From Problem Solvers to Solution Seekers: Dismantling Knowledge Boundaries at NASA
On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
6
MA THEMA TICS: R . COURANT ON P L A T E A U S PROBLEM WITH FREE BOUNDARIES By R . COURANT NEW YORK UNIVERSITY Communicated July 5 , 1945 Plateau's problem with free boundaries concerns minimal surfaces o f least area with parts o f t h e boundary prescribed a s Jordan arcs while other free parts o f t h e boundary a r e merely restricted t o prescribed boundary surfaces S . T h e existence o f such minimal. surfaces h a s been established,' b u t the question remains open whether specific statements concerning t h e trace o f t h e minimal surface on t h e prescribed boundary surfaces S c a n b e made, trace meaning t h e se t o f boundary points o f o n S. Examples show that this trace need n o t b e a continuous curve;2 therefore, t o secure a reasonable trace o f M, conditions have t o b e imposed on S . To f i x t h e ideas w e consider t h e case o f a doubly connected minimal surface o f least area with i t s boundary o n a closed surface S a n d i t s fixed boundary on a closed Jordan curve r outside S ; M, lying i n th e x - space, m ay b e parametrically represented b y an harmonic vector x(u, v ) with components x , y , z where u , v ranges over a n annular ring A ? i n t h e u , v plane between t h e unit circle p a n d a concentric circle I , s o that r i s mapped onto r a n d that , corresponds t o t h e trace p o f on S . I t i s the purpose o f t h e present note t o show:3 ( a ) T h e trace i s a continuous curve i f th e prescribed boundary surface S i s convex. b ) T h e trace i s a rectifiable curve i f S i s convex a nd if there exists a cone o f supporting planes o f S bounding together with S a portion o f th e space which contains r .4 e first prove t h e theorem (a): By a basic elementary lenuna5 one can draw i n A circular arcs - y of arbitrarily small radii with an y point p o n p a s center, joining t w o points o n p , such that t h e images y i n th e x-space a r e arbitrarily short (and analytic, except possibly a t t h e end-points). Th e - y a s well i t s image y o n i s called.a bridge. The small pieces o f t h e minimal surface corresponding t o t h e small biangular part o f A between - 7 a n d p i s denoted by M(,y). Then w e prove b y indirect reasoning: F o r sufficiently small e th r exists a 5 e ) s o that, f o r a l l points p o n p, t h e piece M(Qy) i s confined i n a sphere o f radius e provided that t h e bridge y i s shorter than d e). I f this statement were n o t true there would exist a sequence o f bridges j y a n d y f o r which t h e lengths tend t o zero a n d f o r which t h e diameter o f M(y) remains above a positive bound c . We m a y assume that t h e bridges y converge t o a point O o n S . About 0 w e draw a sphere I o f a small radius r which encloses t h e small bridge. Then w e show-and this i s sufficient f o r t h e proof o f o u r 2 4 2 PROC. N . A . S .
