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Cours M2 ASTR - module FRS - Commande Robuste

Toulouse Dec 2014-Fév 2015

Dimitri PEAUCELLE - LAAS-CNRS - Université de Toulouse

Renseignements pratiques

n Enseignant : Dimitri Peaucelle, chargé de recherche au LAAS-CNRS

l Contacts : 05 61 33 63 09 - [email protected]

l Page web : homepages.laas.fr/peaucell/teaching.php

n Organisation du cours

l Cours magistral avec supports de cours sur planches : 11h

s 10, 12, 19 décembre et 7, 13, 14 janvier

l Exercices avec support MATLAB : 6h

s 17 décembre et 6, 14 janvier

l TP avec support MATLAB : 6h

s 22, 29 janvier

l Examen, tous documents autorisés et avec support MATLAB : 2h

s 17 février

Cours M2 UPS - Commande robuste 1 Dec 2014 - Fév 2015, Toulouse

Prologue

Robuste ?


Prologue

n Stabilité robuste - Sur la base du critère de Nyqvist (systèmes SISO)

− Σ+ K

l Plus le lieu de Nyquist de G(s) = ⌃(s)K(s) est distant du point �1plus on peut attendre de robustesse

s Marge de gain : de combien augmenter/diminuer le gain de G(s) sans couper �1s Marge de phase : de combien augmenter/diminuer la phase de G(s) sans couper �1s Marge de module : rayon maximal du cercle autour de �1 qui ne coupe pas G(s)s Marge de module : rayon des cercles en tout point de G(s) qui ne coupent pas �1.


Prologue

n Interprétation des “marges” : soit � une incertitude et H(�, s) = �G(s)1+�G(s) la FT en BF

s Marge de gain : stabilité de H(�, s) pour tout � 2 [1 , Kg] ⇢ R

s Marge de phase : stabilité de H(�, s) pour tout � = ej� 2 C : � 2 [0 , m�]

s Marge de module : stabilité de H(�, s) pour tout � 2 C : |�| KM

n Méthodes pour d’autres fonctions H(�, s) ?

l Exemple analyse de la stabilité de ÿ + (1 + �1

)ẏ + (2 + �2

)y = u en fonction de �i

l Exemple de synthèse de u = ky pour le même système et |�i| ¯�


Prologue

l Exemple avec H(�, s) = 1D(�,s) avec

D(�, s) = s4 + 10s3 + 10(10 � �1

2

)s2 + (10 � �2

2

)s + 10(1 � �1

3

+ 5�2

2

)

s Crirtère Routh : stable ssi

100(10 � �1

2

) > 10 � �2

2 > 0 , �1

3 � 5�2

� 1 < 0 ,100�

1

2�2

2 � �2

4

+ 1000�1

3 � 1000�1

� 5980�2

2 > 0

s Inégalités satisfaites pour

(�1

, �2

) = (�1, 1) , (�1, �1) , (1.8, �1) , (1.8, 1)

s Mais pas satisfaites pour (�1

, �2

) = (1.8, 0) , (1, 0)


Prologue

l Exemple avec H(�, s) = 1D(�,s) avec

D(�, s) = s4 + 10s3 + 10(10 � �1

2

)s2 + (10 � �2

2

)s + 10(1 � �1

3

+ 5�2

2

)

s Valeurs stabilisantes de (�1

, �2

)

−2 −1 0 1 2 3 4−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

s Il ne suffit pas de tester la stabilité des valeurs extrèmes !


Prologue

l Exemple avec ẋ = A(�)x, � 2 [0 , 1] et

A(�) = �

2

4

�1 �110 �1

3

5

+ (1 � �)

2

4

�1 10�1 �1

3

5

s Combinaison linéaire convexe de deux sommets stables

A[1] =

2

4

�1 �110 �1

3

5 , A[2] =

2

4

�1 10�1 �1

3

5 , �(A[i]) = �1.0000 ± 3.1623j


Prologue

l Exemple avec ẋ = A(�)x, � 2 [0 , 1] et

A(�) = �

2

4

�1 �110 �1

3

5

+ (1 � �)

