O Problema na Modelagem Matemática: determinação e ... · (2004), Biembengut e Hein (2007) e...

ISSN 1980-4415

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v33n64a15

Bolema, Rio Claro (SP), v. 33, n. 64, p. 748-767, ago. 2019 748

O Problema na Modelagem Matemática: determinação e

transformação

The Problem in Mathematical Modeling: determination and transformation

Rodrigo Dalla Vecchia*

ORCID iD 0000-0002-5914-985X

Marcus Vinicius Maltempi**

ORCID iD 0000-0001-5201-0348

Resumo

Este artigo tem por objetivo discutir o conceito de problema em Modelagem Matemática no contexto abrangido

pela Educação Matemática. Trata-se de resultado de uma pesquisa, norteada pela metodologia qualitativa, em

que realizamos um curso envolvendo a construção de jogos eletrônicos. A pergunta diretriz assumida é: como se

mostra o problema no processo de Modelagem Matemática envolvido na construção de jogos eletrônicos por

alunos de um curso de Licenciatura em Matemática? Como principal referencial teórico trazemos a visão

deleuziana de problema, que não associa o problema à dúvida nem à pergunta, colocando-o em um estado não

atual. A análise de dados, aliada a um aprofundamento teórico-filosófico, apresenta possíveis consonâncias entre

essa visão e as atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas. Como resultado, apresentamos que o modo

como o problema é determinado condiciona os encaminhamentos das situações desenvolvidas e,

consequentemente, o próprio processo de Modelagem Matemática.

Palavras-chave: Educação Matemática. Mundo Cibernético. Realidade. Scratch.

Abstract

In this paper, we discuss the problem concept in Mathematical Modeling in the context of Mathematics

Education. It is the result of a research guided by a qualitative methodology, where we set a course involving the

construction of electronic games. As the main theoretical reference, we bring Deleuze’s problem vision, that is

not associated with doubt or question, but with a non-actual state. Data analysis combined with a theoretical and

philosophical depth, led to the construction of a problem concept aligned with the mathematical modeling

activities we developed. As a result, we show that the way the problem is determined conditions the developed

situations and, therefore, the process of Mathematical Modeling.

Keywords: Mathematics Education. Cyber World. Reality. Scratch.

* Doutor Universidade Estadual Julio de Mesquista Filho (UNESP). Professor do Programa de Pós Grduação em

Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre, Rio Grande do

Sul, Brasil. Endereço para correspondência: Av. Bento Gonçalves, 9500 Prédio 43-111. Bairro Agronomia Porto

Alegre, RS, Brasil CEP: 91509-900. E-mail: [email protected]. ** Livre Docente em Educacao Matematica pela Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro/SP.

Professor do Programa de Pos-Graduacao em Educacao Matematica e do Departamento de Estatistica,

Matematica Aplicada e Computacao da UNESP, Rio Claro/SP. Endereco: Avenida 24A, 1515, Bela Vista, Rio

Claro, Sao Paulo, Brasil, CEP 13506-900. E-mail: [email protected].

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1 Introdução

Nosso objetivo principal neste artigo é discutir o conceito de problema no contexto da

Modelagem Matematica (MM) sob o viés da Educacao Matematica. Tanto na literatura

nacional (BARBOSA, 2001; ARAÚJO, 2002; BASSANEZI, 2004; BIEMBENGUT, HEIN,

2007; JAVARONI, 2007; MALHEIROS, 2008; KLÜBER, 2012; WEINGARTEN, 2015),

quanto na literatura internacional (POLLAK, H., 2007; BORROMEO FERRI, R.; BLUM,

2010; KAISER, G.; SCHWARZ, B.; TIEDEMANN, S, 2010) é possivel perceber que as

discussões acerca de MM envolvem também a ideia de problema.

Conforme Dalla Vecchia (2009, 2012), a ideia de problema (e também de realidade)

parece ser um aspecto que perpassa, de modo direto e indireto, distintas concepcões de MM.

Esse aspecto pode ser reforcado em trabalhos com vasta pesquisa bibliografica como as de

Klüber (2012), que buscam compreensao acerca da Modelagem Matematica no âmbito da

Educacao Matematica, apontando o problema como sendo um dos aspectos que se mostra.

Como forma de contextualizar o modo como o problema se relaciona com a MM,

trazemos uma visao classica e comumente aceita no cenario investigativo nacional e

internacional, dada por Borromeo Ferri e Blum (2010). Na perspectiva desses autores, o

processo de MM é visto como um ciclo e denotado por ciclo de modelagem (Figura 1), que

parte de uma situacao real problematica.

Nessa forma de conceber a MM, ha um conjunto de passos que sao seguidos e iniciam

apos a tarefa ser dada. O primeiro passo é, segundo os autores, imaginar a situacao

construindo um modelo para ela. Essa situacao é simplificada, estruturada e idealizada,

criando-se associacões entre a situacao investigada e a Matematica. Apos essa idealizacao, a

estrutura é vista sob o ponto de vista da Matematica e trabalhada matematicamente até

encontrar resultados, também matematicos. Esses resultados sao interpretados na situacao

real, sendo validados ou nao. Se nao forem validados, o ciclo recomeca, caso contrario o

processo se encerra com a exposicao do resultado obtido.

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Figura 1 – Ciclo de modelagem

Fonte: Borromeo Ferri; Blum (2010, p. 426).

