流れ学III Fluid Flow IIIfluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3v7.pdf流れ学III...

流れ学 III　 2006年度後期　工学院大学　機械工学科 1

流れ学 III　　Fluid Flow III

目　　　　次

1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 流体の基礎方程式（復習） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 流体の基本的な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 流れ場の未知量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 数学的準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 連続の式（質量保存則） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 運動方程式（運動量保存則） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 理想流体の流れと実際の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 理想流体（ideal fluid） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 理想流体と実際の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 非圧縮ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 渦度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 循環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 渦なし流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 速度ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 ラプラスの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 一般化されたベルヌーイの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 ２次元ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 速度ポテンシャルと流れ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 流れ関数と流量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3 循環と渦度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 複素速度ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.1 複素関数（復習） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2 複素速度ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 代表的な２次元ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.1 一様流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 角を回る流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 わき出しと吸い込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 半無限物体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.5 渦糸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.6 ２重わき出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.7 円柱まわりの流れ（循環のない場合） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


7.8 円柱まわりの流れ（循環のある場合） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.9 鏡像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 ２次元ポテンシャル流中の物体に働く力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.1 ブラジウスの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2 クッタ・ジューコフスキーの定理とダランベールのパラドックス . . . . . . . . . . . . 56

9 等角写像の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.1 等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2 等角写像法の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.3 ジューコフスキー変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.4 平板を過ぎる流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.5 ジューコフスキー翼を過ぎる流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 ３次元ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.1 ３次元ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.2 代表的な３次元ポテンシャル流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11 渦運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.1 渦線，渦管，渦糸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.2 渦定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.3 渦糸の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.4 渦層 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


図 1: 翼まわりの流れ

図 2: ２個の渦糸の運動

1 はじめに

目的

粘性のない理想化された流体である理想流体は，数学的取り扱いが容易になるため，流れの基本的

な理解に大いに役立つものである．また，実際の工学上の問題の解決にも有用な場面が少なくない．

流れ学 IIIでは，理想流体の力学，特に 2次元非圧縮ポテンシャル流れを中心に，その基本事項を学

んでいく．

本科目の達成目標は以下の通りである．(1)理想流体の仮定を適用できる条件を理解する．(2)速度

ポテンシャル，流れ関数の概念を理解する。(3)複素速度ポテンシャルを理解し，代表的な２次元ポテ

ンシャル流れを解析する．(4)翼などの物体に働く力を求める．(6)理想流体中の渦について理解し，

渦糸の運動を解析する．

本科目の内容を学習することにより，例えば以下のような問題について理解することができる．

(1) 翼まわりの流れ，翼に働く揚力（飛行機の設計，図 1）

(2) 渦によって引き起こされる流速，２個の渦糸の運動（気象予測，図 2）

2006年度授業計画

(1) 流体の基礎方程式１

　流れ場の未知量，数学的準備，質量と運動量の保存

(2) 流体の基礎方程式２，理想流体の力学と粘性流体の力学

　オイラーの式，境界条件，相似則，レイノルズ数，境界層

(3) 非圧縮ポテンシャル流れ

　渦度，循環，渦なし流れ，速度ポテンシャル，ラプラスの式

(4) エネルギー保存則（ベルヌーイの式），２次元ポテンシャル流れ

　ベルヌーイの式，流れ関数

(5) 複素速度ポテンシャル，代表的な２次元ポテンシャル流れ 1

　複素関数，複素速度ポテンシャル，一様流，角を回る流れ


(6) 代表的な２次元ポテンシャル流れ 2

　わき出しと吸い込み，渦糸，２重わき出し

(7) 代表的な２次元ポテンシャル流れ 3

　円柱まわりの流れ

(8) 物体に働く力，各種流れの抵抗

　抵抗，揚力，ダランベールのパラドックス，クッタ・ジューコフスキーの定理

(9) 等角写像の応用 1

　等角写像法，ジューコフスキー変換

(10) 等角写像の応用 2

　平板翼を過ぎる流れ，翼を過ぎる流れ

(11) ３次元ポテンシャル流れ

　球のまわりの流れ

(12) 渦運動１

　渦線，渦管，渦糸，渦定理

(13) 渦運動２

　渦糸の運動，渦層

参考書

• 大橋秀雄：「流体力学（１）」コロナ社 1982

• 今井功：「流体力学（前編）」裳華房 1973


2 流体の基礎方程式（復習）

2.1 流体の基本的な性質

流体：限りなくゆるやかに変形させるときに抵抗を示さないもの．自由自在に形を変えることがで

きる．液体と気体．

粘性：有限の速さで流体を変形させるときに抵抗を示す性質．

圧縮性：圧力が変化するときに体積を変える性質．液体は圧縮性が小さく，気体は圧縮性が大きい．

2.2 流れ場の未知量

座標系

空間：座標 (x, y, z)　３次元デカルト (Cartesian)座標系（右手系）　

時間：t

流体の運動を記述する方法には２通りある．１番目の方法は，流体を無数の流体粒子の集団と考え，

各粒子の運動を調べる方法（ラグランジュLagrangeの方法）である．質点の力学と同じ見方である．

２番目の方法は，任意の時刻における空間の各点における速度，圧力，密度などの流れの物理量を調

べる方法（オイラーEulerの方法）である．流れを「場 (field)」として捉える方法であり，流れ場，圧

力場，速度場などの呼び方もそこからきている．電磁気学において電場，磁場などを扱う方法と同じ

である．（公道における速度違反の取締りにおいて，路上で速度を測るのがオイラーの方法，パトカー

で車両を追尾しながら速度を測るのがラグランジュの方法である．）通常，流体力学では，２番目のオ

イラーの方法が用いられる．これは，特定の流体粒子の動きよりも，特定の場所で流速や圧力がどう

なっているかという点を問題にする場合が圧倒的に多いからである．以下では，全てオイラーの方法

を用いて，流体の運動を表す（図 3）．

流れ場の未知量（スカラー）

圧力：p = p(x, y, z, t)

密度：ρ = ρ(x, y, z, t)，非圧縮性流体では，ρ = const.

流れ場の未知量（ベクトル）

速度：v = v(x, y, z, t) = (u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t))

（ベクトルの表記法として，v, v, vなど複数の方法があるが，本講義録では主として vを使う．ま

た，ゼロベクトルは，いちいち 0,0, 0 などと書かず，スカラーのゼロと同様，単に 0と書く．）

保存則

一般的な物理学の法則である３つの保存則，すなわち質量保存則（スカラー），運動量保存則（ベ

クトル，３成分），エネルギー保存則（スカラー）の合計５個の式から，５個の未知量（圧力，密度，

速度ベクトルの３成分）が決まる．


図 3: 流れ場の未知量

問題

流体力学の基礎方程式は，一般的な物理学における３つの保存則から導かれる．この３つの保存則

を列挙せよ．

答え：

質量保存則，運動量保存則，エネルギー保存則

2.3 数学的準備

微分（１変数関数）

１つの独立変数 xの関数 f(x)を考える．変数 xに関する微分．

df

dx(x) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x) − f(x)∆x

(1)

偏微分（多変数関数）

４つの独立変数 (x, y, z, t)の関数 f(x, y, z, t)を考える．時間 tに関する偏微分は，x, y, zを一定にし

たまま，tで微分すること．

∂f

∂t(x, y, z, t) = lim

∆t→0

f(x, y, z, t+ ∆t) − f(x, y, z, t)∆t

(2)

同様に，空間座標 xに関する偏微分は，y, zおよび tを一定にしたまま，xで微分すること．

∂f

∂x(x, y, z, t) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y, z, t) − f(x, y, z, t)∆x

(3)

[偏微分記号を見たら，いま独立変数が全部でどれだけあり，そのうちのどの独立変数について偏微分

しているかを常に意識すること．]

テイラー（Taylor）展開（１変数関数）

１つの独立変数xの関数 f(x)を考える．十分滑らかな関数 f(x)のx = x0の近傍でのテイラー展開．

f(x0 + ∆x) = f(x0) +11!df

dx(x0)∆x+

12!d2f

dx2(x0)∆x2 + . . . (4)

[テイラー展開は，滑らかな関数（不連続な点，微分不可能な点を含まない関数）を局所的に多項式で

近似することに相当する．]


テイラー（Taylor）展開（多変数関数）

４つの独立変数 (x, y, z, t)の関数 f(x, y, z, t)を考える．十分滑らかな関数 f(x, y, z, t)の (x, y, z, t) =

(x0, y0, z0, t0)の近傍でのテイラー展開．

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z, t0 + ∆t) = f(x0, y0, z0, t0) +∂f

∂x(x0, y0, z0, t0)∆x

+∂f

∂y(x0, y0, z0, t0)∆y +

∂f

∂z(x0, y0, z0, t0)∆z +

∂f

∂t(x0, y0, z0, t0)∆t+ . . . (5)

ベクトル解析

流体力学では一般的には３次元空間を考えるので，ベクトル解析の演算を行うときは，一時的に各

関数を空間座標 (x, y, z)のみの関数とみなす（時間 tはパラメーターとして扱う）．

ナブラ (nabla)演算子：∇

∇ =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)(6)

勾配 (gradient)

スカラー関数 f(x, y, z)に適用する．形式的には∇と f の “かけ算”．結果はベクトル関数になる．

grad f = ∇f =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)f =

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)(7)

発散 (divergence)

ベクトル関数A(x, y, z) = (Ax, Ay, Az)に適用する．形式的には∇とAの “内積”．結果はスカラー

関数になる．

divA = ∇ · A =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)· (Ax, Ay, Az) =

∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

(8)

回転 (rotation)

ベクトル関数A(x, y, z) = (Ax, Ay, Az)に適用する．形式的には∇とAの “外積”．結果はベクトル

関数になる．

rotA = curlA = ∇× A =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)× (Ax, Ay, Az)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣=(∂Az∂y

− ∂Ay∂z

,∂Ax∂z

− ∂Az∂x

,∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)(9)


ラプラス演算子 (Laplacian)

スカラー関数 f(x, y, z)に適用する場合．スカラー関数 f の勾配（ベクトル関数）の発散．結果はス

カラー関数になる．

∆f = ∇2f = ∇ · (∇f) = div (grad f) =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)=∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2(10)

ベクトル関数に対しては，各成分をスカラー関数とみて同様に適用する．例えば，ベクトル関数

A(x, y, z) = (Ax, Ay, Az)に対しては．

∆A = ∇2A = (∇2Ax,∇2Ay,∇2Az) (11)

問題 1

スカラー関数 f = x2 + y2 + z2の勾配 grad f を求めよ．

答え：

grad f = grad (x2 + y2 + z2) = (2x, 2y, 2z)

問題 2

ベクトル関数A = (x, y, z)の発散 divAを求めよ．

答え：

divA = div (x, y, z) =∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z= 3

問題 3

ベクトル関数A = (x, y, z)の回転 rotAを求めよ．

答え：

rotA =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣=(∂z

∂y− ∂y

∂z,∂x

∂z− ∂z

∂x,∂y

∂x− ∂x

∂y

)= (0, 0, 0) = 0

問題 4

スカラー関数 f = 1/√x2 + y2 + z2の勾配を求めよ．

答え：

grad f = grad (x2 + y2 + z2)−12

= (−12(x2 + y2 + z2)−

32 · 2x,−1

2(x2 + y2 + z2)−

32 · 2y,−1

2(x2 + y2 + z2)−

32 · 2z)

= (−x(x2 + y2 + z2)−32 ,−y(x2 + y2 + z2)−

32 ,−z(x2 + y2 + z2)−

32 )


問題 5

前問の結果を使って，スカラー関数 f = 1/√x2 + y2 + z2にラプラス演算子を作用させた結果，す

なわち∇2f を求めよ．

答え：

∇2f = div (grad f)

=(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)· (−x(x2 + y2 + z2)−

32 ,−y(x2 + y2 + z2)−

32 ,−z(x2 + y2 + z2)−

32 )

= −(x2 + y2 + z2)−32 + 3x2(x2 + y2 + z2)−

52 − (x2 + y2 + z2)−

32 + 3y2(x2 + y2 + z2)−

52

−(x2 + y2 + z2)−32 + 3z2(x2 + y2 + z2)−

52 = 0

2.4 連続の式（質量保存則）

圧縮性流体の連続の式

ベクトル表示∂ρ

∂t+ div (ρv) = 0 (12)

成分表示∂ρ

∂t+∂(ρu)∂x

+∂(ρv)∂y

+∂(ρw)∂z

= 0 (13)

非圧縮性流体の連続の式

非圧縮性流体は圧力を変化させてもその体積が変化しない．すなわち単位質量あたりの体積＝密度

が一定である．したがって，

ρ = const.

これを (12)に代入．

ベクトル表示

div v = 0 (14)

成分表示∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (15)

2.5 運動方程式（運動量保存則）

実質微分

流れに沿っての時間的変化を表す微分．流体粒子を追跡しながらの時間微分という意味で，ラグラ

ンジュ微分，物質微分などともよばれる．オイラーの方法で，ラグランジュ的な微分を表現するもの

である．質点の力学の時間微分 d/dtに対応する．オイラーの方法では，d/dt ⇒ D/Dtであり，ラグ

ランジュの方法では，d/dt⇒ ∂/∂tである．


D

Dt=

∂

∂t+ v · ∇

=∂

∂t+ u

∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z(16)

位置ベクトル r = (x, y, z)の実質微分を計算してみる．まず

Dx

Dt=∂x

∂t+ u

∂x

∂x+ v

∂x

∂y+ w

∂x

∂z= 0 + u · 1 + 0 + 0 = u

同様に，DyDt = v, DzDt = wであるから

DrDt

= v

となり，「ある流体粒子を追跡しながらその座標を時間微分すると，その粒子の速度が得られる」とい

う当然の結果になる．さらに，速度ベクトルの実質微分，すなわち DvDt は流体粒子の加速度ベクトル

を表す．

質量力

流体の単位質量あたりに働く力（外力）

F = (X,Y,Z) (17)

なお，体積力は，流体の単位体積あたりに働く力のことである．

圧縮性粘性流体の運動方程式（圧縮性ナビエ・ストークスNavier-Stokes方程式）

ベクトル表示DvDt

= F − 1ρgrad p+ ν∇2v +

ν

3grad (divv) (18)

成分表示

Du

Dt= X − 1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2u+

ν

3∂

∂xdiv v (19)

Dv

Dt= Y − 1

ρ

∂p

∂y+ ν∇2v +

ν

3∂

∂ydivv (20)

Dw

Dt= Z − 1

ρ

∂p

∂z+ ν∇2w +

ν

3∂

∂zdivv (21)

ここで，ν:動粘性率（＝粘性率／密度）である．(16)，(19)より，

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z= X − 1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2u+

ν

3∂

∂xdivv

となる．この式は，左辺が「流体の単位質量×加速度」，右辺が「単位質量の流体に作用する力」であり，ニュートンの運動の第２法則である．両辺の各項をさらに詳しく見ると，

[非定常項] + [対流項 (3項)] = [外力項] + [圧力勾配項] + [粘性項 (2項)]

となっている．このうち対流項は (速度)×(速度勾配)というように未知量である速度同士のかけ算の

形（非線形項）をしている．従って，この方程式は非線形偏微分方程式である．


非圧縮性粘性流体の運動方程式（非圧縮性ナビエ・ストークスNavier-Stokes方程式）

(18)に (14)を代入する．２階の偏微分方程式である．


= F − 1ρgrad p+ ν∇2v　 (22)

成分表示

Du

Dt= X − 1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2u (23)

Dv

Dt= Y − 1

ρ

∂p

∂y+ ν∇2v (24)

Dw

Dt= Z − 1

ρ

∂p

∂z+ ν∇2w (25)

非粘性流体の運動方程式（オイラーEuler方程式）

(18), (22)で粘性項をおとす．圧縮性流体と非圧縮性流体で同じ形になる．


= F − 1ρgrad p　 (26)

成分表示

Du

Dt= X − 1

ρ

∂p

∂x(27)

Dv

Dt= Y − 1

ρ

∂p

∂y(28)

Dw

Dt= Z − 1

ρ

∂p

∂z　 (29)

粘性項が２階微分で表されるため，粘性流体の運動方程式は２階の偏微分方程式であるが，非粘性

流体の運動方程式は１階の偏微分方程式になって，階数が一つ下がる．以下に見るように，壁面境界

条件の数学的表現が変わるのも，このことに対応している．

問題

成分表示の３次元非圧縮性粘性流体の基礎方程式（連続の式と運動方程式）をもとにして，成分表

示の２次元非圧縮性粘性流体の基礎方程式を導け．

答え：

連続の式∂u

∂x+∂v

∂y= 0

x方向の運動方程式∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= X − 1

ρ

∂p

∂x+ ν∇2u

y方向の運動方程式∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= Y − 1

ρ

∂p

∂y+ ν∇2v

2.6 境界条件

未知量と方程式の数

圧縮性流体：未知量 5 (u, v,w, p, ρ)，方程式 5（連続の式，運動方程式，エネルギーの式またはそれ

に代わる式）


図 4: 壁面境界条件

非圧縮性流体：未知量 4 (u, v, w, p)，方程式 4（連続の式，運動方程式），密度 ρは定数で未知量で

はない！

偏微分方程式とともに，境界条件（および初期条件）が設定されてはじめて，特定の解が求められる．

初期条件

非定常流の場合（∂/∂t = 0）に必要となる．t = t0における各点での未知量（圧力：p(x, y, z, t0)，密

度：ρ(x, y, z, t0)，速度：v(x, y, z, t0)）を与える．

境界条件

境界の種類に応じて与える．流入境界条件，流出境界条件，壁面境界条件（図 4）など．

粘性流体における壁面境界条件

静止した固体壁面，すべりなし（no-slip）条件．

流体が壁面に粘り着く．壁面が動いている場合は，壁面の速度と流体粒子の速度が一致する．

v = 0 (30)

(u, v, w) = (0, 0, 0) (31)

非粘性流体における壁面境界条件

静止した固体壁面，すべり（slip）条件．

流体は壁面を突き抜けないが，すべることはできる．壁面の法線方向ベクトル（通常壁面から流体

に向かう方向を正にとる）を n = (l,m, n)とすれば，

vn = v · n = (u, v, w) · (l,m, n) = lu+mv + nw = 0 (32)


問題１

３次元デカルト座標系 (x, y, z)において，今 xy平面が静止した壁面であるとする．流体は z > 0の

側にあるとする．このとき，この壁面の単位法線方向ベクトルを成分で示せ．また，流れの速度ベク

トルを v = (u, v,w)とすれば，流体が粘性流体である場合の壁面境界条件はどのように表せるか？流

体が非粘性流体の場合はどうか？

答え：

n = (0, 0, 1)

粘性流体　 (u, v, w) = (0, 0, 0)

非粘性流体 vn = (u, v, w) · (0, 0, 1) = w = 0

問題２

上記の問題で，静止した壁面が x+ y+ z = 1で表されるような平面である場合について解け．ただ

し，流体は x+ y + z > 1の側にあるものとする．

答え：

n = (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3)

粘性流体 (u, v,w) = (0, 0, 0)

非粘性流体 vn = (u, v, w) · (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3) = (u+ v + w)/√

3 = 0


図 5: 理想流体の流れと実際の流れ

3 理想流体の流れと実際の流れ

3.1 理想流体（ideal fluid）

理想流体の定義は，研究者，学会などによって異なる．例えば，大橋先生の教科書では「理想流体＝

非圧縮性非粘性流体」であり，今井先生の教科書では「理想流体＝非粘性流体（圧縮性はあってもよ

い）」である．

類似の用語として，完全流体 (perfect fluid) というものもある．大橋先生の教科書，今井先生の教

科書ともに「完全流体＝非粘性流体（圧縮性はあってもよい）」である．

誤解のないようにするには，「非圧縮性の理想流体」，「非圧縮性の完全流体」，「非圧縮性非粘性流」

などと言っておけばよい．

3.2 理想流体と実際の流れ

外力項（質量力項）がない場合，無次元化された非圧縮性NS方程式は以下のようになる．

Dv∗

Dt∗= −grad p∗ +

1Re

∇2v∗ (33)

ここで，レイノルズ (Reynolds)数：Re = U/ν（U :代表流速，:代表長さ，ν:動粘性率または動粘度

または動粘性係数）である．

内部流（管内流など）

十分発達した管内の流れでは，Dv∗/Dt∗ ∼ 0となり，圧力勾配と粘性力が至る所で釣り合っている．

すなわち，至る所で粘性の影響が大きくなり，理想流体近似が適用できない（図 5(a)）．


図 6: 剥離がないときの翼まわりの流れ

図 7: 剥離があるときの翼まわりの流れ

外部流（翼まわりの流れなど）

航空機などの輸送機器のまわりの流れや送風機などの流体機械の羽根のまわりの流れなど，機械工

学で取り扱う流れは，多くの場合レイノルズ数が非常に大きい（通常，Re > 106）．このように，レ

イノルズ数 Reが十分大きいとき (Re > 103)，ほとんどの所で粘性項は小さく，そこでは，理想流体

近似の適用が可能である（主流領域）．しかし，壁面近傍では no-slip条件を満たす結果，∇2vが非常

に大きくなるので，粘性の影響が大きくなる．この領域を境界層（boundary layer）という．レイノ

ルズ数が大きければ，境界層は非常に薄く，境界層の外縁で，slip条件を適用できる（図 5(b)，図 6）．

実際の流れを「主流（理想流体）＋物体まわりの境界層（粘性流）」として分けて取り扱うと，全

体を粘性流として取り扱うことに比べれば，解析が非常に簡単になる（簡単な数学というわけではな

い）．翼表面の圧力分布を求めたい場合は，主流のみの解析でほぼ求められる（境界層を横切る方向

に圧力が変化しないため）．翼表面に働く摩擦力を求めたい場合は，主流の解析で求まった圧力分布

を境界条件として境界層内の流れを粘性の影響を取り入れて解析する．

図 8: 鈍い物体まわりの流れ

なお，翼の迎角が大きくなると，翼表面の境界層が後縁に至る前に途中で剥離する（図 7）．また，


円柱のような鈍い物体（流線形でない形）のまわりの流れでも流れが最後方までまわりこめず，途中

で剥離する（図 8）．剥離領域の中は複雑な渦運動の領域であり，別に取り扱う必要がある．そのた

め，解析が格段に難しくなる．

問題

全長 5 m の自動車が 100 km/hの速度で走行しているときのレイノルズ数を求めよ．ただし，空気

の動粘性率を 15 × 10−6 m2/sとし，全長を代表長さとせよ．

答え：

Re =U

ν=

100/3.6 × 515 × 10−6

= 9.3 × 106


4 非圧縮ポテンシャル流れ

今後，本講義では，外力（質量力）として保存力のみを考え，流体としては非圧縮性の理想流体（非

圧縮性非粘性流体）のみを取り扱う．

4.1 渦度

渦度 (vorticity)の定義

渦度ベクトルは，流体の微少部分の回転角速度ベクトルの２倍に等しい．０でない渦度を持つ流体

の微少部分は “自転”している．（渦度は微分演算で求められるもので，あくまでも局所的な物理量で

ある．その流体部分が “公転”していても，その流体部分に渦度があるとは限らない！）

ω = rotv (34)

