Optimisation aérothermique d'un alternateur à pôles saillants pour la ...
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Optimisation aerothermique d’un alternateur a poles
saillants pour la production d’energie electrique
decentralisee
Augusto Bronschlegell
To cite this version:
Augusto Bronschlegell. Optimisation aerothermique d’un alternateur a poles saillants pour laproduction d’energie electrique decentralisee. Autre. Universite de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2012. Francais. <NNT : 2012VALE0023>. <tel-00768249>
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Thèse de doctorat
Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de
VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRESIS
Discipline, spécialité selon la liste des spécialités pour lesquelles l’Ecole Doctorale est accréditée : Mécanique
Présentée et soutenue par Augusto Salomao, BORNSCHLEGELL.
Le 18/09/2012, à Valenciennes
Ecole doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur (SPI)
Equipe de recherche, Laboratoire : Laboratoire de Thermique, Ecoulement, Mécanique, Mise en Production (TEMPO)
Optimisation aérothermique d’un alternateur à pôles saillants pour la production d’énergie électrique décentralisée
JURY
Président du jury - Fudym, Olivier. Professeur. Ecole des Mines d’Albi.
Rapporteurs- Ben Jabrallah, Sadok. Professeur. Faculté des sciences de Tunis, Tunisie. - Corriou, Jean-Pierre. Professeur. Laboratoire Réactions et Génie des Procédés, ENSIC, Nancy. - El Ganaoui, Mohamed. Professeur. Université Point Carré, Nancy 1.
Examinateurs- Fudym, Olivier. Professeur. Ecole des Mines d’Albi. - Pelle, Julien. Maître de Conférences. Laboratoire TEMPO, Université de Valenciennes.
Directeur de thèse- Harmand, Souad. Professeur. Laboratoire TEMPO, Université de Valenciennes.
Membres invités - Laloy, Daniel. Ingénieur. R&D Innovation et laboratoire, Jeumont Electric. - Fasquelle, Aurélie. Ingénieur. R&D Innovation et laboratoire, Jeumont Electric.
® C
i
Remerciements
Il me semblait impossible, mais on a finalisé cette thèse. Je voudrais dédier ce space à ceux
qui m’ont aidé arriver à cette soutenance. Un grand merci à :
Mme. Harmand, pour m’avoir invité au laboratoire TEMPO pour cette thèse, pour m’avoir
guidé le long de ce travail et pour m’avoir re-motivé à finaliser ce travail;
Julien, pour son aide inconditionnelle, ses discussions et pour son l’aide avec la langue française;
Le Juri et les Rapporteurs de cette thèse, pour avoir accepté l’analyse de ce travail;
Sabine, pour le support administratif;
L’équipe technique, pour la construction de la maquette et l’installation des instruments de
mesure;
Les collègues du laboratoire, de l’UVHC et de l’Ecole Centrale de Lille, pour les discussions
et leur compagnie;
Yoshi et Emeline, pour leur amitié;
AKER SOLUTIONS, pour m’avoir motivé à finir la rédaction de ce mémoire;
L’UVHC/TEMPO, pour son infrastructure;
Le partenariat entre JEMONT ELECTRIC et la Région Nord Pas-de-Calais, pour le support
financier.
Merci beaucoup à tous.
ii
Résumé
La présente étude concerne l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique. Un
modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résoud
l’équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transi-
toire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants :
la conduction et la convection. L’évaluation de ce modèle est effectuée par l’intermediaire de
13 valeurs de débits de référence. C’est en faisant varier ces variables qu’on évalue la perfor-
mance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l’étude d’optimisation de cette
géométrie, on a lancé une étude d’optimisation d’un cas plus simple afin de mieux comprendre
les différents outils d’optimisation disponibles. L’expérience acquise avec les cas simples est util-
isée dans l’optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la
combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des con-
traintes ont été additionnées afin d’obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème
est résolu à l’aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes
Génétiques.
iii
Abstract
This work relates the thermal optimization of an electrical machine. The lumped method is
used to simulate the temperature field. This model solves the heat equation in three dimen-
sions, in cylindrical coordinates and in transient or steady state. We consider two transport
mechanisms: conduction and convection. The evaluation of this model is performed by means
of 13 design variables that correspond to the main flow rates of the equipment. We analyse
the machine cooling performance by varying these 13 flow rates. Before starting the study of
such a complicated geometry, we picked a simpler case in order to better understand the variety
of the available optimization tools. The experience obtained in the simpler case is applyed in
the resolution of the thermal optimization problem of the electrical machine. This machine is
evaluated from the thermal point of view by combining two criteria: the maximum and the mean
temperature. Constraints are used to keep the problem consistent. We solved the problem using
the gradient based methods (Active-set and Interior-Point) and the Genetic Algorithms.
iv
List of Figures
1.1. Marché des alternateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Schéma présentant le fonctionnement d’un alternateur synchrone [Wildi et Sybille
(2005)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Transfert de puissance dans un alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Vue d’un pôle saillant : différence de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Circulation de l’air au rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Vision 3D du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Coupe d’une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8. Machine JEGSY 811 (accouplé au diesel / 4 alternateurs installés sur site) . . . . 8
1.9. Etude d’optimisation, un processus itératif [Brisset (2007)]. . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Configurations usuelles d’une bifurcation avec une entrée . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Structures secondaires liés à la force centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Canaux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Section d’un canal rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Couches limites hydrodynamiques développées avec la rotation . . . . . . . . . . 20
2.6. Convection naturelle dans une plaque verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7. Convection naturelle autour d’un cylindre horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8. Convection naturelle dans une cavité fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9. Convection forcée dans une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10. Section rectangulaire, dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11. Rotor de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12. Disque en rotation parallèle à l’écoulement [aus der Wiesche (2007)] . . . . . . . 27
2.13. Entrefer modélisé par [Bouafia et al. (1998)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.14. Discrétisation de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.15. Analogie électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.16. Bilan des flux pour le transfert d’énergie par l’écoulement . . . . . . . . . . . . . 34
2.17. Influence du point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.18. Fonction objectif et contraintes de l’exemple 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.19. Sélection par la méthode de la roulette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.20. Déplacement d’une particule dans l’espace de recherche . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.21. Echangeur à tubes étudiés par [Selbas et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.22. Schéma d’un système HVAC par [Lu et al. (2005a,b)] . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.23. Empilement de couches de matériaux poreux, [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a)] 61
2.24. Empilement de couches de matériaux poreux, [Villemure et al. (2008)] . . . . . . 61
2.25. Echangeur étudié par [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
v
List of Figures
2.26. Front de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.27. Formes de tubes de solutions de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . 63
3.1. Modèle de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Découpage du modèle de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4. Réseau équivalent dû à la condition de symétrie du modèle . . . . . . . . . . . . . 67
3.5. Calcul de la conductance équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6. Répartition des débits pour la machine à 8 pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7. Carte de pertes - cas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8. Cartes de température de sections le long de l’axe (entrée) . . . . . . . . . . . . . 72
3.9. Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté entrée) . . . 74
3.10. Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté sortie) . . . 78
3.11. Cartes de température de sections le long de l’axe (sortie) . . . . . . . . . . . . . 79
3.12. Comportement thermique du modèle pour différents répartitions de pertes . . . . 80
3.13. Discrétisation au tour des évents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.14. Température de l’air dans les évents, simulations et mesures . . . . . . . . . . . . 81
3.15. Ecarts de température entre les mesures et les simulations des développantes à
l’entrée de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.16. Variation de la différence de température de l’aire à l’entrée et à la sortie de la
machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.17. Différences des températures des développantes du coté entrée d’air pour les cas
E, F et G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1. Géométrie du cas “pédagogique” de la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. Réseau fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3. Configuration initiale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]Tutilisée pour toutes les valeurs de α. 91
4.4. Résolution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5. Les multiplicateurs de Lagrange, le gradient et Hessienne au point optimal pour
le cas α = 0 et x0 = [0,5 0,5 0,2]T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6. Evolution de la solution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1 . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7. Configuration finale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.8. Multiplicateurs de Lagrange, gradient et Hessienne pour le point optimal avec α = 1 97
4.9. Configurations optimisée pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et différents valeurs de α . . . . 97
4.10. Variation de la température maximale, moyenne et de la FOA pour les α =
0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.11. Configurations thermiques initiales pour x0,3 et x0,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.12. Configuration thermique initial pour x0,6 = [0,35 0,2 0,05]T . . . . . . . . . . . . . 102
4.13. Champs de température optimisés par méthode de gradients . . . . . . . . . . . . 102
4.14. Les scores des individus le long des générations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.15. Population optimale pour α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.16. Diversité des populations au cours du calcul, α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.17. Les scores des individus le long des générations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.18. Population optimale pour α = 0, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
vi
List of Figures
4.19. Distance entre individus au cours du calcul, α = 0, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.20. Les scores à la dernière sous-génération, α = 0, 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.21. Débits de référence du modèle thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.22. Itérations réalisées à l’aide de l’algorithme Active-set . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.23. Champs optimaux de température - Active-set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.24. Liste d’individus optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.25. Champs optimaux (AG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1. Séquence de 5 bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.2. La maquette : principales dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.3. Convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.4. La maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
vii
List of Tables
1.1. Machines étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Corrélations pour le cylindre horizontal en convection naturelle . . . . . . . . . . 22
2.3. Corrélations et leurs domaines respectifs de validité . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Corrélations et exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Méthodes de gradient pour des problèmes non linéaires sans contraintes . . . . . 38
2.5. Population initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6. Evaluation et classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7. Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8. Formation des paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9. Site de croissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10. Echange matériau génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Pertes en W dissipées dans la machine électrique à 8 pôles . . . . . . . . . . . . . 71
3.2. Différentes distributions des pertes, en W , pour le machine à 12 pôles . . . . . . 76
4.1. Nombres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2. Températures, en K, des configurations optimisées selon le point de départ et la
valeur de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3. Statistiques des calculs d’optimisation sur la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4. Scores et violation de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5. Les statistiques de l’Algorithme Génétique pour différentes valeurs de α . . . . . 116
viii
Liste des algorithmes
2.1. Active-Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Point Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1. Modèle aéraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
ix
Nomenclature
(x, y, z), système de coordonnée Cartésien, (m, m, m)
(r, θ, z), système de coordonnée cylindrique, (m, rad, m)
ci, vecteur des contraintes, n.a. 1
cp, capacité thermique spécifique, J.kg−1.K−1
cl, cmax, poids (PSO), n.a.
f , fréquence, Hz
f (xk), fonction objectif, n.a.
g (xk), gradient de la fonction objectif, n.a.
gd, meilleure particule voisine (PSO), n.a.
h, coefficient de transfert thermique par convection, W.m−2.K−1
k, conductivité thermique, W.m−1.K−1
l1, l2, fonctions de pénalité, n.a.
m, débit massique, kg.s−1
p, pertes, W.m−3
p, pas, n.a.
pd, meilleure position obtenue (PSO), n.a.
q(r, θ, z), terme source qui représente les pertes, W.m−3
s, variable d’écart, n.a.
t, temps, s
vd, vitesse de la particule (PSO), n.a.
x = [x1, x2, x3]T , variables d’optimisation thermique de la bifurcation, m
A (xk), Active-set, n.a.
B, estimation de l’Hessienne, n.a.
D, dimension de référence, m
Dh, diamètre hydraulique, m
Gij , conductance thermique entre la cellule i et sa jth voisine, W.K−1
H,
hauteur de référence, m
Hessienne de la fonction objectif, n.a.
J ,
Jacobien, n.a
radiosité thermique, W.m−2
L, longueur de référence, m
L (xk, λk), Lagrangien, n.a.
N , vitesse de rotation, tours/minute
1. non applicable
x
Nomenclature
P ,
Pressure, N.m2
Pertes, W
QE, i, débit volumique entrant dans le ith volume de contrôle, m3.s−1
Qin, entrée / sortie du débit volumique, m3.s−1
S, surface d’échange de chaleur, m2
T , température, K
Tm, Tc, taux de mutation et croissement (AG), n.a.
Vi, volume de la ith cellule, m3
U , vitesse de référence, m.s−1
W , largeur de référence, m
X = [X1, X2, ..., X13]T , débits volumiques de référence - variables d’optimisation thermique
de la machine, m3.s−1
Nombres adimensionés
α, paramètre de pondération
α, ε, ρ, τ , coefficients de absorption, émissivité, réflexion et transmition
fRe, facteur de friction
F , facteur de forme
Gr = gβρ2(Ts − T∞)D3/µ2, Nombre de Grashof
GrΩ = Ω2rβρ2(Ts − T∞)D3/µ2, Nombre de Grashof Rotationel
N , nombre de régions répétées dans le sense ortho-radial
Nu = hD/k, Nombre de Nusselt
P , population (Algorithme Génétique)
Pr = cpµ/k, Nombre de Prandtl
Ra = GrDPr, Nombre de Rayleigh
Re = ρDU/µ, Nombre de Reynolds
Reω = D2rotorΩ/ν, Nombre de Reynolds Rotationel
Ri = Gr/Re2, nombre de Richardson
Ro = Re/Reω, Nombre de Rossby
Symboles grecques
α, paramètre géométrique, n.a.
β ≃ 1/T , coefficient de dilatation thermique, K−1
β, paramètre géométrique, n.a.
ϕ ou φ, flux de chaleur, W.m−2
λ, multiplicateur de Lagrange, n.a.
µ, viscosité dynamique, in kg.m−1.s−1
ρ, masse volumique, kg.m−3
Ω, vitesse de rotation, rad.s−1
xi
Nomenclature
σ = 1.3806503×10−23, constante de Boltzman, m2.kg.s−2.K−1
χ, taille du pas p, n.a.
Indices et exposants
0, initiale
∞, à l’infini
∗, optimal
amb, ambiente
b, sur la limite
cas i, ieme cas d’étude
eq, équivalent
g, global
h, hidraulique
l, local
m, nombre total de contraintes
meq, nombre de contraintes d’égalité
max , maximum
ms, moyenne pondérée par le volume solide
p, pôle, paroi
r, rotor
ref , référence
s, stator
D, diamètre de référence
E, entrée
L, longueur de référence
S, sortie
Acronymes
AG, Agorithme Génétique
CFD, mécanique des fluides numérique, de l’anglais, Computer Fluid Dynamics
FOA, Fonction Objectif Agrégée
ND, Niveau de Diversité
PSO, Optimisation par essaims particulaires, de l’anglais Particle Swarm Optimization
xii
Table des matières
Remerciements ii
Résumé iii
Abstract iv
Nomenclature x
1. Introduction générale 1
1.1. Fonctionnement d’un alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Pertes existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Particularité des machines étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Particularité du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Schéma global de ventilation de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Objectif du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Organisation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Analyse bibliographique C 11
2.1. Transferts de chaleur dans les machines électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Description des modes de transfert dans les machines électriques . . . . . 11
2.1.2. Phénoménologie de l’écoulement et des transferts thermiques dans les ma-
chines tournantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2.1. Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.2. Canaux en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2.3. Lois de transfert thermique dans une machine électrique . . . . . 21
2.2. Modélisation thermique des machines électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Méthode nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Optimisation thermique C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1. Les méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2. Méthodes Evolutionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2.1. Les algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2.2. L’optimisation par essaims particulaires (Particle swarm optimi-
zation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2.3. Fonctionnement de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2.4. Le processus du PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3. Applications des outils d’optimisation dans le domaine de la thermique . . 55
xiii
Table des matières
3. Modélisation thermique de la machine électrique 64
3.1. Modèle de la machine et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1. Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.3. Calcul des conductances équivalentes du modèle de base . . . . . . . . . . 67
3.2. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1. Machine à 8 pôles saillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1.1. Machine en charge (Cas A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1.2. Fonctionnement dégradé (Cas B, C et D) . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.2. Machine à 12 pôles saillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Bilan des résultats issus de la méthode nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. Optimisation thermique C 84
4.1. Optimisation thermique d’une géométrie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.1. Description du problème thermique de la bifurcation . . . . . . . . . . . . 84
4.1.1.1. Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.2. Description du problème d’optimisation thermique de la bifurcation . . . . 88
4.1.3. Résultats de l’optimisation pour différentes valeurs de α . . . . . . . . . . 91
4.1.3.1. Cas α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.3.2. Cas α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.3.3. Valeurs intermédiaires de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.4. Vérification des résultats d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.4.1. Influence du point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.4.2. Influence de l’algorithme choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.4.3. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Optimisation thermique de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1. Définition du problème d’optimisation thermique . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1.1. La fonction objectif et les contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2. Outils et paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.3. Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5. Conclusions et perspectives 120
5.1. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2. Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A. Maquette : Séquence de bifurcations 123
Bibliographie 128
xiv
1. Introduction générale
Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre du Pôle de Recherche Technologique MEDEE (Maî-
trise Energétique Des Entraînements Electriques), avec pour partenaires, La Région Nord Pas-
de-Calais, l’entreprise JEUMONT Electric et le laboratoire TEMPO-DF2T. JEUMONT Electric
conçoit et construit des machines synchrones et asynchrones destinées essentiellement à la pro-
duction d’électricité, la propulsion marine, ainsi que diverses industries. Ces équipements sont le
fruit de recherches intensives et sont aujourd’hui à la pointe des technologies innovantes, faisant
de JEUMONT Electric un pionnier mondial dans le domaine de la fabrication des machines
pour la production et la conversion d’énergie électrique. De plus, le refroidissement des machines
électriques est l’un des principaux domaines de compétence du laboratoire TEMPO-DF2T de
l’Université de Valenciennes et un nombre significatif de thèses ont été dédiées à ce thème [Fas-
quelle (2007); Pelle (2006); Latour (2010); Sonan (2009); Seghir-Ouali (2006); Boutarfa (2001)].
Les compétences réunies de ces deux partenaires et le support financier de la Région Nord
Pas-de-Calais ont permis la réalisation du présent travail qui concerne l’étude et l’optimisation
aéro-thermique d’une machine synchrone lente.
Présentation des machines synchrones lentes à pôles saillants
Les machines électriques étudiées dans cette thèse sont des alternateurs synchrones. Ils ont
pour but de convertir l’énergie mécanique en énergie électrique. Ce type de machine se rencontre
dans de nombreuses applications et secteurs industriels.
On étudie ici le cas particulier des générateurs accouplés aux moteurs diesel. Ce type de
machine est généralement utilisé lorsqu’une production d’électricité décentralisée est nécessaire :
centrales électriques sur des îles, au milieu du désert ou encore sur des bateaux. Cette application
ne représente qu’une partie des alternateurs synchrones existants (voir Figure 1.1). Les puissances
sont comprises entre 4 et 32MW et les vitesses de rotation entre 400 et 1000 tr/min.
1.1. Fonctionnement d’un alternateur synchrone
1.1.1. Principe de fonctionnement
Les éléments principaux de la machine sont les suivants : le stator, le rotor et l’excitatrice.
Le stator est l’induit de la machine, autrement dit il va recevoir l’induction et va la transformer
en électricité. Il se présente sous la forme d’un noyau de tôles magnétiques feuilletées ayant la
forme d’un cylindre creux. Il comporte des encoches sur sa périphérie interne dans lesquels se
trouvent les conducteurs d’un enroulement triphasé.
A l’intérieur de ce cylindre se trouve le rotor. Il est l’inducteur, autrement dit, l’élément de
machine qui va créer l’induction. Il est également constitué d’un noyau de tôles magnétiques
1
1. Introduction générale
Figure 1.1.: Marché des alternateurs synchrones
feuilletées avec des pôles saillants autour desquels un bobinage est placé. Sa constitution sera
présentée en détail dans le paragraphe suivant (section 1.2). En tournant, les lignes de flux
électromagnétiques produites par les pôles inducteurs balaient les trois enroulements du stator
et induisent dans ceux-ci des tensions triphasées. On dit alors que le champ tournant au stator
accroche le champ inducteur au rotor : le rotor tourne alors à la vitesse de synchronisme.
L’excitatrice a pour but de fournir le courant d’excitation aux inducteurs du rotor principal.
Le champ créé par le rotor principal induit la tension souhaitée mais il doit être capable de varier
rapidement lorsque la charge varie brusquement, autrement dit le courant d’excitation doit être
ajusté rapidement. Pour cela, on distingue en réalité deux excitatrices sur la machine :
– L’excitatrice principale : elle fournit le courant d’excitation de l’inducteur. Il s’agit de l’Al-
ternateur d’Excitation (AE).
– L’excitatrice pilote : elle fournit le courant d’excitation à l’excitatrice principale. Cette exci-
tatrice est directement reliée à un régulateur capable de détecter de très faibles changements
de vitesses et d’ajuster rapidement le courant d’excitation.
Le schéma de fonctionnement global est présenté sur la Figure 1.2 (adapté de [Wildi et Sybille
(2005)]). Ces différents éléments seront rappelés pour les machines d’étude sur la Figure 1.7.
Le nombre de pôles du rotor dépend intrinsèquement de la charge qui entraîne l’alternateur.
En effet, la charge va imposer la vitesse de rotation pour un réseau électrique donné, i.e. pour
une fréquence donnée. La vitesse de rotation est liée au nombre de pôles par la relation suivante :
N = 60f/p (1.1)
avec
N la vitesse de rotation en tr/min
f la fréquence en Hz
p le nombre de paires de pôles
2
1. Introduction générale
Figure 1.2.: Schéma présentant le fonctionnement d’un alternateur synchrone [Wildi et Sybille(2005)]
Figure 1.3.: Transfert de puissance dans un alternateur synchrone
1.1.2. Pertes existantes
Les alternateurs synchrones à pôles saillants sont comme toutes machines électriques le siège de
nombreuses pertes. On s’intéresse en particulier à ces pertes car elles sont les sources de chaleur
à considérer dans cette étude.
Bien que les pertes aient de nombreuses origines, on peut les regrouper en trois catégories :
– Les pertes mécaniques,
– Les pertes dans les conducteurs (les pertes par effet Joule),
– Les pertes dans le circuit magnétique (les pertes fer). La Figure 1.3 représente schématique-
ment le transfert de puissance dans ces machines.
Les pertes mécaniques sont liées à l’ensemble des frottements dus à la rotation de la partie
tournante de la machine. Elles apparaissent sous forme d’échauffement ou d’énergie cinétique
fournie au fluide. Elles sont d’origine diverses : pertes par frottement dans les paliers, pertes
aérodynamiques dues au frottement de l’air (en particulier au niveau de l’entrefer), pertes par
ventilation nécessaire à la circulation de l’air (par exemple ventilateur).
Les pertes par effet Joule se situent dans les conducteurs. Les pertes les plus communes sont
3
1. Introduction générale
directement proportionnelles à la résistance du bobinage et au carré de l’intensité traversant ce
bobinage. A ces pertes classiques, viennent s’ajouter des pertes supplémentaires. On peut citer
par exemple les pertes par effet Field. Ces pertes supplémentaires sont liées à l’apparition d’un
flux de fuite d’encoches (entre le bas et le haut de l’encoche) dû à la variation de l’intensité
du champ électromagnétique à proximité. Cette variation modifie en effet la distribution de la
densité de courant.
Les pertes fer se situent dans les parties magnétiques de l’alternateur. On distingue les pertes
dites par hystérésis et les pertes dites par courant de Foucault. Les pertes par hystérésis repré-
sentent la puissance nécessaire à l’aimantation cyclique alternative du fer. Elles sont directement
liées à l’évolution irréversible de la structure cristalline du matériau constituant les tôles magné-
tiques. Les pertes par courant de Foucault sont dues à la création de forces électromagnétiques
induites dans le fer due à l’aimantation cyclique alternative. Ces forces donnent naissance à des
courants qui se forment dans la masse du fer dans des plans normaux à la direction du flux. Afin
de minimiser ces pertes dans les tôles, on choisit des tôles minces isolées les unes des autres. A
ces deux types de pertes viennent s’ajouter des pertes supplémentaires d’origines diverses. On
peut citer par exemple des pertes par pulsation sur la surface du rotor. Ces pertes sont générées
par les variations de perméance liées à la géométrie du rotor induisant des variations locales
d’induction à la surface du rotor. Ces pertes se développent dans une très fine épaisseur de fer.
1.2. Particularité des machines étudiées
Les machines étudiées ici font partie d’un nouveau développement de JEUMONT Electric.
Une des particularités de ces machines est la constitution du rotor et en particulier son schéma
de ventilation.
1.2.1. Particularité du rotor
La conception traditionnelle des rotors de machines électriques à pôles saillants veut que les
bobines de cuivres soient accolées aux pôles (cf. Figure 1.4). Cette conception présente de forts
inconvénients d’un point de vue thermique. En effet, les bobines sont mal refroidies : une seule
face est exposée aux échanges par convection dans l’entrefer. Les échanges sur les autres faces
se font par conduction vers le pôle au travers d’isolant épais (isolant nécessaire du point de vue
électrique).
On constate alors en fonctionnement, c’est-à-dire en présence de pertes Joule dans les cuivres,
de forts gradients de températures. Ces gradients ont tendance à fragiliser les isolants des cuivres
et ainsi réduire la durée de vie du rotor.
Pour éviter cela, JEUMONT Electric a imaginé un rotor à pôles saillants pour lesquels les
bobines sont écartées des pôles et écartées les unes des autres (cf. Figure 1.4). Elles sont complè-
tement aérées et les transferts se font alors principalement par convection sur l’ensemble des faces.
Le fait de séparer les différentes bobines a également permis d’augmenter de manière significative
les surfaces d’échanges.
Cette nouvelle conception nécessite donc de pouvoir amener de l’air jusqu’aux bobines. Pour
ce faire, un canal d’alimentation en air entre les deux pôles a été créé. Le schéma de ventilation
du rotor est détaillé sur les Figures 1.5 et 1.6. On y voit un canal d’alimentation en air entre deux
4
1. Introduction générale
Figure 1.4.: Vue d’un pôle saillant : différence de conception
pôles. Ce canal est bouché en sortie afin de forcer l’air à traverser des échancrures dans la tôle
délimitant ce canal. L’air passe alors à l’arrière des bobines. Ces échancrures sont régulièrement
réparties le long de l’axe du rotor formant ainsi des canaux radiaux (cf. Figure 1.6). Ces canaux
sont séparés par des cales isolantes : des cales à l’arrière des bobines mais aussi entre les différentes
bobines elles-mêmes. L’air à l’arrière des bobines n’a donc pas d’autres choix que de passer à
travers celles-ci. A noter également la présence de coins de calage dans l’espace interpolaire de
l’entrefer qui délimitent également les canaux radiaux.
1.2.2. Schéma global de ventilation de la machine
Le schéma de ventilation particulier au rotor vient s’intégrer dans le schéma suivant de venti-
lation global de la machine. La ventilation de la machine est dite axialo-radiale car elle est d’une
part axiale (l’air rentre d’un côté de la machine et ressort à l’opposé) et radiale dans la partie
active (rotor/stator). La Figure 1.7 présente une coupe de la machine avec les différents éléments
la constituant et indications sur la circulation d’air.
L’air dans la machine est mis en mouvement par un ventilateur centrifuge monté sur l’arbre. Le
ventilateur aspire l’air chaud dans la machine et le rejette dans le caisson supérieur (caisson non
représenté sur la Figure 1.7). L’air froid rentre dans la machine à l’opposé du ventilateur, dans
un compartiment comportant l’alternateur d’excitation. L’air dans ce compartiment se sépare en
2 flux parallèles : l’air rentrant dans le canal d’alimentation au rotor (présenté ci-dessus) et l’air
rentrant dans l’entrefer. L’air au rotor est contraint à traverser les bobines et rejoindre ainsi l’air
dans l’entrefer. Une partie de l’air dans l’entrefer peut traverser le stator par des évents, c’est-à-
dire des canaux de ventilation circulaires créés dans l’empilage de tôles magnétiques du stator.
L’air se retrouve alors dans un compartiment entourant le stator dont il ne peut sortir que du côté
opposé à l’entrée d’air par des orifices oblongs percés dans la joue (la pièce métallique maintenant
l’empilage du stator). Le ventilateur aspire donc l’air à travers deux principaux passages : les
orifices oblongs sur la périphérie externe du stator et par l’entrefer.
Le caisson supérieur est différent selon le type de refroidissement de l’air. Nous verrons par la
5
1. Introduction générale
(a) Canal d’alimentation et échancrures (b) Distribution entre les bobines
Figure 1.5.: Circulation de l’air au rotor
Figure 1.6.: Vision 3D du rotor
6
1. Introduction générale
Figure 1.7.: Coupe d’une machine
suite que deux types de refroidissement sont envisagés ici :
– un circuit ouvert : l’air en entrée est de l’air externe à la machine et l’air chaud provenant
de la machine est rejeté à l’extérieur de celle-ci.
– par un hydro-réfrigérant placé dans le caisson supérieur. Le circuit est alors fermé et l’air
interne est non renouvelé.
Nous verrons par la suite que la ventilation globale de la machine est très légèrement modifiée
en entrée dans la modélisation (voir Chapitre 3). La différence réside dans le fait que des trous
oblongs dans la joue en entrée sont créés dans le modèle alors qu’ils n’existent pas dans les
productions industrielles actuelles.
On illustrera cette étude avec deux machines en particulier. Ces deux machines font l’objet
de production industrielle et sont actuellement en service. Elles diffèrent principalement par leur
taille, leur puissance et leur nombre de pôles (donc leur vitesse de rotation). Les caractéristiques
de ces deux machines sont comparées dans le Tableau 1.1.
La Figure 1.8 montre l’alternateur JEGSY 811 accouplé au diesel lors de son arrivée sur site
(Soudan) et dans l’usine de production.
1.3. Objectif du travail
Les différents travaux de thèse réalisés au sein du laboratoire TEMPO-DF2T ont permis la
construction, le développement, la validation et l’extension d’un code de calcul écrit sous lan-
guage Matlab® et destiné à la simulation thermique des machines électriques. Ce code, nommé
SAME (Simulation Aéro-thermique des Machines Electriques), a été réadapté à la géométrie des
machines étudiées ici, dans le cadre du stage de Philippe Amorim [Amorim (2010)].
7
1. Introduction générale
Table 1.1.: Machines étudiéesJEGSY 811 JEGSY 1224
Puissance [MW ] 8.8 18.8Nombre de pôles 8 12
Vitesse de rotation [tr/min] 750 500Diamètre externe du rotor [mm] 1330 1970
Longueur de fer [mm] 1092 1392Refroidissement de l’air Circuit ouvert Par hydro-réfrigérant
Longueur 4.0 5.4Encombrement général Largeur 2.3 3.2
Hauteur 3.1 4.7
Figure 1.8.: Machine JEGSY 811 (accouplé au diesel / 4 alternateurs installés sur site)
Ces machines sont déjà disponibles sur le marché et présentent un comportement thermique
satisfaisant, leur échauffement étant un sujet maîtrisé par JEUMONT Electric. Néamoins, dans
le but de concevoir des machines plus compactes et d’augmenter encore la durée de vie des
machines existantes, l’utilisation de méthodes d’optimisation thermique s’avère nécessaire.
Le développement des algorithmes d’optimisation est une tâche très spécialisée [Corriou (2010)].
D’ailleurs, une grande variété d’outils d’optimisation est déjà disponible dans la littérature. Par
exemple, parmi les différents algorithmes basés sur les méthodes de gradient, il y a les outils
IPOPT et KNITRO implémentés avec l’algorithme Point Intérieur ; SOCS et NPSOL avec l’al-
gorithme Active-Set ; MINOS et LANCELOT avec la Méthode de Pénalité. D’autres algorithmes
n’utilisent pas le calcul du gradient pour trouver une solution au problème, par exemple, le JGAP
(Algorithme Génétique), le HOPSPACK (Pattern Search) et le PSOt (Particle Swarm Optimiza-
tion). Dans ce travail nous avons utilisé les toolboxes d’optimisation de Matlab®, puisqu’ils sont
munis de divers algorithmes d’optimisation et sont compatibles avec le code SAME, également
développé sous Matlab®.
