NADCIEKŁOŚĆ SPUŁAPKOWANYCH ATOMÓWkft.umcs.lublin.pl/doman/magisteria/2006KK_praca.pdf ·...

Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie

Wydział Matematyki Fizyki i Informatyki

Karolina Kopycińska

NADCIEKŁOŚĆ SPUŁAPKOWANYCH ATOMÓW

Praca magisterska wykonana

w Katedrze Fizyki Teoretycznej

pod kierunkiem

dr hab. Tadeusza Domańskiego

Lublin 2006

Maria Curie-Skłodowska University in Lublin

Faculty of Mathematics, Physics and Computer Science

Karolina Kopycińska

SUPERFLUIDITY OF THE TRAPPED ATOMICGASES

Diploma thesis made in the

Theoretical Physics Department

under supervision of

doctor Tadeusz Domański

Lublin 2006

Pragnę serdecznie podziękować

dr Tadeuszowi Domańskiemu

za liczne wskazówki i komentarze,

którym niniejsza praca zawdzięcza to,

co w niej najlepsze.

S p i s t r e ś c i

Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Hamiltonian w przedstawieniu drugiej kwantyzacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Hamiltonian układu cząstek swobodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova . . . . . . 10

2. Jednorodny układ bozonów słabooddziałujących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Formalizm funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Wyznaczanie funkcji Greena metodą równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Porządek dalekozasięgowy i parametr porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Liczba cząstek w kondensacie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Widmo wzbudzeń układu bozonów słaboodziałujących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6. Przybliżenie Popova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7. Metoda transformacji kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Układy bozonów spułapkowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1. Układ bozonów nieoddziałujących w pułapce magnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Układ bozonów oddziałujących - równanie Grossa-Pitaevskii’ego . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3. Nadciekłość w układach spułapkowanych bozonów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Dodatek A. Funkcja Greena urojonego czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.1. Okresowość funkcji Greena urojonego czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.2. Częstości Matsubary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Dodatek B. Funkcje Greena opóźniona i przedwczesna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Dodatek C. Funkcje Greena - równanie ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Dodatek D. Przedstawienie Lehmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Wprowadzenie

W 1908 roku, w małym miasteczku Lejda, holenderski uczony Heike Kamerlingh-Onnes

jako pierwszy dokonał skroplenia helu 1. W kilka lat później, ten sam uczony, odkrył zjawisko

nadprzewodnictwa badając opór elektryczny rtęci ochłodzonej do temperatury około 4K.

Przez wiele lat zjawisko to pozostawało niewyjaśnione i nie wiązano go z niedługo po nim

odkrytym zjawiskiem nadciekłości.

W latach dwudziestych zauważono, że poniżej temperatury 2, 18K ciekły hel, normalnie

gwałtownie wrzący, nagle się uspokaja. Tej ”spokojnej” odmianie helu nadano nazwę hel II.

Kilka lat po tym odkryciu zmierzono ciepło właściwe helu w pobliżu temperatury przejścia

w hel II. Otrzymano zależność C(T ) charakterystyczną dla przemian fazowych (rysunek).

Powstało wówczas pytanie: jeśli zmiana helu I w hel II jest przemianą fazową to czego w

co? Niedługo później rosyjski uczony Piotr Kapica odkrył pewną zadziwiającą własność helu

II [1]. Okazało się mianowicie, że ciecz ta z łatwością przepływa przez najcieńsze kapilary,

tak jakby była zupełnie pozbawiona lepkości. Wkrótce odkryto także inne zjawiska, takie

jak efekt fontannowy, pełzanie cieczy po ściankach naczynia i inne. Wówczas nazwano ten

nietypowy stan materii nadciekłością.

Pierwsze wyjaśnienie zjawiska nadciekłości zaproponował L. Landau. Niemalże w tym sa-

mym czasie powstał opis fenomenologiczny nazwany od jego twórcy dwupłynowym mode-

lem Tiszy. Zauważono ponadto zbieżność temperatury przejścia w hel II z temperaturą kon-

densacji Bose’go-Einsteina, która dla 4He wynosi ok. 3K, co doprowadziło do odkrycia związ-

ku między tymi dwoma zjawiskami. Rzeczywiście kolektywne zachowania cząstek, właściwe

dla kondensatu, mogą tłumaczyć bezlepki (pozbawiony tarcia) przepływ helu II.

Kondensacja Bose’go-Einsteina jest zjawiskiem kwantowym, które może zachodzić w ukła-

1 Hel odkryto w XIX wieku w widmie Słońca. Izotop 4He występuje na Ziemi jako domieszka gazu ziemnego.Innym trwałym izotopem helu jest 3He, który otrzymywany jest w procesach reakcji jądrowych. Te dwa izotopyhelu znacznie się od siebie różnią. Jest to spowodowane faktem, że pierwszy z nich, będąc bozonem, podlegastatystyce Bose’go-Einsteina, natomiast drugi, jako fermion, podlega statystyce Fermiego-Diraca. W niniejszejpracy nie będziemy dyskutowali różnic wynikających z przynależności cząstek do tej lub innej statystyki, leczzajmiemy się wyłącznie układami bozonowymi.

8 Wprowadzenie

dach bozonowych (cząstek o spinie całkowitym). Jest to bezpośrednio związane ze statystyką,

której te cząstki podlegają. Bozony, których nie obowiązuje zakaz Pauliego, mogą w dowolnej

liczbie obsadzać jeden stan kwantowy. Okazuje się, że poniżej pewnej temperatury charakte-

rystycznej dla danego układu, nazywanej temperaturą krytyczną, bozony chętnie korzystają

z tego prawa i w ogromnej liczbie zaczynają obsadzać stan o najniższej energii (stan o

pędzie zerowym). Od momentu pojawienia się kondensatu w układzie jego cząstki wykazują

zachowania kolektywne. (Mówiąc najprościej zachowują się koherentnie, nie przeszkadzając

sobie wzajemnie np. w trakcie przepływu cieczy). To nietypowe zachowanie cząstek najłat-

wiej wytłumaczyć w oparciu o teorię fal materii de Broglie’a.

Rozważmy układ składający się z N cząstek. Każdej z nich możemy przypisać długość fali

wg wzoru

λ =h

p=

h√2mE

.

Energia każdej cząstki zależy od temperatury układu. Zatem obniżając temperaturę wpływa-

my na zmniejszenie energii E, a tym samym na wydłużenie odpowiadającej każdej cząstce

fali de Broglie’a. Kiedy długość fali λ staje się porównywalna ze średnią odległością między

cząstkami, fale odpowiadające poszczególnym cząstkom nakładają się na siebie. Dalsze ob-

niżanie temperatury doprowadza w wyniku interferencji poszczególnych fal do powstania

jednej fali odpowiadającej całemu układowi, który od tej chwili zachowuje się jak jeden

”atom”. Tłumaczy to kolektywne zachowania cząstek układu nadciekłego. Istotne jest jednak

rozróżnienie między kondensacją a nadciekłością. Kondensat Bose’go-Einsteina może powstać

w każdym układzie bozonowym, bez względu na to czy cząstki układu oddziałują ze sobą, czy

też nie. Istnienie oddziaływań międzycząsteczkowych prowadzi, co prawda, do zmniejszenia

liczby cząstek w kondensacie tak, że nawet w temperaturze zera bezwzględnego pewna ich

liczba znajduje się w stanie wzbudzonym, mimo to nawet w układzie silnie oddziałującym,

takim jak 4He, pewna część cząstek (ok. 10%) znajduje się w kondensacie gdy T = 0K. Tak

więc istnienie oddziaływań nie jest konieczne do powstania kondensatu, a nawet w tym

procesie przeszkadza. Przeciwnie jest w przypadku nadciekłości. Zjawisko to nie występuje

w układach bozonów swobodnych pomimo istnienia w nich kondensatu. Oddziaływania,

chociaż zmniejszają liczbę cząstek w kondensacie, są konieczne do powstania nadciekłości.

W niniejszej pracy zajmiemy się opisem zjawiska nadciekłości w układach bozonów znacznie

słabiej oddziałujących niż ma to miejsce między atomami ciekłego helu. W rozdziale pierw-

szym przedstawimy zagadnienie hamiltonianu w formalizmie operatorów drugiej kwantyzacji.

W rozdziale drugim przedstawimy metody opisu bozonowego układu nadciekłego w granicy

termodynamicznej i przy założeniu słabych oddziaływań międzycząsteczkowych. Opiszemy

tutaj m.in. zagadnienia liczby cząstek w kondensacie, parametru porządku i widma wzbudzeń

układu bozonowego na poziomie przybliżenia Bogoliubova, w formalizmie funkcji Greena.

Pokażemy także metody pozwalające wyjść poza to przybliżenie. Wreszcie w ostatnim roz-

dziale omówimy zagadnienie swobodnego i oddziałującego gazu Bose’go w potencjale pu-

łapkującym, oraz opiszemy zjawiska wynikające z nadciekłości tego typu układów.

1. Hamiltonian w przedstawieniu drugiejkwantyzacji

Przedstawienie hamiltonianu dla układu oddziałujących cząstek bozonowych za pomo-

cą operatorów kreacji i anihilacji nie jest zagadnieniem trudnym i można się z nim zapoznać

korzystając z jednego z ogólnie dostępnych podręczników do mechaniki kwantowej. Ponieważ

jednak rozważania zawarte w niniejszej pracy w wielu miejscach bazują na znajomości tego

zagadnienia przypomnimy je tutaj w skrócie.

Hamiltonian układu cząstek oddziałujących, przedstawiony za pomocą operatorów pola, ma

postać

H =∫dr Ψ† (r) T Ψ (r) +

12

∫dr∫dr′ Ψ† (r) Ψ†

(r′)V(r− r′

)Ψ(r′)Ψ (r) . (1.1)

Pierwszy człon tego wyrażenia odpowiada za energię kinetyczną cząstek, a drugi opisuje

oddziaływania między nimi. Oddziaływanie cząstki w położeniu r z cząstką w położeniu r′

jest identyczne z oddziaływaniem cząstki w położeniu r′ z cząstką w położeniu r, stąd przed

drugim członem hamiltonianu znajduje się czynnik 1/2, dzięki czemu oddziaływania nie są

zliczane podwójnie.

Przedstawmy operatory pola w bazie fal płaskich

Ψ (r) =1√Ω

∑k

ak eikr, (1.2)

Ψ† (r) =1√Ω

∑k

a†k e−ikr, (1.3)

gdzie Ω jest umownym oznaczeniem objętości układu, natomiast a†k i ak są operatorami

odpowiednio kreacji i anihilacji bozonu o pędzie k.

Podstawiając wzory (1.2) i (1.3) do równania (1.1), oraz korzystając z definicji transformaty

Fouriera

F (q) =∫dr F (r) e −iqr

i delty Kroneckera1Ω

∫dr e ir(q−k) = δqk

oraz przyjmując

V (−q) = V ∗ (q) = V (q)

10 1. Hamiltonian w przedstawieniu drugiej kwantyzacji

otrzymujemy hamiltonian układu oddziałujących cząstek bozonowych w reprezentacji pędo-

wej

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +12Ω

∑kk′q

a†k+q a†k′−q ak′ ak V (q). (1.4)

Otrzymany przez nas hamiltonian ma postać najbardziej ogólną, a tym samym najbardziej

skomplikowaną. Ścisłe rozwiązanie jakiegokolwiek problemu fizycznego dla układu opisanego

tym hamiltonianem nie jest znane, dlatego posłużymy się odpowiednimi przybliżeniami. Nale-

ży jednak zawsze pamiętać, że każde przybliżenie prowadzi do zaniedbania pewnych korelacji

pomiędzy cząstkami układu.

1.1. Hamiltonian układu cząstek swobodnych

Najgrubszym przybliżeniem hamiltonianu danego wzorem (1.4) jest całkowite pominię-

cie członu odpowiedzialnego za oddziaływania. Otrzymujemy wówczas hamiltonian układu

bozonów swobodnych

H =∑k

a†k ak (εk − µ), (1.5)

gdzie

εk =~2k2

2m.

Zakładamy zatem, że cząstki tworzą gaz idealny i nie oddziałują ze sobą, posiadając jedynie

energie kinetyczne.

Jest to oczywiście sytuacja niefizyczna, niemniej jednak jest ona dobrym punktem startowym

do opisu kondensacji Bose’go-Einsteina, gdyż problem układu cząstek swobodnych można

nie tylko ściśle ale także bardzo łatwo rozwiązać.

1.2. Hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniuBogoliubova

Przybliżenie Bogoliubova uwzględnia poza energią kinetyczną cząstek także część od-

działywań między cząstkami układu. W rozdziale tym rozważymy, które z oddziaływań

przybliżenie to uwzględnia a które zaniedbuje i omówimy wynikające z tego konsekwencje.

Przyjmijmy, że operatory kreacji i anihilacji bozonu o pędzie k = 0 można zastąpić liczbami

rzeczywistymi

a†0 =√N0, (1.6)

a0 =√N0, (1.7)

gdzie N0 jest liczbą cząstek w stanie o pędzie k = 0, czyli liczbą cząstek w kondensacie.

Pokażemy teraz dlaczego można tak zrobić i wykażemy, że jest to istotnie dobre przybliżenie.

1.2. Hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova 11

Operatory bozonowe spełniają następujące zależności

a†k |Nk〉 =√Nk + 1 |Nk + 1〉 ,

ak |Nk〉 =√Nk |Nk − 1〉 .

Dla stanu o k = 0 mamy więc

a†0 |N0〉 =√N0 + 1 |N0 + 1〉 ,

a0 |N0〉 =√N0 |N0 − 1〉 .

Bozony nie podlegają zakazowi Pauliego i dowolna ich liczba może gromadzić się w jednym

stanie kwantowym. Tuż poniżej temperatury krytycznej ta własność układu bozonowego

staje się bardzo istotna. W stanie o k = 0, w tzw. kondensacie, gromadzi się wówczas

ogromna liczba cząstek. Nawet jeśli jest to tylko 0, 01% z jednego mola substancji (czyli

1019 cząstek) odjęcie lub dodanie jedynki od tak wielkiej liczby jest do pominięcia z bardzo

dobrym przybliżeniem. Możemy zatem napisać

a†0 |N0〉 ≈√N0 |N0〉 ,

a0 |N0〉 ≈√N0 |N0〉 .

