Numerical experiments with a level-set trackingalgorithm for generalized diffusion equations

Jacob Cheverie and Leandro Fosque

Mentor: Marianne KortenDepartment of Mathematics

Kansas State University

July 22nd , 2014

Math REU funded by NSF under DMS-1262877.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 1

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Introduction

We are analyzing a numerical method introduced by J. Bouillet and J.Etcheverry to compute the solution of the generalized diffusionequation by tracking the evolution of level sets.

The diffusion equation is:

∂u

∂t= ∇2α(u)

Where α is non-decreasing, and α(0) = 0.

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Introduction

We are analyzing a numerical method introduced by J. Bouillet and J.Etcheverry to compute the solution of the generalized diffusionequation by tracking the evolution of level sets.

The diffusion equation is:

∂u

∂t= ∇2α(u)

Where α is non-decreasing, and α(0) = 0.

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Introduction

The diffusion equation models the process of diffusion and processes thatexhibit similar behaviors, such as information propagation, flow in orthrough porous media, and temperature-dependent phase changes.

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Introduction

Solutions may be only piecewise smooth, and solve the equation in aweak sense:

∫ ∫Rn×(0,T )

uϕt + α(u)∇ϕ = 0

∀ϕ ∈ C∞0 (Rn × (0,T ))

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Initial Condition

The initial profile of the concentration, u0, must be given as a function ofspatial variables:

u0 = u0(x1, x2, · · · , xn)

Where ~x = xe + xe + · · ·+ xnen is a position vector ~x ∈ Rn.

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Free Boundaries

Assuming u(x, t) discontinuous at the curve S(t)=u = u∗, we canderive the jump condition. We will later use this jump condition totrack the evolution of the free boundaries.

!+

!"

u ! u*

u ! u*

S(x0, t0 )

!

Figure 1 : The free boundary and normal vector.

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Derivation of the jump condition

We can obtain the Rankine-Hugoniot condition for the jump from thelateral limits of u and ∇α(u) at the sides of the boundary S.

Let the test function ϕ(x, t) ∈ C∞0 (R× (0,T )) have supportcontaining a neighborhood (x, t).

Let Ω+ ∪ S ∪ Ω− ⊃ suppϕ, and ν(x, t) the unit normal vector to Spointing into Ω+.

Then: ∫ ∫Ω+∪Ω−

[ϕtu +∇2xϕ · α(u)]dxdt = 0

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Derivation of the jump condition

We can obtain the Rankine-Hugoniot condition for the jump from thelateral limits of u and ∇α(u) at the sides of the boundary S.

Let the test function ϕ(x, t) ∈ C∞0 (R× (0,T )) have supportcontaining a neighborhood (x, t).

Let Ω+ ∪ S ∪ Ω− ⊃ suppϕ, and ν(x, t) the unit normal vector to Spointing into Ω+.

Then: ∫ ∫Ω+∪Ω−

[ϕtu +∇2xϕ · α(u)]dxdt = 0

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Derivation of the jump condition Cont.

Since α(u) is smooth where u > u∗ and u < u∗, we can work each sideseparately and skipping many steps, we get from the divergence theorem:∫

Sϕ[∇xα(u∗)−∇xα(u∗),−(u∗ − u∗)] · ν(x, t)ds = 0,

∀ϕ ∈ C∞0 of a neighborhood of (x0, t0).

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Derivation cont.

Therefore,

[∇xα(u∗)−∇xα(u∗),−(u∗ − u∗)] · ν(x, t) =

whence [math stuff] is a tangent vector to S.

If the interface S is defined by (ψ(t), t), with ψ : R→ Rn Lipschitz, then

ν(x, t) = (ψ′(t),1)‖(ψ′(t),1)‖

and,−ψ′(t)

= x′ =−∂xα(u∗)− (−∂xα(u∗))

u∗ − u∗=

[−∂xα(u)]

[u]

Where x′(t) is the velocity of the free boundary.

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Riemann Problem

Let α(u) = H(u− c), where H is the Heaviside step function.

c

1

Figure 2 : The step function.

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Riemann problem cont.

The data would be uI = a for u < c , and uI = b for u > c . Since α(u)needs to be continuous, we redefine U(x, t) = α(u(x, t)) as,

U = 0 x < s(t)

U = x−s(t)d(t)−s(t) s(t) ≤ x ≤ d(t)

U = 1 x > d(t)

and u(x, t) as: u = a x < s(t)

u = c s(t) ≤ x ≤ d(t)

u = b x > d(t)

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Riemann problem cont.

Then, (u,U) solves ut = ∇Uas ut ≡ 0 = ∇U in s(t) < x < d(t).

The jump condition is satisfied along the free boundaries (s(t), t) and(d(t), t).

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The Method

We introduce a moving grid method that tracks level sets as follows:

We split the interval [0,m] in k + 1 equal subintervals[xi−, xi], ≤ i ≤ k. Then, we discretize the initial data asui = u(xi), and α(u) as αi = α(ui).

