ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP · Sử dụng công thức khai triển nhị thức...

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1

I/ Lý thuyết

1/ Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động. Nếu hành động 1 có m1 cách thực hiện,

hành động 2 có m2 cách thực hiện,......., hành động thứ n có mn cách thực hiện; các cách thực hiện

của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p. Vậy công việc đó được

hoàn thành bởi m1+m2+...+mn cách thực hiện.

( 1 2; ; ;...; ; ;nn m m m k p ¥ )

2/ Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp. Nếu hành động 1 có m1 cách

thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m2 cách thực hiện hành động 2,......., ứng với

mỗi cách thực hiện hành động thứ 1;2;...;n-1 có mn cách thực hiện hành động thứ n. Vậy công việc

đó được hoàn thành bởi (m1.m2.....mn ) cách thực hiện.

( 1 2; ; ;...; nn m m m ¥ )

3/ Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n 1. Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k

phần tử khác nhau của A; 1 ;k n k ¥ .

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: !

( )!

k

n

nA

n k

4/ Hoán vị

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một hoán vị n phần tử của A là một chỉnh hợp chập n các phần

tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n phần tử của A).

Số các hoán vị n phần tử của A: !n

n nP A n

5/ Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của A

có k phần tử ; 0 ;k n k ¥ .

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: !

!.( )!

k

n

nC

k n k

6/ Vài tính chất quan trọng của Pn; Ank; Cn

k

k

k nn

k

AC

P

k n k

n nC C

1

1 1

k k k

n n nC C C

1

1. . (1 ; ; ; 1)k k

n nk C nC k n k n N n

¥

2

2.( 1). .( 1). ; ; ;2k k

n nk k C n n C k n k n

¥

3

3.( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3k k

n nk k k C n n n C k n k n

¥

1 *

1

1 1. . ( ;0 ;

1 1

k k

n nC C k k n nk n

¥ ¥

7/ Nhị thức Niu-tơn

* Công thức Nhị thức Niu - tơn

0 1 1 2 2 2( ) . . . . . ... . . ... .n n n n k n k k n n

n n n n na b C a C a b C a b C a b C b 0

. .n

k n k k

n

k

C a b

(*) *( )n ¥

Ta cũng có thể khai triển:


2

0 1 1 2 2 2( ) . . . . . ... . . ... .n n n n k n k k n n

n n n n na b C b C b a C b a C b a C a 0

. .n

k k n k

n

k

C a b

(**) *( )n ¥

Từ công thức (*) ta có một số đẳng thức sau:

0 1 *..... ..... 2k n n

n n n nC C C C n ¥

0 1 *..... ( 1) . ..... ( 1) .k k n n

n n n nC C C C n ¥

2

2

2

0

(1 ) .n

n k k

n

k

x x C

; 2

2

2

0

(1 ) ( 1) .n

n k k k

n

k

x x C

2

2 1

2 1

0

(1 ) .n

n k k

n

k

x x C

; 2

2 1

2 1

0

(1 ) ( 1) .n

n k k k

n

k

x x C

........

II/ Tài liệu tham khảo số 1

Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn ( Trích Báo THTT – số 4/2008)

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

1/ Ví dụ 1: Rút gọn: 0 1 2 3 *

n n n nS = C + C C +...+ ( 1) C ; 0 ; ;nk k

k nC k n k ¥ ¥

Nếu k<n thì ta có 0 0 1 1 2 2 3 1 *

1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1S = ( C ) + ( C ) ( C ) +...+ ( 1) ( C );0 ; ;nk k k

k n n n n nC C C C C k n k

¥ ¥

Rút gọn suy ra: 1( 1) .k k

k nS C

Nếu k = n thì 0 1 2 3

n n n nS = C + C C +...+ ( 1) C 0n n

k nC

2/ Ví dụ 2: Tính S = 1 3 4 2 1

4 4 4 4.... n

n n n nC C C C

Áp dụng công thức k n k

n nC C ta có: 1 4 1 3 4 3 2 1 2 1

4 4 4 4 4 4; ;....;n n n n

n n n n n nC C C C C C

Vì vậy S = 4 1 4 3 2 1

4 4 4....n n n

n n nC C C

Suy ra 2S = 1 3 4 2 1 2 1 4 1 4 0 4

4 4 4 4 4 4 4 4.... ..... 2n n n n n

n n n n n n n nC C C C C C C C 4 22 nS

3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm)

Tính 0 1 22 3 ... ( 1) .( 1) ;n n

n n n nS C C C n C n ¥

Xét đa thức f(x) = x(1+x)n = 0 1 2 2 3 1 *

n n nC + C +...+ C ; nn n

nC x x x x ¥ D=R

Ta có '( )f x 0 1 2 2 1

n n nC .2 + C 3 +...+ C .( 1) (1 ) (1 )n n n n

nC x x n x x nx x

'( 1)f 0 1 2 '2 3 ... ( 1) .( 1) ( 1) 0n n

n n n nC C C n C f

*** Lưu ý: Để tính các tổng

0 1 2 2

1 2 3 ... ( 1) ;n n

n n n nS C aC a C n a C

0 2 2 4 4 2 2

2 2 2 2 23 5 ... (2 1) ;n n

n n n nS C a C a C n a C

1 3 3 5 5 2 1 2 1

3 2 2 2 22 4 6 ... 2 ;n n

n n n nS aC a C a C na C

Ta xét đa thức f(x) = x(1+x)n và chứng tỏ rằng S1=f’(a);

xét đa thức g(x) = x(1+x)2n và chứng tỏ rằng 2S2=g’(a)+g’(-a); 2S3=g’(a)-g’(-a)

4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân)

Tính 0 1 2 *

1

1 1 1. . ... . ;

2 3 1

n

n n n nS C C C C nn

¥

Xét đa thức f(x) = 0 1 2 2 *(1 ) . . ... . ;n n n

n n n nx C x C x C x C x n ¡ ¥


3

Suy ra 1

0

( )f x dx 1 1

0 1 2

1 1

11 1 1 (1 ) 2 1. . ... .

02 3 1 1 1

n nn

n n n n

xC C C C S S

n n n

*** Lưu ý: Để tính các tổng

2 2 3 3 1 1

0 1 2 *( ) . . ... . ;2 3 1

n nn

n n n n

b a b a b aS b a C C C C n

n

¥

Hãy chứng tỏ rằng S = ( ) ; ( ) (1 )

b

n

a

f x dx f x x

Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1.

Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = xk.(1+x)n với k = 1; 2; 3;....

DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP

5/ Ví dụ 5: CMR 0 2 1 2 2 2

2( ) ( ) ..... ( ) ..... ( )k n n

n n n n nC C C C C

Ta có (x+1)n.(1+x)n = (x+1)2n (1)

VT(1) = 0 1 1 2 2 0 1 2 2( . . . ... ).( . . ... . )n n n n n n

n n n n n n n nx C x C x C C C x C x C x C

Từ đó suy ra hệ số của x2n trong khai triển VT(1) là : 0 2 1 2 2 2( ) ( ) ..... ( ) ..... ( )k n

n n n nC C C C

Còn hệ số của x2n trong khai triển ở VP(1) là 2

n

nC . Vậy suy ra đpcm.

*** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)n.(1+x)m = (x+1)n+m (2). Sử dụng công thức khai triển nhị thức

Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2 vế,

ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp.

DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP

6/ Ví dụ 6: Giải phương trình 3 1 3 2

1 1 62 3 3 159x x

x x xA C C x P

ĐK: 3;x x ¥

Với đk trên pt đã cho 2! 2( 1)! 3( 1)!3 6! 159

( 3)! 2!( 1)! 2!( 3)!

x x xx

x x x

2

2

3( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 20 3 879

2

( 12)(2 11 147) 0

12 (tm)

x x x x x x x x

x x x

x

*** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về hoán

vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài

toán để kết luận. Tương tự như vậy khi giải bất phương trình....

7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau: 0 1 23

23 23 23; ;....;C C C

Giả sử 3 số hạng liên tiếp trong dãy trên lập thành CSC là: 1 2

23 23 23; ;n n nC C C

2 1

23 23 232n n nC C C

1 1 2 1

23 23 23 23 23

2 1

25 23

4

4

n n n n n

n n

C C C C C

C C

25! 4.23!

