O P T I Q U E - Free

58, rue Michel Ange - BP 420 - 44606 Saint-Nazaire Cedex - 02.40 17 81 20 - fax 02.40 17 81 64 [email protected] http://mpsn.free.fr/ [email protected]

Département Mesures Physiques

O P T I Q U E M P 2 TD & TP SEMESTRE 3

B. VELAY M. Culeron

2020 - 2021

58, rue Michel Ange - BP 420 - 44606 Saint-Nazaire Cedex - 02.40 17 81 20 - fax 02.40 17 81 64 [email protected] http://mpsn.free.fr/ [email protected]

Département Mesures Physiques

O P T I Q U E M P 2 TD & TP SEMESTRE 3

B. VELAY M. Culeron 2020 - 2021

IUT Saint Nazaire Département Mesures Physiques MP1 Semestre 2

TD & TP optique S3 2 B. Velay

Sommaire

SOMMAIRE ............................................................................................................................... 2

Documentation Cours , TD et TP ...............................................................................................................3

Planning prévisionnel des TD ....................................................................................................................3

Programme de révision du DS d’optique ...................................................................................................3

TRAVAIL PREPARATOIRE AUX TP D’OPTIQUE ................................................................. 4

Préparation ...............................................................................................................................................4

Manipulation et Compte-Rendu ................................................................................................................4

Evaluation .................................................................................................................................................4

TP1 ANNEAUX DE NEWTON ................................................................................................................5

TP2- INTERFEROMETRE DE MICHELSON ........................................................................................6

TP3- GONIOMETRIE DES RESEAUX ..................................................................................................7

TP4- DIFFRACTION ...............................................................................................................................8

TP5- INTERFERENCES PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE ............................................................9

TP6- SPECTROMETRIE ....................................................................................................................... 10

Poursuite d’études en optique / optronique après MP : ........................................ Erreur ! Signet non défini.



Documentation Cours , TD et TP

La documentation est en ligne sur http://mpsn.free.fr y compris PPN2013

Planning prévisionnel des TD

Séance Sujet

1 Ch1 Bases optiques ondulatoires

2/3 Ch2 Interférences à deux ondes 4 Ch3 Diffraction 5 Ch4 Surfaces diffractantes multiples

6/7 Ch5 Réseaux 8 Ch6 Interférences sur lames minces

Configuration de « Fabry-Perrot »

Programme de révision du DS d’optique

Connaissance et utilisation des principales notions introduites en Cours-TD. Par exemple :

- Représentation d’une onde, paramètres caractéristiques, longueur et durée de cohérence, flux mesuré, réfléchi, transmis.

- Conditions d’interférences, éclairement en fonction de la différence de marche, conditions d’observations de franges d’interférences (rectilignes, circulaires), exemples de calculs classiques (interfrange, rayons etc.)

- Applications des formules de diffraction par un trou rectangulaire ou circulaire. Limite de résolution. Théorème de Babinet.

- Interférences des fentes d’Young. - Applications de la formules des réseaux plans, convention de signe, déviation,

dispersion, minimum de déviation, pouvoir de résolution. - Interférences d’une lame mince à faces parallèles, couches antireflets, utilisation de la

fonction d’intensité d’une cavité de Fabry-Pérot (démo exclue), caractérisation des modes. Exemples d’application.

Document autorisé : 1 feuille A4 recto manuscrite (pas de photocopie !) Matériels autorisés et probablement nécessaires : calculatrice autorisée (et son mode d’emploi), règle, équerre, rapporteur d’angle…



Travail préparatoire aux TP d’optique

Préparation

La Préparation des Travaux Pratiques se fait exclusivement avant le TP. Elle ne se fait pas pendant le TP proprement dit, sous peine de ne plus avoir assez de temps pour manipuler et demander des explications à votre enseignant. Consulter le texte et les Annexes des textes de TP, en reprenant les notions concernées avec votre cours et vos TD dont certaines sont précisées en début de TP. Faire les simulations demandées et précisées sur chacune des fiches suivantes

Manipulation et Compte-Rendu

Les manipulations décrites seront réalisées pendant le TP et font l'objet d'un compte-

rendu regroupant le descriptif du montage, les mesures et les enregistrements, réalisés et analysés, ainsi que vos commentaires et remarques. Un compte-rendu par binôme est remis en fin de chaque séance. Vous ferez preuve de rigueur, de précision mais aussi de concision et d’esprit de synthèse. Vous noterez qu’il n’est pas nécessaire de recopier ou de paraphraser le

polycopié de TP !

Evaluation

La note de Travaux Pratiques pour ce cycle est obtenue de la façon suivante : - le partiel de Travaux Pratiques compte pour 70% de la note. - le travail effectué pendant les séances compte pour 30% de la note au titre du contrôle continu. Il sera particulièrement tenu compte des comptes-rendus de mesure (en particulier en ce qui concerne la qualité des graphiques, de leur interprétation ainsi que des conclusions que vous en tirerez).



TP1 ANNEAUX DE NEWTON

Sujet

La « machine à anneaux » de Newton est utilisée pour mesurer les rayons de courbure de lentilles de surfaces sphériques ; l’instrument est particulièrement adapté lorsque les rayons de courbure sont grands. Une grande précision des mesures est obtenue grâce à la formation d’interférences lumineuses.

Objectifs

- Comprendre le fonctionnement d’un système optique complexe. - Savoir réaliser un protocole de réglage en contrôlant les étapes successives. - Réaliser une mesure dimensionnelle par méthode interférométrique. - Savoir estimer la distance focale d’une lentille à partir de ses dimensions et de son

indice optique.

Consignes et sécurité

- Le dossier « Pour le TP S3 » sur le bureau du PC regroupe les icônes utiles. - Les fichiers utiles SERONT sauvegardés dans « D:/MesDocs » - Les fichiers de documentations et de simulation sont dans « D:/MesDocs »

- Faire attention à la lampe spectrale. Eclairer vers le mur pour ne pas éblouir. - Eteindre la lampe en fin de TP.

Plan du TP

1- Principe de la formation des anneaux de Newton p 2 2- Simulation du modèle théorique de l’interféromètre p 2 3- Mesures expérimentales de rayons de courbure p 3 Annexes :

Version en couleur accessible dans E:\MesDocs A1- Liste du matériel utilisé p 6 A2- Description de la machine à anneaux de Newton p 7 A3- Préréglages de la machine à anneaux de Newton p 8

TRAVAIL PREPARATOIRE à faire avant le TP

La documentation et le texte du TP1 en couleur avec ses annexes complètes sont sur la page des TP d’optique S3 accessible par http://mpsn.free.fr

Lire attentivement le texte de TP, y compris ses Annexes.



TP2- INTERFEROMETRE DE MICHELSON

Sujet

Utilisation de l’interféromètre de Michelson pour réaliser des interférences d’égale épaisseur (en configuration « coin d’air ») et des interférences d’égale inclinaison (en configuration « lame d’air »).

Objectifs

- Comprendre le fonctionnement d’un système optique complexe. - Savoir réaliser un protocole de réglage en contrôlant les étapes successives. - Prendre conscience de la très forte sensibilité des méthodes interférométriques.


- Utiliser la barre des taches pour l’accès aux logiciels utiles. - Les fichiers utiles SERONT exclusivement sauvegardés dans « D:/MesDocs » - Les fichiers de documentations et de simulation sont dans « D:/MesDocs »

- La lampe spectrale chauffe en 5 mn environ. Elle ne sera éteinte QU’A LA FIN des manipulations de TP. Le cas échéant, éclairer vers le mur pour ne pas éblouir

Plan du TP

1- Principe de l’interféromètre de Michelson p 2 2- Réglages préliminaires du Michelson p 4 3- Configuration du Michelson « en coin d’air » p 4 4- Configuration du Michelson « en lame d’air » p 5 Annexes : Version en couleur accessible dans E:\MesDocs A1- Liste du matériel utilisé p



- Lire attentivement le texte de TP au moins deux fois. - Revoir le chapitre sur les Interférences à 2 ondes, et le début de celui sur les Interférences sur lames minces. - Préparer les questions Q4.3a et b, Q4.4a et b



TP3- GONIOMETRIE DES RESEAUX

Sujet

Etudier la dispersion chromatique d’un réseau plan en mesurant par goniométrie la déviation d’un faisceau lumineux (effet du n° d’ordre, effet du nombre de traits par mm…). Application à la mesure de la distance inter-pistes d’un support numérique à lecture optique (type CD-Rom…)

Objectifs

- Savoir régler un goniomètre à l’aide d’un prisme (lunette, collimateur, horizontalité du plateau)

- Savoir identifier les n° d’ordre des lumières diffractées par un réseau - Savoir régler une déviation minimale, la mesurer et en déduire la valeur de

l’indice. - Comprendre le caractère dispersif d’un réseau en fonction de ses paramètres - Savoir adapter et mettre au point une procédure d’analyse et de mesure.


- Au démarrage du PC : un utilitaire rafraîchit et ouvre le répertoire de travail « E:\MesDocs ». Ce dossier contient le texte complet du TP en couleur avec ses annexes.

- Le prisme ne DOIT jamais tomber ! - Prendre grand SOIN des réseaux optiques ! Voir consignes ultérieures. - La lampe spectrale reste allumée pendant toute la durée des phases de

réglages et de mesures

Plan du TP

1- Principe de l’expérience et des mesures p 2 2- Principe, description et réglages du goniomètre p 2 3- Mesures à faire avec un réseau plan p 3 4- Mesure du pas de gravure d’un CD p 4 Annexes : Version en couleur dans E:\MesDocs A1- Liste du matériel utilisé p 6 A2- Description du goniomètre p 7 A3- Procédures de réglage du goniomètre p 8 A4- Description d’un CD/DVD p 11


Le texte du TP en couleur, ses annexes complètes et les logiciels de simulation sont accessibles sur Internet par http://mpsn.free.fr

• Lire attentivement le texte de TP, noter en particulier les §1.1- à §1.3- . • Relire votre Cours (ch5) . Chacun des deux étudiants FAIT AVANT le TP les

figures et calculs des questions Q1.1a , b et c , Q1.2a et b et Q3.1a et c . • Réaliser avant le TP les expériences virtuelles avec les applets java associées au

chapitre « Réseaux » disponibles sur le site.



TP4- DIFFRACTION

Sujet

Expériences caractéristiques de la diffraction réalisées avec un laser

Objectifs

- Savoir identifier et distinguer les phénomènes de diffraction (fente, fil, trou etc.). - Connaître et exploiter les fonctions d’intensité lumineuse pour mesurer des tailles

de fentes, de fils, de trous circulaires, carré etc. - Savoir utiliser qualitativement et quantitativement un système d’imagerie

numérique. - Connaître les consignes de sécurité pour l’usage d’un laser de « faible

puissance ».


- Les fichiers utiles SERONT sauvegardés exclusivement dans « E:/MesDocs » - Les fichiers de documentations sont disponibles dans « E:/MesDocs »

- Serrer les vis pour fixer les cavaliers sur le banc.

ATTENTION A VOS YEUX ! :

NE JAMAIS regarder directement vers la source LASER, même pour un réglage à travers une fente ou un objet diffractant

Plan du TP

1- Méthode et moyen pour realiser une expérience de diffraction p 2 2- Diffraction par une fente fine p 4 3- Diffraction par un « FIL » FIN p 5 4- Diffraction par un trou ou plusieurs trous p 6 Annexes : Version en couleur dans E:\MesDocs

A1- Liste du matériel utilisé p 7 A2- Réglages des supports de composants p 8 A3- Configuration et étalonnage du système oVisio p 10 A4- Description des fonctions utiles du système d’imagerie oVisio p 12 A5- Description des fentes simples de diffraction Ovio p 14 A6- Exemples de simulations p 15


Les logiciels de simulation (applets Java), la documentation et le texte du TP4 en couleur avec

ses annexes complètes sont sur la page des TP d’optique S3 accessible par http://mpsn.free.fr

Lire attentivement le texte de TP, de préférence en couleur. Revoir sérieusement le TD-Cours sur la diffraction ! Mettre en pratique les éléments théoriques exposés en réalisant avant le TP les trois expériences virtuelles Q1.1a , Q1.1b- et Q2.1-.