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Discretized form

We move the grid points xi according to the jump condition asobtained in the Riemann problem.

xi(t) = −

ui+ − ui

(αi+ − αixi+ − xi

− αi − αi−xi − xi−

)

Where αi = α(ui), with i ∈ [, k + ]. Here ui is the exact value of uat the point xi, and αi the exact value of U at xi.

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Discretized Form cont.

Figure 3 : Discretized curve example.

Notice that we are working and discretizing only the first quadrant ofthe x− y coordinates. Because the diffusion is symmetric, we don’tneed to work on the second quadrant.

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Runge-Kutta Method

In order to find the correct time step, we use the RK 4th ordermethod.

k = x(xji )

k = x(xji +∆t · k/)

k = x(xji +∆t · k/)

k = x(xji +∆t · k)

xj+i = xji +∆t

(k + k + k + k)

Then we compare it with RK4 using two half-steps. From thiscomparision we know if it is necessary to shrink the time step.

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R-K Method cont.

Once this system is solved the velocity of each point in the discretizeddomain is known. Then, given a certain time step h determined bythe comparison between the two fourth order Runge-Kutta method,the position values xi will have moved to a new position.

When two free boundaries get close enough (xi+ − xi) < δ, where δis a specified tolerance, the level set xi+ is deleted, as is thecorresponding level ui+.

The piecewise constant function u(x, h) = ui on [xi, xi+] obtainedthis way is the approximate solution.

Movie time.

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R-K Method cont.

Once this system is solved the velocity of each point in the discretizeddomain is known. Then, given a certain time step h determined bythe comparison between the two fourth order Runge-Kutta method,the position values xi will have moved to a new position.

When two free boundaries get close enough (xi+ − xi) < δ, where δis a specified tolerance, the level set xi+ is deleted, as is thecorresponding level ui+.

The piecewise constant function u(x, h) = ui on [xi, xi+] obtainedthis way is the approximate solution.

Movie time.

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Radial Solutions in Higher Dimensions

For radial solutions in dimensions n ≥ 2, the expression of U changes:We can obtain the expression for U from the Laplacian for polarcoordinates in Rn.

1

rn−1

∂

∂r

(rn−1∂U

∂r

)= 0

Where U is the redefined α(u) for the discontinuities of u between twoconsecutive free boundaries.

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Radial Solutions in Higher Dimensions cont.

For n = 2Ur(r, t) =

rln[s(t)/d(t)]

For n > 2

Ur(r, t) = (− n)s(t)n−d(t)n−

d(t)n− − s(t)n−r−n

The extended U is unique, satisfying U continuous and the jumpcondition at the free boundaries.

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Derivations

Using the divergence form we get the radial jump condition for ndimensions.

r =[−∂U

∂r ]

[u]

For n = 2 we get,

ri =−

(ri)(ui+ − ui)

(αi+ − αiln ri+

ri

− αi − αi−ln ri

ri−

)

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Derivations cont.

and for, 1 ≤ n 6= 2 leads to:

ri = −

(ui+ − ui)

(αi+ − αir−ni+ − r

−ni

− αi − αi−r−ni − r−ni−

)(− n)r−ni

We apply for radial solutions the same method exposed before for theone dimensional case.

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Examples

Some preliminaries of the parameters:

n is the number of discretization of the x axis.

δ is the tolerance of the encounter of xi with xi+.

ε is the tolerance for the time in the RK process.

λ is the distance of spatial grid from origin.

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Example: Sin2(x)

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0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 4 : Diffusion of u0 = sin2(x) with α(u) = u.

n = 450, δ = 1.0× 10−2, ε = 1.0× 10−6, λ = 0.01.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 23

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Example: 3− |x − 3|

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1 2 3 4 5 6

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2.5

3.0

Figure 5 : Diffusion of u0 = 3− |x− 3| with α(u) = u.

n = 200, δ = 1.0× 10−2, ε = 1.0× 10−6, λ = 0.1.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 24

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Example: 4− x2

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3

4

Figure 6 : Diffusion of u0 = 4− x2 with α(u) = u.

n = 200, δ = 1.0× 10−9, ε = 1.0× 10−6, λ = 0.1.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 25

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Example: e−x2

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0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 7 : Diffusion of u0 = e−x2

with α(u) = u.

n = 200, δ = 1.0× 10−9, ε = 1.0× 10−6, λ = 0.1.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 26

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References

Bouillet, J.E. Signed solutions to diffusion-heat conduction equations. Freeboundary problems: theory and applications, vol. II (Irsee, 1987),480-485, Pitman Res. Notes Math. Ser., 186, Longman Sci. Tech.,Harlow, 1990.

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J.E. Bouillet, J.I. Etcheverry. Numerical Experiments With ut = α(u)xx .Revista de la Union Matematica Argentina, 41 (1998), 15-25.

Jacob Cheverie and Leandro Fosque Mentor: Marianne KortenJuly 22nd , 2014Math REU funded by NSF under DMS-1262877. 27

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Acknowledgements

The authors are very grateful to their mentor Marianne Korten, to NathanAlbin for invaluable help with the numerical aspect, to the mentors andSUMaR group, and to the KSU math departament.

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