Numerieke berekening van de specifieke energie U bijdraaienHijink, J.A.W.; van der Wolf, A.C.H.

Gepubliceerd: 01/01/1973

Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 27. Aug. 2018

.~ ..

.,

techni6che hogeschool eindhoven vokgroep produktietechnologie

---------------------------------~ rapport von de seeti.: Ve~spaning

tit.l: Numerieke herekening van de specifieke

energie U'bij draaien.

aut.ur(s):

J.A.W. Hijink en A.C.H. van der Wolf

,.ctieleider: Dr.lr. H.J.J. Kals

hoogleraar: Prof .Dr. Ir. A.C. H. van der Wolf

,omeAvatting

Indien de kolkslijtage van het spaanvlak met behulp van een diffusiemodel wordt beschreven, is de specifieke energie U voornamelijk een functie van :

1. - de spaanvlaktemperatuur Ok 2. - de gemiddelde schuifspanning in het afschuifvlak Ts' 3. - de vormfactor van de kolk rk •

Met behulp van eerderwerk van Siebers [2], Veenstra [4] en Hulst [3] zijn numerieke waarden nodig voor de berekening van de onder I, 2 en 3 genoemde variabelen, over een breed gebied van verspaningskondities bekend. Met herhaalde regressie wordt via het diffusiemodel de specifie­ke energie U berekend. Er is gevonden dat U een funktie is van e

k en weI :

U = -0.961688 • 106

+ 0.787512 • 103 * ek M~l

waarbij Ok in oK moet worden opgegeven.

prognote

biz. van biz.

rapport nr.0320

c:ocIering:

trefwoord:

specifieke

energie

datuM:

09-'11-73

oontal biz. 20

geschild yoor publicati. in:

intern

1. INLEID ING

Indien we veronderstellen dat met behulp van de Gottwein-methode de

temperatuur van het spaanvlak gemeten wordt, kan de dimensieloze kolk­

slijtage geschreven worden als

z o

I=3ii T

S

r;; e

zoals beschrevenwordt in rapport WT 0190 [1].

In deze formule is :

'Ik = kolkslijtage

I = verspaand volume

Z = 0

absolute slij tage index

H = hardheid van het slijtend materiaal

T = s gemiddelde s chuif spanning in het afschuif-

vlak

rk = vormfactor

U = specifieke energie

R = absolute gaskonstante

" ~~9 = met"behulp van de Gottwein-methode geme-k ten temperatuur aan het spaanvlak

(1)

3 mm

3 mm

N/nnn 2

N/mm 2

J/Mol

0 J/Mol. K

oK

Indien we tevens aannemen dat Ik een lineaire funktie is van het ver­

spaand volume I kan met behulp van twee onafhankelijke metingen i en j

de specifieke energie berekend worden volgens

u .. R = 1.J ) 1 9k • - Ok.

J ~

(2)

- 2 -

Bierin zijn Q. en Q. de respectievelijke gradienten van het lineaire ~ J

verband tussen kolkslijtage .en verspaand volume.

Op deze wijze kunnen met behulp van vier onafhankelijke metingen zes

waarden voor U .. berekend worden. ~J

Tenslotte is het mogelijk om, met de via verge (2) berekende U .. 's, de ~J

waarde van Zo te berekenen via verg. 3H

2. BEREKENING VAN Ok.' 1

(1) •

Deexperimentele waarden die gebruikt gaan worden, zijn die welke eertijds

door Siebers [2J gemeten zijn.

De proceskondities waren hierbij

aanzet per omwenteling a = 0.15 rom

snedebreed te b = 3 rom

snijsnelheid VI = 3.33 m/s

V2 = 3.83 m/s

V3 = 4.33 m/s

V4 = 5 m/s

Beitelgegevens . .

materiaal 82 coromant

heUingshoek A = 00

snijkantshoek K = ISO

spaanhoek y = 60

-vrij loophoek a = 50

Werktstukmateriaal

staal C 45

Met deze gegevens en de door Hulst 1n literatuur [~ gegeven formule

- 3 -

0.11 0.29 V . a + 293

worden de 8k . 's berekend (zie tabel I). 1.

3. BEREKENING VAN Q .• 1

(3)

De waarnemingen van Siebers [2] worden gebruikt om de'Q. 's fe oepalen. 1. ' Hierbij wordt een lineaire regressie uitgevoerd op Je ~::t~~fi~~. Van

iedere meetserie zijn enkele waarnemingen a..i:i:1 hel: begiii ~~~g~t~ten am

het inloopverschijnsel te elimineren.

Vit de geregresseerde funktie Ik. = ai + biti worat 81 ~~tt1~g~~teld l.

san b, de helling van de lijn.

