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Notes de Cours PS 91

Cinematique du point

La cinematique du point est l’etude du mouvement d’un point materiel independamment des causesde ce mouvement. En pratique l’approximation du point materiel peut etre utilisee dans 2 cas tresimportants : (i) si les dimensions du corps materiel sont tres petites devant la distance parcourue(Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point materiel au centre d’inertie (trajectoired’un ballon).

I. Description du mouvement

Referentiel : Un referentiel d’espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport auxautres qui occupent l’ensemble de l’espace. On peut egalement le voir comme un solide indeformableavec ou sans realite physique. En mecanique classique, le temps est considere comme absolu, c’est adire identique dans tous les referentiels.Pour decrire le mouvement d’un point, il faut un referentiel R et un repere, c’est a dire un point Oet une base vectorielle de l’espace. Le repere le plus classique est le repere cartesien (O,~ex, ~ey, ~ez).

Vecteur position : Etant donne un referentiel R et un repere, la position du point materiel M a uninstant t est donne par le vecteur position :

~r(M, t) =−−→OM(t).

(Quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~r(t) ou bien ~r). En coordonneescartesiennes, on a

~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .

Les composantes x(t), y(t) et z(t) du point M sont des fonctions du temps et constituent lesequations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l’equation de la trajectoire s’ob-tient en eliminant le temps t entre les differentes euations horaires.

Vecteur vitesse : on definit le vecteur vitesse instanee par

~v(M, t) = limδt→0

~r(t+ δt)− ~r(t)

δt=

d~r

dt=

d−−→OM

dt.

(de meme, quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~v(t) ou bien ~v). Levecteur vitesse est ainsi tangent a la trajectoire et on note en general v = ||~v|| la vitesse du pointM . En coordonnees cartesiennes, on a

~v(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .

Vecteur acceleration : on definit le vecteur acceleration par

~a(M, t) =d2~r

dt2=

d2−−→OM

dt2.

(ici encore, on peut utiliser simplement ~a(t) ou bien ~a). En coordonnees cartesiennes, on a

~a(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .

Remarque : on peut avoir une vitesse ||~v|| constante (mouvement uniforme) et une accelerationnon nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan Oxy : x(t) = a cos(ωt),

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y(t) = a sin(ωt) et z(t) = 0. Le point tourne a la vitesse angulaire ω (en rad/s) sur un cercle derayon a. On trouve ||~v|| = aω et ~a = −ω2~r . L’acceleration est donc de norme egale a v2/a etorientee vers le centre du cercle.

Abscisse curviligne : On definit l’abscise curviligne, la fonction du temps s(t) qui verifie : δs =s(t− δt)− s(t) ou δt est un intervalle de temps et δs represente la longueur de la trajectoire decritepar le point M entre les instants t et t+ δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la derivee des par rapport au temps est donnee par la vitesse :

s =ds

dt= v.

Par consequent :

s(t)− s(t0) =

∫ t

t0

v(t′) dt′ =

∫ t

t0

√

x2 + y2 + z2 dt′ ,

ou t0 est un instant initial quelconque (souvent on prend t0 = 0).

Base de Frenet : Il est utile d’introduire le vecteur unitaire ~T et tangent a la trajectoire dirigedans le meme sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut ecrire

~v = v ~T = s ~T .

Note : on peut voir ce vecteur comme une fonction de l’abscisse curviligne, ~T = ~T (s(t)). En calculantl’acceleration on trouve :

~a =d(v ~T )

dt= v ~T + v

d~T

dt= v ~T + v2

d~T

ds.

Comme ~T est unitaire sa derivee est forcement perpendiculaire a ~T . On montre que d~T/ds estcontenu dans le plan osculateur et dirige vers le centre de courbure. On introduit ainsi la normaleunitaire a la trajectoire ~N de telle sorte que :

d~T

ds=

~N

R,

ou R est le rayon de courbure. En resume :

~a = v ~T +v2

R~N.

On note aT = v la composante tangentielle et aN = v2/R la composante normale de l’acceleration.En pratique, a partir de ~v et ~a, on peut calculer aT = v = ~a · ~T (car ~T et ~N sont orthogonaux), puis

aN =√

||~a||2 − a2T . La base de Frenet peut etre completee par le vecteur binormal ~B = ~T ∧ ~N et

on montre que d ~N/ds = −~T/R − τ ~B ou τ est la torsion.

