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Chapter 3
Derivatives
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3.1
Introducing the Derivative
Introduciendo la derivada
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La pendiente de la
línea tangente y la
tasa de cambio
instantánea son
negativas
La pendiente de la
línea tangente y la
tasa de cambio
instantánea son
postitivas
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Trayectoria de un
cuerpo en movimiento
Las tangentes nos dan la
dirección de movimiento
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Cuando x-a tiende a 0, la recta secante
se aproxima a la recta tangente
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Slide 3 - 7
Definición: Tasas de cambio y la línea tangente
La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente
de la línea secante correspondiente:
La tasa de cambio instantánea de f en x=a es
La cual es también la pendiente de la línea tangente en x=a, dado
que el limite exista. La línea tangente en x=a es la única línea que
pasa por con pendiente . Su ecuación esta dada por
,a x
sec
( ) ( )f x f am
x a
tan
( ) ( )limx a
f x f am
x a
( , ( ))a f a tanm
tan( ) ( )y f a m x a
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La pendiente de la línea tangente es (1,80) es 64
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Cuando x-a tiende a 0, la recta secante se aproxima
a la recta tangente
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Definición alternativa: Tasas de cambio y la línea tangente
La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la
pendiente de la línea secante correspondiente:
La tasa de cambio instantánea de f en x=a es
La cual es también la pendiente de la línea tangente en x=a, dado
que el limite exista.
sec
( ) ( )f a h f am
h
tan0
( ) ( )limh
f a h f am
h
,a a h
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La pendiente de la línea tangente en
(1,5) es 7
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Positiva
Cerca a 0
Negativa
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Definición: La derivada
La derivada de f es la función
Dado que el límite existe. Si la derivada existe, decimos que f
es diferenciable en x. Si f es diferenciable en cada punto de el
intervalo abierto I, decimos que f es diferenciable en I.
0
( ) ( )'( ) lim
h
df f x h f xf x
dx h
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Calculando la derivada en varios puntos
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La pendiente de la recta tangente en x es igual a la derivada evaluada en x.
La pendiente de la recta secante en x tiende a la recta tangente a medida que delta x
tiende a 0.
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La pendiente de la recta tangente en (4,2) es
igual a la derivada evaluada en x=4
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La derivada no es continua en x=-2 y x=0
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Pendiente positivas, negativas y cero
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Teorema. Diferenciable implica continuidad. Si f es
diferenciable en a, luego f es continua en a
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Si f no es continua en a, luego f no
es diferenciable en a
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Slide 3 - 22
No todas las funciones continuas
son diferenciables
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F’(0) no existe
No todas las funciones continuas son diferenciables
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La función no es continua en -2 y 2
La función no es diferenciable en -
2,0,-2
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Slide 3 - 25
g’(0) no esta definida(no es diferenciable)
g’(2) no esta definida (no es diferenciable=)
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3.2
Rules of Differentiation
Reglas de derivación
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Slide 3 - 28
La derivada de una constante es cero
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La derivada de una constante es cero
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Si n es un entero positivo, luego
1( )n ndx nx
dx
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Regla de multiplicación por una constante
Si f es diferenciable en x y c es una
constante, luego
( )d df
cf x cdx dx
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Regla de la suma
Si f y g son diferenciables en x, luego
( ) ( )d df dg
f x g xdx dx dx
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La función es diferenciable para todo
número real x y su derivada esta dada por
( ) xf x e
( )x xde e
dx
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Slide 3 - 34
Derivadas de alto orden:
Asúmanos que f puede ser derivada tanto como sea
necesario, la segunda derivada de f es:
Para enteros n>=1, la derivada enésima es:
2
(2)
2''( ) ( ) '( )
d f df x f x f x
dx dx
( ) ( 1)( ) ( )n
n n
n
d f df x f x
dx dx
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3.3
The Product and Quotient Rules
La regla del producto y el cociente