Transcript of On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
7/27/2019 On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
http://slidepdf.com/reader/full/on-plateus-problem-with-free-boundaries-rcourant 1/5
MATHEMA T I C S : R . COURANT
' O N PLA TEA U ' S PROBLEM WITH FREE BOUNDARIES
By R . COURANT
NEW YORK U N I V E R S I T Y
C o m m u n i c a t e d J u l y 5 , 1 9 4 5
P l a t e a u ' s p r o b l e m w i t h f r e e b o un d a r ie s c o n ce r n s m i n i m a l s u r f a c e s Mo f l e a s t a r e a w i t h p a r t s o f t h e b o u n d a r y p r e s c r i b e d a s J o r d a n a r c s w h i l e
o t h e r " f r e e " p a r t s o f t h e b o u n d a r y a r e m e r e l y r e s t r i c t e d t o p r e s c r i b e d
b o u n d a r y s u r f a c e s S . T h e e x i s t e n c e o f s u c h m i n i m a l . s u r f a c e s h a s b e e n
e s t a b l i s h e d , ' b u t t h e q u e s ti o n r e m a i n s o p e n w h e t h e r s p e c i f i c s t a t e m e n t s
c o n c e r n i n g t h e " t r a c e " o f t h e m i n i m a l s u r f a c e Mo n t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y
s u r f a c e s S c a n b e m a d e , " t r a c e " m e a n i n g t h e s e t o f b o u n d a r y p o i n t s o fMo n S . E x a m p l e s s h o w t h a t t h i s t r a c e n e e d n o t b e a c o n t i n u o u s c u r v e ; 2t h e r e f o r e , t o s e c u r e a " r e a s o n a b l e " t r a c e o f M, c o n d i t i o n s h a v e t o b e
i m p o s e d o n S .To f i x t h e i d e a s we c o n s i d e r t h e c a s e o f a d o u b l y c o n n e c t e d m i n i m a l
s u r f a c e Mo f l e a s t a r e a w i t h i t s f r e e b o u n d a r y o n a c l o s e d s u r f a c e S a n d i t s
f i x e d b o u n d a r y o n a c l o s e d J o r d a n c u r v e r o u t s i d e S ; M, l y i n g i n t h e x -
s p a c e , may b e p a r a m e t r i c a l l y r e p r e s e n t e d b y a n h a r m o n i c v e c t o r x ( u , v )
w i t h c o m p o n e n t s x , y , z w h e r e u , v r a n g e s o v e r a n a n n u l a r r i n g A ? i n t h e
u , v p l a n e b e t w e e n t h e u n i t c i r c l e p a n d a c o n c e n t r i c c i r c l e I , s o t h a t r
i s m a p p e d o n t o r a n d t h a t , c o r r e s p o n d s t o t h e t r a c e p o f Mo n S .I t i s t h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t n o t e t o s h o w : 3
( a ) T h e t r a c e i s a c o n t i n u o u s c u r v e i f t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y s u r f a c e S
i s c o n v e x .( b ) T h e t r a c e i s a r e c t i f i a b l e c u r v e i f S i s c o n v e x a n d i f t h e r e e x i s t s a c o n e
o f s u p p o r t i n g p l a n e s o f S b o u n d i n g t o g e t h e r w i t h S a p o r t i o n o f t h e s p a c e w h i c h
c o n t a i n s r . 4
We f i r s t p r o v e t h e t h e o r e m ( a ) : By a b a s i c e l e m e n t a r y l e n u n a 5 o n e c a n
d r a w i n A c i r c u l a r a r c s - y o f a r b i t r a r i l y s m a l l r a d i i w i t h a n y p o i n t p o n p
a s c e n t e r , j o i n i n g t w o p o i n t s o n p , s u c h t h a t t h e i m a g e s y i n t h e x - s p a c e a r e
a r b i t r a r i l y s h o r t ( a n d a n a l y t i c , e x c e p t p o s s i b l y a t t h e e n d - p o i n t s ) . The
a r c - y a s w e l l a s i t s i m a g e y o n Mi s c a l l e d . a b r i d g e .T h e s m a l l p i e c e s o f t h e m i n i m a l s u r f a c e M c o r r e s p o n d i n g t o t h e s m a l l
b i a n g u l a r p a r t o f A b e t w e e n - 7 a n d p i s d e n o t e d b y M ( , y ) . T h e n we p r o v e
b y i n d i r e c t r e a s o n i n g : F o r s u f f i c i e n t l y s m a l l e t h e r e e x i s t s a 5 ( e ) s o t h a t ,f o r a l l p o i n t s p o n p , t h e p i e c e M ( Q y ) i s c o n f i n e d i n a s p h e r e o f r a d i u s e
p r o v i d e d t h a t t h e b r i d g e y i s s h o r t e r t h a n d ( e ) . I f t h i s s t a t e m e n t w e r e
n o t t r ue t h er e w o u l d e x i s t a s e q u e n c e o f b r i d g e s j y a n d ' y f o r w h i c h t h e
l e n g t h s t e n d t o z e r o a n d f o r w h i c h t h e d i a m e t e r o f M ( y ) r e m a i n s a b o v e ap o s i t i v e b o u n d c . We may a s s u m e t h a t t h e b r i d g e s y c o n v e r g e t o a p o i n tO o n S . A b o u t 0 we d r a w a s p h e r e I o f a s m a l l r a d i u s r w h i c h e n c l o s e s
t h e s m a l l b r i d g e . Then we show-and t h i s i s s u f f i c i e n t f o r t h e p r o o f o f o u r
2 4 2 P R O C . N . A . S .
