 2

x12---

– 212---

---------------------- x – 1

x23---

+ x13---

+ 1

----------------------------------

22n – 1•3n + 1

6•12n------------------------------------ y – 3

y12---

+ 312---

----------------------

625 – 4021

------------------------- 85 + 2--------------- 585

21---------- 8

7--- 195

7---------- 8

7--- 203

7----------

x12---

2153940o2.fm Page 94 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

95

Ученикам предлагается сделать схематическиерисунки (рис. 14) соответствующих парабол и сфор-мулировать условия, которые должны выполнятьсяв каждом случае.

Заметим, что первое неравенство системы служиттолько для облегчения финального объединения от-ветов, так как позволяет избежать дублированияслучая 1.

После этого сформулированные условия записы-ваются для конкретного трехчлена. В учебнике при-ведено подробное решение задания.

На следующем уроке будет проводиться зачет иликонтрольная работа по материалу главы 2.

Домашнее задание. п. 8, № 133 (4), 135 (2), контроль-ные вопросы и задания к пункту, желающим ре-шить или разобрать по учебнику № 136 (2), 137 (2).

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «СТЕПЕНИ И КОРНИ»

Зачет предлагается провести по карточкам. Кар-точки разноуровневые, с увеличением номера увели-чивается сложность заданий. Полезно предложитьученикам выбрать самостоятельно номер карточки,тогда будет виден уровень притязаний, что для учи-теля очень важно. Иногда учитель даже не догады-вается, что некоторые из его учеников претендуютна высокую отметку.

Получив карточки, ученики письменно выполня-ют задания, а на вопросы готовятся отвечать устно.После того, как ответ готов (подготовка к ответу рас-

y

zz

1) 2)D < 0 D � 0,z0 < 0,f(0) > 0

Рис. 14

0

2153940o2.fm Page 95 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

96

считана на 15—20 мин), ученик отдает свою кар-точку учителю и отвечает ему на вопросы. Учительпроверяет, правильно ли выполнены задания, и оце-нивает работу ученика. Для ускорения процессаприема зачета можно предложить некоторым силь-ным ученикам проверить задания своих товарищей.

К а р т о ч к а 1

1. Дайте определение корня третьей степени из чис-ла 2.

2. Запишите свойства функций y = xn для четных n.3. Сравните, если возможно, натуральные числа m

и n, зная, что 0,9m > 0,9n.4. Является ли функция y = 5x5 – 3x:

а) четной; б) нечетной; в) ни четной, ни нечетной?

5. Сравните и .

6. Решите уравнение = 0,1.

К а р т о ч к а 2

1. Дайте определение арифметического корня пятойстепени из числа 3.

2. Запишите свойства функций y = xn для нечет-ных n.

3. Сравните, если возможно, натуральные числа m

и n, зная, что ( )m > ( )n.4. Является ли функция y = 3x6 – 3x2:

а) четной; б) нечетной; в) ни четной, ни нечетной?

5. Упростите выражение • – .

6. Решите уравнение .

К а р т о ч к а 3

1. Запишите свойства, общие для всех функцийy = xn, где n — натуральное число.

2. Можно ли сделать вывод о том, что m> n, зная,что при некотором положительном значении аверно неравенство am > an? Укажите все положи-

233 2 2

2x – 14

3 3

125 325 512---

2x2 – 3x + 1 = x2 – 3x + 2

2153940o2.fm Page 96 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

97

тельные значения а, при которых этот выводверен.

3. Что означает запись ? Есть ли какие-нибудьограничения для значений n и a?

4. Является ли функция y = 2x2n – 3x2n + 2:а) четной; б) нечетной; в) ни четной, ни нечетной?

5. Сократите дробь .

6. Решите уравнение 3x + 1 = .

К а р т о ч к а 4

1. Запишите свойства функций y = xn, различныедля четных и нечетных n.

2. Можно ли сделать вывод о том, что m > n, зная,что при некотором положительном значении аверно неравенство am > an? Укажите все поло-жительные значения а, при которых этот выводверен.

3. Почему при решении иррациональных уравненийнеобходимо делать проверку корней?

4. Является ли функция y = xnxn + 1:а) четной; б) нечетной; в) ни четной, ни нечетной?

5. Упростите выражение – .

6. Решите уравнение + = .

Ответы к зачету

Карточка 1. 4. б). 5. –11 . 6. х = 0,50005.

Карточка 2. 4. а). 5. 9 . 6. х = –1 и х = 1.

Карточка 3. 4. а). 5. – 2. 6. х = 0.

Карточка 4. 4. б). 5. 1 – . 6. х = 6.

an

x12---

– 8

x13---

+ 2x16---

+ 4

--------------------------------------

1 – x

1 + x34---

x12---

– x14---

+ 1

--------------------------------- 2x14---

x – 5 x + 3 2x + 4

33

5

x16---

x14---

2153940o2.fm Page 97 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

98

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2ТЕМА «СТЕПЕНИ И КОРНИ»

Вариант 1

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Вычислите • .

А. 42; Б. 21; В. 10; Г. 1.

2. Упростите выражение .

А. ; Б. 1; В. а3; Г. .

3. Упростите выражение – .

А. 1 – ; В. 1 – ;

Б. 1 – – ; Г. 1 + .

4. Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения = x + 1.А. [1; 2]; В. (–1; 0);Б. [0; 1]; Г. (–2; –1).

5. Определите четность функции

y = (x3 – x5).А. Четная; Б. нечетная; В. ни четная, ни нечетная.

II уровень

6. Упростите выражение , если a < 0и c � 0.

120,5

723---

•80,5

----------------------- 30,5•753---

8–1

6---

-----------------------

a34---

? ?? ?

2

: a3

a136

-------a

94---

1 + b

1 – b3 + b23------------------------------------- 2b

16---

2b12---

b16---

??

2

2b16---

b13---

b16---

??

2

2 – 4x + x2

4 – x2

256a4b8c124

2153940o2.fm Page 98 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

99

7. Определите знак разности – .

8. Решите неравенство 2 + x � 8.

III уровень

9. Найдите с, если известно, что

+ = .

Вариант 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Вычислите • .

А. ; Б. ; В. ; Г. 8.

2. Запишите выражение в виде степени числа а.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

3. Упростите выражение – .

А. ; В. 1 – ;

Б. 1 – ; Г. .

4. Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения = x + 2.А. [3; 5]; В. [0; 2];Б. (1; 3); Г. (–2; 0).

74 2 34

x

c – c–1

2---

c – 1------------------------ c

–12---

– 1

1 + c-------------------- 1

28-------

51,5•81

12-------

913---

------------------------- 80,25

50,5•916---

-----------------------

409

------- 109

------- 103

-------

a58---

? ?? ?

4

a43-----------------

a78---

a236

-------a

158

-------a

76---

1 + b34---

1 – b14---

+ b12---

-------------------------------- 2b18---

b14---

– 1? ?? ?

2

b18---

2b18---

b18---

– 1? ?? ?

2

x2 + 5x + 5

2153940o2.fm Page 99 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

100

5. Определите четность функции

y = (x4 – x2).А. Четная;Б. нечетная;В. ни четная, ни нечетная.

II уровень

6. Упростите выражение , если а � 0,b � 0 и c � 0.

7. Определите знак разности – .

8. Решите неравенство 11 – 4х � 6.

III уровень

9. Найдите с, если известно, что

– = .

Ответы к контрольной работе № 2

Вариант 1. 1. Б. 2. Б. 3. В. 4. Б. 5. Б. 6. –4ab2c3.

7. – > 0. 8. x � 4. 9. c = 49.Вариант 2. 1. В. 2. Г. 3. Г. 4. Г. 5. А. 6. 4ab2c4.

7. – > 0. 8. ; 4 . 9. c = 64.

16 + x2

64a3b6c123

53 2 33

x

1 + c–1

2---

c – 1--------------------- c + c

–12---

1 + c------------------------ 1

28-------

74 2 34

53 2 33 916-------

2153940o2.fm Page 100 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

101

В этой главе изучаются свойства и графики пока-зательной и логарифмической функций. Системати-зируются и обобщаются знания учащихся о степе-нях, формируются умения решать показательные илогарифмические уравнения и неравенства. Матери-ал логарифмов разбит на две части. В первой из них(п. 10) рассматриваются определение логарифма исвойства логарифмической функции. Во второй час-ти (п. 11) уделяется внимание логарифмическимтождествам и их использованию. Такое распределе-ние материала позволяет за короткое время сформи-ровать у школьников достаточно высокий уровеньзнаний и умений.

9. Функция y = ax (4 ч)При изучении материала пункта у учащихся фор-

мируются знания свойств показательной функции,умения строить график функции y = ax и применятьсвойства функции к решению показательных урав-нений и неравенств.

Предметные результаты обучения: формулиро-вать определение показательной функции; называтьсвойства показательной функции; находить значе-ния показательной функции по графику и с по-мощью микрокалькулятора; строить график функ-ции y = ax в тетради и с применением пакетовкомпьютерных программ; сравнивать значения по-казательных функций; решать показательные урав-

ГЛАВА

3ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

2153940o2.fm Page 101 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

102

нения, неравенства и их системы; решать текстовыезадачи на вычисление процента инфляции.

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться инженерным калькулятором в компьютер-ном пакете «Windows» для вычислений значенийфункций; переводить информацию из одного вида вдругой; пользоваться таблицами, графиками, схема-ми для представления информации; сравнивать гра-фики и функции; приводить примеры экспоненци-альных зависимостей в биологии, физике и эконо-мике.

Цель первого урока: формирование умений стро-ить график показательной функции и формулиро-вать ее свойства.

Комментарии. Изучение нового материала про-водится с опорой на рисунки учебника. Следуя текс-ту учебника, учитель вводит понятие показательнойфункции y = ax, определенной на множестве раци-ональных чисел.

Ограничение на основание степени a ≠ 1 следуетобсудить со школьниками. Здесь мы имеем дело с до-вольно редкой ситуацией, когда ограничение связа-но не с опасностью потери смысла выражения, а стем, что при a = 1 получается уже известная и имею-щая свое название функция. Затем рассматриваетсяконкретная показательная функция y = 2x, и длязнакомства с ее свойствами строится график. Схемапостроения знакома ученикам. Сначала составляет-ся таблица, и отмечаются соответствующие точки накоординатной плоскости, затем шаг таблицы умень-шается, точки графика сгущаются, и через них про-водится непрерывная линия. Можно задать прово-кационный вопрос о том, является ли кривая нарисунке 52 в учебнике на с. 71 графиком функцииy = 2x. Внимание школьников привлекается к доста-точно очевидному факту наличия на кривой точекс иррациональными абсциссами.

После введения понятия степени с иррациональ-ным показателем учитель на доске строит графикфункции y = 2x по нескольким точкам (при x = –1, 0,1, 2, 3) и предлагает школьникам повторить такое

2153940o2.fm Page 102 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

103

же построение в своих тетрадях. Затем можно задатьвопрос о поведении графика функции справа и слеваот построенной его части. Полезно рассмотреть гра-фик функции y = 2x, выполненный в компьютернойпрограмме с помощью мультимедийного проектора,с изменением его масштаба.

После короткого обсуждения можно предложитьшкольникам самостоятельно выполнить задания из№ 138. Ответы ученики записывают в тетрадь. Мож-но организовать работу и по вариантам. Например,первый вариант работает с графиком, а второй — за-писывает результат, затем роли меняются. Выпол-няется № 139 (2).

Следующее задание — построить график функ-ции y = 0,5x. Если ученики предложат повторить тотже путь, которым был получен график функцииy = 2x, учитель может записать на доске равенство с

вопросительным знаком = 2?. После замены во-

просительного знака на –x задается наводящий воп-рос о взаимном расположении графиков функцийy = 2–x и y = 2x. Построить график функции y = 2–x

ученикам предлагается в той же системе координат,что и график y = 2x, но другим цветом.

Затем следует предложить ученикам первого ва-рианта по графику функции y = 2x, а ученикам вто-рого — по графику функции y = 2–x самостоятельноответить на следующие в о п р о с ы.

1. Какова область определения и множество зна-чений функции?

2. Является ли функция непрерывной?3. Является функция возрастающей или убываю-

щей?4. Имеет ли график горизонтальную асимптоту?После завершения этой короткой самостоятель-

ной работы ученикам предлагается выяснить, какиеответы у них совпали, а какие — отличаются.

Затем внимание школьников привлекается к ри-сунку 53 учебника (с. 71), на котором изображеныграфики показательных функций с разными основа-ниями, большими 1. Ученики должны, во-первых,

12---

? ?? ?

x

2153940o2.fm Page 103 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

104

заметить, что все эти функции обладают такими жесвойствами, как и функция y = 2x. Во-вторых, полез-но, чтобы, сравнивая, например, значения функцийпри x = 1, ученики сделали вывод о взаимном распо-ложении точек графиков в зависимости от a (нижеили выше) при положительных и отрицательныхзначениях x.

После этого ученикам можно предложить поду-мать и сказать, какими свойствами обладают пока-зательные функции при 0 < a < 1. При ответе онидолжны представить себе симметричные относи-тельно оси ординат графики.

После установления факта совпадения основныхсвойств со свойствами графика y = 0,5x класс пере-ходит к № 142. Большинство заданий этого номеравыполняется устно. Ответ ученик должен начать сустановления факта возрастания или убывания со-ответствующей показательной функции, затем срав-нить показатели, и, наконец, сделать окончатель-ный вывод. Начиная с № 142 (5) для сравнения пока-зателей придется их возводить в степень, чтобы из-бавиться от радикалов. Здесь полезно использоватьнекоторые записи в тетрадях, а затем воспроизво-дить их на доске.

В завершение урока ученикам предлагаются воп-росы.

1. Как вы думаете, почему функцию вида y = ax

называют показательной?2. Что происходит с графиком функции y = ax

с увеличением числа а?3. Может ли а принять значение 0? Может ли а

принять значение 1?4. Каково множество значений функции:а) у = 2x – 3; в) у = –2 x;

б) у = + 2; г) у = – 1?

5. Какое из чисел больше:

a) и 1; в) и 1;

б) и 1; г) и 1?

12---

? ?? ?

x–

12---

? ?? ?

x

2,1 2 0,2– 3

3–0,2 1π---

? ?? ?

2

2153940o2.fm Page 104 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

105

6. Какие функции является возрастающими,а какие — убывающими:

а) y = πx; в) y = (π – 3)x;

б) y = ; г) y = (π – 1)x?

Домашнее задание. п. 9, № 139 (1, 4), 140 (2, 5, 6).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников решать показательные уравнения.

Комментарии. Урок следует начать с проверкидомашнего задания, так как в учебнике не приведе-ны ответы к № 139, 140.

У с т н а я р а б о т а1. Зрительно представляя график функции, пере-

числите свойства функции:а) y = 0,4x; б) y = 2,7x.2. В какой точке данные графики пересекаются?

Устная работа продолжается выполнением№ 141, 147. По сути дела это такое же задание, как в№ 139 из домашней работы, только координаты точ-ки надо получить из соответствующего графика. Ко-нечно, самое простое — взять точку с абсциссой 1.После выполнения заданий № 147 следует сформу-лировать вывод о том, что из равенства степеней содинаковыми ненулевыми показателями следуетравенство их оснований, поскольку монотонныефункции изменяют значения при изменении значе-ний аргументов.

Затем обсуждается план решения № 143. Здесьвсе задания сводятся к равенству степеней с равны-ми основаниями, отличными от 1. Еще не приступаяк решению конкретных уравнений, следует сфор-мулировать вывод о том, что из равенства степенейс одинаковыми, отличными от 1, основаниями сле-дует равенство их показателей. Достаточно ре-шить задания № 143 (1, 3, 5, 7), после чего пого-ворить о свойствах степеней с действительнымипоказателями. Полезно предложить школьникамвспомнить все известные им свойства степеней:

π

3---

? ?? ?

x

2153940o2.fm Page 105 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

106

1) axay = ax+y; 3) = ; 5) (ax)y = axy.

2) axbx = (ab)x; 4) = ax–y;

С опорой на эти свойства школьникам предлага-ется составить план решения уравнений № 151, в ко-торых преобразуются обе части равенств. Достаточ-но, чтобы ученики приводили уравнение к равенствустепеней с одинаковыми основаниями и называлиравенство показателей. Так и нужно сформулиро-вать задание самостоятельной работы № 151 (2, 7,8), предлагаемой ученикам после предварительногообсуждения заданий номера: «Привести к равнымоснованиям и записать равенство показателей».

Затем обсуждается решение № 149 (2) и выполня-ется № 150 (решение которого находится в разделе«Решения»).

В завершение урока школьники самостоятельнорешают уравнение в № 148 (2), перед письменнымвыполнением которого им предлагается увидетьфрагменты формул сокращенного умножения.

Домашнее задание. п. 9, до примера 1, № 148 (1),149 (1), 151 (1, 3, 5).

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников решать показательные уравнения.

Комментарии. После проверки домашнего зада-ния школьники сравнивают уравнения № 143, 151,152, 153 и говорят, какие уравнения, на их взгляд,наиболее простые. После чего вводится термин про-стейшее показательное уравнение вида ax = b. Всеуравнения в № 143 простейшие и приводятся к видуax = ab. Большинство уравнений № 151 приводятся ктакому же виду, только вместо x может оказатьсянекоторое выражение с x. Возникает предположе-ние, что при решении показательных уравнений ихследует привести к простейшему виду. Как выпол-нить такое преобразование уравнения, например в№ 152 (1)? Если ученики затрудняются с предложе-нием плана решения, учитель на доске записываетуравнение 7x•72 – 14•7x = 5. Теперь часть школьни-

ax

bx------ a

b---

? ?? ?

x

ax

ay------

2153940o2.fm Page 106 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

107

ков, наверняка, сообразят, что нужно вынести 7x заскобки, после чего под диктовку учеников учительзаписывает решение на доске. Перед тем как предло-жить школьникам задания № 152 для самостоятель-ного решения, следует обсудить с ними, какое выра-жение удобнее выносить за скобки в каждом из урав-нений. Особенно важно это в заданиях 5 и 6, гдерациональнее выносить степень с наибольшим, а нес наименьшим показателем.

Для самостоятельного решения можно предло-жить также № 152 (2, 4). После каждого уравненияего решение обсуждается (удобно вызывать школь-ников решать уравнения на крыльях доски). Междузаданиями 2 и 4 можно фронтально рассмотреть за-дание 5.

Затем обсуждается план выполнения каждого за-дания № 153, в котором уравнения с помощью под-становок сводятся к квадратным. Вместе с классомучитель разбирает № 153 (2), затем класс самостоя-тельно выполняет № 153 (3). И, наконец, фронталь-но обсуждаются, а затем самостоятельно решаютсяболее трудные уравнения № 153 (4, 6).

В конце урока полезно вместе с учениками запол-нить таблицу встретившихся типов уравнений.

Вид уравнения Метод решения Образецвыполнения

2x = 4 Привести к одина-ковым основаниям и приравнять показатели

2x = 22, x = 2

7x+2 – 14•7x = 5 Вынести степень с неизвестным в по-казателе за скобки

7x(72 – 14) = 5, 7x•35 = 5,7x = 7–1, x = –1

9x – 8•3x = 9 Сделать замену переменных t = 3x

и решить относи-тельно t квадратное уравнение

t2 – 8t – 9 = 0, t = 9 или t = –1, 3x = 9, 3x = 32, x = 2

... ... ...

2153940o2.fm Page 107 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

108

Комментируя последнюю заполненную строкутаблицы, следует заметить, что явно вводить новуюпеременную необязательно, так как уравнение32x – 8•3x – 9 = 0 и без того можно рассматривать какквадратное относительно 3x (в большинстве случаевименно так и решаются уравнения в разделе «Реше-ния» учебника). Последняя строка таблицы осталасьпустой, что намекает продолжение знакомства с ос-новными типами уравнений на следующем уроке.

Домашнее задание. п. 9, № 152 (3, 6), 153 (1, 5),разобрать пример 2 и выполнить № 154 (2), дляжелающих № 158.

Цель четвертого урока: формирование уменияшкольников решать показательные уравнения, не-равенства и системы.

Комментарии. Дома ученики должны были само-стоятельно разобрать решение систем уравнений.После проверки решения № 154 (2) следует предло-жить школьникам увидеть фрагмент формулы со-кращенного умножения в № 154 (3) и записать сис-тему, которая получится после применения форму-лы и замены одной из скобок данным числом.

Сведение № 154 (4) к квадратному уравнению по-казывает учитель, который делает акцент на возрас-тании суммы возрастающих функций (в учебникеприведено решение).

Затем ученикам предлагается подумать, как ис-пользовать возрастание и убывание функций при ре-шении уравнения 5x = 6 – x в № 145 (4). Посколькулевая часть уравнения задает возрастающую функ-цию, а правая — убывающую, то уравнение не мо-жет иметь более одного корня. Значит, найденныйподбором корень x = 1 является единственным кор-нем данного уравнения. Полезно проиллюстриро-вать решение, изобразив графики соответствующихфункций.

Теперь можно заполнить пустую строку таблицытипов уравнений.

5x = 6 – x Подобрать корень и обосновать его единственность

x = 1

2153940o2.fm Page 108 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

109

Свойства возрастания и убывания показательныхфункций применяются при решении показательныхнеравенств. Полезно выяснить, как школьники по-нимают термин показательное неравенство. [Нера-венство, в котором переменные находятся тольков показателях степеней.]

Ученики анализируют неравенства в № 155 (1, 2).В первом они достаточно легко подбирают значениеx, при котором достигается равенство частей, а вовтором, чтобы убедиться в отсутствии решений, импридется сделать в тетрадях эскизы графиков.

Класс устно решает показательные неравенства№ 156 (1, 2), а учитель на доске делает необходимыезаписи.

Р е ш е н и я. № 156 (1). > 16, > .

Поскольку показательная функция с основанием

убывает, имеем x < –4. Ответ: x < –4.

№ 156 (2). < 27. Неравенства с положитель-ными частями можно возводить в квадрат:0 < 3x < 36. Поскольку показательная функция с ос-нованием 3 возрастает, получим x < 6. Ответ: x < 6.

Затем школьники самостоятельно решают иоформляют № 156 (4), при проверке которого внима-ние обращается на сравнение основания показатель-ной функции с 1.

№ 156 (4). ( – 3)x � 1, ( – 3)x � ( – 3)0.

Поскольку – 3 < – 3 < – 3, т. е. 0 < –– 3 < 1, показательная функция с основанием

– 3 убывает, следовательно, x � 0. Ответ: x � 0.№ 156 (7). Можно рассмотреть графики левой и

правой частей неравенства. Легко подбирается абс-цисса их точки пересечения x = 2. Слева от нее при

x < 2 имеем: 2x < 5 – , а справа при x > 2 получаем:

2x > 5 – . Значит, решением неравенства является

промежуток [2; + ∞). Ответ: [2; + ∞).

12---

? ?? ?

x 12---

? ?? ?

x 12---

? ?? ?

–4

12---

3x

15 15 15

9 15 16 15

15

x2---

x2---

2153940o2.fm Page 109 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

110

№ 156 (10). В задании и правая и левая части не-равенства задают возрастающие функции. Поэтому,хотя легко подобрать значение x = 2, при которомзначения частей равны, сделать вывод о единствен-ности точки пересечения графиков сразу не удается.Здесь трудно ожидать от школьников, что они дога-даются разделить неравенство на 5x, поэтому этотприем должен показать учитель.

Неравенства № 156 (5, 6), которые решаются ме-тодом интервалов, на уроке только обсуждаются,а выполняются в домашней работе.

Завершается урок решением показательного нера-венства № 157 (1), которое сводится к 9x – 28•3x + 27 �� 0. Ученики должны заметить, что в его левой час-ти стоит квадратный трехчлен относительно 3x, кор-ни которого равны 1 и 27. Значит, решение неравен-ства складывается из решений неравенств 3x� 30 и3x � 33. Поскольку показательная функция с основа-нием 3 возрастает, имеем x � 0 или x � 3. Для разно-образия ответ можно записать в виде объединениячисловых промежутков. Ответ: (–∞; 0] ∪ [3; + ∞).

Домашнее задание. п. 9, № 154 (1), 155 (3), 156 (3, 5,6, 8, 9), 157 (2), для желающих № 159. Подобратьнеравенства, достойные войти в таблицу типов не-равенств (по аналогии с таблицей типов уравне-ний).

10. Понятие логарифма (6 ч)Предметные результаты обучения: формулиро-

вать определение логарифма; записывать число ввиде логарифма с заданным основанием; решатьпростейшие логарифмические уравнения и неравен-ства; сравнивать значения логарифмических функ-ций; находить область определения логарифмиче-ской функции; строить график логарифмическойфункции, как функции обратной к показательной, втетради и с применением пакетов компьютерныхпрограмм; формулировать свойства логарифмиче-ской функции.

2153940o2.fm Page 110 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

111

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться таблицами, графиками, схемами для пред-ставления информации; сравнивать графики ифункции.

Цель первого урока: формирование понятия лога-рифма.

Комментарии. На уроке после короткого обсуж-дения выполненных дома заданий рассматриваютсяпредложения школьников по составлению таблицытипов показательных неравенств. После того как не-равенства, отобранные учениками, выписываютсяна доске, составляется таблица.

Неравенство Метод решения Образец

> 16Привести к одному основанию и воспользоваться монотонностью функции

> ,

х < –4, так как по-казательная функ-ция с основанием 0,5 убывает

> 0Применить метод интервалов

9x – 2•3x –– 3 < 0

Решить как квад-ратное неравенство относительно 3x

–1 < 3x < 3, 3x < 31, x < 1, так как по-казательная функ-ция с основанием 3 возрастает

2x � 3 – x Подобрать корень и воспользоваться монотонностью для доказательства его единственности

1 — корень. Он единственный, так как у = 2x воз-растает, а у = 3 – х убывает

3x + 4x < 5x Делением на 5x получить в левой части монотонную функцию, а в пра-вой — число. Подоб-рать уравнивающее части значение и записать ответ

Правая часть убывает, значит, х > 2,

+ < 1

1

2---

? ?

? ?x 1

2---

? ?

? ?x 1

2---

? ?

? ?–4

2x – 0,53 + x

------------------------

3

5---

? ?

? ?x 4

5---

? ?

? ?x

2153940o2.fm Page 111 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

112

После составления таблицы ученикам дается не-которое время, чтобы переписать ее в тетради.

Самостоятельная работа

(Можно записывать в тетради только ответы.)1. Решите неравенство:

a) 7x > 1; в) > 0;

б) (0,6)x � 1; г) � 0.

2. Решите уравнение:

а) 2x = 64; в) 5x = ; д) 7x = –12.

б) = 27; г) 4x = 0;

После проверки ученикам предлагается ответитьна вопрос, какое из заданий показалось им наиболеетрудным. Наиболее вероятный ответ: 2 (в), так как внем нужно было приводить дробь к степени числа 5.Затем школьникам предлагается высказать мнениео сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравне-ния 2x = 3. На первый взгляд кажется, что это урав-нение проще, однако представить 3 в виде степеничисла 2 школьникам не удается.

Дальше изучение нового материала проводится всоответствии с учебником. В зависимости от уровнякласса рассматривается или не рассматривается до-полнительный материал о невозможности представ-

ления числа 3 в виде 2r, где r = .

После этого диалог с классом можно строить при-мерно так:

— Как вы думаете, имеет ли уравнение 2x = 3 ко-рень? Ответ обоснуйте. [Если построить графикфункции y = 2x и провести прямую у = 3, то они пере-секутся в одной точке, значит, уравнение имеет одинкорень.]

2( )x

27---

? ?? ?

x

53

125----------

13---

? ?? ?

x

mn-----

2153940o2.fm Page 112 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

113

— Что можно сказать о решении уравненияax = b, где a > 0 и a ≠ 1? При всех ли значениях b оноимеет корни?

Затем вводится определение логарифма числа bпо основанию а и записывается основное логарифми-

ческое тождество = b. При этом выписываниеравенства происходит синхронно с повторным чте-нием определения теперь уже в обратном, по сравне-нию с учебником, порядке.

Теперь можно записать корень уравнения 2x = 3:x = log2 3 и предложить школьникам с е р и юс а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т из № 160—162, на-пример:

С1: № 160 (1, а), 161 (1, а—е); С2: № 161 (1, ж—и),162 (1, 2).

Между работами устно выполняются задания из№ 160 (1).

Завершается урок фронтальной работой с клас-сом.

У с т н а я р а б о т а1. Упростите выражение:

a) ; в) ;

б) ; г) .2. Решите уравнение:

а) 3x = 7; в) 5x = 25;б) 3x = 2; г) (0,1)x = 100.

Говорим Пишем

Логарифмом числа b по основанию а называется

Показатель степени, в которую нужно возвести число а

Чтобы получить число b = b

alogab

loga b

aloga b

aloga b

2log2 3 5log

5 2

1,3log1,37 31 + log3 2

2153940o2.fm Page 113 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

114

Домашнее задание. п. 10 до равенства = b(с. 80), № 161 (2), 162 (3, 4).

Цель второго урока: изучение свойств логариф-мической функции и применение их для выполне-ния заданий.

Комментарии. На уроке при проверке домашне-го задания следует обратить внимание на решение№ 162 (4). Применив определение логарифма, уче-

ники должны получить х–2 = , = ,

x2 = . Последнее уравнение имеет два корня:

и – . Однако отрицательный корень не удов-

летворяет исходному уравнению, поскольку основа-ние логарифма должно быть положительным чис-лом. Отсюда следует вывод о необходимости провер-ки корней.

Можно предложить школьникам проанализиро-вать, какие изменения в решении повлечет за собойзамена x в основании логарифма на –x. Некоторыеученики ошибочно воспринимают –x как выраже-ние, принимающее исключительно отрицательныезначения. Поскольку (–x)2 = x2, изменения в реше-нии коснутся только этапа отбора корня, которым

на этот раз будет .

После обсуждения результатов домашней рабо-ты можно предложить школьникам поработатьустно.

У с т н а я р а б о т а1. Упростите выражение:

a) ; в) ;

б) ; г) .

aloga b

493 1x2------ 723

1

73( )2

----------------

1

73-------- 1

73--------

1

73--------

πlog

π 2

21 –log2 2

3log

3 5

blogb c

2153940o2.fm Page 114 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

115

2. Проверьте, верны ли равенства:

a) log2 = ; г) 0,2 = –2;

б) log3 = –2; д) lоg3 (–3) = –1;

в) lоg1,7 1 = 0; е) log7 0 = 0.3. Решите уравнение:

а) log2 4 = x; в) logx 32 = 5;б) log2 x = 1; г) 2x = 5.

4. 1) Решите уравнение: а) log3 y = 2; б) log0,5 y = –2.2) Как изменится корень уравнения, если сделать

замену переменной по одной из формул: у = х + 2,у = х – 2?