Indépendamment de l’outil, l’optimisation d’un problème thermique est une tâche complexe
pour plusieurs raisons. La bonne formulation du problème d’optimisation ne peut être vérifiée
que par des simulations préliminaires sur lesquelles on peut observer la pertinence de la fonction
objectif et identifier des éventuelles contraintes manquantes. En résolvant le problème, on peut
identifier des zones de l’espace de recherche dans lesquelles le modèle thermique n’est pas assez
précis ou même valide, amenant à des solutions très coûteuses ou aberrantes. Pendant l’exploita-
tion des résultats, la solution obtenue peut être une solution locale et selon le cas, il est judicieux
de changer l’outil d’optimisation. Ainsi, la formulation, résolution et exploitation des résultats
8
1. Introduction générale
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Figure 1.9.: Etude d’optimisation, un processus itératif [Brisset (2007)].
d’un problème d’optimisation est un processus itératif, comme l’illustre la Figure 1.9 (adapté
de [Brisset (2007)]). Au cours de ces itérations, une série de prises de décision est nécessaire
pour l’obtention de la configuration optimale et des connaissances en thermique et en méthodes
numériques sont indispensables.
Dans ce contexte, on concentre nos efforts sur la représentativité du modèle thermique, sur le
couplage des outils nécessaires pour l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique
et sur le problème d’optimisation lui-même. Le travail est divisé en trois étapes : l’évaluation du
modèle thermique utilisé, la compréhension des différents outils d’optimisation et l’optimisation
thermique de la machine électrique. L’organisation du mémoire est dans son ensemble présentée
dans la suite.
1.4. Organisation du mémoire
Une analyse bibliographique concernant les différentes approches numériques pour la modé-
lisation thermique des systèmes physiques est présentée dans le Chapitre 2. Elle contient les
corrélations pour les coefficients d’échange convectifs les plus couramment utilisées dans la si-
mulation des machines électrique. On y trouve également la synthèse bibliographique sur les
machines électriques et sur deux configurations géométriques souvent répétées dans le système
de refroisissement, les bifurcations et les canaux en rotation.
Le Chapitre 3 est divisé en deux parties. D’abord, le modèle thermique de la machine, les
conditions aux limites et les hypothèses prises sont détaillés. Dans la deuxième partie, on présente
les résultats préliminaires et leur confrontation avec des mesures sur machine réelle effectués à
JEUMONT Electric.
La présentation des différentes méthodes d’optimisation utilisées pendant ce travail exposée
9
1. Introduction générale
dans la première partie du Chapitre 4. Afin de mieux les comprendre, un benchmark sur l’op-
timisation d’une bifurcation est réalisé. A partir de l’expérience acquise lors de l’étude d’une
bifurcation, nous avons construit la troisième partie de ce chapitre qui expose les configurations
optimales de la machine électrique.
Une conclusion rassemblant les principaux résultats de ce travail et les perspectives envisagées
dans la suite des travaux clôture ce mémoire.
10
2. Analyse bibliographique® C
Trois aspects également importants et complémentaires dans le contexte de ce travail ont
motivé la répartition de ce chapitre : les outils de simulation thermique, les outils d’optimisation
et les questions relatives au problème d’échauffement dans les machines électriques.
Le système de refroisissement d’une machine électrique a beaucoup d’éléments géométriques
différents. Malgré le fait d’avoir un composant bien défini en rotation et un autre en statique,
ils interagissent entre eux du point de vue aéro-thermique et la compréhension de cette inter-
action est difficile. Dans la littérature, nous trouvons très peu d’informations concernant cette
interaction, le plus courant est l’étude d’une région spécifique indépendante du système de refroi-
dissement de la machine. Ceci se justifie par le fait que la compréhension d’un problème complexe
se fait plus facilement quand il est divisé en sous-problèmes plus simples et plus faciles à gérer.
Dans ce sens, la première partie de ce chapitre est une bibliographie sur les machines tournantes,
une discussion sur deux configurations géométriques et une brève description des lois de transfert
dans différentes configurations géométriques trouvées dans la machine.
La présente étude utilise des outils numériques. Aujourd’hui il existe une grande variété de
méthodes numériques utilisées dans la solution des problèmes thermiques. Une description de la
méthode utilisée dans ce travail est présentée dans la deuxième partie de ce chapitre.
La troisième partie concerne les méthodes d’optimisation. Il existe diverses méthodes, la per-
tinence de chacune dépend du problème résolu. Quelques exemples de résultats dans le domaine
de la thermique sont présentés.
2.1. Transferts de chaleur dans les machines électriques
2.1.1. Description des modes de transfert dans les machines électriques
Les machines électriques sont le siège de sources de chaleur d’origine mécanique et électrique.
Les sources d’origine mécanique sont dû au frottement de l’air dans la région de l’entrefer et
au frottement des paliers. Les sources d’origine électrique ont lieu dans les pièces métalliques
du rotor et du stator, surtout dans les cuivres. La dissipation de cette production de chaleur
est réalisée par deux mécanismes de transport : le transfert de chaleur par conduction et par
convection.
Transfert par conduction
Ce mode de transfert a lieu entre molécules voisines en présence d’un gradient de température
(grad(T )). Il opère aussi bien dans les parties solides du moteur que dans l’air environnant.
Ces transferts de chaleur obéissent à la loi de Fourier qui stipule que le vecteur densité de flux
thermique φ est proportionnel au gradient local de la temperature T. Pour un milieu isotrope :
11
2. Analyse bibliographique C
φ = −k grad(T )
où k est la conductivité thermique (W.m−1K−1). Cette grandeur positive dépend du matériau
et de la température. Plus la valeur de la conductivité est élévée, plus le matériau conduit de
la chaleur. La conductivité thermique des solides est généralement plus importante que celle des
liquides. En ce qui concerne les gaz, elle est souvent très faible.
Dans le cas des machines électriques, la conductivité des matériaux est relativement bien
connue, à l’exception peut-être de celle des tôles magnétiques. La conductivité thermique selon
la direction ortho-radiale est connue et correspond à celle de l’acier constituant les tôles. La
situation est différente pour la direction axiale car un empilement de tôles constitue le stator et
le rotor. Les tôles sont relativement minces pour éviter la création de courants de Foucault. La
conductivité thermique axiale du paquet de tôles sera alors plus faible que celle ortho-radiale.
Le bilan d’énergie et l’expression de la loi de Fourier conduit à l’équation de conduction de la
chaleur.
ρcp∂T
∂t= div(k grad(T )) + p
avec
ρ la masse volumique (J.kg−1.K−1),
cp la capacité thermique massique (kg.m−3),
p la production volumique de chaleur (W.m−3).
Transfert par convection
Les transferts de chaleur par convection sont des phénomènes que l’on trouve très fréquemment
dans la vie courante. Ce sont des transferts de chaleur dans les interfaces solide-fluide en raison
d’un gradient de température et du mouvement relatif entre le solide et le fluide. On classe les
types de convection selon l’origine de ce mouvement relatif : la convection naturelle, la convection
forcée ou la convection mixte.
La convection naturelle, ou convection libre, correspond au mécanisme de transfert de cha-
leur dans lequel le déplacement d’un fluide soumis à un champ d’accélération (la pesanteur, par
exemple) est uniquement dû à l’existence d’un gradient de température. Ce gradient engendre
une différence de masse volumique. La portion du fluide le plus léger se met en mouvement dans
le sens inverse du champ d’accélération. Comme le mouvement du fluide vient d’une différence de
température, les problèmes thermique et aéraulique sont dit “couplés”, c. à d. qu’il n’est pas pos-
sible de les résoudre séparement. Ceci est la caractéristique principale des problèmes de transfert
de chaleur avec convection naturelle.
En regardant uniquement l’aspect aéraulique, les forces visqueuses s’opposent à la poussée
d’Archimède. Il est ainsi important de quantifier le rapport entre ces deux forces, généralement
réalisé par le Nombre de Grashof, tel que plus la viscosité est faible devant la poussée d’Archimède,
plus le Nombre de Grashof est grand :
Gr = gβ(TSolide − T∞)D3/ν2
12
2. Analyse bibliographique C
Le rapport entre la poussée d’Archimède et la diffusivité thermique est quantifié par le Nombre
de Rayleigh (Ra = GrPr). Jusqu’à une valeur critique du Nombre de Rayleigh, le transfert
thermique par conduction est prédominant puisque les effets diffusifs s’imposent devant la poussée
d’Archimède. De plus, généralement le coefficient d’échange thermique par convection, dans le
cas de convection naturelle, est estimé par le Nombre de Rayleigh dans deux plages distinctes :
pour le régime laminaire et pour le régime turbulent.
Au contraire de la convection naturelle, la convection forcée a une source externe du type
pompe ou ventilateur qui force le fluide à s’écouler. Ceci nous permet d’étudier les problèmes
aéraulique et thermique séparement. Généralement, plus la vitesse relative entre le fluide et le
solide est élevée, plus le transfert thermique est important. Il est ainsi important de quantifier
l’énergie cinétique apportée au fluide de travail.
Selon le fluide, l’énergie à lui fournit peut se dissiper très facilement en raison de l’action des
forces visqueuses. Le rapport entre les forces inertielles et visqueuses est fait par l’intermédiaire
du Nombre de Reynolds Re = ρUD/µ. La vitesse de référence U et la dimension caractéristique
du problème D sont précisées dans chaque cas. Lorsque l’objet est en rotation, le Nombre de
Reynolds Rotationnel (ReΩ = ρΩD2/µ) ou le Nombre de Rossby (Ro = Re/ReΩ) est aussi
considéré.
Parfois les phénomènes de convection naturelle et de convection forcée sont présents et sont
également importants l’un vis-à-vis de l’autre. Dans ce cas, on parle de convection mixte.
Pour chaque type de convection, on peut définir les deux termes suivants. La convection est
dite externe si l’objet solide est placé dans le fluide, de façon que le fluide s’écoule à l’extérieur
de l’objet. A l’opposé, la convection est dite interne si le fluide est guidé par les parois de l’objet
ou s’il est totalement confiné dans un espace clos.
Les transferts de chaleur par convection sont généralement modélisés par une relation linéaire
entre flux et température qui s’écrit :
φ = h (Tp − Tref )
Tref est la température de référence. Celle-ci est généralement destinée à moyenner l’ensemble
du champ de température dans le fluide. Le choix de cette température de référence est à définir
avec précaution.
h est le coefficient d’échange convectif. Sa valeur peut dépendre des nombres sans dimension
Re, ReΩ ou Ro, cités précédemment. Le calcul de h se fait à l’aide d’un nombre caractéristique
adimensionné nommé Nombre de Nusselt. Il est défini par :
Nu = hD/k
avec D, une dimension caractéristique.
Le Nombre de Nusselt représente le rapport entre les effets convectifs au niveau de la surface
d’échange et la conduction dans le fluide. Ceci permet la caractérisation du transfert de chaleur
dans l’interface fluide-solide, et ainsi, sa réutilisation dans des configurations similaires.
L’expression du Nombre de Nusselt est généralement determinée de manière empirique. Des
exemples intéressants pour notre étude sont présentés dans la section 2.1.2.3.
13
2. Analyse bibliographique C
2.1.2. Phénoménologie de l’écoulement et des transferts thermiques dans les
machines tournantes
Les études aérothermiques publiées sur les machines à pôles saillants sont rares. Vrancik [Vran-
cik (1968)], chercheur à la NASA, a vérifié la puissance absorbée par le fluide en fonction du
mouvement relatif rotor-stator pour différents fluides à différentes pressions. Sa motivation a été
la reproduction du fonctionnement d’une machine à rotation élévée dans l’espace, où le fluide et
les conditions de travail ne sont pas les mêmes que dans l’atmosphère. Cet auteur a développé
une formulation basée sur un modèle simplifié, en considérant le rotor comme un cylindre simple,
sans pôles saillants. Pour corriger ses résultats analytiques, il a suggéré des coefficients ad hoc,
en se basant sur ses résultats expérimentaux.
Vingt-quatre ans plus tard, Carew [Carew (1992)] a conduit un travail expérimental avec une
machine à six pôles. Il a fait varier la rotation (500, 750 et 1000 trs/min) et le débit d’air (0, 0,5 et
1,0m3.s−1) dans la machine. Dans sa maquette, conçue à partir d’une machine réelle des années
1940, [Carew (1992)] a remplacé le rotor originel par un modèle similaire en contreplaqués et en
polystyrène. Il n’a pas représenté les blocs en «V», utilisés pour attacher des pôles au cylindre.
Cette machine avait un stator de diamètre interne de 533,4mm et un rotor de 524,3mm, ce
qui fait un entrefer de 4,5mm. Le circuit de ventilation a été également changé, il a permis le
passage axial d’air jusqu’au quatrième canal radial du stator (chaque canal étant de 9,35mm de
largeur) de façon que la sortie d’air se trouve vers le haut de la machine. Il a également retiré le
ventilateur originel situé sur l’arbre du rotor et rajouté un système d’alimentation indépendant
dans l’entrée de la machine pour contrôler le flux massique. L’auteur a obtenu le coefficient local
de transfert de chaleur par convection dans les rainures axiales, ainsi que sa valeur moyenne le
long de l’axe du rotor. Il a enregistré la chute du coefficient de transfert thermique par convection
le long de la direction axiale et une forte dépendance de ce coefficient par rapport à la rotation.
A cause du développement de la CFD comme outil de travail, des travaux numériques ont
également été publiés plus récémment. Pickering et al. [Pickering et al. (2001)] ont confronté
leurs simulations numériques avec leurs résultats expérimentaux pour une machine à quatre pôles,
afin de vérifier la capacité de prédiction d’une méthode numérique. Le rotor est de 464mm de
diamètre avec un entrefer de 6mm. Le débit d’air a été varié entre 0 et 1,3m3.s−1, pour une
vitesse de rotation de 900 trs/min. Pour leurs simulations, ils ont utilisé le logiciel FLUENT 5.
Des simplifications géométriques ont été nécessaires, parmi elles on a : les développantes sont
représentées par des lignes droites, les blocs «V» sont ignorés et, pour des raisons de symétrie
géométrique, ils n’ont représenté que le quart de la machine. Ils ont adopté un modèle en régime
permanent appelé «moving reference frame model » pour prendre en compte l’effet de la rotation.
Les auteurs ont employé environ 1,3 millions de volumes élémentaires pour pouvoir représenter
cette géométrie. Selon eux, la simulation en régime transitoire exige des maillages encore plus
raffinées et généralement, cela coûte dix fois plus cher en termes de temps de calcul. Ils ont
employé le modèle de turbulence k − ε, à cause de son bon niveau de convergence. [Pickering
et al. (2001)] ont varié la rotation, le débit de l’air et l’angle d’entrée. Les résultats numériques
sont en général 30% plus faibles que les résultats expérimentaux, justifiés par les auteurs pour
l’emploi du modèle en régime permanent.
L’année suivante, [Pickering (2002)] ont amélioré leur maquette en considérant la présence des
14
2. Analyse bibliographique C
blocs «V». Ils ont maintenu les mêmes conditions que dans leur travail précédent. Un modèle
numérique correspondant a été créé, en utilisant, environ, 2 millions de cellules. Cette fois, ils ont
analysé l’influence de différentes géométries de blocs «V» et de la rugosité superficielle du rotor
et du stator avec l’outil numérique. Les différentes géométries de blocs «V» n’ont pas augmenté
la perte de charge, mais l’échange thermique local est devenu plus faible. L’augmentation de
la rugosité, par contre, a amélioré le transfert de chaleur, mais a également augmenté la perte
de charge. Comme [Carew (1992)], [Pickering (2002)] ont constaté la chute du coefficient de
transfert thermique par convection le long de l’axe. La sensibilité de ce coefficient par rapport à
la rotation a été plus élevée au centre de la machine que dans la région d’entrée d’air. Le long de
la surface du pôle qui est face à l’entrefer, ils ont observé que le coefficient de transfert est plus
élevé dans au bord d’attaque et qu’il chute brusquement dans la direction ortho-radiale. L’écart
entre les résultats numériques et expérimentaux (entre 20 et 30%) est justifié par la même raison
de l’article précédent. Cet écart est plus important dans la région d’entrée d’air, où l’écoulement
est le plus perturbé.
La compréhesion des mécanismes de transport dans une machine électrique avec pôles saillants
est assez difficile, notamment en raison de sa géométrie et de la rotation. Pour cette raison, l’uti-
lisation de la CFD pour représenter entièrement la machine est encore limitée à cause de la
capacité des ordinateurs actuellement disponibles. On n’arrive pas à bien détailler la géométrie
de la machine et le mouvement relatif entre le rotor et le stator requiert le remaillage du do-
maine de calcul, ce qui augmente considérablement le temps de calcul. D’ailleurs, l’écoulement
complètement tridimensionnel imposé par l’effet de la rotation et qui dépend du champ de tem-
pérature exige des adaptations des modèles de turbulence standard [Belhoucine et al. (2004);
Dutta et al. (1996)]. En raison de la complexité du problème d’origine, il est judicieux de le
diviser en problèmes plus simples. Deux cas ont été choisis pour une configuration en statique et
une en rotation. Dans ce qui suit, le cas d’une bifurcation en statique et d’un canal de rotation
sont abordés.
2.1.2.1. Bifurcation
Les bifurcations ont fait l’objet d’études de plusieurs chercheurs dans différents contextes.
Parmi eux, il y a l’analyse des problèmes du système circulatoire [Hayes et al. (1989); Bramley et
Sloan (1987); van de Vosse et al. (1990)], de la sédimentation en fleuves [Neary et Sotiropoulos
(1996); Neary et al. (1999)], d’échangeurs de chaleur [Boizumault et al. (1999); El-Shaboury
et al. (2003)] et des applications industrielles avec écoulement biphasé [Azzopardi et Whalley
(1982); Mak et al. (2006)]. Il y a de même une intéressante étude numérique sur la circulation de
personnes dans cette géométrie en considérant l’écoulement comme un fluide granulaire [Tajima
et Nagatani (2002)].
Les configurations souvent explorées sont présentées dans la Figure 2.1. D’une façon générale,
la portion de fluide dans l’entrée qui est proche de la paroi droite, par exemple, passera par la
rame du même coté. Ainsi, on remarque qu’il y a une surface virtuelle qui dévie l’écoulement
avant que celui-ci n’atteigne la bifurcation [Neary et al. (1999)]. À cause du changement soudain
de la direction de l’écoulement au centre de la bifurcation [Hayes et al. (1989)], il se forme des
bulles de recirculation, régions où le module de la vitesse est faible. La formation de ces bulles
n’est supprimée que dans des cas particuliers, comme par exemple, pour la géométrie de la
15
2. Analyse bibliographique C
(a) Ramification « T » 90 ° (b) Ramification « Y » 90 ° (c) Ramification « T » 180 °
Figure 2.1.: Configurations usuelles d’une bifurcation avec une entrée
(a) Bifurcation « T » 90 ° (b) Canal courbé – problème de Dean
Figure 2.2.: Structures secondaires liés à la force centrifuge
Figure 2.1b et à nombre de Reynolds inférieur à 50 [Bramley et Sloan (1987)]. La taille de ces
bulles dépend du nombre de Reynolds et de l’importance du flux massique dans chaque sortie.
Le cas de la Figure 2.1a représente la configuration géométrique souvent répétée dans la ma-
chine. On restreindra la discussion autour de ce cas, en considérant des sections carrées et éven-
tuellement rectangulaires. Dans cette configuration, perpendiculairement au canal principal, il y
a une dérivation. Cette dérivation peut induire dans le canal principal la formation d’une bulle
de recirculation et par conséquence la formation de vitesses secondaires, c’est-à-dire, de compo-
santes de vitesses transversales. Les vitesses secondaires sont aussi observées dans la dérivation,
mais dans ce cas, leur mécanisme de formation est similaire au problème de Dean [Dean (1928)],
où il y a la présence de forces centrifuges (Figure 2.2). Comme conséquence, dans la région proche
de la bifurcation, il y a la formation d’un écoulement complètement tridimensionnel qui tend à
se rétablir au cours du canal et de la dérivation.
Les effets tridimensionnels et l’écoulement secondaire dans la dérivation sont explorés expé-
rimentalement et numériquement dans [Mathioulakis et al. (1997)]. Ils ont utilisé une section
carrée, avec un nombre de Reynolds égal à 1200 et mS1/mS2 = 1 (± 3 % pour le cas expérimen-
tal). Ils ont présenté divers profils de vitesse le long du canal et de la dérivation, en identifiant
16
2. Analyse bibliographique C
les positions de séparation et de recollement de la couche limite et l’intensité des flux inverses.
À cause de ces reflux, il y a la formation d’un profil de vitesse axial caractéristique en forme de
«M» dans le canal principal sur le plan dont la direction normale est parallèle à la dérivation. Le
profil de vitesse secondaire dans la dérivation a deux valeurs maximales dans le sens de l’écou-
lement principal, et deux minimales, dans le sens inverse. Les valeurs des maximum se trouvent
dans la région centrale, resultants de la force de Coriolis. Chaque valeur des minimum est près
d’une paroi latérale, en faisant de la structure secondaire résultante, un tourbillon de Görtler
(Figure 2.2a). Les auteurs ont trouvé d’une façon générale un bon accord entre les résultats
numériques et expérimentaux.
Dans les résultats de ses simulations numériques bidimensionnelles, [Hayes et al. (1989)] ont
observé qu’en augmentant le nombre de Reynolds, le flux de masse est moins important vers la
dérivation, en créant une grande bulle de recirculation. Cette configuration dans l’entrée de la
dérivation ressemble aux écoulements en cavité. Ils ont également noté que la force et la taille de
la zone de recirculation est fortement influencée par le rapport entre le diamètre de la dérivation
et du canal principal. L’absence de séparation est constatée par les auteurs avec le nombre de
Reynolds égal à 10. À partir du nombre de Reynolds égale à 800, [Hayes et al. (1989)] ont vérifié
la présence d’une nouvelle bulle dans chaque branche, en raison de l’écoulement considérablement
inertiel.
El-Shaboury et al. [El-Shaboury et al. (2003)] ont réalisé l’étude numérique bidimensionnelle
de l’influence du débit entrant et du transfert de chaleur pour les géométries de la Figure 2.1a et
2.1c, en comparant leurs différences, toutefois, on ne considère que la première géométrie pour la
présente discussion. Son étude a compris l’intervalle 0, 1 ≤ mS2/mE ≤ 0, 9 pour les nombres de
Reynolds de 1000 et 2000. Les valeurs du débit entrant sont négatives pour mS2/mE ≤ 0, 2. Cette
contradiction est également remarquée par [McNown (1953)], qui la justifie par la méthode de
calcul de ce débit qui prend en compte les valeurs moyennes de pression et vitesse. [El-Shaboury
et al. (2003)] ont enregistré une croissance linéaire du débit entrant avec l’augmentation de
mS2/mE . Pour les valeurs mS2/mE > 0, 4, le débit entrant demandé est relativement faible.
En revanche, le transfert thermique est plus efficace pour mS2/mE ≤ 0, 4. Ils ont constaté que
le transfert thermique réalisé par unité de débit entrant a des valeurs optimisées autour de
mS2/mE ≈ 0, 4.
Le thème de transfert de chaleur est abordé expérimentalement par [Boizumault et al. (1999)],
avec une bifurcation de section rectangulaire, de rapport de forme entre l’épaisseur et la largeur
de 1 sur 10. Les auteurs ont remarqué trois régions distinctes dans la dérivation, la première a
été la bulle de recirculation, la deuxième, une région de mélange et la dernière, où l’écoulement
est développé. La faible recirculation dans ces bulles promeut un transfert thermique également
faible. Ils ont observé une considérable augmentation du transfert thermique dans la région de
recollement de la couche limite. Vers l’entrée de la dérivation, à côté de la bulle de recirculation,
il y a un fort gradient de température, mais les valeurs maximum de transfert de chaleur sont
observées dans la région de l’écoulement développée. Les effets tridimensionnels ne sont pas
observés avec le rapport de forme mentionné. L’influence du nombre de Reynolds et du rapport
de flux de masse mS2/mE a été évalué sur le nombre de Nusselt. Pour un nombre de Reynolds
donné, la diminution de mS2/mE entraine la baisse du nombre de Nusselt. Le maintient du
rapport mS2/mE constant, entraine la variation du nombre de Nusselt dans le même sens que le
17
2. Analyse bibliographique C
(a) Canal avec passage simple (b) Canal avec double passage
Figure 2.3.: Canaux de rotation
nombre de Reynolds.
2.1.2.2. Canaux en rotation
La grande partie des travaux qui traitent l’écoulement dans un canal de rotation a comme
motivation des applications en turbines. Les deux géométries souvent explorées, présentées dans
la Figure 2.3, sont le canal à simple passage et à passage double en forme de «U». La discussion
se fera autour de la première géométrie qui a comme paramètres d’influence, la distance entre le
canal et l’axe de rotation (Z0), le rapport de forme de la section du canal (a/b) et les nombres
adimensionnel de Reynolds (Re), de Grashof rotationnel (Gr), de Prantdl (Pr) et de Rossby
(Ro).
Le transfert de chaleur des parois vers l’écoulement a pour résultat un champ de masse volu-
mique non-homogène. Ce champ est sous l’action de l’accélération centrifuge et des forces gra-
vitationnelles. Ces dernières sont souvent négligeables vis-à-vis des effets de la rotation. Comme
conséquence, la force d’Archimède créée par le chauffage de l’écoulement aura un sens inverse à
celui de la force centrifuge, orientée vers la sortie du canal, comme illustré dans la Figure 2.4a. La
force d’Archimède associée aux forces visqueuses est opposée aux forces inertielles de l’écoulement
principal et peut, dans certaines conditions, les surpasser, en formant une bulle de recirculation.
[Dutta et al. (1996)] ont constaté la séparation de la couche limite pour un canal de section carrée
au bord d’attaque (Figure 2.4a) seulement à partir de GrΩ = 0.4× 109, avec Re = 2, 5× 104 et
Ro = 4, 16. Les auteurs indiquent que cet événement a promu la turbulence dans l’extension du
canal en contribuant à l’augmentation du transfert de chaleur.
L’autre force liée à la rotation est la force de Coriolis, qui a le même sens de la rotation
pour les régions de refllux et de sens opposé à ce de la rotation pour les zones sans reflux,
comme illustré dans la Figure 2.4a. L’effet de Coriolis produit des composantes transversales,
à l’origine de l’écoulement secondaire. Cette composante est responsable de déplacement de la
18
2. Analyse bibliographique C
(a) Forces dû la rotation (b) Schéma de l’écoulement (c) Repères
Figure 2.4.: Section d’un canal rectangulaire en rotation
vitesse maximale du centre vers le bord de fuite (Figure 2.4b).
Le déplacement du profil de vitesse (Figure 2.5a) augmente l’épaisseur de la couche limite dans
le bord d’attaque, et ainsi, on y a une réduction du transfert thermique. Dans la paroi en face,
l’effet contraire est observé. De plus, on observe la couche limite d’Ekman (Figure 2.5b), dévelop-
pée dans les parois latérales. Elle est la combinaison des composantes axiales, dû à l’écoulement
principal, et de l’écoulement secondaire, résultat de la rotation.
On constate qu’il s’agit d’un problème complexe où il y a l’interaction entre plusieurs para-
mètres. Ensuite, on décrit les études expérimentales et numériques autour de ce sujet.
Willett et al. [Willett et Bergles (2002)] ont conduit un travail expérimental en utilisant un
fluide de densité élevée (R134), dans les conditions atmosphériques, pour avoir les mêmes pa-
ramètres adimensionnels que dans une turbine à gaz réelle. Dans le canal, ils ont mis des tiges
de section circulaire de rapport de forme 1 sur 10, fixées sur leurs deux extrémités et disposées
dans une configuration en quinconce. L’augmentation de l’échange thermique est vérifiée avec
l’incrément du nombre de Richardson (Ri). Ils ont constaté que la présence de ces tiges atténue
l’effet de la force de Coriolis. La suppression de cette force n’est pas vérifiée ni même dans un
tube avec rainures radiales [Morris et Rahmat-Abadi (1996)], sources des grandes perturbations
dans l’écoulement, qui provoquent un profil axial en forme de scie du Nombre de Nusselt.
L’évaluation de l’influence du rapport de forme a/b sur la formation de structures secondaires
est étudiée par [Macfarlane et Joubert (1998)]. Pour les cas a/b égaux à 0,5 et 0,25 ; ils n’ont
pas remarqué une forte influence de l’écoulement secondaire sur l’écoulement principal. Une
appréciable influence de la rotation sur l’épaisseur de la couche limite et sur le coefficient de
frottement n’a été enregistrée que pour le rapport de forme a/b = 1 et Ro = 2, 8.
L’étude numérique, sans modèle de turbulence, de plusieurs paramètres d’un canal rectangu-
laire en rotation avec Re = 1500 est réalisée par [Yan et Soong (1995)]. Ils ont constaté que
l’augmentation de la rotation entraîne le décalage de la position des bulles de recirculation de
l’écoulement secondaire vers les parois latérales, en augmentant le cisaillement dans cette région.
Le déplacement des recirculations vers le bord d’attaque est observé avec l’augmentation de GrΩ
19
2. Analyse bibliographique C
(a) L’influence de la force de Coriolis (b) Couche limite d’Ekman
Figure 2.5.: Couches limites hydrodynamiques développées avec la rotation
pour les rapports de forme de 0,5 ; 1,0 et 2,0. L’apparition d’autres paires de tourbillons dans
l’écoulement secondaire de manière à permettre la perte de symétrie est enregistré pour Ro = 10
et a/b = 0, 5.
Les échanges thermiques et de quantité de mouvement sont plus intenses dans la paroi qui
supporte la force de Coriolis, suivi par les deux parois latérales et en dernier par le bord d’attaque.
[Yan et Soong (1995)] ont également remarqué une grande sensibilité par rapport au nombre de
Rossby. Pour Ro = 13 et , pour a/b = 1, le facteur de friction (fRe) et le nombre de Nusselt (Nu)
commencent à osciller à partir d’une distance de 20a dans la direction axiale. Cette oscillation
est liée à la génération et la dissipation de structures tourbillonnaires et leurs interactions.
L’influence de la force d’Archimède est aussi évaluée par [Yan et Soong (1995)]. Pour les
distances axiales par rapport à l’axe de rotation inférieures à 15a et pour a/b ≥ 1, plus GrΩ es
élevé, plus le facteur de friction est faible. À partir de 15a, on commence à observer l’inversion de
ce comportement. Quand on diminue le rapport de forme à a/b = 0, 5 on a un faible écoulement
secondaire que ne promeut plus cette inversion. Comme conséquence, le coefficient de frottement
et le transfert thermique sont faibles.
Le modèle de fermeture standard de turbulence avec deux équations qui utilise l’hypothèse
de viscosité turbulente n’est pas capable de bien représenter des écoulements tridimensionnels,
généralement observés en systèmes en rotation et en tubes courbés [Belhoucine et al. (2004)]. Dans
ce sens, ces auteurs ont conduit une analyse numérique du modèle EARSM « explicit algebraic
Reynolds stress model » pour la prévision de l’écoulement dans un canal en rotation de section
carrée. Ils ont obtenu un bon accord avec d’autres résultats numériques en DNS et en LES.
Dutta et al. [Dutta et al. (1996)] ont également exploré numériquement le problème du canal
carré en rotation. Ils ont employé un modèle de turbulence k − ε adapté pour prédire l’effet de
rotation et la différence de densité qui provient de l’écart de température entre le fluide et la
paroi chauffée du canal. Afin de valider ses résultats, les auteurs ont simulé deux cas déjà étudiés
expérimentalement, un pour [Wagner et al. (1991)] et l’autre pour [Han et Zhang (1992)]. Dans
20
2. Analyse bibliographique C
(a) Machine électrique
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(b) Schéma des profils caracteristiques de vitesseet température
Figure 2.6.: Convection naturelle dans une plaque verticale
le premier cas, la discussion a été autour de l’influence du nombre de Grashof, et le deuxième,
autour des conditions d’échauffement des parois. Un bon accord a été trouvé pour les deux
situations.