7/27/2019 On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
http://slidepdf.com/reader/full/on-plateus-problem-with-free-boundaries-rcourant 2/5
MATHEMA T I C S : R . CO URA NT
s t a t e m e n t ( a ) - t h a t M(z) l i e s e n t i r e l y i n I . To t h i s e n d we e x p l o i t t h e
a s s u m e d minimum a r e a p r o p e r t y o f M b y p e r f o r m i n g a g e o m e t r i c a l c o n -
s t r u c t i o n w h i c h w o u l d p r o v i d e a n a d m i s s i b l e s u r f a c e w i t h a r e a l e s s t h a nt h a t o f M i f we a s s u m e t h a t M ( Q y ) h a s p o i nt s o ut s id e o f 2 .
M a k i n g t h i s a s s u m p t i o n we r e p l a c e M ( ' y ) b y a s u r f a c e M o ( Q y ) w h i c h
c o n s i s t s o f t h e p a r t o f M ( Q y ) i n s i d e 2 a n d i n a d d i t i o n o f t h a t p a r t o f 2
f o r m e d b y p o i n t s o n t o w h i c h p o i n t s o f M ( ' y ) o u t s i d e o f 2 a n d v i s i b l e f r o m
0 a r e p r o j e c t e d f r o m 0 . By n o r m a l p r o j e c t i o n o n t o a s p h e r e t h e a r e a o fa s u r f a c e o u t s i d e i s d i m i n i s h e d ; 6 a n d b e c a u s e o f t h e c o n v e x i t y o f S t h e
s u r f a c e M o ( Q y ) j o i n s y w i t h S ; h e n c e t h e s u r f a c e M - M ( y ) + M o ( ' y )w o u l d b e a n a d m i s s i b l e s u r f a c e i n t h e o r i g i n a l minimum p r o b l e m w i t h a r e a
l e s s t h a n t h a t o f M, c o n t r a r y t o o u r a s s u m p t io n . T h u s t h e o r e m ( a ) i s
p r o v e d .
Th e p r o o f o f t h e o r e m ( b ) r e q u i r e s a m o r e e l a b o r a t e r e a s o n i n g . I t
p r o c e e d s i n t h e f o l l o w i n g s t e p s :
1 . T h e g i v e n s u r f a c e S i s a p p r o x i m a t e d b y a s e q u e n ce o f c o n v e x p o l y -h e d r a K f o r w h i c h a g a i n c o n e s o f s u p p o r t i n g p l a n e s e x i s t a s s p e c i f i e d a b o v e .
W i t h o u t r e s t r i c t i n g t h e g e n e r a l i t y o f t h e r e s u l t we a s s u m e t h a t a t e v e r y
v e r t e x o f K t h r e e f a c e s c o n v e r g e a n d f o r m t h r e e o b t u s e a n g l e s .2 . W i t h s u c h a p o l y h e d r o n K i n s t e a d o f S a s t h e f r e e b o u n d a r y t h e m i n i -
m a l s u r f a c e M i s s h o w n t o h a v e o n K a t r a c e p w h i c h c o n s i s t s o f a f i n i t e
n u m b e r o f a n a l y t i c a r c s .3 . T h e a s s u m p t i o n o f t h e o r e m ( b ) p e r m i t s t h e c o n c l u s i o n - a n d t h i s i s
t h e k e y t o t h e p r o o f - t h a t f o r a s e q u e n c e o f p o l y h e d r a K a p p r o a c h i n g
S t h e l e n g t h L o f t h e p i e c e w i s e a n a l y t i c t r a c e p r e m a i n s u n i f o r m l y b o u n d e d .