Wobec tego

a†0 ≈√N0,

a0 ≈√N0.

Korzystając z podanego powyżej przybliżenia możemy z drugiej części hamiltonianu (1.4)

wyodrębnić te wyrażenia w których przynajmniej jeden z pędów k, k′, k+ q lub k′ − q jest

równy zero.

Oznaczmy

H =∑k

a†k ak (εk − µ) + V ,

V =12Ω

∑pp′q

a†p+q a†p′−q ap′ ap V (q). (1.8)

Ze struktury tego wyrażenia wynika, że udział w oddziaływaniu biorą dwie cząstki o pędach

p i p′ , które w jego wyniku zmieniają swoje pędy o q , na p + q i p′ − q . Mówiąc

bardziej precyzyjnie - w wyniku oddziaływania anihilowane są dwie cząstki o pędach p i

p′ , i kreowane są dwie cząstki o pędach p + q i p′ − q . Sytuację tę można zobrazować

diagramem Feynmana:


Rozważmy pierwszy przypadek. Jeśli p = 0, p′ = 0 i q = 0, wówczas

V1 =12n0 N0 V (0), (1.9)

co łatwo sprawdzić korzystając jedynie ze wzorów (1.6) i (1.7) oraz oznaczając n0 = N0/Ω ,

gdzie n0 jest koncentracją atomów w kondensacie.

Jeśli p = −k, p′ = k i q = k, wówczas

V2 =12n0∑k

′a−k ak V (k), (1.10)

gdzie∑ ′ oznacza sumowanie po indeksach różnych od zera.

Jeśli p = 0, p′ = 0 i q = k, wówczas

V3 =12n0∑k

′a†k a

†−k V (k). (1.11)

Jeśli p = 0, p′ = k i q = k lub jeśli p = −k, p′ = 0 i q = k otrzymujemy to samo wyrażenie.

Zawierając oba przypadki w jednym wzorze, otrzymujemy

V4 = n0∑k

′a†k ak V (k). (1.12)

Jeśli p = 0, p′ = k i q = 0 lub jeśli p = k, p′ = 0 i q = 0 otrzymujemy to samo wyrażenie.

Sumując je dostajemy

V5 = n0∑k

′a†k ak V (0). (1.13)

Jeśli p = k′, p′ = k i q = k lub jeśli p = −k, p′ = k′ i q = k otrzymujemy to samo

wyrażenie. Sumując je dostajemy

V6 =√n0√Ω

∑−k6=k′

′a†k′+k ak′ ak V (k). (1.14)

Jeśli p = k′, p′ = 0 i q = k lub jeśli p = 0, p′ = k′ i q = k otrzymujemy to samo wyrażenie.

Sumując je otrzymujemy

V7 =√n0√Ω

∑k6=k′

′a†k a

†k′−k ak′ V (k). (1.15)

Jeśli żaden z pędów nie jest równy zero, sytuację taką opisuje wzór

V8 =12Ω

∑kk′pp′

′a†p a

†p′ ak′ ak V (p− k) δp+p′,k+k′ . (1.16)

Diagramy Feynmana odpowiadające każdemu przypadkowi pokazane są na rysunku 1.1.

Umownie, jeśli kreowana bądź anihilowana cząstka posiada pęd równy zero, odpowiadającą

jej linię oznaczamy falą.

1.2. Hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova 13

Rys. 1.1. Diagramy Feynmana obrazujące oddziaływania dwuciałowe między cząstkami układu.

Rozważmy ponownie hamiltonian dany wzorem (1.4)

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +12Ω

∑kk′q

a†k+q a†k′−q ak′ ak V (q).

Rozbijając drugi człon hamiltonianu na osiem osobnych przypadków, tak jak pokazaliśmy to

wcześniej, otrzymamy

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +8∑j=1

Vj , (1.17)

gdzie V1 do V8 dane są wzorami (1.9) - (1.16).

Widać, że siedem pierwszych wyrazów, od V1 do V7 dotyczy wyłącznie przypadku gdy

istnieje już kondensat. Jeśli temperatura układu jest wyższa od temperatury krytycznej, a

tym samym nie ma jeszcze kondensatu, wszystkie te wyrazy zerują się ze względu na fakt, że

liczba, i tym samym koncentracja cząstek w kondensacie wynosi zero: N0 = n0 = 0. Dopiero

ósmy wyraz uwzględnia oddziaływania wyłącznie między cząstkami poza kondensatem i ma

znaczenie także powyżej temperatury krytycznej.

Hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova ma postać

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +5∑j=1

Vj . (1.18)

Zawiera on tylko kilka pierwszych wyrazów pełnego hamiltonianu układu bozonów oddzia-

łujących. Zapisując ten hamiltonian w sposób jawny otrzymamy

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +12n0 N0 V (0)

+ n0∑k

′a†k ak V (k) + n0

∑k

′a†k ak V (0)

+12n0∑k

′a−k ak V (k) +

12n0∑k

′a†k a

†−k V (k). (1.19)


Widać, że przybliżenie to nie uwzględnia oddziaływań, w których tylko jedna z kreowanych

i anihilowanych cząstek znajduje się w kondensacie. Ponadto przybliżenie to zaniedbuje

oddziaływania zachodzące tylko między bozonami poza kondensatem. Wobec tego podany

powyżej hamiltonian w przypadku gdy T > Tc sprowadza się do hamiltonianu dla układu

bozonów swobodnych

H =∑k

a†k ak (εk − µ).

Oznacza to, że przybliżenie Bogoliubova ma sens tylko jeśli temperatura układu jest niższa

od temperatury krytycznej.

Im silniejsze oddziaływania tym mniej cząstek gromadzi się w stanie kondensatu, należy więc

pamiętać, że przybliżenie to zakłada słabe oddziaływania między cząstkami układu.

Opisane tutaj przybliżenia nie są oczywiście jedynymi możliwymi. Ponieważ jednak więk-

szość zagadnień poruszanych w niniejszej pracy opisana jest na poziomie przybliżenia Bogoliu-

bova, ich znajomość wystarczy do zrozumienia dalszej części przedstawionych tutaj rozważań.

2. Jednorodny układ bozonów słaboodziałujących

Układem, w którym po raz pierwszy zaobserwowano zjawisko nadciekłości, był 4He.

Liczba cząstek takiego układu jest rzędu 1023 (1 mol substancji ≈ 6 · 1023 cząstek), zatem

jest to układ makroskopowy. W pewnym uproszczeniu układy takie można opisywać w

granicy termodynamicznej, tzn. tak jakby nie miały one skończonych rozmiarów. Zakładamy

wówczas, że liczba cząstek układu, podobnie jak jego objętość, dąży do nieskończoności,

natomiast koncentracja cząstek pozostaje wielkością dobrze określoną i stałą. W opisie ma-

tematycznym przekłada się to na zaniedbanie wszelkich potencjałów ograniczających układ.

Nadciekły 4He różni się jednak zasadniczo od układów, które rozważymy w następnych

rozdziałach. Posiada on dużą gęstość a jego cząstki silnie ze sobą oddziałują, my natomiast

zajmiemy się układami bozonów słabooddziałujących. Układy takie można utworzyć me-

todami pułapkowania atomów. Niestety zawierają one niewielką liczbę cząstek (rzędu 105

- 107 atomów). Mimo to rozważymy tutaj układy bozonów słabooddziałujących w granicy

termodynamicznej jako wstęp do opisu bozonów w pułapkach.

Istnieje przynajmniej kilka metod pozwalających opisać własności układu bozonowego w

temperaturach bliskich zera bezwzględnego. Jedną z nich, którą teraz się zajmiemy, jest

metoda funkcji Greena.

2.1. Formalizm funkcji Greena

Funkcja Greena, w najbardziej ogólnym ujęciu, jest pewnym uporządkowanym i uśred-

nionym iloczynem operatorów. W dalszej części przedstawionych tutaj rozważań niezbędna

będzie ogólna wiedza dotycząca funkcji Greena urojonego czasu (zwanej także funkcją Greena

Matsubary) oraz opóźnionej funkcji Greena, określonych dla operatorów bozonowych.

Funkcję Greena urojonego czasu, dla dowolnych operatorów A i B definiujemy następująco

G(τ − τ ′) = −⟨Tτ A(τ) B(τ ′)

⟩, (2.1)

gdzie A(τ) i B(τ ′) zależą od czasu będącego wielkością urojoną (τ = it), symbol 〈...〉oznacza uśrednianie w sensie statystycznym, natomiast Tτ jest operatorem uporządkowania

chronologicznego. Dla operatorów bozonowych

Tτ[A(τ1) B(τ2)

]=

A(τ1) B(τ2) gdy τ1 > τ2

B(τ2) A(τ1) gdy τ2 > τ1

Konieczność wprowadzenia czasu urojonego wyjaśniona jest w dodatku A. Tam też znajduje

się rozwinięcie przedstawionego tutaj tylko w skrócie zagadnienia funkcji Greena Matsubary.

16 2. Jednorodny układ bozonów słaboodziałujących

Posługując się funkcją schodkową Θ(x)

Θ(x) =

1 gdy x 00 gdy x < 0

funkcję Greena urojonego czasu, określoną dla układu bozonowego, możemy zapisać w

postaci

G(τ − τ ′) = − Θ(τ − τ ′)⟨A(τ) B(τ ′)

⟩− Θ(τ ′ − τ)

⟨B(τ ′) A(τ)

⟩.

Funkcja ta nie zależy od dwóch różnych parametrów czasowych τ i τ ′, ale od ich różnicy,

dlatego dla uproszczenia zapisu możemy przyjąć τ ′ = 0. (Dowód tej własności został zawarty

w dodatku A). Otrzymamy wówczas

G(τ) = − Θ(τ)⟨A(τ) B

⟩− Θ(−τ)

⟨B A(τ)

⟩. (2.2)

Posługując się transformatą Fouriera

G(iωn) =12

∫ β−βdτ e iωnτ G(τ)

możemy otrzymać funkcję Greena Matsubary, zależną od tzw. częstości Matsubary iωn.

Opóźnioną funkcję Greena dla dowolnych bozonowych opeartorów A i B definiujemy nastę-

pująco

Gret(t− t′) = − iΘ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)

]⟩. (2.3)

Podobnie jak w przypadku funkcji Greena urojonego czasu dla uproszczenia zapisu przyj-

miemy t′ = 0. Otrzymamy wówczas

Gret(t) = − iΘ(t)⟨[A(t), B

]⟩, (2.4)

z oczywistym warunkiem t > 0.

Posługując się transformatą Fouriera

Gret(ω + iη) =∫ +∞−∞

dt e i(ω+iη)t Gret(t)

możemy otrzymać opóźnioną funkcję Greena zależną od częstości zespolonej ω+ iη, gdzie η

jest bardzo małą liczbą dodatnią. Funkcję tę przyjęto oznaczać

Gret(ω + iη) ≡⟨⟨A;B

⟩⟩ω+iη.

Funkcja Greena Matsubary zależna od częstości iωn i opóźniona funkcja Greena zależna od

częstości ω + iη, zdefiniowane dla tych samych operatorów A i B, mają jednakową postać.

Zatem, znając jedną z nich, możemy natychmiast otrzymać drugą poprzez przedłużenie

analityczne iωn → ω+iη. Szczegółowe omówienie tego zagadnienia znajduje się w dodatku D.

2.2. Wyznaczanie funkcji Greena metodą równania ruchu 17

2.2. Wyznaczanie funkcji Greena metodą równania ruchu

Dla bozonowego układu opisanego hamiltonianemH opóźnioną funkcję Greena zależną

od częstości ω + iη, dla dowolnych operatorów bozonowych A i B, możemy wyznaczyć z

równania ruchu

(ω + iη)⟨⟨A;B

⟩⟩ω+iη =

⟨[A,B

]⟩+⟨⟨[A,H

];B⟩⟩ω+iη. (2.5)

Wyprowadzenie powyższego wzoru zawarte jest w dodatku C.

Dla uproszczenia zapisu w dalszej części niniejszej pracy częstość zespoloną ω+ iη będziemy

oznaczać w skrócie symbolem ω.

Posługując się równaniem (2.5) wyznaczymy teraz jawną postać opóźnionych funkcji Greena⟨⟨ak; a

†k⟩⟩ω

,⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩ω

,⟨⟨ak; a−k

⟩⟩ω

i⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩ω

dla układu bozonów swobodnych

i układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova.

Rozważmy najpierw układ bozonów swobodnych. Jest on opisany hamiltonianem

H =∑k

a†k ak (εk − µ). (2.6)

Równanie ruchu dla opóźnionej funkcji Greena⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω

zapiszemy następująco

ω⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω=⟨[ak, a

†k]⟩+⟨⟨[ak,H

]; a†k

⟩⟩0ω, (2.7)

gdzie indeks 0 oznacza, że funkcja określona jest dla układu cząstek swobodnych.

Korzystając z własności komutacyjnych bozonowych operatorów kreacji i anihilacji

[ak, ap

]=[a†k, a

†p]= 0,

[ak, a

†p]= −

[a†k, ap

]= δkp

można obliczyć zawarty w równaniu (2.7) komutator

[ak,H

]= ak

(εk − µ

). (2.8)

Podstawiając wzór (2.8) do równania ruchu (2.7) otrzymujemy ostatecznie

⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω=

1ω − (εk − µ)

. (2.9)

Podobnie można pokazać, że

⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩0ω=

−1ω + (εk − µ)

, (2.10)

⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩0ω=⟨⟨ak; a−k

⟩⟩0ω= 0. (2.11)


Rozważmy teraz układ bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova. W rozdziale

1. pokazaliśmy, że jest on opisany hamiltonianem

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +12n0 N0 V (0)

+ n0∑k

′a†k ak V (k) + n0

∑k

′a†k ak V (0)

+12n0∑k

′a−k ak V (k) +

12n0∑k

′a†k a

†−k V (k). (2.12)

W przypadku bozonów oddziałujących funkcje⟨⟨ak; a

†k⟩⟩bω

i⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩bω

są ze sobą związane

i aby je wyznaczyć należy rozwiązać odpowiadający im układ równań ruchu

ω⟨⟨ak; a

†k⟩⟩bω=⟨[ak, a

†k]⟩+⟨⟨[ak,H

]; a†k

⟩⟩bω

ω⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩bω=⟨[a†−k, a

†k]⟩+⟨⟨[a†−k,H

]; a†k

⟩⟩bω

(2.13)

Indeks b oznacza, że funkcja określona jest dla układu cząstek oddziałujących w przybliżeniu

Bogoliubova.