Com pequenas variacões dessa visao, podemos ainda citar autores como Bassanezi

(2004), Biembengut e Hein (2007) e Kaiser, Schwarz e Tiedemann (2010) que, de modo geral,

mostram o aspecto apontado por Araújo (2002), iniciando o processo de MM a partir de uma

situacao problematica e culminando com uma solucao por meio de um modelo matematico.

Consideramos que o fato do problema ser parte fundamental do processo de MM, ja

justifica um aprofundamento em seu entendimento, ainda mais que, em nossa revisao de

literatura, praticamente nao encontramos artigos e pesquisas que focam nesse aspecto.

Entretanto, o principal motivador para investirmos em um aprofundamento no conceito esteve

relacionado à necessidade que sentimos ao buscarmos compreensões acerca dos

desdobramentos que o problema sofria ao longo do processo de MM em uma investigacao na

qual estudantes de um curso de Licenciatura em Matematica eram convidados a construir

jogos eletrônicos por meio da linguagem de programacao Scratch1. Nesse caso, entendemos

que a literatura existente nao dava sustentacao para explicar aquilo que vivenciavamos

naquela investigacao.

Com base nessa necessidade, levantamos como pergunta diretriz para o escopo desse

artigo o seguinte questionamento: como se mostra o problema no processo de Modelagem

Matematica envolvido na construcao de jogos eletrônicos por alunos de um curso de

Licenciatura em Matematica? Consideramos que, para buscar indicios de respostas, era

necessario contrastar os dados obtidos junto aos alunos com referências que trouxessem uma

visao nao superficial de problema.

Dentre as visões que encontramos, nos inspiramos na trazida por Deleuze (1988), que

afirma que o problema nao pode ser confundido com a dúvida, nem com a pergunta e nao se

1 Esse recurso será discutido na seção de metodologia.

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subordina a nenhuma proposicao que a ele se refere. Nesse contexto, a forma como o

problema é descrito, mostra apenas uma das potenciais interpretacões para ele, subordinada ao

contexto historico-social e à linguagem usada para sua determinacao. Neste artigo,

aprofundaremos essa visao entrelacando-a com o processo de MM.

Enfatizamos que buscaremos fazer associacões que devem ficar no âmbito de uma

inspiracao no conceito de problema trazido. Desse modo, nao se trata de considerar o

problema em MM como uma trama de tendências que abrange todos os aspectos identificados

por Deleuze (1988). Queremos apenas nos servir de suas ideias para buscar pontos de vista

que nos permitam criar linhas de fuga distintas das comumente consideradas na area

investigativa especifica da MM no âmbito da Educacao Matematica. O que buscamos é

consolidar um modo de compreender o problema que apresente aspectos consonantes com o

processo de construcao de modelos na MM encontrados em nossa producao de dados.

Visando alcancar nosso objetivo, apresentaremos o aporte teorico-filosofico que

embasa a visao de problema que assumimos. Em seguida, traremos os elementos

metodologicos da investigacao, orientada pelos pressupostos da pesquisa qualitativa. Com o

intuito de dar indicios à pergunta diretriz, traremos os dados buscando um entrelacamento

com o referencial, mostrando o surgimento de dúvidas e de perguntas que foram responsaveis

pela determinacao de todo o processo de modelagem. Por fim, faremos uma reflexao que

associa o problema ao processo de MM.

2 Problema: aspectos teóricos

Segundo o dicionario de filosofia Abbagnano (2007), o termo problema foi elaborado

inicialmente pela Matematica antiga e usado para designar uma classe de situacões que se

diferenciavam da nocao de teorema. Enquanto o teorema era concebido pelos matematicos

como qualquer proposicao demonstravel, o problema era visto como qualquer proposicao que

partia de certas condicões conhecidas (e assumidas como verdadeiras), para buscar alguma

coisa desconhecida. Essa perspectiva é trazida desde a Grécia antiga e ganhou forca nas ideias

de Kant, que entende que “[...] problemas sao proposicões demonstraveis que exigem provas

ou expressam uma acao cujo modo de execucao nao é imediatamente certo” (ABBAGNANO,

2007, p. 934).

Essa visao é criticada por Deleuze (1988), que entende que compreender o problema

desse modo remete a uma subordinacao dele ao contexto abrangido pela Matematica e,

consequentemente, pelas ciências. Segundo esse autor, ao assumir essa visao, todo problema

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sera considerado como tal somente se puder ser decalcado em “[...] proposicões que se

supõem preexistentes, opiniões logicas, teoremas geométricos, equacões algébricas, hipoteses

fisicas” (DELEUZE, 1988, p. 264). Por conseguinte, ha automaticamente uma reducao dos

problemas somente às formas de proposicao que sao capazes de lhes servir como casos de

solucao, fazendo com que o problema seja avaliado, segundo sua possibilidade de receber

uma resposta no contexto cientifico.

A critica levantada por Deleuze (1988) se potencializa no presente artigo,

principalmente se levarmos em consideracao a relacao entre ciência e realidade e o papel da

Modelagem Matematica nesse entrelacamento. Segundo Granger (1994), a ciência se refere

ao real, mas apresenta uma visao particular dele, dada segundo suas perspectivas e segundo

seus métodos. Tal visao, conforme Bicudo e Rosa (2010), nao abrange a experiência vivida no

âmbito do particular. Sendo assim, nos parece valido buscar uma compreensao de problema

que extrapole o contexto da ciência e se diferencie da apresentada em Abbagnano (2007).