2.1.2.3. Lois de transfert thermique dans une machine électrique
Il existe une vaste gamme de corrélations d’échange convectifs dont la géométrie correspond à
une partie spécifique d’une machine électrique [Amorim (2010)]. Dans cette section, ces corréla-
tions sont présentées selon le type de convection (naturelle ou forcée) et leur géométrie.
Convection Naturelle
Trois exemples typiques trouvés dans la machine électrique illustreront le problème de convec-
tion naturelle : la plaque plane verticale, le cylindre horizontal et une cavité fermée.
Plaque plane verticale
A l’extérieur de la machine ou à l’intérieur dans les régions sans circulation d’air, on peut consi-
dérer le transfert par convection naturelle. Dans la Figure 2.6a, une vue externe de la machine
électrique est présentée. Typiquement les parois verticales de la carcasse sont à la température
Tparoi et l’air à l’extérieur est en repos et à la température ambiante T∞, avec Tparoi > T∞.
Comme dit précédemment, cette différence de température est responsable pour mettre en mou-
vement l’air autour de la machine. Les particules chaudes de fluide qui montent sont remplacées
par des particules froides des environs. Leur trajectoire type ainsi que les profils de température
et de vitesse caractéristiques en régime laminaire sont illustrés dans la Figure 2.6b.
Les corrélations pour ce problème, d’après [Padet (2005)], sont exprimées par :
Nu = 0, 59Ra1/4L , pour le régime laminaire 104 < RaL < 106
21
2. Analyse bibliographique C
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(a) Schéma de principe (b) Comparaison entre les isothermesexpérimentales et numériques pourRa = 105 [Kuehn et Goldstein(1980)]
(c) Cylindre confiné pourRa = 104 [Harsini et Ashjaee(2009)]
Figure 2.7.: Convection naturelle autour d’un cylindre horizontal
Nu = 0, 13Ra1/3L , pour le régime turbulent 109 < RaL < 1012
Cylindre horizontal
Le coefficient d’échange convectif local d’un cylindre horizontal n’est pas homogène. A partir
du point le plus bas du cylindre (angle = 0°), la couche limite augmente au fur et à mesure
que l’air chaud contourne le cylindre. En le contournant, l’air en ascension gagne en vitesse et
se sépare du cylindre en créant un panache de chaque coté. A partir de ce point de séparation,
les expressions analytiques pour le Nombre de Nusselt ne sont plus valides et les corrélations
empiriques sont plus fiables. Dans la Figure 2.7b, nous avons une très bonne concordance entre
les résultats expérimentaux et numériques de [Kuehn et Goldstein (1980)]. Une autre illustration
est présentée dans la Figure 2.7c, on a un cylindre à température constante confiné entre deux
parois adiabatiques [Harsini et Ashjaee (2009)].
Les corrélations pour un cylindre horizontal dans l’air en repos, selon [Padet (2005)], sont
présentées dans la Table 2.1.
Table 2.1.: Corrélations pour le cylindre horizontal en convection naturelle
Corrélation Gamme de validité
Nu = 0, 675Ra0,058D 10−10 < RaD < 10−2
Nu = 1, 020Ra0,148D 10−2 < RaD < 102
Nu = 0, 850Ra0,188D 102 < RaD < 104
Nu = 0, 480Ra0,250D 104 < RaD < 107
Nu = 0, 125Ra0,333D 107 < RaD < 1012
Cavité fermée
Une cavité bidimensionnelle avec les deux parois latérales à des températures différentes et
avec les parois inférieure et supérieure thermiquement isolées permet la formation d’une cellule
convective, selon l’illustration de la Figure 2.8. Plus le rapport de forme Al = H/L est élévé, plus
22
2. Analyse bibliographique C
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Figure 2.8.: Convection naturelle dans une cavité fermée
l’interation entre les parois est importante. Ainsi, en plus du Nombre de Rayleigh, le rapport
de forme doit être pris en compte. Les corrélations pour ce cas, dont le fluide est un gaz, sont
exprimées par :
Nu = 0, 197Ra1/4Al−1/9, pour 6× 103 < Ra < 2× 105
Nu = 0, 073Ra1/3Al−1/9, pour 2× 105 < Ra < 1, 1× 107
Convection forcée
Dans ce cas nous avons un agent responsable pour mettre le fluide en mouvement. Trois cas
typiques sont couramment trouvés, un objet dans un débit de fluide, un objet en rotation et
la combinaison des deux cas précédents. Les exemples ensuite abordés sont regroupés pour des
objets statique et des objets en rotation.
Objets statique
Plaque plane
Une plaque plane parallèle à l’écoulement a sa longueur L comme dimension caractéristique,
selon l’illustration de la Figure 2.9. Le Nombre de Reynolds est ainsi défini par ReL = ρUL/µ.
La vitesse moyenne du profil de l’écoulement entrant sert comme vitesse de référence U = U∞.
Les corrélations pour le régime laminaire et turbulent avec une plaque à température constante,
selon [Padet (2005)], sont exprimées par :
Nu = 0, 664ReL0,5Pr1/3, pour ReL < 3× 105 et 0, 5 < Pr < 10
Nu = 0, 035ReL0,8Pr1/3, pour ReL > 5× 105 et Pr > 0, 5
Deux plaques planes parallèles
Deux plaques planes parallèles, soumises à un écoulement parallèle, ont une dimension ca-
ractéristique différente du cas précédent. On considère plutôt l’écart δ entre les plaques pour
définir le diamètre hydraulique Dh = 4 aire/périmètre. Le Nombre de Reynolds est ainsi défini
par ReDh= ρUDh/µ et les corrélations pour les plaques avec flux constant sont exprimées par :
23
2. Analyse bibliographique C
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Figure 2.9.: Convection forcée dans une plaque plane
Nu = 8, 24, pour ReDh< 2000
Nu = 0, 023Re0,8DhPr1/3, pour ReDh
> 2000
Cylindre statique
Un cylindre de section circulaire en repos avec un écoulement perpendiculaire à son axe a son
diamètre D comme dimension caractéristique. Les corrélations pour un cylindre à température
constante et pour différentes gammes de ReD sont disponibles [Padet (2005)] :
Nu = 0, 891ReD0,330, pour 1 < ReD < 4
Nu = 0, 821ReD0,385, pour 4 < ReD < 40
Nu = 0, 615ReD0,466, pour 40 < ReD < 4× 103
Nu = 0, 174ReD0,618, pour 4× 103 < ReD < 4× 104
Nu = 0, 024ReD0,805, pour 4× 104 < ReD < 2, 5× 105
Tube circulaire
On considère un tube de section circulaire, de diamètre interne D, soumis à flux de chaleur
constant et avec un écoulement interne. Les corrélations présentées dans [Padet (2005)] prennent
en compte les profils de vitesse et température établis et apporte des corrections pour la région
d’entrée. Deux dimensions sont ainsi considérées, le diamètre D et la longueur du tube, L.
Nu = 4, 36, pour Re < 2, 5× 103
Nul = 0, 022Re0,8D Pr0,6, pour Re > 2, 5× 103 et L/D > 60
Nu = Nul(1 + 6D/L), pour Re > 2, 5× 103 et 20 > L/D > 60
Nu = Nul(1 + (D/L)0,7), pour Re > 2, 5× 103 et 2 > L/D > 20
24
2. Analyse bibliographique C
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Figure 2.10.: Section rectangulaire, dimensions
Figure 2.11.: Rotor de la machine électrique
Canal rectangulaire
Un canal de section rectangulaire avec un écoulement interne et avec la condition de flux
constant est considéré. Trois dimensions de référence sont utilisées, la longueur L du canal, son
diamètre hydraulique Dh = 2ab/(a+b) et un diamètre hydraulique corrigé Di = Dh[2/3+11b(2−
b/a)/24a] avec a et b respectivement la hauteur et la largeur du canal, selon l’illustration de la
Figure 2.10. Les corrélations disponibles dans [Bertin (1999)] sont :
Nu = 3, 78, pour ReDh< 2000 et b/a = 1, 4
Nu = 4, 11, pour ReDh< 2000 et b/a = 2
Nu = 5, 35, pour ReDh< 2000 et b/a = 4
Nu = 6, 60, pour ReDh< 2000 et b/a = 8
Nu = 0, 023Re0,8DhPr0,4, pour ReDh
> 2000 et L/Dh > 60
Nu = 0, 036Re0,8DhPr0,4(Dh/L)
1/18, pour ReDh> 2000 et L/Dh < 60
Objets en rotation
La rotation est à l’origine d’un écoulement perturbé, tridimensionnel et assymétrique dans la
machine. Le rotor (Figure 2.11) à pôle saillants est bien évidemment l’endroit le plus affecté par
l’effet de la rotation et son influence peut être perçue dans tout le système de refroidissement.
Différentes géométries en rotation sont présentées ensuite.
25
2. Analyse bibliographique C
Cylindre en rotation sur son propre axe
On considère un cylindre en rotation sur son axe. La rotation du cylindre est la seule source
externe pour mettre le fluide en mouvement. Si la rotation est faible, on revient au cas de
convection naturelle. Ainsi, on n’utilise que le Reynolds rotationnel (ReΩ = ρΩD2/µ) et le
Nombre de Grashof. La dimension caractéristique est le diamètre du cylindre D et la vitesse de
référence est la vitesse angulaire Ω, en rad/s. Les corrélations pour ce cas, selon [Dropkin et
Carmi (1957)], sont :
Nu = 0, 095(0, 5Re2Ω +Gr)0,35, pour 0 < ReΩ < 2, 5× 103
Nu = 0, 073Re0,7Ω , pour 1, 5× 104 < ReΩ < 4, 33× 105
Tube circulaire excentrique en rotation
Un tube de section circulaire avec son axe décalé d’une distance H de l’axe de rotation est
considéré. Ce tube a une dimension de référence D et un écoulement interne dont la vitesse
moyenne est de U . Deux nombres adimensionnaux sont considérés par [Baudoin (1987)], le ReD,
pour prendre en compte l’écoulement dans le tube et le nombre de Rossby Ro = U/(ΩD), pour
ne pas négliger l’effet de la rotation.
Nu0 = 0, 0215Re0,774, pour 3× 103 < Re < 2, 5× 104 et ReΩ = 0 (convection naturelle)
Nu = Nu0(1 + 0, 46Ro−1,24), pour 3× 103 < Re < 2, 5× 104 et 0, 59 < Ro < 5, 9
Disque en rotation sur son propre axe
Dans cette configuration, on considère un écoulement parallèle à un disque tounant, selon
l’illustration de la Figure 2.12 (extrait de [aus der Wiesche (2007)]). Un profil de vitesse développé
atteint un disque en rotation en formant la couche limite d’Ekman (2.5b) au-dessus du disque.
En aval, la structure formée est asymétrique à cause de la rotation du disque. Son diamètre D,
la vitesse angulaire Ω et la vitesse du courant entrant U sont les grandeurs caractéristiques. Les
corrélations proposées par [aus der Wiesche (2007)] sont :
Nu = 0, 417Re1/2D , pour 103 < ReD < 5× 104 et ReΩ/ReD ≤ 1, 4
Nu = 0, 330Re1/2Ω , pour 103 < ReD < 5× 104 et ReΩ/ReD > 1, 4
Nu = ( (0, 0127Re0,8D )2 + (0, 330Re1/2Ω )2 )1/2, pour ReD > 5× 104 et ReΩ < 2× 105
Nu = ( (0, 0127Re0,8D )2 + (0, 015Re0,8Ω )2 )1/2, pour ReD > 5× 104 et ReΩ > 2× 105
Espace annulaire étroit avec le cylindre interne en rotation
Les corrélations proposées par [Bouafia et al. (1998)] sont pour le rotor et pour le stator avec
un entrefer étroit et prennent en compte deux vitesses et deux dimensions de référence. Pour les
vitesses, il est impératif d’avoir la connaissance de la rotation Ω et de la vitesse entrant dans
l’entrefer U . Pour les dimensions, on considère le rayon du rotor (R1 = D1/2) et le diamètre
hydraulique de l’entrefer (Dh = D2 −D1), illustrés dans la Figure 2.13. Deux nombres adimen-
sionnels sont définis avec ces informations, le Nombre de Reynolds axial (ReDh= ρUDh/µ) et
le Nombre de Reynolds rotationnel (ReΩ = ρΩR1Dh/µ).
Nustator = 0, 046(Re2Dh+ 0, 25Re2Ω)
0,35 et Nurotor = 0, 025(Re2Dh+ 0, 5Re2Ω)
0,4
26
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.12.: Disque en rotation parallèle à l’écoulement [aus der Wiesche (2007)]
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Figure 2.13.: Entrefer modélisé par [Bouafia et al. (1998)]
27
2. Analyse bibliographique C
tous les deux pour les domaines de validité 5× 102 < ReΩ < 3, 1× 104 et 1, 1× 104 < ReDh <
3, 1× 104 en utilisant les rapports de forme D1/Dh = 10, 8 et L/Dh = 49, 2.
Un récapitulatif des corrélations est présenté dans les Tables 2.2 et 2.3.
Table 2.3.: Corrélations et leurs domaines respectifs de validité
Corrélation Domaine de validité
1 Nu = 0.59Ra1/4L 104 < RaL < 106
Nu = 0.13Ra1/3L 109 < RaL < 1012
2 Nu = 0.675Ra0.058D 10−10 < RaD < 10−2
Nu = 1.020Ra0.148D 10−2 < RaD < 102
Nu = 0.850Ra0.188D 102 < RaD < 104
Nu = 0.480Ra0.250D 104 < RaD < 107
Nu = 0.125Ra0.333D 107 < RaD < 1012
3 Nu = 0.24Ra0.25L (L/H)0.11 6 103 < RaL < 2 105
Nu = 0.06Ra0.33L (L/H)0.11 2 105 < RaL < 108
4 Nu = 0.040Re0.8 2.5 104 < Re < 1.25 105
5 Nu = 0.664Re0.5Pr1/3 Re < 3 105, 0.5 < Pr < 10
Nu = 0.035Re0.8Pr1/3 Re > 5 105, Pr > 0.56 Nu = 8.24 Re < 2000
Nu = 0.023Re0.8Pr1/3 Re > 20007 Nu = 0.891Re0.330 1 < Re < 4
Nu = 0.821Re0.385 4 < Re < 40Nu = 0.615Re0.466 40 < Re < 4 103
Nu = 0.174Re0.618 4 103 < Re < 4 104
Nu = 0.024Re0.805 4 104 < Re < 2.5 105
8 Nu = 0.095(0.5Re2ω +Gr)0.35 0 < Reω < 2.5 103
Nu = 0.073Re0.7ω 1.5 104 < Reω < 4.33 105
9 Nu = 4.36 Re < 2.5 103
Nul = 0.022Re0.8Pr0.6 Re < 2.5 103, L/D > 60Nu = Nul(1 + 6D/L) Re < 2.5 103, 20 > L/D > 60Nu = Nul(1 + (D/L)0.7) Re < 2.5 103, 2 > L/D > 20
10 Nu = 0.417Re1/2 103 < Re < 5 104, Reω/Re ≤ 1.4
Nu = 0.330Re1/2ω 103 < Re < 5 104, Reω/Re > 1.4
Nu = ( (0.0127Re0.8)2 + (0.330Re1/2ω )2 )1/2 Re > 5 104, Reω < 2 105
Nu = ( (0.0127Re0.8)2 + (0.015Re0.8ω )2 )1/2 Re > 5 104, Reω > 2 105
11 Nu = 0.330Re1/2ω 103 < Reω < 2 105
Nu = 0.015Re0.8ω Reω > 5 105
12 Nu0 = 0.0215Re0.774 3 103 < Re < 2.5 104, Reω = 0Nu = Nu0(1 + 0.46Ro−1.24) 3 103 < Re < 2.5 104, 0.59 < Ro < 5.9
13 Nu = 3.78 Re < 2000, L/H = 1.4Nu = 4.11 Re < 2000, L/H = 2Nu = 5.35 Re < 2000, L/H = 4Nu = 6.60 Re < 2000, L/H = 8
Nu = 0.023Re0.8Pr0.4 Re > 2000, L/Dh > 60
Nu = 0.036Re0.8Pr0.4(Dh/L)1/18 Re > 2000, L/Dh < 60
14 Nustator = 0.046(Re2 + 0.25Re2ω)0.35 1.1 104 < Re < 3.1 104 and
Nurotor = 0.025(Re2 + 0.5Re2ω)0.4 5 102 < Reω < 3.1 104
28
2.Analyse
biblio
gra
phiqueC
Table 2.2.: Corrélations et exemples d’application
Référence Geometrie Configuration de l’écoulement Exemples d’application
1 [Padet (2005)] Plaque plane verticale Convection naturelle Regions de recirculation2 [Padet (2005)] Cylindre horizontal Convection naturelle L’axe en sortie3 [Padet (2005)] Cavitée fermée Convection naturelle A l’intérieur des développantes4 [Oslejsek (1972)] Développantes Ecoulement croisé A l’extérieur des développantes5 [Padet (2005)] Plaque plane simple Ecoulement parallèle Canal axial du stator6 [Padet (2005)] Deux plaques planes parallèles Ecoulement parallèle Canal radial du stator7 [Padet (2005)] Cylindre stationaire Ecoulement croisé Surface radiale du AE8 [Dropkin et Carmi (1957)] Cylindre rotatif Pas de source externe L’axe en entrée9 [Padet (2005)] Tube circulaire Ecoulement interne Canal rotorique10 [aus der Wiesche (2007)] Disque rotatif Ecoulement parallèle La face du rotor à l’entrée11 [aus der Wiesche (2007)] Disque rotatif Pas de source externe La face du rotor à la sortie12 [Baudoin (1987)] Tube circulaire excentrique en rotation Ecoulement interne Canal axial rotorique13 [Bertin (1999)] Canal rectangulaire Ecoulement interne Canal radial rotorique
14 [Bouafia et al. (1998)]Annulaire, cylindre externe en statique
Ecoulement interne Entreferet cylindre interne en rotation
29
2. Analyse bibliographique C
2.2. Modélisation thermique des machines électriques
Grâce au développement des méthodes mathématiques et des ordinateurs, aujourd’hui on a une
grande variété d’outils numériques à la disposition de l’ingénieur. Dans le domaine de la thermique
et de la mécanique de fluides, les outils les plus courants se servent de la méthode des volumes
finis ou des éléments finis. Malheureusement ces méthodes sont coûteuses dans notre travail parce
qu’on a une géométrie très complexe qui est couplée avec un problème d’optimisation. Ceci exige
des resources de calcul considérables en imposant l’utilisation de modèles moins coûteux. En
raison de cette contrainte, on a choisi la méthode nodale, une méthode numérique qui utilise les
résistances thermiques pour l’obtention du champ de température de manière moins coûteuse et
avec une précision satisfaisante. Une description de cette méthode est présentée par la suite.
2.2.1. Méthode nodale
La méthode nodale est, à la fois, un outil numérique simple et efficace qui permet l’obtention de
résultats corrects rapidement. Basée sur l’analogie électrique, elle peut nous donner le champ de
température d’un domaine au préalable discrétisé en prenant en compte les différents mécanismes
de transfert de chaleur : la conduction, la convection, le transport d’énergie par l’écoulement et le
rayonnement. Pour cela, il faut connaître les débits de fluide au sein du système étudié ainsi que
les productions internes de chaleur. Du fait de sa facilité de mise en œuvre, elle est couramment
utilisée pour calculer les champs de température dans les machines électriques. Des exemples
d’application de cette méthode peuvent être trouvés dans les travaux de [Fasquelle et al. (2010,
2006); Besnerais et al. (2010); Seghir-Oualil et al. (2010); Seghir-Ouali et al. (2009, 2007); Amorim
(2010)]. La dernière référence, en particulier, montre la mise en œuvre de la méthode pour une
géométrie similaire à l’alternateur étudié dans cette thèse. La discrétisation du domaine et la
méthode de résolution y sont grandement détaillés. Nous exposons par la suite succinctement la
méthode appliquée à notre problème.
L’alternateur présenté dans notre étude est modélisé par un domaine discret découpé dans
un système de coordonnés cylindriques en volumes, comme illustré sur la Figure 2.14. A chaque
volume V , on attribue une valeur de température T homogène et calculée au centre du volume.
On considère de plus que les propriétés thermophysiques sont homogènes pour intégrer l’équation
de la chaleur décrite par l’Equation (2.1).
ρcp∂T
∂t= −div (φ) + p (2.1)
avec ρ, la masse volumique en kg.m−3 ; cp, la capacité calorifique massique en J.kg−1.K−1 ; φ,
le flux de chaleur par unité de surface en W.m−2 ; p, le terme source qui représente les pertes
volumiques en W.m−3.
L’opérateur divergent de l’Equation (2.1) réalise le bilan énergétique entre les flux de chaleur
entrant et sortant d’un volume discret Vi. La discrétisation spatiale, selon la méthode nodale,
est basée sur une approximation de première ordre :
−
ˆ
Vi
div (φ) dV = −
ˆ
Si
φ · dS ≈∑
j voisins de i
Gij (Tj − Ti) (2.2)
30
2. Analyse bibliographique C
Vue ortho-radiale de l’alternateur réel Discrétisation nodale
Figure 2.14.: Discrétisation de la machine électrique
avec Gij , en W.K−1, qui représente la conductance thermique entre le nœud i et son j eme voisin.
L’Equation (2.1) donne, après l’intégration sur un volume i :
ρiVi (cp)idTidt
=∑
j voisins de i
Gij (Tj − Ti) + Pi (2.3)
avec Vi, le volume en m3 et Pi, le terme source en W .
La valeur de la conductance Gij rend compte du mode de transfert d’énergie entre deux nœuds
voisins. Lorsque deux volumes sont en contact, indépendamment de la direction, le transfert
d’énergie ne porte que sur la surface effective de contact Sij entre le nœud i et son j eme voisin,
comme illustré, en coordonnées cylindriques, dans les Figures 2.15a, 2.15b et 2.15c. Ainsi, pour
quantifier le transfert d’énergie d’un nœud à l’autre, un paramètre (dont l’expression dépend de
la géométrie plane ou cylindrique) lié à la taille de la surface Sij par où passe le flux de chaleur
est pris en compte. La conductance Gij se décompose en général en 2 conductances Gi et Gj ,
selon l’illustration de la Figure 2.15d. A partir de Gi et Gj , on peut établir un réseau thermique
équivalent (Figure 2.15e) qui lie les différents nœuds représentatifs du domaine. Le calcul de Gi
et Gj dépend du type de nœud (représentant un solide ou un fluide) et également de la nature de
l’échange thermique entre les nœuds. Pour deux nœuds solides, le phénomène est conductif, pour
un nœud solide en contact avec un nœud fluide on a, respectivement, conduction puis convection
et si les deux nœuds sont fluides, le transport d’énergie est assuré par le débit de fluide entre les
nœuds. Dans les machines électriques, l’effet du rayonnement est souvent négligeable, aussi bien
31
2. Analyse bibliographique C
(a) Sij selon r, αij =(∆θ∆Z)contact,βi = ln (RSij/Ri)pour RSij > Ri et
βi = ln(
Ri/RSij
)
pour Ri > RSij
(b) Sij selon θ, αij =(∆R∆Z)contact, βi = Ri
∆θi/2(c) Sij selon z, αij =
((
R2sup −R2
inf
)
∆θ/2)
contact
,βi = ∆Zi/2
(d) Réseau thermique (e) Réseau équivalent
Figure 2.15.: Analogie électrique
à l’intérieur qu’à l’extérieur. A l’intérieur, les surfaces solides qui se font face n’ont pas d’écart de
température important et en conséquence, l’échange radiatif est souvent négligeable devant les
autres mécanismes d’échange de chaleur. L’écart de température le plus important (∼120 °C) se
situe entre l’air et le solide, mais du fait de la faible émission et réflexion de l’air, l’échange par
rayonnement entre la masse solide et l’air est également négligeable. A l’extérieur, la température
de carcasse n’est généralement pas assez élevée pour qu’on prenne en compte le flux radiatif.
La conductance thermique de conduction est fonction de la distance entre le centre du nœud et
la surface de contact Sij , la surface Sij elle-même et bien évidement, la conductivité thermique
du matériau. On définit ainsi la Gi de conduction par :
G(cond)i =
λiαij
βi(2.4)
avec λi, la conductivité thermique du solide enW.m−1K−1 qui peut varier selon la direction pour
des matériaux anisotropes ; αij un paramètre (dont l’expression dépend de la géométrie plane
ou cylindrique) lié à la taille de la surface par où passe le flux de chaleur ; βi un paramètre qui
quantifie la distance du centre du nœud jusqu’à la surface de contact.
32
2. Analyse bibliographique C
Dans une configuration avec un nœud i fluide et un voisin j solide, le calcul de la conductance
de convection, relatif au nœud fluide i, est donné par :
G(conv)i = hijSij (2.5)
avec hij , le coefficient d’échange thermique par convection enW.m−2.
Que ce soit pour un contact solide-solide ou pour un contact solide-fluide, la conductance équi-
valente Gij , illustrée dans la Figure 2.15e, est obtenue par l’association en série des conductances
Gi et Gj :
Gij =1
1
Gi+
1
Gj
(2.6)
Dans le cas de deux volumes fluides, l’échange d’énergie est représenté par le transport de
masse. Si le débit entre le volume j et le volume i, noté qij , est positif, alors par convention, il
rentre dans le volume i. Intuitivement, la conductance correspondante au bilan d’énergie sur le
volume i, Gij , doit prendre en compte la quantité d’énergie emportée par l’écoulement. Inverse-
ment, pour le bilan fait sur le volume j, la conductance Gji est nulle, puisque le fluide s’écoule
dans l’autre sens. La conductance entre deux nœuds fluides rend la matrice des conductances
non symétrique. Mathématiquement, en faisant le bilan énergétique sur le volume i, illustré dans
la Figure 2.16, en contact avec deux voisins fluides, j et k, avec un écoulement sortant de j vers
k, et avec i isolé d’ailleurs, on a :
−
ˆ
Vi
div (φ) dVi = φij − φki = qijρjcpTj − qkiρicpTi
Pour les propriétés thermo-physiques fixées et en prenant en compte la conservation de la
masse, on a :
ρj = ρi et qij = qki
Ainsi,
∑
j voisins de i
Gij (Tj − Ti) = qijρicp (Tj − Ti)
et donc,
G(flu)ij = qijρicp, si qij > 0 (2.7a)
G(flu)ij = 0, sinon. (2.7b)
33
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.16.: Bilan des flux pour le transfert d’énergie par l’écoulement
2.3. Optimisation thermique® C
L’optimisation est un outil de décision utilisé dans le développement et l’amélioration de
systèmes physiques. Pour se servir de cet outil, il faut d’abord identifier un objectif qui soit
mesurable par une valeur. Cet objectif est l’évaluation du système selon un certain critère. Ce
critère dépend de certains paramètres du système dites variables. Ces variables, à leur tour,
sont souvent limitées ou soumises à des contraintes. Le but de l’optimisation est de trouver
la meilleure combinaison de paramètres du système, tout en respectant ses limitations, pour
améliorer un critère donné. Dans ce travail, nous considérons le problème d’optimisation comme
un problème de minimisation non linéaire avec contraintes non linéaires, décrit par :
minx
f (x) : x ∈ ℜn → ℜ, soumis à (2.8a)
ci (x) = 0, i = 1, . . . , meq (2.8b)
ci (x) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.8c)
avec,
x, les n variables du problème,
f (x), une fonction objectif à minimiser,
ci (x), les contraintes d’égalité pour les indices entre 1 et meq et d’inégalité pour les indices
entre meq+1 et m.
Les optimiseurs, de façon générale, trouvent un état optimal de manière itérative, c. à d., à
partir d’un état initial ils déduisent une séquence d’états, ou itérations, qui convergent d’après
un critère d’arrêt vers un état final, ou optimal. La différence basique entre les différentes mé-
thodes est la façon par laquelle est faite cette déduction. Trois outils distincts ont été utilisés
dans la présente étude d’optimisation thermique, ils comprennent les méthodes de gradient, les
algorithmes génétiques et l’optimisation par essaims particulaires.
34
2. Analyse bibliographique C
2.3.1. Les méthodes de gradient
Le principe général des méthodes de gradient est, à une itération k, de se servir de la pente de
la fonction objectif, dans un point xk donné, pour déduire la position du prochain point xk+1 du
processus itératif. C’est à partir de l’information du gradient de la fonction objectif qu’on déduit
la séquence qui convergera vers un point optimal x∗, d’où le nom “méthodes de gradient”. Dans
ce contexte, un état initial est caractérise par un point de départ x0.
La conséquence directe est que ce type de méthode nécessite des fonctions objectif continues.
Compte tenu que les modèles utilisés pour représenter des problèmes en mécanique sont rarement
analytiques, le calcul des dérivées est inévitablement fait par des méthodes numériques (diffé-
rences finies, par exemple). Ainsi, pour des raisons numériques, même la fonction étant continue,
l’estimation des dérivées reste difficile en présence de fortes variations de la fonction objectif.
Le problème d’optimisation non linéaire sans contraintes
La présentation mathématique des méthodes de gradient se fait plus efficacement à l’aide d’une
nomenclature destiné à cet effet. Les variables scalaires sont notées dans ce travail en italique
et en minuscule, les vecteurs sont en italique, en gras et en minuscule et les matrices sont en
italique et en majuscule. Les fonctions suivront la même notation que les variables. Considérons
les 4 éléments suivants à l’itération k :
1. x k est un point qui appartient à ℜn, représenté par le vecteur :
xk =
x1
x2
x3...
xn
et sa transposée par xTk =
[
x1 x2 x3 . . . xn
]
2. f (xk) est la valeur de la fonction objectif. Elle associe un vecteur pris dans ℜn à une valeur
dans ℜ. Une notation plus compacte pour la valeur de la fonction à la k − ieme itération
est présentée par :
fk = f (xk)
3. g (xk) est le gradient de la fonction objectif. Il s’agit d’un vecteur qui appartient à ℜn :
∇f (xk) = g (xk) = gk =
∂f(xk)∂x1
∂f(xk)∂x2
∂f(xk)∂x3
...
∂f(xk)∂xn
4. H (xk) est la matrice Hessienne de la fonction objectif. C’est une matrice symétrique de
dimension n par n.
35
2. Analyse bibliographique C
∇2f (xk) = H (xk) = Hk =
∂2f(xk)∂x2
1
∂2f(xk)∂x1∂x2
∂2f(xk)∂x1∂x3
. . . ∂2f(xk)∂x1∂xn
∂2f(xk)∂x2∂x1
∂2f(xk)∂x2
2
∂2f(xk)∂x2∂x3
. . . ∂2f(xk)∂x2∂xn
∂2f(xk)∂x3∂x1
∂2f(xk)∂x3∂x2
∂2f(xk)∂x2
3
. . . ∂2f(xk)∂x3∂xn
......
.... . .
...
∂2f(xk)∂xn∂x1
∂2f(xk)∂xn∂x2
∂2f(xk)∂xn∂x3
. . . ∂2f(xk)∂x2
n
En utilisant ces 4 éléments, connus à l’itération k, et en faisant varier xk d’un pas p pour
passer à l’itération suivante, tel que
xk+1 = xk + p (2.9)
on écrit l’approximation de seconde ordre de la série de Taylor pour la fonction objectif au point
xk + p. Cette approximation est utilisé comme modèle (mk (p)) pour simuler le comportement
de la fonction objectif au voisinage de xk, tel que :
f (xk + p) ≈ fk + pTgk + 1/2pTHk pdef= mk (p) (2.10)
En minimisant le modèle mk (p),
∂ (mk (p))
∂p= 0
nous obtenons une estimation du pas pk à prendre pour minimiser la fonction objectif à partir
du point xk :
pk = −H−1k gk (2.11)
La direction du pas pk définie par l’Equation (2.11) est dite direction de Newton. Le pas est
l’élément le plus important dans les méthodes de gradient, et pour cela, la façon dont on estime
p définit une méthode de gradient en particulier. Pour le cas de l’Equation (2.11), nous avons
la méthode de Newton. Vu qu’elle est issue d’une approximation de second ordre de la série de
Taylor, elle possède typiquement une convergence quadratique, la élevée en optimisation non
linéaire.