( 2)!(23 )! ( 1)!(22 )!n n n n

( 2)(23 ) 150n n 8

23

n

n

Vậy ba số hạng cần tìm là: 8 9 10

23 23 23; ;C C C và 13 14 15

23 23 23; ;C C C


4

DẠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC

8/ Ví dụ 8:

Tính số hạng không chứa x trong P(x) = 3 2( )nx

x biết n thỏa mãn: 6 7 8 9 8

23 3 2n n n n nC C C C C (1)

Từ (1) ta có: 6 7 7 8 8 9 8 7 8 9 8

2 1 1 1 22( ) ( ) 2 2 2n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C C C

9 8

3 2

3....... 2 2 15

9n n

nC C n

Khi đó P(x) = 30 515 15

15 153 3 615. 15.

0 0

2 2( ) .( ) .( ) .2 .

k

k k k k k

k k

x C x C xx x

Số hạng không chứa x tương ứng với 30 5

0 6 (tm)6

kk

Vậy số hạng phải tìm là: 6 6

152 320.320C

*** Lưu ý:

Tính hệ số của số hạng chứa xp (p là một số cho trước) trong khai triển f(x) = (u(x)+v(x))n, ta làm như

sau: Viết f(x) = ( )

0

.n

g k

k

k

a x

; số hạng chứa xp ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số tự

nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là ak. Nếu k N hoặc k > n, thì trong khai triển

không có số hạng chứa xp, hệ số phải tìm bằng 0.

9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức

P(x) = (2x+1)13 = a0.x13 + a1.x12 + ....+a12.x + a13

Ta có P(x) = (2x+1)13 = 13 13

13 13 13

13 13

0 0

.(2 ) .2 .n n n n n

n n

C x C x

Vậy an = 13 1 14

13 1 13.2 .2 ( 1;2;...13)n n n n

nC a C n

Xét bất pt: an-1 an 2.13! 13! 2 1 14

4( 1)!.(14 )! !.(13 )! 14 3

n nn n n n n n

Vậy ta có an-1an đúng khi n 1;2;3;4 ;và dấu bằng không xảy ra;

suy ra 1

145;...;13

3n na a n n

Ta được: a0 <a1<a2<a3<a4 và a4>a5>...>a13. Vậy max(an) = a4 = 4 9

13.2 366080C .

*** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b)m thành đa thức, ta làm như sau: Tính

hệ số của số hạng tổng quát an; giải bất pt: an-1 an với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự

nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên.

III/ Tài liệu tham khảo số 2

Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn ( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang)

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I)

Bài toán mở đầu:

Tính tổng: 1 2 3 n *

n n n nS = C + 2C +3C +...+ nC ; n¥ (1)

Giải

Cách giải thứ nhất:

Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương

pháp đạo hàm.


5

Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức

cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp.

Cụ thể: Ta có

0 1 2 2 *(1 ) . . ... . ;n n n

n n n nx C x C x C x C x n ¡ ¥

Đạo hàm bậc nhất hai vế; suy ra:

1 1 2 1 *.(1 ) 1. 2 . ... . ;n n n

n n nn x C x C nx C x n ¡ ¥

Cho x = 1 ta được:

1 1 2 *.(1 1) 1. 2. ... . ;n n

n n nn C C nC n ¥

Từ đó suy ra: 1 2 1 *1. 2. ... . .2 ;n n

n n nS C C nC n n ¥

Cách giải thứ hai:

Áp dụng công thức: *; 0 ; ;k n k

n nC C k n k n ¥ ¥

ta được 0 1 2 n 1 *

n n nS = . ( 1).C +( 2).C +...+1.C ; nnnC n n ¥ (2)

Khi đó; từ (1) và (2) suy ra:

0 1 2 n *

n n n

0 1 2 n

n n n

1 *

2S = . .C + .C +...+ .C ; n

2 .( C + C +...+ C )

2 .2

.2 ; n

n

n

n

n

n C n n n

S n C

S n

S n

¥

¥

Cách giải thứ ba:

Ta xác định số hạng tổng quát trong biểu thức cần tính; đó là:

* *. ( ; ; )k

nk C k n k n ¥ ¥

Theo công thức (1) ta có:

1 * *

1. ( ; ; )k k

n nk C nC k k n n

¥ ¥

Khi đó:

0 1 1 *

1 1 1

0 1 1

1 1 1

. . ... . ;

( ... )

n

n n n

n

n n n

S n C n C n C n

S n C C C

¥

1 1 *(1 1) .2 ;n nS n n n ¥

***Bình luận:

Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng

túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp

hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba.... Mặt khác trong chương trình học: bài "Nhị thức

Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm".

Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự.

Cách giải thứ ba:

Phù hợp với nội dung chương trình đang học.

Tự nhiên hơn.

Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II).

Bài 1: Tính các tổng sau:

a/ 11 2 3

1 2. 3. ... 1 . . ; ; 1n n

n n n nS C C C n C n n

¥

b/ 0 1 2

2 2 3 ... ( 1) ; ; 1n

n n n nS C C C n C n n ¥

c/ 2 3 4 *

3 2 3 ... ( 1) ; ; 2n



6

d/ 1 0 2 1 3 2 2 1 1

4 .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . ... 3 . ; ; 1n n n n n

n n n nS n C n C n C C n n ¥

e/ 3 0 4 1 2012 2009

5 2009 2009 20094.5 . 5.5 . ... 2013.5 .S C C C

Giải

a/ 11 2 3

1 2. 3. ... 1 . .n n

n n n nS C C C n C

Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát

trong tổng S1; cụ thể là: . ( ;1 )k

nk C k k n ¥

Theo công thức (I) ta có:

1

1. ( ;1 )k k

n nk C nC k k n

¥

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

1 1 1

1 1

1 1

( 1) . . ( 1) . .n n

k k k k

n n

k k

S k C n C

0 1 2 1 1

1 1 1 1 1

1

1

( ... ( 1) . )

.(1 1) 0; ; 1

n n

n n n n

n

S n C C C C

S n n n

¥

Tương tự với các tổng còn lại;

b/ 0 1 2 *

2 2 3 ... ( 1) ;n

n n n nS C C C n C n ¥

0

2

0 1 0

( 1). 0. .n n n

k k k

n n n n

k k k

S k C C k C C

1

2 1

0

.n n

k k

n n

k k

S n C C

1

2

1

2

.2 2

( 2).2 ; ; 1

n n

n

S n

S n n n

¥

c/ 2 3 4 *

3 2 3 ... ( 1) ; ; 2n


3

2 2 2

( 1). .n n n

k k k

n n n

k k k

S k C k C C

1 0 1

3

1 0

.n n

k k

n n n n n

k k

S k C C C C C

1 1 0 1

3 1

1 0

.n n

k k

n n n n n

k k

S n C C C C C

1

3

1

3

.2 2 1

( 2).2 1; ; 2

n n

n

S n

S n n n

¥

d/ 1 0 2 1 3 2 2 1 1 *

4 .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . ... 3 . ;n n n n n

n n n nS n C n C n C C n ¥

1 1

1 1

4

0 0

( ).2 .3 . 2 .3 .( ).n n

n k k k n k k n k

n n

k k

S n k C n k C

1

1 1

4 1

0

2 .3 . .n

n k k n k

n

k

S n C

1 0 1 2 2 2 0 1 0

4 1 1 1

1

4

1

4

(2 .3 . 2 .3 . ... 2 .3 . )

.(2 3)

.5 ; ; 1

n n n n n

n n n

n

n

S n C C C

S n

S n n n

¥


7

e/ 3 0 4 1 2012 2009

5 2009 2009 20094.5 . 5.5 . ... 2013.5 .S C C C

2009 2009 20093 3 3

5 2009 2009 2009

0 0 0

2009 20093 3

5 2009 2009

0 0

2009 20090 3 0 4 1 1 3

5 2009 2008 2009

1 0

5

( 4).5 . .5 . 4.5 .

5 . . 4.5 .

5 .0. 5 .5 .2009. 4.5 .5 .

2009.5

k k k k k k

k k k

k k k k

k k

k k k k

k k

S k C k C C

S k C C

S C C C

S

4 0 0 1 1 2008 2008

2008 2008 2008

3 0 0 1 1 2009 2009

2009 2009 2009

4 2008 3 2009

5

3 2008

5

.(5 5 ... 5 )

4.5 .(5 5 ... 5 )

2009.5 .6 4.5 .6

10069.5 .6

C C C

C C C

S

S

*** Nhận xét:

Như vậy ta có thể tính tổng bất kỳ dạng:

1 *

0

( . ). . . ( ; ; ; ; ; )n

n k k m k

n

k

S k a b C k k n n m

¡ ¥ ¥ ¥

Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của

mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự.

Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:

chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức......

Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta

giải quyết như thế nào?