2

4

�1 10�1 �1

3

5

s Combinaison linéaire convexe de deux sommets stables

A[1] =

2

4

�1 �110 �1

3

5 , A[2] =

2

4

�1 10�1 �1

3

5 , �(A[i]) = �1.0000 ± 3.1623j

s Analyse du centre A( 12

) =

1

2

A[1] + 12

A[2] =

2

4

�1 4.54.5 �1

3

5

�(A(1

2

)) = �5.5 , +3.5

Au moins un des pôles est à partie réelles positive = instable.

s En réalité stable pour � < 0.1011 ou � > 0.8989


Prologue

l Théorème de Kharitonov , ai ai ai indépendants les uns des autres

D(�, s) = a0

+ a1

s + a2

s2 + . . . + ansn

le polynôme est stable ssi les quatre polynômes suivants sont stables

a0

+ a1

s + a2

s2 + a3

s3 + a4

s4 + . . .

a0

+ a1

s + a2

s2 + a3

s3 + a4

s4 + . . .

a0

+ a1

s + a2

s2 + a3

s3 + a4

s4 + . . .

a0

+ a1

s + a2

s2 + a3

s3 + a4

s4 + . . .


Prologue

s Exemple s4 + 10s3 + [100 91.9]s2 + [10 9]s + [2.71 67.29]

(i.e. |�1

| 0.9 et |�2

| 1 dans ex précédent)

racines(2.71 + 9s + 100s2 + 10s3 + s4) =

0

@

�4.96 ± j8.63�0.044 ± j0.16

1

A

racines(2.71 + 10s + 100s2 + 10s3 + s4) =

0

@

�4.95 ± j8.63�0.049 ± j0.16

1

A

racines(67.29 + 10s + 91.9s2 + 10s3 + s4) =

0

@

�4.98 ± j8.12�0.014 ± j0.86

1

A

racines(67.29 + 9s + 91.9s2 + 10s3 + s4) =

0

@

�4.99 ± j8.13�0.009 ± j0.86

1

A

s Kharitonov permet de prouver stabilité robuste pour �0.9 �1

0.9, |�2

| 1s ... mais ne permet pas de prouver stabilité robuste pour �1 �

1

0.9, |�2

| 1

n Autres méthodes ?


Introduction

n Commande robuste - Cadre général

l Automatique / Théorie de la commande

l Commande de systèmes dynamiques

s Représentés par des équations différentielles (systèmes à temps continu)

s ou par des équations récurrentes (systèmes à temps discret)

l Modèles non-linéaires dans l’espace d’état8

<

:

ẋ(t) = f(x, u, t)

y(t) = g(x, u, t)ou

8

<

:

xk+1 = f(x, u, k)

yk = g(x, u, k)

s x : état du systèmes u : commandes du système (actionneurs)s y : mesures du système (capteurs)

l Modèles linéaires dans l’espace d’état et matrices de transfert (MIMO)

⌃(s) ⇠

8<

:ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)ou ⌃(z) ⇠

8<

:xk+1 = Axk +Buk

yk

= Cxk

+Duk


Introduction

n Systèmes dynamiques, exemples

c� AIRBUS S.A.S. - H. Goussé c� ProMinent

c� CNES - ill. D. Ducos HRP-2 Promet @ Astrium - Ariane 5 @ Quanser - 3DOF hélico


Introduction

n Commande robuste - Spécificités

l Systèmes incertains

s Représentations polytopiques et LFT

s Stabilité et performances garanties pour toutes les incertitudes = robuste

l Principalement dans le cadre de modèles linéaires

s Outils mathématiques : matrices, transformées de Laplace, normes, etc.

l Peu de résultats analytiques

s Formules avec contraintes de type inégalités matricielles

s Résolution par outils d’optimisation convexe

l Méthodologie relativement générique

s Actuellement répandue au delà du cadre des systèmes linéaires


Introduction

n Modélisation pour la commande

l Isoler un comportement dynamique

s Découplage par axes - mouvement longitudinaux/latéraux d’un avion

s Découplage temporel - incidence/remplissage réservoir d’un lanceur

s Découplage par modes - rejoindre destination / positionnement précis

s Découplage fréquentiel - échantillonnage, dynamiques composants

l Définir trajectoire/position de référence

s Termes non-linéaires négligés, simplifiés ou linéarisés

s Enoncé de performances à atteindre

s Enoncé de contraintes à satisfaire

l Tenir compte de méconnaissances

s Tous les phénomènes physiques n’ont pas de description concise

s Paramètres varient d’un produit manufacturé à l’autre

s Identification de paramètres est toujours entachée d’erreur


Introduction

n Les modèles obtenus

l dépendent de paramètres ✓

s (mode, état d’une dynamique lente, trajectoire de référence...)