La méthode de Newton est rarement utilisée à couse du coût de calcul de la matrice Hessienne.
De plus, si Hk n’est pas définie positive, la direction de Newton ne peut pas être obtenue puisque
H−1k n’existe pas. La dérivée seconde, et en conséquence, la méthode de Newton, sont mieux
exploitées avec des fonctions objectif analytiques dont on peut déduire les expressions des dérivées
à l’aide des règles du calcul élémentaire et les fournir directement à l’optimiseur.
En revanche, si on sacrifie la précision gagné avec l’Hessienne en la définissant comme la
matrice identité I, la direction du pas devient pk = −gk. Nous amenons la solution à la direction
opposée du gradient. Cette méthode est dite la méthode de La Plus Grande Pente (Steepest
Descent Method). Elle est connue pour un taux de convergence très lent (linéaire), et pour cela,
elle n’est pas habituellement utilisée pour résoudre des problèmes d’optimisation non linéaires.
36
2. Analyse bibliographique C
Les deux méthodes présentées sont des cas extrêmes. Généralement, au lieu de calculer l’Hes-
sienne, on réutilise les informations qui ont été acquises au cours des itérations précédentes pour
faire une estimation de l’Hessienne. Ceci offre une exploitation remarquable des données trai-
tées. Ce groupe de méthodes est connu par méthodes de quasi-Newton et elles présentent une
convergence super-linéaire. Parmi les équations les plus populaires pour l’estimation de l’Hes-
sienne (Hk ≈ Bk), nous avons la formule de BFGS (en référence aux auteurs Broyden-Fletcher-
Goldfarb-Shanno) :
Bk+1 = Bk +Bksks
TkBk
sTkBksk+
ykyTk
yTk sk
(2.12)
où
sk = xk+1 − xk, yk = gk+1 − gk
L’inconvénient de l’Equation (2.12) est que l’obtention du pas pk (Equation (2.11)) se fait
par la résolution d’un système linéaire. Des implémentations plus pratiques des méthodes de
Quasi-Newton déduisent directement l’inverse de l’Hessienne en diminuant le coût le calcul de
pk. L’équivalente de son inverse est exprimée par :
B−1k+1 =(I − ρksky
Tk
)B−1k
(I − ρkyks
Tk
)+ ρksky
Tk , ρk =
1
yTk sk
(2.13)
Il y a une grande quantité de méthodes de gradient et de variantes, des ouvrages dédiées au
thème sont disponibles dans les références [Corriou (2010); Nocedal et Wright (2006); Scales
(1987)]. Une quatrième classe de méthodes de gradient est cependant citée dû à son importance
dans la résolution des problèmes de dimension très grande, dont la manipulation de l’Hessienne
impose une grande quantité de mémoire disponible. Elle se situe entre la méthode de La Plus
Grande Pente et la méthode de Quasi-Newton. Il s’agit de la méthode des Gradients Conjugués,
elle est beaucoup plus efficace et aussi simple à calculer que la méthode de La Plus Grande Pente.
Elle utilise uniquement le gradient calculé à l’itération actuelle, gk et celui qui a été calculé à
l’itération précédente gk−1. Le calcul du pas pk est fait par :
pk = −gk +Υkgk−1 (2.14)
dont Υk est un scalaire qui assure que les gradients gk et gk−1 soient conjugués, d’où le nom de
la méthode. A titre illustratif, nous avons la formule de Polack et Ribière pour l’obtention de
Υ(PR)k :
Υ(PR)k =
gTk
(gk − gk−1
)
gTk−1gk−1
Un récapitulatif des méthodes de gradients abordées est présenté dans la Table 2.4.
Indépendemment de la méthode utilisé, le pas pk obtenu n’a pas forcement un module adéquat.
Plus la fonction objectif est non linéaire, plus le modèle mk(pk) s’éloigne de f(xk + pk) (cf.
Equation 2.10). En fait, il existe deux questions distinctes par rapport au pas :
1. Quelle est la direction du pas entre un point et celui de la prochaine itération
2. Quelle est la longueur adéquate de ce pas, c. à d., le module de pk.
37
2. Analyse bibliographique C
Table 2.4.: Méthodes de gradient pour des problèmes non linéaires sans contraintes
Méthode Exploitation Hk Aspects
Plus Grand Pente gk(a) I (c) Simple, convergence linéaire
Quasi-Newton gk et gk−1(b) (2.13) Hk ≈ Bk, convergence super-linéaire
Newton gk(a) DF(d) Convergence quadratique
Gradient Conjugué gk et gk−1(b) I(c) Peu exigeant en mémoire
(a)Itération actuelle,
(b)Reutilisation des informations précédentes,
(c)Matrice identité,
(d)Différences finies
Cette dernière est connue par le nom de Recherche Linéaire (Linear Search) puisque on cherche,
dans la direction obtenue, le pas le plus important en maîtenant la recherche dans une direction
de descente. L’ordre des deux questions est important. Si on les change, nous parlons d’une classe
de méthodes connue sous le nom de Régions de Confiance (Trust Regions), puisque d’abord on
établit la taille du pas (la région de confiance) où le modèle mk(pk) soit une représentation
fiable de f(xk + pk) et puis, on calcule la direction du pas. Dans la présente étude, nous consi-
dérons plutôt la stratégie de la Recherche Linéaire. Compte tenu de la nécessité d’une étape
supplémentaire pour définir le module du pas, on doit réécrire l’Equation (2.9) par :
xk+1 = xk + χp (2.15)
dont χ est un scalaire non nul qui ajuste la taille du pas dans la direction de p.
La façon la plus simple d’estimer χ est par itérations : dans un premier temps il est souhaitable
que la taille du pas soit la plus grande possible avec, par exemple, χ = 1, et on vérifie si le nouveau
point a pris une direction de descente (fk+1 < fk). Si ce n’est pas le cas, on réduit la valeur de
χ, comme par exemple, en faisant χ = χ/2 et on vérifie à nouveau la condition de descente. Le
processus est répété jusqu’à satisfaire la condition de descente ou jusqu’à avoir une taille de pas
inférieure à une tolérance préétablie. Dans ce cas, l’algorithme ne peut plus avancer et xk est la
solution du problème (x∗ = xk). L’avancement des itérations peut être également bloqué par la
présence de contraintes. Cette question est abordé par la suite.
Gestion des contraintes
L’imposition de contraintes facilite la recherche d’un point optimal puisque l’espace de re-
cherche devient restreint. En contrepartie, il faut les prendre en compte pendant le calcul du pas
p. C’est là que se trouvent les sources de difficulté pendant la résolution des problèmes non li-
néaires avec contraintes, surtout si les contraintes sont non linéaires et d’inégalité. Les contraintes
d’égalité sont moins gênantes parce que on peut projeter l’Hessienne perpendiculairement à leur
gradient (Méthodes de Projection) en restant, selon une certaine tolérance, dans la région définie
par les contraintes d’égalité. La discussion de la gestion de contraintes nécessite la présentation
des trois nouvelles entités mathématiques :
5. Le Jacobien J est la dérivée de première ordre d’une fonction scalaire ou vectorielle par
rapport à un vecteur. Nous nous intéressons au Jacobien des contraintes, J (c (xk)), avec
38
2. Analyse bibliographique C
xk ∈ ℜn et c (xk) ∈ ℜ
m.
J (c (xk)) =
∂c1(xk)∂x1
∂c1(xk)∂x2
∂c1(xk)∂x3
. . . ∂c1(xk)∂xn
∂c2(xk)∂x1
∂c2(xk)∂x2
∂c2(xk)∂x3
. . . ∂c2(xk)∂xn
∂c3(xk)∂x1
∂c3(xk)∂x2
∂c3(xk)∂x3
. . . ∂c3(xk)∂xn
......
.... . .
...
∂cm(xk)∂x1
∂cm(xk)∂x2
∂cm(xk)∂x3
. . . ∂cm(xk)∂xn
(2.16)
par convenance il est souhaitable de séparer le Jacobien des contraintes d’égalité (Jeq) des
contraintes d’inégalité (Jin), tel que :
J (c (xk)) =
Jeq
Jin
6. L’active-set A (xk) est défini par l’ensemble des contraintes actives dans le point xk. Une
contrainte ci est dite active dans xk quand ci (xk) = 0. De cette façon, toutes les contraintes
d’égalité sont actives pour un point qui appartient à l’espace de recherche et une contrainte
d’inégalité est active seulement quand le point en question est au bord du domaine de
recherche. Ainsi, nous avons :
A (xk) = i | ci (xk) = 0 (2.17)
7. Le Lagrangien est la réécriture de la fonction objectif en prenant en compte les contraintes.
Chaque contrainte ci est pondérée par un scalaire λi appelé le multiplicateur de Lagrange.
L’association de la fonction objectif aux contraintes est de la forme suivante :
L (xk, λk) = f (xk) + λTk c (xk) (2.18)
En minimisant le Lagrangien (∇xL (xk, λk) = 0) en un point xk, on minimise la fonction
objectif plus la violation des contraintes dans ce point. L’insertion des multiplicateurs de Lagrange
devient nécessaire pour imposer les contraintes vis-à-vis de la fonction objectif quand celle-ci
aurait tendance à amener la solution hors l’espace de recherche. Si les contraintes sont satisfaites
en un point xk, le produit λTk c (xk) est nul et le Lagrangien suit la fonction objectif. De cette
façon, un multiplicateur de Lagrange est vu comme paramètre de sensibilité de la fonction objectif
par rapport à la contrainte associée. Quand il est nul, cela signifie que les contraintes ne posent
pas de problèmes. Lorsqu’il a une valeur non nulle, cette valeur indique la force avec laquelle la
fonction objectif “pousse” la solution contre la contrainte associée.
Comme la discussion précédente l’a suggérée, la manipulation du Lagrangien impose nécessai-
rement une série de conditions à être satisfaite. Ces conditions sont souvent dites conditions de
39
2. Analyse bibliographique C
Karush-Kuhn-Tucker 1 (conditions de KKT), ou conditions de première ordre, présentées dans
les Equations (2.19). Il s’agit de l’ensemble d’équations de base pour les problèmes d’optimisa-
tion avec contraintes. A partir de cet ensemble, plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour
résoudre le problème général (2.8).
∇xL (x∗, λ∗) = 0, (2.19a)
ci (x∗) = 0, i = 1, . . . , meq (2.19b)
ci (x∗) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.19c)
λ∗i ≥ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.19d)
λT c (x∗) = 0. (2.19e)
L’idée centrale des différentes stratégies est de créer un problème plus simple en s’appuyant sur
les conditions de première ordre. Parmi les différentes options, il y a trois branches principales :
1. Les méthodes de Pénalité/Mérite ou de Lagrangien augmenté. Dans ce groupe de méthodes,
on redéfinit la fonction objectif en la pénalisant avec les contraintes, de façon à décourager
leur violation. Comme résultat, nous avons un problème sans contraintes, ce qui le rend
plus pratique, mais avec une fonction objectif moins lisse à résoudre. Cette pénalisation
peut se faire de différentes façons, à titre illustratif nous avons dans l’Equation (2.20) la
fonction de pénalité ℓ1 :
ℓ1 (x, µ) = f (x) + µ
meq∑
i=1
|ci (x) |+ µ
m∑
i=meq+1
[ci (x)]+ (2.20)
où µ est le paramètre de pénalité et l’opérateur [z]+ = max 0, z . Le choix du paramètre
de pénalité est crucial pour le bon fonctionnement de l’algorithme. S’il est trop élevé, la
fonction ℓ1 devient très sensible près des limites du domaine, en posant des difficultés
pour l’optimiseur. En revanche, s’il est trop petit, les contraintes ne seront pas satisfaites.
Généralement le paramètre de pénalité est obtenu de manière itérative, en utilisant comme
estimation initiale, par exemple, le multiplicateur de Lagrange maximal. On lui donne plus
de poids si les contraintes ne sont pas satisfaites.
2. La Programmation Quadratique Séquentielle (SQP, selon l’abréviation anglaise). Elle consiste
en trois étapes : d’abord, on a l’estimation de l’Hessienne par une méthode de Quasi-Newton
en se servant du Lagrangien, suivi par l’estimation de la direction du pas par la solution
du sous-problème de programmation quadratique (QP) suivant
minp
1/2pT∇2xxL (xk, λk)p+∇f (xk)
Tp
, soumis à (2.21a)
∇ci (xk)Tp+ ci (xk) = 0, i = 1, . . . , meq (2.21b)
∇ci (xk)Tp+ ci (xk) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.21c)
où la fonction objectif originale est modélisée par une fonction d’ordre deux et les contraintes
1. Karush [Karush (1939)] parfois n’est pas cité puisque il ne les a publié que dans son mémoire de master(1939), autant que Kuhn et Tucker [Kuhn et Tucker (1951)] les ont publié en 1951
40
2. Analyse bibliographique C
par un modèle d’ordre un et finit par l’estimation de la taille du pas par la Recherche Li-
néaire. Ces trois étapes se répètent à chaque itération, de façon à ce que la solution optimale
soit obtenue par la résolution d’une séquence de solutions de sous-problèmes de program-
mation quadratique. Dans cette étude, la stratégie de la SQP est vue comme une méthode
du type Active-Set dont on néglige intentionnellement les contraintes qui ne sont pas ac-
tives. En manipulant uniquement le working-set W (xk) (une estimation de l’active-set),
la solution du sous-problème devient plus simple puisque les contraintes d’inégalité de-
viennent des contraintes d’égalité. Si l’estimation du working-set est fausse, par exemple,
si une contrainte active n’est pas prise en compte, les conditions de première ordre permet-
tront de détecter ce problème puisqu’elles ne seront pas satisfaites. Un nouveau W (xk) est
alors déduit pour respecter les éventuelles contraintes manquantes.
3. Les méthodes de Point Intérieur. Dans ce groupe, les contraintes sont toujours satisfaites
au cours des itérations, donc, la séquence de points obtenue reste toujours à l’intérieur de
l’espace de recherche. Le problème général est reformulé de la manière suivante :
minx, s
f (x)− µ
m∑
i=meq+1
ln (si)
, soumis à (2.22a)
ci (xk) = 0, i = 1, . . . , meq (2.22b)
ci (xk) + si = 0, i = meq + 1, . . . , m (2.22c)
si ≥ 0 (2.22d)
avec si une variable dite variable d’écart. Elle est dans l’Equation 2.22c pour transformer les
contraintes d’inégalité inactives en contraintes d’égalité. Les variables d’écart deviennent
une mesure relative de la distance entre un point à l’itération k et les limites de l’espace de
recherche. Les points obtenus au cours des itérations sont toujours à l’intérieur de l’espace
de recherche et ainsi, les variables d’écart sont toujours strictement positives. De plus,
pour éviter la violation des contraintes, cette mesure relative est utilisée avec une fonction
logarithmique pour pénaliser la fonction objectif. Le nouveau problème 2.22 peut devenir
instable et généralement considère deux possibilités de solution. D’abord, on applique une
méthode de Quasi-Newton suivie par la Recherche Linéaire. Le pas x, la variation des
variables d’écart ∆s et les multiplicateurs de Lagrange sont obtenus par la résolution des
équations de KKT avec la linéarisation des contraintes, de façon que :
H 0 JTeq JT
in
0 SΛ 0 −S
JTeq 0 I 0
JTin −S 0 I
x
s
−λeq
−λin
=
gk − JTeqλeq − J
Tinλin
Sλin − µe
ceq
cin + s
(2.23)
avec H, l’Hessienne du Lagrangien, S et Λ respectivement les matrices diagonales corres-
pondantes à s et à λ, cin et ceq respectivement les contraintes d’inégalité et égalité et e
un vecteur formé par des valeurs unitaires de la même taille de cin. Des difficultés pour
41
2. Analyse bibliographique C
l’estimation du pas peuvent avoir lieu si le modèle créé par le méthode de Quasi-Newton
n’est pas valide dans les environs de xk. Dans ce cas, on considère une deuxième possibilité,
on définit une Région de Confiance et on se sert de la méthode des Gradients Conjugués
pour déterminer la direction du pas.
Critères d’arrêt
On arrête volontairement l’algorithme pour deux raisons, soit l’état optimal est identifié, soit
le coût de la solution optimale globale devient important. L’arrêt est fait selon un critère qui,
généralement, prend en compte une tolérance relative ou une valeur limite. Parmi ces critères,
nous avons :
– Pour identifier la solution, les tolérances relatives sont associées à(aux) :
– La norme de la distance entre le point actuel et le suivant ;
– La variation de la fonction objectif entre deux itérations ;
– Conditions de premier ordre (un point stationnaire).
– Pour forcer l’arrêt, on définit une valeur limite du :
– Nombre d’itérations ;
– Nombre d’évaluations de la fonction objectif ;
– Temps de calcul.
Si les tolérances sont très faibles, c. à d., elles ont une grande valeur, l’algorithme s’arrête préma-
turement. Si les tolérances sont très sévères (une marge stricte), on risque de faire des itérations
qui ne sont pas nécessaires. La seule façon de découvrir si les tolérances utilisées sont suffisantes
est l’observation de la variation des points et de la fonction objectif au cours des itérations. En
plus des tolérances, nous avons d’autres paramètres à initialiser qui déterminent la réussite de la
résolution.
Initialisation et algorithmes
Les méthodes de gradients se servent efficacement des informations des itérations précédentes.
Cependant, ces informations ne sont pas disponibles dès la première itération et il n’y a pas
moyen de les déduire. La méthode la plus simple qui ne dépend pas des itérations précédentes
est la méthode de La Plus Grande Pente. Elle est généralement utilisée pour la réalisation de la
première itération des autres méthodes.
Un état initial du processus itératif des méthodes de gradient est caractérisé par un point de
départ x0. Tout ce que nous avons discuté jusqu’à présent par rapport aux méthodes de gradient
dépend du point initial, il a une importance capitale pour la réussite des résultats. La Figure 2.17
est un exemple classique de l’influence du point de départ. Nous avons la représentation d’une
fonction f (x) pour un domaine mono-dimensionnel compris entre xa ≤ x ≤ xb. Cette fonction
possède dans cet intervalle deux points de minimum, x∗l et x∗g, dont f (x∗l ) > f(x∗g
). Si on
part du principe que cette fonction n’est définie que dans l’intervalle [xa, xb], et de plus que
le problème d’optimisation est borné sur cet intervalle, x∗g est dit point de minimum global du
problème et x∗l , un point de minimum local. Pour n’importe quel point de départ qui appartienne
à Ω1 = xa ≤ x < xc, le gradient amènera la solution vers le point x∗l . De manière analogue, si
on définit un point de départ dans Ω2 = xc < x ≤ xb, le gradient guidera la solution vers le
42
2. Analyse bibliographique C
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Figure 2.17.: Influence du point de départ
point x∗g. Cette caractéristique confie aux régions Ω1 et Ω2 le nom de bassins d’attraction. Le
résultat a donc une forte dépendance par rapport au point de départ et pour cela les méthodes
de gradient sont appelées des méthodes d’optimisation locales.
Dans le présent travail nous avons utilisé deux algorithmes basés sur les méthodes de gradient,
l’Active-Set et le Point Intérieur, qui sont décrits respectivement par les Algorithmes 2.1 et 2.2.
Pour illustrer les méthodes de gradients, nous présentons un exemple simple retiré de [Nocedal
et Wright (2006)].
Exemple 2.1. Dans cet exemple, on montre la gestion des contraintes faite par l’algorithme 2.1.
Le problème est défini par :
minxq (x) = (x1 − 1)2 + (x2 − 2, 5)2 soumis à
−x1 + 2x2 − 2 ≤ 0 (c1)
x1 + 2x2 − 6 ≤ 0 (c2)
x1 − 2x2 − 2 ≤ 0 (c3)
−x1 ≤ 0 (c4)
−x2 ≤ 0 (c5)
La fonction objectif q (x) et les constraintes sont illustrés dans la Figure 2.18.
Les contraintes sont repérées par leurs indices, par exemple, i = 1 fait référence à la première
43
2. Analyse bibliographique C
Algorithme 2.1 Active-Set
1. Paramétrage de l’algorithme
a) Tolérances pour la variation de la fonction objectif, la distance entre deux pointsconsécutifs
b) Limites : le nombre maximal d’itérations, le nombre maximal d’évaluations de lafonction objectif
2. Etat initial
a) Choix du point initial : x0
b) Estimation du Active-Set : W0 = Ø
c) Estimation de l’Hessienne : B0 = I
3. Itérations : pour les itérations k = 0, 1, ..., kmax
a) Calcul de fk, gk, Bk
i. Vérification de la variation de la valeur de la fonction objectif (fk − fk−1). Si lavariation est inférieure à sa tolérance, condition d’arrêt = 4(b)iii, passer à l’étape 4
b) Calcul de la direction du pas pk par la solution du sous problème QP (2.21)
c) Si la taille du pas est nul
i. Calcul des multiplicateurs de Lagrange
A. Si λi ≥ 0, condition d’arrêt = 4(b)i, passer à l’étape 4
B. Sinon, λi < 0, donc inclure la contrainte i concernée au Wk et recommencerl’itération
d) Sinon, calcul de la taille approprié du pas (χ) par la Recherche Linéaire
e) Mis à jour du point : xk+1 = xk + χpk
f) Mis à jour du working-set : j = i : ci (xk+1) > 0, Wk+1 =Wk + j
g) Vérification de la distance entre xk+1 et xk (||χp||), si inférieure à sa tolérance, condi-tion d’arrêt = 4(b)ii, passer à l’étape 4
h) Vérification nombre d’évaluations de la fonction objectif. Si nombre limite est dépassé,condition d’arrêt = 4(b)v, passer à l’étape 4
i) Passage à l’itération suivante : si k = kmax, condition d’arrêt = 4(b)iv et passer àl’étape 4, sinon, continuer les itérations (3a).
4. Etat final
a) x∗ = xk, f∗ = fk, g
∗ = gk, H∗ = Hk, λ
∗ = λk
b) Stop, raison = condition d’arrêt
i. Conditions de première ordre satisfaites.
ii. Déplacement inférieur à la tolérance
iii. Variation de la fonction objectif inférieure à la tolérance
iv. Nombre limite d’itérations atteint
v. Nombre limite d’évaluations de la fonction objectif atteint
44
2. Analyse bibliographique C
Algorithme 2.2 Point Intérieur
1. Paramétrage de l’algorithme
a) Tolérances pour la variation de la fonction objectif, la distance entre deux pointsconsécutifs, la taille minimale de la région de confiance
b) Limites : le nombre maximal d’itérations, le nombre maximal d’évaluations de lafonction objectif
2. Etat initial
a) Choix du point initial : x0, avec s0 > 0, puis calcul des λ0
b) Estimation de l’Hessienne : B0 = I
c) Paramètre de pénalité initial : µ0 > 0
3. Itérations : pour les itérations k = 0, 1, ..., kmax
a) Calcul de fk, gk, Jeq, Jin, Hk
i. Si (fk − fk−1), critère d’arrêt = 4(b)iii, passer à l’étape 4
b) Essayer d’obtenir le pas pk par Quasi-Newton (Equation 2.23). Si les conditions depremière ordre ne sont pas satisfaites, passer à la solution par les Gradients Conjugués.Si région de confiance inférieure à sa tolérance, condition d’arrêt = 4(b)i, passer àl’étape 4
c) Passer au point suivant xk+1 = xk + χpk
d) Vérification de convergence. Si distance entre points consécutifs est inférieure à satolérance, critère d’arrêt = 4(b)ii, passer à l’étape 4
e) Vérification du nombre d’évaluations de la fonction objectif. Si limite a été atteinte,condition d’arrêt = 4(b)v, passer à l’étape 4
f) Vérification du nombre maximal d’itérations, s’il est atteint, condition d’arrêt= 4(b)iv, passer à l’étape 4
4. Etat final
a) x∗ = xk, f∗ = fk, g
∗ = gk, H∗ = Hk, λ
∗ = λk
b) Stop, raison = condition d’arrêt
i. Rayon de la région de confiance est inférieure à sa tolérance
ii. Déplacement inférieur à la tolérance
iii. Variation de la fonction objectif inférieure à la tolérance
iv. Nombre limite d’itérations atteint
v. Nombre limite d’évaluations de la fonction objectif atteint
45
2. Analyse bibliographique C
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Figure 2.18.: Fonction objectif et contraintes de l’exemple 2.1
contrainte. Considérons l’état initial suivant :
x0 =
[
2 0
]T
W0 = 3, 5
La solution du sous-problème QP nous donne un pas nul puisque x0 est dans le sommet des
contraintes du working-set. On calcule les multiplicateurs de Lagrange à partir de (2.19a), tel
que :
−1
2
λ3 +
0
1
λ5 =
2
−5
dont la solution est (λ3, λ5) = (−2, −1).
On enlève la contrainte 3 du worling-set puisqu’elle a le multiplicateur le plus négatif. Pour
le nouveau working-set W1 = 5, la solution du sous-problème QP est p1 = [−1 0]T . On
peut utiliser la taille maximale du pas avec χ1 = 1 et donc x2 = [1 0]T . Nous n’avons pas de
contraintes en empêchant l’évolution de la solution, et ainsi, on maintient le même working-set
W2 =W1 = 5. La solution du sous-problème QP nous donne un pas nul pour W2. En vérifiant
le multiplicateur de Lagrange, λ5 = −5, donc, on enlève la cinquième contrainte du working-set,
tel que W3 = Ø. La troisième itération débute par la solution du sous-problème sans contraintes
46
2. Analyse bibliographique C
et le pas obtenu est p = [0 2, 5]T . Le pas le plus grand réalisable sans dépasser les contraintes
est avec χ3 = 0, 6 et donc x4 = [1 1, 5]T . Il n’y a qu’une seule contrainte qui bloque l’évolution
de la solution, c’est la première, ainsi, nous avons que W4 = 1. La solution du sous-problème
QP nous donne le pas p4 = [0, 4 0, 2]T avec χ4 = 1. Le nouveau point est le x5 = [1, 4 1, 7]T
et le working-set continue W5 = 1. La solution du sous-problème donne un pas nul et le
multiplicateur de Lagrange obtenu est de λ5 = 0, 8, donc, x∗ = x5.
Afin d’éviter un minimum local, il est suggéré d’essayer différents points initiaux. Des infor-
mations supplémentaires par rapport au comportement du système physique et la découverte
de la présence de bassins d’attraction à partir de tests préliminaires peuvent orienter le choix
d’un nombre raisonnable de points de départ pour explorer au mieux l’espace de recherche. Si le
problème a beaucoup de variables et peu d’informations qui peuvent orienter la choix des points
de départ, l’utilisation des méthodes de gradient n’est pas judicieuse pour la recherche d’un point
optimal global, puisque, malgré la grande exploitation des données, elles ont une faible explora-
tion du domaine. Dans ce cas, l’emploi d’outils destinés à l’exploration du domaine de recherche
se fait nécessaire, comme par exemple, les algorithmes génétiques.
2.3.2. Méthodes Evolutionnaires
2.3.2.1. Les algorithmes génétiques
Généralités
Les algorithmes génétiques (AG), nom trouvé par Bagley [Bagley (1967)] pour ce type d’al-
gorithme évolutifs, ont été développés principalement dans les années 1970 grâce aux travaux
de Holland [Holland (1975)] et De Jong [Jong (1975)]. Ils sont en partie basés sur la théorie de
l’évolution de Darwin [Darwin (1859)] et font appel à des notions de biologie. Holland [Holland
(1975)] poursuivait alors un double objectif : améliorer la compréhension des processus natu-
rels d’adaptation, et concevoir des systèmes artificiels possédant des propriétés similaires aux
systèmes naturels.
L’idée fondamentale des AG est alors la suivante : l’ensemble des génomes (groupement de
gènes dont résultent les caractéristiques d’un individu) d’une population donnée contient po-
tentiellement les gènes qui, lorsqu’ils sont regroupés, feront qu’un individu deviendra meilleur
que les autres pour un critère donné. Ce regroupement de gènes optimal, appelé solution, n’est
pas obligatoirement présent chez un individu de la population car la combinaison génétique sur
laquelle la solution repose est probablement dispersée chez plusieurs individus. Ce n’est que par
la recombinaison génétique de la population que la solution pourra s’exprimer. La reproduction
fait des AG une méthode itérative avec des populations évolutives.
La reproduction aboutit à une nouvelle population qui peut présenter des meilleures caracté-
ristiques pour le critère recherché. Le passage d’une population à la population suivante s’effectue
donc en trois principales étapes : la sélection, la mutation et le croisement. Par ce procédé, la
population sélectionnée évolue et est à chaque fois évaluée pour le critère imposé. La recherche
est stoppée, par exemple, quand le meilleur individu de la population n’évolue plus au cours des
générations.
Gosselin [Gosselin et al. (2009)] a récemment publié une recherche bibliographique sur l’uti-
47
2. Analyse bibliographique C
lisation des AG. Il ressort de sa synthèse les avantages et les inconvénients majeurs des AG.
Tout d’abord, de par leur approche statistique et non analytique ou numérique (à la différence
des méthodes de gradients), les AG sont connus pour être des algorithmes robustes. En effet,
ils peuvent être utilisés pour des recherches d’optimum sur des domaines discontinus et/ou des
fonctions non dérivables. Ils sont également peu sensibles au choix de la population de départ
et beaucoup moins susceptibles de fournir un optimum local. Cependant, la répétabilité d’une
recherche d’optimum n’est pas assurée. En effet, avec des conditions de départ identiques, on
peut converger vers une population finale différente, compte tenu de la nature statistique de la
recherche. Les temps de calcul sont également plus longs qu’avec des méthodes classiques, cela
étant dû au fait que l’on évalue la qualité de chaque individu de la population sélecionnée qui
peut comporter beaucoup d’éléments. Chaque étape du processus est décrite dans les paragraphes
suivants avec un exemple illustratif extrait de [Goldberg (1989)], p. 15-18.
Population initiale
La population initiale P0 est constituée d’individus choisis aléatoirement parmi les individus
autorisés, c. à d. ceux respectant les éventuelles contraintes du problème. Le choix du nombre Npop
d’individus à placer dans cette population est très important puisque si Npop est trop faible, cela
augmenterait la probabilité de trouver un optimum local. Au contraire, un nombre d’individus
Npop trop grand entraînerait des temps de calcul relativement élevés. Il existe ainsi un compromis
à trouver.
Exemple ([Goldberg (1989)]) : une population initiale, qui appartient à N, de 4 individus (x1,
x2, x3, x4) choisie de manière arbitraire.
Table 2.5.: Population initiale
P0 Valeur de x
x1 13
x2 24
x3 8
x4 19
Evaluation et classement
La phase de reproduction des AG est basée sur la théorie de Darwin [Darwin (1859)] dans la
mesure où les individus les plus adaptés tendent à survivre plus longtemps et à se reproduire
plus aisément que les autres. Chaque individu de la population est alors évalué en fonction de sa
compétence à satisfaire au critère demandé. On attribue ensuite un pourcentage (dit pourcentage
d’adaptation) à chaque individu, relatant cette compétence. Les individus sont ensuite triés par
rapport à leur compétence respective, de manière à former le classement Sk.
Exemple ([Goldberg (1989)]) : considérons la fonction f(x) = x2 à maximiser avec la population
initiale de la Table 2.5. Les évaluations de la fonction f(x), ainsi que le pourcentage d’adaptation
sont présentés dans la Table 2.6. Ces informations ont permit le classement selon l’aptitude de
chaque individu.
