Multi-polar Continuum Mechanics

8/12/2019 Multi-polar Continuum Mechanics

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M u l t ipo la r ontinuum M echan icsA E G REEN R S RIVLI N

b s t r a c tA g e n e r a l t h e o r y o f m u l t i p o l a r d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y f ie l d s w i t h c o r -

r e s p o n d i n g m u l t i p o l a r b o d y a n d s u r f ac e f o r ce s a n d m u l t i p o l a r s t r e s s e s is d e -v e l o p e d u s i n g a n e n e r g y p r i n c i p le , a n e n t r o p y p r o d u c t i o n i n e q u a l i t y a n d i n -v a r i a n c e c o n d i t i o n s u n d e r s u p e r p o s e d r ig i d b o d y m o t io n s . C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n sf o r t h e m u l t i p o l a r s t r e ss e s a r e d i s c u s s e d a n d e x p l i c i t r e s u l t s a r e g i v e n f o r a ne l a s t i c m e d i u m . W o r k i n a p r e v i o u s p a p e r b y t h e p r e s e n t a u t h o r s ( t9 6 4 ) iss h o w n t o b e a s p e c i a l c a s e of t h a t g i v e n h e r e .

Contents Page1. I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 t 32. M o n o p o l a r k i n e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143. S u p e r p o s e d r i g i d - b o d y m o t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t 64 . M u l t i p o l a r k i n e m a t i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 t 75. M u l t i p o l a r b o d y f o r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 206. M u l t i p o l a r s u r f a c e f o r c e s a n d s t r e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . t 217. K i n e t i c e n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238. T h e e n er g y e q u a ti o n a n d e n t r o p y p ro d u c t i o n i n e q u a li t y . . . . . . . . . t 2 39 . E n e r g y a n d e n t r o p y p r o d u c t i o n : a l t e r n a t i v e f o r m . . . . . . . . . . . . 126t 0 . E l a s t i c i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 2 8t 1. E l a s t i c i t y : a l t e r n a t i v e f o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 tt 2 . C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t 3313. C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s : a l t e r n a t i v e f o r m . . . . . . . . . . . . . . . . 134t 4 . E l a s t i c i t y : r e l a t i o n t o p r e v i o u s t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . 136t 5. I n f i n i t e s i m a l e l a s t i c i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t 38t 6 . E q u a t i o n s o f m o t i o n a n d v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . t4 1

t 7 . A p p e n d i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t 4 2R e f e r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471 . I n t r o d u c t i o n

I n a p r e v i o u s p a p e r G RE EN R IV L IN ( t9 6 4 ) h a v e d e v e l o p e d a g e n e r a l t h e o r yo f s i m p l e f o rc e a n d s t r e s s m u l t i p o l e s w h i c h w e r e d e f i n e d w i t h t h e h e l p o f v e l o c i t yc o m p o n e n t s a n d t h e i r s p a t i a l d e r i v a t i v e s . I n t h a t p a p e r w e i n d i c a t e d d i r ec -t i o n s i n w h i c h t h e t h e o r y c o u l d b e g e n e ra l iz e d . H e r e w e l a y t h e f o u n d a t i o n so f a t h e o r y o f c o n s i d e r ab l e g e n e r a l i t y w h i c h i n c l u d e s th e w o r k o f t h e p r e v i o u sp a p e r a s a s p e c i a l c a s e .

T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n r e s t s o n s o m e i d e a s o f T R u E s -D E LL T O U P I N ( 1 9 6 0 , s e c t i o n s t66 2 0 5 , 2 3 2 ) . T h e s e a u t h o r s i n t r o d u c e d g e n -e r a l i z e d v e l o c i ti e s , b o d y a n d s u r f a c e f o rc e s, a n d g e n e r a l i z e d s t r e ss e s .* T h e y

* S p e c i a l t y p e s o f g e n e r a l iz e d d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y f ie ld s h a v e b e e n u s e db y ER IC K SE N ( t 9 6 0 a , 1 9 6 0 b , t 9 6 0 c , 1 9 6 1) .


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t t4 A. E . GREEN R. S. RIVLIN:

p o s t u l a t e d e q u a t i o n s o f m o t i o n i n t e r m s o f g e n e r a l iz e d s tr e ss e s a n d b o d y f o r c es ,a n d t h e y p o s t u l a t e d s u r f a c e c o n d i t i o n s . T R U ES D EL L & T O O P I N a lS O d i s c u s s e da g e n e r al t y p e o f v i r t u a l w o r k t h e o r e m a n d s h o w e d t h a t i t w a s e q u i v a l e n t t ot h e i r e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d s u r f ac e c o n d it io n s . I n t h e p r e s e n t p a p e r w e u se ,e s s e n t i a l l y , t h e s a m e d e f i n i t i o n s o f g e n e r a l i z e d b o d y a n d s u r f a c e f o r c e s a n ds t r e ss e s a s t h o s e o f TR U E SD E L L & T O U P I N , b u t a n e w c o n d i t i o n i s i m p o s e d o no u r d e f i n it i o n o f g e n e r a l iz e d d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y . W e f i n d t h a t t h e e q u a -t i o n s o f m o t i o n a n d s u r f a c e c o n d i t i o n s g i v e n b y T RU E SD E LL & T O U P IN a r e n o tn e c e s s a r i l y a l w a y s s a ti s fi e d . S u f f i c i e n t c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h th e s e e q u a t i o n sa r e v a l i d a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n 1 6. T h e s a m e c o n d i t i o n s a r e t h e n s u f f i c i e n tf o r t h e v a l i d i t y o f t h e v i r t u a l w o r k e q u a t i o n .

K i n e m a t i c s o f o r d i n a r y d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i t y fi el ds , n o w c a l l ed m o n o -p o l a r k i n e m a t i c s , i s b r i e f l y r e v i e w e d i n s e c ti o n s 2 , 3 . T h e t h e o r y o f m u l t i p o l a rd i s p l a c e m e n t s a n d v e l o c i t i e s i s d e v e l o p e d i n s e c t i o n 4 . M u l t i p o l a r b o d y f o r c e sa r e d e f i n e d i n s e c t i o n 5, a n d m u l t i p o l a r s u r f a c e f o r c e s a n d s t r es s e s i n s e c t i o n 6 .A p p r o p r i a t e e x p r e s si o n s f o r k in e t i c e n e r g y c o r r e s p o n d i n g t o m u l t i p o l a r v e l o c it ie sa r e g i v e n in s e c ti o n 7 . T h e f u n d a m e n t a l d y n a m i c a l t h e o r y o f m u l t i p o l a r f o rc e sa n d s tr e ss e s is c o n s i d e re d in s e c t i o n 8 u si n g o n l y a n e n e r g y e q u a t i o n , a n e n t r o p yp r o d u c t i o n i n e q u a l i t y , a n d i n v a r i a n c e c o n d i t i o n s u n d e r s u p e r p o s e d r i g i d b o d ym o t i o n s . A n a l t e r n a t i v e f o r m f o r t h i s t h e o r y is g i v e n in s e c t i o n 9 . A g e n e r a lt h e o r y o f e l a s t i c i ty f o r m u l t i p o l a r s t r e ss e s a n d f o r c e s i s d e v e l o p e d i n s e c t io n t 0 ,w i t h a n a l t e r n a t i v e f o r m i n s e c ti o n 1 t .

Q u e s t i o n s c o n c e r n i n g c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r m a t e r i a l s w h i c h a r e n o te l a s t ic a r e c o n s i d e r e d in s e c ti o n s t 2 , t 3 . I n s e c t i o n t 4 w e s h o w t h a t t h e e l a s -t i c i t y t h e o r y g i v e n p r e v i o u s l y ( 1 9 6 4 ) i s a s p e c i a l c a s e o f t i l e t h e o r y o f e l a s t i c i t yg i v e n i n s e c ti o n t 0 . I n s e c t i o n 1 5 w e d e r i v e t h e a p p r o x i m a t e t h e o r y o f in f i n -i t e s i m a l e l a s t i c i t y a p p r o p r i a t e t o e l a s t i c m a t e r i a l s a c t e d o n b y m o n o p o l a r a n dd i p o l a r s t r e s s e s . *

2 . M o n o p o l a r k i n e m a t i c sW e r e f e r t h e m o t i o n o f t h e c o n t i n u u m t o a f i x e d s y s t e m o f r e c t a n g u l ar

c a r t e s i a n a x es . T h e p o s i t i o n o f a t y p i c a l p a r t i c le o f t h e c o n t i n u u m a t t i m ei s d e n o t e d b y x i( 3) w h e r e

x~(~)=x~(X1, x~ , x~ , 0 - ~ 1 7 6 2.t)a n d X a is a r e f e re n c e p o s i t io n o f t h e p a r t i c l e . W e a l s o u s e t h e n o t a t i o n

X i ~ - x ~ t ) . (2.2)I f t h i s d e f o r m a t i o n i s t o b e p o s s i b l e i n a r e a l m a t e r i a l t h e n

~ , [ a x i ~ ) ]d : ~ [ - ~ 7 - a ] > o . 2 .3 )* A f t e r com pl e t i ng t he p r e sen t pape r t he au t ho r s s aw a r epo r t by R . D . MI N D LI Non M i c r os t r uc t u r e i n L i ne a r E l a s t i c i t y i n w h i ch he deve l ops a t he o r y w h i ch ise s sen t ia l l y t he s am e a s t h a t con t a i ned i n w 5 o f ou r pape r . MI N D LIN has ap p l i edh i s t heo r y t o w ave p r opaga t i on and t h i s app l i ca t i on ha s no t been s t ud i ed he r e .Th i s pape r ha s now been pub l i shed i n A r ch . Ra t i ona l Mech . A na l . 16 , 5 t - - 78 ( t 964 ) .


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M u l t i p o la r C o n t i n u u m M e c h a n ic s t 5F o r s o m e p u r p o s e s i t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s x i (3) i n t e r m s o f th e c u r r e n tp o s i t i o n o f t h e p a r t i c l e a t t i m e t s o t h a t

x ~ ( z ) = x i ( x l , x s , x 3 , t , 3 ) ( 2 .4 )a n d [ a - / ~ / 1e t [ ~ : - i ] > 0 . ( 2. 5)

D i s p l a c e m e n t g r a d i e n t s t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e p o s i t i o n X a a r e d e n o t e d b y~ x i ( r ) (/3 = t , 2 . . . . ) , ( 2 . 6 )x i , a ~ a .. .. a p ( T ) = O X a l O X a , . . . O X a ~

a n d w e u s e t h e n o t a t i o nx ~ , a . . . . a p = x i , a . . . . a p ( t ) . ( 2 . 7 )

D i s p l a c e m e n t g r a d i e n t s t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e c u r r e n t p o s i t io n x i a t t i m e t a r eOOx i ( r ) (/5 = t , 2 . . . . ) . ( 2 . 8 )Xi , i , i , . . . 0 ( ~ ) - - ~ x ~ Ox ~ . . . ~ x ia

W e o b s e r v e t h a tx i , i , ( t ) = 0 i i , , ( 2 .9 )

x i , i . . . . i , ( t ) = 0 ( / ~ > t ) ,a n d t h a t t h e g r a d i e n t s i n ( 2.7 ) a n d (2 .8 ) a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o A 1 , A 2 ,. . . . A a a n d i 1 , i 2 . . . . . i a r e s p e c t i v e l y .

T h e c o m p o n e n t s o f v e l o c i t y a t t h e p o i n t x i (z ) a r e d e n o t e d b y v !x) ( 3 ) = v i ( r )s o t h a tv 1 ) ( ~ ) = D x i ( r ) / D z , v x ) ( t ) = v i ( 0 = v i ,

w h e r e D [ D r d e n o t e s d i f f e r e n t i a t io n w i t h r e s p e c t t o r h o l d i n g X a f i x e d i n ( 2 A ) ,o r x i ( t ) a n d t f i x e d in (2 .4 ). M o r e g e n e r a l l y , n th v e l o c i t y c o m p o n e n t s m a y b ed e f i n e d a s

v " ) ( r ) = D " x i ( z ) / D r " , v 0 ( t ) = v " ), v !~ ( x ) = x i ( r ) . ( 2 . t 0 )F r o m (2 .8 ) a n d ( 2A 0 ) w e h a v e

D " x~,i l . .. ip (3) ea r!- ) (T)- = ~ " ) , . . . , , ( ~ ) , ( 2 . ~ t )D Tn 8x i l Ore , . . . Ox iaa n d w e u s e t h e n o t a t i o n

v " l . . , , ( 0 = ~ " . . . i , ( 2 . 1 2 )f o r g r a d i e n t s o f t h e n tu v e l o c i t y c o m p o n e n t s a t t i m e t w i t h r e s p e c t t o c o o r d i n a t e sa t t i m e t . A l s o

v (~ 9 ( r )- - -- - x /, i . . . i , ( l ~ ) , v I ~ - - - 0 ( f l > l ) ( 2 A 3 )I n v i e w o f (2 .3 ) w e m a y w r i t e x i , a ( ~ ) i n t h e p o l a r f o r m

X i , a (3 ) = R i B ( 3) M B a ( ~ ) , ( 2 A 4 )w h e r e M B a ( r) i s a p o s i t i v e d e f i n i t e s y m m e t r i c t e n s o r a n d R i B ( r ) i s a r o t a t i o nt e n s o r , s o t h a t

R i B ( z ) R i a ( r ) = ~)A B , R i a ( T ) R i a ( z ) = ~ ) ii , d e t R i a ( 3) = t . ( 2 . t 5 )


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t t 6 A . E . G R E E N ~r R . S . R I V L I N :A l s o

R i B = R i B ( t ) , M A B = M a B ( t ) . ( 2 . t 6 )I n g e n e r a l , t h r o u g h o u t t h e p a p e r , l o w e r c a s e L a t i n i n d ic e s i , i l . . . . a r e a s -s o c i a t e d w i t h c o o r d i n a t e s x i ( 3 ) o r x i a n d t a k e t h e v a l u e s t , 2 , 3 ; u p p e r c a s e

L a t i n i n d ic e s A , A 1 . . . . a r e a s s o c i a t e d w i t h c o o r d i n a t e s X A a n d t a k e t h e v a l u e sl , 2 , 3 . T h e u s u a l c a r t e s ia n s u m m a t i o n c o n v e n t i o n i s u s e d , a n d c o m m a s d e n o t ep a r t i a l d i f f e r e n t i a t i o n .

