orientaci on de k en el diagrama. · 2008-07-23 · Pero a Kau man se le ocurri o hacer lo...
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writhe
Tomamos un diagrama D de un nudo k y marcamos una
“orientacion” de k en el diagrama.
(o sea, una direccion en la que se recorre la curva k)
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writhe
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writhe
Dibujamos sobre el diagram D una curva “paralela” al nudo
que sea “identica”.
Obtenemos ası un nuevo diagrama D′ que contiene dos
curvas paralelas.
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writhe
Este nuevo diagrama tiene el doble de cruces que el original.
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writhe
Vamos a considerar solo los cruces entre el nudo original y
su copia.
Por cada cruce “positivo” de una componente con la otra
contamos 1; y por cada cruce “negativo” contamos −1:
−1+1 −1+1
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writhe
+1
+1
+1
+1
+1
+1
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writhe
A la mitad del resultado de sumar todos los unos y menos
unos lo llamamos el numero de retorcimiento de D
(el writhe de D).
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writhe
+1
+1
+1
+1
+1
+1
En este ejemplo tenemos writhe= 6/2 = 3.
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writhe
(Si hubieramos orientado el nudo al reves, obtendrıamos el
mismo resultado)
+1
+1
+1
+1
+1
+1
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writhe
No es difıcil convencerse de que el writhe de un diagrama no
cambia con las movidas de Reidemeister II y III.
Por ejemplo:
+1+1
−1−1
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writhe
Pero la movida de Reidemeister I cambia el writhe en ±1.
−1
−1+1
+1
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writhe
No obtuvimos un invariante.
Pero este writhe va a ser muy util.
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Calcula el writhe del ocho:
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Calcula el writhe de la imagen en un espejo del trebol:
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Kauffman
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Kauffman
A cada diagrama D de un nudo k vamos a asociarle una
expresion algebraica (un polinomio).
Estos polinomios van a tener (de momento) tres
variables x, y y z.
k 7→ polinomio
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Para un diagrama D de un nudo k, vamos a escribir su
polinomio como
[D] = [D](x, y, z).
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Para calcular el polinomio parentesis, primero
declaramos que
1) [circu] = 1
donde circu es el diagrama del no-nudo sin cruces.
(este “1” es el polinomio constante 1)
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Si tenemos un diagrama D con una circunferencia (un
no-nudo) que esta alejada del resto del diagrama, escribimos
D = circu ∪ E
donde E es lo que queda del diagrama D despues de borrar la
circunferencia.
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circu
E
El diagrama D = circu ∪ E
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Declaramos ahora que
2) [circu ∪ E] = z · [E].
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Finalmente declaramos que
3)[ ] = x ] + [ ][ y
O sea, si en un cruce de un diagrama hacemos los
cambios indicados, los polinomios parentesis de los diagramas
involucrados estan relacionados como dice (3).
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Ejemplo
] = x[ ]+ [[ ]y
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Axiomas de Kauffman
1) [circu] = 1
2) [circu ∪ E] = z · [E].
3) [ ] = x ] + [ ][ y
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Ejemplo
] = x[ ]+[ [ [y ]
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Ejemplo
] = x[ +[
[
[
y][ [ ]
]=x[ ]+y[ ]
]=x[ ]+y[ ]
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Ejemplo
[ ]
=
[ ]=x[ ]+y[ ]
=x[ ]+y[ ]
=xz[ ]+yxz+y
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Ejemplo
[ ]=x[ ]+y[ ]
[ ]=x[ +y[] ]=x+yz
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Ejemplo
[ ]=x[ ]+y[ ]
=x(xz+y)+y(x+yz)
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Ejemplo
] = x[ ]+[ [ [y ]
[ ]=x[ ]+y[ ]
=x(x+yz)+yz(x+yz)
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Ejemplo
x(xz+y)+y(x+yz)
x(x+yz)+yz(x+yz)
x(xz+y)+y(x+yz)x(x+yz)+yz(x+yz)
][ =x[ ]+y[ ]
[ ]=
[ ]=
][ =x(+y(=x3z +3x2y xy2z+
))
+3 y3z2
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Bueno.
Nos gustarıa mucho que este polinomio parentesis se
comportara bien con las movidas de Reidemeister.
Por ejemplo, quisieramos que
= ]][ [
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Veamos:
][ [ ] [ ]
][[ ]
[ ] [ ]
[ ] ][
=
=
=
x +y
x(x +y
+y(x +y )
)
+( +2x xyz+y2
)xy
Nos estorban los coeficientes xy y x2 + xyz + y2.
Pues, los quitamos.
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Vamos a declarar que xy = 1 y x2 + xyz + y2 = 0.