48
2. Analyse bibliographique C
Table 2.6.: Evaluation et classement
Valeur de x f(x) fi/∑f Sk
x1 (13)10 169 0,14 3
x2 (24)10 576 0,49 1
x3 (8)10 64 0,06 4
x4 (19)10 361 0,31 2
Somme 1170 1
Moyenne 293
Maximale 576
Sélection
La phase de sélection est censée reproduire l’adaptation de la population à son environnement
comme dans la théorie Darwinienne. Cette phase de sélection qui pour Darwin [Darwin (1859)]
se fait naturellement est ici gérée artificiellement selon une des méthodes ci-après :
– Sélection par rang : cette technique de sélection choisit toujours les individus possédant les
meilleurs compétences, le hasard n’entre donc pas en compte dans ce mode de sélection. En
fait, si Npop individus constituent la population, la sélection appliquée consiste à conserver
les M (Npop) meilleurs individus suivant une probabilité qui dépend du rang.
– Probabilité de sélection proportionnelle à l’adaptation (appelé aussi roulette ou roue de la
fortune) : pour chaque individu, la probabilité d’être sélectionné est proportionnelle à son
pourcentage d’adaptation au problème. Afin de sélectionner un individu, on utilise le principe
de la roue de la fortune biaisée. Cette roue est une roue de la fortune classique sur laquelle
chaque individu est représenté par une portion donnée par le pourcentage d’adaptation. On
effectue ensuite un tirage au sort homogène sur cette roue.
– Sélection par tournoi : cette technique utilise la sélection proportionnelle sur des paires d’in-
dividus, puis choisit parmi ces paires l’individu qui a le meilleur pourcentage d’adaptation.
– Sélection uniforme : la sélection se fait aléatoirement, uniformément et sans intervention du
pourcentage d’adaptation. Chaque individu a donc une probabilité 1/Npop d’être sélectionné,
où Npop est le nombre total d’individus dans la population.
Exemple : Afin d’illustrer la méthode de la roulette, on sélectionne trois individus de la population
initiale de la Table 2.5 en faisant tourner la roulette 3 fois (Figure 2.19). Considérons les résultats
suivants : au premier tour, l’individu x2 a été choisi. Au deuxième, l’individu x1 a été sélectionné
par hasard au lieu du candidat le mieux côté qui était l’individu x4. Au troisième et dernier
tour, l’individu x4 a été le choisi. Par coïncidence, les trois individus sélectionnés (x1, x2 et x4)
correspondraient aux mêmes individus si la sélection par rangs a été utilisée. Cependant, comme
on a pu constater au deuxième tour, il existe une composante aléatoire dans le choix par la
méthode de roulette qui peut sélectionner un individu moins adapté.
49
2. Analyse bibliographique C
!"#$# !"#$#
Figure 2.19.: Sélection par la méthode de la roulette
Codage
Les algorithmes génétiques opérent sur les “gènes” des individus présents dans une population
Pk. Afin de manipuler les gènes d’un individu, il est nécessaire de décrypter son matériau gé-
nétique dans un codage. Le codage binaire (0 pour absence de caractère et 1 pour expression
du caractère, comme en biologie) est le codage le plus couramment utilisé dans les Algorithmes
Génétiques. On convertit les individus de la population, par exemple des nombres, en leur ex-
pression en langage binaire. De cette manière, les étapes suivantes sont plus aisées, notamment
les étapes de croisement et de mutation.
Exemple : le codage de la population de la Table 2.5 est présenté dans la Table 2.7.
Table 2.7.: Codage
Valeur de x Représentation en binaire
x1 (13)10 (0 1 1 0 1)2
x2 (24)10 (1 1 0 0 0)2
x3 (8)10 (0 1 0 0 0)2
x4 (19)10 (1 0 0 1 1)2
Croisement
Les individus sélectionnés dans l’étape précédente sont regroupés en couples de manière aléa-
toire pour le croisement. Le croissement consiste en trois étapes :
1. Formation des paires
D’après le taux de croisement, les individus sélecionnés pour la reproduction sont regroupés
deux à deux (couples).
50
2. Analyse bibliographique C
Exemple : la population de la Table 2.7 est regroupé de manière aléatoire :
Table 2.8.: Formation des paires
Paire x Représentation en binaire
Ix1 (0 1 1 0 1)2
x4 (1 0 0 1 1)2
IIx3 (0 1 0 0 0)2
x2 (1 1 0 0 0)2
2. Choix du site de croisement
Ensuite, on choisit également de manière arbitraire l’endroit de la représentation binaire qui
divisera le code génétique en deux parties. Si la représentation binaire a n chiffres, on a n − 1
sites possibles de coupure.
Exemple : Prenons l’individu x1 = (0 1 1 0 1)2. On a 5 chiffres dans ce binaire et 4 positions
possibles pour le diviser en deux. Considérons que le site choisi soit le premier. Pour la paire I
de la Table 2.8, on a :
Table 2.9.: Site de croissement
Paire Représentation en binaire
I(0 | 1 1 0 1)2
(1 | 0 0 1 1)2
3. Echange de matériau génétique
Une fois défini le site de croissement, on échange le matériau génétique de la deuxième moitié
des paires formés.
Exemple : A partir de la Table 2.9, on échange les informations de la deuxième moitié du code
binaire (en bleu). Le résultat est présenté dans la Table .2.10
Table 2.10.: Echange matériau génétique
Paire Représentation en binaire
I(0 | 0 0 1 1)2
(1 | 1 1 0 1)2
Mutation
De manière à ne pas se focaliser trop sur les meilleurs individus en oubliant d’en tester d’autres
caractéristiques qui n’étaient pas forcément présentes dans la population de départ, un faible
nombre de gènes peut être modifié de manière aléatoire au sein d’un génome. Cela résulte en des
individus avec des caractéristiques différentes des individus d’origine pour former la génération
51
2. Analyse bibliographique C
Algorithme 2.3 AG
1. Etat initial
a) Popupation initiale
b) Paramètres
i. Taux de mutation
ii. Taux de croisement
iii. Nombre d’individus d’élite
iv. Nombre de générations maximum
2. Itérations (générations)
a) Evaluation des individus - fonction objectif
b) Tester critères d’arrêt
c) Sélection (roulette, rang, tournoi, uniforme)
d) Reproduction (croisée)
e) Mutation
f) Nouvelle population
3. Population (état) finale
suivante. Des valeurs inférieures à 10% sont généralement utilisées dans les publications étudiées
ici.
Elitisme
Au passage d’une génération à l’autre, l’utilisation des opérateurs croisement et mutation peut
corrompre les informations gardées dans les meilleurs individus. Afin d’éviter cet inconvénient,
nous pouvons perpétuer les meilleurs individus au cours des générations par le mechanisme dit
élitisme, introduit par De Jong [Jong (1975)]. Vu que les meilleurs individus peuvent changer
d’une population à l’autre, les individus d’élite doivent être mis à jour à chaque génération.
Population finale
La population finale P ∗ est l’état final du processus itératif d’optimisation par l’algorithme
génétique. On peut arrêter les générations, ou itérations, selon plusieurs critères, comme par
exemple, en observant la variation moyenne de la fonction fitness, en surveillant le temps de
calcul, en imposant un nombre limite d’évaluations de la fonction fitness ou de générations.
Couplage à un algorithme de recherche locale
Lorsque les algorithmes génétiques ont convergé, ils fournissent une solution sous la forme
d’une population optimisée qui donne un bon aperçu de la zone où se situe l’optimum global du
problème. Cependant, l’algorithme ne fournit pas forcément le point optimum parmi la popu-
lation finale. Il peut alors être intéressant de faire une recherche classique par gradient dans la
zone ainsi définie pour raffiner le résultat.
52
2. Analyse bibliographique C
2.3.2.2. L’optimisation par essaims particulaires (Particle swarm optimization)
L’optimisation par essaim particulaires est une méta heuristique assez récente, introduite en
1995 par Eberhart et J. Kennedy sous le nom de Particle Swarm Optimization (PSO) ([Kennedy
et Eberhart (1995)]). Elle fait partie du groupe des méthodes d’optimisation stochastiques basées
sur des stratégies (quasi) globales afin d’éviter les optimum locaux. Dans cette méthode, on part
d’une population initiale de particules qui se déplacera dans l’espace du problème en cherchant
le point optimal. A chaque itération, les particules ont une nouvelle position. Donc, il n’y a
pas création de nouvelles particules au cours des itérations. Le groupe de particules travaillent
ensemble dans un sens de coopération. La recherche du point optimal est ainsi un travail d’équipe,
contrairement aux Algorithmes Génétiques, dont l’esprit est la compétition. Une présentation
assez informelle et succinte de la méthode est présentée par la suite.
2.3.2.3. Fonctionnement de la méthode
Etat initial
L’état initial d’un essaim de particules est défini par une population de particules, leur posi-
tionement dans l’espace de recherche et leur vitesse initiale. Le nombre de particules qui iront
balayer l’espace du problème est un choix de l’utilisateur. Leur position initiale peut être imposée
ou définie arbitrairement. Ensuite, afin de déplacer ces particules dans l’espace du problème au
cours des itérations, chacune doit avoir une vitesse. Pour l’état initial, on a la vitesse initiale qui
peut être nulle ou arbitrairement choisie.
Itérations
Une itération (k) de l’optimisation par essaims particulaires consiste à recalculer la vitesse
vd(i, k) de chaque particule i et à la déplacer selon sa nouvelle valeur de vitesse vd(i, k + 1).
La nouvelle position xd(i, k + 1) est ensuite évaluée par l’intermédiaire de la fonction objectif.
Si le résultat de cette évaluation est positif, vis-à-vis du critère sur la fonction objectif, la po-
sition correspondante pourra influencer la solution dans les itérations suivantes. Les itérations
poursuivront jusqu’à satisfaire, au moins, un critère d’arrêt de l’algorithme. Le point critique de
la méthode est donc la manière par laquelle on déduit la vitesse de chaque particule. Ce calcul
prend en compte trois informations :
– Sa vitesse actuelle (vd(i , k)) ;
– La réussite des particules voisines ;
– Son historique.
Chaque information a son importance. En donnant plus de poids à la vitesse actuelle (vd(i, k)), on
augmente l’inertie de la particule i et elle aura tendance à ignorer pas seulement ce qui se passe au-
tour d’elle, mais aussi, à oublier son propre historique. Cette particule est dite <<aventureuse>>.
A l’opposé, la particule est dite <<conservatrice>> si elle priorise son expérience, c.-à-d., l’infor-
mation acquise au cours des itérations précedentes. Elle sera influencée par sa meilleure position
pd(i) depuis l’itération zero. Enfin, la <<suiviste>> est celle qui considère plutôt le succès
actuel des particules dans son voisinage et suivra la position de la meilleure voisine gd de la
dernière itération. L’illustration de la Figure 2.20 synthétise les trois composantes de la vitesse
53
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.20.: Déplacement d’une particule dans l’espace de recherche
des particules.
La stratégie de l’optimisation par essaims particulaires est d’utiliser ces trois informations
en changeant aléatoirement leur poids relatif au cours des itérations. On attribue à l’informa-
tion inertielle un poids d’une valeur constante (coefficient de confiance). A chaque itération, des
chiffres aléatoires sont générés pour pondérer les deux autres informations par rapport à la pre-
mière. Ces nombres arbitraires sont bornés entre 0 (zero) et cmax, valeur définie par l’utilisateur.
Ainsi, le déplacement est calculé par :
vd(i, k + 1) = cl ∗ vd (i, k)︸ ︷︷ ︸
déplacement actuel
+ rand (cmax) ∗ (pd (i)− xd (i, t))︸ ︷︷ ︸
déplacement vers sa meilleure position
+
+ rand (cmax) ∗ (gd − xd (i, k))︸ ︷︷ ︸
déplacement vers la meilleure voisine
(2.24)
xd (i, k + 1) = xd (i, k) + vd (i, k + 1) (2.25)
Paramétrage
Il y a quatre paramètres à régler pour le bon fonctionnement de l’algorithme : la quantité de
particules, la taille du voisinage d’influence de chaque particule et les paramètres cl et cmax. Le
premier concerne la dimension du problème d’optimisation ; plus de variables, plus de particules
sont nécessaires pour mieux explorer le domaine de recherche. Le deuxième limite la région
d’influence des particules les mieux évaluées par le critère de la fonction objectif. Les deux derniers
ajustent le poids des différentes informations utilisées dans le calcul de la vitesse. Il n’existe pas
de règles à suivre pour nous aider à choisir ces paramètres parce que chaque problème posera une
difficulté différente. C’est par des tests qu’on arrive à trouve la bonne combinaison de paramètres.
Critères d’arrêt
Les critères d’arrêts sont multiples et variés :
– Un nombre maximum d’itérations.
– Un nombre important d’itérations sans amélioration (sans que la valeur de la fonction ob-
jective soit améliorée).
54
2. Analyse bibliographique C
Algorithme 2.4 PSO
1. Initialiser aléatoirement la population (n solutions)
2. Définition des régions d’influence
3. Pour chaque particule i = 1. . . n
a) Evaluer la fonction objectif de la particule,
b) Si la valeur trouvée est meilleure que pd(i), mettre à jour pd(i),
4. Mettre à jour gd
5. Mise à jour des vitesses et des positions
a) Pour chaque particule i = 1. . . n, pour chaque dimension d = 1. . . n
b) Calcul de la vitesse vd(i, k + 1) = cl ∗ vd (i, k) + rand (cmax) ∗ (pd (i)− xd (i, t)) +rand (cmax) ∗ (gd − xd (i, k))
c) Calcul du déplacement xd (i, k + 1) = xd (i, k) + vd (i, k + 1)
6. Répéter étapes 2, 3, 4 et 5 jusqu’à atteindre un critère d’arrêt
– Temps de calcul fixe.
2.3.2.4. Le processus du PSO
Pour un problème donné, soit un espace de recherche de dimension n (n c’est le nombre
d’inconnues du problème).
On note les variables suivantes :
– x(i) : un vecteur à n dimensions représentant une solution i,
– xd(i, k) : la position courante d’une particule i dans cet espace à l’instant k,
– vd(i, k) : Sa vitesse courante à l’instant k,
– pd(i) : La meilleure position trouvée jusqu’ici pour cette particule,
– gd : La meilleure position trouvée par les voisines de la particule.
Les détails de la méthode sont donnés dans le pseudo-code suivant.
avec :
– rand(x) : une fonction qui renvoie une valeur aléatoire tirée uniformément dans l’intervalle
[0, x],
– cl et cmax sont des paramètres appelés des facteurs d’apprentissage (poids). En pratique cl
doit être proche de 1 et le cmax peut être calculé par la formule ([Clerc et Kennedy (2002);
Trelea (2003)]) : cmax = 2/0, 97725 ∗ cl
2.3.3. Applications des outils d’optimisation dans le domaine de la thermique
L’optimisation est de plus en plus utilisée dans le domaine de la thermique, les statistiques de
l’évolution du nombre d’articles sur l’optimisation thermique sont trouvées dans [Gosselin et al.
(2009); Baños et al. (2011)]. Cet outil n’est pas seulement utilisé pour trouver une manière plus
raisonnable d’utiliser les resources énergétiques, mais aussi, pour résoudre les équations liées au
thème. En raison de questions économiques et environnementales, le management de l’énergie
concerne des domaines très différents. Quelques exemples sont le domaine de l’énergie renouvable
55
2. Analyse bibliographique C
[Baños et al. (2011)], les matériaux poreux [Du et al. (2009); Leblond et Gosselin (2008)], les
échangeurs de chaleur [Hilbert et al. (2006); Foli et al. (2006)], les réfrigérateurs [Geem (2011)],
l’industrie agro-alimentaire [Balsa-Canto et al. (2002)], les turbo-machines [Zervogiannis et al.
(2010)], la thermo-économie [Selbas et al. (2006)] et ainsi de suite. Dans le contexte de résolution
d’équations, les méthodes d’optimisation sont consacrées à la solution de problèmes inverses
[Dorai et Tortorelli (1997); Telejko et Malinowski (2004); Liu et al. (2005)]. Sans nulle doute,
l’optimisation a donné des nouvelles perspectives dans différents domaines et est devenu un outil
populaire parmi les thermiciens.
En ce qui concerne les transferts thermiques, les AG sont en grande majorité utilisés afin
de trouver un design optimal [Gosselin et al. (2009)]. Les résultats concernent alors les formes,
tailles, placement et arrangements des systèmes thermiques qui produisent ou dissipent de la
chaleur. Les modèles utilisés pour évaluer la pertinence des individus de la population peuvent
être de différents type, soit analytique pour des problèmes relativement simples ou alors faire
appel à des outils numériques de type CFD. Les champs d’application des AG sur les problèmes
thermiques sont très divers et sont présentés dans les paragraphes suivants.
Systèmes de production, de conversion ou de transfert d’énergie
Echangeurs de chaleur
Les problèmes d’optimisation traités par AG pour l’optimisation des échangeurs de chaleur ont
en général pour but la minimisation des coûts comme pour Selbas [Selbas et al. (2006)], Wildi-
Tremblay [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007b)] et Allen [Allen et Gosselin (2008)]. Il s’agit donc
d’optimisation mono-objectif dans lesquels ils s’intéressent plus précisément à la minimisation
des volumes et des masses ainsi que des coûts de maintenance. Ces problèmes reposent sur
des évaluations analytiques des individus présents dans les populations ainsi que sur des lois
empiriques.
Dans la synthèse proposée par Gosselin [Gosselin et al. (2009)], on peut identifier que pour
ces problèmes, les variables d’optimisation sont à chaque fois des variables géométriques pour un
nombre compris entre 3 et 11. Les populations sont constituées de 20 à 100 individus. Les taux
de croisement varient entre 40 et 70% et les taux de mutation entre 4% et 5%.
A titre d’exemple, Selbas [Selbas et al. (2006)] étudie un échangeur à tubes en forme de U
(Figure 2.21) dans le but de minimiser le coût total (achat + utilisation + exploitation). Le
circuit secondaire est délimité par des plaques internes.
L’échangeur est modélisé analytiquement et grâce à des corrélations empiriques. L’optimisation
s’effectue sous la contrainte de ne pas pénaliser la perte de charge du circuit. Pour cela, l’auteur
a 6 variables parmi lesquelles : 14 choix de diamètre de tubes, 2 choix d’arrangement (triangle
ou carré), 5 choix de types de plaques, 14 choix de taille de plaques, 6 choix d’espacement
entre plaques. Cela fait environ 47000 configurations possibles, qui engendreraient un temps
d’investigation très long. C’est pourquoi une recherche par AG a été choisie par l’auteur. L’auteur
identifie au final 2 avantages indéniables à l’utilisation des AG : une rapidité de calcul appréciable
et un ensemble de solutions quasiment équivalentes, permettant à l’ingénieur d’effectuer le choix
final en fonction d’autres contraintes qui n’ont pas forcément été incluses au départ dans la
recherche d’optimum.
56
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.21.: Echangeur à tubes étudiés par [Selbas et al. (2006)]
57
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.22.: Schéma d’un système HVAC par [Lu et al. (2005a,b)]
Systèmes HVAC (Chauffage, ventilation et conditionnement d’air)
Dans cette partie, on s’intéresse au dimensionnement global du système et pas aux perfor-
mances de chaque sous-système composant le HVAC. Ainsi, l’objectif de l’optimisation est dans
la plupart des cas de minimiser la puissance ou l’énergie consommée (Lu [Lu et al. (2005a,b)],
Jin [Jin et al. (2005)], Chang [Chang (2005)]), améliorer le COP de l’installation (West [West
et Sherif (2001a,b)]), ou améliorer le confort (Wright [Wright et al. (2002)]). Ainsi, Lu [Lu et al.
(2005a,b)] (Figure [2.22]) a considéré un système alimentant plus de 60 pièces et comportant 15
boucles frigorifiques avec des variables très nombreuses parmi lesquels on trouve le nombre de
pièces climatisées, les débits dans chaque pièce, les températures et les débits des fluides aux
condenseurs, le nombre de ventilateurs sur l’installation et le nombre de pompes. L’utilisation
des AG couplés à un modèle analytique sur un fonctionnement d’une journée a permis de réaliser
800 kWh d’économie. Pour minimiser les risques (déjà faibles) de tomber sur un optimum local
au cours de ces calculs, l’auteur fait varier les taux de croisement et de mutation pour mainte-
nir la diversité de la population, en calculant un niveau de diversité ND, juste après la phase
d’évaluation de la population, tel que :
ND =Compétence du meilleur individu
Compétence moyenne de la population
A partir de ce niveau de diversité, il va calculer le taux de croisement Tc et le taux de mutation
Tm tel que :
Tc =1
1 + exp (1−ND)
Tm =exp (1−ND)
1 + exp (1−ND)
Cette technique lui évite de définir au préalable et de laisser fixes ces paramètres de la résolution
par AG.
Wright [Wright et al. (2002)] s’est quant à lui intéressé à une optimisation multi-objectif d’un
immeuble sur une simulation représentant trois jours, heure par heure. Les objectifs étaient de
minimiser la sensation d’inconfort ainsi que les coûts de fonctionnement. L’optimisation a porté
sur plus de 200 variables parmi lesquelles on trouve les débits d’air, les températures heure par
heure, les tailles des échangeurs, les diamètres de ventilateurs. Globalement, dans cette partie,
58
2. Analyse bibliographique C
on s’intéresse à des problèmes qui comportent des nombres de variables pouvant être très élevés
(jusqu’à 200), comme synthétisés par Gosselin [Gosselin et al. (2009)]. La plupart des études
sont mono-objectif. Le nombre d’individus placés dans les populations peut atteindre 1000 pour
Znouda [Znouda et al. (2007)].
Production d’énergie
L’utilisation des AG pour la production d’énergie sert généralement à améliorer les rende-
ments énergétiques et/ou minimiser les coûts d’exploitation. Par exemple, Atashkari [Atashkari
et al. (2005)] effectue plusieurs optimisations à 2 objectifs sur un turboréacteur modélisé analy-
tiquement et dont les évolutions thermodynamiques sont considérées isentropiques. Les variables
d’optimisations sont le nombre de Mach, le taux de compression et la température à l’entrée de
la turbine tandis que l’on cherche à optimiser tous les couples possibles formés avec : le rende-
ment thermique, le rendement propulsif, la puissance spécifique ou la consommation spécifique.
L’auteur identifie au final les fronts de Pareto pour ce problème. Shi [Shi et al. (2007)] a quant
à lui utilisé les AG pour l’optimisation d’un système de production hybride (photovoltaique +
éolien). Les 3 objectifs étaient l’amélioration de l’autonomie, du rendement global et du coût du
système. Les simulations ont été effectuées à partir de modèles analytiques couplés à des données
externes, notamment les vents présents dans la région d’implantation du système. Dans cette
catégorie, la minimisation des coûts prend une place importante [Gosselin et al. (2009)].
Résolution de problème inverse en conduction de la chaleur
Les AG ne sont pas seulement utilisés pour l’optimisation des systèmes thermiques mais
peuvent être utilisés plus fondamentalement pour la résolution de l’équation de la chaleur. En
effet, lorsque l’on cherche à retrouver les conditions thermiques inconnues sur une frontière d’un
domaine à partir de la mesure de températures ou de flux sur les autres frontières, on est amené
à résoudre un problème inverse de conduction de la chaleur et à procéder à une optimisation.
Il s’agit alors de trouver la condition optimale qui va nous donner sur les autres frontières des
flux de températures proches des mesures effectuées (Osizik [Ozisik et Orlande (2000)]). On op-
timise alors la condition inconnue pour minimiser l’écart entre conditions calculées et mesurées.
Il s’agit donc là d’optimisation mono-objectif. Ces méthodes inverses sont connues pour être
relativement délicates à résoudre étant donné qu’elles constituent par principe des problèmes
mal posés et très sensibles à de faibles variations. Avec les AG, des temps de calcul longs leur
sont souvent associés. Liu [Liu et al. (2005)] s’est ainsi intéressé à l’estimation du coefficient
d’échange convectif sur toutes les faces d’un composant électronique à l’aide de l’équation de la
chaleur en 3D. Afin de réduire les temps de calcul, l’AG utilisé a été couplé à une méthode de
recherche locale afin de réduire le nombre d’individus dans la population au fur et à mesure de
l’avancement de la recherche. La détermination d’un coefficient d’échange transitoire h(t) pour
un problème de conduction 1D a été résolue par Raudensky [Raudenský et al. (1995)]. 50 pas de
temps ont été calculés. L’auteur utilise une méthode de régularisation par pénalisation lorsque
les variations de h entre 2 pas de temps sont trop grandes. La majorité des auteurs s’intéressent
toutefois à la recherche de conditions aux limites inconnues dans le cas de problème thermique
permanent et 2D.
59
2. Analyse bibliographique C
Optimisation couplée fluide/thermique
Les algorithmes génétiques sont depuis quelques années très utilisés pour l’étude des problèmes
de transferts de chaleur par convection où il y a nécessairement un couplage entre les phénomènes
fluides et les phénomènes thermiques. Ce couplage est réalisé grâce à un code CFD, générale-
ment 2D de manière à diminuer les temps de calcul qui peuvent être très importants, ou bien
grâce à des corrélations empiriques. Il est important de noter que la plupart des résolutions
des équations fluides sont réalisées pour un régime laminaire, ce qui diminue considérablement
les temps de calcul. Les auteurs ont généralement les objectifs principaux suivants : en mono-
objectif, ils cherchent à minimiser la température [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a); Villemure
et al. (2008); Leblond et Gosselin (2008); Tye-Gingras et Gosselin (2008)] ; en multi-objectifs, ils
cherchent à augmenter les flux de chaleur tout en ayant un minimum de pertes de charges [Hil-
bert et al. (2006); Foli et al. (2006)]. A titre d’exemple, l’optimisation du design d’une cheminée
avec un côté strié, isotherme et une autre face lisse et adiabatique a été réalisée par Cavazzuti
[Cavazzuti et Corticelli (2007)]. Les objectifs étaient d’augmenter le coefficient d’échange convec-
tif moyen et le débit dans la cheminée en optimisant le choix des 6 variables qui définissent la
géométrie. Le calcul des performances de la cheminée a été effectué par une simulation CFD en 2
dimensions. Avec 15 individus par population, un résultat a été obtenu après seulement 30 itéra-
tions. Un algorithme de recherche locale a été ensuite appliqué pour parfaire la solution finale et
en obtenir une unique. Wildi-Tremblay [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a)] étudie l’évacuation
de la chaleur par un système de refroidissement fait de différentes couches de milieux poreux,
dans lesquelles passe un fluide (Figure 2.23). Le problème est de trouver les porosités et les
matériaux de chaque couche pour minimiser la température maximale de l’objet à refroidir. La
modélisation de ce système est effectuée en résolvant l’équation de la chaleur couplée à la loi de
Darcy, le tout discrétisé en volumes finis. Il construit une fonction objectif agrégée F en prenant
en compte non seulement la température maximale Tmax de l’objet à refroidir mais aussi le coût
C du dispositif et sa masse M .
Ainsi :
F ∼ Tmax + αmax (M −M0, 0) + βmax (C − C0, 0)
Ces deux derniers points apparaissent explicitement dans la fonction objectif sous la forme de
pénalisation (α et β sont positifs et sont fixés par l’utilisateur) de manière à exclure les solutions
dont le design final aurait une masse et un coût plus important que le design initial. Villemure
[Villemure et al. (2008)] étudie un échangeur constitué d’un nombre N de couches poreuses dans
lequel un fluide circule grâce à la convection naturelle. Cet échangeur est considéré isolé sur une
face et reçoit un flux sur la face opposée. L’optimisation va déterminer le meilleur arrangement
permettant d’avoir une température maximale la plus faible possible sur la face chauffée. Le
nombre de couches N, l’épaisseur de chaque couche, le matériau ainsi que la porosité sont ainsi
déterminés. L’optimisation est effectuée en deux étapes : une première fois sans contrainte par-
ticulière, le résultat obtenu est ainsi le meilleur possible ; une deuxième fois avec des contraintes
sur le coût et la masse par comparaison avec les coûts et masses obtenus sur l’optimisation sans
contrainte.
Hilbert [Hilbert et al. (2006)] utilise un code CFD (gambit + Fluent) afin de simuler l’écoule-
60
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.23.: Empilement de couches de matériaux poreux, [Wildi-Tremblay et Gosselin(2007a)]
Figure 2.24.: Empilement de couches de matériaux poreux, [Villemure et al. (2008)]
61
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.25.: Echangeur étudié par [Hilbert et al. (2006)]
Figure 2.26.: Front de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)]
ment et les échanges de chaleur dans une portion d’un échangeur muni de tubes (Figure 2.25).
L’auteur impose la vitesse et la température du fluide à l’entrée de l’échangeur et la température
des tubes. Le but est d’optimiser la forme des tubes de manière à trouver le meilleur compro-
mis entre maximiser les échanges de chaleur et minimiser les pertes de charges. Il s’agit donc
d’une optimisation multi-objectif dans laquelle le front de Pareto est déterminé (Figure 2.26).
La Figure 2.27 présente quelques formes géométriques pour les tubes fournissant des solutions
de Pareto.
Malgré le fait que les Méthodes de Gradient soient des méthodes locales, elles demandent
moins d’effort de calcul et sont encore utilisées. Lataoui et al. [Lataoui et al. (2010)] ont utilisé
la Programmation Quadratic Sequentielle (SQP) pour résoudre le problème inverse d’un tube
évaporateur avec des parois rainurées. La formule de BFGS (d’après Broyden, Fletcher, Goldfarb
et Shanno) a été employée pour l’estimation de la matrice Hessienne. Le coefficient d’échange de
chaleur par convection est obtenu en minimisant la différence entre les mesures et un modèle en
régime permanent. La SQP est également utilisée dans les travaux de Haseli et al. [Haseli et al.
62
2. Analyse bibliographique C
Figure 2.27.: Formes de tubes de solutions de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)]
(2008)]. Ils ont étudié le refroidissement d’un condenseur en regardant la destruction d’exergie à
l’aide d’un modèle basé sur la deuxième loi de la thermodynamique. Des résultats optimaux sont
obtenus pour différents flux massiques de vapeur entrant dans le condenseur. Song et al. [Song
et al. (2004)] ont utilisé la BFGS pour minimiser la tension résiduelle dans la soudure. Différents
phénomènes thermo-élasto-plastiques sont présents dans le procédé de soudure. Des formulations
en éléments finis ont été utilisés pour représenter ces phénomènes. La tension résiduelle minimale
est obtenue par le réglage de la puissance de la source de chaleur responsable pour un pré-
échauffement, la position transversale de cette source et la distance entre la source de chaleur
et la position de soudure. BFGS a été également utilisé par Du et al. [Du et al. (2009)]. Ils ont
obtenu la porosité optimale en maximisant l’isolation thermique du milieu poreux. Les auteurs ont
traité deux cas, en considérant ou pas une porosité moyenne fixe comme contrainte. Différentes
distributions de porosité sont confrontées, selon le rayon des fibres, leur émissivité, la différence
de température et la valeur moyenne de porosité.
L’Optimisation par Essaim de Particules (PSO) a été employée avec succès dans les problèmes
d’optimisation thermique. Pateo et Rao [Patel et Rao (2010)] ont résolu le problème d’optimisa-
tion d’un échangeur de chaleur à tubes du point de vue économique avec PSO. Ils ont considéré
trois variables d’optimisation : le diamètre interne de la carcasse, le diamètre externe des tubes et
l’espacement entre les plaques séparatrices qui guident l’écoulement et servent de support pour
les tubes. Quatre benchmarks ont été testés pour comparaison avec les résultats obtenus avec
GA déjà disponibles dans la littérature. Un bon accord a été trouvé entre les résultats provenus
de GA et PSO. Les auteurs soulignent le fait que le nombre d’itérations nécessaires avec PSO
a été relativement petit, ce qui fait de PSO un outil important pour l’optimisation des échan-
geurs de chaleur à tubes. Wang et al. [Wang et al. (2011)] ont optimisé le cycle thermique de
refroidissement et échauffement d’un moule d’injection de plastique dans le but d’augmenter la
productivité. Les variables du problème d’optimisation ont été la position relative des passages
de refroidissement ainsi que leur ouverture. Ils ont également pris en compte le comportement
structural puisque le moule d’injection travaille sous pression. Des contraintes géométriques par
rapport à l’écart type de la température de surface et les tensions de von Mises ont été imposées.