De zo gevonden Qi's (zie tabel I) worden k~aardt{sc~ ~~i~~i~~~:~fd als

funktie van de snijsnelheid V. , .. ----'V -T1' ---~~"'<:..-r- ""'~~

In bij lage 1 vind t men de waarnemingen van Siebers {~ gr~f i:k:vorm en de

,bijbehorende regressies van Q •• l.

4. BEREKENING VAN DE '5.' l.

- ~I C' ';:''J''I7'''\',,..

In het werk van Hulst [3] zijn waarden van T gegeve~ als funktie van s

a en V. . u~t,.,€,,~C

Al1ereerst is bij konstante V's een lineaire regressie u1.tgevoerd op T s als funktie van a. waarna voor a = 0.15 rom debIJbeho;~ria~ ,st;;;rekend . s is. De aldus gevonden waarden zijn lineair geregresseefa ~6t ~en funktie

t = t (V) voor a = 0.15 rom. s s , ,', . 1· " -

Voor de eerder genoemde snijsnelheden zijri vervolgens i~.; is~. 's en s, s2; 3

LS berekend (tabel I). 4

Voor de diverse regressies wordt verwezen nair biJlage 2:

5. BEREKENING VAN rk • i

rk. kan berekend worden uit 1

- 4 -

(4)

waarin $. de afschuifhoek, S. de wrijvingshoek en y de spaanhoek is. 1. 1.

Wederom met behulp van het werk van Hulst [3] is allereerst bij konstante

V'seen kwadratische regressie uitgevoerd op (S-y) als funktie van de

aanzet.

Vervolgens zijn voor a = 0.15 rom een aantal waarden voor (S-y) uitgerekend

als funktie van V.

Met behulp van kwadratische regressie werd nu het verband van (S-y) als

funktie van V gevonden, waarna uit dit verband voor de verschillende snij­

snelheden de bijbehorende (S-y) 1.S uitgerekend. (zie bijlage"3)

Met behulp van de door Veenstra [4} afgeleide hoofdvergelijking" :

2 tan ($ + S -y) = tan (</> -y) + cote,)

zijn de bijbehorende waarden van $ berekend.

Op dit moment kan met verga (4) de rk . berekend worden (zie tabel I en l.

bijlage 3).

6. BEREKENING U .. 1.J . .

.. Met behulp van verga (2) en de berekende waarden 9k , Q, TS en rk

·kan nu de U

uitgerekend worden, zowel met als zonder geregresseerde Q. De resultaten

"-staan in tabel II.

In bijlage 4 is de programmatekst en de berekening opgenomen.

7. KONKLUSIES

Uit tabel I kunnen de volgende konklusies worden getrokken :

1. zowel TS als fk zijn in een groot gebied tamelijk konstant,

2. de waarden van de gevonden U's zijn voor wat betreft de orde-grootte

$elijk aan de door Cook [~ en anderen gevonden waarden,

3. de geregresseerde waarden voor Q geven een monotoon verloop van de U

te zien en suggereren een temperatuur afhankelijkheid.

- 5 -

Onderzoeken we dit verder met behulp van lineaire regressie waarbij

o +0 k. k. we aannemen dat U .. behoort bij een temperatuur 0

l.J k •• l.J vinden we

U = -.961688 * 106

+ 0.787512 * 103 * 0k

(zie ook bijlage 4),

4. tens lotte kan met behulp van de formule

r. l. Q.-

l. '[ s. 1.

U. l.

e 'R 0 k· l.

::: l. J

2

t waarbij U. uit (6) wordt berekend, waarden voor de grootheid 1.

'z o 3H worden gevonden. Deze waarden zijn weergegeven in tabel It

Z

dan

(6)

(7)

5. uit tabel I blijkt dat ook de grootheid ~ blijkbaar sterk afhankelijk 3H

is van de temperatuur. De grootheid neemt toe met toenemende 0k , omdat

dan uiteraard de hardheid H st~rk afneemt •

. .

- 6

J _ 1' ... C _ VEENs::J:CRA

Gromslagen van het 6ndelr~O:~ rr~ de: tm&"l'miischeo g;]Jiijlia~e van snijd4!m gereedschap.,

R.a.ppor t WT 01 90 •

2.. P .. R. SIEBERS

Verloop van de gewogen: IIfaSsa s:iijt:~e: van net: ~eedsc.hap iIi d'e

tijd hij bet draaipr6ces.,

bpport liT 0172.

3 .. A .. P .. A .. J. HULST ~-Berekening vanbeitele-empelfa:t.ulYelf. ~15:iiJ c!lf8'<fii&r.,

ltapport WT 0135.

