muk1

8/9/2019 muk1

1/203

Y I L D I Z T E K N K N V E R S T E S N A A T F A K L T E S

N A A T M H E N D S L B L M

M U K A V E M E TDers Notlar

CLT-I

Prof. Dr. Turgut KOCATRK

z'z

z z

8/9/2019 muk1

2/203

Konular

1. Giri, Kavramlar, lkeler2. Kuvvet ve Gerilme Hali

3.

ekil Deitirme Hali4. Gerilme-ekil Deitirme Bantlar( Hooke Yasas)5. ekil Deitirme Enerjisi6. KatCisimlerin MEkanik zellikleri7. Boyutlandrma8. ubuk Mukavemetinin Esaslar, Kesit Tesirleri, Edeerlilik Bantlar9. Eksenel Normal Kuvvet10. Kesme Kuvveti11. Basit Eilme

12.

Burulma13. Krlma Hipotezleri.

8/9/2019 muk1

3/203

8/9/2019 muk1

4/203

FORM 2: DERSN LENPROGRAMI

Kodu:,042 2312

Dersin Ad:MUKAVEMET I

Yrtc(ler)Prof. Dr. R. Faruk YKSELER, Prof. Dr. Turgut KOCATRK, Do. Dr. rfanCOKUN, Y. Do.Dr. Zafer KT, Y. Do. Dr. Aye ERDLEN.

1. Hafta GiriKavramlar. lkeler.

2. Hafta kuvvet ve gerilme hali.

3. Hafta ekil deitirme hali.

4. Hafta Kinematik bantlar.

5. Hafta Gerilme-ekil deitirme bantlar(Hooke yasas).

6. Hafta ekil deitirme enerjisi. Emniyet gerilmeleri.

7. Haftaubuk mukavemetinin esaslar. Kesit tesirleri. Edeerlilik bantlar.

8. Hafta Eksenel normal kuvvet halinde gerilme ve ekil deitirme. Eksenel normalkuvvet konusu kapsamndaki hiperstatik problemlerin zm. Isetkisi. Halkadai basn.

9. Hafta 1. Vize Snav

10. Hafta Kesme kuvveti halinde gerilme ve ekil deitirme.

11. HaftaBasit eilme.

Dz eilme.

Eik eilme.

12. Hafta Basit eilme. Dz eilme. Eik eilme.

Burulma.

Dairesel kesitli ubuklarn burulmas.

8/9/2019 muk1

5/203

KAYNAKlAR

1. M. nan,: Cisimlerin Mukavemeti, ArKitabevi, 1967.

2. M. nan,: Dzlemde Elastisite Teorisi, Matbaa Teknisyenleri Basmevi, 1969.

3. . Kayan,: Cisimlerin Mukavemeti, stanbul Teknik niversite Matbaas, 1987.

4.

M.Bakiolu, N. Kadolu, H. Engin,: Mukavemet Problemleri, Beta BasmYaym,1998.

5. Z.ztrk, S. ada,: Mukavemet-Teori ve Problemler, Murat Ders Yaylar,1981.

6. T.zbek,: Mukavemet, Birsen Kitabevi,1993.

7. H. Bodurolu, F.Delale, N. Giray,: zml Mukavemet Problemleri-Cilt I,alayan Basmevi,1974.

8.

N.Yaman, R.Erdl, A. O. akrolu: zml Mukavemet Problemleri I,Yksekkaya Matbaas,1979.

9. E.P. Popov(eviri: H. Demiray): Mukavemet-Kat Cisimlerin Mekaniine Giri,alayan Basmevi, 1974.

8/9/2019 muk1

6/203

MUKAVEMETE GR

Prof. Dr. Turgut KOCATRK

8/9/2019 muk1

7/203

Mukavemetin Tanm

Mukavemet, inaat, makine, uak, gemi mhendislii ve benzeri alanlarda karlalan mhendislik yaplarnnkendilerine etkiyen ok eitli ykler altnda grevlerini yapacak ekilde boyutlandrlmas sorununa cevap

veren bir temel mhendislik bilimidir.

Boyutlandrma Koullar

Gvenlik (emniyet) koulu

Ekonomik olma koulu

Yaplacak greve uygun olma koulu

elikili gibi grnen emniyet kouluyla ekonomik olma koullarn ayn zamanda ve her birisini en byk

lde yerine getirebilme sanat ise, belki de, yalnz mukavemetin deil, mhendislik mesleinin amac olarak

nitelendirilebilir.

Mukavemet, btn konularnbelirli bir amac, genel deyimi ile boyutlandrma amacn yerine getirmek iin

inceler.

Malzemeler in Baz Kabuller

Homojenlik: Cismin fiziksel zelliklerinin koordinatlardan bamsz olmas zelliine denir.

Heterojenlik: Cismin fiziksel zelliklerinin koordinatlara ba

ml

olmas

zelliine denir. zotropi: Cismin fiziksel zelliklerinin dorultudan bamsz olmas zelliine denir.

Anizotropi: Cismin fiziksel zelliklerinin dorultuya baml olmas zelliine denir.

8/9/2019 muk1

8/203

Elastik, Plastik, Elasto-plastik Cisim

Mukavemette kullanlan ideal kavramlar arasnda,tam elastik cisim vetam plastik cisim snrda olaniki cismi gsterir.

Tam elastik zellik, cisimde ekil deitirmenin d etki ile birliktegeri dnmesi demektir

Bunun tersine, tam plastik cisimde de d tesirler ortadan kalkt halde, yaptklarekil deitirme

olduu gibi kalr.

Yapda kullanlan tabii cisimler, genel olarak, bu iki ideal durumun arasnda bulunur; yani d etkiler

geri dnerken, ekil deitirmelerin bir ksm geri dner, dier ksm ise kalr. Buna elasto-plastik

cisim ad verilir.

u=uzamaa b c d

F=

kuvvet

u

F F

u

F

u

Tam elastik cisim Tam plastik cisim Elasto-plastik cisim Dorusal elastik cisim

8/9/2019 muk1

9/203

Hooke Kanunu

1660 da Robert Hooke taraf ndankuvvet ne kadarsa uzama da o kadardr ibaresi ile verilmitir.

Buna gre kuvvetle ekil deitirme arasnda lineerbir bantnn olduu kabul edilmektedir.

ekil deitirme kanunu lineer olan cisimlere ksacaHooke cismi ad verilir.

Mukavemetin Prensipleri

1) Katlama Prensibi : Cismin ancak eklini deitirmi, son durumunun zerine, denge denklemlerininuygulanabileceini kabul eder . Yani katlama prensibi rijit cisim mekanii ile ekil deitiren cisim

mekaniinin statikleri arasnda bir kpr roln oynar.

2) Ayrma Prensibi : Bir cismin mukavemet ynnden durumunun incelenmesi iin, hayalen de olsa, onun

kk paralara ayr

larak analiz edilmesi gerekir. Buna ay

rma prensibi denir.3) Edeerlik Prensibi

FA

S

B

A

S

BF

a b

b

a

F F

2F

A

A

Q

a

B

PB

P Q

b

8/9/2019 muk1

10/203

Birinci Mertebe Teorisi:

b

a

A

a bl

F

a

l

b

F

B

BA

VA V

V

B

B 'A 'V

l

FaV

l

FbV BA == ,

l

aFV

l

bFV BA

=

= '' ,

BBAA VVveVV '

1

2

a

c

s1 s

b

s'2s'1

c'

A B s1 s'

s'22s

F

FF

2211 SSveSS

Sperpozisyon Kanunu:

a

F1B1 A

A'

B2

cb

B2F

1B1F

2 B1

F22B

A'

A

A'

A

2ff1 f

21 fff +=

Denge denklemleri yer deitirmi konum mzerinde yazlrsa birinci mertebe teorisi, yer deitirmemi konum zerindeyazlrsa ikinci mertebe teorisi ile allm olur.

Sperpozisyonun geerli olabilmesi iin malzeme lineer elastik (Hooke cismi) olmal ve 1. mertebeteorisi erevesinde allmaldr.

8/9/2019 muk1

11/203

MUKAVEMET

1

KUVVET

VE

GERLME

HAL

YILDIZ

TEKNK

NVERSTES

NAAT

MHENDSL BLMMEKANK

ANABLM

DALI

PROF.

DR.

TURGUT

KOCATRK

Animasyonlar:

Baki

ALAR05042125

8/9/2019 muk1

12/203

D Kuvvet:nceleme konusu olan cisme, dier cisimlerin yapm olduu etki olarak tanmlanabilir. Etki, cisimler dorudan doruyatemas halinde iseleryakn, aksi halde uzaksaylr.

Cisimler arasnda bulunduu kabul edilen bu etkiler, veya tepkiler belirtilmesi bakmndan iki nemli kategoriye ayrlr.

1.1 D ve Kuvvet:

Dorudan doruya belirli d kuvvetler:Bilinen verilmi kuvvetlerdir, rnein arlk kuvvetleri gibi.

Ba kuvvetleri:

Cisimlerin arasndaki balarda oluan kuvvetlerdir. Bunlarn belirtilmesinde ban ekli ve denge fikri esas roloynar. Mekanikte ba kuvvetlerine, ok zaman, mesnet kuvvetleriveya ksaca reaksiyon ad verilir.

Kuvvet:Aynbir cismin, zihnen dnlen eitli paralar arasndaki etki ve tepkiye verilen addr. Mukavemette bir cismintoptan durumu hakknda bir fikir edinebilmek iin, cismi paralara ayrmak ve her paray, sanki dierinden bamsz,

ayrbir cisim olarak dnmek gerekmektedir; bu ilemde, cismin paralarndan, birinden dierine geen tesirin hesabakatlmas, i kuvvet fikrini dourmutur.

kuvvet, cismin paralarnbelirten ayrma yzeyiveya kesitkavramndan ayr olarak dnlemez. Bu ayrmayzeyinin seilen tarafna gre de, i kuvvet belirli bir yn kazanr. Seilen taraflarda deiiklik yaplrsa i kuvvet deynn deitirir. kuvvetin hesabnda ve iaretlenmesinde bu zt ynl karakteri her zaman gz nnde tutulmal ve

ona hibir zaman belirli ynl bir vektrgz ile baklmamaldr.ekil 2.1 de grlen cisim, zerine etkiyen d kuvvetleri ile dengedebulunmaktadr; cismin t-t ayrma yzeyi ile I ve II paralarna ayrld dnlsn.Hangi cisim parasnn, balbana bir cisim gibi dengesi dnlecek ise, onadierinden geen tesirin de, bir d etki gibi, hesaba katlmas gerekir. Ayr ayr

dengesi ele alnan paralar I ve II olduuna gre kesitin bir tarafndan dierinegeen tesirlerin iddeti ayn kald halde yn deiir, nk mekaniin genelprensibine gre etki tepkiye eittir.P3 P

I

4

P1P t2

Pt 6

P

II

5

ekil 2.1

8/9/2019 muk1

13/203

ekil 2.2 de gsterilen cisim paras, ekil 2.1 deki cismin t-t ayrma yzeyi ile blnen I numaral paras olsun. Kesitin

yalnz A ile gsterilen alan elemanna isabet eden i kuvvet tutar ile gsterilirse, bu civarda gerilme vektrnn tarifi

1.1 D ve Kuvvet:

ekil 2.2

ayrmayzeyi

I

P3P

4

A

PP1 2

B

(Kesit)

Pn

Gerilme: kuvvetlerin esas zelliklerinden biri de, kesit yzeyi boyunca srekli bir tarzdadal olmalardr. Yzeye dal ikuvvetin herhangi bir noktada dalma iddetini belirtmek iin, o civarda birim alana isabet eden deerinin verilmi

olmas gerekmektedir, bu iddetegerilme denir.

0limA

Pp

=

P3 P

I

4

P1P t2

Pt 6

P

II

5

ekil 2.1

(2.1) eklinde yaplr.

8/9/2019 muk1

14/203

1.1 D ve Kuvvet:

Gerilme:Gerilme vektr genel olarak ayrma yzeyinin normalinden farklbir dorultuda olmaktadr; bu sebeple, yeeik gerilme vektr denir. Gerilme vektrne ilikin izleyen kavramlar verilebilir:

Normal gerilme:Eik gerilme vektrnn ayrma yzeyinin normali dorultusundaki izdmne normal gerilme ad verilirve ile gsterilir.

Asal normal gerilme:gerilme vektr, ayrma yzeyi normali vektr ile akrsa olur. Bu durumdaki gerilmesine asal normal gerilme ad verilir.