Les auteurs ont trouvé un compromis entre résistance mécanique et efficacité thermique.
63
3. Modélisation thermique de la machine
électrique
La machine électrique décrite au Chapitre 1 est modélisée par un domaine discret. Dans ce
chapitre nous présentons la discrétisation du modèle selon la méthode nodale (section ) et les
résultats obtenus à l’aide de cet outil. Les données expérimentales disponibles fournis par JEU-
MONT Electric seront confrontées aux prédictions du modèle.
3.1. Modèle de la machine et conditions aux limites
3.1.1. Maillage
Le modèle proposé représente la totalité de la machine sur 2π, comme l’illustre la Figure 3.1a.
Cependant, afin de diminuer les temps de calcul et le nombre de mailles du modèle, on identifie
des symétries dans une coupe ortho-radiale de la machine. Trois motifs géométriques différents
sont ainsi choisis. Ceux-ci se répètent symétriquement dans la direction tangentielle. La première
zone s’étend du centre du rotor jusqu’à l’entrefer, la deuxième correspond à la région des encoches
au stator et la dernière, au reste du stator. Au total, le domaine comporte 952 nœuds et selon
l’axe, le domaine de calcul est divisé en 31 sections, illustrées dans les Figures 3.1b et 3.2.
3.1.2. Conditions aux limites
La machine interagit thermiquement avec l’air ambiant par l’intermédiaire de sa carcasse et de
deux ouvertures, une pour l’entrée et l’autre pour la sortie de l’air (Figure 3.3). A l’extérieur de
la carcasse, on considère des échanges par convection naturelle. On suppose alors un coefficient
d’échange thermique par convection naturelle. A l’entrée et à la sortie d’air, le flux imposé est
le flux relatif au transport de masse. Pour les nœuds au niveau de paliers, une température de
313K est imposée. Pour toute la région comprise entre les flasques, les conditions aux limites
sont définies par des conductances équivalentes, vu que la carcasse n’est pas modélisée dans le
but de diminuer le nombre de nœuds. La conductance équivalente est obtenue par l’association
en série des conductances de convection interne, la conductance de conduction de la carcasse
et la conductance de convection externe (Figure 3.3). Il y a cependant deux cas particuliers le
long de la carcasse. Le premier se situe dans les sections des joues (sections 6 et 26) où il y a
conduction au lieu de convection interne, puisque les joues sont en acier. Le deuxième se situe
au niveau des entrées et sorties d’air, justement en raison des ouvertures. Dans ce cas, on a une
association, en parallèle, d’une conductance par transport de matière avec trois conductances
équivalentes correspondantes à la carcasse.
64
3. Modélisation thermique de la machine électrique
(a) Représentation complète et configuration de base
(b) Composantes de la machine dans le modèle discrétisé
Figure 3.1.: Modèle de la machine électrique
65
3. Modélisation thermique de la machine électrique
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Figure 3.2.: Découpage du modèle de la machine électrique
66
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Carcasse, flasques et ouvertures Section d’entrée d’air Réseau électrique
Figure 3.3.: Conditions aux limites
(a) Représentation en série
(b) Conductance équivalente
Figure 3.4.: Réseau équivalent dû à la condition de symétrie du modèle
3.1.3. Calcul des conductances équivalentes du modèle de base
On a vu précédemment que l’on se sert des symétries pour ne modéliser qu’une portion de la
machine. Cependant, le modèle doit représenter la totalité de la machine (sur 360 °). Ainsi, on
doit procéder à des corrections sur les conductances utilisées pour le calcul des températures.
Sur la Figure 3.4a, on représente une association en série de plusieurs conductances constituée
de N répétitions symétriques d’un motif élémentaire de 3 nœuds. On peut ainsi modéliser ce
réseau par une association en parallèle de N conductances. Cette association en parallèle peut
encore être représentée par des conductances équivalentes selon l’illustration de la Figure 3.4b.
Cette technique est utilisée pour faire le lien entre la portion modélisée et la représentation
sur 2π (Figure 3.1a). Dans cette dernière, le motif élémentaire lié au rotor est présent 16 fois,
celui lié aux encoches 120 fois, et celui du stator 24 fois. Ainsi, le nombre de liaisons en parallèle
des nœuds du rotor est 16, des nœuds des encoches avec leur voisinage est 120 et des nœuds du
stator, 24. Le calcul de la conductance équivalente des conductances en parallèle s’effectue par
la somme de ces conductances. Vu que les conductances sont identiques, on peut exprimer cette
somme par le produit entre une conductance Gij et le nombre de répétitions N :
Geqij = NGij (3.1)
avec Gij la conductance de conduction (Equation (2.4)), ou de convection (Equation (2.5)) ou
sinon par le transport de masse (Equation (2.7a)).
L’Equation (3.1) représente le passage du modèle de base au modèle complet de la machine sur
67
3. Modélisation thermique de la machine électrique
2π. En raison de ce passage, l’équation de la chaleur ne s’applique pas à un seul volume Vi, mais
à la somme de tous les volumes Vi qui se reproduisent ortho-radialement. Le système différentiel
transitoire résultant s’exprime par :
ρiNiVi (cp)idTidt
=∑
j voisins de i
Geqij (Tj − Ti) +NiPi (3.2)
avec Vi et Pi le volume et les pertes d’un nœud i de la configuration de base.
Le système défini par l’Equation (3.2) est résolu, par convenance, à l’aide du solver ODE15s
du Matlab (solver multipas destiné à la résolution de systèmes d’équations différentielles raides),
avec une tolérance de 10−6, l’ordre maximal de discrétisation de 5 et à partir d’un champ de
température initial. La difficulté de résolution de l’Equation (3.2) tient essentiellement à la diffi-
culté de construction des conductances , puisqu’elles dépendent de paramètres comme le type et
la direction du transfert d’énergie. La Figure 3.5 montre un schéma synthétique de la démarche
nécessaire au calcul des conductances.
3.2. Résultats
Nous avons réalisé des simulations thermiques de la machine électrique développée par JEU-
MONT Electric à l’aide de la méthode nodale présentée précédemment. Des simulations sur 2
machines différentes, mais topologiquement identiques, ont été effectuées. La première est une
machine synchrone à 8 pôles saillants de 8,8MW de puissance et la deuxième, une machine à 12
pôles de 18,8MW . Chaque configuration possède ses propres répartitions de pertes et de débits.
Ces données sont fournies par JEUMONT Electric et constituent les données d’entrée du modèle
nodal. Les simulations permettent d’avoir accès aussi bien aux champs de température en régime
permanent qu’à l’évolution des températures dans la machine au cours du temps à partir d’un
champ initial. Une simulation en régime permanent dure une trentaine de secondes et pour le
régime transitoire, 3 minutes environ, à l’aide d’un ADM Turion(tm) ML-32 à 800MHz et avec
1Go de RAM. Les champs de température obtenus sont présentés dans cette partie et confrontés
avec les résultats expérimentaux disponibles sur machine réelle.
3.2.1. Machine à 8 pôles saillants
Description des essais sur machine
Les calculs sont lancés pour simuler 10 heures de fonctionnement de la machine, la machine
étant initialement supposée à la température ambiante. On doit fournir au programme la répar-
tition de débits et des pertes. La carte de débits fournie par JEUMONT Electric est présentée
dans la Figure 3.6. Le débit à l’entrée de la machine est de 7 m3.s−1, 0,04% rentrent par la
joue (débit 1), 41,67% par l’entrefer (débit 15) et les 58,29% manquants passant par le rotor
(débit 16). Les débits qui passent par les canaux rotoriques (de 2 à 7) diminuent progressivement
le long de l’axe alors que les débits du premier évent jusqu’au quatrième augmentent (de 8 à 11).
On observe dans la Figure 3.6b que les deux derniers évents ont des débits dans le sens opposé
aux précédents.
Les pertes mécaniques et électriques varient selon le régime de fonctionnement. On a effectué
68
3. Modélisation thermique de la machine électrique
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Figure 3.5.: Calcul de la conductance équivalente
69
3. Modélisation thermique de la machine électrique
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(a) Positionnement des débits de référence
(b) Les débits de référence du système
Figure 3.6.: Répartition des débits pour la machine à 8 pôles
70
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Table 3.1.: Pertes en W dissipées dans la machine électrique à 8 pôles
Source Cas A* Cas B** Cas C** Cas D**
Joule rotor 47920 14500 0 25500
Joule stator 56460 58200 0 95700
Field 3130 0 0 0
Circulation 1390 0 0 0
Armature 22380 0 25917 0
Dents 9940 0 11511 0
Intercalaires 3260 0 3775 0
Surface rotor 12260 0 14197 0
Surface stator 10060 10359 0 18048
Plateau et joues 15190 15641 0 27252
Aérodynamiques 22940 22988 22988 22988
AE 5360 1000 0 2000* Valeurs calculées
** Mesures chez JEUMONT Electric
Figure 3.7.: Carte de pertes - cas A
des calculs pour quatre type de fonctionnement, détaillés dans le Tableau 3.1. L’essai en charge
correspondant au cas A est le régime de fonctionnement nominal de la machine et comprend
toutes les pertes. Les cas B et D ne contiennent pas les pertes fer (dans l’armature, dents,
intercalaires et surfaces) et les pertes de circulation et de field dans le stator. Ils correspondent aux
essais en court-circuit, respectivement à courant nominal de la machine et à 1,3 fois l’intensité du
courant nominal. L’essai à vide correspond au cas C. Dans cet essai, les sollicitations thermiques
sont uniquement dues aux pertes fer et aux pertes aérodynamiques. A titre illustratif, on présente
la carte de pertes correspondant au cas A dans la Figure 3.7.
3.2.1.1. Machine en charge (Cas A)
Dans les Figures 3.8, 3.9, 3.10 et 3.11, on présente les cartes de température en régime perma-
nent pour le cas A, pour chaque section du découpage de la machine présenté dans la Figure 3.2.
La première section concerne le flasque du coté entrée d’air de la machine. Il s’agit d’une pièce
métallique à coté de l’entrée d’air sans pertes. De manière cohérente, les simulations indiquent
71
3. Modélisation thermique de la machine électrique
une faible température dans cette section, sauf pour une couronne chaude à 90 C. Ce niveau
de température se justifie par la présence de l’alternateur excitateur (AE) à la deuxième sec-
tion. L’alternateur excitateur lui-même est à 100 C et ses 5,36 kW de pertes (cf. Tableau 3.1)
sont dissipés par conduction avec la carcasse (34%) et avec l’arbre (20%) et par convection via
sa surface supérieure (21%) et via ses deux voisins de la section 3 (25%). Les sections 2 et 3
contiennent l’ouverture pour l’entrée d’air et en conséquence, les nœuds d’air de ces sections sont
les mieux refroidis, leurs températures restent entre 20 (température extérieure) et 21 C. La sec-
tion suivante est composée majoritairement par des mailles d’air, par l’arbre et par l’extrémité
des développantes. C’est à cet endroit qu’on a les mailles les plus chaudes du domaine (155 C).
Entre les développantes, on considère un débit d’air nul.
(a) Flasque coté entrée (b) AE et entrée d’air (c) Arbre et entrée d’air
(d) Bout des développantes coté en-trée
(e) Développantes et bout du bobi-nage du rotor coté entrée
(f) Joue coté entrée
Figure 3.8.: Cartes de température de sections le long de l’axe (entrée)
La prochaine section, représentée par la Figure 3.8e, montre l’extrémité du bobinage du rotor.
Dans son centre, les températures les plus élevées sont de 125 C, alors qu’aux extrémités, nous
avons 85 C pour le bobinage le plus proche de l’arbre et 105 C pour le bobinage près de
l’entrefer. Toutes les mailles d’air comprises entre les sections 5 et 6 restent entre 21 et 23 C.
A la section 6, on remarque la présence des joues au niveau du stator, la présence des pôles
et des cuivres statoriques et rotoriques. En raison du faible débit passant par la joue (débit 1
de la Figure 3.6a), la température de l’air y est d’une trentaine de degrés. C’est la première
augmentation importante de la température de l’écoulement depuis l’entrée. Les températures
les plus élevées de la sixième section sont aux cuivres, on a 130 C au stator et il reste entre 80 et
125 C au rotor. Ces niveaux de températures des cuivres sont plus faibles que dans les sections
72
3. Modélisation thermique de la machine électrique
précédentes. En continuant la progression dans la machine, on rencontre la région située entre
les joues appelée la partie active de la machine. La température des cuivres, ainsi que celle de
toute la masse solide de la machine, suit cette tendance de diminution jusqu’à la section centrale
du domaine, la section 15, comme on peut l’observer sur la Figure 3.9.
Le nœud d’air le plus chaud de la section 15 est celui de l’évent, il est à 40 C, alors que le
plus froid est au canal axial rotorique à 22 C. Ce résultat est cohérent puisque il n’y a pas de
pertes autour du canal axial rotorique, l’air qui y passe n’est donc pas chauffé. L’air qui arrive
à un évent, par contre, est passé soit par le bobinage du rotor, soit directement par l’entrefer,
régions où il y a une forte dissipation d’énergie.
A partir de la section 15, au fur et à mesure qu’on avance vers l’autre extrémité de la machine,
on observe que la température de la masse solide remonte graduellement. En arrivant à la section
26, la section de la joue coté sortie d’air, les températures des cuivres rotoriques restent entre
105 et 128 C et celles des cuivres statoriques sont de 118 C. Au bout du bobinage du rotor,
à la section 27, on a des températures entre 110 et 132 C. Dans la section 28, le bout des
développantes atteint 150 C. Enfin, les mailles d’air des sections 29 et 30 sont entre 40 et 42 C
et le flasque coté sortie, la section 31, est autour des 38 C.
Ces cartes représentent qualitativement le comportement thermique de la machine. Malgré
le manque des données expérimentales, la température au bout des développantes est a priori
surestimée puisque la machine ne fonctionne pas correctement au-delà 140 C. Il s’agit d’une
région sensible du modèle où on ne connaît pas précisément la répartition des débits. Globalement,
en faisant le bilan énergétique de la machine à partir des résultats de simulation, la quasi-totalité
des 210 kW de pertes injectées est évacuée par le débit (98%) et les 2% restant sont perdus par
la carcasse. D’après le fabricant, généralement 5% des pertes sont évacuées par la carcasse en
conditions normales de fonctionnement. Cette différence peut s’expliquer par la modélisation de
la carcasse qui n’est pas représentée par des nœuds.
3.2.1.2. Fonctionnement dégradé (Cas B, C et D)
Le comportement thermique global de la machine est exposé succintement pour la répartition
des pertes électriques des cas B, C et D à l’aide des cartes de température de la Figure 3.12,
cette fois-ci, dans la vue axiale. Les pertes pour les cas B et D ont lieu aux mêmes régions, seule
leur intensité change. Les températures maximales pour ces deux cas sont respectivement de 140
et 220 C aux développantes. Le matériau le plus sollicité thermiquement dans les cas B et D est
le cuivre statorique. Dans les différents cas, l’échauffement le plus important est observé au bout
des bobinages statoriques et rotoriques. Enfin, pour le cas C, on n’a que les pertes aérauliques,
pertes surfaciques et des pertes à l’armature et aux dents, pertes qui sont insérées à la masse
du stator. Le point le plus chaud obtenu par les simulations est de 44 C et se trouve au stator,
selon l’illustration de la Figure 3.12c.
Ensuite, on compare les mesures de la température de l’air passant par les évents des cas B, C
et D réalisées par JEUMONT Electric avec les résultats des simulations. L’évolution de la tem-
pérature au cours du temps est asymptotique. Le régime permanent est alors quasiment atteint
à partir de la quatrième heure de fonctionnement. Cependant, l’augmentation de température à
partir de la deuxième heure est déjà très faible. La Figure 3.14 présente les températures calculées
pour les mailles d’air situées au niveau du stator. L’air qui passe par les évents est représenté
73
3. Modélisation thermique de la machine électrique
(a) Bobines rotoriques calées (b) Bobines rotoriques aérées (c) Events et bobines rotoriques aé-rées
(d) Bobines rotoriques calées (e) Bobines rotoriques aérées (f) Events et bobines rotoriques aé-rées
(g) Bobines rotoriques calées (h) Bobines rotoriques aérées (i) Events et bobines rotoriques aé-rées
Figure 3.9.: Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté entrée)
74
3. Modélisation thermique de la machine électrique
par une maille, situé entre les paquets de tôles magnétiques du stator. Un autre nœud d’air est
utilisé, entre les cuivres du stator, pour faire la liaison entrefer-évent (Figure 3.13). Le long de
l’axe, 6 évents sont utilisés pour modéliser les 21 évents de la machine. Dans les quatre premiers
évents modélisés, le débit d’air va de l’entrefer vers l’extérieur du stator alors que dans les deux
derniers, l’écoulement est dans le sens opposé. La température des nœuds d’air placés entre les
cuivres du stator est donc plus faible que celle des nœuds placés entre les tôles pour les quatre
premiers évents. Pour les deux derniers, il se passe la chose inverse, en raison du sens inverse
du débit. Ce comportement a été supposé pour les 4 fonctionnements testés. Une illustration de
cette inversion se trouve dans le graphique de la Figure 3.14a et devient plus évidente à l’aide
du diagramme illustré dans le Figure 3.14b, l’évolution spatiale de la température, en régime
permanent. Ces résultats démontrent la dépendance du champ de température par rapport à
la carte de débits. La température de l’air à la sortie des évents 1, 2, 7, 11, 15, 20 et 21 a été
obtenue pendant les essais réalisés à JEUMONT Electric. Les résultats dans tous les cas testés
montrent le même comportement (Figure 3.14b) : une diminution de la température dans les
premiers évents, suivie par une augmentation jusqu’à la moitié de la machine, où la température
croit de manière plus importante jusqu’à l’avant-dernier évent. Dans le dernier évent (évent 21),
on observe une chute de la température. Le résultat de température de l’air dans les évents ob-
tenue dans les simulations est, en moyenne, sous-estimée par rapport aux résultats des essais à
JEUMONT Electric. Il y a un écart de 15 C, 18 C et 35 C, respectivement pour les cas C, B et
D. Malgré l’écart de température entre les résultats des simulations et les essais, ils démontrent
les mêmes tendances.
Les résultats les plus divergents entre les simulations et les essais sont les températures au bout
des développantes à l’entrée de la machine. Pour le cas C, en particulier, la simulation donne une
température de 40 C, et les essais, 52 C. Cependant, pour le cas B, les essais ont donnés une
température de 80 C, contre 155 C dans les simulations. On peut également noter une différence
considérable pour le cas D, 106 C dans les essais et 240 C dans les simulations. La confrontation
de ces résultats est disponible dans la Figure 3.15. Quelques simplifications géométriques peuvent
avoir généré ces écarts, telles que la non modélisation de la carcasse et le regroupement des évents.
De plus, l’estimation des vitesses et l’estimation du coefficient d’échange convectif autour des
développantes n’est pas aisé à obtenir et peut constituer une source d’erreurs importante. Malgré
les différences significatives des valeurs de températures, les scénarios thermiques sont similaires
entre les simulations et les mesures. En faisant le bilan énergétique global, 99% des pertes sont
évacuées par l’écoulement pour les cas B et D. Pour le cas C, l’essai à vide, toutes les pertes sont
emportées par l’écoulement.
3.2.2. Machine à 12 pôles saillants
Comparaison essais modèle
La même démarche a été mise en place pour la machine à 12 pôles, pour 3 distributions des
pertes. Le fonctionnement à vide est représenté par le cas E, le fonctionnement en court-circuit à
courant nominal par le cas F et celui à 1,5 fois l’intensité nominale par le cas G. L’essai en charge
n’a pas été réalisé à cause de limitations techniques, plus précisément, la non-disponibilité d’une
puissance suffisante pour alimenter la machine. Les valeurs des pertes sont disponibles dans le
75
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Table 3.2.: Différentes distributions des pertes, en W , pour le machine à 12 pôles
Source Cas E Cas F Cas G
Pertes mécaniques 61930 61930 61930
Pertes fer 140620 0 0
Pertes joule stator 0 80163 204528
Pertes joule rotor 14994 26221 59528
Pertes supplémentaires 31360 53000 116370
Pertes par excitation 8969 11660 17278
Tableau 3.2.
Dans la Figure 3.16 on représente la différence de température entre l’air sortant de la machine
et l’air entrant, obtenue par simulation et expérimentation, pour les trois cas. Pour le cas E,
les essais ont été réalisés avec une machine froide au démarrage. On observe une très bonne
correspondance entre les simulations et les expérimentations. Par contre, pour les deux derniers
cas, la différence est plus importante. Cela s’explique par l’état initial de la machine lors des essais,
la machine n’était pas complètement froide en raison de l’exécution de sa forte inertie thermique
et des délais trop courts entre la réalisation des essais du cas E et les suivants (15 heures).
Toutefois, nous avons, comme dans la machine à 8 pôles, des écarts importants pour la région
des développantes. Les différences sont plus élevées pour le cas G dans lequel les pertes sont plus
importantes. Du côté de l’entrée d’air, les mesures indiquent 100 C alors que la simulation donne
300 C. Pour le cas F, nous avons 140 C dans les simulations contre 50 C pour des mesures.
Le cas E présente les écarts les moins importants, nous avons 60 C dans les simulations contre
40 C dans les essais. Les différences de température des développantes pour les cas E, F et G sont
présentées dans la Figure 3.17. Encore une fois, dans cette région, des difficultés sont rencontrées
pour l’estimation du débit et en conséquence la précision des températures est affectée.
3.3. Bilan des résultats issus de la méthode nodale
Deux machines électriques ont été simulées par le code de calcul nodal et les résultats sont
comparés avec des mesures réalisés sur machine réelle par JEUMONT Electric. Les tendances
d’évolution sont plutôt bien représentées par le modèle. Les régions les plus chaudes sont situées
au niveau des développantes (~155 C), à l’entrée et à la sortie de la machine. La région centrale
de chaque machine est la mieux refroidie. La limitation de la machine est alors liée à la tempé-
rature à l’extrémité des développantes et l’amélioration de ses performances est fortement liée
à l’amélioration du refroidissement de ses développantes. Le principal obstacle pour augmenter
la précision du calcul est la méconnaissance de l’écoulement autour, et surtout, entre les déve-
loppantes. A cause du manque de données supplémentaires, on considère un débit nul dans les
mailles d’air entre les développantes, ce qui explique, en partie, les surestimations des résultats.
76
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Malgré les inconvénients liés à la précision des résultats, le modèle nodal a comme principal atout
sa rapidité de calcul permettant d’obtenir les tendances globales de l’échauffement de la machine
en une trentaine de secondes. Nous avons aussi un compromis entre précision et temps de calcul,
ce qui est un atout majeur dans l’optique d’effectuer une étude d’optimisation.
77
3. Modélisation thermique de la machine électrique
(a) Bobines rotoriques calées (b) Bobines rotoriques aérées (c) Events et bobines rotoriques aé-rées
(d) Bobines rotoriques calées (e) Bobines rotoriques aérées (f) Events et bobines rotoriques aé-rées
(g) Bobines rotoriques calées (h) Bobines rotoriques aérées (i) Events et bobines rotoriques aé-rées
Figure 3.10.: Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté sortie)
78
3. Modélisation thermique de la machine électrique
(a) Bobines rotoriques calées (b) Bobines rotoriques aérées (c) Events et bobines rotoriques aé-rées
(d) Bobines rotoriques calées (e) Bobines rotoriques aérées (f) Events et bobines rotoriques aé-rées
(g) Bobines rotoriques calées
Figure 3.11.: Cartes de température de sections le long de l’axe (sortie)
79
3. Modélisation thermique de la machine électrique
(a) Champ de température du modèle de la machine, cas B
(b) Vue axiale du comportement thermique du modèle, cas D
(c) Températures issues du modèle de la machine, cas C
Figure 3.12.: Comportement thermique du modèle pour différents répartitions de pertes
80
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Figure 3.13.: Discrétisation au tour des évents
(a) Evolution temporelle du cas C des noeuds d’air dans les évents. E1C tient pour le nœud d’airentre-cuivres du premier évent et E1T pour le nœud d’air entre-tôles relatif au premier évent.
(b) Comparatif entre mesures et simulations. CSE-B, CEE-B et MSE-B tiennent respectivementpour calcul en sortie de l’évent du cas B, calcul en entrée de l’évent du cas B et mesure ensortie de l’évent du cas B.
Figure 3.14.: Température de l’air dans les évents, simulations et mesures
81
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Figure 3.15.: Ecarts de température entre les mesures et les simulations des développantes àl’entrée de la machine
(a) Cas E (b) Cas F (c) Cas G
Figure 3.16.: Variation de la différence de température de l’aire à l’entrée et à la sortie de lamachine
82
3. Modélisation thermique de la machine électrique
Figure 3.17.: Différences des températures des développantes du coté entrée d’air pour les casE, F et G
83
4. Optimisation thermique® C
Ce chapitre contient les études d’optimisation thermique réalisées sur un modèle de géometrie
simple et sur le modèle d’une machine électrique. D’abord, on présente la géometrie simple
qui consiste en une bifurcation à 90° avec une entrée d’air. Sa modèlisation est exposée, suivie
par la résolution de son problème d’optimisation aérothermique. Ensuite, on abordera l’étude
d’optimisation du modèle de la machine électrique, modèle présenté dans le Chapitre 3. Ces
deux cas ont été traités à l’aide des outils d’optimisation présentés dans la section 2.3. Nous
conclurons ce chapitre avec un bilan des méthodes d’optimisation utilisées.
4.1. Optimisation thermique d’une géométrie simple
Afin de mieux comprendre les différentes méthodes d’optimisation et les difficultés liées à leur
application sur un problème thermique traité par un modèle nodal comme l’est la machine élec-
trique abordée dans cette thèse, nous choisissons d’étudier un cas dit “pédagogique”. Le choix du
modèle pour ce cas “pédagogique” a été effectué de manière à avoir à traiter un problème relati-
vement simple tout en étant représentatif des phénomènes présents dans l’alternateur électrique
étudiés par ailleurs.
4.1.1. Description du problème thermique de la bifurcation
Données géométriques
Nous choisissons d’étudier le refroidissement d’un domaine 2D rectangulaire avec un écou-
lement de fluide qui représente une bifurcation comme le montre la Figure 4.1. Il s’agit d’une
configuration géométrique qui se répète souvent dans le système de refroidissement de la machine
électrique.
Les dimensions ont été choisis arbitrairement. La longueur du domaine est de L = 1m et la
hauteur H = 1m . Comme le domaine est 2D, implicitement, la troisième dimension a la valeur
de l’unité (1m). La géométrie de la bifurcation est repérée par la position de son centre avec x1
en abscisse et x2 en ordonnée, et par la largeur des canaux : x3 pour le canal horizontal (appelé
par ailleurs canal principal) et x4 pour le canal vertical (appelé également canal latéral). De plus,
on appelle A l’aire totale représentée, telle que : A = H L = 1m2. On définit également Asolide
la surface occupée par les solides et Afluide, la surface de fluide. Ainsi :
Afluide = x3L+ x4 (H − x2 − 0, 5x3) (4.1)
Dans ce problème, on impose de plus que la quantité de matière dans le système reste la même
au cours des évaluations effectuées lors de la procédure d’optimisation. Pour cela, on choisit
84
4. Optimisation thermique C
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Figure 4.1.: Géométrie du cas “pédagogique” de la bifurcation
Afluide = 0, 28m2. Cela ajoute une équation au problème, ce qui permet d’exprimer x4 comme
une fonction des autres données géométriques :
x4 = (Afluide − x3L) / (H − x2 − 0, 5x3) (4.2)
Ainsi, seules 3 variables géométriques sont indépendantes et constitueront les variables d’op-
timisation, à savoir : x = [ x1 x2 x3 ]T .
Données thermiques et fluidiques
L’étude de la bifurcation s’effectue en régime thermique stationnaire. On choisit de plus de
considérer un système dont les frontières solides sont thermiquement isolées de l’extérieur. On
ajoute des dissipations thermiques totales fixes P = 5000W dans les solides de conductivité
thermiqueλ = 40W.m−1.K−1 (acier).
Un débit d’air Qin entre par la gauche du canal principal. Ce débit se sépare en un débit
principal et un débit par la branche latérale. La répartition de débit est effectuée en égalisant les
pertes de charges dans les deux branches ∆Pp et ∆Pl, qui sont situées en parallèle d’un point
de vue de l’écoulement. On appelle ∆Pin la perte de charge liée à l’entrée de la bifurcation. On
calcule également la perte de charge totale du circuit aéraulique, appelée ∆P .
85
4. Optimisation thermique C
Figure 4.2.: Réseau fluide
4.1.1.1. Modélisation
L’idée de la modélisation du problème de la bifurcation est de coupler un calcul aéraulique
à un calcul thermique. Le calcul aéraulique permet de calculer la répartition de débit dans les
branches de la bifurcation, ainsi que le débit entrant Qin. Dans le calcul thermique, ces données
sont utilisées pour le calcul des coefficients d’échanges par convection. On détaille dans cette
partie les deux modèles précédents.
Modèle aéraulique
Le modèle aéraulique doit permettre de rendre compte des lois de conservation au niveau de
l’écoulement du fluide dans la bifurcation.
L’équation locale de continuité amène, après intégration sur un volume de contrôle, l’équation
de conservation de la masse, qui en régime permanent s’exprime par :
∑
Qentrant =∑
Qsortant (4.3)
En appliquant cette loi sur le volume de contrôle identifié par le cadre rouge de la Figure 4.2,
on aboutit à :
Qin = Qp +Ql (4.4)
Soit en remplaçant par les vitesses débitantes respectives et les dimensions adéquates :
Vin = Vp + x4Vl/x3 (4.5)
Pertes de charges
La Figure 4.2 montre que pour rejoindre le centre de la bifurcation, où la pression est appelée p,
au point placé à l’extérieur du système, où la pression est pext, on peut soit passer par la branche
principale de la bifurcation, soit passer par sa branche latérale. Dans les 2 cas, les pressions de
départ et d’arrivée sont identiques. Cela signifie alors que les pertes de charge totales (singulières
+ régulières) dans chaque branche de la bifurcation ont les mêmes valeurs. On a ainsi :
86
4. Optimisation thermique C
∆Pp = ∆Pl (4.6)
∆Pp,s +∆Pp,r = ∆P l,s +∆P l,r (4.7)
On définit également la perte de charge totale dans la bifurcation par :
∆P = ∆Pin +∆Pp = ∆P in +∆P l (4.8)
∆Pin étant les pertes de charges régulières par frottement dans l’entrée de la bifurcation (avant
la séparation).