No contexto que abrange a Educacao Matematica – em particular na Resolucao de

Problemas – a perspectiva de compreender problemas num campo que envolve somente a

ciência é atenuada. De fato, autores como Echeverria e Pozo (1998, p. 15) entendem o

problema como sendo “uma situacao que um individuo ou grupo quer ou precisa resolver e

para a qual nao dispõe de um caminho rapido e direto que o leve à solucao”. Similarmente

estao autores como Onuchic e Allevato (2005, p. 221), que entendem problema como “[...]

tudo aquilo que nao sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer”.

O que observamos dessas citacões é que ha distincões frente à perspectiva de

considerar o problema como sendo uma proposicao demonstravel e que exige provas,

apresentada em Abbagnano (2007). Embora em comum com essa ideia exista a consideracao

de nao uniformidade de encaminhamentos, parece haver implicito às consideracões dadas nas

duas últimas citacões uma abordagem subjetiva e intersubjetiva, que leva em consideracao os

envolvidos no processo. Em outras palavras, os problemas abrangem uma dimensao particular

que se distingue de outras situacões que se apresentam ao individuo (ou grupo) pelo fato de

nao conhecer caminhos que levam à solucao.

Com uma visao que também considera aspectos subjetivos na MM esta a perspectiva

defendida por Borba, Malheiros e Zullato (2007, p. 99-100), que entendem que o problema

pode ser visto como “[...] algo com uma parte subjetiva e outra objetiva, sendo a primeira

relacionada a um interesse pessoal e a segunda ligada a um obstaculo que de fato se apresenta

na existência da experiência de uma pessoa ou grupo”. Para elaborar essa visao, os autores se

basearam em Saviani (1996), que afirma que um problema nao pode ser reduzido apenas a

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uma questao, mas deve, necessariamente, estar associado a uma necessidade.

Entretanto, para compreender o conceito de problema, Saviani (1996) salienta que nao

basta focar a palavra necessidade, uma vez que ela pode fazer com que o conceito de

problema oscile em funcao da diversidade de cada individuo e da multiplicidade de situacões

que fazem parte do cotidiano diario de cada individuo. Sendo assim, destaca o problema como

tendo um lado subjetivo, baseado na conscientizacao de uma situacao de necessidade e outro

objetivo, relacionado à propria situacao que concretizou a necessidade. De forma mais

especifica, tem-se que:

A verdadeira compreensao do conceito de problema supõe [...] a necessidade. Esta

so pode existir se ascender ao plano consciente, ou seja, se for sentida pelo homem

como tal (aspecto subjetivo); ha, porém, circunstâncias concretas que objetivizam a

necessidade sentida, tornando possivel, de um lado, avaliar o seu carater real ou

suposto (ficticio) e, de outro, prover os meios de satisfazê-la. Diriamos, pois, que o

conceito de problema implica tanto a conscientizacao de uma situacao de

necessidade (aspecto subjetivo) como uma situacao conscientizadora da necessidade

(aspecto objetivo) (SAVIANI, 1996, p. 14-15).

Sendo assim, esse autor se preocupa em assumir uma visao abrangente, entendendo

que os aspectos subjetivos relacionados ao problema se configuram numa amplitude

abrangida pela necessidade, enquanto os aspectos objetivos tratam da propria situacao que

gerou a necessidade. Em particular, consideramos que, embora haja uma ampliacao da

compreensao, estas ideias se mostram consonantes com as defendidas por Echeverria e Pozo

(1998) e Onuchic e Allevato (2005), principalmente levando em consideracao a seguinte

afirmacao de Saviani (1996, p. 14): “[...] uma questao, em si, nao caracteriza o problema, nem

mesmo aquela cuja resposta é desconhecida; mas uma questao cuja resposta se desconhece e

se necessita conhecer; eis ai um problema”.

Apesar de concordarmos com algumas das ideias defendidas por este autor, ao nos

depararmos com situacões encontradas quando a MM tem como referência a realidade do

mundo cibernético2, tivemos necessidade de buscar uma visao distinta e que, além de

considerar os aspectos subjetivos e objetivos, acolhesse, principalmente, uma perspectiva de

transformacao do problema. É neste sentido que apresentamos uma visao de problema que se

baseia principalmente nas ideias apresentadas por Deleuze (1988). Essa perspectiva difere da

anterior por atentar para a relacao entre o problema e a proposicao que a ele se associa e

busca, de algum modo, descrevê-lo. Nesse sentido, o autor defende que o problema nao pode

ser confundido com a proposicao que o representa, tampouco deve ser reduzido à dúvida.

2 Consideramos, embasados em autores como Bicudo e Rosa (2010) e Lévy (1996), que o universo criado pelas

tecnologias digitais é uma dimensão da realidade e a adjetivamos como realidade do mundo cibernético.

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Em termos gerais a dúvida pode ser entendida como “[...] um estado subjetivo de

incerteza, ou seja, uma crenca ou opiniao nao suficientemente determinada, ou a hesitacao em

escolher entre a assercao da afirmacao e a assercao da negacao” (ABBAGNANO, 2007, p.

935). Tendo sua base na incerteza, a dúvida ja se constitui em uma espécie de vetor que

aponta na direcao de possiveis respostas.