Затем на доске записывается равенство y = loga xи ученикам предлагается задать соотношение междуx и y в показательной форме. Получив ответ x = ay,учитель обращает внимание школьников на то, чтоэто равенство задает показательную функцию x, ар-гументом которой является y. Следующий вопрос отом, как получить график этой функции из знакомо-го школьникам графика функции y = ax. Ученикидолжны вспомнить, что переход от графика функ-ции y = f(x) к графику функции x = f(y), о которомговорилось в связи с графиком корня, осуществляет-ся с помощью симметрии относительно прямойy = x. Затем учитель предлагает школьникам от-крыть учебники на с. 81 и комментирует изображен-ные там рисунки 58. Следует обратить внимание намонотонность функции x = ay, из которой вытекает,что каждому значению y соответствует свое единст-венное значение x. Это значит, что равенство x = ay

задает не только x как функцию y, но и y как функ-цию x. Выражая y из этого равенства, получимy = loga x — логарифмическую функцию.

Следующая часть урока посвящена установлениюпо графикам свойств логарифмической функции взависимости от ее основания. Работа строится фрон-тально.

2 12--- log

5

19---

2153940o2.fm Page 115 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

116

Затем школьники выполняют и с с л е д о в а-т е л ь с к у ю р а б о т у в № 166 (1). Следует обра-тить их внимание на выбор точек, через которыепроводятся соответствующие кривые. Как правило,это точки с абсциссами –1, 0 и 1.

После обсуждения № 166 (1), выполняется № 173(1, 2, а). Следует подчеркнуть, что и при схематиче-ском изображении графиков фиксируются харак-терные точки. После обсуждения ученикам предла-гается домашнее задание. Если останется времяможно выполнить № 161 (3).

Домашнее задание. п. 10 до примера 1, № 161 (4),166 (2).

Цель третьего урока: формирование умения ре-шать логарифмические уравнения.

Комментарии. На уроке сначала проверяется№ 166. Полезно еще раз остановиться на построенииграфика логарифмической функции через точки сординатами –1, 0 и 1. Затем при обсуждении № 167на доске изображаются графики функций y = loga xи y = logb x (разными мелками) слева для случая а),а справа для случая б) (рис. 15).

По полученным рисункам школьникам предлага-ется выполнить № 167 (3).

Правило, которое должны сформулироватьшкольники, имеет довольно сложную структуру,поэтому для четырех его случаев полезно составитьтаблицу.

y

x1

1

0 a

y

x

1

b0 a 1b

Рис. 15а) б)

2153940o2.fm Page 116 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

117

Таблица изображается на доске, два ее левыхстолбца заполняются учителем, а правый столбецзаполняется с помощью учащихся по результатамвыполненного ими задания. Затем ученики копиру-ют таблицу в свои тетради.

С опорой на таблицу фронтально повторно выпол-няется № 166.

Затем рассматривается пример 1 из материалапункта и ученикам предлагается устно решить№ 170, подобрав корень и обосновав его единствен-ность.

В слабом классе полезно выполнить № 163 (3, 5),164, 168 (2, 4, 6).

В сильном классе завершается урок фронтальнымрешением № 171 (1). После перехода к показатель-ному уравнению 4x – 2x – a = 0 вводится новая пере-менная z = 2x и ищутся значения a, при которыхуравнение z2 – z – a = 0 имеет единственный положи-тельный корень. Полезно рассмотреть схематиче-ские графики квадратного трехчлена f(z) = z2 – z – a.Поскольку абсцисса вершины параболы положитель-на z0 > 0, а ветви ее направлены вверх, должно бытьили 1) D = 0, или 2) f(0) � 0. Получим: 1) 1 + 4a = 0,a = –0,25; 2) –a � 0, a � 0. Ответ: a = –0,25, a � 0.

Домашнее задание. п. 10, пример 1, № 163 (4) 168(1, 3, 5), для желающих 171 (2).

Цель четвертого урока: формирование уменийшкольников решать логарифмические уравнения.

Комментарии. Начать урок можно с проверки до-машнего задания и устного выполнения № 163 (1, 2).

Случай Вывод

a > b > 1 0 < x < 1 logax > logbx

x > 1 logax < logbx

0 < b < a < 1 0 < x < 1 logax < logbx

x > 1 logax > logbx

2153940o2.fm Page 117 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

118

Затем можно предложить школьникам проанализи-ровать уравнения в № 169. Ученики должны соот-нести уравнения данного номера с уравнениями, во-шедшими в таблицу видов показательных уравне-ний. В процессе обсуждения уравнений учительможет фиксировать на доске некоторые важныемоменты.

Уравнения № 169 (2, 4, 5) сводятся к квадратнымс помощью умножения на степень, причем в послед-них двух ученики встречаются со степенями, осно-вания которых взаимно обратны. Так, например,умножая уравнение 5 на (0,1)x, получим:

2•(0,1)2x + 10 – 21•(0,1)x.

Новый для школьников тип уравнений пред-ставляет № 169 (3). Это так называемое однородноепо-казательное уравнение. Представив 6x + 1, как6•2x•3x, получаем уравнение (2x)2 – 6•2x•3x + 5(3x)2 == 0, левая часть которого является однородным мно-гочленом второй степени (многочлен, все члены ко-торого имеют вторую степень) относительно 2x и 3x.Учителю, вероятно, придется показать, что такоеуравнение сводится к квадратному делением наквадрат одной из переменных. В данном случае, всвязи с положительностью значений 3x, это не мо-жет привести к потере корней.

– 6 + 5 = 0, = 2 или = 3,

x = или x = .

После обсуждения это уравнение заносится уче-никами в таблицу.

4x – 6•2x•3x ++ 5•9x = 0

Однородное показа-тельное уравнение второй степени деле-нием на 9x сводится к квадратному

– 6 +

+ 5 = 0

23---

? ?? ?

2x 23---

? ?? ?

x 23---

? ?? ?

x 23---

? ?? ?

x

log 23---

2 log 23---

3

2

3---

? ?

? ?2x 2

3---

? ?

? ?x

2153940o2.fm Page 118 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

119

В № 169 (8) степень с основанием следует при-

вести к основанию и только потом выносить мно-

житель за скобки. На доске можно записать:

= • = •27.

Можно предложить школьникам двухвариант-ную самостоятельную работу, оценки за которуювыставить в журнал.

Самостоятельная работа

Вариант 1Решить уравнение:1) 32x + 3 – 9x + 1 – 9x = 38.

2) 5•3x – + 3 = 0.

Вариант 2Решить уравнение:1) 52x + 1 + 25x + 1 – 25x = 58.

2) 3•2x + – 10 = 0.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1) log9 2. 2) log3 .

Вариант 2. 1) log25 2. 2) 0, log2 .

Можно пригласить двоих школьников для выпол-нения заданий самостоятельной работы за крылья-ми доски для ускорения проверки.

После завершения работы ученики сдают листоч-ки со своими ответами и фронтально обсуждают ре-шения, подготовленные на доске их товарищами.

Домашнее задание. п. 10, № 169 (1, 6, 7), 173 (б).

13---

19---

19---

? ?? ?

x

13---

? ?? ?

2x – 3 13---

? ?? ?

2x 13---

? ?? ?

–3 19---

? ?? ?

x

23x------

72x------

23---

73---

2153940o2.fm Page 119 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

120

Цель пятого урока: формировать умение приме-нять свойства логарифмической функции для реше-ния неравенств.

Комментарии. На уроке, рассматривая результа-ты выполнения школьниками домашнего задания,следует обратить внимание на построение графика

функции g(x) = – 2 в № 173 (б), который по-

лучается с помощью преобразований графика функ-

ции y = : → – 2 → – 2 (рис. 16).И, конечно, еще раз нужно сказать о трех точках, че-рез которые проводится график логарифмическойфункции.

У с т н а я р а б о т а1. Сравните:

а) log23 и log24; г) и 0;

б) и ; д) lоg50,1 и lоg60,1;

в) log2 и 0; е) и lоg26.

2. Какие из функций:

y = log0,9 x, y = , y = x3,

y = (0,3)x, y = , y =

являются возрастающими, а какие — убывающи-ми?

3. Найдите область определения функции:а) y = log2 (x – 1); б) y = logx x + 2.

y

x

1

0 1 2 3–1

–2

Рис. 16

x – 2

x x x x – 2

log 12---

5

log 12---

5 log 13---

5

17--- log 1

2---

1

2( )x

x log3x

2153940o2.fm Page 120 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

121

Затем школьники анализируют выражения в№ 168 (7, 8). Для каждого выражения необходимоуказать условия, выполнение которых требуетсядля наличия смысла у выражения. Школьникидолжны понять, что речь идет об одновременном вы-полнении условий, т. е. об их системе. После фрон-тального обсуждения ученики письменно самостоя-тельно выполняют № 168 (8):

Полезно записать ответ с помощью числовых про-межутков.

Ответ: (–∞; 1) ∪ (1; 1,5).

После проверки результата самостоятельной ра-боты для устного решения предлагаются неравенст-ва log2 x < 3 и < 3. Обсуждая их, следует отме-

тить, что школьники умеют сравнивать логарифмыс одинаковыми основаниями. Возникает идея пред-ставить правые части неравенств в виде логарифмови воспользоваться монотонностью соответствующейлогарифмической функции.

1) log2 x < 3, log2 x < log2 x < 8. Поскольку лога-рифмическая функция с основанием 2 возрастает,с учетом ее области определения имеем: 0 < x < 8.

2) < 3, < . Поскольку лога-

рифмическая функция с основанием убывает,

имеем: x > .

Полезно спросить у школьников, почему во вто-ром случае не говорят о том, что подлогарифменноечисло должно быть положительным.

В классе полезно решить № 165.

3 – 2x > 0,3 – 2x ≠ 1,7 – 3x > 0,

x < 1,5,x ≠ 1, х < 1 или 1< х < 1,5.

x < ,73---

log 12---

x

log 12---

x log 12---

x log 12---

18---

12---

18---

2153940o2.fm Page 121 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

122

Домашнее задание. п. 10, пример 2, № 172 (3, 4),174 (2, 5).

Цель шестого урока: формирование уменияшкольников решать логарифмические неравенства.

Комментарии. В начале урока можно предло-жить школьникам двухвариантный тест по таблице,которая заранее заготовлена на доске.

Тест

В а р и а н т 1Укажите область определения выражений.

1. log2(7 – x):А. x > 7; Г. x � 7;Б. 0 < x < 7; Д. x � 7.В. x < 7;

2. log4 :

А. x < –2, x > 5; Г. –2 < x < 5;Б. x > –5, x < –2; Д.) –4 < x < 4.В. –1 < x < 6;

3. log6(x2 – 4x + 4):А. –2 < x < 2; Г. x ≠ 3;Б. x ≠ 2; Д. (–∞; +∞).В. x > 3;

В а р и а н т 2Найдите область определения выражений.

1. log3(x – 7):А. x > 7; Г. x � 7;Б. 0 < x < 7; Д. x � 7.В. x < 7;

2. log5 :

А. x < –2, x > 5; Г. –2 < x < 5;Б. x > –5, x < –2; Д. –4 < x < 4.В. –1 < x < 6;

3. log7(x2 – 6x + 9):А. –2 < x < 2; Г. x ≠ 3; Б. x ≠ 2; Д. (–∞; +∞).В. x > 3;

5 – x2x + 4-------------------

x + 16 – x---------------

2153940o2.fm Page 122 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

123

Ответы к тестуВариант 1. 1. В. 2. Г. 3. Б.Вариант 2. 1. А. 2. В. 3. Г.

Затем обсуждается домашнее задание. Вниманиешкольников еще раз привлекается к тому факту, чтобольшую часть решений заданий они могли прове-рить сами с помощью помещенных в учебнике ре-шений.

На данном уроке продолжается решение нера-венств. Сначала полезно предложить школьникамвыполнить самостоятельно № 172 (3), при проверкекоторого еще раз обратить внимание на то, что методинтервалов здесь применяется на части координат-ной прямой. При этом сначала можно не обращатьвнимания на ограничения, а учесть их только призаписи ответа.

После проверки этих заданий рассматриваетсяпример 2 из объяснительного текста пункта. Следу-ет подвести школьников к осознанию необходи-мости рассмотрения двух случаев: 0 < x + 2 < 1 иx + 2 > 1. Можно также отказаться от предваритель-ного нахождения ОДЗ. Тогда решение неравенствабудет состоять из рассмотрения упомянутых двухслучаев.

1) При 0 < x + 2 < 1 имеем:

Ответ: нет решений.2) При x + 2 > 1 имеем:

Ответ: –1 < x < 1,5.

–2 < x < –1,

logx + 2 (5 – x) > logx + 2 (x + 2),

–2 < x < –1,5 – x > 0,5 – x < x + 2,

–2 < x < –1,x < 5,2x > 3.

x > –1,

logx + 2 (5 – x) > logx + 2 (x + 2),

x > –1,x + 2 > 0,5 – x > x + 2,

x > –1,x > –2, – 1 < x < 1,5.2x < 3,

2153940o2.fm Page 123 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

124

После записи решения на доске школьники могутзаписать его в своих тетрадях и решить по образцу№ 172 (2). Затем разобрать № 174 (1), 175 (2).

Домашнее задание. п. 10, № 172 (1, 4), 174 (2),175 (1), для желающих № 174 (5).

11. Свойства логарифмов (6 ч)Предметные результаты обучения: формулиро-

вать свойства логарифмов; применять логарифми-ческие тождества, включая формулу перехода от од-ного основания логарифма к другому при преобра-зованиях логарифмических выражений, решениилогарифмических уравнений и неравенств; пользо-ваться логарифмическими таблицами и микрокаль-кулятором для вычисления значений логарифми-ческой функции; решать показательные и логариф-мические уравнения и неравенства с неизвестнымикак в основании, так и под знаком логарифма.

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться инженерным калькулятором в компьютер-ном пакете «Windows» для вычисления значенийфункции; переводить информацию из одного вида вдругой; пользоваться таблицами, графиками, схема-ми для представления информации.

Цель первого урока: формирование умений фор-мулировать, записывать и применять свойства лога-рифмов.

Комментарии. Урок можно начать с обсуждениядомашнего задания, а затем предложить школьни-кам поработать устно.

У с т н а я р а б о т а1. Вычислите:

a) ; г) 1; ж) .

б) ; д) 9;

в) 3; е) ;

log 13---

1

3--- log 1

3---

log 13---

3

9-------

log 13---

1

9--- log 1

3---

log 13---

log 13---

3

2153940o2.fm Page 124 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

125

2. Назовите область определения функции:

а) у = log3x; в) у = log3|x|;б) y = log3(x – 1); г) y = lоg3(–x).

3. Определите характер монотонности функции:

а) у = log3x; в) у = –log5x;

б) у = x; г) у = 2 – log0,3 .

Затем учитель переходит к рассмотрению новогоматериала. Как и в учебнике, обращается вниманиена возможность вывода из известных свойств степе-ней формул, связывающих показатели степеней. Этамысль иллюстрируется выводом формулы логариф-ма произведения из свойства перемножения степе-ней с одинаковыми основаниями. Формула заносит-ся в левую часть таблицы, а в правой части таблицызаписывается краткая формулировка соответствую-щего правила. Затем ученикам предлагается вспом-нить, что происходит с показателями степеней приделении степеней с одинаковыми основаниями.В таблицу записывается формула логарифма частно-го и краткая формулировка свойства. Аналогичныйвопрос о том, что происходит с показателем степенипри возведении в степень приводит к формуле лога-рифма степени, которая также заносится в таблицу.

Свойства Краткаяформулировка свойства

loga(bc) = loga|b| + loga|c| Логарифм произведения равен сумме логарифмов

loga = loga|b| – loga|c|Логарифм частного равен разности логарифмов

logabp = ploga|b| Логарифм степени равен про-изведению показателя степени на логарифм основания этой степени

log 13---

5 – 3x

bc---

2153940o2.fm Page 125 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

126

Следует сказать о том, что можно несколько рас-ширить сферу применения этих формул. Так как вслучае, когда и a, и b отрицательны, в правых час-тях формул логарифмов произведения и частногонужно будет поставить модули. Легко убедиться (пе-ребором случаев), что и в таком виде формулы оста-ются тождествами, т. е. верны при всех допустимыхзначениях входящих в них переменных. Аналогич-ное замечание относится и к третьей формуле, в ко-торой знак модуля позволяет учесть возможность от-рицательного основания в четной степени. Модулизаносятся в таблицу, и ученикам предлагается ско-пировать ее в тетради.

Затем учитель показывает, как можно использо-вать последнюю формулу для перехода от логарифмас одним основанием к логарифмам с другими основа-ниями. Полученная формула записывается в другуютаблицу.

Школьникам предлагается использовать эту фор-мулу для перехода от к логарифмам с основа-

нием 2:

= = = .

После чего те же преобразования выполняютсядля , и полученная формула заносится в таб-

лицу.

Для следующего этапа урока полезно иметь вклассе сводную таблицу формул.

logab = Переход к другому основа-нию логарифма

= logab Вынесение показателя степени основания

logc blogc a----------------

log254

log254log24

log225------------------

log24

5--------------- 2

5---

logapb

logapb1p---

2153940o2.fm Page 126 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

127

Таблицу можно изготовить с помощью школьни-ков, если же таблицы в классе нет, придется записатьее на доске или использовать интерактивную доску.

Ученикам предлагается проанализировать зада-ния № 177 (1—5) на предмет возможности использо-вания формул логарифмов. В этом им могут помочьследующие вопросы и задания: Одинаковые ли осно-вания логарифмов в задании? С какой частью табли-цы будете работать? Какую формулу из таблицыпримените? Что в результате получите? Запишитевычисление.

Ученик должен прочитать краткую формулиров-ку соответствующей формулы, назвать получившее-ся выражение и, если сможет, сказать, чему равноего значение.

Затем фронтально выполняются задания из№ 178 (1, 2), а задания № 178 (3, 4) предлагаютсяшкольникам для самостоятельной работы.

Р е ш е н и я.

№ 178 (3). = = 3• log6 2 =

= –3• log6 2 = 7,5a.

№ 178 (4). 0,125 = 2–3 = –3• log6 2 =

= –4a.Задания № 178 (5, 6) следует разобрать фронталь-

но. В них нужно применить формулу перехода:

log2 6 = = .

Логарифмы с одинаковыми основаниями

Логарифмы с разными основаниями

loga (bc) = loga |b| + loga |c|

loga = loga |b| – loga |c|

loga bp = ploga |b|

loga b =

= loga b

bc---

loga b

logc a-----------------

logap b1p---

log365 8 log

625--- 23 5

2---

52---

log2164 log

634---

43---

log66

log62--------------- 1

a---

2153940o2.fm Page 127 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

128

Это задание полезно обобщить и получить еще од-

ну формулу: loga b = . Этой формуле не следует

давать словесную формулировку, а вот в таблицуученики ее внести должны.

В задании № 178 (6) основание логарифма менятьне надо, от тройки следует перейти к двойке. Учени-кам предлагается подумать, какие еще логарифмы соснованием 6, кроме данного log6 2 = a, они знают.Вероятно, среди ответов будет назван log6 6. Учительзаписывает его на доске и предлагает получить изнего искомый

log6 3 = log6 = log6 6 – log6 2 = 1 – а.

В завершение урока рассматривается пример 1 изтекста пункта, вводится термин потенцирование.Ученикам предлагается выполнить самостоятельно№ 180 (2).

При подведении итогов урока следует сформули-ровать вывод о том, что логарифмы с разными осно-ваниями обычно приводят к одному основанию и за-тем используют свойства логарифмов с одним осно-ванием.

Домашнее задание. п. 11, пример 1, № 176 (1), 177(6, 7), 180 (1).

Цель второго урока: использование свойств лога-рифмов при решении уравнений.

Комментарии. На уроке используется таблица сформулами. В начале урока обсуждается домашнеезадание. Особое внимание обращается на № 180 (1).Можно предложить ученику воспроизвести решениена доске.

На следующем этапе урока можно провестиматематический диктант (некоторые выраженияучитель записывает на доске или использует проек-тор).

1logb a-----------------

62---

2153940o2.fm Page 128 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

129

Математический диктант

Ответы к математическому диктанту

Вариант 1. 1. а) 0; б) 0,2; в) 2. 2. х = 3. 3. logb .

Вариант 2. 1. а) 1; б) 10; в) 5. 2. х = 1. 3. logd c.

После сверки ответов разбираются № 182 (3, 6),затем примеры 1 и 2 из текста учебника. Нужно об-ратить внимание учеников на целесообразность пре-образования левой части, вместо многократного пе-реписывания уравнения. Следует подчеркнуть, чтобездумное использование формул может привести кпосторонним корням или даже к потере корней, по-этому, выполняя преобразование, полезно задумы-ваться над тем, какие случаи следует исключить илидополнительно рассмотреть. Так, в способе реше-ния, показанном в примечании 2 к примеру 2, послепреобразования по формулам без модулей был уте-рян случай, когда выражения x + 2 и x – 2 одновре-менно принимают отрицательные значения.

Вариант 1 Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

а) loga1;

б) ;

в) lоg6 12 + lоg6 3

а) loga a;

б) log3 ;

в)

2. Решите уравнение:

log0,2 x – log0,2 3 = 0 2log3 x = 0

3. Закончите запись формулы:

logb a – logb c = ...= ...

log353 1

3---

? ?

? ?–10

7log7 5

logb c

logb d-----------------

ac---

2153940o2.fm Page 129 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

130

Затем класс переходит к работе с заданиями№ 183 (1—5), в которых ученики сначала должныпопытаться проанализировать уравнения и по внеш-нему виду определить, какие преобразования при-дется проводить и к какому виду эти преобразованияприведут. Сначала следует обсудить все уравненияномера, а затем перейти к решению. Не все уравне-ния нужно доводить до ответа. Как только план ре-шения станет понятен классу, доведение до ответаможно перенести в домашнюю работу. Работа надномером выстраивается по следующей схеме. Снача-ла ученики в № 183 (1) замечают, что нужно привес-ти все логарифмы к одному основанию 2, затем в сво-их тетрадях записывают уравнение, которое приэтом получится, и после проверки переходят к урав-нению № 183 (3), в котором нужно обратить внима-ние на ОДЗ, поскольку сворачивание суммы лога-рифмов в логарифм произведения делает возмож-ным появление посторонних корней. Ученикидолжны понять, что либо они предварительно нахо-дят ОДЗ, либо должны проверить найденные корни,подставив их в исходное уравнение. При анализеуравнения № 183 (5) обращается внимание школь-ников на обозначение десятичного логарифма lg.

После обсуждения и частичного решения указан-ных уравнений полезно переключить вниманиешкольников на другой тип заданий, предложив им№ 179 (1).

Домашнее задание. п. 11, № 181 (1), 182 (3, 4),183 (6).

Цель третьего урока: закрепление уменияшкольников в решении логарифмических уравне-ний.

Комментарии. На уроке при обсуждении домаш-ней работы следует обратить внимание на № 183 (6).Затем продолжается решение логарифмическихуравнений в № 183 (7—10). Схема работы с уравне-ниями этого номера уже описана в комментарияхк предыдущему уроку.

2153940o2.fm Page 130 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

131

После работы с № 183 внимание школьников пе-реключается на выполнение № 181 (2). Затем учени-ки переходят к решению уравнений в № 184 (2, 4, 6).Схема работы аналогична рассмотренной в № 183.

Домашнее задание. п. 11, примеры 2 и 3, № 182 (5),183 (11), 184 (1, 3, 5).

Цель четвертого урока: закрепление уменийшкольников в решении логарифмических уравне-ний.

Комментарии. Урок можно провести как урок-практикум. После традиционного обсуждения до-машней работы предложить школьникам уравне-ния, заранее записав их на доске или используя про-ектор.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и яРешите уравнение:

1) 0,5logx + 1 = ;

2) (2 – log3 x)log3 0,4 = 2 – 5;3) log4log3log2 x = 0,5;

4) = 1;

5) log3 – 4x(1 – 3x – x2) = log3 – 4x (x2 + 2x – 2);

6) (3 – 4x) = (3 – 4x);

7) 1оg5 (7х – 10) = 2log5x;

8) logx + 20 (2x – ) = 0,5;

9) (x – 1) + x = log6 2 + log6 18;

10) + 2log2 x = 3;

11) log1,2 (x – 5) = log1,2 (x + 1).

Можно дополнить список и другими уравнениями.Ученик поднимает руку, выбирает уравнение из

списка и рассказывает план его решения. После это-го учитель может предложить ему или другому уче-нику решить данное уравнение на доске, на своем

125------- 2

3---

log32 log3

2

log4 2x2 – 4x + 1( )

log4 6x – 11( )-----------------------------------------------------

logx2 + 3x + 1 log4 – 2x – x2

x + 20

log 23---

log 23---

log22 x

12---

2153940o2.fm Page 131 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

132

месте или на первой парте. Все уравнения должныбыть задействованы. В ходе проверки решения по-лезно обсуждать следующие вопросы.

1. Какими свойствами логарифмов вы воспользо-вались в ходе решения?

2. Появились ли в ходе решения посторонние кор-ни? Объясните причину их появления.

3. Нужно ли делать проверку после нахождениякорней?

4. Какие условия нужно учитывать, решая лога-рифмическое уравнение, если неизвестное находит-ся: а) в основании логарифма; б) под знаком лога-рифма?

После завершения работы ученики класса задаютвыступающим вопросы и высказывают свои замеча-ния и предложения.

После этого обсуждается № 185. Доказательство

равенства = фиксируется на доске,а уравнение № 185 (2, б) решается школьникамисамостоятельно.

Затем рассматривается № 186 (1). В этом примереx может принимать только отрицательные зна-чения, так как –x > 0. Поэтому уравнение перепи-сывается в виде lg2 (–x) – 4lg (–4) + 4 = 0, откуда:lg (–x) – 2, –x = 100, x = –100.

При подведении итогов урока полезно сформули-ровать план решения логарифмического уравнения.

1. Привести к логарифмам с одним основанием.2. Применить определение логарифма или свойст-

ва логарифмов.3. Если нужно, сделать замену переменных и

свести уравнение к квадратному.4. Решить простейшее логарифмическое уравне-

ние.5. Найти ОДЗ уравнения или сделать проверку

найденных корней.

Домашнее задание. п. 11, № 184 (7, 8), 185 (1), 186(2).

alogb c clogb a

2153940o2.fm Page 132 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

133

Цель пятого урока: формирование умения ре-шать логарифмические неравенства с применениемсвойств логарифмов.

Комментарии. Первая часть урока выстраивает-ся в зависимости от вопросов, которые возникли ушкольников в процессе домашнего задания. Полез-но сначала составить список вопросов и только послеэтого организовать их обсуждение. При этом жела-тельно привлекать учащихся к ответам на вопросы.На эту работу должно уйти не более 10 минут.

Затем нужно вспомнить, как решаются простей-шие логарифмические неравенства. Для этого на до-ску выносятся следующие неравенства, которыешкольники решают устно со своих мест.

Решите неравенство:

После этого школьники анализируют неравенст-ва в № 187 (1, 2, 3). Рассматривая каждое неравенст-во, школьники делают вывод о том, каким свойст-вом логарифмов следует воспользоваться и какиедополнительные требования при этом нужно выдви-нуть по отношению к выражениям, входящим в не-равенство. Затем анализируют, нужно ли менятьзнак неравенства при потенцировании. Так, в нера-венстве № 187 (1), переходя в левой части к логариф-му частного, следует потребовать, чтобы выраже-ния, стоящие под знаками логарифмов, были поло-жительны. Полезно еще раз обратиться к свойствулогарифмов и подчеркнуть, что модули в соответст-вующих формулах при переходе от левых частей кправым не освобождают от требования положитель-ности, так как данные выражения, в отличие от фор-мулы, модулей не содержат. Таким образом, при пе-

1) log5 x > log5 2;2) lg0,25 x < log0,25 3;3) log2х < 4;4) log0,6 x < –1;5) lg x < 0;

6) lоg0,8 x < 0;7) log2 log3 x � 0;

8) log2 x � 0;

9) log0,5 (3x – 2) < –4.

log 13---

2153940o2.fm Page 133 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

134

реходе от логарифма частного к разности логариф-мов одновременная отрицательность выражений,стоящих под логарифмами, возможна и требует от-дельного рассмотрения, а при переходе от разностилогарифмов к логарифму частного — нет. После от-брасывания логарифмов знак неравенства сохраня-ется, так как логарифмическая функция с основани-ем π — возрастающая. При этом дополнительно тре-бовать, чтобы дробь под знаком логарифма в левойчасти была больше нуля, не нужно, так как это обес-печивается положительностью значений ее числите-ля и знаменателя. После анализа неравенства 1 уче-ники самостоятельно решают его в тетрадях. Нера-венства № 187 (2, 3) только анализируются.

Затем можно разобрать с классом решение № 187(4).

Поиск решения неравенства

log3 (3x – 1)• 3x – 2 – > – 3.

— С чего начнете решение неравенства? [С приве-дения логарифмов к одному основанию.]

— Давайте приведем неравенство к логарифмамс основанием 3.

– log3 (3x – 1)•log3 3x – 2 – > – 3.

— Какое свойство логарифмов примените?

= loga b.

— Как примените это свойство?

3x – 2 – = –log3 3x – 2 – .

— Как дальше предлагаете решать неравенство?[Умножим неравенство на –1, при этом знак нера-венства изменится на противоположный.]

log3 (3x – 1)•log3 3x – 2 – < 3.

log 13---

1

9---

1

9---

logap b 1p---

log3–11

9--- 1

9---

1

9---

2153940o2.fm Page 134 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

135

— Как преобразовать второй логарифм? Нужно

представить 3x – 2 = и вынести общий множитель

за скобку.

log3 (3x – 1)•log3 (3x – 1) < 3.

— Какое свойство примените для преобразованиявторого логарифма? [Логарифм произведения.]

log3 (3x – 1)• log3 + log3 (3x – 1) < 3,

log3 (3x – 1)•(log3 (3x – 1) – 2) < 3,

(3x – 1) –2log3 (3x – 1) – 3 < 0.

— Какое неравенство получилось? [Квадратноенеравенство относительно log3(3x – 1).]

Сделайте замену переменных: у = log3 (3x – 1) и ре-шите квадратное неравенство

y2 – 2y – 3 < 0, –1 < y < 3.

— Запишите логарифмическое неравенство отно-сительно x. Меняются ли знаки неравенства при пере-ходе от логарифмов к аргументам?

–1 < log3 (3x – 1) < 3, < 3x – 1 < 27.

— Решите показательное неравенство. Меняютсяли знаки неравенства при переходе от показателейстепени к основанию? Нужно ли делать проверку?Нужно ли искать ОДЗ?

< 3x < 28, log3 < x < log3 28.

Запись решения ведется учителем на доске в ходеобсуждения с классом каждого шага. Полезно пред-ложить школьникам сравнить решение на доске срешением, помещенным в учебнике. При этомшкольники отвечают на следующие вопросы.

3x

9------

1

9---

1

9---

1

9---

log32

1

3---

4

3--- 4

3---

2153940o2.fm Page 135 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

136

1. К какому основанию приводятся логарифмы?2. Изменилось ли логарифмическое неравенство

после приведения к одному основанию?3. Изменилось ли квадратное неравенство относи-

тельно логарифма?4. Изменилось ли его решение?5. Изменился ли ответ?6. Какой вывод можно сделать?В № 187 (5) школьники должны увидеть возмож-

ность подстановки у = log3(4x + 1). Полезно предло-жить ученикам указать, какие значения может при-нимать новая переменная y. [y > 0, так как 4x + 1 > 1при любом значении x]. С учетом этого неравенствоприводится к квадратному:

y2 – 2,5y + 1 > 0, 2y2 – 5y + 2 > 0. 0 < y < 0,5 или y > 2,

0 < log3 (4x + 1) < 0,5 или log3 (4x + 1) > 2,

0 < log3 1 < log3 (4x + 1) < log3 или

log3 (4x + 1) > log3 9, 1 < 4x + 1 < или 4x + 1 > 9,

4x < – 1 или 4x > 8, x < log4 ( – 1) или x > 1,5.

