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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA

Obtención de la Función de Transferenciade Sistemas mediante la Identificación

Paramétrica a partir de datosExperimentales UNIDAD 0 CONTROL II

Dr. Agustín Flores Novelo

11/02/2013


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0.1 Identificación paramétrica de sistemas

0.1.1 Objetivo

Aplicar métodos sencillos para identificar los parámetros de un sistema a partir de datos

experimentales, obtenidos de la respuesta en tiempo del sistema mediante la excitación de

señales de tipo escalón y de señales en función de la frecuencia.

0.1.2 Introducción

Antes del diseño de cualquier tipo de controlador, es necesario conocer su función de transferencia.Cuando se trata de sistemas conocidos y que son utilizados para la enseñanza del control automático,

las funciones de transferencia de dichos sistemas están siempre disponibles. Por el contrario cuando se

desea realizar el diseño de un controlador para un sistema y este es un sistema físico real, por lo regular

se desconoce su función de transferencia, siendo un requisito indispensable conocerla para poderdiseñar el control apropiado para este.

Mediante el proceso de identificación se pretende obtener un modelo matemático del proceso que secomporte de una manera lo más aproximada posible al sistema real.

Sin embargo si se conocen experimentalmente en un momento dado, la excitación aplicada al

sistema y el curso temporal de la respuesta a esa excitación, es posible asociar un modelo al sistema y

es posible también determinar la relación entre variables y parámetros del sistema que correspondan almodelo que se le ha asociado a dicho sistema.

Al proceso de estructurar un modelo para un sistema y de determinar cuantitativamente a partir de

datos experimentales, la interrelación entre las variables y parámetros del proceso, recibe el nombre de“Identificación Paramétrica del Sistema” .

La forma más usual de identificar a un sistema es aplicar en su entrada una excitación conocida,obtener la respuesta y después tratar de ajustar un modelo conocido a las particularidades del sistema

sujeto a la identificación.

Las señales más frecuentemente usadas como excitaciones al hacer una identificación son:

Señal escalón

Señal senoidal de amplitud constante y frecuencia variable

A la identificación hecha por medio de una función escalón se le conoce como “I denti fi cación entiempo ” , y a la identificación hecha por medio de señales senoidales se le conoce como “I dentificaciónen f recuencia ” ; aunque en ambos casos el objetivo sea determinar la función de transferencia quemejor describa el comportamiento del sistema. Cabe destacar que en la actualidad existen algoritmos

computacionales que pueden obtener la función de transferencia de un sistema real con bastante precisión.


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0.2 Identificación en tiempo

Para realizar una identificación en tiempo, es necesario excitar al sistema por medio de una función

escalón (de preferencia unitaria) y conocer la respuesta a esta excitación. La mejor manera de conocerla respuesta es contar con una gráfica [() ] adecuadamente escalada, en la que sea posibleobservar el curso temporal de la respuesta desde el momento de aplicar la excitación hasta el

establecimiento del régimen permanente en el sistema.

Una de las características atractivas del método de identificación en tiempo es el hecho de que una

señal escalón siempre es fácil de generar.

Básicamente todos los procesos existentes en la naturaleza pueden clasificarse en dos tipos, sistemas

de primer orden y sistemas de segundo orden (muchos de los sistemas de orden superior pueden ser

aproximados por sistemas de segundo orden). Dentro de los cuales existen variantes, tal como se

especificará posteriormente.

0.2.1 Respuestas sobreamortiguadas

0.2.1.1 1º orden puro

La respuesta típica de estos sistemas no presenta sobreoscilación, esto quiere decir que nunca llegan

al valor exacto de la consigna y por lo tanto, son sistemas relativamente lentos. Esto se puede apreciar

en la figura 1.

Figura 1. Respuesta del sistema de 1º orden puro

La función de transferencia de un sistema de 1º orden es la siguiente:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO

RESPUESTA AL ESCALÓNC(t)

C(∞)

U(t)

T

0.63*C(∞)


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()

donde es la ganancia del sistema ()()

T es la constante de tiempo

El valor de la constante de tiempo se obtiene sobre la gráfica, para ello se observa el tiempo

correspondiente a un valor del 63% (). Normalmente se trabaja con un factor denominado tiempo deestablecimiento, que suele estar comprendido entre un 95 – 98 %. Este factor determina el tiempo en elcual la respuesta se estabiliza entre los límites indicados a ese porcentaje.