Korzystając z własności komutacyjnych bozonowych operatorów kreacji i anihilacji można

wyznaczyć zawarte w tych równaniach komutatory

[ak,H

]=(εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)

)ak + n0V (k) a

†−k, (2.14)

[a†−k,H

]= −

(εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)

)a†−k − n0V (k) ak. (2.15)

Podstawiając wzory (2.14) i (2.15) do układu równań (2.13) otrzymujemy

⟨⟨ak; a

†k⟩⟩bω=

ω + εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)ω2 − (εk − µ+ n0V (0) + n0V (k))2 + (n0V (k))2

, (2.16)

⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩bω=

−n0V (k)ω2 − (εk − µ+ n0V (0) + n0V (k))2 + (n0V (k))2

. (2.17)

Potencjał chemiczny µ poniżej temperatury krytycznej przyjmuje wartość najniższej dostępnej

w układzie energii. Dla układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova wartość

ta wynosi n0V (0) [2]. Ponieważ przybliżenie to nie ma sensu dla T > Tc (o czym była mowa

w rozdziale 1.) zatem możemy przyjąć µ = n0V (0). Otrzymamy wówczas

⟨⟨ak; a

†k⟩⟩bω=ω + εk + n0V (k)ω2 − ε2k − 2n0V (k)εk

, (2.18)

⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩bω=

−n0V (k)ω2 − ε2k − 2n0V (k)εk

. (2.19)

2.3. Porządek dalekozasięgowy i parametr porządku 19

Podobnie wyznaczamy funkcje⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩bω

i⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω

⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩bω=

−ω + εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)ω2 −

(εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)

)2 + (n0V (k))2 , (2.20)

⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω=

−n0V (k)ω2 −

(εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)

)2 + (n0V (k))2 . (2.21)

Podstawiając µ = n0V (0) otrzymujemy

⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩bω=−ω + εk + n0V (k)ω2 − ε2k − 2n0V (k)εk

, (2.22)

⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω=

−n0V (k)ω2 − ε2k − 2n0V (k)εk

. (2.23)

2.3. Porządek dalekozasięgowy i parametr porządku

Wykażemy teraz, że w układzie bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova

istnieje porządek dalekozasięgowy.

Rozważmy następującą funkcję korelacji

⟨Ψ† (r)Ψ

(r′)⟩,

gdzie Ψ(r) jest operatorem pola.

Zgodnie ze wzorami (1.2) i (1.3) operatory Ψ† (r) i Ψ(r) możemy przedstawić w bazie fal

płaskich. Otrzymamy wówczas

⟨Ψ† (r)Ψ

(r′)⟩=1Ω

∑kk′e−ikreik

′r′⟨a†kak′⟩.Jak pokażemy to w następnym rozdziale wartość średnia

⟨a†kak′

⟩6= 0 jeśli k′ = k. Zatem

⟨Ψ† (r)Ψ

(r′)⟩=1Ω

∑k

e−ik(r−r′)⟨a†kak⟩.

Można pokazać, że jeśli w układzie istnieje kondensat, tzn. jeśli temperatura układu jest

niższa od temperatury krytycznej, wówczas wielkość⟨Ψ† (r)Ψ (r′)

⟩nie jest równa zeru, ale

nawet dla r− r′ →∞ dąży do pewnej stałej wartości [3]. Tego typu uporządkowanie układu

nazywane jest w literaturze diagonalnym porządkiem dalekozasięgowym DLRO (Diagonal

Long-Range Order).

W niniejszej pracy rozważymy jednak dokładniej tzw. porządek pozadiagonalny ODLRO

(Off-Diagonal Long-Range Order), przedstawiony po raz pierwszy przez Penrosa i Onsagera

[4] oraz Yanga [5]. Jest on określony następującą funkcją korelacji

⟨Ψ(r)Ψ

(r′)⟩.


Przedstawiając operatory Ψ(r) i Ψ(r′) w bazie fal płaskich zgodnie ze wzorami (1.2) i (1.3),

otrzymujemy ⟨Ψ(r)Ψ

(r′)⟩=1Ω

∑kk′eikreik

′r′⟨akak′⟩.Wartość średnia

⟨akak′

⟩dla układu bozonów swobodnych jest równa zeru, bez względu na

to, jakie przyjęlibyśmy wartości wektorów falowych k i k′, natomiast dla układu bozonów

oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova dla k′ = −k ma ona wartość różną od zera.

Zatem ⟨Ψ(r)Ψ

(r′)⟩=1Ω

∑k

eik(r−r′)⟨aka−k⟩.

Wobec tego, jeśli tylko temperatura układu jest niższa od temperatury krytycznej (w innym

wypadku przybliżenie Bogoliubova sprowadza się do przybliżenia bozonów swobodnych)

funkcja korelacji⟨Ψ(r)Ψ (r′)

⟩ma niezerową wartość nawet gdy r− r′ →∞.

Warto zauważyć, że pojawianie się niezerowych wartości średnich⟨a−kak

⟩czy

⟨a†ka†−k⟩

związane jest bezpośrednio z przejściem układu w stan nadciekłości. Od tego momentu

liczba cząstek układu nie jest dobrą liczbą kwantową. Jest to związane ze spontanicznym

złamaniem symetrii na transformację cechowania [6].

Wielkość ⟨a−kak

⟩≡ χk (2.24)

nazywana jest parametrem porządku. Wykażemy teraz, że istotnie dla układu bozonów od-

działujących w przybliżeniu Bogoliubova jest ona różna od zera.

Jeśli znamy postać opóźnionej funkcji Greena⟨⟨A;B

⟩⟩ω+iη , dla dowolnych dwóch operatorów

A i B, oraz potrafimy wyznaczyć jej część urojoną, wówczas ze wzoru [7]

⟨BA

⟩=∫dω f(ω, T )

− 1πIm⟨⟨A;B

⟩⟩ω+iη

(2.25)

możemy obliczyć wartość średnią z iloczynu operatorów⟨BA

⟩. Funkcja f(ω, T ) jest w tym

przypadku funkcją rozkładu Bose’go-Einsteina.

W rozdziale 2.2. pokazaliśmy, że

⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω=

−n0V (k)ω2 − ε2k − 2n0V (k)εk

. (2.26)

Wobec tego ⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω+iη =

−n0V (k)(ω + iη)2 − ε2k − 2n0V (k)εk

. (2.27)

Ostatnie równanie można sprowadzić do postaci

⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω+iη =

n0V (k)2Ek

[1

ω + Ek + iη− 1ω − Ek + iη

], (2.28)

gdzie

Ek =√ε2k + 2n0V (k)εk.

2.4. Liczba cząstek w kondensacie 21

Korzystając z zależności

Im

(1ω + iη

)= −πδ(ω)

możemy wyznaczyć szukaną część urojoną

Im⟨⟨ak; a−k

⟩⟩bω+iη =

n0V (k)π2Ek

[δ(ω − Ek)− δ(ω + Ek)] . (2.29)

Wartość średnią⟨a−kak

⟩b obliczymy zatem ze wzoru

⟨a−kak

⟩b = ∫ dω 1eβω − 1

n0V (k)2Ek

[δ(ω + Ek)− δ(ω − Ek)] . (2.30)

Wykonując całkę w powyższym równaniu otrzymujemy ostatecznie parametr porządku dla

układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova

χbk = −n0V (k)2Ek

ctgh(βEk2

). (2.31)

Wielkość ta zależy od temperatury układu ponieważ zależy od niej koncentracja cząstek w

kondensacie n0. Gdy T > Tc wówczas n0 = 0 i tym samym χbk = 0.

Dla układu bozonów swobodnych⟨⟨ak; a−k

⟩⟩0ω= 0, zatem χ0k = 0. Oznacza to, że pomimo

istnienia kondensatu w układzie cząstek swobodnych nie występują zachowania kolektywne.

W następnym rozdziale pokażemy, że oddziaływania zmniejszają liczbę cząstek w konden-

sacie. Mimo to są one niezbędne do zaistnienia tych własności układu, które prowadzą do

nadciekłości.

2.4. Liczba cząstek w kondensacie

Podczas obniżania temperatury układu bozonowego, po przekroczeniu pewnej tempe-

ratury krytycznej, coraz większa liczba cząstek zaczyna gromadzić się w jednym stanie kwan-

towym - stanie o najniższej energii. Zjawisko to nazywamy kondensacją Bose’go-Einsteina. W

rozdziale tym omówimy zależność temperaturową liczby cząstek w kondensacie dla układu

bozonów swobodnych i układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova.

Całkowitą liczbę cząstek w układzie możemy wyznaczyć ze wzoru

N =∑k

⟨a†kak

⟩(2.32)

=⟨a†0a0

⟩+∑k

′⟨a†kak

⟩= N0 + N ,

gdzie N0 oznacza liczbę cząstek w kondensacie, natomiast N liczbę cząstek poza konden-

satem.


Rozważmy najpierw układ bozonów swobodnych.

Postępując wg schematu przedstawionego w rozdziale 2.3. możemy obliczyć wartość średnią⟨a†kak

⟩0 ze wzoru

⟨a†kak

⟩0 = ∫ dω 1eβω − 1

− 1πIm⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω+iη

. (2.33)


⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω=

1ω − εk + µ

. (2.34)

Wobec tego ⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω+iη =

1ω + iη − εk + µ

. (2.35)

Część urojona takiej funkcji Greena wynosi

Im⟨⟨ak; a

†k⟩⟩0ω+iη = −π δ(ω − εk + µ). (2.36)

Podstawiając powyższą równość do wzoru (2.33) i całkując otrzymujemy

⟨a†kak

⟩0 = 1eβ(εk−µ) − 1

. (2.37)

Całkowita liczba cząstek w układzie bozonów swobodnych może być zatem obliczona ze

wzoru

N = N0 +∑k

′ 1eβ(εk−µ) − 1

. (2.38)

W przypadku gdy T > Tc wszystkie cząstki znajdują się poza kondensatem i N0 = 0.

Wówczas

N = N =∑k

′ 1eβ(εk−µ) − 1

. (2.39)

Pamiętając, że dla T ¬ Tc potencjał chemiczny µ w układzie cząstek swobodnych wynosi

zero, oraz zakładając, że w temperaturze krytycznej nie ma jeszcze kondensatu, ze wzoru

(2.39) możemy obliczyć całkowitą liczbę cząstek, gdy T = Tc. Przyrównując µ do zera i

przechodząc od sumy do całki otrzymujemy wówczas

N = AT 3/2c , (2.40)

gdzie A jest wielkością stałą.

Jeśli temperatura układu jest niższa od temperatury krytycznej wówczas N 6= N . W takim

przypadku ze wzoru

N =∑k

′ 1eβ(εk−µ) − 1

(2.41)

2.4. Liczba cząstek w kondensacie 23

otrzymamy liczbę cząstek znajdujących się poza kondensatem. Postępując analogicznie jak

przy obliczaniu całkowitej liczby cząstek, dostajemy

N = AT 3/2, (2.42)

gdzie T < TcPonieważ

N = N0 + N

zatem dla T ¬ Tc otrzymujemyN0N= 1−

(T

Tc

)3/2. (2.43)

Zależność tę przedstawia rysunek 2.1.

Rys. 2.1. Stosunek liczby cząstek w kondensacie do całkowitej liczby cząstek w zależności odtemperatury dla układu bozonów swobodnych.

Rozważmy teraz układ bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova. Korzystając ze

wzoru ⟨a†kak

⟩b = ∫ dω 1eβω − 1

− 1πIm⟨⟨ak; a

†k⟩⟩bω+iη

(2.44)

można sprawdzić, że

⟨a†kak

⟩b = εk − µ+ n0V (0) + n0V (k)2Ek

ctgh(βEk2

)− 12, (2.45)

gdzie

Ek =√(εk − µ+ n0V (0) + n0V (k))2 + (n0V (k))2. (2.46)

Dla T > Tc, gdy N0 = n0 = 0, wyrażenie (2.45) sprowadza się do postaci

⟨a†kak

⟩b = 1eβ(εk−µ) − 1

,

czyli do wyrażenia odpowiadającego bozonom swobodnym. Wynika to bezpośrednio z ”nie-

doskonałości” przybliżenia Bogoliubova, które ma sens tylko poniżej temperatury krytycznej,

o czym była już mowa w rozdziale 1.

Dla T ¬ Tc możemy przyjąć µ = n0V (0). Wówczas

⟨a†kak

⟩b = εk + n0V (k)2Ek

ctgh(βEk2

)− 12, (2.47)


gdzie

Ek =√ε2k + 2n0V (k)εk. (2.48)

Ostatecznie więc dla T ¬ Tc otrzymujemy

N = N0 +∑k

′⟨a†kak

⟩b.

Zatem

N0 = N −∑k

′[εk + n0V (k)2Ek

ctgh(βEk2

)− 12

]. (2.49)

Warto zauważyć, że w układzie bozonów swobodnych w temperaturze zera bezwzględnego

wszystkie cząstki znajdują się w kondensacie. Tymczasem w przypadku bozonów oddziału-

jących w przybliżeniu Bogoliubova, dla T = 0K, po wykonaniu sumy otrzymujemy

N = N083

√n0a3

π,

gdzie a ≡ mV4π~2 i przyjęliśmy V (k) = const. ≡ V .

Zatem nawet w T = 0K, w wyniku oddziaływań, część cząstek pozostaje poza kondensatem.

2.5. Widmo wzbudzeń układu bozonów słaboodziałujących

Bieguny jednocząstkowej opóźnionej funkcji Greena⟨⟨ak; a

†k⟩⟩ω

określają widmo wzbu-

dzeń układu bozonów opisanych tą funkcją.

Dla układu bozonów swobodnych bieguny te wynoszą

ω = εk − µ, (2.50)

gdzie

εk =~2k2

2m.

