표준정규확률분포(standard normal probability distribution

정규분포를 따르는 확률변수의 평균이 0이고표준편차가 1일 때, 그 확률변수는표준정규확률분포를 따른다고 한다

0z

영문자 z 는 정규확률변수를 표시한다.

표준정규확률 분포

표준정규분포로 전환

표준정규확률 분포

z x

z x

z 는 x 가 로부터 표준편차의 몇 배가 떨어져있는지에 대한 측정으로 생각할 수 있다.

표준정규분포

표준정규밀도함수(standard normal density function)

2 /21( )2

zf x e

2 /21( )

2zf x e

z = (x – )/ = 3.14159e = 2.71828

여기서:

표준정규분포

예: Pep Zone Pep Zone은 여러 등급의 유명한 자동차 오일을 포

함하여 자동차 부품이나 용품을 판매한다. 이 오일의재고가 20 gallons 이하로 떨어질 경우, 보충 주문을 한다. 관리자는 주문을 기다리는 동안 재고가 떨어져 판매를 못할 경우를 걱정하고 있다.

오일 주문에서 보충될 때 까지 판매에 필요한 양의

분포는 평균 15 gallons 과 표준편차 6 gallons 이다. 관리자는 재고가 바닥날 확률, 즉 P(x > 20)에 대하여알고 싶어 한다.

z = (x - )/= (20 - 15)/6= .83

재고가 바닥날 확률에 대한 풀이

단계 1: x를 표준정규분포로 바꾼다.

단계 2: 표준정규곡선에서 z = .83의 왼쪽 넓이(z = 0 부터)를 구한다.

표준정규확률 분포

표준정규분포의 확률표

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . ..5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . ..5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

P(0<z <.83)

표준정규확률분포

P(z > .83) = 0.5 – P (0< z < .83) = 0.5 - .2967

= .2033

재고가 바닥날 확률에 대한 풀이

단계 3: 표준정규곡선 z = .83의 오른쪽 면적을 구한다

재고가 바닥날 확률 P(x > 20)

표준정규확률 분포

재고가 바닥날 확률에 대한 풀이

0 .83

면적 = .2967면적 = 0.5 - .2967

= .2033

z

표준정규확률분포

■ 표준정규밀도함수

만약 Pep Zone의 관리자가 재고가 바닥날 확률

을 .05정도로 하고 싶어 하면, 주문 시점의 재고량(Reorder Point )을 얼마로 하면 되겠는가?

표준정규확률분포

Reorder Point(주문시 재고량)에 대한 풀이

0

면적 = .4500

면적 = .0500

zz.05

표준정규확률분포

Reorder Point에 대한 풀이

단계 1: 표준정규분포의 오른쪽 꼬리 .05 면적에해당하는 z-값을 찾는다.

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .여기서 꼬리부분 면적을 제외

한 나머지 면적을 알 수 있다. (0.5 - 0.05 = .45)

표준정규확률분포

Reorder Point 에 대한 풀이

단계 2: z.05 을 해당하는 x 값으로 변환한다.

x = + z.05 = 15 + 1.645(6)

= 24.87 or 25

재고가 25 gallons으로 떨어질 때 주문하면 보충기간동안 재고가 바닥날 확률이 .05가 된다.

표준정규확률분포

Reorder Point 에 대한 풀이

Reorder point을 20 gallons 에서 25 gallons 정도로올리면, 재고가 바닥날 확률은 .20 에서 .05로 떨어진다.이는 Pep Zone 이 재고가 바닥나 판매를 하지 못 할확률을 크게 줄이게 되는 셈이다.

표준정규확률분포

이항확률의 정규근사(normal approximation

of binomial probabilities)

시행횟수 n 이 커지면, 이항확률함수를 손이나 계산기로

계산하는 것이 어렵게 된다.

정규분포는 n > 20, np > 5, 그리고 n(1 - p) > 5 일 경우의 이항확률에 대한 쉬운 근사치를 제공한다.

이항확률의 정규근사

설정 = np

(1 )np p (1 )np p

0.5 (연속성수정계수, continuity correction factor)를

더하고 빼라. 이는 이산분포를 근사하기 위해 연속분포가

사용되기 때문이다.예를 들어, 이산이항분포에서 P(x = 10)는 연속정규분포

에서 P(9.5 < x < 10.5) 로 근사된다.

지수확률분포(exponential probability distribution)

지수확률 분포는 임무완성에 걸리는 시간을 기술하는데 유용하다.

지수확률 변수는 아래와 같은 경우를 기술하는데 사용될 수 있다.

는요금소에 도착하는자동차들 사이의시간

하나의 설문지를쓰는 데 걸리는시간

고속도로에서주요 하자 간의거리

지수확률분포

밀도함수

여기서: = 평균

e = 2.71828

f x e x( ) / 1

f x e x( ) / 1

: x > 0, > 0

지수확률분포

■ 누적확률

P x x e x( ) / 0 1 o P x x e x( ) / 0 1 o

여기서: x0 = x의 어떤 특정 값

지수확률분포

예: Al’s Full-Service Pump

Al’s full-service gas pump에 도착하는 자동차들 사이의 시간간격은 평균 3 분인 지수확률 분포를 따른다.

Al은 연속한 두 대의 차량이 도착하는 시간이 2분 이내일 확률을 알고 싶어 한다.

xx

f(x)f(x)

.1.1

.3.3

.4.4

.2.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10연이어 도착하는 차량들 사이의 시간 (분)

지수확률분포

P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866

지수확률 분포

지수확률분포의 속성은 평균() 과 표준편차() 가같다는 것이다.

그래서, Al’s full-service pump 에 도착하는 차량간시간의 표준편차( 와 분산(2)은:

= = 3 분

2 = (3)2 = 9

지수확률 분포

지수분포는 오른쪽으로 경사진(오른쪽 꼬리) 모양이다.

지수분포의 왜도는 2이다.

포아송분포와 지수분포와의 관계

포아송분포는 구간당 사건발생 횟수를적절히 기술한다.

지수분포는 사건발생간 구간의길이를 적절히 기술한다.

6장 끝