Неравенство можно решать фронтально. Тогдавсе записи учитель проводит на доске, а затем учени-ки переписывают решение в тетради либо воспроиз-водят решение дома.

Домашнее задание. п. 11, с. 89—92 изучить само-стоятельно, № 188 (а, в).

Цель шестого урока: закрепление материалапункта.

Комментарии. Урок перед зачетом можно про-вести как соревнование между командами. Каждаякоманда до начала урока выбирает капитана. Капи-тан будет назначать отвечающих по ходу урока так,чтобы каждый ученик хотя бы один раз ответил. Надоске выделяется место для записи заработанныхкомандами очков.

3

3

3 3

2153940o2.fm Page 136 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

137

Таблица результатов соревнования

1-й этап — графическое решение уравнений надоске.

От каждой команды к доске вызывают по одномучеловеку и дают им задания на карточках.

К а р т о ч к а 1

Решить графически уравнение 2x = 3 – x2.

К а р т о ч к а 2

Решить графически уравнение 0,5x = .

К а р т о ч к а 3

Решить графически уравнение log2 x = 1 – x2.

Пока вызванные ученики строят графики на до-ске, весь класс участвует в проведении математиче-ского диктанта.

2-й этап — математический диктант, которыйпроводится по вариантам, (читаемые выраженияможно записывать на доске). Ответы учениками за-писываются на листочках под копирку.

Математический диктант

Задания 1 команда 2 команда 3 команда

1.

2.

...

Вариант 1 Вариант 2

1. Запишите область определения функции:

y = 10x у = lg (x + 1)

x + 5

2153940o2.fm Page 137 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

138

Ответы к математическому диктанту

Вариант 1. 1. R. 2. R. 3. x > 0,04. 4. x > 3. 5. x > .

6. x = . 7. 6. 8. (0,3)–0,2 > 1.

Вариант 2. 1. x > –1. 2. (–3; + ∞). 3. х < 100. 4. х < 3.

5. х = 4. 6. x = . 7. –3. 8. (3,1)–0,5 > 1.

Окончание табл.

Вариант 1 Вариант 2

2. Запишите область значений функции:

y = log0,2 x + 2y = – 3

3. Решите логарифмическое неравенство:

log0,2 x < 2 log0,1x > – 2

4. Решите показательное неравенство:

2x > 8>

5. Решите показательное уравнение:

49x = 7 252 = 5x

6. Решите логарифмическое уравнение:

log64 x = – log8 x = –

7. Вычислите:

lg 0,001

8. Сравните:

(0,3) –0,2 и 1 3,1 –0,5 и 1

1

7---

? ?

? ?x

1

3---

? ?

? ?x 1

27-------

1

2--- 2

3---

log28

12---

18---

14---

2153940o2.fm Page 138 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

139

Один листочек с ответами сдается, второй прове-ряется в классе на оценку по следующим критери-ям: за 7—8 правильных ответов выставляется отмет-ка «5», за 6 ответов — отметка «4», за 4—5 отве-тов — отметка «3», другие оценки не выставляются.

За математический диктант командам присужда-ется столько баллов, сколько пятерок они получили(или пятерок и четверок, на усмотрение учителя).

После проверки математического диктанта и вы-ставления баллов, начинается проверка работы уче-ников у доски. Ответ у доски оценивается обычнойотметкой, которая выставляется ученику в журнали записывается на доску соответствующей команде.

3-й этап — письменное выполнение заданий с по-следующим обсуждением. Список заданий приведенниже. Ученики решают все задания и распределяютмежду собой, кто за какое задание отвечает.

Учитель предлагает команде № 1 рассказать ре-шение первой задачи, остальные команды следят заправильностью решения и задают вопросы. Участву-ют в решении и обсуждении данной задачи ученики,ответственные за данную задачу. Решение задачиоценивается, как обычно, отметкой, а дополнения икомментарии к решению 1—2 баллами, в зависимос-ти от ценности дополнений. Так рассматриваютсявсе задания. Очки, набранные командами, суммиру-ются. Команды можно штрафовать за шум и некор-ректное поведение.

С п и с о к з а д а н и йд л я р е ш е н и я и о б с у ж д е н и я

1. Решите уравнение:

а) 2•5x + 2 + 25x + 1 = 45;

б) + log0,2 x2 = –1;

в) lоg2 (3•2x – 4) = x.

2. Решите неравенство:

а) 32x – 1•22x < 12•60,8;

log0,22 x

2153940o2.fm Page 139 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

140

б) log981 + (3x + 4) � (3x + 4);

в) logx – 1 (x2 – 5x + 4) � 0.

3. Решите систему уравнений

4. Докажите, что число является корнем урав-

нения 9x – 4•3x – 5 = 0.

5. Вычислите .

4-й этап — подведение итогов урока.

Домашнее задание. Подготовить к сдаче домашнююконтрольную работу № 3.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ»

Задания для письменной части зачета

Вариант 1 Вариант 2

1. Вычислите:

log3 21 + log3 2 – log3 14 lоg25 33 – lоg25 55 – lоg25 15

2. Решите уравнение:

а) 2x + 2x + 3 = 9;б) lg2 x – 4lg x – 5 = 0

a) 5x + 5x + 2 = 26;б) – 3log3 x – 4 = 0

3. Решите неравенство:

a) (4x + 3) � – 1;

б) >

a) (2x – l) � – 2;

б) <

4. Найдите все у такие, что:

25y + 49•52y > 9y + 17•32y 16y + 15•42y < 9y + 11•32y

log 13---

log 19---

3x•2y + 1 = 288,log4 (y – x) = 0,5.

1log53---------------

14log26•log76• log26 + log76( )–1

log32x

log 14---

3( )x 1

9---

log 12---

1

2-------

? ?

? ?x 1

16-------

2153940o2.fm Page 140 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

141

Задания для устной части зачета

1. Какая функция называется показательной? На-зовите область определения и область значенияпоказательной функции.

2. При каких значениях х значения функцииax > 1, а при каких — 0 < ax < 1?

3. Назовите асимптоты графиков функций y = 3x,y = 5x + 2.

4. Какая из функций y = πx, y = возрастаю-

щая, а какая — убывающая?5. а) Любое ли положительное число можно пред-

ставить в виде степени с основанием 2 и раци-ональным показателем?б) Любое ли положительное число можно пред-ставить в виде степени с основанием 2 и действи-тельным показателем?

6. Сравните значения выражений ππ и .7. Что называется логарифмом числа а по основа-

нию b? Как это записать?8. Назовите основное логарифмическое тождество.9. Как построить график функции y = log7 x, имея

график обратной функции? Запишите обратнуюфункцию для данной.

Окончание табл.

Вариант 1 Вариант 2

5. Решите систему уравнений:

6. Для каждого значения a решите уравнение:

log2(2x – 1) = log2(x – 2a) log4(3x – 2) = log4(2x – a)

y + lg x = 1,

xy = 0,01

xy = 300,

xlg y = 9

1

2-------

? ?? ?

x

π103

-------

2153940o2.fm Page 141 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

142

10. Назовите множество значений функций y = log2 x, y = 3 + log2 x, y = –log2 x.

11. При каких значениях а функция y = loga x яв-ляется возрастающей, при каких — убываю-щей?

12. Назовите асимптоты графиков функций y = log5 x, y = 2 + log0,5 (x + 3).

13. Какие из графиков функций

у = 3 + 5x, у = 2 + lgx, у = , у =

имеют горизонтальную, а какие — вертикаль-ную асимптоту? Назовите уравнение асимптот.

14. Запишите соотношение ba = c между числами а,b и с с помощью логарифма с основанием b.

15. Почему число 1 не может быть основанием лога-рифма?

16. Какие два случая нужно рассмотреть при реше-нии неравенства logx (5 – x) > 0?

17. Запишите формулу логарифма суммы.18. Запишите формулу логарифма частного.19. Запишите формулу логарифма степени.20. Запишите формулу перехода от одного основа-

ния логарифма к другому.21. Для каких значений а выполняется неравенство

2,3a < 1?22. Решите уравнение 5x = 3.

Ответы к письменной части зачета

Вариант 1. 1. 1. 2. а) 0; б) 105; 0,1. 3. а) x � 0,25;б) х > –4. 4. y > –1. 5. (100; – 1),(0,1; 2). 6. x = 1 – 2aпри а < 0,25, нет корней при а � 0,25.

Вариант 2. 1. –1. 2. а) 0; б) 81; . 3. а) x � 1,5;

б) x > 8. 4. y < –0,5. 5. (3; 100), (100; 3). 6. х = 2 – а

при a < , нет корней при a � .

1x – 1-------------- x – 5

13---

43--- 4

3---

2153940o2.fm Page 142 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

143

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3ТЕМА «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ»

Вариант 1

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Упростите выражение log3 15 – log3 5 + .А. 1; Б. 3; В. 6; Г. 9.

2. Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения •3x + 1 = 1.А. (–3; –1); В. (0; 2);Б. (–1,0); Г. (2; 4).

3. Найдите сумму корней уравнения:

4log3x = (9x – 20).

А. 5; Б. 8; В. 9; Г. 10.

4. Решите неравенство � .

А. х� –3; В. x� –6;Б. x � –3; Г. x � –6.

5. Найдите область определения функции:

f(x) = .

А. x < –2, –2 < x < 1; В. x < 2;Б. x < 1; Г. –2 < x < 1.

II уровень

6. Известно, что = a. Найдите .

7. Решите систему уравнений

8. Найдите область значений функции:f(x) = 0,3x + 1 – 10.

3log3 5

3x – 1

2---

log3

3( )x 1

27-------

? ?? ?

lg 1 – x( )

3x + 4 – 9--------------------------

log 14---

43 log 14---

43256----------

2x•2y = 16,log3 x + log3 y = 1.

2153940o2.fm Page 143 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

144

III уровень

9. Решите уравнение

2 log2 1 – = 3log2 2 + + 2.

10. Докажите, что число корней уравнения

3x + 3–x = ax + 2x2 + 2

не может быть четным ни при каком значении a.

Вариант 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Упростите выражение + log7 2 – log7 14.А. 1; Б. 2; В. 3; Г. 4.

2. Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения 4x – 2 = .

А. (–2; 0); В. (2; 4);Б. (0; 2); Г. (4; 8).

3. Найдите сумму корней уравнения:

log4(x – 5)2 = .

А. 3; Б. 4; В. 8; Г. 10.4. Решите неравенство (6 – 0,3x) � –1.

А. x � 9; В. x � –10;Б. x� –3; Г. x � –10.

5. Найдите область определения функции:

f(x) = .

А. 0 < x < 6; В. x > 0;Б. x > 6; Г. 0 < x < 6, x > 6.

II уровень

6. Известно, что 43 = a. Найдите 688.

132x + 7------------------- 13

x – 3--------------

2log23

12---

? ?? ?

1 – x

log2

2

log 19---

lg x2x – 2 – 16----------------------------

log 14---

log 14---

2153940o2.fm Page 144 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

145

7. Решите систему уравнений

8. Найдите область значений функции:f(x) = 2,3x – 2 + 5.

III уровень

9. Решите уравнение:

3log6 3 – = 4log6 2 + + 3.

10. Докажите, что уравнение 4x – 4–x = x3 + 2ax нипри каком значении a не может иметь четное чис-ло корней.

Ответы к контрольной работе № 3Вариант 1. 1. В. 2. Б. 3. В. 4. В. 5. А. 6. a + 4.

7. (1; 3), (3; 1). 8. x > –10. 9. х = –10.Вариант 2. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4. Г. 5. Г. 6. а – 2.

7. (4; 1), (2; 2). 8. х > 5. 9. х = –2.

xy = 4,y + log2x = 3.

32x + 3------------------- 1

x + 1---------------

2153940o2.fm Page 145 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

146

В данной главе начинается систематическое изу-чение тригонометрии. Вводятся тригонометриче-ские функции числового аргумента: синус, косинус,тангенс и котангенс, изучаются их свойства и графи-ки. Вводится новое свойство функций — периодич-ность. Во второй части главы рассматриваются тож-дественные преобразования тригонометрическихвыражений и методы решений тригонометрическихуравнений основных видов. Все рисунки с графи-ками тригонометрических функций и единичнойокружностью желательно демонстрировать черезмультимедийный проектор или интерактивную до-ску. В 10 классе не следует требовать от школьниковзаучивания большого количества тригонометриче-ских формул — все равно большинство школьникових забудут. Вместо этого следует сконцентрироватьвнимание на выборе нужной формулы из имеющего-ся списка формул, пополняемого по мере изученияматериала.

12. Угол поворота (1 ч)В пункте вводятся положительные и отрицатель-

ные углы поворотов, задается формулой общий видуглов.

Предметные результаты обучения: записыватьобщий вид угла поворота; пользоваться транспорти-ром для построения конечных точек поворота; стро-

ГЛАВА

4ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

2153940o2.fm Page 146 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

147

ить произвольные углы и задавать общий вид угловформулой; решать практические задачи на: нахож-дение угловой скорости вращения барабана стираль-ной машины; сравнение углов поворота часов; опре-деление направления вращения колес велосипеда.

Метапредметные результаты обучения: пере-водить информацию из одного вида в другой; срав-нивать углы поворота; видеть математические зако-номерности в практических ситуациях.

Цель урока: формирование понятия угла пово-рота.

Комментарии. Урок посвящается расширениюпонятия угла, сформированного в курсе планимет-рии.

После обсуждения примеров быстрого вращения сугловыми скоростями, большими, чем 1 оборот в се-кунду, школьникам становится понятна целесооб-разность рассмотрения произвольных углов. Послеэтого учитель может изобразить на доске рисунок 61из учебника без соответствующей стрелочки и за-дать вопрос о градусной мере угла, на который по-вернулась точка A окружности. Первая проблема,которую осознают школьники, заключается в необ-ходимости измерения угла AOB. Учитель с по-мощью транспортира измеряет на доске угол и объ-являет, что он равен 120°. Можно ли теперь ответитьна вопрос об угле поворота? [Нет, так как неизвест-но, в каком направлении, по или против часовойстрелки происходило вращение.] Учитель показыва-ет рукой направление вращения. [Все равно нельзяответить однозначно, так как точка могла сделатьнесколько оборотов.] Школьникам предлагается от-крыть учебники на странице 97 и посмотреть на ри-сунок 63. По этому рисунку учитель вводит понятиеначальной и конечной точек поворота, говорит отом, что для различения направления вращенияугол поворота по часовой стрелке считают отрица-тельным. Теперь можно задать общий вид углов по-ворота Pα°: α° + 360°•n, где n — любое целое число.

2153940o2.fm Page 147 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

148

В классе обязательно нужно обсудить задания№ 194 (1, 3, 5, 7), 195 (а, в), 196 (2). Затем № 198провести как практическую работу (точку P0 лучшевыбрать на положительной части оси абсцисс).

Домашнее задание. п. 12, № 192, 194 (2, 4, 6, 8), 195(б, в), 196 (1). На этом уроке полезно дать заданияк зачету и напомнить о домашней контрольнойработе № 4.

13. Радианная мера угла (2 ч)В этом пункте ученики должны получить пред-

ставление о возможности измерения углов через от-ношение одноименных величин, которое выражает-ся действительным числом.

Предметные результаты обучения: объяснять,какой угол называют углом в один радиан; перево-дить угол из градусной меры в радианную и из ради-анной в градусную; строить заданный угол поворота;решать практические задачи с морским компасом,со скоростью вращения Земли, со скоростью враще-ния электродвигателя.

Метапредметные результаты обучения: объяс-нять смысл фраз «радиальная линия метро», «ради-альная планировка города»; применять математиче-ские знания в практических ситуациях; переводитьинформацию из одного вида в другой; решать прак-тические задачи.

Цель первого урока: формирование умения пере-водить угол из радиан в градусы и обратно.

Комментарии. В начале урока полезно вспом-нить соотношения между градусами, минутами и се-кундами. Затем показать возможность другого под-хода к измерению угла поворота, ввести новую еди-ницу измерения угла — радиан и показать связьмежду радианами и градусами. Поскольку отноше-ние длин дуги поворота и радиуса окружности по су-ти является действительным числом, наименование

2153940o2.fm Page 148 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

149

рад во многих случаях не указывают, оставляя толь-

ко само число. Например, угол , равный 60°.

Лучше не ориентировать школьников на запоми-нание формул перевода, так как они со временем,скорее всего, забудутся, а предложить им всегда от-талкиваться от простого соотношения между радиа-нами и градусами π рад = 180°. Так, например,

π рад = 180°, 1 рад = = ≈ 57,3°,

2 рад = 2• = 2• ≈ 114,6°.

π рад = 180°, 1° = = рад ≈ 0,017 рад,

2° = 2• = 2• ≈ 0,034 рад.

В классе выполняются № 199 (1, 3, 5, 7), 200 (3, 5,7, 9), 201 (1, 5, 7, 9). Некоторые из указанных зада-ний выполняются устно, а некоторые — ученикисначала выполняют в тетрадях, а затем с мест сооб-щают полученные результаты.

На этом же уроке можно рассмотреть соотноше-ние между угловой и линейной скоростями движе-ния по окружности. Этот материал обозначен как до-полнительный.

Домашнее задание. п. 13, № 199 (2, 4, 6, 8), 200(2, 4, 6, 8, 10), 201 (2, 8), по желанию № 208.

Цель второго урока: закрепление умений перево-дить углы из радиан в градусы и обратно.

Комментарии. В начале урока можно предло-жить школьникам устные задания, в которых полез-но проверить понимание связей между разными еди-ницами измерения углов.

У с т н а я р а б о т а1. Выразите 1° в радианах.2. Выразите 60° в радианах.

π

3---

π

π--- 180°

π-------------

π

π--- 180°

π-------------

180°180------------- π

180----------

180°180------------- π

180----------

2153940o2.fm Page 149 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

150

3. Выразите в градусах.

4. Найдите sin , cos .

Основное внимание следует уделить заданиям№ 202 и 203, которые можно выполнять параллель-но в одной практической работе, т. е. заполнять таб-лицу и подписывать углы на окружности. Ученики,в конце концов, должны уверенно представлять, гдена тригонометрическом круге находятся табличныеуглы.

В классе также решаются № 204 (1, 3, 5, 7), 206(1, 3, 5, 7) при наличии калькуляторов (хотя бы од-ного на парту). Если же калькуляторов нет, то по па-ре нечетных заданий из каждого номера. После об-суждения формулы перевода вычисления проводят-ся учениками самостоятельно. Можно предложитьдве самостоятельные работы, в каждую из которыхвключить по два задания: одно задание из № 204 иодно задание из № 206. Между этими самостоятель-ными работами фронтально рассмотреть № 207.

Домашнее задание. Повторить формулы нахожде-ния синуса и косинуса в прямоугольном треуголь-нике и их значения для углов 30°, 45° и 60°,№ 204 (2, 4, 6, 8), 200 (2, 4, 6, 8), 205, для желаю-щих № 209.

14. Синус и косинус любого угла (3 ч)

При изучении материала пункта понятия синусаи косинуса распространяются на произвольные уг-лы, формируются умения учеников находить сину-сы и косинусы углов поворота, а также по значениюсинуса и косинуса находить углы поворота. Расши-ряется известная из курса планиметрии таблицазначений синусов и косинусов углов. Необходимодобиться от учеников безошибочного различения

π

10-------

π

3--- π

6---

2153940o2.fm Page 150 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

151

осей синусов и косинусов на тригонометрическомкруге.

Предметные результаты обучения: формулиро-вать определения синуса, косинуса произвольногоугла; определять координатную четверть, в которойнаходится угол поворота; определять знаки синуса икосинуса произвольного угла поворота; заполнятьтаблицы значений синуса и косинуса некоторых уг-лов; решать простейшие виды тригонометрическихуравнений; сравнивать табличные значения синусаи косинуса углов.

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать прием сравнения, работать с таблицами.

Цель первого урока: формирование понятий сину-са и косинуса угла поворота.

Комментарии. Начинается урок с математиче-ского диктанта на повторение ранее изученного ма-териала.

Математический диктант

Вариант 11. Представьте угол 740° в виде α + 360°n, где

n — целое число, 0 < α° < 180°.2. Точка Р50° — конечная точка поворота на 50°.

Найдите наименьшее по модулю значение угла β°точки Pβ°, которая получается из точки Р50° сим-метрией относительно оси ординат.

3. Переведите угол 150° из градусной меры в ради-анную.

4. Переведите угол 1,25π из радианноймеры в градусную.

5. Запишите равенство …° = .

6. Запишите формулу перехода от ра-диан к градусам.

7. Запишите значение sin .

8. Выразите через стороны треуголь-ника косинус угла α° (рис. 17).

ac

b

α°

Рис. 17

π

2---

π

4---

2153940o2.fm Page 151 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

152

Вариант 21. Представьте угол –710° в виде α° + 360°n, где

n — целое число, 0 < α° < 180°.2. Точка Р50° — конечная точка поворота на 50°.

Найдите наименьшее по модулю значение угла β°точки Pβ°, которая получается из точки Р50° сим-метрией относительно оси абсцисс.

3. Переведите угол 135° из градусной меры в ради-анную.

4. Переведите угол 2,5π из радианной меры в градус-ную.

5. Запишите равенство ...° = .

6. Запишите формулу перехода от радиан к граду-сам.

7. Запишите значение cos .

8. Запишите, как найти через стороны треугольни-ка синус угла α° (см. рис. 17).

Проводится взаимопроверка и самооценка мате-матического диктанта по следующим критериям:правильно решено 8 заданий — выставляется отмет-ка «5», 7 заданий — отметка «4», 5—6 заданий —отметка «3», другие отметки не выставляются.

Во время проверки математического диктанта вы-вешивается на боковую доску таблица значений ос-новных тригонометрических углов. Прямоугольныйтреугольник используется также для определениясинуса угла. Таким образом, весь базовый материал,который нужен к уроку, будет повторен.

Объяснение нового материала проводится в соот-ветствии с его изложением в учебнике.

При закреплении материала полезно предлагатьдополнительные задания и вопросы, обсуждать планрешения и только после этого приступать к его ре-ализации.

В № 211 перед ответом на основной вопрос полез-но сначала определить, в какой координатной чет-верти находятся указанные точки. В № 212 сначалапридется записать углы в виде α° + 360°n, где n —целое число, затем определить координатную чет-

π

2---

π

4---

2153940o2.fm Page 152 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

153

верть и только после этого знаки косинуса и синусаугла. При составлении плана устно решаются зада-ния № 212 (1, 2), а письменно № 212 (3—6).

Затем учитель предлагает прочитать задание в№ 213 и продумать план его выполнения. Заданиенаправлено на формирование умения располагатьконечные точки поворотов на окружности, соотнося

их с конечными точками поворотов на углы , π,

, 2π.

Ученики могут предложить сначала перевестиугол из радиан в градусы, затем представить его ввиде α° + 360°n, где n — целое число, а потом опре-делить знаки косинуса и синуса указанного угла.В этом случае учитель должен попросить школьни-ков найти другой план решения. Не переводя углы вградусную меру, представить их в виде β + 2πn, гдеn — некоторое целое число. Задание № 213 (1) мож-но выполнить двумя способами, дав школьникамвозможность сравнить, какой из них рациональнее.

Р е ш е н и е. Способ 1. Представив угол в градусах

β = = = 4•20° = 80°, видим, что это угол

первой четверти, синус и косинус которого положи-тельны.

Способ 2. Заметим, что 0 < < , так как

< = , значит, угол расположен в первой четвер-

ти.В задании № 213 (2) можно угол β представить в

виде суммы углов по-разному: β = –1π = –π – 0,6π == –2π + 0,4π. Видно, что этот угол расположен в пер-вой четверти.

В конце урока школьники самостоятельно выпол-няют № 214 (1, 4).

Домашнее задание. п. 14, пример 1, № 212 (7, 8),213 (3, 4), 214 (2, 3), 217 (1, 4) с транспортиром.Принести на урок транспортир и циркуль.

π

2---

3π2

-------

4π9

------- 4•180°9

----------------------

4π9

------- π

2---

49--- 4

8--- 1

2---

2153940o2.fm Page 153 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

154

Цель второго урока: формирование уменияшкольников находить угол по его синусу или коси-нусу.

Комментарии. По мотивам домашнего заданияпроводится устная работа.

У с т н а я р а б о т а

1. Найдите: sin 45°, cos , sin , cos π, sin , cos 0°.

2. Определите знак: а) синуса 250°; б) косинуса 350°.3. В какой четверти расположена конечная точка

поворота на угол –170°, 300°? Какие знаки имеетсинус и косинус данного угла?

4. В какой четверти находится угол в 1 радиан,в 2 радиана, в –3 радиана?

5. В каких координатных четвертях значения сину-са и косинуса: а) имеют одинаковые знаки; б) имеют противопо-ложные знаки? (Это № 225.) Указывать на специ-альных рисунках знаки синуса и косинуса по чет-вертям не следует. Ошибки школьников в опреде-лении знаков связаны с нетвердым знанием того,какая из координатных осей является осью коси-нусов, а какая — осью синусов. Понятно, что упо-мянутыми рисунками это не исправить.

Затем рассматривается пример 2 из объяснитель-ного текста пункта. Полезно предложить школьни-кам с помощью транспортиров проверить, правиль-но ли найдена величина угла α° ≈ 37°. Возможно,учителю еще раз придется напомнить школьникам,как измеряются углы с помощью транспортира.

(1) Прикидываем на глаз, чему примерно равенугол. Больше он или меньше, чем 45°, 90°, 135°?

(2) С помощью транспортира уточняем приближе-ние, найденное в шаге (1) плана.

Практика показывает, что включение в алгоритмизмерения угла шага (1) позволяет устранить ошиб-ки, связанные с наличием на транспортире двухшкал.

Затем ученикам предлагается изобразить триго-нометрический круг, взяв за единицу пять клеток

π

6--- π

2--- 3π

2-------

2153940o2.fm Page 154 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

155

тетради (≈ 2,5 см). С помощью этого круга и транс-портира ученики самостоятельно выполняют № 215(1, 3) с обсуждением результатов после каждого иззаданий.

После этого ученикам предлагается подумать,для каких значений синуса и косинуса транспорти-ра не потребуется для нахождения углов. Можновыслушать предложения нескольких школьников.

0, ±1, ± , ± , ± . Учитель может дополни-

тельно спросить о том, понадобится ли транспортирдля нахождения угла, синус которого равен 2. [Си-нус не может быть больше 1, поэтому и без транспор-тира ясно, что такого угла не существует.]

Ученики с мест называют общий вид углов, соот-ветствующих каждому из указанных значенийсинуса и косинуса. Результаты этой работы позволя-ют заполнить строки значений синуса и косинусатаблицы в № 221. Завершить заполнение таблицышкольникам предлагается дома.

Домашнее задание. п. 14, примеры 2 и 3, № 215 (4),взяв радиус равным 10 клеткам, 217 (2, 3), в 221завершить заполнение таблицы и изобразить еена плотной бумаге в виде карточки, которая будетиспользоваться на следующем уроке.

Цель третьего урока: закрепление изученногоматериала.

Комментарии. В устной работе ученики, исполь-зуя заготовленные дома карточки в № 221, выполня-ют № 219, 220.

У с т н а я р а б о т а1. Возможно ли равенство:

а) cos α = ; г) sin α = ;

б) sin α = ; д) sin α = , где а > 1;

в) cos α = – ; е) cos α = a + , где а ≠ 0?

12--- 2

2------- 3

2-------

56--- π

3---

73

------- aa – 1--------------

1,74 1a---

2153940o2.fm Page 155 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

156

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения вы-ражения:

а) sin α + 1; в) sin 2α; д) .

б) 2 – cos α; г) ;

Затем школьники письменно выполняют сериюсамостоятельных работ из № 224, 226. Например,С1: № 224 (1), 226 (1); С2: № 224 (2), 226 (2); С3:№ 224 (3), 226 (3). Между проверкой ответов фрон-тально рассматриваются № 223 (1, 2, 3, 5).

В сильном классе в завершении урока полезно об-судить со школьниками № 222. Ученики должны за-метить, что заданная цепочка равенств представляетсобой теорему синусов, примененную к треугольни-

ку со сторонами 1, и 2. Следующий вопрос учите-

ля о том, как определить вид треугольника (остро-,тупо- или прямоугольный). [Квадрат большей изсторон треугольника сравнивается с суммой квадра-тов двух других.] Оказывается, что данный тре-угольник прямоугольный. Сделав рисунок и обозна-чив углы буквами x, y и z, ученики сразу говорят,что z = 90°. Кроме того, по геометрическому опреде-

лению синуса имеем sin х = . С учетом того, что

x — угол первой четверти, имеем x = 30°. Отсюдаy = 60°. Ответ: x = 30°, y = 60°, z = 90°.

Домашнее задание. п. 14, № 223 (2, 4, 6), 226 (4),227, 228, для желающих № 226 (5, 6).

15. Тангенс и котангенс любого угла (3 ч)При изучении пункта можно отказаться от мате-

риала, связанного с осью котангенсов.Предметные результаты обучения: формулиро-

вать определения тангенса и котангенса произволь-ного угла; определять знаки тангенса и котангенса

1sin α – 2------------------------

12 + cos α-------------------------

12---

12---

2153940o2.fm Page 156 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

157

произвольных углов поворота; заполнять таблицызначений тангенса и котангенса некоторых углов;решать простейшие виды тригонометрических урав-нений; сравнивать значения тангенса и котангенсатабличных видов углов.

Метапредметные результаты обучения: рабо-тать с таблицами и графиками; переводить инфор-мацию из одного вида в другой; использовать при-емы сравнения значений функций, графиков ифункций.

Цель первого урока: формирование представле-ний о тангенсе и котангенсе произвольного угла, на-ходить их значения с помощью единичной окруж-ности и оси тангенсов.

Комментарии. Изучение нового материала мож-но провести по плану, который мы опишем с по-мощью последовательности заданий и вопросов,предлагаемых ученикам.

З а д а н и е 1. На рисунке изображен прямоуголь-ный треугольник (рис. 17).Выразите sin α, cos α, tg α, ctg α через стороны

прямоугольного треугольника.

З а д а н и е 2. Выразите tg α и ctg α через синус и ко-синус угла α.Затем школьникам предлагается высказать пред-

ложения о том, что считать тангенсом и что котан-генсом произвольного угла поворота. Затем выпол-няется № 229. Понятно, что вычислять синус и коси-нус нет нужды, так как сами координаты точки Pα

являются искомыми значениями. Значения танген-са и котангенса находятся как отношения синусаи косинуса.

З а д а н и е 3. Запишите общий вид углов, для кото-рых тангенс не имеет смысла.

