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Note e problemi risolti di

MECCANICA CLASSICA

www.cm-physmath.net revisione

febbraio 2019

claudio magno

CM Portable PHYS Notebook Series™

Note e problemi risolti di MECCANICA CLASSICA – I

Richard Phillips Feynman (1918-1988)

Professor of Physics, California Institute of Technology, Pasadena, CA, USA Premio Nobel per la Fisica 1965

Una sua citazione da Edward Gibbon (1737-1794):

'L’efficacia dell'insegnamento è raramente significativa, salvo che in quelle predisposizioni [personali] fortunate dove è quasi superflua'. (†)

____________________

(†) Rif.: FEYNMAN, R. P., LEIGHTON, R. R., SANDS, M., - The Feynman Lectures on PHYSICS, VOL. 1, P. 5, Feynman's preface, ADDISON-WESLEY

PUBL. CO., 1963.

Note e problemi risolti di MECCANICA CLASSICA – II

INDICEINDICEINDICEINDICE

IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzione p. III

A. Moto rettilineo elementare uniformemente accelerato p. 1

B. Lavoro p. 4

C. Energia p. 7 C.1 Il Principio di Equivalenza Lavoro-Energia (1a forma) p. 7

C.2 Forze Conservative vs. Non-conservative - Energia Potenziale p. 8

C.3 Il Principio di Equivalenza Lavoro-Energia (2a forma) p. 10

C.4 Energia dissipata in un processo p. 10

C.5 Principio di Conservazione dell’Energia Totale p. 10

C.6 Il Sistema dinamico conservativo p. 12

D. L’Energia nel Campo Gravitazionale p. 15 D.1 L’equazione del moto in un campo di forza centrale p. 17

D.2 Parametri orbitali p. 21

D.3 Norma della velocità lungo un’orbita gravitazionale p. 22

E. Cinematica e Dinamica nel moto rotazionale vs. un asse fisso p. 34

BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia p. 40

Note e problemi risolti di MECCANICA CLASSICA – III

IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzione

… la lascio volentieri alle parole di Feynman, qui di seguito. Esse, prese ‘cum grano salis’, mi trovano sostanzialmente

d’accordo, con tutto quel che esse implicano per l’espositore che se la sente di lasciare qualcosa in chi vuole ascoltare

(veda un po’ la\il gentile lettrice\lettore) …

Sull’insegnamento della Fisica:

‘... Anzi, credo che il modo migliore d'insegnare sia quello di non avere alcuna filosofia e di fare un corso il meno organico possibile, utilizzando tutti i punti di vista possibili. Avere differenti esche su più ami è il solo modo per agganciare ora questo ora quello studente: se uno si appassiona quando parlate degli aspetti storici del vostro argomento e ha paura del formalismo matematico, un altro si riposerà in quel momento ma si entusiasmerà quando passerete alle equazioni …

Per fortuna, non tutti abbiamo gli stessi interessi; inoltre, dobbiamo rispondere alle attese di ciascuno e non uniformare lo stile d'insegnamento piegandoci a pseudo-teorie pedagogiche ...’

R. P. Feynman

Note e problemi risolti di MECCANICA CLASSICA – 1

A. Moto rettilineo elementare uniformemente accelerato

Ogni rappresentazione vettoriale 1D è associabile a una rappresentazione scalare algebrica. Quindi, nel moto rettilineo uniformemente accelerato, le accelerazioni media e istantanea hanno lo stesso valore algebrico, ovviamente:

( )v vv

a at t t

0

0

0–

⋚ . (1)

Dalla definizione generale di valore medio scalare della velocità in un intervallo di tempo t ,

:s ss

vt t t

0

0

, (2)

dove s indica la coordinata di posizione finale al tempo t vs. quella iniziale s0 al tempo t

0 ( t )

lungo una traiettoria di forma qualsiasi, si ha, per un moto rettilineo uniformemente accelerato (e.g., nella direzione dell’asse ), che il valore medio scalare della velocità in un intervallo di tempo t

è uguale alla media aritmetica tra le velocità finale, zv , e quella iniziale, ,zv 0, i.e.,

,z z

z

z z v vzv

t t t

0 0

02

. (2.1)

Combinando i due membri a destra nell’Eq. (2.1), si trova l’espressione della velocità finale zv ,

, ,

( )z z z

z z zv v v

t t t

0

0 0

0

2 2; (2.2)

questa, sostituita nell’Eq. (1) specificata per il moto rettilineo nella direzione (s z֏ ),

,

–

z z z

z z

v v va a

t t t

0

0

,

dà l’espressione generale dello spostamento (rettilineo) accelerato uniformemente,

, ( / ) ( )z zz v t a t 2

01 2 . (3)

Inoltre, se si ricava t dall’espressione dell’accelerazione (media\istantanea) in un moto rettilineo accelerato uniformemente (nella direzione ),

,/ ( ) /z z z z zt v a v v a 0

, (4)

e se ne sostituisce l’espressione nell’Eq. (3), risulta

,( ) /( ) ( ) /( )z z z z zz v v a v a 2 2 2

02 2 (5)

o, in forma equivalente,

,z z zv v a z 2 2

02 . (5.1)

■


Problema 1

Un veicolo in moto rettilineo a km/h90 inizia a rallentare uniformemente a m/s 25 .

Si determini la distanza di arresto del veicolo misurata dall’istante iniziale del rallentamento.

Soluzione

Poiché km/h m/sv 0

90 25 , m/sv 0 e m/sa 25 , l’Eq. (5) diventa

v a z 20

0 2 , i.e., ( m/s)

. m( m/s)

vz

a

2 2

0 2562 5

2 2 5.

■

Problema 2

Una palla da tennis viene scagliata a m/s17 verticalmente verso il basso da un ponte che scavalca un burrone.

Qual è la velocità della palla m20 sotto il punto di lancio?

Soluzione

Dall’Eq. (5.1), si ha che z 0 , perché la quota finale z è inferiore della quota iniziale z0

. Quindi,

/ /( ) (( m/s) ( . m/s ) ( m)) . m/sv v g z 2 1 2 2 2 1 2

02 17 2 9 81 20 26 1 (i.e., verso il basso).

■

Problema 3

Una pietra viene lanciata verticalmente verso l’alto, con una velocità di m/s15 , dal bordo del camminamento in cima

a una torre. La pietra ricade verticalmente sfiorando il muro della torre.

3.1 In quanto tempo la pietra raggiunge l’altezza massima? Quanto misura l’altezza massima (dal punto di lancio)?

3.2 Quali sono la posizione e la velocità della pietra dopo s4 dal lancio?

3.3 Qual è la velocità della pietra a un’altezza di m8 al di sopra del punto di lancio?

Soluzione

Circa la caduta libera nel campo gravitazionale in prossimità della superficie della Terra, si ha za g ( g 0 ).

Qui, assumendo s mt z 0 0

0 0 (i.e., con l’origine del riferimento orario nel punto di lancio), risulta

3.1 ,0 m/sz zv v gt 0 e, quindi, ,0 / ( m/s)/( m/s ) s. .zt v g 215 981 1 53 . Ne segue che

max ( m/s)( s) ( / ) ( m/s ) ( s) m. . . .z 2 215 1 53 1 2 981 1 53 11 47 ;

3.2 ( m/s)( s) ( / )( m/s )( s) m. .z 2 215 4 1 2 9 81 4 18 48 , i.e., sotto il punto di lancio, in fase di caduta;

m/s ( m/s )( s) m/s. .zv 215 9 81 4 24 24 , velocità istantanea in fase di caduta;

3.3 /(( m/s) ( m/s ) ( m)) mzv 2 2 1 215 2 9 81 8 8 25. . , velocità istantanee simmetriche, di salita e di caduta.

■

Problema 4

Un mattone, inizialmente in bilico sul bordo di un pozzo, vi cade da fermo (a causa, e.g., della dilatazione termica). Dopo un tempo s 2 dall’inizio del moto, si sente il tonfo di impatto con l’acqua. Se la velocità media del suono in

aria è m/ssv 343 , a quale profondità si trova la superficie dell’acqua?


Soluzione

Dopo aver assunto s mt z 0 0

0 0 (i.e., con l’origine del riferimento orario al bordo del pozzo), si osserva che il

tempo trascorso dall’inizio del moto del mattone alla percezione dell’onda sonora di impatto con l’acqua è la somma dei tempi di caduta uniformemente accelerata del mattone, mt , e di propagazione uniforme ascendente dell’onda sonora,

st . Pertanto, un’espressione della profondità | |z a cui si trova la superficie dell’acqua, è

,| | | zz v0 m m( / ) |t gt 2

1 2 ,

con z 0 (moto discendente). Poiché, per mt , vale la sola soluzione ‘fisica’ ( 0 ), risultano

/m s s( / ) e /t z g t z v 1 2

2| | | | .

Quindi, /m s s( / ) /t t z g z v 1 2

2| | | | e, posto / :| |z 1 2 ( 0 ), si scrive l’equazione risolvente

/ / /s sg v g v 1 2 2 1 2 1 2

2 0 ,

che fornisce l’unica soluzione ‘fisica’ – quella 0 –

/

s s s

/

( ( ))

( )

v v v gz

g

1 2

2

1 2

2

2.

Infine, il valore della profondità a cui si trova la superficie dell’acqua del pozzo è

/ /

s s s( ( ( )) ) (( m/s (( m/s) ( m/s ( m/s ) ( s))) )m

( m/s )

v v v gz

g

1 2 2 2 1 2 2

2

2 343 343 343 2 9 81 218 57

2 2 9 81

.| | .

..

■


B. Lavoro

Rispetto a una direzione assegnata di spostamento rettilineo z , si può scrivere,

( )W � �

F z F F z F z F z �ˆF z z , (6)

dopo aver scomposto la forza risultante esterna F agente sul sistema nei due vettori componenti

�F e F , rispettivamente, tangente e normale (o centripeto) vs. lo spostamento (rettilineo) locale

z . In generale, sarà W 0≷ secondo che il vettore �F sia equi-verso o contro-verso a z .

Problema 5

Si calcoli il lavoro eseguito dalla forza-peso su un corpo di 4.5 kg in caduta libera per 18 m.

Soluzione

Il lavoro eseguito dal campo (esterno) di forza-peso (i.e., dal campo di forza gravitazionale alla superficie terrestre) sul corpo in caduta libera è (

�F w )

( ) ( )W mg mg � � � �ˆ ˆz z z z z w

( kg) ( m/s ) ( m) J 24 5 9 81 18 794 61. . . ( 0 ).

■

Problema 6

Un macigno di kg57 viene sollevato di m2 . Quanto lavoro viene eseguito dal campo (esterno) della forza-peso w

sul macigno durante il sollevamento?

Soluzione

Qui, lo spostamento z è di verso opposto a quello del Problema 5. Ne segue che

( ) ( kg) ( m/s ) ( m) JW mg 257 9 81 2 1118 34� �ˆ ˆ . .z z z z w ( 0 ).

Questa, però, è solo una parte del lavoro totale eseguito sul macigno. Infatti, essa non include il lavoro – di segno opposto a quello gravitazionale – necessario per sollevarlo dalla sua posizione iniziale (si rifletta sulla questione)!

■

Problema 7

Un buco nero di massa hm , posto in hz z , attrae una stella nana bianca di massa sm , che si trova inizialmente in

sz z . L’asse è scelto come la direzione della forza di attrazione.

Si determini un’espressione del lavoro gravitazionale che porterà la stella a collassare dentro il buco nero.

Soluzione

h s h s

, h-s h s h sh sh s

( ( )) ( ( ))( )

Gm m Gm mW

20

��

� �ˆ ˆF z z z z z z

z zz z .

Il lavoro di attrazione è positivo perché la forza gravitazionale e lo spostamento della stella hanno lo stesso verso. ■

Problema 8

Si determini un’espressione per il lavoro eseguito da una molla ideale lineare su un corpo di massa m , fissato


all’estremità libera della molla, nell’istante in cui il corpo si trova a una distanza � �z da una posizione di riferimento

0z assegnata (sull’asse ). Al solito, è ( )z z

0 0ˆz z z z .

Soluzione

Il comportamento dinamico lineare della molla ideale, espresso dal moto periodico di estensione\contrazione, implica che la molla è sollecitata inizialmente da una forza esterna della forma ext ( ) ( ) ˆz z F z , dove 0 è la misura

della ‘durezza’ della molla, detta costante elastica. Per la 3a Legge della Dinamica, la molla reagisce sviluppando, al suo interno, una tensione meccanica opposta,

ext( ) ( ) ( ) ˆz z z F F z .

Nel calcolo del lavoro di reazione della molla sul corpo ad essa attaccato all’estremità libera, si deve tener conto del carattere lineare della variabilità di ( )zF a partire dalla posizione

0z di riferimento del moto. In altre parole,

l’allungamento o la compressione progressivi della lunghezza della molla, da z0

a z , corrispondono all’aumento

progressivo dell’intensità della sua forza di reazione, da 0 a � �z . Il carattere lineare di ( )zF implica che l’effetto

reattivo totale della forza F alla variazione z di lunghezza imposta coincide con la media aritmetica ( )z

z F di

F vs. z . Tale circostanza è in analogia formale evidente con il moto rettilineo uniformemente accelerato, per il quale,

la velocità media in un intervallo t di tempo coincide con la media aritmetica tra le velocità finale e iniziale durante

t . Va sottolineato, però, che tale proprietà è specifica del solo regime elastico lineare!