0.2.1.2 1º orden con retardo

La respuesta típica de este tipo de sistemas, presenta la misma configuración que un sistema de 1º

orden puro, en el cual la respuesta presenta un desfase o retardo respecto a la señal de entrada. Lo

anterior se puede apreciar en la figura 2.

Figura 2. Respuesta del sistema de 1º orden con retardo


()



L es el retardo de tiempo

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)

T

0.63*C(∞)

L


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Igual que para el caso anterior el valor de la constante de tiempo se obtiene sobre la gráfica, para

ello se observa el tiempo correspondiente a un valor del 63% (). Normalmente se trabaja con unfactor denominado tiempo de establecimiento, que suele estar comprendido entre un 95 – 98 %. Este

factor determina el tiempo en el cual la respuesta se estabiliza entre los límites indicados a ese porcentaje.

0.2.1.3 Polos reales múltiples

La respuesta de este tipo de sistemas varía según la cantidad de polos existentes, conforme aumenta

el número de polos la respuesta es más lenta, teniendo al inicio un arranque con mayor suavidad. Esto

se puede apreciar en la figura 3.

Figura 3. Respuestas de sistemas con polos reales múltiples

La función de transferencia de un sistema de polos reales múltiples es la siguiente:

()

()



n número de polos del sistema

Para obtener la función de transferencia de este tipo de sistemas se puede utilizar el “Método deStrejc ”. Este método se emplea para la identificación de sistemas de polos múltiples, mediante los parámetros Tu y Ta obtenidos sobre la respuesta del sistema. Emplea una línea recta de pendientemáxima superpuesta sobre la zona de pendiente, de modo que el valor del parámetro Tu se obtiene con

el corte del eje de abscisas y el valor del parámetro Ta se obtiene con el corte de una paralela al eje de

abscisas, en el punto donde la respuesta está estable. Lo anterior se muestra en la figura 4.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G N I T U D

TIEMPO


U(t)

N = 1

N = 2

N = 3

N = 4


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Figura 4. Parámetros de Strejc

Tras obtener el valor de las variables Tu y Ta, se obtiene el valor de Tu/Ta. Con este valor se va a latabla de Strejc y se toma el valor más próximo, que determina el número de polos múltiples “n”.

Tabla 1. Número de polos múltiples

Se toman los parámetros

y

, y se despeja en cada ecuación , si los dos valores no coincidensignifica que el sistema no se ajusta bien a un sistema de polos múltiples. Si por el contrario el valor

obtenido es muy próximo al de la tabla se tendrá un sistema de orden “n”.

0.2.1.4 Polos reales distintos

Si la respuesta es sobreamortiguada, y no se ajusta a ningún sistema visto hasta ahora y


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Figura 5. Respuesta de un sistema de polos distintos

La función de transferencia de un sistema de 2 polos distintos es la siguiente:

()

()( )


y son las constantes de tiempo

Un método simple para obtener las constantes de tiempo del sistema de polos distintos es primero

aplicar el método de Strejc y luego hacer ajustes en las constantes de tiempo a prueba y error, hastaobtener la respuesta lo más precisa posible.

0.2.2 Respuestas subamortiguadas

Este tipo de respuestas presentan sobreoscilacion y un periodo transitorio con oscilación, y se deben

a sistemas con polos complejos conjugados.

0.2.2.1 Sistemas estándar de segundo orden

La mayoría de los sistemas industriales se comportan como un sistema de este tipo, en el cual posteriormente el control pretende limitar parámetros como la sobreoscilacion, tiempo de

establecimiento y error en régimen permanente. La respuesta típica de una función de transferencia de polos complejos se puede apreciar en la figura 6.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G

N I T U D

TIEMPO

RESPUESTA AL ESCALÓN


8/18

Figura 6. Respuesta de un sistema estándar de segundo orden

La función de transferencia de un sistema estándar de segundo orden está dada por la siguiente

expresión:

()


Frecuencia natural del sistema Factor de amortiguamiento

Los parámetros que describen a este tipo de respuesta son los siguientes:

()

()

de donde

|()|

[()]

El tiempo al cual ocurre el sobretiro máximo está dado por:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 0.5 1 1. 5 2 2.5 3 3 .5 4 4.5 5

M A G

N I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)


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de donde

0.2.2.2 Sistemas estándar de segundo orden con retardo

La respuesta típica de una función de transferencia de polos complejos con un retardo se puede

apreciar en la figura 7.