*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau:

1/ 2

2.( 1). .( 1). ; ; ;2k k

n nk k C n n C k n k n

¥ (IA)

2/ 3

3.( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3k k

n nk k k C n n n C k n k n

¥ (IB)

Chứng minh:

1/ 1

1.( 1). ( 1). . .( 1).k k k

n n nk k C k k C n k C

2

2.( 1). ; ;2k

nn n C k n k n

¥

2/ Tương tự (dành cho bạn đọc)

Bài 2: Tính các tổng sau

a/ 2 3

6 1.2. 2.3. ... ( 1). . ; 2n

n n nS C C n nC n n ¥

b/ 2 3 1 1 2 2

7 .( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 ... 2.1.4 . ; 2n n n n n

n n nS n n C n n C C n n ¥

c/ 2 1 2 2 2 3 2

8 1 . 2 . 3 . ... . ; 2n


d/ 1 2 2 4 3 4022 2012

9 2012 2012 2012 20121.2. 3.4.2 . 5.6.2 . ... 4023.4024.2 .S C C C C

Giải

a/ 2 3

6 1.2. 2.3. ... ( 1). . ; 2n

n n nS C C n nC n n ¥

Bước thứ nhất, ta cũng hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng S6; cụ thể là: ( 1). . ( ;2 )k

nk k C k k n ¥

Theo công thức (IA) ta có:

2

2.( 1). .( 1). ( ;2 )k k

n nk k C n n C k k n

¥



8

2

6 2

2 2

( 1). ( 1). .n n

k k

n n

k k

S k kC n n C

0 1 2 2

6 2 2 2 2

2 2

6

.( 1)( ... )

.( 1)(1 1) .( 1).2 ; ; 2

n

n n n n

n n

S n n C C C C

S n n n n n n

¥


b/ 2 3 1 1 2 2

7 .( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 ... 2.1.4 . ; 2n n n n n

n n nS n n C n n C C n n ¥

2 2

7

2 2

.( 1).4 .3 . 4 .3 . .( 1).n n

n k k k n k k n

n n

k k

S k k C k k C

2 2

7 2

2

4 .3 . ( 1).n

n k k k

n

k

S n n C

2 0 0 3 1 1 0 2 2

7 2 2 2.( 1).(4 .3 . 4 .3 . ... 4 .3 . )n n n n

n n nS n n C C C

2 2

7 .( 1).(4 3) ( 1).7 2;n nS n n n n n n ¥

c/ 2 1 2 2 2 3 2

8 1 . 2 . 3 . ... . ; 2n


Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là:

2. ;1 ; 2k

nk C k k n n ¥


2. .( 1) . .( 1). . ;2 ; 2k k k k

n n n nk C k k k C k k C k C k k n n ¥

2 2 1

2 1. .( 1). . ;2 ; 2k k k

n n nk C n n C nC k k n n

¥


2 1 0 1 2 1 2 1

8 2 2 2 1 1 11 . .( 1).( ... ) ( ... ) ; 2n n

n n n n n n nS C n n C C C n C C C n n

¥

0 1 2 0 1 2 1

8 2 2 2 1 1 1 1.( 1).( ... ) ( ... ) ; 2n n

n n n n n n nS n n C C C n C C C C n n

¥

( Do 2 1 0

11 . .n nC n nC )

2 1 2

8 .( 1).2 .2 .( 1).2 ; 2n n nS n n n n n n n ¥

d/ 1 2 2 4 3 4022 2012

9 2012 2012 2012 20121.2. 3.4.2 . 5.6.2 . ... 4023.4024.2 .S C C C C


2 1

2012(2 1).(2 2).2 . ; 2011k kk k C k k ¥


2 1 2

2012 2011(2 1).(2 2).2 . 2.(2 1).2 .2012.k k k kk k C k C

2

2011 20112.2 .2012.(2. . ) ; 2011k k kk C C k k ¥

2 1

2010 2011

2 2 1 2

2010 2011

2.2 .2012.(2.2011. )

2 .2011.2012.2 . 2.2012.2 .

( ;1 2011)

k k k

k k k k

C C

C C

k k

¥

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến 2011 ta được:

1 2 2 0 4 1 4022 2010

9 2012 2010 2010 2010

2 1 4 2 4022 2011

2011 2011 2011

1.2. 2 .2011.2012.(2 . 2 . ... 2 . )

2.2012.(2 . 2 . ... 2 . )

S C C C C

C C C

1 4 2 0 0 2 1 1 2 2010 2010

9 2012 2010 2010 2010

1 2 0 0 2 1 1 2 2011 2011 2 0 0

2011 2011 2011 2011

1.2. 2 .2011.2012. (2 ) . (2 ) . ... (2 ) .

2 .2012. (2 ) . (2 ) . ... (2 ) . (2 ) .

S C C C C

C C C C

1 4 2 2010 2 2011

9 20121.2. 2 .2011.2012.(2 1) 2.2012.(2 1) 2.2012S C


9

4 2010 2011 2011

9 92 .2011.2012.5 2.2012.5 4024.16093.5S S

Bài 3: Tính các tổng sau

a/ 3 4

10 1.2.3. 2.3.4. ... ( 2)( 1) . ; 3n

n n nS C C n n nC n n ¥

b/ 3 1 3 2 3

11 1 . 2 . ... . ; 3n

n n nS C C n C n n ¥

c/ 0 1

12 1.2.3. 2.3.4. ... ( 1) .( 1)( 2)( 3).n n

n n nS C C n n n C ( ; 3)n n ¥

Giải

a/ 3 4

10 1.2.3. 2.3.4. ... ( 2)( 1) . ; 3n

n n nS C C n n nC n n ¥

Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng S10; cụ thể là: ( 2)( 1). . ( ;3 )k

nk k k C k k n ¥

Theo công thức (IB) ta có:

3

3.( 1).( 2) .( 1).( 2) ( ;3 )k k

n nk k k C n n n C k k n

¥


3

10 3

3 3

( 2)( 1). ( 2)( 1). .n n

k k

n n

k k

S k k kC n n n C

0 1 2 3

10 3 3 3 3

3 3

10

.( 1)( 2)( ... )

.( 1)( 2)(1 1) .( 1).( 2)2 ; ; 3

n

n n n n

n n

S n n n C C C C

S n n n n n n n n

¥


b/ 3 1 3 2 3

11 1 . 2 . ... . ; 3n

n n nS C C n C n n ¥


3. ;1 ; 3k

nk C k k n n ¥

Theo công thức (IA) và (IB) ta có:

3

3 2 1

3 2 1

. .( 1)( 2) 3 .( 1) .

.( 1).( 2) 3 .( 1)

( 1)( 2). 3 ( 1). .

( ;3 ; 3)

k k

n n

k k k

n n n

k k k

n n n

k C k k k k k k C

k k k C k k C kC

n n n C n n C n C

k k n n

¥


3 1 3 2 0 1 3

11 3 3 3

1 2 2 2 3 1

2 2 2 1 1 1

1 . 2 . .( 1).( 2).( ... )

3 ( 1)( ... ) ( ... )

n

n n n n n

n n

n n n n n n

S C C n n n C C C

n n C C C n C C C

( ; 3n n ¥ )

3 2 0 1 0 1

11 2 1 14 ( 1) .( 1)( 2).2 3 .( 1) 2 2n n n

n n nS n n n n n n n n C n C C

3 2 1

11 .( 1)( 2).2 3 .( 1).2 .2n n nS n n n n n n

3 3

11 ( 3 ).2 3;nS n n n n ¥

c/ 0 1

12 1.2.3. 2.3.4. ... ( 1) .( 1)( 2)( 3).n n

n n nS C C n n n C

( ; 3)n n ¥


( 1)( 2)( 3).( 1) ; ; 3k k

nk k k C k k n n ¥

Theo công thức (IA) và (IB) ta có:

( 1)( 2)( 3).( 1) ( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) .

18 .( 1) . 6.( 1) .

k k k k k k

n n n

k k k k

n n

k k k C k k k C k k C

k C C


10

3 2 1

3 2 1( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) .

( ;3 ; 3)

k k k k k k k k

n n n nn n n C n n C n C C

k k n n

¥

3 3 2 2 1 1

3 2 1( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) .

( ;3 ; 3)

k k k k k k k k

n n n nn n n C n n C n C C

k k n n

¥

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được: 0 1 2 0 1 3 3

12 3 3 3

1 2 2 2 2 3 1 1

2 2 2 1 1 1

3 4

1.2.3. 2.3.4. 3.4.5. ( 1)( 2).( ... ( 1) . )

9 ( 1).( ... ( 1) . ) 18 ( ... ( 1) . )

6. ... ( 1) .