s connus, choisis ou mesurables (avec une certaine précision)

l dépendent d’incertitudes �

s (dynamiques négligées, approximations, méconaissances...)

s inconnus mais bornés, à dynamiques nulles, lentes ou bornées

l sont influencés par des perturbations w

s (phénomènes, couplages, fréquences négligées... et trajectoire)

s inconnus, avec caractéristiques fréquentielles, temporelles, énergétiques...

l doivent satisfaire des contraintes sur certaines composantes z

s (performances, validité des hypothèses de modélisation...)

s caractéristiques fréquentielles, temporelles, énergétiques...


Introduction

n Modèles non-linéaires dans l’espace d’état

⌃(✓, �) :

8

>

>

<

>

>

:

ẋ(t) = f(x, u, t, w, ✓, �)

y(t) = g(x, u, t, w, ✓, �)

z(t) = h(x, u, t, w, ✓, �)

l Etapes de modélisation permettent simplifications

s Découplage temporel f(x, u, t) �! f(x, u, ✓)s Linéarisation f(x, u, ✓) �! A(�, ✓)x + B(�, ✓)u

avec � bornée sous contraintes sur certaines composantes z de l’état

s ...

l Exemples

s cos(t)x(t) �! ✓(t)x(t) avec ✓ 2 [�1 1]s x

1

(t)x2

(t) �! �(t)x2

(t) avec � 2 [�1 1] si z = x1

2 [�1 1]


Introduction

n Typologie de modèles :

l Système physique réel - parfois accessible pour expérimentation

l Modèle physique idéal - pour modélisation mathématique

(Agrégat de systèmes élémentaires)

l Modèle mathématique idéal - pour simulation sur calculateurs

(Modèle de connaissance obtenu par application des lois de la physique)

l Modèle mathématique réduit - pour simulations rapides

(Modèle de comportement obtenu par découplage, linéarisation, réduction...)

l Modèle réduit incertain - pour analyse robuste, pessimiste

(Modèle mathématique réduit, simplifié, souvent LTI)

(erreurs contenues dans incertitudes et spécifications de performance)

l Modèle réduit nominal - pour la synthèse de lois de commande

(Modèle sans incertitudes avec un seul critère de performance)


Introduction

n Commande classique : synthèse pour ✓ = ✓0

fixé, sans incertitudes � = 0

⌃(✓0

, 0) :

8

>

>

<

>

>

:

ẋ(t) = f(x, u, t, w, ✓0

, 0)

y(t) = g(x, u, t, w, ✓0

, 0)

z(t) = h(x, u, t, w, ✓0

, 0)

⌃c :

8

<

:

⌘̇(t) = fc(⌘, y, t)

u(t) = gc(⌘, y, t)

l Exemple : synthèse LQG - min kzk2

sous w bruit blanc gaussien8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

ẋ(t) = A✓0(t)x(t) + B✓0(t)u(t) + w1(t)

y(t) = C✓0(t)x(t) + w2(t)

z1

(t) = Q1/2(t)x(t)

z2

(t) = R1/2(t)u(t)

8

<

:

⌘̇(t) = (A✓0(t) � L(t)C✓0(t) � B✓0(t)K(t))⌘(t) + L(t)y(t)u(t) = �K(t)⌘(t)


Introduction

n Commande classique : synthèse pour ✓ = ✓0

fixé, sans incertitudes � = 0

l Commande en boucle fermée est intrinsèquement robuste, mais ...

s Stabilité préservée en réponse à des perturbations non-modélisées, faibles

s Comportement inchangé pour petits écarts de ✓ et �

s Performances fortement dégradées pour écarts moyens

s Risque d’instabilité pour grands écarts

n Système de commande robuste :

Un système de commande est dit robuste s’il conserve ses propriétés malgré les incertitudes et

les perturbations affectant le système

l Tenir compte des écarts lors de la conception : Synthèse robuste

l Valider robustesse d’une loi de commande : Analyse robuste


Introduction

n Exemple

l Système physique réel

@ Astrium - Ariane 5

l Modèle physique idéal

l Modèle mathématique réduit incidence, 1 axe, sans modes flexibles ...