(ξ, η, ζ) =(∂w

∂y− ∂v

∂z,∂u

∂z− ∂w

∂x,∂v

∂x− ∂u

∂y

)(35)

外力（質量力）

ここでは保存力のみを考える．力はポテンシャルエネルギー Ωの勾配から次式のように導かれる．

F = −gradΩ　 (36)

(X,Y,Z) =(−∂Ω∂x

,−∂Ω∂y

,−∂Ω∂z

)(37)

例：　外力が重力の場合

Ω = gz (38)

(X,Y,Z) = (0, 0,−g) (39)

非圧縮性理想流体の基礎方程式（ベクトル表示）

連続の式 (14)より

div v = 0 (40)

運動方程式（オイラー Euler方程式）(26)と (36)および ρ = const.より

DvDt

= −grad Ω − grad(p

ρ

)(41)

非圧縮性理想流体の基礎方程式（成分表示）

連続の式 (15)より∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (42)

運動方程式（オイラー Euler方程式）(27) - (29)と (37) および ρ = const.より

Du

Dt= −∂Ω

∂x− ∂

∂x

(p

ρ

)(43)

Dv

Dt= −∂Ω

∂y− ∂

∂y

(p

ρ

)(44)

Dw

Dt= −∂Ω

∂z− ∂

∂z

(p

ρ

)(45)


渦度方程式（角運動量保存則）

運動方程式から渦度方程式を導く．まず，偏微分の順序は交換可能である．例えば，

∂2p

∂x∂y=

∂2p

∂y∂x

∂2Ω∂x∂y

=∂2Ω∂y∂x

したがって，(43) - (45)より

∂

∂z

Dv

Dt− ∂

∂y

Dw

Dt= 0 (46)

∂

∂x

Dw

Dt− ∂

∂z

Du

Dt= 0 (47)

∂

∂y

Du

Dt− ∂

∂x

Dv

Dt= 0 (48)

ここで，実質微分 (16)と渦度 (35)の定義を使うと，(46)は，

∂

∂z

Dv

Dt− ∂

∂y

Dw

Dt

=∂

∂z

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)− ∂

∂y

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+w

∂w

∂z

)

= − ∂

∂t

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)− u

∂

∂x

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)− v

∂

∂y

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)− w

∂

∂z

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)

+∂u

∂z

∂v

∂x+∂v

∂z

∂v

∂y+∂w

∂z

∂v

∂z− ∂u

∂y

∂w

∂x− ∂v

∂y

∂w

∂y− ∂w

∂y

∂w

∂z

= −∂ξ∂t

− u∂ξ

∂x− v

∂ξ

∂y− w

∂ξ

∂z+∂u

∂z

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)+∂u

∂y

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)+(−∂v∂y

− ∂w

∂z

)(∂w

∂y− ∂v

∂z

)

= −DξDt

+ ζ∂u

∂z+ η

∂u

∂y+ ξ

∂u

∂x= 0

ただし，最後の変形で非圧縮性流体の連続の式 (42)を使った．

(47)，(48)からも同様の関係が得られる．まとめると，以下の非圧縮性非粘性流体の渦度方程式が

得られる．

ベクトル表示Dω

Dt= (ω · ∇)v (49)

成分表示

Dξ

Dt= ξ

∂u

∂x+ η

∂u

∂y+ ζ

∂u

∂z(50)

Dη

Dt= ξ

∂v

∂x+ η

∂v

∂y+ ζ

∂v

∂z(51)

Dζ

Dt= ξ

∂w

∂x+ η

∂w

∂y+ ζ

∂w

∂z(52)

渦度方程式は，流れに乗って移動するときの渦度の変化を表す．

4.2 循環

流れ場の中に任意に閉曲線Cをとり，Cに沿っての一周線積分Γを考える（図 9）．Cを一周する方

向は２通りあるが，どちらかに決めておく．

Γ =∮C

v · dr =∮Cvsds =

∮C(udx+ vdy + wdz) (53)


図 9: 循環と渦度

ここで，vsは速度ベクトルのCに対する接線方向の成分，dr = (dx, dy, dz)はCの線要素ベクトルで，

ds2 = |dr|2 = dx2 +dy2 +dz2である．ΓをCに沿っての循環（circulation）という．なお，はじめに決

める一周の方向を逆にとると，vsの符号が変わり（dsは線要素の長さで符号は常に正であるから），

循環 Γの符号も反転する．

ベクトル解析のストークス (Stokes）の定理によれば，以下のように線績分 Γは面積分で表すこと

ができる．

Γ =∮C

v · dr =∫ ∫

Srotv · ndS (54)

ここで，Sは Cをへりとするような任意の開いた曲面である．ただし，Sは全体が流体の中に入って

いなければならない（流体中の物体と交わるような曲面であってはならない）．曲面 Sの表裏は区別

される．表側の面は，閉曲線Cに沿ってあらかじめ決められた方向に進むときに，左手側にある方の

面である．nは曲面 Sの単位法線ベクトルであり，曲面 Sの裏から表に向かうように決められる．

rotv = ωは渦度であるから，(54)は

Γ =∫ ∫

Sω · ndS (55)

となる．すなわち，閉曲線Cに沿う循環は，Cをへりとするような曲面 S上での渦度の面積分に等し

い．この式の意味するところは，２次元ポテンシャル流れおよび渦運動のところで詳しく考える．

4.3 渦なし流れ

実際の流れは，上流で流れが静止しているか（すなわち，(u, v,w) = (0, 0, 0)，図 10(a)），一様流で

ある（すなわち，(u, v, w) = (const., const., const.)，図 10(b)）場合が多い．このとき，上流では渦度

ω = rotv = 0である．渦度０のとき，渦度方程式 (49)の右辺は０となり，Dω/Dt = 0である．この

ことは，渦度が流れに乗って下流まで運ばれるときに，その渦度が変化しないことを意味する．上流

で渦度は０であるので，下流までずっと０のままということになる．（もちろんこれは理想流体だから

成り立つことである．粘性流体では，物体表面で発生した渦度が剥離や粘性拡散によって，流れの中

に広がっていくので，上流で渦度が０であっても，下流で渦度が０でない領域ができる．例えば，円

柱や自動車の後流（伴流とも言う）など．）至る所 ω = 0という渦度場は渦度方程式 (49)を常に満た

している．このような至る所渦度のない流れを渦なし流れあるいは非回転流れ（irrotational flow)と

呼ぶ．


図 10: 渦度 0の流入条件

4.4 速度ポテンシャル

渦なし流れでは ω = rotv = 0である．「ベクトル場の回転が０であるとき，そのベクトル場はある

スカラー場の勾配で表される」ことがベクトル解析で知られている．すなわち，

rotv = 0 (56)

のとき，

v = gradφ (57)

u =∂φ

∂x, v =

∂φ

∂y, w =

∂φ

∂z(58)

のように表すことができる．この φ(x, y, z, t)を速度ポテンシャルという．さらに，速度ポテンシャル

から導かれる流れをポテンシャル流れという．速度ポテンシャルの存在と渦なし条件は同値であり，ポ

テンシャル流れと渦なし流れは同義である．（質量力の説明で，保存力，例えば重力がでてきたが，こ

れも重力ベクトル場が重力ポテンシャルの勾配で表されるということであった．ただし，保存力（36）

のときは，gradの前にマイナスがつくことに注意．）v = gradφで表される速度場の渦度が常に 0に

なることは，

ω = rotv = rot (gradφ) =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)×(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)

=

(∂2φ

∂y∂z− ∂2φ

∂z∂y,∂2φ

∂z∂x− ∂2φ

∂x∂z,∂2φ

∂x∂y− ∂2φ

∂y∂x

)= (0, 0, 0)

のようにして示される．

等ポテンシャル面上に原点O，その点から微少距離だけはなれた同一の等ポテンシャル面上に点A

をとり，点Aの座標を drA = (dxA, dyA, dzA)とすると，このベクトルは等ポテンシャル面上の接線ベ

クトルになる（図 11）．すると，

0 = φA − φO = φ(dxA, dyA, dzA) − φ(0, 0, 0)

≈[φ(0, 0, 0) +

∂φ

∂xdxA +

∂φ

∂ydyA +

∂φ

∂zdzA

]− φ(0, 0, 0)

=∂φ

∂xdxA +

∂φ

∂ydyA +

∂φ

∂zdzA =

(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)· (dxA, dyA, dxA)

= gradφ · drA = v · drA (59)

２番目の変形で多変数関数のテイラー展開を使った（(5)で tを変化させない場合）．


図 11: 等ポテンシャル面と速度

(59)より，速度 vと等ポテンシャル面上の接線ベクトル drAは直交する（上の導き方からわかるよ

うに，この関係は速度ポテンシャルに限らず，任意のスカラー関数 f(x, y, z)について成り立つ．すな

わち，f(x, y, z) = const.と grad f = ∇f は直交する）．原点 Oは等ポテンシャル面上に任意にとれ，

接線ベクトル drAは任意の方向にとれるから，結局任意の点において，速度ベクトルは等ポテンシャ

ル面に直交していることがわかる．また，（58）からわかるように，速度ベクトルは，速度ポテンシャ

ルが増加する方向を向いている．

原点Oから，単位ベクトル isの方向にとった距離を sとする（sは isの方向に正，反対方向に負の

値をとる，これを s方向という言い方をする）．原点から微少距離 dsだけ s方向に離れた点Bをとり，

点 Bの座標を drB = (dxB, dyB, dzB)とすると，ds2 = |drB|2 = dx2B + dy2

B + dz2Bである．従って，単

位ベクトルは is = (dxB/ds, dyB/ds, dzB/ds)で表される．

今，s方向の微分を次式で定義する．∂

∂s= is · grad (60)

速度 vと単位ベクトル isのなす角度を θとすると，s方向の速度成分 vs（vの is方向への射影）は次

式で求められる．

vs = |v| cos θ = is · v = is · gradφ =∂φ

∂s(61)

すなわち，s方向の速度成分は，その方向に速度ポテンシャルを微分すれば求められる．

例えば，x方向の速度成分 uは，速度ポテンシャルを x方向に微分すればよい．x方向の単位ベク

トルは i = (1, 0, 0)であるから，

u = i · gradφ = (1, 0, 0) ·(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)=∂φ

∂x

となって，当然の結果が得られる．

もっと意味のある例として，壁面での境界条件を考えてみよう．非粘性流では，静止した壁面の境

界条件は slip条件，すなわち，流体は壁面をすべることはできるが，通り抜けることはできないとい

うものであった．すなわち，壁面の法線方向単位ベクトルを nとすると，n方向の速度成分が 0とい


図 12: 等ポテンシャル面と壁面境界条件

うことになる．（32）を速度ポテンシャルを使って表すと，

vn = n · v = n · gradφ =∂φ

∂n= 0 (62)

となる．速度ポテンシャルの壁面に対する法線方向の微分は，その方向の流れの速度であるから，こ

れが壁面において 0でなければならない．壁面では法線方向ベクトル nと速度ベクトル v が直交する

ので，速度ベクトルは壁面に接している（すべっている）．さらに，速度ベクトルは等ポテンシャル

面と直交しているから，速度ベクトルと平行な関係にある壁面は，等ポテンシャル面と直交している

（図 12）．

4.5 ラプラスの式

渦なしの条件（56）は，運動方程式から導かれる渦度方程式（49）は満足するが，連続の式を満た

すとは限らない．いま，非圧縮性流体を対象としているので，連続の式（42）に，速度ポテンシャル

と速度の関係式（57）を代入すると，

div gradφ =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)=∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2= 0

∇2φ = ∆φ = 0 (63)

となる．これが，非圧縮で渦なしの流れ，すなわち非圧縮ポテンシャル流の基礎方程式である．数学

では，この形の偏微分方程式をラプラスの式と呼び，その解を調和関数と呼ぶ．（63）で未知関数は速

度ポテンシャル φの１つだけであるので，この１つの式のみで速度ポテンシャルが求められる．φが

求まれば，その勾配をとることにより，速度場が決まる．

ラプラスの式には空間微分しかなく，時間微分は現れないことに注意しよう．従って，時間的な初

期条件は不要であり，ある瞬間の空間的な境界条件（ポテンシャルまたはその空間的な勾配）さえ与

えられれば，速度ポテンシャルと速度場が求まる（数学的には，境界値問題と言う．速度場を求める

過程では，時間 tは独立変数ではなく単なるパラメーターとして扱われる）．すなわち，その流れ場

が時間的に変化する非定常流か，あるいは定常流かに関わりなく，瞬間瞬間で速度場が決定されるの

である．（なお，次節で述べるように，圧力 pについては，このことはあてはまらない．）

ラプラスの式（63）は，線形の偏微分方程式である．線形の方程式は，解の重ね合わせが可能であ

る．つまり，単純な解を複数重ね合わせることで，より複雑な解を求めることができる（図 13）．流

れにあてはめれば，一様流，わき出し・吸い込み，渦などの基本的な流れを組み合わせることで，よ

り複雑な流れを表現できる．したがって，基本的な流れの理解が非常に重要になってくる．


図 13: 速度場における解の重ね合わせ

線形方程式は，解の存在，一意性，解の求め方などの数学的な取り扱いが確立しており，汎用的な

方法で初心者でも安心して解析・計算ができる．一方，非線形方程式は，数学的な取り扱いが難しく，

なかなか初心者には手のつけにくい対象である．（だからこそ，研究対象として興味深いとも言える．

流体力学で現れる特徴的な現象である乱流や衝撃波などは流体力学の基礎方程式の非線形性 (例えば

オイラーの式の u∂u/∂xの項など）にその原因がある．）

4.6 一般化されたベルヌーイの式

渦なし流れでは，v = gradφを用いて，運動方程式（質量力が保存力の場合に限定）を速度ポテン

シャルで表すことができる．

x方向の運動方程式（43）の左辺は

Du

Dt=(∂

∂t+ u

∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z

)u =

∂2φ

∂t∂x+∂φ

∂x

∂2φ

∂x2+∂φ

∂y

∂2φ

∂y∂x+∂φ

∂z

∂2φ

∂z∂x

=∂

∂x

[∂φ

∂t+

12

(∂φ

∂x

)2

+(∂φ

∂y

)2

+(∂φ

∂z

)2]

=∂

∂x(∂φ

∂t+

12|v|2) (64)

x方向の運動方程式（43）の右辺は∂

∂x

(−Ω − p

ρ

)(65)

ここで，非圧縮性流体なので密度 ρが一定という関係を使った．

∂φ

∂t+

12|v|2 + Ω +

p

ρ= F (66)

とおくと，（64），（65）を等置して

∂F

∂x= 0

となる．y方向，z方向についても全く同様にして，

∂F

∂y= 0,

∂F

∂z= 0

３方向まとめると，

gradF = 0 (67)


従って，F は空間的に変化せず，渦なしの流れ場の至る所で一定である（時間の関数ではありうる）．

（66），（67）より，次の一般化されたベルヌーイ Bernoulliの式（圧力方程式）（非定常非圧縮渦なし

流れ）が得られる．∂φ

∂t+

12|v|2 + Ω +

p

ρ= F (t) (68)

ここで，F (t)は各瞬間における圧力の境界条件から決定される．

定常流では，∂φ/∂t = 0, F (t) = const.であるので，

12|v|2 + Ω +

p

ρ= const. (69)

これが定常非圧縮渦なし流れのベルヌーイの式（ベルヌーイの定理）である．

さらに，外力が重力の場合，すなわち外力ポテンシャルが（38）のように表される場合，

12|v|2 + gz +

p

ρ= const.

となる．この形の式が水力学でよく現れるベルヌーイの式である．

なお，理想流体で渦度が 0でない場合は，流れ場全体での F = const.という関係は成り立たないも

のの，各流線に沿って F = const.という関係は成り立つ．ただし，F の一定値は各流線毎に異なる

（渦ありの場合の定常非圧縮理想流体のベルヌーイの式）．

非圧縮ポテンシャル流れの通常の解き方は以下のようになる．

(1) ラプラスの式（63）と速度ポテンシャルに関する境界条件から，速度ポテンシャルを求める．

(2) 速度ポテンシャルの勾配（57）から，速度ベクトル場を求める．

(3) 得られた速度ポテンシャルおよび速度をベルヌーイの式（68）に代入して，圧力場を求める．

速度場の計算が圧力場の計算から独立していることに注意しよう（速度場が圧力場に依存していな

い！）．この点は，非圧縮ポテンシャル流れの大きな特徴である．

前述したように，速度ポテンシャルおよびその微分である速度場を支配する方程式は，ラプラスの

式（とその微分）であり，線形であるので，解の重ね合わせが可能である．

一方，ベルヌーイの式には速度の 2乗の項が含まれているので，圧力に関しては，一般には解の重

ね合わせは不可能である（２つの速度場 v1と v2を重ね合わせて得られる速度の 2乗に関して，|v1 +

v2|2 = |v1|2 + |v2|2であるから，圧力場は重ね合わせができない．もっとも，ベルヌーイの式の中で12 |v|2 の項が他の項に比べて無視できるほど小さい場合は，圧力についても近似的に重ね合わせが可能である（例えば，圧縮性流体で音波を扱うようなとき）．

非圧縮ポテンシャル流れでは，速度ポテンシャルは空間微分のみを含むラプラスの式と各瞬間の空

間的な境界条件だけで決定される．流れの非定常性の影響は，圧力方程式のポテンシャルの時間微分

項 ∂φ/∂tを通して，圧力分布に現れる（同じ速度分布の流れ場であっても，定常流と非定常流では圧

力分布が異なる！）．

（以上の説明では，流れ場の境界条件が圧力に依存しないことを前提とした．自由表面の場合のよ

うに，流れ場の境界条件が圧力に依存するときは，速度場と圧力場は分離できない．また，非定常性

の影響は，圧力境界条件を通して速度分布にも影響を与える．）


圧縮性ポテンシャル流の基礎方程式（補足）

本講義では，圧縮性流体は対象としないが，非圧縮性流体との対比のため，圧縮性ポテンシャル流

の基礎方程式を示しておこう．

速度場が渦なし rotv = 0の場合に，速度ポテンシャル φ(x, y, z, t)が存在し，速度場は v = gradφ

で与えられるという点は，非圧縮ポテンシャル流と同じである．圧縮性流体の場合は，密度も変化し，

連続の式は（12）となる．したがって，

∂ρ

∂t+ div (ρ grad φ) = 0

また，（一般化された）ベルヌーイの式は，密度が圧力のみの関数 ρ = ρ(p) （等温変化，等エント

ロピー変化などの場合）であるとすれば

∂φ

∂t+

12|v|2 + Ω +

∫dp

ρ= F (t)

となる．

したがって，2つの未知関数 φ(x, y, z, t), ρ(x, y, z, t)に関する 2つの偏微分方程式が得られたことに

なり，適当な境界条件と初期条件のもとにこれらを解けばよいということになる．しかし，これらの

2つの式は，連立した非線形偏微分方程式であり，非圧縮ポテンシャル流の場合に比べると，解くこ

とが非常に難しくなっている（もちろん，元のオイラー方程式（26）-（29）と比べれば，未知数と式

の数は少なくなり，簡単化されている）．


5 ２次元ポテンシャル流れ

5.1 速度ポテンシャルと流れ関数

２次元流れ

z方向に流れが変化しない=⇒ ∂∂z (·) = 0

z方向に流れがない=⇒ v = (u, v, 0)

したがって，渦度ベクトルは，(35)より，

ω =(∂w

∂y− ∂v

∂z,∂u

∂z− ∂w

∂x,∂v

∂x− ∂u

∂y

)=(

0, 0,∂v

∂x− ∂u

∂y

)= (0, 0, ζ)

となって，z成分だけが残る．このため２次元流れでは，渦度を単に一つのスカラー量 ζ で表すこと

ができる．

速度ポテンシャル

２次元流れの渦なし条件は，

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (70)

である．これが成り立つとき，速度ポテンシャル φ(x, y)（z方向に物理量が変化しないので，zは独

立変数から除かれる．また，tはパラメーターとして扱うので，やはり独立変数から除く）が存在す

る．速度は，ポテンシャルの勾配で求められる．すなわち

u =∂φ

∂x, v =

∂φ

∂y(71)

速度ベクトルの向きは，速度ポテンシャルが増加する方向である．

非圧縮性流体の速度ポテンシャルは２次元のラプラスの式を満たす．すなわち，φ(x, y)は２次元の

調和関数である．（63）で，z微分は 0なので，

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= 0 (72)

流れ関数

２次元非圧縮流れの連続の式は，(42)より，

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (73)

となる．この式が成り立つとき，

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x(74)

の関係を満たす関数ψ(x, y)が存在することが数学的に示される．この関数は流れ関数（stream func-

tion）と呼ばれる．流れ関数の存在条件は（73）が成り立つことであって，渦度のありなしとは無関

係である．

いま，２次元非圧縮流れで，さらに渦なしである場合には，ζ = 0より，

∂v

∂x− ∂u

∂y=

∂

∂x

(−∂ψ∂x

)− ∂

∂y

(∂ψ

∂y

)= −

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)= 0 (75)


図 14: 速度ポテンシャルと流れ関数

となる．すなわち，流れ関数も２次元のラプラスの式を満足する調和関数となる．

まとめると，（1）渦なしであれば速度ポテンシャルが存在し，（2）２次元非圧縮であれば流れ関数が

存在し，（3）２次元非圧縮の渦なしであれば速度ポテンシャルと流れ関数がともに存在していずれも

２次元の調和関数となる．

速度ポテンシャルと流れ関数の関係

速度ポテンシャルと流れ関数の両方が存在するとき（２次元非圧縮の渦なし流れ），両者の間には

密接な関係がある．

（59）で示したように，等ポテンシャル線 φ = const. （３次元なら面であるが，２次元なので線）

とその勾配 gradφは直交する（ここで，gradは２次元空間に対して定義している．すなわち，grad =

( ∂∂x ,∂∂y )である）．同様に，等流れ関数線 ψ = const.と勾配 gradψは直交する．さらに

gradφ · gradψ =(∂φ

∂x,∂φ

∂y

)·(∂ψ

∂x,∂ψ

∂y

)= (u, v) · (−v, u) = 0 (76)

