ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ …gym-kastell.ker.sch.gr/main/math/A REVIEW...

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd

fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq



hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq



hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert

yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΤΑΞΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Απρίλιος 2016

v_02_13042016

ΓΥΜΝΑΣΙΟΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝΜΕΣΗΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΑ΄ΤΑΞΗΣ

2

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ

Α 1.3 Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών – Αριθμητικές Παραστάσεις

1. Τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση;

2. Με ποια σειρά πρέπει να κάνουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση;

3. Να γράψετε σε μορφή γινομένου και να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα:

α) 3+3+3 β) 2+2+2 γ) 2+2+2+2 δ) 5+5 ε) 10+10+10+10+10

4. Να γράψετε σε μορφή γινομένου τα παρακάτω αθροίσματα:

α) x+x+x β) α+α+α+α γ) y+y+y+y+y

5. Να γράψετε σε μορφή δύναμης και να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα:

α) 3·3·3 β) 2·2·2 γ) 2·2·2·2 δ) 5·5 ε) 10·10·10·10·10

6. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα παρακάτω γινόμενα:

α) x·x β) y·y·y·y γ) α·α·α δ) β·β·β·β·β·β·β ε) 2·2·2·β·β

7. Να γράψετε το δεκαδικό ανάπτυγμα των αριθμών:

α) 52 β) 752 γ) 3752 δ) 43752 ε) 243752

8. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων:

α) 2·3+4 β) 2+3·4 γ) 2·(3+4) δ) 2·32 ε) 1+2·3

2


α) 32+5

2 β) (3+5)

2 γ) 2

3·3

3 δ) (2·3)

3 ε) 2·3

2+5·1

10


α) 2·52+2

3-(4+2)

2 β) 3

2+3

3+2

3+2

4 γ) (13-2)

4+5·3

2

A 1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση – Διαιρετότητα

11. Να εξετάσετε αν 168 μαθητές ενός σχολείου είναι δυνατόν να παραταχθούν σε πλήρεις

(α) τετράδες (β) πεντάδες (γ) εξάδες (δ) επτάδες. Αν ναι, πόσες είναι;

12. Να εκτελέσετε τη διαίρεση 124:5 και να γράψετε το διαιρετέο, το διαιρέτη, το πηλίκο και το υπόλοιπο της

διαίρεσης.

13. Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.

14. Το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι πάντοτε μικρότερο του ………………

15. Ποια διαίρεση ονομάζεται τέλεια;


3

16. Πότε λέμε ότι ένας φυσικός αριθμός β διαιρεί τον φυσικό αριθμό α;

17. Στις παρακάτω σχέσεις να διακρίνετε ποιες εκφράζουν ευκλείδεια διαίρεση και ποιες όχι. Σε περίπτωση

ευκλείδειας διαίρεσης, να γράψετε το διαιρέτη και το πηλίκο.

Διαιρέτης Πηλίκο Διαιρέτης Πηλίκο

15 2 7 1= ⋅ + 15 6 2 3= ⋅ +

15 2 3 9= ⋅ + 15 3 5= ⋅

18. Αν σήμερα είναι Σάββατο, τι μέρα θα έχουμε μετά από 365 μέρες;

19. Ποια είναι τα πιθανά υπόλοιπα μιας διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού με το 3;

20. Αν μια διαίρεση με το 15 έχει πηλίκο 12 και υπόλοιπο 1, ποιος είναι ο διαιρετέος;

A 1.5 Χαρακτήρες – Κριτήρια Διαιρετότητας

21. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται “πρώτοι” και ποιοι “σύνθετοι”;

22. Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 1 και μικρότεροι του 30.

23. Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 30 και μικρότεροι του 40.

24. Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 40 και μικρότεροι του 50

25. Τι ονομάζουμε “ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο” δυο ή περισσότερων αριθμών;

26. Τι ονομάζουμε “μέγιστο κοινό διαιρέτη” δυο ή περισσότερων αριθμών;

27. Γράψτε στο τετράδιό σας τα κριτήρια διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 σύμφωνα με την παρακάτω

διατύπωση:

«Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το … αν ………………………………………..»

28. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τους διαιρέτες των αριθμών 12, 18 και 36 . Βρείτε τους

κοινούς διαιρέτες τους και το μέγιστο κοινό διαιρέτη τους.

Διαιρέτες του 12



29. Να αναλύσετε τους αριθμούς 3150 και 3780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Κατόπιν να βρείτε (σε

μορφή γινομένου δυνάμεων) το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ τους.

30. Να υπολογίσετε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 3 2 42 3 5a = ⋅ ⋅ και 5 2 22 3 7β = ⋅ ⋅ σε μορφή

γινομένου πρώτων παραγόντων.

31. Δυο πλοία αναχωρούν σήμερα Κυριακή από ένα νησί. Αν το πρώτο επιστρέφει στο νησί κάθε 3 ημέρες και

το δεύτερο κάθε 4 ημέρες, μετά πόσες μέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού για πρώτη φορά; Ποια

μέρα θα είναι; Πότε θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι για τρίτη φορά; Ποια μέρα θα είναι;

32. Τρία λεωφορεία ξεκινάνε από την ίδια αφετηρία στις 08:00 για διαφορετικά δρομολόγια στην πόλη. Το

πρώτο λεωφορείο επιστρέφει στην αφετηρία κάθε 18 λεπτά, το δεύτερο κάθε 24 λεπτά και το τρίτο κάθε

36 λεπτά. Μετά πόση ώρα θα βρεθούν ταυτόχρονα στην αφετηρία; Πόσα δρομολόγια θα έχει εκτελέσει το

καθένα τους μέχρι τότε;


4

ΚΛΑΣΜΑΤΑ – ΠΟΣΟΣΤΑ

Προσαρμοσμένες σημειώσεις

Ίσα Κλάσματα

Το 1

2 ενός ποσού αλλά και τα

5

10 του ίδιου ποσού εκφράζουν το ίδιο μέρος του ποσού:

Τα κλάσματα 1

2,

50

100 είναι ίσα. ή ισοδύναμα. Γράφουμε:

1 50

2 100=

Παραδείγματα ίσων κλασμάτων

(α) 2 4 6 8

3 6 9 12= = = (β)

3 6 9 15

4 8 12 20= = =

Πώς αναγνωρίζουμε τα ίσα κλάσματα;

6 9

8 12= Πολλαπλασιάζουμε χιαστί: 6 12 9 8⋅ = ⋅ Προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα: 72

Πώς δημιουργούμε ίσα κλάσματα;

Αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ίσο με το αρχικό

Παράδειγμα: 2 2 5 10

3 3 5 15

⋅= =⋅

Άσκηση: Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν ίσα κλάσματα:

(α) 3

5 20= (β)

5 20

7=

Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ίσο με το αρχικό. Αυτή η

διαδικασία ονομάζεται απλοποίηση.

10 10 : 5 2

15 15 : 5 3= = ,

16 16 : 8 2

24 24 : 8 3= = ,

18 18 : 6 3

24 24 : 6 4= =

Αν ένα κλάσμα δεν απλοποιείται ονομάζεται ανάγωγο.

Παράδειγμα:

Το 1

3 είναι ανάγωγο, διότι δεν απλοποιείται.


5

Το 4

12 δεν είναι ανάγωγο, διότι απλοποιείται:

4 4 : 4 1

12 12 : 4 3= = .

Συνηθίζουμε τα γράφουμε τα κλάσματα σε ανάγωγη μορφή, για λόγους απλότητας

Τα ποσοστά μπορούν να γραφτούν σε μορφή κλάσματος

20 120%

100 5= =

Τα κλάσματα μπορούν να γραφτούν σε μορφή ποσοστού:

1 1 25 2525%

4 4 25 100

⋅= = =⋅

, ή 1

0,25 25%4= = .

10,333... 33,3%

3= ≈

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να απλοποιήσετε πλήρως τα κλάσματα

2

4,

14

21,

10

100,

6

9,

12

16,

25

100,

25

30,

2

10,

18

27,

3

3,

12

6

2. Να εξετάσετε αν τα παρακάτω ζευγάρια κλασμάτων είναι ίσα

i) 2 4,

3 6 ii)

6 9,

4 6 iii)

2 4,

50 100 iv)

3 9,

1 3

v) 2 3,

3 4 vi)

4 16,

16 4 vii)

11 22,

12 24 viii)

6 7,

10 11

3. Να συμπληρώσετε τις κενές θέσεις ώστε τα κλάσματα που προκύπτουν να είναι ίσα

i) 1 ...