4 . No w o n e may c h o o s e a s u b s e q u e n c e o f p o l y h e d r a K a p p r o a c h i n g S
s u c h t h at t h e b o u n d a r i e s p = p R c o n v e r g e t o a r e c t i f i a b l e c u r v e p o n S .A c c o r d i n g t o t h e e s t a b l i s h e d t h e o r y , t h e c o r r e s p o n d i n g m i n i m a l s u r f a c e sc o n v e r g e t o a m i n i m a l s u r f a c e w h i c h s o l v e s t h e p r o b l e m f o r t h e f r e e b o u n d -
a r y s u r f a c e S a n d h a s a s t r a c e o n S t h e r e c t i f i a b l e c u r v e p .
I n c i d e n t a l l y , b y F a t o u ' s t h e o r e m , t h e t a n g e n t p l a n e o n Mi n a p o i n t P h a sa l i m i t i n g p o s i t i o n f o r P a p p r o a c h i n g a l m o s t e v e r y p o i n t o n p a n d t h i s
p o s i t i o n i s n o r m a l t o S .
A s t o t h e d e t a i l s , t h e f i r s t s t e p , b e i n g o f a q u i t e e l e m e n t a r y n a t u r e , i s
n o t a m p l i f i e d h e r e . L e t u s f o r t h e moment a s s u m e t h e s t a t e m e n t ( 2 ) ,t h e n ( 3 ) c a n b e p r o v e d a s f o l l o w s : F i r s t : T h e - p i e c e w i s e a n a l y t i c -
t r a c e p o f M o n K ( a n d t h e w h o l e s u r f a c e M) l i e s t o g e t h e r w i t h r i n s i d e
o f t h e c o n e f o r m e d b y t h e s u p p o r t i n g p l a n e s . F o r , o t h e r w i s e t h e m i n i m a l
s u r f a c e M o f l e a s t a r e a c o n n e c t i n g r w i t h K w o u l d p r o t r u d e a c r o s s o n e o f
t h es u p p o r t i n g p l a n e s ,
s a y t h e
p l a n eI I .
S i n c eK i s c o n v e x a n d s i n c e M
r e s t s o n K t h i s s i t u a t i o n w o u l d i m p l y t h e e x i s t e n c e o f a s u p p o r t i n g p l a n e t o
M, p a r a l l e l t o I I , w h i c b U i s i n c o m p a t i b l e w i t h t h e f a c t t h a t Mh a s n e g a t i v ec u r v a t u r e .
V O L . 3 1 , 1 9 4 5 2 4 3
7/27/2019 On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
http://slidepdf.com/reader/full/on-plateus-problem-with-free-boundaries-rcourant 3/5
MATHEMA T I C S : R . COURANT
I f 0 a n d r d e n o t e p o l a r c o o r d i n a t e s i n t h e a n n u l a r r i n g Mt h e n x ( u , v )r e m a i n s a n a l y t i c o n p , i . e . , a l o n g r = 1 , e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s .