3 . S u p e r p o s e d r i g i d - b o d y m o t i o n sW e c o n s i d e r m o t i o n s o f t h e c o n t i n u u m w h i c h d i f fe r f r o m t h o s e g i v e n b y

( 2 .t ) o n l y b y s u p e r p o s e d r i g i d - b o d y m o t i o n s , a t d i f f e re n t t im e s . T h u sx * ( 3 * ) = c * ( 3 * ) + Q . ( 3 ) [ x j ( 3 ) - c ; ( ~ ) ] , ( 3 . 1 )

w h e r e c~ (3 ), c * ( z* ) a r e v e c t o r f u n c t i o n s o f z a n d z * ( = r + a ) r e s p e c t i v e l y , a i sa n a r b i t r a r y c o n s t a n t a n d Q i i (3 ) is a p r o p e r o r t h o g o n a l t e n s o r w h i c h d e p e n d so n 3 . I n s e c t i o n 2 v e c t o r s a n d t e n s o r s a r e d e f i n e d i n t e r m s o f t h e m o t i o n ( 2 .t )a n d w e d e n o t e c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t i e s d e f i n e d f r o m ( 3 .1 ) b y t h e s a m e le t t e rt o w h i c h w e a d d a n a s t e r i s k . F r o m (3 .1 ) w e h a v e

v * ( 3 * ) = ~ * ( 3 ) + Q , ( 3 ) [ v ; ( ~ ) - ~ j ( 3 ) ] + ~ % , ( 3 ) I x * ( 3 * ) - c * ( 3 ) ] , ( 3 . 2 )w h e r e a d o t d e n o t e s d i f f e r e n t ia t i o n w i t h r e s p e c t t o ~ o r ~* a n d

( i~ i (~ ) = ~ , (3 ) Q , j ( ~ ) , G j ( 3 ) = - Q i i 3 ) , 3 .3 )( G = Q . ( t ) , G j - - G ; ( t ) .A l s o

, ~ ,a . .. . a . t J - Q , ~ ( * ) x , , a . . .. A , ( 3 ) , ( 3 . 4 )a n d ~ x * ( , )e ,i *, . . . e ~ * - Q ~ ( ~ ) Q i , i , . . . Q i . j . x , , j . . . . i ~ ( ~ ) , ( 3 . 5 )f o r ~ - - - - 1 ,2 . . . . .

W e s u m m a r i z e s o m e r e su l ts o b t a i n e d i n a p r e v i o u s p a p e r ( G R E E ~ & R IV L IN1 9 6 4 ) . I f

E a a . . . . A . ( 3 ) = X m , A ( ~ ) X m , A . . . . A ~ ( ' r ) , ( 3 . 6 )E . . . . . i . ( ~ ) = x ~ , i ( 3 ) x ~ , ~ . . . . ~ . ( 3 ) ,f o r 0~ = 1 , 2 , . . . , t h e n

E * . . . a . ( ** ) = E A A A, ( Z ) , ( 3 .7 )E * i . . . i , ( * * ) = Q i i Q i , h . . . Q i , i , E i i . . . . i , ( 3 ) .A l s o , i f /*

A C U ) _ ~ , { a ~ vCV- ) yea) . (3 .8 )i i . . . i~ , - - z .~ I r } m ,* m , ~ . . . i ~ ,,. e = lf o r a = 2 , 3 , . . . ; / , = 1 , 2 . . . . , t h e n

r~ ~ l . ) ( 3 . 9 )A * ( ~ ) = Q i i Q i ~ j ~ 'd io , i ~ , i J . . . . j , ,i~ . . . , ~ . . . .I n a d d i t i o n , i fA i j - ~ ' v i , j + v j , i , r j - - v i , i , 3 . 1 0 )


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M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s

t h e n 2 v i , i = A i i + c o i i , (3 .1 l )a n d

A * = Q ~ , ,Q i , ,A , , , ,~ , w * . = q i , , q i , ~ w , , , ~ + 2 0 i i . ( 3 . 1 2 )4 . M u l t i p o l a r k i n e m a t i c s

T h e d i s p l a c e m e n t f u n c t i o n x i (3 ) c a n b e r e g a r d e d e i t h e r a s a f u n c t i o n o f X a ,a s i n ( 2 . t ) o r a s a f u n c t i o n o f x i , t , ~ a s i n ( 2. 4) . T h e f o r m ( 2. 1) i s a p p r o p r i a t e

t o c o n t i n u a i n w h i c h a r e f e r e n c e p o s i t i o n i s r e q u i r e d a n d ( 2.4 ) i s c o n v e n i e n tw h e n t h e r e i s n o p r e f e r r e d r e f e r e n c e s t a t e . W e n o w d e f i n e a s i m p l e 2 ~ -p o l ed i s p l a c e m e n t f ie ld i n t w o f o r m s . * L e t

x ~ a . .. a n ~ ) = x ~ . . .. . a n X , , X 2 , X 2 , 3 ) - - o o < ~ _ _ < t ) , 4 . t )b e a t e n s o r f u n c t i o n u n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s f o r f l : t , 2 . . . . .T h e s e t o f t e n s o r s ( 4 . t) i s a s e t o f k i n e m a t i c v a r i a b l e s w h i c h m a y b e c h a n g e di n d e p e n d e n t l y o f t h e m o t i o n ( 2 A ) , b u t w h e n t h e m o t i o n (2 .1 ) i s c h a n g e d t h e s et e n s o r s w il l, i n g e n e r a l , b e a l t e r e d . W h e n t h e m o t i o n is a l t e r e d f r o m ( 2 . t ) t o( 3 .t ) w e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g t e n s o r ( 4 . t) b y x * a . .. a n ( 3* ). I f , i n a d d i t i o nt o th e a b o v e a s s u m p t i o n s a b o u t t h e t e n s o r ( 4 A ),

x ~ a , . . . a n z * ) = Q , , , , r ) x , , a , . . . a n r ) f l - _ _ l ) , 4 . 2 )t h e n w e m a y s a y t h a t x l a . .. . a n (3) i s a s i m p l e 2 p o l e d i s p l a c e m e n t / i e ld . F o re x a m p l e , i f x i a . . .. a n 3 ) = x ~ , a , . . . a n ~ ) , 4 . 3 )t h e n t h e t e n s o r (4 .3 ) s a t is f ie s t h e p o s t u l a t e d c o n d i t i o n s . R e t u r n i n g t o t h e g e n e r a lt e n s o r ( 4 .1 ) w e u s e t h e n o t a t i o n

x ~ a . . . a n = x i a . . . n n t ) 4 . 4 )a n d w e o b s e r v e t h a t t h e t e n s o r in ( 4 .t ) d o es n o t n e c e s s a r i l y h a v e s y m m e t r i e si n a n y o f i t s i n d ic e s .

A g a i n l e tx ~ i j n ~ ) = x ~ ; . . . . i n x 1 , x ~ , x 3 , t , 3 ) - o o < , < t ) 4 .5 )

b e a t e n s o r f u n c t i o n f o r f l = t , 2 . . . . w h i c h i s s u c h t h a tx~* , . . . i ( 3 * ) = Q , , ~ ( 3) Q A i , - . . Qin in x , , ~ , .. . 0 (3 ) . (4 .6 )

T h e n w e s a y t h a t x i i . .. . in (3 ) i s a l s o a s i m p l e 2 a -p o le d i s p l a c e m e n t / i e l d a n d w eu s e t h e n o t a t i o n

x i i . . . . ~ n= x i i . . . . ~ n ( t ) . ( 4 .7 )A n e x a m p l e o f s u c h a d i s p l a c e m e n t f ie ld i s

x i i . . . . in ( 3 ) = x , , i . . . . in ( 3 ) . ( 4 .8 )A 2 a - p o le d i s p l a c e m e n t f i el d o f t h e t y p e ( 4.5 ) c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e f i e ld

( 4 .t ) in m a n y d i f f e r e n t w a y s , a n d c o n v e r s e l y , a s i n d i c a t e d i n t h e a p p e n d i x .* A p o s s ib l e m o t i v a t i o n f o r t h e d e f i n i t i o n s g i v e n h e r e is i n d i c a t e d i n t h e A p p e n d i x .

Arch. Rat ion al Mech. Anal. Vol. 17 9


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t t 8 A . E . GREEN 1~. S. RIVLIN:

O n e s i m p l e m e t h o d o f r e l a t i n g t h e t w o f i e l d s i s b y t h e e q u a t i o n% i . . . . i a (T ) = x i l , B , . . . x i a , B a x i B . . .. B a ( T ) , ( 4 .9 )

b u t t h is m a y n o t a l w a y s b e th e r e l e v a n t r e l a t io n t o u se . I n m o s t o f t h is p a p e rw e a s s u m e t h a t (4 .1 ) a n d (4 .5 ) a r e i n d e p e n d e n t d e s c r i p t i o n s o f m u l t i p o l a r d is -p l a c e m e n t f i e l d s .

W e d e f i n e 2 a - p o l e v e l o c i t y f i e l d s f r o m t h e 2 a - p o l e d i s p l a c e m e n t s ( 4 . t) o r ( 4.5 )b y t h e e q u a t i o n s

v i ~ . . . . ~ . ~ ) = ~ . . . . ~ . ~ ) , ( 4 . t o )v i i . . . . i , ( T ) = ~ i . . . . j , ( ~ ) , ( 4 . 1 1 )

f o r f l = 1 , 2 . . . . . w h e r e a d o t d e n o t e s m a t e r i a l t i m e d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c tt o z h o l d i n g X A f i x e d i n ( 4. 10 ) a n d t a n d x i f i x e d i n ( 4 . t l ) . W e u s e t h e n o t a t i o n

v i B , . . . B , = V i B , . .. B e ( t ) , ( 4 .1 2 )v i i . . . . i a = v i i . . . . i~ t ) ,w h e r e w e p u t T = t a f t e r d i f f e r e n t i a t i o n . I t fo l l ow s f r o m ( 4. 2) a n d ( 4.6 ) t h a t

v * ~ . . . . B e ( 3 * ) = Q ~ , ( , ) v , B . . . ~ p ( 3 ) + 2 ~ , ( r x * , ~ l . . .B p ~ {* *~ ;, ( 4 . t 3 )a n d

v * . , ~ , , . . . i ~ T * ) = Q , ~ , , ) Q i l i . . . Q i , o v , i . . . i p( T ) + ~ 2 ~ , ( ~ ) x * i . . . i p ( z ) . ( 4 .1 4 )S i m i l a r l y , 2 ~ - p o l e n t h v e l o c i t y f i e l d s m a y b e d e f i n e d a s *

v % . . . ~ , ( ~ ) c .> ( 4 A 5 )(n} , ,w h e r e (n ) o v e r a s y m b o l d e n o t e s n t m a t e r i a l t i m e d i f fe r e n t i a t io n w i t h r e s p e c tt o , , a n d w e u s e t h e n o t a t i o n

(n) __ (n)V i ~ . . . B B - - V | t ) , ( 4 .1 6 )* I X . . 9 ] # - - ~ * ] 1 9 . . ] p i t / 9

F o r c o n v e n i e n c e w e c a l l 2a - p ol e d i s p l a c e m e n t a n d n th v e l o c i t y f i el d s ( n = t , 2 . .. . )m u l t i p o l a r d i s p l a c e m e n t a n d n th v e l o c i t i e s . W e d e f i n e g r a d i e n t s o f m u l t i p o l a rd i s p l a c e m e n t s b y t h e e q u a t i o n s

X i B . . . B I I , A . . . . A f fl ( ~ * ) - - O X A I . . . ~ X a r ~ ' ( 4 .1 7 )X i B t . . . B , A 1 . .. A = ~ X i B 1 . . . B , A x . .. A = ( t)a n d

~ = x l i ~ . . . i s T )x i i . . . . i , i ' ' i = ( z ' ) - - c qx i, . . ~ x i= ' ( 4 . t 8 )X i j . . . . J a , i . . . G = X i i J a , i . . . . i ,, ( t ) ,

f o r f l = t , 2 . . . . ; ~ = 1 , 2 . . . . .* * r c o r r e s p o n d s t o a 2 r - p o le d i s p l a c e m e n t a n d n = 1 t o a 2 r - p o le v e l o c i t y ;i n t h i s l a t t e r c a s e t h e s u p e r s c r i p t 0 ) i s o f t e n o m i t t e d .