4. P .. C. VEENSTRA Bwarkbaarheid bij de; velfspaning.,

Rapport WT 0128.

5 .. N"H. COOK & P.N. NAYAK The thermal Mechanics of Tool Wear .. Transactions of the ASME.

Journal of Engineering for Iftdustry, February 1966/p. 93 - 100.

TAB'lL I

,

!If ~fl v. St<. Qi Q i 1.' fki l. 11 '31i' l. t i geregresseerd

mls oK - - N/rmn2 - mm2./N

, -p -7 .01

3 I \01"'7 D 3.33 B298 O .. 9({)lb({)l2(i)l DO 1t)).94(()l9'9'0l kO 0l .. 6,&~~~l ... 0,99, 01,4091(>'~ ,

'l 3 .. 8,3 )339' ({)l.B)'J8~ Hn-6. 6)) .. )2'047/& b(()l-~ 01 .. 7lM~ll' b0l3 , .. 0&lq 01""qp'~'~ .01"6

O.)SS166 )€}-6 f>.)65129 )(()l-6 O .. 'Z'203f>66 163

} .. OJt& O,l1l44 · ... 4 i

:3 4.33 , l377 )0 i !

4 5.00 1423 0.258503 10-6 0.255954 10-6 0.7425364 103 1.0618 0.24993 10-3

- 8 -

TABEL II

u .. 9 9k .+9k .

U •• 1 J 1J 1J k .. =

* 1J 2 ij met berekende Q. met geregresseerde Q .

1 1

J/Mol J/Mol OK

12 120862 73672 1318

13 89325 92822.7 1337

14 115686 109136 1360

23 , 53228 , 114743 1358

24 112917 128113 1381

34 165318 139851 1400 . .

-

• 6

.S

Bij lage 1 .

. v = S m/s 4033 3083 3033

(dr 1

(clrkell (V 1 er k 0 1 (plus)

verspaand YO 1 ums (1)

- 9 -

.\ . ;

(mm3)

-Fig. 1. Waarnemingen van Siebers [2] waaruit de

Q's berekend zijn.

• 1

;~' .

4

X +.135000'+ 7 +.180000'+ 7 +.225000'+ 7 +.270000'+ 7

~ +.315000'+ 7 +.360()OO'+ 7 +.1.105000'+ -, +.450000'+ 7 +.495000'+ 7 +.51.10000'+ 7

- 10 -

F'CJ()1UO' . "'- "~- " .,

+.32'1600' - I-i +.6"40700'- 'r +. 9'"::::R200' - r +.(29600'+ '0 + • (67900' + a ..:. t:., c ~_ ~ ~ _ ~. •

+.21'-5200"+ a +.24~j"(od'+ '0 +.2~44od'+·o +.343100'+ '0

..;.. ""."" '] ; -.t . +. 405300' + 0

DE P,;JLY'J1.1i4 W~RDT: .

-+ Qj ~j (F. 90.1:020 -1- 0 ~ ~ - -

F'( ,.{,'\fI EtA': +. rS'/7g 5!'-~ '1-+ • S&3244"".-' '1-+ • 9'(f~7 03 • .:. 1 t + .r31416"+ '0 +. rT1962'+ '0 +.2rR503'+ to +.259{)54'+ '() +.:;'.:N600'+ '(j

+.3~0rL16t+ 't.)

+.~(J691·J" '0

4FW;% +se • .q.{l::',

+12i09 -6 ... 6t)-

-6 ... 03' -5 .. 99--}.5tb -4 .. 00 -5 .. ~,M·, +h06-: +6-.o;rr.

Y(X)=-oRSI006'-' -1 ~;1'3'l'8~R'- -6 ',I,:)('t '1 -+ -Q{:= =0.] 3[88& :1 ~ -: 6- '

\\18\1ST U DE !JUDE E\j RERE:'''(E''~DE 'l'<AAfill~'II :>.JAAST ELKI\t\R (,]A= t·): t

X Fb6jUD Ff:{) \II E)j!,.,J AF\<J % +.931500'+ 6 + :5:>6700 • .: -1 + ;377533'': -1 +32.1~

+.11 ~OO'+ 7 +.-130600' - -) + .-649g8 3 'o.' -I +11.05 +"134500'+ 7

_ ',-'. r

+.913400'- -1 +;'922R91'- -1 -1.04" +.155200' + 7 +:d7600'+ "0 +;}<1\cj590'+ -0 -1~69

+.175900'+ 7 +;1426(1)'+ ·0 +;lil6~91 '''';·0' -80:01' +.196600'+ 7 +:165300'+ 0 +.174192'+ 0 ·-5.33 +.217300' + 7 +;192100'+ - 0 +o~01493'+ -0 -.lj.~9