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~ex

~ey

~ez

M

~r =−−→OM

~T

~N

Trajectoire

O

Figure 1 – Trajectoire du point M et base de Frenet.

II. Description dans divers systemes de cordonnees

Coordonnees cylindro-polaires (ou cylindriques)Etant donne un point M de composantes x, y et z dans le repere cartesien. On introduit ρ =√

x2 + y2 la distance du point a l’axe Oz et θ = arctan(y/x) (voir Figure 2). On definit le vecteurradial unitaire ~eρ = cos θ~ex + sin θ~ey et le vecteur orthoradial unitaire ~eθ = − sin θ~ex + cos θ~ey. Onpeut alors poser :

~r = x~ex + y~ey + z~ez = ρ~eρ + z~ez .

Pour calculer la vitesse et l’acceleration en coordonnees cylindriques, il faut realiser que les vecteurs~eρ et ~eθ dependent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et

d~eρdt

= θ~eθ etd~eθdt

= −θ~eρ.

Ainsi, apres calcul, on trouve que :

~v =d~r

dt= ρ~eρ + ρθ~eθ + z~ez.

De la meme facon,

~a =d~v

dt= (ρ− ρθ2)~eρ + (ρθ + 2ρθ)~eθ + z~ez.

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~ex

~ey

~ez z

M

r

θ

φ

ρ

O

Figure 2 – Definition des coordonnees cylindrique (ρ, θ, z) et spheriques (r, θ, φ).

Coordonnees spheriquesEtant donne un point M de composantes x, y et z dans le repere cartesien. On introduit r = ||~r|| =√

x2 + y2 + z2 la distance du point a l’origine. On introduit un deuxieme angle φ entre le vecteur

position ~r =−−→OM et l’axe Oz. Le vecteur unitaire ~er est definit de telle sorte que :

~r = x~ex + y~ey + z~ez = r~er.

Un simple calcul trigonometrique aboutit a

x = r cos θ sinφ

y = r sin θ sinφ

z = r cosφ

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III. Composition des vitesses - Changement de referentiel

On considere deux referentiels R et R′ dotes des reperes respectifs (O,~ex, ~ey, ~ez) et (O′, ~ex′ , ~ey′ , ~ez′).

Considerons la trajectoire d’un point M dans l’espace. Sa position dans le repere R s’ecrit :

−−→OM = x~ex + y~ey + z~ez.

et dans R′ : −−−→O′M = x′~ex′ + y′~ey′ + z′~ez′ .

Pour calculer la vitesse du point M , il faut preciser dans quel referentiel on se place. Ainsi, lavitesse dans R s’ecrit

~v/R =d−−→OM

dtR

= x~ex + y~ey + z~ez.

Dans R′, la vitesse s’ecrit

~v/R′ =d−−−→O′M

dtR′

= x′~ex′ + y′~ey′ + z′~ez′ .

Loi de composition des vitessesPour simplifier la presentation, on peut interpreter le referentiel R comme fixe et R′ en mouvementpar rapport a R. Ainsi, on note simplement ~va = ~v/R (a pour vitesse absolue) et ~vr = ~v/R′ (r pourvitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste a ecrire la relation entre ~va et ~vr. Pour

cela on utilise la relation de Chasles :−−→OM =

−−→OO′ +

−−−→O′M et on doit considerer l’origine O′ et les

vecteurs ~ex′ , ~ey′ et ~ez′ comme dependant du temps. Au cours du mouvement de R′, les vecteursunitaires ~ex′ , ~ey′ et ~ez′ sont en rotation autour d’un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps).On montre que

d~ex′

dtR

=−→Ω e ∧ ~ex′ ,

d~ey′

dtR

=−→Ω e ∧ ~ey′ ,

d~ez′

dtR

=−→Ω e ∧ ~ez′ .

On trouve ainsi,

~va =d−−→OO′

dtR

+d−−−→O′M

dtR

=d−−→OO′

dtR

+−→Ω e ∧

−−−→O′M +

d−−−→O′M

dtR′

En resume :

~va = ~ve + ~vr ou ~ve =d−−→OO′

dtR

+−→Ω e ∧

−−−→O′M.

La vitesse ~ve est appelee vitesse d’entraınement composee d’une translation (vitesse de O′) et

d’une rotation (vecteur rotation−→Ω e).