З а д а н и е 4. В каких координатных четвертях тан-генсы положительны, а в каких — отрицатель-ны? Могут ли тангенс и котангенс одного углаотличаться по знаку?

2153940o2.fm Page 157 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

158

Затем устно выполняется № 230 (1—4).З а д а н и е 5. Расскажите, как с помощью еди-

ничной окружности найти синус угла 40°.

З а д а н и е 6. Расскажите, как с помощью единич-ной окружности найти косинус угла 40°.

З а д а н и е 7. Как найти тангенс угла 40°?

Ученики предложат найти его как отношение си-нуса к косинусу. Учитель, опираясь на рисунки 73учебника, показывает, что можно использовать осьтангенсов, после чего предлагает ученикам изобра-зить тригонометрический круг (взяв за радиус 5 кле-ток), провести ось тангенсов, с помощью транспор-тира построить угол 40° и указать приближенноезначение tg 40° ≈ 0,8. После выполнения этой рабо-ты ученикам предлагается следующий вопрос.

З а д а н и е 8. Как найти тангенс –40°?

Можно опять выполнять построения, однако, по-скольку уже найдено значение tg 40°, проще заме-тить, что tg (–40°) = –tg 40°. Равенство вытекает изсимметрии соответствующих точек оси тангенсов от-носительно оси абсцисс.

Затем на уже имеющемся в тетрадях тригономет-рическом круге школьники самостоятельно выпол-няют № 233 (1, 3) и обратную задачу № 234 (1, 3). Ре-зультаты проверяются после каждого задания, а несправившимся школьникам оказывается помощь.

Между проверкой заданий фронтально рассмат-ривается № 236.

Домашнее задание. п. 15, пример 1, № 233 (4), 234(2, 4), 239, 240.

Цель второго урока: формирование умения ре-шать простейшие виды тригонометрических уравне-ний.

Комментарии. Урок предлагаем начать с мате-матического диктанта по мотивам домашнего зада-ния.

2153940o2.fm Page 158 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

159

Математический диктант

Вариант 1

1. Выразите в прямоугольном треугольнике черезего стороны тангенс угла α.

2. Запишите, как найти тангенс через синус и коси-нус угла.

3. Найдите значение выражения tg .

4. Возможно ли равенство cos α = ?

5. Сравните tg 115° и tg 197°.6. Запишите формулу, по которой котангенс выра-

жается через тангенс того же угла.7. Определите знак произведения sin 123°ctg 220°.8. Запишите в общем виде углы, котангенс которых

не имеет смысла.9. Для каких углов ctg α = 0?10. Углом какой четверти является угол α, если

известно, что tg α > 0, cos α < 0?

Вариант 2

1. Выразите через стороны прямоугольного тре-угольника ABC котангенс его угла α.

2. Запишите, как найти котангенс через синус икосинус угла.

3. Найдите значение выражения сtg .

4. Возможно ли равенство tg α = ?

5. Сравните ctg 46° и ctg (–46°).6. Запишите формулу, по которой тангенс выража-

ется через котангенс того же угла.7. Определите знак произведения cos 100°tg 356°.8. Запишите в общем виде углы, тангенс которых не

имеет смысла.9. Для каких углов tg α = 0?

π

3---

8

7---

π

6---

8

7---

2153940o2.fm Page 159 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

160

10. Углом какой четверти является угол α, еслиcos α > 0, a tg α > 0?

Затем со школьниками обсуждается план реше-ния № 233 (5), само решение не выполняется. Вни-мание школьников привлекается к № 238. Учени-кам предлагается выполнить рисунок, аналогичныйрисунку 75, для какого-нибудь угла ϕ из второй чет-верти. При обсуждении доказательства можно ввес-ти термин ось котангенсов, после чего школьникис помощью транспортиров выполняют № 233 (5)(в тетрадях изображается тригонометрический кругс радиусом 5 клеток, проводится ось котангенсов) и,используя рисунок, находят общий вид углов, ко-тангенсы которых равны –1,5.

После этого школьники используют составлен-ную домашней работе в № 239 таблицу для устногорешения заданий № 243 (1, 3). Устную работу про-должает обсуждение № 235, затем письменно вы-полняются № 241, 243 (2, 4).

Домашнее задание. п. 15, № 233 (2, 6), 243 (1, 3).

Цель третьего урока: закрепление знаний по ма-териалу пункта.

Комментарии. На уроке повторяется весь мате-риал и рассматривается угловой коэффициент пря-мой как тангенс угла ее наклона.

В начале урока проводится письменная самостоя-тельная работа по вариантам.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите tg .

2. Найдите значение выражения

.

–17π

3----------

? ?

? ?

0,3 – sin2 π6--- – cos2 π

3--- + 4tg π

4---

2sin π6--- + 1

-------------------------------------------------------------------------------------

2153940o2.fm Page 160 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

161

3. Найдите все углы α из промежутка [0; 2π], для

которых верно равенство tg α = .

Вариант 2

1. Вычислите ctg .

2. Найдите значение выражения

.

3. Найдите все углы α из промежутка [0; 2π], для

которых верно равенство ctg = .

После проверки самостоятельной работы фрон-тально выполняются № 237 (1, 4), 243 (5, 6), 244 (1).

Затем школьникам предлагается построить пря-мую, проходящую через начало координат с угломнаклона 30°. Следует обратить внимание школьни-ков на построение угла 30° на бумаге в клетку. Сна-чала проводится горизонтальный луч, затем от вер-шины угла по горизонтали отсчитывается 5 клеток,затем по вертикали — 3 клетки, и через получив-шуюся точку проводится вторая сторона угла. Полу-чается угол примерно в 31°. В данном случае гори-зонтальная прямая — это ось абсцисс. Затем в этойже системе координат строится тригонометрическийкруг и проводится ось тангенсов. С одной стороны,ордината точки пересечения прямой y = kx с осьютангенсов равна ее угловому коэффициенту k, а сдругой — это тангенс угла наклона в 30°, равный

. Значит, искомое уравнение y = .

После обобщения полученного результата длялюбого угла наклона α: k = tg α ученикам предлага-ется уже без построений найти уравнение прямой

3

3-------

–13π

3----------

? ?

? ?

1,5 – sin2 π6--- + 3cos2 π

4---

2sin π3---

-----------------------------------------------------------------

3

3-------

33

------- 33

-------

2153940o2.fm Page 161 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

162

№ 245 (б). Если останется время, полезно разобрать№ 246 (1, 3).

Домашнее задание. п. 15, № 237 (2, 4), 244 (2, 4, 6),245 (в, г), 246 (2, 4).

16. Простейшие тригонометрические уравнения (3 ч)

В результате изучения данного пункта учащиесядолжны научиться записывать решения простей-ших тригонометрических уравнений: sin ϕ = a,cos ϕ = a, tg ϕ = a, ctg ϕ = a. На этом этапе обучениярешению тригонометрических уравнений не следуетдавать формулы, объединяющие серии решений дляуравнения sin x = a. Школьники познакомятся с ни-ми в п. 26 при изучении более сложных тригономет-рических уравнения.

Предметные результаты обучения: заполнятьтаблицы значений арксинуса, арккосинуса, арктан-генса и арккотангенса заданных чисел; строить углыпо значениям обратных тригонометрических функ-ций; преобразовывать выражения, содержащие об-ратные тригонометрические функции; решать про-стейшие тригонометрические уравнения.

Метапредметные результаты обучения: уста-навливать истинность утверждений; сравнивать зна-чения функций; работать с таблицами; объяснятьсмысл слов, в основе которых лежат математическиетермины.

Цель первого урока: отработка записи угла в ви-де sin ϕ = a, соs ϕ = a, tg ϕ = a, ctg ϕ = а и форми-рование умения строить конкретный угол.

Комментарии. Доска разделена на четыре части,каждая из которых отдана одному из видов урав-нений: sin ϕ = a, cos ϕ = a, tg ϕ = a, ctg ϕ = a (рис. 18).

На доске четыре рисунка, под каждым подписы-ваются уравнения.

2153940o2.fm Page 162 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

163

Проводится фронтальная работа. Часть уравне-ний, а именно с табличными значениями углов, уче-ники решают устно с объяснением и иллюстрациейна тригонометрическом круге. Учитель задает воп-росы: Как записать корни уравнения sin x = 0,3? Чтопри этом мы ищем? [Угол, синус которого равен0,3.] Сколько таких углов на промежутке [0; 2π]?[На графике единичной окружности мы видим, чтоуравнение sin x = 0,3 имеет два корня.] Тот корень,

который попадает в промежуток – ; , называ-

sin ϕ = a cos ϕ = a tg ϕ = a ctg ϕ = a

sin x = 0 sin x = 1sin x = –1sin x = 0,5sin x = 0,3sin ϕ = a,–1 < a < 1

cos x = 0cos x = 1cos x = –1cos x = –0,5cos ϕ = а,–1 < a < 1

tg x = 0tg x = 1tg x = –1tg ϕ = a

ctg x = 0

ctg x = –

ctg ϕ = a

y

x1–1

1

–1

P0

Pϕ

Pπ – ϕ

y

x1–1

1

–1

Pϕ

P–ϕ

Pπ

a

ϕ

–ϕ

y

x1–1

a

–1

P0

Pϕ

(1; a)y

x1–1

a

–1

P0

(a; 1)

Pϕ

Pπ

2---

0

0

0

0

a a

Рис. 18

P–π

2---

3

3-------

π

2--- π

2---

2153940o2.fm Page 163 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

164

ют арксинусом 0,3 и записывают: arcsin 0,3. Словоarcsin состоит из двух частей: arc — дуга, угол изнакомое слово sin. Поэтому arcsin 0,3 переводитсякак угол, синус которого равен 0,3. Как записатьдругой угол? [π – arcsin 0,3.] Как записать все ре-шения уравнения sin x = 0,3? [x1 = arcsin 0,3 + 2πn,x2 = –arcsin 0,3 + (2n + 1)π, n � Z.]

Аналогичная работа проводится и с другими ви-дами уравнений.

Затем весь блок материала отрабатывается привыполнении заданий № 249, 250, 252. В № 249 уче-ники в тетрадях изображают тригонометрическиекруги (радиусом в 5 клеток) и после построения углаприближенно определяют с помощью транспортираего градусную меру. Задания № 250, 252 выполня-ются устно. В № 250 можно использовать рисунки,выполненные в № 249.

Домашнее задание. п. 16, № 247, 248, 251.

Цель второго урока: закрепление умений школь-ников работать с арксинусом, арккосинусом, арк-тангенсом и арккотангенсом.

Комментарии. В начале урока проводится мате-матический диктант по вариантам.

Математический диктант

Вариант 11. Каков будет ответ в решении уравнения cos x = a,

|a| > 1?2. При каком значении а имеет корни уравнение

cos x = a?3. На какой оси откладываются значения а при ре-

шении уравнения cos x = a на тригонометриче-ском круге?

4. В каком промежутке находятся значения arcсos a?5. Решите уравнение tg x = a.6. Выразите arcsin (–a) через arcsin a.

7. Найдите значение выражения arcos .–2

2-------

2153940o2.fm Page 164 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

165

8. Существует ли значение х, удовлетворяющее

условию cos x = ?

9. Решите уравнение cos x = 0,8 на промежутке[0; 2π].

10. Найдите все корни уравнения tg x = – .

Вариант 21. Каков будет ответ в решении уравнения

sin x = a, |a| > 1?2. При каком значении а имеет корни уравнение

sin x = a?3. На какой оси откладываются значения а при ре-

шении уравнения sin x = a на тригонометриче-ском круге?

4. В каком промежутке находятся значенияarcsin a?

5. Решите уравнение cos x = a.6. Выразите arccos (–a) через arccos a.

7. Найдите значение выражения arcsin .

8. Существует ли значение х, удовлетворяющее ус-

ловию tg x = ?

9. Решите уравнение sin x = 0,9 на промежутке[0; 2π].

10. Найдите все корни уравнения ctg x = – .

Проводится проверка математического диктантас обсуждением ошибок по предложенным ответам.

Ответы к математическому диктантуВариант 1. 1. Нет решений. 2. |a| � 1. 3. На оси Ох.

4. [0; π]. 5. x = arctg a + πn, n � Z. 6. π – arcsin a.

7. – . 8. Не существует. 9. х1 = arccos 0,9 и

х2 = –arccos 0,9. 10. х = – + πn, n � Z.

98---

1

3-------

–3

2-------

98---

3

3π4

-------

π

6---

2153940o2.fm Page 165 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

166

Вариант 2. 1. Нет решений. 2. |a| � 1. 3. На оси Оу.

4. – ; . 5. x = ±arccos a + πn, n � Z. 6. π – arccos a.

7. – . 8. Существует. 9. х1 = arcsin 0,9 и х2 =

= π – arcsin 0,9. 10. х = – + πn, n � Z.

Затем учитель на доске делает четыре рисунка(рис. 19).

Ученики должны записать виды уравнений, кото-рым эти рисунки соответствуют.

Разбирается пример 2 из объяснительного текста.Самостоятельно учениками выполняются № 253

(1, 3, 5), 254 (1, 3) с разбором после каждого заданияи обсуждением плана перед выполнением № 263.

После этого № 255 выполняется фронтально,а № 257 (1) после обсуждения плана решения учени-ки выполняют самостоятельно.

Домашнее задание. п. 17, примеры 1 и 2, № 253(2, 4, 6), 254 (2, 4), 256 (2).

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников решать простейшие тригонометриче-ские уравнения.

Комментарии. После проверки домашнего зада-ния школьникам фронтально предлагаются зада-ния № 259, 260.

Затем в форме серии самостоятельных работ уче-ники решают уравнения из № 258 (4, 5, 7, 8).

π

2--- π

2---

π

3---

π

6---

y

x10

y

x10

y

x10

y

x10

Рис. 19

2153940o2.fm Page 166 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

167

После этого рассматривается пример 3 из объяс-нительного текста учебника. Завершается урок са-мостоятельным решением уравнений в № 262.

Домашнее задание. п. 16, контрольные вопросы изадания пункта, № 258 (1, 3, 6).

17. Формулы приведения (3 ч)После изучения данного пункта у учеников долж-

ны быть сформированы знания всех формул приве-дения и умения ими пользоваться. При этом не сле-дует добиваться от школьников воспроизведениярассуждений, приводящих к формулам приведения,сконцентрировав усилия на формировании уменийих применять. В то же время желательно, чтобышкольники запомнили правило.

Предметные результаты обучения: применятьформулы приведения для упрощения вычислений ирешения уравнений; решать уравнения на проме-жутке; вычислять значения тригонометрическихфункций с помощью микрокалькулятора.

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать микрокалькулятор для вычислений;пользоваться таблицами и графиками.

Цель первого урока: формирование умения при-менять формулы приведения для упрощения выра-жений.

Комментарии. На уроке вводятся сразу все фор-мулы приведения. Для этого на доске изображаютсярисунки 83, 84 и 85 учебника, под которыми запи-сываются левые части соответствующих формулприведения. Правые части формул должны появить-

cоs (–ϕ) =sin (–ϕ) =соs (π – ϕ) =sin (π – ϕ) =соs (π + ϕ) =sin (π + ϕ) =

cos – ϕ =

sin – ϕ =

tg – ϕ =

cos + ϕ =

sin – ϕ =

cos + ϕ =

π

2---

π

2---

π

2---

π

2---

3π

2-------

3π

2-------

2153940o2.fm Page 167 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

168

ся в результате фронтальной работы с классом(рис. 20).

Затем анализируется таблица в учебнике на с. 128и формулируется общее правило для формул приве-дения: для каких углов название функции меняетсяи как определяется знак функции.

После этого ученикам предлагается с е р и яс а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т из заданий № 264(1, 3), 265 (1, 3). В № 264, 265 сначала записываетсялевая часть соответствующей формулы, а затем от-вет, например № 264 (1, г):

cos 196° = cos (180° + 16°) = –cos 16°.Затем выполняется № 266 (1), 267 (1, 3).В сильном классе полезно разобрать д о п о л н и-

т е л ь н о е з а д а н и е.

Докажите тождество cos + α + sin α – = 0.

Здесь следует обратить внимание школьников на

симметрию конечных точек поворота + α и – α

относительно биссектрисы I и III координатных уг-

y

x1–1

1

–1

P0

Pϕ

Pπ – ϕ

Pπ + ϕ P–ϕ

0

y

x1–1

1

–1

P0

Pϕ

P–ϕ

y = x

Pπ

2--- – ϕ

0

y

x1–1

1

–1

P0

P3π2

------- – ϕP3π

2------- + ϕ

Pπ

2--- + ϕ

Pπ

2--- – ϕ

0

Рис. 20

π

4--- π

4---

π

4--- π

4---

2153940o2.fm Page 168 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

169

лов. Из этой симметрии следует, что cos + α =

= sin α – и, наконец, перемена знака у синуса и у

его аргумента приводит к равенству cos + α +

+ sin α – = 0.

Домашнее задание. п. 17, № 265 (2), 266 (2), 267 (2).

Цель второго урока: формирование умения при-менять формулы приведения для решения тригоно-метрических уравнений.

Комментарии. На уроке работа с формуламиприведения продолжается. Можно предложить не-скольким ученикам у доски объяснить, как из сооб-ражений симметрии выводятся формулы приведе-ния. Предварительно задаются вопросы о том, какаясимметрия используется при выводе той или инойформулы. Пока школьники у доски готовят соответ-ствующие рисунки, можно рассмотреть домашнеезадание.

После проверки домашнего задания выполняетсясамостоятельная работа.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите: а) cos 150°; б) sin ; в) ctg .

2. Приведите tg – к тригонометрической функ-

ции аргумента α, где 0 � α � .

Вариант 2

1. Вычислите: а) sin 150°; б) cos ; в) tg .

π

4---

π

4---

π

4---

π

4---

2π3

------- 27π4

----------

45π12

----------

π

4---

2π3

------- 27π4

----------

2153940o2.fm Page 169 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

170

2. Приведите ctg к тригонометрической функ-

ции аргумента α, где 0 � α � .

После проверки работы обсуждается план выпол-нения № 272 (1, 3). При разборе № 272 (1) полезнопоказать два способа решения.

Р е ш е н и е.

Способ 1. sin + x = , + x = + 2πn или

+ x = π – + 2πn, x = – + + 2πn или

x = – + π – + 2πn, х = – + 2πn

или x = + 2πn, n � Z.

Способ 2. sin + x = , cos x = ,

x = ± + 2πn, n � Z.

Затем фронтально двумя способами, используя ине используя формулы приведения, решается урав-

нение cos x – = 1. После чего самостоятельно

выполняется № 273 (1, 3).В завершение урока фронтально упрощается

выражение:tg 420° + 2sin 870° – 2cos 1410°.

Домашнее задание. п. 17, № 267 (4), 272 (2, 4), 273(2, 4).

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников вычислять значения тригонометриче-ских функций с помощью микрокалькулятора.

Комментарии. На уроке разбираются примеры3—5 из текста учебника. Затем с микрокалькулято-ром выполняются № 268 (1), 287 (1), 270, 271 (1) иобсуждается план выполнения № 274 (2, 3, 5), кото-рый обсуждается с классом, а затем реализуется

25π7

----------

π

2---

π

2--- 2

2------- π

2--- π

2---

π

2--- π

4--- π

2--- π

4---

π

2--- π

4--- π

4---

π

4---

π

2--- 2

2------- 2

2-------

π

4---

π

2---

2153940o2.fm Page 170 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

171

школьниками самостоятельно. Выполнение заданийосновано на приведении к углам, для которых верносоответствующее равенство:

arcsin (sin a) = a, arccos (cos a) = a, arctg (tg a) = a, arcctg (ctg a) = a.

Р е ш е н и я.

№ 274 (2). arccos cos = arccos cos 4π – =

= arcos cos = .

№ 274 (5). arctg (ctg 10) = arctg (ctg (3π + 10 – 3π)) == arctg (ctg (10 – 3π) = 10 – 3π.

Можно рассмотреть д о п о л н и т е л ь н о е з а-д а н и е более сложное:

arcsin cos = arcsin cos =

= arcsin cos + = arcsin –sin =

= arcsin sin – = – .

Если осталось время на уроке, полезно разобрать№ 267 (4), 265 (4).

Домашнее задание. п. 17, № 273 (2, 4), 274 (1, 4),контрольные вопросы и задания пункта.

18. Свойства и график функции y = sin x (3 ч)

После изучения материала данного пункта учени-ки должны уметь строить график функции у = sin x,знать свойства функции и использовать их при ре-шении уравнений и неравенств. В этом пункте вво-дится определение периодической функции.

Предметные результаты обучения: находитьобласть определения и область значений функцииy = sin x; проверять, является ли заданное числопериодом, находить период функции; решать про-стейшие тригонометрические уравнения и неравен-

24π7

---------- 4π7

-------

4π7

------- 4π7

-------

23π8

---------- 7π8

-------

π

2--- 3π

8------- 3π

8-------

3π8

------- 3π8

-------

2153940o2.fm Page 171 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

172

ства с помощью графика функции y = sin x или еди-ничной окружности; называть свойства функцииy = sin x; строить график функции y = sin x в тетрадии с применением пакетов компьютерных программ ипреобразований графиков; выполнять задания пографику функции y = sin x.

Метапредметные результаты обучения: при-менять пакеты компьютерных программ для постро-ения графиков; применять математические знанияпри решении практических задач.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников строить график функции y = sin x, опи-сывать свойства функции, находить приближенныезначения, сравнивать значения функции.

Комментарии. Объяснение материала проводит-ся в соответствии с изложением учебника. Строитсясинусоида, описываются ее свойства, разбираетсяпример 1 из объяснительного текста, выполняютсязадания из номеров № 275—279.

При выполнении № 277 (1, 2) можно либо сначалапривести к углам первой четверти и воспользоваться

возрастанием функции y = sin x на 0; , либо ис-

пользовать в № 277 (1) убывание функции y = sin x

на ; π , а в № 277 (2) симметрию графика относи-

тельно прямой x = π.

В № 278 учитель должен показать, как на бумагев клетку проводить синусоиду. Дело в том, что вбольшинстве случаев важными оказываются таб-личные значения синуса. Поэтому на оси абсциссудобно выбрать единицу так, чтобы, например,

1 клетка соответствовала числу , а на оси ординат

единица берется равной двум клеткам. При этом, ко-нечно, надо будет предложить школьникам пока-зать, где на оси абсцисс изображаются числа 1, 3, –2и т. д.

π

2---

π

2---

32---

π

6---

2153940o2.fm Page 172 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

173

Можно проигнорировать указание в № 279 о вы-боре единицы. Здесь лучше предложить школьни-

кам по оси абсцисс за взять 4 клетки, а по оси ор-

динат за единицу взять 8 клеток. Полезно сказать,что множества абсцисс выделенных точек в № 279(б, в) являются решениями соответствующих нера-венств.

Домашнее задание. п. 18, № 276 (2, 4, 6, 8), 277 (3, 4).

Цель второго урока: применение свойств четнос-ти и периодичности функции y = sin x к выполнениюзаданий.

Комментарии. В устной работе закрепляютсясвойства четности и промежутки монотонностифункции y = sin x.

У с т н а я р а б о т а1. Четной или нечетной является функция:

а) у = sin2 x; г) у = sin х + ;

б) у = х + sin х; д) у = sin х – ;

в) у = – ; е) у = ?

2. Определите знак разности:a) sin 10° – sin 11°; в) sin 2 – sin 2,1;б) sin 200° – sin 210°; г) sin 350° – sin 360°.

№ 280 решается устно, в № 281 и 282 можно ис-пользовать рисунок из № 278.

Затем обсуждается пример 2 из объяснительноготекста пункта и выполняются задания из № 283, привыполнении которого следует дополнительно обсу-дить вопрос о наименьшем периоде функции. Дляэтого достаточно показать, что минимальное рас-стояние между точками графика с ординатами 1 (на-ибольшим значением функции) равно π. Такими жесоображениями следует воспользоваться при рас-смотрении функции y = {x}, только брать точки с ор-динатами, равными 0.

π

6---

π

4---

π

4---

1sin3 x----------------- x3 sin x

x-----------------------

2153940o2.fm Page 173 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

174

Затем рассматривается задания № 284 (1, 4, 5),в которых используются свойства неравенств.

№ 284 (4). Р е ш е н и е. Известно, что –1� sin x � 1.Умножим неравенство на –2, при этом знаки нера-венства изменим –2 � –2sin x � 2. Прибавим к обеимчастям неравенства число 3, получим 1 � 3 – 2sin x � 5.

После выполнения задания полезно задать уча-щимся д о п о л н и т е л ь н ы й в о п р о с: «Изме-нится ли ответ, если заменить синус на косинус?»

№ 284 (5) выполняется фронтально. Школьникидолжны заметить, что данная функция являетсяквадратным трехчленом относительно z = sin x. По-скольку –1� sin x � 1, трехчлен y = z2 – z + 4 рас-сматривается на промежутке [–1; 1]. Ветви соответ-ствующей параболы направлены вверх, а вершинаимеет абсциссу z0 = 0,5. В этой точке трехчлен при-нимает наименьшее значение, а наибольшее он при-нимает в более удаленном от вершины конце областиопределения — точке z = –0,5. Полезно это рассуж-дение подкрепить рисунком.

Домашнее задание. п. 18, № 284 (2, 3, 6).

Цель третьего урока: формирование умениястроить график функции y = sin x с помощью преоб-разований.

Комментарии. Урок можно начать с проверкивыполнения № 284 (6), а затем фронтально рассмот-реть решение № 287 по аналогии с рассмотренным№ 284. Школьники заметят, что данная функцияявляется квадратным трехчленом относительноz = sin 2x. Поскольку –1 � sin 2x � 1, трехчленy = z2 + 6z + a должен принимать только положи-тельные значения на промежутке [–1; 1]. Здесь так-же полезно сделать схематический рисунок возмож-ного расположения соответствующей параболы,учитывая, что ее вершина имеет абсциссу z0 = –3.

А вот в № 286 (в) проще использовать преобразо-вание графиков. Замена x на 2x приводит к сжатиюграфика в 2 раза к оси ординат, в два раза уменьша-ется и наименьший период функции. Дополнитель-но следует предложить школьникам ответить на

2153940o2.fm Page 174 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

175

вопрос: Как изменится период при замене x на 0,5x?[Наименьший период уменьшается в 2 раза.] Как из-менится период при замене x на 2,5x? [Наименьшийпериод увеличивается в 2,5 раза.]

Разговор о преобразованиях графиков продолжа-ется в № 288.

После построения графиков с помощью преобра-зований полезно еще раз вернуться к вопросу огра-ниченности функций, предложив школьникам най-ти область значений функции: а) y = 2sin (3x – π);

б) y = 1 – sin 2x; в) y = .

Если останется время, полезно обсудить сошкольниками решение № 289. Ключевым вопросомпри построении графиков секанса и косеканса явля-ется поведение дроби, знаменатель которой стремит-ся к нулю, оставаясь при этом: а) положительным;б) отрицательным. Ученики должны сообразить, чтосама дробь при этом стремится в № 289 (а) к +∞,в № 289 (б) — к –∞. Графики имеют вертикальныеасимптоты.

Завершить урок можно фронтальным обсуждени-ем и самостоятельным построением графиков в№ 286 (а, г). Полезно задать дополнительный вопросо четности или нечетности функций из № 285.

Домашнее задание. п. 18, контрольные вопросы изадания к пункту, № 286 (б).

19. Свойства и график функцииy = cos x (3 ч)

После изучения материала данного пункта учени-ки должны уметь строить график функции y = cos x,знать свойства функции и использовать их при ре-шении уравнений и неравенств.

Предметные результаты обучения: находитьобласть определения и область значений функцииy = cos x; строить график функции y = cos x в тетра-ди и с применением пакетов компьютерных про-грамм; решать простейшие тригонометрическиеуравнения и неравенства с помощью графика функ-

24sin 3x – 3---------------------------------

2153940o2.fm Page 175 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

176

ции y = cos x или единичной окружности; называтьсвойства функции y = cos x; выполнять задания пографику функции y = cos x.

Метапредметные результаты обучения: при-менять пакеты компьютерных программ для постро-ения графиков; считывать информацию с графиков;применять прием сравнения при работе с графика-ми, функциями и выражениями.

Цель первого урока: формирование умений стро-ить график функции y = cos x в тетради и с примене-нием пакетов компьютерных программ, описыватьсвойства функции.

Комментарии. На уроке к построению графикафункции у = cos x можно подойти, поставив передшкольниками вопрос о том, какими преобразова-ниями этот график получается из графика функцииy = sin x. В таблице формул приведения в строчке си-

нусов два раза встречается косинус: sin – х =

= cos x и sin – х = cos x. В первом случае для по-

лучения графика косинуса требуется два преобразо-

вания: sin x → sin х + → sin – х , т. е. сдвиг

вдоль оси абсцисс на влево и симметрия относи-

тельно оси ординат, а во втором случае только од-

но — сдвиг на влево. Понятно, что для построения

графика выбирается второе. Можно обратить внима-ние на то, что уже первое преобразование из первоговарианта приводит к функции y = cos x, следова-тельно, симметрия относительно оси ординат не из-меняет графика. Учащиеся должны сделать вывод отом, что искомый график симметричен относитель-но оси ординат, и, значит, функция y = cos x четная.

После этого можно использовать рисунки 94 и 95учебника на с. 141. По графику на рисунке 95 фрон-тально формулируются основные свойства функцииy = cos x.

π

2---

π

2---

π

2--- π

2---

π

2---

π

2---

2153940o2.fm Page 176 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

177

Материал закрепляется при выполнении заданий№ 290—292.

Задания № 290 (1—6) можно выполнить по гра-фику на рисунке 95, а для № 290 (7) школьникам

придется построить график, взяв за на оси абсцисс

6 клеток, а на оси ординат за единицу — четыреклетки. Этот же график ученики могут использоватьпри выполнении № 291. В № 292 (как и в № 279) за

на оси абсцисс удобно взять 12 клеток.

Затем рассматривается пример 1 из объяснитель-ного текста и выполняется № 293 (1, 3).

Завершается урок самостоятельным выполнени-

ем № 295, 296 на оба номера достаточно одного гра-

фика, при построении которого за на оси абсцисс

берется 1 клетка, а на оси ординат за единицу —

2 клетки . Выполнение каждого из указанных номе-

ров представляет собой отдельную самостоятельнуюработу. Между этими работами с учениками фрон-тально решается № 294 (1, 3).

Домашнее задание. п. 19, пример 1, № 293 (2, 4),294 (2, 4).

Цель второго урока: формирование умения ис-пользовать свойства функции y = cos x при выполне-нии заданий.

Комментарии. После проверки домашнего зада-ния перейдем к изучению материала учебника.Прежде чем выполнить № 298, полезно фронтальновыполнить со школьниками следующие з а д а н и я.

Найти наибольшие и наименьшие значенияфункции:

а) у = cos 2х + ; в) у = 1 + 2cos2 x;

б) у = 3 + 2cos х – ; г) у = 1 – 3|cos 5x |.