0 ve p = =

p

n

Kayma gerilmesi:Ayrma yzeyi zerindeki izdme kayma gerilmesiad verilir ve ile gsterilir.

P

B

n

ekil 2.3

Gsterilen bu kavramlarbir animasyonda boyutlu olarak canlandralm.

p

8/9/2019 muk1

15/203

1.2 Gerilme Durumu:

8/9/2019 muk1

16/203

1.2 Gerilme Durumu:

Gerilmenin biraz nce verilen tarifinde, bir A kesit alan elemannn seilmesi ngrlmtr; buna gre bir noktadangeen, eitli dorultulu yzey elemanlar dnlebileceinden, ayn nokta iin her defasnda baka bir gerilmebulunacaktr. Ksaca sylemek gerekirse deitike gerilme vektr ona bal olarak deiecek demektir. Asl

problem, bu iki vektr arasndaki vektr fonksiyonunu belirtmektir.Sz konusu nokta civarnda kenarlar sonsuz kk bir drt yzlnn dengesini dnlsn; farkl yze ait

gerilmeleri verilmi ise, denge esasndan drdnc yze ait gerilmesini bunlar cinsinden hesaplamakmmkndr (ekil 2.4). Bu aklamadan anlalacana gre, bir noktadaki, herhangi bir yzey elemanndakigerilmenin belirtilmesi iin sonlu sayda byklk vermek yetecektir. Verilmesi gerekli byklkler, gibi

vektr veya bunlar

n bileenleri olan dokuz skalerden ibarettir. Art

k yukar

da sz geen vektr fonksiyonu iingibi bir ifade verilebilir. Denge denklemleri kuvvetlere gre lineer olduu iin f fonksiyonu da lineerbir vektr fonksiyonudur.

p

n

1 2 3,p p ve p

1 2 3,,p p p

ekil 2.4

Gsterilen bu kavramlarbir animasyonda boyutlu olarak canlandralm.

a

1P

P2

b

d

3P

c P

n

),,( 321 pppfp =

8/9/2019 muk1

17/203

1 2 G il D

8/9/2019 muk1

18/203

1.2 Gerilme Durumu:

Mukavemette bir noktadan geen btn yzey elemanlarndaki gerilmeleri belirtmek iin verilmesi gerekli deerlerinhepsi birden tek bir byklk olarak dnlr ve adna o noktanngerilme halidenir. Bu tarife gre, gerilme hali,dokuz koordinatlbir byklk oluyor demektir; vektrden karakter itibaryla farkl olan bu yeni tip byklkgerilme

tansr adn alr. Yine denge denklemleri yardmyla gstermek mmkndr ki dokuz koordinatn ancak alt tanesibamszdr; bu zellik, tansr hesabnda kullanlan terimlere gre, gerilme tansrnn simetrikolduunu sylemekleifade edilir. Genel halde, alt skalerle belirtilen bir gerilme hali, zel durumlarda, daha az say ile tarif edilebilir ki, budurumlar izleyen blmlerde irdelenecektir.

eksenli gerilme hali:

Eer bir noktadan geen btn yzey elemanlarndaki gerilmelerde dorultu itibaryla hibir zellik yoksa, bu gerilmehaline eksenli gerilme hali denir ve burada gerilmesiz hibir kesit yoktur.

ki eksenli gerilme hali:Yzey elemanlarndaki gerilme vektrlerinin dorultular hep aynbir dzlem iinde kalrsa bu zel hale iki eksenligerilme hali denir. Burada gerilmesiz tek kesit bu iki eksenin belirttii dzlemdir.

Bir eksenli gerilme hali:Bir noktadan geen btn yzey elemanlarndaki gerilme vektrlerinin iddetleri farkl olduu halde dorultular sabitkalrsa bu zel hale bir eksenli gerilme hali denir. Burada gerilmesiz birok yzey elemanlar vardr. Sfr gerilmeliolan bu kesitler hep sabit eksenden geerler.

Aadaki maddelerde gerilme halleri ayr ayr ele alnacaktr. ncelemede esas ama, verilen kesitteki gerilmelerdenistenilen kesitteki deerlere gemektir. Bu i yaplrken daima bir cisim parasnn drt yzl, prizma gibi- dengesihesaba katlacaktr. Yalnz gerilme hali bir noktadan geen btn yzey elemanlarndaki gerilmeler olarak tarif edildiiiin, gz nne alnan cisim parasnn lineer boyutlarnn da sonsuz kk olmas gerekecektir.Bir cisim ierisinde gerilme hali bir noktadan dierine deimezse, buna homojen gerilme hali denir. Ele alnancisimler bu ekilde zorlanm ise, eitli kesitlerdeki gerilmelerin incelenmesinde, dengesi hesaplanacak cisimparasnn boyutlarnn sonsuz kk olmasna artk ihtiya kalmaz.

1 3 Gerilme Hali:

8/9/2019 muk1

19/203

z

yz

yx

y

zx

xz

xxy

zy

ca

x

z

y

b

1.3 Gerilme Hali:Bir noktadaki gerilme hali asal gerilmelerle verilebilmesine karn, ou zaman normalleri seilen bir eksen takmnaparalel olan kesitteki gerilmelerle karakterize edilir. Bu durumda seilen kesitlerdeki gerilmeler sadece normalolmayp, ayn zamanda bunlarn bileenleri de mevcuttur.

ekil 2.5 de verilen kpn bir yznden dier yzne gerilmelerin deimesi ve ieride hacim kuvvetlerinin (atalet)bulunmas ihtimalleri mevcuttur. nce a.b.c boyutunda bir eleman dnlp sonra limite gidildiinde, bu terimlerinyksek mertebeden kk olduu, dolaysyla ihmaledilebilecei grlr.

ekil 2.5

imdi gerilme halindeki bu cismi boyutlu bir animasyonla canlandralm.

8/9/2019 muk1

20/203

8/9/2019 muk1

21/203

1 3 Gerilme Hali:

8/9/2019 muk1

22/203

1.3 Gerilme Hali:

z

yz

yx

y

zx

xz

xxy

zy

ca

x

z

y

b

ekil 2.5

ekil 2.5 de normali x dorultusunda olan dzlem zerindeki gerilmenin koordinateksenleri dorultusundaki bileenleri (x, xy, xz) olsun. Burada ilk gerilme normal,dier ikisi de kayma gerilmesidir.

Normali y dorultusunda olan dzlem zerindeki gerilme bileenleri (yx , y , yz) venormali z dorultusunda olan dzlem zerindeki deerler de (zx,zy ,z) olarakverilmi olsun. Kolaylkla ispat edilebilir ki, gerilme halinin dokuz bileenibirbirlerinden bamsz deillerdir, aralarnda

(2.2)

ile gsterilen bant vardr.

(2.2) bantlar dorudan doruya ekil 2.5 de grlen, yzleri koordinat eksenlerine paralel cismin dengesinden debulunabilir. rnein x eksenine gre yazlan moment denge denklemi

bantsn verir, dier iki bant da benzer ekilde y ve z eksenlerine gre yazlacak moment denge denklemlerindenelde edilir. (2.2) denklemlerine gre, artk gerilme halinin dokuz bileeninden altsbamsz olacak demektir.

Aadaki tabloda toplanan bu bileenler, esas apa gre simetrik olan bir matris yaparlar:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

yzzyyzzy bcacba == ......

zyyzzxxzyxxy === ,,

(2.3)

1.4 ki Eksenli Gerilme Hali:

8/9/2019 muk1

23/203

1.4 ki Eksenli Gerilme Hali:

Bu durumda (2.3) gerilme tansr aadaki gerilme tansrne indirgenir:

imdi normali olan herhangi bir kesitteki gerilmearansn. ekil 2.b de ABC prizmasnn dengesindengerilmesini hesaplamak mmkndr. Yalnz CBkesitinin A ya ok yakn olduu kabul edilmektedir.Dengeden:

yyx

xyx

(2.4)

Birbirinden bamsz bu 3 byklkle artk herhangi bir kesitteki gerilmeleri bulmak mmkn olur.

s

Ap

x

a

A

p py

p n

b

A

xy

y

Byx

x

py

C n

px

p

ekil 2.6

+=

+=

sincos

sincos

yxyy

yxxx

p

p (2.5a)

cos sin ;n i j = +

x yn n i n j= +

(2.5b)

imdi normali olan herhangi bir kesitteki gerilme aransn. ekil 2.6b de ABC prizmasnn dengesinden gerilmesini

hesaplamak mmkndr. Yalnz CB kesitinin A ya ok yakn olduu kabul edilmektedir. Dengeden:

=+==

++=+==

cossin)()sin(coscossin.

cossin2sincossincos.22

22

yxxyyx

xyyxyx

ppsp

ppnp

(2.6)

Burada , birim normal vektrne dik dorultudaki birim vektr olup ekil 2.6a da gsterilmitir. (2.5) ve (2.6)

ifadeleri herhangi bir kesitteki gerilmeleri veren esas ifadelerdir.

s

n

1.5 Asal Gerilmeler ve Asal Dorultular:

8/9/2019 muk1

24/203

+/2

1

A

2


as deitike ve gerilmeleri deiir. Buarada ve nun ekstrem deerleri aransn. Bugaye iin (2.6) ifadeleri nce 2 asyla

gsterilsin:

ekil 2.7(2.7)

(2.8)

=

+

+

+=

2sin2

2cos

2sin2cos22

yx

xy

xyyxyx

max ve min iin:

yx

xy

oxy

yxtg

d

d

==+

=

22;02cos22sin

220

denklemi bulunur. (2.8) ifadesini salayan farkl o ve o+/2 ile tarif edilen iki kesit vardr, bu kesitlere asal normalkesitler ve bunlar zerindeki deerlere asal normal gerilmeler denir, (2.8) ifadesi ayn ekilde =0 artndan da eldeedildii iin asal kesitlerde kayma gerilmesinin sfr edecei sonucuna varlr, ekil 2.7. o ve o+ /2 ye kar gelen asalgerilmelerin deerleri ise:

2

2

2,122

xy

yxyx +

+= (2.9) olur.

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

(cos sin ) ( )sin cosx y xy

xy x y

= + +

= (2.6)


8/9/2019 muk1

25/203

1 x

Ao

o

oo

imdi bir de nun ekstrem olduu kesitler ve deerler aransn: artndan0=

d

d

xy

yxyxxy tg

2202cos222sin2

1

==

(2.10) bulunur.

2

2

2 xy

yx

o

+

= (2.11)

ve buradaki normal gerilmenin deeri ise: olarak bulunur.)(21yxo += (2.12)

(2.10) denklemini salayan alar 1 ve 1+ /2 olursa asal kayma kesitlerinin asal normal kesitlere gre /4 kadar

dnk olmas gerekir; nk (2.8) ve (2.10) denklemleri bunu gsterir,ekil 2.8. nun mutlak ekstrem deeri

ekil 2.8


8/9/2019 muk1

26/203

Hatrlatma:

Asal gerilmelere bir baka yoldan da varmak mmkndr. Asal normal gerilmelerin kesitlerinde kaymann sfr olduuhususundan faydalanarak

bulunur.

(2.16)

eklinde bulunur. Bunlara dzlem gerilme halinin invaryantlar denir.

gibi ikinci dereceden bir denklem elde edilir; bunun kkleri aranan asal gerilmeleridir. Her kke kar gelenalar da (2.13) denkleminden elde olunacaktr ve birinin o , dierinin ise o+ /2 edecei kolaylkla ispat edilebilir. (2.15)den kklerle katsaylar arasndaki bant

=

=

oy

ox

p

p

sin

cos

Bu deerler (2.5) denklemiyle karlatrlsn.

(2.5)

=+

=+

0sin)(cos

0sincos)(

oyoxy

oxyox

(2.13)

Bu lineer homojen denklemin, ikisi birden sfr olmayan bir zme sahip olabilmesi iin

0)(

)(=

yxy

xyx (2.14)

determinantnn sfr olmas lazmdr. (2.14) denkleminin dzenlenmesiyle

0)(2 =++yxy

xyx

yx

(2.15)

1 2ve

==

+=+=2

21

211

xyyxII

yx

I

I

+=

+=

sincossincos

yxyy

yxxx

pp

b

A

xy

y

Byx

x

py

C n

px

p

1.6 Gerilme Halinin Dnm:

8/9/2019 muk1

27/203

o x

y

A

xy

x

y

xy

A

a cb

(x, y) koordinat eksenleri kadar dnerek (x, h)konumunu alsn. Birinci takma ait x, y, ve xydeerlerinden ikinci takma ait

deerleri bulunsun. (2.6) dan hemen:

ekil 2.8

2sin2cos22cossin2sincos 22 xy

yxyx

xyyx +

+

+=++=

2sin2cos22

cossin2cossin 22 xyyxyx

xyyx

+=+=

2sin2

2coscossin)()sin(cos 22

== yxxyyxxy (2.16)

denklemleri elde olunur; bunlara gerilme halini bir takmdan dierine dntrmeye yarayan dnm formlleridenir. Bu

dnmde

==

=+=+

sabit

sabit

xyyx

yx

22

(2.18)

edecei bulunabilir. (2.18) ifadelerine dnmn invaryantlar denir ve (2.16) ile karlatrnca bunlarn asal gerilmelerle

olan balants grlr.