Vecteur rotation dans le cas d’une rotation autour de l’axe OzDans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante~ex′ et ~ey′ dans le repere fixe ~ex et ~ey. On a (voir Figure 3) :

~ex′ = cosφ~ex + sinφ~ey

~ey′ = − sinφ~ex + cosφ~ey

Apres derivation on trouve,

d~ex′

dtR

= φ~ey′ = φ~ez ∧ ~ex′ etd~ey′

dtR

= −φ~ex′ = φ~ez ∧ ~ey′ .

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~ex

~ey

~ex′~ey′

M

φ(t)

O′

O

Figure 3 – Cas d’une translation dans le plan Oxy et d’une rotation autour de l’axe Oz.

Dans ce cas, on trouve que−→Ω e = φ~ez .

Ainsi, le vecteur rotation est le produit de la vitesse de rotation φ par le vecteur unitaire de l’axe derotation Oz.

Loi de composition des vitesses entre deux points d’un solide rigideCeci est une consequence importante de la loi de composition des vitesses. En effet, on peut “voir” lereferentiel R′ comme un solide rigide en translation et en rotation dans R′. Prenons deux points dusolide M et M ′ (c’est a dire deux points fixes dans R′). Leur vitesse relative est donc nulle. Ainsi,la loi de composition pour chacun des points s’ecrit :

~va(M) =d−−→OO′

dtR

+−→Ω e ∧

−−−→O′M et ~va(M

′) =d−−→OO′

dtR

+−→Ω e ∧

−−−→O′M ′.

Par consequent :

~va(M) = ~va(M′) +

−→Ω e ∧

−−−→M ′M.

Ainsi, si on connaıt la vitesse en un seul point du solide, on peut calculer sa vitesse en tout point.Lorsqu’il existe un point (apppelons-le I) dont la vitesse est nulle (roulement sans glissement par

exemple, Fig. 4), alors on a simplement : ~va(M) =−→Ω e ∧

−−→IM .

M

I

Figure 4 – Cylindre roulant sans glisser.

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IV. Elements de cinetique

Notion de masseLa masse d’un corps est une grandeur scalaire, positive et conservative qui ne depend ni de l’etat dusysteme, ni du referentiel. Elle caracterise la quantite de matiere d’un systeme [unite : kg].

Systeme discret : N corps assimilables a des points materiels. La masse totale m systeme, s’obtienten sommant :

m =N∑

j=1

mj.

On peut definir le centre d’inertie (ou de masse) G tel que :

m−−→OG =

N∑

j=1

mj−−−→OMj .

MM1

M2

M3

M4

~r

OO

Figure 5 – Systeme discret (gauche) et continu (droite).

Systeme continu : On decompose le systeme en petits elements de volume δV (~r) (le vecteur ~rest la pour specifier la position de l’element de volume) et de masse δm(~r). Lorsqu’on fait tendrel’element de volume vers 0, on definit la masse volumique :

ρ(~r) = limδV →0

δm(~r)

δV (~r)

La masse totale vaut

m =

∫∫∫

systemedm =

∫∫∫

volumeρ(~r)dV.

Le centre d’inertie se calcule a partir de :

m−−→OG =

∫∫∫

systeme

−−→OMdm =

∫∫∫

volumeρ(~r)

−−→OMdV.

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Quantite de mouvementLa quantite de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d’un corps supposeponctuel. Il s’agit d’une grandeur vectorielle, definie par

~p = m~v, [unite :kg.m.s−1].

Notons que ~p depend du referentiel d’etude. Par addidivite, il est possible de definir la quantite demouvement d’un systeme materiel. Dans le cas d’un systeme discret on a :

~p =N∑

j=1

mj~vj.

En utilisant, la definition du centre de d’inertie G d’un systeme, on trouve simplement :

~p = m~vG,

ou ~vG est la vitesse du point G. La relation reste vraie pour un systeme continu.

Moment cinetiqueLe moment cinetique d’un point materiel M est le moment de la quantite de mouvement ~p parrapport a un point O. On note

~LO =−−→OM ∧ ~p, [unite :kg.m2.s−1].

On peut etendre la definition dans le cas d’un systeme discret ou continu.