Singularités
Le calcul des pertes de charges dans les singularités se base sur les expressions analytiques
fournies par Idel’Cik [Idel’Cik (1986)]. Ainsi, pour la branche principale, on a :
ξp = 0, 4 (1− Vl/Vin)2 et donc ∆Pp,s = 0, 2ρV 2
p (1− Vp/Vin)2 (4.9)
En ce qui concerne la branche latérale, nous avons :
ξl = A(
B + (Vl/Vin)2)
et donc ∆Pl,s = 0, 5AρV 2l
(
B + (Vl/Vin)2)
(4.10)
avec :
A = 1 si (Vl/Vin) < 0, 8
A = 0, 9 sinon
et
B = 1 si (H − x2 − 0, 5x4) / (L− x1 − 0, 5x3) < 0, 8
B = 0, 34 sinon
Pertes régulières
On calcule également les pertes de charges régulières dans chaque branche avec :
∆Pi,s = 0, 5ρψlV 2i /D (4.11)
On détermine l et D à partir de la configuration géométrique et ψ à l’aide des formulations de
Poiseuille ou de Blasius pour des conduites lisses, en fonction du nombre de Reynolds basé sur
la vitesse débitante et le diamètre hydraulique comme calculés dans le Tableau 4.1 :
Enfin :
87
4. Optimisation thermique C
Table 4.1.: Nombres caractéristiques
Longueur Diamètre hydraulique Nombre de Reynolds
Entrée l = x1 − 0, 5x4 D = 2x3/ (1 + x3) Re = Vin2x3/ (ν (1 + x3))
Branche principale l = L− x1 − 0, 5x4 D = 2x3/ (1 + x3) Re = Vp2x3/ (ν (1 + x3))
Branche latérale l = H − x2 − 0, 5x3 D = 2x4/ (1 + x4) Re = Vl2x4/ (ν (1 + x4))
ψ = 64/Re si Re < 2500
ψ = 0, 316/Re0,25 si Re ≥ 2500
Ainsi, de manière générale, on peut écrire que pour une maille i :
ψi = ai/Rebi (4.12)
Puissance aéraulique
On choisit de ne pas imposer un débit ou des pertes de charges constantes mais plutôt une
puissance aéraulique constante (disponible) telle que :
Paero = Qin∆P = 4, 6W (4.13)
Algorithme de résolution du modèle aéraulique
A partir d’une géométrie et d’une puissance aéraulique donnée, l’estimation des débits se fait
de manière itérative due aux non-linéaritées présentées précédemment. Dans un premier temps,
on choisit des valeurs arbitraires de débit. Ces débits provoquent une perte de charge dans
la branche latérale ∆Pl et dans la branche principale ∆Pp. Comme l’a suggéré la discussion
précédente, ces pertes de charge doivent être égales. Donc, il faut corriger les choix initiaux de
façon à respecter cette égalité. La méthode de correction employée dans cette thèse est dite de
Hardy-Cross, décrite dans [Houghtalen et al. (2009)]. Une fois les valeurs des pertes de charge
et des débits obtenus, on vérifie si leur produit correspond à la puissance aéraulique imposée.
La correction du débit entrant a été faite par la méthode de Newton-Raphson. La démarche de
résolution est décrite dans l’algorithme 4.1.
4.1.2. Description du problème d’optimisation thermique de la bifurcation
Le but de l’optimisation thermique de notre bifurcation est de mieux refroidir la masse solide,
en recherchant une configuration géométrique appropriée. Ce but peut être atteint sur la base
d’un ou plusieurs critères combinés. En effet, la minimisation de la température moyenne du
solide pondérée par le volume n’est pas un critère satisfaisant à elle seule puisqu’elle ne permet
pas d’éviter les températures très élevées dans des petites mailles, qui n’ont quasiment aucune
influence sur la température moyenne. A l’inverse, si on se focalise uniquement sur la baisse de la
88
4. Optimisation thermique C
Algorithme 4.1 Modèle aéraulique
1. Paramétrage
a) Choix de Q(0, 0)in , Q
(0, 0)p , Q
(0, 0)l , tels que : Q
(0, 0)in = Q
(0, 0)p +Q
(0, 0)l
b) Choix des tolérances pour l’obtention de la répartition de débits (tolQ) et pour l’ob-tention d’une puissance aéraulique constante (tolP)
c) Définition de la puissance aéraulique disponible : Paero = 4, 6W
2. Calcul de la différence de perte de charge entre la rame latérale et le canal principal :
ǫ = ∆P(i, j)l −∆P
(i, j)p
a) Si ǫ > tolQ, corriger la répartition de débits via Hardy-Cross
b) Sinon, calculer l’écart entre la puissance obtenue avec Q(i, j)in par δ = Q
(i, j)in ∆P −Paero
i. Si δ > tolP , corriger Q(i, j)in via Newton-Raphson. En modifiant Q
(i, j)in , mis à jour
de la répartition de débits par l’étape 2
ii. Sinon, fin
température maximale, on n’améliore pas forcément la thermique de la machine dans sa globalité.
Pour pallier à ces 2 difficultés, nous sommes amenés à combiner les deux critères précédents. La
solution utilisée consiste en la définition d’une fonction objectif agrégée (FOA) qui prend en
compte les deux critères, avec une pondération réalisée par une constante α tel que :
FOA = αTmax (x) + (1− α)Tms (x) |x ∈ ℜ3 (4.14a)
avec,
Tms = T TVsol/ΣVsol
dont,
T , le vecteur des températures de tous les volumes, en K ;
Vsol, le vecteur des volumes des solides, en m3. Pour les volumes fluides, une valeur nulle est
attribuée ;
Tmax = max (T ), la température maximale du domaine, en K ;
0 ≤ α ≤ 1, coefficient sans dimension.
Cinq valeurs de α sont testées par la suite, 0 ; 0,25 ; 0,50 ; 0,75 et 1 avec l’algorithme active-set.
On cherche à minimiser l’Equation (4.14a), qui est soumise aux contraintes suivantes :
[
0, 1L 0, 1H 0, 02H
]T
≤ x ≤
[
0, 9L 0, 7H (Afluide − 0, 01H) /L
]T
(4.14b)
x2 + 0, 5x3 − 0, 9H ≤ 0 (4.14c)
−x2 + 0, 5x3 + 0, 1H ≤ 0 (4.14d)
x1 + 0, 5 (Afluide − x3) / (H − x2 − 0, 5x3)− 0, 9L ≤ 0 (4.14e)
−x1 + 0, 5 (Afluide − x3L) / (H − x2 − 0, 5x3) + 0, 1L ≤ 0 (4.14f)
avec,
89
4. Optimisation thermique C
x0 =
[
0, 5 0, 5 0, 2
]T
, le point initial, en m ;
Afluide, l’aire de la bifurcation occupée par le fluide, en m2 ;
L, la longueur de la bifurcation, en m ;
H, la hauteur de la bifurcation, en m.
L’Equation (4.14b) délimite les bornes de l’espace de recherche. Les Equations (4.14c) et
(4.14d) ont pour but de contrôler la variable x2 en prenant en compte la largeur de la branche
latérale. De manière analogue, les Equations (4.14e) et (4.14f) contrôlent la variable x1, en
considérant le largeur du canal principal. Les non-linéarités de ces deux dernières contraintes
viennent de la contrainte d’un volume de fluide constant. Globalement, l’ensemble des contraintes
assurent que la bifurcation optimale soit obligatoirement dans le domaine rectangulaire défini par
les dimensions H xL. Ce domaine a été fixé pour les différents cas présentés dans ce document
avec les dimensions globales L = 1m par H = 1m.
Le point de départ x0 a été choisi de manière arbitraire, mais en respectant une localisation
à mi-chemin de chaque borne et en imposant une même largeur pour les canaux principal et
latéral. Cette configuration géométrique engendre le scénario thermique décrit par la suite.
Configuration initiale
La configuration initiale de la bifurcation est présentée dans la Figure 4.3. Le domaine est isolé
thermiquement aux limites. Le canal principal et le canal latéral ont une largeur de 0,2m et le
centre de la bifurcation est au centre du domaine. Le débit entrant imposé est de 2m3.s−1. Cette
configuration géométrique et ce débit provoquent une perte de charge totale de 2,3Pa et exigent
donc une puissance aéraulique de 4,6W qui sera maintenue fixe dans toutes les simulations
qui suivent. Le résultat du modèle fourni par le calcul aéraulique indique que 80% du débit
entrant passe par la branche principale et les 20% restant sont déviés vers la branche latérale.
Par conséquent, le coefficient d’échange par convection h dans le canal principal est d’environ
30W.m−2.K−1, alors que dans la branche latérale, il n’est que de 8W.m−2.K−1.
En injectant P = 1 kW de pertes calorifiques dans chaque maille solide, on obtient une tem-
pérature moyenne des nœuds solides, pondérée par leur volume, de 402K et une maximale de
424K. Les différences de températures entre nœuds voisins et les conductances thermiques entre
eux nous permettent d’établir la dernière carte qui représente les flux de chaleur. L’origine de
chaque flèche est mise au centre du volume d’où sort le flux. Vu que la majorité du débit se
trouve dans le canal principal, les flux les plus importants sont situés entre les nœuds solides et
l’air du canal principal. Prenons, par exemple, le flux le plus important, celui en bas à gauche du
domaine ; on n’injecte que 1000W dans ce nœud alors qu’il en sort 1300W par convection, via
la surface supérieure. La différence provient du flux conductif de 300W provenant de la maille
voisine située à droite, qui est plus chaude. Le bilan entre les flux et les pertes est également nul
pour les autres huit volumes du domaine.
90
4. Optimisation thermique C
Figure 4.3.: Configuration initiale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]Tutilisée pour toutes les valeurs de α.
4.1.3. Résultats de l’optimisation pour différentes valeurs de α
4.1.3.1. Cas α = 0
A partir de la configuration initiale décrite précédemment, l’algorithme active-set a été utilisé
comme outil d’optimisation pour minimiser l’Equation (4.14a) soumise aux contraintes 4.14b,
4.14c, 4.14d, 4.14e et4.14f. Différentes valeurs de α ont été évaluées. Pour α = 0, la fonction
objectif est égale à la température moyenne des nœuds solides pondérée par leur volume (Tms).
Neuf itérations ont été nécessaires pour atteindre le critère de convergence. Les changements les
plus significatifs ont lieu pendant les 4 premières itérations (Figure 4.4a). La configuration finale
optimisée est montrée dans la Figure 4.4b. Malgré une baisse de 50 C de la température moyenne,
ce résultat n’est pas acceptable, puisque, localement, la température maximale a augmenté de
80 C par rapport au cas initial. Cependant, ce calcul nous permet de conclure que la température
moyenne du domaine ne sera jamais inférieure à 351K.
En comparant cette configuration optimisée avec la configuration initiale de la Figure 4.3, on
comprend que la stratégie nécessaire pour faire baisser la température moyenne des matériaux
solides suggère deux actions couplées. Tout d’abord, le centre de la bifurcation est déplacé en
bas à gauche du domaine, de façon à faire correspondre ses coordonnées aux bornes inférieures
définies par les Equations 4.14d et 4.14f. Cela maximise le volume en haut à droite qui couvre
alors 50% du domaine. De plus, ce volume est le mieux refroidi en raison de sa plus grande surface
d’échange. Un grand volume et une faible température ont un impact positif sur la valeur de la
FOA. En contrepartie, on constate que le volume solide en bas à gauche est très chaud, du fait
de sa petite taille pour des pertes fixes et de ses faibles surfaces d’échanges. Une deuxième action
est alors nécessaire pour ne pas pénaliser la température moyenne. Elle consiste à favoriser le
passage d’un plus grand débit d’air par le canal principal (de 80% à 96%) en élargissant celui-ci
de 0,05m. On passe alors de 0,20 à 0,25m en largeur. Cette augmentation de 0,05m permet le
passage de 1m3.s−1 d’air en plus pour maintenir la puissance aéraulique de ventilation constante
à 4,6W . Le flux convectif est alors plus important le long du canal principal et le nœud placé
91
4. Optimisation thermique C
(a) Convergence des variables x et de la fonction objectif agrégée FOA
(b) Configuration finale
Figure 4.4.: Résolution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 0
92
4. Optimisation thermique C
en bas à droite le montre bien. Il évacue par convection 2 kW , ce qui correspond aux pertes
dans ce nœud, auxquelles s’ajoutent les pertes du nœud à sa gauche, transmises par conduction.
L’augmentation du débit permet également un meilleur refroidissement de la maille solide en
haut à droite, comme déjà dit précédemment.
Il reste encore d’autres paramètres à analyser qui sont liés plutôt au problème d’optimisation
qu’au problème thermique. On peut vérifier, par l’intermédiaire des multiplicateurs de Lagrange
λ, si les contraintes sont ou pas actives (par exemple dans notre cas, si une variable est en butée
sur une borne). La Figure 4.5 contient tous les multiplicateurs, ainsi que le gradient et l’Hessienne
estimés au point optimal. Les contraintes linéaires (4.5a) définissent des limites pour la variable
x2, dont la première barre fait référence à la limite supérieure, et la deuxième, l’inférieure. A partir
de la Figure 4.5a on déduit que la limite supérieure n’est pas active puisque son multiplicateur est
nul. Dans notre cas, on n’aura jamais les deux limites actives parce qu’elles sont, géométriquement
parlant, parallèles et non-coïncidentes. Un raisonnement équivalent est valide pour les contraintes
non-linéaires (4.5b), applicables cette fois à la variable x1. Les bornes ne sont pas actives (4.5c et
4.5d), ses multiplicateurs de Lagrange sont tous nuls. Par conséquence, on n’a que les variables
x1 et x2 qui sont en butées par leurs respectives limites inférieures.
Le fait d’avoir ces deux variables en butées explique le gradient encore important (Figure 4.5e)
au point optimal, l’algorithme ne peut plus diminuer x1 et x2. Les gradients de la FOA par
rapport à chacune de ces deux variables sont quasiment les mêmes (Figure 4.5e, la première et la
deuxième barre), ce qui signifie que l’information de première ordre ne donne pas de préférence à
la direction x1 ou x2. Il semble aussi que la troisième variable pourrait encore diminuer, puisqu’elle
est loin de sa limite inférieure et le gradient dans sa direction est positif (4.5e, la troisième
barre). Ces deux dernières suppositions seraient vraies si notre modèle thermique était linéaire.
En regardant l’information de second ordre, l’Hessienne (4.5f), les variations dans la direction de
x2 sont beaucoup plus importantes que dans la direction de x1, et ainsi, x2 est plus sensible que
x1. La différence la plus marquante est la variation du gradient de la fonction objectif agrégée
(FOA) dans la direction de x3, soit ∂2FOA/∂x23. Cela vaut dire que la moindre variation de x3
implique une grande variation de la FOA, au voisinage du point optimal. D’après la Figure 4.4a, la
variable x3 ne change pas trop au cours des itérations, sa valeur monte rapidement aux premières
itérations et se stabilise, sans donner aucune indication de descente aux dernières itérations. Ceci
montre qu’une approche linéaire s’éloigne beaucoup de notre modèle thermique.
Relier l’analyse des paramètres de l’optimisation à la physique du problème thermique nous
permet de voir ces paramètres sous une autre perspective. Pour cela, on se focalise sur la confi-
guration géométrique optimale, celle de la Figure 4.4b, et on s’appuie sur les informations du
gradient et de l’Hessienne. En positionnant le centre de la bifurcation légèrement plus à gauche,
d’une distance ∆x1, et en laissant les autres variables fixes, on diminue le volume du point le plus
chaud. Ceci va avoir pour effet de diminuer la surface effective de contact entre le milieu fluide
et le nœud le plus chaud, ainsi que la distance de son centre à la surface effective de contact avec
son voisin solide à droite. Deux conséquences en découlent : la réduction du volume fait monter
sa température et sa contraction dans la direction de x1 fait que les deux conductances dans
l’interface solide-fluide au nord diminuent proportionnellement à ∆x1, alors que sa conductance
de conduction dans la direction de x1 augmente proportionnellement à la moitié de ∆x1. Le chan-
93
4. Optimisation thermique C
(a) Inégalités lineaires (b) Inégalités non-lineaires (c) Bornes inférieures (d) Bornes supérieures
(e) Gradient (f) Hessienne
Figure 4.5.: Les multiplicateurs de Lagrange, le gradient et Hessienne au point optimal pour lecas α = 0 et x0 = [0,5 0,5 0,2]T
gement des valeurs des conductances facilite le flux conductif à droite du nœud et affaiblit le flux
convectif. D’après les valeurs du gradient et de l’Hessienne, la FOA aura tendance à diminuer,
si ∆x1 est relativement petit.
Autrement, si on soumet ce volume au même taux de contraction, mais dans l’autre direction,
en baissant légèrement le centre de la bifurcation, de ∆x2, l’impact sur les conductances est
l’opposé. On augmente la conductance de conduction dans l’interface fluide-solide proportion-
nellement à la moitié de ∆x2 et les deux conductances reliant les nœuds solides vont diminuer
proportionnellement à ∆x2. Autrement dit, on ne baissera plus la valeur de la conductance entre
le nœud solide et le fluide. L’avantage de se servir de la voie convective au lieu de la conductive
n’est pas vraiment lié au mécanisme de transport lui-même car, pour le scénario thermique opti-
mal, la conductance équivalente entre les nœuds solides est 15 fois plus grande que celle entre les
noeuds solide-fluide. D’ailleurs, le coefficient d’échange par convection n’a pas beaucoup changé
en comparant les Figures 4.3 et 4.4b. C’est plutôt la différence de température entre les nœuds
qui rend la voie convective plus intéressante. Le premier nœud fluide à l’entrée de la bifurcation
sera toujours le nœud le plus froid. Par conséquent, la FOA est, dans le point optimisé, plus
sensible pour les variations dans la direction de x2 que dans la direction de x1.
La variation importante du dernier paramètre, ∂2FOA/∂x23, est facilement compréhensible
d’un point de vue physique. Les équations non-linéaires du module de perte de charges, les cor-
rélations non-linéaires du coefficient d’échange convectif, deux procédures numériques itératives
et la solution d’un système linéaire avec des équations fortement couplées entre elles donnent
94
4. Optimisation thermique C
Figure 4.6.: Evolution de la solution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1
une relation fortement non-linéaire entre la largeur du canal principal et la température. Pour
ces raisons, la variable x3 est, en général, la plus sensible.
4.1.3.2. Cas α = 1
Jusqu’à présent, on a vu uniquement l’effet du changement de la valeur des variables sur la
température moyenne de la masse solide, pondéré par le volume (α = 0). Prenons maintenant
l’autre cas extrême, avec α = 1, en partant du même point initial. On ne considère alors que la
température maximale dans la FOA. Cette température maximale peut changer de position au
cours des itérations, en entraînant des discontinuités de la fonction objectif et donc des difficultés
pour la recherche du point optimal. Cette difficulté est vérifiée dans la Figure 4.6 qui montre
l’évolution des variables et de la FOA au cours des itérations. Tout en bas de la Figure 4.6
nous avons les positions des températures maximales, dont la position 3 correspond au nœud en
bas à gauche, la 6 en bas au centre et la 9, en bas à droite. On remarque des oscillations qui
témoignent de la difficulté de la convergence. C’est à partir de la 15ème itération seulement que
les oscillations sont atténuées.
La configuration optimale obtenue est représentée par la Figure 4.7. Cette configuration quasi-
symétrique par rapport à la branche latérale nous donne une carte de température et une carte
de flux quasi-symétrique également. La branche principale est placée légèrement plus bas en
maintenant son diamètre constant. On constate alors que le diamètre de la branche latérale a
diminué de manière à maintenir le volume de fluide constant. En regardant les nœuds solides
placés en bas, la diminution de la surface du volume central et l’augmentation des surfaces de ses
voisins ont favorisé l’évacuation de la chaleur par ces deux derniers. Leur flux par convection est
d’environ 1300W chacun et on n’a que 400W dissipé par convection au niveau du nœud solide
central.
Regardant la température moyenne des nœuds solides, la bifurcation dans son ensemble est
globalement moins bien refroidie pour α = 1 que pour α = 0. L’écart est en effet de 25 C
avec le cas précédent. Néanmoins, les gradients de température sont moins importants et la
température maximale chute de 503K à 416K. Malgré le fait d’avoir une température moyenne
plus élevée, le cas avec α = 1 qui ne prend en compte que le critère local, nous donne aussi
95
4. Optimisation thermique C
Figure 4.7.: Configuration finale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1
une meilleure configuration thermique globale. De manière analogue au cas précédent, ici, la
température maximale du domaine ne pourra pas être inférieure à 416K.
Concernant les paramètres liés à l’optimisation, on a également une meilleure configuration
finale. Il n’y a pas aucune variable en butée, comme l’illustre la Figure 4.8, et tous les multi-
plicateurs de Lagrange sont nuls. Le gradient est de l’ordre du centième, nous avons un point
stationnaire correspondant, a priori, à un point de minimum local. C’est dans la comparaison
avec d’autres points de départ et d’autres méthodes de calcul qu’on va pouvoir examiner si le
point final trouvé correspond à un point de minimum global.
4.1.3.3. Valeurs intermédiaires de α
Les configurations présentés dans la Figure 4.4b et 4.7 sont deux configurations extrêmes.
La Figure 4.9 présente des configurations intermédiaires. Au fur et à mesure qu’on augmente
la valeur de α, on rapproche le centre de la bifurcation du centre du domaine et on diminue
légèrement le diamètre du canal principal.
D’après la Figure 4.10a, la variation de la température maximale est plus importante que celle
de la température moyenne avec une variation de α. Comme l’a suggérée la comparaison entre
les deux cas extrêmes, il est plus avantageux d’avoir la configuration avec α = 1 que celle avec
α = 0, vu la faible sensibilité de la température moyenne par rapport à α. La sensibilité de
la température moyenne en fonction de la température maximale est mise en évidence dans la
Figure 4.10b. Pour α > 0, 50, pour diminuer d’un degré la température moyenne, on augmente
de plus d’un degré la température maximale.
96
4. Optimisation thermique C
Figure 4.8.: Multiplicateurs de Lagrange, gradient et Hessienne pour le point optimal avec α = 1
(a) α = 0, 25 (b) α = 0, 50
(c) α = 0, 75 (d) α = 1
Figure 4.9.: Configurations optimisée pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et différents valeurs de α
97
4. Optimisation thermique C
(a) Variation de la FOA en fonction de α
(b) Variation de la température moyenne en fonction de la température maximale
Figure 4.10.: Variation de la température maximale, moyenne et de la FOA pour les α =0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1
98
4. Optimisation thermique C
4.1.4. Vérification des résultats d’optimisation
Afin de s’assurer de la qualité des résultats obtenus après l’optimisation, deux tests ont été
effectués. Tout d’abord, on teste différents points de départ avec l’algorithme active-set, l’objectif
étant d’identifier la présence de minimums locaux. Ensuite, d’autres algorithmes d’optimisation
sont testés, l’interior-point et l’algorithme génétique.
4.1.4.1. Influence du point de départ
L’active-set, tout comme l’interior-point, est un algorithme qui nous donne, a priori, un point
de minimum local qui dépend du point initial choisi. Dans la section précédente, nous avons
utilisé un point initial qui positionnait la bifurcation au centre du domaine et qui imposait les
mêmes largeurs pour le canal principal et la branche latérale, x0,1 = [0,5 0,5 0,2]T . Dans cette
section, pour les valeurs de α = 0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1, on présente les résultats obtenus avec
d’autres points de départ.
Le résultat optimal pour α = 0, présenté dans la Figure 4.4b, nous a guidé dans le choix des
différents points initiaux. Si on positionne le centre de la bifurcation dans l’un des quatre coins
du domaine au lieu de placer au centre, en utilisant un canal principal très large ou très étroit,
on a les points suivants :
x0,2 =
[
0, 2 0, 2 0, 25
]T
x0,5 =
[
0, 8 0, 2 0, 25
]T
x0,8 =
[
0, 45 0, 6 0, 05
]T
x0,3 =
[
0, 8 0, 6 0, 25
]T
x0,6 =
[
0, 35 0, 2 0, 05
]T
x0,9 =
[
0, 65 0, 2 0, 05
]T
x0,4 =
[
0, 2 0, 6 0, 25
]T
x0,7 =
[
0, 55 0, 6 0, 05
]T
Ces points présentent des configurations thermiques intéressantes. Par la simple observation
de ces configurations, on peut déduire un positionnement initial qui soit plus proche du point
optimal. Les trois points les plus pertinents sont sélectionnés pour la discussion qui vient par la
suite.
Configurations thermiques initiales pour différents points initiaux
On discute dans cette partie le comportement thermique de la bifurcation avec les points x0,3,
x0,4 et x0,6. Pour les deux premiers points, le centre de la bifurcation est positionné dans la partie
haute du domaine et le canal principal est relativement large, alors que pour le dernier, nous
avons un canal principal étroit et le centre de la bifurcation est placé dans la partie basse du
domaine. Ces configurations ne sont observées dans aucun des résultats précédents.
Les données pour les points où le canal principal est large et positionné en haut du domaine
sont représentées dans la Figure 4.11. Les trois nœuds solides, en bas, ont des dimensions et
températures importantes. Vu que la seule voie d’évacuation est par convection avec le canal
99
4. Optimisation thermique C
principal, des valeurs importantes de x2 ne font qu’augmenter la résistance de conduction de ces
trois nœuds. Pour cette raison, la valeur optimale de x2 ne sera jamais élevée.
En considérant que la perte de charge entre la sortie du canal principal et l’entrée est la même
que celle entre la sortie de la branche latérale et l’entrée (4.6), plus x1 est grand, moins on a de
débit à l’entrée de la bifurcation. A la sortie de la branche latérale, on voit que la température
de l’air est quasiment la même qu’à l’entrée pour les deux cas précédents. Cette différence de
température entre l’entrée et la sortie devient plus importante quand le débit dans une des sorties
est très faible, et ceci est lié à la variable x3. La variable x1 joue quant à elle sur la valeur du
débit à l’entrée et il est préférable d’avoir une faible valeur de x1. Cependant, la valeur de x1 ne
peut pas être trop diminuée au risque de voir le volume du nœud solide en bas, ou en haut, à
gauche, trop diminué et sa température trop augmentée (Figure 4.11). Il y a ainsi un compromis
à trouver pour la variable x1, compris entre sa borne inférieure et le centre du domaine.
Le troisième point de départ choisi positionne le centre de la bifurcation en bas du domaine,
dans la partie gauche, ce qui, d’après la discussion précédente, va dans le sens d’un meilleur
refroidissement. On a également mis une faible largeur pour le canal principal, tel que x0,6 =
[0,5 0,2 0,05]T (Figure 4.12). La contrainte d’un canal étroit a réduit considérablement le débit
entrant dans la bifurcation, ce qui a un impact négatif sur le refroidissement global.
On conclut de tout ceci que pour avoir un refroidissement optimal, il faut que :
x1 soit compris entre sa borne inférieure et le centre du domaine. C’est-à-dire un centre de
bifurcation placé plutôt dans la partie gauche du domaine
x2 ne soit pas trop élevé, c’est-à-dire un centre de bifurcation placé pas trop haut dans le
domaine
x3 soit grand de manière à favoriser un débit d’air important.
Résultats optimaux pour les différents points initiaux
Ces 3 exemples nous ont donné des pistes pour la configuration thermique optimale. En testant
les 8 points initiaux pour chaque valeur de α, on a constaté l’existence de différents résultats
d’optimisation pour α = 0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1. Les chiffres en gras dans le Tableau 4.2 repré-
sentent les configurations les moins bonnes pour un α fixé. Ces configurations moins efficaces
sont des points de minimum locaux. Elles violent les pistes d’amélioration de la FOA citées pré-
cédemment, puisqu’elles correspondent à un canal principal plus étroit que la branche latérale
et la valeur de x1 en butée par sa borne supérieure pour les α = 0 et α = 0, 25. Les champs de
température correspondants à ces cas défavorables sont présentés dans la Figure 4.13.
La configuration de la Figure 4.13c est obtenue avec le point xf,5 = [0,35 0,15 0,09]T et
s’éloigne du point de minimum global xf,1 = [0,47 0,30 0,20]T , dont le scénario thermique est
illustré dans la Figure 4.7. Les températures des deux résultats ne sont pas très différentes
comparées à la différence des débits entrants, on a 2,15 contre 1,01 m3.s−1. Ceci montre que
des configurations géométriques assez différentes peuvent résulter en des scénarios thermiques
finalement très comparables.
Les différents points testés n’ont pas permis d’aboutir à des point de minimum locaux pour
α = 0, 50 et α = 0, 75. Cela suggère que la FOA pour ces valeurs de α est plus régulière, ce qui
rend alors le travail de recherche du point optimal plus facile. De plus, dans cet intervalle, on
trouve les configurations thermiques les plus intéressantes.
100
4. Optimisation thermique C
(a) x0,3 = [0,8 0,6 0,25]T
(b) X0,4 = [0,2 0,6 0,25]T
Figure 4.11.: Configurations thermiques initiales pour x0,3 et x0,4
101
4. Optimisation thermique C
Figure 4.12.: Configuration thermique initial pour x0,6 = [0,35 0,2 0,05]T
(a) α = 0 (b) α = 0, 25 (c) α = 1
Figure 4.13.: Champs de température optimisés par méthode de gradients
102
4. Optimisation thermique C
Table 4.2.: Températures, en K, des configurations optimisées selon le point de départ et lavaleur de α
Point initial \ α 0 0,25 0,50 0,75 1
x0,1424 402
504 351
424 402
430 362
424 402
419 368
424 402
416 372
424 402
416 376
x0,2476 354
504 351
476 354
430 362
476 354
419 368
476 354
416 372
476 354
416 376
x0,3499 405
504 351
499 405
430 362
499 405
419 368
499 405
416 372
499 405
416 376
x0,4464 395
504 351
464 395
430 362
464 395
419 368
464 395
416 372
464 395
416 376
x0,5494 369
486 362
494 369
467 367
494 369
419 368
494 369
416 372
494 369
419 375
x0,6438 408
504 351
438 408
430 362
438 408
419 368
438 408
416 372
438 408
416 376
x0,7803 440
486 362
803 440
430 362
803 440
419 368
803 440
416 372
803 440
416 376
x0,8688 456
486 362
688 456
430 362
688 456
419 368
688 456
416 372
688 456
416 376
x0,9467 393
486 362
467 393
430 362
467 393
419 368
467 393
416 372
467 393
416 376
Tmax point initial Tms point initial
Tmax point final Tms point final
103
4. Optimisation thermique C
Dans cette partie, on a montré qu’en fonction du point de départ choisi, on pouvait, même
si cela arrive peu au cours de nos calculs sur cet exemple simple, aboutir à une géométrie de
bifurcation qui n’est pas la meilleure même si elle reste plus acceptable que la configuration avant
l’optimisation. Cependant, en raison des non-linéarités du problème, on ne peut pas conclure avec
certitude quant au fait que les points trouvés soient des minimums globaux.
4.1.4.2. Influence de l’algorithme choisi
Afin de vérifier la pertinence de l’algorithme choisi, on a également testé 2 autres algorithmes
qui sont l’interior-point (IP) et l’algorithme génétique (AG). Le premier est un algorithme qui
nous donne, à priori, un point optimal local, comme l’active-set (AS). Le deuxième est une
méthode quasi-globale.
Les tests ont été réalisés pour les valeurs de α = 0 ; 0, 25 ; 0, 50 ; 0, 75 et 1. Les points optimaux
obtenus ont été les mêmes pour les trois algorithmes et pour les différents cas, en utilisant,
pour les méthodes de gradient, le point initial x0,1 = [0,5 0,5 0,2]T . La seule différence entre les
résultats est le temps de calcul.
L’algorithme génétique est un outil robuste et bien adapté pour résoudre le problème de la
bifurcation étudié ici. Néanmoins, en comparaison avec les autres méthodes, il requiert un temps
de calcul supérieur. En général, il faut entre 40 et 80 heures pour l’algorithme génétique contre
1 minute, pour l’active-set ou l’interior-point. On discute dans ce qui suit les résultats obtenus
par l’algorithme génétique, en ce qui concerne la méthode et l’évolution de ses paramètres.
Résultats avec l’algorithme génétique
Nous avons utilisé le module d’optimisation de Matlab(R) relatif aux algorithmes génétiques
pour résoudre le problème défini par l’Equation 4.14 avec les mêmes valeurs de α utilisées précé-
demment. Cet outil offre une vaste gamme de paramètres, 33 1 options au total. Il n’y a pas un
protocole à suivre pour régler ces options, la seule manière de découvrir le meilleur paramétrage
est la réalisation de tests.
Compte tenu du coût de la fonction objectif, par convenance, nous avons laissé les valeurs par
défaut, sauf la taille de la population et le nombre de générations. Vu que notre problème se
situe dans ℜ3 et que chaque axe est délimité par des bornes, si on divise chaque axe du domaine
de recherche en, disons, 10 segments, nous aurions facilement une population de 1000 (103)
individus. En suivant ce raisonnement, nous avons donc utilisé ce chiffre de 1000 individus pour
explorer l’espace de recherche. En ce qui concerne le nombre de générations, d’après quelques
tests préliminaires, les calculs généralement s’arrêtaient autour de la cinquième génération parce
que la variation du score moyen de la population d’une génération à l’autre ne changeait plus.