+.238000'+ 7 +~~13600'+-0 +;~2R793'+-O -=r.l1· +.258700'+ 7 +:~L!6200'''' - 0 +.25609.4' -+ - 0 -<4..02 +.279400'+ 7 +;277000'+"0 +.ffi3395'+- 0 -e.3t +. 3001 00' + 7 +:3i2800·.\. 0 +-:'310696'./-""0 +-.67 +. 32!l-'iOO' + 7 +:3~5fbo'+-o +:331997'+-0 +e. 06 +.31.11500'+ 7 +:i 3'17100 '+" 0 +'. 86529'~' +- 0 +-5:.63

- 11 -

Lineaire regressie van 1k = a3 + Q3 13 3

DE P3LY\l;H:vl IrdRDT: '(00=-. 35Li931 '- 1 +.155766'- 6 *::0(1' 1 ~ Q3 = 0.155766 10-6

X' F'(X»)UD F'OO-J!EU1tl AFN + • .46~OOO·+ 6 +.47020:)' - 1 +.374054'- 1 +20 .• 45 +.5~5000·+ 6 +.595100'- 1 +.556300'- I +6.52 +.702000'+ 6 +. 7~n700'''' 1 +.73R546'- 1 ,'-.94 +.!3l9JOO·+ 6 +.8'309()0'- 1 +.920792'- 1 -4.53 +.93600()'+ 6 +.1115:)0'+ 0 +.110304'+ 0 +1.07 +.105300'+ 7 +.12'000'+ 0, +. 12352Fl '+ 0 -3.07

~

+.117000'+ 7 +.142200'+ 0 +.146753'+ 0 -3.20 . +.123700'+ 7 +.157900'+ 0 +.164971i '+ +.140.400'+ 7 +.17r n{)O'+ 0 +. H~3202'+

----+.-t52100 ' + q ...... 19SSBQ'+ 0 '" '';' .20-1 '427' + +.163~OO·+ 7 +.219300'+ () +.219652'+ +.175500'+ 7 +.241100'+ 0 +.231876'+ +.187200'+ 7 +.269300'+ 0 +.256101 '+

Lineaire regressie van 1k = a4 + Q4 14 4

-~m P3L Y·'lJ1::Ji'1 h1RDT:

0 -4.4q 0 -3.10 0 '-2.87 0 +.01 0 +1.34 0 +4.90

Y(~)=-.69ggg6·- 1 +.258503'- 6 *Xr 1 ~ Q4 = 0.258503 10-6

X F'OO3UD F'e X)\H EU'.v AF'vJ +.405000'+ 6 +.434000'- 1 +.3.480S0',- 1 +2i3.09

+.5LiOOOO'+ 6 +.723200' - 1 . +.6970'29'- 1 +3.62

+.675000'+ 6 +. 995600' - 1 +.104601 t+ 0 -5.06

+.8100()()'+ 6 +.130700'+ 0 +.139499 '+ 0 -6.73

+.94S000'-t 6 +.1 :>9400'+ 0 +.174396'+ 0 -9 • .41

+.10RDOO'+ 7 +.206700'+ 0 +.209294'+ 0 . -1.26

+.121500'+ 7 +.243900'+ 0 +.24419'2'+ 0 -.12

+~1350DO'+ 7 +.294600'+ 0 ·+.279090'+ 0 -··+5.26 . /

%

- 12 -

Met behulp van de zo verkregen Q's wordt nu een

regressie uitgevoerd op de funktie Q = Q(V).

De lineaire regressie geeft de volgende resultaten

DE P0L Yi\J?JlJM t'i(~HDn Y(X):,-.243754'- 6 +.977122'- 7 *Xt 1

vJENST U DE:JUDE E;'I.l BEHE-<E:\lDE l~AARDEN:-JA,.r\ST aKAAR (JA:::;lH 1

X' F(X)~UD F'OO:\JIEU~'! Ani

+.333000'+ 1 +.901020'- 7 +.Q16278'- 7 +9.41

+.3~3000'+ 1 +'131888'- 6 +.130if54'- 6 +}.O6

+.433GOO'+ 1 +.155766'.., 6 +.179340'- 6 -15.13

+. 500f)OQ~,. 1 ~_.,±.e258503· - 6 +.244307'- 6 +5.30

Hierin is x = V, F(x)oud = Q en F(x)nieuw = * * de geregresseerde Q • Vooral Q3 en Q3 geven een

~r~ groot verschil.