2 4= ii)

2 ...

3 9= iii)

25 5

10 ...= iv)

30 ...

40 4= v)

6 1

24 ...=

4. Να γράψετε σαν ποσοστά τα κλάσματα

1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 1, , , , , , , , , , , ,2

2 4 8 10 20 50 100 5 4 25 40 1

5. Να γράψετε σε μορφή (ανάγωγου) κλάσματος τα ποσοστά:

1%, 2%,4%, 5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 50%, 60%, 80%, 100%, 120%


6

Ομώνυμα – Ετερώνυμα Κλάσματα Πρόσθεση — Αφαίρεση Κλασμάτων

Τα κλάσματα 2 4,

5 5 είναι εύκολο να τα συγκρίνουμε: Το

2

5 είναι μικρότερο από το

4

5.

Γιατί; Στο πρώτο κλάσμα θεωρούμε τα 2 από 5 ίσα μέρη ενός ποσού, ενώ στο δεύτερο, 4 από 5 μέρη του ίδιου

ποσού.

Η σύγκριση εδώ είναι απλή γιατί τα κλάσματα είναι έχουν τον ίδιο παρονομαστή.

Τέτοια κλάσματα που έχουν κοινό παρονομαστή ονομάζονται ομώνυμα.

Δυο κλάσματα λέγονται ομώνυμα όταν έχουν κοινό παρονομαστή.

Αν , οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, τα κλάσματα λέγονται ετερώνυμα

Παράδειγμα: Ομώνυμα κλάσματα: 1 3 7 9, , ,

7 7 7 7. Ετερώνυμα κλάσματα

1 2 3, ,

2 3 4 κ.λπ.

Για να συγκρίνουμε, να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο κλάσματα είναι απαραίτητο να τα τρέψουμε

πρώτα σε ομώνυμα.

Παραδείγματα:

1. Να συγκρίνουμε τους αριθμούς 1 2,

2 3.

Λύση: Τρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα: ΕΚΠ(2,3)=6. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι ο 6.

Το πρώτο κλάσμα γράφεται 1 1 3 3

2 2 3 6

⋅= =⋅

. Το δεύτερο 2 2 2 4

3 3 2 6

⋅= =⋅

.

Τώρα έχουμε να συγκρίνουμε τα 3 4,

6 6. Είναι φανερό ότι

3 4

6 6< .

2. Όπως παραπάνω για τους αριθμούς 7

2,3

Γράφουμε τον αριθμό 2 σε μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 3:

2 2 3 6

21 1 3 3

⋅= = =

⋅. Τώρα είναι φανερό ότι

6 7

3 3<

3. Για να προσθέσουμε τα κλάσματα 1 1

2 3+ βρίσκουμε το ΕΚΠ(2,3)=6 και τρέπουμε τα κλάσματα σε

ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το 6 :

1 1 3 2 3 2 5

2 3 6 6 6 6

++ = + = =


7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθμούς. Βάλτε ανάμεσά τους τα σύμβολα

< (μικρότερο), = (ίσο) > (μεγαλύτερο)

i) 3 4,

4 5 ii)

93,

3 iii)

1 1,

2 10 iv)

41 40,

100 100 v)

4 5,

10 100

vi) 3,1

2 vii)

10 20,

2 4 viii)

1 1,

9 8 ix)

7 13,

8 16 x)

2 3,

6 12

2. Να γράψετε σε μορφή δεκαδικού αριθμού τα κλάσματα

1

2

2

10

15

10

4

5

3

4

1

100

35

100

123

100

30

25

9

36

3. Να γράψετε σε μορφή ανάγωγου κλάσματος τους δεκαδικούς

0,1 0, 42 0,25 0,60 0,75 0,80 1,20 20,1 1,2

4. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις ή τις αφαιρέσεις

1 2

7 7+ =

1 1

3 6+ =

2 3

5 5+ =

5 3

8 4+ =

1 1

2 10− =

4 1

15 15− =

5. Να εκφράσετε με κλάσμα:

i) Τα 15min της ώρας

ii) Τα 200g του κιλού

6. Αν 1/4 του κιλού τυρί κοστίζει 4,20€, πόσο κοστίζουν

i) τα 3/4 του κιλού;

ii) τα 1.200g;

7. Σε ένα ποδηλατοδρόμιο ένας ποδηλάτης Α κάνει 17 γύρους σε 5 λεπτά, ενώ ένας άλλος ποδηλάτης Β

κάνει 7 γύρους σε 2 λεπτά. Να βρείτε ποιος ποδηλάτης έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα.

8. Μια βρύση γεμίζει σε 1 ώρα το 1/8 μιας δεξαμενής ενώ μια άλλη βρύση σε 1 ώρα γεμίζει το 1/4 της ίδιας

δεξαμενής. Αν ανοίξουν συγχρόνως, ποιο μέρος (κλάσμα) της δεξαμενής θα γεμίσουν σε 1 ώρα; Σε

πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή;


8

Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

• Πόσο είναι το 1

3 του 15; Απάντηση:

1 1 15 1515 5

3 3 3

⋅⋅ = = =

Πόσο είναι το 1

2 του

1

3; Απάντηση:

1 1 1 1 1

2 3 2 3 6

⋅⋅ = =

⋅

α γ α γ

β δ β δ

⋅⋅ =

⋅

• Οι αριθμοί 2

3 και

3

2 έχουν μια ξεχωριστή ιδιότητα: το γινόμενό τους είναι ίσο με 1. Πράγματι:

2 3 2 31

3 2 3 2

⋅⋅ = =

⋅. Τέτοιο αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι

1x y

y x⋅ =

Χρήση του αντιστρόφου στην επίλυση προβλημάτων

Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα, διάνυσε τα 2

9 μιας διαδρομής σε 48 λεπτά. Σε πόσο χρόνο

θα διανύσει ολόκληρη τη διαδρομή;

Λύση:

Αν ονομάσουμε x το χρόνο της διαδρομής, τότε 2

489x⋅ = .

Πολλαπλασιάζουμε τα δυο μέλη της εξίσωσης με τον αντίστροφο του 2

9, που είναι ο

9

2, και γράφουμε

9 2 948

2 9 2x⋅ ⋅ = ⋅ Άρα

948 9 24 216

2x = ⋅ = ⋅ = λεπτά. (Πόσες ώρες;)

Λύστε με τον παραπάνω τρόπο τα παρακάτω προβλήματα:

1. Ο πλανήτης Αφροδίτη διανύει το 40% της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο σε 90 ημέρες. Σε πόσο χρόνο

κάνει μια περιφορά γύρω από τον Ήλιο;


9

2. Εργάτης τελειώνει τα 5

8 ενός έργου σε 10 ώρες. Πόσες ώρες χρειάζεται ακόμα με αυτό το ρυθμό να

τελειώσει το έργο;

3. Μια δεξαμενή νερού έχει χωρητικότητα 2000lt. Αν η δεξαμενή είναι κατά τα 3/4 γεμάτη, πόσα lt νερού

περιέχει;

4. Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει μήκος 40

3 μέτρα και εμβαδόν 152 τ.μ. Πόσα μέτρα είναι το πλάτος του;

5. Ένα πολιτικό κόμμα συγκέντρωσε το 4,5% του συνόλου των ψηφοφόρων. Αν οι ψήφοι που συγκέντρωσε

ήταν 90.045, πόσοι ήταν το σύνολο των ψηφοφόρων; €

ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

1. Μέγεθος

Το μήκος, το πλάτος, το ύψος, η ηλικία, η θερμοκρασία, το εμβαδόν κ.λπ. είναι παραδείγματα μεγεθών:

προσδιορίζονται από την τιμή τους.

2. Σύγκριση Μεγεθών

Πώς συγκρίνουμε μεγέθη:

α) Υπολογίζουμε τη διαφορά τους:

• Η τιμή της βενζίνης χθες ήταν 1,70€ ανά λίτρο ενώ σήμερα είναι 1,72€.

Συγκρίνουμε: Η σημερινή τιμή είναι κατά 1,72—1,70= 0,02€ ακριβότερη.

β) Υπολογίζουμε το λόγο τους:

• Το βάρος του Νίκου είναι 80kg ενώ του σκύλου του είναι 8kg.

Συγκρίνουμε: �ά�� ί��

�ά�� ύ��=

��

�= 10

δηλαδή, το βάρος του Νίκου είναι 10πλάσιο του βάρους του σκύλου του.

Λόγος δυο μεγεθών είναι το πηλίκο των μέτρων τους.