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Notes de Cours PS 91

Dynamique

La dynamique est une discipline de la mecanique classique qui etudie les corps en mouvement sousl’influence des actions mecaniques qui leur sont appliquees. Elle combine la statique qui etudiel’equilibre des corps au repos, et la cinematique qui etudie le mouvement.

I. Notion de force

Action de l’exterieur sur le systeme conduisant a une modification de l’etat de repos (ex : deformationd’un solide) ou du mouvement d’un systeme. La force est une grandeur vectorielle caracterisee par :

1. la direction : orientation de la force,

2. le sens : vers ou la force agit,

3. la norme : grandeur de la force [unite : N],

4. le point d’application : endroit ou la force s’exerce.

On peut classer les forces selon la repartition de leur mode d’application (action sur un point, surune surface, sur un volume) et selon la portee de leur action :

1. force de contact (reaction, frottement,...)

2. force agissant a distance (gravitation, electromagnetique,...).

Illustration de differents types de forces

1. ~P : poids [a distance]

2. ~R : reaction du sol [de contact]

3. ~Fk : force de rappel du ressort [de contact]

4. ~T : tension du cable [de contact]

5. ~Fa : force magnetique de l’aimant [a distance]

ressort

cableaimant

sol

~T

~Fa

~P~P

~P

~P

~Fk

~R

Figure 1 – Illustration de differents types de forces. A l’equilibre, ces forces sont de meme amplitudecar :‖~R‖ = ‖~Fk‖ = ‖~T ‖ = ‖~Fa‖ = ‖~P‖.

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II. Principes de Newton

Les lois du mouvement de Newton sont des principes a la base de la theorie de Newton concernantle mouvement des corps, theorie que l’on nomme mecanique classique.

Premiere loi de Newton ou principe d’inertie

L’enonce original est le suivant :

Tout corps persevere dans l’etat de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite

dans lequel il se trouve, a moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne a

changer d’etat.

En fait cette loi n’est valable que dans un referentiel galileen (*). Dans un langage plus moderne :

Dans un referentiel galileen, le vecteur vitesse du centre d’inertie ~vG d’un systeme estconstant si et seulement si la somme des vecteurs forces, notees ~Fi,ext qui s’exercentsur le systeme est un vecteur nul.

Mathematiquement, cela se traduit par :

d~p

dt= 0 si et seulement si

∑

i

~Fi,ext = 0

On peut noter que cela est vrai pour 1 corps isole (ponctuel ou non) ou un systeme de N corps isole,c’est a dire soumis a aucun effort externe.

1 corps N corps

GG

~vG

~vG

~v1

~v2

~v3

Figure 2 – La quantite de mouvement d’un systeme isole se conserve : ~p = cte. Notons que lecentre d’inertie G d’un systeme n’est pas obligatoirement associe a un point materiel du corps.

(*) Referentiel galileenUn referentiel est galileen si et seulement si il est en translation uniforme par rapport a un autrereferentiel galileen. Mais alors comment choisir un referentiel galileen de reference ? Le meilleurexemple est le referentiel de Copernic defini a partir du centre d’inertie du systeme solaire.

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Deuxieme loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique en translation

Dans un referentiel galileen, la force resultante ~F exercee sur un systeme de masse m(constante au cours du temps) est egale au produit de la masse par l’acceleration ducentre d’inertie G du systeme.

Mathematiquement, cela se traduit par :

m~aG =d~p

dt= ~F =

∑

i

~Fi,ext

Troisieme loi de Newton ou principe des actions mutuelles

Tout corps A exercant une force sur un corps B subit une force d’intensite egale, dememe direction, mais de sens oppose, exercee par le corps B.

Mathematiquement, cela se traduit par :

~FA/B = −~FB/A

Ces forces ont la meme droite d’action, des sens opposes et la meme norme. Ces deux forces sonttoujours directement opposees, que A et B soient immobiles ou en mouvement.