J(t)¨✓(t) = m(t)g sin ✓(t)+LT (t), T = sat(F (s)u(s)), u(t) = kp(✓r(t)�✓(t))�kd ˙✓(t).

l Modèle réduit LTI incertain en un point de vol Est-il stable ?

✓ =1

s2 � �ms· 1�⌧s + 1

u, u = kp✓r � (kp + skd)✓


Plan du cours

n 10 décembre, 10h : Introduction + Rappels - cours

n 12 décembre, 13h30 : Modèles incertains polytopiques et stabilité - cours

l 17 décembre, 10h : Modèles incertains polytopiques - salle TP I3

n 19 décembre, 10h : Modèles incertains polytopiques et résultats LMI - cours

l 6 janvier, 7h45 Modèles incertains polytopiques - salle TP I3

n 7 janvier, 10h : Modèles incertains LFT - cours

n 13 janvier, 10h : Théorème du petit gain - cours

l 14 janvier, 9h : Modèles LFT - salle TP I3

l 22 janvier, 9h : Modélisation d’un problème de performance robuste - salle TP I3

l 19 janvier, 9h : Synthèse robuste et analyse robuste de la boucle fermée - salle TP I3

n 17 février, 9h : Examen - salle TP I3


RÉFÉRENCES Quelques références RÉFÉRENCES

R

´

ef

´

erences

[Apkarian(2012)] P. Apkarian. Elements de la théorie de la commande robuste, 2012. URL

pierre.apkarian.free.fr/COURS/polysae.pdf.

[Arzelier()] D. Arzelier. Commande robuste. URL http://homepages.laas.fr/

arzelier/cours.html.

[Barmish(1985)] B. Barmish. Necessary and sufficient conditiond for quadratic stabilizability of

an uncertain system. J. Optimization Theory and Applications, 46(4), Aug. 1985.

[Chesi(2010)] G. Chesi. LMI techniques for optimization over polynomials in control : a survey.

IEEE Trans. Aut. Control, 55(11) :2500–2510, 2010.

[Duc and Font(1999)] G. Duc and S. Font. Commande H1 et µ-analyse : des outils pour la

robustesse. Hermes Science, Paris, 1999.

[Laroche()] E. Laroche. Commande robuste. URL http://eavr.u-strasbg.fr/

˜laroche/student/#MIRIV.

[McFarlane and K.(1990)] D. McFarlane and G. K. Robust Controller Design Using Normalized

Coprime Factor Plant Descriptions. Lecture Notes in Control and Information Sciences.

Springer Verlag, 1990.


RÉFÉRENCES Quelques références RÉFÉRENCES

[Peaucelle et al.(2000)Peaucelle, Arzelier, Bachelier, and Bernussou] D. Peaucelle, D. Arzelier,

O. Bachelier, and J. Bernussou. A new robust D-stability condition for real convex polytopic

uncertainty. Systems & Control Letters, 40(1) :21–30, May 2000.

[Scherer()] C. Scherer. Theory of robust control. URL http://www.ist.

uni-stuttgart.de/education/courses/robust/overview.

shtml.

[Skogestad and Postlethwaite(2005)] S. Skogestad and I. Postlethwaite. Multivariable Feedback

Control. Wiley, 2nd ed. edition, 2005.

[Tempo et al.(2005)Tempo, Calafiore, and Dabbene] R. Tempo, G. Calafiore, and F. Dabbene.

Randomized Algorithms for Analysis and Control of Uncertain Systems. Springer-Verlag,

2005.

[Tits and Fan(1995)] A. Tits and M. Fan. On the small µ theorem. Automatica, 31 :1199–1201,

1995.

[Zhou et al.(1996)Zhou, Doyle, and Glover] K. Zhou, J. Doyle, and K. Glover. Robust and Opimal

Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1996.


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