Vervolgens wordt een kwadratische regressie uitgevoerd

DE P;)L YNJ':jM 1 .. ::3RDT: Y(X)=+.399813'- 6 -.217497'- 6 *Xt 1 +.377450'- 7 *Xt 2

~I£Nsr U DE 'lJUDE E'J BERB<ENDE l·:A.4RD8'J 'JA.AST ELK.A.AR (JA=l): 1

·X F(X)(JUD F<X):.!IEU\li AftH . ~+ .. 33300Q·+ 1 + .. 901020'- 7 +.940990'- 7 -4./.4

+·333000'+ 1 +0131388' - 6 +.120478 '- 6 +8.65 +.433000'+ 1 +'155766'- 6 +.165729 '- 6 -6.AO +.500000'+ 1 +.258503'- 6 +.255954'- 6 +.99

De op deze wijze gevonden * wordt in verdere Q

berekeningen gebruikt.

%

<7 I •

- 13 -

Bijlage 2.

In deze bijlage zijn de regressies opgenQ~~n wetk@ ~ijn ~it­gevoerd om L tIm LS te berekenen.

8 1 4

Allereerst zijn voor konstante V de funkti@~ T, = ~~(a) geregresseerd waarna L s (a=O.15) uitgerekend w@Idt.

]0 V = 1 m/s

DE P3L Y\}'JJt'l viJRDT: ¥eX>=+.642250'+ 1 -.3g2143'+ 0 *Xt 1

\.)£"35T U DE 'JUDE E/~ REREXDIDE hAARDE'II ,\jMST ELKMR (JA= 1 ),: 1

x: F(X)1UD rt( Xl \II ~UVi AFt~ +.200000'+ 0 + .. 617000'+ 1 + .. 63/1607' + f !!2:85 +.300000'+ 0 +.646000'+ 1 +.6307g6'+ 1 +2:36 +.400000'+ 0 +.631000'+ 1 +.6269611'+ t ' +t 64

__ -± .. SOODOQ'+ 0 ±.629000'+ 1 ± ... 623143'+ 1 ~.t--!' 23 +.600000'+ 0 +.620000'+ 1 +.619321 '+ I T: 11

·+.700000'+ 0 +.610000'+ 1 +.615500'+- 1 :"t 9O +.800000'+ 0 +.609000 t +, 1 +.611679'+ 1 ::-:f!:4

20

V = 2 m/s

DE PJL YNJ':~M i:,'3RDT:

"" /~

YOO=+.61)3500'+ 1 +.507143'+ 0 *Xt -+ _'r~_ (~=~~~5) = 6!161071

W£.\lST U DE: (lUDS £,'4 REf~J<E'\IDE !:·!AARDE:'l :'-JAAST El,.KAl\R CJA=l >: 1

X F(X):)UD FC X) :-JIELJI .. J Anl'% . +.200000' + 0 +.610000'+ 1 +.618643'+ 1 :-.J t!J2 +.300000'+ 0 +'t627000'+ 1 +.623714'+ 1 +1'52 +.400000'+ 0 +.637000'+ 1 +.62~786'+ 1 i-l f 29 +.500000'+ 0 +.642000'+ 1 +.633857 '+ 1 +1,!27 +.600000'+ o· +.633000'+ 1 +.63R929'+ 1 :",94 +.700000'+ 0 + .• 634000' + 1 +.644000'+ 1 ~. to Sri +.800000'+ 0 +.654000'+ 1 +.649071'+ 1 tr75

30

V = 3 m/s

DE P.:3LY\lJ3M v:)RDT: y(;{)=+.654000'+ 1 -.665230'- 8 *X1 1

\>J~!-.JST U DE21UDE E'J PEREKE-.JDE ~'..'A.4RDE'J :\jA.~ST £;.\,KAAH (Jl\= 1 ): 1

." F(X):3UD FOO\lIEUH AFt,; % "

+.200000'+ 0 +.660000'+ 1 +.65.11000'+ 1 +!'91 +.300000'+ 0 +.657000'+ 1 +.654000'+ 1 T~46

+.400000'+ 0 +.64400()'+ 1 +.6S40;JO'+ 1 -1,!55 +.500000'+ 0 +.643000'+ 1 +.654000'+ 1 ~1t'71

+.600000'+ 0 +.664000'+ 1 +.654nOO'+ 1 +h51 +.700000'+ 0 +.656000'+ 1 +.65.14000'+ 1 +'!30 +.>300000'+ 0 +.654000'+ 1 + .654000'+ 1 .:-:00