π

2---

π

2---

π

6---

π

3---

π

6---

2153940o2.fm Page 177 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

178

Выражения а) и б) принимают свои наибольшие инаименьшие значения, когда косинус равен 1 или–1. Выполняя задание г), школьники должны отме-тить, что данная разность принимает наименьшеезначение, когда вычитаемое принимает свое наиболь-шее значение, т. е. когда косинус равен 1. В этом слу-чае наименьшее значение равно 1 – 3 = –2. Наи-большее значение это выражение принимает присos 5x = 0.

Аналогичные рассуждения (только о числителе изнаменателе) проводятся школьниками при реше-нии № 298 (1, 3).

При рассмотрении № 299 (3) внимание школьниковвновь обращается на то, что при сжатии графика в 2 ра-за его наименьший период уменьшился в 2 раза.

После этого школьникам предлагается устно вы-полнить № 301. Встает вопрос о том, как определитьнаименьший период в более трудных случаях, на-пример для функций в № 297. Понятно, что 2π явля-ется периодом этих функций. Рассматривая значе-ния x, при которых функции обращаются в нуль, по-лучаем, что соседние нули отстоят друг от друга на π,значит, период не может быть меньше π. Остаетсяпроверить, является ли π периодом, т. е. верно ли,что tg (x ± π) = tg x и сtg (x ± π) = ctg x (о симметрииобласти определения относительно начала коорди-нат следовало сказать, когда речь еще шла о периоде2π).

При обсуждении № 302 (3) полезно обратить вни-мание школьников на то, что данная функция явля-ется суммой нечетной и четной функций. Затемсформулировать вопрос о четности суммы двух чет-ных, двух нечетных функций, произведения и част-ного четной и нечетной функций, двух нечетныхфункций, двух четных функций. Так, например, от-вечая на вопрос о произведении двух нечетныхфункций, школьники говорят о том, что при измене-нии знака аргумента знак меняет каждый из двухмножителей, а значит, произведение знак не меня-ет, т. е. функция является четной.

2153940o2.fm Page 178 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

179

После того как ответы на эти вопросы будут полу-чены, можно предложить школьникам устно ре-шить № 302 (4, 5).

Завершить урок можно рассмотрением болеесложного з а д а н и я на тему квадратного трехчле-на: «Найти наибольшее и наименьшее значенияфункции y = 2cos2x – cos x + 3». Здесь замена cos xна z сводит задачу к нахождению наименьшего и на-ибольшего значений, которые принимает квадрат-ный трехчлен y = 2z2 – z + 3 на промежутке [–1; 1].Вершина соответствующей параболы расположенавнутри промежутка ближе к его правой границеz0 = 0,5, а ее ветви направлены вверх. Значит, на-именьшее значение трехчлен принимает при z = 0,5,т. е. 2•0,52 – 0,5 + 3 = 3, а наибольшее при z = –1,т. е.

y = 2•(–1)2 – (–1) + 3 = 6.

Домашнее задание. п. 19, № 298 (2), 302 (1, 2, 6).

Цель третьего урока: закрепление материалапункта.

Комментарии. В начале урока школьникампредлагается математический диктант.

Математический диктант

Вариант 1

1. Возрастает или убывает на промежутке 0;

функция y = sin x?2. Четной или нечетной является функция

y = cos x + sin2 x?3. Чему равен период функции y = sin (3x + 1)?4. Какова область значений функции y = 2 + 3cos x?5. Какой знак имеет разность sin 90° – sin 100°?

6. Решите уравнение cos x = – .

7. Решите неравенство sin x < .

π

2---

32

-------

2

2153940o2.fm Page 179 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

180

Вариант 2

1. Возрастает или убывает на промежутке 0;

функция y = cos x?2. Четной или нечетной является функция

y = ?

3. Чему равен период функции y = cos (0,5x – 2)?4. Какова область значений функции y = 3 – 2sin x?5. Какой знак имеет разность cos 90° – cos 100°?

6. Решите уравнение sin x = .

7. Решите неравенство cos x > .

Затем с помощью тригонометрического круга,изображенного на доске, фронтально сравниваютсязначения:

а) sin 58° и cos 58°;б) sin 18° и cos 18°; в) cos 80° и sin 20°.После этого разбирается пример 2 из объясни-

тельного текста (оба способа и по графику, и с по-мощью единичного круга). Затем школьникам пред-лагается с е р и я с а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т:

С1: № 303 (1) двумя способами;С2: № 303 (4) двумя способами;С3: № 304 (2) с помощью круга.

Домашнее задание. п. 19, № 303 (2, 3), 304 (3, 4),контрольные вопросы и задания пункта.

20. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x (2 ч)

В результате изучения данного пункта учащиесядолжны знать свойства функций y = tg x и y = ctg x иуметь применять их при выполнении заданий.

Предметные результаты обучения: находитьобласть определения и область значений функцийy = tg x и y = ctg x; решать простейшие тригономет-рические уравнения и неравенства с помощью гра-фиков функций y = tg x и y = ctg x или единичной

π

2---

cos xsin3 x-----------------

22

-------

2

2153940o2.fm Page 180 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

181

окружности; выполнять задания по графикам функ-ций y = tg x и y = ctg x; строить графики функцийy = tg x и y = ctg x в тетради и с помощью пакетовкомпьютерных программ.

Метапредметные результаты обучения: уста-навливать истинность утверждений; использоватьпакеты компьютерных программ для построенияграфиков функций.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников строить графики функций y = tg x иy = sin x и формулировать их свойства.

Комментарии. Изложение материала проводит-ся по учебнику. Учитель комментирует рисункиучебника. При этом желательно рассмотреть пове-дение функций y = tg x и y = sin x вблизи началакоординат. Этот материал будет использоваться в11 классе.

После того как был получен график функцииy = tg x, с его помощью формулируются свойствафункции и в связи с установлением промежутковвозрастания устно выполняется № 305 (2).

Затем школьникам предлагается построить в тет-радях по характерным точкам график функцииy = tg x. Учитель показывает на доске, как строитсятангенсоида и формулируется п л а н ее построения:

(1) проводятся вертикальные асимптоты;(2) отмечаются точки графика, в которых tg x = 0

и tg x = ±1;(3) проводится тангенсоида.В тетрадях ученики за единицу могут взять

2 клетки (с учетом предстоящего выполнения№ 306. Нет смысла брать разные единичные отрезкина координатных осях, хотя о такой возможностистоит упомянуть).

Пройдя по классу и просмотрев полученные в тет-радях графики, учитель предлагает использовать ихдля выполнения заданий № 306.

Затем рассматривается график функции y = ctg x.Считываются свойства, устно выполняется № 305(3), строится в тетрадях график функции y = ctg xи выполняется № 307.

2153940o2.fm Page 181 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

182

После этого построенные графики используютсядля выполнения заданий № 308 (1), 309 (1) и реше-ния неравенств № 310 (1, 4). Полезно дополнительнорассмотреть, как решается неравенство № 310 (3)с помощью оси тангенсов.

Завершается урок обсуждением примера 1 из объ-яснительного текста учебника.

Домашнее задание. п. 20, пример 1, № 309 (2), 311,313, 314, 315 (1, 4).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников применять свойства тригонометриче-ских функций к выполнению разнообразных зада-ний.

Комментарии. На уроке после обсуждения до-машнего задания устно выполняется № 312, в кото-ром данные функции рассматриваются как раз-личные комбинации четных и нечетных функций.В № 312 (6) область определения не симметрична от-носительно нуля (–1 входит в нее, 1 — нет), значит,функция не является ни четной, ни нечетной. В за-дании № 312 (8) изменение знака у x изменяет знакдроби, которая является аргументом синуса, а зна-чит, и сама функция изменяет знак. С учетом сим-метричности ее области определения относительнонуля делается вывод о нечетности функции.

Затем рассматривается пример 2 из объяснитель-ного текста учебника. Полезно предложить школь-никам изобразить график рассматриваемой в этомпримере функции.

Во всех заданиях № 312 следует учитывать про-межутки непрерывности, так как период не можетбыть меньше расстояния между соседними точкамиразрыва, в которых функции не определены. А в за-дании № 312 (1) ответ можно получить сразу из сооб-ражений, связанных с преобразованием графика.

После этого школьники самостоятельно решают№ 317, ответы к которому обсуждаются.

Устно выполняется № 318, в котором сначалауказываются значения из промежутка [0; 2π] или[0; π], а затем к ним добавляются периоды.

2153940o2.fm Page 182 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

183

№ 320 (1, 2) выполняются письменно, а между ни-ми с учениками фронтально рассматривается № 319.

Завершается урок письменным выполнением споследующей проверкой № 322 (2), в котором учени-ки должны построить графики, взяв за единицу накоординатных осях 5 клеток.Домашнее задание. п. 20, № 320 (3, 4), 321 (1), 322

(1).

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ«СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»Зачет проводится по карточкам, которые включа-

ют устные вопросы и письменные задания.К а р т о ч к а 11. Что такое угол в один радиан?2. Выразите 1,5π в градусах.3. Выразите 100° в радианах.

4. Вычислите sin + cos – + tg – .

5. Найдите корни уравнения 2sin x + 1 = 0, прина-длежащие отрезку [0; 2π].

6. Решите неравенство cos x < 0.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = sin x постройте график функции y = 2sin (x – π).

8. Определите знак выражения sin 124° – sin 142°.9 . Докажите, что tg (–α) = –tg α.10 . При каких значениях а неравенство cos x < a:

а) не имеет решений; б) выполняется при любыхзначениях х; в) не имеет среди своих решений

числа ?

К а р т о ч к а 21. Что называется синусом и косинусом любого

угла ϕ?2. Выразите 1,3π в градусах.3. Выразите 210° в радианах.

4. Вычислите sin – + cos – – ctg – .

5π4

------- π

4--- 27π

4----------

2π3

-------

37π6

---------- π

3--- 5π

2-------

2153940o2.fm Page 183 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

184

5. Найдите корни уравнения 2cos x + = 0, при-надлежащие отрезку [0; 2π].

6. Решите неравенство cos x > 0.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = cos x постройте график функции

у = cos (x + π).

8. Определите знак выражения tg 220° – tg 212°.9 . Докажите, что cos (π – α) = –cos α.10 . При каких значениях а неравенство sin x < a:

а) не имеет решений; б) выполняется при любыхзначениях х; в) не имеет среди своих решений

числа ?

К а р т о ч к а 3

1. Что называется тангенсом и котангенсом любогоугла ϕ?

2. Выразите 1,75π в градусах.3. Выразите 300° в радианах.

4. Вычислите cos π – sin – + tg2 .

5. Найдите корни уравнения sin – х = sin – ,

принадлежащие отрезку [0; 2π].6. Решите неравенство sin x < 0.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = tg x постройте график функции

y = 1 + tg x + .

8. Определите знак выражения ctg 315° – ctg 320°.

9 . Докажите, что cos – α = –sin α.

10 . Определите, при каких значениях а уравнениеsin x = a + 1 имеет решения.

К а р т о ч к а 4

1. Сформулируйте определение арксинуса.2. Выразите 2,25π в градусах.

3

12---

2π3

-------

5π2

------- 4π3

-------

π

2--- π

4---

π

2---

3π2

-------

2153940o2.fm Page 184 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

185

3. Выразите 24° в радианах.4. Вычислите tg 420° + 2 sin 870°– 2cos 1410°.

5. Найдите корни уравнения 2sin х + + = 0,

принадлежащие отрезку [0; 2π].6. Решите неравенство sin x > 1.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = ctg x постройте график функции

y = 1 + ctg x + .

8. Определите знак выражения sin 315°tg 167°.

9 . Докажите, что sin + α = cos α.

10 . Определите, при каких значениях а уравнениеcos x = a + 2 имеет решения.

К а р т о ч к а 5

1. Сформулируйте определение арккосинуса.2. Выразите 2,4π в градусах.3. Выразите 72° в радианах.4. Вычислите 3tg 930° + sin 1200° – cos 1770°.5. Найдите корни уравнения

соs (2π – х) + sin + x = ,

принадлежащие отрезку [0; 2π].6. Решите неравенство tg x < 1.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = tg x постройте график функции

y = –tg x – .

8. Определите знак выражения cos 115°ctg 190°.9 . Докажите, что sin (–α) = – sin α.10 . Определите, при каких значениях а уравнение

cos 2x = 3a – 1 имеет решения.

К а р т о ч к а 6

1. Сформулируйте определение арктангенса.2. Выразите 0,75π в градусах.3. Выразите 96° в радианах.4. Вычислите 2sin 750° + sin 1230° + ctg 1395°.

π

2--- 2

π

4---

π

2---

π

2--- 2

π

2---

2153940o2.fm Page 185 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

186

5. Найдите корни уравнения

cos x + cos – x + cos (x + π) = 0,

принадлежащие отрезку [0; 2π].6. Решите неравенство tg x > 1.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = sin x постройте график функции y = |sin x| + 1.

8. Определите знак выражения .

9 . Докажите, что tg + α = –ctg α.

10 . Определите, при каких значениях а уравнениеsin 2x = 5a + 1 имеет решения.

К а р т о ч к а 71. Сформулируйте определение арккотангенса.2. Выразите 3,3π в градусах.3. Выразите 100° в радианах.4. Вычислите tg 585° + cos 1500° – cos 1080°.5. Найдите корни уравнения sin

sin (π + x) – cos – х = ,

принадлежащие отрезку [0; 2π].6. Решите неравенство ctg x < 1.7. С помощью цепочки преобразований графика

y = sin x постройте график функции y = |cos x| – 1.

8. Определите знак выражения .

9 . Докажите, что tg + α = – ctg α.

10 . Определите, при каких значениях а уравнение

cos 2х + = 1– 2α имеет решения.

Ответы к зачетуКарточка 1. 2. 270°. 3. . 4. 1. 5. ; .

6. + 2πn; + 2πn , n � Z. 8. Минус. 10. а) a < –1;

б) a > 1; в) а < –0,5.

π

2---

cos 105°tg 280°------------------------

3π2

-------

π

2--- 3

sin 567°ctg 723°------------------------

π

2---

π

2---

5π9

------- 7π6

------- 11π6

----------

π

2---

?? 3π

2-------

?

?

2153940o2.fm Page 186 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

187

Карточка 2. 2. 234°. 3. . 4. 0. 5. ; .

6. – + 2πn; + 2πn , n �Z. 8. Плюс. 10. а) a < –1;

б) a > 1; в) a � .

Карточка 3. 2. 315°. 3. . 4. 5. 5. ; .

6. (π + 2πn; 2π + 2πn), n � Z. 8. Плюс. 10. –2 � a � 0.

Карточка 4. 2. 405°. 3. . 4. 1. 5. ; .

6. (2πn; π + 2πn), n � Z. 8. Плюс. 10. –3 � a � –1.

Карточка 5. 2. 432°. 3. . 4. . 5. ; .

6. – + πn; + πn , n � Z. 8. Минус. 10. 0 � a � .

Карточка 6. 2. 135°. 3. . 4. . 5. 0; π; 2π.

6. + πn; + πn , n � Z. 8. Плюс. 10. –0,4 � a � 0.

Карточка 7. 2. 594°. 3. . 4. . 5. ; .

6. + πn; π + πn , n � Z. 8. Минус. 10. 0 � a � 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4ТЕМА «СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»

Вариант 1I уровеньВ заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-

таете верным.1. Переведите 120° из градусной меры в радианную.

А. ; Б. π; В. ; Г. .

2. Переведите 2,5π из радианной меры в градусную.А. 250°; Б. 360°; В. 400°; Г. 450°.

7π6

------- 5π6

------- 7π6

-------

?

? π

2--- π

2---

?

?

32

-------

5π3

------- 3π4

------- 5π4

-------

2π15------- 3π

4------- 5π

4-------

2π5

------- 3 π

4--- 7π

4-------

?

? π

2--- π

4---

?

? 23---

8π15------- 1

2---

π

4---

?? π

2---

?

?

5π9

------- 12--- 4π

3------- 5π

3-------

π

4---

??

?

?

3π4

------- 2π

3------- 2π

6-------

2153940o2.fm Page 187 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

188

3. Найдите область значений функции f(x) = 2sin x – 1.

А. [–3; 1]; В. [–2; 1];Б. [–2; 0]; Г. [–2; 2].

4. Укажите нечетную функцию.А. у = cos x; В. у = log5х;

Б. у = ctg x; Г. у = 5x.

5. Найдите корни уравнения 2cos x + = 0, прина-длежащие отрезку [π; 2π].

А. ; Б. ; В. ; Г. – .

II уровень

6. Найдите значение выражения

tg – 2sin – – cos 3π.

7. Решите неравенство sin x < .

8. Найдите корни уравнения

sin (π – x) – cos + x = – ,

принадлежащие отрезку [0; 2π].

III уровень

9. Решите неравенство cos x � 1 + x2.10. Чему равен arcsin (sin 4)?

Вариант 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.1. Переведите 210° из градусной меры в радианную.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

2. Переведите 1,75π из радианной меры в градус-ную.А. 115°; Б. 215°; В. 315°; Г. 415°.

2

7π4

------- 5π4

------- 3π4

------- 3π4

-------

7π4

------- π

6---

32

-------

π

2--- 2

7π6

------- 5π6

------- 7π3

------- 5π3

-------

2153940o2.fm Page 188 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

189

3. Найдите область значений функции: f(x) = 1 – 5cos x.

А. [0; 2]; В. [–4; 5];Б. [–5; 5]; Г. [–4; 6].

4. Укажите четную функцию.А. у = х9; В. y = log5 x;

Б. y = – ; Г. y = cos x.5. Найдите корни уравнения 2sin + 1 = 0, принадле-

жащие отрезку ; .

А. ; Б. ; В. ; Г. .

II уровень

6. Найдите значение выражения:

cos π – sin – + tg2 .

7. Решите неравенство cos x < .

8. Найдите корни уравнения

cos (π – х) + sin + х = 1,

принадлежащие отрезку [0; 2π].

III уровень

9. Решите неравенство cos x � 1 + 2x.10. Чему равен arcos (cos 4)?

Ответы к контрольной работе № 4

Вариант 1. 1. В. 2. Г. 3. А. 4. Б. 5. Б. 6. 1.

7. + 2πn; + 2πn , n � Z. 8. ; . 9. х = 0.

10. π – 4.Вариант 2. 1. А. 2. В. 3. Г. 4. Г. 5. А. 6. 3.

7. + 2πn; + 2πn , n � Z. 8. ; . 9. Нет

решений. 10. 2π – 4.

x7

π

2--- 3π

2-------

7π6

------- 5π6

------- 4π3

------- 2π3

-------

5π2

------- 4π3

-------

32

-------

3π2

-------

2π3

------- 7π3

------- 5π4

------- 7π4

-------

π

6--- 11π

6---------- 2π

3------- 4π

3-------

2153940o2.fm Page 189 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

190

21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента (3 ч)

Предметные результаты обучения: применятьизученные тождества для вычисления значений вы-ражений, решения уравнений и неравенств и дока-зательства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: пере-водить информацию из одного вида в другой; дока-зывать утверждения; классифицировать тождества.

Цель первого урока: выведение всех зависимостеймежду тригонометрическими функциями одного итого же аргумента.

Комментарии. На уроке выводятся все зависи-мости между тригонометрическими функциями од-ного и того же аргумента. При рассмотрении тож-деств 1 – sin2 ϕ = cos2 ϕ и 1 – cos2 ϕ = sin 2 ϕ полезнообратить внимание на формулу разности квадратов влевых частях равенств. Все формулы выписываютсяв столбик в правой части доски (можно использоватьтаблицу), и при ответах ученики выбирают нужнуюиз них.

У с т н а я р а б о т а1. Могут ли одновременно выполняться равенства:

а) tg α = 5, ctg α = 0,2; г) sin α = , tg α = ;

б) cos α = , sin α = ; д) tg α = , ctg α = 1,5;

в) cos α = , tg α = ; e) cos α = ,

sin α = ?

2. Могут ли sin α и cos α одновременно равнятьсянулю?

3. Могут ли tg α и ctg α по абсолютной величинебыть:

а) оба больше 1; б) оба меньше 1?

23--- 2 5

5-----------

513------- 12

13------- 2

3---

34--- 2

3--- a

a2 + b2------------------------

–b

a2 + b2------------------------

2153940o2.fm Page 190 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

191

При ответе на вопросы учащиеся должны назы-вать тождества, которыми они пользуются. По воз-можности выбирается формула, в которую входятобе указанные функции. В задании г) нет формулы,в которую входят синус и тангенс. Здесь школьникимогут предложить два способа выполнения задания:

Способ 1. sin α → sin2 α → cos2 α → tg2 α.Способ 2. tg α → ctg α → 1 + ctg2 α → sin2 α.Затем разбирается пример 2 из объяснительного

текста пункта. В список формул заносится еще однамодификация основного тригонометрического тож-

дества: |cos α | = .После чего устно анализируются все задания

№ 324. Учащиеся должны указать формулы, кото-рыми нужно будет воспользоваться и определитьзнаки искомых тригонометрических функций, а взаданиях № 324 (3—8) сначала необходимо опреде-лить четверть, в которой находится угол. При рас-смотрении задания 3 список пополнится формулой

|sin α | = .План выполнения заданий реализуется в с а м о-

с т о я т е л ь н ы х р а б о т а х, в которые войдут№ 324 (1, 5, 7). Между второй и третьей работамифронтально рассматривается № 326 (1), записи привыполнении которого выполняются на доске:

= = = = –7.

Затем анализируется № 325, в выражениях кото-рого ученики находят фрагменты формул и называ-ют их. В некоторых случаях можно сразу назватьответ, например в № 325 (1): 1 – sin2 α = cos2 α.В № 325 (2) сначала надо вынести знак «минус» заскобку: –(1 – cos2 β) = –sin2 β. В третьем и четвертомзаданиях тангенс и котангенс заменяются через си-нус и косинус. В № 325 (4) получим: cos α•tg α =

= cos α• = sin α. В № 325 (5) по основному

1 – sin2 α

1 – cos2 α

4sin α – 5cos α2sin α – cos α

-------------------------------------------- 4tg α – 52tg α – 1---------------------------

83--- – 5

43--- – 1-------------- 8 – 15

4 – 3------------------

sin αcos α--------------

2153940o2.fm Page 191 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

192

тригонометрическому тождеству заменим cos2 β == 1 – sin2 β и, применив формулу разности квадра-тов, сократим на 1 + sin β и получим 1 – sin β. Фор-мулу разности квадратов необходимо применитьи в заданиях № 325 (7, 8).

В № 325 (9) сначала уменьшаем число разныхфункций, заменяя тангенс и котангенс через синус икосинус, приводим к общему знаменателю, сокра-щаем и т. д.

В № 325 (11, 12) сначала приводим дроби к обще-му знаменателю, в котором после применения фор-мулы получим либо sin2 β, либо cos2 β, затем упроща-ем числители дробей.

В № 325 (15, 16) можно сначала применить фор-мулу корня из дроби, после чего привести дробик общему знаменателю.

Самостоятельно выполняются сначала № 325(9, 11), затем после проверки № 325 (12, 15).

Домашнее задание. п. 21, примеры 2 и 3, № 324(4, 6, 8), 325 (6, 10,16), 326 (2).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников применять формулы для доказательст-ва тождеств и решения уравнений.

Комментарии. Начинается урок с проверки до-машнего задания.

№ 325 (10). Р е ш е н и е.

•ctg α = • = tg α.

Затем проводится устная фронтальная работас классом.

У с т н а я р а б о т аУпростите выражение:

1) 1 – соs2 β;

2) + tg α ctg α;

3) sin β + cos β tg β;

4) sin2 2α – 1;

sin2 α1 – sin2 α---------------------------- sin2 α

cos2 α----------------- cos α

sin α--------------

sin2 α – 1cos2 α – 1----------------------------

2153940o2.fm Page 192 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

193

5) ;

6) + ;

7) 1 + sin 1 – sin ;

8) + tg α – tgα ;

9) .

После чего начинается работа с учебником. Ана-лизируются № 327 (1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14). Передвыполнением номера полезно вспомнить, что значитдоказать тождество, как доказывают тождества.Следует напомнить школьникам, что преобразовы-вать можно или любую из частей равенства до ее сов-падения с другой его частью, или преобразовыватьобе части до их совпадения. При анализе заданийученики, как и в № 325, находят фрагменты формулили предлагают преобразования, которые можновыполнить. В № 327 (1) можно привести дроби в раз-ных частях к общему знаменателю.

Желательно при работе с заданиями номера пред-лагать школьникам указывать допустимые значе-ния переменной. Множество допустимых значенийможно описывать, перечисляя условия, которыедолжны выполняться. Так, например, в № 327 (2)ученик может сказать, что sin α ≠ –cos α, cos α ≠ 0 иtg α ≠ –1. Учитель, конечно, может попросить ука-

зать ограничение и на α: α ≠ – + πn, α ≠ + πn,

n � Z.Диалог учителя с учениками по выполнению за-

даний может быть следующим: Как из левой части в№ 327 (2) получить правую часть равенства? [Разде-лить числитель и знаменатель на cos α.] Как из пра-вой части получить левую? [Воспользоваться опре-

cos2 2α – 11 – sin2 2α--------------------------------

11 + tg2 α-------------------------- 1

1 + ctg2 α-----------------------------

x2--- x

2---

1cos α-------------- 1

cos α--------------

sin α + β( )

tg α + β( )----------------------------

π

4--- π

2---

2153940o2.fm Page 193 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

194

делением тангенса и котангенса, привести к общемузнаменателю и числитель, и знаменатель и сокра-тить дробь.] Какой способ проще? [Первый, т. е.работа с левой частью.]

В № 327 (4) сначала нужно сгруппировать второеи третье слагаемые, вынести общий множитель идважды применить основное тригонометрическоетождество. Остальные задания, которые вызываюттрудности, подробно разбираются на доске.

Проводятся с е р и и с а м о с т о я т е л ь н ы хр а б о т:

С1: № 327 (2, 4, 6); С2: № 327 (8, 10).Между самостоятельными работами на доске раз-

бирается № 327 (12).Затем аналогичная работа проводится с № 329:

краткий устный анализ заданий фронтально, затемсамостоятельно письменно № 329 (2, 4), 329 (6, 8).

Домашнее задание. п. 21, примеры 1 и 4, № 327 (1,3, 5), 329 (1, 3, 5).

Цель третьего урока: закрепление материалапункта.

Комментарии. После обсуждения домашнего за-дания рассматривается № 331.

В о п р о с. Как, зная сумму тангенса и котанген-са, найти значение суммы их квадратов? [Возвестисумму в квадрат.] Необходимо это сделать в тетра-дях и прокомментировать свое решение.

Затем полученный результат используется длянахождения суммы четвертых степеней тангенса икотангенса.

После этого анализируются задания № 328 (1, 3,5), в которых с помощью формул приведения все уг-лы сначала приводятся к углам от 0° до 45°. Само-стоятельно в тетрадях выполняются № 329 (7).

Желательно дополнительно предложить школь-никам з а д а н и е 1.

Составьте план и решите уравнение

3tg x – ctg x + 2 = 0.

2153940o2.fm Page 194 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

195

Р е ш е н и е. Выразить котангенс через тангенс ипривести к квадратному уравнению относительнотангенса:

3tg x – + 2 = 0, 3tg2 x + 2tg x – 1 = 0, tg x = –1

или tg x = ; х = – + πп, х = arctg + πп, n � Z.

Между самостоятельными работами можно рас-смотреть з а д а н и е № 2.

Найдите все значения a, при которых не имееткорней уравнение sin2 x + cos x + a = 0.

Р е ш е н и е. Сначала получаем квадратное урав-нение относительно cos x:

1 – cos2 x + cos x + a = 0, cos2 x – cos x – (a + 1) = 0.

Это уравнение не имеет корней при тех же значени-ях a, при которых уравнение z2 – z – (a + 1) = 0 не име-ет корней на отрезке [–1; 1]. Поскольку вершина па-раболы f(z) = z2 – z – (a + 1) имеет абсциссу z0 = 0,5,требованию удовлетворяют два случая:

1) D < 0 и 2)

Имеем: 1) 1 + 4(a + 1) < 0, 4a < –5, a < – ;

2) a > 1.

Ответ:, a < – , a > 1.

П р и м е ч а н и е. Можно было учесть, что верши-на соответствующей параболы дальше от левого кон-ца промежутка, и вместо системы неравенств огра-ничиться одним неравенством f(–1) < 0.

Затем фронтально с классом выполняется № 332.Здесь можно обойтись и без формул. Так, в задании№ 332 (1) ученики могут заметить, что из неравенст-ва sin α < 0,5 с учетом того, что α находится в первой

четверти, следует неравенство 0� α � , из которого

1tg x------------

13--- π

4--- 1

3---

f(–1) < 0),f(1) < 0.

54---

1 + 1 – a – 1 < 0,1 – 1 – a – 1 < 0;

a > 1,a > –1;

54---

π

6---

2153940o2.fm Page 195 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

196

в свою очередь вытекает, что < cos α � 1, значит,

cos α > 0,5. А в задании № 332 (2) при α = и тан-

генс, и котангенс равны 1, т. е. одновременно мень-ше 2.

№ 330 выполняется школьниками самостоятель-но.

Завершается урок в сильном классе фронтальнымобсуждением № 333. В задании № 333 (1) достаточновспомнить, что синус и косинус представляют собойдлины катетов прямоугольного треугольника с гипо-тенузой 1.

А в слабом классе полезно выполнить оставшиесязадания: № 325 (12), 327 (7, 9), 328 (2, 4).

Домашнее задание. п. 21, № 328 (2, 4, 6), 330, конт-рольные вопросы и задания к пункту.

22. Синус и косинус суммы и разности двух углов (3 ч)

Предметные результаты обучения: записыватьформулы синуса и косинуса суммы и разности двухуглов; применять их для вычисления значений вы-ражений, решения уравнений и неравенств, а такжедоказательства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: нахо-дить закономерности и сравнивать их; классифици-ровать тождества; доказывать утверждения.

Цель первого урока: выведение формул синуса икосинуса суммы и разности двух углов и применениеих для выполнения заданий.

Комментарии. Урок начинается с устной работы,подводящей к теме урока.

У с т н а я р а б о т а1. Упростите выражение:

а) cos (α + β) tg (α + β);

б) sin (α – β) ctg (α – β) + cos (α – β);

32

-------

π

4---

2153940o2.fm Page 196 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

197

в) ;

г) .

2. Что объединяет все задания? [Аргументами функ-ций являются суммы или разности углов.] Темойурока являются формулы преобразований синусаи косинуса суммы и разности углов.

На уроке выводятся сразу все формулы, так какони взаимосвязаны и легко выводятся одна из дру-гой. В связи с тем, что записи довольно громоздкие,лучше изучать материал пункта по учебнику с ком-ментированием.

Сначала необходимо вспомнить со школьниками,как найти расстояние между двумя точками коорди-натной плоскости (второй абзац объяснительноготекста пункта). Затем с предварительным обсужде-нием школьники самостоятельно выполняют зада-ние № 334 (1). Длину хорды, найденной по формуле,легко найти как гипотенузу прямоугольного равно-бедренного треугольника с катетами, равными 1. За-тем ученики выполняют № 334 (4).

После этого рассматривается рисунок 105 в учеб-нике и комментируются выкладки на с. 161—163.При изучении материала учитель задает вопросы,ответы на которые ученики находят в объяснитель-ном тексте.

