1

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS:

STATICS

Seventh Edition

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Lecture Notes:J. Walt OlerTexas Tech University

CHAPTER

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9Atalet Momentleri

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 2

Giriş

Yapı elemanlarının mukavemeti büyük oranda elemanların kesit özelliklerine bağlıdırlar, özellikle kesit alanlarının ikinci momentlerine veya atalet momentlerine.

2

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 3

IntroductionAtalet MomentleriAtalet momentleri genellikle statikte kullanılmazlar. Buna rağmen atalet momentleri hesapları geometrik merkezler için yapılan hesaplara oldukça benzer olduğundan statikte anlatılmaktadırlar. Atalet momentleri mukavemet, dinamik ve akışkanlar mekaniği gibi derslerde kullanılır.

Bir cismin atalet momenti o cismin dönmede değişmeye karşı direncinin ölçüsüdür. Günlük tecrübeler bize göstermektedir ki büyük bir tekere dönme hareketi vermek veya dönen büyük tekeri durdurmak küçük bir tekere kıyasla daha zordur. Matematik olarak bu büyük tekerin daha büyük atalet momentine sahip olması ile ifade edilir.

Atalet momentleri farklı mühendislik uygulamalarında kullanılır. Örnek olarak şu uygulamalar verilebilir:• Su altındaki cisimler üzerinde etkili olan hidrostatik basınç kuvvetlerinin bileşkesini bulmada• Kirişlerde gerilmeleri hesaplamada – Kirişin kesit alanının atalet momenti ile bağıntılıdır (eğilmeye direnç)• Kütlesel atalet momentleri cisimlerin dönme hareketlerinin çalışılmasında kullanılır.

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 4

Atalet Momenti – Günlük hayatta uygulamalar

Golf sopa tasarımı:

3

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 5

Atalet Momenti – Günlük hayatta uygulamalar

Buzda kayma:

Bu formül buz patencisinin kollarını kapattığı zaman nasıl hızlandığını anlatır. Buz neredeyse sürtünmesiz olduğundan kinetik enerji patencinin dönmesi esnasında sabit kalmalıdır. Kollarını kapattıkları zaman patenciler atalet momentlerini azaltırlar (onların kütlesi dönme eksenine yakın olarak daha yoğunlaşmıştır). Kinetik enerjiyi sabit tutmak için açısal hız ω artmalıdır; Bu nedenle, patenciler daha hızlı dönerler. Referanslar: Copyright 2001-07 Physics Forums - Physics Help and Math Help. http://www.physicsforums.com/showthread.php

Here's a 564 kB AVI movie of Paul Wylie doing a scratch spin, at 30 frames/sec.Reference: The Physics of Everyday Stuff main page. Sam Hokin / samh@fusion.kth.se

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 6

Giriş• Daha önceden etki ettikleri alan veya hacimle orantılı olan yayılı

yükleri düşündük.- Bileşke alan veya hacim üzerinde integre ederek veya toplayarak

elde edildi.- Bileşkenin herhangi bir eksene göre momenti, o eksene göre alan

veya hacmin birinci momentlerini hesaplayarak belirlendi.

• Şimdi ise etki ettikleri alan veya hacimle orantılı olan ama verilen eksenden olan mesafe ile doğrusal değişim gösteren kuvvetleri düşüneceğiz.

- Bileşkenin büyüklüğünün eksene göre kuvvet dağılımının birinci momentine bağlı olduğu gösterilecektir.

- Bileşkenin uygulama noktası eksene göre dağılımın ikinci momentine bağlıdır.

• Bu bölümde kütleler ve alanlar için atalet momentlerinin ve atalet çarpımlarının hesaplanması ile ilgili yöntemler gösterilecektir.

4

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 7

Bir Alanın Atalet Momenti• Verilen eksenden itibaren lineer olarak değişen ve

büyüklükleri etki ettiği elemantel alanlarla, , orantılı olan yayılı yükleri, , düşününüz. F

rΔ

AΔ

• Örnek: Basit eğilmeye maruz bir kiriş düşünün. İçkuvvetler kesitin geometrik merkezinden geçen tarafsız eksenden olan mesafeyle doğrusal olarak değişir.

• Örnek: Su altında dairesel kapı üzerinde etkili olan net hidrostatik kuvveti düşününüz.