であるから，gradφと gradψは直交する．従って，等ポテンシャル線と等流れ関数線は直交している

（図 14）．

さらに，次のことも言える．等ポテンシャル線はその勾配である速度ベクトルと直交しているので，

速度ベクトルは等流れ関数線の接線になっている．したがって，等流れ関数線は流線と一致する．

問題

２次元の流れ関数が，常に２次元の非圧縮の連続の式を満足することを，(74)を (73)に代入するこ

とによって示せ．

答え：

∂

∂x

∂ψ

∂y+

∂

∂y(−∂ψ

∂x) =

∂2ψ

∂x∂y− ∂2ψ

∂y∂x= 0


vn

dr

図 15: 流れ関数と流量

5.2 流れ関数と流量

流れの中に 2点A, Pをとり，A,Pを結ぶ曲線Cを考える（図 15）．Cを左から右に横切る単位時間

あたりの流量Q（z方向には単位長さあたり）は以下の式で計算される．

Q =∫ P

Avnds =

∫ P

Av · nds (77)

ここで，dsは Cの線要素ベクトル dr = (dx, dy)の大きさで ds2 = |dr|2 = dx2 + dy2，nは Cへの単

位法線方向ベクトル（左から右を正とする），vnは速度のCへの法線方向の成分である．図から，C

への法線方向は，Cへの接線方向 (dx/ds, dy/ds)を 90度時計回りに回転させた向きであることがわ

かる．したがって，n = (dy/ds,−dx/ds)である．この関係と (74)を使うと，流量Qは以下のように

なる．

Q =∫ P

A(u, v) ·(dy,−dx) =

∫ P

A(udy−vdx) =

∫ P

A

(∂ψ

∂ydy +

∂ψ

∂xdx

)=∫ P

Adψ = [ψ]PA = ψP−ψA (78)

すなわち，異なる 2点 P,Aの流れ関数の差は PA間の曲線（任意でよい）を通過する流量を表す．

また，このことから流れ関数一定の曲線 ψ = const.が流線を表すことが言える．なぜなら，この曲

線上のどの部分をとっても，その両端に対する流れ関数の差は 0，すなわちその部分を横切る流れは

ないからである．

流れ関数の値が一定の線を，等間隔（∆ψ =一定)で描くと，隣り合う等流れ関数線の間を流れる

流量は一定になる．このとき，等流れ関数線が込み合っているところほど，流れが速く，等流れ関数

線がまばらなところほど，流れが遅いということがわかる（１次元の流管の流れで，断面積が狭いと

ころほど流れが速いことに対応する）．

5.3 循環と渦度

３次元流れの循環と渦度の関係は，(53) - (55) のように表された．ここでは，２次元流れの循環と

渦度について考えよう．図 16に示すように，xy 平面内の２次元流れ場の中に閉曲線 Cを設定する．

まず，Cを一周する向きを決める．大橋先生の教科書では，「習慣上一周の方向を時計回りにとる」と

している．しかし，現在，多くの教科書では，「一周の方向を反時計回りにとる」としているので，こ


drv

図 16: ２次元流れの循環

の講義でもそのように決めることにする．Cの一周の方向を反時計回りにとると，Cによって囲まれ

た平面 S （xy面内にとる）の法線方向ベクトル nが z軸の正の方向と一致する．（なお，２次元翼や

２次元円柱まわりの循環を考えるときは，一周の方向を時計まわりにとることがしばしばある．これ

も “習慣”によるものである．循環については，どの方向に一周積分するのか常に注意しよう！）

２次元流れの循環 Γは，(53)に対応して，

Γ =∮C

v · dr =∮Cvsds =

∮C(udx+ vdy) =

∮C

(∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy

)=∮Cdφ = [φ]C (79)

で定義される．ここで，vs は速度ベクトルの Cに対する接線方向の成分，dr = (dx, dy)は Cの線要

素ベクトルで，ds2 = |dr|2 = dx2 + dy2である．[φ]Cは Cに沿って一周したときの，速度ポテンシャ

ルの変化である．つまり，循環が０でないときは速度ポテンシャルが一価にはならず，多価になる．

多価になるというのは奇妙に感じられるかもしれないが，速度ポテンシャルの勾配をとった速度ベク

トルそのものは一価であり，速度ポテンシャルが多価であっても物理的には何の問題もない．

循環と渦度の関係は，(55)より（この式を適用するためにはCの内部に物体があってはならない），

Γ =∮C

v · dr =∫ ∫

Srotv · ndS =

∫ ∫Sω · ndS =

∫ ∫S(0, 0, ζ) · (0, 0, 1)dxdy =

∫ ∫Sζdxdy (80)

となる．すなわち，閉曲線Cに沿う循環は，内部に存在する渦度の面積分に等しい．（大橋先生の教科

書のように，Cの一周積分の向きを時計回りにとる場合は，積分の前にマイナス符号をつける必要が

ある）．

閉曲線Cの内部に物体や特異点がなく（特異点については次の複素速度ポテンシャルのところで説

明する），至るところ渦なし（ζ = 0）であれば，(80)より，循環 Γは常に 0である．

問題

３次元非圧縮性理想流体の渦度方程式 (50) - (52)を元に，２次元非圧縮性理想流体の渦度方程式を

導け．その結果からどのようなことが言えるか？

答え：

Dζ

Dt= 0 渦度は流れに沿って一定（渦はその強さを保ちつつ流れに乗って移動していく）


6 複素速度ポテンシャル

非圧縮の２次元ポテンシャル流では，複素関数論が強力な解析手法を与えてくれる．前章で習った

知識を元に，複素関数論を使わずに多くの２次元ポテンシャル流れの問題を解くことも可能ではある

が，複素関数論を応用することのメリットは非常に大きいので，十分な学習時間を充当するに値する．

6.1 複素関数（復習）

複素平面

２次元平面の点 (x, y)を一つの複素数 x + iy（ここで，x, yは実数，iは虚数単位で，i2 = −1）と

対応させる（図 17）．複素数によって位置が与えられる平面を複素平面とよび，複素変数 zを平面上

の点の座標とみなす．

z = x+ iy (81)

複素数の実部 xと虚部 y(iは含まない）を次式で表す．

x = Re z, y = Im z (82)

原点Oと点 zを結ぶ位置ベクトルを考える．zはこのベクトルを表しているとみなせる．zの絶対

値 rと x軸からの偏角 θは以下のように与えられる．

r = |z| =√x2 + y2 (83)

θ = arg z = tan−1 y

x(84)

(r, θ)はこの平面の極座標による表示である．(x, y)表示との関係は，

x = r cos θ, y = r sin θ (85)

である．また，複素数に関し，次のオイラーの公式（数学，物理学には Eulerの名前のついた式がい

くつもでてくるので混同しないように！）がある．

cos θ + i sin θ = eiθ (86)

(85), (86)から，zは以下のようにも書けることがわかる．

z = x+ iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (87)

次式で定義される zを z(= x+ iy)の共役複素数と言う．

z = x− iy (88)

zを極座標を用いて表すと，

z = x− iy = r(cos θ − i sin θ) = r[cos(−θ) + i sin(−θ)] = re−iθ (89)


図 17: 複素平面

複素関数

複素変数 zを独立変数とする複素数値の関数 w = f(z)を複素関数という．z,wはともに複素数な

ので，それぞれ実部と虚部に分けて，z = x+ iy, w = P + iQと書くと，

w = f(z)

P + iQ = f(x+ iy)

P = Re f(x+ iy), Q = Im f(x+ iy)

であるから，１つの式 w = f(z)は，２つの式の組み合わせ P = P (x, y), Q = Q(x, y)と同じである．

言い換えると，「１つの複素変数 zを独立変数とする１つの複素数値w(z)をとる関数」と「２つの実変

数 (x, y)を独立変数とする２つの実数値 (P (x, y), Q(x, y))をとる関数」は同等ということになる．後

者の見方をすれば，実数だけを扱えばよいのでわかりやすいように感じられるかも知れない．しかし，

前者の複素数の関数という見方に立つことにより，解析の見通しがよくなり，また（複素関数論に慣

れれば）楽に問題を解くことができるようになるのである．

複素関数の微分

複素関数 f(z)の z = z0における微分係数は

df

dz(z0) = lim

z→z0

f(z) − f(z0)z − z0

(90)

で与えられる．実数の場合は，xを x0に近づけるときは，実数軸に沿って（１次元的に）近づけるこ

としかできない．しかし，複素数の場合は，zを z0に近づけるときは，複素平面内で（２次元的に）

いろいろな方向や経路で近づけることができる．(90)の微分係数が，zを z0に近づけるときの方向や

経路によらず一定の値に収束するとき，f(z)は z0で微分可能であるという．

正則関数とコーシー・リーマンの方程式

z平面上のある領域内で，f(z)が至るところで微分可能なとき，f(z)はその領域で正則（regular）

であるといい，そのような関数を正則関数という．

複素関数 f(z)の実部を P (x, y)，虚部をQ(x, y)とする（P,Qはともに実数値関数）．すなわち，

f(z) = P (x, y) + iQ(x, y)


と表したとき，複素関数 f(z)が正則であることと，以下の関係式が成り立つことは同値である．

∂P

∂x(x, y) =

∂Q

∂y(x, y),

∂P

∂y(x, y) = −∂Q

∂x(x, y) (91)

この式はコーシー・リーマン（Cauchy-Riemann）の関係式と呼ばれる．

(91)の第１式を xで偏微分し，第２式を yで偏微分し，両者を加えると，

∂2P

∂x2+∂2P

∂y2= 0 (92)

(91)の第１式を yで偏微分し，第２式を xで偏微分し，前者から後者を引くと，

∂2Q

∂x2+∂2Q

∂y2= 0 (93)

つまり，正則な複素関数 f(z)の実部 P (x, y)と虚部 Q(x, y)は，いずれも２次元のラプラスの式を

満足する調和関数である．

6.2 複素速度ポテンシャル

複素速度ポテンシャル

２次元非圧縮ポテンシャル流れの速度ポテンシャル φを実部，流れ関数 ψを虚部にもつ複素関数w

w(z) = φ(x, y) + iψ(x, y), z = x+ iy (94)

を考える．

φの定義 (71)と ψの定義 (74)から

u =∂φ

∂x=∂ψ

∂y, v =

∂φ

∂y= −∂ψ

∂x(95)

が成り立つ．これは，φ = P, ψ = Qとしたときのコーシー・リーマンの関係式 (91)になっている．した

がって，この複素関数w(z)は正則である．w(z)を複素速度ポテンシャル（complex velocity potential）

という．複素速度ポテンシャルは正則であるから，その実部である速度ポテンシャルと虚部である流

れ関数は，２次元のラプラスの式を自動的に満足している．

共役複素速度

複素速度ポテンシャルw(z)を zで微分してみよう．w(z)は正則（微分可能）であるので，微分する

方向によって微分係数は変わらない．計算しやすい経路，方向で微分すればよい．ここでは，実軸（x

軸）と平行な方向に微分することにしよう．すると，z = x+ iy0, (y0 = const.)とおけるから，dz = dx

であり，

dw

dz=∂w

∂x=∂φ

∂x+ i

∂ψ

∂x

となる．したがって，(95)からdw

dz= u− iv (96)

すなわち，

u = Re(dw

dz

), v = −Im

(dw

dz

)(97)


図 18: 共役複素速度

である．つまり，複素速度ポテンシャルの微分係数は，速度ベクトル v = (u, v) ⇒ u+ ivの虚部の符

号を変えたもの，すなわち (u,−v) ⇒ u− ivに等しい．u+ ivと u− ivは互いに共役な複素数である

から，この u − ivを共役複素速度（conjugate complex velocity，図 18）ということもある．（実数値

の速度ポテンシャルを各座標方向に微分したものは，その方向の速度成分となるが，複素速度ポテン

シャルを zで微分したものは共役複素速度になることに注意が必要である．）

（96）を極座標で表示すると，

dw

dz= qe−iθ, q =

√u2 + v2, θ = tan−1 v

u(98)

である．

壁面境界条件

与えられた形状の物体まわりの二次元非圧縮ポテンシャル（渦なし）流れを解くことを考えよう．

理想流体の壁面境界条件は，slip条件，すなわち流体は壁面を突き抜けることなく壁面に沿って流れ

る（32）というものであった．この条件は，渦なしの流れ（ポテンシャル流れ）では，(62)のように

表すことができた．すなわち，

n · v = n · gradφ =∂φ

∂n= 0 (99)

である．したがって，物体境界でこの境界条件を満たす速度ポテンシャル φを求めることができれば，

問題が解けたことになる．速度ポテンシャルを求めるために，２次元のラプラスの式を解くというの

が前章の方法であったが，そうする代わりに，何らかの方法を用いて，この速度ポテンシャル φを実

部にもつような複素速度ポテンシャル w(z)を求めてもよい．なぜなら複素速度ポテンシャルの実部

は自動的に２次元ラプラスの式の解になっているからである．

この考え方をさらに発展させると，物体壁面での境界条件を満たす流れ関数ψを虚部にもつような

複素速度ポテンシャルw(z)を求めることによっても，物体まわりの二次元非圧縮ポテンシャル（渦な

し）流れを解くことができるということがわかるであろう．（複素速度ポテンシャルの虚部も自動的に

２次元ラプラスの式の解になっている．）この場合，物体境界で流れ関数が満たすべき境界条件はどう

なるだろうか．それは，流れ関数一定の線が流線になるという結果から明らかである．すなわち，物


図 19: 複素速度ポテンシャルと流れ

体境界は一つの流線と一致するので，そこで流れ関数は一定

ψ = const. (100)

となるのである．

２次元非圧縮ポテンシャル流れの解析では，速度ポテンシャルよりも流れ関数を求めることが多い．

それは，物体境界での境界条件がより簡単に表現されること，あるいは求まった流れ関数の一定値を

結ぶ曲線（等値線，等高線）を描くことによって，すぐに流線がわかるからである．

図 19からわかるように，一つの複素速度ポテンシャルから導かれる流れは，ψ = ψ0の流線を物体

境界とする流れのみならず，ψ = ψ1，ψ = ψ2 などの流線のいずれか一つを物体境界とする流れをす

べて表すことができる．

問題 1

複素速度ポテンシャルを微分すると共役複素速度が得られる．上では，x軸と平行な方向に微分する

ことによって（96）の結果が得られた．同じ結果を，y軸と平行な方向に微分することにより求めよ．

答え：z = x0 + iy, (x0 = const.)とおけるから，dz = idyより

dw

dz=

∂w

∂(iy)=∂(φ+ iψ)

i∂y=∂φ

i∂y+ i

∂ψ

i∂y=∂ψ

∂y− i

∂φ

∂y= u− iv

問題 2

物体境界での壁面境界条件は，速度ポテンシャルについては（99）で，流れ関数については（100）

で与えられた．物体境界が x軸（y = 0）と一致しているとき，この２種類の条件が等価であること

を示せ．

答え：

n = (0, 1),∂φ

∂n= n · gradφ = (0, 1) · (∂φ

∂x,∂φ

∂y) =

∂φ

∂y= v = 0

x軸に沿ってψ = const.,∂ψ

∂x= −v = 0


α

図 20: 一様流

7 代表的な２次元ポテンシャル流れ

非圧縮ポテンシャル流れの速度場は線形であり，重ね合わせが可能である．したがって，いくつか

の基本的な流れを重ね合わせることによっていろいろな流れ場をつくることができる．以下では，そ

の基本となる代表的な流れを見ていこう．

7.1 一様流

複素速度ポテンシャル w(z)が

w(z) = Uz (U = real) (101)

であたえられるとき，共役複素速度は，

u− iv =dw

dz= U (102)

となる．これは，速度ベクトルがいたるところ (u, v) = (U, 0)ということであるから，x軸に平行な

一様流を表している．

(101)が x軸に平行な流れを表すことは，微分しなくても，w(z)を実部と虚部に分けて書けばわか

る．すなわち，

w(z) = U(x+ iy) = Ux+ iUy ⇔ φ+ iψ (103)

であるから，流れ関数 ψ = Uyである．したがって，いたるところで，流線 ψ = const.は y = const.

となり，x軸に平行である．

一様流が x軸に対して，角度 αだけ傾いているときの複素速度ポテンシャルは

w(z) = Ue−iαz (U > 0, α = real) (104)

で表される（図 20）．このことは次のように共役複素速度を求めることによって示される．

u− iv =dw

dz= Ue−iα = U cosα− iU sinα (105)

すなわち，(u, v) = U(cosα, sinα)である．


(101)あるいは (104) の複素速度ポテンシャルは，流線の一部または全部を “厚みのない”平板で置

き換えるときの流れ，あるいは（任意の）1本の流線によって仕切られる半無限空間を物体で置き換

える時の流れも表している．

問題

複素速度ポテンシャル (104) が，x軸に対して，角度 αだけ傾いた流れを示すことを，微分するこ

となく，流れ関数を調べることによって示せ．

答え：

w(z) = Ue−iαz = (U cosα− iU sinα)(x+ iy) = (Ux cosα+ Uy sinα) + iU(−x sinα+ y cosα)

ψ = U(−x sinα+ y cosα) = const.

y = (tanα)x+ const.

7.2 角を回る流れ


w(z) =Uzn

n(U > 0, n ≥ 1

2) (106)

であたえられる流れを調べてみよう（図 21，22）．なお，nは整数とは限らない．（このように微分可

能な複素関数を “適当に”与えることで，何らかの２次元非圧縮ポテンシャル流れを表すことができ

る．ただし，その流れが実際に実現可能かどうか，あるいは意味のある流れであるかどうかは別問題

である）．

この流れの共役複素速度は，dw

dz= Uzn−1 (107)

で与えられる．

n = 1のとき，(106)は (101)と一致するので，x軸に平行な一様流（あるいは，x軸に平行な平面

上の流れ）を表す．

流れの様子を見るために，流れ関数ψを調べる．z = reiθとおいて，(106)を実部と虚部に分けると

w(z) =Uzn

n=U (reiθ)n

n=U

nrneinθ =

U

nrn(cosnθ + i sinnθ) (108)

となるので，流れ関数は

ψ =U

nrn sinnθ (109)

である．

ψ = 0の流線を求めよう．(109)で式の値を 0とおくと，sinnθ = 0すなわち

θ = kπ

n, k = 0,±1,±2, . . . (110)

となる．すなわち，ψ = 0の流線は，原点から放射される方向の直線で，x軸の正の部分と，これを

角度,π/nだけ，正負（反時計回りと時計回り）の向きに次々回転して得られるものである．

n = 1の一様流の場合を境にして，流れの様子が変化する．


図 21: 角を回る流れ (1)

図 22: 角を回る流れ (2)


n > 1の場合は，凹に交わる角を回る流れに相当する．z = 0すなわち原点における速度は，(107)

より，U0n−1 = 0 となる．すなわち，凹に交わる角はよどみ点になる．

1/2 ≤ n < 1の場合は，凸に交わる角を回る流れに相当する．特に，n = 1/2のときは，厚みのな

い半無限平板（y = 0, x ≥ 0に存在する）を下面から上面に回る流れになる．z = 0すなわち原点にお

ける速度は，やはり (107)より，U0n−1 = U 101−n → ∞ となる．すなわち，凸に交わる角では流速が

無限大になる．流れが定常であるとすれば，定常のベルヌーイの式 (69)より，流速無限大の点で圧力

はマイナスの無限大になる．このような直感的に受け入れにくい結果は，理想流体を導く際に導入し

た非粘性および非圧縮性の仮定に起因するものである．実際の流れでは，粘性の影響により ‘流れの

はく離”が起こったり，圧縮性の影響により “超音速領域”が現れたりして，速度や圧力の無限大は回

避される．

7.3 わき出しと吸い込み


w(z) =Q

2πlog z (Q = real) (111)

で与えられる流れを考える（図 23）．

(111)は，原点 z = 0で log z → −∞であり，有限確定な微分係数を持たない．従って，原点では正則ではない．このような点を複素関数の特異点（singular point）という（正確に言うと，その点では

正則でないが，任意の近傍に必ず正則点があるような点を特異点という）．特異点においては，ラプ

ラスの式は成り立たない（あるいは渦なし条件または非圧縮条件の少なくとも一つは成り立たない）．

にも関わらず，今後見ていくように，２次元非圧縮ポテンシャル流れ（および複素関数論）において

特異点は非常に重要な役割を果たしている！

z = reiθとおいて，(111)を実部と虚部に分けると

w(z) =Q

2πlog(reiθ) =

Q

2π(log r + log eiθ) =

Q

2π(log r + iθ) =

Q

2πlog r + i

Q

2πθ (112)

となるので，速度ポテンシャルと流れ関数は

φ =Q

2πlog r, ψ =

Q

2πθ (113)

である．従って，等ポテンシャル線は r = const.（円），等流れ関数線は θ = const.（放射線）となる．

Q > 0の場合，原点から遠ざかるにつれて速度ポテンシャルが増加するので，流れは原点から遠ざ

かる方向に向いている．すなわちQ > 0のとき (111)は，原点に無限小のわき出し口があり，そこか

らわき出る流れが四方八方に一様に流れ去る様子を示している．このような流れをわき出し（または

吹き出し，source）という．

逆に，Q < 0の場合，原点に近づくにつれて速度ポテンシャルが増加するので，流れは原点に吸い

寄せられる方向に向いている．このような流れを吸い込み（sink）という．

この流れの共役複素速度は，

u− iv =dw

dz=

Q

2πz=

Q

2πre−iθ =

Q

2πr(cos θ − i sin θ) (114)


図 23: わき出し

で与えられる．前述したように流れは放射状である．放射方向の速度 vrは (114)の絶対値をとって（あ

るいは対称性を考慮して，θ = 0とおいて求めてもよい），

vr =Q

2πr(115)

となる．すなわち，半径に反比例している．

(111)のわき出し (Q > 0とする）からのわき出し量を計算してみよう．そのためには（78）で示し

たように，特異点である原点を取り囲む閉曲線を反時計方向に（原点を左に見て）一周するときの流

れ関数の変化を求めればよい．すなわち，∮dψ = [ψ]θ=2π

θ=0 =Q

2π(2π − 0) = Q (116)