III. Principe fondamental de la dynamique en rotation

Dans le cas d’un point materiel M , on rappelle que le moment cinetique par rapport a un point O

fixe est ~LO =−−→OM ∧ ~p, ainsi en derivant par rapport au temps, il vient :

d~LO

dt=

d−−→OM

dt︸ ︷︷ ︸

=~v

∧~p+−−→OM ∧

d~p

dt=

−−→OM ∧ ~F

En fait, cette relation est equivalente a la deuxieme loi de Newton dans le cas d’un point materiel.Elle est neanmoins pratique pour etudier les mouvements associes aux forces centrales. Le principes’etend dans le cas d’un systeme (continu ou discret) mais dans ce cas, il faut bien identifier lepoint d’application Ai de chaque force ~Fi,ext s’exercant sur le systeme :

d~LO

dt=

∑

i

−−→OAi ∧ ~Fi,ext

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IV. Principe fondamental de la statique dans le cas d’un solide

C’est une consequence directe des principes fondamentaux de la dynamique (en translation et rota-tion). Le cas statique se traduit par une vitesse ~vG et un moment d’inertie ~LO constant. Ainsi, lasomme des efforts externes est necessairement nulle :

∑

i

~Fi,ext = 0

de meme pour la somme des moments en un point O fixe :

∑

i

−−→OAi ∧ ~Fi,ext = 0

Illustration : Equilibre d’un drapeau

Un drapeau de masse m est maintenu par un cable horizontal. Le pied du drapeau etant en appuisur un mur, on veut calculer la tension ~T du cable ainsi que la reaction ~R du mur en fonction de laposition angulaire α. Le centre d’inertie G du drapeau est suppose au milieu de la tige de longueurL. Par consequent, le poids ~P = m~g du drapeau s’applique en G. Les autres points d’applicationsont A et O. Enfin, ~T est de meme direction que le cable alors que la direction de ~R est quelconque.La somme des moments calcules par rapport au point O donne :

−→OA ∧ ~T +

−−→OG ∧ ~P = 0

Apres calcul, on trouve que

‖~T‖ =mg

2tanα

Enfin, pour obtenir la reaction, il suffit d’ecrire que la somme des forces est nulle, ce qui donne

~R = −~T − ~P

On peut noter que dans cet exercice, les forces ne dependent pas de la longueur du drapeau !

G

~T

~P

~R

L

O

A

Figure 3 – Equilibre d’un drapeau.

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Notes de Cours PS 91

Forces

I. Forces a distance

I. 1 Attraction gravitationnelle

Deux corps ponctuels de masses respectives mA et mB s’attirent avec des forces de memes valeurs(mais vectoriellement opposees), proportionnelles a chacune des masses, et inversement proportion-nelle au carre de la distance qui les separe. Cette force a pour direction la droite passant par A etB. La force exercee par A sur B s’ecrit

~FA/B = −GmAmB

r2~ur

ou ~r =−−→AB et ~ur est le vecteur unitaire de A vers B : ~ur = ~r/r ou r = ‖~r‖. La constante

gravitationnelle vaut G = 6, 6742 × 10−11N.m2.kg−2. On peut generaliser pour un systeme S demasses ponctuelles mi, i = 1, 2, 3 . . . et la force exercee par le systeme sur un corps ponctuel A vautalors

~FS/A = −∑

i

GmAmi

r2i~uri = mA~g ou ~g = −

∑

i

Gmi

r2i~uri

est le champ de gravite au point A. Si le systeme de masse m est une sphere homogene (densitevolumique constante) de centre O, alors la force exercee sur A a pour direction la droite passant parO et A et

~FS/A = mA~g ou ~g = −Gm

r2~ur

ou ~r =−→OA et ~ur est le vecteur unitaire de O vers A. Par exemple, a la surface de la Terre :

‖~g‖ = 9, 81m.s−2.

m1

m2

m3

m4

~r1~r2

~r3

~r4

~r

O

A

A

Figure 1 – Champ de gravite en A du a un systeme de masses ponctuelles (a gauche) et une spherehomogene de centre O (a droite).

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I. 2 Force electromagnetique

Force electrostatique de Coulomb

Toute charge qA au point A exerce sur une charge qB au point B immobile une force,appelee force de Coulomb de la forme :

~FA/B =1

4πε0

qAqBr2

~ur

ou ε0 = 8, 854 × 10−12F.m−1 est la permittivite electrique dans le vide.

Ainsi la force est attractive si qAqB < 0 et repulsive si qAqB > 0. On peut generaliser pour unsysteme S de charges ponctuelles qi, i = 1, 2, 3 . . . et la force exercee par le systeme sur A vaut alors

~FS/A =∑

i

1

4πε0

qAqir2i

~uri = qA ~E ou ~E =1

4πε0

∑

i

qir2i

~uri

est le champ electrique au point A cree par l’ensemble des charges qi.