A s known f r o m t h e e s t a b l i s h e d t h e o r y M i s o r t h o g o n a l t o K a t p o i n t s o f po n a f a c e ; l i k e w i s e a l o n g a p o r t i o n o f p c o i n c i d i n g w i t h a n e d g e o f K t h e
n o r m a l s t o M l i e i n a s u p p o r t i n g p l a n e t o K t h r o u g h t h i s e d g e . 7 I f p i s
m o n o t o n i c a l l y d es c r ib e d t h e i m a g e p o i n t o n p w i l l d e s c r i b e p m o n o t o n i c a l l y ,
a s f o l l o w s f r o m t h e e s t a b l i s h e d t h e o r y .O m i t t i n g t h e f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s o n p i n w h i c h t h e a n a l y t i c i t y o f
x ( u , v ) i s i n t e r r u p t e d , i . e . , w h i c h c o r r e s p o n d t o p o i n t s o n p i n w h i c h a n e d g e
o r v e r t e x i s r e a c h e d f r o m a f a c e , we n ow r e c o g n i z e x , a l o n g p a s a v e c t o r
n o r m a l t o a f a c e o r t o a s u p p o r t i n g p l a n e o f K . T a k i n g t h e v e r t e x o f o u r
c o n eo f
s u p p o r t i n g p l a n e s a s
o r i g i ni n t h e
x - s p a c e ,t h e v e c t o r s x a n d
- x ,f o r m a n a c u t e a n g l e n o t e x c e e d i n g 7 r / 2 - a , a b e i n g a p o s i t i v e q u a n t i t y .H e n c e
XX?> l x i l x r l 1s i n l a '
S i n c e a l o n g p t h e d i s t a n c e I x i s b o u n d e d f r o m b e l o w w e h a v e a l o n g p a n
i n e q u a l i t y o f t h e f o r m
1 x . 1 < -A x x , ( 1 )
w i t h a v a l u e o f A w h i c h c a n b e t a k e n a s t h e s a m e f o r a l l m i n i m a l s u r f a c e sMb e l o n g i n g t o p o l y h e d r a K s u f f i c i e n t l y n e a r t o S i n o u r a p p r o x i m a t i o n .
A s a s e q u e n c e o f p o l y h e d r a K t e n d s t o S t h e c o r r e s p o n d i n g a n n u l a r r i n g sA ? c o n v e r g e t o a l i m i t r i n g . M ' may d e n o t e t h e r i n g b e t w e e n p a n d t h e
m i d d l e c i r c l e p ' o f t h e r i n g ; t h e n x . , i s a n a l y t i c o n p ' a n d l x I a n d l x r l a r e
b o u n d e d a l o n g p ' . S i n c e t h e a r e a o f M = MK c o n v e r g e s t o t h e a r e a o f
M = M S , t h e e s t a b l i s h e d t h e o r y o f m i n i m a l s u r f a c e s i m p l i e s t h a t
D ( x ) = f f ( X U 2 + X , , 2 ) d u d v < A 1
w h e r e a l s o A 1 may b e c h o s e n a s t h e same b o u n d f o r a l l p o l y h e d r a K u n d e rc o n s i d e r a t i o n . I t f o l l o w s b y a w e l l - k n o w n r e a s o n i n g t h a t n o t o n l y l x 1b u t a l s o I x r I o n p ' i s b o u n d e d b y t h e same c o n s t a n t A 2 f o r a l l p o l y h e d r a
c o n s i d e r e d .
U s i n g G r e e n ' s f o r m u l a a n d A x = 0 w e h a v e f o r t h e h a l f r i n g
A 1 > ff ( x , 2 + x . 2 ) d u d v = - x x , d O + r ' f x x , d OM r =l r = r '
w h e r e r ' i s t h e r a d i u s o f p ' . H e n c e
- f x x , dO<A1 + r 'flx 1 I x l d O .r =1 r = r '
By ( 1 )
f W l x d O <AA,+ Ar ' f l x i I x , I d Or-1 r = r '
' 2 4 4 P R O C . N . A . S .
7/27/2019 On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
http://slidepdf.com/reader/full/on-plateus-problem-with-free-boundaries-rcourant 4/5
MATHEMA T I C S : R . CO URA NT
o r b e c a u s e o f t h e b o u n d e d n e s s o f I x a n d x I I o n p ,
f
J x r ld O < A 2 ( 2 )
r -I
w h e r e A 2 i s a c o n s t a n t . Now, x r e p r e s e n t i n g a m i n i m a l s u r f a c e , we h a v e
o n r = 1 t h e r e l a t i o n J X r I = I x e f H e n c e
L = f i x e ! d O< A 2 ( 3 )r=l
w h e r e L i s t h e l e n g t h o f p a n d A 2 i s a c o n s t a n t . The s t a t e m e n t ( 3 ) a n d
c o n s e q u e n t l y t h e c o n c l u s i o n ( 4 ) i s t h u s p r o v e d .
