Multivariate Statistical Tests for Comparing Classification Algorithms

Multivariate Statistical Tests for Comparing

Classification Algorithms

Olcay Taner Yıldız1, Ozlem Aslan2, and Ethem Alpaydın2

1 Dept. of Computer Engineering, Isık University, TR-34980, Istanbul, Turkey2 Dept. of Computer Engineering, Bogazici University, TR-34342, Istanbul, Turkey

Abstract. The misclassification error which is usually used in tests tocompare classification algorithms, does not make a distinction betweenthe sources of error, namely, false positives and false negatives. Insteadof summing these in a single number, we propose to collect multivariatestatistics and use multivariate tests on them. Information retrieval usesthe measures of precision and recall, and signal detection uses true pos-itive rate (tpr) and false positive rate (fpr) and a multivariate test canalso use such two values instead of combining them in a single value, suchas error or average precision. For example, we can have bivariate tests for(precision, recall) or (tpr, fpr). We propose to use the pairwise test basedon Hotelling’s multivariate T 2 test to compare two algorithms or multi-variate analysis of variance (MANOVA) to compare L > 2 algorithms. Inour experiments, we show that the multivariate tests have higher powerthan the univariate error test, that is, they can detect differences thatthe error test cannot, and we also discuss how the decisions made bydifferent multivariate tests differ, to be able to point out where to usewhich. We also show how multivariate or univariate pairwise tests canbe used as post-hoc tests after MANOVA to find cliques of algorithms,or order them along separate dimensions.

1 Introduction

For a typical machine learning application, there are multiple candidate algo-rithms and we need to choose one among many. In supervised learning, this istypically done by comparing errors, and in classification with two classes, themisclassification error is the sum of false positives and false negatives (see Ta-ble 1(a)). However, misclassification error does not make a distinction betweenfalse positives and false negatives, and various other measures have been pro-posed depending on the type of error we focus on (see Table 1(b)). In informationretrieval, the two measures used are precision and recall, and in signal detection,they are true positive rate (tpr) and false positive rate (fpr). People also usecurves of these or areas under such curves. These different set of measures havedifferent uses, as we will discuss later.

In comparing classification algorithms, we use statistical tests to make surethat the difference is significant, that is, big enough that it could not havehappened by chance, or in other words, very unlikely to have been caused by

C.A. Coello Coello (Ed.): LION 5, LNCS 6683, pp. 1–15, 2011.c© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

2 O. Taner Yıldız, O. Aslan, and E. Alpaydın

Table 1. (a) 2×2 confusion matrix for two classes. (b) Different performance measures.

(a) (b)

Predicted classTrue class Positive Negative Sum

Positive tp fn pNegative fp tn n

Sum p’ n’

Name Formula

error (fp+fn)/(p+n)accuracy (tp+tn)/(p+n)

tpr tp/pfpr fp/n

precision tp/p’recall tp/p

chance – the so-called p-value of the test. To be able to measure the effect ofchance (e.g., variance due to small changes in the training set), typically, one doestraining and validation a number of times, possibly by resampling using cross-validation. For example, with k training and validation dataset pairs, we trainthe classification algorithms on the k training sets and obtain the k confusionmatrices on the validation sets. From these, we can for example calculate thek misclassification error values and to compare two algorithms, we can use apairwise statistical test [1] to see whether the two algorithms lead to classifierswith equal expected error. When there are more than two to compare, one canuse analysis of variance (ANOVA) to check if all have equal expected error.It is critical that such tests are paired, that is, we use the same training andvalidation data with all algorithms so that whatever difference we observe is dueto the algorithm, and not due to any randomness in resampling the data.

We note the disadvantage of using error here; such tests cannot make a dis-tinction between false positives and false negatives. Two classifiers may have thesame error but one may have all its error due to false positives, the other alldue to false negatives, and we will not be able to detect this difference if ourcomparison metric is simply the error; see Figure 1 for an example.