TP5- INTERFERENCES PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE

Sujet

Interférences et diffraction par un ensemble de fentes fines. Réalisation d’expériences emblématiques de l’optique ondulatoire à l’aide d’un laser.

Objectifs

- Savoir identifier et distinguer les phénomènes de diffraction et d’interférences en optique.

- Connaître et exploiter les fonctions de distribution d’intensité lumineuse pour mesurer des largeurs de fentes et l’écart entre deux fentes.

- Constater qu’un réseau se comporte comme un interféromètre à ondes multiples. - Mettre en évidence les principales propriétés de la loi des réseaux. - Connaître les consignes de sécurité pour l’usage d’un laser de « faible

puissance ».


ATTENTION A VOS YEUX ! :

NE JAMAIS regarder directement vers la source LASER, même pour un réglage à travers une fente ou un objet diffractant

Plan du TP

1- Conditions d’observation expérimentale p 2 2- Interférences avec les deux fentes d’Young p 2 3- Interférences avec des fentes multiples p 4 4- Interférences par un réseau plan p 4 Annexes : Version en couleur dans E:\MesDocs A1- Liste du matériel utilisé p 7 A2- Spectre d’émission d’une LED blanche p 8

0- TRAVAIL PREPARATOIRE à faire avant le TP

Les logiciels de simulation (applets Java), la documentation et le texte du TP5 en couleur avec ses annexes sont sur la page des TP d’optique S3 accessible par http://mpsn.free.fr

Lire attentivement le texte de TP, de préférence en couleur.

• Retravailler les chapitres sur les « surfaces diffractantes multiples » et sur « les réseaux ».

OBLIGATOIRE pour les DEUX étudiants du binôme : Réaliser les expériences virtuelles décrites au §2.1- , §3.1 ainsi que les calculs théoriques des §2.1- , §3.1- et §4.3- Applet Java : interférences à N ondes http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optiphy/reseau2.html



TP6- SPECTROMETRIE

Sujet

Compréhension du fonctionnement d’un spectromètre compact à CCD. Utilisation du spectromètre pour réaliser la caractérisation d’un filtre interférentiel.

Objectifs

- Connaître le fonctionnement d’un spectromètre à réseau fixe. - Obtenir un spectre de qualité. - Exploiter des spectres pour mesurer les paramètres d’un filtre interférentiel.


- Le dossier « Pour le TP S3 » sur le bureau du PC regroupe les icônes utiles. - Les fichiers utiles SERONT sauvegardés exclusivement dans « D:/MesDocs » - Les fichiers de documentations sont disponibles dans « D:/MesDocs » - En fin de TP, penser à arrêter TOUS les appareils.

- Attention à ne pas tordre la fibre optique du spectromètre. - Faites particulièrement attention aux filtres et aux composants en verres (pas de

chutes, pas de chocs !) - Faire aussi attention aux lampes spectrales. Eclairer vers le mur pour ne pas

éblouir.

Plan du TP

1- Fonctionnement d’un spectromètre compact à CCD p 2 2- Caractérisation d’un filtre interférentiel par spectrométrie : utilisation sous

incidence normale p 4 3- Caractérisation d’un filtre interférentiel par spectrométrie : utilisation sous

incidence oblique p 5

Annexes : A1- Liste du matériel utilisé p 7 A2- Logiciel B&WSpec 3.26 p 8 A3- Table de longueurs d’onde de référence pour étalonnage p 11 A4- Données pour le CCD Sony ILX511 p 12 A5- Caractérisation d’un filtre interférentiel p 13 A6- Photos montrant le positionnement et l’usage du matériel p 16

0- TRAVAIL PREPARATOIRE à faire avant le TP


• Etudier en détail l’Annexe 5. • Q0- Lire §5.4- p15. Après avoir rappelé la relation de Descartes pour la

réfraction (i, r), démontrer en détail la relation

2

0

*

1sin

−=

λλ

ni quelque soit

l’ordre k du filtre interférentiel.

• Traiter les questions Q1.1a à Q1.1d à l’aide des fichiers de documentation disponibles en ligne.



Poursuite d’études en optique / optronique après MP :

Cette liste n’est pas exhaustive. Vérifier sur les sites les conditions d’entrée sur titre, les possibilités d’apprentissage ou d’alternance.

Ecoles d’INGENIEUR

On peut aussi essayer https://www.orientation.com/metiers/ingenieur-en-optique.html

ENSSAT Lannion Université de Rennes École Nationale Supérieure des Sciences Appliquées et de Technologie 6 rue de Kerampont BP 80518 - 22305 Lannion Cedex Téléphone : +33 (0)2.96.46.90.00 http://www.enssat.fr/ [email protected] ingénieur spécialité OPT

Institut d'Optique Graduate School http://www.institutoptique.fr Campus Polytechnique RD 128 91127 PALAISEAU cedex Téléphone : 01 64 53 31 00 Concours sur titre, apprentissage

ENSIM - Université du Maine rue Aristote - 72085 Le Mans CEDEX 09 Téléphone : 02 43 83 35 93 Télécopie : 02 43 83 37 94 http://ensim.univ-lemans.fr/ [email protected] option MicroCapteurs et Mesures Optiques MCMO en 1ième année et Techniques Optiques pour l’Industrie TOI en 3ième année

IFIPS Université Paris-Sud11 Maison de l’Ingénieur, bât 620 Plateau de Moulon Université Paris-Sud11 91 405 0rsay cedex tél : 01 69 33 86 00 http://www.polytech.u-psud.fr , en particulier : http://www.polytech.u-psud.fr/fr/formations/photonique-systemes-optroniques.html Ingénieur en optronique, alternance

Ecole Polytechnique de l'Université d'Orléans 8 rue Léonard de Vinci, 45072 Orléans Cedex 2 / Tél. +33 (0) 2 38 41 70 50 Ingénieur spécialité électronique-optique http://www.univ-orleans.fr/polytech/

IUT Saint Nazaire Département Mesures Physiques

TD & TP optique S3

Licence PRO

https://www.orientation.com/diplomes/diplomenom de domaines pas toujours évident…par exemple :

Licence Pro

IUT dMesures Physiques,mphy-http://www.iutpsud.fr/fr/formations/licences_professionnelles/mphy_lp_2mi.htmlLa formation est orientée maintcapteurs optiques

Licence Pro «Couleur

Université de Montpellier2Contact : Mr [email protected]://coulomb.umontpellier.fr/Licencel-Universite

Licence Professionnelle Instrumentation Optique et Visualisation (IOVIS)

Sorbonne UniversitéCFA des Sciences Casier

Contacthttps://www.cfaprofessionnelleVoir aussi « Former en alternance des assistants ingénieurs ayant une double compétence en électronique et en photonique associée à une forte coloration en visualisation et traitement des images.

Documents avec liens actifs disponibles sur le site

IUT Saint Nazaire Département Mesures Physiques

12

ttps://www.orientation.com/diplomes/diplome-licence-pro/ nom de domaines pas toujours évident…

Licence Pro LP2MI

IUT d’ORSAY Plateau du Moulon – 91400 OrsayMesures Physiques, 01 69 33 60 66

[email protected] http://www.iut-orsay.u-psud.fr/fr/formations/licences_professionnelles/mphy_lp_2mi.htmlLa formation est orientée maintenant « conception de capteurscapteurs optiques

Licence Pro « Contrôle et Mesure de la Lumière et de la Couleur »

Université de Montpellier2 Contact : Mr Frédéric Geniet : Tel : 04 67 14 46 [email protected] https://coulomb.umontpellier.fr/Licence-Professionnelle

Universite-Montpellier (plaquette en bas de page)

Licence Professionnelle Instrumentation Optique et Visualisation (IOVIS)

Sorbonne Université CFA des Sciences Casier 232 4, Place Jussieu 75252 Paris cedex 05

Contact : [email protected] https://www.cfa-sciences.fr/physique-optique/licenceprofessionnelle-optique-optronique-instrumentationVoir aussi https://youtu.be/nPz5e2WXHD0

Former en alternance des assistants ingénieurs ayant une double compétence en électronique et en photonique associée à une forte coloration en visualisation et traitement des images. »

Documents avec liens actifs disponibles sur le site http://mpsn.free.fr/

MP1 Semestre 2

B. Velay

91400 Orsay

psud.fr/fr/formations/licences_professionnelles/mphy_lp_2mi.html conception de capteurs » dont

Contrôle et Mesure de la Lumière et de la

: 04 67 14 46 92

Professionnelle-Couleur-de-bas de page)…

Licence Professionnelle Instrumentation Optique et

ieu 75252 Paris cedex 05

optique/licence-instrumentation-liovis

Former en alternance des assistants ingénieurs ayant une double compétence en électronique et en photonique associée à une forte coloration en visualisation et traitement

IUT Saint Nazaire Département Mesures Physiques TP Optique Semestre 3

Ch1 Domaines de l’optique ondulatoire 1 © Bruno Velay

Description de la lumière LASER Décrire la lumière produite par un LASER fait nécessairement appel aux quatre domaines principaux de l’optique moderne. 1- Optique géométrique Faisceau cohérent très faiblement divergent : angle de divergence < 1 mrad typiquement Voir trois photos : Repérage et traçage à l’aide de niveaux laser

→ Modèle du rayon de lumière (ray) à propagation rectiligne en milieu optiquement homogène, utilisé quand les dimensions caractéristiques (taille fente etc.) d >> λ longueur d’onde. 2- Optique ondulatoire & Electromagnétisme - Onde électromagnétique caractérisée par sa fréquence ν constante dans tous les milieux traversés. - Propagation à la vitesse de la lumière ( c = 299 792 458 ≈ 3 108 m.s-1 ≈ 300 000 km.s-1 dans le vide ). - Couleur rouge caractérisée par une longueur d’onde dans le vide : Laser He-Ne λ0 = 632.8 nm ; soit λ0 = c T = c × 1 / ν où ν = 4.73 1014 Hz Mais λ = λ0 / n si l’indice optique est n : λ = c / n × 1 / ν Remarque : depuis 1983 « le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 seconde » (résolution de la 17e Conférence générale des poids et mesures). Voir trois photos : interférences et diffraction par deux fentes d’Young, diffraction par une

ouverture carrée, Holographie (représentation 3D) → Diffraction, interférences, holographie, polarisation ne peuvent décrites sans faire intervenir le modèle ondulatoire de la lumière. 3- Optique quantique Processus d’émission de lumière dans un laser L’hélium et le néon sont associés du fait de l’existence de raies de même longueur d’onde dans leurs spectres. - Les atomes de néon sont excités par une décharge électrique au sein du gaz du tube du laser. - De nombreux atomes d’hélium sont excités par collision avec les atomes excités de néon : ce procédé s’appelle « pompage optique ». Les électrons vont des niveaux d’énergie inférieurs vers les niveaux supérieurs.