Figure 2 – Lignes de champ d’un dipole electrique (a gauche) et produites par deux charges positives2q et q (a droite).

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Force magnetique

Force s’exercant sur une particule chargee q animee d’une vitesse ~v en presence d’unchamp magnetique ~B (en Tesla) :

~F = q~v ∧ ~B

Consequence : la force magnetique est toujours perpendiculaire a la vitesse et au champ magnetique.

Figure 3 – Action de la force magnetique sur une particule animee d’une vitesse initiale horizontale.

Force de Lorentz

Force s’exercant sur une particule chargee q animee d’une vitesse ~v en presence d’unchamp electromagnetique ( ~E, ~B) :

~F = q( ~E + ~v ∧ ~B)

I. 3 Interaction nucleaire

L’interaction forte est responsable de la cohesion du noyau. Sans elle, les forces de repulsionselectromagnetiques entre protons feraient eclater le noyau. La portee de l’interaction forte est d’en-viron 10−15m, c’est-a-dire la taille d’un noyau atomique. C’est cent fois plus que l’interaction faible,mais negligeable devant les portees infinies de la gravitation et de l’interaction electromagnetique.L’interaction forte est la plus forte des interactions fondamentales. Sa constante de couplage estenviron cent fois plus grande que celle de l’interaction electromagnetique, un million de fois plus quecelle de l’interaction faible, et 1039 fois plus que celle de la gravitation.

L’interaction faible est responsable de la desintegration radioactive de particules subatomiques etest a l’origine de la fusion nucleaire dans les etoiles. Cette force fondamentale est la plus faible desinteractions non gravitationnelles. Aux energies habituellement considerees en physique nucleaire, onla modelise par une interaction effective simplifiee (force de Fermi) dont la constante de couplage estenviron 10 000 fois moindre que celle de l’interaction electromagnetique et 1 000 000 fois moindre quecelle de l’interaction nucleaire forte. Cela s’explique entre autres par le fait que son champ d’actionest tres limite.

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II. Forces de contact

II. 1 Contact entre solide : force de frottement sec

Le frottement represente l’action d’une surface rigide sur un solide, action qui s’opposeau mouvement du solide par rapport a la surface. La force exercee par la surface sur lesolide est la somme de la reaction normale ~N et la force de frottement ~f :

~R = ~N + ~f

~N~R

~f

~v

Figure 4 – Force de frottement.

L’experience montre qu’il faut distinguer deux cas : le cas statique ~v = 0 et le cas dynamique ~v 6= 0.

Force de frottement dynamique

La loi de Coulomb dynamique des frottements (deduite des observations) s’ecrit :

~f = −µd‖ ~N‖~v

‖~v‖

ou ~v designe la vitesse relative du point de contact du solide par rapport a la surface et µd est lecoefficient de frottement dynamique qui depend de la temperature et l’etat de surface de contact etde la nature des surfaces.

Force de frottement statique

Si on exerce sur un corps immobile une force ~Fext d’intensite croissante, l’experience montre quetant que ‖~Fext‖ ≤ fmax (force d’arrachement), le corps reste immobile. Dans ce cas, on observe que

‖~f‖ ≤ µs‖ ~N‖ = fmax

ou µs est le coefficient de frottement statique qui depend de la nature et de l’etat des surfaces encontact. En general µs ≥ µd.

Condition de contact et decollement

On peut toujours ecrire l’effort normal : ~N = N~n ou ~n est le vecteur unitaire normal a la paroioriente vesr le corps et N ≥ 0. La condition de decollement est donnee par N = 0. En pratique,on cherche, sous l’hypothese qu’il y a contact, a quelle condition N < 0, ce qui est physiquementinacceptable et siginifie que l’hypothese n’est plus valable.

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II. 2 Contact entre solide et fluide

Force de pression

Les molecules constituant un fluide (gaz ou liquide) sont en perpetuel mouvement. Lesparticules bougent sans cesse, dans toutes les directions et au gre des chocs. La pressionp est la force moyenne par unite de surface due aux particules venant frapper une paroi.Ainsi un solide ou une surface δS en contact avec un fluide subit une force dirigee selonla normale ~n a la surface :

δ ~Fp = p δS~n

Il faut noter que la pression peut ne pas etre constante dans le fluide et depend du point M ou elles’applique, on note p = p(M). Dans le cas d’une surface plane S soumise a une pression constantealors on a simplement ~Fp = p S~n. La pression se mesure en Pascal (Pa) et 1 Pa = 10−5 bar = 1N.m−2.