1. Какие координаты имеют точки P0, Pα + β?2. Как найти расстояние между точками P0 и Pα + β?3. Какие координаты имеют точки Pα, P–β?4. Как найти расстояние между точками Pα и P–β?5. Объясните, почему хорды P0Pα + β и PαP–β

равны.6. Объясните, какие преобразования проведены

над равенством?7. Получили тождество, которое называется коси-

нусом суммы. Прочтите это тождество по-разному.[Косинус суммы углов равен разности произведенийкосинусов этих углов и их синусов. Косинус суммы

sin α – β( ) – sin β – α( )

cos α – β( ) + cos β – α( )--------------------------------------------------------------------

tg 2α – β( ) – tg β – 2α( )

ctg β – 2α( ) – ctg 2α – β( )----------------------------------------------------------------------------

2153940o2.fm Page 197 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

198

углов α и β равен произведению косинуса α на коси-нус β минус произведение синуса α на синус β.]

8. Как из этой формулы получить формулу коси-нуса разности?

9. Как получить формулы синуса суммы и синусаразности?

Все формулы записываются на доске или выве-шиваются справочные таблицы.

10. Перечислите, какие тождества вы сегоднявывели?

11. Сравните тождества между собой. Что у нихобщего, чем они отличаются?

Затем выполняется № 335. Сначала проводитсяустный анализ заданий, называются формулы, кото-рыми нужно воспользоваться. Те задания, в кото-рых используются табличные значения тригономет-рических функций, выполняются письменно. Прианализе следует обратить внимание на задания№ 335 (6, 9, 10, 11). Их можно выполнить двумя спо-собами: по формулам суммы и разности косинуса исинуса или по формулам приведения. Встает вопрос:какой способ проще?

Затем ученики самостоятельно решают задания№ 335 (1, 3, 5, 7, 9). Ответы проверяются устно.

После этого обсуждается план выполнения№ 336, и нечетные задания этого номера выполня-ются самостоятельно.

Завершает урок № 337 (1). Угол 15° выражается че-рез заданные углы двумя способами: 15° = 45 – 30° == 60° – 45°. Можно предложить первый способ вы-полнить первому варианту, а второй — второму.

Домашнее задание. п. 22, № 335 (2, 4, 6, 8, 10, 12,14), 336 (2, 4, 6), 337 (3), 338 (1).

Цель второго урока: применение изученных тож-деств к упрощению выражений.

Комментарии. На уроке устно выполняется№ 337 (2) и проверяется из домашнего задания№ 338 (1), затем обсуждается № 339.

2153940o2.fm Page 198 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

199

№ 339. Р е ш е н и е. Пусть даны cos α и cos β, тог-да косинус третьего угла γ равен:

cos (π – (α + β) = –cos (α + β) = sin αsin β – cos αcos β.

По данным косинусам можно определить значе-ния синусов. Сами вычисления проводить на урокенеобязательно, можно перенести их в домашнюю ра-боту, где некоторые ученики смогут использоватькомпьютеры или калькуляторы. Полезно сравнить№ 338 (1, 2) и № 339. Обсудить, почему для одно-значности решения в № 338 указывается, что тре-угольник остроугольный, а в № 339 такое указаниене нужно. Полезно провести параллель с известнымгеометрическим фактом неоднозначности постро-ения треугольника по двум сторонам и углу, лежа-щему напротив меньшей из них.

Затем школьники выполняют № 340 (1, 3), 341(1, 3), анализируют выражения в № 342, 343, 344, вкоторых они должны найти фрагменты изученныхформул. После анализа школьникам предлагаетсявыполнить самостоятельно № 342 (1, 3), 343 (1, 3),344 (1, 3).

Домашнее задание. п. 22, № 342 (2), 343 (2, 4), 344(2, 4).

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников решать уравнения с использованиемизученных тождеств.

Комментарии. В начале урока проводится само-стоятельная работа по изученному ранее материалу.В первом задании этой работы ученикам нужно дога-даться о том, что надо представить 2α как α + α.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Известно, что sin α = – , π < α < . Найдите

sin 2α.2. Решите уравнение:

sin 3x sin 2x + cos 3x cos x = –0,5.

27--- 3π

2-------

2153940o2.fm Page 199 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

200

Вариант 2

1. Известно, что sin α = – , π < α < . Найдите

cos 2α.2. Решите уравнение:

cos 4x sin 2x + cos 2x sin 4x = –0,5.

Проверка домашнего задания следует за само-стоятельной работой, затем выполняются самостоя-тельно с предварительным обсуждением № 345—352. Из каждого номера разбираются все задания.

Фронтально разбирается № 345, письменно вы-полняются № 346, фронтально № 347 (1), письменно№ 352 (1), фронтально № 348, письменно № 352 (3),фронтально № 351 (2).

Домашнее задание. п. 22, № 351 (1), 352 (2, 4).

23. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов (2 ч)

Предметные результаты обучения: записыватьформулы тангенса суммы и тангенс разности двухуглов; применять их для вычисления значений вы-ражений, решения уравнений и неравенств и дока-зательства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: уста-навливать истинность утверждений; приводить при-меры и контрпримеры; составлять план выполнениязадания и его реализовывать.

Цель первого урока: формирование умения вы-водить тождества тангенса суммы и тангенса разнос-ти двух углов, применять их для вычисления значе-ний выражений и упрощения выражений.

Комментарии. На уроке сначала рассматривает-ся выполненное домашнее задание, затем выводятсяформулы тангенса суммы и тангенса разности двухуглов. Работа ведется с учебником, а формулы выно-сятся на доску.

На следующем этапе урока школьники с месткомментируют задания пункта. Опрашивать учени-

27--- 3π

2-------

2153940o2.fm Page 200 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

201

ков лучше не по порядку рассадки их в классе. Еслиучеников вызывать в порядке их рассадки или посписку журнала, то многие из них, зная, что их оче-редь подойдет нескоро, могут отвлечься от работы.Полезно предлагать ученикам продолжить коммен-тарий своих товарищей.

В некоторых номерах достаточно составить планвыполнения одного задания, в других — полезнорассмотреть все задания. Во всех указанных номе-рах школьники в первую очередь должны найтифрагменты изученных формул. В некоторых случа-ях это практически сразу приводит к ответу.

Разбирают у доски № 353 (1, 3), выполняют само-стоятельно № 353 (2, 4). Затем идет фронтальныйразбор № 354, 355, 356.

После обсуждения номеров предлагается с е р и яс а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т с проверкой послекаждой:

С1: № 355 (1, а); С2: № 355 (2, б); С3: № 356 (1, 3).Между самостоятельными работами фронтальноразобрать № 357 и 358.

Домашнее задание. п. 23, примеры 1 и 2, № 355 (1, б),356 (2, 4).

Цель второго урока: применять формулы танген-са суммы и тангенса разности двух углов для доказа-тельства тождеств и решения уравнений.

Комментарии. Урок начинается с устного выпол-нения № 359—361.

В это время на доске ученики воспроизводят ре-шения домашних заданий.

После разбора решений ученикам предлагаетсясформулировать план выполнения заданий № 362 исамостоятельно решить в тетрадях первое заданиеэтого номера.

Затем анализируется № 363, и школьникам пред-лагается решить из него уравнения 1 и 3. Фронталь-но разбирается № 365 (1) и завершается урок фрон-тальным обсуждением № 366, в котором в № 366(1, б, 2) выводится важное соотношение между угло-выми коэффициентами или тангенсами углов накло-на взаимно перпендикулярных прямых.

2153940o2.fm Page 201 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

202

№ 366 (2). Р е ш е н и е. Пусть k1 = tg α, а k2 = tg β.Поскольку прямые взаимно перпендикулярны, раз-

ность их углов наклона α – β = . Тогда tg (α – β) не

существует. Значит, не имеет смысла дробь

. Поскольку tg α и tg β существуют, зна-

менатель дроби должен быть равен нулю:1 + tgαtg β = 0, tgαtg β = –1, k1k2 = –1.

Домашнее задание. п. 23, № 362 (2), 363 (2, 4, 6), пожеланию № 364.

24. Тригонометрические функции двойного угла (2 ч)

Предметные результаты обучения: записыватьформулы тригонометрических функций двойногоугла; применять их для вычисления значений выра-жений, решения уравнений и неравенств и доказа-тельства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: нахо-дить закономерности; доказывать утверждения;классифицировать тождества.

Цель первого урока: формирование знаний фор-мул тригонометрических функций двойного угла,умений применять их для вычисления значений вы-ражений.

Комментарии. На уроке рассматривается задачаи пример 1 из объяснительного текста учебника,затем ученикам предлагается самостоятельно полу-чить выражения для sin 2α и cos 2α. Полученныеформулы записываются на доске и закрепляются впроцессе устного выполнения нечетных номеров за-даний № 367, 370.

После этого ученики самостоятельно выполняют№ 368 (1, 3, 5). Между проверками решений этих за-даний фронтально обсуждается № 369. Учитель изо-бражает на доске тригонометрический круг и отме-чает на нем углы. Так, в задании № 369 (1) синус по-ложительный в I и II координатных четвертях. Если

π

2---

tg α – tg β1 + tg α tg β-------------------------------------

2153940o2.fm Page 202 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

203

угол α взят в первой четверти, то угол 2α находитсялибо в первой, либо во второй четверти, тогдаsin 2α > 0. Если угол α взят из второй четверти, то 2αнаходится либо в третьей, либо в четвертой четвер-ти, где sin 2α < 0. Следовательно, угол α находится впервой четверти.

Затем для с а м о с т о я т е л ь н о й р а б о т ыпредлагается № 371 (1, 3), а № 371 (6) обсуждаетсямежду ними.

Завершается урок фронтальной работой по выво-ду формул:

cos 2α = 1 – 2sin2 α = 2cos2 α – 1,

sin2 α = , cos2 α = ,

sin 2α = , cos 2α = .

Все формулы ученики записывают в свои тетради.

Домашнее задание. п. 24, пример 1, № 368 (2, 6),371 (2, 4), 372 (1, 4).

Цель второго урока: формирование умений при-менять формулы для решения уравнений и нера-венств и доказательства тождеств.

Комментарии. На уроке при проверке домашне-го задания обсуждают с учениками план преобразо-ваний в № 372, при обсуждении решения № 372 (4)обращается внимание на вид исходного выражения:произведение косинусов, аргументы которых удва-иваются.

После этого ученики смогут самостоятельно дока-зать тождество № 383.

Затем анализируются задания № 374, 375, пись-менно выполняются № 375 (1, 3), разбирается методрешения в примере 2 в тексте учебника, применяет-ся этот метод в № 376 (1), разбирается пример 3,в котором доказывается тождество и применяетсяв № 377 (1, 3, 5).

Между самостоятельным выполнением заданий в№ 377 обсуждается № 380 (1, 2). В левых частях ра-венств стоит «неполный» синус двойного угла — нехватает числа 2. Умножая первое равенство на 2, по-

1 – cos 2α2

----------------------------- cos 2α + 12

------------------------------

2tg α1 + tg2 α-------------------------- 1 – tg2 α

1 + tg2 α--------------------------

2153940o2.fm Page 203 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

204

лучаем: sin 2x° = 2sin 24°. Известно, что sin 30° = 0,5,

24° < 30°, синус на промежутке 0; возрастает,

следовательно, sin 24° < sin 30° = 0,5, 2 sin 24° < 1 и|sin 2x°| < 1. Значит, равенство может быть верным.Аналогичные рассуждения во втором задании при-водят к неравенству |sin 2x°| > 1, которое не выпол-няется ни при каком x.

Затем фронтально решается № 378 (1). Записи надоске по предложениям школьников ведет учитель.

Домашнее задание. п. 24, № 373 (2), 375 (4), 377(2, 4), для желающих № 382.

25. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

Обратное преобразование (3 ч)Предметные результаты обучения: записывать

формулы преобразования произведения тригономет-рических функций в сумму и преобразования суммыв произведение; применять их для вычисления зна-чений выражений, упрощения выражений, реше-ния уравнений и доказательства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться инженерным калькулятором в компьютер-ном пакете «Windows» для вычисления значенийтригонометрических функций; доказывать утверж-дения; находить закономерности и продолжать их;классифицировать тождества.

Цель первого урока: выведение формул преобра-зования произведения тригонометрических функ-ций в сумму и преобразования суммы в произведе-ние и применения их для вычисления значенийфункций и упрощения выражений.

Комментарии. На уроке можно начать изучениематериала пункта с прочтения тождеств в № 384. За-тем полезно провести самостоятельную работу с за-даниями № 386 и 387. Обсуждение результатов при-

π

2---

2153940o2.fm Page 204 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

205

водит к двум формулам преобразования произведе-ния в сумму. Вывод третьей формулы, а такжеформул обратного преобразования ученики рассмат-ривают дома по учебнику. Не следует требовать отшкольников воспроизведения вывода формул.

Все три формулы либо записываются на доске,либо ученикам предлагается использовать с. 283учебника. В последнем случае учебник одного изучеников открытый на этой странице, кладется вцентр парты, а с заданиями оба школьника работаютпо другому учебнику.

Затем используют формулы при устном упроще-нии выражений в № 385 (1—4, 7, 8). В остальных за-даниях № 385 (5, 9, 11) ученики фронтально форму-лируют план преобразований и самостоятельно вы-полняют их в тетрадях.

После этого ученики называют формулы, которыеиспользуются в № 388, и первое задание выполняютфронтально (промежуточные записи делает на доскеучитель). Затем называют формулы для № 390 и са-мостоятельно выполняют задания 1 и 3. Завершает-ся урок анализом № 389 и самостоятельным выпол-нением из него заданий 1 и 3.

Домашнее задание. п. 25, разобрать вывод формул,примеры 1 и 2, № 385 (6, 10, 12), 389 (2, 4), 390(2, 4), 391.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников применять формулы преобразованияпроизведения тригонометрических функций в сум-му и преобразования суммы в произведение для ре-шения уравнений и упрощения выражений.

Комментарии. На уроке следует рассмотреть надоске № 391 (2) из домашнего задания.

№ 391 (2). Р е ш е н и е.

tg 20°•tg 40°•tg 60°•tg 80° =

= • =3 sin 20°•sin 40°•sin 80°cos 20°•cos 40°•cos 80°-------------------------------------------------------------------------

2153940o2.fm Page 205 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

206

(далее используем результат примера 1 и прием, рас-смотренный в № 372)

= • =

= 3• = 3.

Затем анализируется № 392, а уравнения 1, 3 и 5которого ученики самостоятельно решают в тетра-дях.

После этого рассматриваются уравнения № 393,в которых нужно подобрать целесообразную группи-ровку. Уравнение № 393 (3) можно решить фрон-тально на доске.

№ 393 (3). Р е ш е н и е. сos x – sin 3x = cos 5x, (cos x – cos 5x) – sin 3x = 0,

–2sin 3x•sin (–2x) – sin 3x = 0, sin 3x(sin 2x – 1) = 0,sin 3x = 0 или sin 2x = 1,

x = или x = + πn, x = + πn, n � Z.

Затем ученики самостоятельно решают уравне-ние № 393 (1).

Завершить урок можно выполнением дополни-тельного задания.

З а д а н и е. Решите с помощью преобразованияпроизведения тригонометрических функций в сум-му уравнение:

а) 2sin x sin 2x + cos 3 x = 0;б) cos 7x cos 3x = cos 4x.

Домашнее задание. п. 25, пример 3, № 389 (5), 392(2, 4, 6), 393 (2, 4).

Цель третьего урока: закрепление знаний по ма-териалу пункта.

Комментарии. Урок можно начать с решенияуравнений. На доске записаны уравнения, которыенужно решить ученикам самостоятельно.

3

38

-------•8sin 20°

8sin 20°•cos 20°•cos 40°•cos 80°------------------------------------------------------------------------------------------------------

sin 20°sin 160°------------------------

πn3

------- π

12------- 5π

12-------

2153940o2.fm Page 206 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

207

Самостоятельная работа

Решите уравнение:1) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x;2) sin x + 2 sin 2x = –sin 3x;3) cos 5x = cos 4x.При проверке решения третьего уравнения полез-

но акцентировать внимание на возможности исполь-зования условия равенства косинусов, а именно,cos α = cos β, α = ±β + 2πп, п � Z. Стандартный способрешения связан с перенесением косинусов в однучасть и преобразованием разности косинусов в про-изведение.

Применяя способ решения тригонометрическогоуравнения с помощью условия равенства одноимен-ных функций, ученики самостоятельно выполняют№ 398 (1). Перед этим, конечно, следует рассмотретьусловие равенства синусов.

После решения уравнений ученики знакомятся сважным стандартным преобразованием, котороеприменяется к сумме синусов или косинусов, аргу-менты которых составляют арифметическую про-грессию: умножением суммы на синус полуразнос-ти этой прогрессии.

Сначала в № 394 (б), 395 (б) школьники раскры-вают скобки и преобразовывают полученные произ-ведения по формулам перехода от произведения ксумме. Затем анализируют все выражения сначала№ 394, а затем № 395. При этом их внимание обра-щается на аргументы синусов и косинусов в скобкахи на то, как они соотносятся с аргументом синуса заскобками.

После того как ученики увидят арифметическиепрогрессии и заметят, что аргументы множителейравны их полуразностям, им можно предложитьсамостоятельно выполнить № 396 (б), 397 (б).

Домашнее задание. п. 25, № 394 (а), 395 (а), 396 (а),397 (а), 398 (2), 399 (с помощью тригонометриче-ского круга).

2153940o2.fm Page 207 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

208

26. Решение тригонометрических уравнений (4 ч)

Предметные результаты обучения: решать три-гонометрические уравнения изученных видов; нахо-дить корни уравнений на промежутке; решать три-гонометрические уравнения графически с примене-нием пакетов компьютерных программ.

Метапредметные результаты обучения: при-менять пакеты компьютерных программ для графи-ческого решения тригонометрических уравнений;классифицировать уравнения по методам их реше-ния; сравнивать разные способы решения; доказы-вать утверждения.

Цель первого урока: формирование приема реше-ния тригонометрических уравнений сведением кквадратному уравнению и разложением на множи-тели.

Комментарии. Начинается урок с самостоятель-ной работы по вариантам под копирку с целью по-вторения решения разных видов уравнений, изучен-ных в предыдущих пунктах.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Решите на промежутке ; уравнение:

а) sin 3x = – ; б) tg x = 2.

2. Решите уравнение:а) sin 3x + sin x = sin 2x;б) cos 3x cos 6x = cos 4x cos 7x.

Вариант 2

1. Решите на промежутке ; уравнение:

а) cos 2x = – ; б) ctg x = 3.

π

2--- 3π

2-------

32

-------

π

2--- 3π

2-------

22

-------

2153940o2.fm Page 208 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

209

2. Решите уравнение:а) cos 5x + cos 7x = – cos 6x;б) sin x xin 7x = sin 3x sin 5x.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. а) , , ; б) π + arctg 2.

2. а) , 2πn ± , n � Z; б) , , n � Z.

Вариант 2. 1. а) , ; б) π + arcctg 3.

2. а) ± + , 2πn ± , n � Z; б) , n � Z.

Рассматривая решения, следует обсудить отборкорней в заданиях 1 и тройное использование фор-мул перехода в задании 2 (б).

Объяснение материала начинается с решения№ 400 (4). Затем рассматривается пример 1 из объяс-нительного текста учебника. Главным в этом примереявляется объединенная формула корней простейшеготригонометрического уравнения sin x = a. При объяс-нении этой формулы внимание школьников привле-кается к тому факту, что знак «+» в сериях корней пе-ред арксинусом соответствует прибавлению четного,а знак «–» — прибавлению нечетного числа π.

Затем фронтально анализируется № 401 (а, в, д,ж). Ученики составляют план решения каждого за-дания и письменно выполняют нечетные номера.При решении уравнений нет необходимости вводитьновые переменные. Уравнение д), например, можнооформить так.

№ 401 (д). Р е ш е н и е. cos x – sin2 x = 1, cos2 x + cos x – 2 = 0,cos x = 1 или cos x = –2, x = 2πn, n � Z.

Завершается урок обсуждением уравнений в№ 405. Если будет время, то полезно решить № 405(а, г).

Домашнее задание. п. 26, пример 1, № 400 (2), 401(б, г, е, з), 405 (б, в).

5π9

------- 10π9

---------- 11π9

----------

πn2

------- π

3--- πn

10------- πn

4-------

5π8

------- 11π8

----------

π

12------- πn

6------- 2π

3------- πn

4-------

2153940o2.fm Page 209 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

210

Цель второго урока: формирование приема реше-ния однородных и сводящихся к однородным триго-нометрических уравнений.

Комментарии. В начале урока проводитсяу с т н а я р а б о т а.

Составьте план решения уравнения:

1) sin x cos x = – ; 4) 3cos2 x + cos x – 4 = 0;

2) sin x – cos x = 0; 5) 8cos2 x + 6sin x – 3 = 0;

3) cos2 x + cos x = 0; 6) cos2 x – sin2 x = sin .

В случаях 1) и 6) используются формулы двойно-го аргумента, в случае 3) уравнение лучше решатьразложением на множители. Уравнение 4) — квад-ратное относительно cos x, а уравнение 5) сводится кквадратному относительно sin x.

Возможно, что составление плана решения урав-нения 2) вызовет у школьников затруднения. Этоуравнение можно решить разными способами.

Р е ш е н и е. Способ 1. Можно вос-пользоваться графическими сообра-жениями и отметить на тригономет-рическом круге углы, синусы и ко-синусы которых равны (рис. 21).

Ответ: + πk, k � Z.

Способ 2. Можно использоватьпреобразование суммы синусов иликосинусов в произведение:

sin х – cos х = 0, sin х – sin – х = 0,

2sin х – cos = 0, sin x – = 0,

х = + πn, n � Z.

Способ 3. Способ решения уравнения делением наcos x, не забыв, конечно, рассмотреть два случая:1) cos x = 0: sin x = 0, что не соответствует условию

случая; 2) cos x ≠ 0, tg x – 1 = 0, х = + πп, n � Z.

14---

π

2---

π

4---

π

4--- + π

Рис. 21

π

4---

π

2---

π

4--- π

4--- π

4---

π

4---

π

4---

2153940o2.fm Page 210 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

211

Затем разбирается решение примера 2 из объяс-нительного текста вместе с примечанием. Ученикиуже встречались с однородными показательнымиуравнениями, учителю полезно напомнить решениепоказательного уравнения второй степени.

З а д а н и е. Решите уравнение: 4x – 3•6x + 2•9x = 0.

Р е ш е н и е. – 3• + 2 = 0,

= 1, или = 2, х = 0, или х = .

После этого ученики самостоятельно выполняют№ 402 (б, г). При обсуждении решений следует по-ставить вопрос о других способах решения этихуравнений, например, разложить на множители иприравнять нулю каждый множитель отдельно.

Затем предлагается проанализировать № 403 иответить на вопрос, чем уравнения № 403 отличают-ся от уравнений № 401. [В каждом из них, кроме од-нородных членов, встречается и число 2.] Чем мож-но это число заменить? [Можно заменить чис- ло 2удвоенной суммой квадратов синуса и косинуса, азатем привести подобные.] Самостоятельно выпол-няется № 403 (а).

Домашнее задание. п. 26, примеры 2, 3 и 4, № 402(а, в), 403 (б).

Цель третьего урока: решение уравнений, в ко-торых можно понизить степень или использоватьусловия равенства одноименных функций.

Комментарии. Начинается урок с устной фрон-тальной работы.

У с т н а я р а б о т аНа доске записаны уравнения:1) sin2 х – cos2 х = 0,5;

2) sin2 x – = 0;

3) 4 – 4cos2 x = 0;4) sin4 x – cos2 x = sin 2x.

23---

? ?? ?

2x 23---

? ?? ?

x

23---

? ?? ?

x 23---

? ?? ?

xlog 2

3---

2

34---

2153940o2.fm Page 211 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

212

Объясните, в каких случаях вы бы не стали раз-ность квадратов раскладывать на множители. [В ле-вой части первого уравнения можно записать коси-нус двойного угла. Второе уравнение можно разло-жить на множители, но можно и не раскладывать.В третьем уравнении нужно вынести общий множи-тель 4 и воспользоваться основным тригонометриче-ским тождеством. В четвертом уравнении разложимна множители.]

Те уравнения, которые вызовут затруднения,должны быть решены на доске вызванными учени-ками.

Решение последнего уравнения рассмотрено вобъяснительном тексте учебника — это пример 5,однако его можно (хотя и более трудоемко) решить ипо формулам понижения степени, которые предло-жены в № 404.

Ученики самостоятельно выполняют № 404 (в) идополнительные уравнения, которые также реша-ются с использованием формул понижения степени.

З а д а н и е. Решить уравнение:а) sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 1,5;б) cos2x + 3sin2 x = 2.

Р е ш е н и е.а) sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 1,5,

+ + = ,

cos 4x + (cos 2x + cos 6x) = 0, cos 4x + 2cos 4x cos 2x = 0,

2cos 4x cos 2x + = 0,

cos 4x = 0 или cos 2x = – .

Ответ: + , n � Z, ± + πk, k � Z;

б) cos2x + 3 sin2 x = 2,

+ = 2, 4 – 2 cos 2x = 4,

cos 2x = 0, 2x = + πk, x = + , k � Z.

1 – cos 2x2

----------------------------- 1 – cos 4x2

----------------------------- 1 – cos 6x2

----------------------------- 32---

12---

12---

π

8--- πn

4------- π

3---

1 + cos 2x2

------------------------------ 3 – 3cos 2x2

---------------------------------

π

2--- π

4--- πk

2-------

2153940o2.fm Page 212 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

213

Затем с изображением соответствующих рисун-ков на доске обсуждаются условия равенства одно-именных функций из № 406, и ученики самостоя-тельно решают уравнения № 406 (1, 3).

Домашнее задание. п. 26, пример 5, № 404 (б, г), 406(2, 4, 6), для желающих № 407.

Цель четвертого урока: изучение приема введе-ния вспомогательного угла.

Комментарии. Урок можно начать с самостоя-тельной работы.

Самостоятельная работа

Вариант 11. Найдите наименьший на промежутке [0; 2π] ко-

рень уравнения:sin2 x + 6cos2 x + 7sin x cos x = 0.

2. Решите уравнение 6sin2 x + 2sin2 2x = 5.

Вариант 21. Найдите наименьший на промежутке [0; 2π] ко-

рень уравнения:4sin2 x – 5sin2 x cos x – 6 cos2 x = 0.

2. Решите уравнение cos2x + cos2 5x = 1.

Первые уравнения однородные, а вторые решают-ся понижением степени с последующим в первом ва-рианте приведением к квадратному уравнению отно-сительно cos 2x, а во втором варианте с последую-щим преобразованием суммы косинусов в произве-дение. На всю работу можно выделить 10 минут.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. π – arctg 6. 2. + , n � Z.

Вариант 2. 1. arctg 6. 2. + ; + , n � Z.

Затем школьникам предлагается выписанное на

доске выражение cos x – sin x. Внимание школь-

π

4--- πn

2-------

π

12------- πn

6------- π

8--- πn

4-------

12--- 3

2-------

2153940o2.fm Page 213 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

214

ников привлекается к коэффициентам косинуса исинуса. Учащиеся должны догадаться, что это соот-

ветственно синус и косинус угла или косинус и си-

нус угла . Далее первый вариант записывает в тет-

радях преобразование данного выражения по перво-му, а второй — по второму варианту.

Р е ш е н и е.

1) cos х – sin x =

= sin cos x – cos sin x = sin – x ;

2) cos x – sin x =

= cos cos x – sin sin x = cos + x .

Обсуждая полученные результаты, ученики,во-первых, должны заметить, что

cos + х = sin – + x = sin + x .

Во-вторых, сформулировать условие, при выпол-нении которого два числа являются соответственносинусом и косинусом одного и того же угла. [Суммаих квадратов должна быть равна единице.]

Рассмотренный прием преобразования суммы си-нуса и косинуса в синус или косинус называется вве-дением вспомогательного угла.

Покажем, как вводится вспомогательный угол.

З а д а н и е. Решите уравнение sin x – cos x = 1.Р е ш е н и е.

sin х – cos x = ,

cos sin х – sin cos x = ,

sin x – = , x – = + 2πn

π

6---

π

3---

12--- 3

2-------

π

6--- π

6--- π

6---

12--- 3

2-------

π

3--- π

3--- π

3---

π

3--- π

2--- π

3--- π

6---

22

------- 22

------- 22

-------

π

4--- π

4--- 2

2-------

π

4--- 2

2------- π

4--- π

4---

2153940o2.fm Page 214 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

215

или x – = + 2πn, x = + 2πn

или x = π + 2πn, n � Z.Здесь удобнее записывать ответ в виде двух серий

корней.Введение вспомогательного угла для преобразова-

ния выражения asin x + bcos x дано в тексте учебникана с. 189 как дополнительный материал, и его следуетпредложить для самостоятельного изучения дома.

Обсуждается № 410 по вопросам и заданиям.1. Назовите номера уравнений, которые сводятся

к решению квадратных уравнений.2. Назовите номера однородных уравнений и

уравнений, сводящихся к однородным.3. Для решения каких уравнений вы воспользуе-

тесь условиями равенства функций?4. Какие уравнения вы будете решать по форму-

лам понижения степени?5. Какие уравнения вы будете решать, вводя вспо-

могательный угол?6. Какие уравнения решаются разложением на

множители?Неотмеченными останутся уравнения № 410

(5, 14). В левой части уравнения 14 легко увидетьправую часть формулы синуса суммы.

Уравнение 5 можно решить фронтально.№ 410 (5). Р е ш е н и е.

sin3 x cos x – sin x cos3 x = sin x cos x (sin2 x – cos2 x) =

= –sin x cos x cos 2x = – sin 4x;

– sin 4x = , sin 4x = –1, 4x = – + 2πn,

x = – , n � Z.

Затем предлагаются с е р и и с а м о с т о я-т е л ь н ы х р а б о т.

С1: № 410 (1, 3, 14); фронтально решить № 412 (1);С2: № 410 (6, 10); фронтально № 412 (2).

Домашнее задание. п. 26, № 410 (2, 4, 7, 9). Знать,как решается любое уравнение из № 410, дляжелающих № 408, 409, 412, 413.

π

4--- 3π

4------- π

2---

14---

14--- 1

4--- π

2---

πn4

------- π

8---

2153940o2.fm Page 215 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

216

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

И ИХ СВОЙСТВА»

Инструкция к проведению зачета

Зачет проводится по карточкам, включающим те-оретические вопросы, на которые ученики отвечаютустно, и практические, ответы на которые даютсяписьменно. Карточка включает задания разныхуровней. Первые четыре задания проверяют удов-летворительный уровень подготовки учащихся. Вы-полнение шести заданий оценивается отметкой «4»,за восемь правильно выполненных заданий выстав-ляется отметка «5». Ученики, первыми выполнив-шие письменные задания, сдают работу учителю, от-вечая на устные вопросы карточки. Ученики, сдав-шие зачет, могут принимать зачет у остальныхучеников.

К а р т о ч к а 11. Могут ли одновременно выполняться равенства:

sin α = и cos α = ?

2. Упростите выражение 1 – sin2 2α.

3. Вычислите .

4. Упростите выражение 1 + ctg + x sin x cos x.