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M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s t t 9T h e b e h a v i o u r o f t h e m u l t i p o l a r d i s p l a c e m e n t g r a d i e n t s ( 4A 7 ) a n d ( 4 . t 8 )

w h e n t h e m o t i o n i s c h a n g e d b y s u p e r p o s e d r i g i d - b o d y m o t i o n s c a n b e f o u n da t o n c e f r o m ( 4.2 ) a n d ( 4.6 ) 9 I f

E B 1 . .. B a: A a . .. . n , ( z ) = X,~,A (Z) X mB ,. ..Ba,a . .. . a , ( Z ) , ( 4 . 1 9 )E j . . . . i s : " . . . . i , ( ~ ) = x , ~, ~ (3 ) x ~ j . . .. i s , i . . .. ~ , ( * ) , ( 4 . 2 0 )

t h e nE B I. ..Bs : A A . . . . A ~ ( ~ * ) = E B , . . . B s : A A . . . . A ~ ( ' ~ ) , ( 4 . 2 1 )a n d

E * . . . i s : i i . . .. r = Q i , , ~ , Q i sm s Q ~ i Q i , ~ , . . . Q i , , E ,~ . . . . a : i . . . . . . . ( z ) , ( 4 .2 2 )w h e r e

E. * O x * ( z* ) i ~ x * A . . . i s ( z * )F r o m ( 4 . t 9 ) , ( 4 .2 0 ) a n d ( 3.6 ) w e s e e t h a t

E : a A . . . . A , ( 3 ) = E a a . . .. a , ( Z ) , ( 4 .2 3 )E : i r 1 6 2 (1 :) = E i r . .. . r

M u l t i p o l a r n tb v e l o c i t i e s w e r e d e f i n e d i n ( 4 . t 5 ) a n d f r o m t h e s e c o n d f o r mw e d e f in e m u l t i p o l a r n th v e l o c i t y g r a d i e n t s

( n ) 9 Tv!~) ~ 'vo '~ . . .~s ( ) (4 .2 4)f o r f l - - - -t , 2 . . . . ; st = 1 , 2 . . . . a n d w e u s e t h e n o t a t i o n

v!:~ . . . . v (~.1 9 9 . . .~ , ( t) ,~' ]1 . .. I S , $~1.. .$= -- ~ 'l l .. 9 ]S~ t l ( 4 . 2 5 )v(Ol, , . . . . ; ~ ,~ . . . ~ . ( ~ ) = * ~ i . . . . is , ~ . . . ~ ( ~ )I f w e d i f f e r e n t i a t e b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 4 .2 2 ) / , - t im e s w i t h r e s p e c t t o T

a n d t h e n p u t 3 * = 3 -- - - t w e h a v eB * (~) . . 9 O . B(~) .f i . .. i s : , , . . . . . . = Q A ~ , O i s ,~ , O i i O i l ~ . . . ~ , . ~ . ~ ,,. .. ~ p : 7 , , . . . , . , ( 4 . 2 6 )

w h e r e= ~ ~ v ( # - a , ( 4 . 2 7 )m,$ ra i l . . . ]S , $1 . . . i ~ "

I n p a r t i c u l a r w e se e f r o m ( 3.8 ) a n d ( 4.2 7 ) t h a t9 = A ( ~- ) ( 4 . 2 8 )

F r o m ( 4 .2 7 ) w e h a v eN g , I . . . . . , l~ l . . , ,O ,-a l ,,(x~. ( 4. 29 )

f o r /~ = 1 , 2 . . . . a n d g i v e n ~, f l , a n d h e n c e , b y r e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f t h i s f o r m u l a ,v(V.). .. . i s , i . . . . i~ = B ~ l . . i s : i i . . . . ~ . + a p o l y n o m i a l ( 4 . 3 0 )i n v ( a ). R ( ~) a n dr # , ) , ' A . . . i ~ : i i , . . . i ~ , X i i , . . . i a , i , . . . , ; ,

f o r 2 = ~ , 2 . . . . , # ; ~ = t , 2 . . . . , # - - t .9*


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t 2 0 A . E . G R E E N & R . S . R I V L I N :A g a i n , i f w e d i f f e r e n t i a t e b o t h s i d e s o f (4 .2 1 ) / z -t i m e s w i t h r e s p e c t t o z w e

s e e t h a tB~.~, ). Bp :a a . . . . a= (Z*) = B( ~. . . Bp. .a a . . . . a , (~) (4.3 t )w h e r eB V) = v ~ B B a , a a , ( Z ) ( 4 .3 2 )t . . . B : A A 1 . . . e , , . _

a n d~ n . .. . n ~ ,~ . .. . a , ~ J ~ - R ~ . . . ~ X ~ , ' ( 4 .3 3 )

f o r ; t = 0 , t . . . . ; fl = t , 2 . . . . ; e = 1 , 2 . . . . . A l s o ,v(o) [-~

B ~ . . . ~ A . . . . a . ~ ~ -= X, , ,~ , . . .Ba,A . . . . a ,, ( r ) , (4 .34)_ _ V ~ . ) tt~

5 . M u l t i p o l a r b o d y f o r c e sM u l t i p o la r b o d y f o r c es o f t h e f ir st k i n d a s s o c ia t e d w i t h v e l o c i t y c o m p o n e n t s

v~ a t t i m e t a n d t h e i r s p a t i a l d e r i v a t i v e s w e r e d e f i n e d p r e v i o u s l y (G R EE N &R I V LI N t 9 6 4 ) . H e r e w e d e f in e m u l t i p o l a r b o d y f o r ce s o f t h e ( f l + t ) th k i n da s s o c i a t e d w i t h m u l t i p o l a r v e l o ci t ie s a n d t h e i r s p a t ia l d e r i v a t iv e s , e v a l u a t e da t t i m e t .

I f F~ i . . . i~ i s a t e n s o r * a n d v i i . .. . j~ a n a r b i t r a r y 2 0 - p o le v e l o c i t y a t t i m e t ,a n d i f t h e s c a l a r

F ~ ; . . . . j ~ v i i . . . . i ~ 5 . t )i s a r a t e o f w o r k p e r u n i t m a s s , t h e n t h e t e n s o r F ~i . .. ip i s c a ll e d a body [orc e2a-po l e o / t he ( f l + t ) th k i n d , p e r u n i t m a s s . T h e t o t a l r a t e o f w o r k o f a b o d yf o r c e 2 a -p o le o f t h e ( f l + t ) th k i n d , p e r u n i t m a s s , d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t av o l u m e V a t t i m e t , i s

f qF~ i . . . j~ v i i . . . . ip d r 5 . 2 )v

w h e r e Q i s d e n s i t y . W h e n fl-----0 w e r e c o v e r t h e r a t e o f w o r k o f a c la s s i ca l b o d yf o r c e v e c t o r F~ i n a v e c t o r v e l o c i t y f i e ld . I f F ~i . . . i p .i l i , i s a t e n s o r o f o r d e r0~ + f l + 1 a n d v i i . . . i~ , ~ . . . i= i s a n a r b i t r a r y 2 t L p o l e v e l o c i t y g r a d i e n t , a n d i f ,

F ~ j . . . . j p : ~ . . . . i , v ~ j . . . . i ~ , i . . . . i , 5 . 3 )i s a r a t e o f w o r k p e r u n i t m a s s , t h e n t h e t e n s o r F i i , . . , i p : i . . . . ~ , i s c a l l e d a b o d y[orc e 2~+ -po l e o / t he ( f l + t ) th k i n d , p e r u n i t m a s s . T h e t o t a l r a t e o f w o r k o fs u c h a b o d y f o r c e d i s t r ib u t e d t h r o u g h o u t a v o l u m e V is

f q F i i , . . . i ~ : i . . . . ~ v i j . . . . ip , i . . . i . d V . (5.4)vW i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y t h e t e n s o r F i i . .. . i a :i . .. i . m a y b e t a k e n t o b e c o m -p l e t e ly s y m m e t r i c in t h e i n d ic e s it . . . . . i s . W h e n f l = 0 w e r e co v e r a b o d yf o r c e 2 ~ - p o le o f t h e f i r s t k i n d , * * F / :~ . .. i . .

* O w i n g t o t h e g r e a t e r g e n e r a l i t y o f t h e p r e s e n t w o r k w e h a v e n o t a l w a y s b e e na b l e to f o l l o w t h e n o t a t i o n w h i c h w e u s e d p r e v i o u s l y (G R E E N & R I V L n 1 96 4 ).* * T h i s w a s d e n o t e d b y / ~ .. ./ ~i in t h e p r e v i o u s p a p e r b u t t h i s n o t a t i o n is n o wa b a n d o n e d .


9/35

M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i cs t 2 tT h e m u l t i p o l a r f o r ce s h a v e b e e n d e f i n e d w i t h t h e h e l p o f v i i . . . . ]p , i . . . . i , w h i c h

is r e g a r d e d a s a f u n c t i o n o f x~ a n d t a n d s o t h e b o d y f o r c e s m a y a l so b e r e g a r d e da s f u n c t i o n s o f t h e s e v a r i a b le s , a n d d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t a m a t e r i a l v o l u m eV a t t im e t. F o r s o m e p u r p o s e s i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o d e f i n e m u l t i p o l a r b o d yf o r c es a s s o c i a t e d w i t h a v o l u m e V b u t m e a s u r e d a s f u n c t i o n s o f X a a n d t ,w h e r e X a a r e c o o r d i n a t e s o f p o i n t s i n a m a t e r i a l v o l u m e V a t t i m e to , w h i c hc o r r e s p o n d t o p o i n ts o f V . I f F ~ B . . . B p : A . . . . A . i s a t e n s o r f u n c t i o n o f X a , t , o fo r d e r 0 r a n d ViB . .. B p ,a . .. . n , i s a n a r b i t r a r y 2 ~ - p o le v e l o c i t y g r a d i e n t ,a l s o a f u n c t i o n o f X a , t , a n d i f

t~ B . . . . BO :a . . . . Aog Vie . . . . ~ a . . . . A~ ( ~ 5 )i s a r a t e o f w o r k p e r u n i t m a s s , t h e n t h e t e n s o r F i B , . . . B B : A . .. . A . i s a b o d y f o r c e2 ~ +r o f t h e f l + t ) th k i n d , p e r u n i t m a s s . T h e t o t a l r a t e o f w o r k o f s u c ha b o d y f o r ce m u l t i p o l e d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t V is

f o 0 F i B . . . . B o : A . . . . A V i B . . . B ~ A . . . . A d V o , 5.6)v .w h e r e Qo is t h e d e n s i t y o f t h e v o l u m e V . T h e m u l t i p o l a r b o d y f o r c e is c o m -p l e t e ly s y m m e t r i c i n t h e i n di ce s A 1 . . . . . A ~ .

S i n c e t h e m u l t i p o l a r v e l o c i t y g r a d i e n t s v i i . . . . i a , i . . . . i= c a n b e r e g a r d e d a s as p e c i a l c a s e o f a 2 ~+ ~ -p o le v e l o c i t y i t f o l lo w s t h a t a b o d y f o r c e 2 ~ + a -p o l e o ft h e f l + l ) t h k i n d c a n b e r e g a r d e d a s a s p e c i a l c a se o f a b o d y f o r c e 2~ + a -p o leo f t h e ~ + f l + t ) th k i n d .

6 . M u l t i p o l a r s u r f a c e f o r c e s a n d s t r e ss e sC o n s i d e r a s u r f a c e A w h o s e u n i t n o r m a l a t t h e p o i n t x i a t t i m e t , i n a

s p e c i f i e d d i r e c t i o n , i s n i . I f t i i . . .. j ~..i . . . iv i s a t e n s o r f u n c t i o n o f x i , t o f o r d e r+ f l + t a n d i f , f o r al l a r b i t r a r y 2 ~ -p o le v e l o c i t y g r a d i e n t s v i i . . . . i p , i . . . . i ~ , t h e

s c a l a rt i i , . . . i~ :~ , . . . iv v i i . . . i~ , i . . . i v 6 .1)

i s a r a t e o f w o r k p e r u n i t a r e a o f A , t h e n t h e t e n s o r t i i . .. . i a : i . .. i , is c a l l e d as u r [ a c e ] o r c e 2 ~ + a - p o l e o [ t h e f l + t ) th k i n d , p e r u n i t a r ea . W i t h o u t lo s s o f g e n -e r a l i ty t h e t e n s o r m a y b e t a k e n t o b e c o m p l e t e l y s y m m e t r i c i n t h e i n d ic e si l , . . . , i z . W h e n r = 0 w e h a v e a s u r f a c e f o r c e 2 ~ -p o le o f t h e f i r s t k i n d * t i : i . .. . iv .W h e n ~ = 0 , t i i . .. ia i s c a l l e d a s u r [ a c e [ o rc e 2 ~ -p o le o / t h e f l + 1) th k i n d , p e r u n i ta r e a , w i t h f l----0 c o r r e s p o n d i n g t o t h e c l a s si c a l s u r f a c e f o r c e v e c t o r t i . T h e t o t a lr a t e o f w o r k o f t h e s u r f a c e f o r c e 2 ~ + a- p o le o f t h e f l + t ) th k i n d , p e r u n i t a r e a ,o v e r t h e s u r f a c e A , i s

f t i , . . . i a . . , . . . i v v l i . . . . a , i d A 6 . 2 )AT h e t e n s o r t i i . .. . ia: i . . . ~ , a t x i i s as s o c i a t e d w i t h a s u r f a c e w h o s e u n i t n o r m a l

a t t h e p o i n t i s n ~ . W h e n n k i s a u n i t n o r m a l t o t h e x a - p la n e t h r o u g h t h e p o i n tw e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g te n s o r b ya h i i . . . . i p : i . . . i , . 6 . 3 )

* D e n o t e d p r e v i o u s l y ( G R EE N R I V LI N , t 9 64 ) b y t i . . i i .


