Our understanding of PDTR · Grup d’Història d’Abeam . 2 Per què un context històric? En el...
30
1 Resolució d'equacions completant quadrats a l'estil d’al-Khwârizmî C B A XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM 10 de novembre de 2012 Grup d’Història d’Abeam
Transcript of Our understanding of PDTR · Grup d’Història d’Abeam . 2 Per què un context històric? En el...
1
Resolució d'equacions
completant quadrats
a l'estil d’al-Khwârizmî
C
B
A
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM
10 de novembre de 2012
Grup d’Història d’Abeam
2
Per què un context històric?
En el currículum oficial, a 3r d’ESO, un dels exemples de
contextos històrics proposats és La resolució geomètrica
d’equacions (Grècia, Índia, Món Àrab).
En aquesta experiència ens cenyim a un dels dos tipus
d’equacions, les de 2n grau, tot i que veurem la relació
amb les de 1r grau.
Quant a l’època, tot i donar referències de diferents
períodes ens centrem en el Món Àrab, perquè és la
baula que durà a la resolució de l’equació de 2n grau
amb la fórmula actual.
El context històric
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
3
El context històric Àrab
• Recull el raonament axiomàtic-deductiu del saber grec
i el pragmatisme i càlcul del saber indi.
• Bagdad va ser el gran centre científic on van arribar i
es van traduir les grans obres gregues com ara els
Elements d’Euclides, l’Almagest de Ptolemeu.
• Altres focus de cultura: El Caire, Còrdova,
Samarcanda, Isfahan,...
• Van fer importants contribucions en física, astronomia
d’observació, alquímia, medicina, geometria i àlgebra.
El context històric
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
4
El context històric Àrab
Mentre l’imperi romà va desaparèixer a Occident i amb ell es va produir
la decadència de la ciència grega, l’imperi a Orient es va mantenir.
El profeta Mahoma nascut l’any 580, va formar un estat mahometà a
la Meca l’any 622, que es va anar expandint fins al segle XII.
El context històric
5
Matemàtic, astrònom i membre
de la Casa de la Saviesa de
Bagdad, és considerat com el
creador de les regles de
l’àlgebra: Hisâb al-jabr wal-
muqqabala (813)
Traduïda al llatí per Roberto de
Chester: Liber algebrae et
almucabala (Segovia, 1145)
El context històric
Abu Ja’far Mohamed Ben-Musa al-Khwârizmî (780- 850)
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
6
El context històric
Abu Ja’far Mohamed Ben-Musa al-Khwârizmî (780- 850)
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
7
Al començament de la seva obra, al-Khwârizmî explica:
El meu propòsit és compondre una obra breu
sobre el càlcul per les regles de compleció i reducció,
limitant-nos al que és a la vegada més fàcil i més útil en
l’aritmètica, i que els homes necessiten constantment
en els casos d’herències, llegats, particions, plets així
com en el comerç i en totes les relacions dels uns amb
els altres, o bé on es necessiten mesures de terres,
excavacions de canals, càlculs geomètrics i altres
assumptes de molts diversos tipus.
Abu Ja’far Mohamed Ben-Musa al-Khwârizmî (780- 850).
Hisâb al-jabr wal-muqqabala
El context històric
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
8
Abu Ja’far Mohamed Ben-Musa al-Khwârizmî (780- 850)
al-Khwârizmî diu que ha observat que els
nombres que es necessiten al calcular per
compleció i reducció són de tres tipus,
concretament, arrels, quadrats i nombres
simples.
Sis tipus d’equacions, en el llenguatge
actual:
ax2 = bx ax2 = c
bx = c ax2+ bx = c
ax2+ c = bx bx+ c = ax2
El context històric
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
9
La justificació geomètrica d’al-Khwârizmî (traducció Frederic Rosen 1831)
http://archive.org/stream/algebraofmohamme00khuwuoft
El context històric
10
Considerem el quadrat (quadrate) AB que
representa el quadrat (square). Hem d’afegir-hi les
deu arrels (es refereix a la x) del mateix [quadrat].