In this paper, we propose multivariate tests that can do comparison usingmultiple measures and not just a single one, i.e., error. That is, from the k con-fusion matrices, we will collect multivariate statistics such as a two-dimensionalvector of (tpr, fpr) or (precision, recall), and do a bivariate test. We can also doa four-variate test using the whole 2× 2 confusion matrix or any other vector ofmeasurements. Statistical tests in the machine learning literature are all univari-ate; to the best of our knowledge, our use of multivariate tests in performancecomparison of machine learning algorithms is the first.

The need to combine different measures have been noticed before. Averageprecision combines precision and recall, for example, Caruana et al. (2004) [2]compared different performance metrics such as accuracy, lift, F-Score, area un-der the ROC curve, average precision, precision/recall break-even point, squarederror, cross entropy, and probability calibration; they showed that these metricsare correlated and proposed a new measure SAR as the average of Squared error,Accuracy and Roc area. Seliya et al. (2009) [3] calculated different measures tooand going one step further proposed to combine them taking the correlation into

Multivariate Statistical Tests for Comparing Classification Algorithms 3

1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4(a)

2 2.2 2.4 2.6 2.8 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1(b)

threshold

err

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1(c)

fpr

tpr

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1(d)

recall

prec

isio

n

Fig. 1. Example showing that error is not the best measure in comparison. The neg-ative and positive instances are normally distributed with their means at 2 and 3respectively; both have standard deviation 0.3. In (a), we see the two densities, theposterior probabilities and 100 instances sampled from each. We have a classifier thatchooses the positive class if the input is greater than a threshold (corresponding toa threshold on the posterior of the positive class) and what we then do, is move thisthreshold of decision gradually from 2 to 3 (corresponding to increasing the posteriorthreshold from 0 to 1). As we see in (b), the error does not change; the number offalse positives decreases but the number of false negatives increase in equal amount.In (c) and (d), we see that if we use (tpr, fpr) and (precision, recall) as measures ofperformance, the values differ as the threshold is changed. As the threshold increases,the number of true positives decrease which decreases tpr and recall; but because falsepositives decrease, fpr decreases and precision increases. Note that in (c) and (d), aswe increase the threshold, we move from the right to the left along the curves. (Tpr,fpr) and (precision, recall) can detect a difference due to different thresholds becausethey make a distinction between false positives and false negatives. For example, if wehad two classifiers one with threshold at 2 and another with threshold at 3, a pairwisetest on error would not be able to detect any difference between them, but tests on(tpr, fpr) or (precision, recall) would. The aim of this paper is the discussion of suchtests.


account. Note however that these are for reporting performances only and theyinclude no statistical methodology for testing or comparison, as we do here.

This paper is organized as follows: To compare two algorithms, we discuss thepairwise univariate test and the proposed multivariate test in Section 2. Whenthere are L > 2 algorithms to compare, we can use univariate and multivariateANOVA, as discussed in Section 3. We give our experimental results in Section 4and conclude in Section 5.

2 Pairwise Comparison

Let us say we have two classification algorithms. We train and validate thetwo algorithms on k training/validation data folds and calculate the resulting kseparate 2 × 2 confusion matrices Mij , i = 1, 2, j = 1, . . . , k, on the validationsets in the same format as shown in Table 1(a).

2.1 Univariate Case

If we want to compare in terms of error, for both algorithms and all k folds, wecalculate eij = fpij + fnij and then the paired difference between the errors

dj = e1j − e2j

and we test if these differences come from a population with zero mean:

H0 : μd = 0 vs. H1 : μd �= 0

For the univariate paired t test, we calculate the average and the standarddeviation:

d =k∑

j=1

dj/k , sd =

∑j(dj − d)2

k − 1

Under the null hypothesis that the two algorithms have the same expectederror, we know that

t′ =√

kd

sd(1)

is t distributed with k − 1 degrees of freedom. We reject H0 if |t′| > tα/2,k−1

with (1 − α)100 % confidence.