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t2 2 A . E . GREEN R. S. RIVLIN:

T h e s e a r e t h e c o m p o n e n t s o f a s u r / a c e s t r es s te n s o r 2 ~ + ~- po le o / t h e ( f l + t ) t h k i n do n a n e l e m e n t o f a r e a a t t h e p o i n t n o r m a l t o t h e x k - a x is . T h e r a t e o f w o r k o ft h i s t e n s o r i s a k i i . . . . i a : ~ , . . i , v i i . . . . ia , i , . . .~ , (6 .4 )p e r u n i t a r e a o f t h e s u r f a c e n o r m a l t o t h e x k -a x is . T h e f i rs t i n d e x k is n o tn e c e s s a r i l y a te n s o r i n d e x u n d e r c h a n g e o f a x e s , b u t i n d i c a t e s t h e s u r f a c e o nw h i c h t h e s t r e s s t e n s o r a c t s , t h e s u r f a c e b e i n g f i x e d . W h e n ~ -- -- fl- -- -0 w e r e c o v e rt h e c l a s s i c a l s t r e ss t e n s o r a k i w h i c h w e s h a l l s e e l a t e r i s a t e n s o r w i t h r e s p e c tt o b o t h i n d i c e s .

S u p p o s e n o w t h a t t h e s u r fa c e A , c o n t a i n i n g a n a r b i t r a r y m a t e r i a l v o l u m eV a t t i m e t , w a s a s u r f a c e A 0 a t t i m e t o c o n t a i n i n g a c o r r e s p o n d i n g v o l u m e V .T h e c o o r d i n a t e s o f c o r r e s p o n d i n g p o i n t s i n V a n d V a r e X i a n d x i r e s p e c t i v e l ya n d N K i s t h e u n i t o u t w a r d n o r m a l a t t h e s u r f a c e A 0 . L e t P iB I. . .B p :A . .. a , b ea t e n s o r f u n c t i o n o f X a , t , a s s o c i a t e d w i t h t h e s u r f a c e A b u t m e a s u r e d p e r u n i ta r e a o f A o . I f f o r a l l a r b i t r a r y 2 ~ -p o le v e l o c i t y g r a d i e n t s v i ~ , . . . B ~ , a . . . . A , , t h es c a l a r

P ~ . . . B ~ : A . . . . A , V i B ~ . . . ~ , A . . .. A , (6 .5 )i s a r a t e o f w o r k p e r u n i t a r e a o f A o , t h e n t h e t e n s o r P i e ~ . . . B p : a . . .. A , i s c a l l e da s u r f a c e f o r c e * 2 ~ + P- p ol e o f t h e ( f l + t ) th k i n d , p e r u n i t a r e a o f A o . T h e t o t a lr a t e o f w o r k o f t h i s s u r f a c e f o r c e o v e r A i s

f P i B , . . . B p : a . .. . A , V i ~ I . . .B a , A . . . . a , d A o (6 .6 )o

T h e s u r f a c e f o r c e m u l t i p o l e P i B , . . .B p : a . .. a , i s a s s o c i a t e d w i t h a s u r f a c e Ab u t m e a s u r e d p e r u n i t a r e a o f A o w h o s e u n i t n o r m a l i s N a . W h e n N K i s a u n i tn o r m a l a t X a t o t h e X K - p l a n e t h r o u g h t h i s p o i n t w e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n gs t r e s s m u l t i p o l e b y

~K i B1. . .Ba : A . . . A , (6 .7 )T h e s e a r e t h e c o m p o n e n t s o f a s t r e s s t e n s o r 2 ~ + ~ -p o le o f t h e ( f l + t ) th k i n da s s o c i a t e d w i t h a n e l e m e n t o f a r e a a t t h e p o i n t x i i n V , w h i c h i n V w a s p e r -p e n d i c u l a r t o t h e X K - a x i s , m e a s u r e d p e r u n i t a r e a o f t h i s s u r fa c e i n V . T h er a t e o f w o r k o f th i s s t r e s s t e n s o r i s

~ i B1 . . .B p . . a . . . . A , VIB ,. ..Bp,A . . . . A , (6 .8 )p e r u n i t a r e a o f s u r f a c e in V n o r m a l t o t h e X K - a x i s . T h e f i rs t i n d e x K i s n o tn e c e s s a r i l y a t e n s o r i n d e x u n d e r c h a n g e o f a x e s , b u t i n d i c a t e s t h e s u r f a c e o nw h i c h t h e s t r es s t e n s o r a c t s , t h e s u r f a c e b e i n g f ix e d . T h e c l a s s i c a l s t r es s t e n s o r~ K i c o r r e s p o n d s t o a - - ~ f l = 0 a n d w e s h a l l s e e t h a t t h i s i s a t e n s o r w i t h r e s p e c tt o b o t h i n d i c e s .

A s u r f a c e 2 ~ + P- po le o f th e ( f l + l ) th k i n d m a y b e r e g a r d e d a s a s p e c i a l ca s eo f a s u r f a c e f o r c e 2 ~ + ~ -p o le o f t h e ( ~ + f l + t ) th k i n d .* A s i m p l e s u r f a c e f o r c e 2 ~ - p o le o f th e f i r s t k i n d i s d e n o t e d b y P i :A A , i n s t e a do f P A . . . n , i u s e d p r e v i o u s l y (G R EE N & I~ IV L IN , 1 96 4) . W h e n ~ = 0 , P i B . . . Ba i s c a l l e da s u r f a c e f o r c e 2 / ~ - p o l e o f t h e f l + l ) th k i n d , p e r u n i t a r e a o f A o .


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M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s t 2 37 . K i n e t i c e n e r g y

K i n e t i c e n e r g y p e r u n i t m a s s a t t i m e 3 , c o r r e s p o n d i n g t o v e l o c i t y v i ( 3 ) i s8 9 v i ( 3 ) v i ( 3 ) ( 7 . t )

a n d i t s m a t e r i a l r a t e o f c h a n g e i sv i (3) v!*) (3) . (7 .2 )

I n p a r t i c u l a r , i t s r a t e o f c h a n g e a t t i m e t , p e r u n i t m a s s , i sv i v !~). (7.3)

W h e n w e h a v e , i n a d d i t i o n , 2 & p o l e v e l o c i t y f ie l d s v i i . . . . i a ( z ) ( /5 -- -- 1 . . . . . v )w e p o s t u l a t e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g k i n e t ic e n e r g y , p e r u n i t m a s s , i s *

{ ~ Y , . . . i . : i . . . . i , v i i . . . , , ( 3 ) v i i . . . i a ( z ) , ( 7 . 4 )c x l = lw h e r e Y l . .. i~ :i . .. i~ , i n d e p e n d e n t o f 3 , i s a t e n s o r f u n c t i o n o f x i a n d t , a n d w ec a n p u t

Y i . . . . r . . . . i ~ = Y i . . . . i ~ : i . . . . r ( 7 .5 )w i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y . T h e r a t e o f c h a n g e o f t h i s k i n e t ic e n e r g y a t t i m e t,p e r u n i t m a s s , i s f o u n d b y d i f f e r e n t i a t i n g (7 .4 ) w i t h r e s p e c t t o 9 a n d t h e np u t t i n g ~ = t , t o g i v e v~ l y i , .(s) ,.. . . i . : i . . . . J a i i . . . . i . ~ i . . . . i p ( 7 . 6 )

S i m i l a r l y , w h e n t h e 2 & p o l e v e l o c i t y f i e l d i s V i B ,.. .B a (Z ) ( f l- -- -t . . . . . V ), t h ec o r r e s p o n d i n g k i n e t i c e n e r g y , p e r u n i t m a s s , is

{ ~ Y a . . . . A . :B 1 .. .B p V i a . . . . a . ( 3 ) V , ~ . . . ~ , ( 3 ) , 7 . 7 )~ / ~ =

w h e r e Y a . .. . a , : B , . . . ~ p , i n d e p e n d e n t o f 3 , is a t e n s o r f u n c t i o n o f X a , a n dY A . . . . A , : B ~ . . . B a --~ Y B . . . . B a : A . . . . Ac* ( 7 .8 )

T h e m a t e r i a l r a t e o f c h a n g e o f 7 . 7 ) a t t i m e t i s,( 2 ) , ( 7 . 9 )' Y A t . . . A . : B t . . B e V i A t . . .A ~ V i B ~ . .. B p

a f l = l

8 . T h e e n e r g y e q u a t i o n a n d e n t r o p y p r o d u c t i o n i n e q u a l i t yW e c o n s i d e r a n a r b i t r a r y m a t e r i a l v o l u m e V o f t h e c o n t i n u u m b o u n d e d b y

a s u r f a c e A a t t i m e t . W e a s s u m e * * t h a t b o d y f o r c e 2 & p o le s o f t h e ( / 5 + t ) thk i n d F i i . .. . i~ (f l----0 , t . . . . . v ), p e r u n i t m a s s , a c t t h r o u g h o u t V a n d t h a t s u r f a c ef o r c e 2 ~ - p o l e s o f t h e ( f l + t ) th k i n d t i j . . .. j~ ( fl----0 , t . . . . . v ) , p e r u n i t a r e a , a c ta c r o ss A . W e a l so a s s u m e t h a t t h e r e i s a n i n t e r n a l e n e r g y f u n c t i o n U p e r u n i tm a s s , a n e n t r o p y f u n c t i o n S , p e r u n i t m a s s , a h e a t s u p p l y f u n c t i o n r p e r u n i tm a s s a n d u n i t t i m e , a l o ca l t e m p e r a t u r e T , w h i c h i s a s s u m e d t o b e a lw a y s

* S e e t h e A p p e n d i x f o r a m o t i v a t i o n f o r t h i s d e fi n it io n .* * T h e r e m a r k s a t t h e e n d s o f s e c ti o n s 5, 6 i n d i c at e t h a t t h e r e i s n o e s s e n t i a ll o s s o f g e n e r a l i t y i n r e s t r i c t in g o u r d i s c u s s i o n t o b o d y a n d s u r f a c e f o r c e 2 tL p o l es o ft h e ( f l + t ) tu k i n d .


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t24 A. E . GREEN R. S. RIVI.IN:p o s i t iv e , a h e a t f l u x h a c r o s s A p e r u n i t a r e a , p e r u n i t t i m e , a n d a h e a t f l u xQ i , w h e r e Q i i s t h e f l u x o f h e a t a c r o s s a p l a n e a t x i p e r p e n d i c u l a r t o t h e x i - a x i s ,p e r u n i t a r e a , p e r u n i t t i m e . A l l t h e s e f u n c t i o n s d e p e n d o n x 1 , x ~, x ~, t o r ,a l t e r n a t i v e l y , o n X 1 , X 2 , X ~ , t w h e n a p r e f e r r e d p o s i t i o n f o r t h e c o n t i n u u mex i s t s .

W e p o s t u l a t e a n e n e r g y b a la n c e a t t i m e t i n th e f o r mv

z [ ]t i v i + ~ t i i . .. . J pvii .. . ip d A - - f h d A ,/~=1 Aw h e r e a d o t d e n o t e s t h e m a t e r i a l t i m e d e r i v a t i v e a n d w h e r e

F , s . . . ; = F , ; . . . . Y . y . . . . . . . . 8 . 2 )T h e s e c o n d t e r m i n ( 8.2 ) a r is e s f r o m t h e c o n t r i b u t i o n (7 .6 ) to t h e e n e r g y e q u a t i o nf r o m th e k i n e t ic e n e rg y . W e a l so p o s t u l a t e a n e n t r o p y p r o d u c t i o n i n e q u a l i ty

f " r hf f _>0d V - - Q y - d V + ~ d A _ (8.3)V V A

W e s u p p o s e t h a t t h e c o n t i n u u m h a s a r r i v e d a t t h e g i v e n s t a t e a t t i m e tt h r o u g h s o m e p r e s c r i b e d m o t i o n . W e c o n s i d e r a s e c o n d m o t i o n w h i c h d i ff e r sf r o m t h e g i v e n m o t i o n o n l y b y a constant s u p e r p o s e d r i g i d b o d y t r a n s l a t i o n a lv e l o c i t y * , t h e c o n t i n u u m o c c u p y i n g th e s a m e p o s i t io n a t t i m e t. W e a s s u m et h a t U, t i , F , t i i . .. J ~' ~ J . .. . ]a ( f l = l . . . . . v ) , h a n d r a r e u n a l t e r e d b y s u c hs u p e r p o s e d r ig i d b o d y v e l o c i ty ; a n d w e o b s e r v e f r o m s e c t i o n 4 t h a t v i i . .. ip( fl -- - -l , 2 . . . . . v ) a n d v ~ . .. ia ( f l = 0 , 1 . . . . v ) a r e a l s o u n a l t e r e d b u t t h a t v i i sc h a n g e d t o v i + a o w h e r e a s i s c o n s t a n t . T h u s e q u a t i o n (8 .1 ) is a l s o t r u e w h e nv i s r e p l a c e d b y v i + a i , a l l o t h e r t e r m s b e i n g u n a l t e r e d , s o t h a t , b y s u b -t r a c t i o n

[ QF i d V + t id A - - / p v " d V] a , = 0 ( 8 . 4 )f o r a l l a r b i t r a r y c o n s t a n t a i . S i n c e t h e q u a n t i t y i n t h e s q u a r e b r a c k e t s i n(8 .4 ) i s i n d e p e n d e n t o f a i i t f o l lo w s t h a t

f q ~ dV + f t i dA = f q v ~ ldV. (8.5)V A V

I f t h e c o m p o n e n t s o f s t re s s a c r o s s t h e c o o r d i n a t e p l a n e s a r e a i i i t f o l lo w s f r o m(8.5) tha t

ai i , i + e F i = 0 v 2), (8.6)ti--~ ni ai 8 . 7 )

In v i ew o f (8 .7 ) , ai i i s a t e n s o r w i t h r e s p e c t t o b o t h i n d i c e s 1", i u n d e r c h a n g e so f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s , w h e r e t h e s t r e s s e s i n e a c h c o o r d i n a t e s y s t e m a r ea s s o c i a t e d w i t h t h e t h r e e c o o r d i n a t e p l a n e s i n t h a t s y s t e m .