, ve

1.7 Mohr Grafik Gsterimi:

8/9/2019 muk1

28/203

M

o

Herhangi bir kesitteki normal gerilmesi absis ve ayn kesitteki kayma gerilmesi ordinat seilirse, , ifti bir Mnoktasn gsterir, ekil 2.9. Mohr gsteriminde iaret kabul izleyen ekildedir:

normal gerilmesi iin d

normal dorultusu, daha nceki iaretkabulnn ayns olarak, pozitif yndr.

kayma gerilmesi iin kabul edilen iaret esas udur: Kesitin dnormali matematik pozitif ynde /2 kadar dndrldkten sonraald yn kayma gerilmesinin yn ile ayn olarak dyorsa byle

hale art

, aksine eksiiaret verilecektir, ekil 2.10. ekil 2.9

2

n' 2

n

n'

n

x

xy

yx

y

A

ekil 2.10 ekil 2.11

Bu yeni ve sadece Mohr gsterim sistemine zel iaret esasna gre ekil 2.12 de gsterilen xy gerilmesi pozitif iaretliolduu halde yx gerilmesi eksi iaretli olur ve (2.2) denklemindeki ifadesinin bu prensibe gre,

olmas gerekir.

yxxy =

yxxy = (2.19)


8/9/2019 muk1

29/203

imdi as deitike M gsterim noktalarnn geometrik yeri aransn. (2.26) denklemleri arasnda 2 as yokedilirse:

2

2

2

2

22 xyyxyx

+

=+

+

(2.20)

denklemi bulunur ki bu da , dzleminde, merkezi absis ekseni zerinde olan, birembergsterir. BunaMohremberiad verilir. ekil 2.12 byle bir ember gstermektedir.

M4

M3

M2

My

M1

xy20

xy

Mx

2

M

c

2

x+y

x

y

ekil 2.12


8/9/2019 muk1

30/203

o x

y

A

xy

x

yxy

A

Mx noktas, normalix dorultusundaki kesiti veMy de buna dik olandier kesiti temsil eder ve ap karsdr. Dairenin merkezi (x + y)/2absisinde olup, yar ap

M4

M3

M2

My

M1

xy20

xy

Mx

2

M

c

2x+

y

x

y

ekil 2.12

M1 ve M2 gsterim noktalar asal normal gerilmelere kar gelirler. ekilde MxCM1 as (2.8) den dolay 2o asndanibarettir. ile tarif edilen kesitteki , gerilmeleri daire zerinde M noktas ile gsterilmitir. M

xCM as, hesap

yaplrsa grlr ki 2 kadar olup ters ynde bulunmaktadr.

22

2 xy

yxr

+

=

deerini alr. (2.11) dan dolay nun deerinin r = max edecei kolaycagrlr.

2

2

2 xy

yx

o

+

=

Hatrlatma: (2.11)

Yani ekil 2.8b deki kesitler asyla art ynde dnerken Mohr emberi zerindeki gsterimleri ters ynde 2asyla dnerler. Bu zellik gsterimin en nemli noktasdr. Nihayet M3 , M4 tasvir noktalar asal kayma kesitlerinekar gelir. Mohr gsterim sistemi ile gerilme haline ait her eit problem ok basit ve ak olarak zld iinanalitik yola nazaran daima tercih edilir.

ekil 2.8

(2.21)

8/9/2019 muk1

31/203

1.8 Eksenli Gerilme Hali:

8/9/2019 muk1

32/203

O dan geen birbirlerine dik kesit gz nne alnsn. Bunlardan normali x dorultusunda olan obc dzleminin zerindekigerilmenin koordinat eksenleri dorultusundaki bileenleri (x, xy, xz) olsun. Burada ilk gerilme normal, dier ikisi dekayma gerilmesidir.

ekil 2.15

c

x

n

zx

ax z

zyyz

yx

y

xy

xzb y

z p

Normali y dorultusunda olan oac dzlemindeki gerilme bileenleri (yx y, yz) ve normali z dorultusunda olan oabkesitindeki deerler de (zx,zy ,z) olarak verilmi olsun. Bu ekilde tarif edilen birbirinden bamsz 6 deere dayanaraknormali olan herhangi bir abc kesitindeki gerilmesini hesaplamak mmkndr; dier bir deyimle bu 6 deer eksenligerilme halini belirten bileenlerdir.

imdi gerilme halindeki bu cismi boyutlu bir animasyonla canlandralm.

8/9/2019 muk1

33/203


8/9/2019 muk1

34/203

imdi eksenli durumda abc dzlemindeki gerilmesinin hesab yaplmak istensin. Bu hesapta iki eksenli durumdaizlenen yolun ayns takip edilir. abc kesitinin normali olan birim vektrnn koordinatlar srasyla (nx, ny, nz) vevektrnn koordinatlar da px, py, pz olsun. ekil 2.16 daki cismin dengesinden, (x) ekseni dorultusunda yazlacak

izdm denklemi

p

n

oaboacobcabcp zxyxxx

++= ....

eklindedir. Halbuki eitli yzlerin alanlar arasnda

abcnoababcnoacabcnobc zyx

=== .,.,.

bantlar mevcut olduundan, denge denklemi

zxzyxyxxx nnnp ... ++= (2.22)

haline gelir. Benzer ekilde dier eksenler boyuncaizdm denge denklemleri de

zyzyyxyxy nnnp ... ++=zzyzyxzxz nnnp ... ++=

(2.23)(2.24)

elde edilerek gerilmesi koordinatlar yardmyla hesaplanm olur. (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemleri,gerilme vektr ile normal vektr arasndaki lineer vektr fonksiyonunu tarif eden ifadelerdir.

),,( zyx pppp

),,( zyx nnnn

Bu vektr fonksiyonunun (2.3) de verilen katsaylartablosuna, gerilme tansr ad verilir. Gerilmevektrnn mutlak deeri, koordinatlardan

222zyx pppp ++=

(2.25)

eklinde hesap edilebilir.

cx

n

zx

ax

z

zyyz

yxy

xy

xz

by

zp

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Hatrlatma: (2.3)


z

8/9/2019 muk1

35/203

abc kesitindeki normal gerilme

forml bulunur. Ayn kesitteki kayma bileeni olan iin

(2.26)

olur. Yalnz bu ifadeleri hesap ederken

c

x

n

zx

ax

z

zyyz

yxy

xy

xz

b y

zp

zzyyxx pnpnpnnp .... ++==

eder ki (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemlerinden yararlanlarak iin

yzzyxzzxxyyxzzyyxx nnnnnnnnn 2.2..2...222 +++++=

222 = p (2.27)

1222 =++ zyx nnn (2.28)

olduu da dikkate alnmaldr.

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Dorultular :

l l il i b l d i li l k l A l k i 0 l d

8/9/2019 muk1

36/203

asal normal gerilmenin bulunduu yzeyin normali olarak alnsn. Asal kesitte = 0 olacandan,n

oo npnp

==

etmesi gerekir. (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemlerinden

++==

++==

++==

zozyzoyxzoxozz

zyozyoyxyoxoyy

zxozyxoyxoxoxx

nnnnp

nnnnp

nnnnp

...

...

...

(2.29)

yazlabilir. deerlerine gre lineer ve homojen olan bu takmn hepsi birden sfr olmayan bir zme sahipolabilmesi iin katsaylar determinantnn sfr etmesi artndan

),,( ozoyox nnn

0)(

)(

)(

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(2.30)

bulunur. Bu denklem aranan asal gerilmesine gre kbik bir denklemdir. Ak yazl

0)()( 22223 =+++++

zyzxz

zyyxy

zxyxx

yzxzxyzyzxyxzyx

(2.31)

eklindedir. (2.31) denkleminin kknn daima reel olduu gsterilebilir.


(2 31) d kl i i kk d i l ld t il bili B l l A l il l (2 31) d ld

8/9/2019 muk1

37/203

(2.31) denkleminin kknn daima reel olduu gsterilebilir. Bunlar 1, 2 ve 3 olsun. Asal gerilmeler (2.31) den eldeedildikten sonra (2.11) denkleminde srasyla yerlerine konursa, istenilen asal gerilmeye kar gelen birim normal vektrnnox , noy , noz koordinatlarn hesaplamak mmkn olur; bu arada (2.28) denklemi gz nnde bulundurulmaldr. Bu ekilde

elde edilecek birim vektrn koordinatlar

),,(,),,(,),,( ozoyoxoozoyoxoozoyoxo nnnnnnnnnnnn

(2.32)

asal kesitleri tarif ederler. Yine gstermek mmkndr ki bu dorultu birbirlerine diktir, yani

0... === oooooo nnnnnn

(2.33)

bants vardr. (2.31) kbik denkleminin katsaylar ile kkleri arasnda bilinen cebrik bant

321 ++=++ zyx (2.34)

323121222 ++=++ yzxzxyzyzxyx (2.35)

321

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(2.36)

gerilme halinin invaryantlar(deimezleri) adn alr, nk bu ifadeler koordinat dnmlerinden bamszdr.

8/9/2019 muk1

38/203


eksenli gerilme hali iin Mohr emberi :

8/9/2019 muk1

39/203

(b)

1

2

1

3

3

2

3

(a)

2

2

2

11

(c)

1

3

3

3

2

1

max

eksenli gerilme hali iin Mohr emberi :Herhangi bir boyutlu gerilme hali etkisindeki bir elemana farkl ynden baklabilir. rnein gerilme hali ekil 2.18adaki gibi asal gerilmelerle verilmi ise bu durumda 1-3 dzlemindeki gerilmelerekil 2.18b nin ilkinde gsterildii gibi, 2-3

dzlemindeki gerilmeler ikincisinde gsterildii gibi, 1-2 dzlemindeki gerilmeler ise ncsnde gsterildii gibi ifadeedilebilir. Elemann her izdmne kar gelen Mohr emberleri aynbir - eksen takmnda gsterilirse ekil 2.18c degsterilen Mohr emberleri ortaya kar. Daha sonra krlma hipotezlerinde grlecei gibi en byk kayma gerilmesininbilinmesi nemli olmaktadr. En byk kayma gerilmesi, ekil 2.18c den en byk yarap veren Mohr emberi iin ortayakar. ekil 2.18c den

231

max

= olur. (2.44)

ekil 2.18


8/9/2019 muk1

40/203

ekil 2.19a da verilen eleman iki boyutlu gerilme hali etkisindedir. Yukarda anlatlan yolla Mohr emberleri izilirse ekil2.19c deki durum elde edilir. Bylesi durumda en byk kayma gerilmesi

(2.45)

ekil 2.19

21

max

=

3

1

2

(b)

1

2 2

2

2

(a)

11

(c)

1

max

2

1

olur.

8/9/2019 muk1

41/203


eksenli gerilme hali iin Mohr emberi :

8/9/2019 muk1

42/203

3

1

2

(b)

1

2 2

2

2

(a)

11

(c)

1

max

2

1

(2.45)

ekil 2.20

21max

=

eksenli gerilme hali iin Mohr emberi :Gerilme halinin ift ve tek eksenli olmas durumlarnda da ekil 2.19a, 2.20a daki elemanlarda, bu elemanlarn boyuttaherhangi bir dzlemle kesilmeleri halinde sz konusu dzlemlerde gerilmelerin olutuunu not etmekte fayda vardr.

Dolaysyla gerilme hali iki eksenli verildiinde, elemandaki maksimum kayma gerilmesi aranyorsa bu her zaman (2.30)veya (2.40) ifadesi deildir. Bylesi durumlarda (2.44) ve (2.45) eitlikleri gz nnde bulundurularak maksimum kaymagerilmesi elde edilmelidir.

(b) (c)

1

1

2 (a)

3

1

1

1

max

1

231max

= (2.44)

ekil 2.19

8/9/2019 muk1

43/203

zml Problemler :

Problem 1.1 :

8/9/2019 muk1

44/203

Verilen gerilme durumu iin asal gerilmeleri ve asal dorultularbulunuz.