Entretanto, nem todo problema pode ser reduzido à dúvida. A natureza deles difere no

sentido de que o problema nao é substituido pela resposta ou deixa de ocorrer quando é

resolvido. Como exemplo, Abbagnano (2007) traz que, ao encontrar a vacina de uma doenca,

tem-se a possibilidade de solucao para o problema. Porém, essa possibilidade nao elimina o

problema, uma vez que nao garante que a doenca nao ocorrera mais. Ja a dúvida, “[...] uma

vez resolvida, esta eliminada e é substituida pela crenca” (ABBAGNANO, 2007, p. 935).

Também, seguindo nosso referencial, consideramos que o problema e a proposicao que

a ele se refere assumem uma distincao de natureza. Nesse sentido, Deleuze (1988) afirma que

os problemas sao “extra-proposicionais”. A analogia que fazemos para esclarecer essa

afirmacao é a mesma da relacao entre uma paisagem, vista pelo pintor, e o quadro desenhado

por ele. Assim como a tela pintada nao é a situacao vista, mas sim uma representacao dela, a

proposicao nao é o problema, mas uma forma de representa-lo. Nisso devem ser levados em

consideracao os aspectos da linguagem usada para a representacao, os aspectos que dizem

respeito ao problema em si e o modo como o problema é interpretado pelos sujeitos que

buscam sua determinacao, isto é, a proposicao que a ele se refere.

Essa proposicao, ou o modo como o problema é expresso, é considerada uma forma de

conduzir o problema, ja indicando possiveis respostas e o caminho pelo qual o problema vai

se desvelar. Nesse sentido, Deleuze (1988, p. 265) afirma:

Por si mesma, uma proposicao é particular e representa uma resposta determinada.

Um conjunto de proposicões pode distribuir-se de tal maneira que as respostas que

elas representem formem os casos de uma solucao geral (assim, os valores de uma

equacao algébrica). Mas, precisamente, gerais ou particulares, as proposicões so

encontram sentido no problema subjacente que as inspira.

Com essa afirmacao, o autor mostra uma visao de problema anterior à proposicao que

o representa. Porém, cabe salientar que, a nosso ver, a nocao de “resposta” que a proposicao

assume, esta diretamente associada à ideia que esse filosofo traz de pergunta. De modo geral,

aponta que nao considera existir uma biunivocidade entre problemas e questões, mas ressalva

a importância da pergunta como orientadora, como uma espécie de condutor na direcao da

solucao. Em outras palavras, a pergunta

[...] exprime, portanto, a maneira pela qual um problema é desmembrado, cunhado,

traido na experiência e pela consciência, de acordo com seus casos de solucao

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apreendidos como diversos. Embora nos dê uma ideia insuficiente, ela nos inspira,

assim, o pressentimento do que ela desmembra (DELEUZE, 1988, p. 257).

Esse papel que a pergunta assume, conforme Deleuze (1988), esta sempre atrelado ao

quadro social de onde parte a inquietacao, trazendo pontos de vista, considerando a

experiência vivida e os possiveis interlocutores, levando em consideracao as respostas

passiveis de serem dadas.

Deleuze (1988), em suas argumentacões, nao apenas distingue o problema no modo

como é representado, mas também analisa a relacao existente entre este e sua solucao, pois

afirma que um “[...] problema se determina ao mesmo tempo em que é resolvido; mas sua

determinacao nao se confunde com a solucao: os elementos diferem por natureza, e a

determinacao é como a gênese da solucao concomitante” (p. 267).

Para compreender essa afirmacao, é importante salientar que, em suma, o problema é

considerado por esse autor como uma estrutura potencial ou nao atual, nao se deixando

apreender por nenhuma proposicao que a ele se refere. À medida que ha uma imersao do

sujeito ou dos sujeitos no problema, ha uma busca por sua determinacao, que pode ser

entendida, grosso modo, como uma espécie de atualizacao do problema, em termos de

linguagem, sob a forma de proposicões (interrogativas, afirmativas, descritivas, etc.).

Entretanto, o modo como é expresso ja influencia e conduz a busca por solucões, isto

é, a determinacao do problema é o inicio, é a gênese que norteia a busca por uma solucao.

Mas essa determinacao é apenas um caso particular do problema, podendo haver outras

formas de interpretar e conceber a situacao que esta sendo investigada. Desse modo, distintas

formas de conceber a situacao podem levar a distintos encaminhamentos, podendo gerar

distintas solucões.

Inspirado nessa perspectiva, consideramos que é possivel compreender problema

como um conjunto de condicões nao atuais e indeterminadas que dizem respeito a uma dada

situacao e que gera um campo de conflitos que vai assumindo um carater mais ou menos

estavel, à medida que vai sendo determinado. É essa a perspectiva de problema que

assumimos para o presente artigo.

3 Metodologia e procedimentos de pesquisa

O presente artigo visa encontrar indicios para a pergunta: como se mostra o problema

no processo de Modelagem Matematica envolvido na construcao de jogos eletrônicos por

alunos de um curso de Licenciatura em Matematica? A metodologia utilizada para realizar

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essa investigacao foi a qualitativa, cujo proposito fundamental, conforme Santos Filho e

Gamboa (2000) e Bogdan e Biklen (1994), é a compreensao, a explanacao e a interpretacao

do fenômeno estudado, o que entendemos estar em consonância com a pergunta que

propusemos.