- Les raies lumineuses de l’hélium sont émises lors de la de-excitation des atomes d’hélium. La transition d’un électron d’un niveau supérieur vers un niveau inférieur libère une quantité précise d’énergie sous la forme d’un « grain » de lumière ; ce « quantum » d’énergie est appelé photon Spectres d’émission de l’hélium et du néon

Voir une photo : spectres comparés de l’hélium et du néon

Lumières émises par un tube Hélium-Néon

Voir une photo : tube He-Ne en fonctionnement On observe l’émission latérale de lumière orangée à 594.5 nm par émission spontanée. La lumière de lasage rouge à 632.8 nm, sélectionnée par le réglage de la distance entre miroir, est émise dans l’axe. Les autres raies IR ne sont pas visibles ! Il n’y a pas lasage car la distance ne convient pas (condition d’interférence non remplie). → Spectre de raies correspondant aux écarts entre niveau d’énergie pour les transitions possibles. → Chaque transition vers un niveau inférieur d’un électron correspond à l’émission d’un photon d’énergie chhEEE infsup avec la constante de Planck h ≈ 6,626 068 96×10-34 J.s



4- Optique statistique Structure granulée d’une figure de « speckle » La lumière générée par un LASER est suffisamment cohérente (spatialement et temporellement) pour auto-interférer aisément. On obtient une figure de speckle dès qu’on éclaire une surface avec un laser : il suffit par exemple d’observer en réflexion la tâche lumineuse obtenue sur un écran à peine rugueux ou en transmission la lumière issue d’un verre dépoli. Voir trois photos : image « artistique » issue du projet Sawari et deux images de speckles par

laser He-Ne La figure de speckle constatée présente, au lieu de l’éclairement uniforme

attendu, une structure granulaire constituée de petites tâches (ou « grains de speckle » ou « tavelures ») d’intensité lumineuse différente, réparties aléatoirement dans l’espace. Ce phénomène, usuellement considéré comme indésirable, peut être mis à profit pour des mesures de très faibles déplacements. Dans l’image d’un speckle, les tâches sombres paraissent plus nombreuses que les zones les plus brillantes. On ne peut comprendre cette répartition qu’en considérant la densité de probabilité de trouver un élément de surface d’intensité lumineuse I :

soit

IIIIp exp1 où <I> est l’intensité moyenne

Densité de probabilité p(I) → L’étude détaillée de tels phénomènes nécessite des calculs assez sophistiqués (cf. TP MC S4 Mesure de faibles déplacements par interférométrie de speckle).


Ch1 Bases de l’optique ondulatoire 1 © Bruno Velay

BASES de l’OPTIQUE ONDULATOIRE

1- Vitesse de propagation des ondes ? Ondes mécaniques Houle : propagation d’une déformation de surface à la vitesse

≈ ℎ ≈ 10 m.s-1 au rivage. Longueur d’onde λ ≈ 30 m Période T ≈ 3 s avec λ ≈ c × T

Acoustique : propagation d’une variation de la pression locale de l’air (milieu de propagation) Vitesse du son ≈ ≈ 20√ ≈ 330 m.s-1 pour de l’air ambiant. Ondes électromagnétiques Propagation d’une variation du champ électrique et du champ magnétique local dans la direction de l’axe x. Vitesse de la lumière dans le vide

= c = 299 792 458 ≈ 3 108 m.s-1 ≈ 300 000 km.s-1 c/n : vitesse de la lumière dans un milieu d’indice optique n. 2- Ondes progressives Signal , propagation 1D le long de l’axe Ox - représentation réelle , = sin − + - représentation complexe , = (avec j²=-1) L’argument (du sinus ou de l’exponentielle) est appelé la phase − + Où est la phase à l’origine (quand x = 0 et t = 0). Si A = Cte (donc indépendant de x !) alors l’onde est « plane » : même état de vibration dans un plan normal à l’axe de propagation. Animation



Double périodicité : période spatiale (longueur d’onde) λ et période temporelle T avec λ = cT où c est la vitesse de la lumière (de l’onde EM en général). - pulsation ω, fréquence (temporelle) υ en Hz ≡ s-1, période temporelle T avec = 2 υ = 2π/T - vecteur d’onde k, fréquence spatiale σ en m-1, période spatiale λ avec = 2 = 2 /λ En physico-chimie, la fréquence spatiale σ est appelée « nombre d’onde ». Q2- Interpréter la propagation spatiale des trois ondes (vis-à-vis de l’orientation de l’axe) : * 1 , = −

* 2 , = * 3 , = +

3- Trains d’onde émis par une source de lumière (longueur de cohérence Lc & durée de cohérence Tc) Emission d’un photon

d’énergie h υ0

↔ émission d’un « train d’onde » à fréquence υ0 durée d’émission Tc ≈ 1/ Δυ longueur du train Lc ≈ c × Tc

onde monochromatique

onde monochromatique « tronquée », observée sur une fenêtre temporelle

paquet d’onde quasi-chromatique « +/- long » selon la source de lumière

spectre typique observé au spectromètre



Q3a- Exprimer la fréquence en fonction de la longueur d’onde . En déduire la plage de fréquence correspondant à la lumière visible. Q3b- Obtenir par différentiation la relation entre ∆ et ∆ d’une raie d’émission (« pleine largeur à mi-hauteur » en fréquence et en longueur d’onde : Full Width at Half Max FWHM). Q3c- En déduire la durée de cohérence Tc , la longueur de cohérence Lc et le nombre de périodes N d’un train d’onde émis par les sources optiques suivantes : - un laser He-Ne avec Δλ = 1,9 pm et λ = 632,8 nm - une diode laser avec Δλ = 1 nm et λ = 650 nm - une lampe spectrale Na avec Δλ = 0,2 nm et λ = 589 nm - une lampe halogène blanche (limitée au visible) 4- Que voit-on sur un écran ? Que mesure un détecteur de lumière ? Visible 400 nm < λ < 750 nm ↔ 1,3 10-15 s < T = λ/c < 2,5 10-15 s Les variations en fonction du temps sont très rapides ! Temps de réponse typique : œil humain tr en 1/100ième de s, Détecteur rapide fc en GHz → tr en ns >> Tvisible → perception ou mesure de signaux optiques moyennés dans le temps Le flux d’énergie reçu sur un écran perpendiculaire à la direction de propagation est proportionnel à la moyenne temporelle du carré du module de l’amplitude du signal ∝ < | , |² > animation

*



En utilisant la représentation , = , le flux détecté sur la surface S est ∝ < | , | > donc :

é é = × é × ∗ é é = × 1

é × é

é é = × 1é

× = × × 1é

é é == × × é − 0

é=

Le flux détecté est é é = × et l’éclairement reçu est é é = Les détecteurs sont insensibles à la fréquence naturelle de la lumière (à 1014 Hz !). Il est possible de moduler plus « lentement » l’émission de lumière lorsque la source est alimentée électroniquement afin de transmettre des informations : fibre optique, télécommande IR etc. Q4- Une source ponctuelle émet une onde sphérique isotrope

, = où l’amplitude A(r) ne dépend que de la distance à la source sur un axe radial, notée r. Le flux total émis par la source dans tout l’espace est noté F. Montrer que l’amplitude peut alors s’écrire : = .

Remarquer qu’une onde « sphérique » devient « plane » lorsqu’elle est loin de sa source : plan tangent aux sphères.



5- Ondes réfléchie et transmise sur un dioptre

Voir le simulateur Construction des ondes propagées (incidente, réfractée et réfléchie) avec la

méthode de Huygens-Fresnel : « Pour calculer l’amplitude d’une onde à l’extérieur d’une région délimitée par une surface S entourant les sources, il suffit de supposer que chaque point M de cette surface se comporte comme une source isotrope (appelée source secondaire) dont la phase et l’amplitude sont égales à celle de l’onde incidente au point M ». Remarque : cette méthode se justifie à partir des lois de l’électromagnétisme, elle est particulièrement utile pour l’étude de la diffraction.



Onde incidente , = − Flux incident Fincident = KS A² Onde transmise (ou réfractée) , = × − avec = / + Flux transmis Ftransmis= T × Fincident avec T = t12² facteur de transmission énergétique. Onde réfléchie , = × − si > , = × − + si < avec = − / + Attention : remarquer le déphasage supplémentaire de π quand l’onde se réfléchit sur un milieu plus réfringent Flux réfléchi Fréfléchi= R × Fincident avec R = r12² facteur de réflexion énergétique. T + R = 1 sur le dioptre : l’énergie est soit réfléchie, soit transmise.

pas de pertes d’énergie au niveau d’un dioptre.


Ch2 Interférences à 2 ondes 1 © Bruno Velay

INTERFERENCES A 2 ONDES

1- Superpositions de deux ondes monochromatiques : conditions d’interférence L’amplitude totale résultant de la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques de pulsation et est :

, = , + , = + L’éclairement résultant en un point donné P est donné par :

= K ×< , × , ∗ > (où z* est le complexe conjugué de z)

= E + E + 2 × < − − − > Q1a- Démontrer ce résultat préliminaire (rappel : cos b = (e jb + e -jb) / 2 ) puis discuter des conditions d’interférences. Discussion : - Les ondes proviennent de deux sources différentes avec ≠ (couleurs non strictement identiques !) < − − − > = < + > = 0 Deux sources de lumières de couleurs différentes n’interfèrent pas → = + simple addition des deux éclairements - Les ondes proviennent de deux sources différentes avec =

= E + E + 2 × < − > Mais si les deux ondes proviennent de deux trains d’ondes « incohérents » − varie aléatoirement et la moyenne est encore nulle. Deux trains d’ondes incohérents n’interfèrent pas → é = + - Les deux ondes proviennent de trains d’ondes « cohérents » (le plus souvent issus du même train d’onde : voir plus loin les deux procédés possibles appelés « division d’amplitude » et « division du front d’ondes »). Deux trains d’ondes cohérents interfèrent → é = + + ∆ L’éclairement est alors modulé spatialement de façon spécifique selon l’interféromètre utilisé. → possibilité d’exploitation en mesure.



cohérence spatiale ?

2 trains d’ondes « incohérents »

é = +

ou alors « cohérents » ? é = + + ∆

cohérence temporelle ? A discuter selon l’interféromètre étudié

Stockage de données numériques dans un CD

Laser de lecture IR à 780 nm, indice de réfraction du polycarbonate 1,55

Les informations numériques sont stockées dans un CD sous la forme d’un long sillon formant une spirale dont le pas est 1,6 µm. Le sillon est gravé dans du polycarbonate revêtue d’une couche métallique réfléchissante. Le sillon présente des creux de profondeur 125 nm, de largeur 0,6 µm, de longueur variant entre 0,84 et 3,3 µm. Q1b- Calculer la différence de « marche » (ou différence de « chemin optique ») = entre deux ondes du faisceau de lecture lorsque le faisceau éclaire perpendiculairement : pour moitié un creux, pour moitié un plat uniquement un creux ou un plat En déduire dans ces deux cas, l’écart de phase ∆ entre les deux ondes envisagées. En déduire le principe physique du codage mis en œuvre.



2- Figures d’interférence pour deux sources ponctuelles

Par un procédé à définir selon l’interféromètre concerné, on dispose de deux sources similaires ponctuelles, monochromatiques, synchrones et distantes de d :

, = , + , = + avec = On note = et = les éclairements en P dus à chaque source prise séparément. → é = + + ∆ En pratique on a toujours ≈ ≈ ≫ (typiquement 30 cm >> 1 mm) On suppose donc que ≈ ≈ ≈ → é = + ∆ Différence de phase au point P : La différence de phase entre les deux ondes arrivant en P est : ∆ = − = − = − = 2 − = ×

− = × où n est l’indice de réfraction du milieu optique et la longueur d’onde dans le vide. Différence de « marche » ou différence de « chemin optique » = − Attention : = × est le « chemin optique » ≠ du simple trajet géométrique r.

é = + × = 2 E 1 + 2 × −



Indicateur de l’état d’interférence entre les 2 ondes Tout dépend de la comparaison des situations des 2 ondes et de leur décalage exprimé comme une fraction de période ∆ = il y a trois cas : Interférences « constructives » est multiple entier de où ∈ ℤ a priori

donc ∆ = = → ∆ = × 2 = 1 → = + = 4 E

Interférences « destructives » est multiple à un ½ entier près entier de où ∈ ℤ donc ∆ = = + 0,5 → + 0,5 × 2 = −1 → = − = 0

Interférences « intermédiaires » / est un réel quelconque → −1 < × 2 < 1 → < é <

Vue en coupe des surfaces sur lesquelles les interférences issues des sources (indiquées par les flèches) sont constructives.