2/

20100100

10012040

10040120

mmNT

=

zm :

1. ve 3. satrlar lineer baml olup ayn denklemi verir.

oyoxoyox nnnn ''0'.20'.20 ==

0'.100)'.(60'.40 = ozoxox nnn

ozoxozox nnnn ''0'.100'.100 ==

4. denklemde , ve iin bulunan ilikiler yerlerine konursa,

1. denklemden.

2. denklemden.

oxn' oyn' ozn'

31' =oxn bulunur.

31' =oyn

31' =ozn dr.

kjin o

.3

1.

3

1.

3

1' +=

iin yap

lan ilemler benzer olarak ve iinde yap

l

rsa,1 2

3

jin o

.2

1.

2

1'' +=

kjin o

.6

2.

6

1.

6

1''' =

olduu da ilgili skaler arpmlarn yaplmasyla hemen tahkik edilebilir.0'''.'''''.'''.' === oooooo nnnnnn

zml Problemler :

Problem 1.2 :

8/9/2019 muk1

45/203

(-35;-0,67)

(5;0,67)

Bir A noktasnn da verilen iki eksenli gerilme hali ekilde grlmektedir. Verilen gerilme hallerini toplayarak Anoktasndaki toplam gerilme halinin asal gerilmelerini bulunuz. Daha sonra toplam gerilme haline ait Mohr

emberini iziniz.

zm :

8 N/mm

20 N/mm

A

o60210 N/mm

2

2

20 N/mm2

xy'o60

o60

x'

20 +

= 0xF

060cos60cos.20 =+ xoo

2/5 mmNx =

0=+

yF

2/67.8060cos.60sin.20 mmNxyoo

xy ==

o60

o60

5

208,67

8,67

o60

20

y'

o60

5

8,67 0=+ yF

060cos.67.860sin.2060sin. =+ oooy2/15 mmNy =

60o o60

20

15

8,65

8,65

5

Toplam gerilmeler2/5510 mmNx ==

2/351520 mmNy

==2/67,067,88 mmNyx =+=

2

2

minmax )67.0(2

355

2

355+

+

=

2max /01,5 mmN=

2min /01,35 mmN=

zml Problemler :

Problem 1.3 :

8/9/2019 muk1

46/203

ebc90b

dc

ab25

100 ab

a

20

70

40

30

Bir nokta civarndaki gerilme haline ait, bu noktadan geen yzeydeki gerilmelerekilde grld gibiverilmitir:

30

20

130

bcbcb

cac

ab

abac

a

a) gerilmelerini dnm formlleri yardmyla bulunuz.b)Sz konusu gerilmeleri dzlemdeki adet denge denklemini kullanarak bulunuz.c)lgili gerilmeleri uygun yzeyler seerek, dzlemde kesien kuvvetlere ait iki adet denge denklemini kullanarak

bulunuz.d) Gerilme hali iin Mohr emberini iziniz.e) Asal gerilmeleri ve dorultularnbulunuz.f) x ekseninden itibaren saat ibreleri ynnde 300 dnldnde elde edilecek yzeydeki gerilmeleri dnmformlleri yardmyla bulunuz.

g) Asal gerilmeleri, maksimum kayma gerilmesini ve f

kk

ndaki gerilmeleri Mohr emberi yard

m

yla bulunuz.

bcabab ,,

222 /100/90/100 mmNmmNmmN acbcac ===

zml Problemler :

Problem 1.3 :

+

+

+=

2sin2cos

22xy

yxyx

8/9/2019 muk1

47/203

= 1 alnrsa , sins teoreminden

olur. zm :

ab

oo

ac 130sin/30sin= oo

cb 130sin/20sin=

a)100 100

.cos(2.20 ) ( 25).sin(2.20 )2 2

y y o o

ab

+ = + +

)20.2sin(.2

100)20.2cos().25( oyoab

=

100 10090 .cos(2.230 ) ( 25).sin(2.230 )

2 2y y o o

bc

+ = = + +

(1)

(2)

(3)

(1) den

(2) den

(3) den

yab .117,023,72 =

yab .321,0291,51 =

y587,0698,106 =

(4)

(5)

(6)

(4), (5) ve (6) dan 222 /768,181/639,109/963,50 mmNmmNmmN yabab === bulunur.

2

/402,134230.2sin(.2

)768,181(100)230.2cos(.25 mmN

oo

cb =

=

ebc90b

dc

ab25

100ab

a

20

70

40

30

=

2sin22cosyx

xy

zml Problemler :

Problem 1.3 :

a

8/9/2019 muk1

48/203


olur. zm :

ab

oo

ac 130sin/30sin= oo

cb 130sin/20sin=

b)

(7)

(8) den

(8)

(11)

(10), (11) ve (12) denbulunur.

+

= 0xF

040sin.130sin

20sin

.9040cos.130sin

20sin

.130sin

30sin

.10020sin.20cos. =++

bcabab

=+

0yF

040cos.130sin

20sin.40sin.

130sin

20sin.

130sin

30sin.2520cos.20sin. =+++

bcbcabab

= 0bM

( )0)287,0

2

6527,0.(6527,0.10070cos.1.6527,0.25

2

4465,0.905,0.1.

2

=+++ ab (9)

(7) den 044,39342,0342,09397,0 =+ bcabab

00975,47287,09397,0342,0 =++ bcabab

0481,255,0 =ab(9) dan

(10)

(12)

222

/429,134/725,109/962,50 mmNmmNmmN bcabab ===

ebc90b

dc

ab25

100ab

20

70

40

30

zml Problemler :

Problem 1.3 :

8/9/2019 muk1

49/203

c

ac

y

d

25

25

100

a

abab

20

70

ebc90b

dc

ab25

100ab

a

20

70

40

30


olur. zm :

ab

oo

ac 130sin/30sin= oo

cb 130sin/20sin=

c)y

30

4

0

90 bc e

c25

d

b

ab

ab

25ebc

40

90

9

0

50 100

25c d

y

ekil 1 ekil 2 ekil 3

+

= 0xF (ekil 3den)

040cos.40sin.50sin.50cos.1. =++ oacoacbcbc

2/437,1340979,102766,0 mmNbcbc ==+

=+

0yF

(ekil 3den)

050cos.50sin.50cos.50sin.1. =+ oaco

ybcbc

2/838,1810766,0288,139 mmNyy ==+

+

= 0xF (ekil 2den)

020sin.1.20cos.1.20sin.2520cos.1.100 =++

abab

0342.094,0418,85 =+ abab (13)

=+

0yF

(ekil 2den)

020cos.1.20sin.1.20sin).838,181(20cos.25 =++ abab

abab 94,0342,0685,85 ++(14)

(13) ve (14) den 2 250,963 / 109,639 /ab abmm N mm = = bulunur.

zml Problemler :

Problem 1.3 :

8/9/2019 muk1

50/203


olur. zm :

ab

oo

ac 130sin/30sin= oo

cb 130sin/20sin=

d)

(-181,838;25)

(100;-25)

e)22

minmax )25()919,140(919,40 +=

2

max /20,102 mmN=2

min /04,184 mmN=

252 0.177 ,

140,919o

tg

= = 006,102 =o0963,1692 =ove

f)

181,838 N/mm2

25 N/mm2

o30

2100 N/mmA BG 25 N/mm

100 N/mm

2

2

181,838 N/mm2

G

2/191,51150.2sin).25(150.2cos.2 838,1811002 838,181100mmNoo =+ ++ =

2/539,109300sin.919,140300cos.25 mmNoo ==

zml Problemler :

Problem 1.3 :

8/9/2019 muk1

51/203


olur. zm :

ab

oo

ac 130sin/30sin= oo

cb 130sin/20sin=

g) Maksimum kayma gerilmesinin olutuu kesitteki normal gerilme Mohr emberinin merkezinin apsisine eit olup, aadabulunmutur:

919,402

=+= yxo

Maksimum kayma gerilmesi ise Mohr emberinin yarap olup izleyen ekilde hesap edilir:

119.143)25(2

)838,181(100 22

max =+

==r

G yzeyindeki normal ve kayma gerilmeleri ise srasyla

2/191.51919,4094,49cos.119,143 mmNo ==

2/191.51919,4094,49cos.119,143 mmNo == olur.

Asal normal gerilmeler ise

21 /20,102119,143919,40 mmN=+=

22 /04,184119,143919,40 mmN== eklinde elde edilir.

o

o 06,102 = o

o 9022 1 +=

zml Problemler :

Problem 1.3 :

8/9/2019 muk1

52/203

DEC

h

B

d

A

f

a

o

c

Fb

Be g

D

C

A

F

E

2

2

601

o45

x

y

xy

1

2

A kesitine Mohr emberinde a noktas, B kesitine Mohr emberinde b noktas kar gelmektedir. imdi izleyen iki soruya cevaparanmaktadr: 1) Asal gerilmeler olan , yi Mohr emberi zerinde belirleyen c ve d noktalarna elemanzerinde kar gelen C ve D kesitlerinin normalleri hangi dorultadrlar? 2) Maksimum kayma gerilmesini Mohr emberizerinde belirleyen e noktasna elemann hangi normal dorultulu kesiti kar gelmektedir? Mohr emberi zerinde a dan itibaren

negatif ynde dnlmesi gerektii Mohr emberinden grlmektedir. O halde ilk ynlenme durumundakielemann bunun yars olan as kadar ve pozitif ynde dndrlmesi gerekmektedir. ekilden grldgibi asal gerilmelere kar gelen ynlenmi eleman ad dorultusu zerinde gsterilmitir; nk bu dorultu, ilk durumdakiynlenmi elemandan matematik pozitif ynde as kadar dnlmesi durumuna kar gelmektedir. Budurumda ad dorultusu maksimum normal gerilmenin dorultusunu verir ve szkonusu gerilmenin etkidii yzey bu dorultuyadiktir. Maksimum kayma gerilmesini belirleyen e noktas da a dan itibaren Mohr emberi zerinde

pozitif ynde dnlerek bulunur: Bu durumda elemanda negatif ynde dnlmelidir. Elde edilecek bu

yzeyde maksimum kayma gerilmesi etkir ve bu gerilmeler dorultusundaki kegeni uzatacak ekilde ynlenmilerdir.Kayma gerilmelerinin iaretleri ile ilgili kabulden de szkonusu gerilmelerin ynleri belirlenebilir. olduugeometriden bilinmektedir. Buradan hareketle, ad dorultusu kullanlarak yaplan ilemler, benzer yorumlarla ac dorultusukullanlarak da yaplabilir. Bylesi durumda elde edilecek ynlenmi elemanlar da ekilde gsterilmitir.

1max = 2min =

o

o

aoc 06,102 ==

2/06,10 oo ado==

2/06,10 oo ado==

oeoa 9006,102 1 +==

( ) 2/9006,101

oo +=

max odac 90=

8/9/2019 muk1

53/203

EKL DETRME

ekil Deitirmenin Tanm:C

2) A Deiimi:

8/9/2019 muk1

54/203

AA'

B

C

C'

B'

AB A B

AC A C

BC B C

=

=

=

ekil Deitirmenin Elemanlar ve llmesi:

1) Uzunluk Deiimi:

C BA

A'B'

AA ve BB yer deitirme vektrleri

AB

ABBAxo

=AB

ABBAAB

x=

0lim

Boy deiimi oran iin kabul edilen iaret kuralna

gre, boy uzamalarpozitif, boy ksalmalar ise negatif

kabul edilir.

A Bx

yt

C

C'

A'nB'

Bata 90o olan xAy asnda = + kadarlk bir deiim

meydana gelmitir.