2.2 Multivariate Case

If we do not want to reduce to a single statistic and want to use a set of valuesin comparison, we need a test that can use vectors instead of scalars. In sucha case, we want to compare the means of two p-dimensional populations, thatis, we want to test for the null hypothesis H0 : µ1 − µ2 = 0. If we want tocompare in terms of (tpr, fpr) or (precision, recall), then p = 2. Note that usingthe same setting, it is also possible to define a multivariate test on (sensitivity,specificity), or consider all four entries in the confusion matrix, in which case


p = 4. As before, we train and validate both algorithms with the same folds anduse a paired test, except that now the test is multivariate.

Let us say xij ∈ �p is the performance vector containing p performance values.For the multivariate paired Hotelling’s test, we calculate the paired differencevectors

dj = x1j − x2j

and check if they come from a p-variate Gaussian with zero mean:

H0 : µd = 0 vs. H1 : µd �= 0

We calculate the average vector and the covariance matrix:

d =k∑

j=1

dj/k , Sd =1

k − 1

∑j

(dj − d)(dj − d)T

Under the null hypothesis that the two algorithms have the same expectedbehavior, we know that [4]

T ′2 = kdTS−1

d d (2)

is Hotelling’s T 2 distributed with p and k − 1 degrees of freedom. We rejectthe null hypothesis if T ′2 > T 2

α,p,k−1. Hotelling’s T 2(p, m) can be approximatedusing F distribution via the formula

(m − p + 1

mp

)T 2

p,m ∼ Fm,m−p+1 (3)

Note that we calculate our measures such as tpr, precision, and so on, fromentries in the 2 × 2 confusion matrix; these are counts of indicator randomvariables (they are 0/1 Bernoulli random variables) caused by the same event(the trained classifier) and the total counts are then dependent binomial randomvariables. We know from the central limit theorem that the binomial convergesto the Gaussian unless the sample (here, the validation set size) is very small andhence the assumption of joint multivariate normality makes sense. Rememberthat all parametric tests based on error also use the same assumption.

When p = 1, this multivariate test reduces to the univariate t test of Section2.1. Just like d/sd of (1) measuring the normalized distance in one dimension,d

TS−1

d d of (2) measures the (squared) normalized distance in p dimensions.If the multivariate test rejects, we can do p post-hoc univariate tests to check

which one(s) of the variates cause(s) a rejection. For example, if a multivariatetest on (precision, recall) rejects, we may want to check if the difference is dueto a significant difference in precision, recall, or both. For testing difference invariate l, we use the univariate test in (1) and calculate

t′l =√

kdl

Sd,ll(4)

and reject H0 : μd,l = 0 if |t′l| > tα/2,k−1.


Note that it may be the case that none of the univariate differences is signifi-cant whereas the multivariate one is, and the linear combination of variates thatcause the maximum difference can be calculated as

w = S−1d d (5)

We can then see the effect of the different univariate dimensions by looking atthe corresponding elements of w. The fact that this is the Fisher’s LDA directionis not accidental—we are looking for the direction that maximizes the separationof two groups of data.

3 Analysis of Variance

If we have L > 2 algorithms to compare, we test whether they have the sameexpected performance. In the univariate case, we reduce the confusion matricesto error values and compare them; in the multivariate case, we compare vectorsof performance values.

3.1 Univariate Case

Given L populations, we test for

H0 : μ1 = μ2 = · · · = μL vs. H1 : μr �= μs for one pair r, s

Let us say that eij , i = 1, . . . , L, j = 1, . . . , k, denotes the error of algorithm ion validation fold j. ei· =

∑j eij/k denotes the average error of algorithm i, and

e·· =∑

i ei,·/L denotes the overall average. The univariate ANOVA calculates

F ′ =MSH

MSE=

SSH/(L − 1)SSE/L(k − 1)

=(∑

i e2i·/k − e··/Lk)(L − 1)

(∑

i,j e2ij −

∑i e2

i·/k)/L(k − 1)(6)

which, under the null hypothesis, is F distributed with L−1 and L(k−1) degreesof freedom. We reject H0 if F ′ > Fα,L−1,L(k−1).