Σχόλιο: Η σύγκριση είναι δυνατή μόνο αν τα μεγέθη είναι ομοειδή και εκφρασμένα με κοινή μονάδα μέτρησης.


10

Αναλογία

Αναλογία ονομάζουμε την ισότητα δυο λόγων

1) ��

��=

�

� ,

��

��=

�

� ,

άρα

��

��=

��

�

Σχήμα 1

2) 2 1

4 2

AB

BC= =

!"#$%ά ��

!#%ί&#'%()=

2

12=

1

12

Σχήμα 2

Η αναλογία α γ

β δ= είναι ισοδύναμη με τη σχέση α δ β γ⋅ = ⋅

Ανάλογα Ποσά

Έστω ότι 1kg αλεύρι κοστίζει 0,25€. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη σχέση Βάρους-Κόστους σε διάφορες

περιπτώσεις.

Κόστος (€) y 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 …

Βάρος (kg) x 1 2 3 4 5 6 …

Παρατηρούμε:

• Όταν οι τιμές του Βάρους διπλασιάζονται, τριπλασιάζονται κ.λπ., τότε οι αντίστοιχες τιμές του

Κόστους διπλασιάζονται, τριπλασιάζονται κ.λπ.

• Οι αντίστοιχες τιμές είναι ανάλογες: 0,25 0,50 0,75 1,00

... 0,251 2 3 4= = = = =

• Ο λόγος +ό��

�ά��=

-

. παραμένει σταθερός, εδώ ίσος με 0,25 €/kg.

Δυο ποσά x και y λέγονται ανάλογα, όταν ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερός.

ya

x= ή y a x= ⋅


11

Ο σταθερός λόγος a λέγεται συντελεστής αναλογίας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να εξετάσετε αν τα ποσά x, y που εμφανίζονται στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα. Αν ναι, να

υπολογίσετε τον συντελεστή αναλογίας a και να γράψετε την αντίστοιχη σχέση y= α x.

(α) y 1 2 3 4 5 (β) y 4 6 8 10 12

x 1 2 3 4 5 x 2 3 4 5 6

(γ) y 1 2 3 4 5 (δ) y 1 3 4 5 7

x 2 4 6 8 10 x 2 6 5 4 3

2. Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x,y) στις παραπάνω περιπτώσεις (α), (β), (γ), (δ).

Αν τα ποσά είναι ανάλογα, σχεδιάστε τις αντίστοιχες ημιευθείες.

Σχήμα 3


12

3. Τα ποσά y, x στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα , να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες:

(α) y=3x 1 2 3 (β) y=2x

x x 2 4 6

(γ) y=(2/3)x 6 12 15 (δ) y=5x 1 4

x x 15

4. Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x,y) στις παραπάνω περιπτώσεις (α), (β), (γ), (δ) και να

σχεδιάσετε τις αντίστοιχες ημιευθείες.

Σχήμα 4

Με τη βοήθεια των ανάλογων ποσών να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα 5 έως 9.

5. Αν 5 λίτρα γάλα στοιχίζουν 4,50€, πόσο στοιχίζουν τα 6 λίτρα γάλα;

6. Αν 4kg ελιές δίνουν 1kg λάδι, να υπολογίσετε

(α) Πόσα κιλά ελιές χρειαζόμαστε για να πάρουμε 100kg λάδι;


13

(β) Πόσο λάδι δίνουν 350kg ελιές;

7. Αν ένας Η/Υ στοιχίζει 350€, ποια θα είναι η νέα τιμή του αν

(α) σημειωθεί αύξηση 2% (β) σημειωθεί μείωση 5%;

8. Τρεις εργάτες εργάστηκαν σε ένα έργο και έλαβαν συνολική αμοιβή 1800€. Αν ο πρώτος εργάστηκε 3

ημέρες, ο δεύτερος 4 ημέρες και ο τρίτος 5 ημέρες, πώς θα μοιραστούν ανάλογα την συνολική αμοιβή;

Ποιος είναι ο συντελεστής της αναλογίας;

9. Σε περίοδο εκπτώσεων, ένα κατάστημα προσφέρει έκπτωση 25% σε όλα τα είδη.

(α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την αρχική τιμή x με την τελική τιμή y.

(β) Ποιος είναι ο συντελεστής της αναλογίας;

(γ) Πόσο είναι η έκπτωση σε προϊόν που αρχικά στοίχιζε 35€;

(δ) Να σχεδιάσετε την ημιευθεία των ανάλογων ποσών x, y.

Σχήμα 5


14

10. Στην παρακάτω γραφική παράσταση ανάλογων ποσών ( Σχήμα 6) να υπολογίσετε:

10.1. Το συντελεστή της αναλογίας.

10.2. Την τεταγμένη του σημείου Κ αν η τετμημένη του είναι 21

5.

10.3. Την τετμημένη του σημείου Λ αν η τεταγμένη του είναι 5

8.

Σχήμα 6


15

ΠΟΣΟΣΤΑ

Προσαρμοσμένες Σημειώσεις

1ο Πρόβλημα

Η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 12€. Αν σημειωθεί αύξηση 5%, ποια θα είναι η καινούργια τιμή του;

Η σκέψη: Για κάθε 100€ θα χρειαστεί να πληρώσουμε 105€. Άρα, για κάθε 1€ θα χρειαστεί να πληρώσουμε

1,05€. Έτσι για τα 12€, θα χρειαστεί να πληρώσουμε 12€ επί 1,05.

Η Λύση: 1, 05 12 12,60⋅ = €.

Αλλιώς: Αρχικά υπολογίζουμε την αύξηση: 5

5%·12 12 0,60100

= ⋅ = . Η καινούργια τελική τιμή τα είναι

12+0,60=12,60€

Σχέση αρχικής (x) – τελικής τιμής (y) : 1, 05y x= ⋅

Γενικά, αν ένα ποσό x αυξηθεί κατά %a , τότε η αύξηση θα είναι ίση με 100

ax⋅

και η τελική αυξημένη τιμή είναι ίση με 1100 100

a ay x x x

= + ⋅ = + ⋅

Η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 12€. Αν σημειωθεί έκπτωση 5%, ποια θα είναι η νέα τιμή του;

Η σκέψη: Για κάθε 100€ θα χρειαστεί να πληρώσουμε 95€. Άρα, για κάθε 1€ θα χρειαστεί να πληρώσουμε 0,95€.

Έτσι για τα 12€, θα χρειαστεί να πληρώσουμε 12€ επί 0,95.

Η Λύση: 0,95 12 11, 40⋅ = €.

Αλλιώς: Αρχικά υπολογίζουμε την έκπτωση: 5

5%·12 12 0,60100

= ⋅ = . Η καινούργια τελική τιμή τα είναι

12-0,60=11,40€

Σχέση της αρχικής τιμής (x) με την τελική τιμή (y) : 0,95y x= ⋅

Γενικά, αν ένα ποσό x μειωθεί κατά %a , τότε η μείωση θα είναι ίση με 100

ax⋅

και τελική μειωμένη τιμή θα είναι ίση με 1100 100

a ay x x x

= − ⋅ = − ⋅

Παρατήρηση: Τα ποσά Αρχική Τιμή — Τελική Τιμή σε περιπτώσεις ποσοστιαίας μεταβολής, είναι ανάλογα.


16

2ο Πρόβλημα (αντίστροφο του 1

ου )

Η τελική τιμή ενός προϊόντος μετά από αύξηση 5% είναι 12,60€. Ποια ήταν η αρχική τιμή του πριν την

αύξηση;

Η σκέψη: Η τελική τιμή προέκυψε πολλαπλασιάζοντας την (άγνωστη) αρχική τιμή επί 1,05. Άρα η αρχική τιμή

θα προκύψει με διαίρεση της τελικής τιμής δια 1,05. Με τη γλώσσα των εξισώσεων: Αν ονομάσουμε την αρχική

τιμή «x», τότε 1, 05 12,60x⋅ = , άρα 12,60

1, 05x = .

Η Λύση: Η αρχική τιμή είναι ίση με 12,60

121, 05

= .

Η τελική τιμή ενός προϊόντος μετά από έκπτωση 5% είναι 11,40€. Ποια ήταν η αρχική τιμή του πριν την

έκπτωση;

Η σκέψη: Η τελική τιμή προέκυψε πολλαπλασιάζοντας την (άγνωστη) αρχική τιμή επί 0,95. Άρα η αρχική τιμή

θα προκύψει με διαίρεση της τελικής τιμής δια 0,95. Με τη γλώσσα των εξισώσεων: Αν ονομάσουμε την αρχική

τιμή «x», τότε 0,95 11, 40x⋅ = , άρα 11, 40

0,95x = .