Pertanto, con

( ) ( ( ) ( )) ˆz

z z z z F F F0

1

2z ,

dove, ( )/z z z 02 , si trova che il lavoro (di reazione) della molla lineare ideale, per un tratto z del suo moto

periodico di estensione, è dato da

( ) ( ) ( )ˆ ˆz

z zW z z z z

F

0 2

0

1

2 2z z z ,

dovendo intendersi sinteticamente che ( )z z z 2 2 2

0 (cfr/c Eq. (5.1)).

Infine, il segno ‘ ’ nell’espressione di W mantiene in evidenza la natura deterministica (reattiva) di F (‘effetto’) vs. la forza esterna applicata, extF (‘causa’ o ‘sorgente’).

■

Problema 9

Quanto vale il lavoro della forza di attrazione della Terra sulla Luna, assumendo circolare la traiettoria di questa intorno alla Terra? E quello della parte magnetica della Forza di Lorenz, :L q F v BBBB , generata da un campo di induzione

magnetica esterno su una particella di carica q ?

Soluzione

I lavori sono entrambi nulli perché lo spostamento sia della Luna che della particella carica sono ortogonali alla direzione istantanea locale di ciascuna forza.

□

Lo stesso ragionamento si applica alle cosiddette forze apparenti (o fittizie), quali, e.g., la forza centrifuga e la forza di

Coriolis, relC m F v2 ω . Quest’ultima compare nel moto relativo tra due sistemi che ‘si vedono reciprocamente’

come accelerati (quindi, come non-inerziali l’uno vs. l’altro) e nella teoria delle forze di marea esercitate dalla Luna. ■


Osservazioni e rappresentazioni formali

Salvo quando s corrisponda alla misura di un segmento rettilineo AB (i.e., s AB 0 ), se s rappresenta la

lunghezza (o coordinata curvilinea) di un tratto di linea generica a curvatura non-nulla e regolare [19] (i.e., quando

s 0 è la lunghezza di un arco rettificabile �AB ), allora, il simbolo vettoriale ssss perde di significato. Infatti,

l’oggetto geometrico �AB non ha un carattere intrinsecamente rettilineo.

Quindi, la rappresentazione di �AB come ssss è, in generale, inconsistente. Tutt’al più, per una -n partizione qualsiasi

{ , , , , , }nA P P P B1 2 1

… di �AB , con n nA P B P 0 0

r r , si può valutare – vs. un ordine di grandezza

caratteristico arbitrario – la qualità dell’approssimazione scalare

n n

k k k k kk k k

n

s s P P

1 1

1 1 1

� � � �r r∑ ∑ ∑ .

Chiaramente, , risulta

supn

k kk

s

1

1

� �r r∑ .

Come applicazione importante, se �AB è rettificabile, allora, il lavoro eseguito su un sistema mobile da una forza media

(esterna) F lungo il percorso �AB è approssimabile come

cosn n

AB k k k k kk k

W

F F1 1

1 1

� � � � � �r r r r∑ ∑ ,

dove, ( , ( )) [ , ]k k k F1

0∢ r r .

L’espressione esatta di ABW , con F variabile con continuità lungo �AB , resta, definitivamente,

B

ABA

W d F r

e discende dai limiti simultanei ( )limk k

k kd

1

1r r

r r r e n nella partizione di �AB . Il vettore r indica la

posizione variabile del CM del sistema mobile vs. l’origine, O , del sistema di riferimento; il vettore k k 1

r r è,

semplicemente, la corda vettoriale -k esima in �AB descritta vs. O .

■


C. Energia

Che cos’è l’Energia? Come si può tentare di definirla?

L’Energia è la grandezza fisica che misura – pure in J – la quantità di lavoro eseguito o subìto da un sistema fisico 0 di riferimento nell’interazione con un altro sistema fisico – sistema-test o sistema-campo – applicando

( ) su o subendo ( ) da parte di una forza totale o efficace o netta (i.e., non-nulla).

Essa è determinata dalle proprietà fisiche intrinseche e relative dei sistemi 0 e , come la massa

(inerziale gravitazionale), la geometria, la posizione, la velocità, la carica e le correnti elettriche, la struttura e la dinamica microscopiche, etc. .

C.1 Il Principio di Equivalenza Lavoro-Energia (1a forma)

Si supponga, per comodità, che un sistema di massa m si muova di moto rettilineo uniformemente

accelerato. Moltiplicando i membri dell’Eq. (5) per m , dividendo per 2 l’uguaglianza ottenuta ed esplicitando il termine ma z , si trova ( / ) ( / )ma z mv mv 2 2

01 2 1 2 , i.e.,

(( / ) ) :W mv F2

1 2 z , (7)

dove,

: ( / )mv 21 2 , (8)

è detta Energia Cinetica del sistema di massa m e di velocità v . Il risultato espresso dall’Eq. (7) ha, in realtà, validità generale, indipendente dalla natura della forza F , e corrisponde al Principio di Equivalenza seguente:

il lavoro esterno risultante (i.e., totale) eseguito su/da un sistema dotato di massa m e di velocità v si manifesta in un aumento\diminuzione equivalente di Energia Cinetica del sistema.

È evidente che l’energia cinetica di un sistema di massa m e velocità v può essere rappresentata in termini di momento lineare, moltiplicando e dividendo per m il termine destro nell’Eq. (8):

/( ) /( )m m p p22 2p . (8.1)

Ne segue, per l’Eq. (7), la rappresentazione equivalente

( )/( )W m 22p . (9)

Diversamente dalla (8), la rappresentazione (9) in termini di momento lineare risulta formalmente valida anche in Relatività Speciale e in Fisica Quantistica. La sua convenienza risiede, soprattutto, nella sinteticità di trattamento dei processi di collisione classica, e non-, tra particelle e nel controllo immediato ed esplicito del Principio (vettoriale!) di Conservazione del Momento Lineare durante processi di reazione in sistemi dinamicamente isolati.

Problema 10

Quanto lavoro deve essere eseguito su un carrello da supermercato di kg50 per accelerarlo da fermo a m/s.3 5 ?

Soluzione

( / ) ( / )W mv mv 2 2

01 2 1 2 ( / ) ( kg)( m/s) J. . 21 2 50 3 5 306 25 .

■


C.2 Forze Conservative vs. Non-conservative - Energia Potenziale

Le forze vengono classificate come conservative e non-conservative. La condizione sufficiente perché una forza sia definita conservativa è che

il lavoro che essa esegue tra due posizioni fissate risulti invariante rispetto a qualsiasi cammino che le connette.

La conseguenza immediata della condizione di conservatività è che

il valore del lavoro eseguito da una forza conservativa dipende unicamente dalle posizioni terminali dello spostamento

così che la scelta del cammino tra essi è completamente arbitraria! Pertanto, il lavoro che una forza conservativa

esegue lungo ogni cammino chiuso (ciclo) è nullo.

Una forza non-conservativa non obbedisce a tale condizione. Esempi di forze conservative sono:

● la forza attrattiva gravitazionale Newtoniana (attrazione di m1 su m

2),

ˆm g2 21r o ,ˆ

Gm m

1 2

212

2 1� �

rr r

con /

:( )

ˆr r

2 1 2 1

21 2 2 1 2

2 1 1 2 1 22� �

r r r rr

r r r r ,

● la forza elastica di reazione, ( ) ˆz z lungo una direzione Z rettilinea,

● la forza elettrostatica, attrattiva o repulsiva, esercitata dalla carica q1 sulla carica q

2,

( )

ˆ ˆq q q q

r r

1 2 1 2

21 212 2 2

0 2 1 0 1 2 1 24 4 2� �

r rr r r r

.

Alla norma (valore assoluto o modulo) della forza di attrito radente af tra un corpo che striscia su

un piano scabro non-verticale, è associata, generalmente, la forma scalare empirica

a k: � �f F , (10)

dove, k è il coefficiente di attrito cinetico (radente) – un numero puro caratteristico dell’effetto di

sfregamento tra i materiali di cui sono fatti il corpo e il piano (e.g., legno vs. cemento) mentre F� �

è la norma del componente, ortogonale al piano, della forza – di natura qualsiasi – esercitata dal corpo contro il piano stesso. Il verso di af risulta sempre opposto a quello dello spostamento

(relativo) locale corpo\piano. Le forze di attrito sono non-conservative.

Problema 11

Una macchina lavatrice di kg110 viene trascinata con moto rettilineo su un pavimento da A a B e, quindi, trascinata

indietro ad A . Il coefficiente di attrito (cinetico) tra il pavimento e i piedini di sostegno della lavatrice è k . 0 65 ; la

distanza tra A e B è m4 .

Si verifichi che la forza di attrito tra la lavatrice e il pavimento è non-conservativa, mostrando che la condizione di conservatività non è soddisfatta.

Soluzione

Lo spostamento totale indicato è un ciclo perché esso termina al suo punto iniziale.

Per il lavoro eseguito dalla forza di attrito (secondo la direzione Z ), si calcola

†a, a, k k( ) ( ) ( ) ( ) ( )BA AB BA B A AB A B B A A BW W W z z z z z z z z � � � �f f F F

k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) ( )B A A B B A B A B Amg z z mg z z mg z z mg z z mg z z 2

( )( kg)( m/s )( m) J. . . 22 0 65 110 9 81 4 5611 32 0 , q. e. d. .

■


In che cosa si è trasformato il lavoro prodotto dalla forza di attrito? Principalmente, in energia termica (calore) prodotta dallo strisciamento tra la lavatrice e il pavimento e riassorbita in parte da entrambi in parte dall’ambiente circostante; poi, in misura variabile, in energia distruttiva e/o di deformazione meccanica associate, tipicamente, ad alterazioni elettrostatiche e/o chimiche anche permanenti delle superfici a contatto. La quantità

† †:E W (11)

rappresenta l’energia, prevalentemente termica, prodotta nel moto relativo tra la lavatrice e il pavimento. In larga misura, essa viene persa in modo irreversibile, non essendo accumulabile né convertibile completamente in alcuna forma controllata e riutilizzabile.

†W costituisce il lavoro non-conservativo. Pertanto, nel lavoro totale, W , si distinguono una parte conservativa, cW , e una parte non-conservativa, †W , appunto, così che l’Eq. (7) si riscrive

†cW W W ,

ovvero, in forma più significativa,

†cW W . (12)

L’Eq. (12) costituisce un passaggio importante nella discussione. Poiché cW rappresenta il lavoro

conservativo eseguito dal sistema, la quantità cW è interpretabile come la quantità di un certo tipo

di energia conservativa accumulata internamente al sistema per l’azione di qualche agente esterno e disponibile per essere convertita in lavoro da parte del sistema. La quantità

c: ( )U U U W 0

0≷ (13)

prende il nome di variazione di Energia Potenziale, U , del sistema. Detto in parole:

la variazione U 0≷ di Energia Potenziale di un sistema interagente qualsiasi equivale, formalmente, al lavoro

conservativo eseguito sul sistema da un agente dinamico esterno.

Va sottolineato il fatto che l’Energia Potenziale U di un sistema proviene unicamente dal lavoro conservativo eseguito su di esso.

È spesso conveniente prendere ( )U U 0 0

0r (in J) come valore di riferimento per U . Allora,

dagli Esempî 4, 5 e 6, si ottiene,

● per l’energia potenziale associata alla forza-peso e riferita al livello medio della superficie (quasi-sferica e quasi-omogenea) terrestre (z

00 ),

cU W mg w � �z z ;

● per l’energia potenziale di interazione gravitazionale ‘a due-corpi’, riferita alla posizione, e.g., della massa m

1, presa come sorgente singolare ( ( )U

210r per

2 1� �r r ),

c /( )U

Gm m Gm mW

r r

1 2 1 2

2 2 1 2

2 1 1 2 1 22� �r r r r

;

● per l’energia potenziale di interazione elastica lineare riferita alla posizione di equilibrio 0z

del sistema oscillatore armonico (cfr/c Problema 6),

c ( / ) ( )U | |W z 21 2 ;


● per l’energia potenziale di interazione elettrostatica, riferita, e.g., alla posizione-sorgente della carica q

1, il discorso è formalmente identico al caso gravitazionale. Quindi,

c /( )U

q q q qW

r r

1 2 1 2

2 2 1 2

0 2 1 0 1 2 1 24 4 2� � r r r r

.

In generale, l’energia potenziale di un sistema interattivo non-elettrodinamico dipende dalla sua posizione di riferimento

0r opportuno tale, e.g., che ( )U U

0 00r , come s’è già detto.

Infine, va osservato il fatto fondamentale che il lavoro conservativo tra due posizioni date fornisce (l’opposto del-)la variazione dell’Energia Potenziale tra quei due punti, non un qualche suo valore locale specifico!

C.3 Il Principio di Equivalenza Lavoro-Energia (2a forma)

Combinando le Eq.i (10) e (11), si arriva al risultato fondamentale

† ( ) ( )U U UW 0 0

( ) ( )U U E E E 0 0 0

, (14)

che si esprime dicendo che

il lavoro non-conservativo (e.g., quello eseguito da forze esterne di attrito) su un sistema fisico è uguale alla variazione E dell’Energia Meccanica di questo.

La definizione di Energia Meccanica è evidente dall’Eq. (14):

: ( / )E U Umv 21 2 . (15)

L’espressione formale di U dipende dalla natura delle forze conservative specifiche che eseguono lavoro sul sistema di massa m , come indicato dall’Eq. (13).