Figura 7. Respuesta de un sistema estándar de segundo orden con retardo

La función de transferencia de un sistema estándar de segundo orden está dada por la siguiente

expresión:

()


Frecuencia natural del sistema Factor de amortiguamiento

Los parámetros que describen a este tipo de respuesta se determinan de la misma forma que para elcaso del sistema estándar de segundo orden incluyendo el tiempo de retraso L, que puede ser

determinado de la figura 7.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

M A G N

I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)

L


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0.2.3 Sistemas inestables

Un tipo de sistema inestable es un sistema de 1º orden con integrador, cuya función de transferencia

es la siguiente.

()

( )

Un criterio simple para poder obtener el parámetro que caracteriza al sistema, es poner en el origen

un polo, y proponer una contante de tiempo , hasta obtener la respuesta real. La función detransferencia (), debe estar en lazo cerrado.

0.2.4 Desarrollo de ejemplos

0.2.4.1 Ejemplo 1

Obtener la función de transferencia del sistema cuya respuesta ante un escalón de 2 volts se presentaen la figura 8.

Figura 8. Respuesta del sistema ante una entrada escalón de 2 volts

Del oscilograma de la figura 8 se puede observar que el sistema es totalmente sobre-amortiguado

por lo que se ve razonable tratar de aproximarlo por un sistema de primer orden sin retardo, por lo quese procede a sacar la constante de tiempo del circuito de acuerdo a la representación de un sistema de

primer orden sin retardo. Esto se puede observar en la figura 9.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G N I T U D

TIEMPO



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Figura 9. Determinación de la contante de tiempo del sistema de 1º orden


()


T es la constante de tiempo, y de la figura 9, se observa que tiene un valor de 2, por lo que la

función de transferencia queda:

()

Si comparamos la respuesta de la función de transferencia obtenida, con la respuesta real del sistemase tiene:

Figura 10. Comparación del sistema original con el propuesto

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G

N I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)

T

0.63*C(∞)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G

N I T U D

TIEMPO


Sistema Original

Sistema Propuesto


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Lo anterior demuestra que efectivamente la función de transferencia ()

caracteriza al

sistema real de una manera muy precisa.

Es necesario comentar que la respuesta anterior también puede ser debida a un sistema de segundo

orden, es decir si el sistema tiene polos reales distintos o polos reales iguales el sistema no oscilará. Porlo tanto si se toma la respuesta del sistema del ejemplo 1 y se trata de aproximar por uno de segundo

orden, se observa que al tratar de dibujar la pendiente para la obtención de las constantes por el métodode Strejc, es imposible representar gráficamente dicha pendiente por lo que NO es factible determinarlas constantes de Strejc, trayendo como consecuencia que el ejemplo 1 no sea factible de caracterizarlo

por uno de segundo orden.

0.2.4.2 Ejemplo 2

Obtener la función de transferencia del sistema cuya respuesta ante un escalón de 2 volts se presenta

en la figura 11.


Del oscilograma de la figura 11 se puede observar que el sistema es totalmente sobre-amortiguado

por lo que se ve razonable tratar de aproximarlo por un sistema de primer orden sin retardo, por lo quese procede a sacar la constante de tiempo del circuito de acuerdo a la representación de un sistema de

primer orden sin retardo. Esto se puede observar en la figura 12.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO



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Figura 12. Determinación de la contante de tiempo del sistema de 1º orden

Se puede observar de la figura 12, que el punto de intersección formado con el cruce de la pendientecon la referencia y el valor de la respuesta del sistema a un 63%, no toca a la curva de respuesta del

sistema, pero como el sistema no oscila, lo intentaremos resolver como un sistema de primer orden,

para observar que tan apegada estaría la respuesta propuesta con la real.