- 14 -

40 V = 4 m/s

DE 'P3L Y'J~~M W0lIDT: . Y(X);+.747200'+ 1 -.164000'+ 1 *Xt 1 ~ T (a=0.15) = 7.226

s

y.]ENST U DE~UDE E\l 8EREKE\JDE ~~A4RDE'J "IAAST E1.KAAR (,JA= 1 ) : 1

X +.200000'+ 0 +.300000'+ 0 +.LiOOOOO'+ 0 +.500000'+ 0 +.600000'+ 0

50 V = 5 m/s

X' J rex) V = VIJF MIS

F(X)''1UD +.732000'+ +.699000'+ +.650000'+ +.655000'+ +.672000'+

0.2; 7.3; 0.3J 6.9

F'(X);\JIEU\~

1 +. 71Li400'+ 1 1 +.698000'+ 1 1 +.681600'+ 1 1 +.665200'+ 1

+.643800'+ 1

VA:\l WELKE GRA..4D M'JET DE p.ZJL Y\JJ3:v1 M1\'<IMA.AL ZlJ'J: 1

Af'\>,1 +2.40 +.14

-4.86 -1.56 +3.45

H!~E 'J4U\.~t{E:WnG (GE:t''iIDDELO· 1,\1 % ) W~EF'T DE P0LY,>J/J;3I"i TE ZIJ.\l: 0

DE P3LYNJ::J!'1 W3RDT: YOO=+.810000'+ 1-.400000'+ 1 *Xt, 1 ~ T (a=0.15) = 7.50

5

Deze genoemde waarden worden opnieuw lineair geregresseerd

naar V :

DE P3L Y;'J0'·3M t-irJ ROT: y(X)=+.575803'+ 1 +.333457'+ 0 *Xt 1

~'JEJ"ST U DE !(lUDE E'J BEREKE!\IDE WA4RDE\l ,\lAAST ELKAAR (JA= 1 ) : 1

X FOO::)UD F< X)\I I EU~~ +.10QOOO'+ 1 +.636518'+ +.609154'+ +.200000'+ 1 +.616107'+ I +.642499'+ +.300000'+ 1 +.654000'+ 1 +.675845'+ +.400000'+ 1 +.722600'+ 1 +.709191 '+ +.500000'+ 1 +.750000'+ 1 +.742536'+

en nu worden T , T ,T en T berekend uit 5},52 53 s4

T =(5.75808 + 0.333457 * V) * 102

N/mm2 s

Voor de berekende waarden zie tabel I.

1 1 1 1 1

,AF'W +4.30 -4.28 -3.34 +1.86 +1.00

% i

%

- 15 -

Bijlage 3

In deze bijlage zijn om te beginnen uit het rapport van Hulst [3]

de waardenvan (~-y) (in graden) voor verschillende V en a

genomen. Hierop zijn de volgende kwadratische

regressies uitgevoerd

o 1 V = 1 m/s S-y = f(a)

. DE paLY:\I0,:'M W;JRDT: YeX)=+.399729'+· 2 -.512940'+ 2 *Kt 1 +.268476'+ 2 *Xt 2