Bouteille de gaz : Une bouteille de volume V est remplie d’un gaz maintenu a la temperature T(en Kelvin (K)). La pression a l’interieur de la bouteille est constante et verifie l’equation des gazparfaits :

pV = nRT

ou R = 8, 3144621J.K−1 .mol−1 et n est la quantite de matiere (en mole).

Barrage hydraulique : A la profondeur h par rapport a la surface libre, la pression de l’eau dans lebarrage verifie la relation fondamentale de la statique :

p(h) = p0 + ρegh

ou p0 est la pression atmospherique (environ 1 bar) et ρe est la masse volumique de l’eau (ρe ≈1000kg.m−3). La force resultante sur l’ensemble du barrage est donnee par l’integrale de surface

~Fp =

∫

barragep(h)~n dS

Poussee d’Archimede :

Tout corps plonge dans un fluide au repos, entierement mouille par celui-ci ou traversantsa surface libre, subit une force verticale, dirigee de bas en haut et opposee au poidsdu volume de fluide deplace ; cette force est appelee poussee d’Archimede. Le pointd’application de cette force est le centre ce masse du fluide deplace.

bouteille de gaz

sous pression

barrage hydraulique poussée d’Archimède

Figure 5 – Illustrations.

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UTC PS91

Frottement fluide et force de traınee

Un frottement fluide est une force de frottement qui s’exerce sur un objet qui se deplace dansun fluide ; elle depend de la vitesse relative ~v de l’objet et du fluide. L’exemple typique est celuid’une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluidequi s’exerce sur elle est importante, jusqu’a ce que soit atteint un regime d’equilibre ou la force defrottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante.

Loi lineaire pour les faibles vitesses : Dans ce cas, l’ecoulement est dit rampant et la force detraınee ~F est due uniquement aux phenomene visqueux, on a

~F = −kµ~v

ou k est un coefficient dependant de la forme de l’objet et µ la viscosite dynamique du fluide.

Loi quadratique pour les fortes vitesses : Dans ce cas la force de traınee est en grande partie duea la difference de pression entre l’avant et l’arriere de l’objet, on a

~F = −1

2CxρS‖~v‖~v

ou Cx est le coefficient de traınee dependant de la forme de l’objet, ρ la masse volumique du fluideet S est l’aire de projection de l’objet sur un plan perpendiculaire a la vitesse.

Figure 6 – Ecoulement d’air autour d’un objet : a gauche l’ecoulement est rampant et la force detraınee suit une loi lineaire ; a droite l’ecoulement est turbulent a l’arriere de l’objet et la force detraınee suit une loi quadratique.

Objet Cx

disque 1,32sphere 0,45

demi-sphere + cone 0,04aile d’avion 0,03

Table 1 – Valeur du coefficient de traınee (sans dimension) en fonction de la forme de l’objet.

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UTC PS91

III Forces dans les systemes mecaniques

Fil inextensibleLe fil inextensible peut etre vu comme un ressort de raideur infinie. Lorsqu’il est accroche a un solide,il transmet un effort dont le point d’application est le point d’attache du fil sur le solide et dontla direction est portee par le fil. L’amplitude de l’effort transmis depend des equations d’equilibre.Attention : si c’est une tige qui remplace le fil, l’effort transmis peut avoir une direction quelconque(y compris dans une direction autre que celle de la tige).

solide

point d’attache

fil tendu

solide

point d’attache

tige

poulie

~T~R

~T1

~T2

Figure 7 – Pour un fil tendu, la direction de la force est portee par le fil, ce n’est pas forcementvrai pour une tige rigide (ceci est du a la masse de la tige). Dans le cas de la poulie, la tension dufil est constante ‖~T1‖ = ‖~T2‖ si (i) le fil glisse sans frottement ou bien (ii) si le fil ne glisse pas etentraıne ainsi la poulie de masse negligeable.