The independ en t the rmodyn amic va ri ab le , wh ich can be t aken to be S isuna l te red .


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Multipolar Con tinuum Mechanics t25W i th th e he lp o f (8 .6 ) and (8.7) , equ a t ion (8A) becom es

v _

I

- ' l ' - J ~ ' i j . . . . jJ~ V i i . . . . #a d A - - f h d A .A = I= A

W e a p p l y t h i s e q u a t i o n t o a n a r b i t r a r y t e t r a h e d r o n b o u n d e d b y c o o r d i n a t ep l anes t h roug h the po in t x i and b y a p l ane w hose un i t no rm al i s nk, t o ob ta inthe r esu l t

( t i s . . . ~ - - n ~ O k i j . . . . # a ) V i i . . . . # a = h + n ~ Q i = O i ( 8 9 )Then , us ing (8 .9 ) i n (8 .8 ) and app ly ing the r esu l t i ng equa t ion to an a rb i t r a ryvo lume, g ives v

~ = ~ 8A o)v+ ~ ' ~r k ii . . . ia V i i . . . ip , k ~ 0 .

F r o m ( 4. 27 ) w e h a v ev i i . . . . # a = B i , . . . i a : i - - v m , lX m i~ . . . i a ' (8.1t)

v i i . . . . ia ,k = B # . . . i a : i ~ - - r m , ~ x ~ # . . . . i a , k ,w h er e

and wi th t he he lp o f (3 .1 ] ) equa t ions (8 .11) become1v i i . . . . i p = B i . . . . i a : i - - ~ ( A m i + C ~ X m i . . . i a, (8.t2)

v i i . . .. i a , k = B i . . .. i a :i k - - { ( A m i + ~ x m i . . .. i p,kI f we subs t i t u t e t he f i r s t o f equa t ions (8 . t 2 ) i n to equat ion (8 .9 ) , we see t ha t

x Y t X m S = 0 , 8 . 1 3 )- ~ c ~ . . . . s . . . . . it ~j . . . i a ( B i . . . . i a : i - - ~ A m i m # . . . #a) - ~ aw h er e h = h - - n ~ Q i , (8 .1 4)

e l i , . . , ia = t i i , . . . #a - - n k o k i h . . . i aAlso , wi th t he he lp o f (8 . t 2 ) and (3 .1 t ) equa t ion (8 .10) becomes

Xe r - - Q i , ~ - e ~ + ~ A ~ i ~ i m + ~ ' e ~ i . . . . ia B i . . . . i a : i +a=x 8 . 1 5 )v j. t+ ~ a k i# . . .. #a B i . . .. ip : ik + ~ m i a i m = O '=1w h er e e i i . . . . a = e F i i . .. ia + a k ~ i . . . . # a , k , (8A6)a n d

P p- - p ~ x ( 8 . 1 7 )~ ' ~ i i . . . . # pX m # . . . . ip a k i i . . . . i p x , n # . . . ip , I,=1


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t26 A E GREEN ~2; R S RIVLIN:

W e n o w c o n s i d e r a m o t i o n o f t h e c o n t i n u u m w h i c h is s u c h t h a t t h e v e l o c it ie sd i ff e r f r o m t h o s e o f t h e g i v e n m o t i o n o n l y b y a s u p e r p o s e d u n i f o r m r i g id b o d ya n g u l a r v e l o ci ty , t h e c o n t i n u u m o c c u p y i n g t h e s a m e p o s i ti o n a t t i m e t, a n d w ea s s u m e t h a t h , Q i , t i i . . . . i ~ , r , ( ] , a i , . , a ~ i . . . j~ a n d a k i ] . . .. i~ a r e u n a l t e r e d b ys u c h m o t i o n s . E q u a t i o n s ( 8 .t 3 ) a n d ( 8A 5 ) h o l d f o r a l l v e l o c i t y a n d m u l t i p o l a rv e l o c i t y f ie l d s, s o t h e e q u a t i o n s h o l d w h e n ~om i s r ep l ac ed b y eo,~ + 2Q** i w i tha l l o t h e r k i n e m a t i c q u a n t i t i e s u n a l t e r e d , i n v i e w of r e s u l t s i n s e c t i o n 4 , w h e r e/2m ~ i s a c o n s t a n t a r b i t r a r y s k e w s y m m e t r i c t e n s or . H e n c e

a n d t h e r e f o r e

v

Q r ~ ~ = t . . . i a x r n . . . i a = OD ,~ i ~ , ~ = 0 .

~im~GmiE q u a t i o n s ( 8 .t 3 ) a n d (8 .1 5) t h e n r e d u c e t o

8 .~8)8 A 9 )

a n di ~ i . . . i a ( B i , ...7 ,:: i - - 8 9 ) - - h = O ,//=1

o O i ,~ - q U - * ~ -- + ~ A , . i a i , , , + ~ a i i . . . . ia B i . . . . i a : i +rB=l

v

+ ~ ' a k i i . . . . ia B i . . . . i . . i k ~ - 0r e s p e c t i v e l y .

(8.20)

(8 .2 t )

9 . E n e r g y a n d entropy product ion a l ternat ive formT h e w o r k o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n i s s u f f i c i e n t l y g e n e r a l t o b e a p p l i e d t o

a n y c o n t i n u u m , w h e t h e r s o li d o r f lu id . W h e n t h e c o n t i n u u m h a s a re f e re n c ec o n f i g u r a t i o n X a t h r o u g h w h i c h i t p a s s e s a t t i m e t o i t i s c o n v e n i e n t t o h a v ea n a l t e r n a t i v e f o r m o f t h e t h e o r y i n w h i c h m u l t i p o l a z f o r c e s a n d s t r e ss e s a r em e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o t h i s c o n f i g u r a t i o n .

W e c o n s id e r a n a r b i t r a r y v o l u m e V a t ti m e t b o u n d e d b y a s u rf a c e A a n dw e s u p p o s e t h a t V i s t h e c o r r e s p o n d i n g v o l u m e a t t i m e t o , b o u n d e d b y a s u r f a c eA o . P o i n t s o f V h a v e c o o r d i n a t e s X A . R e c a l l i n g t h e d e f i n i ti o n s i n s e c t i o n s 5 - - 7 ,t h e e n e r g y e q u a t i o n (8 .1 ) is r e p l a c e d b y

f 5 or , v 2)dg + f 5o O d ~ = f 5o [r + ~ ~ , + Y, ~ . .... . ~ .... .. a g +v, Vo v, ~ ~ = t (9.1)

[ 1f p~ v~ + ~ . P i 8 . . . B , v~B . . . B , dA o - - f h odA o .o ~ I Aow h e r e h o i s t h e f l u x o f h e a t a c r o s s A , m e a s u r e d p e r u n i t a r e a o f A 0 a n dv

~ ~ = ~ . , - F , Ya , .. .A . :~ ,. .. .~ ~. . . . . ~ a . . . . a . . 9 . 2 )~x=l


15/35


16/35

t 28 A . E . G REEN R. S . RIV LIN :a n d

O r - - q K , K ~ 0 0 1 1- + ~ A , ~ K , ~ x ~ K + +9 2 ( O m ~ i r ~ K m X i , KB v . . .~ - X A , ~ B I . . . B f l B t . . . B ~ I A ~ - X A , ~ I ~ K B I . . . B ~ B B I B B :A K = 0 ,

w h e r e

a n d

( 9 . t 2 )

v

"~iB , .. .B# = O0 ~ B , . . .B# + ~r'K B , . . .B # ,K , (9.14)

f * ~ h ~ - - N K q~ c (9A5)~ iBI . . .Bp ~ P iB1. ..B~ - - N K Y~K BI . ..B~ "

W e c o n s i d e r a m o t i o n o f t h e c o n t i n u u m w h i c h is s u c h t h a t t h e v e l o c it ie sd i ff e r f r o m t h o s e o f t h e g i v e n m o t i o n o n l y b y a s u p e r p o s e d r i gi d b o d y a n g u l a rv e l o c i ty , t h e c o n t i n u u m o c c u p y i n g t h e s a m e p o s i t io n a t t i m e t , a n d w e a ss u m eth a t ho , qK, P~B,. ..~a , r , U , ~K ~, ~ iB, .. .Ba an d ~K~B~...Ba a re u na l te re d b y su chm o t i o n s . E q u a t i o n s ( 9 . t t ) a n d (9 A2 ) h o l d f o r a ll v e l o c i t y a n d m u l t i p o l a r v e l o c i t yf i el d s , so t he equ a t i o ns ho l d w hen ~o~ i i s r ep l ace d b y ~om + 2 /2m i w i t h a l l o t he rk i n e m a t i c q u a n t i t i e s u n a l t e r e d i n v i e w o f r e s u l t s i n s e c t i o n 4 , w h e r e Q ,~ i i s ac o n s t a n t a r b i t ra r y sk e w - s y m m e t r i c t e n so r . H e n c e

v

t 2 ~ i ~ P ~ , . . . ~ , x , ~ , . . . ~ , = o ,~gm ~ a ~ X i , ~ = 0 ,

a n d t h e r e f o r eY. ~ , . . . ~ x ~ , . . . ~ - ~ , . . . , ~ x ~ ,. .. ~ ) = o , 9 . t 6 )

/ / = 1

~ K , ~ X i , K = ~ K i X , ~ , K . (9A7)E q u a t i o n s ( 9 . i t ) a n d (9 A 2) t h e n r e d u c e to

a n dv X 1X P i B , . . .B a ( a , i B B , B a : a - - - ~ A , ~ i X , n B , . . .B , ) - - h o = 0

~ o r - - q K , ~ - - Qo ~7 + ~ A ~ , ~ x i , n ++ X a , i ~ ( ~ i ~ , .. .B p B B , .. .B ~ : a + r ~ K ~ B , ...~ p B e , . . .8 : a K ) = O .

(9.18)

(9.19)

1 0 E l a s t i c i t yW e u s e t h e w o r k o f s e c ti o n 9 a n d s u p p o s e t h a t S , x i a n d X i B . .. 8 ~ ( f l = l , 2 . . . . . V )a r e f unc t i o ns o f X A , t . I n sp ec t i o n o f eq ua t i on s ( 9 .5 ) , ( 9 .6 ) , ( 9 . t 8 ) and ( 9 . t 9 )s u g g e st s t h a t c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a r e r e q u i r e d fo r T , ho , qK , U , ~r K i , ~K i B , . . . Bp ,~ iB , .. .S p a n d /5 iB ,...8 ( f l = t , 2 . . . . . v ). W e d e f i n e a n e l a s ti c b o d y a s o n e f o r


17/35

M u l t ip o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s t 2 9w h i c h t h e f o l l o w i n g c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s * h o l d a t e a c h m a t e r i a l p o i n t X aa n d f o r al l t i m e t :

U = U S , x l , a , X ~ B , ...B ~ , X i B , . . . B , a ) , t 0 . 1 )t~ K i = ~ K i ( S X i , A X i B , . .. B y X i B t . .. B ~ , A ) t 0 . 2 )~K i B , .. .B p = Z ~ : i B , ...B ~ S , x ~ , a , X ~ B , ...B ~ , X i B , . . . B , a ) , t 0 . 3 )

~ i ~ , . . . 8 = ~ i B , . . . B ( S , x i , a , X ~ B ,...B ~ , x i ~ , . . . 8 , a ) , ( t 0 .4 )T = T ( S , x i , A , x ~ 8 , . .. B ~ , X~B , . ..B , A , ( t0 .5 )

P i ~ , .. .B p = P ~ B ,...8 ~ S , x i , a , x ~ 8 , . . . B ~ , x i ~ , . . . ~ , A , N ~ : ) , 1 0 . 6 )hO = ho (S , x i , A , XiB, .. .B~, , XiBx .. .B~, ,A , NK) 1 0 . 7 )q K ~ - W K ( S , X i , A , X i B t. .. B ~ , X i B , . . .B y , A T A T A A x . . . . T A A t . . .A ~ ) , 1 0 . 8 )

f o r fl = 1 , 2 . . . . . v ; ~ = 1 , 2 . . . . . ; = > v + 1 , a n d a l l f u n c t i o n s a r e a s s u m e d t ob e s i n g l e - v a l u e d a n d s u f f i c i e n t l y s m o o t h .