∫

∫=

=

Δ=Δ=Δ

dAyM

dAyRAyApF

x2γ

γγ

moment ikinci

moment birinci 022 ==

====

Δ=Δ

∫∫∫∫

dAydAykM

QdAydAykR

AkyF

x

r

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 8

İntegrasyon Yöntemi ile Bir Alanın Atalet Momenti• x ve y eksenlerine göre bir alanın ikinci

momentleri veya atalet momentleri,

∫∫ == dAxIdAyI yx22

• dA alanının koordinat eksenlerinden birine paralel ince bir dilim olarak seçilmesi ile integral işlemi basitleştirilebilir.

• Bir dikdörtgen alan için,3

31

0

22 bhbdyydAyIh

x === ∫∫

• Dikdörtgen alanlar için olan formül eksenlere paralel dilimlere de uygulanabilir,

dxyxdAxdIdxydI yx223

31 ===

5

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 9

Polar Atalet Momenti

• Polar atalet momenti idairesel kesitli millerin burulmasını içeren problemlerde önemli bir parametredir..

∫= dArJ 20

• Polar atalet momenti ile dikdörtgensel atalet momentleri birbirleriyle bağıntılıdır,

( )xy IIJ

dAydAxdAyxdArJ

+=

+=+== ∫∫∫∫0

222220

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 10

Bir Alanın Jirasyon Yarıçapı• Atalet momenti Ix olan bir A alanı

düşününüz. A alanının yine Ix atalet momentli ve x eksenine paralel bir ince dilimde yoğunlaştığını hayal ediniz.

AIkAkI x

xxx == 2

kx = x eksenine göre jirasyonyarıçapı

• Benzer şekilde,

AJkAkJ

AI

kAkI

OOOO

yyyy

==

==

2

2

222yxO kkk +=

6

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 11

Atalet Momentlerinin BulunmasıAtalet momenti üç farklı yolla bulunabilir:

1. Bileşik alan – Eğer bir alan atalet momentleri bilinen basit alanlara bölünebiliyorsa o zaman tamamının atalet momenti her bir basit alanın atalet momentlerinin toplamına eşittir. N adet basit alan için :

2. Integrasyon – Eğer bir cismin alanı, hacmi veya çizgisi matematiksel denklemlerle tanımlanabiliyorsa o zaman atalet momenti integrasyon yoluyla belirlenebilir.

3. Katı model programı – AutoCAD gibi programlar cisimlerin 3 boyutlu modellerini oluşturmak için kullanılabilirler. Program ayrıca katı modelin geometrik merkezini, hacmini, atalet momentlerini ve diğer kütlesel özelliklerini belirleyebilir.

∫∫ == dAxIdAyI yx22

...

...

21

21

N

N

yyyy

xxxx

IIII

IIII

+++=

+++=

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 12

Örnek:Örnek: Aşağıda verilen üçgen alan için integral yoluyla Ix , Iy , kx , ve ky değerlerini

bulunuz.Sonuçları tartışınız. (Ix değerini bulmak için yatay dilim ve Iy.değerini bulmak için

dikey dilim kullanınız.)

h

b

y

x

7

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 13

Örnek:x ve y eksenlerine göre taralı alanın atalet momentlerini bulunuz (direk integral yoluyla).(Dikkat: Öncelikle a ve b cinsinden k ve c değerlerini bulunuz.)

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 14

Paralel Eksen TeoremiParalel-eksen teoremiDönme eksenini değiştirmek atalet momenti üzerinde büyük bir etki meydana getirebilir. Bir tekeri eksen mili etrafında döndürmeye çalışmanın kolaylığı ile tekeri merkez ekseninden birkaç feet mesafedeki bir çubuk etrafında döndürmeye çalışmanın zorluğunu düşününüz.Eğer geometrik merkezden geçen eksenlere göre atalet momenti biliniyorsa paralel eksen teoremi yeni bir eksene göre atalet momentini hesaplamak için kullanılır.

( )

( )

22y

2 2

2y

I x dA x' dx dA

x' dA 2dx x'dA dx dA

I ' dx A

= = +

= + +

= + ⋅

∫ ∫∫ ∫ ∫

2x x

2y y

2 2 2 2o o

Parallel-axis theorem:I I ' dy AI I ' dx A

J J ' d A , where d dx dy

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅ = +

Önemli not: Eğer geometrik merkezden geçen eksenlere göre atalet momenti biliniyorsa paralel eksen teoremi diğer bir eksene göre atalet momentinin nasıl bulunacağını gösterir. Bu nedenle geometrik merkezden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bularak başlanmalıdır. (Yani, diğer bir eksene göre Ix değerini bulmak için önce Ix ' değerini bulunuz).