C.4 Energia dissipata in un processo

Le espressioni (11), (12) e (14) di †W danno luogo a rappresentazioni alternative utili, quali

● † †

c EW W 0

, (16.1)

● † ,U E ovvero, †U E U E

0 0 0, (16.2)

● †E E E E

0, (16.3)

enunciabili senza difficoltà con formulazioni conseguenti. □

Dalla compensazione continua tra le variazioni di Energia Meccanica vs. le varie quantità casuali insorgenti di energia non-conservativa, l’Eq. (16.3) esprime il fondamentale

C.5 Principio di Conservazione dell’Energia Totale, E ,

interna a un sistema dinamico isolato (i.e., totalmente non-interagente con qualsiasi altro sistema dinamico):

l’Energia Totale di un sistema fisico isolato non può essere creata né annichilata. Essa può solo mutare (trasdursi) in forme differenti ed essere ridistribuita in quantità differenti tra le parti (interagenti) del sistema totale isolato, mostrando, così, il suo carattere estensivo.


Allora, dall’Eq. (16.3), discende la condizione di conservatività globale per un sistema isolato:

† 0E U E . (17)

Spesso, a una quantità infinitesima di energia non-conservativa si riserva il simbolo speciale †Eđ , diverso da dE , riservato all’energia conservativa. Il simbolo †Eđ si riferisce all’impossibilità di

definire in modo non-ambiguo una funzione Energia Potenziale †U per †E , analoga a U per E . Il calore è un esempio tipico di tale situazione. Così, non si può assegnare un valore iniziale e un valore finale ad †E e costruire esplicitamente una variazione † E indipendente dal processo (cammino formale) seguito. Ciò che si può solo dire è che, sommando quantità infinitesime †đ E di energia non-conservativa, si arriva a determinare una quantità macroscopica di energia non-conservativa trasferita tra due stati energetici terminali di equilibrio, niente di più!

Problema 12

Tra le forze non-conservative agenti su un aereo transcontinentale di linea, dall’istante del distacco dalla pista di decollo al raggiungimento della quota di crociera, la pressione p di spinta (reazione) dei gas espulsi tra l’ingresso e l’uscita

delle camere di combustione dei quattro jet, di volume totale V0

, è di gran lunga la più importante.

Un jumbo Boeing 747, di 420 t (inclusi passeggeri e carico) e 22 t di cherosene, decolla raggiungendo, in 4 min, l’altezza di 13500 m e la velocità orizzontale di crociera di 913 km/h.

Si stimi la potenza media prodotta dai gas espulsi dall’inizio del rullaggio al raggiungimento della quota di crociera.

Soluzione

Il lavoro medio non-conservativo di reazione dei gas espulsi è espresso dall’Equazione fluidodinamica di Bernoulli:

† (( / ) ( / )E Up V W mv mv 2 2

0 01 2 1 2 ) (mgz mgz

0) (( / ) )m v gz 21 2

(( ) kg). . 3

5 1 104 20 0 22 10 913

2

m

. 336 10

( m/s )( m) Js

. . .

2

2 4 109 81 1 35 10 4 35 10 .

Quindi, la potenza media sviluppata dai gas espulsi è, circa,

† J

: W kWs

..

p VW

t t

10

0 8 54 35 101 81 10 2 10

4 60P .

■

Problema 13

Una scatola di 3 kg viene spinta su per un piano ruvido, inclinato di un angolo 30 , imprimendole un’energia

cinetica iniziale di 35 J. Quanto vale il coefficiente di attrito (cinetico) k se la velocità della scatola è ridotta di /3 5

del suo valore iniziale v0 quando questa raggiunge, sul piano inclinato, l’altezza h 40 cm dalla quota iniziale?

Soluzione

La riduzione di energia cinetica della scatola vale

( / ) ( / ) ( / ) (( / ) ) ( / ) (( / ) ) ( / )mv mv m v v mv 2 2 2 2 2

0 0 0 0 01 2 1 2 1 2 2 5 21 25 1 2 21 25 .

Ora, nell’Eq. (14), si ha che U mgh . Inoltre, lo spostamento ( 0 ) della scatola lungo il piano inclinato misura

cscx h .

Quindi, il lavoro non-conservativo eseguito sulla scatola dalla forza di attrito (opposta allo spostamento) vale


†k k( )cos cotW mg x mgh

( / )U mgh 0

21 25 .

Ne segue che

k

( / ) ( / ) ( J)( )

( kg)( m s ) ( m)tan .

. .mgh

0

2

21 25 3 21 25 351 1 0 86

3 3 981 0 4.

■

C.6 Il Sistema dinamico conservativo

Se nessuna forza non-conservativa agisce su un sistema dinamico (o, più realisticamente, se tale tipo di forze può essere trascurato), allora, †W 0 e l’Eq. (14) si riduce a

E 0 ovvero E E0. (18)

In altre parole, l’Energia Meccanica del sistema è (idealmente) invariante. Questo caratterizza il sistema come conservativo. Come conseguenza immediata, dall’Eq. (13), si ha che

cU W . (18.1)

In parole:

un aumento\diminuzione di Energia Cinetica è compensato\a da una diminuzione\aumento della stessa quantità di

Energia Potenziale del sistema (corrispondente a lavoro esterno conservativo subìto\eseguito).

Esplicitamente, si scrive:

( / ) ( / ) ( )U U U Umv mv 2 2

0 0 0 01 2 1 2 , (18.2)

ovvero,

( / ) ( / )U Umv mv 2 2

0 01 2 1 2 . (18.3)

■

Problema 14

In una gara di salto con l’asta, un atleta di massa kgm 78 raggiunge la velocità di m/s9 a fine rincorsa.

Si stimi l’altezza raggiunta dal centro-di-massa (CM) dell’atleta, assumendo che, durante la rincorsa, esso si muove a m1 sopra la pista e che, nel salto, tutta l’energia cinetica dell’atleta viene convertita in energia potenziale.

Soluzione

a. Configurazione iniziale: il saltatore, a fine rincorsa, pianta l’asta nella buca di sabbia appena prima di staccarsi dal suolo: m/sv

09 ;

mz 0

1 ( altezza minima dal suolo del CM del saltatore);

b. configurazione finale: il CM del saltatore supera il livello dell’asticella. Quindi, con velocità quasi nulla, l’atleta si torce e si lascia cadere sul materasso sottostante: m/sv 0 , ?z (altezza massima del CM del saltatore dal suolo).

Il saltatore – sfruttando l’effetto-fionda dell’asta in modo controllato – approssima il moto del suo CM a quello di un sistema conservativo. Pertanto,

( / )mv 21 2 ( / )mgz mv mgz 20 0

1 2 , da cui, si determina

/( ) ( m/s) /( m/s ) m m. .z v g z 2 2 2

0 02 9 2 9 81 1 5 13 .


Si noti come la massa dell’atleta sembri irrilevante nel processo. Al contrario, questo, dipendendo dal quadrato della

velocità di stacco dal suolo, v 20, discende dal lavoro di spinta delle gambe, quindi, implicitamente, dalla massa.

■

Nel caso di un sistema dinamico non-interagente (i.e., isolato), la mancata esecuzione di lavoro dei\sui suoi costituenti elementari riduce l’Eq. (7) alla forma speciale di invarianza dell’Energia

Cinetica totale del sistema, che maschera il Principio più generale di Conservazione (vettoriale!)

del Momento Lineare (o Quantità di moto) totale. Formalmente, si scrive (v. Eq. (9))

/( )i i im 22 0∑ p . (19)

Un esempio è dato dalla collisione (non-relativistica) frontale (head-on) binaria e perfettamente

elastica, i.e., tra due particelle (puntiformi) libere, rappresentata a tempi precedenti e successivi all’istante della collisione puntuale.

Problema 15

Due particelle puntiformi libere, rispettivamente, di masse m1 e m

2 e di componenti scalari delle velocità incidenti

v v1 1

� � e v v2 2

� � , collidono frontalmente (i.e., v v v v1 2 1 2

0 ) ed elasticamente lungo una direzione

specificata. La collisione 1D-vincolata e non-relativistica.

Si determinino espressioni per le componenti scalari algebriche ( 0≶ ) delle velocità, v1

e v2

, delle particelle nel

‘canale d’uscita’, i.e., dopo la collisione, lungo le traiettorie di rimbalzo rispettive.

Soluzione

Durante una collisione frontale binaria e 1D-vincolata, il CM delle due particelle rimane allineato sulle traiettorie di

incidenza e di rimbalzo, rettilinee e coincidenti. Poiché sia il momento lineare totale che l’energia cinetica totale del sistema delle due particelle di conservano in una collisione binaria elastica, allora, valgono le condizioni scalari simultanee

,

1 2 1 2

1 2 1 2

p p p pda cui, ,

1 1 2 2

1 1 2 2

p p p pi.e.,

( ) ( )

( ) ( )

m v v m v v

m v v m v v

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.

Dividendo membro-a-membro la seconda equazione per la prima, si ottiene v v v v 1 1 2 2

e, quindi,

( )v v v v 1 2 1 2

, (1)

i.e., la relazione anti-simmetrica tra le velocità relative nei ‘canali di uscita’ e ‘di ingresso’. Combinando l’Eq. (1) con quella esprimente il Principio di Conservazione (vettoriale) del Momento Lineare per il sistema isolato delle due particelle,

( ) ,

( ) ( ) ,

v v v v

m v v m v v

1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

e risolvendo vs. v1

e v2

, si trovano le espressioni simmetriche

m m m

v v vm m m m

1 2 2

1 1 2

1 2 1 2

2, (2.1)

m m m

v v vm m m m

1 2 1

2 1 2

1 2 1 2

2. (2.2)

Le eventualità alternative che sia v v 1 2

0≶ indicano, rispettivamente, vs. un sistema di riferimento inerziale, un

rimbalzo\inseguimento (v v 1 2

0≶ ) tra le particelle dopo l’urto.

È lasciato a chi legge l’esercizio del controllo dei casi risultanti da m m1 2

, ,v v1 2

.

Una discussione un po’ più estesa sulle collisioni, in particolare, quelle 2D-vincolate, si trova in [20.6]. ■


Problema 16

Un corpo rigido di materiale omogeneo è formato da due sfere di masse m1 e m

2, unite da un’asta rettilinea di massa

trascurabile ma conduttrice perfetta di quantità di moto. Inizialmente, il corpo è fermo vs. un osservatore inerziale. Improvvisamente, viene applicato un impulso I alla sfera m

1, a un angolo

0 vs. l’asta, orientata come l’asse .

Qual è, vs. l’orientazione dell’asta, l’ampiezza dell’angolo dello spostamento della sfera m1 causato dall’urto

impulsivo? Come dipende dalle masse m1 e m

2?

Soluzione

L’impulso esterno I trasferisce una tensione impulsiva istantanea, , all’asta rigida. Disponendo il sistema di riferimento in modo che sia ˆ ˆ � � x x , ai punti di contatto tra l’asta e le sfere, risultano, rispettivamente,

ˆcosm v 1 1

x , (1.1)

ˆm v2 2x , (1.2)

con v v1 1� � e v v

2 2� � . Confrontando le Eq.i (1.1) e (1.2), segue che gli x -componenti vettoriali delle velocità

istantanee acquisite dalle sfere sono uguali,

( / )ˆ ˆcosv m m v 2 1 2 1x x . (2)

Dal Principio di Azione-Reazione, a un istante ritardato t 0

, immediatamente successivo a t0, quello del contatto, la -x

componente scalare dell’impulso sulla sfera m1 si scrive

( )cos cosm v I1 1 0

� � , con 0 ,

cosm v m v 1 1 0 2 2

, dall’Eq. (1.2),

cos cosm v m v 1 1 0 1 1

, dall’Eq. (1.1) o dall’Eq. (2),

e, quindi,

cos cosm v m v 1 1 1 1 0

2 . (3)

La -y componente algebrica dell’impulso sulla sfera m1, all’istante ritardato t

0, resta invariata a causa del vincolo di

rigidità dell’asta:

sin sin sinm v m v I1 1 0 1 1 0

� � . (4)

Dividendo membro-a-membro l’Eq. (4) per l’Eq. (3) e risolvendo vs. , risulta

( ( ))tan tan 1

02 ,

un’espressione indipendente sia da m1 che da m

2.

■


D. L’Energia nel Campo Gravitazionale (Teoria Newtoniana delle orbite e analisi dei parametri orbitali)

La traiettoria impressa a un sistema mobile di massa m da un campo F di forza centrale è piana. Un tale campo dipende dalla sola distanza r ( � �r ) tra la ‘sorgente’ di F e il sistema,

( ) ( ) ˆfr rF֏r r , (20)

con ( )f r 0≶ secondo che la forza subita sia attrattiva ( ) 0 o repulsiva ( ) 0 . Se il sistema è isolato da tipi diversi di campi di forza, (e.g., dipendenti dalla velocità, come con le forze viscose e magnetiche), allora, il campo F è conservativo, i.e., è associato a un’Energia Potenziale. L’Energia Meccanica E e il Momento Angolare L totale di un sistema in un campo centrale F si

conservano nel tempo, quindi, sono costanti del moto (o invarianti dinamiche temporali). □

Che la traiettoria imposta da F al sistema sia piana, lo si deduce osservando che il momento di F su m vs. O è, evidentemente, nullo r :

( ) ( / )ˆ ˆfO r r m d dt vr F r r r 0000 . (21)

Quindi, l’Eq. (21) indica che il vettore-spostamento r del sistema soggetto a un campo F di forza centrale è sempre allineato con l’accelerazione istantanea del sistema:

( / )d dt vr 0000 . (22)

Dall’identità vettoriale generale ( / ) ( )d dt d v v v vr r , consegue, r , che m L vr è

un vettore costante vs. t e perpendicolare al piano orbitale, determinato da r e da v . Il carattere conservativo di F rimanda al teorema generale di esistenza delle funzioni-potenziale:

Teorema (adattato ai campi di forze centrali)

Sia F un campo di forza centrale rappresentabile come una funzione ( ) 1C , almeno, essendo

3RRRR un dominio aperto.

