Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 1

Newton approximation ”Oversæt” til algoritme

- Step 5: Skriv kode

- Step 4: Skriv pseudokode

- Step 3: Specificér pre- og postconditions

Fra numerisk metode til implementeret algoritme- Step 1: Specificér forudsætninger

- Step 2: Angiv prototype

- Step 6: Test

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 2

Newton approximation Step1 - Forudsætninger

)x('f

)x(fxx

n

nn1n )x('f

)x(fxx

n

nn1n

• Et maksimalt antal iterationer (hvorfor?)

• En acceptabel fejlmargin

- Algoritmen – hvad gør den? - regneforskrift – her: - Funktionen f(x)

- Funktionens 1. afledede f’(x)

- Et godt “gæt” x0 som startværdi

- Hvornår skal beregningen stoppe

Forudsætninger:

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 3

Newton approximation Step2 – Angiv prototype

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess),

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess),

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

f() and fPrime() are function pointers!f() and fPrime() are function pointers!

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 4

Newton approximationStep 3 - Pre- og postconditions

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess),

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

// Precondition:

// f() er en differentiabel funktion med 1. afledet fPrime().

// maxIterations > 0, acceptedError > 0, fPrime(guess) != 0

// Postcondition:

// Hvis der på maxIterations (eller mindre) er fundet en løsning x

// således, at |f(x)| < acceptedError, sættes solution til x, og der

// returneres true. I modsat sættes solution til 0 (garbage), og der

// returneres false.

{

}

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess),

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

// Precondition:

// f() er en differentiabel funktion med 1. afledet fPrime().

// maxIterations > 0, acceptedError > 0, fPrime(guess) != 0

// Postcondition:

// Hvis der på maxIterations (eller mindre) er fundet en løsning x

// således, at |f(x)| < acceptedError, sættes solution til x, og der

// returneres true. I modsat sættes solution til 0 (garbage), og der

// returneres false.

{

}

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 5

Newton approximationStep 4 - Pseudokode

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess,

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

- definer nødvendige lokale variable

- gør følgende:

- foretag ny iteration (Newton)

- sæt xN = xNPlus1

- beregn afvigelse

- tæl antal iterationer 1 op

- fortsæt sålænge:

- afvigelse > acceptedError OG antal iterationer < maxIterationer

- hvis afvigelse >= acceptedError

- solution = 0

- returner false

- ellers

- solution = xN

- returner true

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess,

double acceptedError, int maxIterations, double & solution )

- definer nødvendige lokale variable

- gør følgende:

- foretag ny iteration (Newton)

- sæt xN = xNPlus1

- beregn afvigelse

- tæl antal iterationer 1 op

- fortsæt sålænge:

- afvigelse > acceptedError OG antal iterationer < maxIterationer

- hvis afvigelse >= acceptedError

- solution = 0

- returner false

- ellers

- solution = xN

- returner true

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 6

Newton approximationStep 5 - Implementering

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess, double acceptedError, int maxIterations, double & solution )// Precondition: // ......{

unsigned int iterations = 0; double xN = guess, xNPlus1, error;

do{ xNPlus1 = xN - f(xN)/fPrime(xN); xN = xNPlus1;

error = abs( f(xNPlus1) ); }while( error >= acceptedError && ++iterations < maxIterations );

if( error >= acceptedError) { solution = 0;

return false; } else

{ solution = xN;return true; }

}

bool newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess, double acceptedError, int maxIterations, double & solution )// Precondition: // ......{

unsigned int iterations = 0; double xN = guess, xNPlus1, error;

do{ xNPlus1 = xN - f(xN)/fPrime(xN); xN = xNPlus1;

error = abs( f(xNPlus1) ); }while( error >= acceptedError && ++iterations < maxIterations );

if( error >= acceptedError) { solution = 0;

return false; } else

{ solution = xN;return true; }

}

)x('f

)x(fxx

n

nn1n )x('f

)x(fxx

n

nn1n

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 7

Newton approximationStep 6 - Test

double testFkt( double x )

{

return (x*x*x + 3*x*x - 6*x - 8);

}

double testFkt( double x )

{

return (x*x*x + 3*x*x - 6*x - 8);

}6x6x3)x('f

8x6x3x)x(f

2

23

double testFktPrime( double x )

{

return (3*x*x + 6*x - 6);

}

double testFktPrime( double x )

{

return (3*x*x + 6*x - 6);

}

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 8

Newton approximationStep 6 - Test

int main()

{

const double INITIAL_GUESS = 1.5000;

const double ACCEPTED_ERROR = 0.0001;

const int MAX_ITERATIONS = 25;

bool converges = false;

double result = 0;

converges = newton( testFkt, testFktPrime, INITIAL_GUESS, ACCEPTED_ERROR, MAX_ITERATIONS, result );

if( converges )

cout << "Result OK, approximated value = " << result << endl;

else

cout << "No convergence" << endl;

}

int main()

{

const double INITIAL_GUESS = 1.5000;

const double ACCEPTED_ERROR = 0.0001;

const int MAX_ITERATIONS = 25;

bool converges = false;

double result = 0;

converges = newton( testFkt, testFktPrime, INITIAL_GUESS, ACCEPTED_ERROR, MAX_ITERATIONS, result );

if( converges )

cout << "Result OK, approximated value = " << result << endl;

else

cout << "No convergence" << endl;

}

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 9

Bemærk, at prototypen KUNNE have været:

double newton( double (*f)(double), double (*fPrime)(double), double guess),

double acceptedError, int maxIterations, bool & succes )

Hvad vil det betyde / kræve ?

• Ændring af postconditions

• Løsningen returneres direkte

• Boolean svar “returneres” ved reference

Ingeniørhøjskolen i ÅrhusSlide 10

Numeriske metoder - generelt

• Brug af computer algoritmer til at (forsøge at) løse matematiske eller real-world problemer

• Ting at tage stilling til:– Nøjagtighed– Tilstrækkelighed– Hastighed