Multivariable Calculus …ex-mba-ku.or.th/.../2016/12/19_Chapter19_Multi_variable_Calculus.pdf ·...
Transcript of Multivariable Calculus …ex-mba-ku.or.th/.../2016/12/19_Chapter19_Multi_variable_Calculus.pdf ·...
Single & Multivariable Function
ลกษณะฟงกช น• ตวแปรตวเดยว (Single Variable) :มตวแปรอสระ 1 ตว (Independent Var.)
• ตวแปรหลายตว (Multi Variables) :มตวแปรอสระมากกวา 1 ตว
การพจารณาความหมาย• ตวแปรอสระ (ตวแปร) คอ ปจจย หรอเหต• ตวแปรไมอสระ คอ ผล• เวลาวเคราะหตวแปรอสระ คดทละตวแปร ขณะทคดตวแปรใด ใหมองตวอนเปนคาคงท
ตวอยางสมการตวแปรเดยว/หลายตวแปร
• ตวแปรเดยว:• y = f(x) = 3x + 1
y’ = dy/dx = f’(x) = 3
• P = f(Q) = 10 – 2Q
P’ = dP/dQ = f’(Q) = -2
• ตวแปรหลายตว• y = f(x1 , x2 , x3) = 5x1 + 2x2 – 3x3
• w = f(x, y, z, u) = 2x - 2y + 6z – 4z
• Qx = f(Px , Py , Ax , Y)
= 8500 - 5000Px + 3500Py + 150Y + 1000Ax
“ เครองหมายของสปส. แตละตวแปรใหความหมายอยางไรกบตวแปรไมอสระ? ”
คาสปส. ในฟงกช นเชงเสนบอกอะไรเรา
• ฟงกช นเชงเสน (Linear Function) คอ ท งตวแปรอสระ
และไมอสระเปนก าลง 1
• y = f(x) = 3x + 1 y’ = dy/dx = f’(x) = 3
• คา x เพมข น 1 หนวย คา y จะเพมข น 3 หนวย
• เชน f(0) = 1 และ f(1) = 4
เมอ x = 0 เพมข นเปน x = 1 คา y เพมข น 4 – 1 = 3
• P = f(Q) = 10 – 2Q P’ = dP/dQ = f’(Q) = -2
• คา Q เพมข น 1 หนวย คา y จะลดลง 2 หนวย
• เชน f(0) = 10 และ f(1) = 8
เมอ Q = 0 เพมข นเปน Q = 1 คา P ลดลง 10 – 8 = 2
“ คาสปส. บอกใหทราบวา ตวแปรอสระเปลยนไป 1 หนวย ตวแปรไมอสระจะเปลยนไปกหนวย ดวยลกษณะเหมอนกนหรอตรงกนขาม ”
การตความหมายสมประสทธ (ตวคณ)
ตวอยาง ปรมาณการบรโภค (Quantity) สนคา x ตามสมการ
Qx = 8500 - 5000Px + 3500Py + 150Y + 1000Ax
[Px = ราคาสนคา x, Py = ราคาสนคา y, Y = รายไดประชาชาต, Ax = โฆษณาสนคา x]
• Px เปลยนไป 1 หนวย Qx จะเปลยนไป 5,000 หนวย แบบตรงขาม Px เพมข น 1 หนวย Qx จะลดลง 5,000 หนวย Px ลดลง 1 หนวย Qx จะเพมข น 5,000 หนวยการเปลยนแบบตรงขาม เพราะเครองหมายสปส.ตดลบ
• Py เปลยนไป 1 หนวย Qx จะเปลยนไป 3,500 หนวย แบบตามกน Py เพมข น 1 หนวย Qx จะเพมข น 3,500 หนวย Py ลดลง 1 หนวย Qx จะลดลง 3,500 หนวยการเปลยนแบบตามกน เพราะเครองหมายสปส.เปนบวก
• ฯลฯ
• คาสปส. เหมอนกบคา Slope ยงมากยงชน• เครองหมายสปส. บอกทศของเสนกราฟแบบ Increasing/Decreasing
Single Variable Derivative (Differentiation)
Multivariable Derivative (Partial Differentiation)• เชน z = f(x, y) • อนพนธของ z จะม 2 ตว เนองจากม 2 ตวแปรอสระ (Multivariable)• สตรการ Diff ยงใชไดเหมอนเดม เปลยนสญญลกษณจาก d เปน m