Allora, F è conservativo SSE F 0000 . ▲

Dimostrazione (coordinate cilindriche)

Necessità:

Se F rappresenta un campo conservativo centrale in , allora, : ( ) ˆU U f F ρ . Quindi, dall’identità

vettoriale generale F 0000 , segue che

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

U

UU U U

z z

z

1 1

10 0

ρ φ z ρ φ z

0000 , con ( )U U .

Sufficienza:

L’identità

( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

F F F fz

z z

F

1 1

0 0

ρ φ z ρ φ z

0000 è vera, quindi F è conservativo in . Infatti, il

lavoro eseguito dal campo di forza F per spostare il sistema da ( ; ; )z 0 0 0 0ρ a ( ; ; )z ρ lungo una linea


qualsiasi in , si riduce a quello lungo un cammino rettilineo di lunghezza 0

� �ρ ρ , perché ˆFF ρ :

( )ˆ ˆ ˆF F frW d d d

0

ρ ρ ρ ρ . (24)

Pertanto, essendo sempre possibile costruire una funzione ( )U 2C tale che ( ) :U U U W

0, segue che

( ) ( )/f Ud d , ovvero, espresso in 3D, che ( ) ( )ˆ UF ρ .

Se ne conclude che U è una funzione associabile come potenziale al campo irrotazionale centrale F , q. e. d. . □

Poiché il moto gravitazionale avviene su un piano, conviene mantenere l’impiego del sotto-insieme

piano-polare { , } delle coordinate cilindriche. Così, dalla forma piano-polare della velocità, ˆ ˆv v v ρ φ , si ottiene quella dell’Energia Meccanica del sistema orbitante di massa m : poiché

ˆ ˆρ φ , vale l’espressione, pitagorica nella parte cinetica,

( / ) ( ) ( )E Um v v 2 21 2 . (25)

Ora, l’identità scalare

d m L

vdt m m

2

, (26)

fa assumere all’Eq. (25) la forma

( )E UL

mvm

2

2

2

1

2 2 , (27)

nella quale, /( )L m2 22 rappresenta il termine non-inerziale di resistenza al moto curvilineo. Per

questa ragione, è indicato come Energia Potenziale centrifuga,

( ) :UL

m

2

22

. (28)

Insieme, ( )U r e ( )U r costituiscono l’Energia Potenziale efficace, quella che caratterizza il moto

reale complessivo del sistema, che, altrimenti, risulterebbe puramente rettilineo,

eff ( ) : ( ) ( ) ( )U U U UL

m

2

22

. (29)

Dunque, l’Energia Meccanica gravitazionale di un sistema orbitante può essere anche scritta come

eff( / ) ( )E Umv 21 2 . (30)

La componente radiale della velocità ( variazione temporale di � �ρ ) è deducibile dall’Eq. (28), evidenziando la sua dipendenza dalle grandezze dinamiche:

/

/( ( ))E Ud

vdt m

1 2

1 22. (31)

Da questa, esplicitando dt e integrando da t0 a t , si trova

/

/( )

( ( ))E U

m dt t t

0

1 2

0 1 22

, (32)


invertendo la quale, si determina l’equazione oraria del moto del sistema, ( ) ( )t t 1 che sia, almeno definitivamente, localmente unica ed espandibile in serie (Teorema di Dini).

Ora che è nota ( )t , o una sua espansione in somma ridotta sufficiente, si può continuare in modo analogo con l’Eq. (26), separando le variabili e t e integrando tra estremi corrispondenti:

( )( ( ))

t

t

L dtt

m t

0

0 2, (33)

L’integrazione (33) va eseguita dopo la sostituzione dell’espressione trovata di ( )t .

Infine, la relazione orbitale angolo-distanza è determinabile con la regola di derivazione composta (a ‘catena’), ricorrendo alle espressioni delle Eq.i (31) e (26),

/

/( )( ( ))E U

d d dt m

d dt d L

1 2

2 1 22,

e, quindi, separando le variabili e . Integrando tra estremi corrispondenti, risulta

/ /

( )( ) ( ( ))E U

L d

m

0

0 1 2 2 1 22

. (34)

L’Eq. (34) è fondamentale nella teoria classica delle orbite. Infatti, ricavando ( ) ( ) 1 , si determina l’equazione esplicita dell’orbita del sistema in coordinate piano-polari, una volta noti i valori delle costanti del moto E e L e la forma esplicita vs. della funzione U .

Le Eq.i (32), (33) e (34) sono interconnesse in modo evidente; il loro impiego alternativo dipende da quali siano i parametri dinamici noti. Le espressioni integrali sono, di norma, complicate, per lo più riconducibili a funzioni ellittiche o iper-ellittiche e, nell’indagine quantitativa, gestibili quasi

esclusivamente con la programmazione numerica. □

D.1 L’equazione del moto in un campo di forza centrale

L’argomento richiede l’elaborazione preliminare di qualche dettaglio tecnico. I versori ρ e φ non restano costanti durante il moto ma mutano direzione e verso, diversamente da x , y e z . Quindi,

( ) ( )ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosd d d

dt dt dt

ρx y x y φ , (35.1)

( ) ( )ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos cos sind d d

dt dt dt

φx y x y ρ . (35.2)

Le Eq.i (35.1) e (35.2) servono a completare l’espressione dell’accelerazione totale del sistema:

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆd d d d d

v vdt dt dt dt dt

va …ρ φ ρ φ

( / ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆd dt v a a 2 2 22… ρ φ ρ φ , (36)

dove, /d dt2 2 e : / /d dt d dt 2 2 indicano la variazione 2a vs. t della distanza � �ρ (non dello spostamento ρ !) e l’accelerazione angolare scalare. Da ciò segue l’equazione deterministica completa del moto piano di un sistema di massa m soggetto a un campo risultante di forza:


( )ˆ ˆm m a a F a ρ φ . (37)

Se il campo è centrale, allora, le sue componenti piano-polari sono, dall’Eq. (20),

( / ) ( )fm d dt 2 2 2 , (38.1)

( )m v 2 0 . (38.2)

L’Eq. (38.2), suggerisce una forma vettoriale possibile di ,

( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ v v

v2 2 2

∓ � �z ρ φ ω φ , (39)

dove, sia che v sono componenti algebriche ( )0≶ vs. la percorrenza anti-oraria dell’orbita.

L’ambiguità di segno dà conto di aumenti\diminuzioni orbitali di � �ω .

Inoltre, la forma scalare conservativa L m v m 2 – conseguente dall’Eq. (22) – implica,

banalmente, che anche

/L m v 2 (40)

è un invariante temporale del moto orbitale in un campo di forza centrale. □

L’Eq. radiale (38.1) costituisce il punto di partenza convenzionale per l’analisi della dinamica del sistema orbitante. Ricavata dall’Eq. (40), l’Eq. (38.1) può essere riscritta come

( )fd L

mdt m

2 2

2 2 3. (41)

Posto : / 1 , da cui, si calcola / /d d 21 , risultano sequenzialmente le derivate

d d d d L d d L

dt d dt d m d d

2

2 m

2

1 d L d

d m d

, (42.1)

d d d d L d L d d d L d L d

dt dt dt dt m d m dt d d m d m d

2 2 2 2

2

2 2 2 2 . (42.2)

Quindi, vs. la variabile , l’Eq. del moto (41) assume la forma armonica non-omogenea

( / )fd m

d L

2

2

2 2 21 . (43)

□

Il percorso delineato fin qui in termini matematici attuali sembra sia stato quello che Newton seguì, oltrepassati i limiti dell’Algebra arabo-cartesiana. In aggiunta alle questioni sperimentali – che occuparono gran parte della sua vita – e ben a conoscenza dei lavori di Brahe, Kepler e Galilei, egli volle dare una base concettuale deterministica alla catena delle connessioni causali oggettive, avviando il chiarimento sia di ciò che oggi intendiamo con la parola TEORIA sia del linguaggio intrinseco agli eventi e ai meccanismi naturali in generale: l’ANALISI INFINITESIMALE. Guidato da capacità esclusive di intuizione e di sintesi, da esperienza meditata e profonda, da abilità e senso estetico nel calcolo e – chissà? – da un po’ di fortuna (che non guasta mai!), Newton ricavò una ‘progenitrice’ dell’Eq. (43) (Euler, Lagrange, Laplace, Bessel, Cauchy erano ancora nel futuro …), ipotizzando la forma ‘più semplice’ possibile di campo gravitazionale per il modello (20), quella che rende costante il termine nel membro destro dell’equazione:

( ) : / 2 2֏f , (44)

con 0 . Presumibilmente, è in questi frangenti che nascono il concetto di Principio di Minimo del Calcolo Variazionale e le teorie moderne sulla Stabilità dei Sistemi.


Con l’assunzione (44), il modello centrale (43) specifica il regime gravitazionale newtoniano puro

d m

d L

2

2

2 2 . (45)

La forma minimale della soluzione generale dell’equazione differenziale lineare (45) è

( ) ( / ( ))cos sinm

c cL

1 2 21 . (46)

____________________

Poiché la soluzione dell’equazione omogenea associata all’Eq. (45) è

( ) (( / ) ( / ) )h cos sin cos sinc c C c C c C 1 2 1 2

, con C 0 ,

posto /: ( )C c c 2 2 1 2

1 2, così che /| |c C

11 , /| |c C

21 e ( / ) ( / )c C c C 2 2

1 21 , si possono definire

: / e : /c C c C 1 2

cos sin .

Quindi, ( ) ( )h cos cos sin sinC , ovvero,

( ) ( )h cosC , (46.1)

dove, ( / ) ( / , / ),tan c c n n n 1

2 12 2 ZZZZ .

____________________

Ancora una volta, la scelta di Newton corrispose a una forma minimale (semplice, quindi, naturale) per la soluzione (46), quella che assegna il valore 0 al parametro arbitrario nell’Eq. (46.1), i.e.,

fissa c 20 o, in modo equivalente, c C

1, senza perdita di generalità.

Ne segue che

( ) cosm

CL

2 , (47)

i.e., prendendo la rappresentazione reciproca ( ) / ( ) 1 , che

/

( )( /( ))cos

L m

CL m

2

21

, (47.1)

l’equazione di una sezione conica avente /( )CL m 2 come eccentricità (purché sia C 0 ) e

/L m 22 come misura del latus rectum.

La determinazione di C richiede di fissare preventivamente una condizione di frontiera realistica per la funzione Energia Potenziale ( ( )) 2U C RRRR . La scelta che sia

( )lim U

0 (48.1)

equivalente, dall’Eq. (24), a

( ( ) ) ( ( )) ( / ) / /lim U U lim f lim limd d

0 0

2

0 01 ,

implica che /U 0 0

. Banalmente, vs. la variabile , la condizione di frontiera (48.1) diventa

( / ) ( )lim U lim

0 0

1 0 . (48.2)

Dunque, dall’Eq. (25) di conservazione dell’Energia Meccanica, si scrive:


costanteE

( )Ud

mdt

2

2 21

2

L d L

mm d m

2 2

2

2

1 1

2, dalle Eq.i (42.1) e (40),

L d m

m d L

22

2

22

( )sin cos cosL m m m

C C Cm L L L

22

2 2

2 2 22

, dall’Eq. (47),

( )cosL m L m m

C C Cm L m L L

2 2

2 2

2 2 22 2

, dall’Eq. (47),

( )L m m

Cm L L

2 2 2

2

2 42

.

A questo punto, l’espressione di C 2 viene identificata mediante la condizione di frontiera (48.2). Infatti, rimanendo E e L costanti, si ottiene, asintoticamente ( ) 0 ,

EL m

Cm L

2 2 2

2

42

e, finalmente,

/( )EC m L mL

2 2 2 1 2

2

12 0 . (49)

Quindi, sostituendo l’espressione (49) nell’Eq. (47.1), si arriva all’equazione dell’orbita (sezione conica) di un sistema di massa m soggetto all’azione di una forza centrale di tipo newtoniano,

/

/( )

Ecos

L m

L

m

2

1 22

2

21 1

, (50)

e all’identificazione immediata della sua eccentricità,

/EL

m

1 22

2

21 . (51)

La natura geometrica del cammino orbitale è stabilita nell’Eq. (51) da sgn E (†):

● se /( ) Em L 2 22 0 , l’orbita è ellittica (orbita legata, stabile), (52.1)

● se E 0 , l’orbita è parabolica (orbita di transizione, instabile), (52.2) ● se E 0 , l’orbita è iperbolica (orbita libera, stabile). (52.3)

Nei tre casi (52.1\2\3) – i soli possibili – il centro di forza coincide con l’uno o l’altro dei fuochi (per un’orbita parabolica, il fuoco è unico). Quando l’orbita è un ramo iperbolico, il centro di forza coincide con il fuoco interno al ramo, se F è attrattiva, o esterno al ramo, se F è repulsiva.