Per això, dividim per la meitat el deu, que dóna
cinc, i construim dos “quadrangles” sobre els dos
costats del quadrat AB, concretament, G i D, essent
cinc la longitud de cadascun, que és la meitat de
deu arrels, mentre que l’amplada de cadascun és
igual al costat del quadrat AB. Aleshores queda un
quadrat oposat en l’extrem del quadrat AB. És igual
a cinc multiplicat per cinc: aquest cinc és la meitat
del nombre d’arrels que hem afegit a dos costats
del primer quadrat.
La justificació geomètrica d’al-Khwârizmî
Així sabem que el primer quadrat, que és el quadrat (square, aquí es refereix al quadrat
com a) potència, i els dos quadrangles sobre els seus costats, que són deu arrels, fan
entre tots, trenta-nou. Per completar el quadrat gran, necessitem només un quadrat de
cinc per cinc, o sigui, vint-i-cinc. Ho afegim a trenta-nou per completar el quadrat gran
SH. La suma és seixanta-quatre. Fem l’arrel quadrada, vuit, que és un dels costats del
quadrat gran. Restant-li la mateixa quantitat que hem afegit, o sigui, cinc, obtenim tres.
Aquest és el costat del quadrat AB, que representa el quadrat (com a potència); és l’arrel
d’aquest quadrat, i el quadrat és nou.
El context històric
11
D’al-Khwârizmî a l’aula 39x10x2
Disseny de l’activitat
Raonament visual que combina àlgebra (en notació actual) i geometria.
12
La seqüència d’activitats
El context històric
Abans d’entrar en la matèria pròpiament matemàtica caldrà situar
l’alumnat en el Món Àrab de l’època. Aquesta primera introducció es
planteja com a tasca de recerca de l’alumnat entorn al-Khwârizmî:
• Quan i on va viure?
• A què es dedicava?
• Quines obres va escriure que
van transcendir i van marcar
camí en la història de les
matemàtiques?
• A quines preguntes volia
respondre amb la seva obra?
13
La seqüència d’activitats
Les primeres equacions de 2n grau
La resolució algebraica:
Es dediquen unes primeres sessions a la resolució
algebraica d’equacions incompletes, utilitzant els
procediments propis de les equacions de 1r grau
combinats amb l’extracció de l’arrel quadrada.
Es tracta d’aprofitar les habilitats adquirides per a
l’alumnat en plantejar, interpretar i resoldre equacions
de 1r grau, per a resoldre les equacions de 2n grau
incompletes.
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
14
La seqüència d’activitats
Les primeres equacions de 2n grau
La resolució geomètrica:
Es dediquen unes sessions a la interpretació
geomètrica de x2 i poc a poc s’introdueix l’alumnat
en la resolució d’equacions de 2n grau incompletes,
però ara des del punt de vista geomètric, a través de
la interpretació de x i x2 com a mesures de costats de
quadrats i de les seves àrees respectives.
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
15
La seqüència d’activitats
Les equacions de 2n grau incompletes
La interpretació geomètrica de
12x3 2
12x3 2
De l’equació de 1r grau a la de 2n grau
Arribar al quadrat i fer l’arrel quadrada per a trobar les solucions.
x8x2 2
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
16
a) Treballant amb un quadrat i la seva àrea
Es resolen equacions del tipus:
La seqüència d’activitats
Equacions de 2n grau incompletes
ax2
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
17
b) Quan es treballa amb més d’un quadrat
Es resolen equacions del tipus:
La seqüència d’activitats
cax2
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
18
c) Per introduir les equacions sense terme independent cal treballar amb:
La seqüència d’activitats
...x
Com seria l’expressió algebraica de l’equació resolta? . . . . . . . . . . . .
I també:
...x
Resolució de l’equació: . . . . . . . . . . . . . .