• ตวอยาง อนพนธเกดจาก (เทยบกบ) ตวแปรอสระตางๆ
อนพนธของตวแปรเดยวและตวแปรหลายตว
dxdy = =lim
Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)
Dx=y’ =f’(x)
=zxmzmx
=zymzmy
=zyym2
zmy2 =zxy
m2z
mxmy=zyxm2
zmymx
=zxxm2
zmx2
สมการเสนตรงใน Calculus
y = mx + c โดยท m = คา Slope, c = จดตดแกน y
เฉพาะกรณเสนตรง• Slope มคาคงท (เทากนทกจดบนเสนตรง)• สตร Slope ของเสนตรงเขยนไดเปน
DxDym = x2 - x1
y2 - y1=
dxdym =
หรอ mymx
(สมการตวแปรเดยว)(สมการหลายตวแปร)
y = x + c หรอ x + c dxdy
DxDyดงน น
อนพนธใน Single Variable Linear Function
• เชน Q = 100 – 2P [Demand Function]
y = x + c = x + cDx dyเทยบกบ
ดงน น Slope หรอ dQ/dP = -2
• dQ/dP หมายถง P เปลยนไป 1 หนวย Q เปลยนไป 2 หนวยแบบทศตรงขาม (Pเพม Qลด, Pลด Qเพม)
• คา Slope (อนพนธ) ถาตวเลขยงมมาก คอ กราฟยงชน หรอ Q ยงเปลยนมากเมอ P เปลยนไป
• เครองหมาย+/- ของ Slope (อนพนธ) บอกถง ทศทางการเปลยน P กบ Q เปนแบบเดยวกน (+) หรอตรงขามกน (-)
Q = P + c dPdQเขยนไดเปน
dxDy
• Qx = 8500 -5000Px+3500Py+150Y+1000Ax
mQmPx
รปอนพนธ Q = k + Px + Py + Y + AxmQmPy
mQmY
mQmAx
, , , มคา = -5000, 3500, 150, 1000 ตามล าดบmQmPx
mQmPy
mQmY
mQmAx
คาอนพนธของแตละตวเหลาน เสมอนเปนคา Slope ของปรมาณการบรโภค (Qx) กบตวแปรอสระแตละตว
อนพนธใน Multivariable Linear Function
การวเคราะห เชนmQ/mPx = -5000 มองสมการเปน mQ = -5000mPx
อาจท าความเขาใจใหงายขน คอ DQ = -5000 DPx
[DQ , DPx คอผลตางหรอคาทเปลยนไป ของปรมาณการบรโภคและราคาสนคา x]
• Px เพมข น 1 หนวย Q จะลดลง 5000 หนวย• Px ลดลง 1 หนวย Q จะเพมข น 5000 หนวย
ตวอยางการหาอนพนธตวแปรหลายตว
1st order derivative:• เทยบกบ x เปนการมอง x เปนตวแปร y เปนคาคงท
mz/mx หรอ zx = 36x2 – 4xy + 4y2
• เทยบกบ y เปนการมอง y เปนตวแปร x เปนคาคงท
mz/my หรอ zy = -2x2 + 8xy – 3y2
2nd order derivative: • เทยบกบ x จาก zx และ zy (มอง x เปนตวแปร y เปนคาคงท)
m2z/mx2 หรอ zxx = 72x – 4y m2z/mymx หรอ zxy = -4x + 8y
• เทยบกบ y จาก zx และ zy (มอง y เปนตวแปร x เปนคาคงท)
m2z/mxmy หรอ zyx = -4x + 8ym2z/my2 หรอ zyy = 8x – 6y
ก ำหนด z = 12x3 – 2x2y + 4xy2 – y3 หำอนพนธล ำดบ 1 และ 2
ขอสงเกตmymxm2z
mxmym2z
=
Optimization of Multivariable Function
• หาคาปรมาณสนคา a และ b ทท าใหก าไรสงสด
• 1st Diff แลวใหเทากบ 0
mp/ma = 0 64 – 4a + 4b = 0
mp/mb = 0 4a – 8b + 32 = 0• แกสมการท ง 2
จาก 4a - 4b = 64 และ 4a - 8b = -32 a = 40, b = 24• ทดสอบคาก าไร
• 2nd Diff เพอทดสอบ
m2p/ma2 = -4 , m2p/mb2 = -8 , m2p/mamb = 4
• ทจด a = 40, b = 24 ท ง pxx และ pyy เปน – ท งค จะเปนจดMax.