If ANOVA rejects and we know that there is at least one pair that is signifi-cantly different, we can use the pairwise test of Section 2.1 as a post-hoc test onall pairs r, s to check which pair(s) lead(s) to the significant difference in error.

3.2 Multivariate Case

Given L populations, we test for

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µL vs. H1 : µr �= µs for one pair r, s.


Let us say that xij , i = 1, . . . , L, j = 1, . . . , k denotes the p-dimensional per-formance vector of algorithm i on validation fold j. The multivariate ANOVA(MANOVA) calculates the two matrices of between- and within-scatter:

H = k

L∑i=1

(xi· − x··)(xi· − x··)T

E =L∑

i=1

k∑j=1

(xij − xi·)(xij − xi·)T

Then

Λ′ =|E|

|E + H| (7)

is Wilks’ Λ distributed with p, L − 1, L(k − 1) degrees of freedom [4]. We rejectH0 if Λ′ ≤ Λα,p,L−1,L(k−1). Note that rejection is for small values of Λ′: If thesample mean vectors are equal, we expect H to be 0 and Λ′ to approach 1;as the sample means become more spread, H becomes “larger” than E and Λ′

approaches 0.Wilks’ Λ can be approximated using χ2 distribution via the formula(

p − n + 12

− m

)log Λp,m,n ∼ χ2

np (8)

If MANOVA rejects, we can do p separate univariate ANOVA on each of theindividual variates as we discussed in Section 3.1, or the difference may be due tosome linear combination of the variates: The mean vectors occupy a space whosedimensionality is given by s = min(p, L− 1); its dimensions are the eigenvectorsof E−1H and we have

Λ =s∏

i=1

11 + λi

where λi are the corresponding sorted eigenvalues. The analysis of the eigenval-ues and the corresponding variates of the eigenvectors allow us to pinpoint thecauses if MANOVA rejects. For example, if λ1/

∑i λi > 0.9, there is collinearity,

i.e., the means lie on a single discriminant, z = wT x, where w is the eigenvectorwith the largest eigenvalue λ1.

We can also do a set of pairwise multivariate tests as we have discussed inSection 2.2 after MANOVA rejects, to see which pairs (or groups) of algorithmshave comparable performance vectors.

4 Experiments

4.1 Setup

We use a total of 36 two-class datasets where 27 of them (artificial, australian,breast, bupa, credit, cylinder, german, haberman, heart, hepatitis, horse, irono-sphere, krvskp, magic, mammographic, monks, mushroom, parkinsons, pima,


polyadenylation, promoters, satellite47, spambase, spect, tictactoe, transfusion,vote) are from the UCI repository [5], three (ringnorm, titanic, twonorm) arefrom the Delve repository [6], and six (acceptors, ads, dlbcl, donors, musk2,prostatetumor) are Bioinformatics datasets [7]. We use 10-fold cross-validationand five algorithms: (1) c45: C4.5 decision tree. (2) svm: Support vector ma-chine (SVM) with a linear kernel [8].(3) lda: Linear discriminant classifier. (4)qda: Quadratic discriminant classifier. (5) knn: k-nearest neighbor with k = 20.

4.2 Results

Univariate vs. Multivariate testing. In the first part of our experiments,we compare the univariate k-fold paired t test (k = 10) on error which we nameUniErr, with our proposed multivariate pairwise test using (tpr, fpr), which wename MultiTF.

Figure 2 shows the example where the univariate test fails to reject and Mul-tiTF rejects the null hypothesis that the two classifiers lda and qda have the samemean on the breast dataset. Figure 2(a) shows the (tpr, fpr) scatter plots of theten runs each of the two methods and the isoprobability contours of the fittedbivariate Gaussians. We see that LDA has higher fpr whereas QDA has lowertpr, that is, higher false negative rate. We see in Figure 2(b) that the classifiershave comparable overall error histograms: LDA has more false positives, QDAhas more false negatives, but overall they have comparable error. We see in Fig-ure 2(c) that the contour plot of the covariance matrix of the paired differenceshas its mean far from (0,0) and that is why the multivariate test rejects the nullhypothesis that the means are the same, whereas in Figure 2(d), we see thathistogram of the differences of errors has its mean close to 0 and the univariatetest fails to reject the null hypothesis that the means are equal.