. toJENST U DE elUDE E~ RERE)(£\lDE HAARDE'I.J :-JAAST ELKAAR (JA= 1 ) : 1

X reX)3UD rOO'JIEUh 'AFt! ~ +.200000'+ 0 +.310000'+ 2 +.307880'+ 2 +.68

. +. 300000' + 0 +.266330'+ 2 . +.270010'+ 2 -1.33 +.400000'+ 0 +.238330'+ 2 +.237509 '+ 2 +.34

~~~--'+-.-5nOOOO· + 0 '+ .'210000" + 2 +;2 r 037'3 '+ '2 -~lg

+.600000'+ 0 +.189830'+ 2 +.188616'+ 2 +.64 +.700000'+ 0 +.173330'+ 2 +.172224'+ 2 , .. +_-64 +."800000' + 0 +. 160000'+ 2· +.161202't 2 -.75

~ (S-Y)a=O.15 = 32.8830

= 0.5739 rad

20

V = 2 m/s .. ~ DE ·P-3L YN;Jl~;vJ 1;.!'3HDT:

yeX)=+.361059'+ 2 -.57245'3'+ 2 *Xt 1 +.349583'+ 2 *Xt '2

X rOO;JUD FeXpHEUvJ AF'i.J % +'200000'+ 0 +.263330'+ '2 +.260550'+ 2 +1.06 +.300000'+ 0 +.215830'+ 2 +.220784'+ '2 -2.30 +.400000'+ 0 +.190000'+ 2 + .. 138009 '+ 2 +1.05 +.500000'+ 0 +.160000'+ '2 +.162225'+ '2 -1.39 +.600000'+ 0 +.146000'+ 2 +.1L;3434'+ 2 +1.76 +.700DOO'+ 0 +.133300'+ 2 +.131634'+ 2 +1.25 +.800000'+ 0 +.125000'+ 2 +.126825'+ 2 -1.46

~ (S-Y)a=O.15 = 28.3060 = 0.4940 rad

- 16 -

3° V = 3 m/s

DE PJL YN~3(o'j \:}0RDT: YCX)=+.3Jg767'+ 2 -.556235'+ 2 *Xt 1 +.357060'+ 2 *Xt 2

i vJEi-JST U DE :JUDE E:'-J BEREKEi\lDE \~AAKDE>l\lI¥>'ST ELKAAH (JA=I): 1

X F(X'0UD FC,<)i\}IEm,! AFH% +.200000'+ 0 +.242170'+ 2 +.241803'+ 2 +.15 +.300000'+ 0 +.204670'+ 2 +.204032'+ 2 +.31 +.400000'+ 0 +.171360 ' .... 2 +.173403'+ 2 -1.19 +.500000'+ 0 +.149170'+ 2 +.149915'+ 2 -.50 +.600000'+ 0 +.136170'+ 2 +.133569, '+ 2 +1.91 +.700000'+ 0 +.124170'+ 2 +.124362'+ 2 -.15 +.800000'+ 0 +.121670'+ 2 +.12229'3 '+ 2 -.52

o + (~-Y)a=o.15 = 26.337 = 0.4597 rad

.~ V =4 m/s

OS P3LYN(3m·1 \';'21RDT: Y(X)=+.291g80'+ 2 -.407633'+ 2 *X1 1 +-243929'+ 2 *Xt 2

X' F(X)3UD +.200000'+ 0 +.221670'+ 2 +.300000'+ 0 +·.lS9160'+ 2 +.400000'+ 0 +.170000'+ 2

. +.500000'+ 0 +.151670'+ 2 +.600000'+ 0 +.13,6170'+ 2

+ (e-y) = ~3.644° = 0.4127 rad a=O;15

o 5 V = 5 m/s

,----~,'-- .-~-- ... ~--

X; FOO

F'OONIEU\') +. 220411'+ 2 +.192094'+ 2 +.16cn55'+ 2 ;1--150396'+ 2 +.137015 '+ 2

V= .VIJr 1'1/$ 0.2; 24.583; 0.3; 19.833

VA\! ~':ELKE GI-(,l\~D ?<1~2T DE: P,:;'LY,'-JoJ\'il tv)t.\,!{H4lV\L ZIJ\J:1

AF"t-J +.57

-1.55 +.73 +.84 -.62

"

H1E NAU' .. J}{EUf<tIG CG2MIDDELD IN % ) H~lEFT DE: P,)l_ Y\}:):}.\1 TE ZI.J\I: 0

DE P0LY'l;:nM {>,'3RDT: Y(K)=+.340330'+ 2 -.475000·+ 2 *Xr 1

+ (~-y) = 26.9580 = 0.4705 rad a=o 15 .

%

- 17 -

De volgende stap is het kwadratisch regresseren van de

zo gevonden (S-y) waarden naar V. Voordeze regressie

wordt (S-y) voor V = 5 m/s weggelaten, omdat deze waarde

slechts berust op twee waarnemingen en omdat hij ineens

een sterke stijging vertoont t.o.v. de vorige waarden

voor (S-y).

Of.: P:3L YN30t>1 I,.J0RDT:" Y(X)=+.65567S'+ 0 -.929150'- 1 ,~Xt 1 +.R22500'- 2 *Xt 2

~.JE.\lST U DE3UDE E'l BEf<EKE:-.JDE ~Jl\ARDEN :IJAAST ELKAAR ('JA= t ) : 1

,1\ F'CX)tJUD F(X)NIEU\'i

+.100000'+ 1 +.573900'+ 0 +.570985'+ 0 +.200000'+ 1, +.494000'+ 0 +.502745 1 + 0 +.300000'+ 1 + • .459700 1 + 0 +.450955'+ 0 +.400000'+ 1 +.412700'+ 0 +.415615'+ 0