D’après cette observation, et en prenant en compte également du temps de calcul, nous avons
imposé un nombre de générations maximal de 10 pour les différents résolutions.
On présente dans le Tableau 4.3 le temps de calcul 2 et le nombre de générations. Le nombre de
générations que nous avons dans les données de sortie ne correspond pas précisément au nombre
réel de générations calculées. Pour chaque génération donnée, nous avons un certain nombre de
1. http ://www.mathworks.com/help/toolbox/gads/gaoptimset.html2. Processeur Intel(R) Core(TM) i5 M560 2,67Ghz et 8 Go de RAM
104
4. Optimisation thermique C
Table 4.3.: Statistiques des calculs d’optimisation sur la bifurcation
α Temps de calcul [heures] Générations
0 40 3 (41)
0,25 57 3 (41)
0,50 61 3 (41)
0,75 73 5 (67)
1 65 5 (67)
sous-générations qui sont exécutées pour la gestion des contraintes non-linéaires. Ces dernières,
ne sont pas revérifiées par l’algorithme à la dernière génération, pourtant, une vérification de la
part de l’utilisateur est nécessaire.
Cas α = 0
Pour chaque sous-génération, le nombre de fois que la fonction fitness est sollicitée correspond
au nombre d’individus dans la population. Pour le présent cas, nous avons 41000 points de
l’espace de recherche qui ont été explorés, leurs scores sont représentés graphiquement dans la
Figure 4.14a en suivant l’ordre des sous-générations. Au total, nous avons 2662/41000 (6,5%)
des individus qui ne respectent pas les contraintes, dont la majorité se trouve aux 14 premières
sous-générations, ce qui est naturel puisque l’algorithme est en train de reconnaître les bons et les
mauvais points. On remarque qu’à partir de la cinquième sous-génération (à partir de l’individu
5000), la diminution du score minimum est relativement faible.
La dernière sous-génération est représentée dans la Figure 4.14b. La fraction de crossover est
bien visible dans la population finale, nous avons 0,8 par défaut. L’algorithme ne trouve pas un
score qui soit inférieur à 350,8 ; la moyenne de la population finale est de 351,4 et le pire individu
a 370,5.
Les individus de la dernière sous-génération qui respectent les contraintes non-linéaires sont
présentés dans la Figure 4.18. On voit que la dispersion entre les points est faible, de façon à ce
que les valeurs moyennes de chaque variable sont facilement identifiées dans le graphique. Ces
valeurs moyennes sont en correspondance avec le meilleur individu, celui qui a le score le plus
faible. Cela justifie la proximité entre le meilleur score et le score moyen de la sous-génération
finale.
Une bonne dispersion des individus de la sous-population de départ et une taille raisonnable de
cette population sont importantes pour que l’exploration du domaine soit efficace. La distance
moyenne entre les individus au cours de sous-générations est présentée dans la Figure 4.19.
Au fur et à mesure que l’opérateur crossover amène à la recombinaison et à la création de
schemata de plus en plus performantes, on perçoit qu’au bout de la quinzième sous-génération
la distance moyenne entre les individus est environ trois fois plus petite que celle au départ.
L’algorithme est en train de converger vers un point optimal. Un deuxième effort est fait pour
augmenter la probabilité que le résultat final soit un minimum global par l’intermédiaire de
l’opérateur mutation. C’est grâce à la génération des enfants mutants que la distance entre les
105
4. Optimisation thermique C
(a) Evolution des scores le long des générations, α = 0
(b) Evolution des scores à la dernière sous-génération, α = 0
Figure 4.14.: Les scores des individus le long des générations
106
4. Optimisation thermique C
Figure 4.15.: Population optimale pour α = 0
individus remonte vers la vingtième et la trentième sous-génération, en maintenant la diversité
de la population au cours des générations. La mutation réalisée sur les individus au cours des
itérations engendre les variations de score observées dans la Figure 4.14a. Le long des sous-
générations d’une génération donné, la distance moyenne diminue, souvent, selon une gaussienne.
D’après le guide de l’utilisateur, le taux moyen de mutation décroit linéairement au cours de
générations.
Cas α = 0, 25
Le nombre de contraintes violées pour le présent cas est sensiblement inférieur, nous avons
680/41000 (1,7%). Dû à la nature stochastique de la méthode, il est difficile de dire que la
raison soit uniquement lié au paramètre α. En observant la Figure 4.17a, on perçoit une rapide
convergence des scores dans la première moitié des générations et la valeur minimale baisse très
peu. Nous avions déjà dans la population de départ une bonne estimation du meilleur individu.
Dans la deuxième moitié, on y observe hormis le score le plus bas, d’autres niveaux bien définis.
Il y a un ensemble de points en grande concentration vers le score 400, un nombre raisonnable
de points au tour du score 420 et quelques points au dessus du score 450. On observe dans
Figure 4.17b l’effet des opérateurs, les 800 premiers sont soumis au crossover, il y a 2 individus
d’élite qui sont préservés et donc, les 198 individus manquants sont soumis à la mutation. Dans
cette population assez diverse, la valeur minimale est de 379,2, la moyenne est de 383,3 et la
maximale de 454,4.
La population optimale ne contient pas une valeur moyenne bien définie, selon l’illustration
de la Figure 4.18. Le meilleur suit la tendance de la majorité des individus, néanmoins, il existe
d’autres points en évidence. En prenant, par exemple, la variable x1, nous avons la moyenne vers
0,3m, un deuxième groupe à la fin de la population au tour de 0,44m, un troisième vers 0,56m
107
4. Optimisation thermique C
Figure 4.16.: Diversité des populations au cours du calcul, α = 0
Table 4.4.: Scores et violation de contraintes
αScores
[min moy max]Violations
0,50 [393,3 393,5 416,7] 197/41000
0,75 [405,1 405,4 424,6] 16/67000
1 [415,5 416,5 472,4] 178/67000
et un dernier groupe près de 0,81m.
Les graphiques précédents démontrent que la population finale n’est pas concentrée autour
d’un point. On le constate également sur la Figure 4.19, la 41eme sous-génération présente une
distance moyenne entre les individus de 0,1m. D’ailleurs, on observe une bonne correspondance
entre les Figures 4.17a et 4.19, en mettant en évidence le rôle de l’opérateur mutation.
Cas α = 0, 50 ; 0, 75 ; et 1
Qualitativement, le comportement de l’algorithme génétique pour les cas α = 0, 50 ; 0, 75 et 1
est similaire aux cas précédents, la seule chose que les deux derniers ont en plus est le nombre de
générations. Dans le Tableau 4.4, on présente les scores de la dernière population et la quantité
d’individus qui ont été générés pendant tout le calcul sans respecter les contraintes. Les valeurs
des scores moyens sont toujours assez proches du meilleur individu, ce qui justifie la convergence
par une faible variation de la valeur moyenne d’une génération à l’autre. Le nombre de contraintes
violées au cours du calcul reste faible, surtout que le nombre total d’individus augmente de 41000
à 67000 pour les α = 0, 75 et 1.
108
4. Optimisation thermique C
(a) Evolution des scores le long des générations, α = 0, 25
(b) Evolution des scores à la dernière sous-génération, α = 0, 25
Figure 4.17.: Les scores des individus le long des générations
109
4. Optimisation thermique C
Figure 4.18.: Population optimale pour α = 0, 25
Figure 4.19.: Distance entre individus au cours du calcul, α = 0, 25
110
4. Optimisation thermique C
Figure 4.20.: Les scores à la dernière sous-génération, α = 0, 50
Nous avons constaté dans ces trois cas que la population finale n’a pas de dispersion plus
importante parmi les derniers individus. Ceci est une indication que le taux de mutation pour
ces cas était nul à la dernière génération. On présente dans la Figure 4.20 ce résultat, en prenant
comme exemple, le cas α = 0, 50.
4.1.4.3. Conclusions
On a étudié l’optimisation du refroidissement d’un domaine représentant une bifurcation. Cela
nous a permis de mieux appréhender les algorithmes locaux et globaux d’optimisation et de voir
leur comportement par rapport à un cas simple. Pour cela nous avons défini une fonction objectif
agrégée pour prendre en compte la température moyenne et la température maximale, pondérées
par un coefficient α. Une série de calculs a été réalisée pour comprendre l’effet du paramètre α sur
les résultats de l’optimisation de la fonction objectif agrégée (FOA), définie par l’Equation 4.14.
D’après le Tableau 4.2, on note qu’il est possible de maintenir la même valeur de la température
maximale et de faire baisser la moyenne de 4K quand on passe de α = 1 à α = 0, 75. Ce résultat,
observé également dans la Figure 4.10a, n’est plus possible quand on diminue encore la valeur de
α, puisque l’augmentation de la température maximale est plus rapide que la diminution de la
température moyenne. Un bon compromis reste entre 0, 50 ≤ α ≤ 0, 75. L’étude de ce cas nous
a également permis de vérifier simplement la validité des résultats obtenus. A partir d’une étude
sur la thermique de quelques cas types, nous avons identifié des pistes pour l’identification du
point optimal, indépendamment de la valeur de α. Les valeurs optimales des variables x1 et x2
doivent être entre leurs bornes inférieures et le centre de la bifurcation. La largeur optimale du
canal principal doit être supérieure à la dimension de la branche latérale. Il faut souligner qu’il
existe des points qui ne correspondent pas à ces critères et qui ont une configuration thermique
assez proche, mais pas meilleure, de la configuration optimale.
111
4. Optimisation thermique C
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Figure 4.21.: Débits de référence du modèle thermique
4.2. Optimisation thermique de la machine électrique
La description du modèle thermique de la machine électrique et sa résolution ont été abordés
au Chapitre 3. Ce modèle est utilisé dans nos études d’optimisation. Dans la présente section,
on décrit la formulation du problème d’optimisation, les méthodes de résolutions utilisées et
l’exploitation des résultats.
4.2.1. Définition du problème d’optimisation thermique
Le problème d’optimisation est défini par les variables d’optimisation, le critère à minimiser
et les contraintes qui délimiteront le problème. Ces informations sont discutées par la suite.
4.2.1.1. La fonction objectif et les contraintes
Le but de cet étude d’optimisation est trouver une configuration thermique plus intéressante
que celle présentée dans les Figures 3.8, 3.9, 3.10 et 3.11. En se servant de l’expérience aquise avec
le problème d’optimisation d’une bifurcation, on utilise dans le cas de la machine deux critères :
la température maximale et la moyenne du solide pondérée par le volume.
La recherche d’une configuration thermiquement optimisée est faite par la variation des débits
de référence de la machine. Ils sont 13, dénotées par X = [X1, X2, ..., X13]T . Leur position et
leur valeurs sont présentées respectivement dans la Figure 4.21.
Les variables de design ne peuvent pas varier librement ; autrement des valeurs très importantes
en vitesse seraient atteints (écoulement supersonique, par exemple) ou on pourrait avoir des
débits entrants dans le rotor. Afin d’éviter ces incohérences, on a imposé les bornes de [0 3,5]
m3.s−1 pour les variables X1, X2, ..., X7 et les bornes de [−2 2] m3.s−3pour les variables X8,
X9, ..., X13. Une contrainte non-linéaire s’avère également nécessaire pour éviter un effet de
recirculation généré par l’arrangement des voies d’évacuation du système de refroidissement de
112
4. Optimisation thermique C
la machine. Par exemple, si tous les débits sortant du rotor (6 canaux) sont en butées à leur
limite supérieure (2m3.s−1), on aura un débit sortant du rotor de 12m3.s−1. En sachant qu’on
n’a que 7m3.s−1 entrant dans la machine, on voit que les bornes ne sont pas suffisantes pour
assurer des configurations physiquement plausibles. En suivant ce raisonnement, on a défini 6
volumes de contrôle (Figure 4.21, Volumes I, II, ..., VI) dans le domaine. La somme des débits
entrant (QE) est faite pour chaque volume et confrontée au débit entrant de la machine (Qin).
Compte tenu des paragraphes précédentes, on définit mathématiquement le problème par :
min FOA = αTmax(X) + (1− α)Tms(X) (4.15a)
0 ≤ α ≤ 1 (4.15b)
0 ≤ X1 ≤ 3, 5 (4.15c)
0 ≤ Xi ≤ 2, pour i=2, 3, ..., 7 (4.15d)
−2 ≤ Xi ≤ 2, pour i=8, 9, ..., 13 (4.15e)
QE,i −Qin ≤ 0, pour i=I, II, ..., VI (4.15f)
4.2.2. Outils et paramétrage
Les outils
Les toolboxes de Matlab® ont été utilisées pour résoudre ce problème d’optimisation, plus
précisement, le solver des Algorithme Génétique (AG) et le solver FMINCON (type SQP, Active-
set). Ces méthodes sont décrites dans les Sections 2.3.1 et 2.3.2.1.
Parametrage
Pour l’Algorithme Génétique, une population de 1000 individus a été choisie. Cinc valeurs de
α ont été testées, pour vérifier la pertinence de la fonction objectif aggregée (FOA). Comme dans
le cas de la bifurcation, on a utilisé les valeurs 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1. Les autres paramètres sont
laissés aux valeurs par défaut, comme par exemple, la fraction de crossover (0,8) et le nombre
d’invidus d’élite (2). Le nombre de générations est laissé suffisamment large pour favoriser le
critère d’arrêt <<variation moyenne de la fonction objectif moyenne est inférieure à la tolérance
specifiée>>.
En ce qui concerne l’Active-set, on n’a testé que le critère température moyenne du solide
pondéré par le volume (α = 0), en utilisant les tolérances (relatives) par défaut de 10−6. Cette
valeur s’est montré suffisante pour favoriser le critère <<variation moyenne de la température
moyenne est inférieure à la tolérance>>, comme indique la Figure 4.22. Deux points de départ
ont été testés, ils sont :
Cas 1 :
X0, cas 1 = [0, 0030 0, 7626 0, 7267 0, 6772 0, 6145 0, 5482
0, 9437 1, 1174 1, 3269 1, 4021 1, 2951 − 0, 5181 − 1, 3305]T
113
4. Optimisation thermique C
Cas 2 :
X0, cas 2 = [3, 5000 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611
0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611]T
Le premier cas représente une répartition des débits réelle dans la machine. Il s’agit de notre cas
de référence. Le deuxième n’est qu’un point arbitraire qui représente une ventilation dégradée.
4.2.3. Résultats et discussion
Les résultats avec l’Algorithme Active-set.
L’évolution des 13 variables d’optimisation et de la FOA pour α = 0 est présentée dans la
Figure 4.22 pour les deux point initiaux testés (X0, cas 1 et X0, cas 2). Pour le cas 1 (Figure 4.22a),
45 itérations ont été exécutées. Des variations très importantes sont observées dans les 6 pre-
mières itérations. La FOA prend une direction montée à la troisième itération lorsque la variable
X1 s’approche de sa borne supérieure. Un comportement moins turbulent est observé entre les
itérations 6 et 24, malgré le fait que la FOA a pris la direction de montée une deuxième fois à la
15eme itération. Les 20 dernières itérations sont plus stables et permettent la convergence selon
le critère <<le changement estimé de la fonction objectif est inférieure à la tolérance relative
pré-établie (10−6)>>. La valeur de la FOA est de 333,5K.
Le deuxième point initial testé a eu besoin de 77 itérations (Figure 4.22b) pour atteindre l’état
optimal. Sa convergence a été obtenue par le même critère que le cas précédent. Les 20 premières
itérations sont très instables et la direction montante est prise à deux occasions. Les itérations
suivantes deviennent de plus en plus stables et la valeur optimale de la FOA est de 331,5K.
Bien que l’état initial soit dégradé (cas 2), la valeur de la FOA obtenue est meilleure que celle
du cas 1. Le champ de température dans son ensemble est lui aussi meilleur dans le deuxième
cas (Figure 4.23), notamment dans la région des développantes, côté sortie. La température la
plus importante au bobinage du rotor dans le cas 1 est de 433K, contre 407K dans le deuxième.
Dans les deux cas, la température aux développantes est de 432K.
Pour α = 0, on ne considère que la température moyenne dans la FOA. C’est le critère qui offre
la fonction objectif la plus lisse, une fois que l’on parle de valeurs moyennes. Malheureusement,
dans les deux cas étudiés on observe des fortes perturbations le long des itérations et la prise de
direction de montée. Ces perturbations peuvent ramener la solution vers un minimun local. Afin
d’augmenter la chance de trouver un minimum global et d’essayer des fonctions objectif encore
plus difficiles à résoudre en augmentant la valeur de α, on a utilisé les Algorithmes Génétiques.
Les résultats avec l’Algorithme Génétique.
Toutes les simulations se sont arrétées selon le critère <<la variation moyenne de la fonction
objectif moyenne est inférieure à la tolérance relative pré-établie (10−6)>>, à la quatrième géné-
ration (54000 évaluations de la fonction objectif). Les statistiques de la dernière génération pour
les différentes valeurs de α sont présentées dans la Table 4.5. La valeur moyenne de la FOA est
généralement proche de la minimale parce que la population finale est concentrée près du score
114
4. Optimisation thermique C
0 6 12 18 24 30 36 42−2.000
−1.250
−0.500
0.250
1.000
1.750
2.500
3.250
4.000
Iterations
X [m
3.s
−1]
330.0
334.4
338.8
343.1
347.5
351.9
356.3
360.6
365.0
AOF
[K
]
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
AOF
(a) Cas 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80−1.000
−0.438
0.125
0.688
1.250
1.813
2.375
2.938
3.500
Iterations
X [m
3.s
−1]
330.0
336.3
342.5
348.8
355.0
361.3
367.5
373.8
380.0
AOF
[K
]
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
AOF
(b) Cas 2
Figure 4.22.: Itérations réalisées à l’aide de l’algorithme Active-set
115
4. Optimisation thermique C
(a) Cas 1
(b) Cas 2
Figure 4.23.: Champs optimaux de température - Active-set
minimal. Le nombre de contraintes violées tend à diminuer avec l’augmentation du paramètre α.
Les valeurs minimales de la FOA augmentent, en moyenne, de 23K d’une valeur de α à l’autre.
En comparant les algorithmes Active-set et Génétique (AG), la valeur de la FOA fournie par les
AG est légèrement inférieure.
Table 4.5.: Les statistiques de l’Algorithme Génétique pour différentes valeurs de α
α Scores de la dernière génération Violations
[min moyenne max]
0 [331.2 331.8 341.7] 2071/54000
0.25 [355.8 356.7 454.9] 1818/54000
0.50 [379.2 383.2 638.3] 1369/54000
0.75 [401.7 405.4 501.7] 1093/54000
1 [423.5 428.7 799.0] 974/54000
La liste créée avec les critères température maximale et température moyenne du solide pondé-
rée par le volume pour les différentes valeurs de α est illustrée dans la Figure 4.24. Les estimations
de Tmax et Tms obtenues avec l’Active-set (cas 1, α = 0) sont également présentées. Ils se trouvent
proches du point optimal pour α = 0, 25. Tous les points optimaux sont dispersés dans un rec-
tangle de 7x5K. Les points correspondants à α = 0, 75 et 1 sont assez proches. Ceci s’explique
par le fait que le critère de température maximale est plus difficile à minimiser que la moyenne.
Le gain en Tmax observé en changeant α de 1 à 0 est légèrement supérieur à la décroissance du
critère Tms, mais cela ne veut pas dire que le scénario thermique pour α = 1 soit plus intéressant.
116
4. Optimisation thermique C
422 423 424 425 426 427 428 429 430 431
332
333
334
335
336
337
Tmax
[K]
Tms [K
]
α = 0
α = 0.25
α = 0.50
α = 0.75
α = 1Optimal results
Ref.Case
Figure 4.24.: Liste d’individus optimaux
La comparaison entre les critères α = 0 et α = 1 (Figure 4.25) montre que le critère tempéra-
ture moyenne du solide (α = 0) permet un meilleur refroidissement. Les valeurs intermédiaires
de α ne sont qu’une transition entre les deux cas extrêmes. Le bobinage du rotor et la deuxième
moitié du stator (en relation à l’entrée) sont pénalisés lorsque plus d’importance est donnée au
critère de température maximale. Dans toutes les situations, la température la plus importante
se situe aux développantes. Autrement dit, la région des développantes n’est pas la plus sensible
à la répartition de débits dans l’alternateur. Les bobinages sont mieux refroidis dans la région
centrale du modèle puisque le matériau solide au voisinage (les tôles magnétiques du stator) et
les évents augmentent la surface d’échange. Voici la raison pour laquelle le critère température
maximale a échoué, une fois qu’elle se trouve toujours dans les développantes.
Les répartitions optimales obtenues ne suivent pas les tendances du cas de référence (Cas 1),
sauf la variable X1 qui est toujours près de sa borne inférieure. Bien que la fonction objectif
soit différente pour chaque valeur de α, on a des caractéristiques semblabes entre les différentes
répartitions optimales. Par exemple, tous les débits au stator sont dans le sens de l’entrefer vers
la carcasse. Ils correspondent à 90% du débit entrant, donc la majorité du débit passe par le
canal axial statorique, entre le stator et la carcasse. On perçoit également que le débit au premier
évent est près de sa borne supérieure en même temps que X1 est près de sa borne inférieure. Ceci
suggère que le passage X1 pourrait être fermé afin de favoriser le flux conductif de chaleur dans
la direction radiale. Ainsi, le premier évent est la voie la plus efficace pour refroidir la première
portion solide du stator (développantes comprises).
Pour α = 0, la répartition de débits a une particularité qui la rend plus efficace que les autres.
Quasiment tout le débit entrant passe par le rotor avant de monter dans les évents. Dans le
rotor, la majorité du débit entrant sort par les trois derniers canaux radiaux. Le rotor sert de
voie stratégique d’injection d’air frais dans la deuxième moitié de la machine. Les deux autres
options, l’entrefer et le canal axial statorique, ne peuvent pas donner le même effet parce que ce
sont le régions où il y a une grande dissipation d’énergie (pertes, Figure 3.7).
117
4. Optimisation thermique C
(a) α = 0
(b) α = 0, 25
(c) α = 0, 50
(d) α = 0, 75
(e) α = 1
Figure 4.25.: Champs optimaux (AG)
118
4. Optimisation thermique C
4.2.4. Conclusion
On a étudié l’optimisation thermique d’une machine électrique de forte puissance. Cet al-
ternateur est modélisé par la méthode nodale et le champ de température résultant est utilisé
pour définir une fonction objectif agrégée. Cette fonction combine deux critères, la température
maximale et la moyenne du solide pondérée par son volume. Treize variables d’optimisation sont
utilisées, elles correspondent aux débits de référence du modèle thermique. Deux outils d’op-
timisation ont été utilisés, les Algorithmes Génétiques et l’Active-set du solver FMINCON du
Matlab®. La méthode de gradient a démontré de fortes tendances de minima locaux, et ainsi, les
algorithmes génétiques se sont montrés plus appropriés pour le recherche de l’optimum global.
Le critère de température moyenne s’est montré plus pertinent que le critère de température
maximale. A partir du résultat, on conclut que le rotor est une voie stratégique pour l’injection
d’air frais à la deuxième partie de la machine. Les autres solutions lui fournissent de l’air déjà
chaud.
119
5. Conclusions et perspectives
5.1. Conclusions
Dans ce travail de thèse, on a étudié le comportement thermique d’une machine synchrone
de forte puissance. Il s’agit d’un groupe de machines qui fournissent entre 5 et 20 MW , dédiées
à la production décentralisée d’énergie. Malgré leur excellent rendement, on risque d’avoir des
niveaux thermiques importants dans les isolants électriques. Il est ainsi souhaitable de gérer
ces niveaux thermiques afin d’augmenter la vie utile de l’équipement, sans compromettre leur
rendement. L’optimisation sur le point de vue thermique s’avère ainsi nécessaire.
On a une grande variété d’outils d’optimisation. Dans ce travail on a cité deux groupes :
les méthodes locales et (quasi) globales. Le premier comprend les méthodes qui n’ont pas de
mécanismes destinés à éviter les points de minimum locaux. Plus précisément, on a abordé les
méthodes de gradient comme l’Active-set et le Point Intérieur. Le deuxième groupe correspond
aux Algorithmes Génétiques. Le succès dans l’obtention du point optimal global dépend d’un
bon paramétrage de l’algorithme vis-à-vis de la taille du problème et de la fonction objectif. Les
deux groupes ont été utilisés pour l’étude de l’optimisation de la machine électrique.
Afin de mieux comprendre ces deux groupes de méthodes, on s’est servi d’un cas pédagogique.
On a considéré une géométrie simple qui se répète très souvent dans le système de refroidissement
de la machine. Cette géométrie est une bifurcation à 90° avec une seule entrée. Son modèle aéro-
thermique est composé d’un sous-modèle de pertes de charge (fluide) et nodale (thermique). Ce
modèle permet l’obtention du champ de température en fonction de paramètres géométriques. Le
problème d’optimisation a été modélisé en utilisant des variables géométriques et la pondération
entre les critères <<température maximale>> et <<température moyenne>>. S’ils sont bien
utilisés, les deux outils d’optimisation se montrent capables d’atteindre l’optimum global pour
ce cas.
Une fois maîtrisé les outils d’optimisation, on a travaillé sur le problème d’optimisation de
la machine électrique. Treize valeurs de référence de débits ont été utilisées comme variables
d’optimisation. La pondération entre les deux critères testés dans le cas de la bifurcation a été
également utilisée. On a toutefois deux grands changements : la taille du modèle thermique, on
passe de 9 à 950 nœuds et la taille du problème d’optimisaton, on passe de 3 à 13 variables.
Compte tenu de l’augmentation de la complexité du problème, l’Algorithme Génétique s’est
montré plus adapté.
La présente étude a identifié le chemin par lequel le fluide pourrait mieux refroidir la machine.
Compte tenu que le modèle thermique représente les tendances thermiques, le résultat optimal
est plutôt qualitatif. Selon notre modèle, on a perçu qu’il est plus viable de faire entrer l’air
entièrement par le rotor, en sortant dans l’entrefer et en montant par les évents. Le rotor est une
voie stratégique pour injecter de l’air froid du coté sortie d’air de la machine, où généralement il
120
5. Conclusions et perspectives
arrive déjà réchauffé.
5.2. Perspectives
On a deux voies de travaux possibles qui peuvent être continuées. On a la voie expérimentale
et la voie numérique.
Ce travail de thèse était à l’origine expérimental. On a construit une maquette transparente
pour l’étude aérothermique d’un enchaînement de bifurcations. Malheureusement cette maquette
est devenue opérationnelle un peu trop tard pour le cadre de la présente étude. Un schéma et le
principe de fonctionnement sont présentés dans l’Annexe A. Dans cette maquette, on pourra dans
le futur étudier non seulement l’aspect aéraulique par l’intermédiaire de la PIV (Vélocimétrie
par Images de Particules), mais aussi, les échanges convectifs aux parois par la thermographie
infrarouge.
La séquence de ce travail d’optimisation pourrait aborder deux aspects : explorer encore
d’autres outils d’optimisation et utiliser des modèles thermiques plus fins. On a des méthodes
d’optimisation récentes qui se montrent assez robustes pour différentes applications, comme par
exemple, la PSO (optimisation par essaims particulaires). En ce qui concerne le modèle ther-
mique, il est souhaitable d’utiliser des outils plus fins de calcul afin de mieux prendre en compte
les différents mécanismes de transport. Par exemple, il y a des outils basés sur l’analyse par
éléments finis (FEA). L’utilisation de méthodes numériques plus robustes devient nécessaire
lorsqu’on envisage l’optimisation géométrique et l’optimisation multiphysique.
121
Annexe
122
A. Maquette : Séquence de bifurcations
On présente une maquette transparente conçue dans le but d’étudier une séquence de 5 bifur-
cations à 90°. Cette région représente une partie de la machine électrique étudiée dans ce travail.
On représente la région du stator comprise entre l’entrefer et le canal axial statorique. Dans la
Figure A.1 on a les cinq bifurcations en mettant en évidence l’entrefer, les évents et le canal axial
rotorique.
A cause de la technique de mesure, il était souhaitable d’avoir la maquette en circuit fermé
(Figure A.2). Le retour est construit de façon à générer la plus petite perte de charge possible.
Il y a ainsi la nécessité d’un convergent et des divergents pour faire varier l’aire des sections.
Il est important d’avoir un écoulement contrôlé à l’entrée de la maquette. A cet effet, trois
mesures ont été prises :
– Positionner les ventilateurs à la sortie ;
– Conception d’une section de stabilisation :
– Conception d’un convergent 2D.
En mettant les ventilateurs à la sortie, toute perturbation générée par les pales ne sera pas
injectée dans l’écoulement étudié. De plus, en ajoutant une section de stabilisation, on casse les
structures tourbillonaires qui peuvent arriver à l’entrée et on oriente l’écoulement parallèlement
aux parois. Pour atteindre ce but, un nid d’abeille a été mis avant le convergent, une fois que les
vitesses y sont moins élevées et cela provoque une perte de charge moins importante.
Le convergent est la pièce la plus importante de la maquette. Tout ce qui va après le convergent
influencera directement les résultats. Il est donc important d’avoir une transition douce entre
les sections d’aires différentes. On n’a qu’un changement en hauteur, la largeur est toujours
la même. Ainsi, on a un convergent 2D. Il n’existe pas de règle pour projeter le profil d’un
convergent. Toutefois, on a suivi une méthodologie. On a choisi un profil d’un polynôme d’ordre
3, en considérant des dérivées nulles en entrée et en sortie et en mettant son point d’inflexion au
milieu du convergent (à 200mm de son origine). Le profil obtenu, illustrée dans la Figure A.3,
est :
f (x) = 5, 9375x3 + 3, 5625x2 (A.1)
0 ≤ x ≤ 400 (A.2)
Enfin, on présente un schéma 3D de la maquette (Figure A.4a) et la maquette achevée dans la
Figure A.4b. En ce moment, la maquette est opérationelle, prête pour les études aérothermiques,
en sachant qu’on a un module spécial pour l’étude thermique.
123
A. Maquette : Séquence de bifurcations
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Figure A.1.: Séquence de 5 bifurcations
124
A. Maquette : Séquence de bifurcations
Figure A.2.: La maquette : principales dimensions
125
A. Maquette : Séquence de bifurcations
Figure A.3.: Convergent
126
A. Maquette : Séquence de bifurcations
(a) Schéma 3D
(b) Maquette achevée et instrumentée avec un système PIV 2C2D
Figure A.4.: La maquette
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135
Résumé
La présente étude concerne l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique. Un
modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résoud
l’équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transi-
toire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants :
la conduction et la convection. L’évaluation de ce modèle est effectuée par l’intermediaire de
13 valeurs de débits de référence. C’est en faisant varier ces variables qu’on évalue la perfor-
mance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l’étude d’optimisation de cette
géométrie, on a lancé une étude d’optimisation d’un cas plus simple afin de mieux comprendre
les différents outils d’optimisation disponibles. L’expérience acquise avec les cas simples est util-
isée dans l’optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la
combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des con-
traintes ont été additionnées afin d’obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème
est résolu à l’aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes
Génétiques.
iii
Abstract
This work relates the thermal optimization of an electrical machine. The lumped method is
used to simulate the temperature field. This model solves the heat equation in three dimen-
sions, in cylindrical coordinates and in transient or steady state. We consider two transport
mechanisms: conduction and convection. The evaluation of this model is performed by means
of 13 design variables that correspond to the main flow rates of the equipment. We analyse
the machine cooling performance by varying these 13 flow rates. Before starting the study of
such a complicated geometry, we picked a simpler case in order to better understand the variety
of the available optimization tools. The experience obtained in the simpler case is applyed in
the resolution of the thermal optimization problem of the electrical machine. This machine is
evaluated from the thermal point of view by combining two criteria: the maximum and the mean
temperature. Constraints are used to keep the problem consistent. We solved the problem using
the gradient based methods (Active-set and Interior-Point) and the Genetic Algorithms.
iv