Així es resolen equacions del tipus: ax2 = c
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
19
La seqüència d’activitats
Un cop l’alumnat ha descobert com són les solucions de les
equacions que s’han anat resolent fins ara (un nombre o bé un
nombre qualsevol i el zero) se’ls convida a què escriguin equacions
a partir de les seves solucions, en els casos equivalents als
analitzats fins ara, és a dir:
cax2 i bxax2
i totes les seves equivalents fins arribar a:
Primeres conclusions en el procés
x = 3 -> x2 = 9, 2x2 = 18, etc.
x = 0, 3 -> x2 = 3x, 2x2 = 6x, etc.
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
20
La seqüència d’activitats
Les equacions de 2n grau completes
39x10x2
És possible transformar aquesta figura, d’àrea coneguda: 39
en un quadrat o gairebé?
?
Què es pot inferir del procés anterior que acabava
amb l’extracció d’una arrel quadrada?
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
21
La seqüència d’activitats
El procediment usat per al-Khwârizmî
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
22
La seqüència d’activitats
A partir del 64 i de la seva arrel quadrada positiva, 8, cal
reconstruir el procés i arribar a la solució
...x
Si ens cenyim al context d’al-Khwarizmi, només podem treballar
amb nombres positius, per tant, l’equació plantejada només té una
solució, des del punt de vista àrab.
Avui en dia, admetem que 64 té dues arrels, 8 i -8, i en aquesta via
arribaríem a la segona solució de l’equació: -8 = x + 5
x = -13. XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
23
L’experimentació i els resultats
Les tasques de quatre alumnes
a) L’alumna 1
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
24
L’experimentació i els resultats
Les tasques de quatre alumnes
a) L’alumne 2
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
25
L’experimentació i els resultats
Les tasques de quatre alumnes
a) L’alumna 3
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
26
L’experimentació i els resultats
Les tasques de quatre alumnes
a) L’alumna 4
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
27
Conclusions
L’activitat
Integrada en la programació del curs.
Utilitza l’àlgebra d’al-Khwârizmî com a fil conductor.
Parteix de les equacions de 1r grau per arribar a les
de 2n grau.
Connecta l’àlgebra i la geometria. El pensament
matemàtic en aquesta època era geomètric, la
geometria era l’única que podia justificar qualsevol
raonament científic i viceversa.
Utilitza auxiliars visuals per a recolzar el raonament
geomètric.
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
28
Conclusions
L’alumnat
Els coneixements adquirits actuen com a previs per investigar noves
situacions. Aquí la resolució de l’equació de 1r grau.
La resolució de situacions no és única, de vegades hi ha mètodes que
són més intuïtius. Aquí els auxiliars visuals.
El procés de combinar geometria i àlgebra els fa veure les matemàtiques
com un tot i la necessitat de connectar, a vegades, diferents tipus de
continguts per a resoldre problemes.
La història de les matemàtiques aporta a aquesta ciència una dimensió
humana, social i cultural. Fa reflexionar sobre l’evolució del pensament
matemàtic i dóna una nova visió sobre les matemàtiques.
Treballar en equip i amb responsabilitat ajuda a construir millor el
coneixement propi i el dels altres.
29
Conclusions
El professorat
La història de les matemàtiques és una font de recursos
inesgotable per dissenyar activitats d’aprenentatge.
Partir dels coneixements previs de l’alumnat (resolució
d’equacions de 1r grau) en el disseny d’activitats potencia les
connexions i posa de manifest què havien après realment sobre
la resolució d’equacions de 1r grau
Cal respectar el ritme de l’alumnat, buscar l’equilibri entre
deixar pensar i respondre preguntes.
El treball en grup modula els diferents ritmes dels alumnes.
XV Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM/Grup d'Història/10.11.2012
30 XV Jornada Didàctica Matemàtica
d'ABEAM/Grup
d'Història/10.11.2012