F o r a g i v e n d e f o r m a t i o n a n d e n t r o p y t h e 2 ~ -p o le v e l o c it i es ViB,...Ba m a y b ec h o s e n a r b i t r a r i l y a n d i n d e p e n d e n t l y o f e a c h o t h e r s o t h a t , f r o m ( 9.8 ) o r ( 9 .t 8 ),

h o = O , p i B t . . . B a = O ,o r

ho ---- ArK qK, (t 0 .9 )Pi B , . . . B --~ N K ~K i B , . . .B ( f l = 1 , 2 . . . . . V ) .T h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( t 0 .9 ) s h o w s t h a t Z tK iB ,...B p t r a n s f o r m s a s a t e n s o r w i t h

r e s p e c t t o a l l i n d ic e s , in c l u d i n g K , u n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s ,w h e r e t h e m u l t i p o l a r s t r e s s e s i n e a c h c o o r d i n a t e s y s t e m a r e a s s o c i a t e d w i t ht h e t h r e e s u r f ac e s in t h a t s y s t e m w h i c h w e r e c o o r d i n a t e p l a n e s X u = c o n s t a n tb e f o r e d e f o r m a t i o n . T h e fi r st e q u a t i o n i n ( t 0 .9 ) s h o w s t h a t qK t r a n s f o r m s a sa v e c t o r . E q u a t i o n s ( 9 .t 3 ) a n d (9 .1 4) t h e n s h o w t h a t Z ~ m , ~ i B ~ . . . ~ a r e t e n s o r sw i t h r e s p e c t t o a l l i n d i c e s.

I f w e u s e 00.9 1 i n (9 .3 ) a n d a p p l y t h e e q u a t i o n t o a n a r b i t r a r y v o l u m ew e h a v e

q o S T - - Oo r + q K , K q K T , K > 0 , ( 1 0 . t 0 )Tw i t h t h e u s u a l s m o o t h n e s s a s s u m p t i o n s , r e c a ll in g a ls o t h a t T > 0 . I f w e t h e ns u b s t i t u t e f o r r fr o m ( 9.1 9) i n t o ( t 0 . t 0 ) w e o b t a i n t h e i n e q u a l i t y

0 o ( T ~ _ ~ ) qK T, K 1 ,T + 2 z c K m x i , K A ' i + 1o.1 t )v+ X A , ~ I ( ~ B , . . . B e B ~ , . . . ~ : a + ~ : i B , . . . ~ B ~ ,. . . Ba :a K ) >= O .* T h e i n d e p e n d e n t v a r i a b le s a r e a ll u n c h a n g e d b y s u p e r p o s e d r i g id b o d y t r a n s -

l a t i o n s a t a ll t i m e s . T h e f o r m o f e q u a t i o n (9 .9 ) s u g g e s t s t h a t m u l t i p o l a r d i s p l ac e -m e n t s a n d t h e i r g r a d i e n t s , a s w e l l a s d i s p l a c e m e n t g r a d i e n t s , s h o u l d a p p e a r a s in -d e p e n d e n t v a r ia b l es . B y a m e t h o d s i m il a r t o t h a t u s e d i n t h is s e c ti o n a n d i n ap r e v i o u s p a p e r GREEN & RIVLIN t 9 64 ) i t c a n b e s h o w n t h a t g r a d i e n t s o f m u l t i -p o l a r d i s p l a c e m e n t s o f a n o r d e r h ig h e r t h a n t h e f i r s t c a n n o t o c c u r i n t h e c o n s t i t u t i v ee q u a t i o n s ( t 0 . t ) - - ( t 0 . 6 ) .


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t 3 0 A . E . G R E E N & R . S . R I V L I N :

W e a s s u m e t h a t t h e i n t e r n a l e n e r g y fu n c t i o n U is u n a l t e r e d w h e n t h e c o n -t i n u u m u n d e r g o e s a d e f o r m a t i o n w h i c h d i ff e rs f r o m t h e g i v e n d e f o r m a t i o n o n l yb y s u p e r p o s e d r i g id b o d y m o t i o n s a t a ll t im e s . T h i s a s s u m p t i o n i n c lu d e s t h o s ea l r e a d y m a d e a b o u t U . W i t h t h e h e l p o f s e c t io n 4 i t fo l lo w s t h a t

U ( S , X i , A , X i B ,. .. B y , X i B , .. .B y , A ) = U ( S , Q i / X i , A , Q i i X i B , . . . B ~ , Q i i X i B , . . . B v , a )f o r a l l p r o p e r o r t h o g o n a l v a l u e s o f Qii . I t f o l lo w s * t h a t U m u s t b e e x p r e s s ib l ei n t h e d i f f e r e n t f u n c t i o n a l f o r m

w h e r ea n d

a re de f ined i n (4 .19 ) .ou g ou x= ~ 3 - ~ i ,A X / , B Z t i j +

U = U (S , E :A B , EB,..B~,:A , EB,...B~,:A~: ( t 0 . t 2 )E : a B = E A B = E a B ( t ) ,

0 0 . t 3 )EB,. . .8 , :A, . . .Ac,=EB,. . .B, :A, . . .A, , (t) ,R e c a l l i n g t h e r e s u l t s ( 4 . 3 t) a n d ( 4. 32 ), i t f o l lo w s t h a t

r = 1 0 E B . . . . B ~ ,:A B B ' ' B ~ : A j O E,B . . . B~:AK(10 . t4)

w h e r e U i s w r i t t e n a s a s y m m e t r i c f u n c t i o n o f E A B i n t h e i n d i c e s A , B a n dEAB i s u n d e r s t o o d t o m e a n 8 9 + E B a ) in OU/OEAe. T h e in e q u a l i t y ( t 0 . t t )c a n n o w b e w r i t t e n i n t h e f o r m

+ X A , i = ~ B , . . . B - - O o X i , BOEe . .. Bo:B . . . . ( 1 o . 1 5 )a ~_ l( 0 u B-~ - X A , i Y ~ K i B t . . . B a - - e o X i , B O E Bx -~ ..-B #:B K - B x . . . B # : A K - -- - & OEm ~ff .B#:A e '" '~#:A-+ OEB, . .B~:AX Be '" 'B~:A~: > 0 .~ v + l

F o r a g i v e n s t a t e o f d e f o r m a t i o n a n d e n t r o p y t h i s i n e q u a l i t y i s t o b e v a l i d f o ra l l a r b i t r a r y v a l u e s o f S, Am i, BB1...B~:A, BB1...B~:AK ( f l = t , 2 . . . . . /~) w h i c hc a n b e c h o s e n i n d e p e n d e n t l y o f e a c h o t h e r . I t f o ll o w s t h a t

OU OU- - 0 , - - 0 ,OE BI. . . BB:A OEB~ . . BB:AKf o r f l = v + t , v + 2 . . . . . /, s o t h a t U i n ( 1 0. t2 ) r e d u c e s t o

U = U ( S , F a n , E B , . . . B a : A , E~ ,.. .B p :ate) (10.16)* T h i s i s a n a l o g o u s t o a r e s u l t o b t a i n e d b y G R EE N R I V L m ( 1 9 64 ) a n d m a yb e o b t a in e d b y t h e m e t h o d s o f t h a t p a p e r.


19/35

M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s t 3 tw i t h f l = t , 2 . . . . . v . I n a d d i t i o n ,

T - - ~ Ua s ( t 0 . t 7 ), ~ u t o . t 8 )~Kra=2OoXm A O E A K

a U ( t 0 . t 9 )~ 7 ~i Bt ...B # ~ 0 0 X i , B ~ E B 1 . . . B ~ : B '~ U ( t 0 . 2 0 )Y ~ K iB ~ .. . Bp ~ O o X i , B ~ E B x . . . B ~ : B K ,

t h e l a s t t w o r e s u l ts h o l d i n g f o r / 5 = 1 , 2 . . . . . v . A l s o--q~T~>__0 1o.2t)

a n d w i t h t h e h e l p o f ( 1 0 . 1 7 )- - (1 0 . 2 0 ) e q u a t i o n ( 9 .t 9 ) r e d u c e s t o0 0 r - - q K , K -- 00 T S-----0 . ( 1 0 . 2 2 )

B e c a u s e o f (1 0.9 )~ a n d ( 1 0 . t8 ) e q u a t i o n s ( 9. 16 ) a n d ( 9 .t 7 ) a r e s a t i s f ie d i d e n t i -c a l l y .

I f w e i n t r o d u c e t h e H e l m h o l t z f re e e n e r g y f u n c t i o nA = U - - T S (10 .23)

a n d e x p r e s s A in t h e f o r mA = A ( T , E A B , E B I . . . B a : A , E B ~ . . . B a :. 4 K ) , ( t 0 . 2 4 )

t h e nS - - 0 . 4a T ( t 0 . 2 5 )

, a A ( t 0 . 2 6 )7 rK m = 2 0 0 X ~ A 0 E a K_ ~A (10 .27)7 g i B ~ .. .B # ~ O O X i , B ~ E B ~ . . . B a : B '

~ A t o . 2 8 )7 g K I B ~ . .. B # ~ 0 0 X i , B 8EBx...B B : B KE q u a t i o n s ( 9. 14 ) a n d ( 1 0. 2 7) , t o g e t h e r w i t h ( 9. 5) , f o r m a b a s i c s e t o f e q u a -

t i o n s o f m o t i o n f o r t h e s t r e ss e s ~ r r i a n d m u l t i p o l a r s t r e s s es ~rK iB ~...B~ , t h e c o n -s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r t h e s e s t r e s s e s b e i n g g i v e n b y ( 1 0 .2 6 ), ( t 0 . 2 8 ) w h e r e ,f r o m ( 9 . t 3 )

~ra ~ = n ~ m + ) C a,~ Y ~ B , . . . B a X ~ B , .. .B a + ~ m ~ , . . . B ~ x ~ , . . . a a , r ) . t 0 . 2 9 )

1 1. E l a s t i c i t y : a l t e r n a t iv e f o r mB e f o r e c o n s i d e r i n g c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s o f a m o r e g e n e r a l t y p e , b a s e d o n

t h e w o r k o f s ec t i o n 8 , w e o b t a i n r e s u l ts f o r e l a s t ic i t y i n t h e n o t a t i o n o f s e c t i o n 8.W e s u p p o s e t h a t t h e c o n t i n u u m is i n a r e fe r en c e s t a te X B a t t i m e t o a n d w ea s s u m e t h a t t h e i n t e rn a l e n e r g y U a t s o m e t i m e T ( t o < = T < = t ) h a s t h e f o r m *U T ) = U E S , x ~ , a ~ ) , x ~ j , . , j~ ~ ) , x ~ j , ., j ~ , k ~ ) , x i , a , x ~ j , . . j ~ t o ) , X ~ j , . . . j~ , k t o ) ] 1 1 . t )

* A l t h o u g h U ( T ) i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e v a r i a b l e s i n 11 .1 ) f o r c o n v e n i e n c ei n t h i s s e c ti o n i t m u s t e s s e n t i a l l y b e s u c h t h a t i t is a f u n c t i o n o f k i n e m a t i c v a r i a b l e sa t t i m e s T a n d t o .


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132 A.E . GR E EN R. S. RIVLIN:

fo r f l = t , 2 . . . . . /~ . W e c o n s i d e r a m o t i o n ( 3 .t ) w h i c h d i f f e rs f r o m t h e g i v e nm o t i o n b y s u p e r p o s e d r i g i d b o d y t r a n s l a t i o n s a n d r o t a t i o n a n d w e a s s u m e t h a tU is u n a l t e r e d b y s u c h r i g id b o d y m o t i o n s . T h e nu [ s , x l ,4 r ) , x , ~ j . . . . ; p 3 ) , X m j . . . / p , k 3 ) , X ~ , 4 , X m / . . . . /~( tO) , X , ~ i . . . i p , k t o ) ]

= u [ s , Q i j 3 ) x j , 4 3 ) , Q m , r ) Q j , i , . . . Q j , ~ , x , ~ . . . . ~ 3 ) ,Q m . (* ) Q j , , , . - Q / ,~ , Q ~ x . i . .. . i ~ ,. (3 ) , Q . x , - 4 ,Q j , i , - . - Q i , i~ x m i . . . . 4 , t o ) , Q / , ~ , . . . Q j ~ 2 ~ . ~ . . . . i , , , t o ) ] ,

f o r a l l p r o p e r o r t h o g o n a l v a l u e s o f Q i i ( 3 ) .I t f o ll o w s t h a t

u T } = u [ s , ~ 4 B 3 } , f f B , . . . ~ , : 4 3 } , ~ , . . . ~ , . . 4 ~ 3 ) , E 4 ~ , t t . 2 )E ~ . . . . B , : 4 t o } , ~ , . . . ~ , : 4 K t 0 } ] ,w h e r e/ T ~ , . . . ~ : 4 3 ) = ~ . . . . . j , . . ~ 3 ) x i , 4 x / , ~ . . . x / , , B , , t t . 3 )

/~B,. ..~ :AK(3) = /T i . . . i :~,(~) X i , 4 X k , n X i , , B . . . X i # , B # . ( t t . 4 )U s i n g a d o t t o d e n o t e m a t e r i a l t i m e d i f f e r e n ti a t io n w i t h r e s p ec t t o 3 , a n d

reca l l ing (4 .27) , we have[E B , . . .B :A ( 3 ) ] , = , = B i . . . . i # :~ x ~ , 4 x i , , B , X i # , B # ' ( 1 1 . 5 )

[ E B , . . . B # : a l C ( 3 ) ] , = t = B i . . . . i : ~ , x i , 4 x , , g x i , ,B , . . . x / a , B # , ( 1 1 . 6 )a n d~ U ~ + [ ~ U ] , = A i i x , , 4 Xi,B[ O , ) ] , = t = ~ ~ E a B ( ,)

+ 0EB ... B :4(~) ]~=~B i . . . . i : i X i ' a X i ~ ' ~ ' X i a' B # + ( t t . 7 )

T h e d e v e l o p m e n t o f e l a s t i c i t y e q u a t i o n s f r o m ( 8.2 0) a n d (8 .2 1) i s si m i l a rt o t h a t g i v e n i n s e c t io n 10 , s o w e o m i t t h e d e t a i l s a n d w e q u o t e t h e f i n a l r e s u l ts .T h u s

h = n ~ ? ~ , 1 t . 8 )t i J . . . i = n * a * i i . . . . / , ( 1 t . 9 )

T - - OU ( l t A 0 )~S '[ ~ v ] , 0 1 . 1 t )a im = 2 e x , , 4 Xm,B [ OE4 B (*) Jr=t

~ , i . .. i = ~ x , , 4 x j , ,B . . .x ~ . , ,~ , [ - o U 1 , = , (11 . t2)~ E ~ ... B :a (*)[ 0 u 1 ( ~ . ~ }


21/35

Mu l t ipo l a r Con t i nuum Mechan i c s t 33w h e r e U is g i v e n b y (1 1.2 ) a n d f l i n ( t l . 2 ) , ( 11 .1 2 ), ( t t . t 3 ) t a k e s t h e v a l u e s1 , 2 . . . . . v. A l so

- - Q , T i > = 0 ( 11 .t4 )a n d9 r - - Q i , ~ - - q T S = O . ( 11 . t 5 )

T h e e x p r e s s i o n f o r U i s s y m m e t r i z e d w i t h r e s p e c t t o t h e i n d ic e s A , B i n E a B ( z )a n d E A B * ) is u n d e r s t o o d t o m e a n 8 9 ) + E B A ( , ) ] be f o r e ( 11 . 1 t ) i s u sed ,a n d t h e n t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n ( 8 . t9 ) i s s a ti sf ie d . I n v i e w o f ( t t . 9 ) t h e c o n -d i t i on ( 8 . t 8 ) i s s a t i s f i ed i den t i ca l l y .