Esto lo hacemos para que nos salgan las cuentas.
Obtenemos
y =1x
= x−1
y
z = −x2 − x−2.
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Con estos nuevos valores para y y z, el polinomio parentesis
se vuelve un polinomio en una sola variable x y (lo mas
importante) ahora se cumple que
= ]][ [
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Ademas
][ ][ ][
][
=
=
= ][
= ][
x +y
(y x−1)
x +y
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¡La movida III sale gratis!
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Con el cambio y = x−1 y z = −x2 − x−2, los axiomas de
Kauffman se ven como
1) [circu] = 1
2) [circu ∪ E] = (−x2 − x−2)[E].
3) [ ] = x ] [ ][ +x−1
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Pero, si hacemos los calculos para la movida I:
[ ][ ][ =
[
]
=]
−
−
x3
x−3
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De nuevo no nos queda un invariante...
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Pero a Kauffman se le ocurrio hacer lo siguiente:
Tomamos un diagrama D de un nudo k y escribimos el
siguiente polinomio
fk(x) = (−x)−3(writhe(D))[D]
Y ¡resulta!
(writhe(D) es el retorcimiento de D)
Queda ver (como ejercicio facil) que el polinomio f de un
diagrama no cambia con las movidas de Reidemeister.
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O sea, tenemos
Teorema. Si los nudos k y ` son equivalentes, entonces sus
polinomios (calculados en cualesquiera diagramas) resultan
fk(x) = f`(x).
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Si recordamos
[trebol] = x3z + 3x2y + 3xy2z + y3z2
Hacemos los cambios y = x−1 y z = −x2 − x−2
[trebol] = x3(−x2 − x−2) + 3x2(x−1) +3x(x−1)2(−x2 − x−2)+(x−1)3(−x2 − x−2)2
= −x5 − x−3 + x−7
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Ya sabemos que el writhe de este dibujo es 3.
Entonces el polinomio
ftrebol(x) = (−x)−3writhe(trebol)[trebol] = −x−9[trebol]
= x−4 + x−12 − x−16
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Calcula el polinomio f del ocho:
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Calcula el polinomio f de la imagen en un espejo del trebol:
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Nota: Se puede probar lo siguiente:
Teorema. Tomamos un nudo k y su reflejado en un espejo k∗.
Entonces [k](x) = [k∗](x−1) y fk(x) = fk∗(x−1).
![Page 48: orientaci on de k en el diagrama. · 2008-07-23 · Pero a Kau man se le ocurri o hacer lo siguiente: Tomamos un diagrama D de un nudo k y escribimos el siguiente polinomio f k(x)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022042210/5eaee5cc2af85025b74fed94/html5/thumbnails/48.jpg)
x−4 + x−12 − x−16 x8 − x4 + 1− x−4 + x−8
x−4 − x−8 + 2x−12 − x−16 + x−24 − x−28 −x−8 + x−16 − x−20 + x−24 − x−28
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−x12 + 2x8 − 2x4 + 3− 2x−4 + 2x−8 − x−12 x4 − 1 + 2x−4 − 2x−8 + 2x−12 − 2x−16 + x−20
x8 − x4 + 2− 2x + x−4 − x−12 + x−16 x16 − 2x12 + 3x8 − 4x4 + 4− 3x−4 + 3x−8 − x−12
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x4 − 2 + 3x−4 − 3x−8 + 4x−12 − 3x−16 + 2x−20 − x−24 x2 − x3 + 3x4 − 3x5 + 3x6 − 3x7 + 2x8 − x9
x−4 − x−8 + 2x−12 − 2x−16 + 2x−20 − x−24 + x−28 − x−32 x−8 − x−12 + 2x−16 − 2x−20 + 3x−24 − 2x−28 + x−32 − x−36
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Notacion
3 1 1 4 1 0 1 -14 1 -2 2 1 -1 1 -1 15 1 1 6 1 -1 2 -1 1 -15 2 2 7 1 0 1 -1 1 -16 1 -3 3 -1 2 -2 3 -2 2 -16 2 -1 5 1 -1 2 -2 2 -2 16 3 -2 4 1 -1 2 -2 1 -1 17 1 -4 3 1 -2 3 -4 4 -3 3 -17 2 -1 6 1 -2 3 -3 4 -3 2 -17 3 2 9 1 -1 3 -3 3 -3 2 -17 4 1 8 1 -1 2 -2 2 -1 1 -17 5 2 9 1 -1 2 -2 3 -2 1 -17 6 1 8 1 -2 3 -2 3 -2 1 -17 7 3 10 1 0 1 -1 1 -1 1 -1
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