RessortUn ressort lineaire est caracterise par sa raideur k (en N/m) et sa longueur a vide l0. Lorsqu’unressort est attache a un systeme mecanique, il transmet une force de rappel telle que : son pointd’application est le point d’accroche du ressort, sa direction est celle du ressort, son sens est tel quele ressort tend a revenir a sa longueur au repos, son amplitude est proportionnelle a l’allongementl − l0 du ressort (l etant la longueur du ressort) :

~F = −k(l − l0)~ex

~ex

l

l

l0

Figure 8 – Ressort.

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UTC PS91

Notes de Cours PS 91

Rappel de Math...

Produit scalaire et vectoriel

Prenons deux vecteurs quelconques ~A et ~B. Ces deux vecteurs font un angle θ, (voir la vue enperpective). Le produit scalaire (note par le point ‘·’) de ces deux vecteurs est defini par :

~A · ~B = || ~A|||| ~B|| cos θ.

Le produit vectoriel (note par le chapeau ‘∧’) de ces deux vecteurs est defini par :

~C = ~A ∧ ~B.

Le vecteur ~C est perpendiculaire au plan forme par les vecteurs ~A et ~B. Sa norme vaut :

|| ~C|| = || ~A|||| ~B|| sin θ.

Ici, θ est compris entre 0 et π (sinon c’est negatif !). Le sens de ~C est donne par la fameuse “regledu tire-bouchon”. Ainsi, si on permute ~A et ~B, on change de signe :

~B ∧ ~A = − ~C.

θ

~A

~B

~C

Figure 1 – Produit scalaire et vectoriel.

Maintenant, si on considere le repere cartesien (O,~ex, ~ey, ~ez) orthonorme, c’est-a-dire qu’il verifie :

||~ex|| = ||~ey|| = ||~ez || = 1, ~ex · ~ey = 0 et ~ez = ~ex ∧ ~ey.

On peut ecrire les deux vecteurs dans cette base :

~A = a1~ex + a2~ey + a3~ez et ~B = b1~ex + b2~ey + b3~ez.

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UTC PS91

~ex

~ey

~ex′

~ey′

φ

O

Figure 2 – Base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le repere fixe ~ex et ~ey.

Comme la base est orthonormee, les composantes a1, a2, etc... du vecteur s’obtiennent simplementen faisant le produit scalaire avec les vecteurs de la base : ainsi par exemple : a1 = ~A · ~ex etc... Deplus le produit scalaire peut s’exprimer en fonctions des composantes, on trouve facilement que :

~A · ~B = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Pour illustrer l’emploi du produit scalaire, prenons le cas de la base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le reperefixe ~ex et ~ey. Calculons les composantes :

~ex′ · ~ex = cosφ et ~ex′ · ~ey = cos(π/2− φ) = sinφ

~ey′ · ~ex = cos(φ+ π/2) = − sinφ et ~ey′ · ~ey = cosφ.

Ainsi, on trouve bien

~ex′ = cosφ~ex + sinφ~ey et ~ey′ = − sinφ~ex + cosφ~ey .

Pour le produit vectoriel, il suffit de “voir” que

~ex = ~ey ∧ ~ez, ~ey = ~ez ∧ ~ez et ~ez = ~ex ∧ ~ey.

Apres calcul on trouve que :

~A ∧ ~B = (a1~ex + a2~ey + a3~ez) ∧ (b1~ex + b2~ey + b3~ez)

= (a2b3 − a3b2)~ex + (a3b1 − a1b3)~ey + (a1b2 − a2b1)~ez .

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UTC PS91

Un peu d’analyse...

Prenons deux fonctions du temps (par exemple) f(t) et g(t). Alors

d(f ∗ g)

dt=

df

dtg + f

dg

dtdfn

dt= n

df

dtfn−1

df(g(t))

dt=

dg

dt

df

dt(g(t))

Si la fonction f verifiedf

dt= g,

alors

f(t) =

∫

g(t′) dt′ + cte

ou bien encore

f(t)− f(t0) =

∫ t

t0

g(t′) dt′.

Equations differentielles

La solution dedf

dt+ af = C

ou a et C sont des constantes est donnee par

f(t) = Ae−at+ C/a

ou A doit etre determine a partir des conditions initiales en t = 0.

La solution ded2f

dt2+ ω2f = C

ou ω et C sont des constantes est donnee par

f(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt) + C/ω2

ou A et B doivent etre determines a partir des conditions initiales en t = 0.

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