ทดสอบเพมเตม (Cross Partial) pxxpyy > (pxy)2 จะใหคำสงสดแนนอน
[pxx , pyy = + คอ Min. แตถา pxxpyy < (pxy)2 จะไมใช Max, Min]
• หาคาก าไรสงสดท a = 40, b = 24 แทนในสมการ p = 1,650
สนคำ 2 ชนด (a, b) มก ำไร คอ p = 64a – 2a2 + 4ab – 4b2 + 32b – 14
หำก ำไรทดทสดพรอมกำรทดสอบใหมนใจวำเปนก ำไรสงสด
Optimization of Economic Functions under Constraint (Lagrangian Function)
ตวอยาง หาคาตนทนทต าสดของการผลตสนคา 2 ชนด (x, y) เมอมสมการก าไรรวม คอ c = 8x2 –xy +12y2 โดยมเง อนไขในการผลตรวมอยางนอย 42 ชน
• ฟงกช นในเศรษฐศาสตรมกจะมขอบงคบ (Constraint) เชน งบประมาณทจ ากด ผลผลตเปนไปตามโคตา เปนตน
• Lagrangian function เปนอก 1 วธท นยมใชในการแกโจทย
สรางสมการของ Lagrangian Function
• Constraint ทเปน 0 คอ x + y = 42
• ดงน น x + y – 42 = 0
• สรางสมการ ม l (Lagrangian Multiplier) ในสมการ
C = 8x2 –xy +12y2 + l(x + y – 42)
- ตอ (Lagrangian Function) -
ขอสงเกต สรางสมการของ Lagrangian Function
การเพม l(x + y – 42) ในสมการ c เหมอนไมมการเปลยนแปลง เพราะ x + y – 42 = 0
หาคาสงสด/ต าสดโดย 1st Diff = 0 โดย Diff เทยบกบตวแปร x, y, l
mC/mx = Cx 16x – y + l = 0
mC/my = Cy -x + 24y + l = 0
mC/ml = Cl x + y – 42 = 0
แกสมการท ง 3
จะไดคา x = 25, y = 17 และ l = -383
“ คา l = -383 หมายถง คาตนทนทเพ มข นโดยเฉลย จากการผลตสนคาเพมข น 1 หนวย “
• บางต าราอาจจะใชหลกการและการอธบายตางกนไปบาง เชน
Constraint ทเปน 0 คอ x + y = 42 42 - x - y = 0
C = 8x2 –xy +12y2 + l(42 – x – y)
• ศกษาเพมเตมในหนงสอ/วชา Advanced Managerial Economics
ทดลองแกดวยวธธรรมดา
จาก x + y = 42 y = 42 – x แทนคาใน C
C = 8x2 – xy + 12y2 = 8x2 – x(42-x) + 12(42-x)2
= 8x2 – 42x + x2 + 504 – 1008x + 12x2
= 21x2 – 1050x + 504
หาคาสงสด/ต าสดโดย 1st Diff = 0 (Diff เทยบกบตวแปร x, y, l)
mC/mx = Cx 42x – 1050 = 0
x = 25, y = 42 – 25 = 17
ไดค าตอบเทากน แตไมรวาตนทนเปลยนไปเทาไรเมอการผลตเปลยนไป 1 หนวย