□


D.2 Parametri orbitali

Nel caso della forza gravitazionale classica, corrisponde alla costante di Newton

Gmm 0. (53)

G è la costante gravitazionale universale e m0 è la massa-sorgente ( m⋙ ) del campo attrattivo

con il sistema orbitante, posta nel fuoco fisico – ~ il CM – dell’orbita (e.g., il Sole vs. la Terra).

In un campo gravitazionale, la corrispondenza tra Dinamica e Geometria Analitica è straordinaria: nella soluzione particolare (50), proveniente dall’equazione (differenziale) (45) del moto orbitale, è l’ampiezza dell’angolo (anomalia) tra r e l’asse principale (focale) della traiettoria; l’origine (polo) del sistema di riferimento – il celebre Riferimento Newtoniano ΣN – è il fuoco fisico stesso della traiettoria [20.2]. Come si è già osservato, il confronto tra l’Eq. (47.1) e la rappresentazione generale di una sezione conica in coordinate piano-polari nel riferimento ΣN ,

/

( )cos

2

1֏ ,

consente di identificare i parametri orbitali latus rectum ed eccentricità. Inserendo l’espressione (53) di , la loro determinazione fisica ne risulta completa e dimensionalmente corretta:

/

( )L

Gm m

2

22

0

22 , (54)

/EL

G m m

1 22

2 3 2

0

21 0 , (55)

In particolare, affinché si realizzi fisicamente un’orbita ellittica ( [ , )) 0 1 , è richiesto che sia soddisfatta la condizione di realtà (cfr/c Eq. (52.1))

G

EL

m m

2 3 2

0

20

2. (55.1)

□

Dalle espressioni degli invarianti orbitali (54) e (55), si determinano senza difficoltà quelle di altri parametri importanti analiticamente correlati [20.2]:

● semiasse maggiore ellittico,

( ) | |

G

E

mma

0

22 1 2

, (56.1)

● semiasse minore ellittico,

//

( )( | )

L

E|b a

m 2 1 2

1 21

2 , (56.2)

● distanza focale (centro orbitale-fuoco) ellittica,

/|

| |

G E|L

E G

mmc a

m m

1 22

0

2 3 2

0

21

2; (56.3)


● distanza focale (fuoco-vertice, / 2FV ) parabolica,

FV ( )L

Gr

m m

2

20

04 2

; (56.4)

● semiasse maggiore iperbolico,

( )

G

E

mma

0

22 1 2

, (56.5)

● semiasse minore iperbolico,

//

( )( )

L

Eb a

m 2 1 2

1 21

2 , (56.6)

● distanza focale (centro orbitale-fuoco) iperbolica,

/G EL

E G

mmc a

m m

1 22

0

2 3 2

0

21

2. (56.7)

□

D.3 Norma della velocità lungo un’orbita gravitazionale

Dall’equazione che esprime il Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica in un campo di forza gravitazionale newtoniano,

G

Emm

mv

021

2 ,

con ˆ ˆv v v � �ρ φ , si trova prontamente (coordinate piano-polari)

/

G Emv

m

1 2

02 . (57)

L’Eq. (57) vale per qualsiasi tipo di traiettoria, ellittica, parabolica o iperbolica. In particolare, per l’orbita parabolica, si ha E 0 , i.e., / /Gmv mm 2

02 , che è la condizione sia di cattura su, sia

di fuga da, un’orbita stabile, i.e., ellittica o iperbolica, per il sistema di massa m . Ricavando E dalle Eq.i (56.1) e (56.5) e sostituendolo nell’Eq. (57), si distinguono le velocità orbitali ellittica e iperbolica in termini di semi-assi maggiori rispettivi (il semi-asse maggiore della parabola ha lunghezza infinita, a ):

ellE 0 /ell ( ( / / ))Gv m a 1 2

02 1 , (58.1)

parE 0 /par ( / )Gv m 1 2

02 , (58.2)

hypE 0 /hyp ( ( / / ))Gv m a 1 2

02 1 , (58.3)

■


Problema 17

Si verifichi la 3a Legge di Kepler con un calcolo in media, i.e., utilizzando variazioni finite di grandezze fisiche.

Soluzione

L’area di un settore ellittico focale (i.e., con il vertice nel fuoco fisico dell’orbita) è approssimabile da

( / )|| ( )|| ( / ) || ||sin 1 2 1 2ρ ρ ρ ρ ρ , (1)

dove, è l’ampiezza dell’angolo acuto tra ρ e ρ ρ , i.e., dell’angolo di variazione della direzione di ρ .

Per variazioni angolari di ρ (uscente dal fuoco fisico), finite ma ‘abbastanza piccole’, risulta sin e

|| || ρ ≪ . Pertanto, poiché || ||sin ρ ρ e ρ ρ (quindi, ) in , si ha che

( / ) ( ) ( / ) 21 2 1 2 . (1.1)

Quanto più è ‘piccola’ tanto più sono precise l’approssimazione || || || || || || ρ ρ ρ ρ e l’approssimazione

(1.1). Dalla divisione di quest’ultima per t associato a , risulta la cosiddetta velocità areale media,

( )Lm v L

t t m m m

2 21 1 1

2 2 2 2 2 2 , (2)

proporzionale alla costante del moto L attraverso l’invarianza temporale orbitale del prodotto v (v. Eq. (40)).

Segue, per sovrapposizione, che il rapporto tra l’area ell racchiusa dall’orbita ellittica e il periodo di rivoluzione T è

uguale alla costante del moto / t , calcolabile dall’Eq. (58.1) quando a v 0 simultaneamente:

ell /( ) ( )( )

LG

amv a amv aa m

m m m

1 2

0

1

2 2 2 2T e, da questa,

/

ell/ /( ) ( )G G G

aab b

a m a m m

1 2

1 2 1 2

0 0 0

2 22T . (3)

Infine, resta verificata la 3a Legge di Kepler:

/( ( ) ) ( )

G G G

ab a aa a

m m m

2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 3 3

0 0 0

4 4 1 4 1T . (4)

■

Problema 18

Disponendo soltanto delle misure delle distanze di perielio, , e di afelio, , della Terra ( )m vs. il Sole ( )m0

e

volendo rappresentare l’orbita (ellittica) di rivoluzione terrestre in forma canonica cartesiana sul piano Y ,

/ /x a y b 2 2 2 21 , (1)

si esprimano

1. l’equazione dell’orbita di rivoluzione terrestre;

2. l’eccentricità dell’orbita terrestre, ;

3. la lunghezza del latus rectum dell’orbita terrestre, ;

4. le norme della velocità della Terra al perielio, ( )v v , e all’afelio, ( )v v , con v v ;

5. le costanti del moto orbitali terrestri E e L ;

6. il periodo orbitale terrestre, T ;

7. la lunghezza dell’orbita terrestre.


Soluzione

1. Relativamente alla rappresentazione analitica (1), si hanno, per un’orbita ellittica,

a c

a c

, da cui, segue che ( )/

( )/

a

c

2

2 .

Quindi, poiché a c b 2 2 2 per l’ellisse, l’Eq. orbitale (1) si riscrive

( )

x y

2 2

2

41 ; (2)

2. la forma ‘geometrica’ dell’eccentricità dell’orbita terrestre, alternativa a quella ‘fisica’ dell’Eq. (55), P. 23, è

( )/

( )/

c

a

2

2 ; (3)

3. poiché il latus rectum di una conica a centro è espresso dal rapporto : /b a 22 , risulta, dalla risposta 1,

2 ; (4)

4. con le Eq.i (56.1) e (56.3), P. 24, si determinano immediatamente le (norme delle) velocità orbitali estreme:

/Gm

v

1 2

02

, al perielio (~ 21 giugno), (5.1)

/Gm

v

1 2

02

, all’afelio (~ 22 dicembre). (5.2)

Quindi, v v e / /v v , conservandosi (conL ) vs. tempo il vettore (normale al piano dell’orbita)

/ ( ) ˆ ˆm m L v v2

� � � �ρ ρ ω ρ ρ z ω z ; (5.3)

5. considerate le relazioni disponibili, conviene riferirsi alla distanza a dal fuoco fisico e applicare lì i principî

di conservazione rispettivi. Pertanto, ricorrendo all’Eq. (58.1), si trovano le espressioni delle costanti del moto

► ( ( ))G G G G G

Emm mm mm mm mm

m v aa a a a a

0 0 0 0 021 2 1

2 2 2 , (6.1)

► / /( ) ( ) ( ) ( ( ))L G Gm

rmv amv a m m a m 1 2 1 2

0 0

2; (6.2)

6. dall’Eq. (3), Problema 17, si ottiene immediatamente

/( )

Gm

1 2

0

2T ; (7)

7. il calcolo della lunghezza dell’orbita di rivoluzione terrestre, , può essere eseguito completando in [ , / ]0 2 la

Funzione Ellittica di Legendre di 2º tipo espansa in serie uniformemente convergente di potenze dell’eccentricità, il modulo ellittico (v., e.g., [20.1], cap. VII, o [20.2], Eq. (82). Risulta

/ / (( )!)

( / , ) ( ( ) )( )( !)

E sinn

nn

na a d a

n n

2

22 2 1 2 2

40

1

24 2 4 1 4 1

2 2 1 2∑

( )r r

2 4 6 8 10 12 141 3 5 175 441 4851 141571

4 64 256 16384 65536 1048576 4194304… , (8)

essendo l’eccentricità esprimibile con Eq. (3) precedente o, in modo equivalente, con l’Eq. (55), P. 23

Con i primi termini dell’espansione (8), il calcolo numerico dà m. 119 3989 10 . Benché l’ordine di grandezza

sia corretto, però, le assunzioni, decisamente semplificatrici, di stabilità geometrica dell’orbita e di trascurabilità


del moto solare vanno prese con molta cautela.

I valori numerici necessari, tratti dalla tabella Astrophysical Constants and Parameters, PDG (2014), sono:

m. 111 4710 10 ,

m. 111 5210 10 ,

. 21 6711 10 ,

m kg sG . 11 3 1 2

6 6738 10 ,

kg.m 245 9726 10 (Terra),

kg.m 30

01 9885 10 (Sole),

m kg sG .mm 44 3 2

07 9261 10 (costante di Newton).

Con questi e con le Eq.i (6.1), (6.2), si stimano, e.g., le costanti del moto di rivoluzione terrestre

J|E| . 332 6491 10 , dominata da ( )U attrattiva,

m kg s.L 40 2 12 6612 10 .

■

Problema 19

Un veicolo spaziale di massa m , in moto circolare uniforme intorno alla Terra su un’orbita stabile di raggio 0

, si

separa in due capsule, A e B, di masse rispettive Am m e B ( )m m 1 (quindi, ( , ) 0 1 ).

All’istante della separazione, ancora sull’orbita circolare originaria, le capsule acquistano velocità Av e Bv , ad angoli

e sull’uno e l’altro lato della direzione della velocità v0

del veicolo appena prima della separazione.

Assumendo la Terra sostanzialmente ferma vs. il veicolo spaziale, si determinino espressioni parametriche generali

1. delle norme (moduli) Av e Bv delle velocità delle capsule appena dopo la separazione;

2. dell’energia totale persa nella separazione;

3. delle forme possibili delle orbite di ciascuna capsula dopo la separazione;

4. delle distanze maggiore e minore dalla superficie terrestre, A,h e A,h , della capsula A su un’orbita ellittica.

Soluzione

1. L’espressione || ||v v0 0

della norma della velocità del veicolo spaziale prima della separazione si determina

riconoscendo la natura centripeta della forza gravitazionale sul veicolo, T/ /Gmv mm 2 2

0 0 0. Risulta

/T( / )Gv m 1 2

0 0. (1)

dove Tm è la massa della Terra. Nel sistema di riferimento istantaneo definito dalle direzioni di v0

(ascisse) e 0ρ

(ordinate), la conservazione del Momento Lineare totale prima e dopo il distacco, A A B Bm m m v v v0

, fornisce

il sistema di equazioni scalari (vs. rotazione antioraria del veicolo spaziale e moduli delle velocità)

A A B B

A A B B

cos cos

sin sin

mv m v m v

m v m v

0

0, i.e.,

A B

A B

( )

( )

cos cos

sin sin

v v v

v v

01

0 1.