である．つまり，（111）の Qが，全体のわき出し量を表す（もともと，このことを知っていたから，

（111）のように分母に 2πが来るような形においたのである）．

閉曲線の内部が至るところ正則であれば，Q = 0になる（非圧縮流れの連続の式（73）が成り立つ

ことから必然的に導かれる結果）．しかし，内部に (111)の特異点があるときには（Q = 0)，有限の

わき出し量（あるいは吸い込み量）が存在することができるのである．（何もない空間から流体がわき

出してくるということは物理法則に矛盾している!? このような流れを調べることに意味があるのだ

ろうか．その実例は次で示そう．）

問題

(111)のわき出し (Q > 0とする）からのわき出し量を求めるために，原点を取り囲む任意の閉曲線

上で曲線に垂直な方向の流れ（中から外へ向かう向き）の速度を積分してもよい（実は等価な計算で

ある）．閉曲線として原点を取り囲む半径 aの円周をとると，垂直方向の速度は放射方向の速度 vrに

なる．したがって，（115）より∮

[vr]r=ads

を求めればよい．この計算を行って，(116)と一致することを示せ．


答え：∮

[vr]r=ads =∫ θ=2π

θ=0

Q

2πa(adθ) =

Q

2π[θ]θ=2π

θ=0 =Q

2π(2π − 0) = Q

7.4 半無限物体

非圧縮ポテンシャル流れでは，速度場の重ね合わせができることを学んだ．（複数の異なる非圧縮ポ

テンシャル流れを重ね合わせると，その結果も自動的に非圧縮ポテンシャル流れになるということで

ある．より一般的な流れ，すなわち渦度のある流れ，粘性流，圧縮性流では，このことは一般には成

り立たない．）

ここで，これまでに説明した「一様流」と「わき出し」の重ね合わせを考えてみよう．（重ね合わせ

た結果がラプラスの式を満たすことは一々確認する必要はない！）一様流としてU > 0の x軸に平行

な流れ（101）をとり，Q > 0のわき出し（111）と重ね合わせると，

w(z) = Uz +Q

2πlog z (U > 0, Q > 0) (117)

となる．z = reiθとおいて流れ関数を調べよう．

w(z) = Ureiθ +Q

2πlog(reiθ) = Ur(cos θ + i sin θ) +

Q

2π(log r + iθ)

= Ur cos θ +Q

2πlog r + iUr sin θ +

Q

2πθ (118)

従って，流れ関数 ψは

ψ = Imw = Ur sin θ +Q

2πθ (119)

θ = 0は x軸の正の部分を表すが，そこでは ψ = 0で一定であり，一つの流線になっている．また，

θ = πは x軸の負の部分を表すが，そこでは ψ = Q/2でやはり一定であり，別の流線になっている．

さらに，θ = 0, π ⇒ sin θ = 0として，ψ = Q/2を（119）に代入すると，

r =Q

2πUπ − θ

sin θ(120)

という (r, θ)の関係式が得られる．これは (x, y)平面上の一つの曲線を極座標で表したものである（θ

を与えれば，この式から rが決まり，従って (x, y) = r(cos θ, sin θ)によって，デカルト座標が計算さ

れる．多くの点についてこれを計算し，つなげれば，曲線の具体的な形が得られる）．もちろん，こ

の曲線は ψ = const.であるから流線であり，したがって slip条件を満たす物体境界で置き換えること

ができる．すると，図 24のように，この流線は x→ +∞まで続く（２次元の）半無限物体を示していることがわかる．一方，（115）より原点から離れれば，わき出しの影響は十分小さくなるので，そ

こでは，一様流とみなせる．したがって，（117）は，（２次元の）半無限物体に一様流があたるときの

流れを表しているものと考えてよい（例えば，先端を丸めた板に対して，板の面に平行に，かつ前縁

に垂直に一様な風が当たるときの流れ場）．

このような見方をするときは，（120）の曲線の外部の流れ場を実際の流れ場と対応させているわけ

である．曲線の内部では，流れがわき出すという流れ場になっているが，今はこの内部の流れは問題

としていない．曲線の外部の流れが現実の流れと対応していればよいのである．（物体まわりの流れを

解くとき，その物体表面と一致する場所に固体境界面があるとして，流れを解くのが正攻法である．

しかし，ここで述べたような方法を使えば，流れ場に固体境界面が存在しない無限に広い空間の中で


ψ=Q/2

ψ=Q/2ψ=0

図 24: 半無限物体

問題を解くことができる．つまり，物体境界の影響を特異点であるわき出しで置き換えることができ

るのである．こうすることにより，問題の数学的な取り扱いが非常に簡単になる．わき出しを分布さ

せる方法の適用例としては，飛行船の表面圧力分布を求める問題などがある．）

問題

半無限物体の x→ ∞での厚み 2bを，（120）の流線の形を調べることによって求めよ．

ヒント：

b = limx→∞[y]ψ=Q/2 = lim

θ→0(r sin θ)

答え：

b = limθ→0

(Q

2πU(π − θ)

)=

Q

2U, 厚み 2b =

Q

U

7.5 渦糸


w(z) = − iΓ2π

log z (Γ = real) (121)

で与えられる流れを考える（図 25）．

(121)は，原点 z = 0で log z → −∞であり，正則ではない．したがって，わき出しと同様，原点は特異点になっている．

z = reiθとおいて，(121)を実部と虚部に分けると

w(z) = − iΓ2π

log(reiθ) = − iΓ2π

(log r + iθ) =Γ2πθ − iΓ

2πlog r (122)

となるので，速度ポテンシャルと流れ関数は

φ =Γ2πθ, ψ = − Γ

2πlog r (123)

である．従って，等ポテンシャル線は θ = const.（放射線），等流れ関数線は r = const.（円）となる

（わき出し・吸い込みの場合と逆の関係になる）．


図 25: 渦糸

Γ > 0の場合，着目する座標の θが増加するにつれて（原点のまわりを時計と反対方向に回転する

につれて），速度ポテンシャル φが増加する（φ = Γ2πθ）．従って，流れは原点のまわりを反時計方向

に回転している．流線は前述のように同心円状であるので，(121)は，原点を中心とする旋回流になっ

ている．通常，このような回転する流れは “渦”と言われる．ただし，ここでの流れは原点を除いて

正則であり，したがって（ラプラスの式を満たすから）渦なし（渦度 0）である．「渦なしの渦」という

のは矛盾した表現のように聞こえるが，実は渦度は特異点である原点に集中しているのである．２次

元流れで一点に集中しているということは，３次元的に表現すれば，一本の直線に集中していること

になる．このことから，(121)の流れを渦糸という．Γ < 0の場合，流れは逆回転（時計方向）になる．

渦糸について，さらに説明を加えよう．渦糸の流れは，原点を除いて渦なしである．原点を除いた

領域では，流体の微小部分は自転していない．しかし，原点に対して公転はしている．渦度の概念は

あくまで，流体の微小部分に着目したものである（rotの操作は微分であり，微小部分にしか適用で

きない）．一方，人間は全体の流れのパターンを見て，流れが回転していると認識するので，この旋

回流を渦と表現するのである．渦度のありなしと全体の流れが回転しているかどうかは全く別である

ことを理解することが重要である．


u− iv =dw

dz= − iΓ

2πz= − iΓ

2πre−iθ = − iΓ

2πr(cos θ − i sin θ) =

Γ2πr

(− sin θ − i cos θ) (124)

で与えられる．すなわち，(u, v) = Γ2πr (− sin θ, cos θ)である．前述したように流れは同心円状であり，

円周方向の速度（θ が増加する方向，すなわち反時計方向が正）vθ は，(124)から（対称性を考慮し

て，θ = 0とおいて求めてもよい），

vθ =Γ

2πr(125)

となる．Γ > 0の場合，原点のまわりを反時計方向に回る流れであり，その大きさは半径に反比例し

ている．

(121)の渦糸のまわりの（反時計方向の）循環を計算してみよう．そのためには（79）で示したよう

に，特異点である原点を取り囲む閉曲線Cを反時計方向に（原点を左に見て）一周するときの速度ポ


テンシャルの変化を求めればよい．すなわち，∮Cdφ = [φ]θ=2π

θ=0 =Γ2π

(2π − 0) = Γ (126)

である．つまり，（121）の Γが，渦糸のまわりの循環を表す（もともと，このことを知っていたから，

（121）のように分母に 2πが来るような形においたのである）．

閉曲線の内部が至るところ正則であれば，その内部は至るところ渦度 0であり，（80）より，Γ = 0

になる．しかし，内部に (121)の特異点があるときには（Γ = 0)，そこに渦度が集中して存在してい

ることになり，有限の大きさの循環が存在することができるのである．

問題 1

(121)の渦糸のまわりの循環を求めるために，原点を取り囲む任意の閉曲線に沿って原点を反時計方

向に回る向きに，曲線に接する方向の流速（反時計方向が正）を線積分してもよい．閉曲線として原

点を取り囲む半径 aの円周をとると，接線方向の速度は円周方向の速度 vθになる．したがって，（125）

より∮

[vθ]r=ads

を求めればよい．この計算を行って，(126)と一致することを示せ．

答え：∮

[vθ]r=ads =∫ θ=2π

θ=0

Γ2πa

(adθ) =Γ2π

[θ]θ=2πθ=0 =

Γ2π

(2π − 0) = Γ

問題 2

静止した流体中に，循環 Γの２次元渦糸が原点にあるとき，そのまわりの圧力場がどのようになっ

ているかを調べよ．

答え：式 (125)より，原点からの距離が rの位置での渦糸による流速は

vθ =Γ

2πr

　　定常のベルヌーイの式より，遠方での圧力を p∞とすると，対応する位置での圧力 pは

p = p∞ − 12ρv2θ = p∞ − ρΓ2

8π2r2

　　この結果は，渦の中心では圧力が低下することを示している（例えば，台風などの低気圧）．渦

のまわりの流体は回転運動をしており，流体粒子には遠心力が作用している．この遠心力と渦の外側

から中心に向かう圧力勾配が釣り合うことで，流体の回転運動が維持される．一般に，定常な流れで

流線が曲がっている場合，曲線の凸の側から凹の側へ向かう圧力分布が生じている．（反りのある翼で

は，腹側の圧力は高く，背側の圧力は低くなり，翼には揚力が作用する．このような圧力分布は，無

限遠方で大気圧であることと，流線の曲がりによって説明できる．）


7.6 ２重わき出し

絶対値が同じ大きさのわき出しと吸い込みが無限に近接しているときの流れを考えよう（図 26）．

x = ε（すなわち z = ε + i0）にQ(> 0)のわき出し，x = −ε（すなわち z = −ε + i0）に −Qの吸い込みをおくと，わき出した流れは全て吸い込まれる．

w(z) =Q

2πlog(z − ε) +

−Q2π

log(z − (−ε)) =Q

2πlog(z − ε) − log(z + ε) (Q > 0)

このまま，εのみを小さくしていくと，わき出しと吸い込みがうち消し合って，外部には何の影響も

及ぼさなくなる．しかし，2εQ = m = const.となるように，距離 2εとわき出し強さQの積を一定の

有限値に保ちながら ε→ 0とすると，以下のようになる（Q = m/(2ε)）．

w(z) = limε→0

m

4πεlog(z − ε) − log(z + ε) = −m

2πlimε→0

log(z + ε) − log(z − ε)2ε

この極限操作の式は微分の定義そのものであるから，

w(z) = −m

2πd

dzlog z = −m

2π1z

(127)

となる．このような式で表される流れを２重わき出し（doublet）と言う．また，mを２重わき出しの

モーメントと言う．

例によって z = reiθとおいて，流れ関数を調べることにより，２重わき出しの流れ場を調べよう．

w(z) = −m

2π1reiθ

= − m

2πre−iθ =

m

2πr− cos θ + i sin θ (128)

従って，流れ関数は

ψ = Imw =m

2πrsin θ (129)

である．

流線 ψ = const.は，sin θ/r = const.を満たす曲線となる．例えば，sin θ/r = 1の場合を考えると，

sin θr

= 1, r sin θ = r2, y = x2 + y2, x2 +(y − 1

2

)2

=(

12

)2

となって，原点で x軸に接する円である．図に示すように，２重わき出しの流れ場は x軸に接する円

の群になる．この流線のパターンは，短い棒磁石のまわりの磁力線のパターンとよく似ている．（とも

にポテンシャル場の二重層の解で数学的に等価である．）また，速度ポテンシャルは，これらの流線を

xy面内で直角に回転して得られる円群である．

（127）は２重わき出しの軸が x軸と平行な場合である．この軸を xy面内で回転させれば，傾いた

２重わき出しの複素ポテンシャルを得ることができる．２重わき出しの軸が x軸に対して αだけ傾い

ているときの速度ポテンシャルは以下のようになる．

w(z) = −meiα

2π1z

(130)

この関係は座標系の回転を考慮して，（127）で z → ze−iαと置き変えることによって得られる（後出

の式（179）を参照）．

（130）の共役複素速度は

u− iv =dw

dz=meiα

2πz2(131)

である．


図 26: ２重わき出し

問題

（127）の２重わき出しは原点が特異点になっている．しかし，全体としては，流量のわき出しも循

環もない．このことを（116），（126）を計算したときと同様に，半径 aの円に沿って原点を一周する

ときの流れ関数と速度ポテンシャルの変化を計算することにより示せ．

答え：

わき出し：∮dψ = [ψ]θ=2π

θ=0 =m

2πa(sin(2π) − sin 0) = 0

循環：∮dφ = [φ]θ=2π

θ=0 = − m

2πa(cos(2π) − cos 0) = 0

7.7 円柱まわりの流れ（循環のない場合）

「一様流」と「２重わき出し」の重ね合わせを考えてみよう（図 27）．一様流として U > 0の x軸

に平行な流れ（101）をとり，m = −2πUa2 の２重わき出し（(127)，x軸の負の方向に軸をもつ２重

わき出し．このようにおくのは，結果を知っているからである）と重ね合わせると，

w(z) = Uz − −2πUa2

2π1z

= U

(z +

a2

z

)(U > 0, a > 0) (132)

となる．z = reiθとおいて流れ関数を調べよう．

w(z) = U

(reiθ +

a2

re−iθ

)= U

(r +

a2

r

)cos θ + iU

(r − a2

r

)sin θ (133)

従って，流れ関数 ψは

ψ = Imw = U

(r − a2

r

)sin θ (134)

となる．これは，r = aのとき，ψ = 0 = const.となる．すなわち，原点を中心とし，半径 aの円が

一つの流線となっている．２重わき出しの影響は，遠方に行けば十分小さくなるから，（132）は，一


a

図 27: 円柱まわりの流れ（循環がない場合）

様流中におかれた静止円柱（半径 r = a）のまわりの流れを表しているとみなせる．一様流が静止す

るような座標系から見れば（ガリレイ変換の原理．静止物体を一様流が過ぎる問題と静止流体中を一

定速度で物体が運動する問題は等価である．飛行機の風洞実験の原理），静止流体に相対的な円柱の

運動によって引き起こされる流れは，運動方向の軸をもつ２重わき出しによって表されると言っても

よい．


u− iv =dw

dz= U

(1 − a2

z2

)= U

(1 − a2

r2e−2iθ

)= U

(1 − a2

r2cos 2θ

)+ iU

a2

r2sin 2θ (135)

で与えられる．円柱表面上すなわち r = aでは

u = U(1 − cos 2θ) = 2U sin2 θ, v = −U sin 2θ = −2U sin θ cos θ

極座標の速度（vr: 放射方向の速度，vθ: 円周方向の速度，反時計回り正）に変換すると

vr = u cos θ + v sin θ = 2U sin2 θ cos θ − 2U sin θ cos θ sin θ = 0

vθ = −u sin θ + v cos θ = −2U sin2 θ sin θ − 2U sin θ cos θ cos θ = −2U sin θ (136)

従って，円柱表面での流速の大きさは q = |vθ| = 2U | sin θ|であり，θ = ±π/2で最大値 2U をとる．す

なわち，一様流の方向に垂直な直径の両端で流速は最大となり，その大きさは一様流速の 2倍である．

なお，（136）の流速分布は上下対称であり，円柱の表面に沿って流速を積分して得られる循環は 0に

なる（一様流，２重わき出しともに循環は 0であるから，重ね合わせた速度場も循環 0になる）．し

たがって，この流れは循環がない場合の円柱まわりの流れである．

今，流れが定常であるとして，圧力を求めよう．それには，定常のベルヌーイの式（69）を使う．す

なわち，円柱から遠く離れた一様流とみなせる領域の点と円柱表面の点の間でベルヌーイの式を適用

すると，

p∞ +ρ

2U2 = p+

ρ

2q2 = p0 = const. (137)

である．ここで，p∞は無限遠での圧力， p0はよどみ点（流れが物体によってせき止められて静止す

る点）での圧力である．（136）を代入すれば，

p = p∞ +ρ

2U2(1 − 4 sin2 θ) (138)


180-

図 28: 円柱まわりの圧力分布（理想流体と実際の流れ）

θ

図 29: 実際の円柱まわりの流れ（Re > 40）

となる．したがって，円柱表面上の圧力は，前方のよどみ点（θ = π）と後方のよどみ点（θ = 0）で

最も高く，流速の最大の箇所，すなわち一様流の方向に垂直な直径の両端（θ = π/2）で，圧力が最も

低くなる（図 28）．

非粘性流体が円柱に及ぼす力は，円柱表面上の圧力を積分したものである．（138）で表される圧力

分布は上下に対称であり，円柱の形状ももちろん上下対称であるから，円柱には揚力 (y方向の力）は

働かない．同様に，（138）で表される圧力分布は前後に対称であり，円柱の形状も前後対称であるか

ら，円柱には抵抗 (x方向の力，抗力とも言う）は働かない．ここで，後者の「理想流体中で円柱（あ

るいは任意の閉じた２次元物体）には抵抗が働かない」という結果をダランベール（d’Alembert）の

パラドックスという．パラドックスと言われるのは，実際の流れでは円柱に抵抗が働くことが知られ

ていて，その事実と矛盾するからである．

実際の粘性のある流れでは，（レイノルズ数が非常に小さいときを除いて）円柱まわりの境界層が途

中で剥離し（図 29），円柱表面上の圧力分布は前後対称にならない．円柱背後の圧力は（138）のよう

に p0まで回復せず，低いままである．したがって，円柱には抵抗が働く．


問題

一様流中の物体まわりの流れの取り扱いでは，圧力 pを，以下のように無次元化して，圧力係数Cp

として表示することがよく行われる．

Cp =p− p∞12ρU

2

式（138）の循環のない場合の円柱まわりの流れにおける円柱表面上の圧力を圧力係数の形で表すと

どうなるか．

答え：

Cp =p− p∞12ρU

2= 1 − 4 sin2 θ

7.8 円柱まわりの流れ（循環のある場合）

渦糸の流れ（121）の流線は（123）で示されるように同心円であった．一方，一様流と２重わき出し

を重ね合わせた（132）の流れは，円柱表面が一つの流線と一致していた．したがって，（121）と（132）

を重ね合わせた次式の流れも，やはり円柱表面が流線と一致する．

w(z) = U

(z +

a2

z

)− iΓ

2πlog z (U > 0, a > 0) (139)

ここでは Γ < 0の流れ（時計回りの流れを誘起する渦糸）を考えることにする．このままでは Γが負

の値となり，扱いにくいので，ΓC = −Γ, (ΓC > 0)とおいて，時計方向を正とするような循環ΓCを導

入する．すると，

w(z) = U

(z +

a2

z

)+iΓC

2πlog z (U > 0, a > 0,ΓC > 0) (140)

z = reiθとおくと，

w(z) = U

(reiθ +

a2

re−iθ

)+iΓC

2πlog(reiθ)

=

U

(r +

a2

r

)cos θ − ΓC

2πθ

+ i

U

(r − a2

r

)sin θ +

ΓC

2πlog r

(141)

となり，流れ関数 ψは

ψ = Imw = U

(r − a2

r

)sin θ +

ΓC

2πlog r　 (142)

となる．これは，r = aのとき，ψ = ΓC2π log a = const.である．したがって，確かに（139）は円柱ま

わりの流れを表している．また，この結果は任意の ΓCの値に対して成り立つ．すなわち，円柱まわ

りの流れは，ΓCの任意の値に対応して無数に存在するのである．（数学的には，２次元円柱の存在す

る空間が多重連結であるために，解が一意に決まらないと表現される．）


u− iv =dw

dz= U

(1 − a2

z2

)+iΓC

2πz= U

(1 − a2

r2e−2iθ

)+iΓC

2πre−iθ

=

U

(1 − a2

r2cos 2θ

)+

ΓC

2πrsin θ

+ i

Ua2

r2sin 2θ +

ΓC

2πrcos θ

(143)


ΓC < 4πUa ΓC = 4πUa ΓC > 4πUa

図 30: 円柱まわりの流れ（循環がある場合）


流れの様子を見るために，よどみ点を求めてみよう．よどみ点の複素座標を zSとすると，dwdz

∣∣∣z=zS

=

0から，

Uz2S +

iΓC

2πzS − Ua2 = 0

すなわちzSa

= − iΓC

4πUa±√

1 −(

ΓC

4πUa

)2

(144)

となる．ΓCの大きさに応じて，３通りに分かれる（図 30）．

(a) ΓC < 4πUaでは，zSは２個の複素数であり，|zS|/a = 1，すなわち円柱表面上によどみ点が存

在する．特に ΓC = 0のときは，よどみ点は zS/a = ±1で，循環のない時の円柱まわりの流れである．

(b) ΓC = 4πUaでは，zS/a = −i（重根），すなわち円柱表面の最下端がよどみ点になる．(c) ΓC > 4πUaでは，zSは２個の純虚数で，かつ |zS|/a = 1である．すなわち円柱表面から離れた

虚軸によどみ点が存在する．ただし，２点のうち１点は円柱の内部にあるので，実際に流れの中に現

れるのは１点だけである．

円柱表面上すなわち r = aでは

u = U(1 − cos 2θ) +ΓC

2πasin θ = 2U sin2 θ +

ΓC

2πasin θ

v = −U sin 2θ − ΓC

2πacos θ = −

(2U sin θ cos θ +

ΓC

2πacos θ

)

極座標の速度（vr: 放射方向の速度，vθ: 円周方向の速度，反時計回り正）に変換すると

vr = u cos θ + v sin θ = (2U sin2 θ +ΓC

2πasin θ) cos θ − (2U sin θ cos θ +

ΓC

2πacos θ) sin θ = 0

vθ = −u sin θ + v cos θ = −(2U sin2 θ +ΓC

2πasin θ) sin θ − (2U sin θ cos θ +

ΓC

2πacos θ) cos θ

= −2U sin θ − ΓC

2πa(145)

第２項− ΓC2πaは，円周方向の速度 vθのうち渦糸に誘起される成分であり，θによらず一定である．ΓC >

0なので，渦糸に誘起される流れは時計方向である．したがって，渦糸をおかない場合（136）に比べ

て，円柱の上側では左から右に向かう流れが加速され，下側では左から右に向かう流れが減速される．

円柱まわりの循環を求めるために，（145）の流速分布を円周方向に積分すると，第１項の寄与は 0で，

第２項の渦糸の寄与だけが残る．したがって，（139）の円柱まわりの（反時計方向の）循環は（126）

より Γ(= −ΓC)である．すなわち，この流れは循環がある場合の円柱まわりの流れである．


流れが定常であるとして，円柱表面上の圧力を求めてみよう．定常のベルヌーイの式から

p+ρ

2v2θ = p∞ +

ρ

2U2 = p0 = const. (146)

である．ここで，p∞は無限遠での圧力， p0はよどみ点での圧力である．（145）を代入すれば，

p = p0 − ρ

2a2

4U2a2 sin2 θ +

2UaΓC

πsin θ +

(ΓC

2π

)2

(147)