Para buscar respostas ao questionamento norteador, ministramos um curso intitulado

“Construcao de Jogos Eletrônicos”. Participaram do curso oito alunos de graduacao de um

curso de Licenciatura em Matematica. As atividades ocorreram ao longo de oito sabados, de

maio a julho de 2009, no Laboratorio de Ensino e Aprendizagem com Tecnologias, das 8h às

12h, somando um total de 4 encontros.

O principal programa usado na construcao dos jogos foi o Scratch, que é um software

livre desenvolvido no MIT (Massachusetts Institute of Technology). Constitui-se como uma

linguagem de programacao visual e permite ao usuario construir interativamente suas proprias

historias, animacões, jogos, simuladores, ambientes visuais de aprendizagem, músicas e arte.

Os comandos sao visualizados por meio de blocos que sao arrastados para uma area especifica

e conectados, formando a programacao do ambiente (Figura 2).

Figura 2 – Programação no Scratch.

Fonte: Dados da pesquisa (2012).

O conjunto de informações provenientes das falas, interações entre os participantes,

interações com os software e outras mídias e gestos, constituíram parte fundamental do acervo

de dados que foram utilizados na busca por respostas à questão norteadora. Tais dados foram

capturados por filmagens em câmeras e, principalmente, por meio do software Camtasia. Este

último permitiu que, em um mesmo vídeo, fossem capturados a imagem da tela do

computador e imagem e som das discussões envolvendo os participantes. Durante a segunda

etapa do curso foram realizadas 16 gravações de 3,5 horas cada, em média, totalizando 56

horas de gravação.

Em termos metodológicos, a utilização de vídeos é defendida por Powell, Francisco e

Maher (2004) que afirmam existir pelo menos dois ganhos potenciais de registros ao utilizar

essa forma de armazenamento de dados como uma fonte de pesquisa: a densidade e a

permanência. Segundo eles, a densidade tem como vantagem sobre um observador a

capacidade de monitorar eventos simultâneos de forma detalhada, revelando diferentes

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comportamentos desenvolvidos bem como a vantagem de possibilitar áudio e vídeo

simultaneamente. Quanto à permanência, refere-se à possibilidade de rever várias vezes os

acontecimentos vivenciados, auxiliando na eficácia da análise:

Análises detalhadas de vídeos e de dados longitudinais, assim como os de curto

prazo, tornam-se mais eficazes a partir de múltiplas sessões de visualização. O vídeo

não apenas nos permite múltiplas visões, mas também possibilita visões sobre

múltiplos pontos de vista (POWELL, FRANCISCO, MAHER, 2004, p. 91).

A analise dos dados consistiu-se em um olhar atento e reflexivo frente aos

acontecimentos do processo de construcao dos modelos que compõem os jogos eletrônicos

elaborados pelos alunos. Norteados pela pergunta diretriz, os dados gravados no Camtasia

foram transcritos. Essa transcricao envolveu todas as falas dos participantes ao longo do

processo de construcao dos jogos. Posteriormente esses dados foram organizados, buscando

uma nova leitura, levando em consideracao as anotacões feitas durante o processo de

producao, a troca de ideias com os pares e as inquietacões levantadas ao longo, tanto da

transcricao, quanto da revisao de literatura.

As reflexões frente às primeiras impressões fizeram com que parte da sustentacao

teorica fosse repensada. Dentre os elementos revistos, a ideia de problema foi um dos que se

mostrou relevante a nos, apresentando caracteristicas que mostravam processos distintos do

que a literatura tratava. Desse modo, embora neste artigo tenhamos apresentado o referencial

de problema anterior aos dados, na sequencialidade temporal da investigacao ele foi feito a

posteriori, consequência da imersao nos dados.

Assumida uma visao de problema, foram criados episodios, entendidos como

“historias” que dizem respeito aos fatos ocorridos ao longo da producao de dados, que

mesclam transcricões literais e analises frente às acões e posicionamentos tomados pelos

envolvidos nas construcões dos jogos eletrônicos, trazendo luz à questao orientadora. Devido

à linguagem especifica dada pela propria natureza do Scratch, optamos por associar aos

episodios, sempre que necessario, imagens que se referem tanto aos modelos criados pelos

alunos, quanto à atualizacao deles no jogo.

Buscando atender aos critérios éticos, foi solicitado aos estudantes autorizacao para

utilizacao dos dados. Os nomes usados nas transcricões feitas foram ficticios, pretendendo

com isso preservar a identidade de cada participante. Com vistas a um melhor entendimento

do processo de analise e para uma melhor contextualizacao, apresentaremos na proxima secao

recortes do episodio que gerou as discussões apresentadas nesse artigo.

4 O problema e a Modelagem Matemática: o que mostram os dados?

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Apresentaremos o episodio que nomeamos por “Movimento do Carro”, que trata do

processo de construcao de um modelo, escrito na linguagem Scratch, que condiciona o

movimento de um objeto representado graficamente pela imagem de um automovel.

Destacamos que, para o escopo abrangido por este artigo, compreenderemos as construcões

feitas por meio do Scratch, como modelos matematico-tecnologicos. Esses modelos, por

terem sua base dada pela tecnologia, podem incorporar em sua estrutura aspectos sonoros e

estético-visuais, abrangendo também elementos da lingua falada, configurando assim um tipo

de modelo que se diferencia daqueles que comumente sao utilizados em uma linguagem

matematica formal.