MultiTF vs. MultiPR. In the second part of our experiments, we see theeffect of different measures on the multivariate test and compare MultiTF withthe multivariate test using (precision, recall) that we name MultiPR; this willhelp us identify which one to use in which context.

Figure 3 shows an example where MultiTF rejects and MultiPR fails to rejectthe null hypothesis that c45 and qda have the same mean on the pima dataset.In Figures 3(a) and (b), the x axes are the same because tpr and recall are thesame; the two differ in the y axes and that helps us understand why the twodecisions are different. Although with respect to (tpr, fpr), the mean of c45 andqda seem to be close to each other (Fig. 3(a)), their difference is significantlylarge compared to their standard deviations and this causes a rejection. Theyare close enough in the (precision, recall) space (Fig. 3(b)) and hence MultiPRdoes not reject. In calculating precision, we divide by p′, and in calculating fpr,we divide by n; here, n is larger than p′ and hence, the variance of fpr is smaller,which makes the difference significant.

We can also see this by comparing Figures 3(d) and (e): In (d), we see that(0,0) lies on the outermost contour indicating that the probability that we see adifference as large is small and hence we reject the null hypothesis; in (e), (0,0)


(a) (b)

TPR

FPR

0.9 1.00.0

0.2ldaqda

x

x

x

x

x

x

x

x

x xo

o ooo

o

o o

o o

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...............................................

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breastE

rror

lda qda0.00.91.72.63.54.35.26.17.07.88.7

(c) (d)

TPR Difference

FPR

Dif

fere

nce

0.0 0.10.0

0.1

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Err

or D

iffe

renc

e

breast

-7.2-6.2-5.2-4.2-3.2-2.2-1.2-0.20.81.82.9

Fig. 2. The example case where the univariate test fails to reject and MultiTF rejectsthe null hypothesis that lda and qda have the same mean on the breast dataset. (a)shows the isoprobability contour plots of the Gaussians fitted to performance data fromtwo algorithms and (c) shows the distribution of their paired difference; (b) and (d)show the corresponding error histograms and the histogram of paired error differencesrespectively. Roughly speaking, the multivariate test rejects if the mean of the differ-ences is far from (0,0), compared to the scale of the covariance matrix of differences;just as the univariate test rejects if the mean of the differences is far from 0, comparedto the standard deviation of differences.

is close enough to the center of the contours and the probability that we see sucha difference is not small and hence we do not reject.

If the univariate post-hoc tests are performed, we see that the algorithms aresignificantly different in terms of fpr with a p-value of 0.006. The correspondingelements of w (equation 5) are (tpr : 0.499, fpr : −25.898) and (precision : 2.014,recall : −4.374), which shows that fpr is the important one.


(a) (b) (c)

TPR

FPR

0.0 1.00.0

0.3c45qda

xx

x

xx

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

x

x

x

x

x.

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....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......................................................................................

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pima

Err

or

c45 qda20.822.223.625.126.527.929.430.832.233.635.1

(d) (e) (f)

TPR Difference

FPR

Dif

fere

nce

-1 0 1-1

0 x x

xx

xx

xx

xx

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Precision Difference

Rec

all D

iffe

renc

e

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0

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renc

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pima

-10.4-8.6-6.8-4.9-3.1-1.30.52.34.26.07.8

Fig. 3. An example case where MultiTF rejects and MultiPR fails to reject the nullhypothesis that the two classifiers, c45 and qda, have the same mean on the pimadataset. (a) and (d) show the isoprobability contour plots of the fitted Gaussians andof the difference with respect to (tpr, fpr); (b) and (e) show the same with respect to(precision, recall); (c) and (f) show the corresponding histogram of the error rates andthe differences in the error rates.