()


T es la constante de tiempo, y de la figura 12, se observa que tiene un valor de 1.4aproximadamente(valor que representa el 63% de la respuesta del sistema real), por lo que la funciónde transferencia queda:

()

Si comparamos la respuesta de la función de transferencia obtenida, con la respuesta real del sistema

se tiene:

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)

T

0.63*C(∞)

Punto de intersección no toca la

gráfica de respuesta del sistema


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Figura 13. Respuesta real contra respuesta obtenida

Se puede observar de la figura 13, que la respuesta real difiere de la respuesta obtenida, por lo que

se hará un segundo intento de identificación, pero ahora aproximando la respuesta del sistema a una de

segundo orden, ya que un sistema de segundo orden también puede presentar una respuesta sobreamortiguada como es el caso de la figura 13.

Para realizar esta aproximación se tomará el método de strejc comentado anteriormente, por lo quese traza la pendiente sobre la respuesta real del sistema para obtener los parámetros Tu y Ta, esto se

puede apreciar en la figura 14.

Figura 14. Obtención de los parámetros Tu y Ta

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO


Respuesta Real

Respuesta Obtenida

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M A G N I T U D

TIEMPO


C(∞)

U(t)


15/18

Si se calcula la constante de strejc se observa que:

El valor de es mucho menor a 0.104 por lo que no es factible aproximar al sistema por uno de polos reales repetidos. La otra opción es aproximar al sistema con un sistema de polos reales distintostomando como base los valores de y , y una con un valor de 1. Una función de transferenciacon la cual se puede iniciar el proceso de identificación tomando en cuenta lo anterior sería lasiguiente:

()

()( )

( )( )

La respuesta obtenida con estos parámetros, comparada con la del sistema real se puede observar en

la figura 15.

Figura 15. Respuesta obtenida para un incremento proporcional de 0.35 para y y de 1 para

Se puede ir dando valores a y , e ir variando también el valor de , hasta obtener la mejoraproximación de la respuesta del sistema. Como ejemplo tentativo una siguiente aproximación sería la

siguiente:

() ( )( )

La respuesta obtenida con estos parámetros, comparada con la del sistema real se puede observar enla figura 16.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G N I T U D

TIEMPO


Respuesta Real

Respuesta Obtenida


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Figura 16. Respuesta obtenida para la 1º aproximación de valores

Se puede observar que aunque la respuesta es bastante aproximada a la real, aun difiere un poco de

esta, por lo que se siguen haciendo aproximaciones para , y , hasta obtener la respuesta delsistema lo más parecida a la real. Después de varias aproximaciones los valores más aproximados a larespuesta real se muestran a continuación.

()

( )( )

La respuesta obtenida con estos parámetros, comparada con la del sistema real se puede observar en

la figura 17.

Figura 17. Respuesta obtenida para la 2º aproximación de valores

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G

N I T U D

TIEMPO


Respuesta Real

Respuesta Obtenida

Respuesta 1era Aprox

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G N I T U D

TIEMPO


Respuesta Real

Respuesta Obtenida

Respuesta 1era Aprox

Respuesta 2da Aprox


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0.2.4.3 Ejemplo 3

Obtener la función de transferencia del sistema cuya respuesta ante un escalón de 1 volts se presentaen la figura 18.


Observando la respuesta del sistema bajo análisis, se ve que es un sistema oscilatorio, por lo que

puede ser aproximado por un sistema de segundo orden con polos complejos conjugados.

Calculando el sobretiro máximo

()

()

Calculando el factor de amortiguamiento ξ

|()|

[()]

| ()|

() [ ()]

||

√

Calculando

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G N I T U D

TIEMPO



18/18

√

Calculando ()()

()()

Por lo tanto la función de transferencia queda

()

()()

()

La comparación de la respuesta del sistema propuesto con la respuesta real se puede apreciar en lafigura 19.

Figura 19. Comparación de las respuestas del sistema real y el propuesto

Se puede apreciar en la figura 19 que la respuesta del sistema propuesto prácticamente es igual a la

respuesta del sistema real.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

M A G

N I T U D

TIEMPO


Respuesta Real

Respuesta Obtenida

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