A droite, un zoom sur la partie centrale de la figure de gauche.



3- Observation de franges d’interférence Sur un écran placé dans un plan parallèle à l’axe Ox portant les deux sources, on observe au voisinage du plan x = 0 des franges quasi rectilignes (tangentes à l’origine des hyperboles de la figure précédente).

Représentation schématique des sources et de la position de l’écran d’observation

= + − 2 + = 1 + − /2 +

= + + 2 + = 1 + + /2 + Un développement limité au 1er ordre suffira : √1 + ≈ 1 + lorsque ≪ 1 On constate ici que L >> x, y ou d donc x/L, y/L ou d/L <<1 Donc

1 + − /2 + ≈ 1 + 12

− /2 + ≈ 1 + 1

2 + /2 − 2 × /2 + On trouve ≈ + − + + et ≈ + + + + Le calcul au 1er ordre suffit puisque le résultat dépend de x. En effet : Différence de « marche » = −

= − ≈ × 2 → =



→ = + × = + ×

Distribution de l’éclairement reçu sur l’écran et figure des franges d’interférence Interfrange : distance i entre deux franges voisines, séparant deux maxima successifs du cosinus, soit un déphasage de 2π

× − × = × − = × = →

= → =

4- Contrôle de la planéité d’un miroir avec un interféromètre de Fizeau Deux lames de verre à faces parallèles forment un coin d’air d'angle très petit. On éclaire l'ensemble à l'aide d'un faisceau parallèle de lumière monochromatique jaune issu d’une lampe au sodium (λ = ?), dont l'incidence est normale à la lame supérieure. On observe des franges parallèles à l'arête du coin. Q4.1- Indiquer sur un schéma (où l’angle est exagéré) les deux vibrations qui interférent. Où sont localisées les franges d’interférence ? Q4.2- Donner l’expression de la différence de marche en un point P sur la lame supérieure en fonction de la distance x = OP (entre P et l’arête du coin) et de . Q4.3- En déduire le lieu des franges brillantes et l’expression de l’interfrange en fonction de . Q4.4- Le miroir a une longueur de 150 mm, la cale utile une épaisseur de 0,1 mm. Calculer en radian. En déduire la valeur de l’interfrange. Q4.5- Montrer qu’on a un dispositif à franges « d’égale épaisseur ». A quelle augmentation d’épaisseur correspond un déplacement d’un interfrange ?



Dispositif pratique de test : le miroir inférieur qui est métallisé, sert de référence. La lame supérieure est en cours de ponçage (elle n’est pas encore métallisée et la lumière peut la traverser).

Voir http://serge.bertorello.free.fr/plan/plan.html

Lorsque l'un des deux miroirs est parfaitement plan (miroir inférieur) et que la cale mince est dirigée vers l'observateur, les franges observées ont la même forme que le profil de la lame supérieure (le miroir en cours de fabrication). → En fin de ponçage, on doit donc observer des franges parallèles comme dans la figure au centre.



5- Observation d’anneaux d’interférence En considérant le graphe général du §2, on constate que l’on observe des franges circulaires sur un écran placé perpendiculairement à l’axe Ox qui porte les deux sources (plan d’équation x = cte). r est la distance entre le point P d’étude et le centre de l’écran.

Notations utilisées, position des sources et disposition de l’écran d’observation

= − 2 + = 1 − 2 + = 1 + 2 − 2 2 + Un calcul au 1er ordre ne suffira pas, un calcul au 2nd ordre est nécessaire… Développement limité 2nd ordre √1 + ≈ 1 + − lorsque ≪ 1 Remarque : le calcul détaillé suivant n’est pas exigible en DS :

≈ × + − + − − + au 2nd ordre ≈ × 1 + 1

2 2 − +− 1

8 2 + − + − 2 2 + 2 2− 2

≈ × 1 + 8 − 2 + 2 − 32 + 8 − 8 + 16 − 16 + 4 ≈ + 8 − 2 + 2 − 32 + 8 − 8 + 16 − 16 + 4



De même (avec d→-d) on a ≈ + 8 + 2 + 2 − 32 + 8 − 8 − 16 − 16 − 4

De très nombreux termes s’éliminent dans la différence : = − ≈ × − − ≈ × − après avoir éliminé les

termes en d3 et + (calcul au 2nd ordre limité en terme au carré) On constate a posteriori que le calcul au premier ordre, en négligeant tout les termes en r² , aurait donné le résultat absurde ≈ × faussement indépendant de r ! Le calcul précédent au 2nd ordre est bien nécessaire. Résultat du calcul : Soit finalement = − ≈ × − donc

= + × = + × − ²/ ²

Distribution de l’éclairement reçu sur l’écran et figure des franges d’interférence Remarque : Le p-ième anneau brillant correspond à 2 × 1 − ²/2 ² = 2 × ∈ ℤ ≥ 0



6- Mesure de rayon de courbure avec un interféromètre de Newton Un dispositif optique est constitué d’une lentille plan-convexe de rayon de courbure R et d’un dioptre plan ; il est éclairé avec des lumières parallèles issues d’une source au sodium considérée comme monochromatique = 0,589 m. Les figures ci-dessous décrivent la situation rencontrée en TP :

Le système est étudié en réflexion. On observe à travers la lunette des franges d’interférence localisées sur la surface inférieure de la lentille limitant la lame d’air mince définie par les deux dioptres. L’épaisseur d’air e sera toujours très faible. Q6.1- Montrer que r² ≈2 R e Q6.2- Exprimer la différence de marche entre deux vibrations qui interfèrent au niveau de B. En déduire que les franges sont des anneaux. Bien noter qu’il s’agit ici de franges d’égale épaisseur, correspondant à un coin d’air d’épaisseur e variable mais à symétrie de révolution. Q6.3- Montrer que le rayon rp d’un anneau sombre est donné par la relation :

pRrp où p est l’ordre des anneaux. Quelle valeur de p sont physiquement possible ? Q6.4- Montrer que le centre de la figure observée est sombre. Q6.5- Le diamètre du 20ème anneau sombre vaut 9,65 mm. En déduire R, le rayon de courbure de la lentille. Q6.6- Comment apparait un défaut de sphéricité ?


Ch3 Diffraction 1 © Bruno Velay

DIFFRACTION 1- La diffraction : phénomène ondulatoire lorsque e On diminue le diamètre e d’un faisceau lumineux avec un diaphragme. Lorsque l’ouverture est trop petite et devient de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde, la diffraction s’impose. Exemple : pour un faisceau laser rouge à 0.650 µm éclairant un trou de e = 20 µm , e / 30 seulement.

Le phénomène existe pour toutes les ondes, en particulier pour les ondes mécaniques (acoustique, houle etc.) ou en rayons X dans les solides cristallins. 2- Diffraction ou interférences ? Principe de la méthode de Huygens-Fresnel (Rappel du Ch1 §5) : « Pour calculer l’amplitude d’une onde à l’extérieur d’une région délimitée par une surface S entourant les sources, il suffit de supposer que chaque point M de cette surface se comporte comme une source isotrope (appelée source secondaire) dont la phase et l’amplitude sont égales à celle de l’onde incidente au point M ».

Propagation d’une onde plane Propagation à travers une fente :

« Diffraction par une fente »



Le calcul consiste à sommer dans une intégrale de surface particulière (appelée « Transformée de Fourier 2D ») les amplitudes des multiples ondes diffractées par les différents points de la surface diffractante (fente, trou, réseau, lentille, etc.) → Les calculs de diffraction et d’interférence sont donc de même nature physique. L’optique de Fourier propose une approche unifiée et satisfaisante de l’ensemble de l’optique ondulatoire, y compris le calcul des images formées par un système optique à base de lentilles. 3- Diffraction à l’infini par une fente fine (diffraction « de Fraunhofer ») Le faisceau lumineux est diaphragmé par une fente fine de largeur e (e << h hauteur de la fente). La lumière sera étudiée à l’infini (là ou les // se rejoignent). Concrètement, l’observation est soit faite à une distance suffisamment grande D >> e , soit cet « infini » est rapproché sur un écran situé dans le plan focal d’une lentille convergente de projection. Les calculs sont supposés fait « à l’infini ».

Le principe du calcul consiste à sommer les amplitudes des multiples ondes diffractées au niveau des différents points de la surface de la fente, en tenant compte du déphasage qui dépend de la position x : ce déphasage correspond au chemin optique supplémentaire [MH], soit 'sin2 ix . Le calcul non détaillé donne l’intensité diffractée en direction d’un point P’ de l’écran, avec '' PFx



2

20

sinu

uII avec

'sin2max ieu devenant

'ieu si l’angle i’ est très petit.

- Si l’écran est suffisamment loin (« à l’infini optique »), on calcule en absence de lentille D

xii 'tan' où D >> x est la distance à l’écran. - La fonction encadrée que vous apprendrez à calculer au S3 en « Traitement du Signal » est la transformée de Fourier d’une fonction particulière décrivant une « fenêtre rectangulaire 1D de largeur e ». La courbe d’intensité présente une série de maxima et de zéros. Recherche des zéros successifs (cas d’une fente) : sin(u) = 0 si u = p, avec p entier relatif. Pour p entier non nul, on a

'ieu soit e

pi ' → les zéros sont donc pour i’ = e , e

2 etc. Recherche des maxima successifs (cas d’une fente) : * p = 0 soit u = 0 donne 10

)0sin()sin( uu

On a au centre de la figure le maximum principal et non un zéro ! * Sinon sin(u) = 1 pour u = (p + 1/2) , avec p entier relatif, soit e

pi 5.0' L’entier p servant à numéroter est appelé « ordre ». Sur les graphes suivants, l’abscisse représente sin i’ .

La tache centrale reçoit environ 90% de l’énergie lumineuse diffractée.



Q3a- Calculer l’intensité des deux premiers maxima secondaires. Comment évolue la figure lorsque la largeur de fente e diminue ? Q3b- On projette la figure de diffraction sur un écran situé à L = 1 m. On dispose de lumière rouge à 0.70 µm, verte à 0.54 µm et bleue à 0.43 µm. Quelle doivent être les largeurs de fente respectives pour que la tache centrale (écart entre les deux premiers zéros) ait une largeur de 1 cm ?

Le faisceau lumineux issu d’une diode LASER n’a pas de symétrie de révolution : il est « polarisé ». En divergeant, sa forme n’est manifestement pas conique. La forme observée est directement reliée aux dimensions de la face de sortie rectangulaire qui diffracte la lumière émise. Q3c- le rayonnement laser de la diode Sanyo DL-3147-060 à 650 nm prend naissance dans un volume parallélépipédique de section : épaisseur e × largeur b. En première intention, on peut considérer que le faisceau sort de la diode en diffractant à travers une fente rectangulaire. - Vérifier sur la courbe d’émission que l’on a : I / I0 = 0.5 pour sin (θ*) = 0.443 λ/e où θ* est l’angle d’émission à mi-puissance associé à l’épaisseur (à “mi-hauteur” en jargon). - Pourquoi ne peut-on pas rechercher l’écart angulaire correspondant aux deux premiers minima ? - En déduire la valeur de l’épaisseur e de la couche lasante.



Expérimentalement θ*// et θ*T sont mesurées sur le banc optique à partir de l’image observée. On pourra donc en déduire les deux dimensions de la surface de sortie du laser e et b. 4- Diffraction à l’infini par une ouverture circulaire Les résultats de simulation suivants correspond à l’expérience de principe de §1.