00

( ) ,limxyABAC

xy dik asndaki deiim

= +

/2 radyanl

k a

daki deiimi yine radyan cinsindentanmlayan xy ve deerlerine A daki x, y ve ,

dorultularna ait a deiim oranlar ad verilir. A deiimi

oranlar radyanla lldkleri iin, boy deiimi oranlar gibi,

boyutsuz deerlerdirler. A deiimi oran iin kabul edilen

kurala gre, 90o lik adaki azalmapozitif,artma isenegatiftir.

ekil Deitirme Durumu:

z z

8/9/2019 muk1

55/203

x x x'x

dz A

dy

y

dx

z

y A

z'

y'

ydz(1+z)

dy(1+y)dx(1+x)

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Dzlemsel ekil Deitirme Durumu:

000

0

0

yxy

xyx

yxy

xyx

ekil Deitirmelerin Yer Deitirmeler Cinsinden fadesi:

u+yu y

8/9/2019 muk1

56/203

u

x

u+

u

a

v

vy

c

y

c'

d'

vx

a'

b

xx

d

b'

+

u+

v+

y

y

y

x

x

2

1

b

a noktasndan x mesafedeki b noktasnn

u yer deitirme bileeni

b

uu u du u x

x

= + = +

x

2 2

2 2

x dorultusundaki birim uzamas

1

1 1x

u vx xx xa b ab u v

ab x x x

+ + = = = + +

u vve sonsuz kk

x x

x

ux

=

2 2

2 21

1 1y

v uy y

y ya c ac v u

ac y y y

+ + = = = + + y

vy

=

1 2bac dik asnda meydana gelen adeiimi xy bac b a c

= = +

xx

vdv

= xx

vvvb

+=

x

ux

v

ux

x

uxu

vxx

vv

tg

+

=

++

+=

111 1

8/9/2019 muk1

57/203

x

d

y' yc'

x

a

u

x'u'

a'

c

bv y'

y

x'

b'v'

( ) ( )xyv u v x v y u x u y

x y x x y x x y y y

= + = + + +

yy

x

u u x u y

x x x y x

= = +

+=+=

+==

cossin,cossin

sincos,sincos

vuvyxy

vuuyxx

cossinsincos

sinsincoscossincos

22

+

+

+

=

+

+

+

=

y

u

x

v

y

v

x

u

y

v

y

u

x

v

x

ux

cossinsincos 22 xyyxx ++=

2sin2

2cos22

xyyxyx

x +

++

=

2sin2

2cos22

xyyxyx

y

++

=

2cos2

2sin2

xyyx

xy

+

=

y

v v x v y

y x y y y

= = +

2sin2

2cos22

xyyxyx

x +

++

=

8/9/2019 muk1

58/203

A' C

E2

20A

Dx

2

x+y2

minmax

x

y

2

xy 2

xy 2

22

minmax

222

+

+=

xyyxyx

yx

xy

otg

=2

22

max

222

+

= xyyx

2sin22cos22

xyyxyx

y

+

+

=

2cos2

2sin2

xyyx

xy +

=

Hacim Deimesi:

8/9/2019 muk1

59/203

D tesirlerden nce hacmioV

olan bir cisim parasnn ekil deitirme bittikten sonra hacmi

V olursao

o

V

VV

=

Kenarlar zveyx , olan bir cisim parasnn ilk hacmi zyxVo =

ekil deitirdikten sonra kenarlar: zveyx +++ )1()1(,)1( 321

Yeni hacim zyxV +++= )1()1()1( 321

321 ++=

A deitirmesinin hacim deiikliine etkisi ikinci ve daha yksek mertebeden olduu iin nn deeri asal olmayan dik

dorultudaki uzama oranlar iin de ayn kalr.

zyx ++=

Yksek mertebeden byklkler ihmal edilirse

8/9/2019 muk1

60/203

ekil Deitirme

Uygulama

ekilde grlen levhann ekil deitirmeden nceki

rnek 1

8/9/2019 muk1

61/203

y'

x'

x

y

30

4 m

2 milk durum

4,1 m

1,8 mekil deitirmi

durum

ekilde grlen levhann ekil deitirmeden ncekiboyutlar 4m x 2m olup, ayn levhann ekil

deitirdikten sonraki boyutlar 4,1m x 1,8m dir.

a)x vey deerlerini bulunuz. Bulunan deerler,elemann bu ynlenme durumunda a deiimiolmadndan1 ve2 deerleridir.

b) Verilenxy eksen takmna gre 30o a yapan eksentakm iinxyxy deerlerini mohr emberinikullanarak bulunuz .

1025,04

41,4 ===x 21,02

28,1 ===ya)

b) 1 2 0, 025 ( 0,1) 0,06252 2

R = = =

2

y=-0,1

2'xy' x,

0,0375

60C

' y,2

-'xy

x=0,0250, 025 0,1.cos 0,0625.(cos 2.30) 0.006252 2x y

x R + = + = + =

0, 025 0,1.cos 0,0625.(cos 2.30) 0.0688

2 2

x y

y R

+ = = =

108,02

3.0625,0.260sin..2 === R

xy

0, 025 0,10.0375

2 2

x y +

= =

y

Verilen levha iin asal ekil deitirmeleri ve asal dorultularbulunuz.= 30olik kesittekikil d i ti l i ld d k M h b i i d t i i

rnek 2

8/9/2019 muk1

62/203

x30

20

cm

cm

30o

ekil deitirmeleri elde ederek Mohr emberi zerinde gsteriniz.

43 10.5,420

10.9 ===x

xx

43

10.7,630

10.20 ===y

yy

4444

10.51,8)60sin(.10)8.(2

1)60cos(.

2

10).7,65,4(

2

10).7,65,4(

=+

++

= oox

4444

10.69,2)60sin(.10)8.(2

1)60cos(.

2

10).7,65,4(

2

10).7,65,4( =+= ooy

44 4(4,5 6,7).10 1

.sin( 60 ) .( 8)10 .cos( 60 ) 2,95.102 2 2

x y o o = + =

oo

yx

xyo 31,37636,3

10).7,65,4(10.82tan

4

4

==

=

=

24

24

24

minmax

2

10.8)10.(

2

7,65,4

2

10).7,65,4(

+

+

=

4

max 10.75,9 =

4

min 10.45,1 =

4

24

24

2

max

10.15,42

10.8

)10.(2

7,65,4

2

=

+

=

(2,69;2,95)

(1,45;0)

(8,51;-2,95)

(4,5;-4)

74,62o

60

o

(9,75;0)

(5,6;4,15)

(5,6;-4,15)

(6,7;4)

2 10

-4

Bir levhann bir noktasndaki iki ayr dzlem ekil deitirme haline ait asal uzamalar arasndaki ann kosins

3/ 5 di A l l 4444 ld t l kil d i ti

rnek 3

8/9/2019 muk1

63/203

cos 3/ 5 dir = Asal uzamalar 4444 10.6,10.5,10.4,10.3 ==== yxnm olduuna gore toplam ekil deitirme

bileenlerini bulunuz.

n

m

y

x

zm:

n

m m'

n' y

x

25

7sincos2cos,

25

24cossin22sin,

5

4sin,

5

3cos 22 ======

444

10.64,525

24

.025

7

102

65

102

65

=+

+

+

= mm

444 10.96.010.25

24

25

7.0

25

24.10

2

65

2

1 ==

+

= mnmn

444610.36,510.64,510.610.5

=+=+ nn

444

10.64,810.64,510.3

=+=+= mmm

44410.36,110.36,510.4

=+=+= nnn

4410.96,010.96,00

=+=+= mnmnmn

Bir ABCD dikdrtgen levhasekil deitirme sonunda ekilde grld gibi ABCD drtgenih li li A k i d kil d i i bil l i i h l

rnek 4

8/9/2019 muk1

64/203

haline geliyor. A noktas civarnda ekil deitirme bileenlerini hesaplaynz.

2 cm 3 cm

2 cm

1 cm

1 cm

3 cm

2 cm

120 cm

100 cm

CC'

A

A'B'

B

D'

D

Levhalarn AB ve AC boylar sra ile 121 ve 103 cm dir. Bu durumda A noktas civarnda

3121 120 8.33.10120

x = =

2 1 3 10,0133

100 120xy

+ = =

103 1000.03

100y

= =

8/9/2019 muk1

65/203

GERLME ve EKL DETRME

BAINTILARI

E/11 =1 1 -1

Hooke Kanunu:

8/9/2019 muk1

66/203

a

1

11

1

b

1 +1

1 -11 1

132 ==

E1

32

==

1 1 1 11 2 3 (1 2 ) 0 1/ 2

E E E E = + + = = =1/2 snr deeri iin hacim sabit kalmaktadr

( )

( )

( )

31 21 1 2 3

31 22 2 1 3

31 23 3 1 2

:

1

1

1

eksenli gerilme hali iin

E E E E

E E E E

E E E E

= + + = +

= + + = +

= + + = +

A B

C D

C'C D D'

B,B'A,A'

G/=

G: kayma modl

Basit Kaymada Hooke Kanunu:

8/9/2019 muk1

67/203

B'

+

+

Elastisite modl(Young modl) ile kayma modl arasndaki iliki

8/9/2019 muk1

68/203

A'

4

4

2

+

1

D'

D

C'O

B1

C A

1 1

A kesindeki a +2/

== AABB ( )

( )

+=

+= 1EEE

( )

( )

45 / 2 1

4 2 1 45 / 2 1

tg tg OBtg OA B tg

tg tg OA

+ = + = = = +

=

+=

+

21

1

21

21 ( )

E

+==

122

mutlak deer itibaryla, = olduundan ( )

E

+=

12

( )+=

12

EG

( ) ( )22

112 ++== BAveAB 2/1122

+=

= AB

ABBAAB

BAAB =

zellik normal gerilmeler iin de yle tekrarlanabilir:Normal gerilmeler, sadece uzunluk deiimi yaparlar, fakatalar deitirmezler.

olur ki bunun d ya gre ikinci mertebeden kk bir deer olduu gznne alnrsa

yazlabilir. Varlan bu nemli sonuyle zetlenebilir:Kayma gerilmeleri sadece a deitirir, uzunluk deitirmez. Bu

Genel Hooke Kanunlar: nce normal ve kayma gerilmelerinin etkileri arasndaki bamszlk gz nne

alnarak uzamalarn yalnz normal gerilmelerden doduu dnlrse, , , , ,x y z xy xz yzve

, , , ,x y z xy xz yzve gerilmeleri cinsinden ekil deitirmeleri izleyen ekilde yazlr:

8/9/2019 muk1

69/203

( ) ( ) ( )1 1 1

x x y z y y x z z z x yE E E

= + = + = +

GGGyzyzxzxzxyxy

=== ,, Bu denklemler Genel Hooke kanunlardr

Hooke kanunlar gerilmeler yerine ekil deitirmeler cinsinden aadaki ekilde ifade edilebilir:

yzyzxzxzxyxy GGG === ,,

( )( )

211 +=

E

x y z xy xz yzg y y

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

++++

=

++++

=

++++=

zzyxz

yzyxy

xzyxx

GE

GE

GE

2211

2211

2211

Hacimsel Elastisite Modl:

Hid t tik il h li l l ( )[ ] ( )

211

+

8/9/2019 muk1

70/203

Hidrostatik gerilme hali ele alnsn o === 321 ( )[ ]( )

oooo

EE

321 =+===

Birim hacim deimesi ( )oo

E

2133321

==++= Ko /= ( )213

= E

K

eitli modller:

Cismin elastik ekil deitirme zelliini tarif eden fizik sabitler arasnda bazlarna modl ortak ad verilir.

ekil deitirme=Gerilme/Modl

E1

1

=

G

=

Ko=

Dzlem haller:

000

0

0

yyx

xyx

( )yxzE

+=

( )

+

= yxz

yxy

xyx

E

00

0

0Dzlem Gerilme Hali:

Dzlem ekil deitirme hali:

000

0

0

yxy

xyx

( )( )( )

( )yxyxzE

+

+=+=

211( )

+= yxz

yyx

xyx

00

0

0

Gerilme Tansrnn Hacim ve Biim Deitirme Bileenleri:

ve

8/9/2019 muk1

71/203

3

1

2

3-m

m

m

m

1-m

2-m

321, ve

mmm ,,

mmm 321 ,,

0)()()( 321 =++ mmm )(3

1321 ++=m

Hacmin sabitkalmasartnn gereklemesi iin, = 0 ve dolaysyla

+

=

m

m

m

m

m

m

3

2

1

3

2

1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Yukardaki ifadenin sa tarafndaki ilk terime hacim deitirme bileeni tansr, ikinci terime ise biim deitirme

bileeni tansr veya deviatr bileen tansr ad verilir.

8/9/2019 muk1

72/203

Gerilme ekil DeitirmeBantlar

Uygulama

ki eksenli bir gerilme hali iin gerilme tansr aada verilmitir. Bu gerilme durumuna kar gelen ekil deitirmetansrn bulunuz.