Buscando ainda reforcar as associacões com a Modelagem Matematica, salientamos

que entendemos a construcao de um jogo eletrônico como a reuniao de pequenos modelos

especificos, que tratam das particularidades e problematicas encontradas em cada aspecto que

constitui o proprio jogo. Assim, aspectos como movimentacao de objetos, entrelacamentos

entre diferentes objetos e fluxos condicionais sao analisados como problemas especificos e

possuem construcões (modelos) especificas que os determinam e conduzem.

Na especificidade deste artigo apresentamos o problema que envolve a movimentacao

de um objeto buscando fazer com que sua atualizacao na tela do computador permaneca em

uma regiao visual especifica. Esse problema envolve as discussões e construcões feitas pela

dupla de estudantes Ana e Laura (nomes ficticios), no dia 17 de julho de 2009. Também

participaram dos dialogos o professor/pesquisador (P) e o monitor (V) que estavam presentes

nesse dia. Nesse encontro, a participante Ana nao compareceu, portanto os dialogos sao

compostos, em sua maioria, pelas falas da estudante Laura e do professor/pesquisador.

O objetivo da dupla era criar um objeto carro que desviaria de outros objetos que

seriam tomados como obstaculos colocados em uma pista. Com esse intuito, partiram para a

construcao do cenario e dos elementos que constituiriam o jogo. Apos encontrarem uma

figura para o cenario do jogo, dedicaram seu tempo a modelar a interacao dos obstaculos,

observando posicao, velocidade, deslocamento e aspecto visual. Iniciaram, ainda, a

construcao do modelo que estava associado ao movimento do carro. Criaram uma estrutura

que envolvia o objeto carro e um conjunto de comandos relativos a esse que pode ser

visualizado3 na Figura 3.

3 Ao longo da apresentação dos dados a qualidade das figuras poderá variar. Tal fato ocorre, pois parte das

imagens foram coletadas diretamente do vídeo, enquanto outras puderam ser acessadas diretamente do arquivo

do jogo feito nessa data, o que, nesse último caso, garante uma qualidade melhor.

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Figura 3 – Comandos que se referem ao movimento do carro


Como em alguns jogos eletrônicos, as participantes optaram por manter o objeto carro

em um posicionamento horizontal constante no lado esquerdo da tela, limitando seus

movimentos no sentido vertical apenas. É justamente esse movimento que a Figura 5

apresenta, na qual podem ser observadas três linhas de comando. A primeira (de cima para

baixo) refere-se ao inicio do jogo. Quando a bandeira verde4 é clicada, inicia-se determinada

sequência de comandos (no caso, nao ha comando associado a esse controle). O segundo e o

terceiro blocos de comando referem-se aos movimentos programados para as setas do teclado.

Quando a tecla “seta acima” é clicada, o objeto que se refere a esse comando (no caso, o

carro) se movimentara 10 passos na direcao vertical (eixo cartesiano y), no sentido para cima.

De forma similar, quando a tecla (seta abaixo) for clicada, o objeto se movimentara -10 passos

na direcao vertical, isto é, se movimentara 10 passos para baixo.

Como nao ha limitacões para a altura atingida, o objeto se movimentara por todo

espaco destinado ao jogo (que possui uma amplitude eixos cartesianos que varia de -230 a 230

espacos). Para dar a sensacao de movimento (uma vez que o objeto carro fica imovel

horizontalmente), as alunas optaram por movimentar o obstaculo na direcao do carro. O

aspecto visual do jogo (aquilo que aparece na area denotada por estagio) pode ser visto na

Figura 4.

4 Para iniciar qualquer jogo no Scratch é necessário dar um comando inicial. Esse comando inicial consiste na

bandeira verde.

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Figura 4 – Área de estagio do jogo.


A seguir fazemos uma explanacao que envolve as modificacões ocorridas no modelo

apresentado na Figura 3, que possibilita o movimento do objeto carro, iniciando com a

apresentacao do Excerto 1, no qual a estudante Laura chama P no inicio do encontro.

Excerto 1: O carro voador

Laura: Uma coisa que ficou da última aula. Vai começar o jogo, mas então vai lá em cima.

[mostra, mexendo a posição do carro com as setas do teclado, que ele vai até o topo da tela,

extrapolando o espaço delimitado para a estrada (Figura 6)]

P: Aham! É um carro voador, não é? [risos]

Laura: Isso! [risos] Fonte: Gravacao de video, 17/07/2009

Laura encaminhou outros questionamentos que são discutidos com o professor e

depois de alguns minutos retoma a situação do movimento do carro.

Excerto 2: E para ele não flutuar?

Laura: E para ele não flutuar?

P: Para o quê?

Laura: Para ele não flutuar!

P: Ah, tá! Vamos ver.

P: Tem que colocar alguns condicionadores também. Ele vai ficar parado aí, não é?

[Referindo-se à movimentação no sentido horizontal].

Laura: Ele para.

P: Ele para ou ... “mova” zero passos.

P: Ou... não mova mais. Então pode colocar, mude X por Y, tu pode colocar um “se”. Um “se

senão”...

Laura: No meio disso aqui [dos comandos] bota um “se senão”, então?

P: É. Não sei se “se senão” ou “se”. Teria que testar para ver o que vai funcionar. Mas acho

que é isso. Fonte: Gravacao de video, 17/07/2009

Por meio desse excerto é possivel observar que o modelo construido (Figura 3)

permite que o carro se movimente em um padrao que extrapola as limitacões dadas pela

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estrada. Influenciada pelas sugestões do professor, Laura inicialmente tentou usar o comando

“se senao”. Sua dificuldade inicial consistiu em considerar situacões distintas em um mesmo

modelo, isto é, além do carro nao se mover dentro do espaco vertical desejado (na “estrada”),

havia a necessidade de desviar de obstaculos que surgiam na pista (Figura 5).