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n

n n n

S C C C n n n C C C

n n C C C n C C C

C C C

3 2 0

12 2

1 0 1 0 1 2

1 1

6 24 30 ( 1) ( 1)( 2).(1 1) 9 ( 1) (1 1)

18 (1 1) 6 (1 1)

n n

n

n n

n n n n n

S n n n n n n n n C

n C C C C C

12 6 24 30 ( 1) 9 ( 1) 18 18 .( 1) 6 6 3 ( 1)S n n n n n n n n n n n

12 0 3;S n n ¥

*** Nhận xét:

Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IB) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng

quát dạng :

2

3 2

1/ ( . . ). ... . ( 1) ( ). . ... ...

2 / ( . . . ). ... ( 1)( 2) ( 3) ( 1) ( 1). . ... ...

( ; ; ; ; ; ; ; 3)

k k

n n

k k

n n

k k C k k k C

k k k C k k k k k k C

k k n n n

¡ ¥ ¥

Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ

như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức......

Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động

hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm

phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em.

Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009)

Chứng minh rằng:

a/ 2 *

0

(1 )( ) . . .(1 ) ;

nk k n k

n

k

k x xx C x x x n

n n

¡ ¥

b/ *

0

1. . .(1 ) 0;1 ;

2

nk k n k

n

k

kx C x x x n

n n

¥

Giải

a/ 2 *

0

(1 )( ) . . .(1 ) ;

nk k n k

n

k

k x xx C x x x n

n n

¡ ¥

Ta dễ dàng nhận ra:

2

2 2

2( ) . . .(1 ) ( 2 ). . .(1 )k k n k k k n k

n n

k k kx C x x x x C x x

n n n

2( ) . . .(1 )k k n k

n

kx C x x

n

2 2

1 1( 1) . .(1 ) . .(1 )k k n k k k n k

n nk k C x x kC x xn n

22. . . .(1 ) . . .(1 ) (1)k k n k k k n k

n n

xkC x x x C x x

n

Theo công thức nhị thức Niu - tơn và áp dụng các công thức (I);


11

(IA); (IB) ta có:

+/ 0

. .(1 ) ( 1 ) 1 1n

k k n k n n

n

k

C x x x x

(*)

1

1

0 1 1

1 1

1

1

1

/ . . .(1 ) 0 . . .(1 ) . . .(1 )

. . .(1 )

. .( 1 ) .

n n nk k n k k k n k k k n k

n n n

k k k

nk k n k

n

k

n

k C x x k C x x n C x x

x C x x

n x x x n x

(**)

1

1

0 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

/ . ( 1 ) . . . ( 1 ) 0 . ( 1 ) . . . ( 1 ) . ( 1 ) . . . ( 1 )

( 1 ) . . . ( 1 ) . ( 1 ) . ( 1 ) . ( 1 ) ( * * * )

n n nk k n k k k n k k k n k

n n n

k k k

nk k n k n

n

k

k k C x x k k C x x n n C x x

n n x C x x n n x x x n n x

Thay thế (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc;

2 2 2

2 20

1 1 (1 )( ) . . .(1 ) . ( 1). . . 2. . .

nk k n k

n

k

k x x xx C x x n n x n x n x x

n n n n n

.đpcm

( *;x n ¡ ¥ )

b/ *

0

1. . .(1 ) 0;1 ;

2

nk k n k

n

k

kx C x x x n

n n

¥

Theo câu a/ và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng:

2 2 22

1 1 2 2 1 1 2 2 1( . . ... . ) ( . . ... . ).( ... )n n n n na x a x a x a x a x a x x x

Khi đó; với mọi x [0; 1] thì:

2

2

0 0 0

. . .(1 ) ( ) . . .(1 ) . . .(1 )n n n

k k n k k k n k k k n k

n n n

k k k

k kx C x x x C x x C x x

n n

2

0

(1 ). . .(1 ) .1

nk k n k

n

k

k x xx C x x

n n

( theo kết quả của phần a/ và (*))

22

0

1( 1 )

(1 ) 14. . .(1 )4

nk k n k

n

k

x xk x x

x C x xn n n n

*

0

1. . .(1 ) 0;1 ;

2

nk k n k

n

k

kx C x x x n

n n

¥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

0 1...

1

nx x x

n n n

x x

1

1

2

n

x

Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010)

Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn: 2 ; ( ; ) 1n m p q . Chứng minh

rằng: m

n

qpC chia hết cho 1m np .

Giải

Ta viết số tự nhiên n dưới dạng: .n k p với *( ; ) 1; ,k p k ¥

Nếu n thì . . n nn k p k p p . Điều này vô lí. Vì vậy 1n


12

Khi đó theo công thức (I) : 1 1

1 1. . .k k k k

n n n n

nk C n C C C

k

nên:

. . 1 . 1

. . . 1 . 1

.. . .

.m m m m

mn k p k p m k p

q p q p q p q p

q p qC C C p C

k p k

Do (k;p)=1 và . 1

. 1m

k p

q pC

là số nguyên dương nên ta suy ra:

. m

n m

q pC p M

Mà 1n nên 1m m np p M .

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6***: ( Đề thi IMO năm 1980)

Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: *1 ;r n n ¥ . Xét tất cả các tập con gồm r phần tử

của tập hợp {1, 2, ..., n}. Mỗi tập con này đều có phần tử bé nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của

tất cả các phần tử bé nhất đó. Chứng minh rằng: 1

F( , )1

nn r

r

Giải

Gọi G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của

các tập con đã nói ở đề bài.

Khi đó ta có:

1 1 1

1 2 1

1F( , ) (1. 2. ... ( 1). ) (1)r r r

n n rr

n

n r C C n r CC

1 1 1

1 2 1

1G( , ) ( . ( 1). ... . ) (2)r r r

n n rr

n

n r n C n C r CC

Từ (1) và (2) ta suy ra:

1 1 1

1 2 1

1F( , ) G( , ) ( 1).( ... ) (3)r r r

n n rr

n

n r n r n C C CC

Mặt khác, do 1 1

1

k k k

m m mC C C

nên:

1 1 1

1 2 1... (4)r r r r

n n n rC C C C

Từ (3) và (4) ta có:

1 1 1

1 2 1

1 1 1

1 2 1

( 1).( ... )F( , ) G( , ) 1

...

r r r

n n r

r r r

n n r

n C C Cn r n r n

C C C

(5)

Theo công thức (I) 1 1

1 1. . .k k k k

n n n n

nk C n C C C

k

nên áp dụng ta có

1 1

1 1. ( 1). .1

r r r r

n k n k n k n k

rr C n k C C C

n k

Khi đó:

1 1 1

1 2 1 1

G( , ) 1 1 1( . . ... . ) ( ... )r r r r r r

n n r n n rr r

n n

n r n n rC C C C C C

r C r r r C

Áp dụng (4) liên tiếp cho từng số hạng: 1; ;.....;r r r

n n rC C C ta được:

1 1 1

1 2 1

G( , ) 1(1. 2. ... ( 1). ) F( , )r r r

n n rr

n

n rC C n r C n r

r C

Thế (6) vào (5) ta được:

F( , )

F( , ) 1n r

n r nr

1

F( , )1

nn r

r


13

*** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.

**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

I/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo

sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.

Bài 1: Chứng minh rằng

1 2 11. 2. ..... ( 1) . . 0 ; 1n n

n n nC C nC n N n

Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)

Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:

1 2 2 3 3 4 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2. 3.2 . 4.2 . ..... (2 1).2 . 2005n n

n n n n nC C C C n C

Bài 3: Tìm n thoả mãn

2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 12 . 2. .3.2 3. .3 .2 ..... (2 1). .3 2009n n n n n

n n n nC C C n C


0 2 2 2008 2008 2008 2009

2009 2009 20093 . ..... 3 . 2 .(2 1)C C C

Bài 5: Tính tổng

a/ 0 1 1 2 2 3 1

1 1.2 . 2.2 . 3.2 . ..... .2 . ; 1n n


b/ 2 4 2

2 2 1 2 1 2 12. 4. ..... 2 . n

n n nS C C nC

c/ 2 4 2

3 2 2 22. 4. ..... 2 . n

n n nS C C nC


1 3 2 1 2 4 2

2 2 2 2 2 23. ..... (2 1). 2. 4. ..... 2 .n n

n n n n n nC C n C C C nC

Bài 7: Cho a > 0; *n¥ . Hãy tính tổng

a/ 1 2 2 2 1

1 1 1 11.2. 3.4. . ..... (2 1)(2 2). .n n

n n nS C a C n n a C

b/ 0 1 2 2

2 2 . 3 . ..... ( 1) .n n


c/ 0 2 2 4 4 2 2

3 2 2 2 23 . 5 . ..... (2 1) .n n


d/ 1 3 3 5 5 2 1 2 1

4 2 2 2 22 . 4 . 6 . ..... 2 . .n n

n n n nS a C a C a C n a C

II/ Một số bài tập nâng cao.

Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: *1 ;r n n ¥ . Xét tất cả các tập con gồm r

phần tử của tập hợp {1, 2, ..., n}. Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất. Gọi G(n,r) là trung bình

cộng của tất cả các phần tử lớn nhất đó. Chứng minh rằng: ( 1)

G( , )1

r nn r

r

Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987)

Cho S ={1;2;...;n}; 1n . ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định. Chứng minh

rằng: 0

. ( ) !n

n

k

k p k n

DẠNG 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (II)


a/ 0 1 2 *

1

1 1 1. . ... . ;

2 3 1

n

n n n nS C C C C nn

¥

b/ 2 3 4 1

1 2 3

2

2 2 2 2. . . ... . ( ; 1)

2 3 4 1

nn

n n n nS C C C C n nn

¥

c/ 1 3 5 2 1

3 2 2 2 2

1 1 1 1. . . ... . ( ; 1)

2 4 6 2

n


¥


14

(Đề thi khối A năm 2007)

d/ 2 3 4 1

0 1 2 3 *

4

3 1 3 1 3 1 3 12. . . . ... . ( )

2 3 4 1

nn

n n n n nS C C C C C nn

¥

e/ 2 3 4 1

0 0 1 2 3 *

5

2 2 2 22 . . . ... ( 1) . ( )

2 3 4 1

nn n


¥

f/ 2 2 3 3 1 1

0 1 2 *

6 . . ... . ( ; ; )1 2 3 1

n nn

n n n n

b a b a b a b aS C C C C n a b

n

¥ ¡

Giải

a/ 0 1 2 *

1

1 1 1. . ... . ;

2 3 1

n

n n n nS C C C C nn

¥

Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng S1; cụ thể là: *1. ( ;0 ; )

1

k

nC k k n nk

¥ ¥

Theo công thức (II) ta có:

1 *

1

1 1. . ( ;0 ; )

1 1

k k

n nC C k k n nk n

¥ ¥


1 2 1 1 0

1 1 1 1 1

1 1.( ... ) (1 1)

1 1

n n

n n n nS C C C Cn n

1

*

1

2 1( )

1

n

S nn

¥

b/ 2 3 4 1

1 2 3

2

2 2 2 2. . . ... . ( ; 1)

2 3 4 1

nn


¥

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng S2 , cụ thể là:

12

. ( ;1 ; ; 1)1

kk

nC k k n n nk

¥ ¥


1 1

1

1

2 2. . ( ;1 ; ; 1)

1 1

k kk k

n nC C k k n n nk n

¥ ¥


2 2 3 3 1 1 1 0 0 1 1

2 1 1 1 1 1

1 1.(2 2 ... 2 ) (1 2) 2 2

1 1

n n n

n n n n nS C C C C Cn n

1 1

2

3 1 2( 1) 3 (2 3)( ; 1)

1 1

n nn nS n n

n n

¥

c/ 1 3 5 2 1

3 2 2 2 2

1 1 1 1. . . ... . ( ; 1)

2 4 6 2

n


¥

(Đề thi khối A năm 2007) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng


2 1

2

1. ( ;1 ; ; 1)

2

k

nC k k n n nk

¥ ¥



15

2 1 2

2 2 1

1 1. . ( ;1 ; ; 1)

2 2 1

k k

n nC C k k n n nk n

¥ ¥


2 4 2

3 2 1 2 1 2 1

1.( ... )

2 1

n

n n nS C C Cn

Mặt khác: 0 2 4 2 (2 1) 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1... 2 2n n n

n n n nC C C C

(Bạn đọc tự chứng minh)

2 0 2

2 13

2 2 1( ; 1)

2 1 2 1

n n

nCS n n

n n

¥

d/ 2 3 4 1

0 1 2 3 *

4

3 1 3 1 3 1 3 12. . . . ... . ( )

2 3 4 1

nn


¥



1

*3 1. ( ; ; )

1

kk

nC k k n nk

¥ ¥


1 1

1 *

1

3 1 3 1. . ( ; ; )

1 1

k kk k

n nC C k k n nk n

¥ ¥


1 2 2 1 1 1 2 1

4 1 1 1 1 1 1

1. (3 3 ... 3 ) ( ... )

1

n n n

n n n n n nS C C C C C Cn

1 0 0 1 0

4 1 1

1. (3 1) 3 . (1 1)

1

n n

n nS C Cn

1 1

*

4

4 2( )

1

n n

S nn

¥

e/ 2 3 4 1

0 0 1 2 3 *

5

2 2 2 22 . . . ... ( 1) . ( )

2 3 4 1

nn n


¥



1

*( 1) .2. ( ; ; )

1

k kk

nC k k n nk

¥ ¥


1 1

1 *

1

( 1) .2 ( 1) .2. . ( ; ; )

1 1

k k k kk k

n nC C k k n nk n

¥ ¥


1 1 2 2 1 1 1

5 1 1 1

1. (2 2 ... ( 1) .2 )

1

n n n

n n nS C C Cn

0 1

5 1

1. (1 2)

1

n

nS Cn

*

5

1 ( 1)( )

1

n

S nn

¥

f/ 2 2 3 3 1 1

0 1 2 *

6 . . ... . ( ; ; )1 2 3 1

n nn

n n n n

b a b a b a b aS C C C C n a b

n

¥ ¡


quát trong tổng S6, cụ thể là:


16

1 1

*. ( ; ; )1

k kk

n

b aC k k n n

k

¥ ¥


1 1 1 1

1 *

1. . ( ; ; )1 1

k k k kk k

n n

b a b aC C k k n n

k n

¥ ¥


1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

6 1 1 1 1 1 1

1. ( ... ) ( ... )

1

n n n n

n n n n n nS b C b C b C a C a C a Cn

1 0 1 0

6 1 1

1. (1 ) (1 )

1

n n

n nS b C a Cn

1 1

*

6

(1 ) (1 )( )

1

n nb aS n

n

¥


a/ 2 1

0 2 4 2 *

2 2 2 2

1 1 1 1 .2 1. . ... . ;

2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)

nn

n n n n

nC C C C n

n n n

¥

b/ 2

0 1 2 *1 1 1 1 2 3. . . ... . ( )

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

nn

n n n n

nC C C C n

n n n n

¥

c/ 4 2

0 1 2 *1 1 1 1 2 7 14. . . ... . ( )

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)

nn

n n n n

n nC C C C n

n n n n n n

¥ d/

2 2 2 2 2 11 2 31 2 3 ( 2).2 1

. . . ..... . ( ; 1)2 3 4 1 1

nn

n n n n

n n nC C C C n n

n n

¥

Giải

a/ 2 1

0 2 4 2 *

2 2 2 2

1 1 1 1 .2 1. . ... . ;

2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)

nn

n n n n

nC C C C n

n n n

¥


quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2 *

2

1. ( ; ; )

2 2

k

nC k k n nk

¥ ¥

Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

2 2 2 1

2 2 2 1

1 2 1 1 2 1 1. . . . .

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

k k k

n n n

k kC C C

k k k k n

2 1 2 2

2 1 2 2

2 1 1 2 1 1. . . .

2 1 2 2 2 1 2 2

k k

n n

k kC C

n k n n

2 2 2 2

2 2 2 2

1. (2 2).

(2 1)(2 2)

k k

n nk C Cn n

2 1 2 2

2 1 2 2

1. (2 2).

(2 1)(2 2)

k k

n nn C Cn n

2 1 2 2 *

2 1 2 2

1 1. . ( ; ; )

(2 1) (2 1)(2 2)

k k

n nC C k k n nn n n

¥ ¥


1 2 2 1 2 3 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

1 1VT . ( ... ) ( ... )

2 1 (2 1)(2 2)

n n

n n n n n nC C C C C Cn n n

2 1 0 2 2 0 1

2 1 2 2 2 2

1 1VT . (1 1) (1 1)

2 1 (2 1)(2 2)

n n

n n nC C Cn n n


17

2 1 2 21 1VT . 2 1 2 1 (2 2)

2 1 (2 1)(2 2)

n n nn n n

2 2 1 2 1

*2 2 1 .2 1VT ( )

2 1 (2 1)(2 2) (2 1)(2 2)

n n nnn

n n n n n

¥

b/ 2

0 1 2 *1 1 1 1 2 3. . . ... . ( )

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

nn

n n n n

nC C C C n

n n n n

¥



*1. ( ; ; )

( 1)( 2)

k

nC k k n nk k

¥ ¥


1

1

1 1 1 1 1. . .