Wobec tego energie wzbudzeń dostępnych w takim układzie wynoszą odpowiednio

E(k) =~2k2

2m− µ. (2.51)

Zależność energii od pędu w przypadku bozonów swobodnych jest więc zależnością kwa-

dratową

E(k) ∝ k2.

W układzie cząstek swobodnych może co prawda istnieć kondensat, jednak nie jest możliwe

występowanie takich zjawisk jak nadprzewodnictwo, czy nadciekłość. Są one bowiem bez-

pośrednio związane z istnieniem oddziaływań między cząstkami układu. Rozważmy wobec

tego widmo wzbudzeń dla układu bozonów oddziałujących.

Jedną z pierwszych teorii dotyczących zjawiska nadciekłości była teoria L. Landau’a (opra-

2.5. Widmo wzbudzeń układu bozonów słaboodziałujących 25

cowana w 1941 roku dla nadciekłości helu). Teoria ta opierała się na założeniu, że w

temperaturze zera bezwzględnego ciekły hel znajduje się w stanie podstawowym, a więc w

stanie o najniższej energii. Energia ta jest na tyle duża, że nawet w tak niskiej temperaturze

hel pozostaje cieczą, i krystalizuje dopiero pod zwiększonym ciśnieniem. Odpowiada ona

drganiom cząstek cieczy, tzw. drganiom zerowym. Zgodnie z tą teorią, kiedy temperatura

układu jest wyższa od zera, ciecz znajduje się w stanie wzbudzonym. Dla temperatur niewiele

większych od zera bezwzględnego energia wzbudzenia nie jest duża. Oprócz drgań zerowych

pojawiają się wówczas proste rodzaje ruchów cząstek polegające na lokalnych zagęszczeniach

i rozrzedzeniach cieczy, a więc fala dźwiękowa. Zależność energii od pędu dla takiej fali

jest zależnością liniową. Wraz ze wzrostem temperatury układu, a tym samym ze wzrostem

energii, pojawia się jeszcze jeden rodzaj ruchu cząstek - zawirowania cieczy. Zależność energii

od pędu dla tego typu wzbudzeń, nazwanych przez Landau’a rotonami, jest zależnością kwa-

dratową.

Widmo wzbudzeń przewidywane przez L. Landau’a dla nadciekłego helu przedstawia rysu-

nek 2.2.

Rys. 2.2. Widmo wzbudzeń przewidziane przez L. Landau’a dla nadciekłego helu. Pogrubionaczęść widma odpowiada stanom najczęściej otrzymywanym w doświadczeniach. Stanyniepogrubionej części widma także są dozwolone, jednak są one rzadziej zajmowane przezcząstki, ponieważ są mniej korzystne energetycznie.

Atomy ciekłego helu oddziałują znacznie silniej niż zakładałoby to przybliżenie Bogoliubova.

Pokażemy jednak, że jego widmo wzbudzeń nie różni się znacznie od widma wzbudzeń

układu bozonów słabooddziałujących.

Bieguny jednocząstkowej opóźnionej funkcji Greena⟨⟨ak; a

†k⟩⟩ω

dla układu bozonów od-

działujących w przybliżeniu Bogoliubova wynoszą

ω =√ε2k + 2n0V (k)εk, (2.52)

gdzie

εk =~2k2

2m.

Dla dużych pędów ε2k >> 2n0V (k)εk i wówczas dostępne w układzie energie wzbudzeń

wynoszą

E(k) ≈√ε2k, (2.53)


a tym samym energia i pęd, tak jak w przypadku bozonów swobodnych, związane są zależ-

nością kwadratową

E(k) ∝ k2.

Jednak dla małych pędów ε2k << 2n0V (k)εk i wówczas

E(k) ≈√2n0V (k)εk, (2.54)

a tym samym energia i pęd związane są zależnością liniową

E(k) ∝ k.

Wyznaczymy teraz krzywą zależności E(k).

Przyjmijmy potencjał oddziaływania w reprezentacji położeniowej w postaci

V (r) =A

re−λr,

gdzie A i λ są wielkościami stałymi.

Korzystając z transformaty Fouriera otrzymamy postać potencjału zależną od pędu

V (k) =∫V (r) e−ikr dr =

4πAλ2 + k2

. (2.55)

Podstawiając to równanie do wyrażenia na energie wzbudzeń

E(k) =√ε2k + 2n0V (k)εk

dostajemy

E2(k) = ε2k + 2N0Ω4πAλ2 + k2

εk. (2.56)

Zdefiniujmy a ≡ 1m i równanie (2.56) przepiszmy w postaci

E2(k) =

(~2k2

2m

)2+ 2N0Ω

4πAa2

(aλ)2 + (ak)2~2k2

2m. (2.57)

Ponieważ wymiarem wektora falowego k, oraz wymiarem stałej λ jest 1/m, wobec tego

(aλ)2 + (ak)2

stało się wyrażeniem bezwymiarowym,

natomiast wyrażenie4πAa2

Ω

ma wymiar energii.

2.5. Widmo wzbudzeń układu bozonów słaboodziałujących 27

Oznaczmy zatem4πAa2

Ω=NV

N=V

N, (2.58)

gdzie N jest liczbą cząstek, a V stałą o wymiarze potencjału.

Po tych przekształceniach otrzymamy

E2(k) =

(~2k2

2m

)2+ 2N0N

V

(aλ)2 + (ak)2~2k2

2m. (2.59)

Podzielmy obustronnie to równanie przez V 2

(E(k)V

)2=

(~2k2

2mV

)2+ 2N0N

1(aλ)2 + (ak)2

~2k2

2mV(2.60)

i przepiszmy je w postaci

(E(k)V

)2=

(~2

2mV a2

)2(a2k2)2 + 2

N0N

1(aλ)2 + (ak)2

~2

2mV a2(ak)2. (2.61)

Jest to równanie bezwymiarowe.

Dla uproszczenia obliczeń przyjmijmy

~2

2mV a2≡ 1,

otrzymamy wówczas

(E(k)V

)2= (ak)4 + 2

N0N

1(aλ)2 + (ak)2

(ak)2. (2.62)

Rozważany przez nas problem widma wzbudzeń opisany jest na poziomie przybliżenia Bogo-

liubova. Wobec tego powinniśmy tutaj przyjąć wyrażenie na liczbę cząstek w kondensacie

odpowiednie dla tego przybliżenia. Równanie takie byłoby jednak dość skomplikowane. Zro-

bimy zatem założenie, nie do końca usprawiedliwione, że liczba cząstek w kondensacie w

przybliżeniu Bogoliubova jest niemalże taka sama jak dla cząstek swobodnych i przyjmiemy

N0N= 1−

(T

Tc

)3/2.

Należy jednak pamiętać, że chociaż przybliżenie Bogoliubova zakłada słabe oddziaływania

między cząstkami układu, oddziaływania te wystarczają do zmniejszenia liczby cząstek w

kondensacie w danej temperaturze w stosunku do tej liczby dla cząstek swobodnych.

Równanie (2.62) przyjmie więc ostatecznie postać

E(ak)V= (ak)2

√√√√(ak)2 + 2 [1− ( TTc

)3/2] 1(aλ)2 + (ak)2

. (2.63)

Tę ostatnią zależność dla określonych stałych λ i T/Tc przedstawiają wykresy 2.1. i 2.2.


Wyk. 2.1. Widmo wzbudzeń dla układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova,dla λ = 1 oraz: T/Tc = 0, 9 (a), T/Tc = 0, 6 (b) i T/Tc = 0, 1 (c).

Wyk. 2.2. Widmo wzbudzeń dla układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova,dla λ = 0, 1 oraz: T/Tc = 0, 9 (a), T/Tc = 0, 6 (b) i T/Tc = 0, 1 (c).

Warto zwrócić uwagę, że ostatni wykres ma kształt bardzo zbliżony do zależności przewi-

dywanej przez Landau’a. Nie występuje tu jednak minimum odpowiadające wzbudzeniom

rotonowym. Wzbudzenia te najprawdopodobniej nie występują w układach bozonów od-

działujących w przybliżeniu Bogoliubova.

2.6. Przybliżenie Popova

Rozważania przedstawione w poprzednich rozdziałach niniejszej pracy oparte były o

hamiltonian układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova. Pokażemy teraz

jak można wyjść poza to przybliżenie. W tym celu wprowadzimy notację Nambu, tzn. zdefi-

niujemy następujące operatory

Ak =

aka†−k

, (2.64)

A†k =(a†k a−k

). (2.65)

Opóźniona funkcja Greena zapisana dla tych operatorów będzie miała postać macierzową

⟨⟨Ak;A

†k⟩⟩ω=

⟨⟨ak; a

†k⟩⟩ω

⟨⟨ak; a−k

⟩⟩ω

⟨⟨a†−k; a

†k⟩⟩ω

⟨⟨a†−k; a−k

⟩⟩ω

. (2.66)

2.6. Przybliżenie Popova 29

Można to łatwo sprawdzić zapisując dla operatorów Ak i A†k funkcję Greena urojonego

czasu i przechodząc poprzez transformatę Fouriera i zamianę iωn → ω do opóźnionej funkcji

Greena.

Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy oznaczenie

⟨⟨Ak;A

†k⟩⟩ω≡ G(k, ω)

oraz

G(k, ω) ≡(G11(k, ω) G12(k, ω)

G21(k, ω) G22(k, ω)

).

Oznaczmy także

G0(k, ω) ≡

G011(k, ω) G012(k, ω)

G021(k, ω) G022(k, ω)

,gdzie G0(k, ω) jest opóźnioną funkcją Greena zdefiniowaną dla operatorów Ak i A†k dla

układu bozonów swobodnych.


G011(k, ω) =1

ω − (εk − µ),

G022(k, ω) =−1

ω + (εk − µ),

G012(k, ω) = G021(k, ω) = 0.

Jeśli założymy, że oddziaływania są tylko niewielką poprawką do energii kinetycznej cząstek,

możemy posłużyć się rachunkiem zaburzeniowym i przyjąć, że opóźniona funkcja Greena

dla układu bozonów oddziałujących jest jedynie niewielką poprawką do opóźnionej funkcji

Greena dla układu bozonów swobodnych

G(k, ω) = G0(k, ω) +G0(k, ω)Σ(k, ω)G(k, ω). (2.67)

Równanie to nazywane jest równaniem Dysona-Beliaeva.

Podstawiając do wzoru (2.67) jawną postać macierzy i wymnażając je otrzymujemy cztery

równania

G11(k, ω) = G011 +G011Σ11G11 +G

011Σ12G21, (2.68)

G12(k, ω) = G011Σ11G12 +G011Σ12G22, (2.69)

G21(k, ω) = G022Σ21G11 +G022Σ22G21, (2.70)

G22(k, ω) = G022 +G022Σ21G12 +G

022Σ22G22, (2.71)

które można zobrazować diagramami Feynmana przedstawionymi na rysunku 2.3.


Rys. 2.3. Diagramy Feynmana odpowiadające równaniom (2.68) - (2.71).

Można pokazać, żeG22(k, ω) = G11(−k,−ω),G21(k, ω) = G12(−k,−ω),Σ22(k, ω) = Σ11(−k,−ω),Σ21(k, ω) = Σ12(−k,−ω).

(2.72)

Równania (2.68) - (2.71) pozwalają na wyznaczenie opóźnionych funkcji Greena dla układu

bozonów oddziałujących w przybliżeniu odpowiadającym dokładności oszacowania wielkości

Σ. Oszacowania tego można dokonać poprzez przypisanie wyrażeń analitycznych diagramom

Feynmana obrazującym uwzględniane w danym przybliżeniu oddziaływania. Na poziomie

przybliżenia Bogoliubova wielkości te wynoszą

Σ11 = µ+ n0V (k),

Σ12 = n0V (k),

Σ21 = n0V (k),

Σ22 = µ+ n0V (k).

Przyjmując µ = n0V (0) otrzymujemy

Σ11 = Σ22 = n0 (V (k) + V (0)) , (2.73)

Σ12 = Σ21 = n0V (k). (2.74)

Przybliżenie Bogoliubova opisuje dobrze fizykę układu bozonowego w bardzo niskich tempe-

raturach. Kiedy jednak liczba cząstek znajdujących się poza kondensatem N wzrasta wraz ze

wzrostem temperatury, przybliżenie Bogoliubova staje się nieodpowiednie ponieważ przyj-

muje ono N << N i konsekwentnie zaniedbuje efekt oddziaływań pomiędzy cząstkami

poza kondensatem. Gdy N przestaje być małe w porównaniu z N , oddziaływania pomiędzy

atomami wzbudzonymi muszą być brane pod uwagę. Przybliżenie Popova uwzględnia te

2.6. Przybliżenie Popova 31

oddziaływania poprzez rozważenie cząstek wzbudzonych w przybliżeniu Hartree-Focka. W

przybliżeniu tym wielkości Σ11 i Σ21 dane są diagramami przedstawionymi na rysunku 2.4.

Rys. 2.4. Diagramy Feynmana odpowiadające wielkościom Σ11 i Σ21 w przybliżeniu Popova.Diagramy (c) i (d) odpowiadają oddziaływaniom Hartree(c)-Focka(d).

Stosując reguły Feynmana przyporządkowania diagramom wyrażeń analitycznych

otrzymujemy

Σ11(k, ω) = n0(V (0) + V (k))−1βΩ

∑q iωn

G0(iωn,q)(V (0) + V (k− q)), (2.75)

Σ21(k, ω) = n0V (k), (2.76)

gdzie 1/(β Ω) jest czynnikiem normalizacyjnym.


Wykonując sumowanie po częstościach iωn i przechodząc do całki po q otrzymujemy osta-

tecznie

Σ11(k, ω) = n0(V (0) + V (k)) +∫dq(2π)3

V (0) + V (k− q)eβ(εq−µ) − 1

, (2.77)

Σ21(k, ω) = n0V (k), (2.78)

Σ12(k, ω) = Σ21(−k,−ω), (2.79)

Σ22(k, ω) = Σ11(−k,−ω). (2.80)

Korzystając ze wzorów (2.68) - (2.71) możemy wyznaczyć opóźnione funkcje GreenaG11(k, ω),

G12(k, ω), G21(k, ω) i G22(k, ω) w przybliżeniu Popova, co pozwala na opisanie układu

bozonowego zgodnie ze schematem przedstawionym dla przybliżenia Bogoliubova w po-

przednich rozdziałach. Zgodnie z przewidywaniami uwzględnienie oddziaływań pomijanych

uprzednio prowadzi do dalszego obniżenia liczby cząstek w kondesacie w T = 0K a także

zmienia w niewielkim stopniu samą zależność N0(T ).