循環のない場合（138）に比べて，流れが加速される円柱の上側（0 < θ < π, sin θ > 0）では圧力が低

下し，流れが減速される円柱の下側（π < θ < 2π, sin θ < 0）では圧力が増大する．その結果，円柱

には上向きの力が働くことになる．次に，この力を具体的に求めよう．

一般に，物体が非粘性流体から受ける力P = (Px, Py)を計算するには，物体表面に働く圧力の合計

を求めればよい（物体表面に沿って積分する）．（ここでは，２次元問題を考えているので，z軸方向

に単位長さあたりの力を計算する．）すなわち，

P = −∮pnds (148)

である．圧力の作用する向きは，物体表面の外向き法線方向ベクトル nとは逆向きであることに注意

する．半径 aの円柱の場合は，n = (cos θ, sin θ)，ds = adθとなるので，

Px = −∫ 2π

0p cos θ adθ

Py = −∫ 2π

0p sin θ adθ

（147）を代入すると，

Px = −∫ 2π

0

[(p0 − ρΓ2

C

8π2a2

)− 2ρU2 sin2 θ − ρUΓC

πasin θ

]cos θ adθ

=∫ 2π

0

[(−p0 +

ρΓ2C

8π2a2

)a cos θ + 2ρU2a sin2 θ cos θ +

ρUΓC

πsin θ cos θ

]dθ

Py = −∫ 2π

0

[(p0 − ρΓ2

C

8π2a2

)− 2ρU2 sin2 θ − ρUΓC

πasin θ

]sin θ adθ

=∫ 2π

0

[(−p0 +

ρΓ2C

8π2a2

)a sin θ + 2ρU2a sin3 θ +

ρUΓC

πsin2 θ

]dθ

上式に現れる三角関数の積分は以下のようになる．∫ 2π

0cos θdθ = [sin θ]θ=2π

θ=0 = 0∫ 2π

0sin θdθ = [− cos θ]θ=2π

θ=0 = 0∫ 2π

0sin θ cos θdθ =

∫ 2π

0

sin 2θ2

dθ =12

[−cos 2θ

2

]θ=2π

θ=0= 0

∫ 2π

0sin2 θdθ =

∫ 2π

0

1 − cos 2θ2

dθ =12

[θ − sin 2θ

2

]θ=2π

θ=0= π

∫ 2π

0sin2 θ cos θdθ =

∫ 2π

0

cos θ − cos 3θ4

dθ =14

[sin θ − sin 3θ

3

]θ=2π

θ=0= 0

∫ 2π

0sin3 θdθ =

∫ 2π

0

3 sin θ − sin 3θ4

dθ =14

[−3 cos θ +

cos 3θ3

]θ=2π

θ=0= 0


図 31: 平面壁に関する鏡像

これらを代入すると，最終的に

Px = 0

Py = ρUΓC = ρU(−Γ) (149)

が得られる．ここでは Γ < 0 (ΓC > 0)としているので，Py > 0である．すなわち，上で予想した通

り，この円柱には上向きの力 Py が働くことが示された．

一般に，流れが物体に及ぼす力の流れ方向の成分を抵抗(drag)，流れに直角方向の成分を揚力（lift)

と言う．上の結果のように，円柱の場合，抵抗は 0，揚力は ρUΓCである．実は，この結果は，円柱

に限らず，任意の形状の２次元物体について成り立つ．前者の抵抗が 0であるという結果は，前述し

たダランベールのパラドックスである．後者の，揚力が密度，一様流速および物体まわりの閉曲線に

沿った循環の積で表されるという関係をクッタ・ジューコフスキー (Kutta-Joukowski)の定理という．

（149）によると，循環のある円柱には揚力が働く．非常に簡単なモデルであるが，野球のカーブが

曲がる原理を示していると言える．

7.9 鏡像

これまで，無限に広い空間にわき出しや渦糸などがある場合について考えてきた．そして，得られ

た流れ場の流線を物体壁面と置き換えることで，物体の影響を調べた．以下では，鏡像（image）の

考え方を用いて，無限に広い平面壁によって制限された半無限領域の流れを調べる方法を示そう．

図 31のように，平面壁の境界が虚軸 x = 0と一致し，そこから距離 aの点 (a, 0)に強さQのわき出

しがある場合を考える．鏡像の位置 (−a, 0)に同じ強さのわき出しをおくと，流れの対称性から平面

壁境界で u = 0あるいは ψ = const.となる．したがって，求める流れは，二つのわき出しを重ね合わ

せて（（111)の原点をずらした上で足し合わせる），

w(z) =Q

2πlog(z − a) +

Q

2πlog(z + a) =

Q

2πlog(z2 − a2) (Q = real) (150)


次に，同じ点に，わき出しでなく，強さ Γの渦糸がある場合を考える（循環は反時計まわりが正）．

このときは，鏡像の位置 (−a, 0)に符号が反対の渦糸をおく必要がある．したがって，求める流れは，


互いに逆向きの２個の渦糸を重ね合わせて（（121)の原点をずらした上で足し合わせる）

w(z) = − iΓ2π

log(z − a) − i(−Γ)2π

log(z + a) = − iΓ2π

log(z − a

z + a

)(Γ = real) (151)


説明は省くが，円形境界に沿う流れについても，円に関する鏡像を使って表すことができる．

問題 1

平面壁境界 x = 0における流れ関数を調べることにより，（150）が平面壁に沿う流れを表している

ことを示せ．

答え：

x = 0, z = iy

w(z) = w(iy) =Q

2πlog(−y2 − a2) =

Q

2πlog(−1)(y2 + a2)

=Q

2πlogeiπ(y2 + a2) =

Q

2π

[log(y2 + a2) + iπ

]

ψ =Q

2= const.

問題 2

平面壁境界 x = 0における流速の向きを調べることにより，（151）が平面壁に沿う流れを表してい

ることを示せ．

答え：

dw

dz(z) = − iΓ

2π

[1

z − a− 1z + a

]= −iΓa

π

1z2 − a2

x = 0, z = iy

u− iv =dw

dz(iy) = − iΓa

π

1−y2 − a2

= iΓaπ

1y2 + a2

u = 0

問題 3

平面壁の境界が実軸 y = 0と一致し，そこから距離 hの点 (0, h)に強さQのわき出しがある場合を

考えると，流れを表す複素速度ポテンシャルはどのようになるか．

答え：

w(z) =Q

2πlog(z − ih) +

Q

2πlog(z + ih) =

Q

2πlog(z2 + h2)

問題 4

前問の流れに，さらに x軸に平行な一様流（流速 U）を重ね合わせると，地面上を走行する自動車

の先端部まわりの流れを簡単に表現したモデルが得られる．この流れの共役複素速度を求めよ．また，

その結果から，地面上（y = 0）の流速が位置 xによってどのように変化するか調べよ．


答え：

w(z) = Uz +Q

2πlog(z2 + h2)

dw

dz(z) = U +

Q

π

z

z2 + h2

y = 0, z = x

u− iv =dw

dz(x) = U +

Q

π

x

x2 + h2

わき出し位置の上流（x → −∞）で流速 U，わき出しに近づくにつれて流速が減少し，x = −hで最小値 U −Q/2πhをとったあと，流速は増大し，わき出し位置（x = 0）で流速 U となり，x = hで最

大値 U +Q/2πhをとる．その後，再び流速は減少に転じ，わき出し位置の下流（x → ∞）で流速 U

に漸近する．


8 ２次元ポテンシャル流中の物体に働く力

8.1 ブラジウスの公式

前章で，非圧縮２次元ポテンシャル流中の円柱に働く力を求めた．ここでは，任意の形状の物体に

働く力を求めるための一般的な公式を導こう．

いま何らかの方法で，ある２次元物体まわりの流れの複素速度ポテンシャル w(z)が求まったとし

よう．すると，定常であると仮定すれば，定常流のベルヌーイの式から任意の点における圧力が計算

できる．したがって，物体表面に働く圧力を積分することにより，物体に働く力が求められる．

物体表面に沿って閉曲線Cを設定すると，物体に働く力P = (Px, Py)は，（148）でやったように

P = −∮

Cpnds (152)

である（図 32）．ここで，ds2 = |dr|2 = dx2 + dy2（ただし dr = (dx, dy)はCの線要素ベクトル），n

は Cへの単位法線方向ベクトルである．nは，Cへの接線方向を 90度時計回りに回転させた向きで

あるから，n = (dy/ds,−dx/ds)である．よって，

Px = −∮Cpdy, Py =

∮Cpdx

となる．２番目の式に−iを掛けて１番目の式に加えると，

Px − iPy = −∮

Cp(dy + idx) = −i

∮Cp(dx− idy) = −i

∮Cpd(x− iy) = −i

∮Cpdz

ここで，zは zの共役複素数である．流れが定常であるとすれば，定常のベルヌーイの式から

p = p0 − ρ

2q2 (153)

である．ただし，q =√u2 + v2は流速の大きさ，p0はよどみ点での圧力（一定値）である．したがって，

Px − iPy = −i∮C

(p0 − ρ

2q2)dz = −ip0

∮Cdz +

iρ

2

∮Cq2dz =

iρ

2

∮C

(dw

dz

)(dw

dz

)dz (154)

である．ここで，∮Cdz =

∮Cdx− i

∮Cdy = 0

の関係を使って，第１項を消去した．次に第２項を変形するが，その際，流れが物体表面に沿うとい

う関係を使う．すなわち，流速ベクトル (u, v)は物体表面の法線方向ベクトル nと直交するので，

(u, v) · (dyds,−dx

ds) = u

dy

ds− v

dx

ds= 0

... udy − vdx = 0

である．よって，(dw

dz

)dz = (u+ iv)(dx− idy) = udx+ vdy − i(udy − vdx) = udx+ vdy

一方，(dw

dz

)dz = (u− iv)(dx+ idy) = udx+ vdy + i(udy − vdx) = udx+ vdy


n

dr

P

C

U

図 32: 物体に働く力

なので， (dw

dz

)dz =

(dw

dz

)dz (155)

の関係が得られる．以上により，（154）は最終的に

Px − iPy =iρ

2

∮C

(dw

dz

)2

dz (156)

となる．この式は，複素速度ポテンシャルから物体に働く力を求めるための一般的な関係で，ブラジ

ウスの第１公式（Blasius’ formula）と呼ばれる．複素関数論のコーシーの積分定理によれば，“正則

関数の線積分の値は，特異点を通過しないかぎり，積分路をどのように変えても，一定不変である”．

したがって，（154）の積分路 Cは物体表面に沿っている必要はなく，物体を取り囲む任意の閉曲線で

よい．計算の容易な閉曲線を選べばよい．

次に原点（物体の中にとるのが一般的である）まわりのモーメントを求めよう．なお，剛体の力学

で学習したように，原点まわりのモーメントと物体に働く力の両者が求まれば，任意の点のまわりの

モーメントは容易に計算できる．

座標 (x, y)にある線要素 dsに働く力を df = (dfx, dfy)とすると，原点まわりのモーメントM（反時

計方向を正）は，

M =∮C(xdfy − ydfx)

で求められる．df = −pnds，すなわち (dfx, dfy) = −p(dy/ds,−dx/ds)ds = (−pdy, pdx)であるから，

M =∮Cp(xdx+ ydy)

定常のベルヌーイの式（153）より，

M =∮C

(p0 − ρ

2q2)

(xdx+ ydy) = p0

∮C(xdx+ ydy) − ρ

2

∮Cq2(xdx+ ydy)

= p0

∮C

[d

(x2

2

)+ d

(y2

2

)]− ρ

2

∮Cq2 Re (zdz)

= −ρ2

Re∮Czq2dz = −ρ

2Re

∮Cz

(dw

dz

)(dw

dz

)dz


となる．ただし，Re (zdz) = Re (x+ iy)(dx− idy) = (xdx+ ydy) の関係を使った．（155）より，上

の式は

M = −ρ2

Re∮C

(dw

dz

)2

zdz (157)

となり，複素速度ポテンシャルから物体に働くモーメントを求めるための一般的な関係式が得られる．

これをブラジウスの第２公式という．第１公式と同様，積分路Cは物体表面に沿っている必要はなく，

物体を取り囲む任意の閉曲線でよい．

ブラジウスの第１，第２公式は被積分関数が (dw/dz)2, (dw/dz)2zでともに正則関数となるから積

分路を任意に選べることに注意しよう．（もし，被積分関数が z2zのような形をしていて zと zの両方

を含む場合は，複素関数論で示されるように，正則とはならないので，積分路の変更はできない．）

問題

循環のある場合の円柱まわりの流れを表す複素速度ポテンシャルは，式（139）または（140）であっ

た．この結果をブラジウスの第１公式に代入することによって，この円柱に働く力を求めよ．

答え：

w(z) = U

(z +

a2

z

)+iΓC

2πlog z

dw

dz= U

(1 − a2

z2

)+iΓC

2πz

Px − iPy =iρ

2

∮C

(dw

dz

)2

dz =iρ

2

∮C

U

(1 − a2

z2

)+iΓC

2πz

2

dz

=iρ

2

∮C

U2

(1 − 2a2

z2+a4

z4

)+iUΓC

π

(1z− a2

z3

)− Γ2

C

4π2z2

dz

ここで，後出の式 (159）を使うと，

Px − iPy =iρ

2iUΓC

π2πi = −iρUΓC

Px = 0, Py = ρUΓC(= −ρUΓ)

8.2 クッタ・ジューコフスキーの定理とダランベールのパラドックス

前章で，一様流中におかれた円柱には循環に比例した揚力が働くという関係，すなわちクッタ・ジュー

コフスキーの定理（149）を示した．ここでは，ブラジウスの式を用いて，任意の２次元物体に対し

て，この定理が成り立つことを示そう．

x軸方向の速度U の定常な一様流中に２次元物体が置かれている状態を考える．原点は物体の内部

にとる．物体から無限にはなれたところでは，物体による影響は消えて，一様流となる．物体に近づ

くと物体の影響が大きくなり，物体表面では slip条件を満たすような流れになる．物体の外部の流れ

の速度場 dw/dzは一価正則である（複素速度ポテンシャルwは正則ではあるが，一価とは限らない）．

このとき，速度場は以下のような原点まわりのローラン級数で展開できることが知られている．

u− iv =dw

dz(z) = U +

A−1

z+A−2

z2+A−3

z3+ . . . (158)


ここで，A−1, A−2, A−3, . . .は，一般に複素数である．なお，複素速度ポテンシャルwではなく，複素

速度 dw/dzを展開したのは，後者は一価であることが保証されているが，前者はそうとは限らないか

らである．

ローラン展開（158）の各項の意味を考えてみよう．第１項 U は一様流（102）である．第２項は

A−1

z=

ReA−1

z+ i

ImA−1

z

と書いて，（114），（124）と比べてみればわかるように，わき出し（Q = 2πReA−1）と渦糸（Γ =

−2πImA−1）の両者が原点にあるときの流れを表している．第３項は（131）と比較することにより，

meiα = m cosα + im sinα = 2πA−2 の２重わき出しが原点にあるときの流れであることがわかる．A−3

z3 以上の高次の項は，より複雑な流れに対応し，多重わき出しと言われる．これらの高次の項は物

体から離れると（zが大きくなると）すみやかに減衰する．以上の考察から，ローラン展開（158）の

物理的意味がわかる．すなわち，一様流中におかれた物体まわりの流れは，物体中の１つの点に，わ

き出し，渦，２重わき出しおよび多重わき出しをおくことによって表される．それぞれの強さは，物

体表面で slip条件を満足するように（物体表面が流線と一致するように）決められる．

次にブラジウスの第１公式（156）を使って，物体に働く力を求める．（158）より，(dw

dz

)2

= U2 +2UA−1

z+ (A2

−1 + 2UA−2)1z2

+ . . .

である．（156）に代入すると，

Px − iPy =iρ

2

∮C

(dw

dz

)2

dz =iρ

2

∮C

U2 +

2UA−1

z+ (A2

−1 + 2UA−2)1z2

+ . . .

dz

である．ここで，一般に

∮Czmdz =

[zm+1

m+1

]C

= 0, (m = −1)

[log z]C = 2πi, (m = −1)(159)

の関係があるので，Cについての線績分は 1/zの項しか寄与しない．（より詳しくは，複素積分の留数

定理を参照せよ）．したがって，

Px − iPy =iρ

2

∮C

2UA−1

zdz =

iρ

22UA−1 2πi = −2πρUA−1 (160)

となる．前述したように，

A−1 =Q

2π+ i

−Γ2π

=Q− iΓ

2π

の関係があるので，

Px − iPy = −2πρUQ− iΓ

2π= ρU(−Q+ iΓ) (161)

となる．慣習として，揚力（lift）を L，抵抗（drag）をDで表す場合が多いので，Px = D，Py = L

とすると

D − iL = ρU(−Q+ iΓ) (162)

となる．

（162）の虚部の関係から

L = ρU(−Γ) (163)


となる．この式は循環のある円柱まわりの流れで説明したクッタ・ジューコフスキーの定理（149）で

ある．すなわち，この定理が任意の形状の物体について成り立つことが示されたわけである．このよ

うに，物体に働く揚力の大きさは物体まわりの循環によって決まる（図 33 (a)）．

また，（162）の実部の関係から

D = −ρUQ (164)

となる．すなわち物体を取り囲む領域から正味の流れのわき出しがある場合（Q > 0）は，物体に推

進力が働く（D < 0，ロケット推進の原理である，図 33 (b)）．逆に，物体を取り囲む領域へ正味の

流れの吸い込みがある場合（Q < 0），物体に抵抗が働く（D > 0，自動車のエンジン冷却空気取り入

れによる空気抵抗増大の原因である）．しかし，通常は有限の大きさの物体から流体がわき出したり，

吸い込んだりすることはない．（一様流とわき出しの重ね合わせ（117）は，半無限物体を表していた

ことを思い出そう．）つまり，有限の大きさの物体ではQ = 0である．したがって，抵抗D = 0であ

る．この関係は，円柱まわりの流れで説明したダランベールのパラドックスである．すなわち，この

パラドックスが，任意の形状の物体について成り立つことが示されたわけである．このように，非圧

縮ポテンシャル流中にある有限の大きさの物体に働く抵抗は０となる．（以上は２次元物体での話しで

あったが，ダランベールのパラドックスは任意の３次元物体について成り立つことが知られている．）

円柱まわりの流れの説明で，ダランベールのパラドックスは，実験事実と合わないのでパラドック

スと言われるのだと述べた．それは，現実の円柱まわりの流れでは，境界層が途中で剥離して，円柱

背後に大きな伴流領域が形成され，ポテンシャル流の仮定が破綻するからである．円柱まわりの圧力

分布を実験で測定すると，特に後半部分はポテンシャル理論で求めたものとかけはなれた結果になる．

したがって，パラドックスという表現は正当である．

一方，流線形の翼のような形状ではどうであろうか．翼では（特に迎え角が大きいときを除けば）

境界層は後縁に達するまで途中で剥がれることはない．したがって，翼表面の薄い境界層（およびそ

の伴流領域）の外側の領域は，ポテンシャル流れ（渦なし流れ）とみなして差し支えない．実際，実

験で翼表面の圧力分布を測定すると，翼全体に渡って（後縁のごく近傍を除いて）ポテンシャル理論

で計算した結果とほぼ一致する．そして，翼表面に働く圧力を合計して得られる圧力抵抗はほとんど

0である．この意味では，翼に関しては，ダランベールのパラドックスは，パラドックスではなく真

理と言えなくもない．

翼まわりの流れのように，剥離がなく圧力抵抗が非常に小さい場合には，相対的に翼表面に働く摩

擦力を合計して得られる摩擦抵抗の寄与が無視できなくなる．そのため，翼のような流線形物体の抵

抗を正確に把握するためには，境界層の解析を行って，摩擦抵抗を評価することが重要になる．飛行

機の燃料消費率改善のための翼や機体の形状設計には，摩擦抵抗の評価が不可欠である（非常に高い

精度が要求される分野である）．

しかしながら，そのように摩擦抵抗を含めたとしても，なお流線形物体の抵抗は小さい．例えば，

NACA4412という翼型の２次元翼では，揚力と抵抗の比L/Dが最大で 80にも達する．この程度の抵

抗は 0とみなして差し支えないのであれば，ダランベールのパラドックスは真理と言うことができる

であろう．

次に，ブラジウスの第２公式を用いて，物体に働く原点まわりのモーメントを求める．（158）より，(dw

dz

)2

z = U2z + 2UA−1 +(A2−1 + 2UA−2)

z+ . . .