( 1)( 2) 2 1 2 1

k k k

n n nC C Ck k k k k n

1 2 *

1 2

1 1 1 1. . . . ( ; ; )

1 2 1 2

k k

n nC C k k n nn k n n

¥ ¥


2 3 2

2 2 2

1VT . ( ... )

( 1)( 2)

n

n n nC C Cn n

2

2 0 1

2 2

1 2 3VT . (2 )

( 1)( 2) ( 1)( 2)

nn

n n

nC C

n n n n

.đpcm

c/ 4 2

0 1 2 *1 1 1 1 2 7 14. . . ... . ( )

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)

nn

n n n n

n nC C C C n

n n n n n n

¥



*1. ( ; ; )

( 1)( 2)( 3)

k

nC k k n nk k k

¥ ¥


1

1

1 1 1 1 1. . .

( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) 1 ( 2)( 3) 1

k k k

n n nC C Ck k k k k k k k n

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1. . . . .

1 3 2 1 2 3.

k k

n nC Cn k k n n k

1 3 *

1 3

1 1 1 1 1 1. . . . . ( ; ; )

1 3 2 1 2 3.

k k

n nC C k k n nn k k n n n

¥ ¥


3 4 3

3 3 3

1VT . ( ... )

( 1)( 2)( 3)

n

n n nC C Cn n n

4 2

3 0 1 2

3 3 3

1 2 7 14VT . (2 )

( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)

nn

n n n

n nC C C

n n n n n n

(đpcm)

d/ 2 2 2 2 2 1

1 2 31 2 3 ( 2).2 1. . . ..... . ( ; 1)

2 3 4 1 1

nn

n n n n

n n nC C C C n n

n n

¥


18



2

. ( ;1 ; ; 1)1

k

n

kC k k n n n

k

¥ ¥


2 ( 1)( 1) 1

. . ( ;1 ; ; 1)1 1

k k

n n

k k kC C k k n n n

k k

¥ ¥

1 1 1

1 1 1

( 1)( 1) 1 1. ( 1)( 1)

1 1

k k k

n n n

k kC k k C C

n n

1 1

1 1

1 1( 1)( 1) ( 1) .

1 1

k k k k

n n n nk n C C k C Cn n

1 1

1 1

1.

1

k k k

n n nnC C Cn


0 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1VT ( ... ) ( ... ) ( ... )

1

n n n

n n n n n n n nn C C C C C C C Cn

2 1

1 11 ( 2).2 1VT .2 2 .(2 1)

1 1

nn n n n n

nn n

(đpcm)

**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ


a/ 1

1 2 *1 1 ( 1). . ..... .

2 3 1 1

nn

n n n

nC C C n N

n n

b/ 1

0 1 2 *1 1 1 1 2 1. . ..... .

3 6 9 3( 1) 3( 1)

nn

n n n nC C C C nn n

¥

c/ 0 1 2 *1 1 1 ( 1) 1. . ..... .

2 4 6 2( 1) 2( 1)

nn

n n n nC C C C nn n

¥


a/ 0 2 4 2 *

1 2 2 2 2

1 1 1. . ..... .

3 5 2 1

n

n n n nS C C C C nn

¥

b/ 2 4 6 4020

1 3 5 2009

2 2010 2010 2010 2010

2 2 2 2. . ..... .

2 4 6 4020S C C C C

c/ 0 2 4 2 *

3 2 2 2 2

1 1 1 1. . . ... . ( )

2 4 6 2 2

n

n n n nS C C C C nn

¥

Bài 3*: Tính tổng 3 3 3 3

1 2 3 *1 2 3. . . ..... . ( )

2 3 4 1

n

n n n n

nS C C C C n

n

¥

Bài 4: (Đề thi ĐH khối B năm 2003)

Tính: 2 3 1

0 1 2 *2 1 2 1 2 1.....

2 3 1

nn

n n n nC C C C nn

¥

Bài 5: (Đề thi ĐH khối B năm 2008)

Chứng minh rằng

*

1

1 1

1 1 1 1.( ) ; ; )

2 k k k

n n n

nk k n n

n C C C

¥ ¥

Bài 6: Tính 0 1 2 21 1 1. .2 . .2 ... . .2

2 3 1

n n

n n n nS C C C Cn


19

Biết rằng: 0 5 1 4 2 3 5 0 5

1 2 5. . . ... . 252.2 ; 5n n n n n n n nC C C C C C C C n n ¥

Bài 7*: Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 *

2( ) 2.( ) ..... .( ) .2

n n

n n n n

nC C n C C n ¥

IV/ Bài tập theo dạng DẠNG 1: PT; BPT; HỆ PT TỔ HỢP

Bài 1: Giải phương trình

3 1

2 1

14 14 14

2

1 2 2

1 2 3 2

5 6 7

/ 5

/ 2

/ 3 4

/ 6 6 9 14

5 2 14/

n n

n n n

n

n

x x x

x x x

a C C

b C C C

c C nP A

d C C C x x

eC C C

2 2

n

4 3 2

1 1 2

2 2

4 5 6

1

3 2 2

2 2 3 1 2

1 2

m/ 2P 6 . 12

5/ 0

4

/ . 72 6( 2 )

/ 3

/ 3 2 3

/ 4 ( )

n n n

n n n

x x x x

n n n

n n n

n n n

A P A

f C C A

g P A A P

h C C C

i C C A

k C A n A

Bài 2: Giải bất phương trình

2

1

2

4

4

3/

10

143/

( 2)! 4

n

n

n

n

Ca n

C

Ab

n P

1 2

2 2

4

3 4

1

5/

2

23/

24

n n

n n n

n

n

n n

e C C A

Af

A C

353/ 240

( )!

knn

Pc A

n k

4 3 2

1 1 2

5/ 0

2x x xg C C A

3 1

1 1/ 14( 1)n

n nd A C n

2 2 3

2

1 6/ 10

2x x xh A A C

x

Bài 3: Giải hệ phương trình

1 1

1 1 1

1 1

1

2 5 90/

5 2 80

/ : : 5 :5 :3

/ : : 6 :5 : 2

y y

x x

y y

x x

m m m

n n n

y y y

x x x

A Ca

A C

b C C C

c C C C


1 2

2 2

/ 2 2 3

5/ 8

( 2)!

n n

n n n

n nn n

a A A P

Pb C A

n

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC

Bài 1:

a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong 103( )x

x

b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong 40

2

2( )x

x

c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x43 trong 5 21

3 2

1(2 )x

x


20

d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x6.y2 trong 10(3 4 )x

xyy

e/ Tìm số hạng không chứa x trong 73

4

5(2 )x

x

f/ Tìm số hạng chứa x5 trong 3 12

3 2

3( )x

x

Bài 2:

a/ Biết trong (1

)3

nx có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Tìm số hạng chính giữa.

b/ Cho 3

3 2

3( )nx

x , biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 631. Tìm hệ số của số hạng chứa x5.

c/ Cho 3

15 28

1( )nx x

x , biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 79. Tìm số hạng không chứa x.

d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x2)n bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x12.

e/ Cho 5

3

4( )nxx , biết 1

4 3 7( 3)n n

n nC C n

. Tìm hệ số của số hạng chứa x8.

d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+2x)n bằng 6561. Tìm hệ số của số hạng chứa x4.

Bài 3:

a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (1+x+x2+x3)5

b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong 8

21 (1 )x x

c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong (1+2x+3x2)10.

d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x trong 43(1 2 3 )x x

e/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong (x+1)10.(x+2)

f/ Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong P(x) = (1+x)9+(1+x)10+....+(1+x)14

g/ Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong P(x) = (1+x)+2(1+x)2+........+20(1+x)20

h/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 .y3.z6.t6 trong (x+y+z+t)20

Bài 4 :

a/ Cho (x2+1)n.(x+2)n có a3n-3 = 26n. Tìm n?

b/ Cho 1

32(2 2 )xx

n

có số hạng thứ tư bằng 20n và 3 15n nC C . Tìm n và x?

c/ Cho 2lg

3 2lg

1( 3 )

3

x n

x có tổng các hệ số bằng 512 và số hạng thứ 7 bằng 28.3n. Tìm n và x?

d/ Cho 213

3( )

a b

b a có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau. Tìm số hạng đó.

Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển

a/ (1+2x)30

b/ ( 401 2)

3 3x

DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC.

Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: CMR


21

1

2 2

1

2 31

1 2 1

1 2 1

2 2 2 2

2 3 4

1 1 1

2

1 2

1/

/ . .

/

( 1)/ 2 3 ......

2

/ 2 .... 1

1 1 1 1 1/ ..... 1

/ 2

/ 3 3

m m

n m n m

m k k m k

n m n n k

n n

n

n n nn n

n n n

n n

n

k k k k

n n n n

k k k

n n n

ma C C

n

b C C C C

c C C n

C C C n nd C n

C C C

e P P nP P

fA A A A n

g C C C C

h C C C

3

3

1 2 3 2 3

2 3

1 2 3 4

4

1 1 1 1 1

1 2 3 1

/ 2 5 4

/ 4 6 4

/ .....

k k

n n

k k k k k k

n n n n n n

k k k k k k

n n n n n n

m m m m m m

n n n n m m

C C

i C C C C C C

m C C C C C C

n C C C C C C

2 1 2

1

1 1

1

2 2 2 5

1 3 5 5

10050

100

/ . ( 2)

/ . ( 1)

/ ( 1)2 . ( 1)

/ . . . . !.

CMR

2

10

n n n

n k n k n k

k k k

n n n

k k k

n n n

k n n n n

a A A k A k

b A A k A n k

c nC k C A kC n k

d P A A A n k A

C

Bài 3 :

Bài 4: CMR 0 1/ .... 2n n

n n na C C C 0 1 1 0 0 1 1/ 3 3 .2 .... 3 .2 4 4 ....n n n n n n n

n n n n n ne C C C C C C 0 0 1 1/ 9 9 .... 9 10n n n

n n nb C C C 0 2 2 1 3 2 1

2 2 2 2 2 2/ .... ....n n

n n n n n nf C C C C C C

0 11 1/ 5 ( .... ) 6

5 5

n n n

n n nnc C C C 0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009

2009 2009 2009 2009/ 3 3 ....... 3 2 (2 1)g C C C C

0 1 1/ 2 2 .7 .... 7 9n n n n n

n n nd C C C

Bài 5: CMR 1 2 1/ 2 ..... .2n n

n n na C C nC n 0 1 2 1/ ( 1) ( 2) .... ( 1) 0n n

n n n nb nC n C n C C 2 4 2 1 3 2 1

2 2 2 2 2 2/ 2 4 ... 2 3 .... (2 1)n n

n n n n n nc C C nC C C n C 1 0 2 1 3 2 2 1 1 1/ .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . .... 3 .5n n n n n n

n n n nd n C n C n C C n 2 3 2/ 2.1. 3.2. ..... .( 1). .( 1).2n n

n n ne C C n n C n n 0 1 2 1 1/ 2. 3. ..... . ( 2).2n n

n n n nf C C C nC n 2 1 2 2 2 2/ 1 . 2 . ..... . .( 1).2n n

n n ng C C n C n n

Bài 6: CMR 1

0 11 1 2 1/ . ....

2 1 1

nn

n n na C C Cn n

10 11 1 1 2 1

/ . ....2 4 2 2 2( 1)

nn

n n nf C C Cn n

0 1 21 1 ( 1) 1/ . ....

2 3 1 1

nn

n n n nb C C C Cn n

20080 1 2008

2009 2009 2009

1 1 2/ .....

2 2009 2009g C C C

2 3 1 10 1 22 2 2 3 1

/ 2. . ....2 3 1 1

n nn

n n n nc C C C Cn n

10 11 1 1 2 1

/ . ....3 6 3 3 3( 1)

nn

n n nh C C Cn n

1 2 1 1 10 12 1 2 1 2 1 3 2

/ . . ....1 2 1 1

n n nn

n n nd C C Cn n

0 11 1 ( 1) 1

/ . ....2 4 2 2 2( 1)

nn

n n ni C C Cn n


22

2 10 2 4 2

2 2 2 2

2 2 2 2/ 2 ...

3 5 2 1 2 1

nn

n n n ne C C C Cn n

0 1 21 1 ( 1) 2 4 2/ ... . ...

3 5 2 1 3 5 2 1

nn

n n n n

nk C C C C

n n

Bài 7: CMR 0 1 1 5 5

5 5 5 5/ . . ... .k k k k

n n n na C C C C C C C

0 2 1 2 2 2

2 2 2 2/ ( ) ( ) ... ( ) ( 1) .n n n

n n n nd C C C C

0 1 1 6 6

6 6 6 6/ . . ... .k k k k

n n n nb C C C C C C C

0 1 1 (2 )!/ . . ... .

( )!.( )!

k k n k n

n n n n n n

ne C C C C C C

n k n k

0 2 1 2 2

2/ ( ) ( ) ... ( )n n

n n n nc C C C C 0 1 1 0/ . . ... .p p p p

n m n m n m m nf C C C C C C C

DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN

A/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ 0

Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7}

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau.

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6.

f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền nhau.

g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số; chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các chữ số còn lại xuất hiện không

quá 1 lần.

h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.

i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.

Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7}

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.

Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ

số lẻ đứng liền nhau.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.

B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ 0

Bài 1: Cho A = {0;1;2;....;9}

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số .

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3

chữ số lẻ đứng liền nhau.

e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5.

f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0.

g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau.

h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ.

i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 4.

k/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 và có 6 chữ số khác nhau.

m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000

n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này không

đứng cạnh nhau.

p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số

đứng liền trước hoặc chữ số đứng liền sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.

Bài 2: Cho A = {0;1;2;3;5}


23

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt hai lần; chữ số 2 có mặt 3 lần; các chữ số

còn lại có mặt 1 lần.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt một lần; chữ số 2 và 3 có mặt 3 lần; các chữ

số còn lại có mặt không quá 1 lần.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau.

Bài 3:

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi

đều lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi

đều không nhỏ hơn chữ số đứng liền trước nó.

C/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP NGƯỜI.

Bài 1: Có 8 học sinh ( 4 nam; 4 nữ). Có bao nhiêu cách sắp xếp:

a/ Xếp tùy ý vào một dãy bàn ghế có 8 vị trí.

b/ Xếp vào hai dãy bàn đối diện nhau; mỗi hàng ghế 4 học sính sao cho cứ đối diện 1 nam là 1 nữ.

Bài 2: Có 10 nam và 15 nữ. Chọn ra 6 người đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách nếu

a/ Chọn bất kỳ

b/ Chọn sao cho có đúng 2 nam.

c/ Chọn sao cho có nhiều nhất 2 nam.

d/ Chọn sao cho có 1 nhóm trưởng là nam.

e/ Chọn sao cho có ít nhất 3 nam và có cả nữ.

Bài 3: Có 6 nam và 9 nữ trong đó có bạn Hoa. Chọn ra 7 bạn đi lao động.

a/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó không có mặt bạn Hoa.

b/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó luôn có mặt bạn Hoa.

Bài 4: Có 8 thầy dạy toán; 5 thầy dạy lý; 3 thầy dạy hóa. Cần chon ra 4 thầy đi dự hội nghị. Hỏi

có bao nhiêu cách nếu:

a/ Có đủ 3 môn

b/ Có đúng 2 môn.

Bài 5: Có 3 nhà toán học nam; 2 nhà toán học nữ; 3 nhà vật lý nam.

Chọn một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam và nữ, có cả toán và lý. Hỏi có bao nhiêu

cách?

Bài 6: Có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp.

Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đi dự đại hội sao cho có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; mỗi nước cử 3 đại biểu.

Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các đại biểu cùng một quốc gia thì ngồi gần nhau.

Bài 8: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo hàng dọc đi vào lớp.

a/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ 3 học sinh nữ.

b/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 6 học sinh nam đứng liền nhau.

Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành 4 nhóm; mỗi nhóm có 10 học sinh.

a/ Có bao nhiêu cách?

b/ Có bao nhiêu cách nếu 4 nhóm tham gia lao động tình nguyện ở 4 tỉnh miền núi.

D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT.


24

II/ Bài tập tổng hợp

Bài 1: A-2002

Cho 1 1 1

0 0 1 *3 3 32 2 2(2 2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) ... .(2 ) ( )x x xx x x

n n n n n

n n nC C C n

¥

Biết Cn3 = 5Cn

1; số hạng thứ 4 bằng 20n. Tìm n và x?