I t r e m a i n s t o e s t a b l i s h b e y o n d ( a ) t h e a s s e r t i o n ( 2 ) f o r o u r p o l y h e d r a
K: t h e c i r c l e , i s d i v i d e d i n t o a f i n i t e n u m b e r o f a r c s s u c h t h a t e a c h a r c i s
m a p p e d b y x ( u , v ) e i t h e r o n a s e g m e n t o f a n e d g e , o r o n t o a c u r v e o n a f a c e( t h a t t h e m a p p i n g i s a n a l y t i c o n t h e s e a r c s f o l l o w s f r o m t h e p r i n c i p l e o f
r e f l e c t i o n ) .
To c o m p l e t e t h e p r o o f o f s t a t e m e n t ( 2 ) a f u r t h e r c h a i n o f a r g u m e n t s i s
n e e d e d . 8
F i r s t s o m e p r e l i m i n a r y r e m a r k s : I n a n a r b i t r a r y n e i g h b o r h o o d o f a
b r i d g e y o f d i a m e t e r l e s s t h a n e t h e r e a r e b r i d g e s o f d i a m e t e r l e s s t h a n e
w h o s e e n d - p o i n t s a r e a n a l y t i c ; f o r , p o i n t s o n p w h e r e t h e ( c o n t i n u o u s )v e c t o r x i s n o t a n a l y t i c a r e n o w h e r e d e n s e a n d t h e b a s i c lemma c a n b e
a p p l i e dt o
b r i d g e sy w i t h e n d - p o i n t s i n i n t e r v a l s o f a n a l y t i c i t y .
S e c o n d : L i n e s x ' = a x + b y + c z + d = 0 w i t h c o n s t a n t a , b , c , d a r e
e q u i p o t e n t i a l l i n e s i n M; c u r v e s x ' = 0 i n M w h i c h s e p a r a t e d o m a i n s
x ' > p f r o m x ' < 0 a r e u n a m b i g u o u s l y d e f i n e d .T h i r d : A b r i d g e r y a n a l y t i c i n c l u d i n g i t s e n d - p o i n t s c a n h a v e o n l y a
f i n i t e n u m b e r o f i n t e r s e c t i o n s w i t h c u r v e s x ' = 0 u n l e s s i t s e l f i s a c u r v e
x i = 0 a n d h e n c e y a p l a n e c u r v e .
No w we i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f a p l a n e T t r a n s v e r s a l 9 t o K a t a p o i n t
p : A p l a n e T t h r o u g h p o n K w i t h t r a c e T o n K i s c a l l e d t r a n s v e r s a l i f f o r
e a c h b r i d g e 1 0 ( 3 s u f f i c i e n t l y n e a r t o p a n d l y i n g i n T t h e p l a n e p a r t o f T
b e t w e e n , B a n d T i s t h e s u r f a c e o f l e a s t a r e a b o u n d e d b y , 3 a n d K . O b v i o u s l y
f o r p o n a f a c e A e a c h p l a n e T t h r o u g h p p e r p e n d i c u l a r t o A i s a t r a n s v e r s a l
p l a n e . F u r t h e r m o r e , f o r p o n a n e d g e a e a c h p l a n e t h r o u g h a n o r m a l t o
a s u p p o r t i n g p l a n e t h r o u g h a i s t r a n s v e r s a l ; f i n a l l y f o r a v e r t e x p t h e r e
e x i s t s a t l e a s t o n e e d g e a s u c h t h a t t h e p l a n e T t h r o u g h a a n d p e r p e n d i c u l a rt o t h e o p p o s i t e f a c e A o f t h e t r i h e d r a l a n g l e i n p i s t r a n s v e r s a l . ( T h i s l a t t e r