ΓC

ΓC

時計回りの循環のみわき出しのみ

図 33: クッタ・ジューコフスキーの定理

である．（157）に代入すると，

M = −ρ2

Re∮C

(dw

dz

)2

zdz = −ρ2

Re∮C

U2z + 2UA−1 +

(A2−1 + 2UA−2)z

+ . . .

dz

である．（159）より，

M = −ρ2

Re∮C

(A2−1 + 2UA−2)

z

dz

= −ρ2

Re(A2

−1 + 2UA−2)2πi

= −πρReiA2

−1 + 2iUA−2

(165)

となる．A−1 = (Q− iΓ)/(2π), A−2 = ReA−2 + iImA−2 を代入すると，

M = −πρRe

iQ2 − Γ2 − 2iQΓ

4π2+ 2iU(ReA−2 + iImA−2)

=

−ρQΓ2π

+ 2πρU ImA−2 (166)

である．したがって，モーメントには２重わき出しの項までが影響する．ここで，物体が有限の大き

さでQ = 0とすると，第２項のみが残ることに注意しよう．

以上では，一様流として x軸に平行な流れを考えた．次に，一様流が x軸に対して角度 αだけ傾い

ている場合を考えよう．このとき一様流の共役複素速度は（105）より，u − iv = Ue−iαで与えられ

る．したがって，（158）のローラン展開の第１項をU から Ue−iαで置き換えて，前述と同様の計算を

行えばよい．

まず，物体に働く力は，（161）は，

Px − iPy = ρUe−iα(−Q+ iΓ) (167)

となる．ここで，揚力 Lと抵抗Dが一様流の方向に対して定義されることに注意しなければならな

い．すなわち，揚力とは一様流に対して直角方向の力，抵抗とは一様流に平行な方向の力と定義され

る．従って，揚力L，抵抗Dと物体に働く力の x方向，y方向の力 Px, Pyの間には以下の関係がある．

Px = D cosα− L sinα, Py = D sinα+ L cosα

... Px − iPy = D(cosα− i sinα) − iL(cosα− i sinα) = (D − iL)e−iα (168)

（167）と（168）より，

D − iL = ρU(−Q+ iΓ)

となって，結局（162）と同じ関係が得られる．すなわち，揚力と抵抗を一様流の方向に対して直角お

よび平行な向きの力と定義する限り，一様流が x軸と平行でない場合にも，クッタ・ジューコフスキー

の定理（およびダランベールのパラドックス）はそのまま成り立つのである．


原点まわりのモーメントについては，（166）で，U から Ue−iαへの置き換えをすると，

M =−ρQΓ

2π+ 2πρUIm (A−2e

−iα) (169)

となり，αを含んだ形の式になる．

問題

正面面積 Aの自動車が，速度 U で走行している．自動車のエンジン冷却空気取り入れ口の正面面

積をAR，取り入れ口を通過する空気の平均流速（自動車に対する相対的な流速）をURとすれば，冷

却空気の流量はQR = −URAR（わき出しを正とするので，マイナス符号がついている）と表される．このとき，エンジン冷却空気の取り入れに伴う自動車の空気抵抗増大分DRを求めよ．また，DRを

自動車の走行速度による動圧と自動車の正面面積の積で作った代表力により無次元化して，冷却空気

取り入れに伴う空気抵抗係数 CDRを求めよ．

答え：

DR = −ρUQR = ρUURAR

CDR =DR

12ρU

2A= 2

URU

ARA

（補足）連続の式を満足するためには，エンジン冷却のために取り入れた空気と同じだけの流量の空気

が車外に排出されなければならない．したがって，自動車全体の空気抵抗を議論するためには，冷却

空気の排出（わき出し）が自動車の抵抗に与える影響を考慮する必要がある．しかし，ラジエーター

等を通ってエンジンを冷却した空気は途中の経路で剥離，摩擦，加熱などによりその全圧が損失して

いるから（つまり，ベルヌーイの式が成り立たない），本章で述べた方法では，排出空気による抵抗

（あるいは推力）を求めることはできない．


9 等角写像の応用

前章までは，わき出しや２重わき出しと一様流を重ね合わせることによって，半無限物体や円柱ま

わりのポテンシャル流れを表してきた．では，任意に与えられた形状の物体まわりの流れはどのよう

に調べればよいであろうか．それにはいくつかの方法があり，最近ではコンピューターを用いてラプ

ラスの式を数値計算で解くことが多い．一方，理論的には，等角写像を応用する方法が広く用いられ

てきた．ここでは，等角写像を応用して，翼まわりのポテンシャル流れを解く方法について学ぶ．

9.1 等角写像

複素変数 ζ = ξ + iηと z = x+ iyの間に以下の関数関係があるとする．

ζ = f(z) (170)

ここで，f(z)は z = z0の近傍で正則かつ f ′(z0) = 0,∞とする．f(z)により，z平面上の点 zは，ζ平

面上の点 ζに対応する．f(z)は写像（mapping）と言われる．

いま，z平面上の点 z0から微小距離 r1だけ離れた点 zを考え，z − z0 = r1eiθ1 とする．一方，これ

に対応する ζ平面上の２点間の相対位置を ζ − ζ0 = r2eiθ2 で表す（図 34）．すると，

r2eiθ2

r1eiθ1=ζ − ζ0z − z0

=f(z) − f(z0)

z − z0≈ lim

z→z0

f(z) − f(z0)z − z0

= f ′(z0)

ここで，f ′(z0) = r0eiθ0 とおくと

r2eiθ2 = (r1r0)ei(θ1+θ0) (171)

となる．この式より，写像 f(z)によって点 z0にある微小ベクトル z − z0が点 ζ0にある微小ベクトル

ζ − ζ0に移る際，ベクトルの長さが r0 = |f ′(z0)|倍になり，偏角（x軸となす角）が θ0 = arg f ′(z0)だ

け反時計方向に回転することがわかる．

r0と θ0は，場所 z0に固有の値であるから，図に示す z平面上の破線のベクトル−−→z0z

′は，実線のベ

クトル−→z0zと全く同じ伸縮と回転を受けて ζ平面上の破線のベクトル−−→ζ0ζ

′に写像される．したがって，

二つのベクトルのなす角度は写像によって変化しない．このことは，「z平面上の微小図形は形を相似

に保ちつつ ζ平面上に写像される」ことを意味する．このことから（170）の写像を等角写像または共

形写像（conformal mapping）という．z平面上の曲線群を ζ平面に正則関数によって等角写像すると，

全体としての形は大きく変化するが，局所的には単に図形の伸縮，回転が行われているにすぎない．

9.2 等角写像法の原理

いま，ζ 平面上である物体まわりのポテンシャル流れが解かれていて，その複素速度ポテンシャル

が w(ζ)であるとしよう．w(ζ)に（170）を代入すると，

w(ζ) = w[f(z)] = w(z)　 (172)

となる．ここで，w(ζ)は wを ζの関数として見ているので ζ 平面上の流れを表し，w(z)は wを zの

関数として見ているので z平面上の流れを表す．複素速度ポテンシャルの実部は速度ポテンシャル φ

であり，虚部は流れ関数 ψであった．したがって，

φ = Rew(ζ) = Rew(z)

ψ = Imw(ζ) = Imw(z)　　 (173)


ξ

iη

ζ

ζ'ζ

ζ0

ζ

図 34: 等角写像

である．つまり，等角写像によって対応する点の速度ポテンシャルと流れ関数の値は等しい．したがっ

て，「等角写像によって，等ポテンシャル線は等ポテンシャル線に，流線（等流れ関数線）は流線に写

像される」．特に，ζ平面上のある物体 B′に沿った流れは，z平面上の対応する物体 B（関数 f(z)の

逆関数 f−1(ζ) によって B′から Bに写像される）に沿う流れに写像される．

さらに，以下のことも言える．ζ 平面の任意の閉曲線 C′が z平面の閉曲線 Cに写像されるとする．

このとき，Cおよび C′に沿う循環 Γについて（79）より

Γ(C) =∮

Cdφ = [φ]C = [φ]C′ = Γ(C′)

となる．同様に，CおよびC′を横切って（内から外に）流出する流量Qについて（78）より

Q(C) =∮Cdψ = [ψ]C = [ψ]C′ = Q(C′)

となる．すなわち，「循環とわき出し量は等角写像に際して不変である」，あるいは等角写像によって渦

糸は同じ強さの渦糸に，わき出しは同じ強さのわき出しに写像されると言ってもよい．なお，証明は

省略するが，２重わき出しについては，等角写像の際，強さと軸方向が変化することが知られている．

一般に，ζ平面上である物体まわりの流れが解かれており，複素速度ポテンシャルw(ζ)が求められ

ているとき，正則な写像関数 ζ = f(z)によって z平面上に写像された物体まわりの流れは，w[f(z)]

の複素速度ポテンシャルで与えられる．したがって，z平面上の流れを解くためには，ζ平面上におけ

る流れが既知な物体を，z平面上の与えられた物体に写像する正則関数を求めればよい．この原理に

よる２次元ポテンシャル流れの解法を等角写像法という．

9.3 ジューコフスキー変換

等角写像法の応用例として，次のジューコフスキー変換を取り上げよう．

z = ζ +a2

ζ, (a > 0)　 (174)

ζで微分すると，

dz

dζ= 1 − a2

ζ2


図 35: ジューコフスキー変換

となり，ζ = 0を除いて，（174）の関数は正則である．すなわち，z ↔ ζ で等角写像される．

ジューコフスキー変換によってどのような変換が行われるかを調べよう（図35）．z = x+iy，ζ = Reiθ

とおいて（174）に代入すると，

x+ iy = z = Reiθ +a2

Re−iθ

=

(R+

a2

R

)cos θ + i

(R− a2

R

)sin θ

実部と虚部に分けると

x =

(R+

a2

R

)cos θ, y =

(R− a2

R

)sin θ　 (175)

である．いま，ζ平面上の円（半径R = const.）が（174）によってどのように変換されるか調べよう．

まず，R = aのときは，（175）より

x = 2a cos θ, y = 0 (176)

である．すなわち，ζ平面上のR = aの円は，z平面上の線分 x = −2a ∼ 2aに写像される．

次に，R > aのときは, （175）から θを消去すると（sin2 θ + cos2 θ = 1），

x2

(R+ a2/R)2+

y2

(R− a2/R)2= 1 (177)

となり，原点に中心があり，長軸を x軸とし，長径 (R+ a2/R)，短径 (R− a2/R)の楕円が得られる．

すなわち，ζ平面上のR > aの円は，z平面上の楕円に写像される．

R < aのときは，ζ 平面上の R < aの円は，z平面上の線分の内部（これは，紙面の２ページ目に

ある！）に写像される．ただし，ここでの議論では，この場合は考えなくてよい．（このように，関数

の性質に応じて，複数ページの複素平面をまとめて一続きにしたものをリーマン面という．リーマン

面は√z や log z などの多価関数に対応して考えられるものである．詳しくは複素関数論の教科書を

参照．）

9.4 平板を過ぎる流れ

前節で，ジューコフスキー変換により，円柱が平板に写像されることが示された．ところで，円柱

まわりのポテンシャル流れについては，循環がある場合も含めてすでに我々は知っている．したがっ


て，平板まわりの流れは，ジューコフスキー変換を用いた等角写像法で求めることができる．以下，

この方針に沿って平板を過ぎる流れを調べてみよう（図 36）．

いま，z = x+ iy平面中の x軸に沿って長さ 4aの平板が置かれている．この平板に大きさU，迎え

角 α（平板の下から吹き上げる方向を正）の一様流が過ぎていく状況を考えよう．このとき平板から

十分離れた遠方では，一様流となるから，そこでの複素速度ポテンシャルは（104）より，

w(z) → Ue−iαz, z → ∞のとき

である．

ここで，ジューコフスキー変換（174）によって，この長さ 4aの平板を ζ = ξ + iη平面上の半径 a

の円に写像しよう．すなわち，

z = ζ +a2

ζ

である．この式から，ζ → ∞のとき z → ζ であり，さらに z → ∞であることがわかる．等角写像法の原理によって，z平面の平板まわりの複素速度ポテンシャルは ζ 平面の円柱まわりの

複素速度ポテンシャルに対応する．つまり，w(ζ) = w(z) である．上記のように，z → ∞ のときw(z) → Ue−iαzであったが，対応する ζ平面においては

w(ζ) → Ue−iα(ζ +a2

ζ) → Ue−iαζ, ζ → ∞のとき

となる．すなわち，z平面と同様，ζ平面の円柱まわりの複素速度ポテンシャルも，円柱から十分離れ

た遠方では，大きさ U，迎え角 αの一様流である．

さて，一様流中の円柱まわりの流れの複素速度ポテンシャルは，一様流，二重わき出し，渦糸の重

ね合わせ（139）で表された．ただし，（139）は一様流が x軸に平行なとき，すなわち迎え角 0の場合

のものである．ところで，角度に対する円柱形状の対称性を考慮すると，この迎え角 0の条件は単に

座標系の取り方からくる形式的なものにすぎず，物理的には円柱に対する一様流の迎え角という概念

は意味がない．実際，ζ 平面の座標系を αだけ反時計まわりに回転させた ζ ′ = ξ′ + iη′平面の座標系

でみれば一様流は ξ′軸に平行である．したがって，ζ ′平面上では，（139）で ζを ζ ′でおきかえた次式

により円柱まわりの複素速度ポテンシャルが表される．

w(ζ ′) = U

(ζ ′ +

a2

ζ ′

)− iΓ

2πlog ζ ′ (178)

ここで，循環の項を含めた理由については後で明らかになる．

ζ と ζ ′の間には次の関係がある．

ξ = ξ′ cosα− η′ sinα, η = ξ′ sinα+ η′ cosα

... ξ + iη = ξ′(cosα+ i sinα) + iη′(cosα+ i sinα) = (ξ′ + iη′)eiα

... ζ = ζ ′eiα

... ζ ′ = ζe−iα (179)

これを（178）に代入して，ζ平面における複素速度ポテンシャルは

w(ζ) = U

(e−iαζ +

a2eiα

ζ

)− iΓ

2πlog ζ (180)


図 36: 等角写像による平板と円柱まわりの流れの対応

のように表される（傾いた一様流の式（104）および傾いた軸をもつ二重わき出しの式（130）と比較

せよ）．なお，（179）の代入により，最後の logを含む項から− Γ2παの項が現れるが，これは定数項で

あり，複素速度ポテンシャルでは意味がないので省略した（勾配をとれば 0となり，速度場には影響

を与えない）．

z平面の平板まわりの流れの複素速度ポテンシャルは，ジューコフスキー変換（174）の逆変換を求

めて，それを（180）に代入すれば，w(z)の形で求められる．しかし，式がやや複雑になる．その代

わり，ここでは（180）と（174）を，パラメーター ζ を用いて表示した二つの連立する式 w(ζ), z(ζ)

として扱うことにする．（重力場における質点の運動を表現するのに，(1) x座標と y座標をそれぞれ

時間 tで表し，パラメーター tを用いた２つの式で表すか，(2) tを消去して xと yの軌跡を１つの式

で表すかの違いと同じである．どちらが便利かという観点から決めればよい．）

さて，z平面の平板まわりの流れの共役複素速度を求めてみよう．合成関数と逆関数の微分の関係

を使うと，

dw

dz=

dw

dζ

dζ

dz=dw

dζ

/dz

dζ

=U(e−iα − a2eiα

ζ2

)− iΓ

2πζ

1 − a2

ζ2

(181)

となる．ζ = ±aは，z = ±2aすなわち平板の前縁と後縁に対応する．このとき，（181）の最後の式の

分母が 0になるので，一般には速度が無限大に発散する．これは，凸の角をまわる流れ (107)で角の

部分で流速が無限大になったのと同様である．

実際に，一様流中に（あまり大きくない）迎え角を持っておかれた平板のまわりの流れを観察する

と，以下のようになっている（図 37）．平板の前縁から少し後方の下面によどみ点ができて，流れが

前方と後方へ分岐する．後方へ分かれた流れは，平板に沿って後縁に達し，上面へまわり込むことな

く，滑らかに下流へ流れ去る．一方，よどみ点で前方へ分かれた流れは，前縁で上面へまわり込もう

とするが，まわりきれず剥離する．しかし，剥離した流れは，前縁から少し後方の上面の位置ですぐ

に再付着し，そのまま後縁まで平板上面に沿って後縁に達し，下面から来た流れと合流し，滑らかに

下流へ流れ去る．

(180)の結果が，この観察結果に近い流れを表すようにするためには，平板の後縁で，速度が無限大

にならずに滑らかに流れ去るようにすればよい．このような「平板や翼の後縁で流速が有限になる」

という条件をクッタ (Kutta)の条件あるいはジューコフスキーの仮定といい，翼理論で広く採用され，

また実験的にも妥当性が示されている．（前縁については，下面から上面へ流れがまわり込んでおり，


流速が非常に速くなっているので，ある意味では流速無限大を近似していると考えて，ここでは問題

にしない．）

さて，(180)の円柱まわりの流れを導入したときに，循環を含めた理由を説明しなかった．また，循

環 Γの具体的な大きさも指定しなかった．実は，循環は，ここで述べたクッタの条件を満たすように

決めるのである．すなわち，循環がなければ発生するはずの後縁における速度の発散を，適当な大き

さの循環を有する渦糸を原点におくことによって防ぐわけである．具体的には，以下のように循環の

大きさを決定する．(181)の分母は，後縁 z = 2a (ζ = a)で 0になる．したがって，(181)が ζ = aで

有限値にとどまるためは，分子も 0であることが必要である．分子が ζ = aで 0になるのは，循環 Γ

が次式を満足するときである． [U

(e−iα − a2eiα

ζ2

)− iΓ

2πζ

]ζ=a

= 0

... U(e−iα − eiα

)− iΓ

2πa= 0

したがって（sinα = (eiα − e−iα)/2iであるから），

Γ = −4πUa sinα (182)

となり，循環の値が決まった．等角写像において，この循環の値は z平面でも ζ 平面でも不変である

ことはすでに述べた．

実際に循環が (182)を満たすとき，平板の後縁で速度が有限値にとどまることを確かめてみよう．そ

のためには，(182)を (181)に代入して，ζ = aでの値を求めればよい．すなわち

limζ→a

dw

dz= lim

ζ→a

U(e−iα − a2eiα

ζ2

)− i(−4πUa sinα)

2πζ

1 − a2

ζ2

= limζ→a

U(ζ2e−iα − a2eiα

)+ 2iUaζ sinα

ζ2 − a2

= U limζ→a

ζ2(cosα− i sinα) − a2(cosα+ i sinα) + 2iaζ sinαζ2 − a2

= U limζ→a

(ζ2 − a2) cosα− i(ζ − a)2 sinαζ2 − a2

= U limζ→a

[cosα− i sinα

ζ − a

ζ + a

]= U cosα

となり，確かに速度は発散せず，有限値にとどまる．数学的には，平板のまわりのポテンシャル流れ

の解は，任意の循環の値（0も含む）に対応して無数に存在する．しかし，物理的に意味のある解は，

クッタの条件を満たす循環の値に対応する解が唯一のものである．（クッタの条件を「後縁でよどみ点

になる」と表現することがある．今の場合，ζ 平面の円柱の流れでは確かに ζ = aで流速 0のよどみ

点になっているが，対応する z平面の平板の流れでは z = 2aで流速 0ではない．無限大に発散しない

だけである．したがって，流速 0を意味するよどみ点という表現は z平面上では不適当である．）

次に，流れが定常であるとして，平板が受ける力を求めよう．平板に働く抵抗D（一様流に平行な

方向の力）は，ダランベールのパラドックス (164)より（わき出しも吸い込みもないから），D = 0で

ある．平板に働く揚力L（一様流に直角な方向の力）は，クッタ・ジューコフスキーの定理 (163)より，

L = ρU(−Γ) = ρU(4πUa sinα) = 4πρU2a sinα (183)


図 37: 平板のまわりの流れ

である．

続いて，平板が受けるモーメントを求める．それには，一様流が x軸に対して傾いているときの式

(169)を使えばよい．積分路は平板を取り囲む閉曲線なら任意にとることができた．ここでは，平板

から十分離れた位置に閉曲線をとる．すなわち，a/|z|, a/|ζ| 1である．このとき，以下の関係が成

り立つ．

ζ = z − a2

ζ

... ζ = O (z)

... ζ = z +O

(1z

)= z

[1 +O

(1z2

)]

...1ζ

=1z

[1 +O

(1z2

)]−1

=1z

[1 +O

(1z2

)]=

1z

+O

(1z3

)

最後の式を，(181)に代入して整理すると，

dw

dz=

U

(e−iα − a2eiα

(1z +O

(1z3

))2)− iΓ

2π

(1z +O

(1z3

))1 − a2

(1z +O

(1z3

))2

=Ue−iα − Ua2eiα

(1z2

+O(

1z4

))− iΓ

2π1z +O

(1z3

)1 − a2

(1z2 +O

(1z4

))=

Ue−iα − iΓ

2π1z− Ua2eiα

1z2

+O

(1z3

)1 + a2 1

z2+O

(1z4

)

= Ue−iα − iΓ2π

1z− Ua2(eiα − e−iα)

1z2

+O

(1z3

)

= Ue−iα − iΓ2π

1z− Ua2(2i sinα)

1z2

+O

(1z3

)

dw/dzのローラン展開 (158)と比較すると

A−2 = −2iUa2 sinα (184)

であることがわかる．したがって，(169)より原点まわりの反時計まわりのモーメントは以下のよう

になる（もちろんここではQ = 0）．

M = 2πρU Im (A−2e−iα) = 2πρUIm −2iUa2 sinα(cosα− i sinα) = 2πρU(−2Ua2 sinα cosα)

= −4πρa2U2 sinα cosα = −(4πρU2a sinα)a cosα = −La cosα (185)

最後の変形で，(183)を使った．


図 38: 平板に働く揚力の着力点

この結果の意味するところを考えてみよう．図 38のように，揚力の着力点をDとし，原点OとD

の距離を d (> 0)とすると，揚力 Lによる原点まわりの反時計方向のモーメントは−Ld cosαである．

これが上で求めたモーメントM と等しいから，

M = −La cosα = −Ld cosα

... d = a (186)

となる．すなわち，dは迎え角 αに関わりなく，aすなわち平板の全長（翼弦長 4a）の 1/4に等しい．

平板を２次元翼としてみると（平板翼），全長は翼弦長であり，今の場合 4aである．したがって，「平

板翼では，揚力の着力点は迎え角に関わりなく常に原点から 1/4弦長，あるいは前縁から 1/4弦長の

点にある」ことがわかる．また，この点まわりのモーメントは，迎え角に関わりなく常に 0である．

一般に翼の性能は次の無次元係数で表される．

CL =L

12ρU

2 · l , CD =D

12ρU

2 · l , CM =M

12ρU

2 · l2 (187)

順に，揚力係数，抵抗係数，モーメント係数と呼ばれる．ここで，lは翼弦長で前縁から後縁までの

全長である．これまでに得られたポテンシャル理論による結果 (183)，(185)を代入すると，上記の平

板翼では，l = 4aであるから

CL = 2π sinα, CD = 0, CM(O) = −π2

sinα cosα, CM(1/4chord) = 0 (188)

となる．モーメント係数は，原点まわりの場合と前縁から 1/4弦長点まわりの２通りについて示した．

後述するように，平板翼でポテンシャル理論が妥当な結果を与えるのは，迎え角 αが小さいときであ

る．このときは近似的に

CL ∼= 2πα, CD ∼= 0, CM(O)∼= −π

2α, CM(1/4chord)

∼= 0, |α| 1 (189)

となる．

（補足）原点まわりのモーメント係数は α > 0のとき CM(O) < 0である．つまり，迎え角が正に

振れると，ますます迎え角を大きくする方向にモーメントが働く（不安定）．一方，1/4弦長点まわ

りのモーメントは常に 0である（中立安定）．さらに，平板の前縁まわりのモーメント係数を計算す

ると原点まわりのモーメント係数と符号が逆となり，つねに風上を向く方向のモーメントとなる（安

定）．このことから，単なる平板で作られた風見鶏はその回転軸を 1/4弦長点より前方におく必要が

あることがわかる．さて，飛行機は安定して飛ばなければならないから，飛行機の主翼の支持点（飛


図 39: 平板翼の性能

行機の重心）は主翼の 1/4弦長点より前方にあると思うであろう．しかし，実際はそうでないケース

がほとんどである．ではどうやって飛行機は安定性を確保しているのであろうか．その答は水平尾翼

である．水平尾翼は飛行機の重心のはるか後方にあるので，小さな面積のものでも主翼の不安定性を

補なって，飛行機の姿勢を安定に保つことができるのである．

図 39は，平板翼の揚力係数と前縁から 1/4弦長点まわりのモーメント係数について，ここで求めた

理論結果とレイノルズ数 Re = 4 × 105における実験結果を比較したものである．迎え角が 7未満で

小さいときは，両者はよく一致している．迎え角がそれ以上大きくなると，両者ははなれてくる．実

験では，迎え角が大きくなると，流れは平板翼の上面で大きく剥離し，翼面に沿って流れることがで

きなくなる．このような状態を失速といい，揚力が低下して翼本来の性能が発揮できない状態である．

失速域では，主流が翼面に沿って流れるというポテンシャル理論の前提は当然成り立っていない．

最後に，クッタの条件は，定常流を前提としたものであることを注意しておこう．例えば，静止流

体中で傾けた平板を急発進させると，最初の瞬間には循環 0の流れが実現し，後縁ではまわり込む流

れが発生し（図 40 (a)），そこでの速度は非常に大きくなる（理論的には無限大）．しかし，すぐに後

縁から流れが剥離して（図 40 (b)），渦を形成し（この渦は出発渦と言われる），時間の経過ととも

に，これが下流に流されていく（図 40 (c)）．十分時間がたって流れが定常になると，後縁でクッタの

条件が成り立つような流れが実現する．

問題

U = 40 m/sの一様流中に迎え角 α = 3.6で平板翼（翼弦長 l = 20 cm）が置かれている．この翼が

失速していないものとして，平板翼に働く揚力（z方向 1mあたり）を求めよ．揚力係数はポテンシャ


図 40: 急発進する翼のまわりの流れ

ル理論で得られた結果を用いよ．なお，流体は空気で密度は 1.225 kg/m3とする．

答え：

CL = 2πα = 2π3.6π180

= 0.04π2

L =12ρU2lCL = 0.5 × 1.225 × 402 20

1000.04π2 = 77.4(N)