Met deze polynoom vinden we vervolgens

<j3-y)v=3.33 = 0.43735 rad

(e-y)v=3.83 = 0.42036 rad

<S-y)v=4.33 = 0.40749 rad

(S-y)v=5 = 0.39672 rad

. ·Metbehulp van verg. (5) zijn de bijbehorende waarden

van $ uitgerekend

$1 = 0.4483 rad

'2 = 0.4577 rad

'3 = 0.4649 rad

4>4 = 0.4710 rad

AF'i~

+.51 ';'1.77 +1.90 -.71

Nu kan met y = 0.10472 en verg. (4) de rk berekend worden.

Vaor de berekende waarden zie tabel I.

'%

1 \

i

- 18 -

Bijlage 4.

Met onderstaand programma kunnen de specifieke energieen U .. 1J

berekendworden als 8k ., Qi , '£s. en rk . (i = 1,4) 1. 1. 1

gegeven worden

OIMENSt1!\J TETl\{ 4), Q( 4), TAUSC 4) .. GAMI~{ 4) .READ(2) (TETA( I), t=l, 4) HEAD(2Ha( 1), l=l .. .tn ~AD(2)(TAUS(I),I=1,4)

READ(2)(GAMA(I),I=1 .. 4) DJ 10 1=1,3 ·11=I+1 00 10 J=I1,4

,"; ,0010 0020 0030 0040 0050 0060 0065 0070 0080 0090 0100 0105 0110 0120

U=8. 31 43/( 1./T£TACJ)-1./T£TA( 1) )*AL08(Q( l)/Q(J)

* *TAUSCn ITAUS( n*GAMA<! )/GAW\(.j» 10 WRIT£(1,999)I,J,U

999 F0hMAT(2H U .. Il,Il,2H =,£14.61/) ST2lP END

De berekening van U .. voor berekende Q wordt 1J

lETA 1293 1339 13771423

Q 0.901020£-7 0.1318813£-6 0.155766£-6 0.258503£-6

T4US 0.68696031.::9 0.7036331E9 0.7203060£9 0.7425364£9

GAMA 1.0991 1.0R31 1.0118 1.0618

U12 = 0.120862£ 06

U13 = 0.1-593250£ 05

U14 = 0.115686E 06

U23 :::: 0.532276£ 05

U24 = O.112917E 06

U34 = o. ] 65318E 06

Op de volgende bladzijde staat de berekening voor de

geregresseerde Q's.

..

- 19 -

TETA '1298 1339 1377 1 Ll23

0.940990E-7 .0.120478£-6

" TAUS 0.6>:;69603£9 0.7036331£9

GA.MA 1. 0991 1.0:337

U12 = 0.736720£ 05

U13 = 0.923227£ 05

U'1 LI = 0.109136£ 06

U23 = O.114743E 06

U24 = 0.128113£ 06

U3L1 = 0.13~51E 06

Door te stellen 8k .. = l.J

geregresseerd worden

DE P3LY\F~JM t~]F<:DT:

0.165729E-6 0.25595~€-6

0.7203060£9 O.742536L1E9

}.0618

kan U .• als funktie van 8k 1J .• 1J

Y(X)=-.9616~~'+ 6 +.787512'+ 3 *Xt !

x FeXH'Ul) Fe Xl \J I Elj',,' +.131 goi)' + 4 +.7:16720'+ 5 +.762537'+ +.133700' + LI +.923227 '+ 5 +.912166'+

---+.1 36900' + 4 +.109136 '+ 6 +.116417'+ +.13580'1'+ 4 +.114743'+ 6 +.107754'+ +.138100'+ 4 +.12(31 13'+ 6 +.125867'+ +0. 1 LlOOOO' + 4 +.139351 '+ 6 +. 1 40i3 30 • +

We vinden aldus

u = - 0.961688 10 6 + 0.787512 10 3 * 8k

In het volgende programma wordt de berekening Z

van -2 uitgevoerd : 3H

:5 5 6 6 6 6

AF\'} % . -3.50 +1.73 -6.67 +6.09 +1.75 -.70

001"0 0020 0030 0040 0050 0060 0010 0000 0090 10 0100 999 0110 0120

- 20 -

DIM£'JSI1'J TETAe 4), :;)( 4), TAUse 4), GAr-14( 4) FEAO(2)(TETA(I),I=1,ij) READ(2)(O( I)" 1=1,4) READe 2}( TAUSC I)' 1= 1" 4) READ(2)(GAYJ~CI),I=1,4) OJ 10 I=1,4 u=-o. 961638£6 +O.7~·n512E3*TETA( I) ~034=Q( n*GAfVlA( I) /TAUS( n+:E.l{p(U/(8 .. 3143*TETA(!)) ~JR!TE( 1;999) I,l034 F1R1'4i.\T<5Hl"~/3H, 12,2H =,£13.5//) ST:1P END

TETA 129FS 1339 1377 1423

~ 0.9409901::-7 0.12047~)E-6 0 • .165729£-6 0.25595LI£-6

GAMt\ 1.0991 1.0837

l0/3~ 1 = O.40969~-n7

f Z('/3'1 2::: 0 .. 77312E-t)6

..

7201060E3' O.7fQ:536t'1E3

1 .. 0718 1.0618

"­, .