The error distributions of the algorithms are also similar to each other andthe univariate test also fails to reject the null hypothesis that the error rates ofthose algorithms are equal (see Figs. 3(c) and (f)).

(Precision, recall) and (tpr, fpr) metric pairs have different application areas.In (precision, recall), we are basically interested in how well we classify thepositive examples, whereas in (tpr, fpr), in trying to minimize fpr, we also wantto increase the true negatives. To show the difference between them, we did twoexperiments: In Figure 4(a), we simply add more and more true negatives to aclassifier. In such a case, we see that this has no effect on precision and recall,but decreases fpr. When compared with the classifier without any additional truenegatives, MultiPR does not reject but MultiTF starts rejecting after a point.

It is known that (precision, recall) is sensitive to class skewness [9], whereas(tpr, fpr) is not. In Figure 4(b)), we slowly change the ratio p/n, and we seethat because precision uses values from both rows, it changes; however (tpr,fpr) do not change since they use values from only one row. Compared with theclassifier with the original ratio, MultiTF does not reject (because the rates donot change), but MultiPR starts rejecting after a point.


(a) (b)

λProb

. of

faili

ng to

rej

ect t

he n

ull h

ypot

hesi

s

.05 .11 .16 .22 .27 .33 .38 .44 .50 .55.0.1.2.3.4.5.6

.7

.8

.91.0

(TPR,FPR)(Precision,Recall)

αProb

. of

faili

ng to

rej

ect t

he n

ull h

ypot

hesi

s

.02 .05 .07 .10 .12 .15 .17 .20 .22 .25.0.1.2.3.4.5.6

.7

.8

.91.0

(TPR,FPR)(Precision,Recall)

Fig. 4. In (a), when we add more and more true negatives (tn ← tn (1 +λ)), precisionand recall do not change, but fpr (=fp / (n +λ tn)) decreases and MultiTF test starts

rejecting the null hypothesis. In (b), we change the ratio pn

= (tp+fn)(1−α)(fp+tn)(1+α)

while keeping

tpr and fpr the same (tp← tp (1−α), fn← fn (1−α), fp← fp (1+α), tn← tn (1+α)), wesee that precision changes and MultiPR starts rejecting. Plotted values are proportionsof failures to reject in 100 independent runs.

If we are doing an information retrieval task with a query such as, “Find meall images of tigers,” adding additional non-tiger images to the database does nothave any effect on our measure of performance (as long as we have no difficultyin recognizing them as non-tigers and do not retrieve them), and hence we useprecision and recall. If we want to differentiate between two types of targets, forexample, cars and tanks, our accuracy on these different targets is important,and we use tpr and fpr.

Comparison of multiple algorithms. In the third part of our experiments,we use the univariate and multivariate tests to compare L > 2 classificationalgorithms. For the univariate case, if ANOVA rejects, we can do L(L − 1)/2pairwise univariate tests to find difference between pairs and also cliques, i.e.,subsets of algorithms in which all pairwise tests fail to reject.

In the case of a univariate test, we can also write down an order by comparingthe means. For this, we sort the algorithms in terms of average error in ascend-ing order and then try to find groups where there is no statistically significantdifference between the smallest and largest means in the group, which we checkby applying a pairwise univariate test to these two at the ends. If this the case,we underline the group. We first try all five, if there is a difference between thefirst and the fifth, we try the two groups of four leaving out the two extremes,and so on.

If MANOVA rejects, similarly, we can do the pairwise multivariate tests andfind cliques. We can also do univariate tests on the dimensions separately and


TPR

FPR

0.8 1.00.0

0.2c45knnldaqdasvm

x

x

x

x

++

++ +

+

+ ++

+

#

##

# #

#

#

##

#

%

%%

%

%

%

%

% %

%

x

x

x

xx

x

o

oo

o

o

o

o

o o

o

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breast

Err

or

c45 knn lda qda svm0.001.162.323.484.645.806.968.129.28

10.4311.59

(a) (b) (c)

Fig. 5. Comparison of five algorithms on breast. (a) and (b) show the isoprobabilitycontour plots of the fitted bivariate Gaussians with respect to (tpr, fpr) and (precision,recall) respectively; (c) shows the corresponding histogram of the error rates.