La diffraction par un trou circulaire produit des résultats similaires à ceux d’une fente fine mais avec une symétrie de révolution. ucercII 0 où

'sin2max ieu

La fonction « cerc » (pour « circulaire ») qui est strictement positive (représentée en comparaison de celle d’une fente : figure p3). Elle présente une série de « 0 » et de maxima le long d’un axe radiant. Un seul résultat concret à connaître : la tache centrale de diffraction (ou « tache d’Airy ») vérifie pour son rayon angulaire i’ : sin i’ = 1.22 / e où e est le diamètre du trou circulaire Le calcul de transformée de Fourier d’une fenêtre circulaire de rayon e/2 est plutôt compliqué : on trouve

21

u

uJucerc en faisant appel à une fonction spéciale, dite « de Bessel de 1ère espèce » J1... L’expression ne peut être évaluées que numériquement, par exemple avec Mathématica disponible en ligne sur : http://www.wolframalpha.com/examples/ … D’où le calcul des valeurs particulière 1.22 2.23 etc.



5- Diffraction à l’infini par une fente rectangulaire On constate alors une symétrie dans le traitement des deux dimensions de la fente. L’intensité diffractée par une fente de largeur e et de hauteur h finie est :

22

22

0 ''sinsin

uu

uuII

avec

''sin ieieu

et

''sin' ihihu

Lorsque e << h, sin (u’)² / u’² ≈ 1 → formule pour « une fente fine » cf. §3. 6- Théorème de Babinet pour des ouvertures complémentaires Un orifice percé dans un écran opaque et un cache opaque de même forme que l’orifice réalisent un couple d’ouvertures complémentaires.

Exemples d’ouvertures complémentaires Une des propriétés de la transformée de Fourier se traduit par le résultat suivant : Théorème de Babinet : la diffraction d’une onde plane par deux ouvertures complémentaires donne les mêmes distributions d’intensité, sauf au centre.



Application : une fibre de carbone est composée principalement d'atomes de carbone agglomérés dans des cristaux microscopiques qui sont alignés plus ou moins parallèlement à l'axe long de la fibre. L'alignement des cristaux rend la fibre extrêmement résistante pour sa taille. Plusieurs milliers de fibres de carbone sont enroulées ensemble pour former un fil employé tel quel ou tissé. Q6- Quel est le diamètre d’une fibre dont la figure de diffraction réalisée avec un laser He-Ne donne une tache principale de 1.2 cm de largeur sur un écran situé à 10 cm de la fibre ?

7- Limite de résolution Critère de Rayleigh : Deux images de sources ponctuelles sont considérées comme tout juste séparées si le maximum de l'une coïncide avec le premier zéro de l'autre. C'est-à-dire si la distance angulaire entre les centres de leurs figures de diffraction est à peine plus grande que la distance qui sépare un centre de son premier minimum : rayon angulaire de la tache de diffraction i’ vérifie sin i’ ≈ 1.22 / e

sin i’ ≤ 1.22 / e sin i’ = 1.22 / e Limite de Rayleigh

sin i’ ≥ 1.22 / e

Image de deux points-source par une surface circulaire de diamètre e. (cas de la limite de résolution : figures de la colonne du milieu)



Il est très fréquent que i’ soit très petit (formation d’image, astronomie) sin i’ ≈ i’ ≈ 1.22 / e Mais pas toujours ! (voir l’exemple du stockage numérique sur CD/DVD au §8)

Limite de résolution : Concrètement, c’est la plus petite distance entre deux points objets, situés à une distance donnée, que peut séparer un instrument optique. La théorie spécifie la résolution angulaire : on en déduit la distance. Exemples de limitation de résolution : La diffraction limite le pouvoir de résolution d’un appareil d’optique en imposant une valeur minimale à la résolution (on ne distingue pas de détail plus petit). - Lors de la formation de l’image par un système de lentille, l’image d’un point ne peut être rendue aussi petite que souhaitée → perte de détails. - Un télescope ne peux distinguer des détails angulaires meilleurs que avec un microscope optique i’ = 14’’/D(en cm). [ 1’’ = 1/60ième ’ = 1/(60×60)ième de ° usuel ] → Un télescope dont le miroir principal est 5 m ( !) ne distingue pas de détails plus fins que 50 m à la surface de la Lune (distance Terre-Lune 384 000 km). Q7- Quelle est la résolution d’un œil humain dont la pupille est dilatée avec un diamètre de 4 mm en condition d’observation nocturne ? Quelle est la taille d’un détail de la surface de la Lune visible ainsi la nuit ? - On n’observera pas de détail meilleur que λ/2 ≈ 0.3 µm avec un microscope optique (les détails de la surface d’un CD ne sont donc accessibles qu’avec un microscope électronique).

8- Densité d’information comparée des CD, DVD et BlueRay A cause du phénomène de diffraction, le spot du laser de lecture ne peut être réduit à un point. Au plus fin il est limité à une tache de diamètre angulaire 2α et/ou de diamètre (habituel) d. Pour le faisceau issu d’une lentille convergente, la tache de diffraction a un diamètre NAd 22.1 NA est l’ouverture numérique (Numerical Aperture) de la lentille :

d’après la figure on calcule 222/2/sin fe

ennNA

où n est l’indice de réfraction du milieu. Ici n = 1 dans l’air mais 1.55 dans le plastique (méthacrylate)



Le système optique à 3 faisceaux pour la lecture d’un CD (cf. S2)

Taille comparée des trois spots de lecture



Support numérique

CD DVD Blu-Ray λdiode laser 780 nm 650 nm 405 nm

NA 0.45 0.60 0.85 Angle uair 27° 37° 58°

Indice, épaisseur n = 1.55 1,2 mm n = 1.55 0.6 mm n ? 0.1 mm Angle udisque 17° 23°

Diamètre du spot 2.1 µm ? 0.58 µm Surface du spot 3.46 µm² ? µm² 0.26 µm²

Contenance 1 couche

800 Mo 4.7 Go 33 Go (↑ 50 Go)

Gain en capacité de stockage

pour 1 couche Rapport des Sspot

CD → DVD CD → Blu-Ray

× (4.7/0.8) = × 5.9 × (33/0.8) = × 41

Sspot CD /Sspot DVD = ? Sspot CD /Sspot Blu-Ray = 13.1

Q8- Calculer le diamètre et la surface du spot de lecture d’un DVD. Quel est le gain en capacité de stockage par rapport au CD dû au facteur optique ? Le gain en capacité de stockage numérique est dû : - progrès optique : diminution de la taille du spot, augmentation de l’ouverture numérique de la lentille - progrès électronique : un bit peut être décodé maintenant s’il a une longueur inférieure à la taille du spot de lecture - progrès informatique : diminution du nombre de bits nécessaires pour coder un octet de données (amélioration de la compression : sur un CD, coder 1 octet nécessite plus de 8 bits…). - augmentation du nombre de couches utilisables dans le support (jusqu’à 4 pour un DVD par exemple). Remarques : avec le blu-Ray - on est à la limite du raisonnable pour ce qui est de l’épaisseur résiduelle de protection des alvéoles (0.1 mm de résines anti-uv indice non connu). C’est un support connu pour être assez fragile. - on est aussi à la limite du nombre d’ouverture possible : la distance focale f est très courte. De sorte qu’on est aussi à la limite quant au risque de contact pendant la rotation entre la lentille et le disque.


Ch4 Surfaces diffractantes multiples 1 © Bruno Velay

SURFACES DIFFRACTANTES MULTIPLES Interférence par division du front d’onde ?

1- Diffraction à l’infini par deux fentes fines (dites « fentes d’Young ») Le faisceau lumineux est diaphragmé par deux fentes fines de largeur e (e << h hauteur de la fente) séparée de la distance b. La lumière observée sur un écran à une distance suffisante pour être considéré comme « à l’infini ».

Observation faite sur un écran éloigné en éclairant une seule fente avec un laser rouge, puis en éclairant les deux fentes On éclaire avec une diode laser à 650 nm deux fentes de largeur 500 µm, espacées de 1.2 mm. On observe l’éclairement obtenu sur un écran situé à 1.50 m des fentes. Q1a- Rappeler l’expression de l’intensité émise dans la direction i’ par une fente fine éclairée par une onde plane. En déduire l’expression de l’éclairement reçu par un écran, suffisamment éloigné pour que l’on considère que tous les points éclairés sont à une distance quasi identique de la fente. Calculer la largeur de la tache centrale. On considère que le faisceau incident (par exemple produit par un laser de TP) se comporte comme une onde plane cohérente spatialement éclairant le plan des fentes. Les deux fentes placées en S1 et S2 se comporteront donc a priori comme deux sources secondaires cohérentes. Les deux ondes émises sont ainsi produites par « division du front d’onde » : elles pourraient donc interférer. Q1b- On considère maintenant les deux ondes produites par « division du front d’ondes » quittant en même temps le plan des fentes.



- Faire une figure raisonnablement à l’échelle montrant les deux trajets optiques vers le point de l’écran. Identifier et calculer le chemin optique supplémentaire δ = [S2H]. - Si l’onde 1 reçue en P’ et issue du point S1 est , = avec

= , exprimer la seconde onde issue du point S2 , =? - Donner l’amplitude résultant des deux ondes cohérentes reçues. En déduire l’expression décrivant l’évolution de l’éclairement sur l’écran du fait de l’interférence entre ces deux ondes. - Préciser le lieu des franges les plus brillantes. Calculer l’interfrange. Q1c- Donner l’expression globale décrivant l’évolution de l’éclairement sur l’écran qui tient compte de l’interférence entre les deux ondes mais aussi de la diffraction au travers de chacune des fentes. Faire le lien avec les observations. Combien constatera-t-on de franges brillantes dans la tache centrale de diffraction ?

× + × = ′ Voir évidemment vos réponses à Q1a- et Q1b- pour les expressions de u et Une étude complémentaire devrait examiner les conditions géométriques sur le faisceau incident pour assurer la cohérence spatiale dans le cas d’une source étendue.



Situation comparable : interférences par deux trous d’Young

On constate que l’éclairement obtenu présente là aussi : - une série de franges parallèles obtenues de la même façon que pour les deux fentes d’Young (même formule d’interfrange etc.) - une modulation de l’éclairement par la figure de diffraction de l’orifice, ici un trou circulaire.

Lieus des franges : Dans les deux cas les franges sont localisées à l’infini 2- Diffraction à l’infini par N fentes fines, régulièrement réparties 2.1- Expression de l’éclairement reçu sur un écran Soient N fentes fines et parallèles de largeur e, répartie régulièrement dans un plan. Deux fentes successives sont séparées de b. Une onde plane cohérente spatialement éclaire l’arrière du plan des fentes en créant N ondes secondaires par division du front d’onde. Entre deux ondes successives, on constate un surplus de chemin optique δ = b sin i’ L’amplitude diffractée par la p-ième fente dans la direction i’ est donc :

, = , × , = = ×



L’amplitude totale diffractée dans cette direction est, puisqu’il s’agit d’une suite géométrique :

, = × = 1 −1 − ,

= × // × / − /

/ − /= × /

/ × 2 sin /22 sin /2

L’éclairement reçu en un point P’ de l’écran est proportionnel à la moyenne ⟨ × ∗⟩ soit

= ⟨ × // × sin /2

sin /2 × × // × sin /2

sin /2∗ ⟩

= × ⟨ / / ⟩ puisque /

//

/ = Si l’onde incidente est cohérente, la moyenne ne s’annule pas. On obtient alors une évolution de l’éclairement du aux effets d’interférence :

= × / /

La diffraction par chacune des N fentes interviendra de la même façon qu’au §1 en venant moduler l’éclairement reçu. Dans le cas où il y a un angle d’incidence i non nul, on obtient le résultat en symétrisant u et u’ :

220

2'sin'sinsin

uNuN

uuENE

avec

iieu sin'sin et

iibu sin'sin'



0EE 2sin

uu

22

'sin'sin

uNuNN

terme de diffraction par une fente

0EE

2sinu

u 22 'sin 'sin uN uNN

terme d’interférence à N ondes

22

02

'sin'sinsin

uNuN

uuENE

phénomène global

avec

iieu sin'sin et

iibu sin'sin'

2.2- Evolution du phénomène en fonction du nombre de fentes N

2 fentes 8 fentes 32 fentes



On remarque que l’éclairement global varie comme N² en situation d’interférences. Plus N est grand, plus les raies observées correspondant aux différents ordres d’interférence sont fines. On peut donc se restreindre à l’étude des maxima principaux d’éclairement. 2.3- Analyse de la courbe d’éclairement : étude des maxima - Maximum principal de la fonction d’éclairement : ordre 0

02

max ENE est obtenu pour 0sin'sin' iibpu

Cela correspond au cas p = 0 appelé « ordre 0 » pour lequel 0sin'sin ii et aussi u = 0 !