2.7. Metoda transformacji kanonicznej 1

Podejmowano wiele prób opracowania metod pozwalających opisać układ oddziałują-

cych bozonów w przybliżeniu wychodzącym poza omawiane wcześniej przybliżenia Bogo-

liubova i Popova. Jedną z bardziej znanych, polegającą na rozwiązaniu równania Bethe-Sal-

petera dla dwucząstkowej funkcji Greena, z wykorzystaniem formalizmu macierzy T, jest tzw.

przybliżenie Beliaeva [2], inne podejścia to np. formalizm dielektryczny [8,9] czy symulacje

komputerowe. Tymi metodami nie będziemy się tu jednak zajmować. Przedstawimy natomiast

metodę transformacji kanonicznej, która pozwala na włączenie do hamiltonianu tych oddzia-

ływań dwuciałowych, w których tylko jedna z kreowanych i anihilowanych cząstek znajduje

się w kondensacie.

W rozdziale 1. pokazaliśmy, że hamiltonian dla układu bozonów oddziałujących można za-

pisać w postaci

H =∑k

a†k ak (εk − µ) +8∑j=1

Vj , (2.81)

gdzie V1 - V8 dane są wzorami (1.9) - (1.16).

Uwzględniając wyrazy V1 - V7 oraz przyjmując V (q) = const. ≡ V otrzymujemy

H = − µN0 +12n20V Ω +

12

∑k

′(ξk + 2n0V )

[a†kak + a

†−ka−k

]+12

∑k

′n0V

[a−kak + a

†ka†−k

]+ V

n0√N0

∑−k6=q

′ [a†k+qaqak + a

†k+qa

†−kaq

], (2.82)

1 Zagadnienia zawarte w tym rozdziale przedstawione zostały w oparciu o artykuł [10] z poprawkamidodanymi przez autora niniejszej pracy.


gdzie ξk = εk − µ.Korzystając z własności komutacyjnych operatorów kreacji i anihilacji bozonu, oraz przyj-

mując

N − 1 ≈ N = N0 +12

∑k

′ [a†kak + a

†−ka−k

]i oznaczając

γk ≡∑q

′a†k+qak (2.83)

hamiltonian dany wzorem (2.82) możemy przepisać w postaci

H = − 12n20V Ω − µN0

+12

∑k

′(ξk + n0V )

[a†kak + a

†−ka−k

]+12

∑k

′n0V

[a−kak + a

†ka†−k

]+ V

n0√N0

∑k

′γk(ak + a

†−k

). (2.84)

Przedstawmy operatory ak i a†k następująco

ak =1√1−A2k

(bk +Akb

†−k

), (2.85)

a†k =1√1−A2k

(b†k +Akb−k

), (2.86)

gdzie Ak = A−k, a operatory bk i b†k spełniają własności komutacyjne operatorów bozono-

wych. Otrzymamy wówczas

H = − 12n20V Ω − µN0 +

12

∑k

′ 11−A2k

(2(ξk + n0V )A2k + 2n0V Ak

)+12

∑k

′ 11−A2k

(2(ξk + n0V )Ak + n0V (1 +A2k)

) [b−kbk + b

†kb†−k

]+12

∑k

′ 11−A2k

((ξk + n0V )(1 +A2k) + 2n0V Ak

) [b†kbk + b

†−kb−k

]+ V

n0√N0

∑k

′ 1 +Ak√1−A2k

γk(bk + b

†−k

). (2.87)

Aby zerował się człon niediagonalny równania (2.87) należy przyjąć

Ak =Ek − (ξk + n0V )

n0V, (2.88)

gdzie Ek =√(ξk + n0V )

2 − (n0V )2.


Wstawiając tak wybrane Ak do równania (2.87) oraz oznaczając

Vn0√N0

1 +Ak√1−A2k

γk ≡ Gk (2.89)

otrzymujemy

H = − 12n20V Ω − µN0 +

12

∑k

′(Ek − ξk − n0V )

+∑k

′Ekb

†kbk

+∑k

′Gk

(bk + b

†−k

). (2.90)

Można sprawdzić, że G†k = G−k.

Przedstawmy teraz operatory bk i b†k następująco

bk = ck + αk, (2.91)

b†k = c†k + α

†k, (2.92)

gdzie ck i c†k spełniają własności komutacyjne operatorów bozonowych, a α†k = α−k.

Hamiltonian (2.90) przyjmie teraz postać

H = − 12n20V Ω − µN0 +

12

∑k

′(Ek − ξk − n0V )

+∑k

′ [Ekc

†kck + Ekα

†kαk + 2Gkαk

]+

∑k

′ [(Ekα−k +Gk

)ck +

(Ekαk +G−k

)c†k

]. (2.93)

Aby w równaniu tym zerowały się człony liniowe należy przyjąć

αk = −G−kEk. (2.94)

Otrzymujemy wówczas hamiltonian diagonalny

H = −12n20V Ω − µN0 +

12

∑k

′(Ek − ξk − n0V ) +

∑k

′Ekc

†kck +

∑k

′G−kGkEk

. (2.95)

Rozważając własności układu bozonów oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova poka-

zaliśmy, że oddziaływania prowadzą do zmniejszenia liczby cząstek znajdujących się w kon-

densacie w danej temperaturze tak, że nawet w T = 0K pewna ich liczba znajduje się w

stanie wzbudzonym. Dla temperatury zera bezwzględnego otrzymaliśmy

N =83N0

(n0a3

π

)1/2,


gdzie

a =mV

4π~2.

Wyznaczmy zatem liczbę cząstek wzbudzonych w temperaturze T = 0K w obecnym przy-

bliżeniu. Liczba cząstek nk, w stanie o określonym pędzie k 6= 0, dla stanu podstawowego

układu, dana jest wzorem

nk =⟨0|a†kak|0

⟩, (2.96)

gdzie |0⟩

oznacza stan podstawowy układu.

Wobec tego całkowita liczba cząstek wzbudzonych w T = 0K wynosi

N =∑k

′nk. (2.97)

Wyrażając operatory ak i a†k za pomocą operatorów ck, c†k, αk i α†k

ak =1√1−A2k

(ck + αk +Akc

†−k +Akα

†−k

), (2.98)

a†k =1√1−A2k

(c†k + α

†k +Akc−k +Akα−k

), (2.99)

oraz przyjmując µ = 0 otrzymujemy

nk =n0V + εk − Ek

2Ek+n20V

2ε2kN0E4k

γkγ−k. (2.100)

Należy teraz wyznaczyć γkγ−k

γkγ−k =∑q

′a†k+qaq

∑q′

′a†−k+q′aq′

=∑q

′n2q +

∑q6=q′

′a†k+qaqa

†−k+q′aq′

≈∑q

′n2q. (2.101)

W układzie cząstek swobodnych w temperaturze T = 0K żadna cząstka nie znajduje się

poza kondensatem, wobec tego nq = 0 i tym samym γkγ−k = 0. Wstawiając tę wartość do

równania (2.100) otrzymujemy


2Ek. (2.102)

Wynik ten, możemy użyć do ponownego wyliczenia γkγ−k. Otrzymamy wówczas

γkγ−k =∑q

′[n0V + εq − Eq

2Eq

]2= N0

(π − 83

)p, (2.103)

gdzie p =√n0a3/π.


Wstawiając tę wartość do równania (2.100) otrzymamy


2Ek+n20V

2ε2kE4k

(π − 83

)p. (2.104)

Wyliczając ponownie γkγ−k przy użyciu ostatniego wzoru dostajemy

γkγ−k = pN0

(π − 83

)+ 2p2N0

(π − 83

)(103− π

)+π

16p3N0

(π − 83

)2. (2.105)

Wobec tego nk w kolejnym kroku wyniesie


2Ek

+n20V

2ε2kE4k

(π − 83

)p

+ 2n20V

2ε2kE4k

(π − 83

)(103− π

)p2

+π

16n20V

2ε2kE4k

(π − 83

)2p3. (2.106)

Powtarzając tę procedurę można otrzymać kolejne poprawki do wartości nk.

Korzystając z ostatniego wyrażenia możemy podać liczbę cząstek znajdujących się poza

kondensatem w temperaturze T = 0K

N =∑k

′nk

=83N0

(n0a3

π

)1/2

+ 2π N0

(π − 83

)(n0a3

π

)

+ 4π N0

(π − 83

)(103− π

)(n0a3

π

)3/2

+π2

8N0

(π − 83

)(n0a3

π

)2. (2.107)

Otrzymaliśmy N odpowiadające przybliżeniu Bogoliubova, lecz powiększone o kilka popra-

wek. Warto zauważyć, że poprawki te są kolejnymi potęgami współczynnika a będącego

przecież miarą oddziaływań V .

3. Układy bozonów spułapkowanych

W poprzednim rozdziale rozważyliśmy zjawiska kondensacji i nadciekłości dla jedno-

rodnego układu bozonów słabooddziałujących. Tymczasem jeszcze do niedawna jedynym

znanym układem nadciekłym był hel ochłodzony do temperatury ok. 2K, którego atomy

silnie ze sobą oddziałują. Oddziaływania te dramatycznie redukują zajmowanie najniższego

stanu energetycznego tak, że nawet w temperaturze zera bezwzględnego w kondensacie

znajduje się tylko ok. 10% wszystkich cząstek. Fakt ten stał się powodem do rozpoczęcia

poszukiwań słabooddziałujących gazów Bose’go z dużym ułamkiem kondensatu. Problem

z większością substancji jest taki, że w niskich temperaturach nie przypominają one gazów

tylko ciała stałe, lub, w przypadku izotopów helu, ciecze. W takich układach oddziaływania

międzycząsteczkowe są znaczne. Wszystko to doprowadziło do odkrycia i udoskonalenia

metod pułapkowania atomów. Pierwsze tego typu kondensaty Bose’go-Einsteina wytworzone

zostały w 1995 roku dla atomów rubidu (87Rb), sodu (23Na) i litu (7Li) [11].

Ponieważ temperatura krytyczna układu bozonowego jest odwrotnie proporcjonalna do masy

cząstek

Tc ∝1m,

zatem cięższym atomom odpowiadają niższe temperatury przejścia w stan kondensatu. Osiąg-

nięcie tak niskich temperatur wymagało opracowania nieznanych dotąd metod chłodzenia.

W pierwszym doświadczeniu, w którym udało się uzyskać kondensat Bose’go-Einsteina,

punktem startowym była temperatura pokojowa gazu atomów rubidu, które zostały spu-

łapkowane i ochłodzone do ok. 10µK przy użyciu pułapki magnetooptycznej [12]. Następnie

lasery pułapki zostały wyłączone a atomy spułapkowane dzięki pułapce magnetycznej [12].

Godny uwagi jest fakt, że żadna kriogeniczna aparatura nie była używana do osiągnięcia

tak rekordowo niskich temperatur. Wszystko zostało utrzymane w temperaturze pokojowej

poza chmurą atomów, która została ochłodzona do temperatur rzędu 100nK.

Jak dotąd kondensacja Bose’go-Einsteina została wytworzona m. in. w rozrzedzonych gazach

rubidu, sodu, litu, wodoru i atomów helu w stanie metastabilnym.

Układy bozonów spułapkowanych znacznie różnią się od zwyczajnych gazów, cieczy i ciał

stałych. Gęstość cząstek w środku takiej ”chmury” gazu jest rzędu 1013 - 1015 cm−3 (dla

porównania gęstość powietrza w warunkach normalnych wynosi 1019 cm−3). Ponadto są to

układy niejednorodne, a ich ograniczone rozmiary nie pozwalają na zastosowanie przybliżenia

granicy termodynamicznej. W rozdziale tym rozważymy metody opisu tego typu układów,

oraz omówimy zjawiska towarzyszące ich nadciekłości.

38 3. Układy bozonów spułapkowanych

3.1. Układ bozonów nieoddziałujących w pułapce magnetycznej

Istotną własnością pułapek magnetycznych jest fakt, że ich potencjał może być dobrze

przybliżony potencjałem harmonicznym

Vtrap =m

2

(ω2xx

2 + ω2yy2 + ω2zz

2). (3.1)

Jednocząstkowe energie własne trójwymiarowego oscylatora harmonicznego dane są przez

εnxnynz =(nx +

12

)~ ωx +

(ny +

12

)~ ωy +

(nz +

12

)~ ωz, (3.2)

gdzie nx, ny, nz = 0, 1, 2....

Rozważmy najpierw doskonały gaz Bose’go w pułapce harmonicznej w granicy termody-

namicznej. Ze względu na skończone rozmiary pułapki nie możemy tutaj przyjąć zwykle

stosowanej definicji granicy termodynamicznej (N,V → ∞; n dobrze określone), ale zmo-

dyfikujemy ją następująco: N → ∞, ω0 → 0 natomiast Nω30 dobrze określone i stałe,

gdzie

ω0 = (ωxωyωz)1/3 . (3.3)

Wyznaczymy teraz liczbę cząstek w kondensacie i temperaturę krytyczną takiego układu.

W wielkim zespole kanonicznym liczbę cząstek układu określa wzór

N =∑n

1e β(εn−µ) − 1

.

Ponieważ w naszym przypadku jednocząstkowe energie własne znakowane są trzema licz-

bami nx, ny, nz , zatem

N =∑nxnynz

1

e β(εnxnynz−µ) − 1, (3.4)

przy czym w granicy termodynamicznej liczby całkowite nx, ny, nz przebiegają wartości od

0 do ∞.

Rozważmy sytuację, w której układ znajduje się dokładnie w temperaturze krytycznej T = Tc,

przy założeniu, że w tej temperaturze nie istnieje jeszcze kondensat, a potencjał chemiczny

µ przyjmuje już wartość najniższej dostępnej w układzie energii

µ = ε000 =32

~ ω, (3.5)

gdzie

ω =13(ωx + ωy + ωz) .

Zatem dla T = Tc

N =∞∑

nxnynz=1

1

e βεnxnynz − 1, (3.6)

3.1. Układ bozonów nieoddziałujących w pułapce magnetycznej 39

gdzie β = 1/(kBTc).