La soluzione è costituita dal vettore parametrico, simmetrico vs. gli scambi simultanei � e ( ) 1� :

A

B

( )

( ) ( )

sin

sin

sin

sin

vv

vv

0

0

1

; (2)


2. l’energia totale persa nella separazione delle capsule è data dalla variazione di energia cinetica

A A B B(( / ) ( / ) ) ( / )m v m v mv 2 2 2

01 2 1 2 1 2

( ) ( )( )

( )( ( ))

sin sin

sinmv

2 2

2

02

1 11

2 1, (3)

mediante le Eq.i scalari (2) e ricordando che Am m e B ( )m m 1 ;

3. l’Energia Meccanica totale della capsula A è una costante del moto di A. Rispetto all’istante iniziale della separazione, si scrive, con le Eq.i (1) e (2),

A TA A A

GE

m mm v

2

0

1

2

( )( ) ( )

sin sin

sin sinm v mv mv

2 2

2 2 2

0 0 0

1 1 12

2 2. (4.1)

Analogamente, si ottiene

B ( )( )

sinE

sinmv

2

2

0

1 12 1

2 1. (4.2)

Dopo la separazione, le orbite gravitazionali possibili per ciascuna capsula – ellittica, parabolica o iperbolica – dipendono dai segni delle energie meccaniche rispettive, AE 0⋚ e BE 0⋚ . In particolare, la condizione meccanica

del moto parabolico della capsula A, i.e., AE 0 , si traduce nella condizione parametrica

( )

sin

sin

2 . (5.1)

Procedendo in modo identico con la capsula B, il valore BE 0 corrisponde a

( )

sin

sin

1

2 . (5.2)

Da ultimo, se i moti sono entrambi parabolici, allora, / 1 2 , i.e., A Bm m . Quindi, uguagliando i membri

destri delle Eq.i (5.1) e (5.2), si trova che

( )

sin sin

sin

2 . (5.3)

La relazione (5.3) vale per / 4 (velocità ortogonali nel ‘canale di uscita’: A B p p p0

(†);

4. indicando con A e Av la distanza e la velocità (in modulo) generiche (variabili) di A su un’orbita ellittica,

successive alla separazione da B, si può esprimere la conservazione dell’Energia Meccanica totale riferendola al suo valore istantaneo alla separazione (v. Eq. (4.1)):

A TA A

A ( )

G sin

sin

m mm v mv

2

2 2

0

1 1 12

2 2. (6)

Inoltre, la conservazione del Momento Angolare totale orbitale, sotto le stesse condizioni di confronto iniziali dell’Eq. (6), è esprimibile nella forma

A A ( / )( )

sinsin sin

sinv v

0 02 , (7)

dalla quale, sfruttando la conservazione del momento angolare al perielio\afelio dell’orbita ( )sin 1 , si ottiene

____________________

(†) Si veda, e.g., [20,5], PROBLEMA 2.


AA( )

cos sin

sin

v

v

0 0 . (7.1)

Sostituendo le espressioni (1), (7.1) e Am m nell’Eq. (6), si arriva all’equazione quadratica

A A

( )

( )

sin sin

cos sin sinv v v v

2

2 2

0 02 2 0 , (8)

le cui soluzioni sono

/

A

( ( )) (( ( )) ( ( )) ( ) ( ) )

( )

sin sin cos sin sin cos sin

cos sin sinv v

2 4 2 2 4 1 2

0

2. (8.1)

Quindi, introducendo le espressioni (8.1) di Av nell’Eq. (7.1), si ricavano quelle estreme di A dal centro della

Terra (perielio\afelio), sull’orbita ellittica (parametrica) di A:

A /

( )

( ( )) (( ( )) ( ( )) ( ) ( ) )

cos sin

sin sin cos sin sin cos sin

2

02 4 2 2 4 1 22

. (9)

Infine, le Eq. (9) forniscono le distanze maggiore e minore dell’orbita ellittica dalla superficie terrestre,

A, A, Th . (10)

■

Problema 20

In Meccanica Gravitazionale, la velocità di fuga è la velocità minore che consente a un sistema di massa m , posato inizialmente sulla superficie di un pianeta sferico, di massa M ( m≫ ) e di composizione omogenea vs. la direzione

radiale, di sfuggire all’attrazione gravitazionale di questo. Se Mr è il raggio del pianeta di massa M , si trovi un’espressione generale per il valore assoluto ev della velocità di

fuga di m . Si applichi il risultato generale ottenuto ai casi della Terra e di Giove.

Soluzione

L’energia cinetica (finale) di soglia (i.e., minima) sufficiente per contrastare l’attrazione gravitazionale deve essere

uguale all’opposto dell’energia potenziale attrattiva alla superficie del pianeta di massa M . Pertanto, dal Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica, con E 0 , si scrive

e e( / ) ( / )G Mmv Mm r 21 2 , da cui, si determina

/e ( / )G Mv M R 1 2

2 . (1)

Con m kg sG . 11 3 1 2

6 6738 10 e utilizzando i dati medi seguenti:

Terra: T Tkg , m km ,. . .M R 24 6 35 9736 10 6 3710 10 6 37 10

Giove: J Jkg , m km ,. .M R 27 6 31 8986 10 69 911 10 70 10

si calcolano, con l’Eq. (1), le velocità di fuga medie rispettive:

e, T m/s km/hv 11187 40273 ,

e, J m/s km/hv 60207 216744 .

Dato il rapporto / MM R maggiore, evidente che è più difficile sfuggire all’attrazione di Giove che a quella della Terra.

Questo spiega, in parte, perché la Luna, avendo un tale rapporto relativamente piccolo (quindi, una velocità di fuga relativamente bassa), abbia perso nello spazio una sua atmosfera originaria eventuale.

■


Problema 21

Umbriel, un satellite di Urano, ha un’orbita di rivoluzione quasi-circolare, il cui raggio medio è U km.r 52 6598 10

e il cui periodo è U s. 53 5804 10T .

1. Si stimi la massa di Urano, , e, quindi, il periodo di rivoluzione OT di un altro suo satellite, Oberon, la cui

orbita intorno a Urano ha un raggio medio O km.r 55 8342 10 ;

2. il raggio medio di Urano è km.R 42 5266 10 . Si calcoli la velocità di fuga approssimativa per un corpo situato

alla superficie del pianeta.

Soluzione

1. Se l’orbita di Umbriel intorno a Urano è quasi-circolare, allora, la sua eccentricità è trascurabile, U 0 . Quindi,

dal Problema 17, Eq. (4), la 3a Legge di Kepler dà, come misura della massa di Urano,

U

U

kg.G

r

2 3

25

2

48 6830 10

T. (1)

Inoltre, ancora dalla 3a Legge di Kepler, i quadrati dei periodi delle orbite di Umbriel e di Oberon, entrambi riferiti

alla massa di Urano, costituiscono il sistema

O O

U U

/( )

/( )

G

G

r

r

2 2 3

2 2 3

4

4

T

T . (2)

Dividendo membro a membro le Eq.i (2) tra loro e risolvendo vs. OT , risulta

/O O U U( / ) s d h.r r 3 2 6

1 1631 10 13 11T T ; (3)

2. come per la Terra e per Giove, v. qui, Problema 20, Eq. (1), si calcola prontamente

/e ( / ) m/s km/hG .v R 1 2

2 21417 5 77103 . (4)

■

Problema 22

Un corpo A di massa m è fermo, libero sulla superficie sferica di un corpo B di massa omogenea e di raggio R .

● Si calcoli il lavoro exW eseguito su A per aumentare di ( )r R r R la distanza del suo CM dal centro di B e il

valore dell’Energia Potenziale ( )U r di A vs. la superficie di B;

● definito :h r R , si determini un’espressione approssimata dell’Energia Potenziale ( )U r di A vs. la superficie

di B nel caso in cui sia h R≪ , introducendo il parametro accelerativo : /Gg R 2 .

Soluzione

● Il lavoro exW eseguito su A in opposizione all’energia potenziale attrattiva gravitazionale esercitata da B (cfr/c

Problema 6, qui) si manifesta come un aumento dell’energia potenziale di A:

ex ex grav( ) ( ) ( )U U U UW r R .

/ ( ( / )) ( /( ))( )G G Gm r m R m rR r R 0 .

Collocando il riferimento dell’Energia Potenziale di A alla superficie di B, i.e., assegnando ammissibilmente ( )U R 0 , segue che il valore dell’Energia Potenziale ( )U r di A risulta dalla differenza

( ) ( )U Ur R ( ) ( )G

Um

r r RrR

0 ;


● dalla definizione gravitazionale /GMg R 2 e per h R≪ , si scrive

( ) ( / ) ( )/

U UR R mg

r mg h mg h h mgh h R mgh hr R h h R

11

… ,

risultato ben noto quando ci si trova in prossimità del suolo terrestre. ■

Problema 23

Una sfera di massa omogenea e di raggio R è attraversata da un canale rettilineo di lunghezza 'A A R 2 e di

sezione R≪ , trascurabile. Sul piano (meridiano) contenente 'A A e il centro O della sfera, si fissi un sistema di

riferimento Y con l’origine in O e l’asse parallelo ad 'A A ; inoltre, sia ˆAO 0

, indicando il semi-

asse delle ascisse positive.

Una particella di massa m si muove, senza attrito ma vincolata verticalmente, all’interno del canale sotto l’azione della sola forza gravitazionale esercitata dalla sfera. Si determinino espressioni dei moduli della velocità maggiore e dell’accelerazione maggiore della particella nel canale e della sua Energia Meccanica.

Soluzione

Osservato che, a una distanza r R da O , la particella subisce una forza lineare efficace nella sola direzione ,

(G m G m

ˆ ˆx yR R

3 3F r x y )

G mˆx

R

3x , (1)

segue che il suo moto nel canale 'A A è armonico, parallelo a tale asse, con ' cosA A R 0

2 e con il punto medio di

'A A posto sull’asse Y .

Pertanto, i parametri elastico-armonici del moto della particella – indipendenti dalla lunghezza del canale! – sono

la ‘costante elastica equivalente’, /G m R 3 , (2)

la frequenza ciclica, / /( / ) ( / )Gk m R 1 2 3 1 22 , (3)

il periodo del moto, // ( / )GR 3 1 21 2T . (4)

Dall’Eq. (3), si trovano prontamente espressioni per le norme della velocità maggiore e dell’accelerazione maggiore (di

forma ‘centripeta’) della particella, al centro del canale e, rispettivamente, in A e in 'A :

/+|| || ( / ) ( / )' G cosAA R v

1 2

02 , (5)

+|| || ( / ) ( / )' G cosAA R a2 2

02 . (6)

Per un’espressione dell’Energia Meccanica E della particella, va osservato che E si conserva nel campo della forza

elastica lineare. Quindi, E coincide con la quantità maggiore di Energia Potenziale disponibile per essere trasformata in lavoro (conservativo) di reazione, r,W , della molla equivalente nella configurazione sia di allungamento massimo

sia di compressione massima:

+ r, ( / ) ( / ) / ( /( ))( )E U ' ' G cosW AA AA m R 2

01 2 2 2 2 . (7)

Ovviamente, si ha anche E , come è facile verificare al centro del canale.

Come osservazione ulteriore, il periodo T del moto, Eq. (4), risulta uguale a quello di un ‘satellite’ in orbita circolare appena al di sopra della superficie della sfera.

■


Problema 24

Si ritiene che un buco nero costituisca la configurazione evolutiva estrema di una stella che, invece di esplodere al termine dell’espansione progressiva caratteristica del suo ciclo di invecchiamento, collassa (implode) su se stessa contraendosi sotto l’azione delle sue proprie forze gravitazionali. Queste crescono in intensità auto-alimentandosi dalla contrazione della materia nucleare. Questa, attraverso una transizione di fase di stella di neutroni, evolve in modo irreversibile in uno stato di densità elevatissima, praticamente infinita. A tale stadio dell’evoluzione stellare, l’attrazione gravitazionale è, localmente, così intensa da precludere l’emissione di radiazione elettromagnetica (di energia E ) equivalente alla massa relativistica contratta ( /Em m c 2

0).

La coordinata collettiva spazio-temporale della materia contratta è detta singolarità; la superficie spazio-temporale che inviluppa la ‘singolarità’ è detta orizzonte degli eventi. Qualsiasi sistema materiale o radiazione che venga catturato dentro l’orizzonte degli eventi, viene accelerato verso la singolarità del buco nero, andando ad aggiungersi alla materia nucleare contratta, nell’altrove assoluto relativistico, fuori del ‘cono di luce’, dove ogni inversione spazio-temporale è preclusa definitivamente! A causa della sua simmetria spaziale, giustificata dalle delle sue dimensioni trascurabili vs. le dimensioni cosmiche ordinarie, sembra realistico rappresentare un buco nero ordinario come una sfera di raggio bh kmr 80 (valore radiale

critico dell’orizzonte degli eventi).

Del Problema 20, si usi l’Eq. (1) della velocità di fuga per stimare la densità minima bh della materia nucleare

di un buco nero con un orizzonte degli eventi di raggio bh kmr 6 .

Si confronti la massa di cm 31 di materia nucleare del buco nero con quella dello stesso volume sia di una zolletta

di zucchero sia di ‘materia terrestre’ media.

Soluzione

La densità minore possibile della materia nucleare nel buco nero deve corrispondere alla velocità di fuga massima ammissibile fisicamente, i.e., ev c , la velocità del segnale elettromagnetico nel vuoto, che, a sua volta, corrisponde

alla ‘soglia’ di ‘cattura’ e, quindi, di formazione di un buco nero.

Dall’Eq. (1), Problema 20, con ev c , si scrive

b h bh bh bhbh

( ) ( / )G G GM V rr

c c c

3

2 2 2

2 2 2 4 3

e, quindi,

/

/ /bh /

bh bh

kg m.G

cr

1 2

13 1 2 1 2

1 2

3 11 2679 10

2 2 . (1)

In modo equivalente, risolvendo vs. la densità bh , si ottiene

bhb h b h

kg/m.

G

c

r r

2 26

2 2

3 1 1 6075 10

8 , (2)

Dall’Eq. (1), o (2), qui sopra, si osserva che la densità della materia nucleare aumenta\diminuisce come l’inverso del

quadrato del raggio dell’orizzonte degli eventi. In altri termini, più piccolo è il buco nero più è improbabile sfuggire da esso! Infatti, con la densità bh , cresce la massa bhM e, di conseguenza, la forza attrattiva gravitazionale.