Table 2. Tabular representation of post-hoc univariate and MultiTF/MultiPR testresults on breast dataset. 1 stands for a failure to reject the null hypothesis.

c45 lda qda svm knn

c45 0 0 0 0lda 0 1 1 1qda 0 1 1 1svm 0 1 1 1knn 0 1 1 1

c45 lda qda svm knn

c45 0 0 0 0lda 0 0 1 1qda 0 0 0 0svm 0 1 0 1knn 0 1 0 1

try to find orderings, as discussed above for error. For example, if MANOVAon (precision, recall) on five algorithms reject, we can try to find groups andorderings in terms of precision and recall separately.

Figure 5 shows the first example case on breast dataset. Both ANOVA andMANOVA reject the null hypothesis. According to post-hoc test results, theunivariate test finds a single clique of four algorithms (knn, lda, qda, svm). Onthe other hand, both multivariate post-hoc tests (MultiTF and MultiPR) find asingle clique of three algorithms (knn, lda, svm). Table 2 shows the results of allpairwise tests between five algorithms.

The univariate orderings found are as follows:

error knn svm lda qda c45tpr, recall lda knn svm qda c45fpr qda knn svm c45 ldaprecision qda knn svm c45 lda

The clique found by multivariate tests (knn, lda, svm) appears as a singlegroup with respect to tpr and recall. Although (knn, svm) appear together, ldais separate from that group when the criterion is fpr or precision. We see thatthese different measures are able to detect differences that error cannot, and thatthe differences vary depending on what performance measure we concentrate on.


TPR

FPR

0.0 1.00.0

0.4c45knnldaqdasvm

x

xx

+

+

+

+

+

+

++++

#

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#

#

#

###

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%

%

%

%

%

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xx

xx

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x

oo

o

o oo

oo

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spect

Err

or

c45 knn lda qda svm7.1411.0715.0018.9322.8626.7930.7134.6438.5742.5046.43

(a) (b) (c)

Fig. 6. Comparison of five algorithms on spect. (a) and (b) show the isoprobabilitycontour plots of the fitted bivariate Gaussians with respect to (tpr, fpr) and (precision,recall) respectively; (c) shows the corresponding histogram of the error rates.

Table 3. Tabular representation of post-hoc MultiTF and MultiPR test results onspect dataset. 1 stands for failing to reject the null hypothesis.

c45 lda qda svm knn

c45 0 1 1 0lda 0 0 0 1qda 1 0 1 0svm 1 0 1 0knn 0 1 0 0

c45 lda qda svm knn

c45 0 0 0 0lda 0 0 0 1qda 0 0 1 0svm 0 0 1 0knn 0 1 0 0

Figure 6 shows the second example case where we compare all algorithms onspect. Again, both ANOVA and MANOVA reject the null hypothesis. Accordingto the post-hoc tests, the univariate test finds five different cliques (one clique ofthree and four cliques of two algorithms): (c45, qda, svm), (knn c45), (lda, c45),(lda, knn), (svm, knn). On this dataset, the decisions of the two multivariatetests, MultiTF and MultiPR, are different from each other. MultiTF finds twocliques: (c45, qda, svm) and (lda, knn), whereas MultiPR finds the same cliquesexcept c45 is missing in one clique: (qda, svm) and (lda, knn). Table 3 shows theresults of the multivariate pairwise tests between five algorithms.

The univariate ordering of the five classifiers are as follows:

error qda svm c45 knn ldatpr, recall knn lda svm qda c45fpr qda c45 svm knn ldaprecision qda svm knn lda c45

The first clique found by MultiTF (c45, qda, svm) appears as a single groupwith respect to both tpr and fpr, whereas the second clique (lda, knn) form agroup only with respect to fpr. Similarly, the first clique found by MultiPR (qda,svm) appears as a single group with respect to recall and precision, whereas thesecond clique (lda, knn) form a group only with respect to precision.