8

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 15

Parallel Axis Theorem• Bir sonraki sayfada verilen tablodan dairenin I değerini

bulunuz ve daireye teğet bir eksene göre olan IT değeri için paralel eksen teoremini kullanınız.

( )4

45

224412

r

rrrAdIIT

π

ππ

=

+=+=

• Bir sonraki sayfada verilen tablodan üçgenin tabanıboyunca olan eksene göre IAA değerini bulunuz ve üçgenin geometrik merkezinden geçen eksene göre olan IBB değeri için paralel eksen teoremini kullanınız.

( )3

361

231

213

1212

2

bh

hbhbhAdII

AdII

AABB

BBAA

=

−=−=

+=

′′

′′

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 16

Karma (Bileşik) Alanların Atalet Momentleri

Basit şekiller için atalet momentleri ders kitabının iç arka kapağında verilmektedir. Gerekirse sınavlarda da verilecektir.

9

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 17

Yuvarlanmış Çelik Profilleri için Atalet Momentleri

Şekil 9.13 (sonraki iki sayfa) halihazırda bulunan yuvarlanmış çelik profillerinin bir kısmı için kesit özelliklerini vermektedir. Şekilde bina yapımında çok sık kullanılan iki geniş flanş örneği gösterilmektedir.

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 18

Şekil. 9.13A Yuvarlanmış çelik profillerinin özellikleri (Amerikan biriminde)

10

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 19

Şekil. 9.13BYuvarlanmış çelik profillerinin özellikleri (Amerikan biriminde)

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 20

Örnek:Örnek: 3.5” x 7” ölçülerine sahip bir dikdörtgen blok için Ix ve Iy değerlerini

bulunuz.a) Geometrik merkezden geçen x’ ve y’ eksenlerine göre b) Bloğun kenarlarından geçen x1 ve y1 eksenlerine görec) Bloğun her iki kenarından 4” uzaklıkta olan x2 ve y2 eksenlerine göred) Sonuçlar arasındaki farkı tartışınız.

C x’

y1

x1

y2

x2

y’

4”

4”

11

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 21

Bileşik Alanlar için Atalet MomentleriBileşik alanlar için atalet momentlerini bulmak: Atalet momentleri toplanabilirlik özelliğine sahiptir. Eğer bir bileşik alan N adet basit alana bölünebilirse toplam atalet momenti her bir basit alanın atalet momentlerinin toplamına eşittir. Negatif alanlar için Ix ve Iy değerleri negatiftir.

A3A2A1

Örnek: Bileşik alan şekilde gösterildiği gibi üç basit alana bölünebilir.

EğerIx1 ve Iy1 = A1 alanının atalet momentleriIx2 ve Iy2 = A2 alanının atalet momentleriIx3 ve Iy3 = A3 alanı için atalet momentleriO zamanIx(toplam) = ΣIx = Ix1 + Ix2 + Ix3

Iy(toplam) = ΣIy = Iy1 + Iy2 + Iy3

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 22

Bileşik Alanlar için Atalet MomentleriBileşik alanlar için atalet momentlerini bulmak: Bileşik alanlar için atalet momentleri bulunurken iki çeşit problemle karşılaşılır:1) Sabit eksenlere göre (veya verilen başka eksenlere göre) Ix ve Iy değerlerini bulmak.2) Bileşik alanın tamamının geometrik merkezinden geçen eksenlere göre Ix ve Iy değerlerini bulmak (öncelikle geometrik merkezin yeri bulunmalıdır).

x

y

Örnek: Sabit x ve y eksenlerine göre Ix ve Iy değerlerini bulunuz.

x’

y’

Örnek: Bileşik alanın geometrik merkezinden geçen eksenlere göre Ix ve Iydeğerlerini bulunuz.

C

12

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 23

Sabit eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması

Örnek: Sabit x ve y eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz. y

x O

6.00"

8.00" R1.00"

R3.00"

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 24

Geometrik merkez eksenlerine göre atalet momentlerinin bulunması

Örnek: Geometrik merkez eksenlerine göre (bileşik alanın geometrik merkezi) atalet momentlerini bulunuz. Bütün ölçüler mm cinsinden verilmiştir.

y

x

30R7

12.5

12.5

12.5

55

13

© 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

9 - 25

Örnek: Problem 9.49İki adet 1-in. Kalınlığında çelik plakalar yuvarlanmış S profile kaynaklanmıştır. Kesitin geometrik merkezinden geçen x ve y eksenlerine göre atalet momentlerini ve jirasyon yarıçapınıbulunuz.