Η Λύση: Η αρχική τιμή είναι ίση με 11, 40

120,95

= .

Το 3ο Πρόβλημα

1. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε από 12€ στα 12,60€. Ποιο είναι το ποσοστό αύξησης;

Η σκέψη: Η αύξηση είναι 12,60—12=0,60. Είναι αύξηση η οποία αντιστοιχεί στα 12€. Αυτή η αύξηση

αντιπροσωπεύει τα 0,60

0, 0512= της τιμής, δηλαδή το 5% της αρχικής τιμής.

Η Λύση: 12,60 12 0,60

0,0512 12

−= = οπότε το ποσοστό είναι 5%.

Γενικά, αν είναι γνωστή η αρχική τιμή και η τελική τιμή ενός ποσού, το ποσοστό μεταβολής υπολογίζεται από

τη σχέση:

/0�1�ή /13ή4��51�ή /13ή

��51�ή /13ή∙ 100%


17

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

18 +8%

25 − 10%

48,60 +8%

47,60 − 15%

125 140

160 120

2. Εισπράκτορας ασφαλίστρων εισέπραξε από ασφάλιστρα πελατών 8540€. Αν η προμήθειά του είναι

2%, πόσα χρήματα θα κρατήσει και πόσα θα αποδώσει;

3. Ένας έμπορος αγοράζει μια συσκευή 125€ και την πουλά 200€. Πόσο είναι το ποσοστό κέρδους του;

4. Μια επιχείρηση είχε έσοδα από πώληση προϊόντων 28560€. Πόσα χρήματα πρέπει να αποδώσει στο

κράτος, αν ο ΦΠΑ που παρακρατεί η επιχείρηση από τους πελάτες είναι 19%;

5. Μια ορθογώνια λαμαρίνα διαστάσεων 40cm επί 80cm θερμαίνεται με αποτέλεσμα να διασταλεί η κάθε

της διάσταση κατά 2%. Πόσο είναι η νέα τιμή της περιμέτρου και πόσο το ποσοστό αύξησης της

περιμέτρου; Πόσο είναι η νέα τιμή του εμβαδού και πόσο το ποσοστό αύξησής του;

6. Η τιμή ενός προϊόντος αυξάνεται αρχικά κατά 10% και στη συνέχεια μειώνεται κατά 10%. Πότε είναι

πιο συμφέρουσα η αγορά του, τη στιγμή μετά την αύξηση ή μετά τη μείωση;

7. Στο κατάστημα Α, ένας Η/Υ αρχικής τιμής 650€ πωλείται με έκπτωση 20% . Στο κατάστημα Β ο ίδιος

Η/Υ πωλείται με αρχική τιμή 590€ και έκπτωση 12,5%. Ποια προσφορά είναι πιο συμφέρουσα για τον

καταναλωτή;


18

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. Τοποθετείστε στην ευθεία των αριθμών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς:

1 3 72, 3, 3, 2, 1, 1, 0, , ,

2 4 2+ − + − + − − + −

2. Ποιος από τους παραπάνω αριθμούς έχει (α) τη μικρότερη (β) τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή;

3. Πώς προσθέτουμε ομόσημους και πώς ετερόσημους ρητούς αριθμούς;

4. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι; Δώστε παραδείγματα

5. Πόσο είναι το άθροισμα δυο αντίθετων αριθμών;

6. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσματα:

(i) ( ) ( ) ( )1 ( 2) 3 4A = + + + + + + +

(ii) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4B = − + − + − + −

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4C = + + − + + + −

(iv) ( ) ( ) ( ) ( )2014 2014 2013 2013D = + + − + + + −

(v) ( )1 2 4

17 7 7

E = − + − + − + −

7. Μαθαίνουμε:

( )α β α β− = + −

8. Παραδείγματα

(i) ( )5 8 5 8 3− = + − = −

(ii) ( )8 5 8 5 3− = + − = +

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 2 3 4 5 15− − − − = − + − + − + − = −

(iv) ( ) ( ) ( )3 4 5 6 3 4 5 6 8 10 2− + − = + − + + − = + − = −

9. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσματα

(i) 3 2 5A = − − 3 2 5B = − + − 3 2 5C = − − +

(ii) 5 6 7 9D = − + − + 5 6 7 9E = − + − 5 6 7 9F = − − + −

10. Με βάση ποιους κανόνες απαλείφουμε παρενθέσεις;

11. Χρησιμοποιώντας την έννοια του αντίθετου αριθμού, να λύσετε τις εξισώσεις:

(i) 3 1x + = −

(ii) 3 1x − = −

(iii) 3x− =

(iv) 7x− = −

(v) 3 0x+ =

(vi) 3 5x− + =

(vii) 3 10x+ = −

(viii) 0,5 2,5x + = −

12. Με απαλοιφή παρενθέσεων υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων:

(i) ( ) ( ) ( )1 2 3 4A = − − − + − − −

(ii) ( ) ( ) ( )1 2 3 4B = + + − + − +

(iii) ( ) ( )1 2 3 5 7 1Γ = − + − − −

13. Πώς πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πώς ετερόσημους ρητούς αριθμούς;

14. Υπολογίστε τα παρακάτω γινόμενα:

(i) ( ) ( ) ( )1 2 3 4A = − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

(ii) ( ) ( ) ( )1 2 3 4B = − ⋅ + ⋅ − ⋅ −

(iii) ( ) ( ) ( )1 2 3 4B = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

(iv) ( ) ( ) ( )1 2 3 4B = − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

15. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι;

16. Υπολογίστε τα παρακάτω γινόμενα:

(i) 2 3 3 4

3 2 4 3A

= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

(ii) 1 1

4 54 5

B = ⋅ − ⋅ ⋅ −

(iii) 1 2 3 4

2 3 4 5C

= − ⋅ − ⋅ ⋅ −

17. Μαθαίνουμε:

1αα

β β= ⋅

18. Υπάρχει ο αντίστροφος του 0;

19. Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι;

20. Υπολογίστε τα εξαγόμενα:

(i) 4 4 4 4

2 2 2 2A

− −= + + +

− −

(ii) 10 10 6

25 5 3

B− −

= + + −− −

(iii) 3 2

2 32 3

C = ⋅ − − ⋅ −

(iv) 3 23 123

( 1 1)4 31 321

D = − + ⋅ ⋅ ⋅ −

21. Να γράψετε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών


20

2 2− 1 1− 2

3

2

3−

22. Χρησιμοποιώντας την έννοια του αντίστροφου, να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 3 1x⋅ = − ii) 3

12x− ⋅ = iii)

3 2

2 3x− ⋅ = −

iv) 3

34

x− ⋅ = v) 45

x= −

− vi) 1 5x− ⋅ =

23. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(i) ( ) ( )7 9 3 1 5x− ⋅ = ⋅ − −

(ii) ( ) ( ) ( )7 9 3 1 5x− + = ⋅ − ⋅ −

(iii) 1 1 5

2 3 6x

− ⋅ =

(iv) 1 1 5

2 5 3x

− + ⋅ =

24. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων:

(i) 1 2 3+ ⋅

(ii) 1 2 3− ⋅

(iii) ( ) ( )1 2 3+ − ⋅ −

(iv) ( ) ( )1 2 3− − − ⋅ −

(v) ( )2 2 3⋅ − +

(vi) ( ) ( ) ( )2 2 3− + + ⋅ −

(vii) ( ) ( )5 1 3 8 1− + ⋅ − −

(viii) ( ) ( )32 3 2 3 2⋅ − + ⋅ − −

(ix) ( ) ( )1 7 10 5 1 2− ⋅ − + ⋅ − −

(x) ( ) ( )1 7 10 5 1 2− ⋅ − + ⋅ − −

(xi) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 4+ − ⋅ + − −

(xii) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 4⋅ − + + ⋅ −

(xiii) ( ) ( )2 3

1 2 3 2 2+ ⋅ − + ⋅ −

(xiv) 3 25 5 2 3 2− ⋅ − ⋅

(xv) ( ) ( )3 2

5 5 2 3 2− ⋅ − − ⋅ −

25. Αν 2a = − , 3b = − και 1c = − , να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

(i) 3 2 5A a b c= − +

(ii) B a b b c c a= ⋅ + ⋅ + ⋅

(iii) ( ) ( )C a b b c= − ⋅ −


21

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Σχεδιάστε ένα σημείο Α και τρεις ευθείες (ε), (ζ) και (η) που διέρχονται από το Α.

2. Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο;

3. Σχεδιάστε δυο διαφορετικά σημεία Α και Β και την ευθεία (ε) που διέρχεται από αυτά.

4. Πόσες ευθείες διέρχονται από δυο διαφορετικά σημεία;

5. Πόσες ευθείες διέρχονται από τρία διαφορετικά σημεία;

6. Πόσες ευθείες διέρχονται από τέσσερα διαφορετικά σημεία;

7. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α αυτής. Πόσες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε) με αρχή το

σημείο Α;

8. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και δυο σημεία Α και Β αυτής. Πόσες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε) με αρχή

το Α ή το Β;

9. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και δυο σημεία Α και Β αυτής.

Πόσες αντικείμενες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε);

10. Σχεδιάστε τρία σημεία Α, Β, Γ μη συνευθειακά και τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ.

11. Σχεδιάστε ένα τυχαίο τρίγωνο. Ονομάστε τις κορυφές του, τις πλευρές του και τις γωνίες του.

12. Σχεδιάστε ένα σημείο Ο και δυο τυχαίες ημιευθείες Οχ και Οψ με αρχή το Ο.

13. Σχεδιάστε ένα σημείο Ο και δυο αντικείμενες ημιευθείες Οχ και Οψ.

14. Σχεδιάστε τέσσερα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά, και όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από

αυτά.

15. Τι ονομάζεται απόσταση δυο σημείων Α, Β;

16. Σχεδιάστε ένα σημείο Κ και δυο σημεία Α, Β που απέχουν απόσταση 2cm από το Κ.

17. Τι ονομάζεται μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος;

18. Σχεδιάστε ένα ευθ.τμήμα ΑΒ=3cm και το μέσον του Μ. Πόσο είναι η απόσταση ΑΜ;

19. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 600

20. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 600 και τη διχοτόμο της Οα.

21. Σχεδιάστε μια ορθή γωνία αΟβ. Πόσο είναι το μέτρο της;

22. Ποια γωνία ονομάζεται ορθή;

23. Σχεδιάστε μια ορθή γωνία χΟψ και τη διχοτόμο της Οδ. Πόσο είναι το μέτρο της χΟδ;

Σχήμα 7

24. Ποια γωνία ονομάζεται οξεία και ποια αμβλεία;

25. Στο παρακάτω τρίγωνο γράψτε ποιες γωνίες είναι οξείες και ποιες αμβλείες.


22

Σχήμα 8

26. Ποια γωνία ονομάζεται ευθεία και ποια πλήρης;

27. Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 9)

• Οξεία είναι η γωνία ……..

• Αμβλεία είναι η γωνία ………

• Ευθεία είναι η γωνία ……..

Σχήμα 9

28. Σχεδιάστε μια ευθεία γωνία χΟψ και τη διχοτόμο της Οδ. Πόσο είναι το μέτρο της χΟδ;

29. Ποιες ευθείες ονομάζονται κάθετες;

30. Σχεδιάστε δυο ευθείες ε1, ε2 με ε1⊥ε2 (Σχήμα 10) και τις διχοτόμους των ορθών γωνιών που σχηματίζονται.

Πόσες μοίρες είναι η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι;


23

Σχήμα 10

31. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 11):

• Μεταξύ των πλευρών (ΑΒ, ΑΓ) περιέχεται η γωνία …………….

• Μεταξύ των πλευρών (ΒΑ, ΒΓ) περιέχεται η γωνία …………….

• Μεταξύ των πλευρών (ΓΑ, ΓΒ) περιέχεται η γωνία …………….

Σχήμα 11

32. Στο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 11):

• Προσκείμενες γωνίες της ΑΒ είναι οι …..

• Προσκείμενες γωνίες της ΒΓ είναι οι …..

• Προσκείμενες γωνίες της ΓΑ είναι οι …..

33. Σχεδιάστε μια ημιευθεία Οχ και την κάθετή της Οψ.

34. Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ και δυο κάθετες σε αυτό ημιευθείες Αχ, Βψ.

35. Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ και δυο κάθετες σε αυτό ευθείες (ε) και (ζ) που διέρχονται από τα σημεία Α

και Β αντίστοιχα.

36. Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής και ποιες διαδοχικές;

37. Σχεδιάστε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ και ΒΟΓ μέτρου 400 και 60

0 αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΟΓ

(Σχήμα 12)


24

Σχήμα 12

38. Σχεδιάστε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ και ΒΟΓ μέτρου 400 και 60

0 αντίστοιχα (Σχήμα 12) και τις διχοτόμους

τους Οα και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η γωνία αΟβ;

39. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές;

40. Αν ˆ 30οω = , πόσες μοίρες είναι η παραπληρωματική της;

41. Σχεδιάστε δυο τυχαίες εφεξής παραπληρωματικές γωνίες χΟψ και ψΟζ.

42. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές;

43. Αν ˆ 30οω = , πόσες μοίρες είναι η συμπληρωματική της;

44. Σχεδιάστε δυο τυχαίες εφεξής συμπληρωματικές γωνίες χΟψ και ψΟζ.

45. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 600, την εφεξής παραπληρωματική της ψΟζ και τις διχοτόμους τους Οα

και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η ψΟζ και πόσες η αΟβ;

46. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 600, την εφεξής συμπληρωματική της ψΟζ και τις διχοτόμους τους Οα

και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η ψΟζ και πόσες η αΟβ;

47. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν και ποια είναι η σχέση μεταξύ τους;

48. Σχεδιάστε δυο κατακορυφήν γωνίες.

49. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 400 και την κατακορυφήν της χ΄Οψ΄. Υπολογίστε τις αμβλείες γωνίες του

σχήματος.

50. Σχεδιάστε μια γωνία χΟψ μέτρου 600, την κατακορυφήν της χ΄Οψ΄ και τις διχοτόμους τους Οα και Οα΄

αντίστοιχα. Υπολογίστε τη γωνία αΟα΄. (Συμπληρώστε το Σχήμα 13).


25

Σχήμα 13

51. Ποιες ευθείες ενός επιπέδου ονομάζονται παράλληλες;

52. Ποιες ευθείες ονομάζονται τεμνόμενες;

53. Σχεδιάστε παράλληλες της (ε) που διέρχονται από τα σημεία Ζ και Η (Σχήμα 14). Πόσες ευθείες

παράλληλες της (ε) διέρχονται από το σημείο Ζ;

Σχήμα 14

54. Τι ονομάζεται απόσταση ενός σημείου Α από μια ευθεία (ε);

55. Μετρήστε τη απόσταση των σημείων Ζ και Η από την ευθεία (ε) στο Σχήμα 14

56. Σχεδιάστε ευθεία (ε) και σημείο Α που απέχει 3cm από την (ε).

57. Σχεδιάστε ευθεία (ε), μια κάθετη σε αυτήν ευθεία (η) και δυο σημεία Α, Β της (η) που απέχουν απόσταση

2cm από την (ε).

58. Τι ονομάζεται απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών;

59. Σχεδιάστε δυο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση EZ=3cm (Σχήμα 15).


26

•

Σχήμα 15

60. Στο Σχήμα 15 να σχεδιάσετε με χρήση του διαβήτη σημεία Α, Β της ε2 που απέχουν από το Ε απόσταση

5cm. Πόσο είναι οι αποστάσεις ΑΖ και ΒΖ;

61. Σχεδιάστε δυο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση EZ=3cm. Να σχεδιάσετε σημείο Κ του ΕΖ που

απέχει 2cm από την ε1 και 1cm από την ε2. Να φέρετε την παράλληλη (ζ) από το Κ προς τις ε1, ε2. Πόσο

είναι η αποστάσεις της (ζ) από τις ε1 και ε2 αντίστοιχα;

62. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ;

63. Τι ονομάζεται χορδή και τι τόξο ΑΒ ενός κύκλου (Κ,ρ);

64. Τι ονομάζεται διάμετρος ενός κύκλου;

65. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος;

66. Σχεδιάστε ένα κύκλο (Κ,ρ) με ρ=2cm και μια διάμετρό του ΑΒ. Πόσο είναι η απόσταση ΑΒ;

67. Σχεδιάστε σημείο Κ και τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ που απέχουν απόσταση 3cm από το Κ.

68. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm και τον κύκλο με διάμετρο ΑΒ.

69. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm και τον κύκλο με διάμετρο ΑΒ. Βρείτε δυο σημεία Γ, Δ του

κύκλου που απέχουν από το Α απόσταση 2cm. Να σχεδιάσετε τη χορδή ΓΔ. Τι γωνία σχηματίζει η ΓΔ με

την ΑΒ;

70. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm, όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Α 3cm και

όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Β 5cm. Βρείτε εκείνα τα σημεία που απέχουν

ταυτόχρονα 3cm από το Α και 5cm από το Β (Συμβουλευτείτε το Σχήμα 16)


27

Σχήμα 16

71. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές μήκους ΑΒ=3cm,

AΓ=4cm και ΒΓ=5cm. Μετρήστε τη γωνία ΒΑΓ και γράψτε το αποτέλεσμα. (Συμβουλευτείτε το Σχήμα 17)

Σχήμα 17

72. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές μήκους

3cm. Μετρήστε τις γωνίες του ΑΒΓ (βλ. Σχήμα 18)


28

Σχήμα 18

73. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση BΓ=4cm και

πλευρές ΑΒ=ΑΓ=3cm.

74. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση BΓ=4cm και τις

προσκείμενες στη βάση γωνίες ίσες με � 30 , 60B = Γ =� �ɵ

75. Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ=4cm και τα σημεία του Γ, Δ ώστε ΑΓ=3cm και ΒΔ=2cm. Κατόπιν σχεδιάστε

τους κύκλους (Α,ΑΓ) και (Β,ΒΔ). Ονομάστε Ε, Ζ τα σημεία τομής των δύο κύκλων (βλ. Σχήμα 19)

Σχήμα 19

i) Πόσο είναι το μήκος ΑΕ και πόσο το ΑΖ;

ii) Πόσο είναι το μήκος ΒΕ και πόσο το ΒΖ;

iii) Πόσο είναι τα μήκη ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ;

iv) Με το γνώμονα διαπιστώστε ότι ΕΖ⊥ΑΒ.

76. Αν ΟΜ είναι η απόσταση του κέντρου Κ ενός κύκλου (Κ,ρ) από μια ευθεία (ε), συμπληρώστε τα κενά στις

παρακάτω προτάσεις:


29

i) Αν ΟΜ>ρ, τότε η ευθεία είναι …………………………………. του κύκλου.

ii) Αν ΟΜ<ρ, τότε η ευθεία είναι …………………………………. του κύκλου.

iii) Αν ΟΜ=ρ, τότε η ευθεία είναι …………………………………. του κύκλου.

77. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Κ,3cm) και ένα σημείο του Μ. Να φέρετε με χρήση του γνώμονα την εφαπτομένη

του κύκλου στο σημείο Μ.

78. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 4cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,3cm). Ποια είναι η θέση της

ευθείας ως προς τον κύκλο;

79. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 3cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,4cm). Ποια είναι η θέση

της ευθείας ως προς τον κύκλο;

80. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 4cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,4cm). Ποια είναι η θέση της

ευθείας ως προς τον κύκλο;

81. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Α,3cm) και μια χορδή του ΓΔ. Να φέρετε τις εφαπτόμενες (ε) και (ζ) του κύκλου

στα σημεία Γ και Δ. Αν οι (ε), (ζ) τέμνονται σε σημείο Ε, να συγκρίνετε με το διαβήτη τα ευθ. τμήματα ΕΓ

και ΕΔ. Τι παρατηρείτε; (Σχήμα 20)

i) Στο Σχήμα 20 να συγκρίνετε τις γωνίες ΓΕΑ και ΔΕΑ.

ii) Στο Σχήμα 20 να συγκρίνετε τις γωνίες ΓΑΕ και ΔΑΕ.

iii) Στο Σχήμα 20 να διαπιστώσετε με τη βοήθεια του γνώμονα ότι ΓΔ⊥ΑΕ.

Σχήμα 20


30

82. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Κ,3cm) και μια επίκεντρη γωνία αΚβ = 1200 (Σχήμα 21). Αν οι πλευρές Οα και Οβ

τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να φέρετε τις εφαπτόμενες (ε) και (ζ) του κύκλου στα

σημεία Γ και Δ. Αν οι (ε), (ζ) τέμνονται στο σημείο Ε,

i) Να μετρήσετε τις γωνίες ΓΚΕ και ΔΚΕ και να συμπεράνετε ότι η ΚΕ είναι διχοτόμος της γωνίας

ΓΚΔ.

ii) Με το διαβήτη να συγκρίνετε τα τμήματα ΕΓ και ΕΔ. Τι παρατηρείτε;

iii) Να μετρήσετε τη γωνία ΓΕΔ και να συμπεράνετε ότι είναι παραπληρωματική της ΓΚΔ.

iv) Να μετρήσετε τη γωνία ΓΖΕ και να συμπεράνετε ότι ΓΖ⊥ΚΕ.

v) Με το διαβήτη να συγκρίνετε τις αποστάσεις ΓΖ και ΔΖ.

Σχήμα 21


31

Αξονική Συμμετρία

83. Να αντιγράψετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 22) και να σχεδιάσετε το συμμετρικό

τους ως προς άξονα την ευθεία (ε).

Σχήμα 22

84. Να αντιγράψετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 23) και να σχεδιάσετε το συμμετρικό

τους ως προς την ευθεία (ε).


32

Σχήμα 23

85. Να σχεδιάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3cm και το συμμετρικό του ως προς άξονα ε⊥ΑΒ

(Σχήμα 24)

Σχήμα 24

86. Να σχεδιάσετε κύκλο (Α, 3cm) και την εφαπτομένη του (ε) σε σημείο του Β. Κατόπιν να σχεδιάσετε τον

συμμετρικό κύκλο ως προς την (ε) (Σχήμα 25)


33

Σχήμα 25


34

87. Να σχεδιάσετε κύκλο (Α, 3cm), μια ακτίνα του ΑΒ και την ευθεία (ε) κάθετη στην ΑΒ σε απόσταση 2cm

από το κέντρο Α. Σχεδιάστε τον συμμετρικό κύκλο ως προς την (ε) (Σχήμα 26).

i) Ποιο είναι το συμμετρικό του ΑΔ;

ii) Ποιο είναι το συμμετρικό του ΑΕ;

iii) Ποιο είναι το συμμετρικό του Β;

Σχήμα 26


35

88. Σχεδιάστε δυο κάθετες μεταξύ τους ευθείες (ε) και (ζ) και τρίγωνο ΟΔΖ όπως στο Σχήμα 27. Βρείτε

διαδοχικά το συμμετρικό:

i) του ΟΔΖ ως προς (ε)

ii) του ΟΔ΄Ζ΄ ως προς (ζ)

iii) του ΟΔ΄΄Ζ΄΄ ως προς (ε)

Ποιο είναι το συμμετρικό του ΟΔ΄΄΄Ζ΄΄΄ ως προς (ζ);

Σχήμα 27

89. Τι ονομάζουμε άξονα συμμετρίας ενός σχήματος;

90. Άξονας συμμετρίας ενός κύκλου είναι οποιαδήποτε ……………. του.

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

91. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος;

92. Ποια ιδιότητα χαρακτηρίζει τα σημεία της μεσοκαθέτου;

93. Αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, δηλαδή αν ΜΑ=ΜΒ τότε το Μ

ανήκει στην …………..…….του ΑΒ.

94. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα και τη μεσοκάθετό του (με κανόνα και διαβήτη).

95. Άξονας συμμετρίας ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι η …………………….. του.

96. Άξονας συμμετρίας ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι η ………………. κάθε πλευράς του.

97. Να χωρίσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 7cm σε τέσσερα ίσα μέρη.

98. Να κατασκευάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 4cm και τους άξονες συμμετρίας του.


36

99. Να κατασκευάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ (όπως στο Σχήμα

28).

Σχήμα 28

Αν Ο είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε

να δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας;

100. Να σχεδιάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. (Το σχήμα που θα

προκύψει θα είναι όπως το Σχήμα 29).

Σχήμα 29

Αν Ο είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε

να δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας;


37

101. Να σχεδιάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός αμβλυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Σχήμα 30). Αν Ο

είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να

δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας;

Σχήμα 30

102. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ΟΑ. Κατόπιν να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο της ακτίνας

ΟΑ. Αν αυτή τέμνει τον κύκλο στα σημεία Μ και Ν, να συγκρίνετε τα τμήματα ΜΟ, ΜΑ και ΝΟ, ΝΑ

(Σχήμα 31). Αιτιολογήστε.