Che dire, allora, dell’ipotesi di un Universo fisico considerato come un immenso buco nero, di densità evanescente, da ritenerlo un gas ideale, le cui ‘particelle’ – trascurabilmente interagenti – sono i corpi cosmici? (v. il Problema 25).

Con bh kmr 6 , si trova

b h kg/m g/cm. . 18 3 15 34 466 10 4 466 10

(i.e., circa quattro miliardi e mezzo di tonnellate per centimetro cubo!), valore non confrontabile con quelli di una zolletta di zucchero o della densità media della Terra, che è circa g/cm.

35 515 (dai dati del Problema 20).

■


Problema 25 (Il modello del Cosmo gassoso)

Forzando un po’ il modello classico stazionario dei sistemi fisici strutturati microscopicamente, il Cosmo può essere rappresentato come un immenso buco nero occupato da un gas estremamente rarefatto (~ ideale) in equilibrio statistico. I corpi stellari costituiscono la ‘specie microscopica’ (le ‘particelle’) preponderante in tale ‘gas cosmico’, con una massa media kgm 30

10⊙

≃ e una velocità roto-traslazionale media m/sv 410

⊙≃ , tipiche del Sole.

Un veicolo spaziale di massa kgm 7

010 ( m

⊙≪ ), a propulsori spenti, naviga di deriva nello spazio interstellare.

Rispetto a un sistema di riferimento (assoluto) assegnato, si stimi la velocità media terminale di deriva, v , del veicolo

quando sia trascorso un intervallo di tempo ‘sufficientemente lungo’ dall’avvio dell’osservazione. Si supponga che il moto proceda imperturbato, senza collisioni né ‘catture gravitazionali’ da parte di altri corpi cosmici.

Soluzione

Trascorso un intervallo ‘caratteristico’ di tempo, tutte le ‘specie cosmiche microscopiche’ avranno, circa, la stessa energia (~ cinetica) media. Il campo gravitazionale totale agente nello spazio tenderà ad accelerare il veicolo spaziale fino a fargli raggiungere la velocità terminale di deriva v . Inoltre, l’enorme differenza tra gli ordini di grandezza della

massa di riposo m0

del veicolo vs. quello medio dei corpi stellari richiede che l’energia cinetica media di deriva del

veicolo sia espressa in forma relativistica, ( )m c 2

01 . All’equilibrio statistico, il valore del termine di

correzione relativistica sarà /( )/v c 2 2 1 2

1 .

Uguagliando l’energia cinetica del veicolo spaziale a quella media dei corpi stellari,

( )m c m v 2 2

0

11

2⊙ ⊙

,

si trova la soluzione fisica esatta

/

/( )m c

v c cm c m v

1 22

2

0 2 1 2

2 2

0

21 1

2⊙ ⊙

,

con m c

m c m v

2

0

2 2

0

2

2⊙ ⊙

.

Il termine quadratico 2 è trascurabile, essendo dominato drasticamente dal prodotto m v 2⊙ ⊙

, che è dell’ordine

di grandezza dell’energia cinetica media solare. Infatti, con m/sc 83 10 e il valore-test kgm 7

010 per la massa

(di riposo) del veicolo spaziale, si trova che ha un ordine di grandezza di 3010 .

Pertanto, secondo il modello statistico stazionario, il veicolo spaziale approssimerebbe, di deriva, la velocità di gruppo della radiazione elettromagnetica nel vuoto,

v c .

□

Sono lasciate a chi legge considerazioni sulla consistenza e l’applicabilità del modello statistico microscopico su scala cosmica, quando entrino in gioco distorsioni gravitazionali dovute al carattere probabilmente inflazionario – dunque, dinamico-espansivo – dell’Universo, perturbato da interazioni di buco nero e dominato, si ipotizza, per almeno il 75%, dalla materia e dall’energia oscure …

■


Problema 26

Si esegua una stima semi-classica dell’ampiezza dell’angolo di deflessione della radiazione luminosa stellare, con

frequenza di segnale, nel passaggio radente al corpo solare ( )⊙ .

Soluzione

Secondo le teorie della Relatività Speciale e Quantistica, un segnale (o gruppo o pacchetto d’onda) di frequenza

trasporta una massa relativistica / /E hm c c 2 2 . La forza di attrazione gravitazionale che la massa del Sole esercita

sulla massa relativistica del segnale può, allora, essere scritta, semi-classicamente, come (v. Fig. 1)

Fig. 1 – Deflessione gravitazionale della radiazione luminosa stellare

( )

Gh Ghˆ ˆ ˆ ˆ

sec

m mF F

c c

F2 2 2 2

⊙ ⊙

�

⊙⊙⊙⊙

ρ ρ x y . (1)

OT⊙⊙⊙⊙

è il raggio solare medio, ˆ ΑOX e le componenti cartesiane longitudinale e trasversa di F valgono

( ) , ( )Gh Gh

cos cos sinm m

F Fc c

3 2

2 2 2 2�

⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙

⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙⊙ ⊙

. (1.1)

A sua volta, la scomposizione ortogonale dell’impulso lineare (relativistico) p corrispondente a F dà la componente longitudinale costante

/hx mc c �

p p , (2)

mentre, per quanto riguarda la componente trasversa y p p , si osserva che

( ) ( )tan secd F dt F dx F d F dc c c

21 1 ⊙

⊙⊙⊙⊙p

( )Gh

cosm

c

2

2 2

⊙⊙⊙⊙

⊙⊙⊙⊙

sin

⊙⊙⊙⊙

( )secc

2Gh

sinm

d dc

3

⊙⊙⊙⊙

⊙⊙⊙⊙

.

Poiché la forza gravitazionale F ha un raggio d’azione infinito, p va calcolata integrando sull’insieme angolare


simmetrico ( , / ] ( / , ) 0 2 2 , tenendo conto che l’integrale indefinito di una funzione dispari è pari:

/ / /

( ) ( )Gh Gh Gh

sin cos y

m m md d

c c c

2 2 2

3 3 300 0

2 22 2

⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙ ⊙

p

p p p . (3)

L’analisi sperimentale indica che la deflessione gravitazionale dei raggi luminosi di stelle lontane dovuta all’attrazione solare è un effetto molto debole, quindi, può essere sufficiente tentarne una stima dal rapporto approssimato

G h

tan

2

�

p

p h

m c

c 3

⊙⊙⊙⊙

⊙⊙⊙⊙

Gm

c

2

2⊙⊙⊙⊙

⊙⊙⊙⊙

. (4)

Per questo modello semi-classico, l’effetto quantistico di frequenza è – prevedibilmente – irrilevante, i.e., l’Eq. (4) vale . In unità SI, si calcola, mediante inversione goniometrica,

( m kg s )( kg)

( m s ) ( m)

G . .tan tan

. .

m

c

11 3 1 2 30

1 1

2 8 1 2 8

2 2 6 6738 10 1 9885 10

29979 10 6 9551 10

⊙⊙⊙⊙

⊙⊙⊙⊙

rad. . '' 6

4 2460 10 0 88 . (5)

Osservazione

Le Equazioni di Einstein della Teoria della Relatività Generale forniscono . '' 175 , una misura circa doppia di

quella ottenuta con l’Eq. (5). Comunque, gli ordini di grandezza dei risultati coincidono! ■


E. Cinematica e Dinamica nel moto rotazionale vs. un asse fisso

Il lavoro rotazionale eseguito da una forza (esterna) F su un corpo rigido fissato a un asse può essere espresso in termini di momento di forza (o meccanico) e di variazione angolare. Se F , di intensità costante F , è applicata tangenzialmente al bordo di un cilindro rigido di raggio R fissato al suo asse, , liscio, il cilindro ruota di un angolo finito . Il lavoro eseguito da F sul cilindro è esprimibile, in coordinate cilindriche { , , }z vs. l’asse di rotazione del cilindro, le più ‘naturali’ per la ‘geometria’ del sistema,

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆF FW s R FR φ φ φ z ρ . (30)

Per convenzione, l’ampiezza dell’angolo di rotazione relativo allo spostamento circolare finito s ha la rappresentazione vettoriale (destrorsa) ortogonale al piano Y di rotazione

ˆ ˆ ˆˆs R R φ φ z ρ . (31)

Dal Teorema di Equivalenza (7), si vede che l’Eq. (23) fornisce, anche, la variazione di energia

cinetica rotazionale del disco, in forma alternativa a quella espressa con il momento di inerzia I ,

( / ) ( )I 21 2 . (32)

Nell’Eq. (30), la grandezza (qui, costante) – misurata in m N , non in J ! – nel sistema MKSA,

( )/( )FR I I 2

2 , (33)

è la componente algebrica del momento (esterno) di forza corrispondente al lavoro W sul cilindro,

:ˆ ˆ ˆFR τ ρ φ z . (34)

ˆRρ è il braccio di τ intorno all’asse di rotazione del cilindro. La componente algebrica della

accelerazione angolare uniforme, 0≷ , è l’analoga rotazionale di za , nell’Eq. traslazionale (5).

Lo spostamento ˆs φ del sistema è puramente rotatorio, quindi, né la forza F esegue lavoro nella

direzione radiale né il momento di forza τ ha componente radiale.

Dividendo per t i membri delle Eq.i (30) o (32),

:W

t t t

P , (35)

si ottiene la potenza media assorbita dal disco, associata alla sua velocità angolare media. ■

Problema 27

L’asse di trasmissione di un’automobile ruota a giri/min3600 , trasferendo kW.59 7 di potenza media alle ruote

motrici. Si calcoli la coppia rotazionale media sviluppata dal motore.

Soluzione

La velocità angolare media vale

/ ( giri/min)( rad/giro)/( s/min) rad/st 3600 2 60 120 .

Quindi, la coppia rotazionale media fornita dal motore alle ruote motrici si trova essere

kW

m Nrad/s

.

59700158 36

120

P.

■


Problema 28

Si discuta sinteticamente il pendolo semplice (e.g., una sfera omogenea di massa m oscillante), ricavandone, in modo elementare, espressioni appropriate delle grandezze cinematiche e dinamiche.

Soluzione

Fig. 2 - Cinematica Fig. 3 - Dinamica

a. velocità tangenziale

Nel sistema di riferimento Y indicato nelle Fig. 2 e 3, il moto avviene in un piano contenente la forza-peso

w , con un’ampiezza | |0

vs. OB . Il lavoro (conservativo) W eseguito da w sul pendolo di massa m ,

trattenuto da un filo inestensibile, teso e di massa trascurabile, è dato da

( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ ˆ ˆW y y mg y y mg y y w0 0 0y y y

( ( / ) ( / )) ( )sin sin cos cosmg l l mgl 0 0

3 2 3 2 .

l è la distanza tra il punto di sostegno O e il CM G della sfera oscillante. Dal Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica – o dal Teorema dell’Energia Cinetica – in un campo conservativo, si ha che UW , i.e., esplicitamente, che

,( / ) ( / )mv mv2 2

01 2 1 2

� �( )cos cosmgl

0,

e, quindi, per la velocità tangenziale (con versore azimutale ˆ ˆ ˆsin cos φ x y , anti-orario), che

/( ( )) ( )ˆcos cosgl v v1 2

02

� �φ . (1)

Dall’Eq. (1), si osserva che v v 0� �� per

0 mentre v

� è massima in B , quando 0 :

/ /, max ( ) ( ( )) ( ) ( / )cos sinv v gl gl 1 2 1 2

0 00 2 1 2 2

� �. (1.1)

È evidente che il pendolo non oscilla con moto circolare uniforme bensì con moto accelerato sia tangenzialmente che radialmente (Fig. 2), essendo v

� dipendente da .

OO

Y Y

X X

0

( )�T Fl

G G

m

0 v 0000 m

�v

�a

B

B

0y

yw

�w

( )mw gggg


b. accelerazione tangenziale, periodo, frequenza

Il vettore accelerazione tangenziale a� ha norma massima alle ampiezze estreme dell’oscillazione ( )

0 e

nulla in B . Tale comportamento è analogo a quello dell’oscillatore armonico (e.g., della molla lineare ideale) ma va riferito allo spostamento circolare s l ( 0≷ ). L’espressione di a

� si legge immediatamente dal

componente tangenziale della forza di reazione (di richiamo) del pendolo (Fig. 3),

/ ( )ˆsinm g a w a� � �

φ . (2)

Nell’espressione (2), il segno ‘ ’ indica che la componente algebrica di reazione del pendolo è opposta a quella esterna che ne ha causato lo spostamento s .