24 /1012 NE 220 10

/

rnek 1

8/9/2019 muk1

73/203

24 /10.1,2 mmNE= 2/10 40

T N mm

=

[ ] 34

10.52,1)40.(3,020.10.1,2

1 ==x

zm

[ ] 34

10.19,2)20.(3,040.10.1,2

1 ==y

[ ]3

4 10.286,0)4020.(3,00.10.1,2

1 =+=z

3

410.238,1

)3,01.(2

10.1,2

10

)1.(2

=

+

=

+

==

EGxyxy

xy

3

1,52 1,238 0

10 1,238 2,19 0

0 0 0, 236

x yx xz

yx y yz

zx zy z

=

Sonsuz rijit bir oyua ekilde grld gibi elastik bir blok yerletirilmitir. Bloa oyuktanx=5 N/mm2 lik bir basn

gerilmesi etkimesi iin F kuvvetinin iddeti ne olmaldr? Bu durumda gerilmesi ne olur?

rnek 2

8/9/2019 muk1

74/203

gerilmesi etkimesi iin F kuvvetinin iddeti ne olmaldr? Bu durumda z gerilmesi ne olur?

3,0,/10.1,2 24 == mmNE

mm0,2

200,2 0,2

cm25

mm0,2

mm cm mm

x

z

[ ]).(3,05.10.1,2

110.2

20

10.44

32

zyx +===

42=0,3.-0,3.-5- zy

[ ])5.(3,0.10.1,2

110.6,1

25

10.4

4

32

yzz

+===

6,333,05,1 =+ yz

6,335.1.3,0542 +=++ zz

2/21,145 mmNy =

145, 21 200 250 7260500 7260,500F N kN = = =

30

cm

F

ekilde grlen ii dolu elik bir silindire eksenel F kuvveti etkimektedir. Silindirin ap dorultusundaki boy deiiminisilindirin ap d F kuvveti E ve cinsinden bulunuz

rnek 3

8/9/2019 muk1

75/203

silindirin apd, Fkuvveti, Eve cinsinden bulunuz.

x F

y

z

F222

.27,1

.

4

4

. d

F

d

F

d

Fz ===

0=x

0=y

222 .

.27,1

..

.4.

.

.40.0.

1

dE

F

dE

F

d

F

Ex

=

=

+=

dE

Fx

.

.27,1

=

Kare prizma eklindeki bir blok sten bir levha vastasyla F=240 kNluk yk tamaktadr. Kesitin bir kenar a=3 cm dir.Bu prizma ekilde grld gibi birbirine uzakl d=3,0004 cm olan iki sonsuz rijit blok arasna ve tam simetrik olarak

rnek 4

8/9/2019 muk1

76/203

g g j

konmutur. Bloa F yk uygulandnda rijit bloklarla elastik blok arasnda meydana gelen gerilmeyi bulunuz.E=2.105 N/mm2 0.3=

y

x

F=240 kN

2

/67,266900

240000

mmNy ==

40,0004 1,33.103

x = =

))067,266.(3,0.(10.2

110.33,1

5

4 +== xx

2454

5

4 /33,5310.6667,2.10.210.33,110.2

10.4 mmNxx ===+

d

3cm

3

cm

8/9/2019 muk1

77/203

EKL DETRME

Elastik Enerji:

Hesaplarda Kullanlacak Baz Kavramlar:

8/9/2019 muk1

78/203

D kuvvetlerin ii: Doal kat cisimler yklendikleri zaman ekillerini deitirdiklerinden d kuvvetlerin tatbik

noktalarbir miktar yer deitirir; bu suretle de ykler bir i grr. D etkilere gre hesaplanan bu i Udile gsterilir ve

d kuvvetlerin iiadn alr.

kuvvetlerin ii: D kuvvetlerin yapt i, i kuvvetlerin cisim iinde dourduu ekil deitirmede kullanlr.

kuvvetlere-gerilmelere-gre hesaplanan ve Ui ile gsterilen bu ie de i kuvvetlerin iiveya ekil deitirme enerjisi

denir.

Mekanik enerjinin korunumu: Enerji kayb olmayan hallerde Ud = Ui olmas gerekir. Tam elastik cisimde ykler

kaldrld zaman, eer mekanik enerji kayb yoksa, cisim ilk durumuna tekrar geri dner ve ekil deitirme enerjisi

olarak cisim iinde sakl bulunan bu i tekrar meydana kar. ekil deitirme enerjisi, elastik cismin yalnz deforme

olmu durumunu tarif eden byklklere bal

olup ok defa elastik potansiyel enerjiad

n

al

r.

Statik ykleme:ekil deitirme hesap edilirken gerek kuvvetlerin ve gerekse yer deitirmelerin sfrdan balayarak

yavayava arttklar (statik ykleme) kabul olunur. Her an i ve d kuvvetler arasnda bir denge mevcut olduundan

cisimde dinamikolaylara meydan verilmez.

F

F

F

Fo

os F: kuvvet

8/9/2019 muk1

79/203

s so o s so

a b

o

Fo

F

F

ds ds

=d dssFU 0 )(F: kuvvet

s: kuvvet dorultusundaki yer deitirme

Ud: 0-s0 aralnda yaplan i

a

a

o

b

c

b

bcbc

=V

ii dVuU

)(2

1))((

2

1 abcaabcUi ==

V = abc 2

1==

V

Uu ii

22

22 E

Eui ==

1

1

a

o

b

1. 1.

2

).1.().1.1(

2

1 ==iu

22

22 G

Gui ==

Eksenli Gerilme Hali:

8/9/2019 muk1

80/203

)(2

1332211 ++=iu [ ])(2

2

1133221

23

22

21 ++++=

Eui

++

+++= 232123

22

21 )(

21

Gui

][2

1yzyzxzxzxyxyzzyyxxiu +++++=

[ ] )(21

(22

1 222222yzxzxyzyzxyxzyxi GEu +++++++=

)(2

)(21

2222222yzxzxyzyxzyxi

GGu

+++

++

+++=

x

x

iu

=

x

x

iu

=

Hacim ve Biim Deitirme Enerjileri:

8/9/2019 muk1

81/203

+

=

m

m

m

m

m

m

3

2

1

3

2

1

00

0000

00

0000

00

0000

Yukardaki ifadenin sa tarafndaki birinci ve ikinci bileenleri iin ekil deitirme enerjisi younluklar hesap

edilsin.

Safi hacim deiiklii ile ilgili enerji uv ve yalnz biim deiiklii yapan enerji de ug ile gsterilsin.

Buna gre

gvi uuu +=

2321

222 )(6

)21(

6

)21(3)323(

2

1

++

=

==

EEEu mmmv

[ ])(6

1313221

23

22

21 ++++=

G

ug

[ ]213232221 )()()(12

1 ++=

Gug

8/9/2019 muk1

82/203

KATI CSMLERN MEKANK

ZELLKLER

ekme Deneyi:ekme Deneyi:

F

8/9/2019 muk1

83/203

F

loAo

A0 : ubuun ilk kesitil0 : ubuun ilk uzunluu

F kuvveti altnda ayn deerler A ve l olsun

:

:

o

o

o

l lUzama oran

lF

Gerilme oranA

=

=

arctgE

=llo

F/AO

k

c FE P

-P-E

Orantllk snr: p: gerilmesi bu snrn altnda kaldka,

cisim Hooke kanununa uyar ve , diyagrambu blge iin

bir doru parasyla gsterilir.

pveE = dorusunun eimi elastisite modln verir.

Boyuna uzayan ubukta, enine bir daralma grlmektedir.

= e

:

:

e Enine ekil De itirme Oran

Poisson Oran

Elastisite snr: E : Malzemenin elastik zelliinin sona erdii snrdr.F/AO

E >

ekil deitirmenin bir ksm kuvvetle birlikte geri dner

8/9/2019 muk1

84/203

arctgE

=llok

c FE P

-P-E

bir ksm da kalcdr.

Akma snr: F : ekme diyagramnda eksenine paralel bir eie kar gelen

ordinata denir. Gerilme bu deere eriince,uzamalarn artmas iin artk gerilmenin

oalmas gerekmez. Malzeme iinde byk deiiklikler ve kaymalar olur.

O

F

p=0.002

ekme mukavemeti: c : ekme diyagramnda en byk ordinata denir.

Malzemenin, ilk kesite blnmek artyla, kaldrabilecei en byk gerilmedir. Bir

ok yerde malzemeler bu snra gre snflandrlr.

Kopma uzamas: k : ubuk kopuncaya kadar hasl olan toplam uzama oran

olup diyagramn en byk apsisinden ibarettir. k deeri malzeme iin ok

karakteristiktir. Kopma uzamas az olan bir malzemeye gevrek, aksi halde dktil

(snek) malzeme denir.

BasBasnn Deneyi:Deneyi:

Basit basn, deney teknii ynnden ekme kadar kolay deildir.

8/9/2019 muk1

85/203

4

Burkulma tehlikesi gz nnde tutularak ksa deneme ubuklar alnr. Fakat ksa ubuklar, uartlarnn sonulara tesir

etmesi bakmndan, elverili deildir.

ok Eksenli Gerilme Altok Eksenli Gerilme Altnda Deneme:nda Deneme:

Tek eksenli deneyler malzeme hakknda olduka nemli bilgi verseler bile, uygulama iin yetmezler. Malzemenin iki ve

eksenli gerilme altnda denenmesi gerekmektedir. Bu arada yaplabilen kolay denemelerden biri basit kaymadr. ki eksenli

olan bu denemede gerecin G kayma modl ve ilgili snrlar tayin edilir. Ayrca ii boboru eklindeki deney ubuklarbir

taraftan eksenel olarak ekme veya basnca maruz tutulurken, dier taraftan iten etkiyen bir svbasnc yardmyla ok

eksenli hale zorlanr.

ok eksenli denemeler arasnda, asal gerilmenin eit olduu, hidrostatik basn deneyinin zel bir deeri vardr. Sv

basnc ile olduka kolay realize edilen bu gerilme hali altnda btn cisimlerin davranlar hemen hemen birbirinin ayndr.

Hepsi artan hidrostatik basn altnda safi bir hacim azalmas gstermekte, gerilmeler geriye dnd zaman ekil

deitirmeler de tamamen geriye dnmekte ve hibirplastik ekil deitirme kalmamaktadr.

Deneyler gstermitir ki, bas

nc

n deeri ne kadar byk olursa olsun, hidrostatik bas

nla, cisimleri ne ezmek, ne de onlardaplastik bir ekil deitirme oluturmak mmkn deildir.

8/9/2019 muk1

86/203

BOYUTLANDIRMADA GENEL

LKELER VE YNTEMLER

MMhendislikte karhendislikte karlalalan balan ballca problemler:ca problemler:

Ar elastik ekil deitirme,

Plastik yahut kalcekil deitirme,

8/9/2019 muk1

87/203

Krlma, kopma, ezilme,

Sabit yk altnda zamann ilerlemesiyle ekil deitirmenin, sakncal olacak ekilde, artmaya devam etmesi (Creep).

Ar elastik ekil deitirme: Elastik ekil deitirmenin belirli snrlar zerine kmaspek ok eleman, gme, krlma

veya ezilme gibi bilinen tehlikelerin dnda, grevini yapamaz duruma getirebilir.

Plastik yahut kalcekil deitirme : zellikle snek malzemeden yaplbir elemanda yk altndaki gerilme belirli bir

snr aarsa meydana gelen ekil deitirme yk kaldrlnca artk tm ile geri dnmez ve bylece elemanda kalcbir

ekil deitirme ortaya kar.

Krlma, kopma, ezilme : zellikle gevrek malzemede grlen bu tr tehlikeli durumlar elemann ar yk altnda krlarak

paralara ayrlmaseklinde ortaya kar. Baz malzemelerin basn altnda ezilerek harap olmas da teknik olarak

krlma kapsamna girer. Krlma tehlikesi, dinamik yk altndaki elemanda belirli bir tekrar says sonunda, statik

haldekinden ok daha dk gerilme deeri iin meydana gelebilir. Yorulma adn alan bu olay statik halde snek

malzemede pek grlmeyen krlma tehlikesini bu tr malzemede dinamik yk altnda n plana karr.

Creep : Yap veya makine elemannda, sabit yk altnda zaman sresi boyunca artmakta devam eden ekil deitirme olarak

tanmlanr.

BoyutlandBoyutlandrmanrmann Ana Yn Ana Yntemleri:ntemleri:

Klasik yntem: Bu yntem elemann boyutlarnn, hibir noktadaki gerilmenin tehlikeli durum gerilmesini amayacak, hatta

ondan belirli bir oranda kk olacak ekilde saptanmasn ngrr. ki veya eksenli gerilme durumlarnn sz konusu

olduu hallerde, en kesitin bir noktasndaki gerilme kavram, yerini bir noktadaki gerilme hali kavramna brakr ve bu

8/9/2019 muk1

88/203

halde tehlikeli durum bir krlma teorisinin kullanlmas ile saptanabilir.