5. Решите неравенство cos x < .

6 . Решите уравнение –sin = cos x.

7 . Выведите формулу преобразования произведе-ния синусов.

8 . При каких значениях а прямая у = а имеет хо-тя бы одну общую точку с графиком функции

y = ?

1213------- 5

13-------

6sin 15° cos 15°2cos2 15° – 1

-----------------------------------------------

3π2

-------

32

-------

x2---

tg2 x + 73tg x + 1---------------------------

2153940o2.fm Page 216 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

217

К а р т о ч к а 2

1. Могут ли одновременно выполняться равенства:sin α = 0,4 и cos α = 0,87?

2. Упростите выражение 1 – cos2 2β.

3. Вычислите .

4. Докажите тождество = .

5. Решите неравенство sin x < .

6. Решите уравнение sin2 x – 6sin x = 0.7 . Выведите формулу суммы косинусов.8 . Найдите все значения а, при которых число х = 2

является корнем уравнения:

a – 3x2 – cos = 0.

К а р т о ч к а 31. Могут ли одновременно выполняться равенства:

sin α = и cos α = ?

2. Упростите выражение .

3. Найдите значение выражения, если: sin (α + β) – 2cos α sin β при α = 73°, β = 28°.

4. Докажите тождество = .

5. Решите неравенство 2sin x cos x < – .

6. Решите уравнение tg (cos x + 1) = 0.

7 . Выведите формулу:

sin x + sin у = 2 sin cos .

8 . Найдите на отрезке [–π;π] все решения уравне-ния:

cos x – = 8 cos2 – 5.

cos2 22,5° – sin2 22,5°cos 25° cos 20° – sin 25° sin 20°-----------------------------------------------------------------------------------------------

cos α1 – sin α------------------------- 1 + sin α

cos α--------------------------

32

-------

11πx4

-------------- 8 – ax

23--- 5

3-------

1 – sin2 α1 – cos2 α----------------------------

sin α1 – cos α------------------------- 1 + cos α

sin α--------------------------

12---

x2---

x + y2

--------------- x – y2

--------------

14--- x

2---

2153940o2.fm Page 217 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

218

К а р т о ч к а 41. Могут ли одновременно выполняться равенства:

tg α = 4 и ctg α = 0,25?

2. Упростите выражение 2cos2 – 1.

3. Вычислите .

4. Докажите тождество = cos 2α.

5. Решите неравенство 4sin cos – < 0.

6. Решите уравнение 2sin2 x – 5sin x – 3 = 0.7 . Выведите формулу произведения косинусов.8 . При каких значениях а неравенство cos x � a:

а) не имеет решений; б) выполняется при любыхзначениях х; в) не имеет среди своих решений

числа ?

К а р т о ч к а 51. Могут ли одновременно выполняться равенства:

sin α = и cos α = – ?

2. Упростите выражение sin2 ϕ + cos2 ϕ + 1.

3. Вычислите .

4. Докажите тождество:

1 + ctg2 α + = .

5. Решите неравенство cos 2x – < – .

6. Решите уравнение 2sin 2x – sin2 x = cos2 x.7 . Выведите формулу тангенса разности.8 . При каких значениях а не имеет решений урав-

нение sin2 x + 3sin x + 3a = 0? К а р т о ч к а 61. Могут ли одновременно выполняться равенства:

cos α = и tg α = ?

5π12-------

sin2 8° + sin2 82° cos2 51° + cos2 39°-------------------------------------------------------

2sin2 αtg 2α•tg α---------------------------------

x4--- x

4--- 2

2π3

-------

6 211

----------- 711-------

sin 75° + sin 45°sin 285°

-------------------------------------------------

1cos2 α----------------- 1

sin2 α cos2 α-------------------------------------

π

2--- 2

2-------

35--- 4

3---

2153940o2.fm Page 218 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

219

2. Упростите выражение 1 – .

3. Вычислите .

4. Докажите тождество sin4 α – cos4 α + 2cos2 α = 1.

5. Решите неравенство sin 2x – < .

6. Решите уравнение: 4 sin2 x – 5 sin x cos x – 6 cos2 x = 0.

7 . Выведите формулу суммы синусов.8 . При каких значениях а не имеет решений урав-

нение 2 cos2 x – 9 cos x + 9a = 0?

Ответы к зачетуКарточка 1. 1. Да. 2. cos2 2α. 3. х = 6. 4. sin2 2 x.

5. + 2πn; + 2πn , n � Z. 6. π + 4πn, (–1)n + 1 +

+ 2πn, n � Z. 8. a � –2, a � .

Карточка 2. 1. Нет. 2. sin2 2β. 3. х = 1. 5. + 2πn;

+ 2πn , n � Z. 6. πn, n � Z. 8. a = 4.

Карточка 3. 1. Да. 2. ctg2 a. 3. х = . 5. + πn;

+ πn , n � Z. 6. πn, n � Z. 8. ±arccos 0,25.

Карточка 4. 1. Да. 2. cos . 3. х = 1. 5. + 4πn;

+ 4πn , n � Z. 6. (–1)n + 1 + πn, n � Z. 8. а) a < –1;

б) a � 1; в) a < – .

Карточка 5. 1. Да. 2. 2. 3. – . 5. + πn;

+ πn , n � Z. 6. (–1)n + , n � Z. 8. a > , a < – .

1sin2 α-----------------

cos 105° – cos 15°cos 315°

-----------------------------------------------------

π

4--- 2

2-------

π

6--- 11π

6---------- π

3---

149

-------

π

3---

2π3

-------

22

------- 7π12-------

11π12

----------

5π6

------- 3π2

-------

9π2

------- π

6---

12---

3 5π

8-------

7π

8-------

π

12------- πn

2------- 2

3--- 4

3---

2153940o2.fm Page 219 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

220

Карточка 6. 1. Да. 2. –ctg2 α. 3. – . 5. – + πn;

πn , n � Z. 6. arctg 2 + πn, –arctg + πn, n � Z.

8. a > , a < – .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5ТЕМА «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

И ИХ СВОЙСТВА»Вариант 1

I уровень В заданиях 1— 5 укажите ответ, который вы счи-

таете верным.1. Найдите значение выражения:

.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

2. Упростите выражение .

А. 1; В. ;

Б. ; Г. 1 + sin 2α.

3. Найдите наименьший положительный кореньуравнения 2sin2 x – 3sin x + 1 = 0.

А. ; Б. ; В. ; Г. .

4. Найдите sin α, если cos α = – , < α < π.

А. – ; Б. ; В. ; Г. .

5. Найдите абсциссы точек пересечения графиковфункций y = sin2 x и y = cos2 x.

А. + πn, n � Z; В. + πn, n � Z;

Б. + , n � Z; Г. + 2πn, n � Z.

3 π

4---

34---

79--- 11

9-------

sin 50°•cos 5° – sin 5°•cos 50°2cos2 15° – 1

---------------------------------------------------------------------------------------------

22

------- 32

------- 63

------- 3

2-------

sin α + cos α( )2

1 + sin 2α---------------------------------------------

11 + sin 2α------------------------------

1 + cos 2α1 + sin 2α------------------------------

π

3--- π

6--- π

2--- π

4---

1517------- π

2---

817------- 2

17------- 6

17------- 8

17-------

π

2--- π

4---

π

4--- πn

2------- π

4---

2153940o2.fm Page 220 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

221

II уровень

6. Сколько корней имеет уравнение:

– 1 = 0?

7. Решите неравенство sin > – .

8. Найдите cos α – sin α, если известно, что

sin α cos α = – , < α < 2π.

III уровень

9. Сравните числа:

и cos 7° cos 14° cos 28° cos 56°.

10. Решите уравнение 2 sin2 x = |sin x|.

Вариант 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.

1. Найдите значение выражения:

.

А. 0; Б. 1; В. ; Г. .

2. Упростите выражение – sin2 α.

А. cos4 α; В. tg2 α – sin2 α;Б. cos 2α; Г. cos2 α.

3. Найдите наибольший отрицательный кореньуравнения 2cos2 x – cos x – 1 = 0.

А. – ; Б. – ; В. – ; Г. – .

4. Найдите cos α, если sin α = – , π < α < .

А. ; Б. – ; В. – ; Г. – .

1sin2 x----------------- 4 – x2

4x3

------- 32

-------

14--- 3π

2-------

sin 115°16sin 7°------------------------

cos2 22,5° – sin2 22,5°cos 25°•cos 20° – sin 25°•sin 20°----------------------------------------------------------------------------------------------------

22

------- 32

-------

1 + cos 2α2cos2 3π + α( )----------------------------------------

π

6--- π

4--- π

3--- 2π

3-------

1213------- 3π

2-------

513------- 5

13------- 1

13------- 6

13-------

2153940o2.fm Page 221 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

222

5. Найдите абсциссы точек пересечения графиковфункций y = sin2 2x и y = cos2 2x.

А. + πn, п � Z; В. + , п � Z;

Б. (–1)n + πn, п � Z; Г. ± + 2πn, п � Z.

II уровень

6. Сколько корней имеет уравнение:

–1 = 0?

7. Решите неравенство cos > – .

8. Найдите sin α + cos α, если известно, что

sin α cos α = – , < α < 2π.

III уровень

9. Сравните числа:

и cos 16° cos 32° cos 34° cos 128°.

10. Решите уравнение 2 cos2 x = |cos x|.

Ответы к контрольной работе № 5Вариант 1. 1. В. 2. А. 3. Б. 4. Г. 5. Б. 6. 4.

7. – + ; π + , n � Z. 8. . 9. Меньше.

10. πn, πn ± , n � Z.

Вариант 2. 1. Б. 2. Г. 3. Г. 4. Б. 5. В. 6. 5.

7. (–3π + 9πn; 3π + 9πn), n � Z. 8. – . 9. Больше.

10. + πn, πn ± , n � Z.

π

8--- π

8--- πn

4-------

π

8--- π

4---

1cos2 x----------------- 25 – x2

2x9

------- 12---

14--- 3π

2-------

sin 253°16sin 16°----------------------------

π

4--- 3πn

2----------- 3πn

2----------- 6

2-------

π

6---

1,5π

2--- π

3---

2153940o2.fm Page 222 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

223

С понятием вероятности события школьники по-знакомились в основной школе. Там они встрети-лись с несложными задачами, в которых вероят-ность находилась по классической схеме, т. е. какотношение числа благоприятных исходов к числувсех равновероятных исходов. Эта схема, конечно,применима только к тем задачам, в которых все ис-ходы равновероятны. Из комбинаторики школьни-ки, как минимум, должны быть знакомы с правиломпроизведения и формулой числа перестановок.В пункте 27 ученики повторят классическую схемувычисления вероятности, познакомятся с некоторы-ми методами поиска вероятности, в которых исходыне являются равновероятными. В пункте 28 школь-ники повторят и продолжат изучать формулы ком-бинаторики. Эти формулы находят применение в ре-шении более сложных задач на вычисление вероят-ностей. Формула числа сочетаний приводит к задачевозведения двучлена в натуральную степень — фор-муле бинома Ньютона. Материал главы в основномзнаком тем учащимся, которые обучались в основ-ной школе по нашему УМК. Им будет полезно его по-вторить. Для школьников, занимавшихся по учеб-никам других авторов, не составит особого трудаизучить его.

Однако для этого понадобится больше уроков, чеммы выделили в наших рекомендациях. Материалэтого раздела равномерно распределен между 10 и

ГЛАВА

5ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ

2153940o2.fm Page 223 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

224

11 классами. В 11 классе школьники продолжатизучение вероятности и познакомятся с элементамиматематической статистики.

27. Понятие вероятности (2 ч)В пункте повторяются два способа вычисления ве-

роятности: по классической схеме, когда известночисло исходов и все эти исходы равновероятны, и спомощью статистического эксперимента, когда ре-зультаты большого количества опытов дают оценкувероятности тем более точную, чем большее количе-ство опытов проведено.

Предметные результаты обучения: приводитьпримеры противоположных событий; использоватьпри решении задач свойства вероятностей противо-положных событий; решать задачи на нахождениевероятностей событий по классической схеме.

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать вероятностные представления в реаль-ной жизни; пользоваться таблицей для представле-ния информации.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников решать задачи на нахождение вероят-ности события по классической схеме.

Комментарии. В начале урока школьники подруководством учителя вспоминают основные поня-тия, применяемые при вычислении вероятности поклассической схеме. Ученикам фронтально предла-гается ответить на вопросы: Сколько исходов имеетопыт бросания монетки, игральной кости, вытаски-вания карты из колоды? Равновероятны ли все этиисходы? Сколько очков в сумме может выпасть прибросании двух костей, равновероятны ли все эти ис-ходы, какие равновероятные исходы следует рас-сматривать при бросании костей? Перечислим этиисходы: 1—1, 1—2, …, 1—6, 2—1, 2—2, …, 2—6, …,6—1, 6—2, …, 6—6.

Затем повторяется понятие благоприятных исхо-дов. Важно подчеркнуть, что благоприятные исходывыбираются из числа множества всех равновероят-ных исходов. Ученикам предлагается сосчитать чис-

2153940o2.fm Page 224 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

225

ло исходов, благоприятных для: вытаскивания изколоды карты, которая не является картинкой, т. е.6, 7, 8, 9 или 10 (5•4 = 20); выпадения четного числаочков при бросании игральной кости, т. е. 2, 4, 6.Полезно предложить школьникам самим приду-мать примеры опыта с равновероятными исходами иуказать благоприятные для тех или иных условий.После этого на доске записывается формула вычис-

ления вероятности события A: P(A) = и читается

так, как это написано в учебнике.Ученикам предлагается прочитать в учебнике

пример 1.Затем самостоятельно с обсуждением в парах и

последующей фронтальной проверкой решаются№ 414 (2, 3), 415 (2, 3), 416 (1, 2).

Фронтально обсуждается поиск числа благопри-ятных вариантов № 416 (3).

№ 416 (3). Р е ш е н и е. Эти варианты складыва-ются из чисел, кратных 3, кратных 5 и кратных од-новременно 3 и 5, т. е. 15. При этом школьникидолжны понять, что третья группа чисел входит и впервую, и во вторую группу, т. е. числа, кратные 15,уже были дважды сосчитаны и их число следует вы-честь из суммы первых двух групп чисел.

12 = 3•4, …, 99 = 3•33. В первой группе 30 чисел.10 = 5•2, …, 95 = 5•19. Во второй группе 18 чи-

сел.15, …, 90. В третьей группе 5 чисел.Всего 30 + 18 – 5 = 43 числа. Ответ: 43 числа.Затем фронтально разбирается № 417. Здесь

принципиальная ошибка Тани заключается в том,что она не нашла сначала множество всех возмож-ных равновероятных исходов при бросании двух мо-нет: оо, рр, ор, ро. Чтобы различать последние дваисхода, можно представить, что монеты имеют раз-ное достоинство или что одна из них поцарапана.Затем считается число благоприятных исходов: ор,ро, рр. Наконец, применяется классическое опреде-

ление, по которому искомая вероятность равна .

mn-----

34---

2153940o2.fm Page 225 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

226

Как и во всех задачах на применение классиче-ской схемы, в № 420 нужно найти число всех воз-можных равновероятных исходов.

№ 420. Р е ш е н и е. Поскольку первая гимнаст-ка выбирается наугад, ей может оказаться любая из50 спортсменок. Число благоприятных исходов рав-но числу гимнасток из России, которое нужно най-ти: 50 – 19 – 17 = 14. Наконец, искомая вероятность

равна = 0,28. Ответ: 0, 28.

Домашнее задание. п. 27, № 414 (1), 419, 421.

Цель второго урока: формирование умения ре-шать задачи, в которых вероятность невозможно оп-ределить по формуле, поскольку исходы не равнове-роятны.

Комментарии. После обсуждения домашнего за-дания фронтально решается № 418. Хотя в задачеречь явно идет о нахождении условной вероятности,сам термин не вводится, а задача решается с по-мощью перечисления возможных вариантов.

Фронтально решается № 422, затем рассматрива-ется пример 2 из текста учебника. Следует подчерк-нуть, что найденная статистически вероятность яв-ляется приближенным значением собственно веро-ятности, и, чтобы достичь необходимой точностиэтого приближения, нужно проводить достаточномного испытаний. На вопрос, сколько, собственноэтих испытаний нужно провести, дает ответы наука,которая называется математической статисти-кой.

Затем разбирается пример 3 (без перепроверкиприведенных в нем данных), и ученикам предлага-ется сосчитать число букв «т» в первом абзаце и най-ти приближенно вероятность ожидания этой буквыпри случайном выборе.

Предлагаются для фронтального обсуждения№ 426, 428, в которых ученики для объяснения упо-мянутого в условиях факта должны сослаться наразную частоту использования букв в языках.

1450-------

2153940o2.fm Page 226 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

227

В завершении урока можно предложить несколь-ко задач на вероятность из вариантов ЕГЭ прошлыхлет.

Домашнее задание. п. 27, контрольные вопросы изадания к пункту, № 425, 425, 429, для желаю-щих № 430.

28. Вычисление числа вариантов (2 ч)Спецификой изучения материала этого пункта

является практически одновременное изучение фор-мул числа перестановок, размещений и сочетаний.Это сделано для того, чтобы облегчить школьникамважнейший этап решения задач — выяснение типакомбинаций, о котором идет речь в задаче. Заметим,что практика последовательного изучения разныхвидов комбинаций традиционно приводит к весьмаслабым результатам. Вторая часть пункта посвяще-на формуле бинома Ньютона.

Предметные результаты обучения: записыватьформулы комбинаторики; решать задачи на приме-нение комбинаторных формул и формулы вероят-ности.

Метапредметные результаты обучения: поль-зоваться вероятностными представлениями в реаль-ной жизни; классифицировать формулы комбинато-рики.

Цель первого урока: повторение формул числа пе-рестановок, размещений и сочетаний, а также пра-вила произведения.

Комментарии. На уроке фронтально повторяетсяправило произведения и разбираются примеры 1 и 2,в которых выводится формула числа перестановокиз n элементов.

Самостоятельно школьниками решается № 431.Затем фронтально разбираются примеры 3 и 4.

Замечание об определении факториала при n = 1и n = 0 на первом уроке не рассматривается. В про-цессе обсуждения решений примеров 3 и 4 вводятсяпонятия размещений и сочетаний. Общие формулы

2153940o2.fm Page 227 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

228

числа размещений и сочетаний получаются обобще-нием результатов, полученных в примерах дляконкретных чисел.

Формулы числа перестановок, размещений и со-четаний записываются на классной доске, вывеши-ваются в виде плакатов или проектируются с по-мощью мультимедийного проектора.

Завершается урок фронтальным обсуждением со-держания № 434, 435, 437, 438. Ученикам во всехномерах предлагается ответить только на вопрос отом, как вычислить число всех возможных равнове-роятных исходов. Тип комбинаций зависит от того,как составляются благоприятные исходы, т. е. важенли порядок, в котором выбираются их элементы.

Домашнее задание. п. 28, № 432, 433, 436. Вычис-лить или записать с помощью комбинаторных вы-ражений число возможных равновероятных исхо-дов в разобранных на уроке заданиях и попробо-вать найти количества благоприятных исходов.

Цель второго урока: применение формул числаперестановок, размещений и сочетаний для реше-ния задач.

Комментарии. На уроке в процессе обсуждениявыполнения домашнего задания делаются попыткиразобраться с количеством благоприятных исходов в№ 432, 443, 436.

На уроке фронтально разбираются № 439, 440,письменно решаются № 442, фронтально № 443,письменно № 444, фронтально № 447 (а, б).

Решение задачи № 448 требует значительно боль-шей смекалки, чем вычисление числа возможныхисходов. Рассуждения, которые приводят к состав-лению выражения, приведены в разделе учебника«Решения». Учителю при подготовке к уроку жела-тельно их разобрать, чтобы вести школьников в пра-вильном направлении.

Следует оставить время для анализа общих фор-мул числа размещений и сочетаний и доопределенияn!. После этого рассмотреть пример 5 и записать фор-мулу бинома Ньютона.

2153940o2.fm Page 228 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

229

Для закрепления формулы бинома Ньютонафронтально выполняются № 449 (2), 450 (2). Учени-ки сначала применяют формулу бинома, а учительзаписывает на доске соответствующее выражение.Затем в этом выражении вычисляются биномиаль-ные коэффициенты и степени числа 2.

После выполнения № 450 (2) полезно в качествеальтернативы показать, как при возведении в сте-пень использовать треугольник Паскаля. Жела-тельно, чтобы правило построения треугольникаПаскаля школьники открыли сами. Для этого рас-сматривается и записывается в столбики последова-тельность степеней двучлена a + b и его коэффици-енты:

(a + b)0 1(a + b)1 1 1(a + b)2 1 2 1(a + b)3 1 3 3 1(a + b)4 1 4 6 4 1(a + b)5 1 5 10 10 5 1(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1

Домашнее задание. п. 28, пример 5, № 445, 449 (3),450 (3), для желающих № 441, 451.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И КОМБИНАТОРИКИ»

Вариант 11. Запишите формулу вероятности события с равно-

вероятными исходами.2. Сколькими способами можно выбрать трех де-

журных из 25 учеников класса?3. В соревнованиях по спортивной гимнастике уча-

ствуют 12 человек. Сколькими способами можноустановить порядок их подхода к снаряду?

4. Бросается одновременно две игральные кости.Какова вероятность, что сумма выпавших очковбудет равна 10?

2153940o2.fm Page 229 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

230

5. Из карточной колоды в 36 карт наугад вынимаютдве карты. Какова вероятность, что обе картыокажутся тузами?

6. Приведите (2x – 1)6 к многочлену стандартноговида.

Вариант 21. Запишите формулу числа перестановок из k эле-

ментов.2. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из

10 различных красок?3. Сколько можно составить флагов с тремя горизон-

тальными полосами, если для окраски полосможно использовать 5 разных цветов, а все поло-сы на флаге различны по цвету?

4. Бросается одновременно две игральные кости. Ка-кова вероятность, что сумма выпавших очковбудет равна 6?

5. Из карточной колоды в 36 карт наугад вынимаютдве карты. Какова вероятность, что обе картыокажутся одной масти?

6. Приведите (a – 3)6 к многочлену стандартноговида.

Ответы к зачету

Вариант 1. 1. P(A) = . 2. = = 2300.

3. P12. 4. = . 5. = = . 6. (2x – 1)6 =

= (2х)6 – 6•(2х)5 + 15•(2х)4 – 20•(2х)3 + 15•(2х)2 –– 6•(2х) + 1 = 64х6 – 192х5 + 240х4 – 160 х3 + 60х2 –– 12х + 1.

Вариант 2. 1. Pk = k!. 2. = = 210.

3. = 5•4•3 = 60. 4. . 5. Способ 1. = =

= . Способ 2. Можно рассуждать иначе. После того

как вынута первая карта в колоде осталось 35 карт,

mn----- C25

3 25•24•233•2

-------------------------------

336------- 1

12-------

C42

C362

--------- 4•336•35------------------- 1

105----------

C104 10•9•8•7

2•3•4---------------------------------

A53 5

36-------

4C92

C362

----------- 4•9•836•35--------------------

835-------

2153940o2.fm Page 230 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

231

из которых 8 карт имеют ту же масть, что и первая

карта. Отсюда искомая вероятность равна .

6. (a – 3)6 = a6 – 6•3•a5 + 15•32•a4 – 20•33•a3 ++ 15•34•a2 – 6•35•a + 36 = a6 – 18a5 + 135a4 –– 540a3 + 1215a2 – 1458a + 729.

Домашнее задание. Прочитать п. 27, разделы «Об-ласть определения», «Область значения», «Не-прерывность функции». Уметь объяснить планвыполнения заданий и решить № 452—455. Поданным разделам подготовить вопросы и указатьзадания, которые не знаете, как решить.

835-------

2153940o2.fm Page 231 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

232

Содержание и организация обобщающего повто-рения, завершающего курс 10 класса, во многом за-висит от того, какой материал был усвоен школьни-ками в течение года и насколько прочно. В пункте 29внимание равномерно распределено между изучав-шимися темами. Учитель может акцентировать вни-мание школьников на тех или иных аспектах повто-ряемого материала. Распределение учебного време-ни в тематическом планировании является весьмапримерным еще и потому, что при повторении обыч-но используются дополнительные источники упраж-нений, такие, как, например, разнообразные посо-бия по подготовке к ЕГЭ.

При работе с главой целесообразно предложитьшкольникам перед рассмотрением материала науроке разобрать в домашней работе самостоятельноуказанный учителем фрагмент пункта и решить не-которые предложенные в учебнике задания. В ре-зультате ученики придут на урок, ориентируясь всоответствующем материале, понимая, какие зада-ния у них вызывают затруднения, какие места объ-яснительного текста показались им не вполне ясны-ми. Сами уроки в этом случае строятся как консуль-тации по вопросам школьников.

В повторение включен и новый материал, посвя-щенный обратным тригонометрическим функциям,которому также следует уделить внимание.

ГЛАВА

6ПОВТОРЕНИЕ

2153940o2.fm Page 232 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

233

В пункте 30 школьникам предлагается неболь-шая подборка различных несложных уравнений итекстовых задач, для большинства которых доста-точно составить план решения и записать уравне-ние.

29. Функции и графики (5 ч)Предметные результаты обучения: находить

область определения и область значений сложнойфункции; определять четность и периодичностьсложной функции; находить промежутки возраста-ния и убывания сложной функции; строить графикиобратных тригонометрических функций и функцийс модулями; решать неравенства на основаниисвойства функции; строить графики с помощью таб-лицы преобразований и пакетов компьютерных про-грамм.

Метапредметные результаты обучения: со-ставлять план выполнения задания; применять па-кеты компьютерных программ для построения гра-фика функции; работать с графиками и таблицами;сравнивать функции, графики, выражения.

Цель первого урока: повторение и систематиза-ция материала об области определения, области зна-чения и непрерывности функции.

Комментарии. Полезно на этом и всех оставших-ся уроках разделить доску на 3 части. Центральнуючасть использовать для фронтальной работы с клас-сом. Одну из боковых частей отвести для работы ссильными учениками, которые захотят выполнятьзадания повышенной трудности, в учебнике они от-мечены черным кружком или звездочкой. Другаябоковая часть доски предназначается для индивиду-альной работы со слабыми учениками, с теми, у коговозникли трудности со стандартным материалом.Такое распределение места на доске дает учителювозможность работать с учениками на разных уров-нях трудности. Кроме того, учитель всегда можетпривлечь внимание всего класса к соответствующейчасти доски. Рассадить учеников можно в соответст-

2153940o2.fm Page 233 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

234

вие с уровнем трудности выполняемых ими зада-ний — ближе к той части доски, работа на которойдля них более актуальна.

В начале урока проводится тест, который даствозможность быстро проверить знания учащихся обобластях определения некоторых функций. Об-ластям определения других функций будет уделеновнимание в № 452, к которому ученики приступятпосле проверки теста.

Т е с т

Вариант 11. Найдите область определения функции:

y = .

А. (–∞; 3); В. (–∞; 3) ∪ (3; +∞);Б. (–∞; –2); Г. (–∞; –2) ∪ (–2; +∞).

2. Укажите функцию, областью определения кото-рой является промежуток (–∞; –2):

А. y = ; В. y = ;

Б. y = ; Г. y = lg (x + 2).

Вариант 21. Найдите область определения функции:

.А. (1; +∞) ; В. (–∞ –1;Б. (–∞; –1); Г. [1; +∞).

2. Укажите функцию, областью определения кото-рой является промежуток (–∞; 2]:

А. y = ; В. y = ;

Б. y = ; Г. y = lg (x + 2).

x – 3

3x + 4 – 9-------------------------

–32 + x--------------- 2 – x

4 + x2------------------4

1x + 2( )2

----------------------

23x + 1 – 16

–32 + x--------------- 2 – x

4 + x2------------------4

1x + 2( )2

----------------------

2153940o2.fm Page 234 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

235

Ответы к тестуВариант 1. 1. Г. 2. А. Вариант 2. 1. Г. 2. А.Поскольку в домашней работе к этому уроку уче-

ники должны были разобрать № 452—455, полезносначала выяснить, с какими трудностями они встре-тились, какие задания желательно разобрать. Еслизадания названы, то те ученики, которые могут ихвыполнить, показывают решения на доске. Если за-дания не названы, то учитель может по своему ус-мотрению вызвать двух учеников и предложить имрешить № 452 (1, 5).

Пока ученики на боковых частях доски оформля-ют решения, весь класс принимает участие во фрон-тальном анализе данного номера. При этом ученикиназывают функцию, говорят, какими условиями ог-раничивается область определения и каков план еенахождения. Так, в заданиях № 452 (5, 6) любойученик класса должен сказать, что логарифмиче-ская функция определена, когда основание логариф-ма больше нуля и не равно единице, а ее аргумент —выражение, стоящее под знаком логарифма, большенуля. Поскольку основание логарифма 10, остается

решить методом интервалов неравенство: > 0.

От областей определения переходим к областямзначений функций. Следует сказать об обозначенииE(y), принятом для области значений.

Самостоятельная работа

Запишите область значения функции:1) y = sin x; 4) у = lg x; 7) у = tg x.

2) y = ; 5) у = 2x;

3) у = ; 6) у = (0,3)x;

Взаимопроверка работ. Поднимают руки те уче-ники, кто не сделал ни одной ошибки, затем те, ктосделал одну ошибку. Учителю становится ясен уро-вень знаний класса.

2x + 1x – 1

-------------------

x1x---

2153940o2.fm Page 235 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

236

Затем школьникам предлагается объяснить, изкаких соображений они будут находить области зна-чений функций в № 453. На доске выполняются тезадания, которые дома вызвали трудности. Еслибольшинство учеников класса правильно составилиплан выполнения задания, разбирать его нет смыс-ла. Полезно несколько задержаться на обсужденииплана выполнения № 453 (7).

№ 453 (7). Р е ш е н и е. Сделаем замену пере-менных, получим квадратичную функцию, y == –4t2 + 12t – 5, где |t| � 1. Ветви параболы y = 2t2 + t –– 1 направлены вниз, а ее вершина имеет абсциссуt = 1,5, которая расположена справа от промежутка[–1; 1]. Значит, наибольшее значение квадратичнаяфункция принимает при t = 1, а наименьшее — приt = –1. Остается найти эти значения и указать об-ласть значений между ними. Можно напомнить обо-значения наибольшего и наименьшего значенийфункции y.

max(y) = –4 + 12 – 5 = 3; min(y) = –4 – 12 – 5 = –21.

Ответ: E(y) = [–21; 3].

Затем самостоятельно школьники выполняют№ 453 (8, 10).

№ 453 (8). Р е ш е н и е. Функция y = 0,5z убываю-щая, поэтому свое наибольшее значение она прини-мает, когда ее показатель наименьший. Наименьшеезначение показатель z = x2 – 4x + 3 принимает приx = 2. При этом z = –1, значит, наибольшее значениеy равно 0,5–1 = 2. Большему показателю соответст-вует меньшее значение функции y. Поскольку пока-затель может принимать как угодно большие значе-ния, функция y не имеет наименьшего значения.Значения ее, оставаясь положительными, могутбыть как угодно близки к нулю.