Per oscillazioni ‘piccole’ (i.e., rad. 01 6 ), vale l’approssimazione (algebrica) del regime armonico:

/ ( / )w mg mgs l mg l s s �

, (3)

indipendente da . Ne seguono immediatamente le espressioni del periodo e (del reciproco) della frequenza del

moto (per oscillazioni ‘piccole’)

/ / // ( / ) ( /( / )) ( / )m m m g l l g 1 2 1 2 1 21 2 2 2T . (4)

Il calcolo esatto del periodo e (del reciproco) della frequenza del moto generale ( qualsiasi) del pendolo porta al

risultato classico seguente, espresso per mezzo della Funzione Ellittica Legendriana Completa di 1º tipo (v. e.g., [20.1], IE-14, Eq. (3)):

/ / //

/

(( )!)( / , )

( ( ) ) ( !)F

sin

n

nn

l l d l n

g g g n

1 2 1 2 1 22 2

2

2 2 1 2 4

10

1 24 2 4 2 1

1 2∑T

/

l

g

1 2

2 4 6 8 10 12 141 9 225 1225 3969 53361 1840412 1

4 64 2304 16384 65536 1048576 4194304… ,

↳ (4.1)

dove ( / )sin 02 è il modulo ellittico, dedotto dalla semi-ampiezza dell’oscillazione.

c. accelerazione centripeta, tensione nel filo

Essendo il moto descritto da G vs. O circolare, la componente algebrica dell’accelerazione centripeta, causata dalla sovrapposizione tra la tensione T nel filo e il componente trasversale (radiale) w (Fig. 3), è

( )

( ) ( )ˆ ˆcos cosv

gl

a a

2

02

�ρ ρ (5)

( ˆ ˆ ˆcos sin x y ). Quindi, vs. il sistema di riferimento X Y , l’espressione della forza centripeta (Fig. 3)

( ) ˆcos cosm mg F a0

2 ρ

deve uguagliare la somma

( ) ˆcosmg T w T� � ρ .

Ne segue l’espressione della tensione nel filo:

( ( ) ) ˆcos cos cosmg mg T F w0

2 ρ

( ) ( )ˆcos cos mg T0

3 2 ρ . (6)

È subito evidente che T T� � è massima per 0 , in B , risultando

max ( ) ( )cosT T mg 0

0 3 2 , (6.1)

mentre, è minima per 0

, dove si ha

min ( ) ( )cosT T mg w 0 0 0

. (6.2)


d. altre grandezze rotazionali correlate

Tenendo presente l’ortogonalità dell’asse di oscillazione del pendolo vs. il piano del sistema inerziale Y di

riferimento, si possono determinare agevolmente espressioni – dipendenti da ! – di altre grandezze meccaniche

rotazionali:

d.1 velocità angolare vs. O

/( )

( ) ( )ˆ ˆcos cosv g

l l

1 2

0

2�ω z = z ω ; (7.1)

d.2 momento d’inerzia vs. O

se si assume che il corpo oscillante sia una sfera omogenea di raggio R e che il filo sia inestensibile, teso e di massa trascurabile, il Teorema dell’Asse Parallelo (di Huygens-Steiner) fornisce il risultato esatto

O G

Rml mR ml ml

l

2

2 2 2 2

2

2 21

5 5, (7.2)

con O ( / )ml ml 2 27 5 , ordinatamente, per R l 0 ;

d.3 momento angolare vs. O

/

O O O( ) ( )ˆcos cosg

m l Rl

L L

1 2

2 2

0

2 2

5ω z ; (7.3)

d.4 momento della forza-peso vs. O e accelerazione angolare

O O( ) ( ( )) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos cosl mg lmg lmg ∓τ ρ y ρ ρ φ z τ (7.4)

e, poiché vale anche la relazione generale O Oτ , risulta, per l’accelerazione angolare acquisita da una

sfera omogenea di raggio R ,

O

O

( )cos

ˆlg

l R

2 2

5

5 2

τz . (7.5)

e. forza totale sul corpo oscillante

Poiché il filo è di massa trascurabile vs. m , la tensione T e il peso w costituiscono le sole forze esterne agenti sul CM G del corpo omogeneo oscillante (Fig. 3), tirandolo come le due stringhe elastiche di una fionda. La loro somma rappresenta la forza totale totF sul corpo; l’angolo (ottuso) tra T e w ha un’ampiezza variabile .

Dopo aver completato il parallelogramma vettoriale , T w , i.e., di lati T e w , mediante il Teorema di Carnot

(o del coseno) relativo alla diagonale minore, detta KG (non mostrata in Fig. 3), si calcola

/ /tot ( ) ( ( ))cosK G F T w T w T w T w

2 2 1 2 2 2 1 22 2� � � � � � � � � � � � � ��

/ /tot( ) ( ( ) ( ) ) ( )cos cos cos sinmg T w T w F

2 2 1 2 2 2 1 2

02 4� � � � � �� , (8.1)

sfruttando l’Eq. (6) e la definizione ˆmg w y .

Infine, ricorrendo al Teorema di Euler (o del seno), si arriva a determinare agevolmente, dal parallelogramma vettoriale , T w , l’ampiezza istantanea dell’angolo (acuto) compreso tra tot ( )F e l’asse . È lasciata

all’interessata\o la dimostrazione che

tot

( )( )

( )

sinsin

T

F

1

2

� �

� �, (8.2)

da esplicitare, per un calcolo esatto, mediante le Eq.i (6) e (8.1). ■


Problema 29

Una ciminiera di materiale laterizio omogeneo, altezza h e raggio medio esterno R si inclina ruotando intorno alla sua base e si abbatte al suolo. È molto frequente osservare, durante la rotazione di caduta, che la ciminiera si spezza in aria prima di toccare il suolo.

Perché avviene tale rottura? A che distanza z dalla base della ciminiera è più probabile che avvenga la rottura?

Fig. 4 – Rottura di una ciminiera di materiale laterizio omogeneo in fase di collasso

Soluzione

La geometria della ciminiera può essere approssimata a quella di un tubo rigido a pareti spesse, molto più lungo del raggio medio esterno R ( )h≪ . Sia l’asse mobile della ciminiera, costruzione pesante, rigida e fragile.

All’inizio della rotazione di collasso, ogni sezione anulare z della ciminiera subisce uno sforzo di taglio (shear),

/t tF , da forze di taglio opposte, tF , tangenti alle basi della sezione. Inoltre, durante la rotazione, il peso

delle sezioni sovrapposte induce un momento di forza flettente interno, f , che, massimo alla distanza di rottura z

dalla base della ciminiera, tende ad accelerare reattivamente le parti, all’istante della separazione, in senso opposto al senso di rotazione (nella Fig. 4, si confrontino le direzioni degli assi delle due parti). La forza flettente interna di rottura, /( )f R 2 , è la causa di gran lunga principale del fenomeno.

□

L’equazione del moto rotatorio, e.g., nel piano , della ciminiera ancora intera (appena prima della rottura) è

( ) / ( ) /m h h h

yy

d hz dm z dz z z z m

dt

2 2

2 2 3 2

2 0 00 0

3 33

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ , i.e.,

( / ) ( / ) sinm h mg h 23 2ɺɺ , (1)

dove, ( / )yy mh 21 3 è il momento di inerzia (MdI), è l’angolo istantaneo tra l’asse , fisso, e l’asse mobile

di simmetria della ciminiera, ɺɺ è l’accelerazione angolare e m h è la massa della ciminiera (tubo rigido).

Si noti che, al momento, z è un’incognita (una variabile di integrazione). Dall’Eq. (1), si ricava

( / ) sing h 3 2ɺɺ . (2)

All’istante della rottura, la parte inferiore della ciminiera, di lunghezza z , trascinata nella rotazione rigida della struttura intera, ha la stessa accelerazione angolare (2) ma la sua massa è inferiore a m del fattore /z h . Inoltre, per quanto osservato all’inizio, la sua equazione del moto deve includere i contributi di taglio e flettente, tz F e f .

Dunque, imitando l’Eq. (1), con attenzione ai segni dei termini-sorgente torcenti, si scrive


sin t f

mz mgzz F

h h

3 2

3 2

ɺɺ . (3)

Simultanea alla rottura, la parte superiore della ciminiera, di lunghezza h z , subisce una torsione massima intorno al

suo CM indotta da f , con un braccio di lunghezza ( )/h z 2 e una massa (( )/ )m h z h m 0

. Così, l’equazione della

rotazione reattiva istantanea della parte superiore della ciminiera risulta (con z ancora incognita!)

( ) / ( ) ( )( )

m h z

f

h z m h zdm d m

h

0

2 32

2 2

0 0 00 0 12 12

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ… , i.e.,

( )

t f

m h z h zF

h

3

12 2

ɺɺ , (4)

Sostituendo l’espressione (2) di ɺɺ nelle Eq.i (3) e (4) e semplificando vs. le incognite tF e f , si arriva al sistema

( )

( )( )

sin

sin

t f

t f

mgz h zz F

h

mg h zh z F

h

2

2

3

2

2

24

, (5)

che, essendo lineare, ha come soluzione (unica) il vettore

( )( )( )

( )( )

sin

sin

t t

f f

F F zmg h z h z

zmg z h zh

22

31

4. (6)

Ora, dall’esilità della ciminiera ( )R h≪ , tF risulta molto minore della ‘forza di rottura’ che produce il momento f ,

i.e., /( )t fF R 2≪ o, dalla soluzione (6), ( )

( )

z h zR

h z

2 3

≪ . Con altre parole, la rottura della ciminiera è dominata dal

valore maggiore – quello più probabile – di ( )f z :

( ) ( ( ) ) ( )( )sin sin

f

d mg d mgz z h z h z h z

dz h dz h

2

2 23 0

4 4. (7)

La soluzione z h significa che non avviene alcuna rottura (evento meno probabile); la soluzione /z h 3 è quella

corrispondente all’evento più frequente, quindi, più probabile per una ciminiera cilindrica di materiale omogeneo.

Fig. 5 ■

____________________ Una discussione dettagliata sulla forma esplicita del MdI di una ciminiera un po’ più ‘realistica’ (e.g., tronco-conica) è presentata in [20.3], P. 26-30.

Note e problemi risolti di MECCANICA CLASSICA | Bibliografia – 40

Bibliografia L’indice sequenziale evidenziato di un testo, e.g., [7], ne segnala la versione PDF scaricabile dalla pagina Biblioteca

di questo web-site: https://www.cm-physmath.net/libr_page.html .

Testi introduttivi

[1] ALONSO, M. - FINN, E. J., Fundamental University Physics, VOL. 1, ADDISON-WESLEY PUBL. CO. (1967; 6TH REPR.

1974);

[2] MARION, J. B. - HORNYAK, W. F., PHYSICS for Science and Engineering, PART 1, CBS COLLEGE PUBL. (1982);

[3] SERWAY, R. A., PHYSICS for Scientists and Engineers, VOL. 1, 2ND ED., CBS COLLEGE PUBL. (1987);

[4] EISBERG, J. B. - LERNER, L. S., PHYSICS - Foundations and Applications, VOL. 1, MCGRAW-HILL, INC. (1981);

[5] OHANIAN, H. C., PHYSICS, PART 1, 2ND ED., W. W. NORTON & CO., INC. (1989);

[6] GIANCOLI, D. C., PHYSICS for Scientist and Engineers, PART 1, 2ND ED., PRENTICE-HALL, INC. (1988);

[7] STRONG, F., General Physics Workbook, W. H. FREEMAN & CO. (1972).

Testi di livello intermedio

[8] SYMON, K. R., Mechanics, 3RD ED. CAP. 3, ADDISON-WESLEY PUBL. CO. (1971);

[9] MARION, J. B. - THORNTON, S. T., Classical Dynamics of Particles & Systems, 5TH ED., BROOKS/COLE PUBL. CO.

(2004);

[10] ZAJĄC, A., Basic Principles and Laws of Mechanics, D. C. HEATH & CO. (1966);

[11] WALLACE, A. - FENSTER, S. K., Mechanics, HOLT, RINEHART & WINSTON, INC. (1969);

[12] SPIEGEL, R. C., Theory and Problems of Theoretical Mechanics, SCHAUM SERIES, MCGRAW-HILL (1967);

[13] WELLS, D. A., Theory and Problems of Lagrangian Dynamics, SCHAUM SERIES, MCGRAW-HILL (1967).

Testi avanzati

[14] FETTER, A. L. - WALECKA, J. D., Theoretical Mechanics of Particles and Continua, MCGRAW-HILL (1980);

[15] GOLDSTEIN, H. - Poole, C. - Safko, J., Classical Mechanics, 3RD ED., ADDISON-WESLEY PUBL. CO. (2002);

[16] LANDAU, L. D. - LIFSHITZ, E. M., Mechanics, 3RD ED., PERGAMON PRESS (1976).

Supporti matematici

[17] ARFKEN, G. B. - WEBER, H. J., Mathematical Methods for Physicists, 6TH ED., ACADEMIC PR. (2005);

[18] HILDEBRAND, F. B., Advanced Calculus for Applications, 2ND ED., PRENTICE-HALL, INC. (1976);

[19] PAGANI, C. D. - SALSA, S., Analisi Matematica, 2, ZANICHELLI (-MASSON) (RIST. 1998);

Math-notebooks PDF correlati, scaricabili da questo web-site:

[20.1] Esercizi di Calcolo Integrale in RRRR ;

[20.2] Sezioni Coniche in 2RRRR - Elementi e metodi operativi;

[20.3] math-crumbs;

[20.4] Operazioni Vettoriali avanzate in 3

RRRR ;

[20.5] Sistemi di Coordinate Curvilinee Ortogonali in 3

RRRR ,

[20.6] Note di Dinamica delle Collisioni in regime non-relativistico, classico o semi-classico.

Osservazione:

La Teoria Classica delle Orbite nei campi di forze centrali, soprattutto in quelli r

2 , è discussa, a livelli differenti di approfondimento, e.g., in

[1], [8], [11], [12], [14] [15], [16]. I riferimenti [1], [8], [12], [15] sono particolarmente utili ed espliciti sull’argomento.

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