Tama gc veya limit analiz yntemi: Bu yntemde en kesitte bir noktann tehlikeli duruma gemesi yerine tm en kesitin

ve elemann, hatta giderek elemanlardan oluan btn sistemin tehlikeli duruma gemesi esas alnr ve boyutlandrma,

elemanbu tehlikeden belirli bir oranda uzak tutacak surette gerekletirilir.

Homojen gerilme haline maruz elemanlarda bir noktann tehlikeli duruma gemesi halinde tm noktalar tehlikeli duruma

gemi olacaklar iin her iki yntem ayn sonucu verir. Ancak homojen olmayan gerilme hallerinde veya elemanlardan

kurulu zellikle statike belirsiz olan sistemlerde, ok daha modern olan tama gc yntemi daha gereki sonu verir.

EmniyetEmniyet KatsayKatsay

ss

veve EmniyetEmniyet GerilmesiGerilmesi::D kuvvetin tam olarak belirli olmamas, teoride yaplan kabuller, malzemenin zellikleri, projenin uygulanmas,

kontrol, yapnn mr gibi faktrler nedeniyle tehlike durumlar kesin olarak bilinemez. Bu nedenle gvenlik artnn

zedelenmemesi iin tehlikeli durumun hemen altnda deil, fakat bu faktrlerin arlk derecesine gre, belirli bir oranda

altnda kalnmas gerekir. Bylece boyutlandrmada, tehlikeli durum gerilmesinin veya halinin deil, bunun yerine bu

gerilme veya gerilme halinin birden byk olan bir katsays ile blnmesiyle elde edilen deerin hemen altnda

kalnmas salanr. Kesin tehlikeli durumun bilinmemesine neden olan bu faktrlerin arlk derecelerine gre saptanan

ve daima birden byk olan katsayya emniyet katsays ad verilir.

skatsayteyinme

gerilmesidurumtehlikeli

gerilmesiteyinme =

8/9/2019 muk1

89/203

UBUK MUKAVEMETNNESASLARI

YapYap elemanlarelemanlarnnn sn snnflandflandrrlmaslmas::

Bir boyutlu yap elemanlar (ubuklar): Bu elemanlarda iki boyut (kalnlk ve ykseklik), nc boyut (uzunluk)

yannda ok kktr.

ki b tl l l (L h Pl k K b k) S d bi b t (k l lk) di l i d k kt

8/9/2019 muk1

90/203

ki boyutlu yap elemanlar (Levha, Plak, Kabuk): Sadece bir boyutu (kalnlk) dierleri yannda kktr.

boyutlu yap elemanlar: boyutu da ayn mertebede olan yap elemanlardr.

h

b F1

l

2F

F3

1FF2 F

F1

2

t

zl

lx

2F

ly

FF

1F2

3

1F

F3

lz

tF2

F1

t

F

l

1

yl l

F2 F3

z

x

Kesit Tesirleri:Kesit Tesirleri: Mukavemet problemlerinin zmnde ilk adm, d kuvvetler etkisindeki cisimlerde i kuvvetdalmnn incelenmesidir.

ekseniubuk

Q c N

8/9/2019 muk1

91/203

y

Mx R

z

yM

xQ c N

yQ zMb

Mxx

D kuvvetlerin tesiri altnda dengede bulunan bir ubuk, hayalen ikiye ayrlacak olursa (ayrma prensibi), paralarn da

dengede bulunmas iin, ayrma yzeylerine birtakm i tesirlerin konulmas gerekir. Kesit zerinde yayl olan bu i

kuvvetler, kesitin C arlk merkezine indirgenecek olursa, bir kuvvetle bir moment elde edilir. Bu deerlerekesit tesirleri

ad verilir.

R kuvvetinin bileenleri, kesit dzlemine dik bileen Normal kuvvetN

Kesit dzlemi iindeki bileenler: Kesme kuvvetleri Qx ve Qy.

M momentinin bileenleri, Kesit dzlemine dik bileen: Burulma momenti Mb,

Kesit dzlemi iindeki bileenler: Eilme momentleri Mx ve My

NNQ

Q

N

+dM

+dQx

M

M

bN

x+dQ

yQ

M

xQ

y

x

Q

y

x+dMMx

x

y

My

Q

dz

+dN

+dM

y

y

M b b

z

dz

M M

Bu bileenlerin pozitif ynleri boyutlu

ve dzlemsel hal iin gsterilemitir. Aksi

ynler negatif kabul edilir.

8/9/2019 muk1

92/203

Gerilmelerle kesit tesirleri arasGerilmelerle kesit tesirleri arasndaki bandaki bantntlar:lar:

xQN

z

M b xz

yz

dA

z

zx

0=== yxyx

zx00

8/9/2019 muk1

93/203

x

Qyx

yMy

M

Q M zy

zyzxz

zy

0000

: , ,z z x z ydA elemanna etkiyen kuvvetler dA dA dA ===

A

yzy

A

xzx

A

z dAQdAQdAN

===A

xzyzb

A

zy

A

zx dAyxMdAxMdAyM )(

,

,

ekil ve yer deitirme hesab:

AUA

r

A':U Dik kesitin arlk merkezinin yer deitirmesi

: esitin dnmesi

8/9/2019 muk1

94/203

U

rG G'

: esitin dnmesirUUA

+=

, , : Bir kesitin bir birim uzaklktaki dierine gre x, y ve z dorultularnda telenmeleri

, , : Bir kesitin bir birim uzaklktaki dierine gre x, y ve z dorultularnda dnmeleri

x y z

x y z

u u u

Birbirlerine gre birim uzaklkta iki kesit dnlsn

kujuiuu zyx

++= kji zyx

++=ds

Udu

=ds

d=

dsdUu xx=

dsdUu

y

y =ds

dUu zz=

ds

d x

x

=

ds

d y

y

=

ds

d z

z

=

rsuU

+= tuds

Ud

+=

u Birim telenme vektr

Birim dnme vektr

U

r

+

U

U

x r

s

A

B

A1

1Bu.s

YILDIZTEKNKNVERSTES

NAAT MHENDSL BLM

8/9/2019 muk1

95/203

MUKAVEMET1

EKSENELNORMALKUVVET

NAATMHENDSLBLMMEKANKANABLMDALI

PROF.DR.TURGUTKOCATRK

A.KmilDAVRAS

0504210

1.1GerilmeHesab:

eksenN

l

N

dA z21

z N

dz

l

zN

8/9/2019 muk1

96/203

2

Bylece normalgerilmesininzdenbamszolduusonucunavarlr.

Eksenelnormalkuvvethalinde,ubukekseninedikolarakal

nacakkesitler,ekildeitirmesrasndasadecetelenmehareketiyapacaklardr.

dz

SabitNkuvvetindendolaydikkesitlerdesabit telenmesiolacandan desabitolacaktr.dz

sabitdzdzEE zz ===

z

Basitmukavemethallerinden,enbasittesirolaneksenelnormalkuvvet,kesitinarlkmerkezinden,kesitedikolaraktesiredenbirkuvvettir.Bukuvvet,kesitindnormaliynndeiseekme(+),aksiyndeise,basn()olarakisimlendirilir.

z

ekil1.1bdebirubuaetkiyennormalkuvvetin,ubukkesitizerindeoluturduugerilmelerinigrlmektedir.Dolaysyla,etkitepkiprensibigereiaadakieitlikyazlarakgerilmeformleldeedilir:

AdAdAN zF

z

F

z === Yukardakiforml,ubukdikkesitalannubukboyuna(zye)gredeimediidurumiingeerlidir.Aksi

taktirde,ubukdikkesitalanlar,zyebaldeitiidurumlardabueitlikbozulur.

ubuktankarlandzuzunluundakieleman,Nnormalkuvvetinintesiriilekadaruzayacaktr.

normalgerilmesinin,malzemeninemniyetgerilmesiniamamasgerekir.

Normalkuvvetbelirliiken,uygunubukdikkesitalanaranyorise:

emz

z em

em

NA

z

Hookekanununagreueitlikyazlabilir;

ekil1.1a

z

zz1

N N2 2'

yl

y

dz dz

l

Birncekisayfadakardmzformllerdenyararlanarak,birimuzamauzama iinueitliiyazabiliriz:

1.2ekilDeitirmeHesab:

EA

N

Edz

dz zz ==

=

Bunabalolarakdzboyundakielamannbirimuzamas:N

8/9/2019 muk1

97/203

3

y

dzEA

Ndzdz z ==

Yukardakidenklemientegreederek,l uzunluundakibirubuuntoplamuzamamiktaraadakigibidir.

==

l

dz

EA

Ndzl

0 Eereksenelnormalkuvvet(N)veubukdikkesitalan(A)sabitise,formluhalegelir:

EA

Nll= EA: Uzaman rijitlii

1.3ubukArlnnEtkisi:

Normalkuvvetetkisindebulunandeyubuklarda,ubuunarlndankaynaklanacakartbiri gerilmemeydanagelir.Budurumundahesaplardagznnealnmasgerekir.

ubukmalzemesininzglarlise,ubuaetkiyendeikennormalkuvvetinherhangibirzkesitindekideeriuekildedir: zAFzN +=)(

Yukardakieitliktenanlalacazere,enbyknormalgerilmez = lkesitindemeydanagelir.

Dolaysylabudurumuuekildeifadeedebiliriz: lA

F

A

Nz +==

maxmax,

Sonu olaraktoplamboydeiimiuekildeeldeedilebilir:

E

l

EA

FlldzzAF

EAdz

EA

Nl

ll

2)(

1 2

00

+=+==

N=F+zA

F

z

l

F

FN diyagram

F

zA

F+zA

F zA

1.4HiperstatikProblemler

Hiperstatiksistemler, dengedenklemiyardmylazlemeyensistemlerdir.Mukavemet,busistemlerinzmnmmknklar.yleki,cisimlerinekildeitirmesidikkatealnarak,dengedenklemlerineilavetenbazdenklemleryazlabilir.Budenklemlereuygunluk(sreklilik)denklemleriadverilir.

Hiperstatik sistemlerin zmne bir rnek olmak zere, ekil 1.4a de grlen sistem ele alalm. Bu sistemde, rijit bir

8/9/2019 muk1

98/203

4

Hiperstatiksistemlerinzmnebirrnekolmakzere,ekil1.4adegrlensistemelealalm.Busistemde,rijitbirubukBveCnoktalarndakablolarla,Gnoktasndadamafsallatespitedilmitir.Sistemeayrmaprensibitatbikedilirse,Gnoktasnda2,BveCnoktalarndaisebirerolmakzeretoplam4bilinmeyenbakuvvetininolduugrlr.Ohaldesistembirinciderecedenhiperstatiktir(n=1).

B'

ekil 1.4a

l

a

b

F V

A

G B

1l A1

C GH

l22

C'

F

N2CB1 2

N1

b

a=

2

1

eklebakacakolursak, ile arasndauekildebirbant

yazlabilir:1 2

NN1l A1

8/9/2019 muk1

99/203

5

ve 22

221

1

11 l

EA

Nl

EA

N==

ve ninkarlklardenklemdeyerinekoyulursa,N2,N1

cinsindenbulunmuolur.1 2

1

1

2

2

12 N

ab

AA

llN =

Dierdenklemler:

=+==++=

==

0000

00

21

21

lFbNaNMFNNVF

HF

G

y

x

Bueitliklerden,N1veN2 uekildeeldeedilmiolur:

FAlbAla

bAllNFAlbAla

aAllN21

2

12

221

2

21

2

12

212

1 .;. +=+=

B'

l

ab

F

V

A

G B

1

C

GH

l22

C'

F

N2CB

1 2

N1

1.5ScaklkDeiimizostatiksistemlerdescaklkdeimesindendolayherhangibiri kuvvetmeydanagelmez.nk mesnetartlarndan

dolaysistem,scaklk deiimindendoacakyerdeitirmelerirahatlklakarlayabilir.rneinekil1.5adagrlenl

aklndakibasitkiriinbulunduuortamdascaklktoderecesindentderecesineykselmiolsun.Budurumda

ubuunuzunluu kadarartacaktr. malzemeyebalvedeneylerlebulunanscaklklagenlemekatsaysolmak llttl )(

8/9/2019 muk1

100/203

6

zere; olur.Sisteminbirmesnedihareketliolduundan,ubuktaherhangibiri kuvvetdomaksznbmesnedi kadartelenecektir.

lttl ot )( = l

Bunakarnhiperstatiksistemlerdemesnetler,scaklkdeiimlerinekarserbestehareketedemezler.Dolaysylabusistemlerdeilavei gerilmelerdoar.Bugerilmeleraadagsterileceigibihesaplanabilir.ekil1.5bdeBmesnetikaycmesnetolmadiin,yerdeitiremeyecektir.Busebeplescakldeiimiyleb noktasnatelenmikaycbirmesnetin(ekil1.5b),tekrarbnoktasnagtrecekekildehayalibirFkuvvetitesirettirildiidnlmelidir(ekil1.5c).BuhayaliFkuvvetininiddeti,ubuub noktasndanbnoktasnadndrecekkadardr.VebubulacamzFkuvveti,sdeiimindenmeydanagelecekiselnormalkuvvetemutlakdeerceeittir.

