JointworkwithNoboruItoUniversityofTokyo

Ontheequivalenceclassesofsphericalcurvesby

ReidemeistermovesⅠandⅢ

MegumiHashizumeMeijiUniv.Organiza?onforthe

StrategicCoordina?onofResearchandIntellectualProper?es/OCAMI

25,12,2017

Reidemeistermovesofsphericalcurves

SphericalcurveReidemeistermovesofsphericalcurves

Inthistalk,wefocusonRIandRIII.

RIRIII

RII

Mo9va9onAnexampleofHagge-Yazinski

T.HaggeandJ.Yazinski,OnthenecessityofReidemeistermove2forsimplifyingimmersedplanarcurves,BanachCenterPubl.103(2014),101–110.

Mo9va9onAnexampleofIto-Takimura

N.ItoandY.Takimura,Onanontrivialknotprojec?onunder(1,3)homotopy,TopologyAppl.210(2016),22-28.

Moreover,theyfoundaninfinitenumberofexamples!

Ques9on

WhatsphericalcurveisobtainedfromthesimpleclosedcurvebyRI,RIIIandambientisotopy?

？RI,RIII

Today’sproblem

P:asphericalcurveWhatsphericalcurveP’isobtainedfromPbysomeRI’s,asingleRIIIandambientisotopy?

someRI’s,singleRIIIPP’

PreliminariesDef(keyopera?ons)

※講演ではβのみ上記のように両方の操作を紹介しました．しかし，講演中に谷山公規氏(早稲田大)に頂いたコメントの通り，局所的な部分の取り替え操作なのでα，βいずれも右側のみ（もしくは左側のみ）の操作だけで十分でした．本スライド報告は操作後に得られる球面曲線が大きく異なるので両方向の操作を紹介しておきます．

Preliminaries

singleRIIIRI

RI×3 singleRIIIRI×3

singleRIII

Def(reducible)P:asphericalcurveonS2

D1,D2:disksonS2

If∃E(⊂S2):circles.t.D1⊔ED2=S2

E∩P={adoublept.d}T1⊂D1,T2⊂D2,thenwesaythatPisreducible.If∃E,thenwesaythatPisirreducible.

Preliminaries

E

D1D2

MainresultP:asphericalcurven(P):thenum.ofthedoublepointsofP

P,P’:sphericalcurvesSupposeP,P’:irreducible

PP’Then,|n(P’)-n(P)|=0,1or3.Inpar?cular,

・|n(P’)-n(P)|=0⇔PP’・|n(P’)-n(P)|=1⇔PP’・|n(P’)-n(P)|=3⇔PP’

singleRIII

singleβsingleα

someRI,singleRIII

RIII

AsphericalcurvePvertexvPP,P’:sphericalcurves

IfP’isobtainedfromPbysomeRI’s,asingleRIIIandambi.iso.,thenthereexistsanedgefromvPtovP’.

ComplexinducedbysphericalcurvesandRIII,α,β

someRI,singleRIII

RI,RIII

PP’RI,RIII

ComplexinducedbysphericalcurvesandRIII,α,β

P,P’:irredu.sphericalcurvesd3(P,P’):=min{k|P’isobtainedfromPbysomeRI’s,kRIII’sandamb.iso.}

CorollaryofmainresultP,P’:sphericalcurves

RI,RIII RIII,α,βPP’　⇔ PP’

講演では上記を主結果の系として紹介しました．しかし講演後，早野健太氏（慶應大）から指摘・質問を頂き，当Cor.が主結果から直ちに得られるという報告は適切ではないとわかりました．従いまして，本講演記録では当Cor.の報告を控えさせていただきます．

KeyLemma

P:asphericalcurve

fc(P):thenum.ofprimefactorsofP

KeyLemmaRI

RIII

type1-

type1+

RIIIRIII

type1-

type1+

RIII

type2-

type2+RIII

講演では局所変形を施す部分の外側の繋がり方の場合分けが不十分でした．講演中に瀧村祐介氏（学習院中）に頂いたコメントにより補完しました.

KeyLemmaP:asphericalcurven(P):thenum.ofthedoublepointsofPSupposethatP’isobtainedfromPbyRI’s,asingleRIIIandambientiso.Thenwehave;fc(P’)=fc(P)+n(P’)-n(P)+1#{RIII|type1+}+2#{RIII|type2+}+(-1)#{RIII|type1-}+(-2)#{RIII|type2-}