Ответ: E(y) = (0; 2].В № 453 (10) имеем дело с суммой обратно пропор-

циональных переменных, которая принимает на-именьшее значение при равенстве слагаемых:

3x = 3–x, x = –x, x = 0, y = 30 + 30 = 2.

2153940o2.fm Page 236 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

237

Затем полезно перейти к промежуткам непрерыв-ности функций в № 454. Составить совместно с клас-сом план выполнения заданий, затем ученики само-стоятельно решают № 454 (3).

Домашнее задание. Повторить раздел «Монотон-ность функции» и разобрать № 455—462, подго-товить вопросы по теме и к заданиям.

Цель второго урока: повторение материала о мо-нотонности функции.

Комментарии. На уроке продолжается разговоро непрерывности функций. Именно непрерывностьфункций позволяет решать неравенство методоминтервалов, использующим свойство непрерывныхфункций сохранять знак между нулями. В нашемкурсе широко используется тот факт, что элементар-ные функции непрерывны на своих областях опреде-ления.

Рассматривается № 455. Самостоятельно ученикидолжны решить из него первое неравенство, а надоске полезно разобрать третье и пятое.

№ 455 (5). Р е ш е н и е.

> 0, 0,5x – 2 = 0, x = –1; cos x = 0, x = + πn,

n � Z. (рис. 22).

О т в е т: – – 2πn; – – 2πn ∪ – ; –1 ∪

∪ + 2πn; + 2πn , n � N.

От неравенств в № 455 разговор переходит на по-нятие монотонности. Промежутки монотонности в№ 457 ученики фронтально указывают по рисункам110 на с. 211 и 111 на с. 212 учебника.

0,5x – 2cos x

----------------------- π

2---

–1

+– – – –

+ +

5π2

-------– 3π2

-------– π

2---–

π

2---

x

3π2

-------

Рис. 22

5π2

------- 3π2

------- π

2---

π

2--- 3π

2-------

2153940o2.fm Page 237 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

238

При анализе графиков учитель формулирует сле-дующие вопросы и задания.

1. Назовите область определения функции.2. Назовите область значений функции.3. Назовите промежутки возрастания и убыва-

ния.4. При каких значениях х значения функции по-

ложительны, а при каких — отрицательны?5. При каких значениях х значения функции

больше трех?6. Назовите нули функции.7. В каких точках график пересекает ось орди-

нат?Школьники должны показать понимание того,

что на промежутке возрастания при увеличении ар-гумента увеличивается и значение функции, а напромежутке убывания при увеличении аргументазначение функции уменьшается.

Один ученик на доске демонстрирует решение№ 458. Пока он готовится к ответу, класс анализи-рует задания № 459.

Фронтально с классом можно провести аналити-ческое решение № 459 (1).

Р е ш е н и е. Находим ОДЗ: x – 2 � 0, x � 2. Возь-мем x1 > x2 � 2, тогда –x1 < –x2, 5 – x1 < 5 – x2. Функ-ция y = 0,5z убывающая, значит, большему значе-нию аргумента соответствует меньшее значение

функции, т. е. > .

Функция y = возрастающая, следовательно,большему значению аргумента соответствует боль-шее значение функции, т. е. поскольку x1 – 2 > x2 – 2,

имеем > . Сложим два неравенстваодного смысла:

+ > + .

В результате преобразований получилось, чтобольшему значению аргумента соответствует боль-шее значение функции, т. е. исходная функция воз-растающая. Ответ: функция возрастающая.

0,55 – x1 0,55 – x2

t

x1 – 2 x2 – 2

0,55 – x1 x1 – 2 0,55 – x2 x2 – 2

2153940o2.fm Page 238 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

239

А затем обязательно следует провести рассужде-ния устно.

Функция y = 0,5x убывающая, а функция y = 0,5–x

возрастающая. Здесь можно подключить знания опреобразованиях графиков. Второй график получа-ется из первого симметрией относительно оси орди-нат. Учителю следует показать это на рисунке. Воз-растающей является и функция 0,55 – x, так какее график получается из второго графика сдвигомвдоль оси абсцисс, что не влияет на возрастание

или убывание. Функция y = возрастающая,

y = возрастающая, так как получается сдви-гом первого графика. Сумма двух возрастающихфункций является возрастающей. Аналогичные рас-суждения проводятся во втором задании.

Р е ш е н и я. № 459 (3). ОДЗ функции: х > 1. Прих > 1 оба множителя положительны и при росте зна-чений х их значения увеличиваются, следовательно,растет и их произведение. Следовательно, функция

y = (x + 1) возрастающая.

№ 459 (4). Рассмотрим функцию y = (x – 1) .ОДЗ функции: х � –1. В данном задании функцияявляется произведением двух множителей, которыене всегда являются положительными, поэтому вы-вод задания 3 здесь не подходит. Возьмем три значе-ния аргумента: x1 = –1, x2 = 0,5, x2 = 1. Найдем зна-чения функции в данных точках: y1 = 0, y2 < 0,y3 = 0. Видно, что данная функция не является нивозрастающей, ни убывающей.

№ 459 (5). ОДЗ функции: х < –2. На промежутке(–∞; –2) функции у = х2 и y = lg (–x) убывают. Убы-вает и функция y = lg (–2 – x). Сумма двух убываю-щих функций является убывающей функцией.

№ 459 (6). Функция y = (x2 – 16)lg(–2 –x) не явля-ется ни возрастающей, ни убывающей, в чем легкоубедиться, заметив, что –4 и –3 являются ее нулями.

x

x – 2

x – 1

x + 1

2153940o2.fm Page 239 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

240

Затем анализируется № 460, некоторые заданиякоторого требуют промежуточных записей. Можнодля их выполнения вызывать отдельных учениковк доске.

Образец анализа № 460 (1). Подкоренное выраже-ние положительно при любом значении аргумента,так как D < 0, значит, функция определена на всейчисловой прямой. Функция y возрастает на томпромежутке, где подкоренное выражение убывает,а убывает на промежутке возрастания подкоренноговыражения. Поскольку вершина соответствующейпараболы имеет абсциссу x0 = –1, и ветви параболынаправлены вверх, то функция y убывает на проме-жутке [–1; +∞), а возрастает на промежутке (–∞; –1].

Завершается работа в классе устным решениемуравнений № 462 (1—6). Ученики рассказывают,как они подобрали корень и почему он единствен-ный. Пока идет фронтальная работа с заданиями1—6, к доске можно вызвать сильных учеников длярешения последних заданий номера.

Р е ш е н и я. № 462 (1). Функция y = 5x – 4 возрас-тающая, логарифмическая функция с основанием 5от возрастающей функции тоже возрастающая,а функция у = 1 – х убывающая. Слева стоит возрас-тающая функция, а справа убывающая, значит, ес-ли их графики пересекаются, то в одной точке. Ееабсцисса равна 1. Ответ: x = 1.

№ 462 (6). ОДЗ уравнения: х � 1. В левой частиравенства стоит возрастающая функция, как суммавозрастающих функций. В правой части равенствастоит квадратичная функция, вершина параболы

находится в точке с ординатой x0 = , таким обра-

зом, в область ОДЗ попадает правая ветвь параболы,направленная вниз, т. е. правая часть равенства наОДЗ задает убывающую функцию. Уравнение имееткорень х = 2, а других быть не может. Ответ: х = 2.

№ 462 (7). Наибольшее значение левой части ра-венства равно 1. Такое же значение имеет праваячасть при x = 1, а при других значениях x правая

13---

2153940o2.fm Page 240 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

241

часть больше 1. При x = 1 левая часть уравнения

sin = 1, значит, 1 — корень данного уравнения,

а других корней нет. Ответ: x = 1.№ 462 (8). Свое наименьшее значение 2 левая

часть уравнения принимает при x = 2. При этом жезначении x правая часть уравнения принимает своенаибольшее значение, также равное 2. При другихзначениях x левая часть больше, а правая — мень-ше 2. Значит, 2 — единственный корень уравнения.Ответ: x = 2.

№ 462 (9). Свое наименьшее значение, равное 2,левая часть уравнения принимает при x = 0. Приэтом же значении x правая часть принимает свое на-ибольшее значение, также равное 2. При других зна-чениях x левая часть больше, а правая не больше,чем 2. Значит, 0 — единственный корень уравнения.Ответ: x = 0.

Домашнее задание. Прочитать разделы «Обрати-мость функции» и «Обратные тригонометриче-ские функции», разобрать № 463, 464 и подгото-вить вопросы.

Цель третьего урока: повторение материала обобратимости функций и знакомство с обратнымитригонометрическими функциями.

Комментарии. Взаимно обратные функции в учеб-нике определялись через симметрию их графиков от-носительно прямой y = x. Обычно это понятие опреде-ляется иначе, а симметрия их графиков рассматрива-ется как признак или свойство взаимно обратныхфункций. Поэтому не стоит акцентировать вниманиена том, что является определением. Главные акцентыделаются на: 1) условии обратимости: каждое своезначение функция принимает один раз, т. е. при ка-ком-то одном значении аргумента; 2) выделении про-межутка, на котором функция обратима.

Начинается урок с математического диктанта пографикам, изображенным на доске.

π

2---

2153940o2.fm Page 241 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

242

Математический диктант

Выполните задания с изображенными на доскеграфиками функций (рис. 23).

Укажите рисунок, на котором:1) областью определения функции является мно-

жество (–∞; 0) ∪ (0; +∞ );2) областью значений функции является проме-

жуток [0; +∞);3) нулем функции является х = –4;4) функция убывает на промежутке [–3; ∞);5) изображен график четной функции;6) изображен график нечетной функции;7) изображен график функции, наибольшее зна-

чение которого равно 0;8) изображен график функции, положительные

значения которого принадлежат промежутку (–5; –1);9) изображена обратимая функция.

Ответы к математическому диктанту

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номер рисунка 2 1 4 3 1 2 4 3 2

y

x

1

1

y = f(x)

0

2)1)

3) 4)

y

x

1

1

y = g(x)

0

y

x

1

1

y = h(x)y

x

1

10 3–4

0

Рис. 23

2153940o2.fm Page 242 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

243

После проверки математического диктанта, учи-тель комментирует текст учебника с рисункамина с. 214—217.

Затем устно проверяется № 463 (1—4, а, б). В этовремя на доске сильные ученики демонстрируют ре-шение № 463 (1—4, г), а слабые — № 463 (1—4, в).

После этого фронтально со всем классом решается№ 464.

Полезно рассмотреть задания, которые дают воз-можность на обратных тригонометрических функ-циях еще раз повторить известный материал.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и яНайдите:

1) область определения функции y = ;2) область значений функции y = 3 – arccos 2x;3) промежутки знакопостоянства функции

y = arcsin 4x;4) обратные для функции:

а) у = ; в) у = arctg x + .

б) у = arcsin (x – 1);Р е ш е н и я.

1. Для функции y = должен удовлетво-рять двум условиям:

(1) подкоренная функция должна быть неотрица-тельна;

(2) по определению область значений – ; .

Следовательно, 0 � arcsin x � , 0 � x� 1.

Ответ: 0 � x � 1.2. Поскольку 0 � arcos 2x � π, то

–π � –arccos 2x � 0 и 3 – π � –arccos 2x � 3. Так как функция непрерывна, то она принимает

все значения из промежутка [3 – π; 3].Ответ: E(y) = [3 – π; 3].3. Арксинус положителен, когда положителен его

аргумент. С учетом области определения имеем0 < 4x < 1, 0 < x < 0,25. Арксинус отрицателен, ког-

arcsin x

1

x + 2------------------- π

2---

arcsin x

π

2--- π

2---

π

2---

2153940o2.fm Page 243 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

244

да отрицателен его аргумент. С учетом области опре-деления имеем:

–1 < 4x < 0, –0,25 < x < 0. О т в е т: функция принимает положительные зна-

чения на интервале (0; 0,25), а отрицательные — наинтервале (–0,25; 0).

4 (а). Выразим x, как функцию y: x = – 2, где

y > 0. Переименуем переменные: y = – 2, где

x > 0. Ответ: y = – 2, где x > 0.

4 (б). При замене x на x – 1 график арксинусасдвигается на 1 вправо. График обратной ему функ-ции y = sin x, симметричный ему относительно пря-мой y = x, при этом сдвинется на 1 вверх. Его уравне-нием будет y = sin x + 1. Это преобразование не изме-

нит область определения: – � х � .

Ответ: y = sin x + 1, где � x � .

4 (в). Прибавление сдвигает график арктанген-

са на вверх. График обратной ему функции

y = tg x, симметричный ему относительно прямой

y = x, при этом сдвинется на вправо. Его уравнени-

ем будет y = tg x – . Границы области определе-

ния тангенса – < x < при этом преобразовании

увеличатся на . Применяя формулу приведения,

получим ответ: y = –ctg x, где 0 < x < π.

Домашнее задание. Повторить разделы «Четность инечетность функции» и «Периодичность функ-ции», разобрать задания из № 465—468, подгото-вить вопросы по разделам.

1y2------

1x2------

1x2------

π

2--- π

2---

π

2--- π

2---

π

2---

π

2---

π

2---

π

2---

π

2--- π

2---

π

2---

2153940o2.fm Page 244 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

245

Цель четвертого урока: повторение свойствфункций (четность и периодичность).

Комментарии. Если вопросов по материалу нет,то урок можно начать с самостоятельной работыс последующей ее проверкой в классе.

Самостоятельная работа

Вариант 11. Функция y = f(x) определена на отрезке [–1; 4].

Найдите область определения функции y = f( ).2. Найдите множество значений функции:

y = log2 (x – x2).3. Найдите промежутки монотонности функции:

y = .4. Исследуйте на четность функцию:

y = lg (x + ).5. Найдите наименьший положительный период

функции y = tg πx.

Вариант 21. Функция y = f(x) определена на отрезке [–1; 4].

Найдите область определения функции y = f(x2).2. Найдите множество значений функции:

y = .3. Найдите промежутки монотонности функции:

y = lg (x2 – x).

4. Исследуйте на четность функцию y = log2 .

5. Найдите наименьший положительный период

функции y = tg .

Ответы к самостоятельной работеВариант 1. 1. [0; 16]. 2. [–∞; –2]. 3. Возрастает на

промежутке [0,5; + ∞), убывает на (–∞; 0,5]. 4. Ничетная, ни нечетная. 5. 1.

Вариант 2. 1. [–2; 2]. 2. [0; 0,5]. 3. Возрастает напромежутке (0,5; 1), убывает на (0; 0,5). 4. Нечет-ная. 5. π2.

x

2x2 – x

x2 + 1

x – x2

x + 1x – 1---------------

xπ---

2153940o2.fm Page 245 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

246

При обсуждении результатов самостоятельнойработы следует подробно остановиться на последнемзадании. Самое простое рассуждение, позволяющееустно найти наименьшие периоды, связано с преоб-разованием графиков. В первом варианте графикфункции y = tg x сжимается к оси ординат в π раз,что влечет уменьшение наименьшего периода вπ раз, а во втором варианте график y = tg x растяги-вается от оси ординат в π раз, что влечет увеличениенаименьшего периода в π раз.

Устно ученики отвечают на вопросы № 466, в этовремя двое учеников выполняют на доске № 467.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я1. Показать, что число Т является периодом функ-

ции:

а) f(x) = sin , T = 4π; в) h(x) = {2x}, T = 0,5.

б) g(x) = ctg πx, T = 2;2. Доказать, что число Т = 3,14 не является пери-

одом функции.3. Найти период функции f(x) = sin 2x cos 2x.4. Доказать, что функция у не является периодиче-

ской:

а) у = ; б) y = cos .

В задании 4 можно воспользоваться тем, чтофункции имеют по одной-единственной точке раз-рыва. Можно также использовать монотонностьфункций на бесконечном промежутке [2; + ∞), чтоисключает возможность периодичности, так как по-вторяющиеся значения при монотонности отсутст-вуют.

Затем в тетрадях и на крыльях доски выполняет-ся № 467, разбором которого урок завершается.

Домашнее задание. Прочитать раздел «Преобразо-вание графиков» и уметь решать № 469—475,подготовить вопросы по разделу.

Цель пятого урока: повторение видов преобразо-ваний графиков.

x2---

1x – 2-------------- 1

x---

2153940o2.fm Page 246 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

247

Комментарии. Начинается урок с повторенияизученных преобразований графиков. Через проек-тор предлагаются пары графиков (рис. 24).

y

x

10

1–1

2 3 4–2

–3

y = f(x)4

–1

y

x

10

1–1

2 3 4–2

–3

y = f(x)4

–1

y

x0 1–1

2 3 4–2

–3

y = f(x)4

–1

y

x0 1–1

2 3 4–2

–3

y = f(x)

4

–1

y

x0 1–1–2

y = f(x)4

–1

y

x0 1–1

2 3 4–2

y = f(x)4

–1

–2

Рис. 24

2153940o2.fm Page 247 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

248

В каждой паре один из графиков принадлежитфункции y = f(x). Ученикам предлагается задатьвторую функцию.

Затем устно разбираются № 469, 471, 474, 475 (1),а № 472, 475 (2) выполняются письменно.

Самостоятельная работа

Вариант 11. Укажите область значений функции

y = 3sin x + 1.а) [–1; 1]; б) [–3; 3]; в) [–2; 4]; г) [–3; 4].

2. Укажите нечетную функцию:

а) y = cos x; в) y = ;б) y = log3 x; г) y = 3x.

3. Найдите наименьшее на отрезке [–1; 4] значениефункции

f(x) = 0,5x2 – 3x – 3,5.4. Найдите наименьший период функции:

g(x) = sin24x – cos24x.

Вариант 21. Укажите область значений функции y = 0,5cos x – 1.

а) [–1;1]; б) [0;1]; в) [–0,5; 0,5]; г) [–1,5; –0,5].2. Укажите, какая из функций не является ни чет-

ной, ни нечетной:

а) y = tg x; в) y = ;б) y = lg x; г) y = |x|.

3. Найдите наибольшее на отрезке [8; 10] значениефункции:

y = –0,25x2 + 3x – 8.4. Найдите наименьший период функции

f(x) = = 0,2sin 3x cos 6x cos 3x.

Ответы к самостоятельной работеВариант 1. 1. в). 2. в). 3. у = –8. 4. .

Вариант 2. 1. г). 2. б). 3. у = 0. 4. .

Домашнее задание. Составить план решения зада-ний пункта 30.

x3

x3

π

4---

π

6---

2153940o2.fm Page 248 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

249

30. Уравнения и неравенства (1 ч)Понятно, что за столь малое время отработать ре-

шение каких-либо типов уравнений невозможно, по-этому такой цели перед изучением данного пункта ине ставится. Учащиеся должны освежить в своей па-мяти некоторые основные приемы решения уравне-ний и вспомнить, как в основной школе они состав-ляли уравнения по условию задач. Большинство за-даний пункта предлагались на ЕГЭ.

Предметные результаты обучения: решатьуравнения графическим способом; решать некото-рые виды уравнений, неравенств и систем с приме-нением пакетов компьютерных программ.

Метапредметные результаты обучения: при-менять пакеты компьютерных программ для реше-ния уравнений, неравенств и их систем; составлятьплан их решения; классифицировать виды уравне-ний и неравенств.

Цель первого урока: повторить виды уравненийи методы их решения.

Комментарии. Прокомментируем некоторые за-дания этого пункта.

№ 476 (4). Вычитаемое в левой части уравненияприводится к основанию 3. 3x – 3x – 2 = 24. В левойчасти выносится общий множитель 3x – 2 за скобки:3x – 2(32 – 1) = 3•8, 32 – 1 = 8, 3x – 2 = 3, x – 2 = 1, x = 3.

Ответ: x = 3.№ 476 (5). На тригонометрическом круге точками

отмечаются нули числителя и крестиками — нулизнаменателя, после чего записывается ответ.

№ 477 (2). Графики левой и правой частей равен-ства пересекаются в двух точках, значит, уравнениеимеет два корня, которые можно найти из уравне-ний 2x – 5 = ± (x – 1).

№ 477 (3). По графикам видно, что уравнениеимеет единственный корень, и этот корень отрицате-

лен. Сняв модуль, получим: = – , x = –0,5, зна-

чит, уравнение 2x – 5 = –(x – 1) рассматривать ненужно.

x2--- 1

4---

2153940o2.fm Page 249 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

250

№ 478 (1, 2, 5) решаются методом интервалов.В № 478 (3, 4) используются свойства показательнойи логарифмической функций. № 478 (6) приводитсяк линейному неравенству. В № 478 (7) степени с оди-наковыми основаниями разносятся по разным час-тям неравенства и выносится общий множитель заскобки. В № 478 (8) надо посмотреть, какие показа-тели степеней получаются после вынесения за скоб-ки положительного множителя 52(x + 2) при любомзначении x.

52x + 4( – – 24) =

= 52x + 4( – – 24).

Поскольку знак произведения совпадает со зна-ком значения выражения в скобках, решаем нера-венство, которое очевидной заменой переменной за-

писывается так: y2 – – 24 > 0, где y > 0 по условию

замены. Квадратный трехчлен в левой части нера-венства имеет единственный положительный кореньy = 5. Значит, решением квадратного неравенстваявляется промежуток (5; +∞]. Возвращаясь к пере-менной x, получим:

> 5, x2 – x – 6 > 0, (–∞) ∪ (3; +∞).№ 479 (1, 2) можно рассматривать модуль как

расстояние от точки 2 на числовой прямой. В № 479(3, 4) поможет графическая иллюстрация.

В № 480 (1) надо второе уравнение разделить на 2и решить систему методом подстановки, а системув № 480 (2) решить методом сложения.

В первом неравенстве системы № 481 (3) привестилогарифмы к одному основанию, введением новойпеременной свести к квадратному неравенству. Вто-рое неравенство разделить на 6x, ввести новую пере-менную и введением новой переменной свести кквадратному неравенству.

В № 481 (4), поскольку = |x|, решить неравен-ство относительно |x|. Во втором неравенстве выде-лить из показателей степени целые части:

52x2 – 2x – 10 5x2 – x – 6

52 x2 – x – 5( ) 5 x2 – x – 5( ) – 1

y5---

5x2 – x – 5

x2

2153940o2.fm Page 250 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

251

= = 36• ,

= = 36• и получить квадратное неравенство относительно

.Решение задач в № 482 фронтально доводится до

уравнений, которые решать необязательно.В задачах на смеси в № 482 (6) полезно заменять

процентные соотношения десятичными дробями.Неизвестны взятые массы растворов — их обознача-ем соответственно x кг и y кг.

После добавления в обоих случаях масса раствораравна (x + y + 10) кг, а ангидрида кислоты первыйраз 0,14x + 0,82y, во второй раз 0,14x + 0,82y ++ 0,5•10.

Получаем систему уравнений:

Можно завершить решение задачи, напомнив, чтонайти из системы нужно x.

На последнем уроке школьникам полезно предло-жить итоговую контрольную работу. После заверше-ния выделенного времени организуйте проверку,рассмотрев на доске решение некоторых задач.

Итоговая контрольная работа

В а р и а н т 1I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который высчитаете верным.

1. Найдите область определения функцииу = log0,3(2 – 4х).

А. (–∞; 2); В. (–∞; 0,5];Б. (–∞; 0,5); Г. (0,5; +∞).

2. Какая функция является убывающей на всейобласти определения?:А. у = sin х; В. у = |х |;Б. у = lgx; Г. у = π–x.

36x

x – 1--------------

36x – 1 + 1

x – 1--------------------------

36x

x – 1--------------

62x – 1x – 1

-------------------6

(2x – 1) + 1x – 1

-----------------------------------6

1x – 1--------------

61

x – 1--------------

0,14x + 0,82y = 0,22(x + y + 10),0,14x + 0,82y + 5 = 0,42(x + y + 10).

2153940o2.fm Page 251 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

252

3. Найдите все значения аргумента, при которых

функция у = принимает положительныезначения.А. (0; 2); Б. (0; 2]; В. (0; +∞); Г. (–∞; 2].

4. Укажите промежуток, которому принадлежиткорень уравнения 22x + 1 + 7•2x = 4.А. (–6; –4); В. (–2; 0);Б. [–4; –2]; Г. [0; 1].

5. Укажите количество натуральных решений нера-венства log4(x2 + 2х – 8) < 2.А. 9; Б. 5; В. 2; Г. 1.

II уровень

6. При каких значениях аргумента значения функ-ции у = (х + 3)(х – 1)2(х – 2)3 отрицательны?

7. Решите уравнение sin cos = 0.

8. Решите неравенство logcos x(0,5 – 0,5sin 2х) > 0.

В а р и а н т 2

I уровень

В заданиях 1—5 укажите ответ, который вы счи-таете верным.1. Найдите область определения функции:

у = lg(6 – 3х).

А. (–∞; 2]; В. (2; +∞);Б. (–∞; 2); Г. [2; +∞).

2. Укажите, какая из функций возрастает на всейобласти определения.

А. у = – ; В. у = cos x; Б. y = log0,5 х; Г. y = πx.

3. Найдите все значения аргумента, при которых

функция y = принимает положительныезначения.А. (0; +∞); В. (–∞; 4);Б. [0; 4]; Г. (0; 4).

x 2 – x4

x2--- x

2--- 16 – x2

x3

x 4 – x3

2153940o2.fm Page 252 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

253

4. Укажите промежуток, которому принадлежиткорень уравнения 9x – 3x + 1 = 54.А. (–7; –5); Б. (–4, 2); В. (1; 3); Г. (8; 10).

5. Укажите количество натуральных решений нера-венства (x2 – 6х + 8) � –1.

А. 3; Б. 4; В. 5; Г. 2.

II уровень

6. При каких значениях аргумента значения функ-ции у = (х + 1)(x – 2)2(х + 3)3 положительны?

7. Решите уравнение (cos2 x – sin2 x) = 0.8. Решите неравенство logsin x(0,5 + 0,5cos 2x) > 0.

Ответы к итоговой контрольной работеВариант 1. 1. Б. 2. Г. 3. А. 4. В. 5. В. 6. (–3;1) ∪

∪ (1; 2). 7. –π; π; –4; 4; 0. 8. – + 2πk < x < – + 2πk,

– + 2πk < x < 2πk, 2πk < x < + 2πk, + 2πk < x < +

+ 2πk, k � Z.Р е ш е н и я.

7. sin cos = 0 ⇔ sin x = 0,

О т в е т: 0, ±π, ±4.8. logcos x(0,5 – 0,5 sin 2x) > 0,

log13---

1 – x2

π

2--- π

4---

π

4--- π

4--- π

4--- π

4---

x2--- x

2--- 16 – x2 16 – x2

sin x = 0,–4� x � 4,16 – x2 = 0;

x = πn, n � Z,–4 � x � 4,x = 4,x = –4;

x = π,x = –π,x = 0,x = 4,x = –4.

(cos x – 1)(–0,5 – 0,5sin 2x) > 0,cos x ≠ 1,cos x > 0,0,5 – 0,5sin 2x > 0;sin 2x > –1,cos x ≠ 1,cos x > 0,sin 2x < 1.

2153940o2.fm Page 253 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

254

О т в е т: – + 2πk < x < – + 2πk,

– + 2πk < x < 0; 0 < x < + 2πk,

+ 2πk < x < + 2πk, k � Z.

Вариант 2. 1. Б. 2. Г. 3. Г. 4. В. 5. Г. 6. (–∞; –3) ∪

∪ (–1; 2) ∪ (2; +∞). 7. – ; – 1; 1. 8. 2πn < x < +

+ 2πn, – + 2πn < x < π(2n + 1), n � Z. 9. Четыре це-

лых числа. 10. х = 5.

Р е ш е н и я.

7. (cos2 x – sin2 x) = 0,

cos 2x = 0,

8. logsin x(0,5 + 0,5cos 2x) > 0, logsin x(0,5 + 0,5cos 2x) >> logsin x1. Поскольку 0 < sin x < 1, имеем в силуубывания логарифмической функции с основанием,меньшим 1: 0 < 0,5 + 0,5cos 2x < 1, –1 < cos 2x < 1,

х ≠ n. С учетом условия 0 < sin x < 1 получаем

о т в е т: 2πп < х < + 2πп, + 2πn < х < π(2п +

+ 1), n � Z.

π

2--- π

4---

π

4--- π

4---

π

4--- π

2---

π

4--- π

4--- π

2---

π

2---

1 – x2

1 – x2

cos 2x = 0,–1 � x � 1,

1 – x2 = 0;

2x = + πn, n � Z,

–1 � x � 1,x = –1,x = 1;

π

2---

x = + n, n � Z,

–1 � x � 1,x = –1,x = 1;

π

4--- π

2---

x = ,

x = – ,

x = –1,x = 1.

π

4---

π

4---

π

2---

π

2--- π

2---

2153940o2.fm Page 254 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

255

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Тематическое планирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Методические комментарии к главам

учебника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Глава 1. Функции и графики11. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3812. Прямая, гипербола, парабола и окружность . . 4413. Непрерывность и монотонность функций . . . . 5014. Квадратичная и дробно-линейная функции.

Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 55Зачет по теме «Функции и графики» . . . . . . . . 61Контрольная работа № 1.Тема «Функции и графики» . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 2. Степени и корни15. Степенная функция у = хn при натуральном п 7016. Понятие корня n-й степени. . . . . . . . . . . . . . . . 7517. Свойства арифметических корней . . . . . . . . . . 8118. Степень с рациональным показателем. . . . . . . 89

Зачет по теме «Степени и корни» . . . . . . . . . . . 95Контрольная работа № 2.Тема «Степени и корни» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Глава 3. Показательная и логарифмическая функции19. Функция y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110. Понятие логарифма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011. Свойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Зачет по теме «Показательная и логарифмическая функции» . . . . . . . . . . . . . 140Контрольная работа № 3. Тема «Показательная и логарифмическая функции» . . . . . . . . . . . . . 143

2153940o2.fm Page 255 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM

256

Глава 4. Тригонометрические функции и их свойства12. Угол поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14613. Радианная мера угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814. Синус и косинус любого угла . . . . . . . . . . . . . . 15015. Тангенс и котангенс любого угла . . . . . . . . . . . 15616. Простейшие тригонометрические

уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16217. Формулы приведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16718. Свойства и график функции y = sin x. . . . . . . . 17119. Свойства и график функции y = cos x . . . . . . . 17520. Свойства и графики функций

y = tg х и y = ctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Зачет по теме «Свойства и графики тригонометрических функций» . . . . . . . . . . . . 183Контрольная работа № 4. Тема «Свойства и графики тригонометрических функций» . . . 187

21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента . . . . . 190

22. Синус и косинус суммы и разности двух углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

23. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов 20024. Тригонометрические функции

двойного угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20225. Преобразование произведения

тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

26. Решение тригонометрических уравнений . . . . 208Зачет по теме «Тригонометрические функции и их свойства» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Контрольная работа № 5. Тема «Тригонометрические функциии их свойства» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Глава 5. Элементы теории вероятностей и комбинаторики

27. Понятие вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22428. Вычисление числа вариантов . . . . . . . . . . . . . . 227

Зачет по теме «Элементы теории вероятностей и комбинаторики». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Глава 6. Повторение29. Функции и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23330. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Итоговая контрольная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 251

2153940o2.fm Page 256 Thursday, October 31, 2013 11:15 AM