Avec les développements limité au 1er ordre, on a 1''

'sin'sin uN

uNuN

Nu et 1sin u

uu

u L’ordre p = 0 est le plus lumineux avec Emax = N2 E0 0sin'sin ii → i’ = - i où la lumière n’est pas déviée (cf. convention de

signe des réseaux).

Simulation sous Mathcad de E(i’) pour l’angle d’incidence i = + 0.2 radian

- Maxima secondaires de la fonction d’éclairement : ordre p ≠ 0

si piibu sin'sin' avec p entier relatif non nul, alors 0'sin u et

0'sin uN . Donc le rapport 1'

''sin'sin uN

uNuN

Nu et aussi 20

2 sin

uuENE .



Ces cas de nullité de sin(N u’) correspondent aux maxima secondaires de E (c'est-à-dire les pics noirs de la courbes observée correspondants aux pics en rouge d’interférence « pure »). Valeurs i’ pour les maxima secondaires données par piib

sin'sin

L’entier p est le numéro de l’ordre d’interférence. Ces valeurs correspondent aux maxima successifs de la fonction d’éclairement (interférences constructives). La luminosité décroit lorsque le numéro d’ordre | | augmente.

2.4- Un réseau plan correspond à cette situation avec N très grand 3- Diffraction à l’infini par N objets répartis aléatoirement 3.1- Objets identiques répartis régulièrement : réseau 1D ou 2D Si des orifices (fente rectangulaire, trou circulaires etc.) sont répartis régulièrement selon un maillage périodique, la figure obtenue présentera une répartition d’éclairement présentant des propriétés géométriques associées (cf. méthodes de l’optique de Fourier) L’exemple ci contre est obtenu avec un ensemble de trous carrés formant un quadrillage : double répartition croisée comme avec un réseau à deux dimensions. Les figures obtenues sont complexes à déchiffrer lorsqu’il y a des répartitions avancées (en triangle, en hexagone etc.). Le calcul montre que l’éclairement global varie comme N² en situation d’interférences. Einterférence = N² E0 Le théorème de Babinet prévoit des résultats de même nature pour un maillage de fils. Application : test optique de qualité de réalisation de tissages très fins Remarque : la diffraction des rayons X en cristallographie relève de la même problématique.



3.2- Objets identiques répartis aléatoirement Si des objets (en creux : trous, ou en plein : poudre, éléments granulaires) sont répartis aléatoirement dans le plan diffractant, les différentes ondes secondaires sont incohé-rentes et présentent des phases variant aléatoirement de sorte que le terme d’interférence est nul en moyenne. L’éclairement global est la somme des éclairements pour chacun des objets lorsqu’ils sont répartis aléatoirement. Ealéatoire = N E0

Globalement la figure obtenue est la figure de diffraction de l’objet élémentaire mais plus lumineuses. L’exemple est celui d’une plaque percée irrégulièrement par un ensemble de trous circulaires. Le théorème de Babinet prévoit des résultats de même nature pour un ensemble de masque complémentaires des orifices comme de petits disques ou des microbilles. Application : test optique de granulométrie La connaissance des figures de diffraction élémentaires permet d’identifier les principales formes de grains ou de trous testés.

diffraction par un trou rectangulaire, de hauteur 5 fois plus grande que la largeur

Les figures obtenues seront évidemment plus complexes à déchiffrer s’il y a un mélange de forme d’objets…


Ch5 Réseaux 1 © Bruno Velay

RESEAUX OPTIQUES

1- Définitions et emploi Un réseau est une structure périodique dont chaque motif diffracte une même onde incidente dont la cohérence spatiale doit être suffisante. Les multiples ondes ainsi diffractées par chacune des fentes interfèrent entre elles et forment des faisceaux lumineux, séparés spatialement, qui sont numéroté par un entier appelé « ordre ». L’exploitation de ces faisceaux diffractés avec un écran ou un capteur CCD permet de visualiser et/ou de mesurer un spectre de la lumière étudiée. La largeur b du motif est le pas du réseau (≈ « écart » entre deux fentes).

Les deux procédés utilisés sont de fait équivalents : Les réseaux d’amplitude agissent sur l’amplitude du signal transmis. La transparence varie en « tout ou rien » selon la position du point sur le

motif : un ensemble de fentes (fente évidée, support « opaque »), une diapositive dont le film présente une succession de bandes noires et de bandes transparentes sont des réseaux d’amplitudes.

Les réseaux de phase agissent sur la phase de l’onde transmise. Une plaque d’épaisseur variable obtenue par gravure ou par duplication

(polymère) d’une matrice gravée sont des réseaux de phases. Un réseau est caractérisé par son nombre de motifs (fentes ou « traits ») par mm (ou parfois inch), noté n . On a n = 1 / b Ne pas confondre la notation avec celle d’un « indice de réfraction ! Exemple : un réseau de 500 traits/mm a un pas b = 2 10-3 mm = 2 µm puisqu’on a n = 1 / b avec b en mm.



2- Conventions de signe pour les angles (en transmission comme en réflexion) Les trois conventions : Choix systématique : l’angle d’incidence i > 0 Si le faisceau traverse la normale au réseau, l’angle de diffraction i’ < 0 Si le faisceau reste du même coté de la normale, l’angle de diffraction i’ > 0

3- Formule du réseau (transmission ou réflexion) Un faisceau de lumière parallèle, monochromatique de longueur d’onde , éclaire N fentes du réseau sous le même angle d’incidence i > 0 . L’éclairement observable du aux lumières diffractées dans une direction i’ est :

220

2'sin'sinsin

uNuN

uuENE

avec

iieu sin'sin et

iibu sin'sin'

L’étude générale des conditions d’interférences (E maximal) a montré que l’on obtient les différents faisceaux diffractés d’ordre p lorsque u’ = p π. Cette condition est équivalente à la formule fondamentale du réseau b (sin i +sin i’) = p ou sin i +sin i’ = n p

où b est le pas du réseau. En respectant la convention de signe précédente, elle est valable pour les réseaux en transmission comme pour les réseaux en réflexion. L’entier p est l’ordre d’interférence qui sert à identifier le faisceau concerné parmi les différents faisceaux diffractés : l’ordre p sert à numéroter les maxima successifs de la fonction d’interférence.



en transmission avec i’ > 0 = HI1 + I1H’ = b sin i + b sin i’

d’où = b (sin i +sin i’) = p

avec l’ordre entier p

en transmission avec i’ < 0 = HI1 – I2H’ = b sin i -

b sin |i’| d’où = b (sin i +sin i’)

= p avec l’ordre entier p

en réflexion avec i’ < 0 = HI1 – I2H’ = b sin i -

b sin |i’| d’où = b (sin i +sin i’)

= p avec l’ordre entier p

4- Déviation d’un réseau

En transmission, la déviation D est l’angle entre la direction incidente et la direction diffractée. En réflexion, D est l’angle entre la direction de réflexion (selon la loi de Descartes) et la direction diffractée. En utilisant les mêmes conventions de signe, on a D = i + i’ . 5- Dispersivité du réseau et ordres possibles sin i’ = p/b - sin i Le réseau est dispersif puisque i’ dépend de et donc

de la couleur de la lumière. Pour chaque valeur non nulle de p, on obtient un spectre. Le bleu est moins dévié que le rouge (au contraire du prisme). Pour p = 1, on a l’ordre 1 et pour p = -1, on a l’ordre –1 : en général les angles ne sont pas symétriques sauf en incidence normale lorsque sin i = 0.

Mais pour p = 0 , le faisceau n’est pas dévié : D = 0 car i’ = - i (le faisceau a traversé la normale). Dans ce faisceau « direct », toutes les couleurs éventuelles restent superposées : il n’y a jamais de spectre à l’ordre 0 ! Mais c’est pourtant toujours l’ordre le plus lumineux… Dommage.

La luminosité des ordres décroît lorsque l’ordre p augmente.



Le nombre d’ordres existant est limité et correspond aux valeurs possibles de p entier relatif vérifiant la contrainte -1 < sin i’ < +1, ce qui implique alors pour p la condition restrictive (sin i -1) b/ < p < (sin i +1) b/

Les réseaux « blazés » sont spécialement conçus pour envoyer plus de lumière sur un ordre « privilégié » (par exemple p = 1 ou 2) afin d’obtenir un spectre exploitable plus lumineux et de pouvoir mieux percevoir des raies peu intenses.

Q5a- Un réseau plan (avec n = 500 tr/mm) est utilisé en réflexion. Il est éclairé sous 30° d’incidence avec un faisceau laser à 650 nm. Calculer les angles pour

3p et représenter les différents faisceaux mis en jeu. Commenter. Q5b- Le réseau d’un goniomètre est éclairé sous incidence oblique (i > 0) par une lampe Mercure très puissante dont le rayonnement a été filtré pour en extraire uniquement la lumière verte à = 546.1 nm. Le réseau est plan et utilisé en transmission. On relève très précisément les angles de sortie notés α, β, γ, δ (exprimés dans la convention de signe habituelle et en se référant à la normale au réseau) correspondant aux quatre raies vertes observables les plus lumineuses. On les ordonne par luminosité décroissante : α = -45.00°, β = - 15.68°, γ = +9.59°, δ = +37.12° (l’angle a pour la raie la plus lumineuse, etc.). - Faire une figure à main levée positionnant les rayons incident et diffractés (à peu près à l’échelle, à 5° près par exemple). - Déterminer l’angle d’incidence i et le nombre de traits par mm du réseau, soit n. Justifier. - Calculer la déviation des quatre ordres décrits. - A-t-on observé la totalité des ordres a priori visibles (et donc mesurables) dans cette expérience ? 6- Minimum de déviation d’un réseau Comme dans le cas du prisme, on observe expérimentalement un minimum de déviation lorsque i varie. Pour la déviation minimale Dm on a : 0'1'' di

dididi

didi

diiid

didD et donc 1' di

di D’autre part, en dérivant la formule des réseaux on trouve :

0'coscos''coscos'sinsin0

iididiiiiidi

db

pdid

dont on tire la condition 'coscos ii



Cette condition est vérifiée dans deux cas : i = - i’ En transmission, correspond au faisceau direct non dévié avec D = i + i’ = 0 . C’est un cas sans intérêt pratique. i = i’ En transmission, le faisceau diffracté est alors symétrique de l’incident par rapport au réseau avec Dm = 2 i . Ce cas particulier est l’angle de Bragg des Cours de matériaux (diffraction de rayons X sur les plans cristallins d’un matériau adéquat).