Bài 2: D-2002

Tìm n biết: 0 1 22 4 ...... 2 243n n

n n n nC C C C

Bài 3: A-2003

Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển 5

3

1( )nxx biết 1

4 3 7( 3)n n

n nC C n

Bài 4: B-2003

Tính S = 2 3 1

0 1 22 1 2 1 2 1......

2 3 1

nn

n n n nC C C Cn

Bài 5: D-2003

Với *n¥ ; gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển (x2+1)n.(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n

Bài 6 : A-2004

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển 8

21 (1 )x x

Bài 7: D-2004

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 73

4

1( ) ; 0x x

x

Bài 8: A-2005

Tìm n biết: 1 2 2 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 ...... (2 1)2 2005n n

n n n nC C C n C

Bài 9: D-2005

Tính 4 3

1 3

( 1)!

n nA AM

n

biết: 2 2 2 2

1 2 3 42 2 149n n n nC C C C

Bài 10: A-2006

Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong 7

4

1( )nxx

biết 1 2 3 20

2 1 2 1 2 1 2 1...... 2 1n

n n n nC C C C

Bài 11: A-2007

CMR: 2

1 3 5 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1......

2 4 6 2 2 1

nn

n n n nC C C Cn n

Bài 12: B-2007

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (2+x)n biết 0 1 1 2 23 3 3 ...... ( ) 2048n n n n n

n n n nC C C n C

Bài 13: D-2007

Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

Bài 14: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong 2 1

2

1( 2 ) nxx

biết 0 2 4 2

2 1 2 1 2 1 2 1...... 256n

n n n nC C C C

Bài 15:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 10

3

2( ) ; 0

3

xx

x

Bài 16: D-2008


25

Cho 1 3 5 2 1

2 2 2 2...... 2048n

n n n nC C C C . Tìm n?

Bài 17: A-2008 Cho khai triển: (1+2x)n = a0 + a1x + a2x2 +......+ anxn.

Các hệ số a0; a1; ...;an thỏa mãn 1 20 ...... 4096

2 4 2

n

n

a a aa .

Tìm số lớn nhất trong các số: a0; a1; ...;an

Bài 18: Tìm n thỏa mãn:

1 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 12. .3.2 3. .3 .2 ...... 2 . .3 .2 (2 1) .3 2009n n n n n n

n n n n nC C C nC n C

Bài 19: B-2008

CMR 1

1 1

1 1 1 1.( )

2 k k k

n n n

n

n C C C

Bài 20: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong (x3-9x2+23x-15)16

Bài 21: Tính S= 0 1 2 2 3 31 1 1 1.2 .2 .2 ..... .2

2 3 4 1

n n

n n n n nC C C C Cn

Bài 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 4 3 17

3

2( ) ; 0x x

x

Bài 23: CMR 0 1 2 12 3 ..... ( 1) ( 2).2n n

n n n nC C C n C n

Bài 24: CMR 0 1 2 12 2. . ..... ( ) 2;

1

nn n

n n n nC C C C n nn

¥

Bài 25: Tính S= 0 2 4 6 2008

2009 2009 2009 2009 2009......C C C C C

Bài 26: CMR khi n chẵn:

n

2 2 4 4 2n

osnx1 . t an x+ . t an x -...+ (-1) . . tan

cos

n n

n n n

cC C C x

x

Bài 27:CMR: 0 1 2

2 4 2 2.... .... 0

k n

n n n n n

n n n n k n n

C C C C C

Bài 28: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (1-x-3x2)4

Bài 29: Giải phương trình 1 2 2 3

22x x x x

x x x xC C C C

Bài 30:CMR 1 3 5 2 1 2 4 6 2

2 2 2 2 2 2 2 23 5 ...... (2 1) 2 4 6 ...... 2n n

n n n n n n n nC C C n C C C C nC

Bài 31: Tìm x biết 1 3 22n n nC C C và số hạng thứ 6 trong khai triển 5log(10 3 ) ( 2) log 3( 2 2 )x x n bằng 21

Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 1004( 2 3)

Bài 33: Tính S = 7 8 13

13 13 13....C C C

Bài 34: Cho A có n phần tử ( ; 4n n ¥ ). Biết số tập con của A gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập

con của A gồm 2 phần tử. Tìm k để số tập con của A gồm k phần tử lớn nhất.

Bài 35: Tính 1 3 5 7 2011

2011 2011 2011 2011 2011......C C C C C

Bài 36: Tính S = 1 1 1

....2!.2005! 4!.2003! 2006!.1!

Bài 37: Rút gọn S= 2 1 2 2 21 2 ..... n

n n nC C n C

Bài 38: Cho hệ số của x3 trong khai triển 3

2( )nxx x

x bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.

Bài 39: Tính 0 2 1 2 2 2 2009 2

2009 2009 2009 2009( ) ( ) ( ) ...... ( )C C C C

Bài 40: Tìm n để 1 2 10..... 1023n n n

n n nC C C

Bài 41: Tìm số lớn nhất trong các số 2 1 2 2 2 100

100 100 1001 ;2 ;.....;100C C C


26

Bài 42: Tìm n để 1 2

14 14 14; ; ;n n nC C C lập thành cấp số cộng.

Bài 43: Tìm hệ số của xn trong (1+2x+3x2+...+nxn)2

Bài 44: CMR 1 2 3 2 3

2 32 5 4k k k k k k


Bài 45: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong (1+2x)2010

Bài 46: Tính S = 2 3 1

0 1 22 1 2 1 2 1.....

2 3 1

nn

n n n nC C C Cn

Bài 47: Tính S = 2 2 2

1 21 2.....

2 3 1

n

n n n

nC C C

n

Bài 48: Cho (1+x)n = a0 + a1x + ......+ anxn. Tìm n biết 1 1

2 9 24

k k ka a a

Bài 49: Tìm n sao cho 2 2 2 3 3 3. 2 100n n


Bài 50: Tìm hệ số của x10 trong khai triển (1+1

x+x3)10 ; với x 0 .

Bài 51: CMR 1 2 2 2 3 2 2

2( ) 2( ) 3( ) ...... ( ) .2

n n

n n n n n

nC C C n C C

Bài 52: Tìm n biết 3 3 3 3

3 4 1..... 3n nC C C A

Bài 53: B-2004

Có 30 câu hỏi gồm 5 khó; 10 trung bình; 15 dễ. Lập một đề kiểm tra có 5 câu khác nhau; có

đủ 3 loại và số câu dễ không ít hơn 2. Hỏi có bao nhiêu đề?

Bài 54: B-2005

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người (12nam; 3nữ). Hỏi có bao nhiêu cách phân công

về 3 tỉnh miền núi, mỗi tỉnh 4 nam và 1 nữ.

Bài 55: D-2006

Có 12 học sinh (5hs lớp A; 4 hs lớp B; 3 hs lớp C). Chọn 4 hs làm nhiệm vụ; không thuộc

quá 2 trong 3 lớp trên. Có bao nhiêu cách chọn.

Bài 56: Từ 0;1;...;7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5.

Bài 57: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số; mỗi chữ số nhỏ hơn chữ số đứng ngay liến trước.

Bài 58: Cho 0;1;2;3;4;5.

a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó phải có mặt số 0 và 3.

b/ Lập được bao nhiêu số tự nhien có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

Bài 59: Có bao nhiêu cách chia A gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng.

Bài 60: Có 20 học sinh; trong đó có 4 cặp sinh đôi. Chon ra 3 học sinh sao cho không có cặp sinh đôi

nào. Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 61:

Tìm các số tự nhiên chia hết cho 2 và có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số

đứng liền trước.

Bài 62: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số từ 1;2;3;4;5;6; trong đó chữ số 1 và 6 có mặt 2

lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Bài 63: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho tổng của các chữ số là số chẵn.

b/ Có bao nhiêu tập con khác rỗng có ít hơn 52 phần tử của A có 100 phần tử.

Bài 64:


27

Từ 0;1;...;7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt 4 lần; các

chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

Bài 65: Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ 1;2;3;5;6;8.

Bài 66: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2158.

Bài 67: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số; trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau; 3 chữ số chẵn

khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần.

Bài 68: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ

số lẻ.

Bài 69: Cho 0;1;...;7.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4

Bài 70: Có 7 chiếc hộp như nhau; 10 viên bi như nhau. Có bao nhiêu cách đưa 10 viên bi vào 10 hộp

sao cho:

a/ mỗi hộp có ít nhất 1 viên.

b/ bất kỳ (có hộp rỗng).

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP · Sử dụng công thức khai triển nhị thức...

Documents

Transcript of ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP · Sử dụng công thức khai triển nhị thức...