Σχήμα 31

103. Σχεδιάστε έναν κύκλο και δυο τυχαίες χορδές του ΕΖ, ΓΔ. Να φέρετε τις μεσοκαθέτους των ΕΖ και ΓΔ.

Διαπιστώστε ότι οι μεσοκάθετοι διέρχονται από το κέντρο του κύκλου (Σχήμα 32) Μπορείτε να το

δικαιολογήσετε;


38

Σχήμα 32

104. Να βρείτε το κέντρο του παρακάτω κύκλου (Σχήμα 33).

Σχήμα 33

105. Να βρείτε το σημείο της ευθείας (ε) (Σχήμα 34) που ισαπέχει από τα Α και Β.


39

Σχήμα 34

106. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης (Σχήμα 35) που ισαπέχει από τα Α και Β.

Σχήμα 35

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ

107. Τι ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος;

108. Πότε τα δυο σημεία Α, Α΄ ονομάζονται συμμετρικά ως προς κέντρο Ο;

109. Αν τα σημεία Α και Α΄ είναι συμμετρικά ως προς κέντρο Ο, τότε το σημείο Ο είναι …… του ευθυγράμμου

τμήματος ΑΑ΄.

110. Κατασκευάστε τα συμμετρικά των παρακάτω σχημάτων ως προς κέντρο Ο:


40

Σχήμα 36

Σχήμα 37


41

Σχήμα 38

Σχήμα 39


42

Σχήμα 40

Σχόλιο: Η συμμετρία ως προς κέντρο «περιστρέφει» το αντικείμενο κατά 180ο.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΤΡΙΤΗ ΕΥΘΕΙΑ

111. Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (β, γ), (β, α), (δ, γ), (δ, α) σύμφωνα με την παρακάτω διατύπωση:

«Οι γωνίες (β, γ) ονομάζονται εντός εναλλάξ» (Σχήμα 41)

Σχήμα 41

112. Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (ζ, θ), (ζ, ε), (η, θ), (η, ε) ( Σχήμα 42)


43

Σχήμα 42

113. Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (α, β), (γ, δ), (α, δ), (γ, β) (Σχήμα 43)

Σχήμα 43

114. Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 44) με 1 / / 2ε ε , να βρείτε:

i) Τις κατακορυφήν γωνίες

ii) Τις εφεξής παραπληρωματικές γωνίες

iii) Τις εντός εναλλάξ γωνίες

iv) Τις εντός και επί τα αυτά γωνίες

v) Τις ίσες γωνίες

vi) Τις παραπληρωματικές γωνίες


44

Σχήμα 44

115. Να σχεδιάσετε τα κατάλληλα σχήματα σε καθεμιά από τις Ασκήσεις 1, 4 και 5 της σελίδας 216 του

σχολικού σας βιβλίου και να τις λύσετε.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Σχήμα 45

116. Στο παραπάνω τρίγωνο ( Σχήμα 45 ), να ονομάσετε τις κορυφές του, τις γωνίες του και τις πλευρές του.

117. Πώς ταξινομούνται τα τρίγωνα βάσει των γωνιών τους;

118. Πώς ταξινομούνται τα τρίγωνα βάσει των πλευρών τους;

119. Ποια ονομάζονται «δευτερεύοντα στοιχεία» ενός τριγώνου;


45

120. Σχεδιάστε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα:

Σχήμα 46

121. Σχεδιάστε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα:

Σχήμα 47

Παρατηρείστε ότι τα ύψη του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο (: ορθόκεντρο του τριγώνου)


46

122. Να σχεδιάσετε τις διαμέσους στα παρακάτω τρίγωνα:

Σχήμα 48

Παρατηρήστε ότι οι διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (: κέντρο βάρους του τριγώνου).

123. Να σχεδιάσετε τις διαμέσους στα παρακάτω τρίγωνα:

Σχήμα 49


47

124. ***Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά ΒΓ=8cm, γωνία Β=110ο και γωνία Γ=25

ο ( Σχήμα 50). Στη

συνέχεια να κατασκευάσετε τις διχοτόμους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ των γωνιών Α, Β και Γ αντίστοιχα.

Παρατηρείστε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο. Ονομάστε αυτό το σημείο Ι. Να φέρετε τις αποστάσεις

ΙΗ, ΙΘ και ΙΚ του Ι από τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε αυτές τις αποστάσεις και να

παρατηρήσετε ότι είναι ίσες μεταξύ τους. Χαράξτε τον κύκλο (Ι, ΙΗ). Διέρχεται από τα σημεία Θ και Κ;

Γιατί;

Σχήμα 50

Σχόλιο: Ο παραπάνω κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ.

125. Μελετήστε τα Παραδείγματα – Εφαρμογές στις σελ.222, 223 του σχολικού βιβλίου.

126. Να λύσετε τις Ασκήσεις 1 έως 9 της σελ. 224.

127. Να υπολογίσετε τη γωνία Γ λύνοντας την κατάλληλη εξίσωση κάθε φορά. Ποιο είναι το είδος του

αντίστοιχου τριγώνου ( ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο);

128. ˆ ˆ45 , 55Α = Β =� � 129. ˆ ˆ24 , 48Α = Β =� � 130. ˆ ˆ58 , 32Α = Β =� �

131. ˆ ˆ16 , 74Α = Β =� � 132. ˆ ˆ35 , 48Α = Β =� � 133. ˆ ˆ75 , 40Α = Β =� �

Να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις γράφοντας την κατάλληλη εξίσωση κάθε φορά:

134. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ˆ90 , 35Α = Β =� � , να υπολογίσετε τη γωνία Γ.

135. Σε ισοσκελές τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ˆ 38Α = � , να υπολογίσετε τις ˆ ˆ,Β Γ .

136. Σε ισοσκελές τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ˆ 38Β = � , να υπολογίσετε τις ˆ ˆ,Α Γ .


48

137. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες που σημειώνονται (εξίσωση!)

Σχήμα 51

Σχήμα 52

Σχήμα 53


49

Σχήμα 54

Σχήμα 55


50

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ 1

Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τον 2, τον 3 και τον 5.

Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι ;

Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις:

(i). Ο αριθμός 12345 διαιρείται με τον 2 (iii). Ο αριθμός 12345 διαιρείται με τον 3

(ii). Ο αριθμός 12345 διαιρείται με τον 5 (iv). Ο αριθμός 12345 είναι πρώτος

ΘΕΩΡΙΑ 2

Α. Nα συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες

(i) ...1

a= (ii)

0...

a= (iii) ...

a

a= (iv) ...

a λ

β λ

⋅=

⋅

B. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις

(i) Αν 1

12013

x −= , τότε x - 1 =… άρα x = …

(ii) Αν 1

02003

x −= , τότε x - 1 =… άρα x = …

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία 6000€. Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά, κράτησε ο ίδιος

ως αμοιβή τα 2

5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες

εργασίας τους. Αν ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 3, να υπολογίσετε:

(i) Πόσο στοίχισαν τα υλικά.

(ii) Πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη.

(iii) Πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού.


51

ΑΣΚΗΣΗ 2

Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων:

(i) Α= 23 2 5+ ⋅

(ii) B=7 3 5

5 5 3− ⋅

(iii) Γ= ( )2 7 3 52 3 2 5 5 104 : 2

5 5 3

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ −

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε, ζ είναι παράλληλες, η γωνία ˆ ˆ 25oOAB a= = και η γωνία ˆ ˆ 70BO οϕ∆ = =

. Να υπολογίσετε τις γωνίες

(i) ω (ii) x (iii) β (iv) γ

25o

a ====

70οοοοϕϕϕϕ ====

ε

ζ

Δ

Α

Γ

B

O

ω

β

γ δ

χ


52

ΘΕΩΡΙΑ 1

Α. (i) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι;

(ii) Γράψτε τους αντίστροφους των αριθμών (α) 3

5 (β) 10 .

Β. (i) Να συμπληρώσετε τα κενά της παρακάτω πρότασης:

«Για να βρούμε το πηλίκο της διαίρεσης δυο κλασμάτων, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον

………………. του διαιρέτη, δηλαδή :α γ

β δ= »

(ii) Να υπολογίσετε τα πηλίκα των διαιρέσεων:

(α) 6 3

:5 5

(β) 2

: 23

Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω

σχέσεις:

(i). 2 1 3

3 3 6+ =

(ii). 3

5 35⋅ =

(iii).

