OPTIMIZACIÓN EN EL PROBLEMA P=NP · 2017-06-27 · Salvo que P=NP hay grafos que son 3 coloreables...
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OPTIMIZACIÓN EN GRAFOS Y EL PROBLEMA P=NP
David Pérez-García
Universidad Complutense de Madrid
EL PROBLEMA P=NP
P VS. NP
1. Esunodelos“problemasdelmilenio”.Unmillóndedólares.2. LaclasePesladeaquellosproblemasdedecisiónquesepuedenresolver
“eficientemente”enunordenador,enelsen<dodequeelcosteen<empocrecedeformapolinomialconlosparámetrosdelproblema.
3. LaclaseNPesladeaquellosproblemasdedecisiónquesepuedenverificar
en<empopolinomialsiaunoledanel“witness”adecuado.
P VS. NP
Ejemplo:Dadostresnúmeroenterosk>n>m(eltamañodelproblemaeselnúmerodebitsdek),decidirsinm=kestáenP.
Ejemplo:Dadosdosnúmeroenterosn>m(eltamañodelproblemaesel
númerodebitsden),decidirsin<eneunfactorprimomenorquemestáenNPperosecreequenoestáenP(seguridaddeRSA).
Muchosproblemascombinatorios(degrafos)sonNP-hard,esdecir,sise
resuelvenen<empopolinomialesqueP=NP.Ejemplos:CHROMATICNUMBER,MAXCUT,MAXCLIQUE,etc.
JUEGOS NO LOCALES
(INTERACTIVE PROOF SYSTEMS)
x y
a b
Preguntas x,y con probabilidad π (x, y)Respuestas a,bV (a,b, x, y)∈ ganar,perder{ }
valor(G)=mayorprobabilidaddeganarop<mizandoentrelasestrategias.
JUEGO: G = π,V{ }Tamaño(G)=nº preguntas posibles + nº respuestas posibles
INAPROXIMABILIDAD EN JUEGOS NO LOCALES
TEOREMA PCP (ARORA ET AL. J. ACM 1998)
SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegonquepermitadecidirsielvalordeunjuegoes=1o(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).
0 1
≤1− 1poly(n)
TEOREMA DE REPETICIÓN PARALELA (RAZ, SIAM J. COMP 1998)
DadounjuegoG,supongamosqueAliceyBobjueganmvecesdeformasimultánea(enparalelo)yseconsideraqueganansiysólosiganantodaslasveces.Seesperaríaqueelvalordedicharepe<ciónparalelasea.FALSO,perocasicierto:
AmbosTeoremas(PCPyRepe<ciónParalela)estánconsideradosdosdelosprincipalesresultadosenteoríadelacomplejidadmoderna.
valor(G)m
Teoremaderepe;ciónparalela:Elvalordelarepe<ciónparaleladeGesparaciertasconstantes
≤ 1− c1 1− valor(G)( )3( )c2m
c1,c2 <1
COROLARIO (PCP + REPETICIÓN PARALELA)
SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegonquepermitadecidirsielvalordeunjuegoes=1o(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).
0 1
≤1
poly(n)
Deestecorolariosededucentodoslosresultadosdeinaproximabilidadengrafos.
UNIQUE GAME CONJECTURE (KHOT 2002)
SalvoqueP=NP,dadosr,s>0,noexisteningúnalgoritmopolinomialeneltamañodeljuegoquepermitadecidirsielvalordeunjuegouniquees>so<r(dadalapromesadequeseverificaunodelosdoscasos).
0 1
r
Ha pasado a ser una conjetura central en Teoría de la Complejidad (Khot recibió el Nevalinna Prize en 2014 por esta conjetura).
s
INAPROXIMABILIDAD EN GRAFOS
INAPROXIMABILIDAD DE MAX-CLIQUE
Teorema(Hastad,ActaMath.1999):SalvoqueP=NP,dadoe>0yunalgoritmopolinomialparadeterminarelMAX-CLIQUEdeungrafo,entoncesexistengrafosdenvér<cestalesque:
MAX-CLIQUEoutput del algoritmo
≥ n1−e
NótesequeMAX-CLIQUEessiempremenoroigualquen(!!)
INAPROXIMABILIDAD DE COLOREAR UN GRAFO
Teorema(Lund-Yannakakis,JournalofACM,1994):Existeune>0talque,salvoqueP=NP,dadounalgoritmopolinomialparadeterminarelCHROMATICNUMBERdeungrafo,entoncesexistengrafosdenvér<cestalesque:
output del algoritmoCHROMATIC NUMBER
≥ ne
Teorema(Khanna,Linial,Safra,1994):SalvoqueP=NPhaygrafosqueson3coloreablespero que no se pueden colorear (en <empopolinomial)nisiquieracon4colores.
EL PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES
Problema(1852):Dadoungrafoplanar(unmapa),¿sepuedecolorearconcuatrocolores?
Solución(Apple,Hakken,Bull.AMS1976):SIDemostraciónu<lizandounordenador.CONTROVERSIA.
MAX-CUT =máximo,entretodaslasformasdebicolorearungrafo,delnúmerodearistasentredis<ntoscolores.
Teorema(Hastad,J.ACM2001):SalvoqueP=NP,noexisteningúnalgoritmopolinomialquegaran<cesiempreunvalortalque
MAXCUT ≤α ≤ 1312MAXCUT
CONEXIÓN ENTRE JUEGOS Y GRAFOS:
LABEL COVER
LABEL COVER
Dado un grafo bipartito Un conjunto de colores Y un conjunto de configuraciones válidas para cada arista Encontrar una coloración del grafo que maximice el número
de aristas con una configuración válida
),( EWUV ∪=
Σ
}invalid valid,{: ,),( →Σ×Σ∈=∀ eCEwue
LABEL-COVER
Colores
Número de aristas válidas = 4 Solución a LABEL-COVER = 5
LABEL COVER – JUEGOS NO LOCALES
Dada una instancia de LABEL-COVER, definimos un juego no local como sigue: Preguntas = vértices (de U a Alice y de W a Bob) con probabilidad uniforme entre los pares que forman una arista (y 0 en el resto). Respuestas = colores. Ganan el juego si dan una coloración válida para la arista que se les pregunta.
Valor del juego = Solución LABEL COVERnúmero de aristas