Przechodząc od sumy do całki, wykonując zamianę zmiennych oraz korzystając z definicji

funkcji dzeta Riemanna

ζ(α) =∞∑n=1

1nα

otrzymujemy ostatecznie

N =(kB Tc)3

(~ ω0)3ζ(3). (3.7)

Stąd w granicy termodynamicznej temperatura krytyczna układu swobodnych bozonów w

pułapce wynosi [13]

kB Tc = 0, 94 ~ ω0 N1/3.

Jeśli układ znajduje się w temperaturze T < Tc wówczas ze wzoru (3.6) otrzymujemy liczbę

cząstek poza kondensatem. Wykonując tę samą procedurę dostajemy

N =(kB T )3

(~ ω0)3ζ(3), (3.8)

gdzie T < Tc.

Ponieważ

N = N + N0

zatemN0N= 1−

(T

Tc

)3. (3.9)

Ten sam wynik otrzymuje się stosując formalizm gęstości stanów

N =∫ ∞0dε g(ε)

1e β(ε−µ) − 1

. (3.10)

Można pokazać, że w przypadku naszego układu

g(ε) =(ε− µ)2

2(~ ω0)3. (3.11)

Niestety liczba atomów, które potrafimy umieścić w pułapce nie jest tak naprawdę liczbą

makroskopową. Obecnie udaje się pułapkować maksymalnie ok. 107 atomów. W konsek-

wencji stosowanie nawet zmodyfikowanej definicji granicy termodynamicznej nie jest odpo-

wiednie do opisu tego typu układów.

Pierwsza poprawka do wzoru (3.9) wynikająca z uwzględnienia skończonej liczby cząstek

może być oszacowana poprzez rozważenie sumy (3.4) w granicy bardzo dużego, lecz skoń-

czonego N [14,15,16]. Otrzymuje się wówczas wyrażenie [13]

N0N= 1−

(T

Tc

)3− 3 ω ζ(2)

2 ω0 [ζ(3)]2/3

(T

Tc

)2N−1/3. (3.12)


Ma ono wartość nieco mniejszą niż w granicy termodynamicznej, zależną od częstości poten-

cjału pułapkującego ωx, ωy i ωz , oraz od liczby cząstek N . Numeryczne obliczenia wykonane

przez Ketterle’go i van Drutena [14] wykazały, że efekt skończonej liczby cząstek ma znaczenie

tylko dla względnie małych wartości N , mniejszych niż ok. 104. Pokazali oni ponadto, że

liczba cząstek zajmujących pierwszy stan wzbudzony, która w przypadku bozonów swobod-

nych o liczbie N →∞ zanika, jest dla skończonej liczby cząstek bardzo mała już dla N rzędu

102.

Rys. 3.1. Zależność N0/N od temperatury dla układu bozonów swobodnych w pułapce. Kółkaodpowiadają numerycznym wyliczeniom dla 1000 atomów w pułapce o symetrii sferycznej,linia ciągła przedstawia zależność (3.12) odpowiadającą skończonej liczbie cząstek a liniaprzerywana zależność (3.9) odpowiadającą granicy termodynamicznej.(Rysunek pochodzi z [13])

Innym interesującym zagadnieniem dotyczącym atomów w pułapkach jest problem wymia-

rowości układu. Do tej pory dyskutowaliśmy własności spułapkowanego, idealnego gazu

Bose’go w przestrzeni trójwymiarowej. Częstości potencjału pułapkującego mogą być jednak

wybrane w dużej mierze dowolnie. Możemy zatem utworzyć układy quasi-dwuwymiarowe,

a nawet quasi-jednowymiarowe. Np. aby osiągnąć dwuwymiarowy układ bozonowy w rze-

czywistej trójwymiarowej przestrzeni wystarczy tak dobrać ωx, ωy , ωz by spełniony był

warunek

ω2D ~ << kB T2D < ωz ~,

gdzie ω2D = (ωxωy)1/2 natomiast T2D jest temperaturą krytyczną układu dwuwymiarowego,

która, jak zaraz pokażemy, w przeciwieństwie do temperatury krytycznej dwuwymiarowych

bozonowych układów jednorodnych, ma wartość skończoną.

Gęstość stanów dla jednorodnego układu bozonów swobodnych może być przedstawiona

następująco

g(ε) ∝ ε (d−2)/2, (3.13)

3.2. Układ bozonów oddziałujących - równanie Grossa-Pitaevskii’ego 41

gdzie d oznacza wymiar przestrzeni. W układach takich, gdy d ¬ 2, kondensacja nie zachodzi.

Jednak w obecności potencjału harmonicznego zależność g(ε) ulega zmianie

g(ε) ∝ ε d−1 (3.14)

i wówczas całka (3.10) staje się skończona także dla d = 2. Otrzymujemy wtedy następującą

wartość temperatury krytycznej [13]

kB T2D = ~ ω2D(N

ζ(2)

)1/2. (3.15)

Przy czym podane tutaj wyniki dotyczą układu w granicy termodynamicznej, która dla

dwuwymiarowej przestrzeni definiowana jest jako: N → ∞, ω2D → 0 przy Nω22D dobrze

określonym i stałym.

W przypadku układów jednowymiarowych rozważanych w granicy termodynamicznej, gdy

g(ε) jest wielkością stałą, otrzymujemy, podobnie jak dla dwuwymiarowych układów jedno-

rodnych, temperaturę krytyczną dążącą do zera bezwzględnego. Oznacza to, że kondensacja

nie powinna pojawiać się w jednowymiarowych układach bozonów spułapkowanych. Kiedy

jednak zostanie uwzględniony efekt skończonej liczby cząstek otrzymuje się T1D 6= 0. Tem-

peratura ta została oszacowana przez Ketterle’go i van Drutena [14]

kB T1D = ~ ω1DN

ln(2N). (3.16)

Zatem, w przeciwieństwie do układów jednorodnych, w układach bozonów spułapkowanych

kondensacja Bose’go-Einsteina zachodzi bez względu na wymiar przestrzeni.

3.2. Układ bozonów oddziałujących - równanie Grossa-Pitaevskii’ego

Hamiltonian dla układu N oddziałujących bozonów w potencjale pułapkującym Vtrapw formalizmie drugiej kwantyzacji dany jest wzorem

H =∫dr Ψ† (r)

[− ~2

2m∇2 + Vtrap

]Ψ(r)

+12

∫dr∫dr′ Ψ† (r) Ψ†

(r′)V(r− r′

)Ψ(r′)Ψ(r), (3.17)

gdzie Ψ†(r) i Ψ(r) są operatorami odpowiednio kreacji i anihilacji pola bozonowego (zależny-

mi oczywiście także od czasu), a V (r−r′) jest dwuciałowym potencjałem międzyatomowym.

W rozdziałach poprzednich pokazaliśmy, że w przypadku układu jednorodnego, dla którego

Vtrap = 0, operatory Ψ†(r) i Ψ(r) można rozwinąć w bazie fal płaskich i wyrazić przy

pomocy operatorów a†k i ak, odpowiednio kreacji i anihilacji cząstki bozonowej o pędzie k. W

przypadku cząstek pułapkowanych wygodniej jest jednak pozostać przy opisie w formalizmie

operatorów pola.


W tak rozrzedzonych układach, jakimi są pułapkowane gazy atomowe, można przyjąć, że

oddziaływania dwuciałowe V (r− r′) są oddziaływaniami zerowego zasięgu (tzw. kanał ”s”

teorii rozproszeń)

V (r− r′) = V0 δ(r− r′). (3.18)

Przy takim założeniu hamiltonian dany wzorem (3.17) możemy przepisać w postaci

H =∫dr Ψ† (r)

[− ~2

2m∇2 + Vtrap

]Ψ(r)

+12

∫dr Ψ† (r) Ψ† (r) V0 Ψ(r) Ψ (r), (3.19)

co można dalej zapisać jako

H =∫dr Ψ† (r)

[− ~2

2m∇2 + Vtrap +

12V0 Ψ† (r)Ψ (r)

]Ψ(r) . (3.20)

Zapisując równanie Heisenberga dla operatora anihilacji pola bozonowego Ψ(r)

i~∂

∂tΨ(r, t) = [Ψ (r, t) ,H] (3.21)

oraz korzystając z reguł komutacyjnych dla operatorów pola

[Ψ(r) ,Ψ

(r′)]=[Ψ† (r) ,Ψ†

(r′)]= 0, (3.22)

[Ψ(r) ,Ψ†

(r′)]= δ(r− r′), (3.23)

otrzymujemy równanie

i~∂

∂tΨ(r, t) =

[− ~2

2m∇2 + Vtrap + V0 Ψ† (r)Ψ (r)

]Ψ(r) . (3.24)

Jeżeli układ spułapkowanych bozonów znajduje się poniżej temperatury krytycznej, tzn.

istnieje już w nim kondensat, wówczas operatory pola Ψ†(r) i Ψ(r) możemy przedstawić

w postaci sumy

Ψ(r, t) = Φ(r, t) + Ψ(r, t), (3.25)

Ψ†(r, t) = Φ∗(r, t) + Ψ†(r, t), (3.26)

gdzie Φ(r, t) nie jest operatorem lecz funkcją zespoloną, która opisuje kondensat, natomiast

operator Ψ(r, t) jest operatorem pola bozonowego dla cząstek znajdujących się poza konden-

satem. Podobne przybliżenie operatora liczbą wykonaliśmy w rozdziale 1. dla operatorów

kreacji i anihilacji cząstki o pędzie zerowym. Przedstawiony wówczas schemat jest analogicz-

ny do prezentowanego tutaj, z tą różnicą, że tutaj przeprowadzamy go dla operatorów pola.

3.2. Układ bozonów oddziałujących - równanie Grossa-Pitaevskii’ego 43

Korzystając ze wzorów (3.25) i (3.26) równanie (3.24) możemy przepisać w postaci

i~∂

∂t

(Φ+ Ψ

)=

[− ~2

2m∇2 + Vtrap + V0

(Φ∗Φ + Φ∗Ψ + Ψ†Φ + Ψ†Ψ

)] (Φ+ Ψ

).

(3.27)

W ramach teorii średniego pola zakładamy tutaj, że fluktuacje spowodowane cząstkami poza

kondensatem są bardzo małe. Na najniższym poziomie przybliżenia równanie (3.27) redukuje

się wówczas do tzw. równania Grossa-Pitaevskii’ego

i~∂

∂tΦ(r, t) =

[− ~2

2m∇2 + Vtrap + V0 |Φ(r, t)|2

]Φ(r, t). (3.28)

Równanie to pozwala określić funkcję zespoloną Φ(r, t) charakteryzującą przestrzenną i

czasową zależność rozkładu bozonów w kondensacie. Należy pamiętać, że obecność po-

tencjału pułapkującego czyni ten rozkład niejednorodnym.

Załóżmy, że funkcja Φ(r, t) ma w stanie podstawowym układu prostą zależność od czasu

Φ(r, t) = e−itµ/~ Φ(r), (3.29)

gdzie µ jest potencjałem chemicznym (przyjmującym poniżej temperatury krytycznej wartość

najniższej dostępnej w układzie energii). Wówczas

∂

∂tΦ(r, t) = − iµ

~e−itµ/~ Φ(r) (3.30)

i równanie (3.28) przyjmuje postać

µ Φ(r) =

[− ~2

2m∇2 + Vtrap + V0 |Φ(r)|2

]Φ(r). (3.31)

Można łatwo sprawdzić, że w przypadku bozonów swobodnych w pułapce harmonicznej

Vtrap =m

2

(ω2xx

2 + ω2yy2 + ω2zz

2)

(3.32)

funkcja Φ(r, t) dla stanu podstawowego układu wynosi [13]

Φ(r, t) =(mω0π~

)3/4exp

[−m2~(ωxx2 + ωyy2 + ωzz2)

], (3.33)

gdzie ω0 = (ωxωyωz)1/3

Wówczas rozkład gęstości cząstek można obliczyć ze wzoru

n0(r) = N |Φ(r)|2 . (3.34)

Jednak w skończonej temperaturze tylko część cząstek zajmuje stan podstawowy, natomiast

reszta jest rozproszona termicznie po stanach wzbudzonych o wyższej energii. Rozkład prze-


strzenny tych cząstek można oszacować dzięki klasycznemu rozkładowi Boltzmanna

n(r) ∝ e−Vtrap/(kBT ). (3.35)

Oba te rozkłady przedstawia rysunek 3.2.

Rys. 3.2. Rozkład gęstości dla 5000 nieoddziałujących bozonów w pułapce o symetrii sferycznejw temperaturze T = 0, 9Tc. Centralny pik odpowiadający kondensatowi nałożony jest na szerokirozkład termiczny. Odległość i gęstość wyrażone są w jednostkach odpowiednio a0 i a−20 gdziea0 =

√~/(mω0). Gęstość jest unormowana do liczby atomów.

(Rysunek pochodzi z [13])

Pojawienie się kondensatu w formie wyraźnego piku nie tylko w rozkładzie pędowym ale

także przestrzennym cząstek, odróżnia układy spułapkowanych bozonów od omawianych w

rozdziale 2. układów jednorodnych.

3.3. Nadciekłość w układach spułapkowanych bozonów

Nadciekłość w układach jednorodnych jest stosunkowo łatwa do wykazania. Podobnie

jak miało to miejsce w przypadku odkrycia nadciekłości helu można przeprowadzić szereg

doświadczeń potwierdzających kolektywne zachowania cząstek, np. sprawdzić czy dana

substancja może przepływać przez cieniutkie kapilary, co byłoby dowodem braku lepkości.

Takie doświadczenie nie jest jednak możliwe do przeprowadzenia w przypadku cząstek

pułapkowanych, podobnie jak inne doświadczenia, które można by pomyśleć dla zwyczaj-

nych substancji.

Jak zatem sprawdzić czy otrzymana przez nas ”chmura” atomów w pułapce, której czas życia

jest krótszy od jednej sekundy, jest rzeczywiście substancją nadciekłą?