Q6a- Montrer que le nombre de traits/m et le pas du réseau vérifie la formule

2sin21 mDpbn

Avec un réseau utilisé en transmission, on mesure au goniomètre une déviation minimale de 41.39° à l’ordre 2 pour un pinceau lumineux à 589,3 nm. En déduire le pas du réseau ainsi que son nombre de traits par mm. Q6b- On utilise un réseau plan avec un faisceau laser. A quelle(s) condition(s) le pième ordre se superpose-t-il au faisceau incident ? Que peut-on alors mesurer ? 7- Dispersion du réseau La dispersion

'' id

idDi estime l’efficacité du réseau à séparer angulairement des lumières de longueurs d’onde proches.

On a 'cos'

inp

didDi à angle d’incidence i constant pour un réseau où n est le

nombre de traits/mm (1/b) et p l’ordre. Q7a- Démontrer ce résultat. Montrer que la dispersion Di n’est pas constante en général, sauf pour une configuration dite de « spectre normal ». Expliquer. Q7b- Mesure du doublet du sodium avec un réseau en tp Une lampe au sodium émet deux types de lumière jaune très proches à 589.0 et 589.6 nm appelé « doublet du sodium » et présentant un faible écart Δλ = 0.6 nm. Un réseau est mis en œuvre dans sa configuration « classique » : une fente éclairée par la source de lumière étudiée sert d’objet à une lentille de projection afin d’obtenir des traits lumineux fins sur un écran E. La netteté est réalisée pour la distance d = 0.50 m. Le réseau R est ensuite réglé à son minimum de déviation. La figure suivante représente la configuration mais avec des angles très exagérés ( !).



S : lampe au sodium, F : fente, R : réseau, E : écran de réglage, W : webcam sans objectif

- Calculer l’angle de déviation minimale pour un réseau à nréseau = 300 tr/mm utilisé au premier ordre. En déduire l’angle d’émission i’ (constater l’exagération des angles). - Estimer la dispersion du réseau utilisé au 1er ordre. En déduire l’écart angulaire Δi’ correspondant à Δλ (écart du doublet) puis ΔDm. Compte tenu des faibles angles, on doit utiliser un seul écran pour E et W : l’écran E est en fait la surface d’un capteur d’image de webcam (sans objectif) initialement aligné sur le banc lors de la mise au point. W est ensuite déplacé pour recevoir et visualiser la lumière déviée par le réseau. La surface du capteur de W est perpendiculaire au faisceau de lumière. - Quelle relation a-t-on entre d, ΔDm et Δx où Δx est l’écart de position sur le capteur de la webcam des deux raies associées au doublet. - Un pixel de la webcam fait 5.6 µm de large. Que voit-on sur l’écran du PC ? Comment mesure-t-on Δλ ? Remarquer qu’il est illusoire de vouloir se servir de ses yeux et d’un écran usuel… 8- Pouvoir de résolution du réseau En utilisant un réseau à n trait/mm et en considérant le spectre d’ordre p, peut-on a priori distinguer (« résoudre ») les franges correspondant à deux lumières colorées à 1 et 2 = 1 + ? Le principe de la réponse consiste à utiliser le « critère de résolution » de Raleigh en considérant une « fente » de largeur bNL où L est la largeur de la zone du réseau éclairée par le faisceau incident et N le nombre total de traits éclairés. En considérant l’écart angulaire de dispersion correspondant à , on peut démontrer la condition théorique pour que les deux raies soient résolues : p N est le « pouvoir de résolution théorique » (à l’ordre p).

pN



Q8- On souhaite « résoudre » le doublet du sodium (λ = 589.3 nm et Δλ = 0.6 nm). Quelle est la largeur minimale théorique de la zone à éclairer pour un réseau à 100 tr/mm utilisé à l’ordre 2 ? 9- Réalisation de spectres de couleurs : monochromateur et spectrophotomètres Principe : La lumière à analyser est concentrée à l’entrée de l’appareil, les différentes composantes colorées sont dispersées par le réseau. L’éclairement selon la longueur d’onde est mesurée à l’aide d’un photorécepteur sensible à large bande passante tel un photomultiplicateur ou un CCD afin d’obtenir le spectre. Il y a deux principales stratégies : réseau fixe + capteur d’image à pixels multiples : acquisition du spectre en une

seule exposition par le spectrophotomètre réseau tournant + détecteur unique : acquisition par le monochromateur en faisant défiler le spectre lors d’une série d’exposition.

Spectrophotomètre : Dans cette configuration, la lumière polychromatique à analyser, collectée par une fibre optique, est introduite dans le spectromètre en (1), au travers d’une fente (2) et d’un filtre optique (3). Le faisceau est réfléchi vers le réseau en réflexion (5) par un miroir courbe de collimation (4) destiné à élaborer un faisceau quasi-parallèle (angle d’incidence constant sur toute la surface du réseau). Le faisceau issu du réseau dont les couleurs sont maintenant « dispersées » est renvoyé par un second miroir courbe de focalisation (6) sur le capteur d’image (8) dont chacun des pixels de sa « mosaïque » recevra la lumière d’un élément



spectral Δλ distinct et élaborera une réponse numérique après conditionnement et conversion. Le capteur inclut souvent un système de lentille (7) optimisant ainsi la collecte du flux sur les pixels.

Les différentes composantes du spectre sont dispersées angulairement et la lumière de l’ordre le plus lumineux (par exemple l’ordre privilégié d’un réseau blazé) est dirigée vers un capteur d’image pour une mesure simultanée des différentes composantes du spectre. Par exemple on peut utiliser une « barrette » CCD composée d’une « mosaïque » de 2048 pixels alignés. Chacun des pixels mesure la lumière qu’il reçoit selon sa position (sa bande passante va de l’UV au proche IR…) mais par construction cette lumière reçue correspondra à une bande étroite p du spectre

Spectre d’une led blanche obtenu en TP



Monochromateur La lumière à analyser est concentrée sur la fente d’entrée F1, reprise par les miroirs plan Mp1 et concave Mc1 pour éclairer le réseau R. La direction de la lumière en sortie est fixe par rapport au boîtier à cause des miroirs Mc2 et Mp2. Le réseau, monté sur une tourelle motorisée, peut tourner autour de son axe de sorte que l’angle d’incidence varie. Les différentes composantes du spectre défilent alors devant la fente de sortie F2 afin que leur intensité soit mesurée par l’unique détecteur en sortie (usuellement un photomultiplicateur).



Pour une position donnée du réseau R, on a l’angle d’incidence i > 0 et l’angle du faisceau diffracté disponible en sortie i’ < 0. Selon la formule du réseau travaillant dans l’ordre p (par exemple 2 sur un réseau blazé privilégiant cet ordre), cela correspond à une longueur d’onde en sortie, avec = ( b / p ) × (sin i +sin i’) . Lorsque le réseau tourne d’un angle d, on constate que i et i’ varient de di = di’ (compte-tenu de la convention de signe) et du fait que les directions « absolues » (par rapport au boîtier) sont fixes en entrée comme en sortie. La formule du réseau montre qu’alors la longueur d’onde de la lumière disponible en sortie a varié de d : en modifiant l’angle, on fait ainsi varier la longueur d’onde de la lumière en sortie et donc défiler le spectre. La molette de rotation du réseau peut être étalonnée en longueur d’onde. Q9- (facultatif) Pour un réglage i0 et i’0 , la longueur centrale de la bande 0 est disponible en sortie. Montrer qu’une rotation régulière du réseau à vitesse angulaire permet de faire défiler le spectre en sortie à dt

d constant. On trouve : 00 'coscos iinkdt

d


Ch6 Interférences sur lames minces 1 © Bruno Velay

INTERFERENCES SUR LAMES MINCES Configuration de « Fabry-Pérot »

1- Observation d’une lame mince à faces parallèles 1.1- Franges d’égale inclinaison observées en réflexion, en transmission Q1a- Une lame de verre à faces parallèles, d’indice n et d’épaisseur e, est entourée d’air. Elle est éclairée sous un angle d’incidence i par un faisceau monochromatique. On observe a priori une « infinité » de rayons réfléchis parallèles entre eux. Il en est de même pour les rayons transmis. On raisonne d’abord de façon à ne pas avoir à tenir compte de la répartition de l’énergie initiale entre les différents rayons.

Rappel : un déphasage supplémentaire d’une demi-période est ajouté lorsqu’une onde se réfléchit sur un dioptre séparant le milieu d’origine d’un milieu plus réfringent. * Montrer que la différence de marche entre deux rayons réfléchis successifs est δ = n (AB + BC) – 1 × AH + λ/2 . Préciser où a lieu le déphasage supplémentaire à la réflexion. * Montrer que δ = 2 e n cos(r) + λ/2. A quelle condition ces interférences multiples sont pleinement « constructives » ? « destructives » ? Où sont localisées les franges d’interférences ? * Dans cette situation, on parle souvent alors d’interférences d’égale inclinaison. Justifier ce nom. Expliquer comment observer en transmission des franges en forme d’anneaux. 1.2- Exemple : couleurs interférentielles Q1b- Pour une couche mince d’épaisseur e, quelles couleurs forment-elle des interférences pleinement « constructives » ? Que se passe-t-il si la couche, d’épaisseur convenable, est éclairée par de la lumière solaire ?

Voir deux photos : insecte, bulle d’eau



1.3- Application : couche(s) antireflet(s) Voir deux photos : observations avec deux verres non traité ou traité multicouches

Q1c- A défaut de pouvoir agir sur tout le spectre visible, la première solution envisagée dès les années 60 était une « simple » couche antireflet conçue pour ne plus refléter la couleur dominante visible du spectre solaire (à savoir une large bande centrée sur le vert à 555 nm). On considère donc une couche mince d’épaisseur uniforme e et d’indice 1.35 déposée sur un « verre » synthétique d’indice 1.80 . Pour simplifier, on suppose que les faisceaux réfléchis sur les deux faces de la couche anti-reflet sont de flux comparables et que la lumière solaire incidente est quasi-normale au « verre ». Quelle doit-être alors l’épaisseur minimale de la couche pour ne plus refléter cette bande verte ? Mes verres de lunettes sont-ils revêtus d’une telle monocouche antireflets ?

Voir deux photos : reflets sur lunette et sur vieux objectifs photo Voir schéma de « sandwich » de couches minces déposé sur un verre de lunette actuel

2- Exemple d’interféromètre de « Fabry-Pérot » : étalon de laboratoire 2.1- Spécifications typiques de ces interféromètres Deux miroirs semi-transparents et parallèles réalisent une « lame d’air » Traitement des lames R = 95% dans le visible (5% de l’énergie est transmise) Parallélisme : vis de réglages fins de l’orientation des deux lames sur deux axes orthogonaux (H et V) pour plus de simplicité Epaisseur de la lame d’air (e) de ≈ 0 à 25 mm, réglable avec une précision micrométrique Planéité des éléments optiques </20 2.2- Mise en œuvre avec une source étendue

Voir une photo : 1- Lampe spectrale, 2- Dépoli, 3- Interféromètre, 4- Appareil photo 2.3- Mise en œuvre avec un faisceau de lumière sous toute incidence (source étendue) On rappelle que la condition d’interférence pleinement « constructive » pour une lame d’air à face parallèle d’indice n = 1 et éclairée sous l’angle d’incidence i est :

pien 2cos22



Pour une raie donnée du spectre, on obtient une série de franges d’interférences circulaires (figure définie par un même cos i = « franges d’égale inclinaison »). Ces anneaux sont numérotées par l’entier p (le numéro d’ordre). La tache centrale correspond à une incidence quasi-normale.

Anneaux d’égale inclinaison observés avec une lampe spectrale à vapeur de cadmium



2.4- Principe de la mise en œuvre avec un faisceau de lumière parallèle

Configuration en analyseur de spectre S est une source ponctuelle (par exemple la sortie d’un analyseur de spectre de

type « monochromateur à réseau » de résolution insuffisante). La première lentille L1 forme un faisceau de lumière parallèle qui arrive en incidence normale sur les miroirs M1 et M2. Les deux miroirs sont espacés de l’épaisseur e et forment la cavité de l’interféromètre (configuration dite « de Fabry-Perot »). La seconde lentille L2 « rapproche » la frange centrale localisée à l’infini optique en projetant la tache sur son plan focal image où le détecteur permet la mesure de l’éclairement reçu. L’éclairement est maximal en interférences pleinement constructives.

