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MINISTERIO DE EDUCACION SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA

OLIMPADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMTICA - Soluciones - Segunda Fase - Nivel 2 1

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMTICA 2004Segunda fase

Soluciones Segundo nivelSetiembre de 2004

1. Rolando ley ayer la quinta parte de las pginas de un libro hoy ley la mitad de lo que lequedaba por leer y todava le faltan 80 pginas. Cuntas pginas tiene el libro?

SolucinAyer l e qued por leer las cuatro quintas partes (

1 41

5 5- = ). El da de hoy ley la mitad de

lo que le quedaba por leer, es decir, las dos quintas partes y todava le quedaron las otras

dos quintas partes. Por lo tanto, si x es la cantidad de pginas del libro tenemos la

ecuacin:

2

805x=

cuya solucin es 200x= .

2. Una delegacin de 36 estudiantes viajar representando a su colegio en una competenciadeportiva. Cada estudiante representa a su colegio solo en una disciplina, ftbol, bsquet otenis. Se sabe que la mitad del nmero de futbolistas ms la tercera parte de basquetbolistases igual a 14. Adems, el nmero de basquetbolistas ms el doble del nmero de tenistas esigual al nmero de futbolistas. Cuntos tenistas conforman la delegacin?

SolucinSean f, b y tvariables que representan la cantidad de futbolistas, basquetbolistas y

tenistas, respectivamente, en la delegacin del colegio. Luego:

36f b t+ + = (1)Tambin, por condicin del problema:

142 3

f b+ = (2)

2b t f+ = (3)Podemos resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas por cualquiera de los

mtodos conocidos o podemos obtener directamente el valor de t multiplicando cadaecuacin por algn coeficiente conveniente. Por ejemplo, si multiplicamos por 12 laecuacin (2), le sumamos la ecuacin (3) y le restamos 5 veces la ecuacin (1)obtenemos:

( ) ( )12 2 5 12 14 5 362 3f b b t f b t f + + + - + + = + - Simplificando:

3 12f t f- = -

4t=

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3. Calcula la suma de todos los nmeros que satisfacen la siguiente ecuacin:

3 2 18x x- - =

SolucinTenemos:

3 2 18x x- = +( ) ( )3 2 18 3 2 18x x x x - = + - = - +2 20 4 16x x= = -

10 4x x= = -Verificando en la ecuacin original se confirma que ambos valores son soluciones. Luego,la suma de las soluciones es 10 4 = 6.

4. Factoriza el siguiente polinomio, en el conjunto de polinomios con coeficientes enteros, 4 2( ) 6 25P x x x = + +

Indica como respuesta el nmero de factores primos.Solucin

Tenemos:4 2( ) 6 25P x x x = + +

( )4 2 2( ) 10 25 4P x x x x = + + -( ) ( )2 22( ) 5 2P x x x = + -

( )( )2 2( ) 2 5 2 5P x x x x x = + + - +Como el polinomio 2 2 5x x+ + tiene discriminante negativo:

( ) ( )( )22 4 1 5 16D = - = - ,no se puede factorizar. Lo mismo sucede con el polinomio 2 2 5x x- + . Por lo tanto, ( )P xsolo tiene dos factores primos.

5. Sea funa funcin definida en los nmeros reales tal que:(0) 2f =

( 1) ( ) 2 4f x f x x + = + + , para todo valor de x

Calcula el valor de (1) ( 1)f f+ - .Solucin

Si reemplazamos 0x= en la ecuacin obtenemos:

( ) ( )1 0 2 0 4f f= + +y como (0) 2f = , se obtiene ( )1 6f = .De otro lado, si reemplazamos 1x= - en la ecuacin se obtiene:

( ) ( ) ( )0 1 2 1 4f f= - + - +y como (0) 2f = , se obtiene ( )1 0f- = .Finalmente:

(1) ( 1) 6f f+ - =

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6. Por el vrtice B de un tringulo ABC se traza la recta L paralela al lado AC. La bisectrizinterior del ngulo A corta a L en el punto M y la bisectriz exterior del ngulo C corta a larecta L en el punto N. Si AB = 24 y BC = 36, calcula MN.

SolucinSe tiene la siguiente figura:

A

B

C

NML

Como AM es bisectriz, ABM = MAC. Pero como L es paralela a AC, BMA = MAC(ngulos alternos internos). De estas dos igualdades se deduce que ABM = BMA, porlo que BM = AB = 24. De manera similar se concluye que BN = BC = 36.Finalmente, MN = BN BM = 36 24 = 12.

7. Santiago intercambi los dgitos de un nmero de tres cifras de modo que ningn dgitoqued en su posicin original y obtuvo as otro nmero de tres cifras. Despus rest elprimer nmero menos el segundo y obtuvo como resultado un nmero cuadrado perfectode dos dgitos. Cuntos posibles valores tiene este nmero cuadrado perfecto?

SolucinSea n abc = el nmero original. Luego del intercambio de dgitos el nmero puede ser

bca o cab. Para el primer caso, la diferencia d entre el nmero original y el nuevo

nmero es:

d abc bca = -

( ) ( )100 10 100 10d a b c b c a = + + - + +99 90 9d a b c = - -

( )9 11 10d a b c = - -Vemos que esta diferencia es mltiplo de 9 y, por condicin del problema, debe ser

cuadrado perfecto. Entonces, dsolo tiene dos posibles valores: 36 y 81. Por ejemplo:

218 182 36- =213 132 81- =

En el segundo caso, tambin la diferencia d resulta mltiplo de 9 y los nicos nmeros

posibles son 36 y 81.

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8. Encuentra la cantidad de nmeros capicas de 5 cifras que sean mltiplos de 37.Nota: Un nmero capica es aquel que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierdaa derecha. Por ejemplo, 171, 2002 y 45054.

SolucinUn nmero capica n de cinco cifras tiene la siguiente forma abcba. Luego,

descomponiendo el nmero:

10000 1000 100 10n a b c b a = + + + +10001 1010 100n a b c = + +

( ) ( ) ( )9990 11 999 11 111 11n a a b b c c = + + + + -( ) ( )9990 999 111 11 11 11n a b c a b c = + + + + -

( ) ( )37 270 27 3 11n a b c a b c = + + + + -De esta ltima expresin, para que n sea mltiplo de 37 se tiene que cumplir que

( )11 a b c+ - sea mltiplo de 37. Esto solo es posible cuando 0a b c+ - = , es decir,cuando a b c+ = . Para cada valor de c se tienen c soluciones, por ejemplo, para 4c=las soluciones son 4, 0a b= = 3, 1a b= = 2, 2a b= = y, 1, 3a b= = . Como c puedetomar valores desde 1 hasta 9, el nmero de soluciones es 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 = 45.

9. En una lejano pas, existen solamente tres tipos de monedas cada una con un valorentero de soles. Juan tiene cuatro monedas en su bolsillo derecho por un total de 28 solesy tiene cinco monedas en su bolsillo izquierdo por un total de 21 soles, pero en cadabolsillo tiene al menos una moneda de cada tipo. Determina la suma de los valores de lostres tipos de monedas.

SolucinSean

a, b

y c

los valores de las monedas, donde1a b c

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