s t a t e m e n t i s a n o n - t r i v i a l c o n s e q u e n c e o f t h e a s s u m p t i o n t h a t a l l t h e
a n g l e s a t t h e e d g e s o f K a r e o b t u s e . )To r e f u t e t h e a s s u m p t i o n t h a t s t a t e m e n t ( 2 ) i s w r o n g t h e t r a n s v e r s a l
p l a n e s now a r e u s e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r : S u p p o s e f i r s t t h a t t h e t r a c ep ( c o n t i n u o u s b y t h e o r e m ( a ) ) i n t e r s e c t s an e d g e a i n f i n i t e l y o f t e n i n t h e
n e i g h b o r h o o d o f a p o i n t p o f a , p n o t a v e r t e x . L e t x ' = 0 b e a t r a n s v e r s a l
p l a n e T t h r o u g h p , l e t I a n d 7 b e a s m a l l b r i d g e ( o r i g i n a l a n d i m a g e ) n e a r
V O L . 3 1 , 1 9 4 5 2 4 5
7/27/2019 On Plateus Problem With Free Boundaries RCourant
http://slidepdf.com/reader/full/on-plateus-problem-with-free-boundaries-rcourant 5/5
MATHEMA T I C S : R . CO URA NT
p o r p ; c o n s i d e r a p l a n e c u r v e x ' = 0 s e p a r a ti n g a z o n e x ' > 0 f r o m a z o n e
x ' < 0 o n M ( y ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i p o t e n t i a l l i n e i n M. Th e l a t t e r ,
s t a r t i n g f r o m p m u s t e n d o n 1 ; f o r o t h e r w i s e i t w o u l d f o r m a s m a l l b r i d g e, a n d c o n s e q u e n t l y M ( f l ) w o u l d b e a p a r t o f t h e p l a n e T , a n d Mw o u l d b e
a l t o g e t h e r p l a n e , w h i c h c a n b e e x c l u d e d f r o m t h e o u t s e t . S i n c e i n f i n i t e l y
many s u c c e s s i v e i n t e r v a l s x ' > 0 a n d x ' < 0 o n p n e a r p a r e a s s u m e d we
w o u l d h a v e i n f i n i t e l y many p o i n t s o n f w i t h x ' 0 , h e n c e - y w o u l d b e a
l i n e x ' = 0 w h i c h c a n b e e x c l u d e d b y p r o p e r c h o i c e o f - ? u n l e s s Mi s p l a n e .I n a s i m i l a r way we c a n r u l e o u t t h e p o s s i b i l i t y t h a t a p o i n t p o n a i s a
p o i n t o f a c c u m u l a t i o n o f p o i n t s w h e r e p r e a c h e s a f r o m a f a c e B w i t h o u t
c r o s s i n g . I n t h i s c a s e we u s e t r a n s v e r s a l p l a n e s T ( d ) n o r m a l t o B a t t h e
d i s t a n c e d f r o m a a n d t h e n l e t d t e n d t o z e r o w h e r e u p o n a s i m i l a r c o n t r a -
d i c t i o n a s a b o v e i s o b t a i n e d .I f p o n p i s mapped o n a v e r t e x p a n d i f i n f i n i t e l y many p o i n t s o n p n e a r
p a r e m a p p e d o n p o r o n p o i n t s o n e d g e s t h r o u g h p w h i l e i n f i n i t e l y many
o t h e r i n t e r m e d i a t e p o i n t s a r e mapped o n p o i n t s i n f a c e s , a c o n t r a d i c t i o n
i s o b t a i n e d b y u s i n g t h e t r a n s v e r s a l p l a n e x ' = 0 t h r o u g h p i n a way n o t
e s s e n t i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h a t s k e t c h e d a b o v e .