1 2 . C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s *F o r c o n v e n i e n c e w e c o l l e ct h e r e a l l t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s o f s e c t io n 8 ,na m e l y ( 8 .6 ) , ( 8A 6) , ( 8 . t 7 ) , ( 8 . 19 ), and ( 8 .21 ) , t og e t h e r w i t h ( 8 .7 ) , (8 . 14) , ( 8 .18 ) ,

a n d (8 .2 0) , a n d t h e e n t r o p y p r o d u c t i o n i n e q u a l i t y ( 8.3 ). T h u s~ . ~ . j q F ~ : q v ~1, ( 1 2 . t )

a ~ J . . . i ~ = q ~ J . . . . i ~ + a ~ i J . . . . i p , * , 12.2)v v

a i ' * = a m i = a i r ~ - - a ~ i . . . . iB X ' n J . . . . i~ - - akii . . . i ~ xmJ . . . j ~ , k , t 2 . 3 )

B = I

+ ~ a k i i . . . . i a j . . . i a : i k : O ,B = I

a n d

, , - ~ n 4 a , i ,7~ =h-n i Qi,

~ * ~ , . . . a = t i i , . . . i a - - n ~ a k i i , . . . i a ,

E i ,j . . . . i , x . j . . . . j , - t L j . . . . i x ,j . . .. j , ) = 0 ,B = I

(12.4)

(12 .5)(12.6)

(12.7)( t 2 . 8 )

(12.9)d V T d A >=0.e ~ d V _ f e r hV V A

1 t r a n s f o r m s a s a t e n s o r o f o r d e rn e q u a t i o n ( t 2 . 8 ) B i . . . . i a : ~ - - ~ A m ~ x , ~ i . . . iaf l + l u n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s. W e a s s u m e t h a t i ii . .. iaa l s o t r a n s f o r m s a s a t e n s o r o f o r d e r f l + t a n d t h a t h i s a s c a l ar , u n d e r c h a n g eo f a x e s , s o t h a t t h e l e f t h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( t 2 .8 ) i s t h e n a s c a l ar . S i n c e,f o r a g i v en s u r f ace , t i i . . . ia i s a t en so r an d h a s ca l a r , i t f o l l ow s f r om ( t 2 . 6 )t h a t Q~ t r a n s f o r m s a s a v e c t o r a n d a k i i . . . . i ~ a s a t e n s o r u n d e r c h a n g e o f r e c t a n -g u l a r a x e s , w h e r e t h e a p p r o p r i a t e q u a n t i t i e s i n e a c h s y s t e m o f a x e s r e f e r t o t h e

* See also sect ion 16.Arch. Rat ion al Mech. Anal. Vol. 17 10


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t 34 A .E . GREEN R. S . RIVLIN:c o o r d i n a t e s u r f a c e s i n t h a t s y s t e m . T h u s , i f Q i i s t h e f l u x o f h e a t a c r o s s x i - p l a n e sa t x i , a n d Q * i s t h e f l u x a c r o s s x * - p l a n e s a t t h e s a m e p o i n t , t h e n

Ox*Q * = ~ Q j , t 2 .t 0 )t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m x * t o x~. b e i n g o r t h o g o n a l . A s i m i l a r re s u l t h o l d s f o rt h e m u l t i p o l a r s t r e s s t e n s o r . I t f o ll o w s f r o m (1 2.2 ) a n d ( t 2 .3 ) t h a t a i i . . . ia a n da ~ t r a n s f o r m a s t e n s o r s u n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s a n d t h a tt h e l e f t - h a n d s i d e o f ( 1 2 . 4 ) i s a s c a l a r u n d e r s u c h t r a n s f o r m a t i o n s .

W e n o w s u p p o s e t h a t a ] ~ , a k i i . . . . i a , a i i . . . . i a , t ~ i . . . i ~ , h , Q i c o r r e s p o n d t oe.*.d e f o r m a t i o n o f t h e c o n t i n u u m g i v e n b y (2 A ), a n d t h a t a , a i i . . . . ] ~, ,~ . . . i p ,~ * . . . j p, h * , Q * c o r r e s p o n d t o t h e m o t i o n ( 3 A ) , t h e e n t r o p y S b e i n g u n a l t e r e d .I f t h e s u p e r p o s e d r i g i d b o d y m o t i o n s f o r a l l t i m e d o n o t c h a n g e t h e v a l u e s o fa i , . . . . . Q i , e x c e p t f o r o r i e n t a t i o n a t t i m e t , t h e n

a i i . . . . i a = Q k , , , Q i , ~ Q i , i ~ . . . Q i , i p a . . . .. i . . . . ia . (12A 2)e * . . . . j~ = 9 , Q j , ~ . - . 9 j ~ ~ , e j ~ . . . ~ , , ( t 2 . 1 3 )/.'* -- (t2 A 4). . . . ~ . p - Q , . Q j , ~ , . . . ( ? , . ,~ t ; ~ . . . r

~ * = 7 , , 0 2 . 1 5 )Q = Q i i Q i . ( t 2 A 6 )I t f o ll o w s f r o m (1 2.3 ) a n d (4 .6 ) t h a t a /'m s a t is f ie s a n e q u a t i o n o f t h e f o r m ( i 2 . t l ) .

Al s o , r e ca l l i ng ( 4. 6) an d ( 4.26 ) we s ee t h a t t he l e f t - h an d s i de s o f eq ua t i on s( t2 . 4 ) a n d (1 2.8 ) a r e t h e n u n a l t e r e d b y s u p e r p o s e d r i g i d b o d y m o t i o n s , i f ra n d U a r e u n c h a n g e d b y s u c h m o t i o n s .

I n o r d e r t o m a k e a n y f u r t h e r p r o g r e s s , c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s m u s t b e o b -t a i n e d f o r U , a s i , a ~ 1 . . . . ~ , a i i . . . . ~ , t i1 . . . ~ , h , a n d Q i w h i c h w i ll r e p r e s e n t d i f f e r e n tm a t e r i a l p ro p e r t i e s of t h e c o n t i n u u m , a n d t h e s e e q u a t i o n s c a n t h e n b e r e d u c e dt o c a n o n i c a l f o rm s w i t h t h e h e l p o f t h e i n v a r i a n c e c o n d i t io n s ( t 2 A 1 ) - - ( 1 2 . 1 6 ) .R e s u l t s f o r a n e l a s t ic m a t e r i a l h a v e a l r e a d y b e e n o b t a i n e d i n s e c t i o n t l , a n d ,i n a d i f f e r e n t n o t a t i o n , i n s e c t i o n 1 0. O t h e r a s p e c t s o f t h i s p r o b l e m a r e d i s-cus s ed i n s ec t i on 16 .

1 3. C o n s t i t u t iv e e q u a t i o n s : a l t e r n a t i v e o r mW e f i r st c o l le c t t o g e t h e r t h e f u n d a m e n t a l f o r m u l a e o f s e c ti o n 9 , a n d i n t r o -

d u c e s o m e f u r t h e r n o t a t i o n . T h u s~ : ~ , ~ + e o F ~ = ~ oV ~), ( t 3 . t )

~ iB . . . . B p = ~ 0 ~ B , . . . B , 6 I - :7 ~K B 1 . . . B , 8 , K ' (13.2)~a ~ = x i ,~ , s a ~ , ~ = x ~ .~ s ~ , t 3 .3 )

~ 7 ~ K i B , .. .B a : X ' i , A S K A B I . . . B B , ~ i B 1 . . . B I ~ : X i , A S A B 1 . .. B I~ , ( t 3 . 4 )v

s ~ a = s a B = s , B - z ~ , , ~ y ( ~ , ~ , . . . ~ , x , , ,~ , .,~ ,, + s ~ : , , ~ , . . ~ , x , , ,, ~ . . .B ~ , ~ : ) , 13.5)


23/35

Also, i ft h e n

M ul t ipo la r Con t inuum Mechan icsqO ~ 1- 2 V ~ S K A X r a ,A x ~ , K A , , i +o r - - q K , r

v+ ~ s a B , . . .B e B B , . . .B e : a + S ~ a B , .. .B e B B , . . .B e . A ~ ) = 0 .B=I

t35

t 3 . 6 )

p ~ = x a r a P i B . . .B e= X l a r a B . . .B p p i B ...B e= X i A ~ a B ...B 1 3 . 7 )r A = N K S K a,h o = ho - - N r q g , 13.8)

~ A B , . . . B e = J'A B , . . . B e - - N K S K A B 1 . . . B e '~ , ~ A B , . . . B e ( X i , A X m B a . . . B e - - X m , A X i B , . . . B a ) .~ ---0 , t 3 . 9 )~=1

~. ~aB,...Be BB,...Be:A - - ~ A m i x i , a X , n B , . . . B e ) - - h o = O , t 3 A 0 )a n d a = x f o o g d r o - fQ o - d r o + f d A o > = o 1 3 .,t )

V, vo Ao1I n t 3 A 0 ) , B B , . . . B e : A - - ~ A , , i X ~ , a X , ~ B I . . . B e t r a n s f o r m s a s a t e n s o r o f o r d e r

f l + t u n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n a x e s a n d i s a l so u n a l t e r e d b ys u p e r p o s e d r i g i d - b o d y m o t i o n s a t a l l t i m e s . W e a s s u m e t h a t r aB ,...B e i s u n -a l t e r e d b y t h e s e r i g i d b o d y m o t i o n s a n d t h a t i t t r a n s f o r m s a s a t e n s o r o f o r d e rf l + t . W e a l so a s s u m e t h a t h o t r a n s f o r m s a s a s c a l a r a n d i s u n a l t e r e d b y s u p e r -p o s e d ri g id b o d y m o t i o n s . I t f o ll o w s t h a t t h e l e f t h a n d s i de o f e q u a t i o n 0 3 . t 0 )i s a s c a l a r w h i c h i s u n a l t e r e d w h e n r i g i d b o d y m o t i o n s a r e s u p e r p o s e d o n t h eg i v e n m o t i o n . S i n ce , f o r a g i v e n s u r f a c e , rAB, . . .Be i s a t enso r an d h 0 a s ca la r , i tfo l lows f rom 13 .8 ) an d 13.4 ) th a t SKaB, . . .Be a n d ~ K i B , . . . B e t r a n s f o r m a s t e n s o r su n d e r c h a n g e s o f r e c t a n g u l a r a x e s, a n d t h a t q r t r a n s f o r m s a s a v e c t o r , w i t hre spec t to a l l i nd ice s inc lu d ing K . A lso , f rom t3 .2 ) , t 3 .3 ) an d 13.5 ) we s eet h a t ~ i B , . . . B e , ~ a ~ , S A B , . . . B p a n d s ~K t r a n s f o r m a s t e n s o r s u n d e r c h a n g e s o fr e c t a n g u l a r a x e s a n d t h a t t h e l e f t h a n d s i d e o f 1 3.6 ) i s a s c a l ar . M o r e o v er ,B B , . .. B e . A , B B , . . . B e : A K a n d X , ~,A X i , K A , ~ i a r e u n c h a n g e d w h e n s u p e r p o s e d r i g i dm o t i o n s a t a l l t i m e s a r e a d d e d t o t h e g i v e n m o t i o n . W e t h e r e fo r e as s u m e t h a tSKA B, . . .Be , S - -aB ,. ..Be , S Ba , qg , U , a n d r a r e u n a l t e r e d b y s u c h r i g id b o d y m o t i o n s .I t f o ll o w s t h a t sB a a n d t h e l e f t h a n d s i d e o f e q u a t i o n t 3 .6 ) a r e a l so u n a l t e r e d .