Anlatlanlaruekildeformlizeedebiliriz:

EA

Fll= )()( otot ttE

A

F

EA

Flltt ==

tAF =/

)( ott ttE = Scaklnartmashalindeubukgerilmesi,basn (),

scaklnazalmashalindeiseubukgerilmesi,ekme(+)olacandan,sonkarlanformldesataraftakiifadeninnne()iaretikonulmutur.

ekil1.5a

A B B'

ekil1.5b

A B B'ekil1.5c

A BF

ekil1.5d

1.6 Basn EtkisindekiHalkalar ekil10.6adagrleni basn etkisindekibirhalkagznnealnsn.YaraprolanhalkadzgnyaylPi

basncetkisindedir.HalkayaetkiedenP,kuvvet/uzunlukboyutundadr.Halkannsimetrisindendolaykesittesirlerindenbiriolankesmekuvvetisfrdr.Halkanndikkesitboyutlaryarapryegrekkolduundanhalka

kesitlerininaldmomentihmaledilebilecekkadarkkolur. H lk tki l k t kild f li dil i ti

8/9/2019 muk1

101/203

7

0 0

2 sin sin

r

N P ds P r d N P r

= = =

Kesitteoluacakgerilmeveekildeitirme:

AE

rp

EA

rp

A

N====

,

Dieryandan,kesitteoluacakyarapartmas:

( )AE

rpr

AE

rp

r

r

r

rrr 2

2

22==

=

+=

nceetkalnlnasahipborularvekazanlardaaynekildeincelenir. basncntersyndedbasn olaraketkimesi

halindeise,kesitlerdeortaya

kangerilmelerbas

n ()olurveburkulmatehlikesinindedikkatealnmasgerekecektir.

Halkayaetkiyennormalkuvvetuekildeformlizeedilmitir:

ekil1.6a

ekil1.6b

r

P

P

N N

y

x

ds

1.7zml Problemler

Problem1.1:

ekildegrlenABkiriiAucundanbirmafsalla,BveDnoktalarndansrasylaA1veA2kesitalanl,L1veL2uzunluklu

kablolarlatutturulmutur.Kablolar

nnormalemniyetgerilmesi =140N/mm

2

olduunagrekablolardagerilmekontrol yaparakBnoktasndakideyyerdeitirmeyibulunuz.em

8/9/2019 muk1

102/203

8

A1=20cm2,A2=10cm

2,L1=100cm,L2=150cm, E=2.105 N/mm2

zm:

= 0AM 60025320025 2121 =++ TTTT

1

111

.

.

AE

LT=

2

222

.

.

AE

LT=

12

52

=

1 22. 5. =

=10.

150.5

20.

100.2 21

E

T

E

T= 21 .75.10 TT 21 .5,7 TT =

m3 2

m

21

1 5

113930 10000,285

2.10 .2000mm

= =

gvenlimmNmmNA

Tem

22

1

1

1 /140/96,562000

113930

=

8/9/2019 muk1

103/203

9

=0XF ADAC TT =

=0YF FTTFTT ABACABAC =+=+ cos.20cos.2Birincimertebeteorisiylealldndan okkktr,dolaysyla

olarakal

nabilirveburadanaa

dakieitlikbulunur:l=cos

2

...cos

. . .cos cos

AC ACABAB

T l TT lT

E A E A

= =

1cos.2

cos

coscos..2

3

2

2 +==+

FTF

TT AC

ACAC

1cos.2 3 +=

FTAB

3

.

(2.cos 1). .

F l

E A

=

+

3den

2den

3den

=

BACCAB

(1)

(2)

(3)

ll A'

l

A'

F

EA EAEA

Problem1.3:

ekildegrlenubuktamesnetreaksiyonlarnbulupnormalkuvvetdiyagramniziniz.KesitalannAveelastisitemodln Eolarakalnz.

zm:

B

60 kNED

A

20 kNC

30 kN

8/9/2019 muk1

104/203

10

0=+++ EBDECDAC llll

.2 (20000 ).2 ( 10000).3 .10

. . . .

x x x xA A A B

E A E A E A E A

+ + + =

7 100000

. . .

x xA B

E A E A E A + + =

7500 , 42500x x

A N B N= =

Uygunlukart:

0

20000 30000 60000 0

50000 0

X

x X

X X

F

A B

A B

=

+ + + =

+ + =

(2)

(1)

(1)ve(2)den

m13

m2

mm2

7,5 kN

12,5 kN

XA

20-AX

XA +10

(N)

17,5 kN

42,5 kN

(N)

X50-A

Problem1.4:

ekildeverilensistemde,a)(1)ve(2)numaralubukkuvvetlerinibulunuz.b) olduunagreubuklarnkesitalanlarnbulunuz.

1,2 m(2)

0,5 m(1)

8/9/2019 muk1

105/203

11

zm:

2 1 1 2

0,9 1, 2) 0 . . 0,65.

1,5 1,3xa F S S S S = = =

2 2

1,2 0,50 . 0,65. . 201,5 1,3

yF S S= + =kNSkNS 194,12 21 ==

s

2

1s

20 kN

2

/140) mmNb em= 211

12400 140 88,57A mmA

2

2

2

19000140 135,71A mm

A

0,9 m

F=20 kN

1,2 m

Problem1.5:

ekildegrlenhiperstatiksistemdeCnoktasnda500kNlukbirkuvvetetkimektedir.Aynzamandaortamnscakl20 den30 yearttrlmtr.Mesnetreaksiyonlarnbulunuz.Co Co

NEA 810.2= Cot /110.1 6=

A F B

F=500 kNAH BH

8/9/2019 muk1

106/203

12

2m

C

m4

F=500 kN

ABBAx HHHHF ==+=+

50000005000000

zm:

(1)

(2)0006,010.210.1

0600.10.10.1400.200.

66

6

=++

=++

BA

BA

HH

EA

H

EA

H

Uygunlukdenkleminden,

335333 , 164667A BH N H N= =

(1)ve(2)den

olarakbulunur.

Not:Aynsonularscaklkvedkuvvetin

etkileriayrayrelealnp,dahasonrasperpozisyonilkesinikullanarakdaeldeedilebilir.

335333

164676

(N)

Problem1.6:

ekildegsterilen ubuklusisteminortaubuugereinden kadarksadr.Budurumdakisistemzorkullanlarak

birletirilirse,(ortaubukuzamaya,kenarubuklarksalmayazorlanarak)bylesibi l ti d i l b kl d d

A

EA

l

EA

EA

I II III

B Q

Q

8/9/2019 muk1

107/203

13

birletirmenedeniyleubuklardameydanagelecekolani kuvvetlerinbyklklerineolur? 7 2

2

2,1.10 / ; 150

5 ; 8 ; 30o

E N cm l cm

cm A cm

= =

= = =zm:

Bilinmeyenler veQdur.zmiinkullanlacakifadeleriseikidengedenklemivebiruygunlukartdr.Dengedenklemleri;

31 ,SS

( )1 3 1 30 .cos .sin 1xF S S S S = = + = ( )1 10 2 .sin 22sin

y

QF S Q S

= = + =

Uygunlukdenklemiizleyenekildebulunur:Anoktas kadaryukarya,Bnoktasda kadaraayahareket

ederekaradakibirA noktas

ndaI,IIIubuklar

ileIIubuubirleecek,dolay

s

ylaaradaki5cmlika

kl

kkapanacakt

r.Budurumdauygunlukdenklemi;

1 2

( )1 2 5 3c m = + =

,(e)eklindengrld gibi, cinsinden;1 1l ( )11 4sin

l

=

Ayrca,(2)gznnealnrsa; ( )1 21 2 2sin sin

52sin

S l S lQ l Q ll l

E A E A E A E A

= = = = =

A

(b)(a)

1

(e)(d)(c)

1S

3SQ

h

A'

A

B'

h A

2

A'

1

h

Budurumda(4)ve(5)bantlar(3)teyerinekonularaksonulareldeedilmiolur.

( )1 2 5 3c m = + =

( )11 4sin

l

=

( )

11

2

2sin 5sin sin

S l Q ll

E A E AS l Q l

l

= =

( )

( )

( )

ekmekNNQo

o

2240000

,22402240000

150.30sin.21

30sin..8.10.1,2.5.23

27

==

+

=

8/9/2019 muk1

108/203

14

ekildeboyutlarveyklemedurumuverilensistemdeAnoktasnnyatayvedeyyerdeitirmelerinihesaplaynz.

22 2

Ql

E A E A = = = ( )nsabkNNS

o22402240000

30sin.2

22400001 ===

Problem1.7:

zm:ACveBCubuklarndakiubukkuvvetlerisrasyla ve olarakgsterilsin.Admnoktasnda ve dorultularndaizdmdengedenklemleriyazlrsa;

1S 2S

tg

FS

FS

FSF

SSF

y

x==

=+=

==

21

1

21;

sin0sin.0

0cos.0

eklindeubukkuvvetlerihesaplanr.Anoktasnnyerdeitirmedensonraalaca

konumekildeizilmitir. ubuu ubukkuvvetininetkisialtnda kadaruzar,ABubuuise ubukkuvvetininetkisinde kadarksalr.

1S 1l2l2S

1 1 2 21 2

1 1 2 2

.. ;

sin cos

S l S lF l F l

E A E A E A E A tg

= = = =

AnoktasekildeitirmedensonraBmerkezli yarapldaireileCmerkezliveyarapldaireninkesimnoktasnagelecektir.Ancakboydeiimlerikkolduuiinbudaire

yaylaryerinedaireninA veA dekiteetlerikullanlacaktr.BAzerindeAdanitibarenkadaralnarakA,CAzerindenyineAdanitibaren kadaralnarak A noktlarbulunur.AdenABye, AdenACyedikizilir.BuikidikmeninkesimnoktasA,Annekildeiimindensonrageleceinoktadr.ekildenyararlanlarakAnoktasnnyatayyerdeitirmesi vedeyyerdeitirmesi birsonrakisayfadahesaplanmtr.

2AB 1+AC

21

xy

F

1EA

EA 2

C

B A x

y

l

A

A''

FA'

A'''

x2

2

y

E

C

B

tgAE

lFx

2

2

==

1 2

2

1 2

sin

1.sin cos sin

y AE EFtg

F l F lE A E A tg

= + = +

+ =

(xdorultusundayerdeitirme)

A

A ''

A'' '

x 2

2

y

C

B

8/9/2019 muk1

109/203

15

2 2

1 2

1 1

sin cos

F l

E A A tg

+

(ydorultusundayerdeitirme)

Problem1.8:

ekildekisistemde Akesitalannekadarolmaldr? 2

1 2 314000 / ; , cos 4/5 ; sin 3/5, 3/ 4em N cm A A A A tg = = = = = = =

zm:Sistembirinciderecedenhiperstatiktir.1,2ve3numaralubuklardaki, ubukkuvvetleri(hiperstatikbilinmeyenler)iinxveydorultularndakiizdmdengedenklemleriaadakigibidir.;

321 ,, SSS

=+=== 0sin00cos0 3121 FSSFSSF yx Busistem,uygunlukkoulununyazlabilmesiiinikiayrsistemhalindednlsn. kesitliubukIInumaralsistem, ve

kesitliubuklariseInumaralsistemolsun. InumaralsistemdeAnoktasnndeyyerdeitirmesi iseIInumaralsistemdedeAnoktasnndeyyerdeitirmesi olmaldr.IInumaralsistemdeudenklemiyazabiliriz;

3A 1A 2A

yy

AE

S

AE

lSy

1000333 ==

FA '

y

E

C

B

y

x

8

2EAF=100 kN

A

EA1

m

m6

m10

3EA

Inumaralsistemde AnndeyyerdeitirmesininhesabiinProblem1.7dehesaplanan ifade

muk1

Documents

Transcript of muk1