Figura 5 – Objetos carro e obstaculo


O objeto carro, ao sobrepor (“encostar”) o (no) objeto obstaculo, nao sofria nenhuma

alteracao em seu movimento, mantendo posicao e “velocidade”, sem qualquer interferência. O

desejo de mudar esse aspecto, isto é, de fazer com que algo acontecesse quando houvesse

sobreposicao dos objetos fez com que Laura modificasse os comandos até entao construidos.

Nosso olhar atento ao problema “bater/encostar” revelou um entrelacamento de múltiplos

acontecimentos envolvendo outros problemas, argumentacões e inquietacões que, por sua vez,

orientaram acões que implicaram em solucões ou novos problemas ou discussões, criando

assim uma trama cuja complexidade nao se mostrou de modo linear, no sentido temporal. Na

Figura 6 é possivel acompanhar o fluxo de desdobramentos que envolveu esse problema,

desde sua determinacao inicial até encontrar uma solucao especifica.

Figura 6 – Fluxograma relacionado ao problema


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Avaliamos esse problema a partir da pergunta apresentada pela estudante Laura,

quando diz: E para ele não flutuar? (Excerto 2) mostrando com isso sua preocupacao com o

movimento do objeto carro, que extrapola a regiao de movimentacao (estrada) estipulada pela

estudante.

Embora na visao de Deleuze (1988) o problema nao possa ser confundido com

pergunta, esse autor revela que um dos modos de o problema se determinar é pelo modo

interrogativo. Essa enunciacao, segundo Deleuze (2011), leva em consideracao tanto as

experiências daquele que enuncia quanto dos envolvidos na conversa. No caso especifico da

pergunta enunciada por Laura, esta é dirigida ao professor pesquisador, que supostamente

poderia auxiliar na busca por respostas. É justamente essa busca por possibilidades de

respostas que a estudante encontra na continuacao da conversa no Excerto 2, quando P

apresenta, como um possivel encaminhamento, o uso de condicionadores: “Tem que colocar

alguns condicionadores também. Ele vai ficar parado aí, não é?”.

Assim, a pergunta apresentada pela estudante se desmembra, por meio da interlocucao

com o professor, em possibilidades de solucões, o que esta em consonância com as ideias de

Deleuze (1988, p. 267), quando diz que a pergunta “[...] exprime [...] a maneira como o

problema é desmembrado”, podendo influenciar de modo direto na busca por uma solucao.

Apesar de influenciar de modo decisivo a busca por uma solucao, a fala de P nao se

mostra somente neste aspecto, uma vez que pode ser considerada também como uma forma

distinta de apresentar o problema. O que observamos com isso é que ha nela um aspecto dual

que, de um lado responde à determinacao inicial do problema (no sentido de ser conduzido

por ela) e, de outro, a altera apresentando outro enfoque (uma nova atualizacao do problema),

relacionado ao uso de condicionadores.

Assim, o modo como o problema é compreendido passa de “flutuar” para

“condicionadores” havendo uma determinacao que busca uma adaptacao à linguagem usada

na construcao do jogo eletrônico. Nesse sentido, o que observamos é que o processo de

solucao do problema também esta associado à propria determinacao do problema, ou, nas

palavras de Deleuze (1988, p. 267), o “[...] problema se determina ao mesmo tempo em que é

resolvido”.

Outro aspecto que consideramos importante é o significado da dúvida, entendida como

sendo “[...] um estado subjetivo de incerteza, ou seja, uma crenca ou opiniao nao

suficientemente determinada, ou a hesitacao em escolher entre a assercao da afirmacao e a

assercao da negacao” (ABBAGNANO, 2007, p. 348). Deleuze (1988) afirma que, assim

como a pergunta, a dúvida nao pode ser colocada em biunivocidade com problema.

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Porém, essa pode assumir um papel, tanto do processo de delimitacao das solucões,

quanto na determinacao do problema. Um exemplo disso pode ser observado na continuacao

da fala de P quando sugere o uso de condicionadores. Apesar de encaminhar uma solucao, o

pesquisador se mostra em dúvida quanto ao que fazer, expressando isso nas seguintes falas:

“É, não sei se um ‘se senão’ ou um ‘se’” (Excerto 2). Nesse momento, P indica dois

encaminhamentos possiveis, por meio do uso do comando condicional “se” e por meio do uso

do comando condicional “se senao”.

Ao observar novamente o Fluxograma apresentado na Figura 6, é possivel ver que a

determinacao do problema, quando associada ao uso de condicionadores, se bifurca em dois

grandes eixos (que se entrelacam), um conduzido pelo uso do comando “se” e outro pelo uso

do “se senao”. Assim, ha na dúvida apresentada, nao somente um avanco na determinacao do

problema, conforme defende Deleuze (1988), mas também ha uma delimitacao no conjunto

de condicionadores que abrange somente dois casos, implicando de modo direto nas

construcões feitas pela estudante.