C o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s m u s t n o w b e p o s t u l a t e d f o r s ~a , SAB ,...Bp, SKABI . . .BeqK, U , raB ,...Be an d h0 wh ich wi l l r ep re sen t d i f fe ren t ma t e r i a l p rope r t i e s o f thec o n t i n u u m a n d t h e s e e q u a t i o n s c a n t h e n b e r e d u c e d t o c a n o n i c a l f o r m , w i t ht h e h e l p o f t h e c o n d i t i o n t h a t t h e y a r e a l l u n a l t e r e d w h e n r i g i d b o d y m o t i o n sa r e s u p e r p o s e d o n t h e g i v e n m o t i o n .

R e s u l t s f o r e la s t i c it y h a v e a l r e a d y b e e n o b t a i n e d i n s e ct io n t 0 , b u t w e a d dh e r e s o m e o t h e r r e s u l t s d e r i v e d f r o m 1 0 .8 ) -- 1 0 .2 0 ) , a n d t 3 . 3 ) and t3 .4 ) ,n a m e l y O U

SKa = SAK = 2~0 , t3 . t 2)~ E A K~ uS A B , . . . B a = e O O E B , . . . B a : A , 13.13)

~ u t 3 . t 4 )S K A B , . . . B a = ~ 0 O E B . . . . B a : A KO *


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t 6 A . E . GREEN R. S. RIVLIN:

1 4. E l a s t i c i t y : r e l a t i o n to p r e v i o u s t h e o r yI n a p r e v i o u s p a p e r GREEN RIVLIN, t 9 6 4 ) w h i c h w a s c o n c e r n e d w i t h t h e

t h e o r y o f s im p l e m u l t i p o l a r f o r ce s a n d s t r e s s e s o f t h e f i rs t k i n d , a s s o c i a t e d w i t hm o n o p o l a r d i s p l a c e m e n t s a n d v e l o c i t i e s , e x p l i c i t f o r m u l a e w e r e o b t a i n e d f o re l a s t ic i t y . W e n o w s h o w t h a t t h e s e e la s t ic e q u a t i o n s c a n b e o b t a i n e d a s as p e c i a l c a s e o f t h e p r e s e n t t h e o r y , a n d f o r t h i s p u r p o s e w e u s e t h e f o r m o f t h et h e o r y g i v e n i n s e c t i o n 1 0 .

T he t en so r s EB,. ..Ba : B and E B , . . .B a _ I : B B ~ m a y b e e x p r e s s e d i n t h e f o r mEB,...B~ :B = E BI...B~):B + EB,...B~ :B, 14.1)

E B , . . . B - - , : BB II = E ( B , . . . B ~ - - I ) : B ( B p ) ~ - E * . .. B I3 _ a : B B # ,f o r fl----2 , 3 . . . . . v + t , where E ( B , . .. B ) : B i s t h e p a r t o f E B , . .. B a : 8 w h i c h i s c o m -p l e t e l y s u m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o B x . . . . B ~ nd E(B1. . .BI I_ , ) :B(B ) i s t h e p a r tof E B x . . . B a _ x : B B w h i c h is c o m p l e t e l y s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e s a m e i nd ic e s.T h e t e n s o rs E * . . . a r e t h e n d e f i n e d b y t 4. 1) . W i t h a s i m i la r n o t a t i o n w e a ls oh a v e

~ i B , . . . B a = ~ i ( B , . . . B a ) ~ - ~ *i B t ' B a ' 1 4 . 2 ):r~ B~ B x . . . B ~ - - x = ~ ( B ~ ) i ( B ~ . . .B p _ ~ ) ~ - ~ B a i B x . . . B B - - t ,

f o r f l = 2 , 3 . . . . . v + l . E q u a t i o n s t 0. 19 ) a n d t 0.2 0 ) m a y n o w b e w r i t t e n i nt h e a l t e r n a t i v e f o r m s

au 14 .3 )~ i ( B x . .. B # ) ~ - ~ 0 X i , B a E ( B . . . . B0): B 'a u 1 4 . 4 )S g ( B B ) i (B x . .. B # _ ~ ) ~ -- - ~ 0 X i , B O E ( B ~ . . . Be-- x): B (B ) '

~ * B , . .. B ~ = q o X i , s a U 14.S)OE~ .. . BB : B '8 U:T g B B iB t .. .B B _ _ x = q O X i , B , , t 4 . 6 )O E B x . . . B ~ - -I : B B ~f o r f l = 2 . . . . v + t , a n d O U

7 gi Bx = ~ 0 X i , B O E B a : B ' t 4 . 7 )8 U~K i = 2~o X i , A ~EAK 9

I n t 4 . 3 ) a n d t 4 . 5 ), 8 U / O E ( B , . . .B a ) : B d e n o t e s t h e p a r t o f O U / S E B , . . . B a : B w h i c hi s c o m p l e t e l y s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o B 1 . . . B a a n d 8 U / O E * . . . B a : B d e n o t e st h e r e m a i n i n g p a r t . S i m i l a r n o t a t i o n s a r e u s e d i n t 4 .4 ) a n d t 4 .6 ) .

N e x t w e t a k e s p e c i a l v a l u e sXiB,.. .B~ = Xi,B,...B~ fl = t . . . . . v) t4 .8)

f o r t h e m u l t i p o l a r d i s p l a c e m e n t s . I t f o ll o w s f r o m 4 . t9 ) a n d t 4 .1 ) t h a tE ( B x ' B a ) :B = E B B ' ' B ~ ' 14.9)E ( B , . . . B a _ , ) :B ( B~ ) = E B B , . . . B a ,

f or f l = 2 . . . . . v i n 0 4 - 9 h , f l = 2 . . . . . v + t in t 4.9 )z , a n dEB, :B = EBB , = E B , B , 14 . t0 )


25/35

M u l t ip o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i cs t 3 7i s d e f i n e d i n 3 .6 ) a n d is c o m p l e t e l y s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t

14 .1 t )

o U8 EBB x . . . Bv+t8U

a E B B t . . . B Bf o r f l = - 2 . . . . . v a n d 3 u

~ EBB~

___ ~ u 14.13 )8E(B~ ... B~): B (B~+I)

_ ~U 8 U t 4 . t 4 )OE(BI .. . B~--I): B {Ba) OE(B x ... Ba): B

0 u 0u 14.15)- - 8 E B B I - ~ 8 E B ~ : BF r o m 1 4.4 ) a n d 1 4 .t 3 ) w e h a v e

0U 14 . t6 )Jg(B,,+t) i(B~...B,,) = ~0 Xi , B O EB B I.. . B,,+IA g a i n , f r o m 9 .1 4 ), t 4 . 3 ) , t 4 . 4 ), a n d 1 4 .1 4 ), w e o b t a i n t h e f o r m u l a

0U 14.17)~(B$) i (BI . . .Bp_ , ) ~ - :r~Ki(B,. ..B~) ,K -~ ~0 Fi (Bt . . .B~) = ~0 Xi ,B OE BB . . . B~f o r / 5 = 2 , . .. , v . N e x t , f r o m 9 . t3 ) , 9 .1 4 ), a n d t h e f o r m u l a e o f t h i s s e c t io n , w es e e t h a t

~gAi 2V ~rgKiA,K2V O O ~A- - v + lO U o U ( v > = 1 ) . 14 . t8 )= 2q 0X i,B ~--~-AB + q0 s OEAB~, . ..Ba X i 'B ' 'Bafl=2I n d e r iv i n g 1 4 . t 6 ) - - t 4 . t 8 ) w e h a v e a s s u m e d t h a t U t a k e s a d e f in i te v a l u e

w h e n c o n d i t i o n s 1 4.9 ), 1 4 .t 0 ) a n d 1 4 . t t ) a p p l y , a n d t h a t t h e d e r i v a t i v e so f U i n 1 4 . 1 6 ) - - t 4 . 1 8 ) c a n b e e v a l u a t e d . F o r m u l a e 1 4.5 ) a n d 1 4 .6 ), h o w e v e r ,c o n t a i n d e r i v a t i v e s o f U w i t h r e s p e c t t o t h e t e n s o r s EB , . . .Ba :B nd EB,. ..Ba_~:BB ~a t t h e z e r o v a l u e s of t h e s e t e n s o r s . I f U d e p e n d s o n e l a st i c co e f f ic i e n ts w h i c h

* E * t e n d t o z e ro , i n s u c h a w a ye n d t o i n f i n i t y w h e n EB t . . .B#: B a n d B,.. .B#--I:BBBt h a t U t e n d s t o t h e v a l u e t 4 A 2 ) b u t t h e r i g h t h a n d s i de s o f t 4 .5 ) a n d t 4 .6 )t e n d t o a r b i t r a r y f u n c ti o n s , t h e n t h e v a l u e s o f * a n d ~ *~B ~ iBm...Bp--t i Bx...BB a r eu n d e t e r m i n e d . T h i s s i tu a t i o n i s a n a l o g o u s t o t h a t w h i c h a r is e s w h e n e q u a t i o n sf o r i n c o m p r e s s i b l e e l a s t i c i t y a r e d e r i v e d f r o m t h o s e f o r c o m p r e s s i b l e e l a s t i c i t yb y a l i m i t i n g p r o c e ss . E q u a t i o n s t 4 . 1 6 ) - - 1 4 . 1 8 ) a g r e e w i t h t h o s e o b t a i n e dp r e v i o u s l y t 96 4 ) e x c e p t fo r a c h a n g e in n o t a t i o n . *

* T h e i n e r t i a t e r m s w e r e n o t i n c l u d ed e x p l i c i t ly i n t h e p r e v i o u s p a p e r .

where E B B , . . . B ~t o B 1 . . . . B ~ . A l s o

* =0 , *B1 . . .B a :B E Bt . . .B a_ z :B Ba = O.T h e f u n c t i o n U i n 1 0 .t 6 ) r e d u c e s t o

U ( S , E A B , E B , . . .B a : A , E B t . .. B ~ : A K ) = U ( S , E A B , E A A . .. . A , ,) say ) t 4 . t 2 )w h e r e / 5 = t . . . . , v ; g = 2 . . . . , v + 1 , a n d 0 i s e x p r e s s e d a s a s y m m e t r i c f u n c t i o no f E a B a n d o f E A A . . .. A a s f a r a s t h e i n d i c es A 1 , . . . , A a r e c o n c e r n e d . F r o m14.9 ) and 14.12) we see t h a t


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t 38 A . E . G REEN & R. S . RIV LIN :1 5 . I n f i n i t e s i m a l e l a s t i c i t y

E l a s t i c i t y t h e o r y a p p r o p r i a t e t o a c o n t i n u u m i n w h i c h t h e d i s p la c e m e n t sa n d m u l t i p o l a r d i s p l a c e m e n t s a r e i n fi n i te s i m a l c a n b e o b t a i n e d a t o n c e f r o ms e c t io n t 0 . F o r s i m p l i c i ty w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n h e r e t o t h e t h e o r y i n w h i c ho n l y d i s p l a c e m e n t s a n d d i p o l a r d i s p l a c e m e n t s , a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g s t re s s e s,a r e p r e s e n t . T h e n , u s i n g t h e H e l m h o l t z f u n c t i o n A ,

A = A ( T , E a B , E B : a , E B :A K ), ( 15 . t ), 0 A t 5 . 2 )~ K m = 2 0 0 X m , A O E A K '

OA~ i B ~ O o X i, A ~ E B : A ' t 5 . 3 )OA9 I K i B = O 0 X i , A O E B : A K ' ( 1 5 . 4 )

~ x ~ , ~ = z 4 ~ x ~ , ~ , 1 5 . 5 )x ~ ~ = ~ A ~ - x ~ , ~ ~ x ~ + x ~ x ~ B , ~ ) , 1 5 . 6 )~ , = eo i f / , + ~g iB,X, ( t 5 .7)

: ~ i , ,~ + e o F i = e o V ~ ), t 5 .8)S ---- ~AO T ' - - q K T , K >= O' (15.9)

eo r -- qtc,g - - eo T S = 0 , (15 A0)a n di= N g uKi , ho=N2c qK, ( t 5 A t )

I n t 5 A ) ,EA B = X I A Xi,B,

EB: A=Xi ,AXi B , ( t 5 . t 2 )E B : A K ~ - X i ,A X i B , K "

L e t X i a d e n o t e t h e v a l u e o f x i a i n t h e r e f e r e n c e s t a t e X a a n d l e tEAB = E aB -- (~AB,

EB:A- '~EB,A - -XAB, ( t 5 . t3)E B : A K = E B : A K - - X A B , K 9

W e sha l l co ns i de r t ha t A i s a po l y no m i a l i n EaB , ~Ts. 'a an d ~Ts..A /~ an d i f t he s el a t t e r q u a n t i t i e s a r e s m a l l e n o u g h w e m a y a p p r o x i m a t e A b y *OoA = C + x a B L B + f l B a L : a - ~ - ~ ) B A K ~ : A K - ~ -

15.14)9 W e a s s um e h e r e t h a t t h e t e m p e r a t u r e T i s c o n st a n t. A l t e r n a t iv e l y , if w er e p l a c e A b y t h e i n t e r n a l e n e r g y U t h e n t h e e n t r o p y S i s c o n s t a n t .


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M u l t i p o l a r C o n t i n u u m M e c h a n i c s t 3 9w h e r e C a n d t h e c o e f f ic i e n t s aA B . . . . ~ABCDEF a r e c o n s t a n t s i f t h e b o d y i si n i t i a ll y h o m o g e n e o u s . W e m a y o m i t t h e c o n s t a n t C w i t h o u t lo ss o f g e n e r a l it y .I f , w h e n t h e b o d y is i n i t s r e fe r en c e s t a t e , n ~ , ~ B a n d n K iB v a n i s h a n d t h eb o d y i s i n e

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