Pierwszym z możliwych sposobów (choć niejednoznacznym) jest wykazanie istnienia w

układzie kondensatu Bose’go-Einsteina. Proste rachunki przedstawione w niniejszej pracy

dowodzą (przynajmniej dla układów jednorodnych), że układ oddziałujących cząstek, w

3.3. Nadciekłość w układach spułapkowanych bozonów 45

którym powstaje kondensat, staje się układem nadciekłym. Ponieważ cząstki rzeczywistych

układów, nawet najbardziej rozrzedzonych, zawsze ze sobą oddziałują, zatem istnienie w

nich kondensatu powinno prowadzić do zjawiska nadciekłości.

Istnienie kondensatu w układach spułapkowanych może być dowiedzione poprzez zare-

jestrowanie interferencji dwóch takich układów. Posłużmy się pewną analogią. Aby można

było zaobserwować interferencję dwóch wiązek świetlnych muszą to być wiązki światła

monochromatycznego i spójnego. Podobnie jest w przypadku materii. Nie jest możliwe

zaobserwowanie interferencji dla materii, której cząstki poruszają się chaotycznie w różnych

kierunkach. Kiedy jednak mamy do czynienia z materią spójną (tak jak w przypadku kon-

densatu) obraz interferencyjny, na mocy teorii fal de Broglie’a, powinien być możliwy do

zarejestrowania. Taki obraz przedstawia rysunek 3.3.

Rys. 3.3. Obraz interferencyjny dwóch kondensatów po 40ms od ich uwolnienia. Prążkiinterferencyjne są od siebie oddalone o 15µm.(Rysunek pochodzi z [17])

Inną metodą (niebezpośrednią, ale jednoznaczną) jest zbadanie widma energetycznego inte-

resującego nas układu. W rozdziale 2. omówiliśmy zagadnienie widma wzbudzeń w układach

cząstek swobodnych i oddziałujących. Tam też pokazaliśmy, że widma substancji nadciekłych

posiadają dwa rodzaje wzbudzeń: tzw. rotony i wzbudzenia typu fali dźwiękowej. Wykazanie

istnienia któregoś z nich w układzie cząstek spułapkowanych jest zatem dowodem nad-

ciekłości tego układu. Badanie liniowej części widma odbywa się przy pomocy metody

rozpraszania Bragga, która pozwala mierzyć czynnik strukturalny, będący sumą czynników

strukturalnych koherentnej i niekoherentnej części układu [18].

Badanie obecności rotonowej części widma odbywa się poprzez rejestrowanie tzw. wirów

kwantowych. Pojawiają się one gdy układ posiada niezerowy moment pędu, czyli obraca się.

Rozkręcona zwykła ciecz obraca się jak bryła sztywna. W przypadku układów nadciekłych,

warunki kwantyzacji pozostawiają tylko ściśle określone okręgi, po których mogłaby się

poruszać cząstka cieczy (podobnie jak ma to miejsce w przypadku jądra atomowego i elektro-

nów). Jednym z możliwych rozwiązań jest powstanie osiowo-symetrycznych skwantowanych

okręgów. Okazuje się jednak, że korzystniejsze energetycznie jest powstanie w cieczy wirów

krystalizujących w sieci heksagonalnej. Tego typu sieć wirów, nazywana siecią Abrikosova,

obserwowana była zarówno w nadciekłym 4He, jak i w obracających się kondensatach

gazowych.


Rys. 3.4. Sieć wirów w obracającym się kondensacie Bose’go-Einsteina. Liczba wirów wzrastawraz ze wzrostem prędkości obrotowej układu.(Rysunek pochodzi z [17])

Nadciekłość w układach pułapkowanych związana jest z wieloma ciekawymi zjawiskami,

których fizyka jest bardzo bogata. Dzięki badaniom teoretycznym, a przede wszystkim dzięki

pomiarom doświadczalnym wykonanym w ostatnich kilku latach, nasza wiedza na ten temat

stale się poszerza.

Podsumowanie

Nadciekłość, podobnie jak inne zjawiska towarzyszące bardzo niskim temperaturom, od

momentu jej odkrycia zafascynowała fizyków. Podejmowano wiele prób opisu tego zjawiska,

jak również przeprowadzono wiele doświadczeń, w nadziei odkrycia mechanizmów prowa-

dzących do tak nietypowego stanu materii. Niestety opis układów o silnych oddziaływaniach

międzycząsteczkowych (a takim jest ciekły hel) przysparzał wiele trudności. Wkrótce stało

się również oczywiste, że zajmowanie najniższego stanu energetycznego jest w wyniku tych

oddziaływań znacznie ograniczone. Rozpoczęto więc poszukiwania układów o słabszych

oddziaływaniach, w których liczba cząstek w kondensacie w stosunku do całkowitej liczby

cząstek, byłaby większa niż w przypadku ciekłego helu. Spowodowało to intensywny rozwój

teoretycznych i doświadczalnych zagadnień dotyczących pułapkowania i chłodzenia atomów.

Ogromny wysiłek podjęty na tym polu fizyki został nagrodzony wytworzeniem w 1995 roku

pierwszego kondensatu w układzie spułapkowanych bozonów.

Niniejsza praca zawiera zasadnicze aspekty dotyczące teoretycznego opisu nadciekłości w

układach słabooddziałujących atomów typu bozonowego. W systematyczny sposób przed-

stawiona została analiza wpływu oddziaływań na poziomie standardowego przybliżenia

Bogoliubova jak również z zastosowaniem poprawki Popova a także poprawki wyższego

rzędu za pomocą sformułowania z użyciem metody transformacji kanonicznej. Wyznaczono

m.in. efektywną postać energii wzbudzeń jednocząstkowych charakteryzującą się kolektyw-

nym widmem typu fali dźwiękowej. Wyprowadzono również równania na parametr porządku

a także na liczbę cząstek w kondensacie. Dokonano szczegółowego oszacowania względnej

liczby cząstek w kondensacie dla przybliżenia Bogoliubova a także z uwzględnieniem po-

prawek wyższego rzędu. W ostatniej części pracy przedstawiono specyficzne właściwości

układów bozonowych w obecności potencjału pułapkującego. Wymienione zostały metody

doświadczalne, które potwierdzają obecność stanu nadciekłego ultrazimnych atomów w

pułapkach magnetooptycznych.

Tematyka badań przedstawionych w obecnej pracy jest w ostatnich kilkunastu latach nie-

zwykle intensywnie rozwijana. Z konieczności autor zdecydował o wyborze tylko niektórych

zagadnień, które wydają się mieć najbardziej istotne znaczenie. Warto dodać, że obok nad-

ciekłości atomów typu bozonowego udało się także wytworzyć nadciekłość par atomów

typu fermionowego. W ten sposób potwierdzono, że rzeczywiście istnieje analogia między

nadciekłością zwykłych bozonów oraz nadciekłością par fermionowych [3]. Podobne zjawiska

występować mogą również w innych skalach przestrzennych i energetycznych, na przykład

w jądrach atomowych czy we wnętrzach gwiazd neutronowych. Zrozumienie mechanizmów

odpowiedzialnych za nadciekłość jest więc bardzo ważne dla dalszego rozwoju wielu gałęzi

fizyki.

Dodatek AFunkcja Greena urojonego czasu

Zanim przejdziemy do definicji funkcji Greena urojonego czasu (nazywanej także fun-

kcją Greena Matsubary) rozważmy najpierw wartość średnią z iloczynu dwóch operatorów

zależnych od czasu⟨A(t)B(t′)

⟩.

Wartość średnia w sensie statystycznym z dowolnego operatora O dana jest wzorem

⟨O⟩=Tr(e−βHO

)Tr(e−βH

) , (A.1)

gdzie β = 1/(kBT ) a Tr(e−βH

)≡ Z nazywany jest wielką sumą statystyczną.

Dla operatorów zależnych od czasu możemy zawsze zapisać równanie Heisenberga

i~∂

∂tO(t) =

[O(t), H(t)

], (A.2)

a stąd otrzymamy

O(t) = eiHt/~ O e−iHt/~. (A.3)

Dla uproszczenia zapisu przyjmiemy ~ ≡ 1 i wówczas ostatni wzór zapisze się jako

O(t) = eiHt O e−iHt. (A.4)

Korzystając ze wzoru (A.1) możemy napisać

⟨A(t)B(t′)

⟩=1ZTr(e−βH A(t) B(t′)

), (A.5)

następnie korzystając z zależności (A.4) otrzymamy

⟨A(t)B(t′)

⟩=1ZTr(e−βH eiHt A e−iHteiHt

′B e−iHt

′). (A.6)

Możemy teraz skorzystać z jednej z dwóch metod:

(1) β potraktować jako “temperaturę urojoną”;

(2) Przyjąć it = τ i τ potraktować jako “czas urojony”.

Wybierając drugą z nich otrzymamy

⟨A(τ)B(τ ′)

⟩=1ZTr(e−βH eHτ A e−HτeHτ

′B e−Hτ

′). (A.7)

50 Dodatek A

Korzystając ze znanej zależności

Tr(ABC . . . XY

)= Tr

(Y ABC . . . X

)= Tr

(XY ABC . . . W

)(A.8)

otrzymamy ⟨A(τ) B(τ ′)

⟩=1ZTr(e−βH e−Hτ

′eHτ A e−HτeHτ

′B), (A.9)

co jest równoważne z zapisem

⟨A(τ) B(τ ′)

⟩=1ZTr(e−βH A(τ − τ ′) B

). (A.10)

Otrzymaliśmy więc ostatecznie

⟨A(τ) B(τ ′)

⟩=⟨A(τ − τ ′) B(0)

⟩. (A.11)

Wykazaliśmy tym samym, że wartość średnia z iloczynu dwóch operatorów nie zależy od

dwóch różnych czasów a jedynie od ich różnicy. Dla wygody możemy teraz przyjąć τ ′ = 0.

Zdefiniujmy teraz funkcję Greena urojonego czasu

G(τ − τ ′) = −⟨Tτ A(τ) B(τ ′)

⟩. (A.12)

Funkcja ta zależy nie od dwóch różnych parametrów czasowych τ i τ ′, ale od ich różnicy,

co jest oczywistą konsekwencją wyprowadzonej przez nas wcześniej zależności (A.11).

Operator Tτ nazywany jest operatorem uporządkowania chronologicznego

Tτ[A(τ1) B(τ2)

]=

A(τ1) B(τ2) gdy τ1 > τ2

± B(τ2) A(τ1) gdy τ2 > τ1(A.13)

przy czym znak “-” pojawia się dla operatorów fermionowych, natomiast “+” dla operatorów

bozonowych.

Aby funkcję Greena daną wzorem (A.12) przedstawić w postaci bardziej zrozumiałej posłu-

żymy się funkcją schodkową Θ

Θ(x) =

1 gdy x 00 gdy x < 0

(A.14)

Otrzymamy wówczas

G(τ − τ ′) = − Θ(τ − τ ′)⟨A(τ) B(τ ′)

⟩+ Θ(τ ′ − τ)

⟨B(τ ′) A(τ)

⟩(A.15)

dla fermionów,

a dla bozonów

G(τ − τ ′) = − Θ(τ − τ ′)⟨A(τ) B(τ ′)

⟩− Θ(τ ′ − τ)

⟨B(τ ′) A(τ)

⟩. (A.16)

Funkcja Greena urojonego czasu 51

Przyjmując τ ′ = 0 otrzymujemy ostatecznie

G(τ) = − Θ(τ)⟨A(τ) B(0)

⟩+ Θ(−τ)

⟨B(0) A(τ)

⟩, (A.17)

G(τ) = − Θ(τ)⟨A(τ) B(0)

⟩− Θ(−τ)

⟨B(0) A(τ)

⟩, (A.18)

odpowiednio dla fermionów (A.17) i bozonów (A.18).

A.1. Okresowość funkcji Greena urojonego czasu

Funkcja Greena Matsubary jest funkcją periodyczną, choć z innym okresem dla fermio-

nów i bozonów. Wykażemy to na przykładzie funkcji Greena dla operatorów bozonowych.

Przyjmijmy

−β ¬ τ ¬ 0. (A.19)

Zgodnie ze wzorem (A.18) otrzymujemy

Θ(τ) = 0,

Θ(−τ) = 1,

G(τ) = −⟨B(0) A(τ)

⟩. (A.20)

Korzystając z równania (A.7) możemy napisać

G(τ) = − 1ZTr(e−βH B eHτ A e−Hτ

). (A.21)

Posługując się wzorem (A.8) możemy przepisać wzór (A.21) w postaci

G(τ) = − 1ZTr(e−βH eβH eHτ A e−Hτ e−βH B

), (A.22)

przy czym wyrażenie pod śladem przemnożyliśmy dodatkowo przez iloczyn e−βH eβH równy

jedności. Grupując odpowiednie wyrazy otrzymamy

G(τ) = − 1ZTr(e−βH eH(τ+β) A e−H(τ+β) B

)(A.23)

= −⟨A(τ + β) B(0)

⟩. (A.24)

Wracając ponownie do założenia (A.19) możemy napisać

0 ¬ τ + β. (A.25)

Korzystając ze wzoru (A.18) otrzymamy teraz

Θ(τ + β) = 1,

Θ(−τ − β) = 0.

52 Dodatek A

Zatem

G(τ + β) = −⟨A(τ + β) B(0)

⟩. (A.26)

Porównując wzory (A.24) i (A.26) otrzymujemy więc

G(τ + β) = G(τ). (A.27)

Przeprowadzając analogiczne obliczenia dla funkcji Greena dla operatorów fermionowych

otrzymamy

G(τ + β) = − G(τ), (A.28)

G(τ + 2β) = G(τ). (A.29)

Tym samym wykazaliśmy, że funkcja Greena Matsubary jest funkcją periodyczną z okresem

τ = β dla bozonów i τ = 2β dla fermionów.