5 Reflexões sobre os dados e considerações finais

Para o escopo do presente artigo, nos propusemos a nos orientar pela pergunta: como

se mostra o problema no processo de Modelagem Matematica envolvido na construcao de

jogos eletrônicos por alunos de um curso de Licenciatura em Matematica? Ao analisarmos os

dados e argumentacões expostas, é possivel observar que, ao longo do processo de MM, a

imersao no problema vai desmembrando-o em determinacões mais especificas, as quais sao

inspiradas por dúvidas, perguntas, afirmacões que, por sua vez, conduzem a solucões para o

problema.

Isso apresenta o problema como um fluxo que se desenvolve e se mostra somente no

proprio caminho percorrido, ou, conforme Deleuze (1988) defende, determina-se ao longo do

proprio processo que envolve a busca por uma solucao. A cada nova determinacao, novas

possibilidades sao consideradas, direcionando o campo problematico que tem como

consequência final acões transformadoras da organizacao do jogo eletrônico (no caso). Este

aspecto pode ser observado no fluxograma apresentado pela Figura 6, no qual o “flutuar” se

desdobra no uso de “condicionadores” que, por sua vez se bifurcam, formando dois fluxos a

entrelacar-se de modo nao necessariamente linear e conduzem a constantes transformacões

nos modelos construidos.

Destacamos que essa nao linearidade nao esta relacionada especificamente à

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sequencialidade temporal que é enumerada na Figura 6, mas sim em comparacao a aspectos

trazidos pela literatura da MM, que, algumas vezes, tratam o problema como algo estatico e

que, uma vez determinado, impulsiona o processo de modo ciclico e sequencial. Assim,

consideramos que o problema analisado nao pode ser visto como algo estatico, pré-definido,

mas sim de modo fluido.

Consideramos que essa mudanca, que ocorre ao longo dos fluxos apresentados, mostra

que o problema vai se (trans)formando com a imersao dos envolvidos nele e, a cada nova

proposicao que, de alguma forma, determina o problema, o fluxo se renova, como, por

exemplo, o uso da expressao “É, não sei se um se senão ou um se”, por P, que influenciou o

aparecimento de dois fluxos dados pelo “se” e pelo “se senão” na Figura 6.

Dessa forma, a proposicao que se refere ao problema nao deve ser confundida com o

proprio problema, mas como uma determinacao que conduz a acões que buscam resolver o

problema e, portanto, estao relacionadas à solucao. Por outro lado, é importante salientar que

essas variacões que o fluxo sofre, apresentadas em termos proposicionais, nao assumem um

caminho que é independente do problema da qual derivam (DALLA VECCHIA;

MALTEMPI, 2012). Assim é o caso apresentado no episodio analisado nesse artigo, que,

apesar de assumir particularidades em cada ramo do fluxo, nao esta dissociado do problema

inicial, que diz respeito ao posicionamento do objeto carro. Esse aspecto é apresentado por

Deleuze (1988, p. 265), quando diz que, “[...] gerais ou particulares, as proposicões so

encontram sentido no problema subjacente que as inspira”.

Ainda, consideramos que podemos inferir que nao somente o modo como o problema

é compreendido pelos participantes condiciona a busca por uma solucao, mas ha também

outros aspectos que devem ser considerados como a producao do jogo em si, a perspectiva de

que os modelos construidos foram feitos para serem atualizados na realidade do mundo

cibernético, os objetivos dos participantes e do pesquisador e, principalmente, o referencial

usado (linguagem de programacao Scratch). Assim, ha condicões inicias que também

conduzem o processo de resolucao da situacao envolvida.

Destacamos que, apesar dos aspectos apresentados neste artigo partirem de situacões

particulares, tratadas na construcao de jogos eletrônicos que encontram na realidade do

mundo cibernético um espaco para atualizacao, entendemos que a associacao ao referencial

teorico nao se restrinja somente a esse contexto.

De fato, em nossas investigacões temos nos inspirado nas discussões acerca de

problema para abranger contextos classicos da Modelagem Matematica, como é o caso de

aplicacões de otimizacao linear com restricões. Esse aspecto pode ser observado em

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Weingarten e Dalla Vecchia (2017), que tratam também do processo de determinacao do

problema, porém focando trabalhos aplicados e desenvolvidos por estudantes do curso de

Engenharia de Producao de uma universidade do sul do Brasil. Desse modo, entendemos que

a abrangência das associacões teoricas apresentadas nao se limitam somente ao trabalho com

o Scratch e com o uso de tecnologias digitais.

Para finalizar, consideramos que as ideias discutidas neste artigo estao ajudando a

ampliar discussões acerca da MM, principalmente quando associada às tecnologias digitais.

Em particular, colocar aspectos em suspensao, como a sequencialidade do processo de MM

apresentada na literatura, contribui para a compreensao da conducao e do entendimento do

proprio processo de MM. O que se evidencia na investigacao feita é um processo de continua

transformacao, mostrando que a determinacao do problema nao é algo que se apresenta a

priori, mas que faz parte de um entrelacamento que se confunde com o proprio fazer. Além

desse aspecto, ha outros que tangenciam a proposta investigativa apresentada e que estao

relacionados à MM, como a discussao de modelo, realidade e objetivos pedagogicos.

Entrelacar esses aspectos de modo consistente e nao superficial faz parte de nossas

investigacões atuais e futuras.

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Submetido em 07 de Março de 2018.

Aprovado em 27 de Novembro de 2018.

O Problema na Modelagem Matemática: determinação e ... · (2004), Biembengut e Hein (2007) e...

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