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Slide 3 - 36
Regla del producto
Si f y g son diferenciables en x, luego
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )d
f x g x f x g x f x g xdx
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Regla del cociente
Si f y g son diferenciables en x, luego la
derivada de f/g existe dado que g(x)≠0
2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( ) ( )
d f x f x g x f x g x
dx g x g x
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Si n es un entero positivo, luego
1( )n ndx nx
dx
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La derivada de kxe
( )kx kxde ke
dx
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3.4
Derivatives of Trigonometric
Functions
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Derivadas de la funciones seno y coseno
(sin ) cos (cos ) sind d
x x x xdx dx
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Slide 3 - 43
Líneas tangentes horizontales de f(x)=sinx ocurren en los
ceros de cosx
Líneas tangentes horizontales de f(x)=cosx ocurren en los
ceros de -sinx
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Derivadas de funciones trigonométricas
2
2 2
sin cos cos sin ( sin ) 1tan sec
cos (cos ) (cos )
d d x x x x xx x
dx dx x x x
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Derivadas de funciones trigonométricas
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3.6
The Chain Rule
Regla de cadena
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Suponga que y=f(u) y u=g(x) son funciones diferenciables. La
función compuesta y=f(g(x)) es diferenciable, y su derivada puede
ser expresada en dos formas equivalente
dy dy du
dx du dx
( ( )) '( ( )) '( )d
f g x f g x g xdx
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2
2
( ) cos( )
4 2
cos( )2 2 cos( 4)
dyy sen u u
du
duu x x
dx
dyu x x x
dx
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3.7
Implicit Differentiation
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3.8
Derivatives of Logarithmic and
Exponential Functions
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3.9
Derivatives of Inverse
Trigonometric Functions
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Slide 3 - 71
1
1
(sin ( ))
sin ( ) sin( )
dx
dx
y x y x
Utilizando derivación implícita tenemos
1
cos( ) 1
1(sin ( ))
cos
dyy
dx
dx
dx y
2 2
2 2
cos sin 1
cos 1 sin 1
y y
y y x
1
2
1(sin ( ))
1
dx
dx x
![Page 72: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/72.jpg)
Slide 3 - 72
1
1
(sin ( ))
sin ( ) sin( )
dx
dx
y x y x
Utilizando derivación implícita tenemos
1
cos( ) 1
1(sin ( ))
cos
dyy
dx
dx
dx y
2 2
2 2
cos sin 1
cos 1 sin 1
y y
y y x
1
2
1(sin ( ))
1
dx
dx x
![Page 73: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/73.jpg)
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Slide 3 - 74Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Slide 3 - 76
1
1
(tan ( ))
tan ( ) tan( )
dx
dx
y x y x
Utilizando derivación implícita tenemos
2
1
2
sec ( ) 1
1(tan ( ))
sec
dyy
dx
dx
dx y
2 2
2 2
1 tan sec
1 tan 1
y y
y x
1
2
1(tan ( ))
1
dx
dx x
Derivada de la función 1tan ( )y x
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Slide 3 - 77
Derivada de la función 1cos ( )y x
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Slide 3 - 78
Derivada de la función 1tan (sin(2 ))y x
2 2
1 2cos(2 )(sin(2 ))
1 sin (2 ) 1 sin (2 )
dy d xx
dx x dx x
![Page 79: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/79.jpg)
Slide 3 - 79
Derivada de la función 1tan ( )y x
![Page 80: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/80.jpg)
Slide 3 - 80
Derivada de la función 1sin ( )y x x
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1
1
1( ) 1
2
1'( )
2
( ) 2 2
( ) ' 2
f x x
f x
f x x
f x
1
1
1( ) 1
2
1'( )
2
( ) 2 2
1( ) ' 2
1
2
f x x
f x
f x x
f x
Ejemplo derivada de
la función inversa
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Slide 3 - 83Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
2
1
1
( ) 1
'( ) 2
( ) 1
1( ) '
2 1
f x x
f x x
f x x
f xx
2
1
1
( ) 1
'( ) 2
( ) 1
1( ) '
2 1
f x x
f x x
f x x
f xx
Ejemplo derivada de
la función inversa
![Page 84: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/84.jpg)
Slide 3 - 84Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
2
1
1
( ) 3
'( ) 2
( ) 3
1( ) '
2 3
f x x
f x x
f x x
f xx
Ejemplo derivada de
la función inversa
![Page 85: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/85.jpg)
Slide 3 - 85Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Ejemplo derivada de
la función inversa
3
2
1
1 3
2
1 3
3 2
( )
'( ) 3
( )
1 1 1( ) '
3 3
f x x
f x x
f x x
f x xx
3
2
1
1 3
1
1 2 3 223 3
( )
'( ) 3
( )
1 1 1( ) '
33( ) 3( )
f x x
f x x
f x x
f xxx x
![Page 86: No Slide Title - WordPress.com€¦ · La tasa de cambio promedio de f en un intervalo es la pendiente de la línea secante correspondiente: La tasa de cambio instantánea de f en](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050218/5f6431e09e930e14693e9531/html5/thumbnails/86.jpg)
Slide 3 - 86Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
La tangente de f en (1,3) tiene pendiente 5/2
La tangente de f-1en (3,1) tiene pendiente 2/5