A.2. Częstości Matsubary

Transformata Fouriera dla funkcji Greena Matsubary ma postać

G(iωn) =12

∫ β−βdτ e iωnτ G(τ), (A.30)

gdzie iωn jest tzw. częstością Matsubary. Korzystając z periodyczności funkcji Greena można

jednak pokazać, że wzór (A.30) jest równoważny z

G(iωn) =∫ β0dτ e iωnτ G(τ). (A.31)

Częstości Matsubary wyznaczymy z odwrotnej transformaty Fouriera

G(τ) =1β

∑n

e−iωnτ G(iωn). (A.32)

Rozważmy najpierw funkcję Greena określoną dla operatorów fermionowych. Zgodnie ze

wzorem (A.28) mamy

G(τ) = − G(τ + β),

a tym samym, posługując się wzorem (A.32), możemy napisać

1β

∑n

e−iωnτ G(iωn) = −1β

∑n

e−iωn(τ+β) G(iωn), (A.33)

skąd otrzymujemy

e−iωnβ = − 1. (A.34)

A zatem częstości Matsubary dla fermionów dane są wzorem

ωn =π(2n+ 1)β

. (A.35)

Funkcja Greena urojonego czasu 53

Postępując analogicznie w przypadku bozonów otrzymamy

G(τ) = G(τ + β),

1β

∑n

e−iωnτ G(iωn) =1β

∑n

e−iωn(τ+β) G(iωn), (A.36)

skąd

e−iωnβ = 1. (A.37)

A zatem częstości Matsubary dla bozonów

ωn =2nπβ, (A.38)

gdzie n jest liczbą całkowitą.

Dodatek BFunkcje Greena opóźniona i przedwczesna

Opóźniona (retarded) i przedwczesna (advanced) funkcja Greena, podobnie jak funkcja

Greena Matsubary, definiowane są nieco odmiennie dla bozonów i dla fermionów.

Przedwczesna funkcja Greena dla bozonów definiowana jest jako

Gadv(t− t′) = iΘ(t′ − t)⟨[A(t), B(t′)

]⟩, (B.1)

natomiast dla fermionów dana jest wzorem

Gadv(t− t′) = iΘ(t′ − t)⟨A(t), B(t′)

⟩. (B.2)

Warto zauważyć, że gdy t′ < t wówczas Gadv = 0.

Opóźniona funkcja Greena dla bozonów dana jest natomiast przez

Gret(t− t′) = − iΘ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)

]⟩, (B.3)

a dla fermionów przez

Gret(t− t′) = − iΘ(t− t′)⟨A(t), B(t′)

⟩. (B.4)

Podobnie jak dla funkcji przedwczesnej można zauważyć, że gdy t < t′ Gret = 0. Wobec

tego, dla uproszczenia zapisu, przyjmijmy t′ = 0. Otrzymamy wówczas


]⟩(B.5)

dla bozonów,

oraz

Gret(t) = − iΘ(t)⟨A(t), B

⟩(B.6)

dla fermionów, z oczywistym warunkiem t > 0.

Aby otrzymać opóźnioną funkcję Greena zależną od częstości można posłużyć się transfor-

matą Fouriera

Gret(ω + iη) =∫ +∞−∞

dt e i(ω+iη)t Gret(t), (B.7)

gdzie η jest bardzo małą liczbą dodatnią. Będzie o tym jeszcze mowa w dodatku D.

56 Dodatek B

Opóźnioną funkcję Greena zależną od czasu umownie oznaczamy

Gret(t) =⟨⟨A(t); B

⟩⟩,

natomiast zależną od częstości

Gret(ω + iη) =⟨⟨A; B

⟩⟩ω+iη.

Dodatek CFunkcje Greena - równanie ruchu

W niniejszej pracy posługiwaliśmy się metodą równań ruchu do wyznaczania jawnej

postaci opóźnionej funkcji Greena dla układu bozonów swobodnych oraz układu bozonów

oddziałujących w przybliżeniu Bogoliubova. Pokażemy teraz szkic wyprowadzenia równania

ruchu dla funkcji Greena określonej dla układu bozonowego.

Postać opóźnionej funkcji Greena dla bozonów podaliśmy już w dodatku B wzorem (B.5)


]⟩≡⟨⟨A(t); B

⟩⟩.

Przemnażając obustronnie to równanie przez i oraz różniczkując je po czasie otrzymamy

id

dtGret(t) =

d

dtΘ(t)

⟨[A(t), B

]⟩+ Θ(t)

⟨[ ddtA(t), B

]⟩. (C.1)

Ponieważ Θ(t) jest funkcją schodkową, jej pochodna będzie równa zero wszędzie poza argu-

mentem dla którego występuje skok, tzn. dla t = 0. Zatem

d

dtΘ(t) = δ(t). (C.2)

Ewolucję czasową operatora określa równanie Heisenberga

i~∂

∂tO(t) =

[O(t), H(t)

], (C.3)

korzystając z tej zależności oraz ze wzoru (C.2) równanie (C.1) możemy przepisać w postaci

id

dtGret(t) = δ(t)

⟨[A(t), B

]⟩− iΘ(t)

⟨[[A(t), H

], B]⟩, (C.4)

co ze względu na wzór (B.5) jest równoważne z

id

dt

⟨⟨A(t); B

⟩⟩= δ(t)

⟨[A(t), B

]⟩+⟨⟨[A(t), H

]; B⟩⟩. (C.5)

Odwrotna transformata Fouriera dla opóźnionej funkcji Greena ma postać

⟨⟨A(t); B

⟩⟩=∫ +∞−∞

dω e−iωt⟨⟨A; B

⟩⟩ω, (C.6)

gdzie, dla uproszczenia zapisu, zastąpiliśmy ω + iη symbolem ω.

58 Dodatek C

Po zróżniczkowaniu lewej strony równania (C.5) otrzymamy zatem

ω⟨⟨A(t); B

⟩⟩= δ(t)

⟨[A(t), B

]⟩+⟨⟨[A(t), H

], B⟩⟩. (C.7)

Przemnażając ostatnie równanie przez e iωt, całkując je po czasie, oraz korzystając z zależności

∫ +∞−∞

dx f(x) δ(x− y) = f(y) (C.8)

i z definicji transformaty Fouriera dla opóźnionej funkcji Greena, otrzymujemy szukane równa-

nie ruchu

ω⟨⟨A; B

⟩⟩ω=⟨[A, B

]⟩+⟨⟨[A, H

], B⟩⟩ω. (C.9)

Postępując analogicznie dla funkcji Greena określonej dla układu fermionowego otrzymamy

ω⟨⟨A; B

⟩⟩ω=⟨A, B

⟩+⟨⟨[A, H

], B⟩⟩ω. (C.10)

Dodatek DPrzedstawienie Lehmanna

Dyskutując przybliżenie Popova i notację Nambu przyjęliśmy bez dowodu, że funkcję

Greena Matsubary zależną od częstości iωn można zastąpić opóźnioną funkcją Greena przez

prostą zamianę iωn → ω + iη. Ta ciekawa własność funkcji Greena wynika bezpośrednio z

podstawowych zasad mechaniki kwantowej, co teraz wykażemy.

Rozważmy najpierw opóźnioną funkcję Greena dla operatorów bozonowych

Gret(t− t′) = − i Θ(t− t′)⟨A(t)B(t′) − B(t′)A(t)

⟩. (D.1)

Ponieważ

〈 O 〉 = 1ZTr(e−βH O

),

T r(. . .) =∑n

〈 n | . . . | n 〉 ,

H | n 〉 = En | n 〉 ,

zatem

e−βH | n 〉 = e−βEn | n 〉 , (D.2)

〈 O 〉 = 1Z

∑n

e−βEn 〈 n | O | n 〉 . (D.3)

Korzystając ze wzorów (D.2) i (D.3) funkcję daną wzorem (D.1) możemy zapisać w postaci

Gret(t− t′) = − i Θ(t− t′)1Z

∑n

e−βEn 〈 n | A(t)B(t′) − B(t′)A(t) | n 〉 . (D.4)

Ponieważ ∑m

| m 〉〈 m | = 1

możemy napisać, że

∑n

〈 n | A B | n 〉 =∑n

〈 n | A∑m

| m 〉〈 m | B | n 〉

=∑n, m

〈 n | A | m 〉〈 m | B | n 〉 . (D.5)

60 Dodatek D

Korzystając z równań (D.5) i (D.2), oraz z zależności

O(t) = eiHt O e−iHt (D.6)

otrzymamy

Gret(t− t′) = − i∑n,m

1Z

(e−βEn e i(t−t

′)(En−Em) 〈 n | A | m 〉〈 m | B | n 〉 −

(D.7)

− e−βEn e i(t−t′)(Em−En) 〈 n | B | m 〉〈 m | A | n 〉)Θ(t− t′).

Zamieniając n na m i m na n w drugim członie powyższego wzoru otrzymujemy ostatecznie

Gret(t− t′) = − i Θ(t− t′)1Z

∑n,m

e i(t−t′)(En−Em) γmn

(e−βEn − e−βEm

), (D.8)

gdzie, dla uproszczenia zapisu, oznaczyliśmy

γmn = 〈 n | A | m 〉〈 m | B | n 〉 .

W dodatku B podaliśmy transformatę Fouriera dla opóźnionej funkcji Greena

Gret(ω + iη) =∫ +∞−∞

dt e i(ω+iη)t Gret(t). (D.9)

Przyjmując t′ = 0 we wzorze (D.8) i podstawiając go do transformaty Fouriera (D.9) otrzy-

mamy

Gret(ω + iη) =1Z

∑n,m

1En − Em + ω + iη

γmn(e−βEn − e−βEm

). (D.10)

Rozważmy teraz funkcję Greena Matsubary dla operatorów bozonowych

G(τ − τ ′) = −⟨Tτ A(τ) B(τ ′)

⟩= − Θ(τ − τ ′)

⟨A(τ) B(τ ′)

⟩− Θ(τ ′ − τ)

⟨B(τ ′) A(τ)

⟩. (D.11)

Podobnie jak dla opóźnionej funkcji Greena przyjmijmy τ ′ = 0 oraz τ > 0, otrzymamy

wówczas

G(τ − τ ′) = −⟨A(τ) B(τ ′)

⟩. (D.12)

Postępując analogicznie jak dla funkcji opóźnionej, posługując się wzorami (D.2), (D.3), (D.5)

i (D.6) możemy wzór (D.12) przepisać w postaci

G(τ) = − 1Z

∑n,m

e−βEn e(En−Em)τγmn. (D.13)

Przedstawienie Lehmanna 61

W dodatku A podaliśmy transformatę Fouriera dla funkcji Greena Matsubary

G(iωn) =∫ β0dτ e iωnτ G(τ), (D.14)

podstawiając do niej równanie (D.13) otrzymamy

Gret(iωn) =1Z

∑n,m

1En − Em + iωn

γmn(e−βEn − e−βEm

). (D.15)

Porównując wzory (D.15) i (D.10) możemy stwierdzić, że opóźniona funkcja Greena ma do-

kładnie taką samą postać jak funkcja Greena Matsubary, z tą tylko różnicą, że zależy od

ω + iη a nie od częstości iωn. Pokazaliśmy więc, że aby przejść od jednej z nich do drugiej

wystarczy zamienić iωn na ω+ iη, bądź odwrotnie. Operację taką nazywamy przedłużeniem

analitycznym.

W sposób analogiczny można pokazać, że zamieniając iωn na ω − iη otrzymujemy funkcję

przedwczesną.

Podobny dowód można przeprowadzić dla funkcji Greena dla układów fermionowych.

B i b l i o g r a f i a

[1] Kapitza P. L., Viscosity of liquid helium below the λ-point, Nature 141, 74 (1938).

[2] Shi H., Griffin A., Finite-temperature excitations in a dilute Bose-condensed gas,

Phys. Rep. 304, 1 (1998).

[3] Pitaevskii L., Stringari S., Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press, Oxford

(2003).

[4] Penrose O., Onsager L., Bose-Einstein Condensation and Liquid Helium, Phys. Rev.

104, 576 (1956).

[5] Yang C. N., Concept of Off-Diagonal Long-Range Order and the Quantum Phases of

Liquid He and of Superconductors, Rev. Mod. Phys. 34, 694 (1962).

[6] Leggett A. J., Sols F., On the concept of spontaneously broken symmetry in condensed

matter physics, Found. Phys. 21, 353 (1991).

[7] Mahan G. D., Many-Particle Physics, Plenum Press, New York (1990).

[8] Gavoret J., Nozieres Ph., Structure of the perturbation expansion for the Bose liquid

at zero temperature, Ann. Phys. 28, 349 (1964).

[9] Griffin A., Excitations in a Bose-condensed liquid, Cambridge University Press, Cam-

bridge (1993).

[10] Noh H. S., Kim S-H., Kim C. K., Das M. P., Study of the ground state energy density

of a dilute Bose gas in the canonical transformation, cond-mat/0603479 (2006).

[11] Parkins A. S., Walls D. F., The physics of trapped dilute-gas Bose-Einstein condensates,

Phys. Rep. 303, 1 (1998).

[12] Kawiak A., Kondensacja Bose’go-Einsteina, Praca magisterska, Lublin: UMCS (2002).

[13] Dalfovo F., Giorgini S., Pitaevskii L., Stringari S., Theory of Bose-Einstein condensation

in trapped gases, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

[14] Ketterle W., van Druten N. J., Bose-Einstein condensation of a finite number of

particles trapped in one or three dimensions, Phys. Rev. A 54, 656 (1996).

64 Bibliografia

[15] Kirsten K., Toms D. J., Bose-Einstein condensation of atomic gases in a general

harmonic-oscillator confining potential trap, Phys. Rev. A 54, 4188 (1996).

[16] Haugerud H., Haugset T., Ravndal F., A more accurate analysis of Bose-Einstein

condensation in harmonic traps, Phys. Lett. A. 225, 18 (1997).

[17] Ketterle W., Gdy atomy zachowują się jak fale: kondensacja Bose’go–Einsteina i laser

atomowy, Wykład noblowski, Postępy fizyki 54(1), 11 (2003).

[18] Stemper-Kurn D. M. i in. Excitation of Phonons in a Bose-Einstein Condensate by

Light Scattering, Phys. Rev. Lett. 83, 2876 (1999).

[19] Fetter A. L., Walecka J. D., Kwantowa teoria układów wielu cząstek, PWN, Warszawa

(1982).

[20] Leggett A. J., Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental

concepts, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001).

NADCIEKŁOŚĆ SPUŁAPKOWANYCH ATOMÓWkft.umcs.lublin.pl/doman/magisteria/2006KK_praca.pdf ·...

Documents

Transcript of NADCIEKŁOŚĆ SPUŁAPKOWANYCH ATOMÓWkft.umcs.lublin.pl/doman/magisteria/2006KK_praca.pdf ·...