9.5 ジューコフスキー翼を過ぎる流れ

実際の翼型は，平板翼と異なり，(1)厚みがある，(2)前縁が丸い，(3)反りがあるなどの特徴を持っ

ていることが多い．このような実際の翼に近い形状まわりの流れを調べてみよう．そのためには，ζ

平面の円を z平面の翼型形状に写像する関数を見つければよい．そのような関数はいくつか知られて

いるが，実は，ここまで学習してきたジューコフスキー変換もその一つである．

ジューコフスキー変換は，円を平板に写像するだけでなく，より多彩な変換が可能である．例えば，

(177)で示したように，ζ平面上で原点を中心とし，半径R > aの円は，z平面上では楕円に写像され

る．さらに，ζ平面の第２象限に中心O′を持ち，点 ζ = a（後縁T）を通る半径 b > aの円は，ジュー

コフスキー変換によって，z平面上の翼型に写像される．その形は図 41に示すようなもので，この翼

型をジューコフスキー翼という．この翼型を調べてみよう．いま，ζ平面上で，円の中心O′と後縁T

を結ぶ線が実軸となす角を β，円の半径 b = a(1 + ε) とし，0 < β, ε 1とする．すなわち，第２象

限にあるO′が原点Oに近い場合を考える．

翼型の特徴を表す指標として，翼弦長（chord）l，翼中心線の最大のそり（camber）f ，最大肉厚

（thickness）tmax の３つがある．これらの指標は，0 < β, ε 1のとき，以下のように表される（証

明は省略する．例えば，中口先生の教科書参照）．

l ∼= 4a,f

l∼= β

2,

tmax

l=

34

√3 ε (190)

調べたい翼型に関する上記の３つの指標を与えることにより，(190)から β, εを計算できる．すると，

その翼型に対応する ζ平面の円は，半径 b = a(1 + ε)で，中心座標O′が

ζO′ = a+ bei(π−β) = a− be−iβ (191)


図 41: ジューコフスキー翼

であることがわかる．

ζ 平面における円柱まわりの流れの複素速度ポテンシャルは，(180)を参照して，円の中心が O′で

あり，半径が bであることを考慮すると，

w(ζ) = U

(e−iα(ζ − ζO′) +

b2eiα

ζ − ζO′

)− iΓ

2πlog(ζ − ζO′) (192)

となる．この式とジューコフスキー変換の式（174）を連立させた形（ζ によるパラメータ表示）で，

ジューコフスキー翼まわりの流れを表す．

次に，ジューコフスキー翼に働く力を求めよう．抵抗はダランベールのパラドックスより 0である

ので（任意の形状で成り立つ），ここでは揚力係数を求めよう．その手順は平板の場合と全く同じで

あり，後縁でクッタの条件を適用して循環 Γを決定し，次にクッタ・ジューコフスキーの定理によっ

て揚力を計算すればよい．

z平面のジューコフスキー翼まわりの流れの共役複素速度を求めると，(181)と同様にして，

dw

dz=

dw

dζ

/dz

dζ

=U(e−iα − b2eiα

(ζ−ζO′)2

)− iΓ

2π(ζ−ζO′ )

1 − a2

ζ2

(193)

となる．後縁で流速が発散しないというクッタの条件を満たすためには，後縁 ζ = aにおいて，分子

が 0とならなければならない．[U

(e−iα − b2eiα

(ζ − ζO′)2

)− iΓ

2π(ζ − ζO′)

]ζ=a

= 0

... U

(e−iα − b2eiα

(a− ζO′)2

)− iΓ

2π(a− ζO′)= 0

... U

(e−iα − b2eiα

(be−iβ)2

)− iΓ

2π(be−iβ)= 0

... U(e−i(α+β) − ei(α+β)

)− iΓ

2πb= 0

したがって，循環は

Γ = −4πUb sin(α+ β) (194)


と決まる．クッタ・ジューコフスキーの定理より，揚力および揚力係数は

L = ρU(−Γ) = 4πρU2b sin(α+ β)

CL =L

12ρU

2 · l∼= 4πρU2a(1 + ε) sin(α+ β)

12ρU

2 · 4a∼= 2π sin(α+ β) (ε, β 1) (195)

となる．そりがある（β > 0）場合，迎え角 αが 0であっても揚力が発生することが，この結果から

わかる．

証明は省略するが，原点まわりのモーメントに関しては，平板翼と同じ関係 (186)，(187) が成り立

つ（ε, β 1の場合）．

問題

U = 40 m/sの一様流中に迎え角 α = 3.6で肉厚の薄いジューコフスキー翼（翼弦長 l = 20 cm，最

大のそり f = 2 cm）が置かれている．このジューコフスキー翼に働く揚力（z方向 1mあたり）を求め

よ．揚力係数はポテンシャル理論で得られた結果を用いよ．なお，流体は空気で密度は 1.225 kg/m3

とする．

答え：

β = 2f

l= 2 × 2

20= 0.2

CL = 2π sin(α+ β) ∼= 2π(α+ β) = 2π(3.6 + 0.2)π

180= 0.0422π2

L =12ρU2lCL = 0.5 × 1.225 × 402 20

1000.0422π2 = 81.6(N)


10 ３次元ポテンシャル流れ

２次元ポテンシャル流れでは，複素関数論が強力な解析手法を与えた．しかし，３次元ポテンシャ

ル流れの解析には，このような汎用的で便利な道具はなく，個々の問題に応じて工夫する必要がある．

複雑な形状の物体まわりの流れは数値計算で解かれる．ここでは，理論的に取り扱えるいくつかの基

本的な流れを調べていこう．

10.1 ３次元ラプラス方程式

３次元非圧縮ポテンシャル流れ（渦なし流れ）の基礎方程式は，３次元のラプラス方程式（63）で

与えられた．すなわち，速度ポテンシャル φ(x, y, z, t)を支配する方程式は

∇2φ = 0 (196)

である．流れの速度は，速度ポテンシャルの勾配で与えられる．

v = gradφ (197)

以上の関係式を，デカルト座標系の成分で書くと，

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2= 0

u =∂φ

∂x, v =

∂φ

∂y, w =

∂φ

∂z(198)

である．

具体的な流れの解析を行うときは，物体表面などの流れの領域境界において与えられた境界条件を

満たす解を求めなければならない．このとき物体の表面に沿った曲線座標系を使えば，境界条件が簡

単に記述できるので，解析が簡単になる．例えば，球のまわりの流れを解くときに，球座標系を使え

ば，球表面における境界条件は流速の半径方向の成分が 0という簡単な式になる．以下に，球座標系

で表示した３次元非圧縮ポテンシャル流れの基礎方程式を示しておこう．

球座標系 (r, θ, ϕ)

デカルト座標系との関係（x軸を球の極軸とする場合）

x = r cos θ, y = r sin θ cosϕ, z = r sin θ sinϕ (r ≥ 0, 0 ≤ θ < π, 0 ≤ ϕ < 2π),

r =√x2 + y2 + z2, θ = tan−1

√y2 + z2

x, ϕ = tan−1 z

y(199)

ラプラスの式1r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2= 0 (200)

流れの速度 (vr, vθ, vϕ)

vr =∂φ

∂r, vθ =

1r

∂φ

∂θ, vϕ =

1r sin θ

∂φ

∂ϕ(201)

（ここで，φ：速度ポテンシャルと ϕ：経度方向の座標の記号を区別していることに注意）


10.2 代表的な３次元ポテンシャル流れ

10.2.1 一様流

速度ポテンシャル φが，デカルト座標系で

φ(x, y, z) = u0x+ v0y + w0z (u0, v0, w0 = const.) (202)

により与えられるとき，流れの速度は勾配をとって

u = u0, v = v0, w = w0 (203)

と求められる．したがって，至るところで速度は一定になる．すなわち，（202）は一様流を表している．

10.2.2 わき出しと吸い込み

速度ポテンシャル φが，球座標系で

φ(r) = − Q

4πr(Q = const.) (204)

で与えられる流れを考えよう（図 42）．この式の速度ポテンシャルは球座標で表したとき rのみに依

存し，θ, ϕには依存しない（したがって，φの引数は rのみとしている）．等ポテンシャル面は原点を

中心とする同心球面であり，流れは球対称である．なお，（204）の rを√x2 + y2 + z2で置き換えてデ

カルト座標系で解析を進めることも可能ではあるが，独立変数が 3つに増えるので面倒になる．球座

標系を用いることのメリットが明らかであろう．

この流れの速度は，（201）より

vr =∂φ

∂r=

∂

∂r

(− Q

4πr

)=

Q

4πr2

vθ = 0, vϕ = 0 (205)

となる．すなわち，速度ベクトルは原点から放射する方向に向いており，その大きさは原点からの距

離の２乗に反比例する．Q > 0のときは vr > 0で原点から遠ざかる向きの流れになっている．すなわ

ちこの流れはわき出し（または吹き出し，source）である．逆に，Q < 0のときは vr < 0で原点に吸

い寄せられる向きの流れであり，吸い込み（sink）である．原点では，速度ポテンシャル，速度が発散

しており，特異点になっている．２次元の場合の（115）とは距離依存性が異なることに注意しよう．

全体のわき出し量を求めよう．そのためには，原点を取り囲む任意の閉曲面 Sをとり，Sを通る流

量を計算すればよい．Sとして，原点を中心とする半径Rの球面 Σをとると∮SvndS =

∮ΣvrdS = [vr]r=R

∮ΣdS =

Q

4πR2· 4πR2 = Q (206)

である．ここで，vnは速度の法線方向成分であり，球面 Σに対しては vr に等しく，球面上で一定と

なるので面積分の外に出している．被積分関数 1の面積分∮Σ dSはもちろんその曲面の表面積である．

（206）より，（204）のQが全体のわき出し量を表す（２次元の場合と同様，はじめにこのことを知っ

ていたから，（204）のように分母に 4πが来るような形においたのである）．


図 42: ３次元のわき出し

10.2.3 半無限物体

２次元ポテンシャル流で，一様流とわき出しを重ね合わせると，２次元的な半無限物体を表すこと

ができた．３次元の場合についても同様の結果が得られる．

いま，x軸に平行で速度 U > 0の一様流中の原点Oにわき出しQ > 0（204）がある場合を考えよ

う（図 43）．このときの速度ポテンシャルは

φ(x, y, z) = Ux− Q

4πr= Ux− Q

4π√x2 + y2 + z2

(U > 0, Q > 0) (207)

となる．速度ポテンシャルは xと (y2 + z2)のみに依存するので，この流れは x軸に関して軸対称であ

る．したがって，x軸上では，流速は x軸方向の成分しかない．

速度ベクトルは，（207）の勾配をとって，

u =∂φ

∂x= U +

Q

4πx

(x2 + y2 + z2)3/2= U +

Q

4πx

r3

v =∂φ

∂y=

Q

4πy

(x2 + y2 + z2)3/2=

Q

4πy

r3

w =∂φ

∂z=

Q

4πz

(x2 + y2 + z2)3/2=

Q

4πz

r3(208)

となる．ここで，xに関する偏微分では以下の関係を使っている．

∂

∂x

(1r

)=

∂

∂x

((x2 + y2 + z2)−1/2

)= −1

2(x2 + y2 + z2)−3/2 · 2x = − x

(x2 + y2 + z2)3/2= − x

r3

y, zに関する偏微分も同様である．

流れの様子は図のようになる．x軸上の原点より左側のある点 Aでは，一様流とわき出しによる

流速がうち消し合ってちょうど 0になる．すなわちよどみ点である．Aの座標を (−a, 0, 0)とすれば，

u(−a, 0, 0) = 0である．したがって（208）より

0 = u(−a, 0, 0) = U +Q

4π−a

(a2)3/2= U − Q

4πa2

... a =12

√Q

πU(209)


図 43: ３次元の半無限物体

原点よりわき出した流体は，無限の下流で半径 bの円筒状の領域を占める．（208）より，無限遠方で

はいたるところ速度 U である．原点より単位時間にわき出す全流量はQで，これが十分下流の円断

面（半径 b）を速度 U で単位時間に通過する流量と一致するから

Q = (πb2)U

... b =

√Q

πU(= 2a) (210)

である．

２次元の半無限物体と同様，流線を slip条件を満たす物体境界で置き換えることができる．そうす

ると，わき出しと一様流の重ね合わせは，Aを頂点とする先の丸い半無限長の軸対称円柱状物体に一

様流があたる場合の流れを表していると考えてもよい．例えば，飛行船の前半部分の流れを近似して

いるとみることができる．

10.2.4 ２重わき出し

２次元の場合と同様，絶対値が同じ大きさのわき出しと吸い込みが無限に近接しているときの流れ

を考えよう．x軸上の x = εにQ(> 0)のわき出し，x = −εに−Qの吸い込みをおくと，わき出した流れは全て吸い込まれる．

φ(x, y, z) = − Q

4π1√

(x− ε)2 + y2 + z2− −Q

4π1√

(x− (−ε))2 + y2 + z2

= − Q

4π

1√

(x− ε)2 + y2 + z2− 1√

(x+ ε)2 + y2 + z2

(Q, ε > 0)

２次元の場合と同様，2εQ = m = const.となるように，距離 2εとわき出し強さQの積を一定の有限

値に保ちながら ε→ 0とすると，以下のようになる（Q = m/(2ε)）．

φ(x, y, z) = − limε→0

m

8πε

1√

(x− ε)2 + y2 + z2− 1√

(x+ ε)2 + y2 + z2

=m

4πlimε→0

1√(x+ε)2+y2+z2

− 1√(x−ε)2+y2+z2

2ε

=m

4π∂

∂x

(1√

x2 + y2 + z2

)

= −m

4πx

(x2 + y2 + z2)3/2(211)


２次元の場合と同様，微分の関係を使った．この流れを２重わき出し（doublet）と言う．また，mを

２重わき出しのモーメントと言う．（211）は２重わき出しの軸が x軸に平行な場合である．m > 0の

場合，この２重わき出しの軸は x軸の正の方向を向いている．

（211）を，x軸を極軸とする球座標系（x = r cos θ）で表示すると

φ(r, θ) = −m

4πx

(x2 + y2 + z2)3/2

= −m

4πx

r3

= −m

4πcos θr2

(212)

この式の速度ポテンシャルは球座標で表したとき r, θのみに依存し，ϕには依存せず，軸対称になっ

ている（したがって，φの引数は r, θのみとしている）．

３次元の２重わき出しの流線は，２次元の２重わき出しの流線を x軸に関して回転させたような軸

対称のパターンになっている．

10.2.5 球を過ぎる流れ

２次元の場合と同様，「一様流」と「２重わき出し」の重ね合わせを考えてみよう（図 44）．一様流

として，U > 0の x軸に平行な流れをとり，m = −2πUa3 の２重わき出し（(212)，x軸の負の方向に

軸をもつ２重わき出し．このようにおくのは，結果を知っているからである）を重ね合わせる．以下

では，x軸を極軸とする球座標系を使う（x = r cos θ）．すると

φ(r, θ) = Ur cos θ − −2πUa3

4πcos θr2

= Ur cos θ +Ua3

2cos θr2

= U

(r +

a3

2r2

)cos θ (213)

となる．軸対称の流れと軸方向の一様流を重ね合わせているから，当然この流れも軸対称であり，ϕ

には依存しない．

流れの速度は，(213)の勾配をとればよいが，球座標系で表示されていることを考慮して，(201)を

使うと

vr =∂φ

∂r= U

(1 − a3

r3

)cos θ

vθ =1r

∂φ

∂θ= −U

(1 +

a3

2r3

)sin θ

vϕ =1

r sin θ∂φ

∂ϕ= 0 (214)

である．r = aのときは

vr = 0

vθ = −32U sin θ

vϕ = 0 (215)


図 44: 球を過ぎる流れ

である．すなわち，原点を中心とし半径 r = aの球面上で vr = 0となっている．したがって，r = a

の球面を固体壁面でおきかえても，その外部の流れは同じである．このことから，(213)は一様流中

におかれた球のまわりの流れを表していることがわかる．２次元の場合に一様流と２重わき出しの重

ね合わせが円柱を表していたことに対応していて興味深い．

球表面での流速の大きさは q = |vθ| = 32U | sin θ|であり，θ = ±π/2で最大値 3

2U をとる．すなわ

ち，一様流の方向に垂直な大円の円周上で流速が最大となり，その大きさは一様流速の 1.5倍である．

２次元の円柱の場合は，最大流速は一様流速の 2倍であったが，それと比較すると，流速の増加が緩

和されていることがわかる．円柱では円柱にあたる流れは上下の２方向に分かれることしかできない

が，球では球にあたる流れは上下左右あるいは斜めへと四方八方へと分かれることができる．２次元

の円柱に比べて，３次元の球の方が，流れが物体をよけやすくなっているというイメージである．こ

の例で見られるように，一般に２次元物体に比べて，３次元物体では，圧力や物体が受ける力は緩和

されるケースが多い．

問題

一様流中におかれた球のまわりのポテンシャル流れにおいて，球の表面の圧力分布を求めよ．ただ

し，流れは定常であるとする．また，得られた結果を２次元円柱の場合と同様にして，圧力係数の形

で示せ．

答え：

p = p∞ +ρ

2U2 − ρ

2q2 = p∞ +

ρ

2U2(1 − 9

4sin2 θ)

Cp =p− p∞12ρU

2= 1 − 9

4sin2 θ

２次元円柱（7.7 の問題参照）に比べて，圧力分布の変化が緩和されていることがわかる（Cpを表す

式中の sin2 θの係数が２次元では 4であるが，３次元では 9/4と小さくなっている）．


11 渦運動

前章まで，渦なしのポテンシャル流れを取り扱ってきた．しかしながら，実際は，渦糸という一点

に集中した渦（３次元的に表現すれば一本の線に集中している）を考え，これが翼に働く揚力の源で

あることを知った．このように，渦の概念はポテンシャル流れの理論において重要な役割を果たして

いる．また，流体力学の最大の未解決課題である「乱流」は，大小さまざまな大きさの渦の不規則な

運動であり，渦運動の理解が乱流現象解明の鍵を握っている．ここでは，２次元・３次元流れにおける

渦運動の基本的な事項について学んでいこう．なお，この章では，非粘性，非圧縮性の理想流体（渦

度 0とは限らない）に限定する．

11.1 渦線，渦管，渦糸

渦度ベクトルの定義 (34)，(35)は

ω = rotv

(ξ, η, ζ) =(∂w

∂y− ∂v

∂z,∂u

∂z− ∂w

∂x,∂v

∂x− ∂u

∂y

)(216)

であった．この渦度ベクトルは，その点の流体粒子の局所的な回転角速度ベクトルの 2倍に等しい．

流れの速度ベクトル vに対して，流線，流管を定義したのと同様に，渦度ベクトルωに対して，渦

線，渦管を定義する（図 45）．

接線がその点における速度ベクトルに平行であるような曲線を流線と定義した．同様に，接線がそ

の点における渦度ベクトルに平行であるような曲線を渦線（vortex line）という．渦線の線要素ベク

トルを dr = (dx, dy, dz)とすれば

dr //ω

dx

ξ=dy

η=dz

ζ(217)

流れの中に任意に閉曲線Cをとり，Cの各点を通る流線群を考えると，これらの流線群は一つの管

を形成し，これを流管と定義した．同様に，流れの中に任意に閉曲線Cをとり，Cの各点を通る渦線

群を考えると，これらの渦線群は一つの管を形成する．これを渦管（vortex tube）という．

Cが無限小の閉曲線であるとき，この渦管をその内部の流体まで含めて，渦糸（vortex filament）と

いう．断面が無限小なので，渦糸内部の渦度は無限大になる（渦度が有限のままで，断面積を無限小

にすると，その影響は消滅してしまう）．図示すると，渦線と渦糸は同じように見えるが，前者が幾何

学的な曲線であるのに対し，後者は流体の肉付けがある点が異なる．ちょうど，幾何学的な点と，質

量をになう質点との違いに似ている．

さて，時間を止めて流れ場を見たとき，ある瞬間の渦管（渦糸は無限小断面積の渦管）の空間的な

状態について以下のようなことが言える．

非圧縮性流体では，速度ベクトル vに対して，以下の連続の式が成立した．

divv =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0

このとき，流体中の一つの閉じた検査面に関して，流量＝（表面垂直速度成分）×（面積）の総和は必ず 0になる（定常流，非定常流とは無関係．検査面の内部にわき出し・吸い込みがないことから，ベ

クトル解析のガウスの発散定理を用いて得られる関係である）．


図 45: 渦線，渦管，渦糸

一方，渦度ベクトルωに対して，その発散を計算すると

div ω =∂ξ

∂x+∂η

∂y+∂ζ

∂z

=∂

∂x

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)+

∂

∂y

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)+

∂

∂z

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)= 0 (218)

となり，非圧縮流の連続の式と同様の関係が成り立つ．したがって，流体中の一つの閉じた検査面に

関して，渦度の貫通量＝（表面垂直渦度成分）×（面積）の総和は必ず 0になる．

図 46に示すように，流管の側面と二つの切り口からなる閉じた検査面を考えると，流管の側面を

横切る流量は 0である．したがって，連続の式より，二つの切り口の流量Q = uAは一致しなければ

ならない．切り口の位置は流管内で任意にとれるから，結局，流量は一定すなわちQ = uA = const.