C o m b i n e d , t h e s e r e s u l t s e s t a b l i s h t h e a s s e r t i o n ( 2 ) a n d t h u s c o m p l e t e
t h e p r o o f o f o u r t h e o r e m .
1 S e e , e . g . , C o u r a n t , " T h e E x i s t e n c e o f M i n i m a l S u r f a c e s u n d e r P r e s c r i b e d B o u n d a r yC o n d i t i o n s , " A c t a M a t h . , 7 2 , 5 1 - 9 7 ( 1 9 4 0 ) , i n p a r t i c u l a r , p . 8 1 f f .
2 S e e l o c . c i t . , p . 9 5 .8 The b r i e f p r e s e n t a t i o n h e r e w i l l b e a m p l i f i e d i n a b o o k o n D i r i c h l e t ' s P r i n c i p l e ,
C o n f o r m a l M a p p i n g a n d P l a t e a u ' s P r o b l e m .4 N a t u r a l l y , i n a l l t h e v a r i o u s c a s e s o f P l a t e a u ' s p r o b l e m w i t h f r e e b o u n d a r i e s s i m i l a r
t h e o r e m s a n d p r o o f s a p p l y ; m o r e o v e r , t h e m e t h o d s u s e d h er e i n d i c a t e t h e p o s s i b i l i t yo f a t t a c k i n g more g e n e r a l v a r i a t i o n a l p r o b l e m s w i t h f r e e b o u n d a r i e s i n more t h a n o n e
d i m e n s i o n .Th e a u t h o r w i s h e s t o a c k n o w l e d g e t h a t d i s c u s s i o n s a n d c o r r e s p o n d e n c e w i t h D r .
C . L . S i e g e l o f t h e I n s t i t u t e f o r A d v a n c e d - S t u d y h a v e p l a y e d a d e c i s i v e p a r t i n c a r r y i n go u t
t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n .6 S e e l o c . c i t . , P . 7 0 .6 Q u i t e g e n e r a l l y a n y p i e c e o f a s u r f a c e , i f p r o j e c t e d a l o n g t h e o u t w a r d n o r m a l o n t o a
n o n - n e g a t i v e l y c u r v e d s u r f a c e , w i l l b e r e d u c e d i n a r e a . T h i s r e m a r k c o u l d b e u s e d t o
g e n e r a l i z e t h e t h e o r e m ( b ) b y s u b s t i t u t i n g f o r t h e c o n e o t h e r n o n - n e g a t i v e l y c u r v e d
s u r f a c e s .7 The p r o o f f o l l o w s f r o m a s i m p l e g e o m e t r i c a l c o n s t r u c t i o n : I f M e n d s i n a p i e c e
a o f a n e d g e a n d f o r m s a n a c u t e a n g l e w i t h a n a d j a c e n t f a c e A , o n e c o u l d s u b s t i t u t e f o rMa n a d i m i s s i b l e s u r f a c e o f s m a l l e r a r e a b y r e p l a c i n g a p a r t o f Ma d j a c e n t t o a a n d o t h e r -w i s e b o u n d e d b y a n a n a l y t i c a r c X j o i n i n g t h e e n d p o i n t s o f a a n d d r a w n s u f f i c i e n t l yn e a r t o a b y t h e c y l i n d r i c a l s u r f a c e p r o j e c t i n g X o n t o A .
8 D e t a i l s w i l l b e g i v e n i n t h e f o r t h c o m i n g b o o k .
9 T h e c o n c e p t a n d i t s a p p l i c a t i o n seem t o b e c a p a b l e o f g e n e r a l i z a t i o n s t o b o u n d a r y
s u r f a c e s S n o t p l a n e , a n d t o o t h e r v a r i a t i o n a l p r o b l e m s .1 0 Th e t e r m " b r i d g e " i s u s e d h e r e i n a s l i g h t l y g e n e r a l i z e d way m e a n i n g a n y J o r d a n
a r c a o u t s i d e K j o i n i n g two p o i n t s on K .
2 4 6 P R O C . N . A . S .