→ La cavité devient très sélective : la lumière transmise est alors quasi-monochrome à la longueur d’onde sélectionnée par le réglage d’épaisseur.

(en fait, il y a une suite de longueurs d’onde sélectionnées qu’on appelle « modes de la cavité ») 3- Interféromètre de Fabry-Pérot : modèle 1 D 3.1- Amplitude de l’onde en sortie de la cavité Hypothèses - Un faisceau incident arrive dans la cavité le long de l’axe x ; il subit des réflexions successives dans la cavité puis en sort. - Lors de l’entrée en O, l’onde incidente a une amplitude A et une phase nulle à l’origine des temps : tjKxtj eAeAtA )(

0 .



- On suppose qu’un aller-retour de l’onde ajoute un déphasage φ. Les réflexions sur les miroirs M1 et M2 n’apportent pas de déphasage supplémentaire à l’onde. - Donc en absence des deux miroirs, l’onde arrivée en P aurait une amplitude :

2 jtj

smP eeAtA - Pour les amplitudes, les miroirs ont des facteurs de réflexion r1 et r2, des facteurs de transmission t1 et t2 ; on a de plus 1010 tetr .

Calcul des différentes amplitudes des ondes transmises en P - L’amplitude A0 de l’onde en P qui a traversé les deux miroirs sans aller-retour est 212210 tteeAtttAtA jtjsmP puisque l’amplitude est diminuée à la traversée des deux miroirs par les facteurs d’atténuation des miroirs, t1 et t2 respectivement. - L’amplitude A1 de l’onde en P qui a traversé les deux miroirs après avoir fait un aller-retour est qtAerrtAtA j 02101 en tenant compte des deux réflexions supplémentaires et du déphasage introduit par l’aller-retour supplémentaire. Noter le facteur multiplicatif q correspondant. * L’amplitude AN de l’onde en P qui a traversé les deux miroirs après avoir fait N aller-retour est 2012112 qtAqtAerrtAtA j après un second aller-retour.

NNjNN qtAqtAerrtAtA 01211 obtenu par récurrence après N aller-retours.

Calcul de l’amplitude AP de l’onde résultante en P par interférences multiples - Les N ondes multiples obtenues après les aller-retours supplémentaires sont cohérentes et interférent en P. Pour les N premiers termes, l’amplitude de l’onde résultante est la somme des amplitudes des ondes de la suite :

qqtAqqqtAqtAtAtA NNN

jjN

j jNP

11...1 1

0201 01

car les amplitudes forment une suite en progression géométrique de « raison » q.

- Pour tenir compte maintenant de la totalité des ondes multiples se réfléchissant à l’infini, on doit sommer la totalité des termes de la suite ce qui revient à chercher la limite de la série partielle précédente lorsque N → +∞ . Puisque 1212121 rrerrerrq jj alors la limite de qN+1 tend vers 0 lorsque N → +∞.



L’amplitude de l’onde résultante de ces interférences multiples est : qAq

qqtAtAtAN

jj

j jP

111

1lim 01

1 01

soit jP err

AtA

21

0 11

3.2- Intensité lumineuse de l’onde en sortie de la cavité Expression de l’intensité I (fonction d’Airy) - Par définition l’intensité lumineuse est le carré du module de l’amplitude de l’onde résultante (amplitude complexe multipliée par amplitude complexe conjuguée, notée avec une * et où j est remplacé par –j).

*

210210* 11

11

jjPP errAerrAtAtAI

22212121

221

2121

212212

111 rrerrerrttA

errerrtteeAtteeA

I jjjj

jtjjtj

cos211 212

21

221

212

21

221

rrrrttA

eerrrrttAI jj

où 2 cosφ = ejφ + e-jφ

- L’expression peut se simplifier en remarquant que 221212

21 211 rrrrrr Le dénominateur devient alors cos121cos221cos21 21

2212121

22121

221 rrrrrrrrrrrrrr

2sin41 2212

21 rrrr car 1 – cos (φ) = 2 sin²(φ/2) - L’intensité peut se mettre sous une forme canonique plus facile à étudier : T = t1 t2 et R = r1 r2 sont les facteurs de transmission et de réflexion énergétique dont la somme est T + R = 1 .

2sin411

2sin412sin41 2222

222

2212

21

221 RR

RARRTA

rrrrttAI



2sin14

11 222

22

RR

RR

AI d’où finalement

2sin1 20

MII

où on a posé 214

RRM et I0 = A² .

Tracé de la fonction d’intensité lumineuse en transmission I(φ) en fonction de la phase φ

La fonction I(φ) est 2π périodique (parce que sin²(φ/2) est elle-même périodique). Q3.2- Montrer que la valeur maximale est Imax = I0 , que la valeur minimale est Imin = I0 /(1+M). Identifier la série de modes de la cavité pour lesquels I est max. 3.3- Propriétés des modes de la cavité – pouvoir de résolution Q3.3a- Montrer que le contraste

maxminmax

IIIC vaut M/(1+M). Quel paramètre

de l’interféromètre influence le contraste ?

Largeur à mi-hauteur du pic d’un « mode » δφ et finesse F Les valeurs de phases à « mi-hauteur » (Imax /2) sont notées φ2 = 2pπ + ε et φ1 = 2pπ – ε Usuellement on constate ε << 1 . Δφ = 2π est la période sur l’axe des phases. Q3.3b- Montrer que la « largeur » d’un mode est = − = √ = ( )

√ (utiliser un développement limité au 1er ordre : sin x ≈ x pour x << 1).

Q3.3c- En déduire que la finesse de l’interféromètre est = ∆ = √ .



Intensité en sortie de l’interféromètre pour différentes valeurs de R (noter que le contraste C ↑ et la finesse F ↑ lorsque R ↑)

Tracé de la fonction de finesse F en fonction du coefficient de réflexion énergétique R des miroirs

Simulation de la figure d’interférence selon deux valeurs de R (noter que le contraste C ↑ et la finesse F ↑ lorsque R ↑)



Pouvoir de résolution du Fabry-Perot Le déphasage sur un aller-retour avec une incidence normale est en 22 , ici l’indice n = 1 pour de l’air. On en déduit

22212222 enenen

La finesse F varie selon la couleur :

22

2122 22 enenF

Cas limite de « résolution » de deux raies proches

sur le critère de « mi-hauteur » (max/2) A la limite de résolution, on arrive à séparer l’écart minimal min . Le « pouvoir de résolution » PR du Fabry-Pérot est défini par :

FenFenPR 222

min

Au final Fen 22

min donc plus la finesse F est grande, plus min est petit

et plus la résolution de l’interféromètre est grande. Q3.3d- Application numérique : calculer C et F pour l’interféromètre de TP présenté comme exemple au §2.1 (R = 0.95). Cet interféromètre peut-il « résoudre » les raies du doublet du sodium ? (épaisseur e = 1 cm, λmoyen = 589.3 nm et Δλ ≈ 0.6 nm ) Résumer l’influence du paramètre R.

Voir une photo : réponse à Q3.3d



4- Filtre interférentiel (voir l’annexe A5 du TP6) 4.1- Description du filtre Un filtre interférentiel est un dispositif qui utilise le phénomène d’interférences pour ne laisser passer qu’une bande spectrale étroite du rayonnement incident. Ce composant est appelé « MDM filter » (pour Metal/Dielectric/Metal) : La couche 1 est réalisée avec un diélectrique qui est un matériau isolant

d’indice de réfraction n dont l’épaisseur e doit être bien maîtrisée. Dans cet exemple : n = 1.339 cryolithe Les deux couches 2 sont réfléchissantes et doivent se comporter comme de bons miroirs. Elles peuvent être réalisées par un dépôt métallique (d’où le M) ou encore un empilement spécial de couches diélectriques d’indice alternativement élevé et faible qui se révèle être très réfléchissant. Soit le facteur de réflexion R = 0.95 dans cet exemple. Ces couches très fines sont déposées sur des lames de verre 3, formant « sandwich », qui assure rigidité et protection. Les trois couches 1 et 2 forment un interféromètre de Fabry-Perot ( à lames à faces parallèles).

Comme le montre la seconde figure, le faisceau incident est partiellement transmis à la suite d’une succession de réflexions et transmissions multiples ; les différentes ondes transmises étant susceptibles d’interférer selon le déphasage introduit par les différences de chemins optiques parcourus.

4.2- Fonctionnement du filtre interférentiel renk cos22

est pour cette configuration le déphasage φ utilisé dans l’étude de I(φ) où

2k est le vecteur d’onde, ren cos2 la différence de marche (ddm) δ introduite par une lame mince à face parallèle d’indice n et d’épaisseur e éclairée en incidence oblique. Remarque : en transmission il n’y a pas de déphasage supplémentaire du à une réflexion. Pour des interférences observées en réflexion, il faudra introduire un déphasage supplémentaire de π.



Q4.2a- Montrer que le filtre transmet une série des longueurs d’ondes : = ( ) avec p entier naturel

Q4.2b- Quelle doit-être l’épaisseur de la couche de cryolithe ( n = 1.339) pour qu’à l’ordre 1, le filtre sélectionne la raie verte du mercure à 546.1 nm en incidence normale ? Les ordres supérieurs 2, 3 etc. posent-ils problème pour l’utilisation d’un tel filtre avec des lumières « blanches » (spectre couvrant tout le visible) ? 5- Cavite optique d’un laser 5.1- Description de la cavité - La cavité du tube laser He-Ne a une longueur typique de 15 cm, emplie d’un gaz d’indice n ≈ 1. Un des miroirs est quasi parfait R2 =1, l’autre permet la sortie du faisceau R1 = 0.98 .

Voir trois photos : laser He-Ne - La cavité d’une diode laser à une longueur typique de 300 µm Le matériau de la zone utile a un indice n = 3.6 donc 32.01

1 221

n

nRR . Voir deux schémas : diode laser

Rappel : la diffraction par la face rectangulaire de sortie du matériau de la diode est responsable de l’absence de symétrie du faisceau de sortie (faisceau polarisé).

5.2- Fonctionnement de la cavité optique d’un laser

Dans cette configuration le déphasage φ utilisé dans l’étude de la fonction d’intensité est : LncLnk 2222

où

2k est le vecteur d’onde, Ln 2 le chemin optique pour un aller-retour dans la cavité de longueur L contenant un milieu actif d’indice de réfraction n et ν la fréquence de l’onde.



Comme dans toute configuration type « Fabry-Pérot », il y a une série de modes pour lesquelles les interférences sont constructives (on parle de « valeurs de résonance » de la cavité). Q5.2a- Montrer que les modes de la cavité vérifient :

= et = avec p entier naturel Q5.2b- Montrer que l’intervalle spectral libre de la cavité en fréquence est constant avec ∆ = − = alors que celui en longueur d’onde ne l’est pas, soit ∆ = (Δλ est l’écart intermode, entre deux modes longitudinaux successifs de la cavité). Q5.2c- En reprenant les formules trouvées précédemment, calculer le facteur de réflexion moyen 21 RRR , le contraste C, la finesse F, l’écart intermode Δλ et la largeur à mi-hauteur d’un mode δλ pour les cavités des deux lasers décrits : Laser Hélium-Néon λHeNe = 632.8 nm et diode laser rouge λDL = 670 nm. Remarque : les résultats numériques du calcul montrent que la mesure pour une diode laser est accessible à notre laboratoire (projet de MC) alors que pour un laser gaz, ce n’est pas faisable.

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