である．

同様に，渦管の側面と二つの切り口からなる閉じた検査面を考えると，渦管の側面に垂直な渦度成

分は 0であり，渦度は側面を貫通しない．したがって，(218)より，二つの切り口を貫通する渦度の貫

通量 ζAは一致しなければならない．切り口の位置は渦管内で任意にとれるから，結局，切り口にお

ける渦度の貫通量は一定すなわち ζA = const.である．

ところで，(55)，(80)で見たように，閉曲線Cに沿う循環は，Cをへりとする内部の曲面上での渦

度の面積分に等しい．したがって，上述の渦管の切り口における渦度の貫通量 ζAは，切り口のへり

に沿っての循環 Γに等しい．このことから，1本の渦管があるとき，それを取り囲む任意の閉曲線に

沿っての循環は，渦管の軸方向の位置によらず一定であることがわかる．さらに，Γ = ζA = const.

という結果から，１本の渦管の断面積が位置によって変わっている場合，渦管の細い箇所ほど，渦度

が大きく，したがって，流体粒子の自転の回転角速度が大きいこともわかる．

渦管は，断面積を形式的に無限に小さくして渦糸状にすることはできるが，0にすることはできな

い．すなわち渦管は流体中で切ることはできない．したがって，渦管は固体壁から固体壁にわたって

存在するか，もしくは自ら閉じて端のない渦輪を作るかのいずれかである（図 47）．


図 46: 流管と渦管

図 47: 渦管の端

11.2 渦定理

前節では，ある瞬間の渦管の空間的な状態について説明した．次に，時間が経過したときに，渦が

どのように変化するかということを考えてみよう．

渦の不生不滅

いま微小な球状の流体部分がその中心まわりに回転しているとする．すなわち一定の角運動量（球

状の流体部分の慣性モーメントと回転角速度の積）を持っている．角運動量保存則より，この角運動

量の大きさを変化させるためには，この流体部分に回転モーメント（トルク）を与える必要がある．

ところが，非粘性の理想流体では，せん断応力が常に 0で圧力しか働かない（いま外力の影響は無視

している）．圧力の向きは常に球の中心を向いているので，球に対して，回転モーメントを与えるこ

とはできない．したがって，理想流体ではすべての流体粒子の角運動量は不変であるということが言

える．

ある瞬間に，流体粒子が回転していなければ，その角運動量は 0であり，その後もいつまでも 0の

ままで，回転をはじめることはない．一方，流体粒子が回転していれば，その粒子は一定の角運動量

を持ち，その値はその後も変化することはない．もし，流体粒子が運動中に変形して，慣性モーメン

トが変化すれば，回転角速度の大きさは変化するが，0になることはなく（慣性モーメントは無限大

になりえない），回転が止まることはない．流体粒子が回転しているということは渦度をもつという

ことであるから，言い換えると，「理想流体の流体粒子の渦度が初め 0であれば，その後も 0のままで

あり，渦度が初め非 0であれば，その後も非 0のままである．」これを要約して，理想流体では渦は不

生不滅であると言われる．


図 48: 流体とともに移動する閉曲線

以前，渦なし流れ（ポテンシャル流れ）の導入のときに，渦度方程式 (49)-(52)を用いて，入口で渦

度が 0であれば，下流へ流れていっても 0のままであり，したがって，至るところ渦なしであると説

明した．この説明は，上記の渦の不生不滅と同様の内容である．なぜなら，渦度方程式自体が，角運

動量保存則と等価だからである．

ケルビンの循環定理

渦に関して，不生不滅だけでなく，さらに具体的な定理が知られている．まず，証明は省略して，以

下のケルビン（Kelvin）の循環定理を示そう．「理想流体で，外力が保存力の場合，流体と共に移動す

る閉曲線に沿っての循環は時間によらず不変である．」

すなわち，図 48のように流体粒子によって作られた閉曲線（流体に乗って流れていく）を考え，そ

れに沿う循環を考えると，これが不変量になっていて，閉曲線が下流に流されていっても全く変わら

ないということを述べている．

ケルビンの循環定理を使うと，渦の不生不滅は以下のように導かれる．はじめに流れの場全体で渦

なしであったとすれば，任意に閉曲線をとって循環を計算しても，その内部の渦度は 0であるから，

循環は必ず 0になる．そして，ケルビンの循環定理より，時間が経過してその閉曲線が移動しても循

環は 0のままである．閉曲線は任意にとれるから，流れ場の任意の場所，任意の時刻で循環 0 すなわ

ち渦度 0である．つまり渦なし流れから，渦が発生することはない（渦の不生）．逆に，流れ場のあ

る部分で流体が回転運動していて渦度が 0でないとすれば，その場所に渦線を引くことができる（図

49）．この渦線をとり囲むように閉曲線 C0をとると，C0の内部の渦度は 0ではないので，渦度の面

積分に等しいC0に関する循環 Γ(C0)はやはり 0でない．C0を形成していた流体粒子が，時間が経過

して，閉曲線 Cを形成するとすれば，ケルビンの循環定理より，

Γ(C) = Γ(C0) = const. = 0

である．したがって，循環が 0になることはなく，Cの内部の渦度が 0になることもない．つまり，渦

が消滅することはない（渦の不滅）．

ヘルムホルツの渦定理

ケルビンの循環定理から，次のヘルムホルツ（Helmholtz）の渦定理（ヘルムホルツの保存則ともい

う）が導かれる．「理想流体で，外力が保存力の場合，渦管は常に同じ流体部分からなり（すなわち流

れに乗って移動し），渦管の側面上を一周する閉曲線に沿っての循環は，（渦管の軸方向に空間的に一

定であるだけでなく）時間的に不変である．」ここで，渦管を渦糸と読み替えてもよい．


図 49: 渦線をとり囲み，流体とともに移動する閉曲線

図 50: 流体とともに移動する渦管

渦管は，流れに乗って移動し，その強さ（循環）は変わらない．渦管は，不生不滅の一つの個体の

ように振る舞うのである．図 50によって直感的な理解を深めよう．

渦管の循環は不変であるが，断面内の渦度の強さは，渦管の断面積の変化に応じて変化する（渦度

×断面積=循環）．渦管が流されるにつれて軸方向に引き延ばされると，断面積が減少して，渦度が

増加し回転が速くなる．ただしこの渦の引き延ばしは，３次元流れでしか起こらない．２次元流れで

は，渦は z方向に軸を持つものに限られるが，２次元流れの z方向の流速成分は 0であるので，z方

向に渦管を引き延ばしたり，縮めたりすることはできないからである．したがって，２次元流れでは，

渦管の循環が時間的に不変であるだけでなく，渦度そのものが不変である．このことは，２次元渦度

方程式が DζDt = 0と書けることからも明らかである（第 5.3節の問題参照）．

最後に，ここで述べた諸定理（渦の不生不滅，ケルビンの循環定理，ヘルムホルツの渦定理）は，

理想流体（非粘性流体）を仮定したために成り立っていたことを確認しておこう．粘性流体では，流

体の回転運動を妨げるような回転モーメントが働き，時間の経過とともに渦度は減衰していく．ただ

し，粘性は拡散的に作用するので完全に減衰するには時間がかかる．つまり，突然渦が消滅するよう

なことはない．したがって，短い時間スケールで観察する限り，粘性流体においても，ヘルムホルツ

の渦定理などは近似的に成立していると言ってよい．

11.3 渦糸の運動

渦あり流れの場合，一般的には有限の大きさをもつ領域に渦度が連続的に分布している．例えば，

図 51のような渦では，渦の中心にある半径 aの円形の核の内部全域で渦度が 0ではないが，核の外側

では渦度が 0でポテンシャル流れである．このような場合，核の内部の流れはオイラーの方程式（渦


図 51: 渦核（時計回りの渦）

度 0を仮定しない一般的な非粘性流体の式）に基づいて取り扱う必要があるが，核の外部ではポテン

シャル流れ（渦度 0を仮定したラプラスの式）として取り扱うことができる．すなわち，核の外部の

領域では，ラプラスの式とベルヌーイの式を基礎式として用いることができる．

渦の核が非常に小さく，渦度が１本の線（２次元流れでは点）に集中しているとみなせるとき，こ

れを渦糸と呼ぶのであった．渦あり流れであっても，流れの大部分は渦なしで，渦度はすべて集中し

た渦糸の状態で分布している場合は，「ポテンシャル流れ＋渦糸」のモデルで取り扱うことができる．

実際，２次元流れの循環がある場合の円柱や翼のまわりの流れはこのようにして解析していたのであ

る．以下では，この「ポテンシャル流れ＋渦糸」のモデルについてさらに詳しく考えてみる．

ビオ・サバールの法則

３次元流れ場の中に湾曲した渦糸がある時，これによって任意の点 Pに誘起される流れの速度（渦

糸による誘導速度）を求めよう．前述のように，渦糸は途中で切れることはない．一般には，渦糸は

曲がっているので，多数の微小な線分に分割して，各線分が誘起する速度をすべて足し合わせれば，

この渦糸による誘導速度が計算される．この問題は，湾曲した導線を流れる電流によって誘導される

磁場を求める問題と数学的に等価であり，電磁気学のビオ・サバール（Biot-Savart)の法則がそのま

ま適用できる．それを使うと，図 52のように，循環 Γの渦糸の長さ dsの微小線分によって点 P（微

小線分から距離 r，角度 θ）に誘起される流れの速度 δv の大きさは次式で求められる．

|δv| =Γ sin θds

4πr2(219)

誘導速度の向きは，半頂角 θの円すいの底辺の接線方向と一致する．

一般に，点Pに対して，渦糸を構成する各線分から異なる大きさと向きの速度が誘起される．した

がって，渦糸全体からの誘起速度を求めるためには，ベクトル的に足し合わせる（積分する）必要が

ある．ただし，渦糸が直線状の場合は，点 Pに対して，渦糸の各線分から誘起される速度はすべて同

じ向きになるので，（219）を単純に足し合わせればよい．

いま，図 53のような直線状の渦糸の部分ABによって，点Pに誘導される速度 vを求めよう．直線

状の渦糸なので，（219）を Aから Bまで積分すればよい．すなわち，

v =∫ B

A

Γ sin θds4πr2


Γ

図 52: ビオ・サバールの法則

である．ここで，誘導速度は図の紙面の裏から表に向かう．Pから ABにおろした垂線の長さを hと

し，垂線の足を原点O，Aから Bに向かう向きに x軸をとると

h

r= cos

(θ − π

2

)= sin θ

x

r= sin

(θ − π

2

)= − cos θ

の関係がある．したがって

r =h

sin θ

x = − h

tan θ

ds = dx =hdθ

sin2 θ

である．これより，誘導速度 vは

v =∫ π−β

α

Γ sin θ4π

(sin θh

)2 hdθ

sin2 θ=

Γ4πh

∫ π−β

αsin θdθ =

Γ4πh

(cosα+ cosβ) (220)

ただし，αは ABと APのなす角，βはABと BPのなす角である．

２次元の渦糸は，３次元空間では無限に長い直線上の渦糸である．この場合，（220）で α = β = 0

とすればよいので

v =Γ

2πh(221)

当然であるが，この式は２次元の渦糸により誘起される速度の結果（125）と一致している．

２個の２次元渦糸の運動

クッタ・ジューコフスキーの定理の説明において，渦糸を円柱の内部におくことにより，円柱に循

環がある場合の流れを表現した．この渦糸は円柱の内部に固定されている．このような渦は束縛渦と

言われ，束縛渦が固定されている物体には，その循環に比例する揚力が働く．束縛渦は理論的に考え

られた仮想的な渦のように感じられるかもしれないが，物体表面上の境界層（境界層内は渦度が 0で

はない）を表現したものとみなせる．この考え方に立てば，厳密には束縛渦は物体表面に分布させる

べきであるが，その影響をまとめて円柱中心の渦糸で表現したと思えばよい．


図 53: 直線状の渦糸による誘導速度

一方，上述のヘルムホルツの渦定理で示したように，竜巻などのように，我々が通常「渦」と呼んで

いる流体中の渦管あるいは渦糸は，流れに乗って移動する．このような物体に束縛されず流体に乗っ

て流されていく渦を自由渦ということがある．例えば，他に物体境界などのない無限に広い領域中に

一様流があって，その中に２次元の渦糸が１個だけあるとき，その渦糸は一様流の速度で上流から下

流へ流れていく．

以下では，２個の２次元渦糸が存在するとき，それらの渦糸がどのような運動をするか考えよう．

いま，無限に広い２次元の領域中で，無限遠では流体が静止しているとしよう．この中に２個の渦糸

があると，相互の位置に流速を誘導しあうので，その流れに乗って両方の渦糸が運動する．２次元の

渦糸では，自分自身の位置に誘導する流速は 0であることが証明されているので，両者が相互に誘導

する速度だけを考えればよい．

２次元問題なので，複素平面で解析を行う．渦糸 1の座標を z1，（反時計まわりの）循環を Γ1，渦

糸 2の座標を z2，（反時計まわりの）循環を Γ2としよう（図 54）．渦糸 1の複素速度ポテンシャルを

w1(z)とすると，（121）より

w1(z) = − iΓ1

2πlog(z − z1) (Γ1 = real) (222)

である．

共役複素速度は

dw1

dz(z) = −iΓ1

2π1

z − z1(223)

である．渦糸 2はこの誘導速度で移動する．（223）は共役複素速度 u− ivであるから，渦糸 2の運動は

dz2dt

=dw1

dz(z2) = −iΓ1

2π1

z2 − z1(224)

で表される．

同様に，渦糸 2の複素速度ポテンシャル w2(z)は

w2(z) = − iΓ2

2πlog(z − z2) (Γ2 = real) (225)

であり，共役複素速度は

dw2

dz(z) = −iΓ2

2π1

z − z2(226)

である．したがって，渦糸 1の運動は

dz1dt

=dw2

dz(z1) = −iΓ2

2π1

z1 − z2(227)


図 54: ２個の渦糸の運動

で表される．

（224）に Γ2を乗じ，（227）に Γ1を乗じ，加えると

Γ2dz2dt

+ Γ1dz1dt

= − iΓ2Γ1

2π1

z2 − z1− iΓ1Γ2

2π1

z1 − z2= 0

...d

dt(Γ1z1 + Γ2z2) = 0

...d

dt(Γ1z1 + Γ2z2) = 0

... Γ1z1 + Γ2z2 = const.

... Γ1z1 + Γ2z2 = const. (228)

である．いま，次式で zGを定義する．

zG =Γ1z1 + Γ2z2

Γ1 + Γ2(229)

これは，z1, z2の位置に，それぞれ Γ1,Γ2の質量をもつ質点があるとしたときの重心の式と一致して

いる．zGを（2個の）渦糸系の重心という．（228）より，重心が一定，すなわち不動点になっているこ

とがわかる．

２個の渦糸の循環が等しい場合（Γ1 = Γ2）

２個の渦糸の循環が同じ場合の運動を調べよう．Γ1 = Γ2 = Γとすると，（229）より重心は，zG =

(z1+z2)/2，すなわち，z1と z2の中点である．この重心は動かない．重心の位置を原点とし，z1 = reiθ

で表すと

z2 = −z1 = −reiθ

である．ここで，渦糸は運動しているので，r, θ は一般に時間 tの関数である．（227）に代入すると

（z1 = re−iθ）

d(re−iθ)dt

= − iΓ2π

1reiθ − (−reiθ)

...dr

dte−iθ − ire−iθ

dθ

dt= − iΓ

4πe−iθ

r

...dr

dt− ir

dθ

dt= − iΓ

4πr


実部と虚部に分けるとdr

dt= 0, r

dθ

dt=

Γ4πr

(230)

である．第１式から，r = const.であることがわかる．すなわち，２個の渦糸は重心まわりに一定の

半径 rの円運動をする．rが一定であるので，第２式より

dθ

dt=

Γ4πr2

= const. (231)

となる．すなわち，渦糸の円運動の角速度は一定で，回転の向きは渦糸の循環の向きと同じである．

２個の渦糸の循環の絶対値が等しく符号が反対の場合（Γ1 = −Γ2）

２個の渦糸の循環の絶対値が等しく符号が反対の場合の運動を調べよう（図 55）．Γ1 = −Γ2 = Γ

とすると，（229）の分母が 0となり，重心は定義できない．このことから不動点が存在しないことが

示唆されるが，以下でそのことを確かめよう．

（224），（227）より２個の渦糸の運動は

dz2dt

= − iΓ2π

1z2 − z1

dz1dt

= −−iΓ2π

1z1 − z2

= − iΓ2π

1z2 − z1

(232)

第２式から第１式を引くと

d(z1 − z2)dt

= 0

...d(z1 − z2)

dt= 0

... z1 − z2 = const.

... z1 − z2 = const. (233)

すなわち，2個の渦糸の相対的な位置関係は変化せず，同じ速度で並進運動することしかできない．

いま，ある瞬間の 2個の渦糸を結ぶ線分（長さを 2hとする）の中点を原点とし，線分の方向を iy

軸としよう．すると，この瞬間の渦糸の位置は

z1 = ih, z2 = −ih

で与えられる．これを（232）に代入すると

dz1dt

=dz2dt

=Γ

4πh

...dz1dt

=dz2dt

=Γ

4πh= const. (234)

となる．すなわち，2個の渦糸はともに一定の速度で x軸（２個の渦糸を結ぶ線分と垂直な方向）に

平行に進むことがわかる．

（151）で示したように，強さが同じで互いに逆向きの２個の渦糸をおくと，無限に広い平面壁に

よって制限された半無限領域の中に 1個の渦糸がある流れを表すことができた．したがって，（234）の

結果は，壁面の近くにある渦糸は壁面に沿って移動することを表している．壁面がない無限領域中の

１個の渦糸はその場に静止することを考えると，渦糸の運動に対して壁面が大きな影響を及ぼすこと

がわかる．


図 55: 互いに逆向きで強さの等しい２個の渦糸の運動

図 56: 渦輪

また，２次元空間中の強さが同じで互いに逆向きの２個の渦糸は，３次元空間中の渦輪の簡単なモ

デルと考えられる．実際，非粘性流体中の３次元の渦輪は，その形を保ったまま，一定の速度で軸方

向に進行することが知られており，上記の計算結果と対応している（図 56，たばこの煙で作った渦輪

の運動を思い浮かべよう）．

問題 1

静止した流体中で，半径 aの円形の核（座標原点を中心とする）の内部全域に渦度 ζが等密度で分

布している２次元流れを考える．核の外部では渦なしであるとき，核の外部（核から十分離れた位置）

での圧力がどのようになっているかを調べよ．ただし，核から十分離れた位置では，核の大きさを無

視して渦糸とみなすことができるものとする．

答え：式 (80)より，核を取り囲む閉曲線に沿う循環は

Γ =∫ ∫

Sζdxdy = ζ

∫ ∫Sdxdy = ζπa2

　　したがって第 7.5節の問題 2の答より，圧力は

p = p∞ − ρa4ζ2

8r2


問題 2

静止流体中に，反時計まわりの循環 2ΓとΓの 2個の互いに平行な２次元の渦糸が存在するとき，こ

れらの渦糸はどのような運動を行うか．ただし，2個の渦糸の重心を原点とする複素平面を考え，循

環 2Γの渦糸の複素座標を z1(t) = reiθ，循環 Γの渦糸の複素座標を z2(t)とせよ．

答え：

渦糸 z1による複素速度ポテンシャル w1(z) = − iΓπ

log(z − z1)

渦糸 z1が誘導する流れの共役複素速度dw1

dz(z) = −iΓ

π

1z − z1

渦糸 z2の運動を表す式（自己誘導速度は 0）dz2dt

= −iΓπ

1z2 − z1

重心が原点であるから2Γz1 + Γz2

3Γ= 0

極形式 z1(t) = reiθ, z2(t) = −2reiθ

極形式による z2の運動を表す式d

dt(−2re−iθ) = − iΓ

π

1−3reiθ

...dr

dt− ir

dθ

dt= − iΓ

6πr

... r = const.,dθ

dt=

Γ6πr2

　　 2個の渦糸は，重心を中心として，円軌道上を反時計まわりに等速回転する．z1の回転半径は r，

z2の回転半径は 2r，回転の角速度は Γ/6πr2となる．

11.4 渦層

図 57のように，流れの中の面 Sで，流速が v1から v2に不連続的に変化しているとする．v1，v2

がともに紙面に平行で，さらに面 Sにも平行である場合を考えると，運動量保存則から面 Sの両側で

圧力が等しくなることが示される．

さて，いま面 Sをつらぬく長方形の小さな閉曲線 Cをとり，Cに沿っての循環を考える．ここで，

Cの長辺は面 Sに沿う方向で長さを dsとし，Cの短辺は面 Sに垂直な方向で長さを無限小とする．循

環 dΓ(C)は以下のように求められる．

dΓ(C) =∮C

v · dr = v1ds− v2ds = −(v1 − v2)ds (235)

v1 = v2であれば，循環 dΓ(C)は 0でなく，したがって Cの内部に，内部を貫く向きの渦度ベクトル

が存在するはずである．Cは Sに限りなく近くとっているので，結局不連続面 Sに沿って渦度が分布

していることになる．分布した渦度を多数の渦糸で表現して，不連続面に沿って渦糸が敷き詰められ

ている様子を思い浮かべればよい．このような意味で，速度の不連続面は，渦層（vortex sheet）と呼

ばれる．

渦層を構成する各渦糸は，相互に誘導速度を生じる．渦層が完全に平面であるとすれば，渦糸の互

いの誘導速度は完全にうち消し合って渦層の変形は生じない．しかし，何らかの影響で少しでも渦層

が変形を起こすと，それによる誘導速度の変化は，変形をますます助長する方向に働く．すなわち，

渦層は不安定である．このため，現実の渦層は，図 58に示すように次第に変形し，やがて規則的に配

列する大きな渦へと巻き込んでゆく．このような渦の規則的配列は，例えば円柱などの剥離を生ずる

鈍い物体の背後で観察され，カルマン渦と呼ばれている（図 59，60）．


図 57: 速度の不連続面

図 58: 渦層の不安定性

図 59: カルマン渦の可視化写真（その１）

図 60: カルマン渦の可視化写真（その２）


参考文献

[1] 大橋秀雄：流体力学（１），コロナ社，1982

[2] 今井功：流体力学（前編），裳華房，1973

[3] 田古里哲夫・荒川忠一：流体工学，東京大学出版会，1989

[4] 水野明哲：流れの数値解析入門，朝倉書店，1990

[5] 中口博・本間弘樹：流体力学（上），地人書館，1987

[6] 谷一郎：流れ学　第 3版，岩波全書，1967

[7] 神部勉：流体力学，裳華房，1995

[8] 石綿良三・根本光正：流れのふしぎ，ブルーバックス B1452，講談社，2004

流れ学III Fluid Flow IIIfluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3v7.pdf流れ学III...

Documents

Transcript of 流れ学III Fluid Flow IIIfluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3v7.pdf流れ学III...