Using the full 2×2 confusion matrix. Instead of using (tpr, fpr) or (pre-cision, recall), one can also use the full 2 × 2 confusion matrix using the samemultivariate test in four dimensions. Note however that though the matrix con-tains four numbers, because p and n are fixed, the degree of freedom is two andthat going to four dimensions is unnecessary. In our pairwise comparison exper-iments, we see that in 2582 cases out of 2740, the rank of the 2 × 2 confusionmatrix Sd is indeed 2. Only in 98 cases, the rank is 1: This case occurs if the ratiotp / tn is the same for all folds, and in 60 cases, the rank is 4: This case occursif the number of positive and/or negative instances is not exactly divisible byk, resulting in a difference between the positive and/or negative instances goingfrom one fold to another.

It can be shown that when we use the 2×2 confusion matrix, the test statisticcalculated will be the same as that of MultiTF. The other values fn and tn arefixed because we have (p = tp + fn) and (n = fp + tn) and they do not changegoing from one fold to another due to stratification, reducing the dimensionalityto two, and it can be shown that MultiTF uses scaled versions of the countsused by Multi 2 × 2 but both return the same value. As explained above, thereare cases when the stratification is not exact, but such cases are rare and do notaffect the overall result.

5 Conclusions

In this paper, we propose to use multivariate tests to compare the performancesof classification algorithms. Doing this, we can consider entries in the confusionmatrix separately without needing to sum them up in a cumulative measure suchas error or accuracy, which may hide certain differences in the behavior of thealgorithms. Though multivariate pairwise tests and multivariate ANOVA havebeen known in the statistical literature, to the best of our knowledge, their usein performance comparison of machine learning algorithms is new.

There are a number of advantages to testing p variables multivariately ratherthan p separate univariate testing [4], as has also been shown in our experimentalresults above: (1) The use of p univariate tests inflates the type I error rate,unless we do some sort of correction (which in turn decreases power). (2) Theunivariate tests ignore correlations between variables, whereas the multivariatetest uses the covariance information. (3) The multivariate test has higher power:Sometimes the p univariate tests may fail to detect a difference whereas themultivariate difference may be significant. (4) The multivariate test (pairwisetest or MANOVA) constructs linear combinations of variables that reveals howthe variables unite to reject the hypothesis.

The use of k-fold cross-validation to obtain k set of performance values comeswith a caveat. Because all k training/validation sets are resampled from the sameset, they overlap, and these k set of measurements are not really independent.This is true both for the univariate t test [1] and the multivariate test. Nadeuand Bengio (2003) [10] and Bouckaert and Frank (2004) [11] discuss a variance-correction term. We note that the resampling procedure used to generate the k


data folds is orthogonal to the test which uses these results and that our proposedmultivariate test can be used with any improved resampling procedure.

We calculate (tpr, fpr) or (precision, recall) values for a specific thresholdvalue. To have an overall comparison, for example, we can use s different thresh-olds (as done in a ROC curve) and calculate a pair for each value and get anoverall 2s dimensional vector and again use the multivariate test. This is an inter-esting research direction. In this paper, we discuss how two or more algorithmscan be compared on a single dataset. Demsar (2006) [12] discusses the compari-son of algorithms over multiple datasets and an interesting future direction willbe to extend our proposed multivariate test for this.

Acknowledgments

This work has been supported by TUBITAK 109E186.

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11. Bouckaert, R., Frank, E.: Evaluating the replicability of significance tests for com-paring learning algorithms. In: Dai, H., Srikant, R., Zhang, C. (eds.) PAKDD 2004.LNCS (LNAI), vol. 3056, pp. 3–12. Springer, Heidelberg (2004)

12. Demsar, J.: Statistical comparisons of classifiers over multiple data sets. Journalof Machine Learning Research 7, 1–30 (2006)

Multivariate Statistical Tests for Comparing Classification Algorithms

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