1

2 12

4

=

(iv). 1000

11001

<

ΘΕΩΡΙΑ 2


53

Α. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις

(1) Απόσταση δύο σημείων ονομάζεται το ………… του ευθύγραμμου τμήματος που

ενώνει τα σημεία.

(2) Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια

………………. τού τριγώνου με το …………….…. της απέναντι πλευράς.

B. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της αριστερής στήλης με το σωστό αντίστοιχό του της

δεξιάς στήλης

1. Διάμεσος

Α.

Β.

Γ.

Α

ΒΓΕ

Α

Β

Δ

Γ


54

2. Ύψος

3. Διχοτόμος

4. Μεσοκάθετος

Δ.

Ε.

Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις

1. Σκαληνό ονομάζουμε ένα τρίγωνο όταν έχει τις τρεις πλευρές του άνισες.

2. Δυο εφεξής γωνίες έχουν άθροισμα 180o

3. Οι γωνίες 060 και 0300 είναι παραπληρωματικές

Α

Β

Γ

Δ

Α

Β Γ

Ζ

Α Β

Γ

Δ


55

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας τεχνίτης πήρε από μια εργασία 10800€. Το 12,5% του ποσού το δαπάνησε στα υλικά. Τα 3

5

του αρχικού ποσού το κράτησε ως αμοιβή του. Τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του

ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Αν ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 5, να

υπολογίσετε:

(i) Πόσο στοίχισαν τα υλικά.

(ii) Πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη.

(iii) Πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού.

ΘΕΩΡΙΑ 1

Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τους 3, 4 και 10.

(Κριτήρια Διαιρετότητας με τους αριθμούς 3, 4, ή 10 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους

μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με

αυτούς τους αριθμούς.)


Δώστε ένα παράδειγμα πρώτου αριθμού μεγαλύτερου του 13.

Γ. Nα αντιγράψετε τις παρακάτω προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή

«Λάθος». Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

(α). Ο αριθμός 54321 διαιρείται με τον 3

(β). Ο αριθμός 54328 διαιρείται με τον 4

(γ). Ο αριθμός 3745 διαιρείται με τον 10

(δ). Ο αριθμός 123 είναι πρώτος


56

ΘΕΩΡΙΑ 2

Α. Nα γράψετε πότε δυο γωνίες ονομάζονται

(α) Παραπληρωματικές

(β) Συμπληρωματικές

(γ) Κατακορυφήν

Β. (α) Να σχεδιάσετε μια γωνία 30ο και την παραπληρωματική της.

(β) Να σχεδιάσετε μια γωνία 70ο και τη συμπληρωματική της.

(γ) Να σχεδιάσετε δυο κατακορυφήν γωνίες 40ο.

ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία 12000€. Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά,

κράτησε ο ίδιος ως αμοιβή τα 2

5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο

βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο

δεύτερος 3 μέρες.

(i) Υπολογίστε το 25% των 12000€ και γράψτε πόσο στοίχισαν τα υλικά.

(ii) Υπολογίστε τα 2

5 των 12000€ και γράψτε πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη.

(iii) Υπολογίστε πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού.

ΑΣΚΗΣΗ 2



57

(α). Α= 24 3 2− ⋅

(β). B=3 3 5

5 5 3− ⋅

(γ). Γ= ( )2 3 3 5 812 4 3 2 5

5 5 3 3

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

(Υπόδειξη: Για το (γ), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα των ερωτημάτων (α) και (β)).

ΑΣΚΗΣΗ 3

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών οργάνων,

(α) να σχεδιάσετε τρία ευθύγραμμα τμήματα τα οποία να έχουν μήκη 3cm, 5cm και 4cm

αντίστοιχα.

(β) να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές τα παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα (διαβήτης).

(γ) να μετρήσετε τη μεγαλύτερη γωνία και να γράψετε πόσο είναι το μέτρο της.

ΑΣΚΗΣΗ 2


(iv) A = 25 3 5+ ⋅

(v) 5 3 5

4 5 3B = − ⋅

(vi) 2 8 2

A B

A BΓ =

⋅ + ⋅ −

:

ΑΣΚΗΣΗ 3


58

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες BΓ και ΑΕ είναι παράλληλες, η γωνία 0ˆ 60ΒΑΓ = και η γωνία

ˆ 74οω = . Να υπολογίσετε τις γωνίες (αιτιολόγηση)

(i) φ (ii) x (iii) y (iv) a


Δώστε ένα παράδειγμα πρώτου αριθμού μεγαλύτερου του 14.

Γ. Nα αντιγράψετε τις παρακάτω προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή

«Λάθος». Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

(α). Ο αριθμός 54321 διαιρείται με τον 2

(β). Ο αριθμός 54321 διαιρείται με τον 3

60o

Α

Β

Γ

Εφ

x

y

α

ω


59

(γ). Ο αριθμός 3740 διαιρείται με τον 5

(δ). Ο αριθμός 12345 είναι πρώτος

ΘΕΩΡΙΑ 2








ΑΣΚΗΣΗ 1

Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία 6000€. Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά, κράτησε

ο ίδιος ως αμοιβή τα 2

5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του

ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 3 μέρες.

(i) Υπολογίστε το 25% των 6000€ και γράψτε πόσο στοίχισαν τα υλικά.

(ii) Υπολογίστε τα 2

5 των 6000€ και γράψτε πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη.

(iii) Υπολογίστε πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού.


60

ΑΣΚΗΣΗ 2


(α). Α= 23 2 5− ⋅

(β). B=7 3 5

5 5 3− + ⋅

(γ). Γ= ( )2 7 3 5 1802 3 2 5 5

5 5 3 2

⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ −

(Υπόδειξη: Για το (γ), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα των ερωτημάτων (α) και (β)).

ΑΣΚΗΣΗ 3

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών οργάνων,

(α) να σχεδιάσετε τρία ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τα οποία να έχουν μήκη

3cm, 5cm και 4cm αντίστοιχα.

(β) να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές τα παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα (διαβήτης).

(γ) να μετρήσετε τη γωνία ΒΑΓ και να γράψετε πόσο είναι το μέτρο της.

ΘΕΩΡΙΑ 1

Α. (i) Ποια κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα ; Γράψτε δυο ομώνυμα κλάσματα

(ii) Πώς συγκρίνουμε δυο ομώνυμα κλάσματα; Να συγκρίνετε τα ομώνυμα που γράψατε στο

προηγούμενο ερώτημα.

Β. (i) Να συμπληρώσετε τα κενά της παρακάτω πρότασης:


61

«Το άθροισμα δυο ομώνυμων κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το .................. των

αριθμητών και παρονομαστή τον ................

(ii) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

(α) 6 3

5 5+ (β)

21

3+

ΘΕΩΡΙΑ 2

Α. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις

(1) Απόσταση δύο σημείων ονομάζεται το ................ του ευθύγραμμου τμήματος που

ενώνει τα σημεία.

(2) Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια

............................. τού τριγώνου με το .......................... της απέναντι πλευράς.

B. (i) Nα σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΜ.

(ii) Nα σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ.

ΑΣΚΗΣΗ 1

Η αμόλυβδη βενζίνη στοιχίζει 1€ το λίτρο και η τιμή της αυξάνεται 2%. Ποια είναι η νέα της τιμή;

ΑΣΚΗΣΗ 2


A = 22 2 3+ ⋅ 3 3 7

2 7 3B = − ⋅ ( )2 3 3 7

2 2 3 :2 7 3

Γ = + ⋅ − ⋅

ΑΣΚΗΣΗ 3

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες BΓ και ΑΕ είναι παράλληλες, η γωνία 0ˆ 60ΒΑΓ = και η γωνία

ˆ 74οω = . Να υπολογίσετε τις γωνίες (αιτιολόγηση)

(i) φ (ii) x (iii) y (iv) a


62

ΘΕΩΡΙΑ 1

Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τους 2, 3 και 5.

(Κριτήρια Διαιρετότητας με τους αριθμούς 2, 3, ή 5 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε

να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με αυτούς τους

αριθμούς.)

B. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις.

(α) Ο αριθμός 5421 διαιρείται με τον 2

(β) Ο αριθμός 5421 διαιρείται με τον 3

(γ) Ο αριθμός 3740 διαιρείται με τον 5

(δ) Ο αριθμός 40 είναι πρώτος

60o

Α

Β

Γ

Εφ

x

y

α

ω


63

ΘΕΩΡΙΑ 2








ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ …gym-kastell.ker.sch.gr/main/math/A REVIEW...

Documents

Transcript of ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ …gym-kastell.ker.sch.gr/main/math/A REVIEW...